Как решать системы линейных уравнений: Разбираемся в линейных уравнениях раз и навсегда

Содержание

Решение СЛАУ методами подстановки и сложения

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Например, уравнение

линейное, а уравнения

и

не являются линейными.

В общем виде система m линейных уравнений с n переменными записывается так:

. (1)

Числа
 

называются коэффициентами при переменных, а
 —
свободными членами.

Совокупность чисел


называется решением системы (1) линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.

Изучение систем линейных уравнений начинается в средней школе. В школьном курсе рассматриваются в основном системы двух линейных уравнений
с двумя переменными и два метода их решения — метод подстановки и метод сложения. Эти методы являются основой изучаемого в курсе
высшей математике метода Гаусса. (Принципиально иной метод — метод Крамера —
основан на использовании определителей).

Чтобы последовательно двигаться от простому к ещё более простому (сложному), повторим два школьных метода.

Решение. При решении системы линейный уравнений методом подстановки сначала из какого-нибудь уравнения выражают
одну переменную через другую (другие, если неизвестных больше двух). Полученное выражение подставляют в другие уравнения, в результате чего приходят к уравнению
с одной переменной. Затем находят соответствующее значение второй (и третьей, если она есть) переменной.

Начнём со вполне школьного примера системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Выразим из первого уравнения
данной системы y через x (можно и наоборот) и получим:

Подставив во второе уравнение данной системы вместо y выражение , получим систему

Данная и полученная системы равносильны. В последней системе второе уравнение содержит только одну переменную.
Решим это уравнение:

Соответствующее значение y найдём, подставив вместо x число -5 в выражение
, откуда

Пара (-5; 2) является решением системы линейных уравнений.

Методом подстановки можно решать и системы трёх линейных уравнений с тремя переменными.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Из третьего уравнения системы выразим :

.

Подставим это выражение во второе уравнение данной системы:

.

Произведём преобразования и выразим из этого уравнения :

Полученные выражения для и подставим в первое уравнение системы и получим

.

Вместо можно вновь подставить его выражение, тогда получим
уравнение с одним неизвестным:

откуда

.

Теперь из ранее полученных выражений для остальных переменных найдём и эти переменные:

Итак, решение данной системы линейных уравнений:

.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Из первого уравнения системы выразим :

.

Подставим это выражение во второе уравнение данной системы, после чего выполним преобразования и получим:

Из третьего уравнения выразим :

Полученное выражение для подставим в преобразованное второе уравнение системы и получим уравнение с одним неизвестным:

.

Произведём преобразования и найдём :

Теперь из ранее полученных выражений для остальных переменных найдём и эти переменные:

Итак, решение данной системы линейных уравнений:

.

При решении систем линейных уравнений методом сложения уравнения системы почленно складывают, причём
одно или оба (несколько) уравнений могут быть умножены на различные числа. В результате приходят к эквивалентной
(равносильной) системе линейных уравнений, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом сложения:

Решение. В уравнениях данной системы в этом примере системы коэффициенты при y — противоположные числа.
Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:

, или , .

Заменим одно из уравнений исходной системы, например, первое, уравнением . Получим систему

Решим полученную систему. Подставив значение
в уравнение , получим уравнение с одной переменной y:

Пара (2; 1) является решением полученной системы линейных уравнений. Она является также решением
исходной системы, так как эти две системы линейных уравнений равносильны.

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом сложения

Почленное сложение уравнений системы не приводит к исключению одной из переменных. Но если умножить все члены первого уравнения на -3,
а второго уравнения на 2, то коэффициенты при x в полученных уравнениях будут противоположными числами:

Почленное сложение уравнений полученной в результате преобразований системы приводит к уравнению с одной переменной:
. Из этого уравнения находим, что . Получили

Решением полученной системы, а следовательно и исходной системы линейных уравнений является пара чисел (-3; 0).

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом сложения:

Решение. Для упрощения решения произведём замену переменных:

, .

Приходим к системе линейных уравнений:

или

Умножим второе уравнение полученной системы на -2 и сложим с первым уравнением, получим
,
. Тогда .

Следовательно, имеем систему уравнений

или

Умножим второе уравнение полученной системы на 3 и сложим с первым уравнением. Получим

.

Решив задачи из примеров на решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения, мы научились производить элементарные преобразования,
необходимые для решениях систем линейных уравнений в курсе высшей математики.

Продолжение темы «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Решение системы линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений

При помощи рассмотренного ранее инструмента Поиск решения можно также легко решать системы линейных равнений.

Системой n линейных уравнений с m неизвестными называется система вида:

где: aij и bi (i = 1, , m; b = 1, , n) – некоторые известные числа, x1, , xn – неизвестные.

В обозначении коэффициентов aij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй индекс j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных часто записывают в виде матрицы, которая называется матрицей системы:

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1, , bm называются свободными членами.

Совокупность n чисел c1, , cn называется решением данной системы уравнений, если каждое уравнение обращается в равенство после подстановки в него чисел c1, , cn вместо соответствующих неизвестных x1, , xn.

Наша задача найти решение системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

  • Система может иметь единственное решение.
  • Система может иметь бесконечное множество решений.
  • И третий случай, когда система вообще не имеет решения.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Существуют различные способы нахождения решений системы:

  • Матричный метод решения систем линейных уравнений.
  • Метод Крамера.
  • Метод Гаусса.

Создадим новый метод решения системы линейных уравнений, используя инструмент Поиск решения.

В качестве примера рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными:

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены запишем в виде таблицы:

В ячейках A7:C7 находятся будущие корни системы уравнений. Сначала присвоим им нулевые значения:

В ячейку D2 запишем формулу для вычисления свободного члена первого уравнения =СУММПРОИЗВ($A$7:$C$7;A2:C2). Эта функция перемножает соответствующие элементы заданных массивов одинаковой размерности и возвращает сумму произведений. Затем сделаем автозаполнение формулы для двух других ячеек в столбце D:

Вот так выглядят наши таблички в режиме значений:

Наша задача добиться попарного совпадения значений в соседних ячейках столбцов D и E, изменяя значения в ячейках A7:C7. Для этого будем использовать Поиск решения (на вкладке Данные → в группе Анализ → кнопка Поиск решения):

В диалоговом окне

Поиск решения устанавливаем следующие параметры:

  1. Установить целевую ячейку: тут должно быть пусто (стираем все значения, если они там были).
  2. Равной: значению: 0.
  3. Изменяя ячейки: $A$7:$C$7 (подбираем корни системы уравнений).
  4. Ограничения: $D$2:$D$4=$E$2:$E$4.

Нажимаем кнопку Выполнить:

Оставляем пункт Сохранить найденное решение → кнопка OK.

Теперь в ячейках A7, B7 и С7 будут записаны точные значения корней системы уравнений:

В противном случае в окне Результаты поиска решения получим сообщение Поиск не может найти подходящего решения:

Решение систем линейных уравнений

Напомним для начала определение решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

В дальнейшем будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя переменными.

Рисунок 1.

Существуют три способа решения систем линейных уравнений: способ подстановки, способ сложения и графический способ. Рассмотрим его на следующем примере:

Рисунок 2.

Способ подстановки

Способ подстановки заключается в следующем: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

Рисунок 3.

Выразим из второго уравнения $y$ через $x$:

Подставим в первое уравнение, найдем $x$:

Найдем $y$:

Ответ: $(-2,\ 3)$

Способ сложения

Рассмотрим данный способ на примере:

Рисунок 4.

Умножим второе уравнение на $3$, получим:

Рисунок 5.

Теперь сложим оба уравнения между собой:

Найдем $y$ из второго уравнения:

Ответ: $(-2,\ 3)$

!!! Отметим, что в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении одна из переменных «исчезла».

Графический способ

Графический способ заключается в следующем: Оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Рисунок 6.

Выразим из обоих уравнений $y$ через $x$:

Рисунок 7.

Изобразим оба графика на одной плоскости:

Рисунок 8.

Ответ: $(-2,\ 3)$

Пример решения систем линейных уравнений с двумя переменными

Пример 1

Решить систему уравнений тремя способами:

Рисунок 9.

Решение:

1) Способ подстановки.

Выразим $x$ через $y$:

\[x=y\]

Подставим в второе уравнение, найдем $y$:

\[2y+3y=-5\] \[y=-1\]

Найдем $x$:

\[x=-1\]

Ответ: $(-1,-1)$

2) Способ сложения.

Умножим первое уравнение на $3$, получим:

Рисунок 10.

сложим оба уравнения между собой:

\[5x=-5\] \[x=-1\]

Найдем $y$ из первого уравнения:

\[-1-y=0\] \[y=-1\]

Ответ: $(-1,\ -1)$

3) Графический способ.

Выразим из обоих уравнений $y$ через $x$:

Рисунок 11.

Изобразим оба графика на одной плоскости:

Рисунок 12.

Ответ: $(-1,\ -1)$

Численные методы: решение систем линейных уравнений

В прикладных задачах часто возникает необходимость решать системы линейных уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений с n неизвестными  —  это система уравнений вида

                                     (1)

Слово система означает, что все уравнения рассматриваются как одно целое.

В общем случае у нас имеется m — уравнений, n — количество неизвестных. x1x2,…, xn — неизвестные, которые следует определить.

В системе (1)  – фиксированные коэффициенты,  b1b2, …, bm — свободные члены — предполагаются известными.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Задача состоит в том, чтобы найти такие  которые удовлетворяют всем уравнениям (1).

В частном случае мы имеем одно линейное уравнение:

Конечно, такое уравнение легко решить, если предположить, что коэффициент  не равен 0, имеем:  = .

Очевидно, в общем случае имеются 3 варианта решений: система имеет ни одного решения, имеет одно решение, более одного решения.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если нет ни одного решения.

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

Ax = b

Здесь A — это матрица системы, x — столбец неизвестных, а b — столбец свободных членов.

Если к матрице A приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Рассмотрим, например, систему вида и поймем, как найти ее решение:

                                      (2)

Предположим на минуту, что в первом уравнении y отсутствует, а во втором отсутствует x, тогда мы имели бы решение именно то решение, которое нам нужно.

Вопрос: как исходную систему привести к такому виду и можно ли это сделать.

Заметим, что с тождествами мы можем делать следующие вещи: домножать на одно и то же число, отличное от 0, складывать, вычитать и тд, это похоже с тем, что вы раскладываете монеты по своим карманам, не меняя общей суммы.

От этих операций тождество не меняется.

В системе (2) у нас два тождества, домножим второе тождество на 2 и вычтем из первого, получим:

                                      (3)

Формально у нас есть еще старое тождество , но оно нам не понадобится (подумайте, почему).

Система (3) точно такая же, как система (2).

Из второго уравнения системы (3) сразу получим:

 

Никто не мешает нам подставить это значение в первое уравнение:

Отсюда сразу находим, что

Итак, путем простых действий мы нашли, что система (2) может быть представлена в виде:

Именно такие естественные соображения приводят к общему методу решения систем линейных уравнений, известному как метод исключения или метод Гаусса.

Метод Гаусса является одним из самых распространенных прямых методов решения систем линейных уравнений Ax = b:

Опишем этот метод в общем случае.

Вначале исходная система приводится к верхнетреугольному виду.

Это достигается следующей последовательностью преобразований (прямой ход).

Будем считать для удобства, что элемент aij исходной матрицы и компоненты вектора bi есть, соответственно, элементы aij (1) первого шага преобразованной матрицы A1 и преобразованного вектора b1:A = A1, b=b1

Далее, на втором шаге прибавим к второй строке первую, умноженную на  

Аналогично поступим со всеми оставшимися строками, т.е. прибавим к каждой i-ой строке i=2,3,…,N, первую, умноженную на коэффициент  

При этом соответственно изменится и вектор b1. 

Таким образом, 2 шаг.

Имеем систему уравнений A2x = b2:

где

3 шаг.

Прибавим к новой третьей строке новую вторую, умноженную на  

То же самое сделаем с остальными строками 4,5,…,N, т.е. прибавим к i-ой строке вторую, умноженную на  

При этом получим систему A3x = b3:

(k+1)-ый шаг:

Здесь

Поступая так и далее, на шаге N-1 получаем верхнетреугольную систему:

При этом, мы также получили матрицу C переводных коэффициентов, имеющую вид:

Решение полученной треугольной системы  как легко видеть, имеет вид (обратный ход метода Гаусса):

Заметим, что при прямом ходе метода Гаусса может возникнуть ситуация, когда происходит деление на нуль, да и вообще, желательно не делить на малое число, чтобы не накапливалась ошибка.

Поэтому метод Гаусса обычно проводят с частичным выбором главного элемента, то есть после каждого шага (пусть это был k-й шаг) переставляют строки с номерами k,k+1,…,N таким образом, чтобы на месте kk оказался элемент  наибольший из всех в k-ом столбце при m>k (при этом, естественно, переставляются и компоненты вектора b).

Можно для максимальной точности переставлять также и столбцы преобразуемой матрицы, чтобы на месте kk оказался максимальный элемент из всех с индексами больше, либо равными k.

Эта процедура называется методом Гаусса с выбором главного элемента. Она несколько повышает точность по сравнению с частичным выбором главного элемента, но весьма неудобна, в том числе для программирования, поскольку при перестановке строк компоненты искомого вектора x переставлять не надо, тогда как при перестановке столбцов надо переставлять и соответствующие компоненты вектора x.

Опишем обратный ход метода Гаусса в несколько иной форме (треугольное разложение).

Введем матрицы Mk по правилу:

На каждом шаге метода Гаусса получается некоторая промежуточная матрица: 

 и вектор  

Нетрудно видеть, что

Вопрос. Почему

Если производить также выбор главных элементов, то необходимо использовать оператор P перестановки индексов l и m, матричные элементы которого равны:

При применении оператора перестановки индексов к матрице слева, меняются местами строки матрицы и компоненты свободного вектора (PAx = Pb), если же его применить справа к матрице, то меняются местами ее столбцы и компоненты решения

Существует большой класс так называемых итерационных методов решения систем уравнений, аналогичных итерационным методам нахождения корней нелинейных уравнений.

Итерационные методы последовательно уточняют решение, отправляясь от начального приближения.

При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций.

Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений.

Идея состоит в том, чтобы найти неподвижную точку матричного уравнения

                                     (5)

эквивалентного начальной системе линейных алгебраических уравнений.

При итерации  в правой части уравнения заменяется, например, в методе Якоби (метод простой итерации) приближение, найденное на предыдущем шаге:

.

Термин неподвижная точка становится ясен, если вы внимательно посмотрите на уравнение (5), по самому своему смыслу величина Х является неподвижной точкой.

Более подробное описание методов решения систем линейных уравнений можно найти в специальной литературе, наша задача дать обзор методов и основные идеи решения такого рода задач.

Обусловленность линейных систем, погрешность

При решении абстрактной задачи Ax = b, где A — оператор произвольной природы, важным моментом является корректность ее постановки.

Задача считается корректной, если решение существует и единственно и , кроме того, решение непрерывно зависит от данных (то есть, при  также стремится к нулю).

Однако и непрерывная зависимость от входных данных может иметь свои нюансы.

Чем меньшее (большее) изменение решения вызывает вариация входных данных, тем более хорошо (плохо) обусловленной считается задача.

Понятие обусловленности является тем более существенным для численных методов, поскольку на практике входные данные известны, как правило, с некоторой погрешностью.

Кроме того, существуют ошибки округления, возникающие при вычислениях.

Таким образом, формально корректная задача, являясь плохо обусловленной, может оказаться разрешимой столь неточно, что в этом будет отсутствовать практический смысл.

Чем можно охарактеризовать количественно обусловленность для линейных систем?

Пусть A — квадратная NxN — матрица.

Рассмотрим задачу Ax = b.

Пусть также  некоторая норма в пространстве RN 

Норма оператора A определяется стандартно:

Обозначим y = Ax и введем число m по правилу:

Величина  называется числом обусловленности.

Очевидно:


  1.      

  2. если A — диагональная, то  (Для какой нормы, или для всех вышеприведенных?). Чем меньше число обусловленности C(A), тем лучше обусловлена система. Действительно, пусть  вариация правой части, а соответствующее изменение решения.

Тогда справедливо следующее неравенство:

 

Доказательство. Имеем:

Так как

то    

Аналогично, поскольку  

Объединяя два неравенства, окончательно получаем для оценки погрешности:

 

В начало

Содержание портала

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Решение систем линейных уравнений

Аннотация: В лекции рассматривается задача решения систем линейных
уравнений. Приводятся необходимые определения и постановка
задачи. Описывается последовательный и параллельный варианты
одного из прямых методов решения линейных систем общего вида –
метода Гаусса. Далее дается описание последовательного и
параллельного алгоритмов, реализующих итерационный метод
сопряженных градиентов

Системы линейных уравнений возникают при решении ряда
прикладных задач, описываемых дифференциальными, интегральными
или системами нелинейных (трансцендентных) уравнений. Они могут
появляться также в задачах математического программирования,
статистической обработки данных, аппроксимации функций, при
дискретизации краевых дифференциальных задач методом конечных
разностей или методом конечных элементов и др.

Матрицы коэффициентов систем линейных уравнений могут иметь
различные структуру и свойства. Матрицы решаемых систем могут
быть плотными, и их порядок может достигать несколько тысяч строк
и столбцов. При решении многих задач могут появляться системы,
обладающие симметричными положительно определенными ленточными
матрицами с порядком в десятки тысяч и шириной ленты в несколько
тысяч элементов. И, наконец, при рассмотрении большого ряда задач
могут возникать системы линейных уравнений с разреженными
матрицами с порядком в миллионы строк и столбцов.

8.1. Постановка задачи

Линейное уравнение с n неизвестными x0, x1, ѕ, xn-1 может быть
определено при помощи выражения

(
8.1)

где величины a0,a1,…,an-1
и b представляют собой постоянные значения.

Множество из n линейных уравнений

(
8.2)

называется системой линейных уравнений или линейной системой. В
более кратком ( матричном ) виде система может представлена как

где A=(ai,j) есть вещественная матрица размера nxn, а векторы b и x состоят из n элементов.

Под задачей решения системы линейных уравнений для заданных
матрицы А и вектора b обычно понимается нахождение значения
вектора неизвестных x, при котором выполняются все уравнения
системы.

8.2. Алгоритм Гаусса

Метод Гаусса – широко известный прямой алгоритм решения систем
линейных уравнений, для которых матрицы коэффициентов являются
плотными. Если система линейных уравнений невырожденна, то метод
Гаусса гарантирует нахождение решения с погрешностью,
определяемой точностью машинных вычислений. Основная идея метода
состоит в приведении матрицы А посредством эквивалентных
преобразований (не меняющих решение системы (8.2)) к треугольному
виду, после чего значения искомых неизвестных могут быть получены
непосредственно в явном виде.

В подразделе дается общая характеристика метода Гаусса,
достаточная для начального понимания алгоритма и позволяющая
рассмотреть возможные способы параллельных вычислений при решении
систем линейных уравнений. Более полное изложение алгоритма со
строгим обсуждением вопросов точности получаемых решений может
быть получено, например, в работах [
[
6
]
,
[
22
]
,
[
47
]
] и др.

8.2.1. Последовательный алгоритм

Метод Гаусса основывается на возможности выполнения
преобразований линейных уравнений, которые не меняют при этом
решения рассматриваемой системы (такие преобразования носят
наименование эквивалентных ). К числу таких преобразований
относятся:

  • умножение любого из уравнений на ненулевую константу;
  • перестановка уравнений;
  • прибавление к уравнению любого другого уравнения системы.

Метод Гаусса включает последовательное выполнение двух этапов.
На первом этапе – прямой ход метода Гаусса – исходная система
линейных уравнений при помощи последовательного исключения
неизвестных приводится к верхнему треугольному виду

где матрица коэффициентов получаемой системы имеет вид

На обратном ходе метода Гаусса (второй этап алгоритма)
осуществляется определение значений неизвестных. Из последнего
уравнения преобразованной системы может быть вычислено значение
переменной xn-1, после этого из предпоследнего уравнения
становится возможным определение переменной xn-2 и т.д.

8.2.1.1. Прямой ход алгоритма Гаусса

Прямой ход метода Гаусса состоит в последовательном исключении
неизвестных в уравнениях решаемой системы линейных уравнений. На
итерации i, 0<=i<n-1, метода производится исключение неизвестной i для всех уравнений с номерами k, большими i (т.е. i<k<=n-1 ).
Для этого из этих уравнений осуществляется вычитание строки i,
умноженной на константу ( aki/aii ), с тем чтобы результирующий
коэффициент при неизвестной xi в строках оказался нулевым – все
необходимые вычисления могут быть определены при помощи
соотношений:

(следует отметить, что аналогичные вычисления выполняются и над
вектором b ).

Поясним выполнение прямого хода метода Гаусса на примере системы линейных уравнений вида:

На первой итерации производится исключение неизвестной x0 из
второй и третьей строки. Для этого из этих строк нужно вычесть
первую строку, умноженную соответственно на 2 и 1. После этих
преобразований система уравнений принимает вид:

В результате остается выполнить последнюю итерацию и исключить
неизвестную x1 из третьего уравнения. Для этого необходимо
вычесть вторую строку, и в окончательной форме система имеет
следующий вид:

На рис. 8.1 представлена общая схема состояния данных на i -й
итерации прямого хода алгоритма Гаусса. Все коэффициенты при
неизвестных, расположенные ниже главной диагонали и левее столбца i, уже являются нулевыми. На i -й итерации прямого хода метода
Гаусса осуществляется обнуление коэффициентов столбца i,
расположенных ниже главной диагонали, путем вычитания строки i,
умноженной на нужную ненулевую константу. После проведения (n-1)
подобной итерации матрица, определяющая систему линейных
уравнений, становится приведенной к верхнему треугольному
виду.

Рис.
8.1.
Итерация прямого хода алгоритма Гаусса

При выполнении прямого хода метода Гаусса строка, которая
используется для исключения неизвестных, носит наименование ведущей, а диагональный элемент ведущей строки называется ведущим
элементом
. Как можно заметить, выполнение вычислений является
возможным только, если ведущий элемент имеет ненулевое значение.
Более того, если ведущий элемент ai,i имеет малое значение, то
деление и умножение строк на этот элемент может приводить к
накоплению вычислительной погрешности и вычислительной
неустойчивости алгоритма.

Возможный способ избежать подобной проблемы может состоять в
следующем: при выполнении каждой очередной итерации прямого хода
метода Гаусса следует определить коэффициент с максимальным
значением по абсолютной величине в столбце, соответствующем
исключаемой неизвестной, т.е.

и выбрать в качестве ведущей строку, в которой этот коэффициент
располагается (данная схема выбора ведущего значения носит
наименование метода главных элементов).

Вычислительная сложность прямого хода алгоритма Гаусса с
выбором ведущей строки имеет порядок O(n3).

8.2.1.2. Обратный ход алгоритма Гаусса

После приведения матрицы коэффициентов к верхнему треугольному
виду становится возможным определение значений неизвестных. Из
последнего уравнения преобразованной системы может быть вычислено
значение переменной xn-1, после этого из предпоследнего уравнения
становится возможным определение переменной xn-2 и т.д. В общем
виде выполняемые вычисления при обратном ходе метода Гаусса могут
быть представлены при помощи соотношений:

Поясним, как и ранее, выполнение обратного хода метода Гаусса
на примере рассмотренной в п. 8.2.1.1 системы линейных
уравнений

Из последнего уравнения системы можно определить, что
неизвестная x2 имеет значение 3. В результате становится
возможным разрешение второго уравнения и определение значение
неизвестной x1=13, т.е.

На последней итерации обратного хода метода Гаусса
определяется значение неизвестной x0, равное -44.

С учетом последующего параллельного выполнения можно отметить,
что вычисление получаемых значений неизвестных может выполняться
сразу во всех уравнениях системы (и эти действия могут
выполняться в уравнениях одновременно и независимо друг от
друга). Так, в рассматриваемом примере после определения значения
неизвестной x2 система уравнений может быть приведена к виду

Вычислительная сложность обратного хода алгоритма Гаусса
составляет O(n2).3+y+xyz = 7$

Решением уравнения с тремя переменными называется упорядоченная тройка значений переменных (x,y,z), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y+z=8 решениями являются тройки x = -2, y = 1, z = 7; x = -1, y = 1, 6 , z = 2; x = -3, y = 2, 4, z = 2 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Геометрическим представлением линейного уравнения с тремя переменными является плоскость в трёхмерном координатном пространстве.

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки

Алгоритм метода подстановки для системы уравнений с тремя переменными аналогичен алгоритму для двух переменных (см.§45 данного справочника)

Например: решить систему

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 3x+2y-z = 8 \\ x-y+z = -2 \\ 2x-3y-5z = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3(y-z-2)+2y-z = 8 \\ x = y-z-2 \\ 2(y-z-2)-3y-5z = 1 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = y-z-2 \\ 5y-4z = 14 \\ -y-7z = 5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = y-z-2 \\ y = -7z-5 \\ 5(-7z-5)-4z = 14 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = y-z-2 \\ y = -7z-5 \\ -39z = 39 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 2-(-1)-2 = 1 \\ y = -7\cdot(-1)-5 = 2 \\ z = -1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = 2 \\ z = -1 \end{array} \right.} $$

Ответ: (1;2;-1)

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера

Метод Крамера для системы уравнений с 2-мя переменными рассмотрен в §48 данного справочника.

Для системы с 3-мя переменными действуем по аналогии.

Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a_1 x+b_1 y+c_1 z = d_1 \\ a_2 x+b_2 y+c_2 z = d_2 \\ a_3 x+b_3 y+c_3 z = d_3 \end{array} \right.} $$

Определим главный определитель системы:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} $$

и вспомогательные определители:

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, \Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}, \Delta_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix} $$

Тогда решение системы:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \\ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \\ z = \frac{\Delta_z}{\Delta} \end{array} \right.} $$

Соотношение значений определителей, расположения плоскостей и количества решений:

$ \Delta \neq 0 $

$ \Delta = 0, \Delta _x \neq 0, \Delta_y \neq 0, \Delta_z \neq 0 $

$ \Delta = 0$ некоторые вспомогательные определители равны 0

Три плоскости пересекаются в одной точке

Три плоскости параллельны

Две или три плоскости совпадают или пересекаются по прямой

Бесконечное множество решений

Осталось определить правило вычисления определителя 3-го порядка.

Таких правил несколько, приведём одно из них (так называемое «раскрытие определителя по первой строке»):

$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 = \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} — b_1 = \begin{vmatrix} a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end{vmatrix} + c_1 = \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} = $$

$$ = a_1 (b_2 c_3-b_3 c_2 )-b_1 (a_2 c_3-a_3 c_2 )+c_1 (a_2 b_3-a_3 b_2 )$$

Примеры

Пример 1. Найдите решение системы уравнений методом подстановки:

$ а) {\left\{ \begin{array}{c} 3x+2y-z = 13 \\ 2x-y+3z = -2 \\ x+2y-z = 9 \end{array} \right.} $

$${\left\{ \begin{array}{c} z = 3x+2y-13 \\ 2x-y+3(3x+2y-13) = -2 \\ x+2y-(3x+2y-13) = 9 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} z = 3x+2y-13 \\ 11x+5y = 37 \\ -2x = -4 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$\Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} z = 3\cdot2+2\cdot3-13 = -1 \\ y = \frac{37-11\cdot2}{5} = 3 \\ x = 2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 2 \\ y = 3 \\ z = -1 \end{array} \right.} $$

Ответ: (2;3;-1)

$ б) {\left\{ \begin{array}{c} x+y+3z = 6 \\ 2x-5y-z = 5 \\ x+2y-5z = -11 \end{array} \right.} $

$$ {\left\{ \begin{array}{c} x = -y-3z+6 \\ 2(-y-3z+6)-5y-z = 5\\ (-y-3z+6)+2y-5z = -11 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = -y-3z+6 \\ -7y-7z = -7 |:(-7) \\ y-8z = -17 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = -y-3z+6 \\ y+z = 1 \\ y-8z = -17 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = -y-3z+6 \\ 9z = 18 \\ y = 1-z \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1-6+6 = 1 \\ z = 2 \\ y = 1-2 = -1 \end{array} \right.} \Rightarrow$$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 1 \\ y = -1 \\ z = 2 \end{array} \right.} $$

Ответ: (1;-1;2)

Пример 2. Найдите решение системы уравнений методом Крамера:

$а) {\left\{ \begin{array}{c}3x+2y-z = 13 \\ 2x-y+3z = -2 \\ x+2y-z = 9 \end{array} \right.} $

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3\\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 3 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \\ \end{vmatrix} — 2 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$

$$= 3(1-6)-2(-2-3)-(4+1) = -15+10-5 = -10$$

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 13 & 2 & -1 \\ -2 & -1 & 3 \\ 9 & 2 & -1 \\ \end{vmatrix} = 13 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \\ \end{vmatrix} — 2 = \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 9 & -1 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 9 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$

$$ = 13(1-6)-2(2-27)-(-4+9) = -65+50-5=-20 $$

$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & 13 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 1 & 9 & -1 \\ \end{vmatrix} = 3 = \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 9 & -1 \\ \end{vmatrix} — 13 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 9 \\ \end{vmatrix} = $$

$$ = 3(2-27)-13(-2-3)-(18+2) = -75+65-20 = -30 $$

$$ \Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 13 \\ 2 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & 9 \\ \end{vmatrix} = 3 = \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 9 \\ \end{vmatrix} — 2 = \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 9 \\ \end{vmatrix} + 13 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$

$$ = 3(-9+4)-2(18+2)+13(4+1) = -15-40+65 = 10 $$

$$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-20}{-10} = 2, y = {\Delta_y}{\Delta} = \frac{-30}{-10} = 3, z = {\Delta_z}{\Delta} = \frac{10}{-10} = -1$$

Ответ: (2;3;-1)

$б) {\left\{ \begin{array}{c} x+y+3z = 6 \\ 2x-5y-z = 5 \\ x+2y-5z = -11 \end{array} \right.} $

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -5 & -1\\ 1 & 2 & -5 \end{vmatrix} = 1 = \begin{vmatrix} -5 & -1 \\ 2 & -5 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -5 \\ \end{vmatrix} + 3 = \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$

$$= (25+2)—(-10+1)+3(4+5) = 27+9+27 = 63$$

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 3 \\ 5 & -5 & -1 \\ -11 & 2 & -5 \\ \end{vmatrix} = 6 = \begin{vmatrix} -5 & -1 \\ 2 & -5 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ -11 & -5 \\ \end{vmatrix} + 3 = \begin{vmatrix} 5 & -5 \\ -11 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$

$$ = 6(25+2)—(-25-11)+3(10-55) = 162+36-135 = 63 $$

$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 16 & 3 \\ 2 & 5 & -1 \\ 1 & -11 & -5 \\ \end{vmatrix} = 1 = \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ -11 & -5 \\ \end{vmatrix} — 6 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -5 \\ \end{vmatrix} + 3 = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -11 \\ \end{vmatrix} = $$

$$ = (-25-11)—6(-10+1)+3(-22-5) = -36+54-81 = -63 $$

$$ \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -5 & 5 \\ 1 & 2 & -11 \\ \end{vmatrix} = 1 = \begin{vmatrix} -5 & 5 \\ 2 & -11 \\ \end{vmatrix} — 1 = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -11 \\ \end{vmatrix} + 6 = \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = $$

$$ = (55-10)—(-22-5)+6(4+5) = 45+27+54 = 126 $$

$$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{63}{63} = 1, y = {\Delta_y}{\Delta} = \frac{-63}{63} = -1, z = {\Delta_z}{\Delta} = \frac{126}{63} = 2$$

Ответ: (1;-1;2)

Пример 3*.2 c-abc = -abc $$

Ответ:$ {\left\{ \begin{array}{c} x = -(a+b+c) \\ y = ab+ac+bc \\ z = -abc \end{array} \right.} $

Метод подстановки при решении системы линейных уравнений

При решении системы линейных уравнений с двумя переменными можно использовать графический метод. Однако алгебраический является более надежным. Одним из алгебраических методов является метод подстановки.

Суть метода подстановки заключается в следующем. В одном уравнении (не важно каком) системы одна переменная выражается через другую. После этого во второе уравнение системы вместо соответствующей переменной подставляется выражение, которому равна эта переменная, полученное ранее. Приведем пример; допустим, дана система уравнений:

| 10x + 10y + 10 = 0
| –2x – 4y – 8 = 0

Выразим во втором уравнении y через x:
–4y = 2x + 8
y = (2x + 8) / –4
y = –0.5x – 2

Теперь подставим в первое уравнение вместо y выражение –0.5x – 2. Это допустимо, так как y равен этому выражению, то есть y и это выражение эквивалентны. Получим:
10x + 10(–0.5x – 2) + 10 = 0

Теперь решим полученное уравнение с одной переменной, то есть найдем значение x.
10x – 5x – 20 + 10 = 0
5x – 10 = 0
5x = 10
x = 2

Для того, чтобы найти y надо подставить значение x в любое линейное уравнение из системы, но проще в то, где y уже выражен через x:
y = –0.5x – 2 = y = –0.5 * 2 – 2 = –1 – 2 = –3

Таким образом решением заданной системы уравнений являются значения x = 2, y = –3.

Проверим это, подставив соответствующие значения в одно или оба линейных уравнения системы:
10x + 10y + 10 = 10 * 2 + 10 * (–3) + 10 = 20 – 30 + 10 = 0 — верное равенство
–2x – 4y – 8 = –2 * 2 – 4 * (–3) – 8 = –4 + 12 – 8 = 0 — верное равенство

При использовании метода подстановки не важно выражать ли x через y или как в приведенном примере y через x. При выборе исходить надо из удобства: что проще из чего выразить. Например, в уравнении 4.35x + y – 1.5 проще выразить y через x: y = 1.5 – 4.35x. А вот в уравнении 2x – 4y = 0 лучше выразить x через y: x = 2y.

Как отмечалось выше уравнение, которое подвергается преобразованию, также можно выбрать произвольно, исходя из принципа удобства.

Решение систем линейных уравнений

А

система

линейные уравнения

представляет собой просто набор из двух или более линейных уравнений.

В двух переменных

(

Икс

и

у

)

, график системы двух уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.

Есть три возможности:

  • Линии пересекаются в нулевых точках.(Линии параллельны.)
  • Линии пересекаются ровно в одной точке. (Большинство случаев.)
  • Прямые пересекаются в бесконечном множестве точек. (Два уравнения представляют собой одну и ту же линию.)


Нулевые решения:

у

знак равно

2

Икс

+

4

у

знак равно

2

Икс

3


Одно решение:

у

знак равно

0.5

Икс

+

2

у

знак равно

2

Икс

3


Бесконечно много решений:

у

знак равно

2

Икс

4

у

+

4

знак равно

2

Икс

Существует несколько различных методов решения систем линейных уравнений:

  1. Графический метод

    .

    Это полезно, когда вам просто нужен приблизительный ответ или вы уверены, что пересечение происходит в целочисленных координатах. Просто нарисуйте две линии и посмотрите, где они пересекаются!

  2. См. Второй график выше. Решение — это место пересечения двух линий, точка

    (

    2

    ,

    1

    )

    .

  3. Метод замены

    .

    Сначала решите одно линейное уравнение для

    у

    с точки зрения

    Икс

    . Затем замените это выражение на

    у

    в другом линейном уравнении. Вы получите уравнение в

    Икс

    . Решите это, и у вас будет

    Икс

    -координата перекрестка. Затем подключите

    Икс

    к любому уравнению, чтобы найти соответствующее

    у

    -координат.(Если это проще, вы можете начать с решения уравнения для

    Икс

    с точки зрения

    у

    , тоже — такая же разница!)


  4. Пример 1:

    Решите систему

    {

    3

    Икс

    +

    2

    у

    знак равно

    16

    7

    Икс

    +

    у

    знак равно

    19

      Решите второе уравнение относительно

      у

      .

      у

      знак равно

      19

      7

      Икс

      Заменять

      19

      7

      Икс

      для

      у

      в первом уравнении и решите относительно

      Икс

      .

      3

      Икс

      +

      2

      (

      19

      7

      Икс

      )

      знак равно

      16

      3

      Икс

      +

      38

      14

      Икс

      знак равно

      16

      11

      Икс

      знак равно

      22

      Икс

      знак равно

      2

      Заменять

      2

      для

      Икс

      в

      у

      знак равно

      19

      7

      Икс

      и решить для

      у

      .

      у

      знак равно

      19

      7

      (

      2

      )

      у

      знак равно

      5

      Решение

      (

      2

      ,

      5

      )

      .

  5. Метод линейной комбинации

    , иначе


    Метод сложения

    , иначе


    Метод исключения.

    Сложить (или вычесть) одно уравнение, кратное другому уравнению (или из него), таким образом, чтобы либо

    Икс

    -термы или

    у

    -условия аннулируются.Затем решите для

    Икс

    (или

    у

    , в зависимости от того, что осталось) и подставьте обратно, чтобы получить другую координату.


  6. Пример 2:

    Решите систему

    {

    4

    Икс

    +

    3

    у

    знак равно

    2

    8

    Икс

    2

    у

    знак равно

    12

      Умножьте первое уравнение на

      2

      и добавьте результат ко второму уравнению.

      8

      Икс

      6

      у

      знак равно

      4

      8

      Икс

      2

      у

      знак равно

      12

      _

      8

      у

      знак равно

      16

      Решить для

      у

      .

      у

      знак равно

      2

      Замена для

      у

      в любом из исходных уравнений и решите относительно

      Икс

      .

      4

      Икс

      +

      3

      (

      2

      )

      знак равно

      2

      4

      Икс

      6

      знак равно

      2

      4

      Икс

      знак равно

      4

      Икс

      знак равно

      1

      Решение

      (

      1

      ,

      2

      )

      .

  7. Матричный метод

    .

    На самом деле это просто метод линейной комбинации, упрощенный за счет сокращения записи.


4.2: Решение систем линейных уравнений с двумя переменными

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений
  • Решите систему линейных уравнений, построив график
  • Решите систему уравнений путем подстановки
  • Решите систему уравнений методом исключения
  • Выберите наиболее удобный метод решения системы линейных уравнений

Перед тем, как начать, пройдите тест на готовность.

  1. Для уравнения \ (y = \ frac {2} {3} x − 4 \),
    ⓐ Является ли \ ((6,0) \) решением? Ⓑ Является ли \ ((- 3, −2) \) решением?
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка] .
  2. Найдите наклон и точку пересечения y прямой \ (3x − y = 12 \).
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка] .
  3. Найдите точки пересечения x- и y прямой \ (2x − 3y = 12 \).
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка] .

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

В разделе Решение линейных уравнений мы узнали, как решать линейные уравнения с одной переменной. Теперь мы будем работать с двумя или более линейными уравнениями, сгруппированными вместе, что известно как система линейных уравнений .

СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Когда два или более линейных уравнения сгруппированы вместе, они образуют систему линейных уравнений .

В этом разделе мы сосредоточим нашу работу на системах двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Позже в этой главе мы решим более крупные системы уравнений.

Ниже показан пример системы двух линейных уравнений. Мы используем скобку, чтобы показать, что два уравнения сгруппированы вместе и образуют систему уравнений.

\ [\ left \ {\ begin {выровнено} 2x + y & = 7 \\ x − 2y & = 6 \ end {выровнено} \ right. \ nonumber \]

Линейное уравнение с двумя переменными, например \ (2x + y = 7 \), имеет бесконечное число решений.Его график представляет собой линию. Помните, что каждая точка на линии — это решение уравнения, а каждое решение уравнения — это точка на линии.

Чтобы решить систему двух линейных уравнений, мы хотим найти значения переменных, которые являются решениями обоих уравнений. Другими словами, мы ищем упорядоченные пары \ ((x, y) \), которые делают оба уравнения истинными. Они называются решениями системы уравнений .

РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

решений системы уравнений — это значения переменных, которые делают все уравнения истинными.Решение системы двух линейных уравнений представляется упорядоченной парой \ ((x, y) \).

Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух уравнений, мы подставляем значения переменных в каждое уравнение. Если упорядоченная пара делает оба уравнения истинными, это решение системы.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − y = −1 \\ 2x − y = −5 \ end {array} \ right.\).

ⓐ \ ((- 2, −1) \) ⓑ \ ((- 4, −3) \)

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы \ (\ left \ {\ begin {array} 3x + y = 0 \\ x + 2y = −5 \ end {array} \ right. \).

ⓐ \ ((1, −3) \) ⓑ \ ((0,0) \)

Ответ

ⓐ да ⓑ нет

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы \ (\ left \ {\ begin {array} x − 3y = −8 \\ −3x − y = 4 \ end {array} \ right.\).

ⓐ \ ((2, −2) \) ⓑ \ ((- 2,2) \)

Ответ

ⓐ нет ⓑ да

Решите систему линейных уравнений с помощью построения графиков

В этом разделе мы будем использовать три метода для решения системы линейных уравнений. Первый метод, который мы будем использовать, — это построение графиков.

График линейного уравнения представляет собой линию. Каждая точка на линии — это решение уравнения. Для системы двух уравнений мы построим график двумя линиями.Затем мы можем увидеть все точки, которые являются решениями каждого уравнения. И, обнаружив, что общего у линий, мы найдем решение системы.

Большинство линейных уравнений с одной переменной имеют одно решение, но мы видели, что некоторые уравнения, называемые противоречиями, не имеют решений, а для других уравнений, называемых тождествами, все числа являются решениями.

Точно так же, когда мы решаем систему двух линейных уравнений, представленную графиком из двух линий в одной плоскости, есть три возможных случая, как показано.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)

Каждый раз, когда мы демонстрируем новый метод, мы будем использовать его в той же системе линейных уравнений. В конце раздела вы решите, какой метод был наиболее удобным для решения этой системы.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): как решить систему уравнений с помощью построения графиков

Решите систему, построив график \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = 7 \\ x − 2y = 6 \ end {array} \ right. \).

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − 3y = −3 \\ x + y = 5 \ end {array} \ right.\).

Ответ

\ ((3,2) \)

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} −x + y = 1 \\ 3x + 2y = 12 \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ ((2,3) \)

Здесь показаны шаги, которые нужно использовать для решения системы линейных уравнений с помощью построения графиков.

РЕШИТЕ ​​СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ.

  1. Изобразите первое уравнение.
  2. Постройте второе уравнение в той же прямоугольной системе координат.
  3. Определите, пересекаются ли линии, параллельны или совпадают.
  4. Определите решение системы.
    • Если линии пересекаются, укажите точку пересечения. Это решение системы.
    • Если линии параллельны, у системы нет решения.
    • Если линии совпадают, система имеет бесконечное количество решений.
  5. Проверьте решение в обоих уравнениях.

В следующем примере мы сначала перепишем уравнения в форме углового пересечения, так как это упростит нам быстрое построение графика линий.

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = −1 \\ 2x + y = 0 \ end {array} \ right. \)

Ответ

Мы решим оба этих уравнения относительно \ (y \), чтобы мы могли легко построить их график, используя их наклоны и \ (y \) — точки пересечения.

Пример \ (\ PageIndex {8} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} −x + y = 1 \\ 2x + y = 10 \ end {array} \ right. \).

Ответ

\ ((3,4) \)

Пример \ (\ PageIndex {9} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = 6 \\ x + y = 1 \ end {array} \ right. \).

Ответ

\ ((5, −4) \)

До сих пор во всех системах линейных уравнений линии пересекались, и решение было одной точкой.В следующих двух примерах мы рассмотрим систему уравнений, не имеющую решения, и систему уравнений, которая имеет бесконечное число решений.

Пример \ (\ PageIndex {10} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = \ tfrac {1} {2} x-3 \\ x-2y = 4 \ end {array} \ right. \ ).

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {11} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = — \ tfrac {1} {4} x + 2 \\ x + 4y = 4 \ end {array} \ right.\).

Ответ

нет решения

Пример \ (\ PageIndex {12} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 3x-1 \\ 6x-2y = 6 \ end {array} \ right. \).

Ответ

нет решения

Иногда уравнения в системе представляют собой одну и ту же линию. Поскольку каждая точка на прямой делает оба уравнения истинными, существует бесконечно много упорядоченных пар, которые делают оба уравнения истинными.У системы бесконечно много решений.

Пример \ (\ PageIndex {13} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 2x-3 \\ -6x + 3y = 9 \ end {array} \ right. \).

Ответ

Если вы напишете второе уравнение в форме пересечения наклона, вы можете заметить, что уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения y .

Пример \ (\ PageIndex {14} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = -3x-6 \\ 6x + 2y = -12 \ end {array} \ right.\).

Ответ

бесконечно много решений

Пример \ (\ PageIndex {15} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = \ tfrac {1} {2} x-4 \\ 2x-4y = 16 \ end {array} \ right. \ ).

Ответ

бесконечно много решений

Когда мы нарисовали вторую линию в последнем примере, мы нарисовали ее прямо над первой линией.Мы говорим, что две строки совпадают с . Совпадающие линии имеют одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения y- .

СОВПАДАЮЩИЕ ЛИНИИ

Совпадающие линии имеют одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения y- .

Каждая система уравнений в примере и примере имела две пересекающиеся линии. У каждой системы было одно решение.

В примере уравнения давали совпадающие линии, поэтому система имела бесконечно много решений.

У систем в этих трех примерах было по крайней мере одно решение. Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется согласованной системой .

Система с параллельными линиями, такая как Пример , не имеет решения. Мы называем такую ​​систему уравнений противоречивой. Нет решения.

СОГЛАСОВАННЫЕ И НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ

Согласованная система уравнений — это система уравнений, имеющая по крайней мере одно решение.

Непоследовательная система уравнений — это система уравнений, не имеющая решения.

Мы также классифицируем уравнения в системе уравнений, называя уравнения независимыми или зависимыми . Если два уравнения независимы, каждое из них имеет собственный набор решений. Пересекающиеся линии и параллельные линии независимы.

Если два уравнения являются зависимыми, все решения одного уравнения также являются решениями другого уравнения.Когда мы строим график двух зависимых уравнений, мы получаем совпадающие линии.

Подведем итог, посмотрев на графики трех типов систем. См. Ниже и таблицу .

Строки Пересечение Параллельный Совпадение
Количество решений 1 балл Нет решения Бесконечно много
Согласованные / несогласованные Согласованный Несоответствие Согласованный
Зависимые / независимые Независимая Независимая Иждивенец

Пример \ (\ PageIndex {16} \)

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 3x − 1 \\ 6x − 2y = 12 \ end {array} \ right. \) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = −3 \\ x − 5y = 5 \ end {array} \ right. \)

Ответ

ⓐ Сравним наклоны и пересечения двух линий.

\ (\ begin {array} {lll} {} & {} & {\ left \ {\ begin {array} {l} {y = 3x-1} \\ {6x − 2y = 12} \ end {массив } \ right.} \\ {} & {} & {y = 3x-1} \\ {\ text {Первое уравнение уже находится в форме пересечения наклона.}} & {} & {} \\ {\ text {Запишите второе уравнение в форме пересечения наклона.}} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {6x-2y = 12} \\ {} & {} & {- 2y = -6x + 12} \\ {} & { } & {\ frac {-2y} {- 2} = \ frac {-6x + 12} {- 2}} \\ {} & {} & {y = 3x-6} \\ {} & {y = 3x-1} & {y = 3x-6} \\ {} & {m = 3} & {m = 3} \\ {} & {b = -1} & {b = -6} \\ {\ text {Найдите наклон и точку пересечения каждой линии.}} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \ \ {} & {} & {} \\ {} & {\ text {Поскольку наклоны одинаковые, а точки пересечения y}} & {} \\ {} & {\ text {разные, линии параллельны.}} & {} \\ \ end {array} \)

ⓑ Мы сравним наклон и пересечения двух линий.

\ (\ begin {array} {lll} {} & {} & {} \\ {} & {\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = -3 \\ x-5y = 5 \\ \ end {array} \ right.} & {} \\ {\ text {Запишите оба уравнения в форме углового пересечения.}} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ { } & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {2x + y = -3} & {x-5y = 5} \\ {} & {y = -2x-3 } & {- 5y = -x + 5} \\ {} & {} & {\ frac {-5y} {- 5} = \ frac {-x + 5} {- 5}} \\ {} & { } & {y = \ frac {1} {5} -1} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {\ text {Найдите наклон и точку пересечения каждой линии.}} & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ {} & {y = -2x-3} & {y = \ frac {1} {5} -1} \\ {} & {m = -2} & {m = \ frac {1} {5}} \\ {} & {b = -3} & {b = -1} \\ {} & {} & {} \\ {} & {\ text {Поскольку уклоны разные, линии пересекаются.}} & {} \\ \ end {array} \)

Система уравнений, графики которой пересекаются, имеет одно решение, непротиворечива и независима.

Пример \ (\ PageIndex {17} \)

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = −2x − 4 \\ 4x + 2y = 9 \ end {array} \ right. \) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array } {l} 3x + 2y = 2 \\ 2x + y = 1 \ end {array} \ right. \)

Ответ

ⓐ нет решения, непоследовательное, независимое ⓑ одно решение, последовательное, независимое

Пример \ (\ PageIndex {18} \)

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = \ frac {1} {3} x − 5 \\ x − 3y = 6 \ end {array} \ right.\) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 4y = 12 \\ −x + y = 3 \ end {array} \ right. \)

Ответ

ⓐ нет решения, непоследовательное, независимое ⓑ одно решение, последовательное, независимое

Решение систем линейных уравнений с помощью графиков — хороший способ визуализировать типы решений, которые могут возникнуть. Однако во многих случаях решение системы с помощью построения графиков неудобно или неточно. Если графики выходят за пределы небольшой сетки с x и y как между \ (- 10 \), так и 10, построение линий может быть громоздким.И если решения системы не являются целыми числами, может быть трудно точно прочитать их значения с графика.

Решите систему уравнений подстановкой

Теперь решим системы линейных уравнений методом подстановки.

Мы будем использовать ту же систему, которую мы использовали вначале для построения графиков.

\ [\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = 7 \\ x − 2y = 6 \ end {array} \ right. \ nonumber \]

Сначала мы решим одно из уравнений относительно x или y .Мы можем выбрать любое уравнение и решить любую переменную, но мы постараемся сделать выбор, который упростит работу.

Затем мы подставляем это выражение в другое уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной — и мы знаем, как его решить!

После того, как мы найдем значение одной переменной, мы подставим это значение в одно из исходных уравнений и решим для другой переменной. Наконец, мы проверяем наше решение и убеждаемся, что оно соответствует обоим уравнениям.

Пример \ (\ PageIndex {20} \)

Решите систему заменой: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} −2x + y = −11 \\ x + 3y = 9 \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ ((6,1) \)

Пример \ (\ PageIndex {21} \)

Решите систему заменой: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = −1 \\ 4x + 3y = 3 \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ ((- 3,5) \)

РЕШИТЕ ​​СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ ПОДСТАВКОЙ.

  1. Решите одно из уравнений для любой переменной.
  2. Подставьте выражение из шага 1 в другое уравнение.
  3. Решите полученное уравнение.
  4. Подставьте решение шага 3 в любое из исходных уравнений, чтобы найти другую переменную.
  5. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
  6. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.

Будьте очень осторожны со знаками в следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {22} \)

Решите систему заменой: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x + 2y = 4 \\ 6x − y = 8 \ end {array} \ right. \)

Ответ

Нам нужно решить одно уравнение для одной переменной. Решим первое уравнение относительно y .

Пример \ (\ PageIndex {23} \)

Решите систему заменой: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − 4y = −4 \\ −3x + 4y = 0 \ end {array} \ right.\)

Ответ

\ ((2,32) \)

Пример \ (\ PageIndex {24} \)

Решите систему заменой: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x − y = 0 \\ 2x − 3y = 5 \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ ((- 12, −2) \)

Решите систему уравнений методом исключения

Мы решили системы линейных уравнений с помощью построения графиков и подстановки.Построение графиков хорошо работает, когда переменные коэффициенты малы, а решение имеет целочисленные значения. Подстановка работает хорошо, когда мы можем легко решить одно уравнение для одной из переменных и не иметь слишком много дробей в результирующем выражении.

Третий метод решения систем линейных уравнений называется методом исключения. Когда мы решали систему с помощью подстановки, мы начинали с двух уравнений и двух переменных и сводили ее к одному уравнению с одной переменной. То же самое мы сделаем и с методом исключения, но у нас будет другой способ добиться этого.

Метод исключения основан на добавочном свойстве равенства. Свойство сложения равенства говорит, что когда вы добавляете одинаковую величину к обеим сторонам уравнения, вы все равно получаете равенство. Мы расширим свойство сложения равенства, чтобы сказать, что когда вы добавляете равные количества к обеим сторонам уравнения, результаты равны.

Для любых выражений a, b, c, и d .

\ [\ begin {array} {ll} {\ text {if}} & {a = b} \\ {\ text {and}} & {c = d} \\ {\ text {then}} & { а + с = б + г.} \\ \ nonumber \ end {array} \]

Чтобы решить систему уравнений методом исключения, мы начнем с обоих уравнений в стандартной форме. Затем мы решаем, какую переменную будет легче всего устранить. Как мы решаем? Мы хотим, чтобы коэффициенты одной переменной были противоположными, чтобы мы могли сложить уравнения и исключить эту переменную.

Обратите внимание, как это работает, когда мы складываем эти два уравнения вместе:

\ [\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = 5 \\ \ underline {2x − y = 0} \ end {array} \ right.\ nonumber \]

\ [5x = 5 \ nonumber \]

и складываются с нулем, и мы получаем одно уравнение с одной переменной.

Давайте попробуем еще один:

\ [\ left \ {\ begin {array} x + 4y = 2 \\ 2x + 5y = −2 \ end {array} \ right. \ nonumber \]

На этот раз мы не видим переменную, которую можно сразу удалить, если мы добавим уравнения.

Но если мы умножим первое уравнение на \ (- 2 \), мы сделаем коэффициенты при x противоположными.Мы должны умножить каждый член в обеих частях уравнения на \ (- 2 \).

Затем перепишем систему уравнений.

Теперь мы видим, что коэффициенты членов x противоположны, поэтому x будет удален, когда мы сложим эти два уравнения.

Как только мы получаем уравнение с одной переменной, мы его решаем. Затем мы подставляем это значение в одно из исходных уравнений, чтобы найти оставшуюся переменную.И, как всегда, мы проверяем наш ответ, чтобы убедиться, что он является решением обоих исходных уравнений.

Теперь мы увидим, как использовать исключение для решения той же системы уравнений, которую мы решили с помощью построения графиков и подстановки.

Упражнение \ (\ PageIndex {26} \)

Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + y = 5 \\ 2x − 3y = 7 \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ ((2, −1) \)

Упражнение \ (\ PageIndex {27} \)

Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x + y = −5 \\ ​​−2x − 2y = −2 \ end {array} \ right.\)

Ответ

\ ((- 2,3) \)

Шаги перечислены здесь для удобства.

РЕШИТЕ ​​СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ ПУТЕМ ИСКЛЮЧЕНИЯ.

  1. Запишите оба уравнения в стандартной форме. Если какие-либо коэффициенты являются дробными, очистите их.
  2. Сделайте коэффициенты одной переменной противоположными.
    • Решите, какую переменную исключить.
    • Умножьте одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты этой переменной были противоположными.
  3. Добавьте уравнения, полученные на шаге 2, чтобы исключить одну переменную.
  4. Найдите оставшуюся переменную.
  5. Подставьте решение из шага 4 в одно из исходных уравнений. Затем найдите другую переменную.
  6. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
  7. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.

Теперь мы рассмотрим пример, в котором нам нужно умножить оба уравнения на константы, чтобы сделать коэффициенты одной переменной противоположными.

Упражнение \ (\ PageIndex {28} \)

Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x − 3y = 9 \\ 7x + 2y = −6 \ end {array} \ right. \)

Ответ

В этом примере мы не можем умножить одно уравнение на любую константу, чтобы получить противоположные коэффициенты. Поэтому мы стратегически умножим оба уравнения на разные константы, чтобы получить противоположности.

Упражнение \ (\ PageIndex {29} \)

Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x − 4y = −9 \\ 5x + 3y = 14 \ end {array} \ right.\)

Ответ

\ ((1,3) \)

Упражнение \ (\ PageIndex {30} \)

Решите каждую систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 7x + 8y = 4 \\ 3x − 5y = 27 \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ ((4, −3) \)

Когда система уравнений содержит дроби, мы сначала очистим дроби, умножив каждое уравнение на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении.

Упражнение \ (\ PageIndex {31} \)

Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + \ tfrac {1} {2} y = 6 \\ \ tfrac {3} {2} x + \ tfrac {2} { 3} y = \ tfrac {17} {2} \ end {array} \ right. \)

Ответ

В этом примере в обоих уравнениях есть дроби. Нашим первым шагом будет умножение каждого уравнения на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении, чтобы очистить дроби.

Упражнение \ (\ PageIndex {32} \)

Решите каждую систему путем исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} \ tfrac {1} {3} x− \ tfrac {1} {2} y = 1 \\ \ tfrac {3} { 4} x − y = \ tfrac {5} {2} \ end {array} \ right.\)

Ответ

\ ((6,2) \)

Упражнение \ (\ PageIndex {33} \)

Решите каждую систему путем исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + \ tfrac {3} {5} y = — \ tfrac {1} {5} \\ — \ tfrac {1} { 2} x− \ tfrac {2} {3} y = \ tfrac {5} {6} \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ ((1, −2) \)

Когда мы решили систему с помощью построения графиков, мы увидели, что не все системы линейных уравнений имеют единственную упорядоченную пару в качестве решения.Когда два уравнения действительно представляли собой одну и ту же линию, решений было бесконечно много. Мы назвали это последовательной системой. Когда два уравнения описывали параллельные линии, решения не было. Мы назвали это несовместимой системой.

То же самое и с заменой или исключением. Если уравнение в конце замены или исключения является истинным утверждением, мы имеем непротиворечивую, но зависимую систему, а система уравнений имеет бесконечно много решений. Если уравнение в конце замены или исключения является ложным утверждением, мы имеем несовместимую систему и система уравнений не имеет решения.

Упражнение \ (\ PageIndex {34} \)

Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ y = 3− \ tfrac {3} {4} x \ end {array} \ right. \ )

Ответ

\ (\ begin {array} {ll} {} & {\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ y = 3− \ frac {3} {4} x \ end { array} \ right.} \\ {} & {} \\ {\ text {Запишите второе уравнение в стандартной форме.}} & {\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ \ frac {3} {4} x + y = 3 \ end {array} \ right.} \\ {} & {} \\ {\ text {Очистите дроби, умножив} \\ \ text {второе уравнение на 4.}} & {\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ 4 (\ frac {3} {4} x + y) = 4 (3) \ end {array} \ right. } \\ {} & {} \\ {\ text {Упростить.}} & {\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ 3x + 4y = 12 \ end {array} \ верно. } \\ {} & {} \\ {\ text {Чтобы исключить переменную, мы умножаем второе уравнение} \\ \ text {на −1. Упростите и добавьте.}} & {\ Begin {array} {l} {\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ \ underline {-3x-4y = -12} \ end { массив} \ право.} \\ {\ hspace {16mm} 0 = 0} \ end {array}} \\ \ end {array} \)

Это верное заявление. Уравнения непротиворечивы, но зависимы. Их графики будут одной линией. У системы бесконечно много решений.

Заметили ли вы, что после того, как мы очистили дроби во втором уравнении, эти два уравнения совпадают? Это означает, что у нас есть совпадающие линии.

Упражнение \ (\ PageIndex {35} \)

Решите систему методом исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 5x − 3y = 15 \\ 5y = −5 + \ tfrac {5} {3} x \ end {array} \ right.\)

Ответ

бесконечно много решений

Упражнение \ (\ PageIndex {36} \)

Решите систему путем исключения: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 2y = 6 \\ y = — \ tfrac {1} {2} x + 3 \ end {array} \ right. \)

Ответ

бесконечно много решений

Выберите наиболее удобный метод решения системы линейных уравнений

Когда вы решаете систему линейных уравнений в приложении, вам не скажут, какой метод использовать.Вам нужно будет принять это решение самостоятельно. Так что вы захотите выбрать самый простой метод, который сводит к минимуму ваши шансы на ошибку.

\ [\ textbf {Выберите наиболее удобный метод для решения системы линейных уравнений} \\ \ begin {array} {lll} {\ underline {\ textbf {Graphing}}} & {\ underline {\ textbf {Substitution} }} & {\ underline {\ textbf {Исключение}}} \\ {\ text {Используется, когда вам нужно}} & {\ text {Используется, когда одно уравнение равно}} & {\ text {Используется, когда уравнения a} } \\ {\ text {картина ситуации.}} & {\ text {уже решено или может быть}} & {\ text {переустановить стандартную форму.}} \\ {\ text {}} & {\ text {легко решено для одного}} & {\ text {} } \\ {\ text {}} & {\ text {переменная.}} & {\ text {}} \\ \ end {array} \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {37} \)

Решите для каждой системы линейных уравнений, что удобнее решить: заменой или исключением. Поясните свой ответ.

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 8y = 40 \\ 7x − 4y = −32 \ end {array} \ right.\) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 5x + 6y = 12 \\ y = \ tfrac {2} {3} x − 1 \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ [\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 8y = 40 \\ 7x − 4y = −32 \ end {array} \ right. \ Nonumber \]

Поскольку оба уравнения имеют стандартную форму, использование исключения будет наиболее удобным.

\ [\ left \ {\ begin {array} {l} 5x + 6y = 12 \\ y = \ tfrac {2} {3} x − 1 \ end {array} \ right. \ Nonumber \]

Поскольку одно уравнение уже решено относительно y , использование подстановки будет наиболее удобным.

Пример \ (\ PageIndex {38} \)

Для каждой системы линейных уравнений решите, что удобнее будет решить заменой или исключением. Поясните свой ответ.

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x − 5y = −32 \\ 3x + 2y = −1 \ end {array} \ right. \) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin { массив} {l} x = 2y − 1 \\ 3x − 5y = −7 \ end {array} \ right. \)

Ответ

ⓐ Поскольку оба уравнения имеют стандартную форму, использование исключения будет наиболее удобным.Ⓑ Поскольку одно уравнение уже решено для x , использование подстановки будет наиболее удобным.

Пример \ (\ PageIndex {39} \)

Для каждой системы линейных уравнений решите, что удобнее будет решить заменой или исключением. Поясните свой ответ.

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y = 2x − 1 \\ 3x − 4y = −6 \ end {array} \ right. \) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array } {l} 6x − 2y = 12 \\ 3x + 7y = −13 \ end {array} \ right. \)

Ответ

ⓐ Поскольку одно уравнение уже решено относительно и , использование подстановки будет наиболее удобным.Ⓑ Поскольку оба уравнения имеют стандартную форму, использование исключения будет наиболее удобным.

Ключевые понятия

  • Как решить систему линейных уравнений с помощью построения графиков.
    1. Изобразите первое уравнение.
    2. Постройте второе уравнение в той же прямоугольной системе координат.
    3. Определите, пересекаются ли линии, параллельны или совпадают.
    4. Определите решение системы.
      Если линии пересекаются, укажите точку пересечения. Это решение системы.
      Если линии параллельны, у системы нет решения.
      Если линии совпадают, система имеет бесконечное количество решений.
    5. Проверьте решение в обоих уравнениях.
  • Как решить систему уравнений подстановкой.
    1. Решите одно из уравнений для любой переменной.
    2. Подставьте выражение из шага 1 в другое уравнение.
    3. Решите полученное уравнение.
    4. Подставьте решение шага 3 в любое из исходных уравнений, чтобы найти другую переменную.
    5. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
    6. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.
  • Как решить систему уравнений методом исключения.
    1. Запишите оба уравнения в стандартной форме. Если какие-либо коэффициенты являются дробными, очистите их.
    2. Сделайте коэффициенты одной переменной противоположными.
      Решите, какую переменную исключить.
      Умножьте одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты этой переменной были противоположными.
    3. Добавьте уравнения, полученные на шаге 2, чтобы исключить одну переменную.
    4. Найдите оставшуюся переменную.
    5. Подставьте решение из шага 4 в одно из исходных уравнений. Затем найдите другую переменную.
    6. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
    7. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений. \ [\ textbf {Выберите наиболее удобный метод для решения системы линейных уравнений} \\ \ begin {array} {lll} {\ underline {\ textbf {Graphing}}} & {\ underline {\ textbf {Substitution}} } & {\ underline {\ textbf {Устранение}}} \\ {\ text {}} & {\ text {Используется, когда одно уравнение равно}} & {\ text {}} \\ {\ text {Используется, когда вам нужно a}} & {\ text {уже решено или может быть}} & {\ text {Используйте, когда уравнения a}} \\ {\ text {изображение ситуации.}} & {\ text {легко решается для одного}} & {\ text {переустановить стандартную форму.}} \\ {\ text {}} & {\ text {variable.}} & {\ text {}} \\ \ конец {массив} \ nonumber \]

Глоссарий

совпадающих линий
Совпадающие линии имеют одинаковый наклон и одинаковое пересечение y .
согласованные и несовместимые системы
Согласованная система уравнений — это система уравнений, имеющая по крайней мере одно решение; Несогласованная система уравнений — это система уравнений, не имеющая решения.
решения системы уравнений
Решения системы уравнений — это значения переменных, которые делают все уравнения истинными; Решение представлено упорядоченной парой (x, y). (x, y).
система линейных уравнений
Когда два или более линейных уравнения сгруппированы вместе, они образуют систему линейных уравнений.

Решение систем уравнений с помощью построения графиков — элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений
  • Решите систему линейных уравнений, построив график
  • Определить количество решений линейной системы
  • Решать приложения систем уравнений с помощью построения графиков

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

В разделе «Решение линейных уравнений и неравенств» мы научились решать линейные уравнения с одной переменной.Помните, что решение уравнения — это значение переменной, которое делает истинное утверждение при подстановке в уравнение.

Теперь мы будем работать с системами линейных уравнений, двумя или более линейными уравнениями, сгруппированными вместе.

Система линейных уравнений

Когда два или более линейных уравнения группируются вместе, они образуют систему линейных уравнений.

Мы сосредоточим нашу работу здесь на системах двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Позже вы сможете решать более крупные системы уравнений.

Ниже показан пример системы двух линейных уравнений. Мы используем скобку, чтобы показать, что два уравнения сгруппированы вместе и образуют систему уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными, например 2 x + y = 7, имеет бесконечное количество решений. Его график представляет собой линию. Помните, что каждая точка на линии — это решение уравнения, а каждое решение уравнения — это точка на линии.

Чтобы решить систему двух линейных уравнений, мы хотим найти значения переменных, которые являются решениями обоих уравнений.Другими словами, мы ищем упорядоченные пары ( x , y ), которые делают оба уравнения истинными. Они называются решениями системы уравнений.

Решения системы уравнений

Решения системы уравнений — это значения переменных, которые делают все уравнения истинными. Решение системы двух линейных уравнений представляется упорядоченной парой ( x , y ).

Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух уравнений, мы подставляем значения переменных в каждое уравнение.Если упорядоченная пара делает оба уравнения истинными, это решение системы.

Рассмотрим систему ниже:

Является ли заказанная пара решением?

Упорядоченная пара (2, −1) сделала оба уравнения верными. Следовательно, (2, −1) является решением этой системы.

Попробуем еще одну заказанную пару. Является ли упорядоченная пара (3, 2) решением?

Упорядоченная пара (3, 2) сделала одно уравнение истинным, а другое — ложным.Поскольку это не решение обоих уравнений, оно не является решением этой системы.

Определите, является ли заказанная пара решением для системы:

ⓐⓑ

Определите, является ли заказанная пара решением для системы:

ⓐⓑ

Решение системы линейных уравнений с помощью построения графиков

В этой главе мы будем использовать три метода для решения системы линейных уравнений. Первый метод, который мы будем использовать, — это построение графиков.

График линейного уравнения представляет собой линию. Каждая точка на линии — это решение уравнения. Для системы двух уравнений мы построим график двумя линиями. Затем мы можем увидеть все точки, которые являются решениями каждого уравнения. И, обнаружив, что общего у линий, мы найдем решение системы.

Большинство линейных уравнений с одной переменной имеют одно решение, но мы видели, что некоторые уравнения, называемые противоречиями, не имеют решений, а для других уравнений, называемых тождествами, все числа являются решениями.

Точно так же, когда мы решаем систему двух линейных уравнений, представленную графиком из двух линий в одной плоскости, есть три возможных случая, как показано на (Рисунок):

Для первого примера решения системы линейных уравнений в этом разделе и в следующих двух разделах мы будем решать одну и ту же систему двух линейных уравнений. Но в каждом разделе мы будем использовать разные методы. Увидев третий метод, вы решите, какой метод был наиболее удобным для решения этой системы.

Как решить систему линейных уравнений с помощью построения графиков

Решите систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Шаги, которые необходимо использовать для решения системы линейных уравнений с помощью построения графиков, показаны ниже.

Для решения системы линейных уравнений с помощью построения графиков.

  1. Изобразите первое уравнение.
  2. Постройте второе уравнение в той же прямоугольной системе координат.
  3. Определите, пересекаются ли линии, параллельны или совпадают.
  4. Определите решение системы.
    • Если линии пересекаются, укажите точку пересечения. Убедитесь, что это решение обоих уравнений. Это решение системы.
    • Если линии параллельны, у системы нет решения.
    • Если линии совпадают, система имеет бесконечное количество решений.

Решите систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Оба уравнения на (Рисунок) были даны в форме наклон-пересечение.Это облегчило нам быстрое построение линий. В следующем примере мы сначала перепишем уравнения в форме углового пересечения.

Решите систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Обычно, когда уравнения даются в стандартной форме, наиболее удобный способ построения графиков — использование точек пересечения. Мы сделаем это на (Рисунок).

Решите систему, построив график:

Решение

Мы найдем точки пересечения x и y обоих уравнений и будем использовать их для построения графиков линий.

Решите каждую систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Вы помните, как построить линейное уравнение с одной переменной? Это будет либо вертикальная, либо горизонтальная линия.

Решите систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

До сих пор во всех системах линейных уравнений линии пересекались, и решение было одной точкой.В следующих двух примерах мы рассмотрим систему уравнений, не имеющую решения, и систему уравнений, которая имеет бесконечное число решений.

Решите систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

Решите систему, построив график:

Решите каждую систему, построив график:

бесконечно много решений

Решите каждую систему, построив график:

бесконечно много решений

Если вы запишете второе уравнение на (Рисунок) в форме пересечения наклона, вы можете заметить, что уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения y .

Когда мы нарисовали вторую линию в последнем примере, мы нарисовали ее прямо над первой линией. Мы говорим, что две линии совпадают. Совпадающие линии имеют одинаковый наклон и одинаковое пересечение y .

Совпадающие линии

Совпадающие линии имеют одинаковый наклон и одинаковое пересечение y .

Определите количество решений линейной системы

Будут моменты, когда мы захотим узнать, сколько решений будет у системы линейных уравнений, но нам, возможно, на самом деле не придется искать решение.Будет полезно определить это без построения графиков.

Мы видели, что две прямые в одной плоскости должны либо пересекаться, либо быть параллельны. Все системы уравнений на (Рисунок) — (Рисунок) имели две пересекающиеся линии. У каждой системы было одно решение.

Система с параллельными линиями, как (рисунок), не имеет решения. Что произошло на (рис.)? Уравнения имеют совпадающие линии, поэтому система имела бесконечно много решений.

Мы систематизируем эти результаты на (рис.) Ниже:

Параллельные прямые имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения y .Итак, если мы запишем оба уравнения в системе линейных уравнений в форме наклон-пересечение, мы сможем увидеть, сколько решений будет без графического представления! Посмотрите на систему, которую мы решили на (Рисунок).

Две линии имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения y . Это параллельные линии.

(рисунок) показывает, как определить количество решений линейной системы, глядя на наклоны и пересечения.

Давайте еще раз взглянем на наши уравнения на (Рисунок), которые дали нам параллельные линии.

Когда обе линии были в форме пересечения склона, у нас было:

Вы понимаете, что невозможно иметь одну упорядоченную пару, которая является решением обоих этих уравнений?

Мы называем такую ​​систему уравнений противоречивой системой. У него нет решения.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется согласованной системой.

Согласованные и несовместимые системы

Непротиворечивая система уравнений — это система уравнений, имеющая по крайней мере одно решение.

Несогласованная система уравнений — это система уравнений, не имеющая решения.

Мы также классифицируем уравнения в системе уравнений, называя уравнения независимыми или зависимыми . Если два уравнения являются независимыми уравнениями, каждое из них имеет собственный набор решений. Пересекающиеся линии и параллельные линии независимы.

Если два уравнения являются зависимыми, все решения одного уравнения также являются решениями другого уравнения.Когда мы строим график двух зависимых уравнений, мы получаем совпадающие линии.

Независимые и зависимые уравнения

Два уравнения независимы, если они имеют разные решения.

Два уравнения являются зависимыми, если все решения одного уравнения являются решениями другого уравнения.

Подведем итог, посмотрев на графики трех типов систем. См. (Рисунок) и (Рисунок).

Без построения графиков определите количество решений и затем классифицируйте систему уравнений:

Решение

Система уравнений, графики которой представляют собой параллельные прямые, не имеет решения, непоследовательна и независима.

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

нет решения, непоследовательный, независимый

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

нет решения, непоследовательный, независимый

Без построения графиков определите количество решений и затем классифицируйте систему уравнений:

Решение

Система уравнений, графики которой пересекаются, имеет одно решение, непротиворечива и независима.

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

одно решение, последовательное, независимое

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

одно решение, последовательное, независимое

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

бесконечно много решений, согласованных, зависимых

Без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

бесконечно много решений, согласованных, зависимых

Решение приложений систем уравнений с помощью построения графиков

Мы будем использовать ту же стратегию решения задач, которую мы использовали в математических моделях, для создания и решения приложений систем линейных уравнений. Мы немного изменим стратегию, чтобы сделать ее подходящей для систем уравнений.

Используйте стратегию решения проблем для систем линейных уравнений.

  1. Прочтите проблему.Убедитесь, что все слова и идеи понятны.
  2. Определите , что мы ищем.
  3. Имя то, что мы ищем. Выберите переменные для представления этих величин.
  4. Переведите в систему уравнений.
  5. Решите систему уравнений, используя хорошие методы алгебры.
  6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
  7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Шаг 5 — это то место, где мы будем использовать метод, представленный в этом разделе. Мы построим графики уравнений и найдем решение.

Сондра делает 10 литров пунша из фруктового сока и содовой. Количество литров фруктового сока в 4 раза больше количества квартов содовой. Сколько литров фруктового сока и сколько литров газированной воды нужно Сондре?

Решение

Шаг 1. Считайте проблему.

Шаг 2. Определите , что мы ищем.

Мы ищем количество литров фруктового сока и количество литров газированной воды, которые потребуются Сондре.

Шаг 3. Назовите то, что мы ищем. Выберите переменные для представления этих величин.

Давай количество литров фруктового сока.
количество кварт клубной соды

Шаг 4. Переведите в систему уравнений.

Теперь у нас есть система.

Шаг 5.Решите систему уравнений, используя хорошие методы алгебры.

Точка пересечения (2, 8) и есть решение. Это означает, что Сондре нужно 2 литра содовой и 8 литров фруктового сока.

Шаг 6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.

Есть ли в этом смысл в проблеме?

Да, количество литров фруктового сока, 8, в 4 раза больше количества квартов содовой, 2.

Да, 10 литров пунша — это 8 литров фруктового сока плюс 2 литра содовой.

Шаг 7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Сондре нужно 8 литров фруктового сока и 2 литра газировки.

Мэнни делает 12 литров апельсинового сока из концентрата и воды. Количество литров воды в 3 раза превышает количество литров концентрата. Сколько литров концентрата и сколько литров воды нужно Мэнни?

Мэнни нужно 3 литра концентрата сока и 9 литров воды.

Алиша готовит кофейный напиток объемом 18 унций из сваренного кофе и молока.Количество унций сваренного кофе в 5 раз больше, чем количество унций молока. Сколько унций кофе и сколько унций молока нужно Алише?

Алише нужно 15 унций кофе и 3 унции молока.

Ключевые концепции

  • Решить систему линейных уравнений путем построения графиков
    1. Изобразите первое уравнение.
    2. Постройте второе уравнение в той же прямоугольной системе координат.
    3. Определите, пересекаются ли линии, параллельны или совпадают.
    4. Определите решение системы.
      Если линии пересекаются, укажите точку пересечения. Убедитесь, что это решение обоих уравнений. Это решение системы.
      Если линии параллельны, у системы нет решения.
      Если линии совпадают, система имеет бесконечное количество решений.
    5. Проверьте решение в обоих уравнениях.
  • Определить количество решений по графику линейной системы
  • Определите количество решений линейной системы по уклонам и пересечениям
  • Определите количество решений и классифицируйте систему уравнений

  • Стратегия решения задач для систем линейных уравнений
    1. Прочтите проблему.Убедитесь, что все слова и идеи понятны.
    2. Определите , что мы ищем.
    3. Имя то, что мы ищем. Выберите переменные для представления этих величин.
    4. Переведите в систему уравнений.
    5. Решите систему уравнений, используя хорошие методы алгебры.
    6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
    7. Ответьте на вопрос полным предложением.
Практика ведет к совершенству

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений . В следующих упражнениях определите, являются ли следующие точки решениями данной системы уравнений.

Решение системы линейных уравнений с помощью построения графиков В следующих упражнениях решите следующие системы уравнений с помощью построения графиков.

бесконечно много решений

бесконечно много решений

Определите количество решений линейной системы Не графически отображая следующие системы уравнений, определите количество решений и затем классифицируйте систему уравнений.

нет решений, непоследовательный, независимый

бесконечно много решений

бесконечно много решений

Решение приложений систем уравнений с помощью построения графиков В следующих упражнениях решите.

Молли делает воду, настоянную на клубнике.На каждую унцию клубничного сока она использует в три раза больше унций воды. Сколько унций клубничного сока и сколько унций воды ей нужно, чтобы приготовить 64 унции воды, настоянной на клубнике?

Молли нужно 16 унций клубничного сока и 48 унций воды.

Джамал делает закуску, которая содержит только крендели и орехи. На каждую унцию орехов он будет использовать 2 унции кренделей. Сколько унций кренделей и сколько унций орехов ему нужно, чтобы приготовить 45 унций закуски?

Энрике готовит смесь для вечеринок, содержащую изюм и орехи.На каждую унцию орехов он использует вдвое больше изюма. Сколько унций орехов и сколько унций изюма ему нужно, чтобы приготовить 24 унции смеси для вечеринок?

Энрике нужно 8 унций орехов и 16 унций воды.

Оуэн делает лимонад из концентрата. Количество литров воды, которое ему нужно, в 4 раза превышает количество литров концентрата. Сколько литров воды и сколько литров концентрата нужно Оуэну для приготовления 100 литров лимонада?

Повседневная математика

Лев планирует свой весенний цветник.Он хочет посадить луковицы тюльпанов и нарциссов. Он посадит в 6 раз больше луковиц нарциссов, чем луковиц тюльпанов. Если он хочет посадить 350 луковиц, сколько луковиц тюльпанов и сколько луковиц нарциссов ему следует посадить?

Лев должен посадить 50 тюльпанов и 300 нарциссов.

Маркетинговая компания опрашивает 1 200 человек. Они обследовали в два раза больше женщин, чем мужчин. Сколько мужчин и женщин они опросили?

Письменные упражнения

В системе линейных уравнений два уравнения имеют одинаковый наклон.Опишите возможные решения системы.

Поскольку известно только, что наклоны обоих линейных уравнений одинаковы, решений либо нет (графики уравнений параллельны), либо бесконечно много.

В системе линейных уравнений два уравнения имеют одинаковые точки пересечения. Опишите возможные решения системы.

Самопроверка

После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

Если большая часть ваших чеков была:

… уверенно. Поздравляем! Вы достигли целей в этом разделе. Поразмышляйте над своими учебными навыками, чтобы вы могли продолжать их использовать. Что вы сделали, чтобы убедиться в своей способности делать эти вещи? Быть конкретным.

… с некоторой помощью. Эту проблему нужно решать быстро, потому что темы, которые вы не осваиваете, становятся ухабами на вашем пути к успеху. В математике каждая тема основывается на предыдущей работе.Перед тем, как двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочный фундамент. К кому вы можете обратиться за помощью? Ваши одноклассники и инструктор — хорошие ресурсы. Есть ли в кампусе место, где доступны репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?

… нет, я не понимаю! Это предупреждающий знак, игнорировать его нельзя. Вам следует немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро не справитесь. Как можно скорее обратитесь к своему инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию. Вместе вы сможете составить план оказания вам необходимой помощи.

Глоссарий

совпадающие линии
Совпадающие линии — это линии с одинаковым наклоном и одинаковым пересечением y .
последовательная система
Непротиворечивая система уравнений — это система уравнений, имеющая по крайней мере одно решение.
зависимые уравнения
Два уравнения являются зависимыми, если все решения одного уравнения являются решениями другого уравнения.
несовместимая система
Несогласованная система уравнений — это система уравнений без решения.
независимые уравнения
Два уравнения независимы, если они имеют разные решения.
решения системы уравнений
Решения системы уравнений — это значения переменных, которые делают все уравнения истинными. Решение системы двух линейных уравнений представляется упорядоченной парой ( x , y ).
система линейных уравнений
Когда два или более линейных уравнения сгруппированы вместе, они образуют систему линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными — концепция

Система линейных уравнений — это два или более уравнений, содержащих одни и те же переменные. Решения системы уравнений — это точка пересечения линий. Существует четыре метода решения систем линейных уравнений : построение графиков, подстановка, исключение и матрицы. Решение систем уравнений впервые появляется в алгебре I, но более сложные приложения встречаются в алгебре II.

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными, поэтому, если вы помните, линейное уравнение — это в основном просто уравнение для линии, и когда мы решаем систему, мы смотрим на два уравнения, поэтому у нас есть две линии, и мы пытаемся выяснить, где пересекаются эти две линии, и если они вообще пересекаются, хорошо, значит, это может произойти тремя способами, хорошо? У нас есть две линии, которые могут пересекаться в одной точке, что означает, что у нас будет один ответ, который будет координатной точкой xy, скажем, 2, -4, что-то в этом роде.
Другая ситуация, которая может возникнуть, эти линии могут быть параллельны, что означает, что у них не будет никакого пересечения этих линий, у них не будет никакого решения, где эти две линии равны друг другу и, наконец, эти два уравнения может быть для одной и той же точной линии, что означает, что у нас будет бесконечное количество точек, лежащих на любой из этих линий, которые дадут нам решение, хорошо, и поэтому мы собираемся поговорить о каждой из этих .
Существует несколько различных способов решения этих проблем, вы можете решить их графически, и в Алгебре 2 мы обычно не делаем слишком много этого решения графически. это, и вы увидите, где они пересекаются, хорошо, поэтому мы знаем, как это сделать, но на самом деле это не даст нам математического ответа, мы не сможем найти эту точку, если наши графики не будут полностью точными, что является своего рода пустая трата времени, поэтому мы можем сделать это алгебраически, и в нашем распоряжении есть два способа: подстановка, когда мы решаем переменную и подключаем ее, или исключение, когда мы складываем или вычитаем два уравнения в надежде избавиться от одной из переменных so.
Системы линейных уравнений, в основном касающиеся того, как линии пересекаются или не пересекаются, и у нас есть несколько способов сделать это, а именно замена или исключение.

Как решить линейные уравнения с помощью подстановки

Как решить систему уравнений:

Прежде чем мы перейдем к решению систем линейных уравнений с помощью метода подстановки, давайте сначала рассмотрим и поймем, что значит «решить» систему уравнений. Когда мы говорим «решить» применительно к линейному, квадратичному, экспоненциальному или любому другому типу уравнения, на самом деле мы имеем в виду, что мы пытаемся найти значения «x» — зависимой переменной — которые удовлетворяют «y» — независимая переменная.

Возьмем, к примеру, следующее простое уравнение: y = 2x = 2

В этом примере уравнения мы знаем, что y равно 2x и также равно 2. С этим знанием, поскольку y равно как 2x, так и 2, мы можем сказать, что 2x = 2. Тогда следующим естественным шагом будет чтобы решить это уравнение с помощью алгебры, получив «решение», что x = 1.

В случае систем уравнений процесс не так уж и отличается. При решении систем уравнений мы пытаемся найти значения x и y, которые делают два различных уравнения равными друг другу — эффективно «решая» оба уравнения.Дополнительную информацию о системе уравнений можно найти в другом уроке. В системе уравнений есть несколько результатов, которые могут произойти в зависимости от количества решений. У нас есть конкретные уроки о том, как определять количество решений линейных уравнений и системы линейно-квадратных уравнений. У нас также есть графические системы уравнений и неравенств!

Для этого существует два основных метода: решение систем путем подстановки и решение систем путем исключения.В этой статье мы сосредоточимся на подстановке, которая, возможно, немного проще, чем другой метод — устранение. Для устранения, пожалуйста, посмотрите видео и статьи, посвященные именно этому методу. Чтобы убедиться, что вы готовы к исключению, важно научиться складывать и вычитать многочлены, а также добавлять и вычитать рациональные выражения.

Теперь, когда мы рассмотрели основы, давайте решим системы с помощью подстановки!

Решение систем уравнений подстановкой:

Прежде чем мы перейдем к использованию метода подстановки, убедитесь, что вы хорошо владеете своей алгеброй, просмотрев урок по решению линейных уравнений с переменными с обеих сторон.

Основная процедура решения систем с помощью подстановки проста: имея два линейных уравнения, все, что нам нужно сделать, это «подставить» одно из пары уравнений в другое, переставив переменные. Эту процедуру лучше описать ниже на общем примере:

Рассмотрим следующие уравнения, где (x, y) — координаты, а все остальное — константы.

1) ty = axty = axty = ax

2) zy = x + bzy = x + bzy = x + b

Шаг 1. Измените одно из уравнений, чтобы получить «y» само по себе

1) y = axty = \ frac {ax} {t} y = налог

2) zy = x + bzy = x + bzy = x + b

Шаг 2: Подставьте преобразованное уравнение в его партнера

zy = x + bzy = x + bzy = x + b
z (axt) = x + bz (\ frac {ax} {t}) = x + bz (налог) = x + b

Шаг 3: Найдите x

Поскольку это всего лишь общий случай, мы не можем решить для x.Но обратите внимание, что все, что нам нужно сделать, это получить x само по себе.

Шаг 4. Подставьте решение для x в любое из изначально заданных уравнений, чтобы найти y

Получив значение x, мы можем подставить его в любое из двух уравнений, чтобы найти решение для y.

Шаг 5: Окончательный ответ запишите точкой

Следовательно, наше решение (x, y)

Еще раз, это просто общий случай. Также обратите внимание, что в этом примере мы решили сначала решить для x.Неважно, какую переменную вы решите в первую очередь, просто обратите внимание, что x часто легче решить для первой, так как это часто требует меньших изменений в исходных уравнениях. Лучший способ научиться решать с помощью замены — это выполнять некоторые практические задачи.

Пример 1:

Возьмите следующие одновременные уравнения и решите.

6x — 1y = 7
-9x + 2y = 7

Шаг 1. Измените одно из уравнений, чтобы получить «y» само по себе

Давайте воспользуемся первым уравнением и изменим его так, чтобы у нас было y само по себе.Конечно, мы могли бы взять второе уравнение, но это потребует дополнительной работы.

6x — 1y = 7
6х — 7 = у

Шаг 2: Подставьте преобразованное уравнение в его партнера

Теперь мы собираемся заменить наше недавно преобразованное уравнение 6x — 7 = y в -9x + 2y = 7.

-9x + 2 (6x — 7) = 7

Шаг 3: Найдите x

Теперь, когда мы успешно выполнили замену, давайте решим относительно x.

-9x + 12x — 14 = 7
3x = 21
х = 7

Шаг 4. Подставьте решение для x в любое из изначально заданных уравнений, чтобы найти y

Теперь, когда у нас есть x, мы можем положить x = 7 в любое из уравнений, чтобы найти y.Выберем первое уравнение, потому что оно более простое.

6 (7) — 1у = 7
42 — у = 7
у = 35

Шаг 5: Окончательный ответ запишите точкой

Окончательный ответ: (7, 35)

На следующем изображении ниже показана работа, которую мы только что проделали:

Решите линейное уравнение с заменой

Пример 2:

Решите следующую линейную систему.

3 (х + 2) — (у + 7) = 4
5 (х + 1) + 4 (у + 3) = 31

В некоторых случаях нам может потребоваться некоторое упрощение обоих уравнений, прежде чем мы сможем продолжить замену и решение.В этом случае мы должны сначала расширить и упростить оба уравнения:

3 (х + 2) — (у + 7) = 4
3х + 6 — у — 7 = 4
3х — у = 5
&
5 (х + 1) + 4 (у + 3) = 31
5х + 5 + 4у + 12 = 31
5х + 4у = 14

Шаг 1. Измените одно из уравнений, чтобы получить «y» само по себе

Как и в первом примере, давайте воспользуемся первым уравнением и изменим его так, чтобы у нас было y само по себе. Конечно, мы могли бы взять второе уравнение, но это потребует дополнительной работы.

3х — у = 5
3х — 5 = у

Шаг 2: Подставьте преобразованное уравнение в его партнер и решите относительно x

Теперь мы собираемся заменить наше недавно преобразованное уравнение 3x — 5 = y в 5x + 4y = 14 и решить относительно x.

5x + 4 (3x — 5) = 14
5х + 12х — 20 = 14
17x = 34
х = 2

Шаг 3. Подставьте решение для x в любое из изначально заданных уравнений, чтобы найти y

Теперь, когда у нас есть x, мы можем положить x = 2 в любое из уравнений, чтобы найти y. Выберем первое уравнение, потому что оно более простое.

3х — у = 5
3 (2) — у = 5
у = 1

Шаг 4. Окончательный ответ запишите точкой

Окончательный ответ: (2, 1)

Вот и все! Теперь убедитесь, что вы выполняете много практических задач, чтобы вам было удобнее использовать этот метод.Также просмотрите эту отличную ссылку, которая позволит вам легко проверить свою работу.

Набор задач — Решение систем линейных уравнений

Набор задач — Решение систем линейных уравнений


СКРЫТЬ РЕШЕНИЯ

1. Решите следующую систему уравнений методом исключения.

Ответ:
х = 0,5; у = 1,67

Решение:

Rewrite
чтобы выровнять условия x и y

Добавить
второе уравнение к первому уравнению и решите относительно x.

Запасной
значение, полученное для x, в любое из исходных уравнений.

или

2.
Решите следующую систему уравнений методом исключения.

Ответ:
х = -2; у = 5

Решение:

Умножить
первое уравнение на 2.

Вычесть
первое уравнение из второго уравнения и решите относительно y.

Запасной
значение, полученное для y, в любое из исходных уравнений.

или

3.
Решите следующую систему уравнений методом исключения.

1-й
исходное уравнение

2-й
исходное уравнение

3-е исходное уравнение

Ответ: x 1 = 2; х 2 = 1; х 3 = -2

Решение:

Часть
A Сначала удалите x 3 .

Шаг
1. Добавьте 1-е исходное уравнение и 3-е исходное уравнение.

+

=

Шаг
2. Умножьте 2-е исходное уравнение на 2, умножьте 3-е исходное уравнение.
на 5 и добавьте 2-е исходное уравнение к 3-му исходному уравнению.

+

=

Часть
Б.Из Части А есть два новых уравнения.

1-е новое уравнение

2-й
новое уравнение

Шаг
1. Умножьте первое новое уравнение на 7, вычтите второе новое уравнение из
первое новое уравнение и решите относительно x 2 .

_

=

Часть C. Решите относительно x 1 , подставив полученное значение вместо x 2
в любом из новых уравнений в Части B.

1-й
новое уравнение

или

2-й
новое уравнение

Часть D. Решите относительно x 3 , подставив значения, полученные для x 1
и x 2 в любом из исходных уравнений.

1-й
исходное уравнение

или

2-й
исходное уравнение

или

3-й
исходное уравнение

4.
Производитель производит два товара, которые продаются по цене 1 р.
долларов и p 2 доллара каждая. Функции спроса и предложения
в единицах по позициям:

P (s 1 )
= функция предложения для первого элемента.

П (д 1 )
= функция спроса для первого товара.

P (s 2 )
= функция предложения для второго элемента.

П (д 2 )
= функция спроса для второй позиции.

Как
следует ли устанавливать цены на каждый товар, чтобы уравнять спрос и предложение? Что
равновесные количества для каждой позиции?

Ответ:
Цена первого товара должна быть установлена ​​на уровне 1,80 доллара США, а цена второго.
стоимость товара должна быть установлена ​​на уровне 1,50 доллара США. Равновесное количество для первой позиции
составляет 82 единицы, а равновесное количество для второй позиции — 181 единица.

Решение:

Часть
А.

Шаг
1. Установите функцию предложения для позиции 1 равной функции спроса для позиции 1 и
собирать термины.

P (s 1 )
= P (d 1 )

Шаг
2. Установите функцию предложения для элемента 2 равной функции спроса для элемента 2 и
собрать термины.

P (s 2 )
= P (d 2 )

Часть
Б.Из Части А была получена следующая система уравнений.

Решить
эта система по ценам путем исключения.

1-е уравнение из Части A

2-е уравнение из части A

Шаг
1. Умножьте 1-е уравнение на 7, сложите 1-е и 2-е уравнения и решите
для p 1 .

+

=

Шаг 2.Подставьте полученное значение p 1 в любое уравнение
из части A и решите относительно p 2 .

1-й
уравнение из части A

или

2-е уравнение из части A

Часть
С.Определите равновесие для каждого товара, подставив цены, полученные в
Часть B либо в функции спроса, либо в функции предложения.

Для
позиция 1

или

Для
товар 2

или

[индекс]


Как решать системы линейных уравнений

Распространенный тип задач алгебры и одна из основ линейной алгебры — решение системы линейных уравнений.Обычно это выглядит примерно так:

Цель состоит в том, чтобы найти такие значения для x, y и z, которые делают все уравнения истинными. Обратите внимание, что количество уравнений и количество переменных одинаковы. Если уравнений больше, чем переменных, значит, в них есть избыточная информация, но проблема все равно будет разрешима. Если переменных больше, чем уравнений, то полностью решить проблему не удастся. Это означает, что будут переменные, которые не могут быть решены.Нет проблем, поскольку у нас есть два метода алгебраического решения систем уравнений.

Метод первого решения: исключение переменных

Первый известен как исключение переменных, и мы покажем примеры того, как он работает, используя приведенные выше уравнения.

1. Выберите одно из уравнений и решите его для одной переменной.

2. Замените переменную, для которой было решено, в двух оставшихся уравнениях.

3. Решите одно из оставшихся уравнений относительно одной из оставшихся переменных.

4. Подставьте эту переменную в последнее уравнение и найдите последнюю переменную.

5. Наконец, вставьте теперь решенную переменную в решенные ранее уравнения.

Теперь у нас есть ответ (x, y, z) = (1, 2, 3).

Метод второго решения: сокращение строк

Затем давайте посмотрим, как мы решим ту же систему уравнений с помощью второго метода, который можно назвать сокращением строк, методом сложения / вычитания или исключением по Гауссу.Основной процесс для этого метода — это умножение уравнения на некоторое число, а затем добавление этого уравнения к одному из других уравнений, чтобы сократить одну из переменных. Хитрость заключается в том, что число, которое выбирается для умножения первого уравнения, может быть любым числом (кроме нуля), но его следует выбирать, чтобы гарантировать, что одна из переменных сокращается с другим уравнением.

1. Выберите два уравнения и выберите то, что вы собираетесь отменить. В этом примере y выглядит легко отменить, умножив верхнее уравнение на 2 и затем добавив его к нижнему уравнению.

2. Умножьте одно из уравнений на константу и добавьте или вычтите его из другого уравнения.

3. Возьмите уравнение, которое было умножено на последнем шаге, и выясните, на что его нужно умножить, чтобы отменить ту же переменную в оставшемся уравнении. В этом примере умножение на 2 сработает, чтобы снова отменить y, но это не всегда так.

4. Как и в шаге 2, умножьте верхнее уравнение на константу, а затем добавьте или вычтите его к нижнему уравнению, чтобы отменить его.

5. Теперь у нас остались два уравнения с двумя переменными, по сути, более простая система линейных уравнений.

6. Нам повезло, что на шаге 4 две переменные были отменены, так что теперь мы можем решить непосредственно относительно x. Если бы это было не так, и оба уравнения все еще содержали обе переменные, тогда нам нужно было бы повторить процесс умножения одного из уравнений на константу, а затем прибавить или вычесть его к другому уравнению.

7.После того, как мы решим одну переменную, мы можем подключить ее к предыдущим уравнениям, чтобы найти значения для всех переменных.

Снова находим ответ (x, y, z) = (1, 2, 3). Практикуясь в решении систем линейных уравнений, неплохо было бы решить одну и ту же задачу обоими методами. Не только полезно быть уверенным в обоих методах, но и использовать одну и ту же проблему — это хороший способ проверить наличие ошибок, поскольку, если ответы не совпадают, что-то пошло не так.

Решение систем линейных уравнений: универсальный навык

Системы линейных уравнений важны практически для всех математических предметов на уровне алгебры и выше. Это не только очень практическое приложение математики, показывающее несколько величин (переменных) с множеством соотношений (уравнений), но и гарантированная проблема почти для всех стандартизованных тестов. Понимание нескольких способов их решения означает на одну проблему меньше, о чем нужно беспокоиться при обучении.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.