Как решать уравнения с параметрами: Уравнения с параметром | LAMPA

2-ta=t2−t и t≥0t\ge 0t≥0.

Содержание

Уравнения с параметром, формулы и примеры

Определение и формулы уравнений с параметром

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнением вида с неизвестными и параметрами называется уравнением с параметрами.

Например.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ


Решить уравнение, содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений этих параметров найти множество всех решений заданного уравнения.

Два уравнения с параметрами называются эквивалентными, если при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.

Для уравнения с параметром особым или контрольным значением параметра называется такое значение, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Линейное уравнение

   

записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где является неизвестной величиной, а — параметры.

Для линейного уравнения (1) особым значением параметра есть значение .

Рассмотрим два случая значения указанного параметра (параметр равен своему особому значению и отличен от него).

Случай 1а. Если , то при любой паре параметров и уравнение (1) имеет единственное решение

   

Случай 2а. Если , то уравнение (1) принимает вид:

   

А тогда значение является особым значением параметра . Поэтому рассмотрим далее два случая этого параметра:

Случай 1b. При уравнение решений не имеет: .

Случай 2b. При уравнение принимает вид

   

Решением последнего является любое действительное число, то есть .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1




Задание Решить уравнение
Решение Определим контрольные значения параметра, то есть такие значения, при которых коэффициент при неизвестной величине обращается в нуль, то есть необходимо найти решение уравнения . Его решениями являются значения и . При полученных значениях параметра деление обеих частей уравнения на коэффициент при неизвестной невозможно. Но если , , то деление возможно.

Для нахождения решения заданного уравнения разобьем множество всех допустимых значений параметра на следующие случаи: 1) ; 2) ; 3) , .


1) При заданное уравнение принимает вид


   


Полученное уравнение решений не имеет (см. случай 1b), поскольку умножение любого числа на нуль в результате дает нуль. Итак, имеем, что .


2) При решаемое уравнение записывается в виде


   


Его решением является любое действительное число (случай 2b): .


3) При , левую и правую часть исходного уравнения можно поделить на коэффициент при неизвестной . В итоге получаем


   


Откуда, после сокращения числителя и знаменателя на , находим корень


   

Ответ Если ,то уравнение решений не имеет; если , то ; если , , то

ПРИМЕР 2




Задание Решить иррациональное уравнение
Решение Для нахождения корней заданного уравнения возведем обе его части в квадрат, а в конце выполним проверку полученных решений, для предотвращения появления сторонних решений. Исходное уравнение запишем в виде:

   


Решаем полученное квадратное уравнение. Его дискриминант:


   


В зависимости от знака дискриминанта, полученное квадратное уравнение может иметь два различных действительных корня, кратный корень или вовсе действительных корней не иметь:


1) :


   


2) :


   


3) .

Сделаем проверку:


1) подставляем в полученное уравнение значения .


Для имеем:


   


   


   


   


Рассмотрим возможные случаи знака подмодульного выражения:


— если . В пересечении с неравенством , для которого получен корень, имеем, что .


В этом случае


   


а равенство принимает вид:


   


Таким образом, является корнем исходного уравнения для .


— если . В пересечении с имеем, что . В этом случае модуль раскрывается со знаком «минус»:


   


равенство записывается в виде:


   


То есть для решений нет.


Для будем иметь:


   


   


   


   


   


   


Левая часть последнего равенства принимает неположительные значения (то есть ), а правая строго положительна: . Поэтому равенство не может быть верным, а, значит, значение не является корнем заданного уравнения.


2) :


   


Получили неверное равенство, значит, значение не является решением исходного уравнения.

Ответ

Уравнения с параметрами. — Математика

Файл к уроку

Решение уравнений с параметрами.

Не так давно 8 класс познакомился с квадратными уравнениями и алгоритмами их решения. Сегодня мы рассмотрим еще один вид уравнений, который часто встречается на олимпиадах и турнирах, и включен в ЕГЭ по профильной математике – это уравнения с параметром. Что такое параметр? Обычно это число, в зависимости от значения которого уравнение, будь оно линейным или квадратным, может иметь корни, а может их не иметь.

Задачи с параметрами считаются сложными ,однако если разобраться досконально, из каких шагов состоит путь к решению уравнения, то параметр уже не кажется такой злобной величиной.

Линейные уравнения с параметрами.

Уравнение вида

где a, b из Rx — переменная, называется уравнением первой степени (линейным уравнением).

Уравнение равносильно уравнению

ax = – b

откуда следует следующее утверждение.

  1. Если a ≠ 0, то уравнение имеет единственное решение x = – b/a;

  2. Если a = 0, b ≠ 0, то множество решений уравнения пусто;

  3. Если a = 0, b = 0, то любое действительное число является решением уравнения.

Решить уравнение с параметром – значит указать решение при всех значениях параметра, то есть фактически решить бесконечное множество уравнений, объединив их в одно по неким схожим зависимостям от параметра.

Пример 1. Решить уравнение: a2x – 1 = x + a.

Пример 2. Решить уравнение с параметром |6 – x| = a.

Решение.

Легко видеть, что здесь a ≥ 0.

По правилу модуля 6 – x = ±a, выразим х:

x = 6 ± a.

Ответ: х = 6 ± a, где a ≥ 0.

Пример 3. Решить уравнение x/a + 1 = а + х относительно переменной х.

Решение.

Если а = 0, то преобразуем уравнение к виду а + х = а2 + ах или (а – 1)х = —а(а – 1). Последнее уравнение при а = 1 имеет вид 0 · x = 0, следовательно, х – любое число.

Если а ≠ 1, то последнее уравнение примет вид х = —а.

Данное решение можно проиллюстрировать на координатной прямой (рис. 1)

Ответ: нет решений при а = 0; х – любое число при а = 1; х = —а при а ≠ 0 и а ≠ 1.

Пример 4. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней:

Графический метод

Рассмотрим еще один способ решения уравнений с параметром – графический. Этот метод применяется достаточно часто.

Пример 5. Сколько корней в зависимости от параметра a имеет уравнение ||x| – 2| = a?

Решение. Для решения графическим методом строим графики функций y = ||x| – 2| и y = a (рис. 2).

На чертеже наглядно видны возможные случаи расположения прямой y = a и количество корней в каждом из них.

Ответ: корней у уравнения не будет, если а a 2 и а = 0; три корня уравнение будет иметь в случае а = 2; четыре корня – при 0 a

Пример 6. При каком а уравнение 2|x| + |x – 1| = a имеет единственный корень?

Решение.

Изобразим графики функций  y = 2|x| + |x – 1| и y = a. Для  y = 2|x| + |x – 1|, раскрыв модули методом промежутков, получим:

      {-3x + 1, при x

y = {x + 1, при  0 ≤ x ≤ 1,

      {3x – 1, при x 1.

На рисунке 3 хорошо видно, что единственный корень уравнение будет иметь только при а = 1.

Ответ: а = 1.

Пример 7. При каких значениях параметра а неравенство имеет решением все действительные числа:

Системы линейных уравнений с параметрами.

– Система имеет единственное решение.

– Система имеет бесконечное множество решений.

– Система не имеет решений.

Пример 8. Для всех значений параметра а решить систему уравнений

Квадратичные уравнения с параметрами.

Решение уравнений второй степени сводится к исследованию поведения квадратного трехчлена, исследованию знака дискриминанта при различных значениях параметра. Часто при решении нам может помочь теорема Виета, когда вопрос стоит о корнях разных знаков, о корнях одного знака.

Квадратное уравнение может не иметь решений (Da=0 или D=0), два решения (D0) или бесконечное множество решений (когда при каком-то значении параметра получаем 0=0).

Пример 9. Решить уравнение в зависимости от параметра а:

Пример 10. При каких значениях корни уравнения положительны?

Пример 11. Найти значения параметра а, при которых среди корней уравнения имеется ровно один отрицательный:

Пример 12. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два различных отрицательных корня:

Пример 13. При каких значениях m корни уравнения 4x² – (3m + 1) x m – 2 = 0 лежат в промежутке между –1 и 2?

Пример 14: Найти все значения параметра а, при которых меньший корень уравнения x² + (a + 1) x + 3 = 0 лежал в интервале (–1; 3)

Квадратные уравнения с параметром | О математике понятно

Задачи с параметрами. Простейшие задачи на квадратный трёхчлен.

        Сегодня мы рассмотрим задачи на квадратный трёхчлен, про который, в зависимости от параметра, надо будет что-то выяснить. Это «что-то» может быть самым разнообразным, насколько только хватит фантазии у составителей задачи. Это самый простой тип задач с параметрами. И, если на ЕГЭ вам попалась такая — считайте, что вам повезло!

        Но, прежде чем приступать к разбору самих задач, ответьте сами себе на такие простые вопросы:

        — Что такое квадратное уравнение, как оно выглядит и как решается?

        — Что такое дискриминант и куда его пристроить?

        — Что такое теорема Виета и где её можно применить?

        Если вы верно отвечаете на эти простые вопросы, то 50% успеха в решении параметрических задач на квадратный трёхчлен вам обеспечены! А остальные 50% — это обычная алгебра и арифметика: раскрытие скобок, приведение подобных, решение уравнений, неравенств и систем и т.д.

        Итак, приступим!

        Для начала рассмотрим совсем безобидную задачку. Для разминки. 🙂

 

        Пример 1

       

        Приступаем к решению. Во-первых, чтобы в будущем не накосячить в коэффициентах, всегда полезно выписать их отдельно. Прямо в столбик. Вот так:      

        a = 1

        b = -(a-1)

        c = a-2

        Да-да! Часть коэффициентов в уравнении (а именно — b и с) зависит от параметра. В этом как раз и состоит вся фишка таких задач. А теперь снова въедливо перечитываем условие. Ключевой зацепкой в формулировке задания являются слова «единственный корень». И когда же квадратное уравнение имеет единственный корень? Подключаем наши теоретические знания о квадратных уравнениях. Только в одном единственном случае — когда его дискриминант равен нулю.

        Так и пишем:

        D = 0

        Осталось составить выражение для дискриминанта и приравнять его к нулю. Поехали!

       

        Теперь надо приравнять наш дискриминант к нулю:

       

       Можно, конечно, решать это квадратное уравнение через дискриминант, а можно немного схитрить. На что у нас похожа левая часть, если как следует присмотреться? Она у нас похожа на квадрат разности (a-3)2!

        Респект внимательным! Верно! Если заменить наше выражение слева на (a-3)2, то уравнение будет решаться в уме!

        (a — 3)2 = 0

        a 3 = 0

        a = 3

        Вот и всё. Это значит, что единственный корень наше квадратное уравнение с параметром будет иметь только в одном единственном случае — когда значение параметра «а» равно тройке.)

        Ответ: 3

 

        Это был разминочный пример. Чтобы общую идею уловить.) Теперь будет задачка посерьёзнее.

 

        Пример 2

        

        Вот такая задачка. Начинаем распутывать.  Первым делом выпишем наше квадратное уравнение:

        0,5x2 — 2x + 3a + 1,5 = 0

        Самым логичным шагом, было бы умножить обе части на 2. Тогда у нас исчезнут дробные коэффициенты и само уравнение станет посимпатичнее. Умножаем:

         

        

        Выписываем в столбик наши коэффициенты a, b, c:

          a = 1

          b = -4

          c = 6a+3

         Видно, что коэффициенты a и b у нас постоянны, а вот свободный член с зависит от параметра «а»! Который может быть каким угодно — положительным, отрицательным, целым, дробным, иррациональным — всяким!

         А теперь, чтобы продвинуться дальше, вновь подключаем наши теоретические познания в области квадратных уравнений и начинаем рассуждать. Примерно так:

         «Для того чтобы сумма кубов корней была меньше 28, эти самые корни, во-первых, должны существовать. Сами по себе. В принципе. А корни у квадратного уравнения существуют, тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицательный. Кроме того, в задании говорится о двух различных корнях. Эта фраза означает, что наш дискриминант обязан быть не просто неотрицательным, а строго положительным

         Если вы рассуждаете таким образом, то вы движетесь правильным курсом! Верно.) Составляем условие положительности для дискриминанта:

          D = (-4)2 — 4·1·(6a+3) = 16-24a-12 = 4-24a

          4-24a > 0

          -24a > -4

          a < 1/6

        Полученное условие говорит нам о том, что два различных корня у нашего уравнения будет не при любых значениях параметра «а», а только при тех, которые меньше одной шестой! Это глобальное требование, которое должно выполняться железно. Неважно, меньше 28 наша сумма кубов корней или больше. Значения параметра «а», большие или равные 1/6, нас заведомо не устроят. Гуд.) Соломки подстелили. Движемся дальше.

        Теперь приступаем к загадочной сумме кубов корней. По условию она у нас должна быть меньше 28. Так и пишем:

         

        Значит, для того чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо совместно рассмотреть два условия:

         

        А дальше начинаем отдельно работать с этой самой суммой кубов. Есть два способа такой работы: первый способ для трудолюбивых и второй способ — для внимательных.

        Способ для трудолюбивых заключается в непосредственном нахождении корней уравнения через параметр. Прямо по общей формуле корней. Вот так:

         

        Теперь составляем нужную нам сумму кубов найденных корней и требуем, чтобы она была меньше 28: 

          

        А дальше — обычная алгебра: раскрываем сумму кубов по формуле сокращённого умножения, приводим подобные, сокращаем и т.д. Если бы корни нашего уравнения получились покрасивее, без радикалов, то такой «лобовой» способ был бы неплох. Но проблема в том, что наши корни выглядят немного страшновато. И подставлять их в сумму кубов как-то неохота, да. Поэтому, для того чтобы избежать этой громоздкой процедуры, я предлагаю второй способ — для внимательных.

        Для этого раскрываем сумму кубов корней по соответствующей формуле сокращенного умножения. Прямо в общем виде:

        

        

        А дальше проделываем вот такой красивый фокус: во вторых скобках выражаем сумму квадратов корней через сумму корней и их произведение. Вот так:

         

        Итого:

        

        Казалось бы, и что из этого? Сейчас интересно будет! Давайте, посмотрим ещё разок на наше уравнение. Как можно внимательнее:

        

        Чему здесь равен коэффициент при x2? Правильно, единичке! А как такое уравнение называется? Правильно, приведённое! А, раз приведённое, то, стало быть, для него справедлива теорема Виета:

         

        Вот и ещё одна теорема нам пригодилась! Теперь, прямо по теореме Виета, подставляем сумму и произведение корней в наше требование для суммы кубов:

         

        

         Осталось раскрыть скобки и решить простенькое линейное неравенство:

          4·(16-18a-9) < 28

          64–72a+36 < 28

          -72a < 28-64+36

          -72a < 0

          a > 0

          Вспоминаем, что ещё у нас есть глобальное требование a < 1/6. Значит, наше полученное множество a > 0 необходимо пересечь с условием a < 1/6. Рисуем картинку, пересекаем, и записываем окончательный ответ.

         

          Ответ:

         

          Да. Вот такой маленький интервальчик. От нуля до одной шестой… Видите, насколько знание теоремы Виета, порой, облегчает жизнь!

          Вот вам небольшой практический совет: если в задании говорится о таких конструкциях, как сумма, произведение, сумма квадратов, сумма кубов корней, то пробуем применить теорему Виета. В 99% случаев решение значительно упрощается.

 

          Это были довольно простые примеры. Чтобы суть уловить. Теперь будут примеры посолиднее.

          Например, такая задачка из реального варианта ЕГЭ:

 

          Пример 3

          

          Что, внушает? Ничего не боимся и действуем по нашему излюбленному принципу: «Не знаешь, что нужно, делай что можно!»

          Опять аккуратно выписываем все коэффициенты нашего квадратного уравнения:

          

          a = 1

          b = -6

          c = a2-4a

          А теперь вчитываемся в условие задачи и находим слова «модуль разности корней уравнения». Модуль разности нас пока не волнует, а вот слова «корней уравнения» примем во внимание. Раз говорится о корнях (неважно, двух одинаковых или двух различных), то наш дискриминант обязан быть неотрицательным! Так и пишем:

          D ≥ 0

          Что ж, аккуратно расписываем наш дискриминант через параметр а:

          D = (-6)2 — 4·1·(12 + a2-4a) = 36 — 48 — 4а+ 16а = -4а2+16а-12.

          А теперь решаем квадратное неравенство. По стандартной схеме, через соответствующее квадратное уравнение и схематичный рисунок параболы:

         

         

          

          

          Значит, для того чтобы у нашего уравнения в принципе имелись хоть какие-то корни, параметр а должен находиться в отрезке [-1; 3]. Это железное требование. Хорошо. Запомним.)

          А теперь приступаем к этому самому модулю разности корней уравнения. От нас хотят, чтобы вот такая штука

         

         принимала бы наибольшее значение. Для этого, ничего не поделать, но теперь нам всё-таки придётся находить сами корни и составлять их разность: x1 — x2. Теорема Виета здесь в этот раз бессильна.

          Что ж, считаем корни по общей формуле:

          Дальше составляем модуль разности этих самых корней:

 

          Теперь вспоминаем, что корень квадратный — величина заведомо неотрицательная. Стало быть, без ущерба для здоровья, модуль можно смело опустить. Итого наш модуль разности корней выглядит так:

        

         И эта функция f(a) должна принимать наибольшее значение. А для поиска наибольшего значения у нас есть такой мощный инструмент, как производная! Вперёд и с песнями!)

         Дифференцируем нашу функцию и приравниваем производную к нулю:

         

         

         Получили единственную критическую точку a = 2. Но это ещё не ответ, так как нам ещё надо проверить, что найденная точка и в самом деле является точкой максимума! Для этого исследуем знаки нашей производной слева и справа от двойки. Это легко делается простой подстановкой (например, а = 1,5 и а = 2,5).

         

          Слева от двойки производная положительна, а справа от двойки — отрицательна. Это значит, что наша точка a = 2 и вправду является точкой максимума. Заштрихованная зона на картинке означает, что нашу функцию  мы рассматриваем только на отрезке [1; 3]. Вне этого отрезка нашей функции f(a) попросту не существует. Потому, что в заштрихованной области наш дискриминант отрицательный, и разговоры о каких-либо корнях (и о функции тоже) бессмысленны. Это понятно, думаю.

          Всё. Вот теперь наша задача полностью решена.

          Ответ: 2.

 

          Здесь было применение производной. А бывают и такие задачи, где приходится решать уравнения либо неравенства с так ненавистными многими учениками модулями и сравнивать некрасивые иррациональные числа с корнями. Главное — не бояться! Разберём похожую злую задачку (тоже из ЕГЭ, кстати).

 

          Пример 4

          

          Итак, приступаем. Первым делом замечаем, что параметр а ни в коем случае не может быть равен нулю. Почему? А вы подставьте в исходное уравнение вместо а нолик. Что получится?

 

  

          Получили линейное уравнение, имеющее единственный корень x=2. А это уже совсем не наш случай. От нас хотят, чтобы уравнение имело два различных корня, а для этого нам необходимо, чтобы оно, как минимум, было хотя бы квадратным.)

          Итак, а ≠ 0.

          При всех остальных значениях параметра наше уравнение будет вполне себе квадратным. И, следовательно, чтобы оно имело два различных корня, необходимо (и достаточно), чтобы его дискриминант был положительным. То есть, первое наше требование будет D > 0.

          А далее по накатанной колее. Считаем дискриминант:

          D = 4(a-1)2 — 4a(a-4) = 4a2-8a+4-4a2+16a = 4+8a

         

          Вот так. Значит, наше уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда параметр a > -1/2. При прочих «а» у уравнения будет либо один корень, либо вообще ни одного. Берём на заметку это условие и движемся дальше.

          Далее в задаче идёт речь о расстоянии между корнями. Расстояние между корнями, в математическом смысле, означает вот такую величину:

        

         Зачем здесь нужен модуль? А затем, что любое расстояние (что в природе, что в математике) — величина неотрицательная. Причём здесь совершенно неважно, какой именно корень будет стоять в этой разности первым, а какой вторым: модуль — функция чётная и сжигает минус. Точно так же, как и квадрат.

          Значит, ответом на вопрос задачи является решение вот такой системы:

         

          Теперь, ясен перец, нам надо найти сами корни. Здесь тоже всё очевидно и прозрачно. Аккуратно подставляем все коэффициенты в нашу общую формулу корней и считаем:

          

          Отлично. Корни получены. Теперь начинаем формировать наше расстояние:

         

         Наше расстояние между корнями должно быть больше трёх, поэтому теперь нам надо решить вот такое неравенство:

         

         Неравенство — не подарок: модуль, корень… Но и мы всё-таки уже решаем серьёзную задачу №18 из ЕГЭ! Делаем всё что можно, чтобы максимально упростить внешний вид неравенства. Мне здесь больше всего не нравится дробь. Поэтому первым делом я избавлюсь от знаменателя, умножив обе части неравенства на |a|. Это можно сделать, поскольку мы, во-первых, в самом начале решения примера договорились, что а ≠ 0, а во-вторых, сам модуль — величина неотрицательная.

          Итак, смело умножаем обе части неравенства на положительное число |a|. Знак неравенства сохраняется:

         

         Вот так. Теперь в нашем распоряжении имеется иррациональное неравенство с модулем. Ясное дело, для того чтобы решить его, надо избавляться от модуля. Поэтому придётся разбивать решение на два случая — когда параметр а, стоящий под модулем, положителен и когда отрицателен. Другого пути избавиться от модуля у нас, к сожалению, нет.

          Итак!

          Случай 1 (a>0, |a|=a)

          В этом случае наш модуль раскрывается с плюсом, и неравенство (уже без модуля!) принимает следующий вид:

         

          Неравенство имеет структуру: «корень больше функции». Такие иррациональные неравенства решаются по следующей стандартной схеме:

         

          Отдельно рассматривается случай а), когда обе части неравенства возводятся в квадрат и правая часть неотрицательна и отдельно — случай б), когда правая часть всё-таки отрицательна, но зато сам корень при этом извлекается.) И решения этих двух систем объединяются.

          Тогда, в соответствии с этой схемой, наше неравенство распишется вот так:

         

         А теперь можно существенно упростить себе дальнейшую работу. Для этого вспомним, что в случае 1 мы рассматриваем только a>0. С учётом этого требования, вторую систему можно вообще вычеркнуть из рассмотрения, поскольку, второе неравенство в ней (3a<0) эквивалентно неравенству a<0, а условия a>0 и a<0 — это два взаимно исключающих требования.

          Упрощаем нашу совокупность с учётом главного условия a>0:

         

         Вот так. А теперь решаем самое обычное квадратное неравенство:

        

         

        

        

         Нас интересует промежуток между корнями. Стало быть,

        

         Отлично. Теперь этот промежуток пересекаем со вторым условием системы a>0:

         

         Есть. Таким образом, первым кусочком ответа к нашему неравенству (а пока не ко всей задаче!) будет вот такой интервал:

         

         Всё. Случай 1 разложен по полочкам. Переходим к случаю 2.

 

          Случай 2 (a<0, |a|=-a)

         В этом случае наш модуль раскрывается с минусом, и неравенство принимает следующий вид:

         

         Опять имеем структуру: «корень больше функции». Применяем нашу стандартную схему с двумя системами (см. выше):

          

         С учётом общего требования a<0, мы снова, как и в предыдущем случае, проводим максимальные упрощения: вычёркиваем вторую систему в силу противоречивости двух требований -3а < 0 и нашего общего условия a<0 для всего случая 2.

         

          А дальше снова решаем обычное квадратное неравенство:

          

         

          И опять сокращаем себе работу. Ибо оно у нас уже решено в процессе разбора случая 1! Решение этого неравенства выглядело вот так:

         

          Осталось лишь пересечь этот интервал с нашим новым условием a<0.

          Пересекаем:

         

          Вот и второй кусочек ответа готов:

         

          Кстати сказать, как я узнал, что ноль лежит именно между нашими иррациональными корнями? Легко! Очевидно, что правый корень заведомо положителен. А что касается левого корня, то я просто в уме сравнил иррациональное число

        

         с нулём. Вот так:

         

          А теперь объединяем оба найденных интервала. Ибо мы решаем совокупность (а не систему):

         

         Готово дело. Эти два интервала — это пока ещё только решение неравенства

         

         Кто забыл, данное неравенство отвечает у нас за расстояние между корнями нашего уравнения. Которое должно больше 3. Но! Это ещё не ответ!

         Ещё у нас есть условие положительного дискриминанта! Неравенство a>-1/2, помните? Это значит, что данное множество нам ещё надо пересечь с условием a>-1/2. Иными словами, теперь мы должны пересечь два множества:

         

         Но есть одна проблемка. Мы не знаем, как именно расположено на прямой число -1/2 относительно левого (отрицательного) корня. Для этого нам придётся сравнить между собой два числа:

         

         Поэтому сейчас берём черновик и начинаем сравнивать наши числа. Примерно так:

         

          Это значит, что дробь -1/2 на числовой прямой находится левее нашего левого корня. И картинка к окончательному ответу задачи будет какая-то вот такая:

         

          Всё, задача полностью решена и можно записывать окончательный ответ.

          Ответ:

        

 

         Ну как? Уловили суть? Тогда решаем самостоятельно.)

 

         1. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение

         ax2 + 3x +5 = 0 

         имеет единственный корень.

 

         2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых больший корень уравнения

         x2 — (14a-9)x + 49a2 — 63a + 20 = 0

         меньше 9.

 

         3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения

         x2 — 4ax + 5a = 0

         равна 6.

 

         4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

         x2 + 2(a-2)x + a + 3 = 0

         имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 3.

 

          Ответы (в беспорядке):

          

Решение уравнений с параметром онлайн подробно

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве
сооружений и даже спорте.2 + bх + с = 0,\] где \[x\] — переменная, \[а, b, с\] — параметр.

Решить уравнение с параметром значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений.

Однако, придерживаясь определенного алгоритма, можно легко решить такие уравнения:

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, определенных в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом
пункте.

Допустим, дано такое уравнение:

\[\mid 6 — x \mid = a.\]

Проанализировав исходные данные, видно, что a \[\ge 0.\]

По правилу модуля \[6 — x = \pm a, \] выразим \[x:\]

\[x = 6 \pm a. \]

Ответ: \[x = 6 \pm a,\] где \[a \ge 0.\]

Где можно решить уравнение с параметром онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель
позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это
просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию
и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей
групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда
рады помочь вам.

Конспект урока математики на тему «Уравнения с параметрами»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

гимназия №3

г. Грязи Липецкой области

Элективный курс по математике

«Уравнения

с параметрами»

Выполнила:

Наумова Татьяна Ивановна

.

Г.Грязи

Пояснительная записка

Задачи с параметрами практически не представлены в школьном курсе математики. Между тем они часто встречаются на вступительных экзаменах в вузы, причем не только на математические специальности, но и на гуманитарные. Для решения задач с параметрами не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы. Однако непривычность формулировки обычно ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач.

Знакомство с параметрами в школьной алгебре полезно не только для поступления в вуз, но и само по себе.

Программа курса «Уравнения с параметрами» предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики основной школы.

Цели:

  1. Создание условий для самореализации учащихся в процесс учебной деятельности.

  2. Формирование у учащихся отчетливого представления о параметрических задачах и основных принципах их решения.

  3. Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений.

Задачи:

— приобщить учащихся к работе с математической литературой;

— закрепление основ знаний об уравнениях;

— формирование умений не только производить какие-то выкладки по заученным правилам, но также и понимание цели выполняемых действий;

— вовлечение учащихся в игровую, коммуникативную, практическую деятельность как фактор личностного развития.

Курс предназначен для учащихся 8 — 9 классов, рассчитан на 18 часов аудиторного времени.

Включенный в программу материал представляет познавательный интерес для учащихся и может применяться для разных групп школьников вследствие своей обобщенности и практической направленности. Развертывание учебного материала четко структурировано и соответствует задачам курса.

Установление степени достижения учащимися промежуточных и итоговых результатов производится на каждом занятии благодаря использованию практикумов, самостоятельных работ, тестов, консультаций.

Фомой итоговой отчетности учащихся является контрольная работа.

Требования к уровню подготовки учащихся.

Учащиеся должны знать:

— что такое параметр и что означает решить уравнение с параметром;

— условия, при которых система линейных уравнений имеет единственное решение, бесконечно много решений, не имеет решений;

— основные формы и методы решения параметрических уравнений;

Учащиеся должны уметь:

— решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности;

— рассматривать различные случаи (и понимать, какие именно случаи нужно рассмотреть), при решении параметрических уравнений и неравенств;

— свободно оперировать аппаратом алгебры при решении параметрических уравнений и неравенств;

— решать линейные и квадратные уравнения с параметром;

— решать системы линейных уравнений с параметром.

Содержание учебного материала

  1. Введение. Постановка задач курса

  1. Линейные уравнения с параметрами

  1. Системы линейных уравнений с параметрами

  1. Дробно-линейные уравнения с параметрами

5. Квадратные уравнения с параметрами

  1. Условия на корни у квадратного уравнения

Тематическое планирование

Формы контроля:

  1. Контрольная работа в двух вариантах

  1. Тематические тесты

  1. Мини-доклады

  1. Проекты

Приложение к содержанию учебного материала

  1. Введение. Постановка задач курса

1.Что такое параметр?

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

(Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи.)

Например: 2а (а –2) = а –2, где а – произвольное действительное число, т.е. параметр.

2. Что означает «решить задачу с параметром»?

Это зависит от вопроса в задаче.

Если требуется решить уравнение, неравенство и т. п., то это означает найти ответ для любого значения параметра.

Если надо найти значение параметра, при котором множество решений уравнения и т. д. удовлетворяет какому-то условию, то решение задачи состоит в поиске этих значений.

3. Основные типы задач с параметром.

Тип 1. Задачи, которые надо решить или для любого значения параметра, или для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Тип 2.Задачи, для которых требуется найти количество решений в зависимости от значений параметра.

Тип 3. Задачи, для которых надо найти все те значения параметра, при которых указанные задачи имеют заданное число решений.

Тип 4. Задачи, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

4. Основные методы решения задач с параметром.

Способ 1. Аналитический. Самый трудный, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им. Способ силового, прямого, «наглого» решения.

Способ 2. Графический. В зависимости от задачи рассматриваются графики или в координатной плоскости (х; у), или в координатной плоскости (х; а).

Графический способ применяют тогда, когда параметр присутствует в уравнении только в качестве слагаемого и не связан с переменной.

Способ 3. Решение относительно параметра. Переменные х и а принимаются равнозначными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных и заканчиваем решение.

План решения

Множество значений параметра разбиваем на подмножества, на которых происходит качественное изменение уравнения.

Для этого необходимо найти контрольные значения параметра. ( В дальнейшем будем обозначать К.З.)

  1. Линейные уравнения с параметрами

Уравнение вида ах – b = 0, где а, b – параметры, называется линейным уравнением относительно х. Оно приводится к виду ах = b.

К.З. находятся при обращении старшего коэффициента в 0.

1. 0х = 0 множество решений.

2. 0х = с корней нет.

3. kx = b единственное решение.

Решение примеров.

1) Для каждого значения параметра а найдите решение уравнения.

ах = 5.

Решение.

К.З: а = 0

Если а = 0, то 0х = 5 корней нет.

Если а  0, то х = один корень.

Ответ: при а  0 х = ; при а = 0 корней нет.

2) 2а (а –2)х = а – 2.

Решение.

К.З. 2а (а-2) = 0, а = 0, а = 2.

Ответ: При а = 0 0х = -2 корней нет.

При а = 2 0х = 0 множество корней.

При а ¹ 0, а ¹ 2 х = один корень.

3) (а2 – 9)х = а — 3.

Решение.

К.З. а = 3, а = -3

Ответ: При а = 3 0х = 0 множество решений.

При а = -3 0х = -6 корней нет.

При а ¹ 3, а ¹ -3 х = ; один корень.

2. Сколько корней имеет уравнение ах = 3а + 8 при указанных значениях параметра а: а = 10, а = -2, а =, а = 0.

Решение.

х = , О.Д.З. а  0.

Ответ: При а = 10, а = -2, а = один корень.

При а = 0 корней нет.

3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения

2ах – 4х – а2 + 4а – 4 = 0 есть корни больше 1?

Решение.

(2а – 4)х = (а – 2)2 К.З. а = 2.

При а = 2 0х = 0 множество решений, в том числе и больше 1.

При а  2 х = . По условию х  1, значит > 1, а > 4.

Ответ: при а = 2; а Є (4; +).

К концу работы над темой школьники должны:

  1. Понимать необходимость учета наличия параметра.

  2. Уметь решать уравнения вида:

1) ах+2=5; 2) ах+2=5х; 3) ; 4) ах+6=2х+2а; 5) ; 6) (2х-3)(ах+4)=0; 7) а2х=х+2.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 1. Простейшие уравнения.

  1. Системы линейных уравнений с параметрами

1) Сколько решений, в зависимости от а, имеет система уравнений ?

2) При каких а система уравнений не имеет решений.

4. Дробно-линейные уравнения с параметрами

Уравнения вида P(X)/G(X) = 0.

К.З. находятся при обращении старшего коэффициента и знаменателя в 0.

1.Решить уравнение.

А). = 0.

Решение.

К.З. х  а.

х2 – 9 = 0, х = 3, х = -3.

Ответ: При а = 3 х = -3. При а = -3 х = 3. При а  3, а ¹ -3, х = 3,

х = -3.

Б). = 0. О.Д.З. х ¹ 2, х ¹ -2.

Решение.

(а – 1)х – 5 = 0. К.З. а = 1.

При а = 1 0х = 5, корней нет.

При а ¹ 1, х = ; ¹ 2, ¹ -2.

а ¹ 3,5 а ¹ -1,5.

Ответ: при а = 1; а = 3,5; а = -1,5. корней нет.

при а ¹ 1; а ¹ 3,5; а ¹ -1,5. один корень х = .

В). = 3.

Решение.

К.З. а = 0, х  2а.

Преобразуем уравнение а = 6а – 3х, х = .

При а =0 0 = 3 корней нет.

При а ¹ 0 х = , ¹ 2а, а ¹ 0.

Ответ: при а = 0 корней нет. При а ¹ 0 один корень х = .

Г). – х – 1 = а. О.Д.З. х 

Решение.

Преобразуем уравнение к виду ах = 2а + 1. К.З. а = 0.

При а = 0 0 = 1 корней нет.

При а  0 х = . Учтем О.Д.З.  1, а  -1.

Ответ: при а = 0, а = -1 решений нет.

При а  0, а  -1 один корень х = .

Д). при каких значениях а сократима дробь:

Решение.

.

Ответ: При а = -4; 3. дробь будет сократима.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 2. Дробно-рациональные уравнения.

5. Квадратные уравнения с параметрами

Уравнение вида ах2 + bx + c = 0, где a, b, c выражения, зависящие только от параметров, и а  0 называется квадратным уравнением относительно х.

К.З. находятся при обращении в 0 старшего коэффициента и дискриминанта.

Учащиеся повторяют задачи с параметром, которые решались в предыдущих темах, изучили тему «Квадратные уравнения», «Теорема Виета и ее применение».

Примеры заданий:

1) Найти все значения параметра а, при которых уравнение

ах2+(а+1)х+1=0

имеет единственное решение.

2) При каких а уравнение х2+2(а 2)х+а+3=0 имеет:

    1. хотя бы один положительный корень;

    2. хотя бы один отрицательный корень;

    3. один корень меньше 1, второй корень – больше 1;

    4. корни уравнения меньше 1;

    5. корни уравнения больше 1.

6. Условия на корни у квадратного уравнения

10 правил расположения корней квадратного трехчлена

Правило 1. Квадратное уравнение не имеет корней, если D  0.

Правило 2. Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D  0.

Правило 3. Квадратное уравнение имеет два кратных корня, если D = 0.

Правило 4. Квадратное уравнение имеет два корня х1 М и х2 > М, если аf(М) 0. (корни разных знаков, если М = 0.)

Правило 5. Квадратное уравнение имеет два разных корня х1, х2  ()М, если D > 0, af(M)  0, х0 > () M. (оба положительные или оба отрицательные, если М = 0)

Правило 6. Квадратное уравнение имеет один корень внутри интервала (m;M), а другой вне этого интервала, если f(m) f(M) 0.

Y

 

m X1M X2X

Правило 7. Квадратное уравнение имеет единственное решение х1 = х2> М,

1 = х2 М), если D = 0, х0> M. ( D = 0, х0 M).

Y

M X0X

Правило 8. Квадратное уравнение имеет разные корни внутри интервала (m;M) или промежутка [m; M], если D > 0, af(m) > 0, af(M) > 0, m х0 M, или D > 0, af(m) ³ 0, af(M) ³ 0, m х0 M.

m X1X2M

Правило 9. Квадратное уравнение имеет корни вне интервала или промежутка, если af(m) 0, af(M) 0, или af(m) £ 0, af(M) £ 0.

 

X1 m M X2 X

Правило 10а. Квадратное уравнение имеет корни х1 m х2 M, если af(m) 0, af(M) > 0.

X1m X2M

  X

Правило 10б. Квадратное уравнение имеет корни m х1 M х2, если аf(m) > 0, af(M) 0.

  X

m X1M X2

Литература

  1. Л. Солуковцева. Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами.– Москва: Чистые пруды, 2007.

  2. В. В. Амелькин, В. Л. Рабцевич. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике. – 2-е изд. – Минск: Асар, 2002.

  3. В. А. Гусев, А. Г. Мордкович. Математика: Справочные материалы. – Москва: Просвещение, 1988.

  4. Габович И. Г., Горнштейн П. И. Сколько корней имеет уравнение? \\ Квант. – 1985. – 3. с. 43-46.

  5. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Необходимые условия в задачах с параметром. \\ Квант. – 1991. – 11. –с. 44-49.

  6. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметром. М.: 1998. – 336 с.

  7. Дорофеев Г. В. Как расположены корни трехчленов? \\ Квант. – 1986. -7. с. 45-49.

Тема

Количество

часов

Форма

проведения

1

Введение. Постановка задач курса.

Параметр. Основные определения. Что такое параметр? Область определения уравнения с параметром. Что значит решить уравнение с параметром?

1

Лекция

2

Линейные уравнения с параметрами.

Методы решения линейных уравнений с параметром в общем виде.

2

Лекция, практикум

3

Системы линейных уравнений с параметрами.

Повторение основных методов решения систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений с параметром

4

1

3

Лекция,

практикумы

практикум

лекция,

практикумы

4

Дробно-линейные уравнения с параметрами.

Метод интервалов при решении дробно-линейного уравнения

Решение дробно-линейных уравнений с параметрами

4

1

3

Лекция,

практикум,

сам. работа (тест) практикум

лекция, практикум

тест

5

Квадратные уравнения с параметрами.

Методы решения квадратных уравнений с параметром в общем виде

2

Лекция, практикум

6

Условия на корни квадратного

уравнения

Неполные квадратные уравнения с параметром.

Задачи с параметром, решаемые с помощью теоремы Виета.

Знаки корней квадратного уравнения с параметром.

Расположение корней квадратного трёхчлена.

4

1

1

1

1

Лекции,

практикумы,

тесты

Контрольная работа

1

Контр. работа

задание

Ответ

1.

х – а = 0

при а Є R, x = a.

2.

5x = a

при а Є R, х =

3.

ах = 0

при а = 0, х Є R; при а ≠ 0, х = 0.

4.

(а – 1)х = 6

при а = 1 корней нет, при а ≠ 1, х =

5.

2ах = 1 — х

при а = — 0,5 корней нет, при а ≠ — 0,5 , х =

6.

3 – ах = х

при а = — 1 корней нет, при а ≠ — 1, х =

7.

ха2 = а + х

при а = ± 1 корней нет, при а ≠ ± 1, х =

8.

4а — а2х = 2ах

при а = 0, х Є R, при а = -2 корней нет, при других а

х =

9.

2 – 4)х = а2 + а — 6

при а = 2 х Є R, при а = -2 к.н., при других а

х =

10

2 — 9)х = 9а2 -10а -51

при а = 3 х Є R, при а = -3 к.н., при других а

х =

11.

2 -5а +6)х = а4 — 16

при а = 2, х Є R, при а ≠ 2 х = , при а = 3 к.н.

задание

Ответ

1.

= 0

при а = 1 к.н., при а ≠ 1, х = а.

2.

= 0

при а = 0 к.н., при а ≠ 0 х = 0.

3.

= 0

при а = 0 к.н., при а ≠ 0 х = 0.

4.

При каких а дробь сократима:

при а = 1; 64

5.

при а = -1; 4.

Уравнения с параметром — алгоритмы и примеры решения


Общие сведения


Уравнением является любое математическое тождество или физический закон, в котором присутствуют неизвестные величины. Последние необходимо находить. Этот процесс называется поиском корней. Однако не во всех случаях у равенства с переменными бывают решения, а это также нужно доказать.



Корень — величина или диапазон, превращающие искомое выражение в верное равенство. Например, в 5s=10 переменная эквивалентна 2, поскольку только это значение позволяет получить верное тождество, то есть 5*2=10.


Примером диапазона или интервала решений является выражение следующего вида: 0/t=0. Его корнем может быть любое действительное число, кроме нуля. Записывается решение в таком виде: t ∈ (-inf;0)U (0;+inf), где «∈» — знак принадлежности, «-inf» и «inf» — минус и плюс бесконечно большие числа соответственно.


Параметром в уравнении называется некоторая величина, от которой зависит поведение равенства на определенном интервале. Следует отметить, что он также влияет на значение корня, когда входит с ним в различные арифметические операции: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и так далее. Тождества такого типа называют также параметрическими. Далее необходимо разобрать классификацию уравнений.

Классификация уравнений


Уравнения делятся на определенные виды, от которых зависит выбор методики их решения. Они бывают следующими: алгебраическими, дифференциальными, функциональными, трансцендентными и тригонометрическими. Кроме того, все они могут содержать некоторую величину — параметр. Его часто обозначают литерой «р» или «а».


Алгебраический тип является наиболее простым, поскольку не содержит сложные элементы. Дифференциальные тождества с неизвестными — одни из самых сложных выражений с точки зрения алгоритма. Они бывают первого, второго, третьего, а также высших порядков. Для нахождения их корней необходимо знать правила дифференцирования и интегрирования.


Практически все функциональные уравнения содержат один или более параметров. Основное их отличие от остальных заключается в функции, которая задается сложным выражением. Последнее может включать несколько неизвестных и параметрических элементов. Примером такого тождества является функция Лапласа, содержащая интеграл обыкновенного типа, а также экспоненту.



К трансцендентным относятся выражения, содержащие показательную, логарифмическую и радикальную (знак корня). Последний тип — тригонометрические. Они содержат любое равенство, содержащее следующие функции: sin, cos, tg и ctg. Однако в математике встречаются также их производные: arcsin, arccos, arcctg, arctg и гиперболические тождества.


Специалисты рекомендуют освоить на начальных этапах обучения методики, позволяющие решать уравнения с параметром линейного типа. После этого можно переходить к более сложным тождествам — функциональным, трансцендентным и так далее.

Алгебраический вид


Алгебраические не содержат в своем составе сложных функций, но в них могут присутствовать компоненты со степенным показателем.



На основании последней характеристики они делятся на 5 типов:

  1. Линейные.
  2. Квадратные (квадратичные).
  3. Кубические.
  4. Биквадратные.
  5. Высших порядков.


Линейные — выражения с переменной, которая имеет только первую степень (равную единице). Если показатель эквивалентен двойке, то такое тождество называется квадратным. В математической интерпретации его еще называют квадратным трехчленом. Когда показатель при неизвестной эквивалентен тройке, тогда это равенство называется кубическим.


Наиболее сложными по своей структуре являются биквадратные (содержат 4 степень). Однако на этом виды линейных уравнений не заканчиваются, поскольку бывают равенства с более высокими показателями. Их называют уравнениями высших порядков. Кроме того, любые тождества могут объединяться в системы уравнений. Их особенностью являются общие решения.

Линейные и квадратичные


Линейное — это самое простое уравнение, которое имеет всего одно решение. Оно решается по следующей методике:


  1. Записывается искомое выражение.
  2. При необходимости раскрываются скобки и приводятся подобные элементы.
  3. Неизвестные (переменные) остаются в левой части тождества, а все константы (числа) — переносятся вправо.(½)]/(2А).
  4. Записать результат.
  5. Выполнить проверку по отсеиванию ложных корней.


Следует отметить, что ложный корень — значение переменной, полученное по соответствующей формуле, но при подстановке в исходное выражение не выполняет условие равенства нулевому значению.


Кроме того, нужно обратить внимание на типы квадратных уравнений. Они бывают полными и неполными. Первые содержат все коэффициенты (А, В и С), а во вторых — некоторые из них могут отсутствовать, кроме А, так как тогда тождество должно содержать вторую степень при неизвестной.


Неполные решаются методом разложения на множители. Например, «v2 −81=0» раскладывается следующим образом (формула сокращенного умножения — разность квадратов): (v-9)(t+9)=0. Анализируя последнее равенство, можно сделать вывод о понижении степени. Корнями уравнения являются два значения, t1=-9 и t2=9.

Кубичеcкие и биквадрaтные


Кубические и биквадратные равенства с неизвестным рекомендуется решать при помощи замены переменной.4−324=0 (истинно).


Каждый из методов решения выбирается в зависимости от самого уравнения. При чтении условия задачи необходимо определить способ решения. Последний должен быть простым и удобным, а главное — количество шагов решения должно быть минимальным, что существенно сказывается на затраченном времени при вычислениях. Далее нужно рассмотреть подробный алгоритм решения уравнения с параметром.

Пример решения


На основании изученного материала можно приступить к практике решения уравнения с параметром, которое имеет следующий вид: 2v4−32−4p-(v2 +4)+(v-2)(v+2)-v4+16=-4, где р — некоторый параметр. Корни и величину р необходимо искать по следующему алгоритму:


  1. Записать равенство с неизвестным и параметром: 2v4−32−4p-(v2 +4)+(v-2)(v+2)-v4 +16=-4.
  2. Выполнить математические преобразования: 2v4−32−4p-v2+4+v2−4-v4+16+4=v4−16+4p+4=0.4−16+4=16−16=0 (истина).


Следует отметить, что v2 — ложный корень, а также параметр p, равный какому-либо значению, превращает уравнение в пустое множество. Для проверки можно воспользоваться специальным приложением, которое называется онлайн-калькулятором.


Таким образом, уравнения с параметром являются наиболее сложными, поскольку необходимо искать их корни, а также некоторое значение, влияющее на логику выражения. Для их решения необходимо следовать специальному алгоритму, предложенному математиками.

Решение уравнений с параметрами


Creative Education
Том 5 №11 (2014), Статья
ID: 47178,6
страницы

DOI: 10.4236 / ce.2014.511110

Решение уравнений с параметрами

Бат-Шева Иланы 1 , Дина Хасидов 2

1 Колледж Бейт-Берл, Кфар-Саба, Израиль

2 Колледж Западной Галилеи, Акко, Израиль

Электронная почта: bat77i @ gmail.com, [email protected]

Авторские права © 2014 авторов и Scientific Research Publishing Inc.

Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

Поступило 23 апреля 2014 г .; пересмотрена 16 мая 2014 г .; принята к печати 6 июня 2014 г.

РЕЗЮМЕ

В этом исследовании изучается, как старшеклассники и учителя решают уравнения, которые представлены различными способами.Некоторые презентации нестандартны, например, необходимо выразить «а» (обычно воспринимаемое как параметр) через «х» (обычно воспринимаемое как переменная). Мы исследуем, как испытуемые решают эти уравнения, а также исследуем различия между учениками и учениками-учителями. Наши результаты показывают, что уравнения, содержащие параметры, труднее решить, чем уравнения без параметров. Трудности связаны с буквами, которые следует выражать, и с расположением уравнения.Результаты этого исследования могут расширить знания учителей о уравнениях с параметрами и о конкретных трудностях, с которыми студенты сталкиваются в процессе решения.

Ключевые слова: Уравнения, Параметры, Учащиеся старших классов, Студенты-учителя, Математическое образование, Математические знания, Познание и математика

1. Теоретическая основа

«Проблемы с параметрами глубоко проверяют знание математики решателя и обнаруживают его слабые места »(Седивы, 1976).Седивый также утверждает, что ученики сталкиваются с большими трудностями с уравнениями с параметрами, чем с уравнениями с числовыми коэффициентами. Алгебраические уравнения, содержащие параметры, представляют собой более широкие классы уравнений и более общие формы количественных соотношений по сравнению с уравнениями без параметров.

Дэвис и Хенкин (1978) писали о важности квадратных уравнений в целом и с параметрическими коэффициентами в частности. Они описывают, как они интерпретируют понимание квадратных уравнений.Они предоставляют длинный список навыков, а также математические знания, необходимые для понимания и решения квадратных уравнений. Дэвис и Хенкин утверждают, что понимание и решение уравнений с параметрами улучшают понимание учащимися уравнений в целом.

Скемп (1987) утверждает, что правила обучения без причины позволяют ученику функционировать только в узких рамках и иметь дело только со стандартными задачами. Однако такой подход ограничивает понимание учащимися, и они не смогут справиться с более сложными задачами.Понимание позволяет ученику решать нестандартные задачи, которые нельзя решить механическим применением формул. Fischbein и Muzicant (2002) указывают, что ученики обучались в основном процедурным образом, и поэтому они часто не могут различать концептуальные и процедурные знания. Многим ученикам трудно распознать, что буква представляет собой число, и они не знают, как работать с символическими значениями (Kieran, 1992, 2014).

Широко признано, что учителям важно осознавать, как их ученики воспринимают математические темы, в частности, конкретные причины совершения ошибок (Almog & Ilany, 2012).

На начальных курсах студенты привыкают к тому, что x (а позже y и z) являются переменными, а буквы, такие как a, b, c, являются константами или параметрами. Однако на более продвинутых курсах они сталкиваются с вопросами, в которых буквы используются по-другому, и это очень сбивает их с толку. Например, задачи интеграции, где x фиксировано, а y — переменная. Или объемные вопросы, где a, b, c используются в качестве переменных.

Ученики решают в школе бесчисленные упражнения с уравнениями, в которых буква x представляет собой переменную, которая должна быть выражена буквами a, b, c и т. Д. В этом исследовании испытуемым предлагалось множество уравнений с нестандартным представлением. , как уже упоминалось выше.

2. Цель

Цели исследования — изучить и выявить трудности старшеклассников и старших школьных учителей при решении уравнений с параметрами. Кроме того, выяснить, есть ли существенные различия между учениками и учениками-учителями в решении таких уравнений. Какие процедуры используются и какие трудности возникают при решении уравнений с параметрами.

3. Вопросы для исследования

1) Как испытуемые решают уравнения с параметрами, в которых они должны выражать различные буквы через другие буквы и параметры? В частности, когда уравнения не построены стандартным образом.

2) Есть ли различия между учениками и студентами-учителями в том, как они решают такие уравнения. И если да, то в чем отличия.

Примеры уравнений, исследуемых в статье (нумерация вопросов соответствует анкете):

• Вопрос 16: Найдите x (в терминах a) в (довольно стандартном уравнении с переменной x и параметром a).

• Вопрос 1. Найдите c (через x) в (менее стандартно, поскольку требуется выражать c через x).

• Вопрос 9: Найдите b (в единицах x) в (менее стандартно, поскольку требуется переставить уравнение «должным образом», а затем выразить b через x).

• Вопрос 21: Следующее уравнение линейно по x, хотя может ошибочно показаться квадратным уравнением в терминах a :.

Мы называем знания, необходимые для решения простых уравнений, процедурными. Уравнения с нестандартными представлениями требуют более гибкого подхода.

4.Метод

В выборку вошли 115 учителей математики, обучающихся на третьем и четвертом году обучения, и 133 ученика двенадцатых классов с высшим математическим уровнем (5 курсов по математике) в четырех средних школах.

Инструменты. Для исследования был разработан вопросник, который был разослан обеим группам. Часть анкеты состоит из шести вопросов, которые включают уравнения с параметрами. В этом исследовании сообщается о результатах двух вопросов уравнений первой степени (вопросы (5) и (21)) и трех вопросов уравнений второй степени (вопросы 16, 1 и 9).Вопросы перечислены в Таблице 1 и Таблице 3

Процедура: Чтобы понять процесс решения предметов, были опрошены пять учеников и шесть студентов-учителей. Вопросы для интервью были разработаны после заполнения и анализа анкеты. Цель заключалась в том, чтобы прояснить и продвинуть результаты анкеты. Кроме того, были проведены открытые наблюдения, чтобы внимательно изучить ответы испытуемых.

Таблица 1. Вопросы 5 и 21, анализ результатов (уравнения первой степени с параметрами).

Примечание: (P = ученики, S.T. = ученики-учителя). * Испытуемые правильно выразили x, но некоторые из них не смогли указать допустимый домен, а затем упростить выражение. См. Подробности в таблице 2.

Анализ данных: количественный анализ проводился с помощью описательной статистики (таблицы, в которых указан процент успеха), c 2 тестов и t-тестов. Качественный анализ проводился путем наблюдений и интервью, как упоминалось выше.Затем результаты были проанализированы в соответствии с возникающими критериями.

5. Результаты

Результаты уравнений первой степени5 и 21 представлены в Таблице1

Таблица 1 показывает, что большой процент старшеклассников (22%) не ответили на вопрос 21. Очень небольшой процент испытуемых. кто правильно выразил x через a, также указал правильную область решения. Некоторые испытуемые справлялись только со стандартными вопросами, которые требовали однозначного подхода.В целом, только 36% учеников и 73% студентов-учителей ответили на вопрос 21 полностью.

В вопросе 5 испытуемых просили выразить буквенное значение x. m — буква, которая обычно воспринимается как параметр (Ilany, 1997, 1998). В этом вопросе есть уравнение первой степени, для которого процесс решения должен быть простым, но только 67% учеников дали правильный ответ и 29% ошиблись. Мы утверждаем, что ошибки происходят из-за путаницы, связанной с нестандартным использованием параметров и переменных (примеры приведены ниже).Для студентов-преподавателей ситуация была лучше, 88% решили правильно и 10% допустили ошибки, связанные с нестандартной презентацией.

В вопросе 21 уравнение имеет первую степень по x, и x нужно было выразить через a. Такое представление уравнения было связано с различными ошибками в процессе решения испытуемых, поскольку x обычно воспринимается как переменная (Ilany, 1997). Стоит отметить, что уравнение 21 на самом деле линейно по x, поскольку x является переменной первой степени.Однако из-за числа 2 в уравнении некоторые студенты были сбиты с толку и восприняли уравнение как квадратное.

Чтобы решить указанное выше уравнение, необходимо раскрыть скобки, собрать похожие выражения и переставить уравнение. Существует ограничение на a (a ≠ −1), и для решения уравнения требуется несколько алгебраических операций. Многочисленные ошибки были допущены испытуемыми, которые пытались решить этот вопрос, особенно учениками. Только 36% учеников правильно ответили на x.То есть они обнаружили, что:

Однако большинство студентов, которые правильно выразили x, не смогли указать допустимую область и упростить полученное уравнение (см. Таблицу 2).

У студентов-преподавателей ситуация была лучше: 73% из них правильно ответили на вопрос 21. Анализ ошибок показал, что 41% учеников по сравнению с 14% студентов-учителей допустили ошибки, связанные с «нестандартными» буквами (см. Таблицу 1).

В этом исследовании мы решили изучить три уравнения второй степени.В каждом уравнении требуется выразить одну букву другой. Ошибки были разделены на два типа: ошибки в вычислениях и ошибки, возникающие из-за путаницы, связанной с незнакомым использованием букв: игнорирование букв, поиск неправильной буквы и круговое выражение букв. (Примеры будут приведены в Таблице 3: вопросы 16, 1 и 9).

Согласно Таблице 3, высокий процент учеников (16%) не ответили на вопрос 9. Наблюдалась значительная разница между учениками-учителями и учениками старших классов по всем трем вопросам.Три уравнения имеют аналогичную структуру (Таблица 3). Разница между ними заключается в том, что в вопросе 16 (5x 2 + 8ax + 4a 2 = 0) необходимо найти x, буква воспринимается как переменная согласно Илани (1997, 1998), а в другом уравнения

Таблица 2. Вопрос 21 — Субъекты, которые правильно выразили x (некоторые из них не завершили процесс).

Примечание: (P = ученики, S.T. = ученики-учителя).

Таблица 3.Вопросы 16, 1 и 9, анализ результатов.

Примечание: (P = ученики, S.T. = ученики-учителя).

буквы, которые должны быть найдены: b или c. Эти буквы обычно воспринимаются как параметры, поэтому вызывали путаницу.

Результаты показывают, что больше студентов ответили на вопрос 16 правильно по сравнению с вопросами 1 и 9 (см. Таблицу 3), которые относятся к вопросу исследования 1. (То есть решатели, как правило, запутываются, когда требуется выразить a, b, c или m (обычно функционируют как параметры) в терминах x (который обычно обозначает переменную).

Между студентами-учителями и учениками была обнаружена значительная разница в двух отношениях. Начнем с того, что студенты-преподаватели набрали больше баллов по всем вопросам. Кроме того, меньшая часть студентов-учителей, похоже, была сбита с толку из-за изменения и перестановки переменных (70% учеников правильно ответили на вопрос 16 по сравнению с 28% на вопрос 9; соответствующие цифры для студентов-учителей составляют 88% против 43%. ).

В таблице 3 представлены три вопроса схожей структуры.Первый вопрос (16) довольно стандартный (выражение x через другие параметры).

Во втором вопросе (1) мы имеем дело с нестандартным использованием букв (выражение x через c).

Третий вопрос также связан с нестандартным использованием переменных, поскольку b должно быть выражено через x. Более того, вам нужно переставить уравнение, чтобы его решить.

Сравнение результатов вопросов 9 и 1 подчеркивает важность расположения уравнения.В вопросе 9 уравнение () напоминает уравнение в вопросе 1 (), но не упорядочено в обычном порядке, то есть сначала записываются более высокие показатели. Здесь мы получили самые низкие результаты (только 28% учеников и 43% студентов-учителей правильно решили уравнение). Причины этих результатов объясняются сложностью составления уравнения и нахождения нестандартной буквы b через x.

Вопрос 1 также обсуждался в интервью. Интервьюер подчеркнул, что b или c необходимо выражать через x.Несмотря на это, большинство респондентов выразили x через b или c. Один собеседник, допустивший эту ошибку, сказал: «Даже если вы не хотите x, вам нужно b, я автоматически нахожу x, потому что это квадратное уравнение». Она попыталась выразить b, сказав: «Я не могу найти b, я знаю, что есть два решения, потому что D> 0, но я не могу его найти, я думаю, что это невозможно». В конце интервью мы вернулись к вопросу. На этот раз мы переписали уравнение как:, и респондент без труда выразил b через x.Другими словами, студентке было трудно даже начать процесс решения, когда она сталкивалась с нестандартным расположением и буквами, хотя у нее не было технических трудностей, решая такие уравнения после того, как они были правильно переставлены. Тот же ученик-учитель сумел перестроить и успешно решить «неопрятное» уравнение, в котором x нужно было выразить через b, то есть стандартное использование букв. После интервью она сказала: «Отныне я буду просить своих учеников выражать разные буквы, не обязательно в обычном порядке».

Интересно отметить, что изменение уравнения в вопросе 9 — это один из способов его решения. Другой способ — поменять местами буквы, то есть поменять местами x и b, найти x, а затем снова поменять местами буквы. Ни один из испытуемых не применил этот метод.

Примеры ошибок, вызванных использованием нестандартных букв в приведенных выше вопросах:

На вопрос 1 правильный ответ :. В этом случае некоторым участникам было трудно принять «незавершенное решение», даже несмотря на то, что это выражение нельзя упростить дальше, за исключением того, что область должна быть указана.

Следовательно, некоторые испытуемые, решившие вопрос правильно, не удовлетворились своим ответом и перечеркнули его. Однако мы действительно сочли скрещенные решения правильными.

Связанная ошибка заключалась в выражении x вместо c (2% студентов-учителей).

«Вы не можете найти c, поскольку это параметр» (5% студентов-преподавателей).

«c — параметр, поэтому может быть любым числом».

Интересная ошибка в вопросе 16 заключалась в том, что при получении правильных ответов в них отсутствовала буква «а».То есть ученик написал:

Аналогичная ошибка смешивала «x» и «a»:

Примеры ошибок в вопросе 9: поиск x вместо b (11% учеников, 5% ученики учителей).

Выражение b через b. (6% учеников, 10% студентов-учителей):

Аналогично, в вопросе 21 4% старшеклассников выразили x через x, например:

Примеры ошибок, допущенных при попытке для решения:

«Невозможно выразить x самостоятельно.

«Не знаю» (32% студентов, 5% студентов-преподавателей).

Превратите x в x 2 (6% студентов, 2% студентов-преподавателей).

Выражается a вместо x (3% студентов).

Примеры ошибок, которые произошли при попытке решить вопрос 5: Найдите m в:

Найдено x (3% студентов).

«Невозможно» (10% студентов, 7% студентов-преподавателей).

Превратило уравнение в квадратное уравнение для m (3% студентов).

6. Обсуждение

Результаты этого исследования показывают, что для уравнений с параметрами большой процент студентов-учителей и еще большая доля учеников совершили ошибку из-за путаницы, связанной с нестандартным использованием букв (например, необходимо выразить a через x). Столкнувшись с уравнениями, в которых параметры и переменные не были расположены стандартным образом, испытуемым было еще труднее решить эти уравнения.

В общем, уравнения, содержащие параметры, труднее решить, чем уравнения без параметров.Испытуемые склонны решать уравнения механически, и поэтому они совершают множество ошибок, когда сталкиваются с нестандартными вопросами, требующими более глубокого понимания.

Ключевыми факторами, которые часто создают проблемы для учащихся, являются тип буквы, которую нужно выразить, порядок решаемого уравнения, мощность переменной, мощность параметра и тип требуемых алгебраических методов. .

Значение для обучения решению уравнений с параметрами Результаты этого исследования, в частности большое количество ошибок, поднимают вопросы относительно эффективности преподавания этой темы.Следовательно, чтобы улучшить понимание учащимися уравнений с параметрами, рекомендуется улучшить понимание учащимися использования букв в таких уравнениях. Например, внимательно прочитав то, что требуется в вопросе, приняв более гибкий подход в отношении того, какие буквы могут быть выражены в терминах других букв, убедившись, что выражение упрощено должным образом, и зная о различия и сходства между уравнениями с параметрами или без них.

Мы рекомендуем включать в школьную программу математики больше уравнений с различными параметрами и переменными, а также уравнения, которые представлены не в обычном порядке. Это побудит учащихся глубже задуматься над темой и получить более глубокое понимание.

Ссылки

  1. Almog, N., & Ilany, B.-S. (2012). Абсолютное неравенство ценностей: решения и заблуждения старшеклассников. Образовательные исследования по математике, 81 , 347-364.http://dx.doi.org/10.1007/s10649-012-9404-z
  2. Дэвис Р. Б. и Хенкин Л. (1978). Неадекватно проверенные аспекты изучения математики — тестирование, преподавание и обучение . Отчет о конференции по исследованиям в области тестирования, Национальный институт образования, 49-63.
  3. Fischbein, E., & Muzicant, B. (2002). Ричард Скемп и его концепция реляционного и инструментального понимания: открытые предложения и открытые фразы. В Д. Толл и М. Томас (ред.), Интеллект, обучение и понимание в математике: дань уважения Ричарду Скемпу (стр.49-77). Flaxton, QLD: Post Pressed Publishers.
  4. Илани Б. (1998). Неуловимый параметр. В 23-е ежегодное собрание Международной группы психологии математического образования (том 4, стр. 265). Стелленбос: Стелленбосский университет.
  5. Илани Б. (1997). Концепции переменных и параметров для учителей и учащихся старших классов . Докторская диссертация, Тель-Авив: Тель-Авивский университет. (на иврите)
  6. Киран, К. (1992).Изучение и преподавание школьной алгебры. В D. A. Grouws (Ed.), Справочник по исследованиям в области преподавания и обучения математике (стр. 390-419).
  7. Киран, К. (2014). Преподавание и изучение алгебры. Энциклопедия математического образования (стр. 27-32). Springer: Ссылка на Springer.
  8. Sedivy, J. (1976). Примечание о роли параметров в обучении математике. Образовательные исследования по математике, 7 , 121-126. http://dx.doi.org/10.1007/BF00144365
  9. Скемп Р.(1987). Психология изучения математики . Хиллсдейл, Нью-Джерси: Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс.

Линейная система уравнений с параметрами

Решение нескольких линейных линий с помощью аналитических методов займет много времени. Не забывайте, что одна ошибка может дорого вам обойтись. Вот почему мы предпочитаем численные методы для предсказания решения. Когда дело доходит до решения, есть два метода, на которые вы можете положиться: один — это решение линейной системы по правилу Крамера, а второй — метод исключения Гаусса.

Решение линейной системы уравнений с параметрами по правилу Крамера

В этом методе мы будем использовать правило Крамера для определения ранга, а также для прогнозирования значения неизвестных переменных в системе. Ниже приведен пример линейной системы с одной неизвестной переменной.

Здесь k — неизвестная переменная. Первым шагом является преобразование системы в матрицу коэффициентов и расширенную матрицу.

A представляет матрицу коэффициентов, а A ‘представляет расширенную матрицу.Следующий шаг — найти определители обеих матриц.

.

If

If

С помощью рангов теперь можно определить тип системы.

Если

, значит, система будет Несогласованная система.

Если

, значит, система будет Согласованная независимая система.

Поскольку мы знаем, с каким типом системы имеем дело, теперь мы можем сосредоточиться на поиске решения для линейной системы. Это уравнение также может быть решено методом исключения Гаусса, но сейчас мы сосредотачиваемся на правиле Крамера.

000

000

рядом со мной выдающиеся репетиторы по математике.

Лучшие доступные репетиторы по математике

Первый урок бесплатно

2. Решение линейной системы уравнений с параметрами методом исключения Гаусса

Исключение Гаусса — это прямой метод численного анализа, который помогает найти определитель, а также ранг матрица. По сути, прямые методы дают точный ответ, но при условии, что они выполняются с бесконечной точностью. Метод исключения Гаусса предполагает, что с помощью операций со строками мы можем найти определитель и ранг матрицы.Иногда вам может потребоваться выполнить частичный поворот, но это не обязательно.

В методе исключения Гаусса нам нужно преобразовать расширенную матрицу в верхнюю треугольную матрицу. В случае, если вы не знаете верхнюю треугольную матрицу, тогда это матрица, в которой все элементы ниже диагонали равны нулю. Вот иллюстрация верхней треугольной матрицы.

В этой верхней треугольной матрице

— диагональные элементы, а остальные переменные — константы.Если вы умножите все элементы диагонали, вы получите определитель матрицы. Необходимо определить, существует ли какое-либо значение м для обеспечения согласованности системы. Если да, решите систему для этого значения м .

Преобразуйте его в расширенную матрицу:

Операции со строками:

Если вы посмотрите на левую часть операции строки, это означает, что вы применяете операцию строки к этой конкретной строке.Правая часть операции со строкой показывает операцию, которую вы хотите применить к этой конкретной строке. Обратите внимание, что эта операция будет применена ко всей строке.

Кроме того, вы можете сместить столбец. Например, в приведенной выше матрице, если мы поменяем местами столбцы 2 и 3, мы можем легко получить верхнюю треугольную матрицу.

Если

, это означает, следовательно, система будет Несогласованная система .

Если

, это означает, что система будет Согласованной зависимой системой .

Примеры

Поскольку матрица уже имеет форму верхней треугольной матрицы, мы можем использовать обратную подстановку напрямую, чтобы найти значения x, y и z.

Следовательно, будет два решения:

или

или

Если

или

быть Несогласованная система

Если

, следовательно, система Согласованная зависимая система.

Если

, следовательно, система является согласованной независимой системой .

2 Если система будет последовательной, это означает, что

будет последовательной.

Если

Если

Приведенная выше система будет несовместимой системой .

Если

Вышеупомянутая система будет согласованной зависимой системой.

Посмотрите, на что вам следует обратить внимание в репетиторе математики рядом со мной.

(PDF) Решение уравнений с параметрами

B.-S. Илани, Д. Хасидов

Скемп (1987) утверждает, что правила обучения без причины позволяют ученику функционировать только в узких рамках

и иметь дело только со стандартными задачами. Однако такой подход ограничивает понимание учащимися, и они не смогут справиться с более сложными задачами. Понимание позволяет ученику решать

нестандартных задач, которые не могут быть решены механическим применением формул. Fischbein и Muzicant

(2002) указывают на то, что ученики обучались в основном процедурным образом и, следовательно, они часто не различают

концептуального и процедурного знания.Многие ученики затрудняются распознать, что буква представляет

число, и не знают, как работать с символическими значениями (Kieran, 1992, 2014).

Широко признано, что учителям важно осознавать, как их ученики воспринимают математические темы

, в частности, конкретные причины совершения ошибок (Almog & Ilany, 2012).

На начальных курсах студенты привыкают к тому, что x (а позже y и z) являются переменными, а буквы, такие как a, b, c

, являются константами или параметрами.Однако на более продвинутых курсах они сталкиваются с вопросами, в которых буквы

используются по-другому, и они находят это очень запутанным. Например, задачи интеграции, где x фиксировано, а y равно

переменной. Или объемные вопросы, где a, b, c используются в качестве переменных.

Ученики решают в школе бесчисленные упражнения с уравнениями, в которых буква x представляет собой переменную, которая должна быть выражена

буквами a, b, c и т. Д. В этом исследовании испытуемым предлагалось множество уравнений с

нестандартная подача, о чем говорилось выше.

2. Цель

Цели исследования — изучить и выявить трудности старшеклассников и старшеклассников

учителей при решении уравнений с параметрами. Кроме того, выяснить, есть ли существенные различия между

учениками и студентами-учителями в отношении решения таких уравнений. Какие процедуры используются и какие трудности возникают при решении уравнений с параметрами.

3. Вопросы для исследования

1) Как испытуемые решают уравнения с параметрами, в которых они должны выражать различные буквы через

других букв и параметров? В частности, когда уравнения не построены стандартным образом.

2) Есть ли различия между учениками и студентами-учителями в том, как они решают такие уравнения.

И если да, то в чем отличия.

Примеры уравнений, исследованных в статье (нумерация вопросов соответствует нумерации вопросов в анкете

):

• Вопрос 16: Найдите x (через a) в

(довольно стандартное уравнение с переменной x и

параметр a).

• Вопрос 1. Найдите c (в терминах x) в

(менее стандартно, поскольку требуется выразить c в терминах

x).

• Вопрос 9: Найдите b (через x) в

(менее стандартно, так как требуется, чтобы «правильно» переставить уравнение

, а затем выразить b через x).

• Вопрос 21: Следующее уравнение является линейным по x, хотя может ошибочно показаться квадратичным уравнением:

в терминах a:

()

2

11 2a xx ax− + = −−

.

Мы называем знания, необходимые для решения простых уравнений, процедурными.Уравнение

с нестандартными презентациями требует более гибкого подхода.

4. Метод

Исследуемая выборка состояла из 115 студентов-учителей математики на третьем и четвертом году обучения и

133 учеников двенадцатого класса с высшим уровнем математики (5-элементный поток математики) в четырех средних школах.

Инструменты. Для исследования был разработан вопросник, который был разослан обеим группам. Часть анкеты

состоит из шести вопросов, которые включают уравнения с параметрами.Это исследование сообщает о результатах

двух вопросов уравнений первой степени (вопросы (5) и (21)) и трех вопросов уравнений второй степени

(вопросы 16, 1 и 9). Вопросы перечислены в Таблице 1 и Таблице 3.

Процедура: Чтобы понять процесс решения предметов, были просмотрены пять учеников и шесть студентов-учителей. Вопросы для интервью были разработаны после заполнения и анализа анкеты. Целью

было прояснить и продвинуть результаты анкеты.Кроме того, были проведены открытые наблюдения в

, чтобы внимательно изучить ответы испытуемых.

Как решить систему линейных уравнений с дополнительным параметром?

(Для получения дополнительной информации о матрицах, векторах, векторных произведениях и других связанных темах ознакомьтесь с нашей серией электронных книг по линейной алгебре.)

Сегодня Коннор задал следующий вопрос, связанный с системой линейных уравнений с дополнительным параметром:

Учитывая что $ x_1 + hx_2 = 4 $ и $ 3x_1 + 6x_2 = 8 $, найдите все пары вида $ (x_1, x_2) $, удовлетворяющие обоим уравнениям.

Хорошо… Что нам делать с этими дополнительными $ h $? Что ж, читайте дальше!

С самого начала нам дана эта система линейных уравнений:

\ begin {cases} x_1 + hx_2 = 4 & (a) \\ 3x_1 + 6x_2 = 8 & (b) \ end {cases}

Что делать? Что ж, мы можем попытаться решить эту систему линейных уравнений, сначала рассматривая $ h $ как обычный коэффициент, и посмотреть, к чему это приведет нас, когда мы будем действовать разумно. Во-первых, разделив уравнение $ (b) $ на $ 3 $ с обеих сторон, получим следующую эквивалентную систему:

\ begin {cases} x_1 + hx_2 = 4 & (1) \\ x_1 + 2x_2 = \ frac {8} { 3} & (2) \ end {cases}

Превращая уравнение 2 nd в $ (2) — (1) $, получаем:

\ begin {align *} \ begin {cases} x_1 + hx_2 = 4 \\ (2-h) x_2 = \ frac {8} {3} -4 \ end {cases} \ qquad & \ Leftrightarrow \ qquad \ begin {cases} x_1 + hx_2 = 4 & (3) \\ ( h-2) x_2 = 4- \ frac {8} {3} = \ frac {4} {3} & (4) \ end {cases} \ end {align *}

На данный момент наша последняя система по-прежнему эквивалент оригиналу (т.е.е., $ (a) $ и $ (b) \ iff (3) $ и $ (4) $). А с $ (4) $ мы определенно на один шаг ближе к решению для $ x_2 $. Но прежде чем мы это сделаем, обратите внимание, что мы не можем решить для $ x_2 $, переместив $ h-2 $ вправо, если $ h-2 = 0 $ (т.е. $ h = 2 $). Тогда откроются две банки с червями…

Замените $ h $ на 2 в уравнениях $ (3) $ и $ (4) $, появится следующая система:

\ begin {cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ 0 = \ frac {4} {3} \ end {cases}

Ой. Противоречие. Во всяком случае, этого не может быть, поэтому в данном случае нет решения.

На самом деле, нам даже не нужно переходить к $ (3) $ и $ (4) $, чтобы увидеть это. Это потому, что если мы просто подключим 2 к $ h $ к тому времени, когда мы дойдем до $ (1) $ и $ (2) $, мы получим следующую систему:

\ begin {cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ x_1 + 2x_2 = \ frac {8} {3} \ end {cases}

который, как мы видим, уже является системой, уравнения которой противоречат друг другу. Здесь — картинка стоит тысячи слов:

Видите… это потому, что они параллельны друг другу. Значит, точки пересечения нет!

Как только вышеупомянутое тривиальное препятствие будет устранено, мы можем перейти к чему-то более серьезному.Для записи, вот последняя система, которая у нас есть на данный момент:

\ begin {cases} x_1 + hx_2 = 4 & (3) \\ (h-2) x_2 = 4 — \ frac {8} {3} = \ frac {4} {3} & (4) \ end {ases}

Поскольку $ h \ ne 2 $ now, $ h-2 \ ne 0 $. Таким образом, мы можем разделить уравнение $ (4) $ на $ h-2 $ с обеих сторон, и в этом случае мы получим:

\ begin {cases} x_1 + hx_2 = 4 & (5) \\ x_2 = \ frac {4} {3 (h-2)} & (6) \ end {ases}

Наконец, если мы превратим $ (5) $ в $ (5) -h (6) $, мы получим очень аккуратный система взамен:

\ begin {cases} x_1 = 4 — \ frac {4h} {3 (h-2)} = \ frac {8h-24} {3h-6} & (7) \\ x_2 = \ frac {4} {3 (h-2)} = \ frac {4} {3h-6} & (8) \ end {cases}

Итак, для каждые $ h \ ne 2 $ мы получаем уникальный пара решений вида $ \ left (\ dfrac {8h-24} {3h-6}, \ dfrac {4} {3h-6} \ right) $.

Некоторые иллюстрации

Например, если $ h = 0 $, то исходная система принимает вид:

\ begin {cases} x_1 = 4 \\ 3x_1 + 6x_2 = 8 \ end {ases}

В этом случае, уникальное решение:

$$ \ left (\ frac {8h-24} {3h-6}, \ frac {4} {3h-6} \ right) _ {h = 0} = \ left (4 , — \ frac {2} {3} \ right) $$

Вот изображение:

Точка пересечения находится в $ (4, — \ frac {2} {3}) $.

И в случае, когда $ h = 10 $, исходная система принимает вид:

\ begin {cases} x_1 + 10x_2 = 4 \\ 3x_1 + 6x_2 = 8 \ end {ases}

В этом случае единственное решение будет:

$$ \ left (\ frac {8h-24} {3h-6}, \ frac {4} {3h-6} \ right) _ {h = 10} = \ left (\ frac {56 } {24}, \ frac {4} {24} \ right) = \ left (\ frac {7} {3}, \ frac {1} {6} \ right) $$

И снова картинка:

Обратите внимание, как уравнение 1 st (красная линия) повернулось против часовой стрелки примерно на $ (4,0) $ при увеличении h.Точка пересечения теперь находится в $ \ displaystyle \ left (\ frac {7} {3}, \ frac {1} {16} \ right) $.

И вот как мы можем решить одновременно бесконечно много систем линейных уравнений! Для последней проверки работоспособности вот анимация Desmos, которую мы собрали — просто для того, чтобы мы могли объединить все, что мы узнали до сих пор, на одном слайде.

Решение системы линейных уравнений с параметрами

Не выполняя дальнейших вычислений, вы можете заметить, что сложив первое и третье уравнение, вы получите
$$ (3- \ lambda) x_1 + (3- \ lambda) x_3 = 2.$$
Для $ \ lambda = 3 $ это уравнение $ 0 = 2 $. Итак, вы знаете, что при $ \ lambda = 3 $ у системы нет решения.

Если вы предпочитаете работать с матрицами, вы можете добавить первую строку матрицы к третьей строке, и новая матрица будет содержать строку $ \ begin {pmatrix} 3- \ lambda & 0 & 3- \ lambda & 2 \ end {pmatrix} $, что приводит к точно такому же выводу.


Мы также знаем, что система $ Ax = b $ имеет единственное решение, если определитель $ A $ не равен нулю. (Фактически, в таком случае единственное решение может быть даже найдено с помощью правила Крамера, хотя такой способ решения уравнения обычно непрактичен, если вычисление определителя не является особенно простым.2-6 \ lambda-3) $. Итак, мы знаем, что система имеет единственное решение для всех значений, которые не являются корнями этого многочлена, то есть для $ \ lambda \ ne 3, 3 \ pm2 \ sqrt3 $. (Определитель сам по себе не является достаточной информацией, чтобы сказать нам, будет ли у нас ноль или бесконечно много решений для этих значений. Что неудивительно, поскольку это вычисление вообще не задействовало RHS. Но, по крайней мере, мы знаем, что для $ \ лямбда $ равна любому из этих трех значений, система не может иметь ровно одно решение.)

Обратите внимание, что если вы измените $ + 2x_3 $ на $ -2x_3 $ во втором уравнении, то определитель будет равен $ — (1- \ lambda) (3- \ lambda) (5- \ lambda) $. Итак, мы знаем, что при $ \ lambda \ ne1,3,5 $ уравнение имеет только одно решение. (Обратите внимание на числа $ 1 $ и $ 5 $, аналогичные числам $ -1 $ и $ 5 $, которые появились в задаче формулировки.)

Или если поменять систему на
$$
(4- \ лямбда) x_1 + 2x_2-x_3 = 1 \\
2x_1 + (1- \ лямбда) x_2 + 2x_3 = 2 \\
-x_1 + 2x_2 + (4- \ lambda) x_3 = 1
$$
(т. 2 (\ lambda + 1) $ и система имеет единственное решение для $ \ lambda \ ne-1,5 $.

Я должен сказать, что вычислить определитель не намного проще, чем выполнить исключение Гаусса-Жордана. (Определитель может вычисляться с использованием элементарных операций со строками. Если мы вычисляем его таким образом, то в основном единственная разница состоит в том, что здесь мы проигнорировали RHS.)
Но мы можем проверить наши ручные вычисления с помощью некоторого программного обеспечения, которое способно решить такие вещи (например, WolframAlpha). Вы даже можете попросить WolframAlpha решить систему из вашего вопроса или предложенной мной модификации или второй модификации, которую я предложил.


Итак, я думаю, что в книге есть опечатка, и это должна быть система, которую я предложил; или что-то подобное, что приводит к хорошему решению.

Другая возможность состоит в том, что от вас не ожидается полного решения системы для каждого значения параметра $ \ lambda $. Может быть, авторы ожидают, что вы просто скажете, что решения для $ \ lambda = 3 $ не существует. (Что может быть обнаружено так, как я объяснил выше. И этого достаточно, чтобы ответить на оба вопроса.)

Мне первое объяснение кажется более вероятным.2 $

Обратите внимание, что проверка работает для $ \ lambda = 1 $. Итак, мы знаем, что есть хотя бы одно решение для $ \ lambda = 1 $.

Для $ \ lambda = 1 $

Получаем систему
$$ \ left (\ begin {array} {ccc | c}
1 и 1 и 1 и 1 \\
1 и 1 и 1 и 1 \\
1 и 1 и 1 и 1
\ end {array} \ right) $$
который имеет решения $ x_1 = 1-s-t $, $ x_2 = s $, $ x_3 = t $ (где $ s $, $ t $ произвольны).

Для $ \ lambda = -2 $

$ \ left (\ begin {array} {ccc | c}
-2 и 1 и 1 и 1 \\
1 и -2 и 1 и -2 \\
1 и 1 и -2 и 4
\ end {array} \ right) \ sim
\ left (\ begin {array} {ccc | c}
-2 и 1 и 1 и 1 \\
1 и -2 и 1 и -2 \\
0 и 0 и 0 и 3
\ end {array} \ right) $.

Значит, в данном случае решения нет.

Решатель уравнений и систем — MATLAB решает

  • Если решает не может найти решение и
    ReturnConditions — это false ,
    решить функцию внутренне вызывает числовой решатель
    vpasolve , который пытается найти числовое решение. Для полинома
    уравнения и системы без символьных параметров, числовой решатель возвращает все
    решения.Для неполиномиальных уравнений и систем без символических параметров
    числовой решатель возвращает только одно решение (если решение существует).

  • Если решить не может найти решение и
    ReturnConditions равно true ,
    solution возвращает пустое решение с предупреждением. Если нет решений
    Существуют, решать возвращает пустое решение без предупреждения.

  • Если решение содержит параметры и ReturnConditions равно true , solution возвращает
    параметры в решении и условия, при которых
    решения верны.Если ReturnConditions является ложным ,
    функция решения либо выбирает значения
    параметры и возвращает соответствующие результаты или возвращает параметризованные
    решения без выбора конкретных значений. В последнем случае решает также
    выдает предупреждение с указанием значений параметров в возвращенном
    решения.

  • Если параметр не отображается ни при каких условиях, он
    означает, что параметр может принимать любое комплексное значение.

  • Результат решения может содержать
    параметры из входных уравнений в дополнение к введенным параметрам
    на решить .

  • Параметры, введенные решить сделать
    не появляются в рабочем пространстве MATLAB. Доступ к ним должен осуществляться с помощью
    выходной аргумент, который их содержит. В качестве альтернативы можно использовать
    параметры в рабочем пространстве MATLAB используют syms для
    инициализировать параметр. Например, если параметр — k ,
    используйте syms k .

  • Имена переменных параметры и условия
    не допускается в качестве входных данных для , решения .

  • Для решения дифференциальных уравнений используйте функцию dsolve .

  • При решении системы уравнений всегда присваивайте
    результат для вывода аргументов. Выходные аргументы позволяют получить доступ к
    значения решений системы.

  • MaxDegree принимает только положительные
    целые числа меньше 5, потому что, как правило, нет явных
    выражения для корней многочленов степеней выше 4.

  • Выходные переменные y1 ,..., yN не указывать переменные для
    который решает решает уравнения или системы.

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.