Как решать системы линейных уравнений: Системы линейных уравнений

Содержание

6.9.3. Решение систем линейных уравнений методом сложения.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 3.6k. Опубликовано

Чтобы решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения, надо:

1) умножить левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в уравнениях стали противоположными числами;

2) сложить почленно полученные уравнения и найти значение одной из переменных;

3) подставить найденное значение одной переменной в одно из данных уравнений и найти значение второй переменной.

Если в данной системе коэффициенты при одной переменной являются противоположными числами, то решение системы начнём сразу с пункта 2).

Примеры. Решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения.

Так как коэффициенты при у являются противоположными числами (-1 и 1), то решение начинаем с пункта 2). Складываем уравнения почленно и получим уравнение 8х = 24.  Вторым уравнением системы можно записать любое уравнение исходной системы.

 

Найдём х и подставим его значение во 2-ое уравнение.

 

Решаем 2–ое уравнение: 9-у = 14, отсюда у = -5.

Сделаем проверку. Подставим значения х = 3 и у = -5 в первоначальную систему уравнений.

Примечание. Проверку можно сделать устно и не записывать, если наличие проверки не оговорено в условии.

 

Ответ: (3; -5).

 

Если мы умножим 1-ое уравнение на (-2), то коэффициенты при переменной х станут противоположными числами:

Сложим эти равенства почленно.

Мы получим равносильную систему уравнений, в которой 1-ое уравнение есть сумма двух уравнений прежней системы, а 2-м уравнением системы мы запишем 1-ое уравнение исходной системы (обычно записывают уравнение с меньшими коэффициентами):

Находим у из 1-го уравнения и полученное значение подставляем во 2-ое.

 

Решаем последнее уравнение системы и получаем х = -2.

Ответ: (-2; 1).

Сделаем коэффициенты при переменной у противоположными числами. Для этого все члены 1-го уравнения умножим на 5, а все члены 2-го уравнения на 2.

Подставим значение х=4 во 2-ое уравнение.

· 4 — 5у = 27. Упростим: 12 — 5у = 27, отсюда -5у = 15, а у = -3.

Ответ: (4; -3).

Решение СЛАУ методами подстановки и сложения

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Например, уравнение

линейное, а уравнения

и

не являются линейными.

В общем виде система m линейных уравнений с n переменными записывается так:

. (1)

Числа
 

называются коэффициентами при переменных, а
 —
свободными членами.

Совокупность чисел


называется решением системы (1) линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.

Изучение систем линейных уравнений начинается в средней школе. В школьном курсе рассматриваются в основном системы двух линейных уравнений
с двумя переменными и два метода их решения — метод подстановки и метод сложения. Эти методы являются основой изучаемого в курсе
высшей математике метода Гаусса. (Принципиально иной метод — метод Крамера —
основан на использовании определителей).

Чтобы последовательно двигаться от простому к ещё более простому (сложному), повторим два школьных метода.

Решение. При решении системы линейный уравнений методом подстановки сначала из какого-нибудь уравнения выражают
одну переменную через другую (другие, если неизвестных больше двух). Полученное выражение подставляют в другие уравнения, в результате чего приходят к уравнению
с одной переменной. Затем находят соответствующее значение второй (и третьей, если она есть) переменной.

Начнём со вполне школьного примера системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Выразим из первого уравнения
данной системы y через x (можно и наоборот) и получим:

Подставив во второе уравнение данной системы вместо y выражение , получим систему

Данная и полученная системы равносильны. В последней системе второе уравнение содержит только одну переменную.
Решим это уравнение:

Соответствующее значение y найдём, подставив вместо x число -5 в выражение
, откуда

Пара (-5; 2) является решением системы линейных уравнений.

Методом подстановки можно решать и системы трёх линейных уравнений с тремя переменными.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Из третьего уравнения системы выразим :

.

Подставим это выражение во второе уравнение данной системы:

.

Произведём преобразования и выразим из этого уравнения :

Полученные выражения для и подставим в первое уравнение системы и получим

.

Вместо можно вновь подставить его выражение, тогда получим
уравнение с одним неизвестным:

откуда

.

Теперь из ранее полученных выражений для остальных переменных найдём и эти переменные:

Итак, решение данной системы линейных уравнений:

.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Из первого уравнения системы выразим :

.

Подставим это выражение во второе уравнение данной системы, после чего выполним преобразования и получим:

Из третьего уравнения выразим :

Полученное выражение для подставим в преобразованное второе уравнение системы и получим уравнение с одним неизвестным:

.

Произведём преобразования и найдём :

Теперь из ранее полученных выражений для остальных переменных найдём и эти переменные:

Итак, решение данной системы линейных уравнений:

.

При решении систем линейных уравнений методом сложения уравнения системы почленно складывают, причём
одно или оба (несколько) уравнений могут быть умножены на различные числа. В результате приходят к эквивалентной
(равносильной) системе линейных уравнений, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом сложения:

Решение. В уравнениях данной системы в этом примере системы коэффициенты при y — противоположные числа.
Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:

, или , .

Заменим одно из уравнений исходной системы, например, первое, уравнением . Получим систему

Решим полученную систему. Подставив значение
в уравнение , получим уравнение с одной переменной y:

Пара (2; 1) является решением полученной системы линейных уравнений. Она является также решением
исходной системы, так как эти две системы линейных уравнений равносильны.

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом сложения

Почленное сложение уравнений системы не приводит к исключению одной из переменных. Но если умножить все члены первого уравнения на -3,
а второго уравнения на 2, то коэффициенты при x в полученных уравнениях будут противоположными числами:

Почленное сложение уравнений полученной в результате преобразований системы приводит к уравнению с одной переменной:
. Из этого уравнения находим, что . Получили

Решением полученной системы, а следовательно и исходной системы линейных уравнений является пара чисел (-3; 0).

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом сложения:

Решение. Для упрощения решения произведём замену переменных:

, .

Приходим к системе линейных уравнений:

или

Умножим второе уравнение полученной системы на -2 и сложим с первым уравнением, получим
,
. Тогда .

Следовательно, имеем систему уравнений

или

Умножим второе уравнение полученной системы на 3 и сложим с первым уравнением. Получим

.

Решив задачи из примеров на решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения, мы научились производить элементарные преобразования,
необходимые для решениях систем линейных уравнений в курсе высшей математики.

Продолжение темы «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Решение систем линейных уравнений

Напомним для начала определение решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

В дальнейшем будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя переменными.

Рисунок 1.

Существуют три способа решения систем линейных уравнений: способ подстановки, способ сложения и графический способ. Рассмотрим его на следующем примере:

Помощь со студенческой работой на тему

Решение систем линейных уравнений

Рисунок 2.

Способ подстановки

Способ подстановки заключается в следующем: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

Рисунок 3.

Выразим из второго уравнения $y$ через $x$:

Подставим в первое уравнение, найдем $x$:

Найдем $y$:

Ответ: $(-2,\ 3)$

Способ сложения

Рассмотрим данный способ на примере:

Рисунок 4.

Умножим второе уравнение на $3$, получим:

Рисунок 5.

Теперь сложим оба уравнения между собой:

Найдем $y$ из второго уравнения:

Ответ: $(-2,\ 3)$

!!! Отметим, что в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении одна из переменных «исчезла».

Графический способ

Графический способ заключается в следующем: Оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Рисунок 6.

Выразим из обоих уравнений $y$ через $x$:

Рисунок 7.

Изобразим оба графика на одной плоскости:

Рисунок 8.

Ответ: $(-2,\ 3)$

Пример решения систем линейных уравнений с двумя переменными

Пример 1

Решить систему уравнений тремя способами:

Рисунок 9.

Решение:

1) Способ подстановки.

Выразим $x$ через $y$:

\[x=y\]

Подставим в второе уравнение, найдем $y$:

\[2y+3y=-5\] \[y=-1\]

Найдем $x$:

\[x=-1\]

Ответ: $(-1,-1)$

2) Способ сложения.

Умножим первое уравнение на $3$, получим:

Рисунок 10.

сложим оба уравнения между собой:

\[5x=-5\] \[x=-1\]

Найдем $y$ из первого уравнения:

\[-1-y=0\] \[y=-1\]

Ответ: $(-1,\ -1)$

3) Графический способ.

Выразим из обоих уравнений $y$ через $x$:

Рисунок 11.

Изобразим оба графика на одной плоскости:

Рисунок 12.

Ответ: $(-1,\ -1)$

Численные методы: решение систем линейных уравнений

В прикладных задачах часто возникает необходимость решать системы линейных уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений с n неизвестными  —  это система уравнений вида

                                     (1)

Слово система означает, что все уравнения рассматриваются как одно целое.

В общем случае у нас имеется m — уравнений, n — количество неизвестных.  x1x2,…, xn — неизвестные, которые следует определить.

В системе (1)  – фиксированные коэффициенты,  b1b2, …, bm — свободные члены — предполагаются известными.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Задача состоит в том, чтобы найти такие  которые удовлетворяют всем уравнениям (1).

В частном случае мы имеем одно линейное уравнение:

Конечно, такое уравнение легко решить, если предположить, что коэффициент  не равен 0, имеем:  = .

Очевидно, в общем случае имеются 3 варианта решений: система имеет ни одного решения, имеет одно решение, более одного решения.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если нет ни одного решения.

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

Ax = b

Здесь A — это матрица системы, x — столбец неизвестных, а b — столбец свободных членов.

Если к матрице A приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Рассмотрим, например, систему вида и поймем, как найти ее решение:

                                      (2)

Предположим на минуту, что в первом уравнении y отсутствует, а во втором отсутствует x, тогда мы имели бы решение именно то решение, которое нам нужно.

Вопрос: как исходную систему привести к такому виду и можно ли это сделать.

Заметим, что с тождествами мы можем делать следующие вещи: домножать на одно и то же число, отличное от 0, складывать, вычитать и тд, это похоже с тем, что вы раскладываете монеты по своим карманам, не меняя общей суммы.

От этих операций тождество не меняется.

В системе (2) у нас два тождества, домножим второе тождество на 2 и вычтем из первого, получим:

                                      (3)

Формально у нас есть еще старое тождество , но оно нам не понадобится (подумайте, почему).

Система (3) точно такая же, как система (2).

Из второго уравнения системы (3) сразу получим:

 

Никто не мешает нам подставить это значение в первое уравнение:

Отсюда сразу находим, что

Итак, путем простых действий мы нашли, что система (2) может быть представлена в виде:

Именно такие естественные соображения приводят к общему методу решения систем линейных уравнений, известному как метод исключения или метод Гаусса.

Метод Гаусса является одним из самых распространенных прямых методов решения систем линейных уравнений Ax = b:

Опишем этот метод в общем случае.

Вначале исходная система приводится к верхнетреугольному виду.

Это достигается следующей последовательностью преобразований (прямой ход).

Будем считать для удобства, что элемент aij исходной матрицы и компоненты вектора bi есть, соответственно, элементы aij (1) первого шага преобразованной матрицы A1 и преобразованного вектора b1:A = A1, b=b1

Далее, на втором шаге прибавим к второй строке первую, умноженную на  

Аналогично поступим со всеми оставшимися строками, т.е. прибавим к каждой i-ой строке i=2,3,…,N, первую, умноженную на коэффициент  

При этом соответственно изменится и вектор b1. 

Таким образом, 2 шаг.

Имеем систему уравнений A2x = b2:

где

3 шаг.

Прибавим к новой третьей строке новую вторую, умноженную на  

То же самое сделаем с остальными строками 4,5,…,N, т.е. прибавим к i-ой строке вторую, умноженную на  

При этом получим систему A3x = b3:

(k+1)-ый шаг:

Здесь

Поступая так и далее, на шаге N-1 получаем верхнетреугольную систему:

При этом, мы также получили матрицу C переводных коэффициентов, имеющую вид:

Решение полученной треугольной системы  как легко видеть, имеет вид (обратный ход метода Гаусса):

Заметим, что при прямом ходе метода Гаусса может возникнуть ситуация, когда происходит деление на нуль, да и вообще, желательно не делить на малое число, чтобы не накапливалась ошибка.

Поэтому метод Гаусса обычно проводят с частичным выбором главного элемента, то есть после каждого шага (пусть это был k-й шаг) переставляют строки с номерами k,k+1,. ..,N таким образом, чтобы на месте kk оказался элемент  наибольший из всех в k-ом столбце при m>k (при этом, естественно, переставляются и компоненты вектора b).

Можно для максимальной точности переставлять также и столбцы преобразуемой матрицы, чтобы на месте kk оказался максимальный элемент из всех с индексами больше, либо равными k.

Эта процедура называется методом Гаусса с выбором главного элемента. Она несколько повышает точность по сравнению с частичным выбором главного элемента, но весьма неудобна, в том числе для программирования, поскольку при перестановке строк компоненты искомого вектора x переставлять не надо, тогда как при перестановке столбцов надо переставлять и соответствующие компоненты вектора x.

Опишем обратный ход метода Гаусса в несколько иной форме (треугольное разложение).

Введем матрицы Mk по правилу:

На каждом шаге метода Гаусса получается некоторая промежуточная матрица: 

 и вектор  

Нетрудно видеть, что

Вопрос. Почему

Если производить также выбор главных элементов, то необходимо использовать оператор P перестановки индексов l и m, матричные элементы которого равны:

При применении оператора перестановки индексов к матрице слева, меняются местами строки матрицы и компоненты свободного вектора (PAx = Pb), если же его применить справа к матрице, то меняются местами ее столбцы и компоненты решения

Существует большой класс так называемых итерационных методов решения систем уравнений, аналогичных итерационным методам нахождения корней нелинейных уравнений.

Итерационные методы последовательно уточняют решение, отправляясь от начального приближения.

При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций.

Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений.

Идея состоит в том, чтобы найти неподвижную точку матричного уравнения

                                     (5)

эквивалентного начальной системе линейных алгебраических уравнений.

При итерации  в правой части уравнения заменяется, например, в методе Якоби (метод простой итерации) приближение, найденное на предыдущем шаге:

.

Термин неподвижная точка становится ясен, если вы внимательно посмотрите на уравнение (5), по самому своему смыслу величина Х является неподвижной точкой.

Более подробное описание методов решения систем линейных уравнений можно найти в специальной литературе, наша задача дать обзор методов и основные идеи решения такого рода задач.

Обусловленность линейных систем, погрешность

При решении абстрактной задачи Ax = b, где A — оператор произвольной природы, важным моментом является корректность ее постановки.

Задача считается корректной, если решение существует и единственно и , кроме того, решение непрерывно зависит от данных (то есть, при  также стремится к нулю).

Однако и непрерывная зависимость от входных данных может иметь свои нюансы.

Чем меньшее (большее) изменение решения вызывает вариация входных данных, тем более хорошо (плохо) обусловленной считается задача.

Понятие обусловленности является тем более существенным для численных методов, поскольку на практике входные данные известны, как правило, с некоторой погрешностью.

Кроме того, существуют ошибки округления, возникающие при вычислениях.

Таким образом, формально корректная задача, являясь плохо обусловленной, может оказаться разрешимой столь неточно, что в этом будет отсутствовать практический смысл.

Чем можно охарактеризовать количественно обусловленность для линейных систем?

Пусть A — квадратная NxN — матрица.

Рассмотрим задачу Ax = b.

Пусть также  некоторая норма в пространстве RN 

Норма оператора A определяется стандартно:

Обозначим y = Ax и введем число m по правилу:

Величина  называется числом обусловленности.

Очевидно:


  1.      

  2. если A — диагональная, то  (Для какой нормы, или для всех вышеприведенных?). Чем меньше число обусловленности C(A), тем лучше обусловлена система. Действительно, пусть  вариация правой части, а соответствующее изменение решения.

Тогда справедливо следующее неравенство:

 

Доказательство. Имеем:

Так как

то    

Аналогично, поскольку  

Объединяя два неравенства, окончательно получаем для оценки погрешности:

 

В начало

Содержание портала

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Решение систем линейных уравнений

Аннотация: В лекции рассматривается задача решения систем линейных
уравнений. Приводятся необходимые определения и постановка
задачи. Описывается последовательный и параллельный варианты
одного из прямых методов решения линейных систем общего вида –
метода Гаусса. Далее дается описание последовательного и
параллельного алгоритмов, реализующих итерационный метод
сопряженных градиентов

Системы линейных уравнений возникают при решении ряда
прикладных задач, описываемых дифференциальными, интегральными
или системами нелинейных (трансцендентных) уравнений. Они могут
появляться также в задачах математического программирования,
статистической обработки данных, аппроксимации функций, при
дискретизации краевых дифференциальных задач методом конечных
разностей или методом конечных элементов и др.

Матрицы коэффициентов систем линейных уравнений могут иметь
различные структуру и свойства. Матрицы решаемых систем могут
быть плотными, и их порядок может достигать несколько тысяч строк
и столбцов. При решении многих задач могут появляться системы,
обладающие симметричными положительно определенными ленточными
матрицами с порядком в десятки тысяч и шириной ленты в несколько
тысяч элементов. И, наконец, при рассмотрении большого ряда задач
могут возникать системы линейных уравнений с разреженными
матрицами с порядком в миллионы строк и столбцов.

8.1. Постановка задачи

Линейное уравнение с n неизвестными x0, x1, ѕ, xn-1 может быть
определено при помощи выражения

(
8.1)

где величины a0,a1,…,an-1
и b представляют собой постоянные значения.

Множество из n линейных уравнений

(
8.2)

называется системой линейных уравнений или линейной системой. В
более кратком ( матричном ) виде система может представлена как

где A=(ai,j) есть вещественная матрица размера nxn, а векторы b и x состоят из n элементов.

Под задачей решения системы линейных уравнений для заданных
матрицы А и вектора b обычно понимается нахождение значения
вектора неизвестных x, при котором выполняются все уравнения
системы.

8.2. Алгоритм Гаусса

Метод Гаусса – широко известный прямой алгоритм решения систем
линейных уравнений, для которых матрицы коэффициентов являются
плотными. Если система линейных уравнений невырожденна, то метод
Гаусса гарантирует нахождение решения с погрешностью,
определяемой точностью машинных вычислений. Основная идея метода
состоит в приведении матрицы А посредством эквивалентных
преобразований (не меняющих решение системы (8.2)) к треугольному
виду, после чего значения искомых неизвестных могут быть получены
непосредственно в явном виде.

В подразделе дается общая характеристика метода Гаусса,
достаточная для начального понимания алгоритма и позволяющая
рассмотреть возможные способы параллельных вычислений при решении
систем линейных уравнений. Более полное изложение алгоритма со
строгим обсуждением вопросов точности получаемых решений может
быть получено, например, в работах [
[
6
]
,
[
22
]
,
[
47
]
] и др.

8.2.1. Последовательный алгоритм

Метод Гаусса основывается на возможности выполнения
преобразований линейных уравнений, которые не меняют при этом
решения рассматриваемой системы (такие преобразования носят
наименование эквивалентных ). К числу таких преобразований
относятся:

  • умножение любого из уравнений на ненулевую константу;
  • перестановка уравнений;
  • прибавление к уравнению любого другого уравнения системы.

Метод Гаусса включает последовательное выполнение двух этапов.
На первом этапе – прямой ход метода Гаусса – исходная система
линейных уравнений при помощи последовательного исключения
неизвестных приводится к верхнему треугольному виду

где матрица коэффициентов получаемой системы имеет вид

На обратном ходе метода Гаусса (второй этап алгоритма)
осуществляется определение значений неизвестных. Из последнего
уравнения преобразованной системы может быть вычислено значение
переменной xn-1, после этого из предпоследнего уравнения
становится возможным определение переменной xn-2 и т.д.

8.2.1.1. Прямой ход алгоритма Гаусса

Прямой ход метода Гаусса состоит в последовательном исключении
неизвестных в уравнениях решаемой системы линейных уравнений. На
итерации i, 0<=i<n-1, метода производится исключение неизвестной i для всех уравнений с номерами k, большими i (т.е. i<k<=n-1 ).
Для этого из этих уравнений осуществляется вычитание строки i,
умноженной на константу ( aki/aii ), с тем чтобы результирующий
коэффициент при неизвестной xi в строках оказался нулевым – все
необходимые вычисления могут быть определены при помощи
соотношений:

(следует отметить, что аналогичные вычисления выполняются и над
вектором b ).

Поясним выполнение прямого хода метода Гаусса на примере системы линейных уравнений вида:

На первой итерации производится исключение неизвестной x0 из
второй и третьей строки. Для этого из этих строк нужно вычесть
первую строку, умноженную соответственно на 2 и 1. После этих
преобразований система уравнений принимает вид:

В результате остается выполнить последнюю итерацию и исключить
неизвестную x1 из третьего уравнения. Для этого необходимо
вычесть вторую строку, и в окончательной форме система имеет
следующий вид:

На рис. 8.1 представлена общая схема состояния данных на i -й
итерации прямого хода алгоритма Гаусса. Все коэффициенты при
неизвестных, расположенные ниже главной диагонали и левее столбца i, уже являются нулевыми. На i -й итерации прямого хода метода
Гаусса осуществляется обнуление коэффициентов столбца i,
расположенных ниже главной диагонали, путем вычитания строки i,
умноженной на нужную ненулевую константу. После проведения (n-1)
подобной итерации матрица, определяющая систему линейных
уравнений, становится приведенной к верхнему треугольному
виду.

Рис.
8.1.
Итерация прямого хода алгоритма Гаусса

При выполнении прямого хода метода Гаусса строка, которая
используется для исключения неизвестных, носит наименование ведущей, а диагональный элемент ведущей строки называется ведущим
элементом
. Как можно заметить, выполнение вычислений является
возможным только, если ведущий элемент имеет ненулевое значение.
Более того, если ведущий элемент ai,i имеет малое значение, то
деление и умножение строк на этот элемент может приводить к
накоплению вычислительной погрешности и вычислительной
неустойчивости алгоритма.

Возможный способ избежать подобной проблемы может состоять в
следующем: при выполнении каждой очередной итерации прямого хода
метода Гаусса следует определить коэффициент с максимальным
значением по абсолютной величине в столбце, соответствующем
исключаемой неизвестной, т.е.

и выбрать в качестве ведущей строку, в которой этот коэффициент
располагается (данная схема выбора ведущего значения носит
наименование метода главных элементов).

Вычислительная сложность прямого хода алгоритма Гаусса с
выбором ведущей строки имеет порядок O(n3).

8.2.1.2. Обратный ход алгоритма Гаусса

После приведения матрицы коэффициентов к верхнему треугольному
виду становится возможным определение значений неизвестных. Из
последнего уравнения преобразованной системы может быть вычислено
значение переменной xn-1, после этого из предпоследнего уравнения
становится возможным определение переменной xn-2 и т.д. В общем
виде выполняемые вычисления при обратном ходе метода Гаусса могут
быть представлены при помощи соотношений:

Поясним, как и ранее, выполнение обратного хода метода Гаусса
на примере рассмотренной в п. 8.2.1.1 системы линейных
уравнений

Из последнего уравнения системы можно определить, что
неизвестная x2 имеет значение 3. В результате становится
возможным разрешение второго уравнения и определение значение
неизвестной x1=13, т.е.

На последней итерации обратного хода метода Гаусса
определяется значение неизвестной x0, равное -44.

С учетом последующего параллельного выполнения можно отметить,
что вычисление получаемых значений неизвестных может выполняться
сразу во всех уравнениях системы (и эти действия могут
выполняться в уравнениях одновременно и независимо друг от
друга). Так, в рассматриваемом примере после определения значения
неизвестной x2 система уравнений может быть приведена к виду

Вычислительная сложность обратного хода алгоритма Гаусса
составляет O(n2).

Метод подстановки при решении системы линейных уравнений

При решении системы линейных уравнений с двумя переменными можно использовать графический метод. Однако алгебраический является более надежным. Одним из алгебраических методов является метод подстановки.

Суть метода подстановки заключается в следующем. В одном уравнении (не важно каком) системы одна переменная выражается через другую. После этого во второе уравнение системы вместо соответствующей переменной подставляется выражение, которому равна эта переменная, полученное ранее. Приведем пример; допустим, дана система уравнений:

| 10x + 10y + 10 = 0
| –2x – 4y – 8 = 0

Выразим во втором уравнении y через x:
–4y = 2x + 8
y = (2x + 8) / –4
y = –0.5x – 2

Теперь подставим в первое уравнение вместо y выражение –0.5x – 2. Это допустимо, так как y равен этому выражению, то есть y и это выражение эквивалентны. Получим:
10x + 10(–0.5x – 2) + 10 = 0

Теперь решим полученное уравнение с одной переменной, то есть найдем значение x.
10x – 5x – 20 + 10 = 0
5x – 10 = 0
5x = 10
x = 2

Для того, чтобы найти y надо подставить значение x в любое линейное уравнение из системы, но проще в то, где y уже выражен через x:
y = –0.5x – 2 = y = –0.5 * 2 – 2 = –1 – 2 = –3

Таким образом решением заданной системы уравнений являются значения x = 2, y = –3.

Проверим это, подставив соответствующие значения в одно или оба линейных уравнения системы:
10x + 10y + 10 = 10 * 2 + 10 * (–3) + 10 = 20 – 30 + 10 = 0 — верное равенство
–2x – 4y – 8 = –2 * 2 – 4 * (–3) – 8 = –4 + 12 – 8 = 0 — верное равенство

При использовании метода подстановки не важно выражать ли x через y или как в приведенном примере y через x. При выборе исходить надо из удобства: что проще из чего выразить. Например, в уравнении 4.35x + y – 1.5 проще выразить y через x: y = 1.5 – 4.35x. А вот в уравнении 2x – 4y = 0 лучше выразить x через y: x = 2y.

Как отмечалось выше уравнение, которое подвергается преобразованию, также можно выбрать произвольно, исходя из принципа удобства.

Решение системы уравнений (ЕГЭ 2022)

Метод сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

То есть:

\( \left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+d\)

(но ни в коем случае не наоборот: \( a+c=b+d\text{ }\triangleleft \ne \triangleright \text{ }\left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\))

Действительно, мы ведь имеем право прибавить к обеим частям уравнения одно и то же число, например, прибавим к первому уравнению число \( c\):

\( \left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+c\)

Но раз \( c=d\), в правой части можем заменить \( c\) на \( d\):

\( \left\{ \begin{array}{l}a=b\\c=d\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+c\text{ }\Rightarrow \text{ }a+c=b+d\).

Пример №5

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+y=12\\3x-y=3\end{array} \right.\)

Сложим эти уравнения (левые части друг с другом, и правые – тоже друг с другом):

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+y=12\\3x-y=3\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }\underline{\underline{2x}}+\underline{y}+\underline{\underline{3x}}-\underline{y}=15\text{ }\Leftrightarrow \text{ }5x=15\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=3\).

Вот как! \( y\) просто уничтожился в результате сложения.

Скажу сразу, это и была цель всего действия: складываем уравнения только тогда, когда при этом получим более простое уравнение.

Остается теперь только подставить в любое уравнение вместо \( x\) число \( 3\):

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+y=12\\x=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}2\cdot 3+y=12\\x=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}y=6\\x=3\end{array} \right.\)

Ответ: \( \left( 3;\text{ }6 \right).\)

Пример №6

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=13\\4x+5y=23\end{array} \right.\)

Очевидно, здесь сложение ничего не даст. Придется решать другим методом?

Нет! Иначе метод сложения был бы полезен слишком редко. Мы ведь можем умножать любое уравнение на любое ненулевое число?

Так давай умножим первое уравнение на такое число, чтобы потом при сложении какая-то переменная исчезла.

Лучше всего умножить на \( (-2)\):

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=13\text{ }\left| \cdot \left( -2 \right) \right.\\4x+5y=23\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}-4x-6y=-26\\4x+5y=23\end{array} \right.\)

Теперь можно складывать:

\( \left\{ \begin{array}{l}-4x-6y=-26\\4x+5y=23\end{array} \right.\text{ }\Rightarrow \text{ }-4x-6y+4x+5y=-26+23\text{ }\Leftrightarrow \text{ }-y=-3\text{ }\Leftrightarrow\)

\( y=3\)

Теперь подставим \( y=3\) в первое уравнение системы:

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=13\\y=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}2x+9=13\\y=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=3\end{array} \right.\)

Ответ: \( \left( 2;\text{ }3 \right).\)

Теперь порешай сам! (Методом сложения)

Пример 7. \( \left\{ \begin{array}{l}2x+5y=10\\3x-2y=1\end{array} \right.\)

Пример 8. \( \left\{ \begin{array}{l}3y-4x=-13\\3x+7y=56\end{array} \right.\)

Пример 9. \( \left\{ \begin{array}{l}7x+3y=21\\4y-5x=-15\end{array} \right.\)

Пример 10. \( \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{x}-\frac{8}{y}=-2\\\frac{9}{x}+\frac{10}{y}=8\end{array} \right.\)

Ответы:

Пример 7

На что здесь надо умножить, чтобы коэффициенты при x или y были противоположными?

Хм. Как из \( 2\) получить \( -3\) или из \( 2\) получить \( 5\)? Умножать на дробное число?

Слишком громоздко получится. Но ведь можно умножить оба уравнения!

Например, первое на \( 2\), второе на \( 5\):

\( \left\{ \begin{array}{l}2x+5y=10\text{ }\left| \cdot 2 \right.\\3x-2y=1\text{ }\left| \cdot 5 \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}4x+10y=20\\15x-10y=5\end{array} \right.\text{ }\)

Теперь, сложив уравнения, мы можем легко найти \( x\).

\( \text{ }19x=25\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=\frac{25}{19}\)

Подставляем в любое из уравнений и находим \( y\).

Ответ:\( \left( \frac{25}{19};\frac{28}{19} \right)\).

Пример 8.

Решать нужно аналогично первому примеру – сначала нужно умножить первое уравнение на \( 3\), а второе на \( 4\), и сложить.

Ответ\( \left( 7;\text{ }5 \right)\).

Пример 9.

Первое умножаем на \( 4\), а второе на \( {-3}\) и складываем.

Ответ\( \left( 3;\text{ }0 \right)\).

Пример 10.

Умножать можно и на дроби, то есть делить. Умножим первое уравнение на \( \frac{1}{4}\), а второе на \( \frac{1}{5}\):

\( \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{x}-\frac{8}{y}=-2\text{ }\left| \cdot \frac{1}{4} \right.\\\frac{9}{x}+\frac{10}{y}=8\text{ }\left| \cdot \frac{1}{5} \right.\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{4x}-\frac{2}{y}=-\frac{1}{2}\\\frac{9}{5x}-\frac{2}{y}=\frac{8}{5}\end{array} \right.\text{ }\)

Теперь сложим уравнения:

\( \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{4x}-\frac{2}{y}=-\frac{1}{2}\\\frac{9}{5x}-\frac{2}{y}=\frac{8}{5}\end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{3}{2x}\text{+}\frac{9}{5x}\text{=-0,5+1,6}\Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \frac{15}{10x}\text{+}\frac{18}{10x}\text{= 1,1}\Leftrightarrow \frac{33}{10x}=1,1\Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow 33=11x\)

\( x=3\)

Подставив в первое уравнение, найдем \( y\):

\( \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{3}-\frac{8}{y}=-2\\x=3\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}-\frac{8}{y}=-4\\x=3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=2\\x=3\end{array} \right.\)

Ответ: \( \left( 3;2 \right)\)

Системы линейных уравнений

Линейное уравнение — это уравнение для линии .

Линейное уравнение не всегда имеет вид y = 3,5 — 0,5x ,

Также может иметь вид y = 0,5 (7 — x)

Или как y + 0,5x = 3,5

Или как y + 0,5x — 3,5 = 0 и более.

(Примечание: это одно и то же линейное уравнение!)

Система линейных уравнений — это когда у нас есть два или более линейных уравнения , работающих вместе.

Пример: Вот два линейных уравнения:

Вместе они представляют собой систему линейных уравнений.

Сможете ли вы сами определить значения x и y ? (Просто попробуйте, поиграйте с ними немного.)

Попробуем построить и решить реальный пример:

Пример: вы против лошади

Это гонка!

Вы можете бегать 0,2 км каждую минуту.

Лошадь может бегать 0.5 км каждую минуту. Но оседлать лошадь нужно за 6 минут.

Как далеко вы можете уйти, прежде чем лошадь вас поймает?

Мы можем составить из двух уравнений ( d = расстояние в км, t = время в минутах)

  • Вы бежите со скоростью 0,2 км каждую минуту, поэтому d = 0,2 т
  • Лошадь бежит со скоростью 0,5 км в минуту, но мы берем на ее время 6: d = 0,5 (t − 6)

Итак, у нас есть система уравнений (это линейных ):

Решаем на графике:

Вы видите, как лошадь стартует через 6 минут, а потом бежит быстрее?

Кажется, тебя поймают через 10 минут… тебе осталось всего 2 км.

В следующий раз беги быстрее.

Итак, теперь вы знаете, что такое система линейных уравнений.

Давайте продолжим узнавать о них больше ….

Решение

Существует множество способов решения линейных уравнений!

Давайте посмотрим на другой пример:

Пример: Решите эти два уравнения:

На этом графике показаны два уравнения:

Наша задача — найти место пересечения двух линий.

Ну, мы видим, где они пересекаются, так что это уже решено графически.

А теперь давайте решим это с помощью алгебры!

Хммм … как это решить? Способов может быть много! В этом случае оба уравнения имеют «y», поэтому давайте попробуем вычесть все второе уравнение из первого:

x + y — (−3x + y) = 6 — 2

А теперь упростим:

х + у + 3х — у = 6-2

4x = 4

х = 1

Итак, теперь мы знаем, что линии пересекаются в точке x = 1 .

И мы можем найти совпадающее значение y , используя любое из двух исходных уравнений (потому что мы знаем, что они имеют одинаковое значение при x = 1). Воспользуемся первым (второй можете попробовать сами):

х + у = 6

1 + у = 6

г = 5

И решение:

x = 1 и y = 5

И график показывает, что мы правы!

Линейные уравнения

В линейных уравнениях допускаются только простые переменные. Нет x 2 , y 3 , √x и т. Д. :

Линейное против нелинейного

Размеры

Линейное уравнение может быть в 2 измерениях …
(например, x и y )
… или в 3-х измерениях …
(делает самолет)
… или 4 размера …
… или больше!

Общие переменные

Чтобы уравнения «работали вместе», они разделяют одну или несколько переменных:

Система уравнений состоит из двух или более уравнений в одной или нескольких переменных

Множество переменных

Таким образом, Система уравнений может иметь многих уравнений и многих переменных.

Пример: 3 уравнения с 3 переменными

2x + года 2z = 3
x года z = 0
x + года + 3z = 12

Может быть любая комбинация:

  • 2 уравнения с 3-мя переменными,
  • 6 уравнений с 4 переменными,
  • 9000 уравнений в 567 переменных,
  • и др.

Решения

Когда количество уравнений равно , то же , что и количество переменных, , вероятно, будет решением. Не гарантировано, но вероятно.

На самом деле есть только три возможных случая:

  • Нет раствор
  • Одно решение
  • Бесконечно много решений

Когда нет решения , уравнения называются «несовместимыми» .

Одно или бесконечно много решений называются «согласованными»

Вот диаграмма для 2 уравнения с 2 переменными :

Независимый

«Независимый» означает, что каждое уравнение дает новую информацию.
В противном случае это «Зависимые» .

Также называется «линейная независимость» и «линейная зависимость»

Пример:

Эти уравнения — «Зависимые» , потому что они на самом деле то же уравнение , только умноженное на 2.

Итак, второе уравнение не дало новой информации .

Где верны уравнения

Уловка состоит в том, чтобы найти, где , все уравнений являются истинными одновременно .

Верно? Что это значит?

Пример: вы против лошади

Линия «ты» истинна по всей длине (но больше нигде).

В любом месте этой строки d равно 0.2т

  • при t = 5 и d = 1 уравнение истинно (d = 0,2t? Да, поскольку 1 = 0,2 × 5 верно)
  • при t = 5 и d = 3 уравнение неверно (Является ли d = 0,2t? Нет, поскольку 3 = 0,2 × 5 неверно )

Точно так же «конская» линия также истинна по всей своей длине (но больше нигде).

Но только в точке, где они пересекают (при t = 10, d = 2), оба являются истинными .

Значит, они должны выполняться одновременно

… поэтому некоторые люди называют их «Одновременные линейные уравнения»

Решить с помощью алгебры

Для их решения принято использовать алгебру.

Вот пример «Лошади», решенный с помощью алгебры:

Пример: вы против лошади

Система уравнений:

В этом случае кажется самым простым приравнять их друг другу:

d = 0.2т = 0,5 (т − 6)

Начать с : 0,2t = 0,5 (t — 6)

Расширить 0,5 (t − 6) : 0,2t = 0,5t — 3

Вычтем 0,5t с обеих сторон: −0,3t = −3

Разделим обе части на −0,3 : t = −3 / −0,3 = 10 минут

Теперь мы знаем , когда тебя поймают!

Зная t , мы можем вычислить d : d = 0,2t = 0,2 × 10 = 2 км

И наше решение:

t = 10 минут и d = 2 км

Алгебра против графиков

Зачем использовать алгебру, если графики настолько просты? Потому что:

Более 2 переменных не могут быть решены с помощью простого графика.

Итак, алгебра приходит на помощь двумя популярными методами:

  • Решение заменой
  • Решение методом исключения

Мы увидим каждую с примерами по 2 переменным и 3 переменным. Вот и …

Решение заменой

Это шаги:

  • Напишите одно из уравнений в стиле «переменная = …»
  • Заменить (т.е. заменить) эту переменную в другое уравнение (а).
  • Решите другое уравнение (а)
  • (при необходимости повторить)

Вот пример с 2 уравнениями с 2 переменными :

Пример:

Мы можем начать с любого уравнения и любой переменной .

Воспользуемся вторым уравнением и переменной «y» (это выглядит как простейшее уравнение).

Напишите одно из уравнений в стиле «переменная =»… «:

Мы можем вычесть x из обеих частей x + y = 8, чтобы получить y = 8 — x . Теперь наши уравнения выглядят так:

Теперь замените «y» на «8 — x» в другом уравнении:

  • 3x + 2 (8 — x) = 19
  • у = 8 — х

Решите, используя обычные методы алгебры:

Развернуть 2 (8 − x) :

  • 3x + 16 — 2x = 19
  • у = 8 — х

Тогда 3x − 2x = x :

И на последок 19-16 = 3

Теперь мы знаем, что такое x , мы можем поместить его в уравнение y = 8 — x :

И ответ:

х = 3
у = 5

Примечание: поскольку — это решение, уравнения «непротиворечивы»

Проверка: почему бы вам не проверить, работают ли x = 3 и y = 5 в обоих уравнениях?

Решение подстановкой: 3 уравнения с 3 переменными

ОК! Давайте перейдем к длинному примеру : 3 уравнения с 3 переменными .

Это несложно, сделать … просто занимает много времени !

Пример:

  • х + г = 6
  • z — 3y = 7
  • 2x + y + 3z = 15

Мы должны аккуратно выровнять переменные, иначе мы потеряем из виду, что делаем:

x + z = 6
3 года + z = 7
2x + года + 3z = 15

WeI может начать с любого уравнения и любой переменной.Воспользуемся первым уравнением и переменной «x».

Напишите одно из уравнений в стиле «переменная = …»:

x = 6 — z
3 года + z = 7
2x + года + 3z = 15

Теперь замените «x» на «6 — z» в других уравнениях:

(К счастью, есть только одно уравнение с x в нем)

х = 6 — z
3 года + z = 7
2 (6-z) + года + 3z = 15

Решите, используя обычные методы алгебры:

2 (6 − z) + y + 3z = 15 упрощается до y + z = 3 :

x = 6 — z
3 года + z = 7
года + z = 3

Хорошо.Мы добились некоторого прогресса, но пока не достигли этого.

Теперь повторите процесс , но только для последних 2 уравнений.

Напишите одно из уравнений в стиле «переменная = …»:

Выберем последнее уравнение и переменную z:

x = 6 — z
3 года + z = 7
z = 3 — х лет

Теперь замените «z» на «3 — y» в другом уравнении:

x = 6 — z
3 года + 3 — х лет = 7
z = 3-й год

Решите, используя обычные методы алгебры:

−3y + (3 − y) = 7 упрощается до −4y = 4 , или другими словами y = −1

x = 6 — z
л = -1
z = 3-й год

Почти готово!

Зная, что y = −1 , мы можем вычислить, что z = 3 − y = 4 :

x = 6 — z
года = -1
z = 4

И зная, что z = 4 , мы можем вычислить, что x = 6 − z = 2 :

x = 2
года = -1
z = 4

И ответ:

х = 2
у = -1
г = 4

Проверка: проверьте сами.

Мы можем использовать этот метод для 4 или более уравнений и переменных … просто повторяйте одни и те же шаги снова и снова, пока она не будет решена.

Заключение: Замена работает хорошо, но требует много времени.

Решение методом исключения

Уничтожение может быть быстрее … но должно быть аккуратным.

«Исключить» означает удалить : этот метод работает путем удаления переменных до тех пор, пока не останется только одна.

По идее, мы можем безопасно :

  • умножить уравнение на константу (кроме нуля),
  • прибавить (или вычесть) уравнение к другому уравнению

Как в этих примерах:

ПОЧЕМУ мы можем складывать уравнения друг в друга?

Представьте себе два действительно простых уравнения:

х — 5 = 3
5 = 5

Мы можем добавить «5 = 5» к «x — 5 = 3»:

х — 5 + 5 = 3 + 5
х = 8

Попробуйте сами, но используйте 5 = 3 + 2 в качестве второго уравнения

Он по-прежнему будет работать нормально, потому что обе стороны равны (это то, для чего стоит знак =!)

Мы также можем поменять местами уравнения, чтобы первое могло стать вторым и т. Д., Если это поможет.

Хорошо, время для полного примера. Давайте использовать 2 уравнения с 2 переменными , пример из предыдущего:

Пример:

Очень важно, чтобы все было в порядке:

3x + 2 года = 19
x + года = 8

Сейчас… наша цель — исключить переменную из уравнения.

Сначала мы видим, что есть «2y» и «y», так что давайте поработаем над этим.

Умножьте второе уравнение на 2:

.

3x + 2 года = 19
2 x + 2 л = 16

Вычтем второе уравнение из первого уравнения:

x = 3
2x + 2 года = 16

Ура! Теперь мы знаем, что такое x!

Затем мы видим, что во втором уравнении есть «2x», поэтому давайте уменьшим его вдвое, а затем вычтем «x»:

Умножьте второе уравнение на ½ (т.е. разделить на 2):

x = 3
x + л = 8

Вычтем первое уравнение из второго уравнения:

x = 3
л = 5

Готово!

И ответ:

x = 3 и y = 5

А вот график:

Синяя линия — это где 3x + 2y = 19 истинно

Красная линия — это где x + y = 8 истинно

При x = 3, y = 5 (где линии пересекаются) они равны , оба истинны. Это и есть ответ.

Вот еще один пример:

Пример:

  • 2x — y = 4
  • 6x — 3y = 3

Разложите аккуратно:

2x года = 4
6x 3 года = 3

Умножьте первое уравнение на 3:

6x 3 года = 12
6x 3 года = 3

Вычтем второе уравнение из первого уравнения:

0 0 = 9
6x 3 года = 3

0-0 = 9 ???

Что здесь происходит?

Все просто, решения нет.

На самом деле это параллельные линии:

И на последок:

Пример:

  • 2x — y = 4
  • 6x — 3y = 12

Аккуратно:

2x года = 4
6x 3 года = 12

Умножьте первое уравнение на 3:

6x 3 года = 12
6x 3 года = 12

Вычтем второе уравнение из первого уравнения:

0 0 = 0
6x 3 года = 3

0 — 0 = 0

Ну, это на самом деле ИСТИНА! Ноль действительно равен нулю…

… это потому, что на самом деле это одно и то же уравнение …

… так что существует бесконечное количество решений

Это та же строка:

Итак, теперь мы рассмотрели пример каждого из трех возможных случаев:

  • Нет раствор
  • Одно решение
  • Бесконечно много решений

Решение методом исключения: 3 уравнения с 3 переменными

Прежде чем мы начнем со следующего примера, давайте рассмотрим улучшенный способ решения задач.

Следуйте этому методу, и мы с меньшей вероятностью ошибемся.

Прежде всего, удалите переменные в порядке :

.

  • Сначала удалите x с (из уравнений 2 и 3, по порядку)
  • , затем исключите y (из уравнения 3)

Вот как мы их устраняем:

У нас есть «форма треугольника»:

Теперь начните снизу и вернитесь к (так называемая «обратная подстановка»)
(введите z , чтобы найти y , затем z и y , чтобы найти x ):

И решаемся:

ТАКЖЕ, мы обнаружим, что легче выполнить примерно расчетов в уме или на бумаге для заметок, чем всегда работать в рамках системы уравнений:

Пример:

  • х + у + г = 6
  • 2y + 5z = −4
  • 2x + 5y — z = 27

Аккуратно написано:

x + года + z = 6
2 года + 5z = −4
2x + 5лет z = 27

Сначала удалите x из 2-го и 3-го уравнения.

Во втором уравнении нет x … переходите к третьему уравнению:

Вычтите 2 раза первое уравнение из третьего уравнения (просто проделайте это в уме или на бумаге для заметок):

И получаем:

x + года + z = 6
2 года + 5z = −4
3 года 3z = 15

Затем удалите y из 3-го уравнения.

Мы могли бы вычесть 1½ раза 2-е уравнение из 3-го уравнения (потому что 1½ раза 2 равно 3) …

… но мы можем избежать дробей , если мы:

  • умножьте третье уравнение на 2 и
  • умножьте 2-е уравнение на 3

и , затем выполняют вычитание … вот так:

И в итоге получаем:

x + года + z = 6
2 года + 5z = −4
z = −2

Теперь у нас есть «треугольник»!

Теперь вернемся снова вверх «обратная замена»:

Мы знаем z , поэтому 2y + 5z = −4 становится 2y − 10 = −4 , тогда 2y = 6 , поэтому y = 3 :

x + года + z = 6
л = 3
z = −2

Тогда x + y + z = 6 становится x + 3−2 = 6 , поэтому x = 6−3 + 2 = 5

x = 5
года = 3
z = −2

И ответ:

x = 5
y = 3
z = −2

Проверка: проверьте сами.

Общий совет

Когда вы привыкнете к методу исключения, он станет проще, чем замена, потому что вы просто выполняете шаги, и ответы появляются.

Но иногда замена может дать более быстрый результат.

  • Замена часто проще для небольших случаев (например, 2 уравнения, а иногда и 3 уравнения)
  • Устранение проще для больших ящиков

И всегда полезно сначала просмотреть уравнения, чтобы увидеть, есть ли простой ярлык… так что опыт помогает.

Решение систем линейных уравнений

А

система

линейные уравнения

представляет собой набор из двух или более линейных уравнений.

В двух переменных

(

Икс

а также

у

)

, график системы двух уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.

Есть три возможности:

  • Линии пересекаются в нулевых точках.(Линии параллельны.)
  • Линии пересекаются ровно в одной точке. (Большинство случаев.)
  • Прямые пересекаются в бесконечном множестве точек. (Два уравнения представляют собой одну и ту же линию.)


Нулевые решения:

у

знак равно

2

Икс

+

4

у

знак равно

2

Икс

3


Одно решение:

у

знак равно

0.5

Икс

+

2

у

знак равно

2

Икс

3


Бесконечно много решений:

у

знак равно

2

Икс

4

у

+

4

знак равно

2

Икс

Существует несколько различных методов решения систем линейных уравнений:

  1. Графический метод

    .

    Это полезно, когда вам просто нужен приблизительный ответ или вы уверены, что пересечение происходит в целочисленных координатах. Просто нарисуйте две линии и посмотрите, где они пересекаются!

  2. См. Второй график выше. Решение — это место пересечения двух линий, точка

    (

    2

    ,

    1

    )

    .

  3. Метод замены

    .

    Сначала решите одно линейное уравнение относительно

    у

    с точки зрения

    Икс

    . Затем замените это выражение на

    у

    в другом линейном уравнении. Вы получите уравнение в

    Икс

    . Решите это, и у вас будет

    Икс

    -координата перекрестка. Затем подключите

    Икс

    к любому уравнению, чтобы найти соответствующее

    у

    -координат.(Если это проще, вы можете начать с решения уравнения для

    Икс

    с точки зрения

    у

    , тоже — такая же разница!)


  4. Пример 1:

    Решите систему

    {

    3

    Икс

    +

    2

    у

    знак равно

    16

    7

    Икс

    +

    у

    знак равно

    19

      Решите второе уравнение относительно

      у

      .

      у

      знак равно

      19

      7

      Икс

      Заменять

      19

      7

      Икс

      для

      у

      в первом уравнении и решить для

      Икс

      .

      3

      Икс

      +

      2

      (

      19

      7

      Икс

      )

      знак равно

      16

      3

      Икс

      +

      38

      14

      Икс

      знак равно

      16

      11

      Икс

      знак равно

      22

      Икс

      знак равно

      2

      Заменять

      2

      для

      Икс

      в

      у

      знак равно

      19

      7

      Икс

      и решить для

      у

      .

      у

      знак равно

      19

      7

      (

      2

      )

      у

      знак равно

      5

      Решение

      (

      2

      ,

      5

      )

      .

  5. Метод линейной комбинации

    , иначе


    Метод сложения

    , иначе


    Метод исключения.

    Сложить (или вычесть) одно уравнение, кратное другому уравнению (или из него), таким образом, чтобы либо

    Икс

    -термы или

    у

    -условия аннулируются.Затем решите для

    Икс

    (или же

    у

    , в зависимости от того, что осталось) и подставьте обратно, чтобы получить другую координату.


  6. Пример 2:

    Решите систему

    {

    4

    Икс

    +

    3

    у

    знак равно

    2

    8

    Икс

    2

    у

    знак равно

    12

      Умножьте первое уравнение на

      2

      и добавьте результат ко второму уравнению.

      8

      Икс

      6

      у

      знак равно

      4

      8

      Икс

      2

      у

      знак равно

      12

      _

      8

      у

      знак равно

      16

      Решить для

      у

      .

      у

      знак равно

      2

      Замена для

      у

      в любом из исходных уравнений и решите относительно

      Икс

      .

      4

      Икс

      +

      3

      (

      2

      )

      знак равно

      2

      4

      Икс

      6

      знак равно

      2

      4

      Икс

      знак равно

      4

      Икс

      знак равно

      1

      Решение

      (

      1

      ,

      2

      )

      .

  7. Матричный метод

    .

    На самом деле это просто метод линейной комбинации, упрощенный за счет сокращения записи.


Решение систем уравнений с помощью построения графиков — элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений
  • Решите систему линейных уравнений, построив график
  • Определить количество решений линейной системы
  • Решайте приложения систем уравнений с помощью построения графиков

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

В разделе «Решение линейных уравнений и неравенств» мы научились решать линейные уравнения с одной переменной.Помните, что решение уравнения — это значение переменной, которое делает истинное утверждение при подстановке в уравнение.

Теперь мы будем работать с системами линейных уравнений, двумя или более линейными уравнениями, сгруппированными вместе.

Система линейных уравнений

Когда два или более линейных уравнения сгруппированы вместе, они образуют систему линейных уравнений.

Мы сосредоточим нашу работу здесь на системах двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Позже вы сможете решать более крупные системы уравнений.

Пример системы двух линейных уравнений показан ниже. Мы используем скобку, чтобы показать, что два уравнения сгруппированы вместе и образуют систему уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными, например 2 x + y = 7, имеет бесконечное количество решений. Его график представляет собой линию. Помните, что каждая точка на линии — это решение уравнения, а каждое решение уравнения — это точка на линии.

Чтобы решить систему двух линейных уравнений, мы хотим найти значения переменных, которые являются решениями обоих уравнений.Другими словами, мы ищем упорядоченные пары ( x , y ), которые делают оба уравнения истинными. Они называются решениями системы уравнений.

Решения системы уравнений

Решения системы уравнений — это значения переменных, которые делают все уравнения истинными. Решение системы двух линейных уравнений представляется упорядоченной парой ( x , y ).

Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух уравнений, мы подставляем значения переменных в каждое уравнение.Если упорядоченная пара делает оба уравнения истинными, это решение системы.

Рассмотрим систему ниже:

Является ли заказанная пара решением?

Упорядоченная пара (2, −1) сделала оба уравнения верными. Следовательно, (2, −1) является решением этой системы.

Попробуем еще одну заказанную пару. Является ли упорядоченная пара (3, 2) решением?

Упорядоченная пара (3, 2) сделала одно уравнение истинным, а другое — ложным.Поскольку это не решение обоих уравнений, оно не является решением этой системы.

Определите, является ли заказанная пара решением для системы:

ⓐⓑ

Определите, является ли заказанная пара решением для системы:

ⓐⓑ

Решите систему линейных уравнений с помощью построения графиков

В этой главе мы будем использовать три метода для решения системы линейных уравнений. Первый метод, который мы будем использовать, — это построение графиков.

График линейного уравнения представляет собой линию. Каждая точка на линии — это решение уравнения. Для системы двух уравнений мы построим график двумя линиями. Затем мы можем увидеть все точки, которые являются решениями каждого уравнения. И, обнаружив, что общего у линий, мы найдем решение системы.

Большинство линейных уравнений с одной переменной имеют одно решение, но мы видели, что некоторые уравнения, называемые противоречиями, не имеют решений, а для других уравнений, называемых тождествами, все числа являются решениями.

Аналогичным образом, когда мы решаем систему двух линейных уравнений, представленную графиком из двух линий в одной плоскости, есть три возможных случая, как показано на (Рисунок):

Для первого примера решения системы линейных уравнений в этом разделе и в следующих двух разделах мы будем решать одну и ту же систему двух линейных уравнений. Но в каждом разделе мы будем использовать разные методы. Увидев третий метод, вы решите, какой метод был наиболее удобным для решения этой системы.

Как решить систему линейных уравнений с помощью построения графиков

Решите систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Шаги, которые необходимо использовать для решения системы линейных уравнений с помощью построения графиков, показаны ниже.

Для решения системы линейных уравнений с помощью построения графиков.

  1. Изобразите первое уравнение.
  2. Постройте второе уравнение в той же прямоугольной системе координат.
  3. Определите, пересекаются ли линии, параллельны или совпадают.
  4. Определите решение системы.
    • Если линии пересекаются, укажите точку пересечения. Убедитесь, что это решение обоих уравнений. Это решение системы.
    • Если линии параллельны, у системы нет решения.
    • Если линии совпадают, система имеет бесконечное количество решений.

Решите систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Оба уравнения на (рисунке) были даны в форме наклон-пересечение.Это облегчило нам быстрое построение линий. В следующем примере мы сначала перепишем уравнения в форме углового пересечения.

Решите систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Обычно, когда уравнения даются в стандартной форме, наиболее удобный способ построить их график — это использовать точки пересечения. Мы сделаем это на (Рисунок).

Решите систему, построив график:

Решение

Мы найдем точки пересечения x и y обоих уравнений и будем использовать их для построения графика линий.

Решите каждую систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Вы помните, как построить линейное уравнение с одной переменной? Это будет либо вертикальная, либо горизонтальная линия.

Решите систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

До сих пор во всех системах линейных уравнений линии пересекались, и решение было одной точкой.В следующих двух примерах мы рассмотрим систему уравнений, не имеющую решения, и систему уравнений, которая имеет бесконечное число решений.

Решите систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Решите систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

бесконечно много решений

Решите каждую систему, построив график:

бесконечно много решений

Если вы запишете второе уравнение на (Рисунок) в форме пересечения угла наклона, вы можете заметить, что уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковое пересечение y .

Когда мы нарисовали вторую линию в последнем примере, мы нарисовали ее прямо над первой линией. Мы говорим, что две линии совпадают. Совпадающие линии имеют одинаковый наклон и одинаковое пересечение y .

Совпадающие линии

Совпадающие линии имеют одинаковый наклон и одинаковое пересечение y .

Определите количество решений линейной системы

Будут моменты, когда мы захотим узнать, сколько решений будет у системы линейных уравнений, но нам, возможно, на самом деле не придется искать решение.Будет полезно определить это без построения графиков.

Мы видели, что две прямые в одной плоскости должны либо пересекаться, либо быть параллельны. Все системы уравнений на (Рисунок) — (Рисунок) имели две пересекающиеся линии. У каждой системы было одно решение.

Система с параллельными линиями, как (рисунок), не имеет решения. Что произошло на (рис.)? Уравнения имеют совпадающие линии, поэтому система имела бесконечно много решений.

Мы систематизируем эти результаты на (рис.) Ниже:

Параллельные прямые имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения y .Итак, если мы запишем оба уравнения в системе линейных уравнений в форме наклон-пересечение, мы сможем увидеть, сколько решений будет без графического представления! Посмотрите на систему, которую мы решили на (Рисунок).

Две линии имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения y . Это параллельные линии.

(рисунок) показывает, как определить количество решений линейной системы, глядя на наклоны и пересечения.

Давайте еще раз посмотрим на наши уравнения на (Рисунок), которые дали нам параллельные линии.

Когда обе линии были в форме пересечения склона, у нас было:

Вы понимаете, что невозможно иметь одну упорядоченную пару, которая является решением обоих этих уравнений?

Мы называем такую ​​систему уравнений несовместимой. У него нет решения.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется согласованной системой.

Согласованные и несовместимые системы

Непротиворечивая система уравнений — это система уравнений, имеющая по крайней мере одно решение.

Несогласованная система уравнений — это система уравнений, не имеющая решения.

Мы также классифицируем уравнения в системе уравнений, называя уравнения независимыми или зависимыми . Если два уравнения являются независимыми уравнениями, каждое из них имеет свой собственный набор решений. Пересекающиеся линии и параллельные линии независимы.

Если два уравнения являются зависимыми, все решения одного уравнения также являются решениями другого уравнения.Когда мы строим график двух зависимых уравнений, мы получаем совпадающие линии.

Независимые и зависимые уравнения

Два уравнения независимы, если они имеют разные решения.

Два уравнения являются зависимыми, если все решения одного уравнения являются решениями другого уравнения.

Подведем итог, посмотрев на графики трех типов систем. См. (Рисунок) и (Рисунок).

Без построения графиков определите количество решений и затем классифицируйте систему уравнений:

Решение

Система уравнений, графики которой представляют собой параллельные прямые, не имеет решения, непоследовательна и независима.

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

нет решения, непоследовательный, независимый

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

нет решения, непоследовательный, независимый

Без построения графиков определите количество решений и затем классифицируйте систему уравнений:

Решение

Система уравнений, графики которой пересекаются, имеет одно решение, непротиворечива и независима.

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

одно решение, последовательное, независимое

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

одно решение, последовательное, независимое

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

бесконечно много решений, согласованных, зависимых

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

бесконечно много решений, согласованных, зависимых

Решение приложений систем уравнений с помощью построения графиков

Мы будем использовать ту же стратегию решения задач, которую мы использовали в математических моделях, для создания и решения приложений систем линейных уравнений. Мы немного изменим стратегию, чтобы сделать ее подходящей для систем уравнений.

Используйте стратегию решения проблем для систем линейных уравнений.

  1. Прочтите проблему.Убедитесь, что все слова и идеи понятны.
  2. Определите то, что мы ищем.
  3. Имя то, что мы ищем. Выберите переменные для представления этих величин.
  4. Переведите в систему уравнений.
  5. Решите систему уравнений, используя хорошие методы алгебры.
  6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
  7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Шаг 5 — это то место, где мы будем использовать метод, представленный в этом разделе. Мы построим графики уравнений и найдем решение.

Сондра делает 10 литров пунша из фруктового сока и содовой. Количество литров фруктового сока в 4 раза больше количества квартов содовой. Сколько литров фруктового сока и сколько литров газированной воды нужно Сондре?

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему.

Шаг 2. Определите то, что мы ищем.

Мы ищем количество литров фруктового сока и количество литров клубной газировки, которые потребуются Сондре.

Шаг 3. Назовите то, что мы ищем. Выберите переменные для представления этих величин.

Давай количество литров фруктового сока.
количество кварт клубной соды

Шаг 4. Переведите в систему уравнений.

Теперь у нас есть система.

Шаг 5.Решите систему уравнений, используя хорошие методы алгебры.

Точка пересечения (2, 8) и есть решение. Это означает, что Сондре нужно 2 литра содовой и 8 литров фруктового сока.

Шаг 6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.

Есть ли в этом смысл в проблеме?

Да, количество квартов фруктового сока, 8 в 4 раза больше количества квартов содовой, 2.

Да, 10 литров пунша — это 8 литров фруктового сока плюс 2 литра содовой.

Шаг 7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Сондре нужно 8 литров фруктового сока и 2 литра газировки.

Мэнни делает 12 литров апельсинового сока из концентрата и воды. Количество литров воды в 3 раза превышает количество литров концентрата. Сколько литров концентрата и сколько литров воды нужно Мэнни?

Мэнни нужно 3 литра концентрата сока и 9 литров воды.

Алиша готовит кофейный напиток объемом 18 унций из сваренного кофе и молока.Количество унций сваренного кофе в 5 раз больше, чем количество унций молока. Сколько унций кофе и сколько унций молока нужно Алише?

Алише нужно 15 унций кофе и 3 унции молока.

Ключевые понятия

  • Решить систему линейных уравнений путем построения графиков
    1. Изобразите первое уравнение.
    2. Постройте второе уравнение в той же прямоугольной системе координат.
    3. Определите, пересекаются ли линии, параллельны или совпадают.
    4. Определите решение системы.
      Если линии пересекаются, укажите точку пересечения. Убедитесь, что это решение обоих уравнений. Это решение системы.
      Если линии параллельны, у системы нет решения.
      Если строки совпадают, система имеет бесконечное количество решений.
    5. Проверьте решение в обоих уравнениях.
  • Определить количество решений по графику линейной системы
  • Определите количество решений линейной системы по уклонам и пересечениям
  • Определите количество решений и классифицируйте систему уравнений

  • Стратегия решения задач для систем линейных уравнений
    1. Прочтите проблему.Убедитесь, что все слова и идеи понятны.
    2. Определите то, что мы ищем.
    3. Имя то, что мы ищем. Выберите переменные для представления этих величин.
    4. Переведите в систему уравнений.
    5. Решите систему уравнений, используя хорошие методы алгебры.
    6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
    7. Ответьте на вопрос полным предложением.
Практика ведет к совершенству

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений . В следующих упражнениях определите, являются ли следующие точки решениями данной системы уравнений.

Решите систему линейных уравнений с помощью построения графиков В следующих упражнениях решите следующие системы уравнений с помощью построения графиков.

бесконечно много решений

бесконечно много решений

Определите количество решений линейной системы Не графически отображая следующие системы уравнений, определите количество решений и затем классифицируйте систему уравнений.

нет решений, непоследовательный, независимый

бесконечно много решений

бесконечно много решений

Решение приложений систем уравнений с помощью построения графиков В следующих упражнениях решите.

Молли делает воду, настоянную на клубнике.На каждую унцию клубничного сока она использует в три раза больше унций воды. Сколько унций клубничного сока и сколько унций воды ей нужно, чтобы приготовить 64 унции воды, настоянной на клубнике?

Молли нужно 16 унций клубничного сока и 48 унций воды.

Джамал делает закуску, которая содержит только крендели и орехи. На каждую унцию орехов он будет использовать 2 унции кренделя. Сколько унций кренделей и сколько унций орехов ему нужно, чтобы приготовить 45 унций закуски?

Энрике готовит коктейль для вечеринок, содержащий изюм и орехи.На каждую унцию орехов он использует вдвое больше изюма. Сколько унций орехов и сколько унций изюма ему нужно, чтобы приготовить 24 унции смеси для вечеринок?

Энрике нужно 8 унций орехов и 16 унций воды.

Оуэн делает лимонад из концентрата. Количество литров воды, которое ему нужно, в 4 раза превышает количество литров концентрата. Сколько литров воды и сколько литров концентрата нужно Оуэну для приготовления 100 литров лимонада?

Повседневная математика

Лев планирует свой весенний цветник.Он хочет посадить луковицы тюльпанов и нарциссов. Он посадит в 6 раз больше луковиц нарциссов, чем луковиц тюльпанов. Если он хочет посадить 350 луковиц, сколько луковиц тюльпанов и сколько луковиц нарциссов ему следует посадить?

Лев должен посадить 50 тюльпанов и 300 нарциссов.

Маркетинговая компания опрашивает 1 200 человек. Они обследовали в два раза больше женщин, чем мужчин. Сколько мужчин и женщин они опросили?

Письменные упражнения

В системе линейных уравнений два уравнения имеют одинаковый наклон.Опишите возможные решения системы.

Учитывая, что известно только, что наклоны обоих линейных уравнений одинаковы, решений либо нет (графики уравнений параллельны), либо бесконечно много.

В системе линейных уравнений два уравнения имеют одинаковые точки пересечения. Опишите возможные решения системы.

Самопроверка

После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

Если большая часть ваших чеков была:

… уверенно. Поздравляем! Вы достигли целей в этом разделе. Поразмышляйте над своими учебными навыками, чтобы вы могли продолжать их использовать. Что вы сделали, чтобы убедиться в своей способности делать эти вещи? Быть конкретным.

… с некоторой помощью. Это нужно решать быстро, потому что темы, которые вы не осваиваете, становятся ухабами на вашем пути к успеху. В математике каждая тема основывается на предыдущей работе.Прежде чем двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочный фундамент. К кому вы можете обратиться за помощью? Ваши одноклассники и инструктор — хорошие ресурсы. Есть ли в кампусе место, где доступны репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?

… нет, не понимаю! Это предупреждающий знак, игнорировать его нельзя. Вам следует немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро не справитесь. Как можно скорее обратитесь к своему инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию. Вместе вы сможете составить план оказания вам необходимой помощи.

Глоссарий

совпадающие линии
Совпадающие линии — это линии с одинаковым наклоном и одинаковым пересечением y .
последовательная система
Непротиворечивая система уравнений — это система уравнений, имеющая по крайней мере одно решение.
зависимые уравнения
Два уравнения являются зависимыми, если все решения одного уравнения являются решениями другого уравнения.
несовместимая система
Несогласованная система уравнений — это система уравнений без решения.
независимых уравнений
Два уравнения независимы, если они имеют разные решения.
решения системы уравнений
Решения системы уравнений — это значения переменных, которые делают все уравнения истинными. Решение системы двух линейных уравнений представляется упорядоченной парой ( x , y ).
система линейных уравнений
Когда два или более линейных уравнения сгруппированы вместе, они образуют систему линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными — концепция

Система линейных уравнений — это два или более уравнений, содержащих одни и те же переменные. Решения системы уравнений — это точка пересечения линий. Есть четыре метода решения систем линейных уравнений : построение графиков, подстановка, исключение и матрицы. Решение систем уравнений впервые появляется в алгебре I, но более сложные приложения встречаются в алгебре II.

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными, поэтому, если вы помните, линейное уравнение — это в основном просто уравнение для линии, и когда мы решаем систему, мы смотрим на два уравнения, поэтому у нас есть две линии, и мы пытаемся выяснить, где пересекаются эти две линии, и если они вообще пересекаются, хорошо, значит, это может произойти тремя способами, хорошо? У нас есть две линии, которые могут пересекаться в одной точке, что означает, что у нас будет один ответ, который будет координатной точкой xy, скажем, 2, -4, что-то в этом роде.
Другая ситуация, которая может произойти, эти линии могут быть параллельны, что означает, что у них не будет никакого пересечения этих линий, у них не будет никакого решения, где эти две линии равны друг другу и, наконец, эти два уравнения может быть для одной и той же точной линии, что означает, что у нас будет бесконечное количество точек, лежащих на любой из этих линий, которые дадут нам решение, хорошо, и поэтому мы собираемся поговорить о каждой из этих .
Есть несколько разных способов решения этих проблем, вы можете решить графически, и в Алгебре 2 мы обычно не делаем слишком много из этого решения графически, в основном то, что вы делаете, — вы берете одну линию, которую вы рисуете это, и вы увидите, где они пересекаются, хорошо, поэтому мы знаем, как это сделать, но на самом деле это не даст нам математического ответа, мы не сможем найти эту точку, если наши графики не будут полностью точными, что является своего рода пустая трата времени, поэтому мы можем сделать это алгебраически, и в нашем распоряжении есть два способа: подстановка, когда мы решаем переменную и подключаем ее, или исключение, когда мы складываем или вычитаем два уравнения в надежде избавиться от одной из переменных so.
Системы линейных уравнений, в основном касающиеся того, как линии пересекаются или не пересекаются, и у нас есть несколько способов сделать это, а именно замена или исключение.

Как решить линейные уравнения с помощью подстановки

Как решить систему уравнений:

Прежде чем мы перейдем к решению систем линейных уравнений с помощью метода подстановки, давайте сначала рассмотрим и поймем, что значит «решить» систему уравнений. Когда мы говорим «решить» применительно к линейному, квадратичному, экспоненциальному или любому другому типу уравнения, на самом деле мы имеем в виду, что мы пытаемся найти значения «x» — зависимой переменной — которые удовлетворяют «y» — независимая переменная.

Возьмем, к примеру, следующее простое уравнение: y = 2x = 2

В этом примере уравнения мы знаем, что y равно 2x и также равно 2. С этим знанием, поскольку y равно как 2x, так и 2, мы можем сказать, что 2x = 2. Тогда следующим естественным шагом будет чтобы решить это уравнение с помощью алгебры, получив «решение», что x = 1.

В случае систем уравнений процесс не сильно отличается. При решении систем уравнений мы пытаемся найти значения x и y, которые делают два различных уравнения равными друг другу — эффективно «решая» оба уравнения.Дополнительную информацию о системе уравнений можно найти в другом уроке. В системе уравнений есть несколько результатов, которые могут произойти в зависимости от количества решений. У нас есть конкретные уроки о том, как определять количество решений линейных уравнений и системы линейно-квадратных уравнений. У нас также есть графические системы уравнений и неравенств!

Для этого существует два основных метода: решение систем путем подстановки и решение систем путем исключения.В этой статье мы сосредоточимся на подстановке, которая, возможно, немного проще, чем другой метод — устранение. Для устранения, пожалуйста, посмотрите видео и статьи, посвященные именно этому методу. Чтобы убедиться, что вы готовы к исключению, важно научиться складывать и вычитать многочлены, а также складывать и вычитать рациональные выражения.

Теперь, когда мы рассмотрели основы, давайте решим системы с помощью подстановки!

Решение систем уравнений подстановкой:

Прежде чем мы перейдем к использованию метода подстановки, убедитесь, что вы хорошо разбираетесь в алгебре, просмотрев урок о решении линейных уравнений с переменными с обеих сторон.

Основная процедура решения систем с помощью подстановки проста: имея два линейных уравнения, все, что нам нужно сделать, это «подставить» одно из пары уравнений в другое, переставив переменные. Эту процедуру лучше описать ниже на общем примере:

Рассмотрим следующие уравнения, где (x, y) — координаты, а все остальное — константы.

1) ty = axty = axty = ax

2) zy = x + bzy = x + bzy = x + b

Шаг 1. Измените одно из уравнений так, чтобы получить «y» само по себе

1) y = axty = \ frac {ax} {t} y = налог

2) zy = x + bzy = x + bzy = x + b

Шаг 2: подставьте преобразованное уравнение в его партнера

zy = x + bzy = x + bzy = x + b
z (axt) = x + bz (\ frac {ax} {t}) = x + bz (налог) = x + b

Шаг 3: Решите относительно x

Поскольку это всего лишь общий случай, мы не можем решить для x.Но обратите внимание, что все, что нам нужно сделать, это получить x само по себе.

Шаг 4. Подставьте решение для x в любое из изначально заданных уравнений, чтобы найти y

Получив значение x, мы можем подставить его в любое из двух уравнений, чтобы найти решение для y.

Шаг 5: Окончательный ответ запишите точкой

Следовательно, наше решение (x, y)

Еще раз, это просто общий случай. Также обратите внимание, что в этом примере мы решили сначала решить для x.Неважно, какую переменную вы решите в первую очередь, просто обратите внимание, что x часто легче решить для первой, так как это часто требует меньших изменений в исходных уравнениях. Лучший способ научиться и научиться решать с помощью подстановки — это выполнять некоторые практические задачи.

Пример 1:

Возьмите следующие одновременные уравнения и решите их.

6x — 1y = 7
-9x + 2y = 7

Шаг 1. Измените одно из уравнений так, чтобы получить «y» само по себе

Давайте воспользуемся первым уравнением и изменим его так, чтобы у нас было y само по себе.Конечно, мы могли бы взять второе уравнение, но это потребует дополнительной работы.

6x — 1y = 7
6х — 7 = у

Шаг 2: подставьте преобразованное уравнение в его партнера

Теперь мы собираемся заменить наше недавно преобразованное уравнение 6x — 7 = y в -9x + 2y = 7.

-9x + 2 (6x — 7) = 7

Шаг 3: Решите относительно x

Теперь, когда мы успешно выполнили замену, давайте решим относительно x.

-9x + 12x — 14 = 7
3x = 21
х = 7

Шаг 4. Подставьте решение для x в любое из изначально заданных уравнений, чтобы найти y

Теперь, когда у нас есть x, мы можем положить x = 7 в любое из уравнений, чтобы найти y.Выберем первое уравнение, потому что оно более простое.

6 (7) — 1у = 7
42 — у = 7
у = 35

Шаг 5: Окончательный ответ запишите точкой

Окончательный ответ: (7, 35)

На следующем изображении ниже показана работа, которую мы только что проделали:

Решите линейное уравнение с заменой

Пример 2:

Решите следующую линейную систему.

3 (х + 2) — (у + 7) = 4
5 (х + 1) + 4 (у + 3) = 31

В некоторых случаях нам может потребоваться некоторое упрощение обоих уравнений, прежде чем мы сможем продолжить замену и решение.В этом случае мы должны сначала расширить и упростить оба уравнения:

3 (х + 2) — (у + 7) = 4
3х + 6 — у — 7 = 4
3х — у = 5
&
5 (х + 1) + 4 (у + 3) = 31
5х + 5 + 4у + 12 = 31
5х + 4у = 14

Шаг 1. Измените одно из уравнений так, чтобы получить «y» само по себе

Как и в первом примере, давайте воспользуемся первым уравнением и изменим его так, чтобы у нас было y само по себе. Конечно, мы могли бы взять второе уравнение, но это потребует дополнительной работы.

3х — у = 5
3х — 5 = у

Шаг 2: Подставьте преобразованное уравнение в его партнера и решите относительно x

Теперь мы собираемся заменить наше недавно преобразованное уравнение 3x — 5 = y в 5x + 4y = 14 и решить относительно x.

5x + 4 (3x — 5) = 14
5х + 12х — 20 = 14
17x = 34
х = 2

Шаг 3. Подставьте решение для x в любое из изначально заданных уравнений, чтобы найти y

Теперь, когда у нас есть x, мы можем положить x = 2 в любое из уравнений, чтобы найти y. Выберем первое уравнение, потому что оно более простое.

3х — у = 5
3 (2) — у = 5
у = 1

Шаг 4. Окончательный ответ запишите точкой

Окончательный ответ: (2, 1)

Вот и все! Теперь убедитесь, что вы выполняете много практических задач, чтобы вам было удобнее использовать этот метод.Также просмотрите эту отличную ссылку, которая позволит вам легко проверить свою работу.

Решение системы уравнений — методы и примеры

Как решить систему уравнений?

К настоящему времени у вас есть представление о том, как решать линейные уравнения, содержащие одну переменную. Что, если бы вам представили нескольких линейных уравнений, содержащих более одной переменной ? Набор линейных уравнений с двумя или более переменными известен как система уравнений .

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений.

Из этой статьи вы узнаете , как решать линейные уравнения, используя обычно используемые методы , а именно замену и исключение.

Метод замены

Замена — это метод решения линейных уравнений, в котором переменная в одном уравнении выделяется, а затем используется в другом уравнении для определения оставшейся переменной.

Общие шаги для замены:

  • Сделайте предмет формулы для переменной в одном из данных уравнений.
  • Подставьте значение этой переменной во второе уравнение. ’
  • Решите уравнение, чтобы получить значение одной из переменных.
  • Подставьте полученное значение в любое из уравнений, чтобы также получить значение другой переменной.

Давайте решим пару примеров, используя метод подстановки.

Пример 1

Решите следующие системы уравнений.

b = a + 2

a + b = 4.

Решение

Подставьте значение b во второе уравнение.

a + (a + 2) = 4

Теперь решите для

a + a + 2 = 4

2a + 2 = 4

2a = 4-2

a = 2/2 = 1

Подставьте полученное значение a в первое уравнение.

b = a + 2

b = 1 + 2

b = 3

Следовательно, решение двойного уравнения: a = 1 и b = 3.

Пример 2

Решите следующие уравнения, используя замену.
7x — 3y = 31 ——— (i)

9x — 5y = 41 ——— (ii)

Решение

Из уравнения (i)

7x — 3y = 31

Сделайте y равным предмет формулы в уравнении:

7x — 3y = 31

Вычтем 7x из обеих частей уравнения 7x — 3y = 31, чтобы получить;

— 3y = 31 — 7x

3y = 7x — 31

3y / 3 = (7x — 31) / 3

Следовательно, y = (7x — 31) / 3

Теперь подставим уравнение y = ( 7x — 31) / 3 во второе уравнение: 9x — 5y = 41

9x — 5 × (7x — 31) / 3 = 41

Решение уравнения дает;

27x — 35x + 155 = 41 × 3

–8x + 155 — 155 = 123 — 155

–8x = –32

8x / 8 = 32/8

x = 4

Подставляя значение x в уравнении y = (7x — 31) / 3, получаем;

y = (7 × 4 — 31) / 3

y = (28 — 31) / 3

y = –3/3

y = –1

Следовательно, решение этих систем уравнений x = 4 и y = –1

Пример 3

Решите следующие наборы уравнений:

2x + 3y = 9 и x — y = 3

Решение

Сделайте x темой формула во втором уравнении.

х = 3 + у.

Теперь подставим это значение x в первое уравнение: 2x + 3y = 9.

⇒ 2 (3 + y) + 3y = 9

⇒ 6 + 2y + 3y = 9

y = ⅗ = 0,6

Подставляем полученное значение y во второе уравнение — y = 3.

⇒ x = 3 + 0,6

x = 3,6

Следовательно, решение x = 3,6 и y = 0,6

Метод исключения

При решении систем уравнений методом исключения выполняются следующие шаги:

  • Приравняйте коэффициенты данных уравнений путем умножения на константу.
  • Вычтите из новых уравнений общие коэффициенты с одинаковыми знаками и сложите, если общие коэффициенты имеют противоположные знаки,
  • Решите уравнение, полученное в результате сложения или вычитания
  • Подставьте полученное значение в любое из уравнений, чтобы получить значение другого Переменная.

Пример 4

4a + 5b = 12,

3a — 5b = 9

Решение

Поскольку коэффициенты b в двух уравнениях одинаковы, мы складываем члены по вертикали.

4a + 3a) + (5b — 5b) = 12 + 9

7a = 21

a = 21/7

a = 3

подставляем полученное значение a = 3 в уравнение первое уравнение

4 (3) + 5b = 12,

12 + 5b = 12

5b = 12-12

5b = 0

b = 0/5 = 0

Следовательно, решение a = 3 и b = 0.

Пример 5

Решите, используя метод исключения.

2x + 3y = 9 ———– (i)

x — y = 3 ———– (ii)

Решение

Умножьте два уравнения на 2 и выполните вычитание.

2x + 3y = 9

(-)

2x — 2y = 6

-5y = -3

y = ⅗ = 0,6

Теперь подставим полученное значение y во второе уравнение: x — y = 3

x — 0,6 = 3

x = 3,6

Следовательно, решение: x = 3,6 и y = 0,6

Практические вопросы

1. Решите данную систему уравнений:

2y + 3x = 38

y — 2x = 12

2. Решите x — y = 12 и 2x + y = 22

3.Решить x / 2 + 2/3 y = -1 и x — 1 / 3y = 3

4. Решить 2a — 3 / b = 12 и 5a — 7 / b = 1

5. Решить систему уравнений x + 2y = 7 и 2x + 3y = 11

6. Решите систему уравнений 5x — 3y = 1 и 2x + y = -4

7. Решите 2x — 3y = 1 и 3x — 4y = 1

8 Решите систему уравнений 3x — 5y = -23 и 5x + 3y = 7

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Системы линейных уравнений: две переменные

Результаты обучения

  • Решайте системы уравнений путем построения графиков, подстановок и сложений.
  • Определить несовместимые системы уравнений, содержащие две переменные.
  • Выразите решение системы зависимых уравнений, содержащей две переменные, в стандартных обозначениях.

Производитель скейтбордов представляет новую линейку досок. Производитель отслеживает свои затраты, то есть сумму, которую он тратит на производство плат, и свой доход, который представляет собой сумму, которую он зарабатывает от продажи своих плат. Как компания может определить, получает ли она прибыль от своей новой линии? Сколько скейтбордов необходимо произвести и продать, чтобы можно было получить прибыль? В этом разделе мы рассмотрим линейные уравнения с двумя переменными, чтобы ответить на эти и подобные вопросы.

(предоставлено Thomas Sørenes)

Введение в системные решения

Чтобы исследовать такие ситуации, как ситуация с производителем скейтборда, нам необходимо признать, что мы имеем дело с более чем одной переменной и, вероятно, более чем с одним уравнением. Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно.Некоторые линейные системы могут не иметь решения, а другие могут иметь бесконечное количество решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть по крайней мере столько же уравнений, сколько переменных. Даже в этом случае это не гарантирует уникального решения.

В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений с двумя переменными, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = 15 \\ [1 мм] 3x-y & = 5 \ end {align} [/ latex]

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными — это любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо. В этом примере упорядоченная пара [латекс] (4,7) [/ латекс] является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям. Вскоре мы исследуем методы поиска такого решения, если оно существует.

[латекс] \ begin {align} 2 \ left (4 \ right) + \ left (7 \ right) & = 15 && \ text {True} \\ [1 мм] 3 \ left (4 \ right) — \ left (7 \ right) & = 5 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Помимо учета количества уравнений и переменных, мы можем классифицировать системы линейных уравнений по количеству решений. У согласованной системы уравнений есть по крайней мере одно решение. Согласованной системой считается независимая система , если она имеет единственное решение, такое как пример, который мы только что исследовали.Две линии имеют разные уклоны и пересекаются в одной точке на плоскости. Согласованной системой считается зависимая система , если уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковые перехваты y . Другими словами, линии совпадают, поэтому уравнения представляют одну и ту же линию. Каждая точка на линии представляет пару координат, удовлетворяющую системе. Таким образом, существует бесконечное количество решений.

Другой тип системы линейных уравнений — это несовместимая система , в которой уравнения представляют собой две параллельные линии.Линии имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y- . Для обеих линий нет общих точек; следовательно, у системы нет решения.

Общее примечание: Типы линейных систем

Существует три типа систем линейных уравнений с двумя переменными и три типа решений.

  • Независимая система имеет ровно одну пару решений [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]. Точка пересечения двух линий — единственное решение.
  • Несогласованная система не имеет решения. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекутся.
  • Зависимая система имеет бесконечно много решений. Линии совпадают. Это одна и та же линия, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

Ниже приводится сравнение графических представлений каждого типа системы.

Практическое руководство. Для данной системы линейных уравнений и упорядоченной пары определите, является ли упорядоченная пара решением.

  1. Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение системы.
  2. Определите, являются ли истинные утверждения результатом подстановки в обоих уравнениях; в таком случае заказанная пара является решением.

Пример: определение того, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] решением данной системы уравнений.

[латекс] \ begin {align} x + 3y & = 8 \\ 2x-9 & = y \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Подставьте упорядоченную пару [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] в оба уравнения.

[латекс] \ begin {align} \ left (5 \ right) +3 \ left (1 \ right) & = 8 \\ [1mm] 8 & = 8 && \ text {True} \\ [3mm] 2 \ left (5 \ right) -9 & = \ left (1 \ right) \\ [1 мм] 1 & = 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Упорядоченная пара [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому это решение системы.

Анализ решения

Мы можем ясно увидеть решение, построив график каждого уравнения. Поскольку решение представляет собой упорядоченную пару, удовлетворяющую обоим уравнениям, это точка на обеих прямых и, следовательно, точка пересечения двух прямых.

Попробуйте

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс] \ left (8,5 \ right) [/ latex] решением следующей системы.

[латекс] \ begin {align} 5x-4y & = 20 \\ 2x + 1 & = 3y \ end {align} [/ latex]

Решение систем уравнений с помощью построения графиков

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений. Для системы линейных уравнений с двумя переменными мы можем определить как тип системы, так и решение, построив систему уравнений на одном и том же наборе осей.

Пример: решение системы уравнений с двумя переменными с помощью построения графика

Решите следующую систему уравнений, построив график. Определите тип системы.

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = — 8 \\ x-y & = — 1 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Решите первое уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = — 8 \\ y & = — 2x-8 \ end {align} [/ latex]

Решите второе уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} x-y & = — 1 \\ y & = x + 1 \ end {align} [/ latex]

Изобразите оба уравнения на одном и том же наборе осей:

Кажется, что линии пересекаются в точке [латекс] \ влево (-3, -2 \ вправо) [/ латекс].Мы можем убедиться, что это решение системы, подставив упорядоченную пару в оба уравнения.

[латекс] \ begin {align} 2 \ left (-3 \ right) + \ left (-2 \ right) & = — 8 \\ [1 мм] -8 = -8 && \ text {True} \\ [ 3 мм] \ left (-3 \ right) — \ left (-2 \ right) & = — 1 \\ [1 мм] -1 & = — 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Решением системы является упорядоченная пара [латекс] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex], поэтому система независима.

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений, построив график.

[латекс] \ begin {собрано} 2x — 5y = -25 \\ -4x + 5y = 35 \ end {собрано} [/ latex]

Показать решение

Решением системы является упорядоченная пара [латекс] \ left (-5,3 \ right) [/ latex].

Вопросы и ответы

Можно ли использовать построение графиков, если система непоследовательна или зависима?

Да, в обоих случаях мы можем построить график системы для определения типа системы и решения. Если две линии параллельны, система не имеет решения и непоследовательна.Если две линии идентичны, система имеет бесконечное количество решений и является зависимой системой.

Попробуйте

Постройте три различных системы с помощью онлайн-графического инструмента. Отнесите каждое решение к категории непротиворечивых или непоследовательных. Если система непротиворечива, определите, является ли она зависимой или независимой. Возможно, вам будет проще построить график каждой системы по отдельности, а затем очистить свои записи, прежде чем строить следующую.
1)
[латекс] 5x-3y = -19 [/ latex]
[латекс] x = 2y-1 [/ латекс]

2)
[латекс] 4x + y = 11 [/ latex]
[латекс] -2y = -25 + 8x [/ latex]

3)
[латекс] y = -3x + 6 [/ latex]
[латекс] — \ frac {1} {3} y + 2 = x [/ latex]

Показать решение

  1. Одно решение — последовательное, независимое
  2. Нет решений, непоследовательные, ни зависимые, ни независимые
  3. Множество решений — последовательные, зависимые

Решение систем уравнений подстановкой

Решение линейной системы с двумя переменными с помощью построения графиков хорошо работает, когда решение состоит из целых значений, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод.Мы рассмотрим еще два метода решения системы линейных уравнений , которые более точны, чем построение графиков. Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение, чтобы найти вторую переменную. Напомним, что мы можем решать только одну переменную за раз, поэтому метод подстановки является одновременно ценным и практичным.

Как: дана система двух уравнений с двумя переменными, решите ее с помощью метода подстановки.

  1. Решите одно из двух уравнений относительно одной из переменных через другую.
  2. Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем решите для оставшейся переменной.
  3. Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
  4. Проверьте решение в обоих уравнениях.

Пример: решение системы уравнений с двумя переменными подстановкой

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

[латекс] \ begin {align} -x + y & = — 5 \\ 2x-5y & = 1 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Сначала мы решим первое уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {align} -x + y & = — 5 \\ y & = x — 5 \ end {align} [/ latex]

Теперь мы можем заменить выражение [latex] x — 5 [/ latex] на [latex] y [/ latex] во втором уравнении.

[латекс] \ begin {align} 2x — 5y & = 1 \\ 2x — 5 \ left (x — 5 \ right) & = 1 \\ 2x — 5x + 25 & = 1 \\ -3x & = — 24 \\ x & = 8 \ end {align} [/ latex]

Теперь мы подставляем [latex] x = 8 [/ latex] в первое уравнение и решаем относительно [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {align} — \ left (8 \ right) + y & = — 5 \\ y & = 3 \ end {align} [/ latex]

Наше решение — [латекс] \ left (8,3 \ right) [/ latex].

Проверьте решение, подставив [latex] \ left (8,3 \ right) [/ latex] в оба уравнения.

[латекс] \ begin {align} -x + y & = — 5 \\ — \ left (8 \ right) + \ left (3 \ right) & = — 5 && \ text {True} \\ [3mm] 2x — 5y & = 1 \\ 2 \ left (8 \ right) -5 \ left (3 \ right) & = 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

[латекс] \ begin {align} x & = y + 3 \\ 4 & = 3x — 2y \ end {align} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (-2, -5 \ вправо) [/ латекс]

Вопросы и ответы

Можно ли методом подстановки решить любую линейную систему с двумя переменными?

Да, но этот метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.

Следующее видео длится ~ 10 минут и представляет собой мини-урок по использованию метода подстановки для решения системы линейных уравнений.Мы представляем три разных примера, а также используем инструмент построения графиков, чтобы подытожить решение для каждого примера.

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения

Третьим методом решения систем линейных уравнений является метод сложения , этот метод также называется методом исключения . В этом методе мы складываем два члена с одинаковой переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю.Конечно, не все системы созданы с двумя членами одной переменной, имеющими противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения умножением, чтобы одна переменная была исключена сложением.

Практическое руководство. Для данной системы уравнений используйте метод сложения.

  1. Запишите оба уравнения с переменными x и y слева от знака равенства и константами справа.
  2. Напишите одно уравнение над другим, выровняв соответствующие переменные.Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
  3. Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
  4. Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и решите для второй переменной.
  5. Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Пример: решение системы методом сложения

Решите данную систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = — 1 \\ -x + y & = 3 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Оба уравнения уже установлены равными константе. Обратите внимание, что коэффициент [латекс] x [/ латекс] во втором уравнении, –1, противоположен коэффициенту [латекс] x [/ латекс] в первом уравнении, 1.Мы можем сложить два уравнения, чтобы исключить [latex] x [/ latex] без умножения на константу.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = — 1 \\ -x + y & = 3 \\ \ hline 3y & = 2 \ end {align} [/ latex]

Теперь, когда мы удалили [latex] x [/ latex], мы можем решить полученное уравнение для [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 3y & = 2 \\ y & = \ dfrac {2} {3} \ end {align} [/ latex]

Затем мы подставляем это значение для [latex] y [/ latex] в одно из исходных уравнений и решаем для [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} -x + y & = 3 \\ -x + \ frac {2} {3} & = 3 \\ -x & = 3- \ frac {2} {3} \\ -x & = \ frac {7} {3} \\ x & = — \ frac {7} {3} \ end {align} [/ latex]

Решение этой системы — [латекс] \ left (- \ frac {7} {3}, \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].

Проверьте решение в первом уравнении.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = — 1 \\ \ left (- \ frac {7} {3} \ right) +2 \ left (\ frac {2} {3} \ right) & = \\ — \ frac {7} {3} + \ frac {4} {3} & = \\ \ — \ frac {3} {3} & = \\ -1 & = — 1 && \ text {True} \ end {align} [/ латекс]

Анализ решения

Мы получаем важное представление о системах уравнений, глядя на графическое представление.Посмотрите на график ниже, чтобы увидеть, что уравнения пересекаются в решении. Нам не нужно спрашивать, может ли быть второе решение, потому что наблюдение за графиком подтверждает, что система имеет ровно одно решение.

Пример: использование метода сложения, когда требуется умножение одного уравнения

Решите данную систему уравнений методом сложения .

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = — 11 \\ x — 2y & = 11 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Добавление этих уравнений в представленном виде не устраняет переменную.Однако мы видим, что в первом уравнении есть [latex] 3x [/ latex], а во втором уравнении — [latex] x [/ latex]. Итак, если мы умножим второе уравнение на [latex] -3, \ text {} [/ latex], элементы x прибавятся к нулю.

[латекс] \ begin {align} x — 2y & = 11 \\ -3 \ left (x — 2y \ right) & = — 3 \ left (11 \ right) && \ text {Умножаем обе стороны на} -3 \ \ -3x + 6y & = — 33 && \ text {Использовать свойство распределения}. \ end {align} [/ latex]

А теперь добавим их.

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = — 11 \\ −3x + 6y & = — 33 \\ \ hline 11y & = — 44 \\ y & = — 4 \ end {align} [/ latex]

На последнем этапе мы подставляем [latex] y = -4 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решаем для [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = — 11 \\ 3x + 5 \ left (-4 \ right) & = — 11 \\ 3x — 20 & = — 11 \\ 3x & = 9 \\ x & = 3 \ end {align} [/ latex]

Наше решение — упорядоченная пара [латекс] \ left (3, -4 \ right) [/ latex]. Проверьте решение в исходном втором уравнении.

[латекс] \ begin {align} x — 2y & = 11 \\ \ left (3 \ right) -2 \ left (-4 \ right) & = 3 + 8 \\ & = 11 && \ text {True} \ конец {align} [/ latex]

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x — 7y & = 2 \\ 3x + y & = — 20 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (-6, -2 \ вправо) [/ латекс]

Пример: использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3y & = — 16 \\ 5x — 10y & = 30 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Одно уравнение имеет [латекс] 2x [/ латекс], а другое — [латекс] 5x [/ латекс].Наименьшее общее кратное — [latex] 10x [/ latex], поэтому нам придется умножить оба уравнения на константу, чтобы исключить одну переменную. Давайте удалим [latex] x [/ latex], умножив первое уравнение на [latex] -5 [/ latex], а второе уравнение на [latex] 2 [/ latex].

[латекс] \ begin {align} -5 \ left (2x + 3y \ right) & = — 5 \ left (-16 \ right) \\ -10x — 15y & = 80 \\ [3 мм] 2 \ left (5x — 10y \ right) & = 2 \ left (30 \ right) \\ 10x — 20y & = 60 \ end {align} [/ latex]

Затем мы складываем два уравнения.

[латекс] \ begin {align} -10x-15y & = 80 \\ 10x-20y & = 60 \\ \ hline -35y & = 140 \\ y & = — 4 \ end {align} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = -4 [/ latex] в исходное первое уравнение.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3 \ left (-4 \ right) & = — 16 \\ 2x — 12 & = — 16 \\ 2x & = — 4 \\ x & = — 2 \ end {align} [ / латекс]

Решение: [латекс] \ left (-2, -4 \ right) [/ latex]. Проверьте это в другом уравнении.

[латекс] \ begin {align} 5x — 10y & = 30 \\ 5 \ left (-2 \ right) -10 \ left (-4 \ right) & = 30 \\ -10 + 40 & = 30 \\ 30 & = 30 \ end {align} [/ latex]

Пример: использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

[латекс] \ begin {align} \ frac {x} {3} + \ frac {y} {6} & = 3 \\ [1 мм] \ frac {x} {2} — \ frac {y} {4 } & = 1 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

Сначала очистите каждое уравнение от дробей, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

[латекс] \ begin {align} 6 \ left (\ frac {x} {3} + \ frac {y} {6} \ right) & = 6 \ left (3 \ right) \\ [1 мм] 2x + y & = 18 \\ [3 мм] 4 \ left (\ frac {x} {2} — \ frac {y} {4} \ right) & = 4 \ left (1 \ right) \\ [1 мм] 2x-y & = 4 \ end {align} [/ latex]

Теперь умножьте второе уравнение на [latex] -1 [/ latex], чтобы мы могли исключить x .

[латекс] \ begin {align} -1 \ left (2x-y \ right) & = — 1 \ left (4 \ right) \\ [1 мм] -2x + y & = — 4 \ end {align} [/ латекс]

Сложите два уравнения, чтобы исключить x , и решите полученное уравнение относительно y .

[латекс] \ begin {align} 2x + y & = 18 \\ −2x + y & = — 4 \\ \ hline 2y & = 14 \\ y & = 7 \ end {align} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = 7 [/ латекс] в первое уравнение.

[латекс] \ begin {align} 2x + \ left (7 \ right) & = 18 \\ 2x & = 11 \\ x & = \ frac {11} {2} \\ & = 7.5 \ end {align} [/ latex]

Решение: [латекс] \ left (\ frac {11} {2}, 7 \ right) [/ latex]. Проверьте это в другом уравнении.

[латекс] \ begin {align} \ frac {x} {2} — \ frac {y} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {\ frac {11} {2}} {2} — \ frac {7} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {11} {4} — \ frac {7} {4} & = 1 \\ [1 мм] \ frac {4} {4} & = 1 \ end {align} [/ latex]

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {align} 2x + 3y & = 8 \\ 3x + 5y & = 10 \ end {align} [/ latex]

Показать решение

[латекс] \ влево (10, -4 \ вправо) [/ латекс]

В следующем видео мы представляем больше примеров того, как использовать метод сложения (исключения) для решения системы двух линейных уравнений.

Классифицируйте решения по системам

Теперь, когда у нас есть несколько методов решения систем уравнений, мы можем использовать эти методы для выявления несовместимых систем. Напомним, что несогласованная система состоит из параллельных линий, которые имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения [латекс] y [/ латекс]. Они никогда не пересекутся. При поиске решения несовместимой системы мы получим ложное утверждение, например [latex] 12 = 0 [/ latex].

Пример: решение несовместимой системы уравнений

Решите следующую систему уравнений.

[латекс] \ begin {gather} & x = 9 — 2y \\ & x + 2y = 13 \ end {gather} [/ latex]

Показать решение

Мы можем подойти к этой проблеме двумя способами. Поскольку одно уравнение для [латекс] x [/ латекс] уже решено, наиболее очевидным шагом является использование замены.

[латекс] \ begin {align} x + 2y & = 13 \\ \ left (9 — 2y \ right) + 2y & = 13 \\ 9 + 0y & = 13 \\ 9 & = 13 \ end {align} [/ latex]

Ясно, что это утверждение противоречит тому, что [латекс] 9 \ ne 13 [/ латекс].Следовательно, у системы нет решения.

Второй подход заключается в том, чтобы сначала манипулировать уравнениями так, чтобы они оба были в форме пересечения наклона. Мы манипулируем первым уравнением следующим образом.

[латекс] \ begin {собрано} x = 9 — 2y \\ 2y = -x + 9 \\ y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {9} {2} \ end {собрано} [ / латекс]

Затем мы преобразуем второе уравнение в форму пересечения наклона.

[латекс] \ begin {собрано} x + 2y = 13 \\ 2y = -x + 13 \\ y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {13} {2} \ end {собрано} [ / латекс]

Сравнивая уравнения, мы видим, что они имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения y .Следовательно, линии параллельны и не пересекаются.

[латекс] \ begin {gather} y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {9} {2} \\ y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {13} {2 } \ end {gather} [/ latex]

Анализ решения

Запись уравнений в форме пересечения наклона подтверждает, что система несовместима, потому что все линии в конечном итоге будут пересекаться, если они не параллельны. Параллельные линии никогда не пересекаются; таким образом, у этих двух линий нет общих точек. Графики уравнений в этом примере показаны ниже.

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {собрано} 2y — 2x = 2 \\ 2y — 2x = 6 \ end {собрано} [/ latex]

Показать решение

Нет решения. Это противоречивая система.

Выражение решения системы зависимых уравнений, содержащих две переменные

Напомним, что зависимая система уравнений с двумя переменными — это система, в которой два уравнения представляют собой одну и ту же линию.Зависимые системы имеют бесконечное количество решений, потому что все точки на одной линии также находятся на другой линии. После использования замены или добавления результирующее уравнение будет идентичным, например [латекс] 0 = 0 [/ латекс].

Пример: поиск решения зависимой системы линейных уравнений

Найдите решение системы уравнений с помощью метода сложения .

[латекс] \ begin {собрано} x + 3y = 2 \\ 3x + 9y = 6 \ end {собрано} [/ latex]

Показать решение

С помощью метода сложения мы хотим исключить одну из переменных, добавив уравнения.В этом случае давайте сосредоточимся на удалении [латекс] х [/ латекс]. Если мы умножим обе части первого уравнения на [latex] -3 [/ latex], то мы сможем исключить переменную [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {align} x + 3y & = 2 \\ \ left (-3 \ right) \ left (x + 3y \ right) & = \ left (-3 \ right) \ left (2 \ right) \\ -3x — 9y & = — 6 \ end {align} [/ latex]

Теперь сложите уравнения.

[латекс] \ begin {align} −3x − 9y & = — 6 \\ + 3x + 9y & = 6 \\ \ hline 0 & = 0 \ end {align} [/ latex]

Мы видим, что будет бесконечное число решений, удовлетворяющих обоим уравнениям.

Анализ решения

Если бы мы переписали оба уравнения в форме пересечения наклона, мы могли бы знать, как будет выглядеть решение перед добавлением. Давайте посмотрим, что происходит, когда мы преобразуем систему в форму с пересечением наклона.

[латекс] \ begin {align} \ begin {gather} x + 3y = 2 \\ 3y = -x + 2 \\ y = — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ конец {собрано} \ hspace {2cm} \ begin {gather} 3x + 9y = 6 \\ 9y = -3x + 6 \\ y = — \ frac {3} {9} x + \ frac {6} {9} \ \ y = — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ end {gather} \ end {align} [/ latex]

Посмотрите на график ниже.Обратите внимание, что результаты такие же. Общее решение системы — [латекс] \ left (x, — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].

Написание общего решения

В предыдущем примере мы представили анализ решения следующей системы уравнений:

[латекс] \ begin {собрано} x + 3y = 2 \\ 3x + 9y = 6 \ end {собрано} [/ latex]

После небольшой алгебры мы обнаружили, что эти два уравнения в точности совпадают. Затем мы записали общее решение как [latex] \ left (x, — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].Зачем нам писать решение именно так? В некотором смысле это представление о многом говорит нам. Он говорит нам, что x может быть любым, x x . Это также говорит нам, что y будет зависеть от x , точно так же, как когда мы пишем правило функции. В этом случае, в зависимости от того, что вы указали для x , y будет определено в терминах x как [латекс] — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} [ /латекс].

Другими словами, существует бесконечно много пар ( x , y ), которые удовлетворяют этой системе уравнений, и все они попадают на линию [латекс] f (x) — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} [/ латекс].

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {собрано} y — 2x = 5 \\ -3y + 6x = -15 \ end {собрано} [/ latex]

Показать решение

Система является зависимой, поэтому существует бесконечно много решений вида [латекс] \ left (x, 2x + 5 \ right) [/ latex].

Использование систем уравнений для исследования прибыли

Используя то, что мы узнали о системах уравнений, мы можем вернуться к проблеме производства скейтбордов в начале раздела.Функция выручки производителя скейтбордов — это функция, используемая для расчета суммы денег, которая поступает в бизнес. Это может быть представлено уравнением [латекс] R = xp [/ latex], где [latex] x = [/ latex] количество и [latex] p = [/ latex] цена. Функция дохода показана оранжевым цветом на графике ниже.

Функция затрат — это функция, используемая для расчета затрат на ведение бизнеса. Он включает постоянные затраты, такие как аренда и заработная плата, и переменные затраты, такие как коммунальные услуги.Функция стоимости показана синим цветом на графике ниже. Ось x представляет количество в сотнях единиц. Ось y представляет собой стоимость или доход в сотнях долларов.

Точка пересечения двух линий называется точкой безубыточности . Из графика видно, что если произведено 700 единиц, стоимость составит 3300 долларов, а выручка также составит 3300 долларов. Другими словами, компания сломается, даже если произведет и продаст 700 единиц. Они не зарабатывают и не теряют деньги.

Заштрихованная область справа от точки безубыточности представляет объемы, от которых компания получает прибыль. Заштрихованная область слева представляет объемы, по которым компания терпит убытки. Функция прибыли — это функция дохода за вычетом функции затрат, записываемая как [латекс] P \ left (x \ right) = R \ left (x \ right) -C \ left (x \ right) [/ latex]. Очевидно, что знание количества, при котором затраты равны выручке, имеет большое значение для бизнеса.

Пример: определение точки безубыточности и функции прибыли с помощью подстановки

Дана функция стоимости [латекс] C \ left (x \ right) = 0.85x + 35 {,} 000 [/ latex] и функция дохода [latex] R \ left (x \ right) = 1,55x [/ latex], найдите точку безубыточности и функцию прибыли.

Показать решение

Напишите систему уравнений, используя [latex] y [/ latex], чтобы заменить обозначение функции.

[латекс] \ begin {align} y & = 0,85x + 35 {,} 000 \\ y & = 1,55x \ end {align} [/ latex]

Подставьте выражение [latex] 0.85x + 35 {,} 000 [/ latex] из первого уравнения во второе уравнение и решите относительно [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {собрано} 0.85x + 35 {,} 000 = 1,55x \\ 35 {,} 000 = 0,7x \\ 50 {,} 000 = x \ end {в собранном виде} [/ latex]

Затем мы подставляем [латекс] x = 50 {,} 000 [/ latex] либо в функцию стоимости, либо в функцию дохода.

[латекс] 1,55 \ слева (50 {,} 000 \ справа) = 77 {,} 500 [/ латекс]

Точка безубыточности — [латекс] \ left (50 {,} 000,77 {,} 500 \ right) [/ latex].

Функция прибыли находится по формуле [латекс] P \ left (x \ right) = R \ left (x \ right) -C \ left (x \ right) [/ latex].

[латекс] \ begin {align} P \ left (x \ right) & = 1.55x- \ left (0,85x + 35 {,} 000 \ right) \\ & = 0,7x — 35 {,} 000 \ end {align} [/ latex]

Функция прибыли [латекс] P \ left (x \ right) = 0,7x — 35 {,} 000 [/ latex].

Анализ решения

Стоимость производства 50 000 единиц составляет 77 500 долларов США, а выручка от продажи 50 000 единиц также составляет 77 500 долларов США. Чтобы получить прибыль, бизнес должен произвести и продать более 50 000 единиц.

Как видно из графика ниже, функция прибыли имеет отрицательное значение до тех пор, пока [latex] x = 50 {,} 000 [/ latex] не пересечет ось x .Затем график переходит в положительные значения y и продолжает движение по этому пути, поскольку функция прибыли представляет собой прямую линию. Это показывает, что точка безубыточности для предприятий наступает, когда функция прибыли равна 0. Область слева от точки безубыточности представляет работу с убытками.

Написание системы линейных уравнений для ситуации

Редко можно получить уравнения, которые четко моделируют поведение, с которым вы сталкиваетесь в бизнесе, скорее, вы, вероятно, столкнетесь с ситуацией, для которой вы знаете ключевую информацию, как в приведенном выше примере.Ниже мы суммируем три ключевых фактора, которые помогут вам преобразовать ситуацию в систему.

Как сделать: в ситуации, которая представляет собой систему линейных уравнений, напишите систему уравнений и найдите решение.

  1. Определите входные и выходные данные каждой линейной модели.
  2. Определите наклон и пересечение y каждой линейной модели.
  3. Найдите решение, установив две линейные функции равными другой и решив для x , или найдите точку пересечения на графике.

А теперь давайте попробуем применить эти ключевые факторы. В следующем примере мы определяем, сколько разных типов билетов продано, учитывая информацию об общей выручке и количестве билетов, проданных на мероприятие.

Пример: запись и решение системы уравнений с двумя переменными

Стоимость билета в цирк составляет 25 долларов для детей и 50 долларов для взрослых. В определенный день посещаемость цирка составляет 2000 человек, а общий доход от ворот составляет 70 000 долларов.Сколько детей и сколько взрослых купили билеты?

Показать решение

Пусть c = количество детей и a = количество взрослых, посещающих школу.

Общее количество человек — 2000 человек. Мы можем использовать это, чтобы написать уравнение для количества людей в цирке в тот день.

[латекс] c + a = 2 {,} 000 [/ латекс]

Доход от всех детей можно найти, умножив 25 долларов США на количество детей, [латекс] 25c [/ латекс]. Доход от всех взрослых можно найти, умножив 50 долларов.00 по количеству взрослых, [латекс] 50а [/ латекс]. Общий доход составляет 70 000 долларов. Мы можем использовать это, чтобы написать уравнение дохода.

[латекс] 25c + 50a = 70 {,} 000 [/ латекс]

Теперь у нас есть система линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {собрано} c + a = 2,000 \\ 25c + 50a = 70 {,} 000 \ end {собрано} [/ latex]

В первом уравнении коэффициент обеих переменных равен 1. Мы можем быстро решить первое уравнение для [латекса] c [/ латекса] или [латекса] a [/ латекса].Решим за [латекс] [/ latex].

[латекс] \ begin {собрано} c + a = 2 {,} 000 \\ a = 2 {,} 000-c \ end {собрано} [/ latex]

Подставьте выражение [latex] 2 {,} 000-c [/ latex] во второе уравнение для [latex] a [/ latex] и решите относительно [latex] c [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 25c + 50 \ left (2 {,} 000-c \ right) & = 70 {,} 000 \\ 25c + 100 {,} 000 — 50c & = 70 {,} 000 \ \ -25c & = — 30 {,} 000 \\ c & = 1 {,} 200 \ end {align} [/ latex]

Подставьте [латекс] c = 1 {,} 200 [/ latex] в первое уравнение для решения относительно [latex] a [/ latex].

[латекс] \ begin {align} 1 {,} 200 + a & = 2 {,} 000 \\ a & = 800 \ end {align} [/ latex]

Мы обнаружили, что 1200 детей и 800 взрослых купили в тот день билеты в цирк.

Попробуйте

Билеты в цирк стоят 4 доллара для детей и 12 долларов для взрослых. Если было куплено 1650 билетов на питание на общую сумму 14 200 долларов, сколько детей и сколько взрослых купили билеты на питание?

Иногда система уравнений может помочь в принятии решения. В следующем примере мы помогаем ответить на вопрос: «Какая компания по аренде грузовиков предоставит наилучшую стоимость?»

Пример: построение системы линейных моделей для выбора компании по аренде грузовиков

Джамал выбирает между двумя компаниями по аренде грузовиков.Первый, Keep on Trucking, Inc., взимает предоплату в размере 20 долларов, затем 59 центов за милю. Второй, Move It Your Way, требует предоплаты в размере 16 долларов, затем 63 цента за милю. Когда компания Keep on Trucking, Inc. станет лучшим выбором для компании Jamal?

Показать решение

Двумя важными величинами в этой задаче являются стоимость и количество пройденных миль. Поскольку нам нужно рассмотреть две компании, мы определим две функции.

Ввод d , пройденное расстояние в милях
Выходы K ( d ): стоимость в долларах для аренды у Keep on Trucking M ( d ) стоимость в долларах для аренды у Move It Your Way
Начальное значение Авансовый платеж: K (0) = 20 и M (0) = 16
Скорость изменения К ( д ) = 0 руб.59 за милю и P ( d ) = 0,63 доллара за милю

Линейная функция имеет вид [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex]. Используя скорости изменения и начальные расходы, мы можем записать уравнения

[латекс] \ begin {align} K \ left (d \ right) = 0,59d + 20 \\ M \ left (d \ right) = 0,63d + 16 \ end {align} [/ latex]

Используя эти уравнения, мы можем определить, когда Keep on Trucking, Inc. будет лучшим выбором. Поскольку все, что нам нужно сделать, это затраты, мы ищем, когда Move It Your Way будет стоить меньше, или когда [латекс] K \ left (d \ right)

Эти графики схематично изображены выше, K ( d ) выделены синим цветом.

Чтобы найти пересечение, мы приравниваем уравнения и решаем:

[латекс] \ begin {align} K \ left (d \ right) & = M \ left (d \ right) \\ 0,59d + 20 & = 0,63d + 16 \\ 4 & = 0,04d \\ 100 & = d \ \ d & = 100 \ end {align} [/ latex]

Это говорит нам о том, что стоимость проезда для двух компаний будет одинаковой, если проехать 100 миль.Либо посмотрев на график, либо отметив, что [латекс] K \ left (d \ right) [/ latex] растет медленнее, мы можем сделать вывод, что Keep on Trucking, Inc. будет дешевле, когда больше, чем Проехано 100 миль, то есть [латекс] d> 100 [/ латекс].

Приложения для систем кажутся почти бесконечными, но мы просто покажем еще одно. В следующем примере мы определяем количество 80% раствора метана, которое нужно добавить к 50% раствору, чтобы получить окончательный раствор 60%.

Пример: решение проблемы химической смеси

У химика есть 70 мл 50% раствора метана.Сколько 80% раствора она должна добавить, чтобы окончательный раствор состоял из 60% метана?

Показать решение

Мы воспользуемся следующей таблицей, чтобы помочь нам решить эту проблему со смесью:

Сумма Часть Всего
Начало
Добавить
Финал

Начнем с 70 мл раствора, и неизвестное количество может быть x .Часть представляет собой проценты или концентрацию раствора 0,5 для начала, 0,8 для доп.

Сумма Часть Всего
Начало 70 мл 0,5
Добавить [латекс] x [/ латекс] 0,8
Финал [латекс] 70 + x [/ латекс] 0,6

Добавьте столбец суммы, чтобы получить окончательную сумму.Часть этого количества равна 0,6, потому что мы хотим, чтобы окончательный раствор содержал 60% метана.

Сумма Часть Всего
Начало 70 мл 0,5 35
Добавить [латекс] x [/ латекс] 0,8 [латекс] 0,8x [/ латекс]
Финал [латекс] 70 + x [/ латекс] 0,6 [латекс] 42 + 0,6x [/ латекс]

Умножьте сумму на часть, чтобы получить общую сумму.обязательно распределить по последнему ряду: [латекс] (70 + х) 0,6 [/ латекс].

Если мы сложим начало и добавим записи в столбце «Итого», мы получим окончательное уравнение, которое представляет общую сумму и ее концентрацию.

[латекс] \ begin {align} 35 + 0,8x & = 42 + 0,6x \\ 0,2x & = 7 \\ \ frac {0,2} {0,2} x & = \ frac {7} {0,2} \\ x & = 35 \ конец {align} [/ latex]

35 мл 80% раствора необходимо добавить к 70 мл 50% раствора, чтобы получить 60% раствор метана.

Тот же процесс можно использовать, если к начальной и конечной сумме привязана цена, а не процент.

Ключевые понятия

  • Система линейных уравнений состоит из двух или более уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.
  • Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо.
  • Системы уравнений классифицируются как независимые с одним решением, зависимые с бесконечным числом решений или несовместимые с отсутствием решения.
  • Один из методов решения системы линейных уравнений с двумя переменными — построение графиков. В этом методе мы строим уравнения на одном и том же наборе осей.
  • Другой метод решения системы линейных уравнений — подстановка. В этом методе мы решаем одну переменную в одном уравнении и подставляем результат во второе уравнение.
  • Третий метод решения системы линейных уравнений — сложение, в котором мы можем исключить переменную, добавив противоположные коэффициенты соответствующих переменных.
  • Часто необходимо умножить одно или оба уравнения на константу, чтобы упростить исключение переменной при сложении двух уравнений.
  • Любой метод решения системы уравнений приводит к ложному утверждению для несовместимых систем, потому что они состоят из параллельных линий, которые никогда не пересекаются.
  • Решение системы зависимых уравнений всегда будет верным, потому что оба уравнения описывают одну и ту же линию.
  • Системы уравнений могут использоваться для решения реальных задач, которые включают более одной переменной, например, относящиеся к выручке, затратам и прибыли.

Глоссарий

метод сложения алгебраический метод, используемый для решения систем линейных уравнений, в котором уравнения складываются таким образом, чтобы исключить одну переменную, позволяя решить полученное уравнение для оставшейся переменной; затем используется подстановка для решения первой переменной

точка безубыточности точка, в которой функция затрат пересекает функцию дохода; где прибыль равна нулю

согласованная система система, для которой существует единое решение для всех уравнений в системе, и это независимая система, или если существует бесконечное количество решений, и это зависимая система

функция затрат функция, используемая для расчета затрат на ведение бизнеса; обычно состоит из двух частей: постоянных затрат и переменных затрат

зависимая система система линейных уравнений, в которой два уравнения представляют одну и ту же линию; существует бесконечное количество решений для зависимой системы

несовместимая система система линейных уравнений без общего решения, поскольку они представляют собой параллельные линии, не имеющие общей точки или прямой

независимая система система линейных уравнений с ровно одной парой решений [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]

функция прибыли функция прибыли записывается как [латекс] P \ left (x \ right) = R \ left (x \ right) -C \ left (x \ right) [/ latex], выручка минус затраты

функция дохода функция, которая используется для расчета дохода, записывается просто как [латекс] R = xp [/ latex], где [latex] x = количество [/ latex] и [latex] p = [/ latex] цена.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.