Как решаются неравенства двойные: Двойные неравенства — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

Материалы к уроку «Решение двойных неравенств»

Решение двойных неравенств

Знакомство с двойными неравенствами с одной переменной начинается в 8 классе, а в 9 классе мы уже рассматриваем более сложные неравенства с двумя переменными. Комплекс заданий, который я опишу ниже, подойдет для итоговых уроков алгебры, а также для подготовки к экзамену.

Простейшее двойное неравенство
Рассмотрим ряд примеров:

1

 

1. 6 < х < 8 .
Решение этого двойного неравенства сводится к решению системы двух неравенств:

Решение данной системы изображено на числовой оси ОХ рисунка 1. Ответом является интервал, так как неравенство строгое, (6;8).

2. – 4 ≤ х < 5.

На рисунке приведено графическое исполнение решения данного двойного или системы неравенств. Обращает на себя внимание различие в отображении на рисунке концов искомого ответа: левая точка «полная», а правая — «выколотая». Такое различие обусловлено условиями, налагаемыми на переменную х: левое нестрогое – меньше или равно, а правое строгое – строго больше. Отсюда и результат, по которому левая точка х = — 4 является решение неравенства и поэтому точка на графическом изображении «полная», а правая точка х = 5 не является решение и поэтому на графике она изображена «пустой» или, как еще принято называть, «выколотой». Ответом искомого неравенства будет полуинтервал [- 4;5).

Самостоятельно рассмотрим остальные варианты решений простейших двойных неравенств на рисунке 1.

Задание№1.
Решите двойное неравенство самостоятельно.

1. -1 < x ≤ 5;

2. 2 ≤ x ≤ 10. 

Двойное неравенство. Алгебраические действия над ним

Стоит отметить, что для решения двойных неравенств действуют все те же правила, которые применимы и для обычных неравенств, только теперь действие должно применяться сразу к обеим частям неравенства.

1. Без смены знака можно прибавлять/отнимать любое действительное число к обеим сторонам неравенства.

2. Без смены знака можно умножать/делить на любое действительное (отличное от нуля) положительное число. 

3. Сменив знаки на противоположные, можно обе стороны неравенства умножать/делить на любое отрицательное число (кроме нуля).

Более сложное двойное неравенство с двумя переменными.

Решим неравенство:  3x – 8 < y ≤ -x + 4.

Чтобы решить это двойное неравенство нужно решить систему двух неравенств с двумя неизвестными. А именно:

Приведем первое неравенство системы к более удобному для восприятия виду у > 3x – 8 , тогда система будет иметь вид

 

Графическая интерпретация неравенства показана на рисунке 2.

2

 

 

Чтобы найти искомую зону ответов, удовлетворяющих данным условиям, сначала строим две прямые у = 3х — 8 и у = — х + 4. Построение прямых проще всего выполнять по контрольным точкам. Контрольные точки первой прямой (0; -8) и (8/3; 0), через них проводим прямую. На рисунке она красного цвета. Для построения второй прямой достаточно прямую у = х сместить на четыре единичных отрезка вверх по оси ОУ и симметрично отобразить ее относительно оси ОУ. Можно построить вторую прямую по контрольным точкам: (0 ; 4) и (4;0). На рисунке эта прямая зеленого цвета.

Для нахождения области решения двойного неравенства на координатной плоскости изображают области, которые являются решениями каждого неравенства отдельно, зона пересечения этих областей и будет решением первоначального двойного неравенства. На рисунке розовым цветом обозначена область решений 3х – 8 < у, причем прямая у = 3х — 8 не является решением строгого неравенства. Голубая — область решений неравенства у ≤ -х + 4, причем, все точки принадлежащие прямой у = — х + 4 удовлетворяют неравенству и, следовательно, является его решением. Пересечение розовой и зеленой зон и будет решением искомого двойного неравенства с двумя неизвестными.

Задание №2. Решите двойное неравенство:

2х +4 < у ≤ — х;

– х ≤ 4у + 1 ≤ 2х — 1.

 

    Определите, графическое решение какого двойного
    a) 2х – 5 ≤ у < 5х;

    b) Х + 1 < у ≤ — х + 5 неравенства изображено на рисунке 3?

    3

    как решать двойные неравенства с дробями

    Вы искали как решать двойные неравенства с дробями? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
    решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как решить двойное неравенство с дробью, не
    исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
    в вуз.
    И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
    Например, «как решать двойные неравенства с дробями».

    Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
    жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
    использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
    месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
    может решить задачи, такие, как как решать двойные неравенства с дробями,как решить двойное неравенство с дробью. На этой странице вы найдёте калькулятор,
    который поможет решить любой вопрос, в том числе и как решать двойные неравенства с дробями. Просто введите задачу в окошко и нажмите
    «решить» здесь (например, как решать двойные неравенства с дробями).

    Где можно решить любую задачу по математике, а так же как решать двойные неравенства с дробями Онлайн?

    Решить задачу как решать двойные неравенства с дробями вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
    онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
    сделать — это просто
    ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
    вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
    калькулятора.

    Решение двойных неравенств


    Просмотр содержимого документа

    «Решение двойных неравенств»

    Дата

    Тема: РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

    Задачи: научить решать двойные неравенства с одной переменной.

    Ход урока

    1. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

    Самостоятельная работа по вариантам.

    1. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

    Помним, что решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором выполняется каждое неравенство системы. Решить систему неравенств означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.

    Вспомним, какой вид имеет двойное неравенство 2

    От двойного неравенства лучше переходить к системе. Например, имея двойное неравенство

    Для его решения лучше перейти к равносильной системе неравенств

    Как получается такой переход? Грубо говоря, двойное неравенство состоит из трех частей, которые разделены двумя знаками неравенства. Рассматриваем отдельно первую и вторую части двойного неравенства, а потом вторую и третью части неравенства, и записываем их в систему. Тогда

    1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

    Открываем свои тетради и записываем сегодняшнее число и тему урока. Открываем учебник на странице 198 и выполним письменно №892 и №894(а, в).

    892. Решить двойное неравенство:

    а) .

    Для начала распишем его в виде системы (цветом я вам показываю, как двойное разбивается на линейные неравенства, это писать не обязательно):

    А далее применяем стандартный алгоритм решения системы неравенств с одной переменной.

    Изобразим решение системы на координатной прямой:

    Видим, что две штриховки пересекаются на интервале ( -1; 2), это и будет ответом.

    Ответ: .

    б) .

    Для начала распишем его в виде системы:

    А далее применяем стандартный алгоритм решения системы неравенств с одной переменной.

    Изобразим решение системы на координатной прямой:

    Видим, что две штриховки пересекаются на интервале ( -12; 17), это и будет ответом.

    Ответ: .

    Самостоятельно выполните № 892 (в).

    Все вместе выполним №894(а, в).

    Изобразим решение на координатной прямой:

    Ответ: .

    Изобразим решение на координатной прямой:

    Ответ: .

    1. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА. РЕФЛЕКСИЯ

    Повторите алгоритм решения системы неравенств, подготовьтесь к самостоятельной работе.

    Домашнее задание: № 891.

    Общие сведения о неравенствах

    Данный материал может показаться сложным для понимания. Рекомендуется изучать его маленькими частями.

    Предварительные навыки

    Определения и свойства

    Неравенством мы будем называть два числовых или буквенных выражения, соединенных знаками >, <, ≥, ≤ или ≠.

    Пример: 5 > 3

    Данное неравенство говорит о том, что число 5 больше, чем число 3. Острый угол знака неравенства должен быть направлен в сторону меньшего числа. Это неравенство является верным, поскольку 5 больше, чем 3.

    Если на левую чашу весов положить арбуз массой 5 кг, а на правую — арбуз массой 3 кг, то левая чаша перевесит правую, и экран весов покажет, что левая чаша тяжелее правой:

    Если 5 > 3, то 3 < 5. То есть левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак <

    Если в неравенстве 5 > 3, не трогая левую и правую часть, поменять знак на <, то получится неравенство 5 < 3. Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

    Числа, которые располагаются в левой и правой части неравенства, будем называть членами этого неравенства. Например, в неравенстве 5 > 3 членами являются числа 5 и 3.

    Рассмотрим некоторые важные свойства для неравенства 5 > 3.
    В будущем эти свойства будут работать и для других неравенств.

    Свойство 1.

    Если к левой и правой части неравенства 5 > 3 прибавить или вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

    Например, прибавим к обеим частям неравенства число 4. Тогда получим:

    Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

    Теперь попробуем вычесть из обеих частей неравенства 5 > 3 какое-нибудь число, скажем число 2

    Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

    Из данного свойства следует, что любой член неравенства можно перенести из одной части в другую часть, изменив знак этого члена. Знак неравенства при этом не изменится.

    Например, перенесём в неравенстве 5 > 3, член 5 из левой части в правую часть, изменив знак этого члена. После переноса члена 5 в правую часть, в левой части ничего не останется, поэтому запишем там 0

    0 > 3 − 5

    0 > −2

    Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.


    Свойство 2.

    Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

    Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь положительное число, скажем на число 2. Тогда получим:

    Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

    Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь число. Разделим их на 2

    Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

    Свойство 3.

    Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

    Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число, скажем на число −2. Тогда получим:

    Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

    Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число. Давайте разделим их на −1

    Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

    Само по себе неравенство можно понимать, как некоторое условие. Если условие выполняется, то неравенство является верным. И наоборот, если условие не выполняется, то неравенство не верно.

    Например, чтобы ответить на вопрос является ли верным неравенство 7 > 3, нужно проверить выполняется ли условие «больше ли 7, чем 3». Мы знаем, что число 7 больше, чем число 3. То есть условие выполнено, а значит и неравенство 7 > 3 верно.

    Неравенство 8 < 6 не является верным, поскольку не выполняется условие «8 меньше, чем 6».

    Другим способом определения верности неравенства является составление разности из левой и правой части данного неравенства. Если разность положительна, то левая часть больше правой части. И наоборот, если разность отрицательна, то левая часть меньше правой части. Более точно это правило выглядит следующим образом:

    Число a больше числа b, если разность a − b положительна. Число a меньше числа b, если разность a − b отрицательна.

    Например, мы выяснили, что неравенство 7 > 3 является верным, поскольку число 7 больше, чем число 3. Докажем это с помощью правила, приведённого выше.

    Составим разность из членов 7 и 3. Тогда получим 7 − 3 = 4. Согласно правилу, число 7 будет больше числа 3, если разность 7 − 3 окажется положительной. У нас она равна 4, то есть разность положительна. А значит число 7 больше числа 3.

    Проверим с помощью разности верно ли неравенство 3 < 4. Составим разность, получим 3 − 4 = −1. Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

    Проверим верно ли неравенство 5 > 8. Составим разность, получим 5 − 8 = −3. Согласно правилу, число 5 будет больше числа 8, если разность 5 − 8 окажется положительной. У нас разность равна −3, то есть она не является положительной. А значит число 5 не больше числа 8. Иными словами, неравенство 5 > 8 не является верным.


    Строгие и нестрогие неравенства

    Неравенства, содержащие знаки >, < называют строгими. А неравенства, содержащие знаки ≥, ≤  называют нестрогими.

    Примеры строгих неравенства мы рассматривали ранее. Таковыми являются неравенства 5 > 3, 7 < 9.

    Нестрогим, например, является неравенство 2 ≤ 5. Данное неравенство читают следующим образом: «2 меньше или равно 5».

    Запись 2 ≤ 5 является неполной. Полная запись этого неравенства выглядит следующим образом:

    2 < 5 или 2 = 5

    Тогда становится очевидным, что неравенство 2 ≤ 5 состоит из двух условий: «два меньше пять» и «два равно пять».

    Нестрогое неравенство верно в том случае, если выполняется хотя бы одно из его условий. В нашем примере верным является условие «2 меньше 5». Значит и само неравенство 2 ≤ 5 верно.

    Пример 2. Неравенство 2 ≤ 2 является верным, поскольку выполняется одно из его условий, а именно 2 = 2.

    Пример 3. Неравенство 5 ≤ 2 не является верным, поскольку не выполняется ни одно из его условий: ни 5 < 2 ни 5 = 2.


    Двойное неравенство

    Число 3 больше, чем число 2 и меньше, чем число 4. В виде неравенства это высказывание можно записать так: 2 < 3 < 4. Такое неравенство называют двойным.

    Двойное неравенство может содержать знаки нестрогих неравенств. К примеру, если число 5 больше или равно, чем число 2, и меньше или равно, чем число 7, то можно записать, что 2 ≤ 5 ≤ 7

    Чтобы правильно записать двойное неравенство, сначала записывают член находящийся в середине, затем член находящийся слева, затем член находящийся справа.

    Например, запишем, что число 6 больше, чем число 4, и меньше, чем число 9.

    Сначала записываем 6

    Слева записываем, что это число больше, чем число 4

    Справа записываем, что число 6 меньше, чем число 9


    Неравенство с переменной

    Неравенство, как и равенство может содержать переменную.

    Например, неравенство x > 2 содержит переменную x. Обычно такое неравенство нужно решить, то есть выяснить при каких значениях x данное неравенство становится верным.

    Решить неравенство означает найти такие значения переменной x, при которых данное неравенство становится верным.

    Значение переменной, при котором неравенство становится верным, называется решением неравенства.

    Неравенство > 2 становится верным при x = 3, x = 4, x = 5, x = 6 и так далее до бесконечности. Видим, что это неравенство имеет не одно решение, а множество решений.

    Другими словами, решением неравенства x > 2 является множество всех чисел, бóльших 2. При этих числах неравенство будет верным. Примеры:

    3 > 2

    4 > 2

    5 > 2

    Число 2, располагающееся в правой части неравенства x > 2, будем называть границей данного неравенства. В зависимости от знака неравенства, граница может принадлежать множеству решений неравенства либо не принадлежать ему.

    В нашем примере граница неравенства не принадлежит множеству решений, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x > 2 получается не верное неравенство 2 > 2. Число 2 не может быть больше самого себя, поскольку оно равно самому себе (2 = 2).

    Неравенство x > 2 является строгим. Его можно прочитать так: «x строго больше 2″. То есть все значения, принимаемые переменной x должны быть строго больше 2. В противном случае, неравенство верным не будет.

    Если бы нам было дано нестрогое неравенство ≥ 2, то решениями данного неравенства были бы все числа, которые больше 2, в том числе и само число 2. В этом неравенстве граница 2 принадлежит множеству решений неравенства, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x ≥ 2 получается верное неравенство 2 ≥ 2. Ранее было сказано, что нестрогое неравенство является верным, если выполняется хотя бы одно из его условий. В неравенстве 2 ≥ 2 выполняется условие 2 = 2, поэтому и само неравенство 2 ≥ 2 верно.


    Как решать неравенства

    Процесс решения неравенств во многом схож с процессом решения уравнений. При решении неравенств мы будем применять свойства, которые изучили вначале данного урока, такие как: перенос слагаемых из одной части неравенства в другую часть, меняя знак; умножение (или деление) обеих частей неравенства на одно и то же число.

    Эти свойства позволяют получить неравенство, которое равносильно исходному. Равносильными называют неравенства, решения которых совпадают.

    Решая уравнения мы выполняли тождественные преобразования до тех пор, пока в левой части уравнения не оставалась переменная, а в правой части значение этой переменной (например: x = 2, x = 5). Иными словами, заменяли исходное уравнение на равносильное ему уравнение до тех пор, пока не получалось уравнение вида x = a, где a значение переменной x. В зависимости от уравнения, корней могло быть один, два, бесконечное множество, либо не быть совсем.

    А при решении неравенств мы будем заменять исходное неравенство на равносильное ему неравенство до тех пор, пока в левой части не останется переменная этого неравенства, а в правой части его граница.

    Пример 1. Решить неравенство 2> 6

    Итак, нужно найти такие значения x, при подстановке которых в 2> 6 получится верное неравенство.

    Вначале данного урока было сказано, что если обе части неравенства разделить на какое-нибудь положительное число, то знак неравенства не изменится. Если применить это свойство к неравенству, содержащему переменную, то получится неравенство равносильное исходному.

    В нашем случае, если мы разделим обе части неравенства 2> 6 на какое-нибудь положительное число, то получится неравенство, которое равносильно исходному неравенству 2> 6.  

    Итак, разделим обе части неравенства на 2.

    В левой части осталась переменная x, а правая часть стала равна 3. Получилось равносильное неравенство > 3. На этом решение завершается, поскольку в левой части осталась переменная, а в правой части граница неравенства.

    Теперь можно сделать вывод, что решениями неравенства > 3 являются все числа, которые больше 3. Это числа 4, 5, 6, 7 и так далее до бесконечности. При этих значениях неравенство > 3 будет верным.

    4 > 3

    5 > 3

    6 > 3

    7 > 3

    Отметим, что неравенство > 3 является строгим. «Переменная x строго больше трёх».

    А поскольку неравенство > 3 равносильно исходному неравенству 2> 6, то их решения будут совпадать. Иначе говоря, значения, которые подходят неравенству > 3, будут подходить и неравенству 2> 6. Покажем это.

    Возьмём, например, число 5 и подставим его сначала в полученное нами равносильное неравенство > 3, а потом в исходное 2> 6.

    Видим, что в обоих случаях получается верное неравенство.

    После того, как неравенство решено, ответ нужно записать в виде так называемого числового промежутка следующим образом:

    В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x, принадлежат числовому промежутку от трёх до плюс бесконечности.

    Иначе говоря, все числа, начиная от трёх до плюс бесконечности являются решениями неравенства > 3. Знак  в математике означает бесконечность.

    Учитывая, что понятие числового промежутка очень важно, остановимся на нём подробнее.


    Числовые промежутки

    Числовым промежутком называют множество чисел на координатной прямой, которое может быть описано с помощью неравенства.

    Допустим, мы хотим изобразить на координатной прямой множество чисел от 2 до 8. Для этого сначала на координатной прямой отмечаем точки с координатами 2 и 8, а затем выделяем штрихами ту область, которая располагается между координатами 2 и 8. Эти штрихи будут играть роль чисел, располагающихся между числами 2 и 8

    Числа 2 и 8 назовём границами числового промежутка. Рисуя числовой промежуток, точки для его границ изображают не в виде точек как таковых, а в виде кружков, которые можно разглядеть.

    Границы могут принадлежать числовому промежутку либо не принадлежать ему.

    Если границы не принадлежат числовому промежутку, то они изображаются на координатной прямой в виде пустых кружков.

    Если границы принадлежат числовому промежутку, то кружки необходимо закрасить.

    На нашем рисунке кружки были оставлены пустыми. Это означало, что границы 2 и 8 не принадлежат числовому промежутку. Значит в наш числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, кроме чисел 2 и 8.

    Если мы хотим включить границы 2 и 8 в числовой промежуток, то кружки необходимо закрасить:

    В данном случае в числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, включая числа 2 и 8.

    На письме числовой промежуток обозначается указанием его границ с помощью круглых или квадратных скобок.

    Если границы не принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются круглыми скобками.

    Если границы принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются квадратными скобками.

    На рисунке представлено два числовых промежутка от 2 до 8 с соответствующими обозначениями:

    На первом рисунке числовой промежуток обозначен с помощью круглых скобок, поскольку границы 2 и 8 не принадлежат этому числовому промежутку.

    На втором рисунке числовой промежуток обозначен с помощью квадратных скобок, поскольку границы 2 и 8 принадлежат этому числовому промежутку.

    С помощью числовых промежутков можно записывать ответы к неравенствам. Например, ответ к двойному неравенству 2 ≤ ≤ 8 записывается так:

    x ∈ [ 2 ; 8 ]

    То есть сначала записывают переменную, входящую в неравенство, затем с помощью знака принадлежности ∈ указывают к какому числовому промежутку принадлежат значения этой переменной. В данном случае выражение x ∈ [ 2 ; 8 ] указывает на то, что переменная x, входящая в неравенство 2 ≤ ≤ 8, принимает все значения в промежутке от 2 до 8 включительно. При этих значениях неравенство будет верным.

    Обратим внимание на то, что ответ записан с помощью квадратных скобок, поскольку границы неравенства 2 ≤ ≤ 8, а именно числа 2 и 8 принадлежат множеству решений этого неравенства.

    Множество решений неравенства 2 ≤ ≤ 8 также можно изобразить с помощью координатной прямой:

    Здесь границы числового промежутка 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8.

    В некоторых источниках границы, которые не принадлежат числовому промежутку, называют открытыми.

    Открытыми их называют по той причине, что числовой промежуток остаётся открытым из-за того, что его границы не принадлежат этому числовому промежутку. Пустой кружок на координатной прямой математики называют выколотой точкой. Выколоть точку значит исключить её из числового промежутка или из множества решений неравенства.

    А в случае, когда границы принадлежат числовому промежутку, их называют закрытыми (или замкнутыми), поскольку такие границы закрывают (замыкают) собой числовой промежуток. Закрашенный кружок на координатной прямой также говорит о закрытости границ.

    Существуют разновидности числовых промежутков. Рассмотрим каждый из них.

    Числовой луч

    Числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≥ a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

    Пусть = 3. Тогда неравенство x ≥ a примет вид ≥ 3. Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, включая само число 3.

    Изобразим числовой луч, заданный неравенством ≥ 3, на координатной прямой. Для этого отметим на ней точку с координатой 3, а всю оставшуюся справа от неё область выделим штрихами. Выделяется именно правая часть, поскольку решениями неравенства ≥ 3 являются числа, бóльшие 3. А бóльшие числа на координатной прямой располагаются правее

    Здесь точка 3 соответствует границе неравенства ≥ 3, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства ≥ 3.

    Точка 3, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства ≥ 3 принадлежит множеству его решений.

    На письме числовой луч, заданный неравенством x ≥ a, обозначается следующим образом:

    [ ; +∞ )

    Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница числового луча принадлежит ему, а другая нет, поскольку бесконечность сама по себе границ не имеет и подразумевается, что по ту сторону нет числа, замыкающего этот числовой луч.

    Учитывая то, что одна из границ числового луча закрыта, данный промежуток часто называют закрытым числовым лучом.

    Запишем ответ к неравенству ≥ 3 с помощью обозначения числового луча. У нас переменная a равна 3

    x ∈  [ 3 ; +∞ )

    В этом выражении говорится, что переменная x, входящая в неравенство ≥ 3, принимает все значения от 3 до плюс бесконечности.

    Иначе говоря, все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства ≥ 3. Граница 3 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство ≥ 3 является нестрогим.

    Закрытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≤ a. Решениями неравенства x ≤ a являются все числа, которые меньше a, включая само число a. 

    К примеру, если = 2, то неравенство примет вид ≤ 2. На координатной прямой граница 2 будет изображаться закрашенным кружком, а вся область, находящаяся слева, будет выделена штрихами. В этот раз выделяется левая часть, поскольку решениями неравенства ≤ 2 являются числа, меньшие 2. А меньшие числа на координатной прямой располагаются левее

    Здесь точка 2 соответствует границе неравенства ≤ 2, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства ≤ 2.

    Точка 2, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства ≤ 2 принадлежит множеству его решений.

    Запишем ответ к неравенству ≤ 2 с помощью обозначения числового луча:

    x ∈  ( −∞ ; 2 ]

    В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства ≤ 2. Граница 2 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство ≤ 2 является нестрогим.

    Открытый числовой луч

    Открытым числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x > a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

    Открытый числовой луч во многом похож на закрытый числовой луч. Различие в том, что граница a не принадлежит промежутку, как и граница неравенства x > a не принадлежит множеству его решений.

    Пусть = 3. Тогда неравенство примет вид > 3. Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, за исключением числа 3

    На координатной прямой граница открытого числового луча, заданного неравенством > 3, будет изображаться в виде пустого кружка. Вся область, находящаяся справа, будет выделена штрихами:

    Здесь точка 3 соответствует границе неравенства x > 3, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x > 3. Точка 3, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x > 3 не принадлежит множеству его решений.

    На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x > a, обозначается следующим образом:

    ( ; +∞ )

    Круглые скобки указывают на то, что границы открытого числового луча не принадлежат ему.

    Запишем ответ к неравенству x > 3 с помощью обозначения открытого числового луча:

    x ∈  ( 3 ; +∞ )

    В этом выражении говорится, что все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства x > 3. Граница 3 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x > 3 является строгим.

    Открытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x < a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства. Решениями неравенства x < a являются все числа, которые меньше a, исключая число a. 

    К примеру, если = 2, то неравенство примет вид x < 2. На координатной прямой граница 2 будет изображаться пустым кружком, а вся область, находящаяся слева, будет выделена штрихами:

    Здесь точка 2 соответствует границе неравенства x < 2, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x < 2. Точка 2, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x < 2 не принадлежит множеству его решений.

    На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x < a, обозначается следующим образом:

    ( −∞ ; a )

    Запишем ответ к неравенству x < 2 с помощью обозначения открытого числового луча:

    x ∈  ( −∞ ; 2 )

    В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x < 2. Граница 2 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x < 2 является строгим.

    Отрезок

    Отрезком называют числовой промежуток, который задаётся двойным неравенством a ≤ x ≤ b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

    Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a ≤ x ≤ b примет вид 2 ≤ ≤ 8. Решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8 являются все числа, которые больше 2 и меньше 8. При этом границы неравенства 2 и 8 принадлежат множеству его решений, поскольку неравенство 2 ≤ ≤ 8 является нестрогим.

    Изобразим отрезок, заданный двойным неравенством 2 ≤ ≤ 8 на координатной прямой. Для этого отметим на ней точки с координатами 2 и 8, а располагающуюся между ними область выделим штрихами:

    Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8. Точки 2 и 8, являющиеся границами отрезка, изображены в виде закрашенных кружков, поскольку границы неравенства 2 ≤ ≤ 8 принадлежат множеству его решений.

    На письме отрезок, заданный неравенством a ≤ x ≤ b обозначается следующим образом:

    [ a ; b ]

    Квадратные скобки с обеих сторон указывают на то, что границы отрезка принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ ≤ 8 с помощью этого обозначения:

    x ∈  [ 2 ; 8 ]

    В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8 включительно, являются решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8.

    Интервал

    Интервалом называют числовой промежуток, который задаётся двойным неравенством a < x < b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

    Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a < x < b примет вид 2 < < 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

    Изобразим интервал на координатной прямой:

    Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < < 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 < < 8. Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < < 8 не принадлежат множеству его решений.

    На письме интервал, заданный неравенством a < x < b, обозначается следующим образом:

    ( a ; b )

    Круглые скобки с обеих сторон указывают на то, что границы интервала не принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 < < 8 с помощью этого обозначения:

    x ∈  ( 2 ; 8 )

    В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая числа 2 и 8, являются решениями неравенства 2 < < 8.

    Полуинтервал

    Полуинтервалом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a ≤ x < b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

    Полуинтервалом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a < x ≤ b.

    Одна из границ полуинтервала принадлежит ему. Отсюда и название этого числового промежутка.

    В ситуации с полуинтервалом a ≤ x < b ему (полуинтервалу) принадлежит левая граница.

    А в ситуации с полуинтервалом a < x ≤ b ему принадлежит правая граница.

    Пусть = 2, = 8. Тогда неравенство a ≤ x < b примет вид 2 ≤ x < 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

    Изобразим полуинтервал 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

    Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ x < 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8.

    Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку левая граница неравенства 2 ≤ x < 8 принадлежит множеству его решений.

    А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку правая граница неравенства 2 ≤ x < 8 не принадлежит множеству его решений.

    На письме полуинтервал, заданный неравенством a ≤ x < b, обозначается следующим образом:

    a ; b )

    Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница полуинтервала принадлежит ему, а другая нет. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

    x ∈  [ 2 ; 8 )

    В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, включая число 2, но исключая число 8, являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8.

    Аналогично на координатной прямой можно изобразить полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b. Пусть = 2, = 8. Тогда неравенство a < x ≤ b примет вид 2 < ≤ 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая число 2, но включая число 8.

    Изобразим полуинтервал 2 < ≤ 8 на координатной прямой:

    Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 < ≤ 8.

    Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку левая граница неравенства 2 < ≤ 8 не принадлежит множеству его решений.

    А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку правая граница неравенства 2 < ≤ 8 принадлежит множеству его решений.

    На письме полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b, обозначается так: ( a ; b ]. Запишем ответ к неравенству 2 < ≤ 8 с помощью этого обозначения:

    x ∈  ( 2 ; 8 ]

    В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая число 2, но включая число 8, являются решениями неравенства 2 < ≤ 8.


    Изображение числовых промежутков на координатной прямой

    Числовой промежуток может быть задан с помощью неравенства или с помощью обозначения (круглых или квадратных скобок). В обоих случаях нужно суметь изобразить этот числовой промежуток на координатной прямой. Рассмотрим несколько примеров.

    Пример 1. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством > 5

    Вспоминаем, что неравенством вида a задаётся открытый числовой луч. В данном случае переменная a равна 5. Неравенство > 5 строгое, поэтому граница 5 будет изображаться в виде пустого кружкá. Нас интересуют все значения x, которые больше 5, поэтому вся область справа будет выделена штрихами:


    Пример 2. Изобразить числовой промежуток (5; +∞) на координатной прямой

    Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью неравенства, а с помощью обозначения числового промежутка.

    Граница 5 обрамлена круглой скобкой, значит она не принадлежит промежутку. Соответственно, кружок остаётся пустым.

    Символ +∞ указывает, что нас интересуют все числа, которые больше 5. Соответственно, вся область справа от границы 5 выделяется штрихами:


    Пример 3. Изобразить числовой промежуток (−5; 1) на координатной прямой.

    Круглыми скобками с обеих сторон обозначаются интервалы. Границы интервала не принадлежат ему, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться на координатной прямой в виде пустых кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами:


    Пример 4. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством −5 < x < 1

    Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью обозначения промежутка, а с помощью двойного неравенства.

    Неравенством вида a < x < b, задаётся интервал. В данном случае переменная a равна −5, а переменная b равна единице. Неравенство −5 < x < 1 строгое, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться в виде пустых кружка. Нас интересуют все значения x, которые больше −5, но меньше единицы, поэтому вся область между точками −5 и 1 будет выделена штрихами:


    Пример 5. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2] и [2; 5]

    В этот раз изобразим на координатной прямой сразу два промежутка.

    Квадратными скобками с обеих сторон обозначаются отрезки. Границы отрезка принадлежат ему, поэтому границы отрезков [-1; 2] и [2; 5] будут изображаться на координатной прямой в виде закрашенных кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами.

    Чтобы хорошо увидеть промежутки [−1; 2] и [2; 5], первый можно изобразить на верхней области, а второй на нижней. Так и поступим:


    Пример 6. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2) и (2; 5]

    Квадратной скобкой с одной стороны и круглой с другой обозначаются полуинтервалы. Одна из границ полуинтервала принадлежат ему, а другая нет.

    В случае с полуинтервалом [-1; 2) левая граница будет принадлежать ему, а правая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде закрашенного кружка. Правая же граница будет изображаться в виде пустого кружка.

    А в случае с полуинтервалом (2; 5] ему будет принадлежать только правая граница, а левая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде пустого кружка. Правая же граница будет изображаться в виде закрашенного кружка.

    Изобразим промежуток [-1; 2) на верхней области координатной прямой, а промежуток (2; 5] — на нижней:


    Примеры решения неравенств

    Неравенство, которое путём тождественных преобразований можно привести к виду ax > b (или к виду ax < b), будем называть линейным неравенством с одной переменной.

    В линейном неравенстве ax > b, x — это переменная, значения которой нужно найти, а — коэффициент этой переменной, b — граница неравенства, которая в зависимости от знака неравенства может принадлежать множеству его решений либо не принадлежать ему.

    Например, неравенство 2> 4 является неравенством вида ax > b. В нём роль переменной a играет число 2, роль переменной b (границы неравенства) играет число 4.

    Неравенство 2> 4 можно сделать ещё проще. Если мы разделим обе его части на 2, то получим неравенство > 2

    Получившееся неравенство > 2 также является неравенством вида ax > b, то есть линейным неравенством с одной переменной. В этом неравенстве роль переменной a играет единица. Ранее мы говорили, что коэффициент 1 не записывают. Роль переменной b играет число 2.

    Отталкиваясь от этих сведений, попробуем решить несколько простых неравенств. В ходе решения мы будем выполнять элементарные тождественные преобразования с целью получить неравенство вида ax > b

    Пример 1. Решить неравенство − 7 < 0

    Прибавим к обеим частям неравенства число 7

    − 7 + 7 < 0 + 7

    В левой части останется x, а правая часть станет равна 7

    < 7

    Путём элементарных преобразований мы привели неравенство − 7 < 0 к равносильному неравенству < 7. Решениями неравенства < 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

    Когда неравенство приведено к виду x < a (или x > a), его можно считать уже решённым. Наше неравенство − 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду < 7. Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

    Запишем ответ с помощью числового промежутка. В данном случае ответом будет открытый числовой луч (вспоминаем, что числовой луч задаётся неравенством x < a и обозначается как ( −∞ ; a)

    x ∈  ( −∞ ; 7 )

    На координатной прямой граница 7 будет изображаться в виде пустого кружка, а вся область, находящаяся слева от границы, будет выделена штрихами:

    Для проверки возьмём любое число из промежутка ( −∞ ; 7 ) и подставим его в неравенство < 7 вместо переменной x. Возьмём, например, число 2

    2 < 7

    Получилось верное числовое неравенство, значит и решение верное. Возьмём ещё какое-нибудь число, например, число 4

    4 < 7

    Получилось верное числовое неравенство. Значит решение верное.

    А поскольку неравенство < 7 равносильно исходному неравенству x − 7 < 0, то решения неравенства < 7 будут совпадать с решениями неравенства x − 7 < 0. Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x − 7 < 0

    2 − 7 < 0

    −5 < 0 — Верное неравенство

    4 − 7 < 0

    −3 < 0 Верное неравенство


    Пример 2. Решить неравенство −4x < −16

    Разделим обе части неравенства на −4. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

    Мы привели неравенство −4x < −16 к равносильному неравенству > 4. Решениями неравенства > 4 будут все числа, которые больше 4. Граница 4 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

    Изобразим множество решений неравенства > 4 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Пример 3. Решить неравенство 3y + 1 > 1 + 6y

    Перенесём 6y из правой части в левую часть, изменив знак. А 1 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знак:

    3− 6y> 1 − 1

    Приведём подобные слагаемые:

    −3y > 0

    Разделим обе части на −3. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

    Решениями неравенства < 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства < 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Пример 4. Решить неравенство 5(− 1) + 7 ≤ 1 − 3(+ 2)

    Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

    Перенесем −3x из правой части в левую часть, изменив знак. Члены −5 и 7 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знаки:

    Приведем подобные слагаемые:

    Разделим обе части получившегося неравенства на 8

    Решениями неравенства  являются все числа, которые меньше . Граница принадлежит множеству решений, поскольку неравенство  является нестрогим.

    Изобразим множество решений неравенства  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

     


    Пример 5. Решить неравенство 

    Умножим обе части неравенства на 2. Это позволит избавиться от дроби в левой части:

    Теперь перенесем 5 из левой части в правую часть, изменив знак:

    После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 6> 1. Разделим обе части этого неравенства на 6. Тогда получим:

    Решениями неравенства  являются все числа, которые больше . Граница  не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство  является строгим.

    Изобразим множество решений неравенства  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Пример 6. Решить неравенство 

    Умножим обе части на 6

    После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 5< 30. Разделим обе части этого неравенства на 5

    Решениями неравенства < 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является < 6 строгим.

    Изобразим множество решений неравенства < 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Пример 7. Решить неравенство 

    Умножим обе части неравенства на 10

    В получившемся неравенстве раскроем скобки в левой части:

    Перенесем члены без x в правую часть

    Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

    Разделим обе части получившегося неравенства на 10

    Решениями неравенства ≤ 3,5 являются все числа, которые меньше 3,5. Граница 3,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является ≤ 3,5 нестрогим.

    Изобразим множество решений неравенства ≤ 3,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Пример 8. Решить неравенство 4 < 4< 20

    Чтобы решить такое неравенство, нужно переменную x освободить от коэффициента 4. Тогда мы сможем сказать в каком промежутке находится решение данного неравенства.

    Чтобы освободить переменную x от коэффициента, можно разделить член 4x на 4. Но правило в неравенствах таково, что если мы делим член неравенства на какое-нибудь число, то тоже самое надо сделать и с остальными членами, входящими в данное неравенство. В нашем случае на 4 нужно разделить все три члена неравенства 4 < 4< 20

    Решениями неравенства 1 < < 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < < 5 является строгим.

    Изобразим множество решений неравенства 1 < < 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Пример 9. Решить неравенство −1 ≤ −2≤ 0

    Разделим все члены неравенства на −2

    Получили неравенство 0,5 ≥ ≥ 0. Двойное неравенство желательно записывать так, чтобы меньший член располагался слева, а больший справа. Поэтому перепишем наше неравенство следующим образом:

    0 ≤ ≤ 0,5

    Решениями неравенства 0 ≤ ≤ 0,5 являются все числа, которые больше 0 и меньше 0,5. Границы 0 и 0,5 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 0 ≤ ≤ 0,5 является нестрогим.

    Изобразим множество решений неравенства 0 ≤ ≤ 0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Пример 10. Решить неравенство 

    Умножим обе неравенства на 12

    Раскроем скобки в получившемся неравенстве и приведем подобные слагаемые:

    Разделим обе части получившегося неравенства на 2

    Решениями неравенства ≤ −0,5 являются все числа, которые меньше −0,5. Граница −0,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство ≤ −0,5 является нестрогим.

    Изобразим множество решений неравенства ≤ −0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Пример 11. Решить неравенство 

    Умножим все части неравенства на 3

    Теперь из каждой части получившегося неравенства вычтем 6

    Каждую часть получившегося неравенства разделим на −1. Не забываем, что при делении всех частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

    Решениями неравенства 3 ≤ a ≤ 9 являются все числа, которые больше 3 и меньше 9. Границы 3 и 9 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 3 ≤ a ≤ 9 является нестрогим.

    Изобразим множество решений неравенства 3 ≤ a ≤ 9 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Когда решений нет

    Существуют неравенства, которые не имеют решений. Таковым, например, является неравенство 6> 2(3+ 1). В процессе решения этого неравенства мы придём к тому, что знак неравенства > не оправдает своего местоположения. Давайте посмотрим, как это выглядит.

    Раскроем скобки в правой части данного неравенство, получим 6> 6+ 2. Перенесем 6x из правой части в левую часть, изменив знак, получим 6− 6> 2. Приводим подобные слагаемые и получаем неравенство 0 > 2, которое не является верным.

    Для наилучшего понимания, перепишем приведение подобных слагаемых в левой части следующим образом:

    Получили неравенство 0> 2. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль не может быть больше, чем число 2. Значит неравенство 0> 2 не имеет решений.

    А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0> 2, то не имеет решений и исходное неравенство 6> 2(3+ 1).


    Пример 2. Решить неравенство 

    Умножим обе части неравенства на 3

    В получившемся неравенстве перенесем член 12x из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные слагаемые:

    Правая часть получившегося неравенства при любом x будет равна нулю. А ноль не меньше, чем −8. Значит неравенство 0< −8 не имеет решений.

    А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0< −8, то не имеет решений и исходное неравенство .

    Ответ: решений нет.


    Когда решений бесконечно много

    Существуют неравенства, имеющие бесчисленное множество решений. Такие неравенства становятся верными при любом x.

    Пример 1. Решить неравенство 5(3− 9) < 15x

    Раскроем скобки в правой части неравенства:

    Перенесём 15x из правой части в левую часть, изменив знак:

    Приведем подобные слагаемые в левой части:

    Получили неравенство 0x < 45. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль меньше, чем 45. Значит решением неравенства 0x < 45 является любое число.

    А если приведённое равносильное неравенство 0x < 45 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 5(3− 9) < 15x имеет те же решения.

    Ответ можно записать в виде числового промежутка:

    x ∈ ( −∞; +∞ )

    В этом выражении говорится, что решениями неравенства 5(3− 9) < 15x являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности.


    Пример 2. Решить неравенство: 31(2+ 1) − 12> 50x

    Раскроем скобки в левой части неравенства:

    Перенесём 50x из правой части в левую часть, изменив знак. А член 31 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

    Приведём подобные слагаемые:

    Получили неравенство 0x > −31. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль больше, чем −31. Значит решением неравенства 0x < −31 является любое число.

    А если приведённое равносильное неравенство 0x > −31 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 31(2+ 1) − 12> 50x имеет те же решения.

    Запишем ответ в виде числового промежутка:

    x ∈ ( −∞; +∞ )


    Задания для самостоятельного решения

    Задание 1. Решите неравенство:

    Задание 2. Решите неравенство:

    Задание 3. Решите неравенство:

    Задание 4. Решите неравенство:

    Задание 5. Решите неравенство:

    Задание 6. Решите неравенство:

    Задание 7. Решите неравенство:

    Задание 8. Решите неравенство:

    Задание 9. Решите неравенство:

    Задание 10. Решите неравенство:

    Задание 11. Решите неравенство:

    Задание 12. Решите неравенство:


    Понравился урок?
    Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



    Возникло желание поддержать проект?
    Используй кнопку ниже

    Навигация по записям

    Неравенства, решение линейных неравенств, принцип решения неравенств

    Неравенство это выражение с , ≤, или ≥. Например, 3x — 5 Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно.
    Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений. Неравенства, которые имеют то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами.

    Линейные неравенства

    Принципы решения неравенств аналогичны принципам решения уравнений.

    Принципы решения неравенств
    Для любых вещественных чисел a, b, и c:
    Принцип прибавления неравенств: Если a
    Принцип умножения для неравенств: Если a 0 верно, тогда ac
    Если a bc также верно.
    Подобные утверждения также применяются для a ≤ b.

    Когда обе стороны неравенства умножаются на отрицательное число, необходимо полностью изменить знак неравенства.
    Неравенства первого уровня, как в примере 1 (ниже), называются линейными неравенствами.

    Пример 1 Решите каждое из следующих неравенств. Затем изобразите множество решений.
    a) 3x — 5
    b) 13 — 7x ≥ 10x — 4
    Решение

    3x — 5 Используя принцип прибавления для неравенств, прибавляем 2x
    5x — 5 Используя принцип прибавления для неравенств, прибавляем 5
    5x Используя принцип умножения для неравенств, умножаем или делим на 5
    x

    Любое число, меньше чем 11/5, является решением.
    Множество решений есть {x|x

    Чтобы сделать проверку, мы можем нарисовать график y1 = 3x — 5 и y2 = 6 — 2x. Тогда отсюда видно, что для x 1 находится ниже графика y2, или y12.

    13 — 7x ≥ 10x — 4 вычитаем 10x
    13 — 17x ≥ -4 вычитаем 13
    -17x ≥ -17 Делим на 17 и меняем знак неравенства
    x ≤ 1

    Множеством решений есть {x|x ≤ 1}, или (-∞, 1]. График множества решений изображён ниже.

    Двойные неравенства

    Когда два неравенства соединены словом и, или, тогда формируется двойное неравенство.
    Двойное неравенство, как
    -3
    и 2x + 5 ≤ 7
    называется соединённым, потому что в нём использовано и. Запись -3
    Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

    Пример 2 Решите -3
    Решение У нас есть

    Множество решений есть {x| — 4

    Двойное неравенство, как 2x — 5 ≤ -7 или называется разделённым, потому что оно содержит или. В отличие от некоторых соединённых неравенств, оно не может быть сокращено; поэтому, оно не может быть записано без или.

    Пример 3 Решите 2x — 5 ≤ -7 или 2x — 5 > 1. Постройте график множества решений.
    Решение У нас есть

    -3 Вычитаем 5
    -8 Делим на 2
    -4
    2x — 5 ≤ -7 или 2x — 5 > 1. Прибавляем 5
    2x ≤ -2 или 2x > 6 Делим на 2
    x ≤ -1 или x > 3.

    Множество решений {x|x ≤ -1 или x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

    Для проверки, нарисуем y1 = 2x — 5, y2 = -7, и y3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или x > 3}, y1 ≤ y2или y1 > y3.

    Неравенства с абсолютным значением (модулем)

    Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
    Для а > 0 и алгебраического выражения x:
    |x|
    |x| > a эквивалентно x или x > a.
    Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.

    Например,
    |x|
    |y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или y ≥ 1;
    и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

    Пример 4 Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
    a) |3x + 2|
    b) |5 — 2x| ≥ 1

    Решение
    a) |3x + 2|

    -5 Вычитаем 2 -7 Делим на 3 -7/3

    Множеством решением есть {x|-7/3

    b) |5 — 2x| ≥ 1

    |5 — 2x| ≤ -1 или 5 — 2x ≥ 1 Вычитаем 5
    -2x ≤ -6 или -2x ≥ -4 Делим на -2 и меняем знак неравенства
    x ≥ 3 или x ≤ 2

    Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или x ≥ 3}, или (-∞, 2] [3, ∞). График множества решений изображен ниже.

    Использование неравенств

    Пример 5 Планы выплат. За выполнение малярных работ, Эрику может быть выплачена заработная плата одним из двух способов:
    План A: \$250 плюс \$10 в час;
    План B: $20 в час.
    Предположим, что работа занимает n часов. Для каких значений n план B лучше для Эрика?

    Решение

    1. Понимание задачи. Предположим, что работа отнимет 20 часов. Тогда n = 20, и согласно плану A, Эрик заработает \$250 + \$10,20, или \$250 + \$200, или \$450. Его заработок согласно плану B составит \$20,20, или \$400. Это показывает, что план A лучше для Эрика, если он будет работать 20 часов. Подобным образом, если он будет работать 30 часов, тогда n = 30, и согласно плану A, Эрик заработает \$250 + \$10,30, или
    \$250 + \$300, или \$550. При плане B, он заработает \$20,30, или \$600, поэтому план B лучше в этом смысле.
    Чтобы определить все значения n, для которых план B является лучшим для Эрика, составим и решим неравенство.

    2. Составление неравенства. Запишем это в виде неравенства.
    Доход от плана B больше, чем доход от плана A.

    20n > 250 + 10n

    3. Решим неравенство:

    20n > 250 + 10n Вычитаем 10n из двух сторон
    10n > 250 Делим на 10 обе стороны
    n > 25

    4. Проверка. Для n = 25 выплаты согласно плану A составят: \$250 + \$10,25, или \$250 + \$250,
    или \$500, и выплаты согласно плану B составят \$20,25, или \$500. То есть, для работы длительностью менее 25 часов,
    доход одинаков для каждого плана. Согласно плану B выплаты больше для работы, которая занимает больше 30-и часов.
    Так как 30 > 25, это обеспечивает частичную проверку результата, но мы не можем проверить все значения n.
    5. Вывод . Для значений, n больше, чем 25 часов, план B является лучшим.

    Урок математики на тему «Двойное неравенство» (5 класс)

    Дата _____________

    Урок № 9

    Двойное неравенство

    Цель:

    Выявить и осмыслить получение двойных неравенств, их запись и решение.

    Задачи:

    Научиться записывать и решать двойные неравенства

    повысить познавательную активность.

    Развивать внимание, мышление, речь учащихся, умение обобщать, делать выводы.

    Воспитать ответственное отношение к учебе.

    Ход урока

    1. Организационный момент

    2. Актуализация знаний

    Чему мы научились на прошлом уроке?

    Какие правила сравнения чисел мы повторили?

    Как сравнить числа с разным количеством цифр?

    Как сравнить числа с одинаковым количеством цифр?

    1. Постановка проблемы и “открытие” детьми нового знания.

    — Говорят, что математика – это искусство называть разные вещи одним именем. Попробуем и мы.

    А) Слова – короче, легче, меньше в математике обозначают знаком …

    Слова – длиннее, тяжелее, дольше. Обозначают знаком …

    Ставлю знаки в высказывания.

    1.726 км ‹ 2.273 км ‹ 4.400км

    р.Индигирка р.Алдан р.Лена

    — Что же у нас получилось?

    — Чем эти записи отличаются от уже привычных нам неравенств?

    — Как бы вы назвали эти неравенства?

    — А в математике принято называть такие неравенства двойные.

    — Кто может назвать тему нашего урока?

    Запишем число и тему урока «Двойное наравенство».

    1. Первичное закрепление знаний

    1. Отметь на числовом луче множество чисел, которое одновременно больше 3 и меньше 7. Предложи свой вариант записи этого множества с помощью знаков неравенства.

    2. При взвешивании арбуза оказалось, что он тяжелее одной 5-килограммовой гири, но легче двух таких гирь. Обозначив массу арбуза х кг, можно записать:

    Значит, масса арбуза заключена в промежутке от 5 кг до 10 кг. Вместо двух неравенств 5 < х и х < 10 пишут одно двойное неравенство: 5 < х < 10. Его читают так: «х больше пяти и меньше десяти».

    Решениями неравенства 5 < х < 10 являются числа 6, 7, 8 и 9, расположенные между числами 5 и 10:

    3. Прочитай неравенства

    4.Можно ли заменить данные неравенства двойным неравенством? Если да, то запиши подходящее двойное неравенство.

    а) 2 < у и у < 6 ———————

    б) у > 2 и у < 6 ———————-

    в) 2 < у и z < 6 ———————

    г) у < 2 и у < 6 ———————

    5. Запиши двойные неравенства:

    а) t больше 4 и меньше 9 ————————

    б) k больше или равно 5 и меньше 18 ——————————

    в) m больше 10 и меньше или равно 25 ——————————

    г) n больше или равно 6 и меньше или равно 15 —————————-

    6. Отметь на луче множество решений двойного неравенства и запиши его с помощью фигурных скобок.

    7. Напиши двойные неравенства, множество решений которых совпадает с множеством чисел, отмеченных на луче:

    8. Реши уравнения. Что ты замечаешь?

    х + 389 = 2076 х — 1687 = 389 2076 -х = 1687

    Подведение итогов. Рефлексия.

    Д/з

    Запиши двойным неравенством.

    А)2 < у и у < 6

    б) у > 2 и у < 6

    в) 2 < у и z < 6

    г) у < 2 и у < 6

    Отметь на луче множество решений двойного неравенства и запиши его с помощью фигурных скобок

    Замени двойное неравенство двумя неравенствами

    Оценить число в неравенствах

    Для оценки чисел в неравенствах используются различные свойства числовых неравенств. Обычно в таких заданиях даются одно или несколько исходных неравенств, в которых присутствуют переменные. Требуется оценить результат арифметических действий над этими переменными (т. е. получаемые новые числа).

    Например, даны два таких исходных двойных неравенства:

    • –1 < p < 10;
    • 2,5 < q < 3,2.

    Требуется оценить числа, которые получаются в результате следующих действий над переменными:

    • 0,1 × p,
    • 1/q,
    • p + q,
    • q – p,
    • p3.

    При оценке числа 0,1p воспользуемся следующими свойством числовых неравенств:

    • Если a < b и c > 0, то ac < bc. В данном случае c = 0,1.
    • Если a < b и b < c, то a < c. В данном случае b = 0,1p, a = –1 × 0,1, c = 10 × 0,1.

    На основе этих свойств мы можем умножить все части исходного двойного неравенства (не меняя знаки сравнения) на 0,1 и таким образом получить оценку для числа 0,1p:

    –1 × 0,1 < 0,1p < 10 × 0,1
    –0,1 < 0,1p < 1

    То есть, число 0,1p лежит в пределах от –0,1 до 1.

    При оценке числа 1/q следует воспользоваться свойством числовых неравенств, описывающим дроби:

    • Если a < b и оба числа положительны, то 1/a > 1/b.

    Отсюда можно заключить, что в исходном неравенстве следует поменять знаки сравнения на обратные:

    1 / 2,5 > 1/q > 1/3,2

    Запишем неравенство наоборот:

    1/3,2 < 1/q < 1/2,5

    Выполним действия:

    0,3125 < 1/q < 0,4

    Для оценки числа p + q используются такое свойство числовых неравенств:

    • Если a < b, то a + c < b + c. Пусть в данном случае c = q.

    Оба числовых неравенства складываются почленно:

    –1 + 2,5 < p + q < 10 + 3,2
    1,5 < p+q < 13,2

    Число q – p можно представить в виде суммы: –p + q и решить также как выше. Однако по сравнению с предыдущим числом (p + q), здесь p сначала надо умножить на –1. Для выполнения этого действия воспользуемся таким свойством числовых неравенств:

    • Если a < b и c < 0, то ac > bc. В данном случае c = –1.

    Таким образом, из исходного неравенства получается неравенство противоположного смысла, т. е. меняются знаки на обратные:

    –1 × –1 > –1p > –1 × 10

    Перевернем неравенство и выполним действия:

    –10 < –p < 1

    Теперь можно сложить q и –p:

    –10 + 2,5 < q – p < 1 + 3,2
    –7,5 < q – p < 4,2

    Для оценки числа p3 воспользуемся таким свойством:

    • Если n — нечетное число, то для любых чисел a и b если a < b, то и an < bn.

    (–1)3 < p3 < 103
    –1 < p3 < 1000

    Если бы p возводился в квадрат или в любую другую четную степень, то таким свойством мы бы воспользоваться без оглядки на абсолютные значения не могли. Так если бы вместо –1 было число –20, то (–20)2 > 102.

    Сложные неравенства — объяснение и примеры

    Сложные неравенства — это производная форма неравенств, которые очень полезны в математике при работе с диапазоном возможных значений.

    Например, после решения определенного линейного неравенства вы получаете два решения, x> 3 и x <12. Вы можете прочитать это как «3 меньше x, что меньше 12. Теперь вы можете его переписать. в виде 3

    Давайте теперь посмотрим, что такое сложное неравенство.

    Что такое сложное неравенство?

    Есть и другие случаи, когда вы можете использовать неравенство для представления более чем одного ограничивающего значения. В таких ситуациях применяется сложное неравенство.

    Следовательно, мы можем определить составное неравенство как выражение, содержащее два утверждения неравенства, соединенные словами « И » или « ИЛИ. »

    Конъюнкция« и »указывает, что два утверждения верны одновременно.

    С другой стороны, слово « или » подразумевает, что весь составной оператор верен, пока верно одно из утверждений.

    Термин «Или» используется для обозначения комбинации наборов решений для отдельных операторов.

    Как решить сложные неравенства?

    Решение сложных неравенств зависит от того, используются ли слова «и» или «или» для соединения отдельных утверждений.

    Пример 1

    Решите относительно x: 3 x + 2 <14 и 2 x - 5> –11.

    Решение

    Чтобы решить это сложное неравенство, мы начнем с решения каждого уравнения отдельно. А поскольку соединяющим словом является «и», то это означает, что желаемое решение является перекрытием или пересечением.

    3x + 2 <14

    Вычтите 2 и разделите на 3 в обеих частях уравнения.

    3x + 2-2 <14-2

    3x / 3 <12/3

    x <4 А; 2x - 5> -11

    Добавьте 5 к обеим сторонам и разделите все на 2

    2x — 5 + 5> -11 + 5

    2x> -6

    x> -3

    Неравенство x <4 означает все числа слева от 4, а x> –3 означает все числа справа от –3.Следовательно, пересечение этих двух неравенств включает все числа от –3 до 4. Решение этих сложных неравенств, следовательно, x> –3 и x <4

    Пример 2

    Решите 2 + x <5 и -1 <2 + x

    Решение

    Решите каждое неравенство отдельно.

    2 + x <5

    Чтобы выделить переменную из первого уравнения, нам нужно вычесть обе части на 2, что дает;

    х <3.

    Мы снова вычитаем 2 из обеих частей второго уравнения -1 <2 + x.

    -3 <х.

    Следовательно, решение для этого сложного неравенства: x <3 и -3

    Пример 3

    Решить 7> 2x + 5 или 7 <5x - 3

    Решение

    Решите каждое неравенство отдельно:

    Для 7> 2x + 5 мы вычитаем обе части на 5, чтобы получить;

    2> 2х.

    Теперь разделите обе стороны на 2, чтобы получить;

    1> х.

    Для 7 <5x - 3 сложите обе стороны на 3, чтобы получить;

    10 <5x.

    Если разделить каждую сторону на 5, получим;

    2 <х.

    Решение: x <1 или x> 2

    Пример 4

    Решите 3 (2x + 5) ≤18 и 2 (x − 7) <- 6

    Решение

    Решите каждое неравенство отдельно

    3 (2x + 5) ≤ 18 => 6x + 15 ≤ 18

    6x ≤ 3

    x ≤ ½

    И

    2 (x − 7) <- 6 => 2x −14 <- 6

    2x <8

    x <4

    Следовательно, решение: x ≤ ½ и x <4

    Пример 5

    Решить: 5 + x> 7 или x — 3 <5

    Решение

    Решите каждое неравенство отдельно и объедините решения.

    Для 5 + x> 7;

    Вычтем обе части на 5, чтобы получить;

    x> 2

    Решить x — 3 <5;

    Добавьте 3 к обеим сторонам неравенства, чтобы получить;

    x <2 Объединение двух решений со словом «или» дает; X> 2 или x <2

    Пример 6

    Решите для x: –12 ≤ 2 x + 6 ≤ 8.

    Решение

    Когда составное слово написано без связующее слово предполагается как «и».”Следовательно, мы можем перевести x — 12 ≤ 2 x + 6 ≤ 8 в следующее составное предложение:

    –12 ≤ 2 x + 6 и 2 x + 6 ≤ 8.

    Теперь мы можем решить каждое неравенство отдельно.

    Для –12 ≤ 2 x + 6;

    => –18 ≤ 2 x

    –9 ≤ x

    И для 2 x + 6 ≤ 8;

    => 2 x≤ ​​2

    Неравенство –9 ≤ x означает, что все числа справа от –9 включительно и находятся в пределах решения, а x ≤ 1 означает, что все числа слева от 1 включительно находятся в пределах решения.Поэтому решение этого составного неравенства можно записать как {x | x ≥ –9 и x ≤ 1} или {x | –9 ≤ x ≤ 1}

    Пример 7

    Решите для x: 3x — 2> –8 или 2 x + 1 <9.

    Решение

    Для 3x — 2> –8;

    => 3x — 2 + 2> –8 + 2

    => 3x> — 6

    => x> — 2

    Для 2 x + 1 <9; Вычтем 1 из обеих частей уравнения; => 2 х <8.=> x <4. Неравенство x> –2 означает, что решение верно для всех чисел справа от –2, а x <4 означает, что решение верно для всех чисел слева от 4. Решение записывается как;

    {x | x <4 или x > — 2}

    Практические вопросы

    1. Решите сложное неравенство: 2x — 4> 8 или 3x — 1 <-10
    2. Решите: 2x — 8 ≤ 4 и x + 5 ≥ 7.
    3. Решите относительно x: -8 <2 (x + 4) или -3x + 4> x — 4
    4. Перечислите возможные значения x для составного неравенства: x> 3 и x <12
    5. Решить: 6x — 14 <14 или 3x + 10> 13
    6. Решить составное неравенство: -2 <3x -5 ≤ 4
    7. Решить: 3x-4 <-13 или 7x + 1> 22
    8. Решить сложное неравенство 8 + 4x ≤ 0 или 7x + 1 <15

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Устранение сложных неравенств — ChiliMath

    При решении сложных неравенств мы будем иметь дело с двумя общими случаями или типами.

    • Первый случай включает решение двух линейных неравенств, соединенных словом «и». Слово «и» также известно как союз. Решение составного неравенства «и» — это набор всех значений x, которые удовлетворяют обоим из двух неравенств. Другими словами, вам нужен набор решений, который работает с обоими неравенствами. Другой способ сказать, что множество решений составного неравенства «и» — это пересечение , представленное символом \ Large {\ color {red} \ cap} двух неравенств.
    • Что касается второго случая , он включает в себя решение двух линейных неравенств, соединенных словом «или». Решение составного неравенства «или» — это совокупность всех x, которые удовлетворяют одному из двух неравенств или иногда удовлетворяют двум одновременно. Другими словами, вам нужно решение, которое работает хотя бы с одним неравенством. Другой способ сказать, что множество решений составного неравенства «или» — это объединение , представленное символом \ Large {\ color {red} \ cup} двух неравенств.

    Для обоих случаев решения сложных неравенств могут быть выражены в виде графиков на числовой прямой, а также в виде интервальных обозначений.

    Я предлагаю вам сначала изобразить решения двух неравенств на числовой прямой, прежде чем записывать решение составного неравенства в интервальной записи. Имея наглядное представление о том, как два неравенства ведут себя на числовой прямой, гораздо проще написать соответствующее обозначение интервала.

    Мы также рассмотрим некоторые примеры, в которых составное неравенство не имеет решения или бесконечного решения.

    Где-то в наших примерах мы обсудим случай составного неравенства «и», который можно сжать в одно неравенство, состоящее из трех частей: левой, средней и правой. Примером может быть — 1 \ le x \ le 3, который является производным от -1 \ le x и x \ le 3. Записав его в такой форме, это может позволить нам решить составное неравенство намного быстрее.


    Сложное неравенство «И»

    Решите составное неравенство «и», решая каждое из двух неравенств отдельно, затем изучите или рассмотрите их решения вместе.Для случая «и» мы хотим найти все числа или значения, которые могут сделать как , так и два неравенства истинными .

    Пример 1: Решите составное неравенство x — 1> 1 и 27 \ ge 2x — 1. Изобразите решения на числовой прямой. Затем запишите свои решения в интервальной записи.

    ШАГ 1. Решите каждое неравенство.

    • Первое неравенство: x — 1> 1

    Добавьте 1 к обеим сторонам неравенства.

    х — 1> 1

    х — 1 + 1> 1 + 1

    \ color {красный} x> 2

    • Второе неравенство: 27 \ ge 2x — 1

    Сложите обе части неравенства на 1, затем разделите на 2. Наконец, убедитесь, что переменная находится слева. В этом случае, когда вы меняете месторасположение, переменная x будет перемещаться справа налево. Относительная ориентация символа неравенства должна оставаться неизменной, чтобы значение не изменилось. Можно подумать, что «рот» символа неравенства открывается в сторону числа 14.Таким образом, когда вы меняете местами, «пасть» неравенства все еще должна быть направлена ​​в сторону 14.

    27 \ ge 2x — 1

    27 + 1 \ ge 2x — 1 + 1

    8 \ ge 2x

    {\ Large {{{28} \ over 2}}} \ ge {\ Large {{{2x} \ over 2}}}

    14 \ ge x

    \ color {red} x \ le 14

    Решения даются как \ color {red} x> 2 и \ color {red} x \ le 14.

    ШАГ 2. Изобразите решения на числовой прямой.

    Для \ color {red} x> 2 точка 2 не входит в состав решений, поскольку x> 2 означает все числа больше 2.Кроме того, у него нет никаких условий равенства, поэтому мы должны исключить число 2. Итак, мы поставим пустой кружок над 2, чтобы указать, что это не решение. Все решения представляют собой числа больше 2, поэтому мы рисуем стрелку справа от 2.

    Для \ color {red} x \ le 14 мы читаем это как «x меньше или равно 14». Обратите внимание, что существует условие равенства, поэтому число 14 является частью решения, поэтому мы поставим над ним замкнутый кружок. Все числа слева от 14 также являются решениями, поэтому мы нарисуем стрелку, указывающую слева от нее.

    Окончательным решением будет пересечение или перекрытие двух неравенств: \ color {red} x> 2 и \ color {red} x \ le 14. Обратите внимание, что все числа от 2 до 14 пересекаются, поэтому они являются частями. окончательных решений составного неравенства «и». Они также пересекаются под номером 14, поэтому мы добавляем его в набор решений. Однако они не пересекаются в точке 2, поэтому мы опускаем ее как часть решений. Мы только что выяснили полный набор решений данного составного неравенства.

    ШАГ 3. Запишите решения в интервальной записи.

    Обратите внимание, что все числа от 2 до 14 являются частью решений. Кроме того, число 2 исключено, потому что оно состоит из открытого круга , а число 14 включено, поскольку оно покрыто замкнутым кругом . Теперь мы используем закругленную скобку или круглую скобку, если она исключена (2 исключено), и квадратную скобку, если она есть (14 включено).

    \ Large {\ left ({2,14} \ right]}

    Читается как «все числа больше 2, но меньше или равные 14».

    Помните: Этот тип интервала также известен как полузакрытый или полуоткрытый интервал, потому что одна из двух конечных точек включена, а другая нет.


    Пример 2: Решите составное неравенство 2 + 3x> — 10 и 2 \ left ({x — 1} \ right)

    ШАГ 1. Решите каждое неравенство.

    • Первое неравенство: 2 + 3x> — 10

    Вычтем обе части неравенства на 2.Затем разделите обе стороны на 3.

    2 + 3x> — 10

    2–2 + 3x> — 10–2

    3x> — 12

    {\ Large {{{3x} \ over 3}}}> {\ Large {{{- 12} \ over 3}}}

    \ color {красный} x> — \, 4

    • Второе неравенство: 2 \ left ({x — 1} \ right)

    Распределите 2 на бином внутри скобок. Добавьте 2 с обеих сторон неравенства. Затем вычтите обе части на x.

    2 \ влево ({x — 1} \ вправо)

    2x — 2

    2х — 2 + 2 <х + 4 + 2

    2x

    2х — х <х - х + 6

    \ color {красный} x <6

    Решения даются как \ color {red} x> — \, 4 и \ color {red} x <6.

    ШАГ 2. Изобразите набор решений на числовой прямой.

    Строгое неравенство — это тип неравенства, которое либо абсолютно больше числа, x> a, либо абсолютно меньше числа, x

    С другой стороны, символ неравенства x \ ge a, который читается как «x больше или равен a», и символ неравенства x \ le a, который читается как «x меньше или равен a», являются нестрогие неравенства , потому что они имеют условия равенства.

    Неравенство \ color {red} x> — \, 4 является строгим неравенством, поэтому мы поместим пустой кружок над -4, поскольку он не является частью решений, и нарисуем стрелку вправо. Аналогично, \ color {red} x <6 - строгое неравенство, поэтому мы поместим пустой кружок над 6 и нарисуем стрелку влево.

    Окончательный набор решений будет пересечением \ color {red} x> — \, 4 и \ color {red} x <6, которые являются числами от -4 до 6, но исключая конечные точки -4 и 6.

    ШАГ 3. Запишите решения в интервальной записи.

    Мы будем использовать закругленные скобки или круглые скобки с обеих сторон, чтобы обозначить, что обе конечные точки исключены из набора решений.

    \ Large {\ left ({-4,6} \ right)}

    Читается как «все числа больше -4, но меньше 6».

    Помните: Этот тип интервала также известен как открытый интервал , потому что две конечные точки исключены из набора решений.То есть они НЕ являются частью решений.


    Пример 3: Решите составное неравенство 5 — 3 \ left ({x — 2} \ right) \ le x — \ left ({- 2x + 13} \ right) и 5 ​​- \ left ({x + 1} \ right) \ le 2 \ left ({7 — x} \ right) + 1. Постройте график множества решений, а затем запишите его решения в обозначениях интервалов.

    ШАГ 1: Решите каждое неравенство.

    • Первое неравенство: 5-3 \ left ({x — 2} \ right) \ le x — \ left ({- 2x + 13} \ right)

    Избавьтесь от скобок с каждой стороны неравенства, используя Дистрибутивное свойство умножения над сложением.Складываем 5 и 6 слева. Вычтите обе стороны на 11. Вычтите обе стороны на 3x. Чтобы решить x, разделите обе части на -6. Поскольку мы делим каждую сторону на отрицательное число, мы изменим направление неравенства. То есть от «меньше или равно» до «больше или равно».

    5 — 3 \ влево ({x — 2} \ right) \ le x — \ left ({- 2x + 13} \ right)

    5 — 3x + 6 \ le x + 2x — 13

    — 3x + 11 \ le 3x — 13

    — 3x + 11 — 11 \ le 3x — 13 — 11

    — 3x \ le 3x — 24

    — 3x -3x \ le 3x — 3x + 24

    — 6x \ le-24

    {\ Large {{{- 6x} \ over {- 6}}}} \ le {\ Large {{{- 24} \ over {- 6}}}}

    \ color {красный} x \ ge 4

    • Второе неравенство: 5 — \ left ({x + 1} \ right) \ le 2 \ left ({7 — x} \ right) + 1

    Удалите скобки, используя свойство распределения умножения над сложением.Вычтем 5 на 1 слева. Вычтем 4 из обеих частей неравенства. Затем прибавьте 2 раза к обеим сторонам, чтобы закончить.

    5 — \ left ({x + 1} \ right) \ le 2 \ left ({7 — x} \ right) + 1

    5 — х — 1 \ le 14 — 2x + 1

    4 — х \ ле 15 — 2х

    4 — 4 — х \ ле 15 — 4 — 2х

    — х \ ле 11 — 2х

    — х + 2x \ le 11 — 2x + 2x

    \ color {красный} x \ le 11

    Решения даются \ color {red} x \ ge 4 и \ color {red} x \ le 11.

    ШАГ 2. Изобразите набор решений на числовой прямой.

    Для \ color {red} x \ ge 4 закрасим кружок над 4, чтобы показать, что он включен в решения, потому что неравенство имеет условие равенства, то есть «больше или равно». Стрелка указывает вправо от 4, потому что у нее есть компонент «больше чем».

    Для \ color {red} x \ le 11 мы также закрасим кружок над 11, чтобы указать, что он является частью набора решений, поскольку неравенство имеет условие равенства, то есть «меньше или равно» .Стрелка указывает слева от 11, потому что здесь меньше чем.

    Что касается окончательного набора решений, мы находим все точки пересечения двух неравенств. Очевидно, они пересекаются между 4 и 11. Более того, они также перекрываются в конечных точках. Следовательно, окончательный набор решений содержит все точки между конечными точками 4 и 11, включая конечные точки.

    ШАГ 3. Запишите набор решений в интервальной записи.

    Мы будем использовать квадратные скобки с обеих сторон, чтобы обозначить, что обе конечные точки включены в набор решений.

    \ Large {\ left [{4,11} \ right]}

    Читается как «все числа больше или равные 4, но меньше или равные 11».

    Помните: Этот тип интервала также известен как закрытый интервал , потому что две конечные точки включены в набор решений. То есть они являются частью решений.


    Пример 4: Решите составное неравенство 3x — 2 \ left ({1 — x} \ right)

    ШАГ 1. Решите каждое неравенство.

    • Первое неравенство: 3x — 2 \ left ({1 — x} \ right)

    Распределите -2 на бином 1-x в левой части неравенства, чтобы удалить скобки. Добавьте также 3x и 2x с левой стороны. Добавьте 2 к обеим сторонам неравенства. Вычтите x с обеих сторон. Наконец, разделите обе части неравенства на 4.

    3x — 2 \ влево ({1 — x} \ вправо)

    3x — 2 + 2x

    5x — 2

    5x — 2 + 2

    5x

    5х — х <х - х - 4

    4x <- 4

    {\ Large {{{4x} \ over 4}}} <{\ Large {{{- 4} \ over 4}}}

    \ color {красный} x <- 1

    • Второе неравенство: 10 — x

    Вычтем обе части неравенства на 10.Затем вычтите его с обеих сторон на x. Наконец, разделите каждую сторону на -2. Поскольку мы делим на отрицательное число, мы должны перевернуть или изменить направление символа неравенства. В этом случае от меньше чем до больше чем.

    10 — х <х + 2

    10–10 — х <х + 2–10

    — х <х - 8

    — х — х <х - х - 8

    — 2x <- 8

    {\ Large {{{- 2x} \ over {- 2}}}}> {\ Large {{{- 8} \ over {- 2}}}}

    \ color {красный} x> 4

    Обратите внимание, что решения двух неравенств \ color {red} x <- 1 и \ color {red} x> 4 не пересекаются, и, следовательно, составное неравенство не имеет решения .

    Более очевидно, что они не пересекаются, если мы посмотрим на их графики на числовой прямой.


    Пример 5: Решите составное неравенство — 5 <3x + 7 \ le 22. Изобразите набор решений, затем запишите его решения в обозначении интервала.

    Это гибридно выглядящее неравенство, состоящее из двух символов неравенства и трех частей, на самом деле является комбинацией двух неравенств, соединенных соединением «И».

    Мы можем разделить это составное неравенство на два неравенства с помощью соединителя «И», а затем решить их как обычно.Вот как это выглядит, если разложить составное неравенство на два более простых неравенства.

    Однако нет необходимости разделять его на два неравенства. Мы можем решить сложное неравенство в его нынешнем виде. На самом деле мне нравится такой, как есть, потому что его намного проще решить.

    Цель состоит в том, чтобы изолировать переменную средней части. Чтобы все было сбалансировано, что бы мы ни делали в средней части, мы должны делать то же самое и с левой, и с правой стороны. Когда все будет сделано правильно, ответ должен получиться красиво!

    Ну вот.Давайте разберемся!

    ШАГ 1: Решите сложное неравенство.

    Чтобы найти x, мы вычитаем среднее значение на 7, что означает, что мы должны проделать то же самое с левой и правой частью составного неравенства. Наконец, чтобы изолировать x, мы делим середину на 3, что мы сделаем так же слева и справа.

    — 5 <3x + 7 \ le 22

    — 5 {\ color {red} — 7} <3x + 7 {\ color {red} - 7} \ le 22 {\ color {red} - 7}

    — 12 <3x \ le 15

    {\ Large {{{- 15} \ over {\ color {red} 3}}}} <{\ Large {{{3x} \ over {\ color {red} 3}}}} \ le {\ Large {{{15} \ over {\ color {red} 3}}}}

    — 4

    Решения даются — 4

    ШАГ 2. Изобразите набор решений на числовой прямой.

    ШАГ 3. Запишите решения в интервальной записи.

    \ Large {\ left ({-4,5} \ right]}

    Читается как «все числа больше -4, но меньше или равные 5».


    Сложные неравенства OR

    Решите составное неравенство «или», решая каждое из двух неравенств отдельно. Для случая «или» мы хотим найти все числа, которые могут сделать по крайней мере одно из двух неравенств, чтобы быть истинным .

    Пример 6: Решите составное неравенство 2x — 5> 3x + 2 или x — 1 <2x - 5. Изобразите решения на числовой прямой. Затем запишите свои решения в интервальной записи.

    ШАГ 1. Решите каждое неравенство.

    Добавьте 5 к обеим сторонам неравенства. Затем вычтите 3 раза с обеих сторон. Наконец, разделите -1 на обе стороны. Не забудьте перевернуть символ неравенства, потому что мы разделили число на отрицательное.

    • Первое неравенство: 2x — 5> 3x + 2

    2x — 5> 3x + 2

    2x — 5 + 5> 3x + 2 + 5

    2x> 3x + 7

    2x — 3x> 3x — 3x + 7

    -x> 7

    {\ Large {{{- x} \ over {- 1}}}} <{\ Large {{7 \ over {- 1}}}}

    \ color {красный} x <- 7

    • Второе неравенство: x — 1 <2x - 5

    Складываем обе стороны на 1.Затем вычтите 2x в обе стороны. Разделите обе части неравенства на -1, изменив направление символа неравенства.

    х — 1 <2х - 5

    х — 1 + 1 <2х - 5 + 1

    x <2x - 4

    x — 2x <2x - 2x - 4

    — х <- 4

    {\ Large {{{- x} \ over {- 1}}}}> {\ Large {{4 \ over {- 1}}}}

    \ color {красный} x> 4

    Решения даются как \ color {red} x <- 7 или \ color {red} x> 4.

    ШАГ 2. Изобразите набор решений на числовой прямой.

    ШАГ 3. Запишите решения в интервальной записи.

    \ left ({- \ infty, 7} \ right) \ cup \ left ({4, \ infty} \ right)

    Читается как «все числа меньше отрицательного 7 или все числа больше 4».


    Пример 7: Решите составное неравенство 2 \ left ({x + 1} \ right) \ le x — 2 или 3 \ left ({x — 1} \ right) \ le 4x — 3. Постройте график решений. в числовой строке.Затем запишите свои решения в интервальной записи.

    ШАГ 1. Решите каждое неравенство.

    • Первое неравенство: 2 \ left ({x + 1} \ right) \ le x — 2

    Разложите 2 на количество (x + 1). Вычтем 2 из обеих частей неравенства. Наконец, вычтите x с обеих сторон, чтобы получить окончательное решение.

    • Второе неравенство: 3 \ left ({x — 1} \ right) \ le 4x — 3

    Распределите 3 на количество (x-1). Затем прибавьте 3 к обеим сторонам неравенства.Затем вычтите стороны в 4 раза. Наконец, разделите обе стороны на -1. Не забудьте изменить направление неравенства с «меньше или равно» на «больше или равно».

    Решения даются как \ color {red} x \ le — 4 или \ color {red} x \ ge 0.

    ШАГ 2. Изобразите набор решений на числовой прямой.

    ШАГ 3. Запишите решения в интервальной записи.

    \ left ({- \ infty, — 4} \ right) \ cup \ left ({0, \ infty} \ right)

    Читается как «все числа меньше или равные -4 или все числа больше или равные 0».


    Пример 8: Решите составное неравенство 2 \ left ({x + 1} \ right) — 3 \ left ({x + 1} \ right) <0 или 4x + 3 \ ge 15 + 6x. Изобразите набор решений на числовой прямой. Затем запишите набор решений в обозначении интервалов.

    ШАГ 1. Решите каждое неравенство.

    • Первое неравенство: 2 \ left ({x + 1} \ right) — 3 \ left ({x + 1} \ right) <0

    Дважды примените распределительное свойство умножения над сложением слева от неравенства .Объедините похожие термины. Добавьте по 1 с обеих сторон. Наконец, разделите обе части неравенства на -1. Не забудьте поменять направление открытия символа неравенства, так как мы разделили на отрицательное число.

    • Второе неравенство: 4x + 3 \ ge 15 + 6x

    Вычтите 3 с обеих сторон с последующим вычитанием 6x. Разделите каждую сторону на -2, затем измените направление неравенства.

    Решения даются как \ color {red} x> — 1 или \ color {red} x \ le — 6.

    ШАГ 2. Изобразите набор решений на числовой прямой.

    ШАГ 3. Запишите решения в интервальной записи.

    \ left ({- \ infty, — 6} \ right] \ cup \ left ({- 1, \ infty} \ right)

    Читается как «все числа меньше или равные -6 или все числа больше или равные -1».


    Пример 9: Решите составное неравенство 0 <3 - \ left ({x + 4} \ right) или 2 <1 - \ left ({x - 2} \ right).Изобразите набор решений на числовой прямой. Затем запишите набор решений в обозначении интервалов.

    ШАГ 1. Решите каждое неравенство.

    • Первое неравенство: 0 <3 - \ left ({x + 4} \ right)

    Примените свойство распределения к правой части неравенства, затем добавьте x к обеим сторонам неравенства.

    • Второе неравенство: 2 <1 - \ left ({x - 2} \ right)

    Примените свойство распределения с правой стороны, затем добавьте x к обеим сторонам неравенства.Наконец, вычтите 2 с обеих сторон, чтобы получить окончательный ответ.

    Решения даются как \ color {red} x <- 1 или \ color {red} x <1.

    ШАГ 2. Изобразите набор решений на числовой прямой.

    ШАГ 3. Запишите решения в интервальной записи.

    \ влево ({- \ infty, 1} \ вправо)

    Читается как «все числа меньше 1».


    Пример 10: Решите составное неравенство 10x — 8 <7x + 7 или 3x - 2 \ left ({2 - x} \ right) \ ge 1.Изобразите набор решений на числовой прямой. Затем запишите набор решений в обозначении интервалов.

    ШАГ 1. Решите каждое неравенство.

    • Первое неравенство: 10x — 8 <7x + 7

    Добавьте 8 к обеим сторонам. Затем вычтите 7x с обеих сторон. Наконец, разделите обе стороны на положительное число 3.

    • Второе неравенство: 3x — 2 \ left ({2 — x} \ right) \ ge 1

    Примените свойство распределения к левой части. Объедините похожие термины.Добавьте по 4 штуки с обеих сторон. Наконец, разделите положительное число 5 на обе стороны.

    Решения даются как \ color {red} x <5 или \ color {red} x \ ge 1.

    ШАГ 2. Изобразите набор решений на числовой прямой.

    ШАГ 3. Запишите решения в интервальной записи.

    \ влево ({- \ infty, \ infty} \ вправо)

    Читается как «все действительные числа».


    Возможно, вас заинтересует:

    Решение линейных неравенств

    Устранение неравенств

    Иногда нам нужно решить такие неравенства:

    Обозначение

    слов

    Пример

    >

    больше

    х + 3 > 2

    <

    менее

    7x < 28

    больше или равно

    5 x — 1

    меньше или равно

    2 года + 1 7

    Решение

    Наша цель — иметь x (или другую переменную) отдельно слева от знака неравенства:

    Что-то вроде: х <5
    или: г ≥ 11

    Мы называем это «решенным».

    Пример: x + 2> 12

    Вычтем 2 с обеих сторон:

    х + 2 — 2> 12 — 2

    Упростить:

    х> 10

    Решено!

    Как решить

    Решение неравенств очень похоже на решение уравнений … мы делаем почти то же самое …

    … но мы также должны обратить внимание на направление неравенства .

    Направление: куда «указывает» стрелка

    Некоторые вещи могут изменить направление !

    <становится>

    > становится <

    ≤ становится ≥

    ≥ становится ≤

    Безопасные дела

    Эти вещи не влияют на направление неравенства:

    • Сложить (или вычесть) число с обеих сторон
    • Умножьте (или разделите) обе стороны на положительное число
    • Упростить сторону

    Пример: 3x

    <7 + 3

    Мы можем упростить 7 + 3, не влияя на неравенство:

    3x <10

    Но эти вещи действительно изменяют направление неравенства (например, «<» становится «>»):

    Пример: 2y + 7

    <12

    Когда мы меняем местами левую и правую части, мы также должны изменить направление неравенства :

    12 > 2 года + 7

    Вот подробности:

    Сложение или вычитание значения

    Часто мы можем решить неравенства, добавляя (или вычитая) число с обеих сторон (точно так же, как во Введении в алгебру), например:

    Пример: x + 3

    <7

    Если вычесть 3 с обеих сторон, получим:

    х + 3 — 3 <7 — 3

    х <4

    И вот наше решение: x <4

    Другими словами, x может быть любым значением меньше 4.

    Что мы сделали?

    Мы пошли от этого:

    Кому:

    х + 3 <7

    х <4

    И это хорошо работает для , прибавляя и вычитая , потому что, если мы прибавляем (или вычитаем) одинаковую сумму с обеих сторон, это не влияет на неравенство

    Пример: У Алекса больше монет, чем у Билли.Если и Алекс, и Билли получат по три монеты больше, у Алекс все равно будет больше монет, чем у Билли.

    Что, если я решу, но «x» справа?

    Неважно, просто поменяйте местами стороны, но поменяет местами знак , чтобы он все еще «указывал» на правильное значение!

    Пример: 12

    Если вычесть 5 с обеих сторон, получим:

    12 — 5 — 5

    7 <х

    Вот и решение!

    Но ставить «x» слева — это нормально…

    … так давайте обратим внимание (и знак неравенства!):

    x> 7

    Вы видите, как знак неравенства все еще «указывает» на меньшее значение (7)?

    И вот наше решение: x> 7

    Примечание: «x» может быть справа, но людям обычно нравится видеть его слева.

    Умножение или деление на значение

    Также мы умножаем или делим обе части на значение (как в алгебре — умножение).

    Но нам нужно быть немного осторожнее (как вы увидите).

    Положительные значения

    Все нормально, если мы хотим умножить или разделить на положительное число :

    Пример: 3y

    <15

    Если разделить обе стороны на 3, получим:

    3 года /3 <15 /3

    г <5

    И вот наше решение: y <5

    Отрицательные значения

    Когда мы умножаем или делим на отрицательное число
    , мы должны отменить неравенство.

    Почему?

    Ну вы посмотрите на числовую строку!

    Например, от 3 до 7 это увеличение ,
    , но от -3 до -7 это уменьшение.

    −7 <−3 7> 3

    Видите, как меняет знак неравенства (с <на>)?

    Давайте попробуем пример:

    Пример: −2y

    <−8

    Разделим обе части на −2… и отменяют неравенство !

    −2y <−8

    −2y / −2 > −8 / −2

    г> 4

    И это правильное решение: y> 4

    (Обратите внимание, что я перевернул неравенство в той же строке , которую я разделил на отрицательное число.)

    Итак, запомните:

    При умножении или делении на отрицательное число отменяет неравенство

    Умножение или деление на переменные

    Вот еще один (хитрый!) Пример:

    Пример: bx

    <3b

    Кажется легко просто разделить обе стороны на b , что дает нам:

    х <3

    … но подождите … если b отрицательное значение , нам нужно изменить неравенство следующим образом:

    x> 3

    Но мы не знаем, положительное или отрицательное значение b, поэтому мы не можем ответить на этот вопрос !

    Чтобы помочь вам понять, представьте, что замените b на 1 или −1 в примере bx <3b :

    • , если b равно 1 , то ответ будет x <3
    • , но если b равно −1 , то мы решаем −x <−3 , и ответ будет x> 3

    Ответом может быть x <3 или x> 3 , и мы не можем выбрать, потому что не знаем b .

    Так:

    Не пытайтесь делить на переменную, чтобы решить неравенство (если вы не знаете, что переменная всегда положительна или всегда отрицательна).

    Пример побольше

    Пример:

    x − 3 2 <−5

    Во-первых, давайте очистим «/ 2», умножив обе стороны на 2.

    Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не изменятся.

    x − 3 2 × 2 <−5 × 2

    х − 3 <−10

    Теперь прибавьте 3 к обеим сторонам:

    х − 3 + 3 <−10 + 3

    х <−7

    И вот наше решение: x <−7

    Два неравенства сразу!

    Как решить задачу с двумя неравенствами сразу?

    Пример:

    −2 < 6−2x 3 <4

    Во-первых, давайте очистим «/ 3», умножив каждую часть на 3.

    Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не меняются:

    −6 <6−2x <12

    Теперь вычтите 6 из каждой части:

    −12 <−2x <6

    Теперь разделите каждую часть на 2 (положительное число, чтобы неравенства снова не изменились):

    −6 <−x <3

    Теперь умножьте каждую часть на -1. Поскольку мы умножаем на отрицательное число , неравенства меняют направление .

    6> х> −3

    И это решение!

    Но для наглядности лучше иметь меньшее число слева, большее — справа. Так что давайте поменяем их местами (и убедимся, что неравенства указывают правильно):

    −3 <х <6

    Сводка

    • Многие простые неравенства могут быть решены путем сложения, вычитания, умножения или деления обеих сторон, пока не останется переменная сама по себе.
    • Но эти вещи изменят направление неравенства:
      • Умножение или деление обеих сторон на отрицательное число
      • Замена левой и правой сторон
    • Не умножайте и не делите на переменную (если вы не знаете, что она всегда положительна или всегда отрицательна)

    Решайте неравенства с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

    В главе 2 мы установили правила решения уравнений с использованием чисел арифметики.Теперь, когда мы изучили операции с числами со знаком, мы будем использовать те же правила для решения уравнений, содержащих отрицательные числа. Мы также изучим методы решения и построения графиков неравенств с одним неизвестным.

    РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЗАПИСАННЫМИ ЧИСЛАМИ

    ЗАДАЧИ

    По завершении этого раздела вы сможете решать уравнения, содержащие числа со знаком.

    Пример 1 Решите относительно x и проверьте: x + 5 = 3

    Решение

    Используя те же процедуры, что и в главе 2, мы вычитаем 5 из каждой части уравнения, получая

    Пример 2 Решите относительно x и проверьте: — 3x = 12

    Решение

    Разделив каждую сторону на -3, получаем

    Всегда проверяйте исходное уравнение.
    Другой способ решения уравнения
    3x — 4 = 7x + 8
    — сначала вычесть 3x из обеих частей, получив
    -4 = 4x + 8,
    , затем вычесть 8 из обеих сторон и получить
    -12 = 4x .
    Теперь разделите обе стороны на 4, получив
    — 3 = x или x = — 3.
    Сначала удалите круглые скобки. Затем следуйте процедуре, описанной в главе 2.

    ЛИТЕРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

    ЗАДАЧИ

    По завершении этого раздела вы сможете:

    1. Определите буквальное уравнение.
    2. Примените ранее изученные правила для решения буквальных уравнений.

    Уравнение, состоящее из нескольких букв, иногда называют буквальным уравнением . Иногда бывает необходимо решить такое уравнение для одной из букв через другие. Пошаговая процедура, описанная и использованная в главе 2, остается действительной после удаления любых символов группировки.

    Пример 1 Решите относительно c: 3 (x + c) — 4y = 2x — 5c

    Решение

    Сначала удалите скобки.

    Здесь мы отмечаем, что, поскольку мы решаем для c, мы хотим получить c с одной стороны и все другие члены с другой стороны уравнения. Таким образом, получаем

    Помните, abx — это то же самое, что 1abx.
    Делим на коэффициент при x, который в данном случае равен ab.
    Решите уравнение 2x + 2y — 9x + 9a, сначала вычтя 2.v из обеих частей. Сравните полученное решение с полученным в примере.

    Иногда форму ответа можно изменить. В этом примере мы могли бы умножить числитель и знаменатель ответа на (- l) (это не меняет значения ответа) и получить

    Преимущество этого последнего выражения перед первым в том, что в ответе не так много отрицательных знаков.

    Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число — это использование фундаментального принципа дробей.

    Наиболее часто используемые буквальные выражения — это формулы из геометрии, физики, бизнеса, электроники и т. Д.

    Пример 4 — формула площади трапеции. Решите для c.

    Трапеция имеет две параллельные стороны и две непараллельные стороны. Параллельные стороны называются основаниями.
    Удаление скобок не означает их простое стирание. Мы должны умножить каждый член в круглых скобках на множитель, стоящий перед скобками.
    Изменять форму ответа не обязательно, но вы должны уметь распознавать правильный ответ, даже если форма не та.

    Пример 5 — это формула, дающая проценты (I), полученные за период D дней, когда известны основная сумма (p) и годовая ставка (r). Найдите годовую ставку, когда известны сумма процентов, основная сумма и количество дней.

    Решение

    Задача требует решения для р.

    Обратите внимание, что в этом примере r оставлено с правой стороны, и поэтому вычисление было проще. При желании мы можем переписать ответ по-другому.

    ГРАФИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

    ЗАДАЧИ

    По завершении этого раздела вы сможете:

    1. Используйте символ неравенства для обозначения относительного положения двух чисел на числовой прямой.
    2. График неравенств на числовой прямой.

    Мы уже обсуждали набор из рациональных чисел как тех, которые могут быть выражены как отношение двух целых чисел.Существует также набор чисел, называемых иррациональными числами , , которые нельзя выразить как отношение целых чисел. В этот набор входят такие числа как и так далее. Набор, состоящий из рациональных и иррациональных чисел, называется действительными числами.

    Учитывая любые два действительных числа a и b, всегда можно заявить, что Часто нас интересует только то, равны ли два числа или нет, но бывают ситуации, когда мы также хотим представить относительный размер чисел, которые не равны. равный.

    Символы представляют собой символа неравенства или отношения порядка и используются для отображения относительных размеров значений двух чисел. Обычно мы читаем этот символ как «больше чем». Например, a> b читается как «a больше, чем b». Обратите внимание, что мы заявили, что обычно читаем

    Какое положительное число можно добавить к 2, чтобы получить 5?

    Проще говоря, это определение утверждает, что a меньше b, если мы должны что-то добавить к a, чтобы получить b.Конечно, «что-то» должно быть положительным.

    Если вы думаете о числовой прямой, вы знаете, что добавление положительного числа равносильно перемещению вправо по числовой прямой. Это приводит к следующему альтернативному определению, которое может быть легче визуализировать.

    Пример 1 3

    Мы также можем написать 6> 3.

    Пример 2 — 4

    Мы также можем написать 0> — 4.

    Пример 3 4> — 2, потому что 4 находится справа от -2 в числовой строке.

    Пример 4 — 6

    Математическое утверждение x

    Вы понимаете, почему невозможно найти наибольшее число меньше трех?

    На самом деле назвать число x, которое является наибольшим числом меньше 3, — задача невыполнимая. Однако это может быть указано в числовой строке.Для этого нам нужен символ, обозначающий значение такого оператора, как x

    Символы (и), используемые в числовой строке, указывают на то, что конечная точка не включена в набор.

    Пример 5 График x

    Решение

    Обратите внимание, что на графике есть стрелка, указывающая, что линия продолжается без конца влево.

    На этом графике представлено каждое действительное число меньше 3.

    Пример 6 График x> 4 на числовой прямой.

    Решение

    На этом графике представлены все действительные числа больше 4.

    Пример 7 График x> -5 на числовой прямой.

    Решение

    На этом графике представлены все действительные числа больше -5.

    Пример 8 Постройте числовой график, показывающий, что x> — 1 и x

    Решение

    Утверждение x> — 1 и x

    На этом графике представлены все действительные числа от -1 до 5.

    Пример 9 График — 3

    Решение

    Если мы хотим включить конечную точку в набор, мы используем другой символ:. Мы читаем эти символы как «равно или меньше» и «равно или больше».

    Пример 10 x>; 4 обозначает число 4 и все действительные числа справа от 4 в числовой строке.

    Символы [и], используемые в числовой строке, указывают, что конечная точка включена в набор.

    Вы обнаружите, что такое использование круглых и квадратных скобок согласуется с их использованием в будущих курсах математики.
    На этом графике представлено число 1 и все действительные числа больше 1.
    На этом графике представлено число 1 и все действительные числа, меньшие или равные — 3.

    Пример 13 Напишите алгебраическое утверждение, представленное следующим графиком.

    Пример 14 Напишите алгебраическое утверждение для следующего графа.

    На этом графике представлены все действительные числа от -4 до 5 , включая от -4 до 5.

    Пример 15 Напишите алгебраическое выражение для следующего графика.

    Этот график включает 4, но не -2.

    Пример 16 График на числовой прямой.

    Решение

    В этом примере возникает небольшая проблема. Как мы можем указать на числовой строке? Если мы оценим суть дела, то другой человек может неправильно истолковать это утверждение. Не могли бы вы сказать, представляет ли эта точка или может быть? Поскольку цель графика — пояснить, всегда обозначает конечную точку.

    Граф используется для передачи утверждения. Вы всегда должны называть нулевую точку, чтобы показать направление, а также конечную точку или точки, если быть точным.

    УСТРАНЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ

    ЗАДАЧИ

    По завершении этого раздела вы сможете решать неравенства с одним неизвестным.

    Решения неравенств обычно основаны на тех же основных правилах, что и уравнения. Есть одно исключение, которое мы скоро обнаружим. Однако первое правило аналогично тому, что используется при решении уравнений.

    Если одно и то же количество добавляется к каждой стороне неравенства , результаты будут неравными в том же порядке.

    Пример 1 Если 5

    Пример 2 Если 7

    Мы можем использовать это правило для решения некоторых неравенств.

    Пример 3 Решите относительно x: x + 6

    Решение

    Если мы прибавим -6 к каждой стороне, мы получим

    Изобразив это решение на числовой прямой, получим

    Обратите внимание, что процедура такая же, как и при решении уравнений.

    Теперь мы воспользуемся правилом сложения, чтобы проиллюстрировать важную концепцию, касающуюся умножения или деления неравенств.

    Предположим, что x> a.

    Теперь добавьте — x к обеим сторонам по правилу сложения.

    Помните, добавление одинаковой величины к обеим сторонам неравенства не меняет его направления.

    Теперь добавьте -a с обеих сторон.

    Последний оператор — a> -x можно переписать как — x <-a. Поэтому мы можем сказать: «Если x> a, то — x

    Если неравенство умножается или делится на отрицательное число , результаты будут неравными в порядке , противоположном .

    Например: Если 5> 3, то -5

    Пример 5 Решите относительно x и изобразите решение: -2x> 6

    Решение

    Чтобы получить x в левой части, мы должны разделить каждый член на — 2. Обратите внимание, что, поскольку мы делим на отрицательное число, мы должны изменить направление неравенства.

    Обратите внимание, что как только мы делим на отрицательную величину, мы должны изменить направление неравенства.

    Обратите особое внимание на этот факт. Каждый раз, когда вы делите или умножаете на отрицательное число, вы должны изменять направление символа неравенства. Это единственное различие между решением уравнений и решением неравенств.

    Когда мы умножаем или делим на положительное число, изменений нет. Когда мы умножаем или делим на отрицательное число, направление неравенства меняется. Будьте осторожны — это источник многих ошибок.

    После того, как мы удалили круглые скобки и остались только отдельные члены в выражении, процедура поиска решения почти такая же, как в главе 2.

    Давайте теперь рассмотрим пошаговый метод из главы 2 и отметим разницу при решении неравенств.

    Первый Исключите дроби, умножив все члены на наименьший общий знаменатель всех дробей. (Без изменений, когда мы умножаем на положительное число.)
    Второй Упростите, комбинируя одинаковые члены с каждой стороны неравенства. (Без изменений)
    Третий Сложите или вычтите величины, чтобы получить неизвестное с одной стороны и числа с другой.(Без изменений)
    Четвертый Разделите каждый член неравенства на коэффициент неизвестной. Если коэффициент положительный, неравенство останется прежним. Если коэффициент отрицательный, неравенство будет отменено. (Это важное различие между уравнениями и неравенствами.)

    Единственное возможное отличие — на последнем этапе.
    Что нужно делать при делении на отрицательное число?
    Не забудьте пометить конечную точку.

    РЕЗЮМЕ

    Ключевые слова

    • Литеральное уравнение — это уравнение, состоящее из более чем одной буквы.
    • Символы — это символа неравенства или отношения порядка .
    • a a находится слева от b в строке действительного числа.
    • Двойные символы: указывают, что конечные точки включены в набор решений .

    Процедуры

    • Чтобы решить буквальное уравнение для одной буквы через другие, выполните те же действия, что и в главе 2.
    • Чтобы решить неравенство, используйте следующие шаги:
      Шаг 1 Исключите дроби, умножив все члены на наименьший общий знаменатель всех дробей.
      Шаг 2 Упростите, объединив одинаковые термины с каждой стороны неравенства.
      Шаг 3 Сложите или вычтите величины, чтобы получить неизвестное с одной стороны и числа с другой.
      Шаг 4 Разделите каждый член неравенства на коэффициент неизвестной. Если коэффициент положительный, неравенство останется прежним.Если коэффициент отрицательный, неравенство будет отменено.
      Шаг 5 Проверьте свой ответ.

    Решить сложные неравенства | Начальная алгебра

    Поскольку это неравенство «больше чем», решение можно переписать в соответствии с правилом «больше чем».

    [латекс] \ Displaystyle х + 3 <-4 \, \, \, \, \, \, \, \ text {или} \, \, \, \, \, \, \, x + 3> 4 [/ латекс]

    Решите каждое неравенство.

    [латекс] \ begin {array} {r} x + 3 <-4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x + 3> 4 \\\ подчеркивание {\, \, \, \, — 3 \, \, \, \, \, — 3} \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \ underline {\, \, \, \, \, \, — 3 \, \, — 3} \\ x \, \, \, \, \, \, \, \, \, <- 7 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , x \, \, \, \, \, \, \, \, \,> 1 \\\\ x <-7 \, \, \, \, \, \, \, \ text {или} \ , \, \, \, \, \, x> 1 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

    Проверьте решения в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они работают.Проверьте конечную точку первого связанного уравнения [latex] −7 [/ latex] и конечную точку второго связанного уравнения 1.

    [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \, \, \, \ left | x + 3 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | х + 3 \ вправо |> 4 \\\ влево | -7 + 3 \ right | = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | 1 + 3 \ право | = 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \ влево | -4 \ right | = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \ влево | 4 \ право | = 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 4 = 4 \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 4 = 4 \ конец {array} [/ latex]

    Попробуйте [latex] -10 [/ latex], значение меньше [latex] -7 [/ latex], и 5, значение больше 1, чтобы проверить неравенство.

    [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \, \, \, \, \, \ left | x + 3 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | х + 3 \ вправо |> 4 \\\ влево | -10 + 3 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | 5 + 3 \ right |> 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | -7 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \ влево | 8 \ right |> 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 7> 4 \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 8> 4 \ end {array} [/ latex]

    Оба решения проверяют!

    Ответ

    Неравенство: [латекс] \ displaystyle x <-7 \, \, \, \, \, \ text {or} \, \, \, \, \, x> 1 [/ latex]

    Интервал: [латекс] \ left (- \ infty, -7 \ right) \ cup \ left (1, \ infty \ right) [/ latex]

    График:

    Видео с вопросом: Решение двойных неравенств с переменными с трех сторон

    Стенограмма видео

    Найдите все значения 𝑥, которые удовлетворяют неравенству: минус 20 минус 𝑥 меньше или равно трем 𝑥 плюс два, что меньше 18 минус два.Запишите свой ответ в виде интервала.

    Для начала мы решим эту проблему в двух частях: это первое неравенство слева и второе неравенство справа. Итак, мы можем приступить к решению нашего первого неравенства. Итак, мы получили отрицательные 20 минус 𝑥 меньше или равно трем 𝑥 плюс два. Итак, мы собираемся решить это неравенство, но вспоминая тот же способ, которым мы решали уравнение. Итак, первое, что мы собираемся сделать, это вычесть по два с каждой стороны, что дает нам отрицательное значение 22 минус 𝑥 меньше или равно трем 𝑥.

    Хорошо, теперь наш следующий шаг, мы фактически добавим 𝑥 к каждой стороне, что дает нам отрицательное значение 22, которое меньше или равно четырем 𝑥. Хорошо, теперь мы можем решить это неравенство, потому что нам нужно разделить три на четыре, что даст нам минус 22, а четыре меньше или равно. Чтобы привести это в порядок, мы упростим эту дробь в левой части. Таким образом, мы можем сказать, что отрицательное число 11 из двух меньше или равно. Большой! Итак, это наше первое устраненное неравенство.

    Теперь мы продолжим и решим правую часть, то есть наше второе неравенство.И это второе неравенство говорит нам, что три 𝑥 плюс два меньше 18 минус два. Хорошо, снова решая его так же, как мы решали бы уравнение, поэтому первое, что мы сделаем здесь, на самом деле мы собираемся вычесть два с каждой стороны, что дает нам три 𝑥 меньше, чем 16 минус два 𝑥. Итак, теперь мы добавим по две 𝑥 с каждой стороны. Таким образом, мы получаем пять 𝑥 меньше 16.

    И, наконец, чтобы решить наше неравенство, мы делим обе части на пять, что дает нам, что 𝑥 меньше 16 на пять.Так здорово! Мы устранили оба неравенства. Хорошо, давайте теперь объединим их, чтобы увидеть, какими могут быть наши возможные значения 𝑥.

    Если мы объединим наши решения, мы увидим, что 𝑥 больше или равно минусу 11 по двум и меньше 16 по пяти. Хорошо, давайте покажем, что это на самом деле означает. Итак, если бы мы посмотрели на это на числовой строке, мы могли бы увидеть это так, где на самом деле мы получили заполненную точку над отрицательными 11 над двумя. И это потому, что оно меньше или равно.Кроме того, у нас фактически есть открытый круг, когда нам от 16 до пяти. И это потому, что он просто говорит, что это больше, чем 𝑥.

    Итак, мы решили эту проблему. И мы знаем, в чем будут заключаться наши ценности. Но мы закончили? Ну нет, потому что на самом деле наш вопрос просит нас записать наш ответ в виде интервала. Таким образом, в обозначении интервалов это будет наше решение со скобкой слева. И это потому, что оно меньше или равно. И снова это то же самое, что когда мы показываем в числовой строке.У нас там другие обозначения, и у нас есть закрашенный кружок.

    Но когда мы используем обозначение интервалов, мы фактически используем для этого скобки. А с правой стороны у нас круглые скобки. И мы используем эту скобку с правой стороны, потому что, как мы видим, здесь меньше 16 на пять, не меньше или равно. И снова мы получили там обозначение открытого круга. Итак, мы пришли к окончательному ответу. И это записано как интервал.

    Решение квадратичных неравенств: концепции

    Решение
    Квадратичные неравенства: концепции
    (стр.
    1 из 3)


    Решение линейных неравенств,
    например « x
    + 3> 0 «, было
    довольно просто, если вы не забыли перевернуть неравенство
    знак всякий раз, когда вы умножаете или делите на отрицательное (как вы
    при решении чего-то вроде «2 x
    <4 ").

    Но есть большой скачок,
    между линейными неравенствами и квадратичными неравенствами. Часть прыжка
    тот факт, что концепции, которые были пропущены при обучении решать
    линейные неравенства полезны и даже необходимы при решении квадратных неравенств.
    Итак, давайте сначала рассмотрим линейное неравенство и рассмотрим те концепции, которые
    пропускались ранее.

    • Решить x
      4 <0.
    • Я это уже знаю,
      чтобы решить это неравенство, все, что мне нужно сделать, это добавить 4
      на другую сторону, чтобы получить решение « x
      <4 ". Итак Я уже знаю ответ. Но сейчас подойду к этой проблеме под другим углом, рассмотрев соответствующий график с двумя переменными.

      Для « x
      4 <0 ", связанный линейный график с двумя переменными: y
      = x 4:

      «Неравенство» x
      4 <0 " спрашивает "когда линия y
      = x 4 ниже
      линия y
      = 0? «Поскольку
      линия y
      = 0 — это просто ось x ,
      неравенство, следовательно, спрашивает, «когда линия y
      = x 4 ниже
      ось x ? »
      Первый шаг к ответу на этот вопрос — найти, где находится линия
      пересекает ось x ;
      то есть сначала мне нужно найти перехват x .Итак, я установил y
      равным нулю и решаем:

      Так линия у
      = x 4 крестика
      ось x
      при x
      = 4. Поскольку строка
      y
      = x 4 равно
      прямая линия, она будет выше оси x
      с одной стороны от перехвата и ниже оси x
      по ту сторону перехвата.Авторские права
      Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

      С
      склон
      этой линии м
      = 1 (в частности,
      так как наклон положительный), то линия увеличивается, поэтому
      линия находится под осью слева (до точки пересечения)
      и над осью с правой стороны (после точки пересечения),
      как выделено справа:

      Исходный вопрос
      попросил меня решить x
      4 <0, поэтому мне нужно найти, где линия находится ниже оси x .Это происходит слева от точки перехвата:

      Так как оригинал
      неравенство, x
      4 <0 ", спросил только о значениях x ,
      Я ограничу приведенный выше график только осью x :

      Вспоминая
      графический метод представления решений линейных
      неравенство,
      на приведенном выше графике показано правильное решение « x
      <4
      «.

    То есть, глядя на
    график соответствующей линии и определение где (на оси x )
    графическая линия была ниже оси x ,
    легко увидеть, что решение неравенства « x
    4 <0 "- это неравенство » x
    <4 ". Вы можете следуйте тому же методу поиска точек пересечения и использования графиков для решения неравенства, содержащие квадратичные.


    Рассмотрим квадратичную
    неравенство:

      Сначала мне нужно посмотреть
      в соответствующем уравнении с двумя переменными, y
      = x 2 + 4,
      и рассмотрим, где его график находится ниже оси x .
      Для этого мне нужно знать, где график пересекает ось x .То есть мне сначала нужно найти где x 2
      + 4 равно нулю:

      Это говорит о том, что квадратичная
      пересекает ось x
      при x
      = 2 и при x
      = 2.

      Теперь мне нужно вычислить
      out где (то есть на каких интервалах) график находится под осью.Но это просто! Поскольку это «отрицательная» квадратичная функция, она
      графики
      как перевернутая парабола.

      Другими словами,
      график высокий (над осью) посередине, а низкий (внизу
      ось) на концах:

      Решить оригинал
      неравенство, мне нужно найти интервалы, где график находится ниже
      ось (так что y -значения
      меньше нуля).

      Мои знания о
      графики вместе с нулями, которые я нашел выше, говорят мне, что
      что мне нужны интервалы на обоих концах, а не интервал
      в середине:

      Тогда решение
      ясно:

    Я мог бы умножить
    исходное неравенство через 1,
    давая мне « x 2
    4> 0 «.В
    нули были бы одинаковы: х
    = 2 и x
    = 2. Но эта парабола
    был бы правой стороной вверх, поскольку квадратичный был бы «положительным».
    Это нормально, потому что, умножая на 1,
    Я бы перевернул неравенство, поэтому искал бы где
    квадратичный на больше нуля (то есть там, где парабола
    выше оси ).Поскольку парабола была бы направлена ​​вверх,
    график был бы выше осей на концах; так что решение
    получилось бы таким же, как и раньше: x
    <2 или x
    > 2:

    Верх
    | 1 | 2 | 3
    | Вернуться к указателю Далее
    >>

    Цитируйте эту статью
    как:

    Стапель, Елизавета.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.