Как решать квадратные уравнения полные и неполные: § Неполные квадратные уравнения

Содержание

Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс

Loading…

Квадратные  уравнения 8 класс  алгебра

 

Учитель: Федулкина Т.А.

 

  • Что такое квадратные уравнения. Виды уравнений.

Формула квадратного уравнения: ax2+bx+c=0,где a≠0, где x — переменная,  a,b,c — числовые коэффициенты.

 

Пример полного квадратного уравнения:

3x2-3x+2=0
x2-16x+64=0

Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминантаD=b2-4aс

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Если D=0, уравнение имеет один корень 

Если D<0, уравнение не имеет вещественных корней.

№1  x2-x-6=0

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент a всегда стоит перед x2, коэффициент b  всегда перед переменной x, а коэффициент  c – это свободный член.
a=1,b=-1,c=-6
D=b2-4ac=(-1)2-4∙1∙(-6)=1+24=25

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

 Ответ: x1=3; x2=-2

№2  x2+2x+1=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=1,b=2,c=1
D=b2-4ac=(2)2-4∙1∙1=4-4=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:
x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1

Ответ: x=-1

№3 7x2-x+2=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=7,b=-1,c=2
D=b2-4ac=(-1)2-4∙7∙2=1-56=-55
Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax2+bx=0, где числовой коэффициент c=0.

Пример как выглядят такие уравнения: x2-8x=0, 5x2+4x=0.

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.
ax2+bx=0  x(ax+b)=0  x1=0 x2=-b/a

№1  3x2+6x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(3x+6)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x1=0      3x+6=0   3x=-6     x2=-2

Ответ: x1=0; x2=-2

№2  x2-x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(x-1)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x1=0
x2=1

Ответ: x1=0; x2=1

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax2+c=0, где числовой коэффициент b=0.

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:
x2=c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.
А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом: корень квадратного уравнения

№1  x2+5=0
x2=-5, видно, что -5<0, значит нет решения.
Ответ: нет решения

№2 3x2-12=0
3x2=12
x2=12/3
x2=4
x1=2

x2=-2

Ответ: x1=2; x2=-2

 

2) Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс  алгебра.

 

Задания для  устного решения:

 

  1. Решите неполное квадратное уравнение:

 

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 

  1. Решите квадратное уравнение, используя теорему Виета:

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 

  1. Решите квадратное уравнение, используя формулу :

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 

  1. Найдите дискриминант квадратного уравнения по формуле D= :

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 

  1. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D= равно:

1)     

6)    

11)   

16)    

2)     

7)    

12)   

17)    

3)     

8)    

13)     

18)    

4)  

9)    

14)     

19)     

5)  

10)    

15)   

20)     

3)Решить  квадратные  уравнения:

 

  1. Решите квадратное уравнение:

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 скачать файл

Дата публикации — 03.12.2017

12 способов решения квадратных уравнений

Оглавление

Введение 3

1.Определение квадратного уравнения, его виды 4

2. Способы решения квадратных уравнений 4

2.1 Решение неполных квадратных уравнений. 4

2.2 Разложение левой части уравнения на множители. 1. СПОСОБ 5

2.3 Метод выделения полного квадрата. 2. СПОСОБ 5

2.4 Решение квадратных уравнений по формуле. 3. СПОСОБ 5

3.5 Решение уравнений с использованием теоремы Виета. 4. СПОСОБ 6

3.6 Решение уравнений с использованием теоремы Виета 5. СПОСОБ 6

(обратной)

3.7 Решение уравнений способом «переброски». 6. СПОСОБ 6

3.8 Свойства коэффициентов квадратного уравнения. 7. СПОСОБ 7

3.9 Графическое решение квадратного уравнения. 8. СПОСОБ 8

3.10 Решение квадратных уравнений с помощью

циркуля и линейки. 9. СПОСОБ 8

3.11 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. 10. СПОСОБ 9

3.12 Геометрический способ решения квадратных уравнений. 11. СПОСОБ 10

3.13 Способ решения квадратных уравнений по теореме Безу. 12. СПОСОБ 10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 11

Выводы 11

Список литературы 12

Приложения

Приложение1 УПРАЖНЕНИЯ

Приложение 2 ЗАДАЧИ

Приложение 3 Из истории квадратных уравнений

ВВЕДЕНИЕ

Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид — при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем, виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта.
Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений  умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н. э.). Об этом свидетельствует найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В дошедших до нас шести из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получит решение уравнения вида   . Способ решение полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые  изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.  

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду  , было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 — 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.
Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выделены Виетом в 1591 г.

Актуальность работы

И сейчас квадратные уравнения очень актуальны. Одна из основных тем ОГЭ – это квадратные уравнения.

  • Одной из основных тем, проверяемых на экзамене по математике, является тема «Квадратные уравнения». Данная тема изучается в 8 классе, а на повторение данной темы в 9 классе отводится один час. Я надеюсь , что эта работа поможет сдать экзамен по алгебре на более высокий бал.

  • Также квадратные уравнения используются в физике и в химии для решения задач в 10 и 11 класса, знание данной темы поможет при сдаче ЕГЭ по этим предметам.

Цель работы:

Научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Для достижения цели мы поставили перед собой следующие задачи

1.Изучить литературу по выбранной теме;

2.Изучить историю возникновения и решения квадратных уравнений;

3.Изучить способы решения квадратных уравнений разного вида;

4. Подобрать дидактический материал по теме работы

Объект исследования – квадратные уравнения.

При выполнении исследования применялись такие методы, как сравнительный анализ литературы, сбор и обработка фактов с помощью анализа, сравнения и аналогии.

1.Определение квадратного уравнения, его виды.

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

ax2 + bx + c = 0,

где х— переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член, свободен от переменной х.

Пример: 5х²+7х+3=0 (а=5, b=7, c=3.)

8х-3х²+5=0 (а=-3, b=8, с=5.)

-3+7х+8х²=0 (а=8, b=7, с=-3.)

Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени

Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

х²+рх+q=0 – стандартный вид приведенного квадратного уравнения

кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

Обратите внимание: об ах² речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0;

3) ах2 = 0.

Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ах²+bх+с=0 – это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство. 0=0.

Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.

2.Способы решения квадратных уравнений

2.1 Решение неполных квадратных уравнений.

Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать.

Если b=0,то

ах²+ с=0

Если с=0, то

ах²+bх=0

Если b=0, с=0,

то ах²=0

ах²+ с=0,

ах²= -с,

х² = -с/а,

уравнение имеет 2 корня

х=±√-с/а

уравнение корней

не имеет.

ах²+bх=0,

х(ах+b)=0,

х=0,

ах+b=0;

х=0,

х=-b/а.

ах²=0,

х²=0,

х=0.

Пример: а)2х²-7х=0 в)х²-16=0 д)5х²=0

б)-х²+5х=0 г)-2х²+7=0

Решение:

а) 2х²-7х=0; х(2х-7)=0

= х=0, х=0,

2х-7=0; х=3,5;

Ответ: х1=0, х2=3,5.

б) х²-16=0; х²=16

Ответ: х1=4, х2=-4.

в) 5х²=0; х²=0; х=0 ответ: х=0.

Неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень и ни одного корня.

2.2 Разложение левой части уравнения на множители. 1. СПОСОБ

Решим уравнение х2 — 2х — 8 = 0. Разложим левую часть на множители:

х2 — 2х — 8 = х2 — 4х +2х -8 = х(х -4 ) + 2(х -4) = (х + 2)(х -42).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 2)(х -4)=0.

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = -2, а также при х = 4. Это означает, что число — 2 и 4 являются корнями уравнения х2 — 2х — 8 = 0.

2.3 Метод выделения полного квадрата. 2. СПОСОБ:

Решим уравнение х2 + 6х — 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как

х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х — 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 + 6х — 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 — 32 — 7 = (х + 3)2 — 9 — 7 = (х + 3)2 — 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 — 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 — 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

2.4 Решение квадратных уравнений по формуле. 3. СПОСОБ:

Умножим обе части уравнения

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b2) — b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 — 4ac,

2ax + b = ± √ b2 — 4ac,

2ax = — b ± √ b2 — 4ac,

Примеры.

а) Решим уравнение:2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 — 4ac = 72 — 4 • 4 • 3 = 49 — 48 = 1,

D 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b2 — 4ac 0 , уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 2 — 4х + 1 = 0,

а = 4, b = — 4, с = 1, D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 • 4 • 1= 16 — 16 = 0, D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 — 4ac = 0, то уравнение

ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 — 4ac = 32 — 4 • 2 • 4 = 9 — 32 = — 13 , D

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 — 4ac , уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

2.5 Решение уравнений с использованием теоремы Виета. 4. СПОСОБ:

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x1 x2 = q,

x1 + x2 = — p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р , то оба корня отрицательны, если р , то оба корня положительны.

Например,

x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 0 и p = — 3

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = — 7 и x2 = — 1, так как q = 7 0 и p= 8 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p , или отрицателен, если p 0 .

Например, x2 + 4x – 5 = 0; x1 = — 5 и x2 = 1, так как q= — 5 и p = 4 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = — 1, так как q = — 9 и p = — 8

2.6 Решение уравнений с использованием теоремы Виета (обратной) 5. СПОСОБ

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если числа х1 и х2 таковы, что х12 = -р, х1х2 = q, то х1 и х2 – корни квадратного уравнения х2 +рх + q = 0.

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

Пример

1. Решить уравнение х2 +3х – 28 = 0

Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что х12 = — 3 и х1х2 = — 28

Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями уравнения.

2.7 Решение уравнений способом «переброски». 6. СПОСОБ:

Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнениеа2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у1и у2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х1 = у1и х1 = у2. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.

Решим уравнение 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим

у2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5

у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

2.8 Свойства коэффициентов квадратного уравнения. 7. СПОСОБ

А. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + b/a x + c/a = 0.

Согласно теореме Виета

x1 + x2 = — b/a,

x1x2 = 1• c/a.

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x1 + x2 = — а + b/a= -1 – c/a,

x1x2 = — 1• ( — c/a),

т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что м требовалось доказать.

Пример.

Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то х1 = 1, х2 = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

Пример.

Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k2ac = (- 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение х2 + рх + q= 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнениех2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х1,2 =7± 49+15 =764=78

Ответ: х1 = 15; х2 = -1.

2.9 Графическое решение квадратного уравнения. 8. СПОСОБ

Если в уравнении х2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = — pxq.

Построим графики зависимости у = х2 и у = — px — q.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости — прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться (одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры.

1) Решим графически уравнение х2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х1 = — 1 и х2 = 4. Ответ: х1 = — 1; х2 = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 — 2х + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х — 1.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х — 1.

Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1)

и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х — 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х — 5. Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.

2.10 Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. 9. СПОСОБ:

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D2; 0), где х1 и х2 — корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OBOD = OAOC, откуда OC = OBOD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

Итак:

1) построим точки S(-b/2а; (а+с)/2а) (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS SK, или R a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х1; 0) и D2; 0), где х1 и х2 — корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Пример.

Решим уравнение х2 — 2х — 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х1 = — 1; х2 = 3.

2.11 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

10. СПОСОБ:

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен-

там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена

по формулам (рис.11):

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из

подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

z2 + pz + q = 0,причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры.

1) Для уравнения z2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12).

2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z2 — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2,

получим уравнение z2 — 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.

3) Для уравнения z2 — 25z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t,

получим уравнениеt2 — 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим

t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0.

2.12 Геометрический способ решения квадратных уравнений. 11. СПОСОБ:

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

Пример.

Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х2 + 10х + 25. Заменяя

х2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата

ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

2.13 Способ решения квадратных уравнений по теореме Безу. 12. СПОСОБ:

При делении P(х) на х — в остатке может получиться лишь некоторое число r (если r = 0, то деление выполняется без остатка):P(x) = (x — ) Q (x) + r. (1)

Чтобы найти значение r, положим в тождестве (1) х = . При этом двучлен х — обращается в нуль, получаем, что P () = r.

Итак, доказано утверждение, называемое теоремой Безу.

Теорема 1 (Безу). Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен х — равен P() (т.е. значению P(x) при х = ).

Если число является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на х — без остатка.

х²-4х+3=0

Р2(х)= х²-4х+3

α; ±1,±3.

α =1, 1-4+3=0

Разделим р(х) на (х-1)

(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3)

(х-1)(х-3)=0

х-1=0; х=1, или х-3=0, х=3; Ответ: х1=2, х2=3.

Заключение

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь мы остановились на вопросе решения квадратных уравнений, а что,

если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Проводя исследования по данной теме, я получила следующие выводы:

1.Квадратные уравнения умели решать ещё более трех тысяч лет назад. Способы решения были сложными. Общее правило решения уравнений вида: ax2 + bx = c, где a  0, b и c – любые, которым мы пользуемся и сейчас сформулировал индийский ученый Брахмагупта (VII в. н. э.).

2.Способов решения квадратных уравнений очень много. Мы нашли 12 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ЕМЭ.

3. Для того чтобы усвоить все методы решения уравнений, нужно прорешать несколько уравнений изучаемым способом. А для этого нужны задания. Я предлагаюм небольшую подборку заданий для решения уравнений.

4. Квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания ВУЗа. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

12

Сложные квадратные уравнения примеры с решением. Квадратные уравнения

Уравнение вида

Выражение D
= b
2
— 4 ac
называют дискриминантом
квадратного уравнения. Если
D
= 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D
> 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D
= 0
, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Используя обозначение D
= b
2
— 4 ac
, можно переписать формулу (2) в виде

Если b
= 2 k
, то формула (2) принимает вид:

где k
= b
/ 2
.
Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b
/ 2
— целое число, т.е. коэффициент b
— четное число.
Пример 1:
Решить уравнение 2
x
2

5 x
+
2
=
0
. Здесь a = 2, b = -5, c = 2
. Имеем D
= b
2

4 ac
=
(-5) 2-
4*2*2
=
9
. Так как D
>
0
, то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле (2)

Итак x
1
=(5 + 3) / 4 = 2, x
2
=(5 — 3) / 4 = 1 / 2
,
то есть x
1
=
2
и x
2
=
1
/
2
— корни заданного уравнения.
Пример 2:
Решить уравнение 2
x
2
— 3 x
+ 5 = 0
. Здесь a = 2, b = -3, c = 5
. Находим дискриминант D
= b
2

4 ac
=
(-3) 2- 4*2*5 = -31
. Так как D
0
, то уравнение не имеет действительных корней.

Неполные квадратные уравнения.

Если в квадратном уравнении ax
2
+ bx
+ c
=0
второй коэффициент b
или свободный член c
равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным
. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
Пример 1:
решить уравнение 2
x
2
— 5 x
= 0
.
Имеем x
(2 x
— 5) = 0
. Значит либо x
= 0
, либо 2
x
— 5 = 0
, то есть x
=
2.5
. Итак, уравнение имеет два корня: 0
и 2.5

Пример 2:
решить уравнение 3
x
2
— 27 = 0
.
Имеем 3
x
2
= 27
. Следовательно корни данного уравнения — 3
и -3
.

Теорема Виета.

Если приведенное квадратное уравнение x
2
+ px
+ q
=0
имеет действительные корни, то их сумма равна
p
, а произведение равно q
, то есть

x 1 + x 2 = -p ,
x 1 x 2 = q

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

», то есть
уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным
уравнением
и как его решать.

Что называют квадратным уравнением

Важно!

Степень уравнения определяют по наибольшей
степени, в которой
стоит неизвестное.

Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2
»,
значит, перед вами квадратное
уравнение.

Примеры квадратных уравнений

  • 5x 2 − 14x + 17 = 0
  • −x 2 + x + = 0
  • x 2 + 0,25x = 0
  • x 2 − 8 = 0

Важно!

Общий вид квадратного уравнения выглядит так:

A
x 2 + b
x + c
= 0

«a
», «b
» и «c
» — заданные числа.

  • «a
    » — первый или старший коэффициент;
  • «b
    » — второй коэффициент;
  • «c
    » — свободный член.

Чтобы найти «a
», «b
» и «c
»
нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения
«ax 2 + bx + c = 0
».

Давайте потренируемся определять
коэффициенты «a
», «b
»
и «c
» в квадратных уравнениях.

5x 2 − 14x + 17 = 0

−7x 2 − 13x + 8 = 0

−x 2 + x + = 0

x 2 + 0,25x = 0

Уравнение Коэффициенты
  • a = −7
  • b = −13
  • с = 8
x 2 − 8 = 0

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная
формула для нахождения корней
.

Запомните!

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

  • привести квадратное уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0
    ».
    То есть в правой части должен остаться только «0
    »;
  • использовать формулу для корней:

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

X 2 − 3x − 4 = 0

Уравнение «
x 2 − 3x − 4 = 0
» уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0
» и не требует дополнительных упрощений.
Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения
.

Определим коэффициенты «a
», «b
» и
«c
» для этого уравнения.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

С её помощью решается любое
квадратное уравнение.

В формуле «x 1;2 =
» часто заменяют подкоренное выражение
«b 2 − 4ac
» на букву «D
» и называют
дискриминантом
. Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке
«Что такое дискриминант ».

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

x 2 + 9 + x = 7x

В данном виде определить коэффициенты «a
», «b
» и
«c
» довольно сложно.
Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0
».

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Теперь можно использовать формулу для корней.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

x = 3

Ответ: x = 3

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем
оказывается отрицательное число.

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ».
Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим!
Содержание статьи:

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a,
b
и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D

Давайте рассмотрим уравнение:

По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х 1 = 3 х 2 = 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:

Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть
статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1:
Решить 2x
2
+8
x
–192=0

а=2 b=8 c= –192

D = b
2
–4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2:
Решить


x 2
–22
x+121 = 0

а=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3:
Решить

x 2 –8x+72 = 0

а=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.

a+bi

– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:

Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

а
x
2
+
bx
+
c
=0
выполняется равенство

a
+
b
+ с = 0,
то

— если для коэффициентов уравнения а
x
2
+
bx
+
c
=0
выполняется равенство

a
+ с =
b
,
то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1: 5001
x
2
–4995
x
– 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(
4995)+(
6) = 0, значит

Пример 2: 2501
x
2
+2507
x
+6=0

Выполняется равенство a
+ с =
b
,
значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.

х 1 = –6 х 2 = –1/6.

2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Если в уравнении
ax 2
+ bx

c = 0
коэффициент «b»

равен (a 2

– 1), а коэффициент «c»

численно равен коэффициенту «a»
,
то его корни равны

аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

х 1 = – 17 х 2 = 1/17.

4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.

х 1 = 10 х 2 = – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски».
Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а
± b+c
≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х
2 – 11х+
5 = 0 (1) => х
2 – 11х+
10 = 0 (2)

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим

х 1
= 5 х 2
=
0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:

У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:

15+ 9x 2 — 45x = 0 или 15х+42+9x 2 — 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Виды квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение
ключевым словом является «квадратное».
Оно означает, что в уравнении обязательно
должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член).
И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Говоря математическим языком, квадратное уравнение — это уравнение вида:

Здесь a, b и с
– какие-то числа. b и c
– совсем любые, а а
– любое, кроме нуля. Например:

Здесь а
=1; b
= 3; c
= -4

Здесь а
=2; b
= -0,5; c
= 2,2

Здесь а
=-3; b
= 6; c
= -18

Ну, вы поняли…

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор
членов. Икс в квадрате с коэффициентом а,
икс в первой степени с коэффициентом b
и свободный член с.

Такие квадратные уравнения называются полными.

А если b
= 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени.
От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-х 2 +4х=0

И т.п. А если уж оба коэффицента, b
и c
равны нулю, то всё ещё проще:

2х 2 =0,

-0,3х 2 =0

Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями.
Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Кстати, почему а
не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а
нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе…

Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно.) Главное — правильно определить все коэффициенты, а
, b
и c
.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня называется дискриминант
. Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с
.
Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с
в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками!

Например, в уравнении:

а
=1; b
= 3; c
= -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Это ответ.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с
. Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте
!

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a
= -6;
b
= -5;
c
= -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится
. Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно?
Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения
.

Решение неполных квадратных уравнений.

Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с
.

Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4;
а c
? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0

! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c,
и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с
, а b
!

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать:
х 1 = 0
, х 2 = 4
.

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1
— то, что меньше, а х 2
— то, что больше.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня.
х 1 = -3
, х 2 = 3
.

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

Дискриминант. Формула дискриминанта.

Волшебное слово дискриминант

! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых
квадратных уравнений:

Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D
. Формула дискриминанта:

D = b 2 — 4ac

И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта?
Ведь -b,
или 2a
в этой формуле специально никак не называют… Буквы и буквы.

Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

1. Дискриминант положительный.
Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю.
Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых
. Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

3. Дискриминант отрицательный.
Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта
не обойтись. Особенно — в уравнениях с параметрами. Такие уравнения — высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

Итак, как решать квадратные уравнения
через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с
. Умеете внимательно
подставлять их в формулу корней и внимательно
считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

Приём первый

. Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с.
Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно.
У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй.

Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее
уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1
, проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком

. Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b
с противоположным

знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b
, который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1.
Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

Приём третий

. Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке «Как решать уравнения? Тождественные преобразования». При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак, подытожим тему.

Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно
.

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

Теперь можно и порешать.)

Решить уравнения:

8х 2 — 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 — 4x + 4 = 0

(х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Ответы (в беспорядке):

х 1 = 0

х 2 = 5

х 1,2 =
2

х 1 = 2

х 2 = -0,5

х — любое число

х 1 = -3

х 2 = 3

решений нет

х 1 = 0,25

х 2 = 0,5

Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения — не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные — нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные
ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Эта тема поначалу может показаться сложной из-за множества не самых простых формул. Мало того что сами квадратные уравнения имеют длинные записи, еще и корни находятся через дискриминант. Всего получается три новые формулы. Не очень просто запомнить. Это удается только после частого решения таких уравнений. Тогда все формулы будут вспоминаться сами собой.

Общий вид квадратного уравнения

Здесь предложена их явная запись, когда самая большая степень записана первой, и дальше — по убыванию. Часто бывают ситуации, когда слагаемые стоят вразнобой. Тогда лучше переписать уравнение в порядке убывания степени у переменной.

Введем обозначения. Они представлены в таблице ниже.

Если принять эти обозначения, все квадратные уравнения сводятся к следующей записи.

Причем коэффициент а ≠ 0. Пусть эта формула будет обозначена номером один.

Когда уравнение задано, то непонятно, сколько корней будет в ответе. Потому что всегда возможен один из трех вариантов:

  • в решении будет два корня;
  • ответом будет одно число;
  • корней у уравнения не будет совсем.

И пока решение не доведено до конца, сложно понять, какой из вариантов выпадет в конкретном случае.

Виды записей квадратных уравнений

В задачах могут встречаться их разные записи. Не всегда они будут выглядеть как общая формула квадратного уравнения. Иногда в ней будет не хватать некоторых слагаемых. То что было записано выше — это полное уравнение. Если в нем убрать второе или третье слагаемое, то получится нечто другое. Эти записи тоже называются квадратными уравнениями, только неполными.

Причем исчезнуть могут только слагаемые у которых коэффициенты «в» и «с». Число «а» не может быть равно нулю ни при каких условиях. Потому что в этом случае формула превращается в линейное уравнение. Формулы для неполного вида уравнений будут такими:

Итак, видов всего два, кроме полных, есть еще и неполные квадратные уравнения. Пусть первая формула будет иметь номер два, а вторая — три.

Дискриминант и зависимость количества корней от его значения

Это число нужно знать для того, чтобы вычислить корни уравнения. Оно может быть посчитано всегда, какой бы ни была формула квадратного уравнения. Для того чтобы вычислить дискриминант, нужно воспользоваться равенством, записанным ниже, которое будет иметь номер четыре.

После подстановки в эту формулу значений коэффициентов, можно получить числа с разными знаками. Если ответ положительный, то ответом уравнения будут два различных корня. При отрицательном числе корни квадратного уравнения будут отсутствовать. В случае его равенства нулю ответ будет один.

Как решается квадратное уравнение полного вида?

По сути, рассмотрение этого вопроса уже началось. Потому что сначала нужно найти дискриминант. После того как выяснено, что имеются корни квадратного уравнения, и известно их число, нужно воспользоваться формулами для переменных. Если корней два, то нужно применить такую формулу.

Поскольку в ней стоит знак «±», то значений будет два. Выражение под знаком квадратного корня — это дискриминант. Поэтому формулу можно переписать по-другому.

Формула номер пять. Из этой же записи видно, что если дискриминант равен нулю, то оба корня примут одинаковые значения.

Если решение квадратных уравнений еще не отработано, то лучше до того, как применять формулы дискриминанта и переменной, записать значения всех коэффициентов. Позже этот момент не будет вызывать трудностей. Но в самом начале бывает путаница.

Как решается квадратное уравнение неполного вида?

Здесь все гораздо проще. Даже нет необходимости в дополнительных формулах. И не понадобятся те, что уже были записаны для дискриминанта и неизвестной.

Сначала рассмотрим неполное уравнение под номером два. В этом равенстве полагается вынести неизвестную величину за скобку и решить линейное уравнение, которое останется в скобках. В ответе будет два корня. Первый — обязательно равен нулю, потому что имеется множитель, состоящий из самой переменной. Второй получится при решении линейного уравнения.

Неполное уравнение под номером три решается переносом числа из левой части равенства в правую. Потом нужно разделить на коэффициент, стоящий перед неизвестной. Останется только извлечь квадратный корень и не забыть записать его два раза с противоположными знаками.

Далее записаны некоторые действия, помогащие научиться решать всевозможные виды равенств, которые превращаются в квадратные уравнения. Они будут способствовать тому, что ученик сможет избежать ошибок по невнимательности. Эти недочеты бывают причиной плохих оценок при изучении обширной темы «Квадратные уравнения (8 класс)». Впоследствии эти действия не нужно будет постоянно выполнять. Потому что появится устойчивый навык.

  • Сначала нужно записать уравнение в стандартном виде. То есть сначала слагаемое с самой большой степенью переменной, а потом — без степени и последним — просто число.
  • Если перед коэффициентом «а» появляется минус, то он может усложнить работу для начинающего изучать квадратные уравнения. От него лучше избавиться. Для этой цели все равенство нужно умножить на «-1». Это значит, что у всех слагаемых изменится знак на противоположный.
  • Таким же образом рекомендуется избавляться от дробей. Просто умножить уравнение на соответствующий множитель, чтобы знаменатели сократились.

Примеры

Требуется решить следующие квадратные уравнения:

х 2 − 7х = 0;

15 − 2х − х 2 = 0;

х 2 + 8 + 3х = 0;

12х + х 2 + 36 = 0;

(х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2).

Первое уравнение: х 2 − 7х = 0. Оно неполное, поэтому решается так, как было описано для формулы под номером два.

После вынесения за скобки получается: х (х — 7) = 0.

Первый корень принимает значение: х 1 = 0. Второй будет найден из линейного уравнения: х — 7 = 0. Легко заметить, что х 2 = 7.

Второе уравнение: 5х 2 + 30 = 0. Снова неполное. Только решается оно так, как описано для третьей формулы.

После перенесения 30 в правую часть равенства: 5х 2 = 30. Теперь нужно выполнить деление на 5. Получается: х 2 = 6. Ответами будут числа: х 1 = √6, х 2 = — √6.

Третье уравнение: 15 − 2х − х 2 = 0. Здесь и далее решение квадратных уравнений будет начинаться с их переписывания в стандартный вид: − х 2 − 2х + 15 = 0. Теперь пришло время воспользоваться вторым полезным советом и умножить все на минус единицу. Получается х 2 + 2х — 15 = 0. По четвертой формуле нужно вычислить дискриминант: Д = 2 2 — 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Он представляет собой положительное число. Из того, что сказано выше, получается, что уравнение имеет два корня. Их нужно вычислить по пятой формуле. По ней получается, что х = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогда х 1 = 3, х 2 = — 5.

Четвертое уравнение х 2 + 8 + 3х = 0 преобразуется в такое: х 2 + 3х + 8 = 0. Его дискриминант равен такому значению: -23. Поскольку это число отрицательное, то ответом к этому заданию будет следующая запись: «Корней нет».

Пятое уравнение 12х + х 2 + 36 = 0 следует переписать так: х 2 + 12х + 36 = 0. После применения формулы для дискриминанта получается число ноль. Это означает, что у него будет один корень, а именно: х = -12/ (2 * 1) = -6.

Шестое уравнение (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) требует провести преобразования, которые заключаются в том, что нужно привести подобные слагаемые, до того раскрыв скобки. На месте первой окажется такое выражение: х 2 + 2х + 1. После равенства появится эта запись: х 2 + 3х + 2. После того как подобные слагаемые будут сосчитаны, уравнение примет вид: х 2 — х = 0. Оно превратилось в неполное. Подобное ему уже рассматривалось чуть выше. Корнями этого будут числа 0 и 1.

Различные корни уравнения. Вывод формулы для решения квадратного уравнения. Полные и неполные квадратные уравнения

Уравнение вида

Выражение D
= b
2
— 4 ac
называют дискриминантом
квадратного уравнения. Если
D
= 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D
> 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D
= 0
, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Используя обозначение D
= b
2
— 4 ac
, можно переписать формулу (2) в виде

Если b
= 2 k
, то формула (2) принимает вид:

где k
= b
/ 2
.
Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b
/ 2
— целое число, т.е. коэффициент b
— четное число.
Пример 1:
Решить уравнение 2
x
2

5 x
+
2
=
0
. Здесь a = 2, b = -5, c = 2
. Имеем D
= b
2

4 ac
=
(-5) 2-
4*2*2
=
9
. Так как D
>
0
, то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле (2)

Итак x
1
=(5 + 3) / 4 = 2, x
2
=(5 — 3) / 4 = 1 / 2
,
то есть x
1
=
2
и x
2
=
1
/
2
— корни заданного уравнения.
Пример 2:
Решить уравнение 2
x
2
— 3 x
+ 5 = 0
. Здесь a = 2, b = -3, c = 5
. Находим дискриминант D
= b
2

4 ac
=
(-3) 2- 4*2*5 = -31
. Так как D
0
, то уравнение не имеет действительных корней.

Неполные квадратные уравнения.

Если в квадратном уравнении ax
2
+ bx
+ c
=0
второй коэффициент b
или свободный член c
равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным
. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
Пример 1:
решить уравнение 2
x
2
— 5 x
= 0
.
Имеем x
(2 x
— 5) = 0
. Значит либо x
= 0
, либо 2
x
— 5 = 0
, то есть x
=
2.5
. Итак, уравнение имеет два корня: 0
и 2.5

Пример 2:
решить уравнение 3
x
2
— 27 = 0
.
Имеем 3
x
2
= 27
. Следовательно корни данного уравнения — 3
и -3
.

Теорема Виета.

Если приведенное квадратное уравнение x
2
+ px
+ q
=0
имеет действительные корни, то их сумма равна
p
, а произведение равно q
, то есть

x 1 + x 2 = -p ,
x 1 x 2 = q

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Эта тема поначалу может показаться сложной из-за множества не самых простых формул. Мало того что сами квадратные уравнения имеют длинные записи, еще и корни находятся через дискриминант. Всего получается три новые формулы. Не очень просто запомнить. Это удается только после частого решения таких уравнений. Тогда все формулы будут вспоминаться сами собой.

Общий вид квадратного уравнения

Здесь предложена их явная запись, когда самая большая степень записана первой, и дальше — по убыванию. Часто бывают ситуации, когда слагаемые стоят вразнобой. Тогда лучше переписать уравнение в порядке убывания степени у переменной.

Введем обозначения. Они представлены в таблице ниже.

Если принять эти обозначения, все квадратные уравнения сводятся к следующей записи.

Причем коэффициент а ≠ 0. Пусть эта формула будет обозначена номером один.

Когда уравнение задано, то непонятно, сколько корней будет в ответе. Потому что всегда возможен один из трех вариантов:

  • в решении будет два корня;
  • ответом будет одно число;
  • корней у уравнения не будет совсем.

И пока решение не доведено до конца, сложно понять, какой из вариантов выпадет в конкретном случае.

Виды записей квадратных уравнений

В задачах могут встречаться их разные записи. Не всегда они будут выглядеть как общая формула квадратного уравнения. Иногда в ней будет не хватать некоторых слагаемых. То что было записано выше — это полное уравнение. Если в нем убрать второе или третье слагаемое, то получится нечто другое. Эти записи тоже называются квадратными уравнениями, только неполными.

Причем исчезнуть могут только слагаемые у которых коэффициенты «в» и «с». Число «а» не может быть равно нулю ни при каких условиях. Потому что в этом случае формула превращается в линейное уравнение. Формулы для неполного вида уравнений будут такими:

Итак, видов всего два, кроме полных, есть еще и неполные квадратные уравнения. Пусть первая формула будет иметь номер два, а вторая — три.

Дискриминант и зависимость количества корней от его значения

Это число нужно знать для того, чтобы вычислить корни уравнения. Оно может быть посчитано всегда, какой бы ни была формула квадратного уравнения. Для того чтобы вычислить дискриминант, нужно воспользоваться равенством, записанным ниже, которое будет иметь номер четыре.

После подстановки в эту формулу значений коэффициентов, можно получить числа с разными знаками. Если ответ положительный, то ответом уравнения будут два различных корня. При отрицательном числе корни квадратного уравнения будут отсутствовать. В случае его равенства нулю ответ будет один.

Как решается квадратное уравнение полного вида?

По сути, рассмотрение этого вопроса уже началось. Потому что сначала нужно найти дискриминант. После того как выяснено, что имеются корни квадратного уравнения, и известно их число, нужно воспользоваться формулами для переменных. Если корней два, то нужно применить такую формулу.

Поскольку в ней стоит знак «±», то значений будет два. Выражение под знаком квадратного корня — это дискриминант. Поэтому формулу можно переписать по-другому.

Формула номер пять. Из этой же записи видно, что если дискриминант равен нулю, то оба корня примут одинаковые значения.

Если решение квадратных уравнений еще не отработано, то лучше до того, как применять формулы дискриминанта и переменной, записать значения всех коэффициентов. Позже этот момент не будет вызывать трудностей. Но в самом начале бывает путаница.

Как решается квадратное уравнение неполного вида?

Здесь все гораздо проще. Даже нет необходимости в дополнительных формулах. И не понадобятся те, что уже были записаны для дискриминанта и неизвестной.

Сначала рассмотрим неполное уравнение под номером два. В этом равенстве полагается вынести неизвестную величину за скобку и решить линейное уравнение, которое останется в скобках. В ответе будет два корня. Первый — обязательно равен нулю, потому что имеется множитель, состоящий из самой переменной. Второй получится при решении линейного уравнения.

Неполное уравнение под номером три решается переносом числа из левой части равенства в правую. Потом нужно разделить на коэффициент, стоящий перед неизвестной. Останется только извлечь квадратный корень и не забыть записать его два раза с противоположными знаками.

Далее записаны некоторые действия, помогащие научиться решать всевозможные виды равенств, которые превращаются в квадратные уравнения. Они будут способствовать тому, что ученик сможет избежать ошибок по невнимательности. Эти недочеты бывают причиной плохих оценок при изучении обширной темы «Квадратные уравнения (8 класс)». Впоследствии эти действия не нужно будет постоянно выполнять. Потому что появится устойчивый навык.

  • Сначала нужно записать уравнение в стандартном виде. То есть сначала слагаемое с самой большой степенью переменной, а потом — без степени и последним — просто число.
  • Если перед коэффициентом «а» появляется минус, то он может усложнить работу для начинающего изучать квадратные уравнения. От него лучше избавиться. Для этой цели все равенство нужно умножить на «-1». Это значит, что у всех слагаемых изменится знак на противоположный.
  • Таким же образом рекомендуется избавляться от дробей. Просто умножить уравнение на соответствующий множитель, чтобы знаменатели сократились.

Примеры

Требуется решить следующие квадратные уравнения:

х 2 − 7х = 0;

15 − 2х − х 2 = 0;

х 2 + 8 + 3х = 0;

12х + х 2 + 36 = 0;

(х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2).

Первое уравнение: х 2 − 7х = 0. Оно неполное, поэтому решается так, как было описано для формулы под номером два.

После вынесения за скобки получается: х (х — 7) = 0.

Первый корень принимает значение: х 1 = 0. Второй будет найден из линейного уравнения: х — 7 = 0. Легко заметить, что х 2 = 7.

Второе уравнение: 5х 2 + 30 = 0. Снова неполное. Только решается оно так, как описано для третьей формулы.

После перенесения 30 в правую часть равенства: 5х 2 = 30. Теперь нужно выполнить деление на 5. Получается: х 2 = 6. Ответами будут числа: х 1 = √6, х 2 = — √6.

Третье уравнение: 15 − 2х − х 2 = 0. Здесь и далее решение квадратных уравнений будет начинаться с их переписывания в стандартный вид: − х 2 − 2х + 15 = 0. Теперь пришло время воспользоваться вторым полезным советом и умножить все на минус единицу. Получается х 2 + 2х — 15 = 0. По четвертой формуле нужно вычислить дискриминант: Д = 2 2 — 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Он представляет собой положительное число. Из того, что сказано выше, получается, что уравнение имеет два корня. Их нужно вычислить по пятой формуле. По ней получается, что х = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогда х 1 = 3, х 2 = — 5.

Четвертое уравнение х 2 + 8 + 3х = 0 преобразуется в такое: х 2 + 3х + 8 = 0. Его дискриминант равен такому значению: -23. Поскольку это число отрицательное, то ответом к этому заданию будет следующая запись: «Корней нет».

Пятое уравнение 12х + х 2 + 36 = 0 следует переписать так: х 2 + 12х + 36 = 0. После применения формулы для дискриминанта получается число ноль. Это означает, что у него будет один корень, а именно: х = -12/ (2 * 1) = -6.2 + b*x + c = 0
,где x

переменная, a,b,c
– константы; a0
. Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х)
. Из этого следует, что есть три возможных случая:
1)
парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2)
парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох
. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3)
Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс.2
и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0
При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p
, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q
. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а
отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.2+x-6=0
.

Решение:
В случаях когда есть малые коэффициенты при х
целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6
. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}
. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

Задача 5.
Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18
см, а площадь 77
см 2 .

Решение:
Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х
– большую сторону, тогда 18-x
меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;

или
х 2 -18х+77=0.

Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11
,
то 18-х=7
,
наоборот тоже справедливо (если х=7
, то 21-х=9
).

Задача 6.
Разложить квадратное 10x 2 -11x+3=0
уравнения на множители.

Решение:
Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество.2+(2а+6)х-3а-9=0
имеет более одного корня?

Решение:
Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0
и а=-3
. При а=0
уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2
и будет один корень. При а= -3
получим тождество 0=0
.
Вычислим дискриминант

и найдем значения а
при котором оно положительно

С первого условия получим а>3
. Для второго находим дискриминант и корни уравнения

Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0
получим 3>0
.
Итак, за пределами промежутка (-3;1/3)
функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0
,
которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Виды квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение
ключевым словом является «квадратное».
Оно означает, что в уравнении обязательно
должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член).
И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Говоря математическим языком, квадратное уравнение — это уравнение вида:

Здесь a, b и с
– какие-то числа. b и c
– совсем любые, а а
– любое, кроме нуля. Например:

Здесь а
=1; b
= 3; c
= -4

Здесь а
=2; b
= -0,5; c
= 2,2

Здесь а
=-3; b
= 6; c
= -18

Ну, вы поняли…

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор
членов. Икс в квадрате с коэффициентом а,
икс в первой степени с коэффициентом b
и свободный член с.

Такие квадратные уравнения называются полными.

А если b
= 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени.
От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-х 2 +4х=0

И т.п. А если уж оба коэффицента, b
и c
равны нулю, то всё ещё проще:

2х 2 =0,

-0,3х 2 =0

Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями.
Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Кстати, почему а
не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а
нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе…

Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно.) Главное — правильно определить все коэффициенты, а
, b
и c
.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня называется дискриминант
. Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с
.
Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с
в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками!

Например, в уравнении:

а
=1; b
= 3; c
= -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Это ответ.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с
. Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте
!

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a
= -6;
b
= -5;
c
= -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится
. Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно?
Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения
.

Решение неполных квадратных уравнений.

Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с
.

Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4;
а c
? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0

! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c,
и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с
, а b
!

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать:
х 1 = 0
, х 2 = 4
.

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1
— то, что меньше, а х 2
— то, что больше.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня.
х 1 = -3
, х 2 = 3
.

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

Дискриминант. Формула дискриминанта.

Волшебное слово дискриминант

! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых
квадратных уравнений:

Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D
. Формула дискриминанта:

D = b 2 — 4ac

И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта?
Ведь -b,
или 2a
в этой формуле специально никак не называют… Буквы и буквы.

Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

1. Дискриминант положительный.
Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю.
Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых
. Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

3. Дискриминант отрицательный.
Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта
не обойтись. Особенно — в уравнениях с параметрами. Такие уравнения — высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

Итак, как решать квадратные уравнения
через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с
. Умеете внимательно
подставлять их в формулу корней и внимательно
считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

Приём первый

. Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с.
Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно.
У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй.

Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее
уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1
, проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком

. Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b
с противоположным

знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b
, который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1.
Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

Приём третий

. Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке «Как решать уравнения? Тождественные преобразования». При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак, подытожим тему.

Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно
.

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

Теперь можно и порешать.)

Решить уравнения:

8х 2 — 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 — 4x + 4 = 0

(х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Ответы (в беспорядке):

х 1 = 0

х 2 = 5

х 1,2 =
2

х 1 = 2

х 2 = -0,5

х — любое число

х 1 = -3

х 2 = 3

решений нет

х 1 = 0,25

х 2 = 0,5

Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения — не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные — нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные
ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Способы решения квадратных уравнений | Статья в журнале «Юный ученый»



Наш проект посвящен способам решения квадратных уравнений. Цель проекта: научиться решать квадратные уравнения способами, не входящими в школьную программу. Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться их использовать самим и познакомить одноклассников с этими способами.

Что же такое «квадратные уравнения»?

Квадратное уравнение — уравнение вида ax2+ bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.

Числа a, b,c называются коэффициентами квадратного уравнения.

  • a называется первым коэффициентом;
  • b называется вторым коэффициентом;
  • c — свободным членом.

А кто же первый «изобрёл» квадратные уравнения?

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Эвклид придумал более общий геометрический метод решения. Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был индийский ученый Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры).

Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax2 + bх = с, а>0

В этом уравнении коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах2 = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья,Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Рассмотрим несколько способов решения квадратных уравнений.

Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы:

  1. Разложение левой части уравнения на множители.
  2. Метод выделения полного квадрата.
  3. Решение квадратных уравнений по формуле.
  4. Графическое решение квадратного уравнения.
  5. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Остановимся подробнее на решение приведенных и не приведенных квадратных уравнений по теореме Виета.

Напомним, что для решения приведенных квадратных уравнений достаточно найти два числа такие, произведение которых равно свободному члену, а сумма — второму коэффициенту с противоположным знаком.

Пример.x2-5x+6=0

Нужно найти числа, произведение которых равно 6, а сумма 5. Такими числами будут 3 и 2.

Ответ: x1=2, x2=3.

Но можно использовать этот способ и для уравнений с первым коэффициентом не равным единице.

Пример.3x2+2x-5=0

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x2+2x-15=0

Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно — 15, а сумма равна — 2. Эти числа — 5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делим на первый коэффициент.

Ответ: x1=-5/3, x2=1

6. Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а≠0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0, равносильному данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х1 = у1/а и х2 = у2/а.

При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.2 — 11х + 15 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у2 — 11у + 30 = 0.

Согласно обратной теореме Виета

у1 = 5, х1 = 5/2, х1=2,5 ;у2 = 6, x2 = 6/2, x2 = 3.

Ответ: х1=2,5; х2= 3.

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

1. Если a+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1.

2. Если а — b + с = 0, или b = а + с, то х1 = — 1.

Пример.345х2 — 137х — 208 = 0.

Так как а + b + с = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то х1 = 1, х2 = -208/345.

Ответ: х1=1; х2 = -208/345 .

Пример.132х2 + 247х + 115 = 0

Т.к. a-b+с = 0 (132 — 247 +115=0), то х1= — 1, х2= — 115/132

Ответ: х1= — 1; х2=- 115/132

Существуют и другие свойства коэффициентов квадратного уравнения. но ихиспользование более сложное.

8. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Рис 1. Номограмма

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис. 1):

ОВ =AB =

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см), из рис.1 подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Рис. 2 Решение квадратных уравнения с помощью номограммы

Примеры.

1) Для уравнения z2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0

Ответ:8,0; 1,0.

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2z2 — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z2 — 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.

Ответ: 4; 0,5.

9. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

Пример.х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5x. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2,5, а площадь 6,25

Рис. 3 Графический способ решения уравнения х2 + 10х = 39

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4∙2,5x = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25∙ 4 = 25) , т.е. S = х2 + 10х = 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

10. Решение уравнений с использованием теоремы Безу.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x — α равен P(α) (т.е. значению P(x) при x = α).

Если число α является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на x -α без остатка.

Пример.х²-4х+3=0

Р(x)= х²-4х+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Разделим Р(x) на (х-1):(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3), (х-1)(х-3)=0

х-1=0; х=1, или х-3=0, х=3; Ответ: х1=2, х2=3.

Вывод: Умение быстро и рационально решать квадратные уравнения просто необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений. Изучив все найденные способы решения квадратных уравнений, мы можем посоветовать одноклассникам, кроме стандартных способов, решение способом переброски (6) и решение уравнений по свойству коэффициентов (7), так как они являются более доступными для понимания.

Литература:

  1. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990.
  2. Алгебра 8 класс: учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. под ред. С. А. Теляковского 15-е изд., дораб. — М.: Просвещение, 2015
  3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
  4. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. / Под ред. В.Н. Молодшего. — М.: Просвещение, 1964.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, квадратное уравнение, свободный член, решение уравнений, корень, число, способ решения, квадрат, коэффициент, решение.

Использование разнообразных форм уроков при изучении темы «Квадратные уравнения» в 8 классе диплом 2010 по педагогике

ГОУ СПО «Кунгурское педагогическое училище» ПЦК преподавателей естественно-математических дисциплин Выпускная квалификационная работа по методике математики Использование разнообразных форм уроков при изучении темы «Квадратные уравнения» в 8 классе Исламовой Энзиры Таузифовны Специальность 050201 Математика Группа М-51 отделение: очное Руководитель: Л.Г. Янкина преподаватель математики 2008 Оглавление Введение Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений учащихся 8 класса 1.1 Основные направления изучения линии уравнений в школьном курсе алгебры 1.2 Методика изучения квадратных уравнений 1.3 Характеристика разнообразных форм уроков Глава 2. Разработка и практическое использование различных форм уроков математики 2.1 Разработка уроков по теме «Неполные квадратные уравнения» 2.2 Разработка уроков по теме «Полные квадратные уравнения» 2.3 Разработка уроков по теме «Приведенные квадратные уравнении Заключение Литература Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений учащихся 8 класса 1.1 Основные направления изучения линии уравнений в школьном курсе алгебры Уравнение как общематематическое понятие многоаспектно. Можно выделить главные области возникновения и функционирования понятия «уравнение» как: • средства решения текстовых задач; • особого рода формулы, служащей в алгебре объектом изучения; • формулы, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением [12,268]. Каждое из этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным. Названным областям относятся три основных направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры. 1. Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики. В настоящее время, ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. (Математическое моделирование заключается в конструировании по определенным правилам некоторой формальной системы, которая отображает через совокупность математических операций над величинами определенную гипотезу о структуре или воспитания). Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании [2,246]. 2. Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах: • выделение и изучение наиболее важных классов уравнений, и их систем; • изучение обобщенных понятий, относящихся ко всей линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений. 3. Направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией, причем эта связь — двусторонняя. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий, — это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений. Например, введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х2 = b, где b-неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом [5,36]. Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние, как на содержание линии уравнений, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений и их систем [12,269]. Характеризуя уравнение, нужно учитывать разные стороны этого понятия. Уравнение представляет собой некоторую запись, составленную по определенным правилам (синтаксический подход). Заменяя в записи буквы (переменные) конкретными числами, переходят к верным или неверным равенствам (логический подход). Стоящие в левой и правой частях уравнения, выражения задают функции, значения которых связаны знаком «=» (функциональный подход). Действия над уравнениями производятся по некоторым правилам (операционный подход). Задание «решить уравнение» предполагает отыскание всех его корней (целевой подход). На практике понятие уравнения может быть введено посредством выделения его в результате решения задач алгебраическим методом. В этом случае существенным является подход к понятию уравнения, при котором уравнение представляет косвенную форму задания некоторого неизвестного числа, имеющего в соответствии с сюжетом конкретную математическую интерпретацию (модельный подход). Указанный способ введения понятия уравнения соответствует прикладному аспекту понятия уравнения, отраженному в следующем определении: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство». Существует другой вариант определения уравнения: «Равенство с переменной называется уравнением. Значение переменной, при котором равенство переменной обращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения». Это определение характеризует уравнение как предикат особого вида, а корень уравнения — число из множества истинности этого рассматриваемый тип преобразований всегда приводит к уравнениям, равносильным данным. Преобразования второго типа состоят в согласованном изменении обеих частей уравнения в результате применения к ним арифметических действий или элементарных функций. Преобразования второго типа сравнительно многочисленны. Они составляют ядро материала, изучаемого в линии уравнений. Приведем примеры преобразований этого типа. 1) Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения. 2) Умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и того же выражения. 3) Переход от уравнения а = b к уравнению f (a) =f (b), где f — некоторая функция, или обратный переход. К третьему типу преобразований относятся: • преобразования, осуществляемые на основе свойств арифметических операций. К ним можно отнести переход от уравнения к совокупности уравнений после предварительного разложения на множители; переход от уравнения к системе после приравнивания суммы квадратов выражений к нулю; почленное сложение, умножение, деление уравнений, неравенств и т.д. • преобразования, осуществляемые при помощи логических операций. Примерами их являются выделение из системы одного из компонентов, замена переменных. Таким образом, владение содержанием линии уравнений позволяет расширить список выполнимых преобразований. В итоге изучения материала линий уравнений учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо. С началом систематического курса алгебры основное внимание уделяется внимание способам решения линейных и квадратных уравнений, которые становятся специальным объектом изучения. Далее рассмотрим различные виды квадратных уравнений и методику их изучения. 1.2 Методика изучения квадратных уравнений С началом изучения систематического курса алгебры основное внимание уделяется способам решения квадратных уравнений, которые становятся специальным объектом изучения. Для изучения данной темы по программе для общеобразовательных учреждений отводится 26 часов [8, 151]. Основная цель — выработать умения решать квадратные уравнения и решать задачи, сводящиеся к ним. Квадратным уравнением называется уравнение вида bx + c = 0, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а . Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения [1, 98]. Умение решать квадратные уравнения служит базой для решения других типов уравнений и их систем (дробных рациональных, иррациональных, высших степеней). Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать: • формулу нахождения дискриминанта; • формулу нахождения корней квадратного уравнения; • алгоритмы решения уравнений данного вида. В результате изучения данной темы учащиеся должны уметь: • решать неполные квадратные уравнения; • решать полные квадратные уравнения; • решать приведенные квадратные уравнения; • находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их; • делать проверку. Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей: • преобразования данного уравнения к простейшим; • решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам. При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются неполные, полные и приведенные квадратные уравнения. Для изучения данной темы были проанализированы современные школьные учебники разных авторов, таких как А.Г. Мордкович, С.М. Никольский, Ю.Н. Макарычев, М.И. Башмаков (Приложение 6) Можно сделать следующие выводы: 1) во всех современных школьных учебниках алгебры методическая линия изучения квадратных уравнений одинакова. 2) в учебнике под ред.М.И. Башмакова дается историческая справка, а в других учебниках этого нет. 3) в учебниках алгебры С.М. Никольского и Ю.Н. Макарычева при изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются прямая и обратная теорема Виета. Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа [5,131] обусловливает постепенное накопление как их видов, так и «фонда» тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе алгебры. В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, систем или с углубленным изучением уже известных классов. Однако это мало влияет на уже сформированную систему знаний, умений и навыков; они дополняют ее новым фактическим содержанием. Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратных уравнений происходит постепенно. Можно выделить следующие этапы при изучении темы «Квадратные уравнения»: 2. Если D = 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0, где а ≠ 0, имеет два равных корня, которые находятся по формуле . Например, 4х — 20х + 25 = 0. Решение: а = 4, b = — 20, с = 25. D = b2 — 4ас = (-20) 2 — = 400 — 400 = 0. Так как D = 0, то данное уравнение имеет два равных корня, которые находятся по формуле . Значит, 3. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0, где а ≠ 0 имеет два корня, которые находятся по формулам: ; (1) Например, 3х2 + 8х — 11 = 0. Решение: а = 3, b = 8, с = — 11. D = b2 — 4ас = 82 — (-11) = 64 + 132 = 196. Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам: . Составляется алгоритм решения уравнения вида ах2 + bx + c = 0. 1. Вычислить дискриминант D по формуле D = b2 — 4ас. 2. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней. 3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет два равных корня, который находятся по формуле 4. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня: ; . Это алгоритм универсален, он применим как к неполным, так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому алгоритму не решают. Математики — люди практичные, экономные, поэтому пользуются формулой: . (2) Итак, можно сделать вывод, что квадратные уравнения можно решать подробно, используя сформулированное выше правило; можно — записать сразу формулу (2) и с ее помощью делать необходимые выводы [1,98]. На третьем этапе рассматриваются приведенные квадратные уравнения, которые имеют вид х2 +px + q = 0 (3), где p и q — данные числа. Число p — коэффициент при х, а q — свободный член. Дискриминант уравнения равен: D = p2 — 4q. Приведенные квадратные уравнения получаются из полного квадратного уравнения следующим образом: Где и . Рассматривают 3 случая: 1. D > 0, тогда уравнение (3) имеет два корня, вычисляемые по формуле . (Приложение 1) (4) 2. D = 0, тогда уравнение (3) имеет единственный корень, или, как говорят, два совпадающих корня: 3. D < 0, то уравнение не имеет корней. Обычно в случае приведенного квадратного уравнения (3) вместо D рассматривается выражение , имеющее тот же знак, что и D. При этом формулу корней приведенного квадратного уравнения (4) записывают так: Отсюда следует, что: 1) если то уравнение (3) имеет два корня; 2) если то уравнение имеет два совпадающих корня; 3) если то уравнение не имеет корней. Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения [23,17]. Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. (Приложение 2) Иначе говоря, если x1 и x2 — корни уравнения х2 +px + q = 0, то x1 + x2 = — p, x1 x2 = q. (5) Данные формулы называют формулами Виета в честь французского математика Ф. Виета (1540-1603), (Приложение 3) который ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Например, приведенное уравнение х2 — 7х +10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Справедлива также теорема, обратная теореме Виета. Теорема, обратная теореме Виета. Если для чисел x1, x2, p, q справедливы формулы (5), то x1 и x2 — корни уравнения х2 + px + q = 0 [2,49]. Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении различных задач. Например. Напишем приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и — 3. 2) Проверка знаний и умений учащихся. 3) Изучение нового материала. 4) Закрепление изученного материала. Выделяют четыре основных типа уроков: • урок по ознакомлению с новым материалом; • урок по закреплению изученного материала; • урок проверки знаний, умений и навыков; • урок по систематизации и обобщению изученного материала. Кроме рассмотренной классификации получила распространение классификация по способам проведения уроков (урок-лекция, урок- практикум, урок-презентация, урок — контрольная работа, комбинированный урок, урок — игра и т.д.) [22,64]. Урок — лекция. Материал лекции должен быть интересным, сопровождаться показом наглядных пособий, содержать много примеров из опыта учителя и школьников. Лекция проводится в течение 20 минут, в остальное время урока можно провести самостоятельную работу по проверке усвоения материала или провести этап закрепления и систематизации знаний. Как правило, это уроки, на которых излагается значительная часть теоретического материала изучаемой темы. По характеру изложения и деятельности учащихся лекция может быть информационной, объяснительной, лекцией-беседой и т.д. Лекционная форма проведения уроков целесообразна при: изучении нового материала, мало связанного ранее изученным; рассмотрении сложного для самостоятельного изучения материала; подаче информации крупными блоками; применении изученного материала при решении практических задач. Структура лекции определяется выбором темы и цели урока. Другими словами, лекция строится на сочетании этапов урока: организации; постановки цели и актуализации знаний, сообщение знаний учителем и усвоения их учащимися; определении домашнего задания. Структура данного типа урока может быть такова: 1) повторение материала, необходимого для сознательного усвоения новых математических знаний; 2) изучение нового материала; 3) первичное закрепление изучаемого материала; 4) задание на дом. Последовательность структурных элементов урока может быть и другой, но в любом случае основная часть урока данного типа посвящается работе над новым материалом [21,95]. Урок — практикум. Основное место на уроках данного типа занимает выполнение учащимися различных тренировочных упражнений и творческих работ. Предлагаются упражнения в определенной системе. Большое место на этих уроках отводится самостоятельной работе учащихся. Структура этих уроков, как правило, следующая: 1) воспроизведение учащимися знаний, умений и навыков, которые потребуются для выполнения заданий; 2) самостоятельное выполнение учащимися различных упражнений; 3) проверка выполнения работы и подведение итогов; 4) задание на дом. С целью развития знаний, умений и навыков на таких уроках иногда включаются элементы нового. Кроме этого, с помощью специальных упражнений проводится подготовительная работа к изучению к следующих тем. Но эти дидактические цели подчиняются основной цели урока — закреплению изученного материла [8,25]. Контрольные уроки. Основное место на таких уроках отводится устной и письменной проверке усвоения изученного материла. Проверка, как правило, сочетается с закреплением знаний, умений и навыков. Самостоятельные письменные работы занимают от 15 до 30 минут, остальное время отводится на закрепление ранее изученного. В конце урока, если проверка проводилась в устной форме, учитель, как правило, дает краткую характеристику знаниям, умениям и навыкам учащихся, указывает на достижения, недостатки и пути их преодоления. Если проверка проводилась в письменной форме, то последующий урок посвящается анализу результатов контрольной работы, исправлению типичных ошибок, повторению и закреплению тех разделов, которые оказались хуже усвоенными [22,35]. Урок — путешествие. Урок проводится в форме воображаемого путешествия. Этапами урока являются остановки по пути следования. Экскурсоводом (инструктором) может быть учитель или заранее подготовленный ученик. Урок построен в виде практических исследований, работы с изображениями, наглядными пособиями, бесед и докладов о событиях математики. По окончанию путешествия составляют отчет об «увиденных» событиях. Урок — презентация. Преимущество компьютерной презентации состоит в облегчении труда преподавателя, упорядочивании и сохранности наглядного материала, необходимого для конкретного занятия. Презентации дают возможность подать в привлекательном виде тщательно подготовленную информацию. Главная дидактическая функция презентации обусловлена тем, что реализуемая в ней последовательность представления визуальных компонентов определяет порядок восприятия учебного материала. Презентация обеспечивает методически выверенное распределение внимания. Компьютерная презентация помогает упорядочить весь материал, выстроить его, следуя логике изложения и хранить его в одном файле. Сохранение наглядных материалов и возможность их корректирования тоже является важным моментом для преподавателя. Возможны различные виды уроков с применением информационных технологий: уроки-беседы с использованием компьютера как наглядного средства; уроки постановки и проведения исследований; уроки практической работы; 4,8: 2 2,4 3 — 0,4 2,6 1,4 + 4,9 6, 3 + 0,8 3,2 : 0,13 20 : 3 2, 1 : 0,4 8 : 0,1 200 + 5,9 8 0,2 1,8 : 0,2 1000 : 20 0, 4 3.2 Повторение вопросов теории Что такое уравнение? Что значит решить уравнение? Что такое корень уравнения? 3.3 Итог Итак, мы вспомнили, что такое уравнение, корень, немного посчитали устно. А сейчас открываем тетради, записываем сегодняшнее число и тему урока «Неполные квадратные уравнения». 4. Работа по теме урока 4.1 Историческая справка Квадратные уравнения умели решать еще вавилоняне. Это было связано с решением задач о нахождении площадей земельных участков, а также с развитием астрономии. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения. 4.2 Объяснение нового материала (Учитель, объясняя тему урока, делает на доске короткие записи в виде схем, которые остаются на доске во время всего этого урока. Эти записи нужны, чтобы дети хорошо усвоили тему). Квадратным уравнением называется уравнение вида bx + c = 0, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а . Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число D = называют дискриминантом квадратного уравнения. Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Неполные квадратные уравнения бывают трех видов: Рассмотрим решение каждого из этих видов (составляется таблица по решению неполных квадратных уравнений). единственный корень уравнения равный нулю один из корней уравнения всегда равен нулю корни противоположны по знаку и равные по модулю 5. Закрепление. 5.1 Выполнение заданий № 504, 505, 508 — устно по цепочке (при выполнении заданий учитель обращает внимание школьников на вид уравнений и способам их решения, используя таблицу). 5.2 Выполнение задания №509 — у доски. 5.3 Выполнение задания №510 — с комментированием. 5.4 Выполнение задания №511 (а, б) — самостоятельно (взаимопроверка) 6. Подведение итогов. Какие уравнения называются квадратными? Какие квадратные уравнения называются неполными? Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение вида: 1) 2) 3) 7. Домашнее задание: №511 (в, г), теория. Урок — игра по теме «Решение неполных квадратных уравнений» Тип урока: закрепление. Цели урока: повторить и закрепить умение решать неполные квадратные уравнения, развивать математическую речь, логическое мышление, сообразительность, внимание, воспитывать интерес к предмету, самостоятельность. Оборудование: жетоны, карточки с заданиями. Ход урока: 1. Организационный момент (класс делится на две команды, выбирают капитана, название команды, в конце урока капитаны оценивают своих игроков). 2. Сообщение темы и цели урока. Сегодня на уроке мы с вами повторим решение неполных квадратных уравнений, задач. Урок мы проведем в виде игры. Я вас разделю на две команды, причем у каждой команды должен быть капитан и название команды. Даю три минуты, для того чтобы выбрать капитана и придумать название своей команды. 3. Работа по теме урока (открывается доска, на которой написаны названия игр). 3.1 Представление команд.3.2 «Заполни квадрат» (упражнение на развитие памяти и внимания). Итак, первый этап игры называется «Заполни квадрат». Обеим командам дам таблицу (на обратной стороне доски висит таблица с буквами). Вам нужно за 10 секунд запомнить, что записано в клетке и записать в свой квадрат, угадать слово. За правильно выполненное задание команда получает 1 жетон. Н Е Н Л У А Н О Ы П Е П Н В Р Е Я 5) Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение ? 6) Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение ? 3.2 Проверка математического диктанта (меняются листочками). 4. Работа по теме урока. 4.1 Решение неполных квадратных уравнений. 4.1.1 Решение у доски: а) б) 4.1.2 Самостоятельная работа (по вариантам). На работу 4 минуты. Кто решит первым запишет свой ответ на доске. 1 вариант: 2 вариант: . 4.1.3 Проверка самостоятельной работы: сверка с доской. 4.2 Докажите, что: а) числа 5 и — 5 являются корнями квадратного уравнения ; б) числа о и — 7 являются корнями квадратного уравнения Под буквой а решает 1 ученик с обратной стороны доски, под б — 2 ученик, остальные решают самостоятельно в тетрадях. 4.2.1 Проверка: самопроверка. 5. Самостоятельная работа на 1 вариант. Решаем до конца урока и сдаем тетрадь на проверку. 1. Найти корни уравнения: а) ; б) . 2. Решите уравнение: а) ; б) . 3. Какие из следующих уравнений являются неполными? В Случае неполного уравнения найдите его корни. а) ; б) ; в) ; г) . 4. Найдите сумму корней неполного уравнения . 6. Итог урока. Баллы по заданиям: за каждое правильно решенное задание 1 балл. Итоговая шкала оценок: 9б. — «5» 7-8 б. — «4» 5-6 б. — «3» Менее 5 б. — «2» Анализ уроков по теме «Неполные квадратные уравнения» В связи с тем, что по тематическому планированию изучение темы «Квадратные уравнения», начинается с рассмотрения вопроса о неполных квадратных уравнениях, были разработаны и апробированы уроки именно по этой теме: урок — лекция, урок — игра и урок — практикум. Цели и задачи уроков выполнены. Все учащиеся были хорошо подготовлены к урокам. Они с интересом работали на уроках, этому служит эмоциональная речь учителя, приветливое отношение, поддержка отстающих. Ученики внимательны, сосредоточены. Изучение всех тем начинается с организационного момента. Все этапы урока взаимосвязаны, каждый этап заканчивался микрообобщением. Время было распределено рационально. В этапе объяснения нового материала используется историческая справка, что способствует развитию познавательного интереса, при закреплении темы используется игра, которая состоит из нескольких этапов. В процессе игры у детей формируются общеучебные умения и навыки, в частности умения контроля и самоконтроля, формируется такие черты характера, как взаимопонимание, ответственность, честность. Также был разработан и проведен урок — практикум. Урок начался с повторения ранее изученного материала, необходимый для выполнения самостоятельной работы. Дети были активны, практически все знали ответы на задаваемые вопросы, отвечали правильно без затруднений и подсказок. Умеют привести примеры неполных квадратных уравнений каждого вида. Выполняя задания по ранее изученному материалу, было видно, что ученики поняли тему. Задания выполняли быстро без ошибок, объясняя каждый момент решения. Самостоятельная работа была напечатана на листочках. Данная работа не вызвала трудностей. Самостоятельную работу писали 12 человек. После проверки самостоятельной работы, получились следующие результаты: Оценка Количество человек % «5» 10 83 «4» 2 17 «3» — — Таким образом, с заданием справились все, отрицательных оценок нет. Были допущены ошибки при вычислениях. 4.2 Проверка и составление алгоритма решения полного квадратного уравнения. Составляется алгоритм решения уравнения вида ах2 + bx + c = 0. 1. Вычислить дискриминант D по формуле D = b2 — 4ас. 2. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней. 3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формуле 4. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня: ; . 5. Закрепление. 5.1 Выполнение задания № 533 (устно) 5.2 Выполнение задания №534 (самостоятельно по вариантам) — ответы на обратной стороне доски. 1 вариант — а, г, е. 2 вариант — б, з, е. 6. Итог урока. Какие уравнения называются полными? И как они решаются? 7. Домашнее задание: учить теорию, № 535, 536 (а-в). Урок — «Математическая эстафета» по теме » Решение полных квадратных уравнений» Цели урока: закрепить умение решать полные квадратные уравнения; рассмотреть различные задания, решающиеся с помощью квадратного уравнения; проверить умение учащихся решать полные и неполные квадратные уравнения. Тип урока: закрепление. Оборудование: 3 таблицы с заданиями. 1. Организационный момент (выбирают жюри, учащиеся объединяются в две команды) 2. Сообщение темы и цели урока. Сегодня у нас необычный урок, мы с вами проведем математическую эстафету. 3. Работа по теме урока. Наша эстафета состоит из 3-х этапов. На каждом этапе вы получаете одинаковое количество заданий. Задания будут усложняться. Решив уравнения одной сложности, получаете задания другой сложности, т.е. переходите на 2 этап. Победит та команда, которая первой пройдет все этапы. Итак, начнем. 3.1 I этап. Задания 1-ой сложности. Решаете вместе, чтобы было быстрее. Ответы записать в таблицу и сдать на проверку жюри. За каждое правильное решение команда получает по 1 балл. Уровень 1 Примеры Ответы 3.2.2 этап — задания 2-ой сложности с ответами. За каждое правильное решение команда получает — 2 балла (жюри проверяет решение). На этом этапе ответы даны, нужно решить данные уравнения и получить правильный ответ. 2 уровень Ответы (х+8) (х-9) =-52 (-4; 5) (х+1) (х+2) = (2х-1) (2х-10) ( ; 8) (1; — 2) () Нет корней 3 этап — на 3 этапе учащиеся решают не командой, а работают индивидуально (в тетрадях). Кто первым справится с заданием, тот ученик выносит ответы на доску. Класс оценивает этого ученика, после того, как большинство учащихся справится с заданием. В. Г. 10. Если в полном квадратном уравнении D<0, то уравнение имеет: А) один корень Б) два корня В) не имеет корней Г) четыре корня Вариант 2. 1. Полное квадратное уравнение — это уравнение вида: А) , где а , b; Б) ах +bx+0=0; В) , где а; Г) , где а. 2. Если в квадратном уравнении D > 0, то уравнение имеет: А) 1 корень Б) 3 корня В) не имеет корней Г) 2 корня 3. Какой из предложенных многочленов является квадратным трехчленом? А. Б. В. Г. 4. Какое из чисел — 2, — 1, 3, 5 являются корнем уравнения ? А. — 2 Б. — 1 В.3 Г.5 5. Чему равна сумма корней уравнения ? А. Б. — В. Г. 6. Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней? А. Б. В. Г. 7. Чему равна сумма квадратов корней уравнения ? А.4 Б.18 В.9 Г.1 8. Какое из чисел 9, — 1, 6, является корнем уравнения . А) 9 Б) В) — 1 Г) 6 9. При каких значениях параметра квадратное уравнение имеет только один корень? А. Нет таких значений Б. В. Г. 10. Если в полном квадратном уравнении D<0, то уравнение имеет: А) один корень Б) два корня В) не имеет корней Г) четыре корня Критерии оценок: «5» — 9-10 б. «4»-7-8 б. «3» — 5-6 б. 4. Подведение итогов. 5. Домашнее задание: решить тест противоположного варианта. Анализ уроков по теме «Полные квадратные уравнения» Так как на втором этапе внимание уделяется на решение полных квадратных уравнений, автором были разработаны и апробированы различные по форме уроки по данной теме. При изучении нового материала был использован урок — программирование. Урок изучения нового материала начинается с организационного момента. Все учащиеся были хорошо подготовлены к уроку. При изучении темы была связь предыдущего материала с новым. На данном уроке каждый ученик получил карточку с текстом, где учащиеся сами должны были заполнить текст, найти пути решения полных квадратных уравнений. Данный урок был полезным для учащихся, каждый из них старался находить различные пути решения, все учащиеся были вовлечены в работу. Данный урок смог заинтересовать учащихся, что способствовало лучшему усвоению темы. Для закрепления темы по решению полных квадратных уравнений была проведена «Математическая эстафета», с целью: закрепить умение решать полные квадратные уравнения, также решать различные задания, решающиеся с помощью квадратного уравнения. Урок начался с организационного момента. Класс делился на две команды, выбрали капитанов. Учащиеся двух команд на каждом этапе получали одинаковое количество заданий. Решив уравнения одной сложности, команда получала задание другой сложности. В игру включались все учащиеся. Всем данный урок очень понравился, так как такой урок проводился впервые. Они были заинтересованы и задания выполняли без затруднений и подсказок учителя. Победила та команда, которая первой прошла все этапы. В конце урока жюри подводила итоги. Ученики той команды, которая набрала большее количество баллов, получили отметку «5». Команда, которая набрала меньшее количество — отметка «4». Также по теме «Полные квадратные уравнения» автором был разработан тест, который состоял из 10 вопросов. Тест решали 12 человек. И получились следующие результаты: Отметка Количество человек % «5» 9 75 «4» 3 25 «3» — — Обычно в случае приведенного уравнения вместо дискриминанта D рассматривается выражение . При этом формулу корней приведенного уравнения записывают так: . 5. Закрепление. 5.1 Решите уравнение: 1) (учитель решает у доски, учащиеся в тетрадях). 2) (1 ученик у доски, остальные в тетрадях). 3) ; (самостоятельно). 6. Итог урока. Какие уравнения называются неполными, полными, приведенными? Приведите примеры неполных, полных, приведенных квадратных уравнений. Чем они отличаются? 7. Домашнее задание: теория, решить уравнения: Урок — практикум по теме «Решение квадратных и приведенных квадратных уравнений» Цели урока: отработка общих умений и навыков при решении квадратных уравнений; развитие внимания, навыков самоконтроля и самооценки. Оборудование: карточки для самостоятельной работы, портрет ученого. Ход урока: 1. Организационный момент (1 мин) 2. Сообщение темы и цели — повторим, то, что необходимо знать при решении квадратных уравнений; проверим свои умения решать квадратные уравнения в самостоятельной работе. 3. Разминка (6 мин) 3.1 Игра «Заполни квадрат». (Упражнение на развитие памяти и внимания). За 10 секунд запомнить, что записано в клетках квадрата, и записать в свой квадрат. А Р У Е Н В Е И Н Расшифруйте слово. Зашифровано слово «УРАВНЕНИЕ» 3.2 Историческая справка. Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 4000 лет назад научились решать квадратные уравнения. Одним из тех, кто внес большой вклад в развитие математики, был французский математик Виет. Имя этого математика нам скоро встретится. 4. Повторение (фронтальный опрос 6 мин) 4.1 Вычислите: а) — 4*1* (-4), — 4*2*5, — 5*6*4; б) (-10) 2, 3 2, (-7) 2 Это нужно уметь при нахождении дискриминанта D. 4.2 Игра «Срочная радиограмма». Класс делится на две команды: девочки — мальчики. В двух конвертах — отдельные слова. Задача: составить одно математическое предложение из имеющихся слов. Трудность состоит в том, что одного слова не хватает. «Если ДИСКРИМИНАНТ больше нуля, то уравнение имеет два различных корня»; «Если квадратное уравнение записано в СТАНДАРТНОМ виде, то можно находить дискриминант». 5. Тестовые вопросы (5 мин) На доске 8 квадратных уравнений. Эти задания на слух, повторяются только два раза. Залог успеха — огромное внимание. 2х2 — 8х +4 = 0; 5.5х2+ 6х = 0; 3х2 + 4х — 1 = 0; 6. х2 — 8х + 12 = 0; 4х2 — 8 = 0; 7.3х2 = 0; х2 — 10х + 100 = 0; 8.14 — 2х2 + х = 0 а) Выпишите номера полных квадратов уравнений. б) Выпишите коэффициенты а, b, c в уравнении 8. в) Выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего один корень. г) Выпишите коэффициенты a, b, c в уравнении 5. д) Найдите дискриминант в уравнении 6. е) Найдите дискриминант в уравнении 4 и сделайте вывод о количестве корней. Проверяем, оцениваем себя сами: нет ошибок — «5» 1 — 2 ошибки — «4» 3 — 4 ошибки — «3» 6. Игра » Следствие ведут знатоки » (10 мин) Прежде чем доверить расследование серьезного дела, необходимо пройти проверку. а) Сможете ли вы отыскать ошибку в решении уравнения? — х2 + 6х + 16 = 0,х2 — 6х + 16 = 0,a = 1, b = — 6, c = — 16. D = b2 — 4ac = ( — 6) 2 — 4 * 1 * ( — 16) = 36 +64 = 100 Ошибку ищем по этапам, с самого начала. Ошибка: — 16, отсюда дискриминант равен 38. 7. Самостоятельная работа (12 мин) Выполнив самостоятельную работу, узнаете, можете ли вы решать квадратные уравнения без ошибок. Первые два уравнения можно проверить (решения на оборотной стороне доски). 1. х2 + 2х — 25 = 0. 2. 9х2 — 6х + 1 = 0. 3. 3х2 + 8х — 3 = 0. 8. Подведение итогов урока. Обобщающий урок по теме «Квадратные уравнения» в форме игры «Звездный час» Цели урока: 3) Уравнение вида , где х переменная, а, в, с — некоторые числа, причем, а F 0B 9 0 называется…. Верно, приведите пример квадратного уравнения 4) Если для чисел x1, x2, p, q справедливы формулы x1 + x2 = — p, x1 x2 = q, то x1 и x2 — корни уравнения х2 + px + q = 0. Верно, скажите, сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида. Молодцы. 5) Как называются полные квадратные уравнения, у которых все три коэффициента отличны от нуля и в которых первый коэффициент равен 1. Хорошо и с этим заданием вы справились. 4. III тур. Самостоятельная работа. Вам в этом туре необходимо решить квадратные уравнения, которые написаны на доске. (7 мин) 1. х2 — 2х — 10 = 0. 4. 9х2 + 12х + 4 = 0. 5. 3х2 — х +10 = 0. 6. х2 — 3х — 4 = 0. Вы самостоятельно решаете эти уравнения в тетради, а потом мы проверим (диктую ответы, дети сами проверяют). Хорошо давайте проверим. Итак, ребята, если вы правильно решили все 4 уравнения, то получите 4 звездочки; если 3, то 3 звездочки; если 2, то 2 звездочки; если 1, то 1 звездочку. 5. Подведение итогов Итак, вот и подходит к концу наша игра. В ходе игры мы повторили теоретический и практический материал, и теперь мы можем подвести итог игры. Подсчитайте свои звездочки. Кто набрал от 20 до 25 звезд, получают «5» Кто набрал от 20 до 15 звезд, получают «4» Кто набрал 15 звезд и меньше, получают «3» Контрольная работа по теме «Квадратные уравнения» Цели урока: проверить знания и умения решения учеников по теме «Квадратные уравнения». Оборудование: карточки с заданиями. Ход урока: 1. Организационный момент 2. Сообщение темы и цели урока. 3. Работа по теме урока. Вариант I 1. Имеет ли корни уравнение: а) ; б) ? 2. Решите уравнение: а) ; б) ; в) ; г) ; 3. Сократите дробь . 4. Один из корней уравнения равен 5. Найдите другой корень и коэффициент . 5. Площадь квадрата на 8см2 меньше площади прямоугольника. Сторона квадрата в три раза меньше одной стороны прямоугольника и на 2 см больше второй его стороны. Найдите длину стороны квадрата. 6. Поезд должен был пройти 840 км в определенное время. На половине пути он был задержан на 30 мин из-за технической неисправности. Чтобы прибыть во время, ему пришлось увеличить скорость на 2 км/ч. Сколько времени поезд находился в пути? Вариант II 1. Имеет ли корни уравнение: а) ; б) ? 2. Решите уравнение: а) ; б) ; в) ; г) ; 3. Сократите дробь . 4. Один из корней уравнения равен 12. Найдите другой корень и коэффициент . . развивать вычислительные навыки.
Таким образом, проведенный в 8 классе комплекс уроков показал, что
использование разных форм уроков способствует лучшему усвоению

решения квадратных уравнений разного вида.
Заключение Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. На изучение темы «Квадратные уравнения» по программе дается всего 16 ч. В процессе выполнения данной работы были созданы конспекты уроков с использованием разнообразных форм уроков именно по теме «Квадратные уравнения». При применении их в образовательный процесс были достигнуты достаточно высокие результаты обучения. Ученики 8 класса показали достаточно высокие результаты при выполнении самостоятельных и контрольных работ. На уроках учащиеся были заинтересованными и активными. Задачи, которые были поставлены в начале работы, решены: изучена методическая литература по данной теме; созданы и апробированы на практике конспекты уроков, проанализированы результаты применения его на практике, цель достигнута. Гипотеза, которая была поставлена в начале работы, нашла своё подтверждение, то есть автором в данной работе было доказано, что при использовании разнообразных форм уроков при изучении темы «Квадратные уравнения», повысится успеваемость учащихся и поэтому существует необходимость применения на уроках алгебры. При выполнении данной работы понадобились не только те знания, которые имеются у самого автора, но и необходимая работа с дополнительной литературой, составление конспектов уроков. Данную выпускную квалификационную работу можно использовать в педагогической деятельности, она может стать методическим пособием для студентов Кунгурского педагогического училища, как при подготовке докладов, сообщений на эту тему, так и при проведении пробных уроков или преддипломной практики. А также ею могут воспользоваться учителя математики, преподающие в средней школе, которые стремятся вызвать интерес к урокам математики.

Алгебра 7-9 классы. 19. Квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители

Алгебра 7-9 классы. 19. Квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители

Подробности
Категория: Алгебра 7-9 классы

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

 

Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида

где коэффициенты а, b, с — любые действительные числа, причем а ≠ 0.


Коэффициенты а, b, с различают по названиям: апервый, или старший, коэффициент; b второй коэффициент, или коэффициент при х; ссвободный член.

 

Определение 2. Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

Так, уравнение

— неприведенное квадратное уравнение (старший коэффициент равен 2), а уравнение

— приведенное квадратное уравнение.

Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

Определение 3. Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b, с равен нулю.

Обратите внимание: об ах2 речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

Опрелеление 4. Корнем квадратного уравнения

называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен

обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения

— это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство 0 = 0.

Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать. Рассмотрим несколько таких уравнений.

Пример 1. Решить неполные квадратные уравнения:

Решение.

а) Имеем

Поэтому либо х = 0, либо 2х — 7 = 0, откуда находим х = 3,5. Итак, уравнение имеет два корня: х1 = 0, х2 = 3,5.

б) Имеем


Уравнение имеет два корня: х1 = 0, х2 = 5.

в) Имеем

Ранее,  мы уже говорили о том, что уравнение вида х2 = а, где а > О, имеет два корня:  и . Значит, для уравнения х2 = 16 получаем х1 = 4, x2 = — 4 (мы учли, что ).

Допускается более экономная запись:

 

г) Имеем

Уравнение имеет два корня: И в этом случае можно записать короче

д) Имеем

Так как выражение Зx2неотрицательно при любых значениях х, то уравнение Зx2 = — 10 не имеет корней. Иными словами, нет ни одного числа, подстановка которого вместо переменной х обратила бы это уравнение в верное числовое равенство.

Иногда в таких случаях уточняют: нет действительных корней. Дело в том, что в математике, кроме действительных чисел, рассматриваются так называемые мнимые числа; мнимые корни у этого уравнения есть.

е) Если 5x2 = 0, то x2 = 0, откуда x = 0 единственный корень уравнения.
Этот пример показывает, как решаются неполные квадратные уравнения:

1. Если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один корень х = 0.

2. Если уравнение имеет вид , то используется метод разложения на множители: ; значит, либо x = 0, либо ах + b = 0. В итоге получаем два корня:

3. Если уравнение имеет вид , то его преобразуют к виду и далее . В случае, когда — отрицательное число, уравнение не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ). В случае, когда

— положительное число, т. е., где m > 0, уравнение х2 = m имеет два корня: (в этом случае, как мы условились выше, допускается более короткая запись:
).

Неполное квадратное уравнение, как мы только что видели, может иметь два корня, один корень, ни одного корня. То же можно сказать и о полном квадратном уравнении. Почему?

Мы с вами знаем, что графиком функции является парабола. Корнями квадратного уравнения служат абсциссы точек пересечения параболы с осью х. Парабола может пересекать ось х в двух точках, может касаться оси х, т. е. иметь с ней лишь одну общую точку, может вообще не пересекаться с осью х (рис. 92, а, б, в). Это значит, что квадратное уравнение может иметь либо два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней.

Конечно, неплохо знать, сколько корней имеет квадратное уравнение, но еще лучше уметь находить эти корни. Если уравнение неполное, то, как мы видели выше, особых проблем не возникает. А если мы имеем полное квадратное уравнение? Ниже на примере одного такого уравнения напомним, какими способами мы пользовались до сих пор, когда приходилось встречаться с квадратным уравнением.

Пример 2. Решить уравнение х2 — 4х + 3 = 0.

Решение.

I способ. Рассмотрим квадратный трехчлен х2 — 4х + 3 и разложим его на множители, используя способ группировки; предварительно представим слагаемое — 4х в виде — х — Зх. Имеем

Значит, заданное уравнение можно переписать в виде (х — 1) (х — 3) = 0, откуда ясно, что уравнение имеет два корня; х1 = 1, х2 = 3; при х = 1 обращается в нуль множитель х — 1, а при х = 3 обращается в нуль множитель х — 3.

II способ. Рассмотрим квадратный трехчлен х2 — 4х + 3 и разложим его на множители, используя метод выделения полного квадрата; предварительно представим слагаемое 3 в виде 4-1. Имеем

Воспользовавшись формулой разности квадратов, получим

Рассуждая, как и в I способе, находим, что .

III способ. Построим график функции :

1) Имеем   Значит, вершиной параболы является точка (2; -1), а осью параболы — прямая х = 2.

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = 1 и х = 3. Имеем ; построим на координатной плоскости точки (1; 0) и (3; 0).

3) Через точки (1; 0), (2; -1), (3;0) проводим параболу (рис. 93).

 

Корнями уравнения х2 — 4х +  3 = 0 служат абсциссы точек пересечения параболы с осью х. Таких точек две: (1; 0) и (3; 0). Итак, х1 = 1, х2 = 3.

IV способ. Преобразуем уравнение к виду х2 — 4х — 3. Построим в одной системе координат графики функций у = х2 и у = 4х — 3 (рис. 94). Они пересекаются в точках А( 1; 1) и B(3; 9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и B, поэтому х1 = 1, х2 = 3.

V  способ. Преобразуем уравнение к виду x2 + 3 = 4х. Построим в одной системе координат графики функций у = х2 + 3 и у = 4х (рис. 95). Они пересекаются в точках А (1; 4) и B (3; 12). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и B, таким образом,

VI    способ. Преобразуем уравнение к виду и далее , т. е. . Построим в одной системе координат параболу у = (х — 2)2 и прямую у = 1 (рис. 96). Они пересекаются в точках А (1; 1) и B(3; 1). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и B, следовательно, .

VII  способ. Разделив почленно обе части уравнения на х, получим

и далее

Построим в одной системе координат гиперболу прямую у = х — 4. Они пересекаются в точках А (1; -3) и (3; — 1) (рис. 97). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и B, значит,

Итак, мы решили уравнение х2 — 4х + 3 = 0 семью способами. Тем не менее знание этих способов не есть, как говорится, панацея от всех бед. Ведь наши успехи в решении квадратных уравнений зависели до сих пор от наличия одного из двух благоприятных обстоятельств:

1) квадратный трехчлен удавалось разложить на множители;

2) графики, которые мы использовали для графического решения уравнения, пересекались в «хороших» точках.

Надеяться на такие подарки судьбы математики, естественно, не могли. Они искали универсальный способ, пригодный для решения любых квадратных уравнений, и нашли его.




Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Purplemath

Квадратное уравнение в последнем примере на предыдущей странице было:

Выражение в левой части этого уравнения можно умножить и упростить до следующего вида:

Но мы все равно не смогли бы решить уравнение, даже с квадратичным форматом, отформатированным таким образом, потому что оно не факторно и не готово к извлечению квадратного корня.

MathHelp.com

Единственная причина, по которой мы могли решить это на предыдущей странице, заключалась в том, что они уже поместили все элементы x внутри квадрата, чтобы мы могли переместить строго числовую часть уравнения на другую сторону от «равных». знак, а затем извлеките квадратный корень с обеих сторон.Они не всегда будут форматировать вещи так хорошо, как это. Итак, как нам перейти от обычного квадратичного уравнения, подобного приведенному выше, к уравнению, которое готово для получения квадратного корня?

Придется «доделать квадрат».


Вот как бы мы решили последнее уравнение на предыдущей странице, если бы они не отформатировали его для нас хорошо.

  • Используйте завершение квадрата, чтобы решить

    x 2 — 4 x — 8 = 0.

Как отмечалось выше, эта квадратичная величина не учитывается, поэтому я не могу решить уравнение путем факторизации. И они не дали мне уравнение в форме, готовой к извлечению квадратного корня. Но у меня есть способ манипулировать квадратичным, чтобы преобразовать его в форму, готовую к извлечению квадратного корня, чтобы я мог решить.

Во-первых, я поставил число на другой стороне уравнения:

x 2 — 4 x — 8 = 0

x 2 — 4 x = 8

Затем я смотрю на коэффициент члена x , который в данном случае равен –4.Я беру половину этого числа (, включая знак ), что дает мне –2. (Мне нужно отслеживать это значение. Это упростит мне работу в дальнейшем.)

Затем я возведу это значение в квадрат, чтобы получить +4, и добавлю это значение в квадрат к обеим сторонам уравнения:

x 2 — 4 x + 4 = 8 + 4

x 2 — 4 x + 4 = 12

Этот процесс создает квадратное выражение, которое представляет собой полный квадрат в левой части уравнения.Я могу разложить на множители или просто заменить квадратичную форму квадратично-биномиальной, которая представляет собой переменную, x , вместе с половинным числом, которое я получил раньше (и отметил, что мне понадобится позже), что было –2. В любом случае я получаю уравнение с извлечением квадратного корня:

(Я знаю, что в скобках стоит «–2», потому что половина –4 была –2. Отмечая знак, когда я нахожу половину коэффициента, я помогаю себе не испортить знак позже, когда Я перехожу в квадратно-биномиальную форму.)

(Между прочим, этот процесс называется «завершением квадрата», потому что мы добавляем термин для преобразования квадратичного выражения во что-то, что множится как квадрат бинома; то есть мы «завершили» выражение, чтобы создать бином полного квадрата.)

Теперь я могу извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения, упростить и решить:

( x -2) 2 = 12

Используя этот метод, я получаю тот же ответ, что и раньше; а именно:


  • Решите 2

    x 2 — 5 x + 1 = 0, завершив квадрат.

Есть один дополнительный шаг для решения этого уравнения, потому что старший коэффициент не равен 1; Сначала мне нужно разделить, чтобы преобразовать старший коэффициент в 1. Вот мой процесс:

2 x 2 — 5 x + 1 = 0

x 2 — (5/2) x + 1/2 = 0

x 2 — (5/2) x = — (1/2)

Теперь, когда у меня есть все члены с переменными с одной стороны и строго числовой член с другой стороны, я готов заполнить квадрат с левой стороны.Сначала я беру коэффициент линейного члена (вместе со знаком) — (5/2), умножаю его на половину и возведу в квадрат:

(1/2) × [- (5/2)] = — (5/4)

(- (5/4)) 2 = 25/16

Затем я добавляю это новое значение к обеим сторонам, конвертирую в квадратно-биномиальную форму с левой стороны и решаю:

x 2 — (5/2) x + 25/16 = — (1/2) + 25/16

( x — 5/4) 2 = 17/16

sqrt [( x — 5/4) 2 ] = ± sqrt [17/16]

x — 5/4 = ± sqrt [17] / 4

x = 5/4 ± sqrt [17] / 4

Два члена в правой части последней строки выше можно объединить для получения общего знаменателя, и часто («обычно»?) Ответ будет записан именно так, особенно если инструкции к упражнению включают условие чтобы «упростить» окончательный ответ:


В другом месте у меня есть урок по решению квадратных уравнений путем завершения квадрата.Этот урок (повторно) объясняет шаги и дает (больше) примеров этого процесса. Он также показывает, как из этого процесса может быть получена квадратичная формула. Если вам нужны дополнительные инструкции или практика по этой теме, прочтите урок по указанной выше гиперссылке.

Кстати, если вам не сказали, что у вас есть для заполнения квадрата, вы, вероятно, никогда не будете использовать этот метод на практике при решении квадратных уравнений. Либо какой-либо другой метод (например, факторинг) будет очевиден и быстрее, либо будет проще использовать квадратичную формулу (рассмотренную ниже).Однако, если ваш класс занимался завершением квадрата, вы должны ожидать, что от вас потребуют показать, что вы можете заполнить квадрат, чтобы решить квадратичное значение в следующем тесте.


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении квадратных уравнений, заполнив квадрат. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Решить, заполнив квадрат», чтобы сравнить свой ответ с ответом Матвея. (Или пропустите виджет и перейдите на следующую страницу.)

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)



URL: https://www.purplemath.com/modules/solvquad3.htm

Алгебра — квадратные уравнения — часть II

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-6: Квадратные уравнения — Часть II

Тема решения квадратных уравнений разбита на два раздела для тех, кто просматривает это в сети.Как единичный раздел, время загрузки страницы было бы довольно большим. Это второй раздел, посвященный решению квадратных уравнений.

В предыдущем разделе мы рассмотрели использование факторизации и свойства квадратного корня для решения квадратных уравнений. Проблема в том, что оба этих метода решения не всегда работают. 2} — 2x — 1 = 0 \)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

Первую задачу мы сделаем подробно, подробно указав каждый шаг.2} — 6x + 1 = 0 \) Показать решение

Итак, приступим.

Шаг 1 : Разделите уравнение на коэффициент при члене x 2 . Напомним, что для завершения квадрата требовался коэффициент, равный единице, и это гарантирует, что мы его получим. Однако для этого уравнения нам не нужно этого делать.

Шаг 2 : Установите уравнение так, чтобы \ (x \) были слева, а константа — справа.2} — 6x = — 1 \]

Шаг 3 : Завершите квадрат с левой стороны. Однако на этот раз нам нужно будет добавить число к обеим сторонам знака равенства, а не только к левой стороне. Это потому, что мы должны помнить правило: то, что мы делаем с одной стороной уравнения, мы должны делать с другой стороной уравнения. 2} + 6x + 7 = 0 \) Показать решение

На этот раз мы не будем подробно описывать шаги и подробно объяснять это уравнение.2} & = \ frac {4} {9} \\ x — \ frac {1} {3} & = \ pm \ sqrt {\ frac {4} {9}} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = \ frac {1} {3} \ pm \ frac {2} {3} \ end {align *} \]

В этом случае обратите внимание, что мы действительно можем выполнить арифметику здесь, чтобы получить два целочисленных и / или дробных решения. Мы всегда должны делать это, когда в нашем решении есть только целые числа и / или дроби. Вот два решения.

\ [x = \ frac {1} {3} + \ frac {2} {3} = \ frac {3} {3} = 1 \ hspace {0.25 дюймов} {\ mbox {и}} \ hspace {0,25 дюйма} x = \ frac {1} {3} — \ frac {2} {3} = — \ frac {1} {3} \]

Уместен быстрый комментарий к последнему уравнению, которое мы решили в предыдущем примере. Поскольку мы получили в качестве решений целые числа и дроби, мы могли бы просто разложить это уравнение с самого начала, а не использовать завершение квадрата. В таких случаях мы могли бы использовать любой метод и получить тот же результат.

Итак, реальность такова, что завершение квадрата — довольно долгий процесс, и в нем легко ошибиться.Поэтому мы редко используем его для решения уравнений. Однако это не значит, что не важно знать процесс. Мы будем использовать его в нескольких разделах последующих глав, и он часто используется в других классах.

Квадратичная формула

Это последний метод решения квадратных уравнений, который всегда будет работать. Более того, если вы помните формулу, это тоже довольно простой процесс.

Мы можем вывести квадратичную формулу, завершив квадрат общей квадратной формулы в стандартной форме.2} + 2x — 7 = 0 \]

На этом этапе мы можем определить значения для использования в формуле корней квадратного уравнения. Для этого уравнения имеем.

\ [a = 1 \ hspace {0,25 дюйма} b = 2 \ hspace {0,25 дюйма} c = — 7 \]

Обратите внимание на «-» с \ (c \). 2} — 4 \ left (1 \ right) \ left ({- 7 } \ right)}}} {{2 \ left (1 \ right)}} \\ & = \ frac {{- 2 \ pm \ sqrt {32}}} {2} \ end {align *} \]

У этого уравнения есть два решения.Есть также некоторые упрощения, которые мы можем сделать. Однако нам нужно быть осторожными. Одна из самых больших ошибок на этом этапе — «отменить» две двойки в числителе и знаменателе. Помните, что для того, чтобы что-либо исключить из числителя или знаменателя, его необходимо умножить на весь числитель или знаменатель. Поскольку 2 в числителе не умножается на весь знаменатель, его нельзя отменить.

Чтобы сделать здесь какое-либо упрощение, нам сначала нужно уменьшить квадратный корень.2} + 11 — 5q = 0 \]

Это не совсем обычная стандартная форма. Тем не менее, мы должны сделать здесь одно замечание, чтобы не допустить очень распространенной ошибки, которую допускают многие студенты, впервые изучая квадратную формулу.

Многие студенты просто получат все с одной стороны, как мы сделали здесь, а затем получат значения \ (a \), \ (b \) и \ (c \) в зависимости от положения. 2} — 4 \ left (3 \ right) \ left ({11} \ right)}}} {{2 \ left (3 \ right)}} \\ & = \ frac {{5 \ pm \ sqrt {25 — 132}}} {6} \\ & = \ frac {{5 \ pm \ sqrt {- 107}}} {6} \\ & = \ frac {{5 \ pm \ sqrt {107} \, \, i}} {6 } \ end {align *} \]

Как и во всех других рассмотренных нами методах решения квадратных уравнений, не забывайте преобразовывать квадратные корни из отрицательных чисел в комплексные числа.2} — 4 \ left (7 \ right) \ left ({- 6} \ right)}}} {{2 \ left (7 \ right)}} \\ & = \ frac {{- 19 \ pm \ sqrt {361 + 168}}} {{14}} \\ & = \ frac {{- 19 \ pm \ sqrt {529}}} {{14}} \\ & = \ frac {{- 19 \ pm 23} } {{14}} \ end {align *} \]

Теперь вспомним, что когда мы получаем такие решения, нам нужно пройти дополнительный шаг и фактически определить целочисленные и / или дробные решения. В данном случае это

\ [t = \ frac {{- 19 + 23}} {{14}} = \ frac {2} {7} \ hspace {0.25 дюймов} t = \ frac {{- 19 — 23}} {{14}} = — 3 \]

Теперь, как и с завершением квадрата, тот факт, что мы получили целочисленные и / или дробные решения, означает, что мы могли бы факторизовать и это квадратное уравнение.

d \ (\ frac {3} {{y — 2}} = \ frac {1} {y} + 1 \) Показать решение

Итак, уравнение с дробями в нем. Тогда первым шагом будет идентификация ЖК-дисплея.

\ [{\ mbox {LCD:}} y \ left ({y — 2} \ right) \]

Итак, похоже, нам нужно убедиться, что в наших ответах нет ни \ (y = 0 \), ни \ (y = 2 \), чтобы не получить деление на ноль.2} + 16x = 0 \]

Вот константы для использования в формуле корней квадратного уравнения.

\ [a = — 1 \ hspace {0,25 дюйма} b = 16 \ hspace {0,25 дюйма} c = 0 \]

Об этих значениях следует обратить внимание на два момента. Во-первых, мы впервые получили отрицательный знак \ (a \). Ничего страшного, но мы его впервые видим. Во-вторых, что более важно, одно из значений равно нулю. Это отлично. Это будет происходить время от времени, и на самом деле наличие одного из нулевых значений значительно упростит работу.2} — 4 \ left ({- 1} \ right) \ left (0 \ right)}}} {{2 \ left ({- 1} \ right)}} \\ & = \ frac {{- 16 \ pm \ sqrt {256}}} {{- 2}} \\ & = \ frac {{- 16 \ pm 16}} {{- 2}} \ end {align *} \]

Сокращение их до целых чисел / дробей дает

\ [x = \ frac {{- 16 + 16}} {{- 2}} = \ frac {0} {2} = 0 \ hspace {0,25 дюйма} x = \ frac {{- 16 — 16}} { {- 2}} = \ frac {{- 32}} {{- 2}} = 16 \]

Итак, мы получаем два решения: \ (x = 0 \) и \ (x = 16 \).Это именно те решения, которые мы получили бы, разложив уравнение на множители.

До сих пор как в этом, так и в предыдущем разделе мы рассматривали только уравнения с целочисленными коэффициентами. Однако это не обязательно. У нас могут быть коэффициенты в виде дробей или десятичных знаков. Итак, давайте поработаем пару примеров, чтобы мы могли сказать, что мы тоже видели нечто подобное.

Пример 4 Решите каждое из следующих уравнений.2} + x — \ frac {1} {{10}} = 0 \) Показать решение

Есть два способа работы с этим. Мы можем либо оставить дроби, либо умножить их на ЖК-дисплей (в данном случае 10) и решить это уравнение. В любом случае ответ будет одинаковым. Мы будем рассматривать здесь только дробный случай, так как это суть проблемы. Вы должны попробовать другой способ, чтобы убедиться, что вы получили то же самое решение.

В данном случае это значения квадратной формулы, а также квадратная формула, работающая для этого уравнения.2} — 4 \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) \ left ({- \ frac {1} {{10}}} \ right)}}} {{2 \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)}} = \ frac {{- 1 \ pm \ sqrt {1 + \ frac {1} {5}}}} {1} = — 1 \ pm \ sqrt {\ гидроразрыв {6} {5}} \]

В этих случаях мы обычно делаем дополнительный шаг, удаляя квадратный корень из знаменателя, так что давайте сделаем и это,

\ [x = — 1 \ pm \ frac {{\ sqrt 6}} {{\ sqrt 5}} \, \ frac {{\ sqrt 5}} {{\ sqrt 5}} = — 1 \ pm \ frac { {\ sqrt {\ left (6 \ right) \ left (5 \ right)}}} {5} = — 1 \ pm \ frac {{\ sqrt {30}}} {5} \]

Если вы удалите дроби и выполните формулу корней квадратного уравнения, то вы должны получить точно такой же результат. 2} — 4 \ слева ({0.04} \ right) \ left ({0,09} \ right)}}} {{2 \ left ({0,04} \ right)}} \\ & = \ frac {{0,23 \ pm \ sqrt {0,0529 — 0,0144}} } {{0,08}} \\ & = \ frac {{0,23 \ pm \ sqrt {0,0385}}} {{0,08}} \ end {align *} \]

Теперь, в этом будет единственное отличие этих задач от задач с целыми или дробными коэффициентами. Когда у нас есть десятичные коэффициенты, мы обычно идем дальше и вычисляем два отдельных числа. Итак, давайте,

\ [x = \ frac {{0.23 \ pm \ sqrt {0,0385}}} {{0,08}} = \ frac {{0,23 \ pm 0,19621}} {{0,08}} \]

\ [\ begin {align *} x = \ frac {{0,23 + 0,19621}} {{0,08}} \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {and}} \ hspace {0,25 дюйма} x = \ frac {{0,23 — 0,19621}} {{0,08}} \\ & \, \, \, \, = 5,327625 \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {and}} \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, = 0,422375 \ end {align *} \]

Обратите внимание, что мы использовали округление квадратного корня.

В течение последних двух разделов мы довольно много решили.Важно, чтобы вы понимали большую часть, если не все, из того, что мы делали в этих разделах, поскольку вам будет предложено проделать такую ​​работу в некоторых последующих разделах.

Завершение площади

« Завершение квадрата » — вот где мы …

… возьмем квадратное уравнение
вот так:
и превратите
в это:
топор 2 + bx + c = 0 a (x + d ) 2 + e = 0

Для тех, кто спешит, могу сказать, что: d = b 2a

и: e = c — b 2 4a

Но если у вас есть время, позвольте мне показать вам, как « Завершить квадрат » самостоятельно.

Завершение площади

Допустим, у нас есть простое выражение, например x 2 + bx. Дважды указание x в одном выражении может усложнить жизнь. Что мы можем сделать?

Ну, немного вдохновившись геометрией, мы можем преобразовать это, вот так:

Как видите x 2 + bx можно переставить почти в квадрат …

… и мы можем завершить квадрат с помощью (б / 2) 2

В алгебре это выглядит так:

x 2 + bx + (б / 2) 2 = (х + б / 2) 2
«Завершите квадрат»

Итак, добавив (b / 2) 2 , мы можем завершить квадрат.

And (x + b / 2) 2 имеет x только один раз , что проще в использовании.

Сохранение баланса

Теперь … мы не можем просто прибавить (b / 2) 2 , не вычитая и это тоже! В противном случае меняется вся стоимость.

Итак, давайте посмотрим, как это сделать правильно на примере:

Начать с:
(в данном случае b равно 6)
Завершите квадрат:

Также вычтите из нового члена

Упростите это, и готово.

Результат:

x 2 + 6x + 7 = (x + 3) 2 -2

И теперь x появляется только один раз, и наша работа сделана!

Быстрый подход

Вот быстрый способ получить ответ. Вам может понравиться этот метод.

Сначала подумайте о желаемом результате: (x + d) 2 + e

После разворачивания (x + d) 2 получаем: x 2 + 2dx + d 2 + e

Теперь посмотрим, сможем ли мы превратить наш пример в эту форму, чтобы обнаружить d и e

Пример: попробуйте уместить x

2 + 6x + 7 в x 2 + 2dx + d 2 + e

Теперь мы можем «форсировать» ответ:

  • Мы знаем, что 6x должно быть 2dx, поэтому d должно быть 3
  • Затем мы видим, что 7 должно стать d 2 + e = 9 + e, поэтому e должно быть −2

И получаем тот же результат (x + 3) 2 — 2, что и выше!

Теперь давайте посмотрим на полезное приложение: решение квадратных уравнений…

Решение общих квадратичных уравнений путем заполнения квадрата

Мы можем заполнить квадрат до , решив квадратного уравнения (найти, где оно равно нулю).

Но общее квадратное уравнение может иметь коэффициент перед x 2 :

топор 2 + bx + c = 0

Но с этим легко справиться … просто разделите все уравнение сначала на «а», а затем продолжайте:

х 2 + (б / а) х + в / а = 0

Ступени

Теперь мы можем решить квадратное уравнение за 5 шагов:

  • Шаг 1 Разделите все члены на a (коэффициент x 2 ).
  • Шаг 2 Переместите числовой член ( c / a ) в правую часть уравнения.
  • Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и сбалансируйте его, добавив такое же значение в правую часть уравнения.

Теперь у нас есть что-то похожее на (x + p) 2 = q, которое решается довольно легко:

  • Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.
  • Шаг 5 Вычтите число, которое остается в левой части уравнения, чтобы найти x .

Примеры

Хорошо, помогут несколько примеров!

Пример 1: Решить x

2 + 4x + 1 = 0

Шаг 1 в этом примере можно пропустить, так как коэффициент x 2 равен 1

Шаг 2 Переместите числовой член в правую часть уравнения:

x 2 + 4x = -1

Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и уравновесите его, добавив такое же число в правую часть уравнения.

(б / 2) 2 = (4/2) 2 = 2 2 = 4

х 2 + 4х + 4 = -1 + 4

(x + 2) 2 = 3

Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения:

x + 2 = ± √3 = ± 1,73 (до 2 знаков после запятой)

Шаг 5 Вычтем 2 с обеих сторон:

х = ± 1,73 — 2 = -3.73 или -0,27

А вот и интересная и полезная штука.

В конце шага 3 у нас было уравнение:

(x + 2) 2 = 3

Это дает нам вершину (точка поворота) x 2 + 4x + 1: (-2, -3)

Пример 2: Решить 5x

2 — 4x — 2 = 0

Шаг 1 Разделите все члены на 5

х 2 — 0.8x — 0,4 = 0

Шаг 2 Переместите числовой член в правую часть уравнения:

x 2 — 0,8x = 0,4

Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и уравновесите его, прибавив то же число к правой части уравнения:

(б / 2) 2 = (0,8 / 2) 2 = 0,4 2 = 0,16

х 2 — 0.8x + 0,16 = 0,4 + 0,16

(х — 0,4) 2 = 0,56

Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения:

x — 0,4 = ± √0,56 = ± 0,748 (до 3 знаков после запятой)

Шаг 5 Вычтем (-0,4) с обеих сторон (другими словами, прибавим 0,4):

x = ± 0,748 + 0,4 = -0,348 или 1,148

Почему «Завершить квадрат»?

Зачем заполнять квадрат, если мы можем просто использовать квадратичную формулу для решения квадратного уравнения?

Что ж, одна причина приведена выше, где новая форма не только показывает нам вершину, но и упрощает ее решение.

Также бывают случаи, когда форма ax 2 + bx + c может быть частью большего вопроса и переставить его как a (x + d ) 2 + e дает решение проще, потому что x появляется только один раз.

Например, «x» может быть функцией (например, cos (z) ), и его перестановка может открыть путь к лучшему решению.

Также завершение квадрата — это первый шаг в выводе квадратной формулы

Считайте это еще одним инструментом в вашем наборе математических инструментов.

Сноска: значения «d» и «e»

Как я получил значения d и e из верхней части страницы?

И вы заметите, что у нас есть:

а (х + г) 2 + е = 0

Где: d =
б

и: e = c —
б 2
4a

Прямо как вверху страницы!

2.5 квадратных уравнений — College Algebra

Рисунок 1

Монитор компьютера слева на рис. 1 — это модель с диагональю 23,6 дюйма, а монитор справа — модель с диагональю 27 дюймов. Пропорционально мониторы выглядят очень похожими. Если пространство ограничено, и нам нужен максимально большой монитор, как нам решить, какой из них выбрать? В этом разделе мы узнаем, как решать такие проблемы, используя четыре разных метода.

Решение квадратных уравнений с помощью факторинга

Уравнение, содержащее многочлен второй степени, называется квадратным уравнением.Например, такие уравнения, как 2×2 + 3x − 1 = 02×2 + 3x − 1 = 0 и x2−4 = 0x2−4 = 0, являются квадратными уравнениями. Они используются бесчисленным количеством способов в области инженерии, архитектуры, финансов, биологии и, конечно же, математики.

Часто самым простым методом решения квадратного уравнения является факторинг. Факторинг означает поиск выражений, которые можно перемножить, чтобы получить выражение на одной стороне уравнения.

Если квадратное уравнение можно разложить на множители, оно записывается как произведение линейных членов.Решение путем факторизации зависит от свойства нулевого произведения, которое гласит, что если a⋅b = 0, a⋅b = 0, то a = 0a = 0 или b = 0, b = 0, где a и b являются действительными числами или алгебраическими выражениями. Другими словами, если произведение двух чисел или двух выражений равно нулю, то одно из чисел или одно из выражений должно равняться нулю, потому что ноль, умноженный на что-либо, равен нулю.

При умножении множителей уравнение превращается в строку терминов, разделенных знаками плюс или минус.Таким образом, в этом смысле операция умножения отменяет операцию факторинга. Например, разверните факторизованное выражение (x − 2) (x + 3) (x − 2) (x + 3), умножив два множителя вместе.

(x − 2) (x + 3) = x2 + 3x − 2x − 6 = x2 + x − 6 (x − 2) (x + 3) = x2 + 3x − 2x − 6 = x2 + x − 6

product — квадратное выражение. Установите равным нулю, x2 + x − 6 = 0x2 + x − 6 = 0 является квадратным уравнением. Если бы мы разложили уравнение на множители, мы бы вернули умноженные множители.

Процесс разложения квадратного уравнения на множители зависит от старшего коэффициента, будь то 1 или другое целое число.Мы рассмотрим обе ситуации; но сначала мы хотим подтвердить, что уравнение записано в стандартной форме: ax2 + bx + c = 0, ax2 + bx + c = 0, где a , b и c — действительные числа, и а ≠ 0. а ≠ 0. Уравнение x2 + x − 6 = 0x2 + x − 6 = 0 имеет стандартную форму.

Мы можем использовать свойство нулевого произведения для решения квадратных уравнений, в которых мы сначала должны вычесть наибольший общий множитель (GCF), а также для уравнений, которые также имеют специальные формулы факторизации, такие как разность квадратов, оба из который мы увидим позже в этом разделе.

Свойство нулевого произведения и квадратные уравнения

Свойство нулевого продукта заявляет

Если a⋅b = 0, то a = 0 или b = 0, Если a⋅b = 0, то a = 0 или b = 0,

, где a и b — действительные числа или алгебраические выражения.

Квадратное уравнение — это уравнение, содержащее многочлен второй степени; например

, где a , b и c — действительные числа, а если a ≠ 0, a ≠ 0, это стандартная форма.

Решение квадратичных уравнений с ведущим коэффициентом 1

В квадратном уравнении x2 + x − 6 = 0, x2 + x − 6 = 0 старший коэффициент или коэффициент перед x2, x2 равен 1.У нас есть один метод факторизации квадратных уравнений в этой форме.

Как сделать

Для квадратного уравнения со старшим коэффициентом 1 разложите его на множители.

  1. Найдите два числа, произведение которых равно c , а сумма равна b .
  2. Используйте эти числа, чтобы записать два множителя в форме (x + k) или (x − k), (x + k) или (x − k), где k — одно из чисел, найденных на шаге 1. Используйте числа точно такие, как они есть. Другими словами, если два числа равны 1 и −2, −2, множители равны (x + 1) (x − 2).(х + 1) (х — 2).
  3. Решите, используя свойство нулевого произведения, установив каждый коэффициент равным нулю и решив для переменной.

Пример 1

Факторинг и решение квадратичного уравнения с ведущим коэффициентом 1

Разложите на множители и решите уравнение: x2 + x − 6 = 0.x2 + x − 6 = 0.

Решение

Чтобы разложить на множители x2 + x − 6 = 0, x2 + x − 6 = 0, мы ищем два числа, произведение которых равно −6−6, а сумма равна 1. Начнем с рассмотрения возможных множителей −6.−6.

1⋅ (−6) (- 6) ⋅12⋅ (−3) 3⋅ (−2) 1⋅ (−6) (- 6) ⋅12⋅ (−3) 3⋅ (−2)

Последняя пара , 3⋅ (−2) 3⋅ (−2) в сумме дает 1, так что это числа. Обратите внимание, что подойдет только одна пара чисел. Затем запишите факторы.

(х-2) (х + 3) = 0 (х-2) (х + 3) = 0

Чтобы решить это уравнение, мы используем свойство нулевого произведения. Установите каждый коэффициент равным нулю и решите.

(x − 2) (x + 3) = 0 (x − 2) = 0x = 2 (x + 3) = 0x = −3 (x − 2) (x + 3) = 0 (x − 2) = 0x = 2 (х + 3) = 0x = −3

Два решения: 22 и −3. − 3. Мы можем видеть, как решения соотносятся с графиком на рисунке 2.Решениями являются x- пересечений y = x2 + x − 6 = 0. y = x2 + x − 6 = 0.

Рисунок 2

Попробуй # 1

Разложите на множители и решите квадратное уравнение: x2−5x − 6 = 0.x2−5x − 6 = 0.

Пример 2

Решите квадратное уравнение множителем

Решите квадратное уравнение, умножая на множители: x2 + 8x + 15 = 0.x2 + 8x + 15 = 0.

Решение

Найдите два числа, произведение которых равно 1515, а сумма равна 8,8. Перечислите факторы 15.15.

1⋅153⋅5 (−1) ⋅ (−15) (- 3) ⋅ (−5) 1⋅153⋅5 (−1) ⋅ (−15) (- 3) ⋅ (−5)

Числа, которые прибавьте к 8 3 и 5. Затем запишите множители, установите каждый множитель равным нулю и решите.

(x + 3) (x + 5) = 0 (x + 3) = 0x = −3 (x + 5) = 0x = −5 (x + 3) (x + 5) = 0 (x + 3) = 0x = −3 (x + 5) = 0x = −5

Решения: −3−3 и −5. − 5.

Попробуй # 2

Решите квадратное уравнение, разложив на множители: x2−4x − 21 = 0.x2−4x − 21 = 0.

Пример 3

Использование свойства нулевого произведения для решения квадратного уравнения, записанного как разность квадратов

Решите уравнение разности квадратов, используя свойство нулевого произведения: x2−9 = 0.х2−9 = 0.

Решение

Признавая, что уравнение представляет собой разность квадратов, мы можем записать два множителя, извлекая квадратный корень из каждого члена, используя знак минус в качестве оператора в одном множителе и знак плюс в качестве оператора в другом. Решите, используя свойство нулевого фактора.

x2−9 = 0 (x − 3) (x + 3) = 0 (x − 3) = 0x = 3 (x + 3) = 0x = −3×2−9 = 0 (x − 3) (x + 3) = 0 (x − 3) = 0x = 3 (x + 3) = 0x = −3

Решения: 33 и −3. − 3.

Попробовать # 3

Решим с помощью разложения на множители: x2−25 = 0.х2−25 = 0.

Решение квадратного уравнения путем факторинга, когда ведущий коэффициент не равен 1

Когда ведущий коэффициент не равен 1, мы разлагаем квадратное уравнение на множители, используя метод, называемый группировкой, который требует четырех членов. Используя уравнение в стандартной форме, давайте рассмотрим процедуры группировки:

  1. С квадратичным в стандартной форме, ax2 + bx + c = 0, ax2 + bx + c = 0, умножьте a⋅c.a⋅c.
  2. Найдите два числа, произведение которых равно acac, а сумма равна b.б.
  3. Перепишите уравнение, заменив член bxbx двумя членами, используя числа, найденные на шаге 1, в качестве коэффициентов x.
  4. Факторизуйте первые два члена, а затем последние два члена. Выражения в скобках должны быть точно такими же, чтобы можно было использовать группировку.
  5. Вынесите за скобки выражение, заключенное в скобки.
  6. Установите выражения равными нулю и решите для переменной.

Пример 4

Решение квадратного уравнения с использованием группировки

Используйте группировку, чтобы разложить на множители и решить квадратное уравнение: 4×2 + 15x + 9 = 0.4х2 + 15х + 9 = 0.

Решение

Сначала умножаем ac: 4 (9) = 36.ac: 4 (9) = 36. Затем перечислите факторы 36,36.

1⋅362⋅183⋅124⋅96⋅61⋅362⋅183⋅124⋅96⋅6

Единственная пара множителей, которая в сумме дает 1515, — это 3 + 12,3 + 12. Перепишите уравнение, заменив член b , 15x, 15x, двумя членами, используя 3 и 12 в качестве коэффициентов x . Факторизуйте первые два члена, а затем последние два члена.

4×2 + 3x + 12x + 9 = 0x (4x + 3) +3 (4x + 3) = 0 (4x + 3) (x + 3) = 04×2 + 3x + 12x + 9 = 0x (4x + 3) +3 (4x + 3) = 0 (4x + 3) (x + 3) = 0

Решите, используя свойство нулевого произведения.

(4x + 3) (x + 3) = 0 (4x + 3) = 0x = −34 (x + 3) = 0x = −3 (4x + 3) (x + 3) = 0 (4x + 3) = 0x = −34 (x + 3) = 0x = −3

Решения: −34, −34 и −3. − 3. См. Рисунок 3.

Рисунок 3

Попробовать # 4

Решить, используя факторинг путем группировки: 12×2 + 11x + 2 = 0,12×2 + 11x + 2 = 0.

Пример 5

Решение полинома более высокой степени с помощью факторинга

Решите уравнение, разложив на множители: −3×3−5×2−2x = 0. − 3×3−5×2−2x = 0.

Решение

Это уравнение не выглядит квадратичным, поскольку наибольшая степень равна 3, а не 2.Напомним, что первое, что мы хотим сделать при решении любого уравнения, — это вычесть GCF, если он существует. И это здесь. Мы можем вычленить −x − x из всех членов, а затем продолжить группировку.

−3×3−5×2−2x = 0 − x (3×2 + 5x + 2) = 0−3×3−5×2−2x = 0 − x (3×2 + 5x + 2) = 0

Используйте группировку для выражения в скобках.

−x (3×2 + 3x + 2x + 2) = 0 − x [3x (x + 1) +2 (x + 1)] = 0 − x (3x + 2) (x + 1) = 0 − x (3×2 + 3x + 2x + 2) = 0 − x [3x (x + 1) +2 (x + 1)] = 0 − x (3x + 2) (x + 1) = 0

Теперь мы используем нуль- свойство продукта. Обратите внимание, что у нас есть три фактора.

−x = 0x = 03x + 2 = 0x = −23x + 1 = 0x = −1 − x = 0x = 03x + 2 = 0x = −23x + 1 = 0x = −1

Решения: 0,0, −23, −23 и −1. − 1.

Попробовать # 5

Решите с помощью разложения на множители: x3 + 11×2 + 10x = 0.×3 + 11×2 + 10x = 0.

Использование свойства квадратного корня

Когда в уравнении нет линейного члена, другой метод решения квадратного уравнения заключается в использовании свойства квадратного корня, в котором мы выделяем член x2x2 и извлекаем квадратный корень из числа по другую сторону от знака равенства.Имейте в виду, что иногда нам, возможно, придется манипулировать уравнением, чтобы изолировать член x2x2, чтобы можно было использовать свойство квадратного корня.

Собственность квадратного корня

С изолированным членом x2x2 свойство квадратного корня утверждает, что:

если x2 = k, то x = ± k, если x2 = k, то x = ± k

, где k — ненулевое действительное число.

Как сделать

Для квадратного уравнения с членом x2x2, но без члена xx, используйте свойство квадратного корня для его решения.

  1. Выделите член x2x2 на одной стороне знака равенства.
  2. Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения, поставив знак ± ± перед выражением на стороне, противоположной квадрату члена.
  3. Упростите числа на стороне со знаком ± ±.

Пример 6

Решение простого квадратного уравнения с использованием свойства квадратного корня

Решите квадратное уравнение, используя свойство квадратного корня: x2 = 8.x2 = 8.

Решение

Извлеките квадратный корень из обеих частей и упростите радикал.Не забудьте использовать знак ± ± перед символом корня.

х2 = 8х = ± 8 = ± 22х2 = 8х = ± 8 = ± 22

Решения: 22,22, −22. − 22.

Пример 7

Решение квадратного уравнения с использованием свойства квадратного корня

Решите квадратное уравнение: 4×2 + 1 = 7,4×2 + 1 = 7.

Решение

Сначала выделите член x2x2. Затем извлеките квадратный корень из обеих частей.

4×2 + 1 = 74×2 = 6×2 = 64x = ± 624×2 + 1 = 74×2 = 6×2 = 64x = ± 62

Решения 62, 62 и −62.−62.

Попробуй # 6

Решите квадратное уравнение, используя свойство квадратного корня: 3 (x − 4) 2 = 15,3 (x − 4) 2 = 15.

Завершение квадрата

Не все квадратные уравнения могут быть разложены на множители или могут быть решены в их исходной форме с использованием свойства квадратного корня. В этих случаях мы можем использовать метод решения квадратного уравнения, известный как завершение квадрата. Используя этот метод, мы добавляем или вычитаем члены к обеим сторонам уравнения, пока у нас не будет трехчлена полного квадрата с одной стороны от знака равенства.Затем мы применяем свойство квадратного корня. Для завершения квадрата старший коэффициент, a , должен быть равен 1. Если это не так, разделите все уравнение на a . Затем мы можем использовать следующие процедуры, чтобы решить квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Мы будем использовать пример x2 + 4x + 1 = 0x2 + 4x + 1 = 0, чтобы проиллюстрировать каждый шаг.

  1. Дано квадратное уравнение, которое нельзя разложить на множители, и при a = 1, a = 1 сначала добавьте или вычтите постоянный член до правого знака знака равенства.

  2. Умножьте член b на 1212 и возведите его в квадрат.

  3. Добавьте (12b) 2 (12b) 2 к обеим сторонам знака равенства и упростите правую часть. У нас

    x2 + 4x + 4 = −1 + 4×2 + 4x + 4 = 3×2 + 4x + 4 = −1 + 4×2 + 4x + 4 = 3

  4. Теперь левую часть уравнения можно разложить на точный квадрат.

    x2 + 4x + 4 = 3 (x + 2) 2 = 3×2 + 4x + 4 = 3 (x + 2) 2 = 3

  5. Используйте свойство квадратного корня и решите.

    (x + 2) 2 = ± 3x + 2 = ± 3x = −2 ± 3 (x + 2) 2 = ± 3x + 2 = ± 3x = −2 ± 3

  6. Решения: −2 + 3, −2 + 3 и −2−3.−2−3.

Пример 8

Решение квадрата до квадрата

Решите квадратное уравнение, завершив квадрат: x2−3x − 5 = 0.x2−3x − 5 = 0.

Решение

Сначала переместите постоянный член в правую часть знака равенства.

Затем возьмите 1212 из члена b и возведите его в квадрат.

12 (−3) = — 32 (−32) 2 = 9412 (−3) = — 32 (−32) 2 = 94

Добавьте результат к обеим сторонам от знака равенства.

x2−3x + (- 32) 2 = 5 + (- 32) 2×2−3x + 94 = 5 + 94×2−3x + (- 32) 2 = 5 + (- 32) 2×2−3x + 94 = 5 + 94

Фактор множителя левая сторона как идеальный квадрат и упрощенная правая сторона.

(x − 32) 2 = 294 (x − 32) 2 = 294

Используйте свойство квадратного корня и решите.

(x − 32) 2 = ± 294 (x − 32) = ± 292x = 32 ± 292 (x − 32) 2 = ± 294 (x − 32) = ± 292x = 32 ± 292

Решения: 3 + 2923 + 292

и 3-2923-292.

Попробуй # 7

Решите, завершив квадрат: x2−6x = 13.x2−6x = 13.

Использование квадратичной формулы

Четвертый метод решения квадратного уравнения — использование формулы корней квадратного уравнения, формулы, которая решает все квадратные уравнения. Хотя квадратная формула работает с любым квадратным уравнением в стандартной форме, легко сделать ошибку при подстановке значений в формулу.Будьте внимательны при замене и используйте круглые скобки при вставке отрицательного числа.

Мы можем вывести формулу корней квадратного уравнения, заполнив квадрат. Будем считать, что старший коэффициент положительный; если оно отрицательное, мы можем умножить уравнение на −1−1 и получить положительное значение a . Учитывая ax2 + bx + c = 0, ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, a ≠ 0, мы завершим квадрат следующим образом:

  1. Сначала переместите постоянный член в правую часть знака равенства:

  2. Так как мы хотим, чтобы старший коэффициент равнялся 1, разделим на a :

  3. Затем найдите 1212 среднего члена и прибавьте (12ba) 2 = b24a2 (12ba) 2 = b24a2 к обеим сторонам от знака равенства:

    x2 + bax + b24a2 = b24a2 − cax2 + bax + b24a2 = b24a2 − ca

  4. Затем запишите левую часть в виде полного квадрата.Найдите общий знаменатель правой части и запишите его в виде единой дроби:

    (x + b2a) 2 = b2−4ac4a2 (x + b2a) 2 = b2−4ac4a2

  5. Теперь используйте свойство квадратного корня, которое дает

    x + b2a = ± b2−4ac4a2x + b2a = ± b2−4ac2ax + b2a = ± b2−4ac4a2x + b2a = ± b2−4ac2a

  6. Наконец, добавьте −b2a − b2a к обеим частям уравнения и объедините члены в правой части. Таким образом,

    x = −b ± b2−4ac2ax = −b ± b2−4ac2a

Квадратичная формула

Записано в стандартной форме, ax2 + bx + c = 0, ax2 + bx + c = 0, любое квадратное уравнение может быть решено с помощью формулы корней квадратного уравнения:

x = −b ± b2−4ac2ax = −b ± b2−4ac2a

, где a , b и c — действительные числа и a 0.а ≠ 0.

Как сделать

Для данного квадратного уравнения решите его по формуле корней квадратного уравнения

  1. Убедитесь, что уравнение имеет стандартную форму: ax2 + bx + c = 0.ax2 + bx + c = 0.
  2. Запишите значения коэффициентов и постоянного члена, a, b, a, b и c.c.
  3. Осторожно подставьте значения, указанные в шаге 2, в уравнение. Чтобы избежать ненужных ошибок, используйте круглые скобки вокруг каждого числа, вводимого в формулу.
  4. Вычислить и решить.

Пример 9

Решите квадратное уравнение через дискриминант

Решите квадратное уравнение: x2 + 5x + 1 = 0.x2 + 5x + 1 = 0.

Решение

Определите коэффициенты: a = 1, b = 5, c = 1. a = 1, b = 5, c = 1. Затем используйте формулу корней квадратного уравнения.

x = — (5) ± (5) 2−4 (1) (1) 2 (1) = — 5 ± 25−42 = −5 ± 212x = — (5) ± (5) 2−4 (1) (1) 2 (1) = — 5 ± 25−42 = −5 ± 212

Пример 10

Решение квадратного уравнения с квадратичной формулой

Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы решить x2 + x + 2 = 0.х2 + х + 2 = 0.

Решение

Сначала мы идентифицируем коэффициенты: a = 1, b = 1, a = 1, b = 1 и c = 2. c = 2.

Подставьте эти значения в формулу корней квадратного уравнения.

x = −b ± b2−4ac2a = — (1) ± (1) 2− (4) ⋅ (1) ⋅ (2) 2⋅1 = −1 ± 1−82 = −1 ± −72 = −1 ± i72x = −b ± b2−4ac2a = — (1) ± (1) 2− (4) ⋅ (1) ⋅ (2) 2⋅1 = −1 ± 1−82 = −1 ± −72 = −1 ± i72

Решения уравнения: −1 + i72−1 + i72 и −1 − i72−1 − i72

.

Попробуй # 8

Решите квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения: 9×2 + 3x − 2 = 0.9х2 + 3х − 2 = 0.

Дискриминант

Квадратичная формула не только порождает решения квадратного уравнения, она говорит нам о природе решений, когда мы рассматриваем дискриминант или выражение под радикалом, b2−4ac.b2−4ac. Дискриминант сообщает нам, являются ли решения действительными или комплексными числами, и сколько решений каждого типа следует ожидать. Таблица 1 связывает значение дискриминанта с решениями квадратного уравнения.

Значение дискриминанта Результаты
b2−4ac = 0b2−4ac = 0 Одно рациональное решение (двойное решение)
b2−4ac> 0, b2−4ac> 0, полный квадрат Два рациональных решения
b2−4ac> 0, b2−4ac> 0, не полный квадрат Два иррациональных решения
b2−4ac <0b2−4ac <0 Два комплексных решения

Таблица 1

Дискриминант

Для ax2 + bx + c = 0ax2 + bx + c = 0, где aa, bb и cc — действительные числа, дискриминант — это выражение под радикалом в квадратной формуле: b2−4ac.b2−4ac. Он сообщает нам, являются ли решения действительными числами или комплексными числами и сколько решений каждого типа следует ожидать.

Пример 11

Использование дискриминанта для определения природы решений квадратного уравнения

Используйте дискриминант, чтобы найти природу решений следующих квадратных уравнений:

  1. ⓐ x2 + 4x + 4 = 0x2 + 4x + 4 = 0
  2. ⓑ 8×2 + 14x + 3 = 08×2 + 14x + 3 = 0
  3. ⓒ 3×2−5x − 2 = 03×2−5x − 2 = 0
  4. ⓓ 3×2−10x + 15 = 03×2−10x + 15 = 0
Решение

Вычислите дискриминант b2−4acb2−4ac для каждого уравнения и укажите ожидаемый тип решения.

  1. x2 + 4x + 4 = 0x2 + 4x + 4 = 0

    b2−4ac = (4) 2−4 (1) (4) = 0. b2−4ac = (4) 2−4 (1) (4) = 0. Будет одно рациональное двойное решение.

  2. 8×2 + 14x + 3 = 08×2 + 14x + 3 = 0

    b2−4ac = (14) 2−4 (8) (3) = 100.b2−4ac = (14) 2−4 (8) (3) = 100. Поскольку 100100 — это идеальный квадрат, будет два рациональных решения.

  3. 3×2−5x − 2 = 03×2−5x − 2 = 0

    b2−4ac = (- 5) 2−4 (3) (- 2) = 49.b2−4ac = (- 5) 2−4 (3) (- 2) = 49. Поскольку 4949 — это идеальный квадрат, будет два рациональных решения.

  4. 3×2−10x + 15 = 03×2−10x + 15 = 0

    b2−4ac = (- 10) 2−4 (3) (15) = — 80.b2−4ac = (- 10) 2−4 (3) (15) = — 80. Будет два сложных решения.

Использование теоремы Пифагора

Одной из самых известных формул в математике является теорема Пифагора. Он основан на прямоугольном треугольнике и устанавливает соотношение между длинами сторон как a2 + b2 = c2, a2 ​​+ b2 = c2, где aa и bb относятся к катетам прямоугольного треугольника, примыкающего к углу 90 ° 90 °. угол, а cc относится к гипотенузе.Он находит неизмеримое применение в архитектуре, инженерии, науках, геометрии, тригонометрии и алгебре, а также в повседневных приложениях.

Мы используем теорему Пифагора, чтобы найти длину одной стороны треугольника, когда у нас есть длины двух других. Поскольку каждый член в теореме возведен в квадрат, когда мы решаем сторону треугольника, мы получаем квадратное уравнение. Мы можем использовать методы решения квадратных уравнений, которые мы узнали в этом разделе, чтобы найти недостающую сторону.

Теорема Пифагора дается как

, где aa и bb относятся к катетам прямоугольного треугольника, примыкающим к углу 90∘90∘, а cc относится к гипотенузе, как показано на рисунке 4.

Рисунок 4

Пример 12

Определение длины недостающей стороны прямоугольного треугольника

Найдите длину недостающей стороны прямоугольного треугольника на рисунке 5.

Рисунок 5

Решение

Поскольку у нас есть размеры для стороны b и гипотенузы, недостающая сторона равна a.

a2 + b2 = c2a2 + (4) 2 = (12) 2a2 + 16 = 144a2 = 128a = 128 = 82a2 + b2 = c2a2 + (4) 2 = (12) 2a2 + 16 = 144a2 = 128a = 128 = 82

Попробуй # 9

Используйте теорему Пифагора для решения задачи прямоугольного треугольника: отрезок a имеет размер 4 единицы, отрезок b имеет размер 3 единицы. Найдите длину гипотенузы.

2.5 Секционные упражнения

Устный

1.

Как распознать квадратное уравнение?

2.

Когда мы решаем квадратное уравнение, сколько решений мы всегда должны искать? Объясните, почему при решении квадратного уравнения в форме ax2 + bx + c = 0ax2 + bx + c = 0 мы можем построить график уравнения y = ax2 + bx + cy = ax2 + bx + c и не иметь нулей ( x — перехватывает).

3.

Когда мы решаем квадратное уравнение путем факторизации, почему мы перемещаем все члены в одну сторону, имея ноль на другой стороне?

4.

В квадратной формуле как называется выражение под знаком корня b2−4ac, b2−4ac и как оно определяет количество и характер наших решений?

5.

Опишите два сценария, в которых использование свойства квадратного корня для решения квадратного уравнения было бы наиболее эффективным методом.

Алгебраический

Для следующих упражнений решите квадратное уравнение на множители.

10.

4×2−12x + 8 = 04×2−12x + 8 = 0

Для следующих упражнений решите квадратное уравнение, используя свойство квадратного корня.

Для следующих упражнений решите квадратное уравнение, заполнив квадрат. Покажи каждый шаг.

25.

x2−9x − 22 = 0x2−9x − 22 = 0

26.

2×2−8x − 5 = 02×2−8x − 5 = 0

28.

x2 + 23x − 13 = 0x2 + 23x − 13 = 0

30.

6p2 + 7p − 20 = 06p2 + 7p − 20 = 0

31.

2×2−3x − 1 = 02×2−3x − 1 = 0

Для следующих упражнений определите дискриминант, а затем укажите количество решений и их характер.Не решайте.

35.

9×2−30x + 25 = 09×2−30x + 25 = 0

36.

2×2−3x − 7 = 02×2−3x − 7 = 0

37.

6×2 − x − 2 = 06×2 − x − 2 = 0

Для следующих упражнений решите квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения. Если решения ненастоящие, укажите Нет реального решения .

40.

2×2−8x − 5 = 02×2−8x − 5 = 0

Технологии

Для следующих упражнений введите выражения в графическую утилиту и найдите нули в уравнении (точки пересечения x ), используя 2 nd CALC 2: zero .Вспомните, что поиск нулей спросит левую границу (переместите курсор влево от нуля, введите), затем правую границу (переместите курсор вправо от нуля, введите), затем угадайте (переместите курсор между границами около нуля , входить). Округлите ответы до ближайшей тысячной.

44.

Y1 = 4×2 + 3x − 2Y1 = 4×2 + 3x − 2

45.

Y1 = −3×2 + 8x − 1Y1 = −3×2 + 8x − 1

46. ​​

Y1 = 0,5×2 + x − 7Y1 = 0,5×2 + x − 7

47.

Чтобы решить квадратное уравнение x2 + 5x − 7 = 4, x2 + 5x − 7 = 4, мы можем построить график этих двух уравнений

Y1 = x2 + 5x − 7Y2 = 4Y1 = x2 + 5x − 7Y2 = 4

и найдите точки пересечения.Вспомните 2 nd CALC 5: пересечение. Сделайте это и найдите решения с точностью до десятых.

48.

Чтобы решить квадратное уравнение 0,3×2 + 2x − 4 = 2,0,3×2 + 2x − 4 = 2, мы можем построить график этих двух уравнений

Y1 = 0,3×2 + 2x − 4Y2 = 2Y1 = 0,3×2 + 2x− 4Y2 = 2

и найдите точки пересечения. Вспомните 2 nd CALC 5: пересечение. Сделайте это и найдите решения с точностью до десятых.

Расширения

49.

Начиная с общей формы квадратного уравнения, ax2 + bx + c = 0, ax2 + bx + c = 0, решите относительно x , используя метод заполнения квадратов, получая таким образом квадратную формулу.

50.

Покажите, что сумма двух решений квадратного уравнения равна −ba − ba.

51.

У человека есть сад, длина которого на 10 футов больше ширины. Задайте квадратное уравнение, чтобы найти размеры сада, если его площадь составляет 119 футов. 2 . Решите квадратное уравнение, чтобы найти длину и ширину.

52.

Акции Abercrombie и Fitch имели цену P = 0,2t2-5,6t + 50,2, P = 0,2t2-5,6t + 50,2, где tt — время в месяцах с 1999 по 2001 год.(t = 1t = 1 — январь 1999 г.). Найдите два месяца, в которые цена акции составляла 30 долларов.

53.

Предположим, что дано уравнение p = −2×2 + 280x − 1000, p = −2×2 + 280x − 1000, где xx представляет количество предметов, проданных на аукционе, а pp — прибыль, полученная бизнесом, который аукцион. Сколько проданных товаров дало бы максимальную прибыль? Решите эту проблему, построив график выражения в графической утилите и найдя максимум, используя максимум 2 и CALC. Чтобы получить хорошее окно для кривой, установите xx [0,200] и yy [0,10000].

Реальные приложения

54.

Формула для нормального систолического артериального давления для мужчины A, A, измеренного в мм рт. Ст., Имеет вид P = 0,006A2−0,02A + 120.P = 0,006A2−0,02A + 120. Найдите возраст до ближайшего года мужчины, нормальное кровяное давление которого составляет 125 мм рт.

55.

Функция затрат для определенной компании равна C = 60x + 300C = 60x + 300, а доход определяется как R = 100x − 0,5×2.R = 100x − 0,5×2. Напомним, что прибыль — это выручка за вычетом затрат. Составьте квадратное уравнение и найдите два значения x (уровень производства), которые принесут прибыль в размере 300 долларов.

56.

Падающий объект проходит расстояние, определяемое формулой d = 5t + 16t2d = 5t + 16t2 ft, где tt измеряется в секундах. Сколько времени потребуется объекту, чтобы преодолеть 74 фута?

57.

Пустующий участок превращается в общественный сад. Сад и дорожка по его периметру имеют площадь 378 футов 2 . Найдите ширину прохода, если сад составляет 12 футов в ширину и 15 футов в длину.

58.

Эпидемиологическое исследование распространения определенного штамма гриппа, поразившего небольшую школьную популяцию, показало, что общее количество учащихся PP, которые заразились гриппом через несколько дней после его разрыва, определяется моделью P = −t2 + 13t + 130, P = −t2 + 13t + 130, где 1≤t≤6.1≤t≤6. Найдите день, когда 160 студентов заболели гриппом. Напомним, что ограничение на tt составляет не более 6.

Свойство квадратного корня используется при решении неполных квадратных уравнений, где b равно

.

Что эта форма помогает, я борюсь

Энергетическая компания рассчитывает ежемесячный счет человека из количества
киловатт-часы (кВтч), x, использовано.
Функция b (x) = {
0,15%,
0,10 (20–400) + 60

,
2 & lt; 400
2 & gt; 400
определяет
счет.
Сколько стоит счет для человека, потребляющего 600 кВтч в месяц?
О А.80 долларов США
Б. $ 90
C. 100 долларов США
O D. $ 110

Что это за форма?
Я делаю это для моей домашней работы у меня есть 7 часов, чтобы сделать это

127/4 + 62/3 × 24/6 решить эту дробь с помощью BODMAS

мне нужен ответ на этот вопрос

Упорядочивайте числа от наименьшего к наибольшему

………………… ….

Если 3 метра ткани пинья стоят 200 фунтов, сколько будут стоить 9 метров такой же ткани? *

Ой ой эй
Ой ой эй
Ой ой эй
Как дела? Это твой мальчик Silento
София Грейс (ох)
Мы собираемся появиться, детка
Пошли
Я просыпаюсь каждый день как

, «Привет, красавица»
Потому что этот мир настолько сумасшедший, и он может вас сбить
Ты слишком низкий, слишком толстый, слишком худой
Эй, ну извини, если я думаю, что я хорошенькая
Так что мне все равно, что вы говорите, потому что я оригинален
И я научился любить меня с головы до ног
Дай им знать, дай им знать, если ты со мной
Эй, потому что я наконец нашел ответ во мне
Ого, моя мама, она сказала бы (что сказать?)
Не позволяй им тебя сбить
Как научиться любить меня
Вот почему я разговариваю с девушкой в ​​зеркале, эй, ох
Как будто, даже если ты упал, лучше вставай, эй, ой
Потому что каждая неудача — это всего лишь установка, эй, ох
Для чего-то немного лучше
О, я разговариваю с девушкой в ​​ми-
Девушка, девушка в зеркале
Девушка в ми-
Девушка, девушка в зеркале
Девушка в ми-
Девушка, девушка в зеркале
Иди спать ночью с улыбкой на лице (хорошо)
Потому что я знаю, кто я, и меня никогда не заменить (о, да)
Так что вперед, гордись, будь другим
Эй, вот что делает тебя одним из миллиона
Ого, моя мама, она сказала бы
(Скажи нам, что она сказала, София)
Не позволяй им тебя сбить
Как научиться любить меня
Вот почему я разговариваю с девушкой в ​​зеркале, эй, ох
Как будто, даже если ты упал, лучше вставай, эй, ой
Потому что каждая неудача — это всего лишь установка, эй, ох
Для чего-то немного лучше
О, я разговариваю с девушкой в ​​ми-
Девушка, девушка в зеркале
Девушка в ми-
Девушка, девушка в зеркале
Девушка в ми-
Девушка, девушка в зеркале
ох
София, ты это сделала, ты поднялась на вершину
Ты должен продолжать, помол никогда не прекращается (хорошо)
Я вижу тебя на Тебе.Трубка со всеми видами (получить)
Да, девочка, я смотрю на тебя (понял)
У тебя такое чванство, у тебя такое свечение
Для всех сомневающихся просто дайте им знать
Подсчитайте больше, поскольку день просто идет
Я люблю твою душу и твой ритм
Как «О, ох, да»
Да, я такой «О, ох, да»
Поднимите руки вверх
У тебя есть сила девушки, сила девушки
Поднимите руки для силы девушки
Мне это нравится, я не укушу это
Продолжай, девочка, потому что я смотрю
Вы знаете это, просто убейте его (не останавливайтесь)
София Грейс, ты чемпион номер один
Вот почему я разговариваю с девушкой в ​​зеркале, эй, ох
(Привет, Silento)
Как будто, даже если ты упал, лучше вставай, эй, ой
(Ага?)
(Что бы вы хотели изменить в себе?)
Потому что каждая неудача — это всего лишь установка, эй, ох
(Я много танцую, но не думаю, что смогу что-то изменить, а как насчет вас?)
Для чего-то немного лучше
(Нет, мне нравится, кто я)
(Нам тоже нравится, кто ты есть)
О, я разговариваю с девушкой в ​​ми-
Девушка, девушка в зеркале
Девушка в ми-
Девушка, девушка в зеркале
Девушка в ми-
Девушка, девушка в зеркале, ох
Ой ой (хорошо)
Ой ой (да)
Ой ой эй

если стороны треугольника 14,15 и 19 треугольник острый, прямой или тупой

Неполные квадратные уравнения

Проведение урока алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения.Решение неполных квадратных уравнений ». Введение в понятие полных и неполных квадратных уравнений. Первичная консолидация методов решения неполных квадратных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы использовать предварительный просмотр презентаций, создайте себе учетную запись (учетную запись) Google и войдите в нее: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Презентация урока алгебры в 8 классе «Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений »

Загадочно, но знакомо нам. В нем есть что-то неизвестное. Его корень — это то, что мы ищем. Найти — интересно каждому. Все скажут без сомнения. Перед вами (уравнение)

Решите уравнения а) у — 7 = 0; б) х + 0.5 = 0; в) а х = 0; г) 2 х — 1/3 = 0; д) а (а — 1) = 0; е) х 2 + 4 = 0.

Задача В кинотеатре количество мест в каждом ряду на 8 больше, чем количество рядов. Всего на сеанс пришло 884 зрителя и все места были заняты. Сколько рядов в кинотеатре?

х — ряды; x +8 — места в каждой строке C оставим уравнение: x (x + 8) = 884; x 2 + 8x-884 = 0.

«Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений» Тема урока: эпиграф: уравнение — это ключ, который может открыть тысячу дверей в неизвестное.

цель: ввести понятие квадратного уравнения; Научитесь решать неполные квадратные уравнения.

Определение квадратного уравнения Квадратным уравнением называют уравнение вида a ax² + bx + c = 0, de x — переменная, a, b, c — параметры, а ≠ 0. Число a называется первый коэффициент, число b — второй коэффициент, а c — свободный член. Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени и, поскольку его головная часть является многочленом второй степени и.

Примеры уравнивания квадрата xy: abc -2x² + x-1,4 = 0-2 1 -1,4 5x²-4x = 0 5-4 0 3X² + 10,3 = 0 3 0 10,3

Задача 1 Являются ли эти уравнения квадратичными ? 4x²-5x + 2 = 0 -5,6x²-2x- 0,5 = 0 13-7x² = 0 16x²-x³-5 = 0 1-16x = 0 -x² = 0

Задача 2 Назовите коэффициент в квадратном уравнении. 3x²-6x + 2 = 0 -x² + 5x + 10 = 0 x²-8x + 1,5 = 0 -4x² + 5 = 0 -36x²-3x = 0 12x² = 0

Неполные квадратные уравнения Если в в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов в b или c равен нулю, тогда такое уравнение называется неполным m на квадратный метр.abc -3x² + 5 = 0-3 0 5 2x²-10x = 0 2-10 0 16x² = 0 16 0 0

Классификация квадратных уравнений полная неполная Аль-Хорезми, где a ≠ 0 b = 0 b = 0, c = 0 c = 0 или или или

Решите уравнение, если b = 0. -4x² + 25 = 0 — 4x² = — 25 4x² = 25 или I

Решите уравнение если b = 0, c = 0. III

Решите уравнение, если C = 0. (35 + y) y = 0 35 + y = 0 или II y = 0 y = -35

Тестирование

1.2. 3. 4. 5 0; -5-5; 5 0 Задача № 1. Указание корней уравнения Справка

Задача № 2. Укажите корни уравнения 1. 2. 3. 4. -4; 4-4; 0 16 0; 4

Задача № 3. Определить корни уравнения 1. 2. 3. 4. 3 -3; 0 -3 0; 3

Задача № 4. Укажите корни уравнения 1. 2. 3. 4. 0; 4 16-4; 4-4; 0

05.01.17 Задача № 5. Укажите корни уравнения 1. 2. 3. 4. -2; 2 4 2 2; 0

Краткое содержание урока: Сегодня на уроке я выучил … понял… узнал … мои успехи … я почувствовал трудности … не мог, но теперь могу … на следующем уроке хочу …

Чтобы использовать предварительный просмотр презентаций, создайте себе Аккаунт Google (аккаунт) и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Урок на тему «Неполные квадратные уравнения». Подготовлено учителями математики МОУ «Успенская ООШ МО« Ахтубинский район »Зенина Н.Г., Крамаренко Т.Н.

« Приходится делить свое время между политикой и уравнениями.Однако уравнения, на мой взгляд, гораздо важнее, потому что политика существует только в этот момент, а уравнения будут существовать вечно ». А. Эйнштейн.

Привет, ребята! Повторяю: я ваш помощник, я проведу вас через целая большая тема «Квадратичные уравнения». В 7-8 классе вы уже рассматривали и даже решали квадратные уравнения.

Сегодня вы узнаете: 1. Какие уравнения называются квадратными? 2. Что главное в определении квадратного уравнения, которое следует запомнить и учесть? 3.Какие бывают частные случаи квадратных уравнений? 4. Как можно решать квадратные уравнения в каждом конкретном случае? Теперь давайте вместе поищем ответы на эти вопросы. Удачи!

Что общего у этих уравнений?

Квадратным уравнением называют уравнение вида… ax ² + bx + c = 0, где a ≠ 0, x — переменная, a, b, c — некоторые числа. а — старший (первый) коэффициент, б — второй коэффициент, в — свободный срок. а — старший (первый) коэффициент, б — второй коэффициент, в — свободный срок.а — старший (первый) коэффициент, б — второй коэффициент, в — свободный срок.

Если a = 1, то квадратное уравнение x² + bx + c = 0 называется приведенным. Решим № 513 (устно).

ac 5x² + 5x — 3 = 0 3 x² + 2 x — 4 = 0 x² + 4x + 3 = 0 -2 x² + x — 1 = 0 4 x ²- 4 x + 1 = 0 5 5-3 3 2-4 1 4 3-2 1-1 4-4 1 Попробуем решить:

Интересно, что будет, если коэффициенты квадратного уравнения по очереди или все сразу (кроме a) превращаются в нули.Давайте проведем небольшое исследование.

Неполные квадратные уравнения 28.04.17 Если c = 0, ax 2 + b х = 0 ax 2 ax 2 Если b, c = 0, ax 2 = 0 Если b = 0, ax 2 + c \ u003d 0

Рассмотрим все возможные случаи

Неполные квадратные уравнения вида: без корней.

Неполные квадратные уравнения вида:

Ответ: x = 0. корней нет. Запишите неполные квадратные уравнения:

Запишите квадратные уравнения с указанными коэффициентами: a = 1, b = 0, c = 16; а = -1, б = 5, с = 0; б = 0, а = -3, с = 0; c = -8, a = 1, b = 0; а = 1.5, c = 0, b = -3; b =, a =, c Установите соответствие между уравнениями и следующими: а) уравнение имеет два корня, б) уравнение имеет один корень, в) уравнение не имеет корней. (c) (a) (b) (a) (a) (a) Установите соответствие между уравнениями и следующими утверждениями:

Проверьте решение № 515 (a, c, d). а) .4х 2-9 = 0 в). -0,1х 2 + 10 = 0 г). 6 v 2 + 24 = 0 4x 2 = 9 -0,1x 2 = — 10 6 v 2 = -24 x 2 = 9/4 x 2 = — 10 / (- 0.1) v 2 = -24 / 6 x 1 = -3 / 2 = -1,5; х 2 = 100 в 2 = -4 х 2 = 3/2 = 1,5; х 1 = -10 Ответ: решения нет. Ответ: -1,5; 1,5; Ответ: -10; 10;

28.04.17 Рассмотрим решение неполных квадратных уравнений № 517 (б, г, д) б). -5х 2 + 6х = 0 г). 4а 2 — 3а = 0 д). 6 z 2 — z = 0 x (-5x + 6) = 0 a (4a-3) = 0 z (6 z –1) = 0 x = 0 или -5x + 6 = 0 a = 0 или 4a-3 = 0 z = 0 или 6 z –1 = 0 -5x = -6 4а = 3 6 z = 1 х = -6 / (- 5) = 1 .2 а = 3/4 = 0,75 z = 1/6 Ответ: 0; 12. Ответ: 0; 0,75. Ответ: 0; 1/6 …

1) При каких значениях a уравнение является квадратным уравнением? Нет решений 2) При каких значениях a уравнение является неполным квадратным уравнением?

3) Решите уравнение для полученных значений a. Ответ: а = — 2, х = — 15, х = 0; a = 0,

Подведем итоги Какое уравнение называется квадратным? Почему ≠ 0? Как называются числа a, b и c? Сколько видов неполных квадратных уравнений мы узнали? Как решаются уравнения типа I? Тип II? Тип III?

Итак, наш урок подошел к концу.Ребята! Вы получили ответы на свои вопросы? Осознали, что нас ждут интересные, а главное важные темы? Просто хочу напомнить, что при решении задач, примеров нужно искать рациональные подходы и применять самые разные способы.

Домашнее задание: Учебник с. 21; № 318, 321 а, б, 323 а. Дополнительно: 520, 532. P. 21 (определения), № 518, 520 (a, c) 511 Дополнительно (для учащихся с повышенным интересом) № 520, № 531.

Slide 2

«У меня есть делить свое время между политикой и уравнениями.Однако уравнения, на мой взгляд, гораздо важнее, потому что политика существует только в этот момент, а уравнения будут существовать вечно. А. Эйнштейн.

Slide 3

Привет, ребята!

Повторяю: я ваш помощник, я проведу вас через всю большую тему «Квадратные уравнения». В 7-8 классе вы уже рассматривали и даже решали квадратные уравнения.

Slide 4

Сегодня вы узнаете: 1. Какие уравнения называются квадратными? 2.Что главное при определении квадратного уравнения, которое следует запомнить и учесть? 3. Какие бывают частные случаи квадратных уравнений? 4. Как можно решать квадратные уравнения в каждом конкретном случае? Теперь давайте вместе поищем ответы на эти вопросы. Удачи!

Slide 5

Что общего у этих уравнений?

Slide 6

Квадратное уравнение — это уравнение вида… ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, x — переменная, a, b, c — некоторые числа.а — старший (первый) коэффициент, б — второй коэффициент, в — свободный срок. а — старший (первый) коэффициент, б — второй коэффициент, в — свободный срок. а — старший (первый) коэффициент, б — второй коэффициент, в — свободный срок.

Slide 7

Если a = 1, то квадратное уравнение x² + bx + c = 0 называется приведенным. Решим № 513 (устно).

Slide 8

Попробуем решить:

5
5
-3
3
2
-4
1
4
3
-2
1
-1
4
-4
1

Slide 9

Интересно, что будет, если коэффициенты квадратного уравнения по очереди или все сразу (кроме а) превратятся в нули.Давайте проведем небольшое исследование.

Слайд 10

Неполные квадратные уравнения

10.01.2017 10 Если c = 0, ax2 + bx = 0 ax2 ax2 Если b, c = 0, ax2 = 0 Если b = 0, ax2 + c = 0

Slide 11

Рассмотрим все возможные случаи

Слайд 12

Slide 13

Неполные квадратные уравнения вида: без корней.

Слайд 14

Неполные квадратные уравнения вида:

Слайд 15

Ответ: x = 0.без корней. Выпишите неполные квадратные уравнения:

Slide 16

Запишите квадратные уравнения с указанными коэффициентами: a = 1, b = 0, c = 16; а = -1, б = 5, с = 0; б = 0, а = -3, с = 0; c = -8, a = 1, b = 0; а = 1,5, с = 0, b = -3; b =, a =, c Установите соответствие между уравнениями и следующими: а) уравнение имеет два корня, б) уравнение имеет один корень, в) уравнение не имеет корней.(c) (a) (b) (a) (a) (a) Установите соответствие между уравнениями и следующими утверждениями:

Слайд 17

17 Проверьте решение № 515 (a, c, d). а) .4х2-9 = 0 в). -0,1х2 + 10 = 0 г). 6v2 + 24 = 0 4×2 = 9 -0,1×2 = -10 6v2 = -24 x2 = 9 / 4×2 = -10 / (- 0,1) v2 = -24 / 6 x1 = -3 / 2 = -1, пять; х2 = 100 v2 = -4 х2 = 3/2 = 1,5; х1 = -10 Ответ: решения нет. Ответ: -1,5; 1.5; Ответ: -10; 10;

Slide 18

10.01.2017 18 Рассмотрим решение неполных квадратных уравнений № 517 (b, d, e) b). -5х2 + 6х = 0 г). 4a2 — 3a = 0e). 6z2– z = 0 x (-5x + 6) = 0 a (4a-3) = 0 z (6z –1) = 0 x = 0 или -5x + 6 = 0 a = 0 или 4a-3 = 0 z = 0 или 6z –1 = 0 -5x = -6 4a = 36z = 1 x = -6 / (- 5) = 1,2 a = 3/4 = 0,75 z = 1/6 Ответ: 0; 1.2. Ответ: 0; 0,75.Ответ: 0; 1/6 …

Неполные квадратные уравнения

Учитель математики и физики: Балакина Е.Н.

ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:

  • Познакомьтесь с понятием квадратного уравнения;
  • Научитесь определять, является ли уравнение квадратичным; Научитесь определять коэффициенты квадратного уравнения; Составьте квадратное уравнение в соответствии с заданными коэффициентами; Научитесь определять тип квадратного уравнения: полное или неполное; Научитесь выбирать алгоритм решения неполного квадратного уравнения.
  • Научитесь определять, является ли уравнение квадратичным;
  • Научитесь определять коэффициенты квадратного уравнения;
  • Составьте квадратное уравнение в соответствии с заданными коэффициентами;
  • Научитесь определять тип квадратного уравнения: полное или неполное;
  • Научитесь выбирать алгоритм решения неполного квадратного уравнения.

ВОПРОСЫ:

  • Что такое уравнение?
  • Что значит решить уравнение?
  • Что называется корнем уравнения?
  • Какие уравнения мы знаем?

Выберите квадратные уравнения:

5x + 26 = 8x — 3,

— 13x = 0,

9x + 2-17 = 0,

5 — 22x = 11

9x + 7-13 = 0,

— 42x — 29 = 0,

-3 — 35x + 14 = 0,

+

22 — 5x = 0,

-7 — 46x + 17 = 0,

8x — 6 = 0,

25 — 4x — 9 = 0.

НАЗЫВАЕТСЯ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

УРАВНЕНИЕ ВИДА

a
+
bx + c = 0,

где x —
переменная,

a, b, c —
некоторые номера,

кроме того a
=
0.

а — первый коэффициент,

b — второй коэффициент,

в — свободный срок.

Составьте квадратное уравнение

-9 + 23x — 11 = 0

-4 + x + 5 = 0

4 + 9x = 0

61 + 7000×4 90 1 = 0

-3 + 15 = 0

-3 — х + 7 = 0

4 + 3 = 0

a = 3, b = -7, c = 12

a = -9, b = 23, c = -11

a = 8, b \ u003d 0, c = 0

a = 5, b = -22, c = -3

a = -4, b = 1, c = 5

65

a = 4, b = 9, c = 0

a = 1, b = 7, c = 1

a = -3, b = 0, c = 15

a = -3, b = -1, c = 7

a = 4, b = 0, c = 3

Если в квадратном уравнении a
+
bx + c = 0
хотя бы один из коэффициентов b
или из
равно нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трех типов:

  • a
    = 0
  • a
    + б
    x = 0
  • a
    + c
    = 0

Вариант 1

-; Имеют 0; 3 И 0; -2 P н.р. IN -3; 3 R 0; 2 E 0 H 0; 4 И -2,5; 2,5 О НАС -; D

Вариант 2

  • + 2x = 0
  • 2-18 = 0
  • 4-11 = — 11+ 9x
  • 9 + 1 = 0
  • 2 = 4х
  • 7-14 = 0
  • 9-2 + 16x = 6 + 9
  • -4 = 0
  • 9 + 1 = 1
  • 4-25 = 0
  • -2 + 4x = 0
  • — 3x = 0
  • 7 = 0
  • 12x = 6
  • 2 = 7 + 2
  • 6 + 24 = 0
  • 3 + 7 = 12x + 7
  • + 2x — 3 = 2x + 6
  • 9-4 = 0
  • 7х = 2 + 3х

На доске написаны числа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Учащиеся пишут буквы, соответствующие корням этих уравнений; варианты работают навстречу друг другу.

УМЕНЬШЕНИЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

Вызываемое квадратное уравнение

, в котором коэффициент

при равен 1:

+
bx + c = 0

ДОМАШНИЕ РАБОТЫ


24.11 (УСТНАЯ),


24,16 (б, в, г),


24,18 (б, в, г).

Историческая справка

Квадратные уравнения были решены в Вавилоне примерно в 2000 году до нашей эры.

В 2002 году в Европе отмечалось 800-летие квадратных уравнений. это было в 1202 году, когда итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения.

Только в 17 веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым, эти формулы приняли современный вид.

IN Древняя Индия Уже в 499 году были распространены публичные конкурсы на решение задач по составлению квадратных уравнений.Одна из таких задач — задача известного индийского математика Бхаскарас :

Резвая стая обезьян
Наевшись досыта, развлекаясь,
Часть восьмая в квадрате
Меня позабавила поляна.
И двенадцать по виноградной лозе
Начали прыгать на висе.
Сколько было обезьян
Ты мне в паке подскажи?

Было бы полезно прочитать:

кв ур.Квадратные уравнения. Решение полных квадратных уравнений. Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Надеюсь, изучив эту статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения; другие методы используются для решения неполных квадратных уравнений, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

Какие квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ax 2 + b x + c = 0 , где коэффициенты a, b и c не равны нулю.Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, вам нужно вычислить дискриминант D.

D = b 2 — 4ac.

В зависимости от того, какое значение имеет дискриминант, запишем ответ.

Если дискриминант отрицательный (D

Если дискриминант равен нулю, то x = (-b) / 2a. Когда дискриминант — положительное число (D> 0),

, то x 1 = (-b — √D) / 2a, а x 2 = (-b + √D) / 2a.

Например. Решите уравнение x 2 — 4x + 4 = 0.

D = 4 2 — 4 4 = 0

х = (- (-4)) / 2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2 x 2
+ х + 3 = 0.

D = 1 2 — 4 2 3 = — 23

Ответ: без корней .

Решить уравнение 2 x 2
+ 5х — 7 = 0
.

D = 5 2 — 4 · 2 · (–7) = 81

х 1 = (-5 — √81) / (2 2) = (-5 — 9) / 4 = — 3.5

х 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Ответ: — 3,5; 1 .

Итак, представим решение полных квадратных уравнений по схеме на Рисунке 1.

С помощью этих формул можно решить любое полное квадратное уравнение. Вам просто нужно быть осторожным, чтобы убедиться, что уравнение было записано как стандартный полином

и x 2

+ bx + c,
иначе можно ошибиться.Например, записывая уравнение x + 3 + 2x 2 = 0, можно ошибочно решить, что

а = 1, b = 3 и c = 2. Тогда

D = 3 2 — 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неправда. (См. Решение примера 2 выше).

Следовательно, если уравнение не записывается как многочлен стандартной формы, сначала полное квадратное уравнение должно быть записано как многочлен стандартной формы (в первую очередь должен быть одночлен с наибольшим показателем, то есть и х 2


, то с менее
bx , а затем свободный член из.

При решении сокращенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором члене можно также использовать другие формулы. Давайте также познакомимся с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении со вторым членом коэффициент четный (b = 2k), то уравнение можно решить, используя формулы, представленные на схеме на рисунке 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при x 2


равно единице и уравнение принимает вид x 2 + px + q = 0 … Такое уравнение может быть дано для решения, или оно получено путем деления всех коэффициентов уравнения на коэффициент и , стоящий в точке x 2


.

На рисунке 3 показана схема решения приведенных квадратных уравнений
. Давайте посмотрим на пример применения формул, обсуждаемых в этой статье.

Пример. Решите уравнение

3 x 2


+ 6х — 6 = 0.

Давайте решим это уравнение, используя формулы, показанные на диаграмме на рисунке 1.

D = 6 2 — 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √ (363) = 6√3

х 1 = (-6 — 6√3) / (2 3) = (6 (-1- √ (3))) / 6 = –1 — √3

х 2 = (-6 + 6√3) / (2 3) = (6 (-1+ √ (3))) / 6 = –1 + √3

Ответ: -1 — √3; –1 + √3

Можно отметить, что коэффициент при x в этом уравнении — четное число, то есть b = 6 или b = 2k, откуда k = 3.Затем попробуем решить уравнение по формулам, показанным на схеме фигуры D 1 = 3 2 — 3 · (- 6) = 9 + 18 = 27

√ (D 1) = √27 = √ (9 3) = 3√3

х 1 = (-3 — 3√3) / 3 = (3 (-1 — √ (3))) / 3 = — 1 — √3

х 2 = (-3 + 3√3) / 3 = (3 (-1 + √ (3))) / 3 = — 1 + √3

Ответ: -1 — √3; –1 + √3 … Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполняя деление, получаем сокращенное квадратное уравнение x 2 + 2x — 2 = 0 Решите это уравнение, используя формулы для Сокращенное квадратное уравнение
рисунок 3.

D 2 = 2 2 — 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√ (D 2) = √12 = √ (4 3) = 2√3

х 1 = (-2 — 2√3) / 2 = (2 (-1 — √ (3))) / 2 = — 1 — √3

х 2 = (-2 + 2√3) / 2 = (2 (-1+ √ (3))) / 2 = — 1 + √3

Ответ: -1 — √3; –1 + √3.

Как видите, решая это уравнение по разным формулам, мы получили один и тот же ответ. Следовательно, хорошо усвоив формулы, представленные на диаграмме на рисунке 1, вы всегда можете решить любое полное квадратное уравнение.

, при полном или частичном копировании материала ссылка на источник обязательна.

Продолжаем изучать тему « решения уравнений ». Мы уже познакомились с линейными уравнениями и переходим к ознакомлению с квадратными уравнениями .

Сначала мы проанализируем, что такое квадратное уравнение, как оно записывается в общем виде, и дадим соответствующие определения. После этого на примерах подробно разберем, как решаются неполные квадратные уравнения.Затем мы переходим к решению полных уравнений, получаем формулу для корней, знакомимся с дискриминантом квадратного уравнения и рассматриваем решения типичных примеров. Наконец, давайте проследим связь между корнями и коэффициентами.

Навигация по страницам.

Что такое квадратное уравнение? Их виды

Для начала нужно четко понять, что такое квадратное уравнение. Поэтому логично начать разговор о квадратных уравнениях с определения квадратного уравнения, а также с определениями, связанными с ним.После этого можно будет рассматривать основные типы квадратных уравнений: приведенные и неприведенные, а также полные и неполные уравнения.

Определение и примеры квадратных уравнений

Определение.

Квадратное уравнение Представляет собой уравнение вида a x 2 + b x + c = 0 , где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, а a — ненулевое значение.

Сразу скажем, квадратные уравнения часто называют уравнениями второй степени.Это потому, что квадратное уравнение является алгебраическим уравнением второй степени.

Озвученное определение позволяет привести примеры квадратных уравнений. Итак, 2 х 2 + 6 х + 1 = 0, 0,2 х 2 + 2,5 х + 0,03 = 0 и т. Д. Являются квадратными уравнениями.

Определение.

Числа a, b и c называются коэффициентами квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, а коэффициент a называется первым, или наибольшим, или коэффициент при x 2, b — вторым коэффициент или коэффициент при x, а c — свободный член.

Например, возьмем квадратное уравнение вида 5 x 2 −2 x — 3 = 0, здесь старший коэффициент равен 5, второй коэффициент равен −2, а точка пересечения равна −3. Обратите внимание, что когда коэффициенты b и / или c отрицательны, как в только что приведенном примере, тогда краткая форма квадратного уравнения равна 5 x 2 −2 x — 3 = 0, а не 5 x 2 + (- 2). Х + (- 3) = 0,

Следует отметить, что когда коэффициенты a и / или b равны 1 или −1, то они обычно не присутствуют явно в квадратном уравнении, что связано с особенностями их записи.Например, в квадратном уравнении y 2 −y + 3 = 0 старший коэффициент равен единице, а коэффициент при y равен −1.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

В зависимости от значения старшего коэффициента различают приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Дадим соответствующие определения.

Определение.

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1, называется сокращенным квадратным уравнением … В противном случае квадратное уравнение будет неприведенным .

Согласно этому определению, квадратные уравнения x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x — 2/3 = 0 и т. Д. — даны, в каждом из них первый коэффициент равен единице. А 5 x 2 −x — 1 = 0 и т. Д. — неприведенные квадратные уравнения, их старшие коэффициенты отличны от 1.

Из любого неприведенного квадратного уравнения, разделив обе его части на старший коэффициент, можно перейти к сокращенному. Это действие является эквивалентным преобразованием, то есть полученное таким образом приведенное квадратное уравнение имеет те же корни, что и исходное неприведенное квадратное уравнение, или, как и оно, не имеет корней.

Разберем на примере, как происходит переход от неприведенного квадратного уравнения к сокращенному.

Пример.

Из уравнения 3 х 2 + 12 х — 7 = 0 перейти к соответствующему сокращенному квадратному уравнению.

Решение.

Нам достаточно выполнить деление обеих частей исходного уравнения на старший коэффициент 3, он ненулевой, поэтому мы можем выполнить это действие. Имеем (3 x 2 + 12 x — 7): 3 = 0: 3, что то же самое, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 = 0, и далее ( 3: 3) х 2 + (12: 3) х — 7: 3 = 0, откуда.Итак, мы получили сокращенное квадратное уравнение, которое эквивалентно исходному.

Ответ:

Полные и неполные квадратные уравнения

Определение квадратного уравнения содержит условие a ≠ 0. Это условие необходимо для того, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было точно квадратичным, так как при a = 0 оно фактически становится линейным уравнением вида Ьх + с = 0,

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю как по отдельности, так и вместе.В этих случаях квадратное уравнение называется неполным.

Определение.

Квадратное уравнение a x 2 + b x + c = 0 называется неполным , если хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю.

В свою очередь

Определение.

Полное квадратное уравнение Уравнение, в котором все коэффициенты отличны от нуля.

Эти имена даны не случайно. Это станет ясно из следующих соображений.

Если коэффициент b равен нулю, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0 x + c = 0, и оно эквивалентно уравнению ax 2 + c = 0. Если c = 0, то то есть квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + 0 = 0, тогда его можно переписать как ax 2 + bx = 0. А при b = 0 и c = 0 получаем квадратное уравнение a · X 2 = 0. Полученные уравнения отличаются от полного квадратного уравнения тем, что их левые части не содержат ни члена с переменной x, ни свободного члена, ни того и другого.Отсюда их название — неполные квадратные уравнения.

Итак, уравнения x 2 + x + 1 = 0 и −2 x 2 −5 x + 0,2 = 0 являются примерами полных квадратных уравнений, а x 2 = 0, −2 x 2 = 0,5 x 2 + 3 = 0, −x 2 −5 · x = 0 — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Из информации в предыдущем абзаце следует, что существует три вида неполных квадратных уравнений :

  • ax 2 = 0, коэффициенты b = 0 и c = 0 соответствуют Это;
  • a x 2 + c = 0 при b = 0;
  • и a x 2 + b x = 0 при c = 0.

Разберем по порядку, как решаются неполные квадратные уравнения каждого из этих типов.

а х 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых коэффициенты b и c равны нулю, то есть с уравнениями вида a · x 2 = 0. Уравнение a · x 2 = 0 эквивалентно уравнению x 2 = 0, который получается из оригинала делением обеих его частей на ненулевое число a. Очевидно, что корень уравнения x 2 = 0 равен нулю, так как 0 2 = 0.Других корней это уравнение не имеет, что объясняется, ведь для любого ненулевого числа p выполняется неравенство p 2> 0, откуда следует, что при p ≠ 0 равенство p 2 = 0 никогда не достигается.

Итак, неполное квадратное уравнение a · x 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

В качестве примера приведем решение неполного квадратного уравнения −4 · x 2 = 0. Уравнение x 2 = 0 ему эквивалентно, его единственный корень равен x = 0, следовательно, и исходное уравнение имеет единственный корень ноль.

Краткое решение в этом случае можно сформулировать так:
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

а х 2 + с = 0

Теперь рассмотрим, как решаются неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b равен нулю, а c ≠ 0, то есть уравнения вида a · x 2 + c = 0. Мы знаем, что перенос члена переход от одной части уравнения к другой с противоположным знаком, а также деление обеих частей уравнения на ненулевое число дает эквивалентное уравнение.Следовательно, мы можем провести следующие эквивалентные преобразования неполного квадратного уравнения a x 2 + c = 0:

  • переместим c в правую часть, что дает уравнение max 2 = −c,
  • и разделив обе части на a, получим.

Полученное уравнение позволяет сделать выводы о его корнях. В зависимости от значений a и c значение выражения может быть отрицательным (например, если a = 1 и c = 2, то) или положительным, (например, если a = −2 и c = 6, то), он не равен нулю, так как по условию c ≠ 0.Разберем отдельно случаи и.

Если, то уравнение не имеет корней. Это утверждение следует из того факта, что квадрат любого числа является неотрицательным числом. Из этого следует, что когда, то для любого числа p равенство выполняться не может.

Если, то иная ситуация с корнями уравнения. В этом случае, если вспомнить про, то сразу становится очевидным корень уравнения, это число, т.к. Несложно догадаться, что число действительно является корнем уравнения.Других корней это уравнение не имеет, что можно показать, например, от противного. Давай сделаем это.

Обозначим корни только что озвученного уравнения как x 1 и −x 1. Предположим, что уравнение имеет еще один корень x 2, отличный от указанных корней x 1 и −x 1. Известно, что подстановка его корней в уравнение вместо x превращает уравнение в истинное числовое равенство. Для x 1 и −x 1 имеем, а для x 2 имеем. Свойства числовых равенств позволяют выполнять почленное вычитание истинных числовых равенств, поэтому вычитание соответствующих частей равенств дает x 1 2 — x 2 2 = 0.Свойства действий с числами позволяют переписать полученное равенство как (x 1 — x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Мы знаем, что произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда при хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, из полученного равенства следует, что x 1 — x 2 = 0 и / или x 1 + x 2 = 0, что то же самое, x 2 = x 1 и / или x 2 = −x 1 Таким образом мы пришли к противоречию, поскольку в начале мы сказали, что корень уравнения x 2 отличен от x 1 и −x 1.Это доказывает, что уравнение не имеет корней, кроме и.

Подведем итог по этому пункту. Неполное квадратное уравнение а х 2 + с = 0 эквивалентно уравнению, что

  • не имеет корней, если,
  • имеет два корня и, если.

Рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений вида a · x 2 + c = 0.

Начнем с квадратного уравнения 9 x 2 + 7 = 0. После переноса свободного члена в правую часть уравнения он примет вид 9 · x 2 = −7.Разделив обе части полученного уравнения на 9, получим. Поскольку в правой части стоит отрицательное число, это уравнение не имеет корней, следовательно, исходное неполное квадратное уравнение 9 · x 2 + 7 = 0 не имеет корней.

Решите еще одно неполное квадратное уравнение −x 2 + 9 = 0. Переместите девятку вправо: −x 2 = −9. Теперь делим обе части на −1, получаем x 2 = 9. В правой части стоит положительное число, из которого делаем вывод, что или. Затем записываем окончательный ответ: неполное квадратное уравнение −x 2 + 9 = 0 имеет два корня x = 3 или x = −3.

а х 2 + b х = 0

Осталось разобраться с решением последнего типа неполных квадратных уравнений при c = 0. Неполные квадратные уравнения вида ax 2 + bx = 0 позволяют решить методом факторизации … Очевидно, мы можем , расположенный в левой части уравнения, для которого достаточно вынести общий множитель x. Это позволяет перейти от исходного неполного квадратного уравнения к эквивалентному уравнению вида x · (a · x + b) = 0.И это уравнение эквивалентно комбинации двух уравнений x = 0 и a x + b = 0, последнее из которых является линейным и имеет корень x = −b / a.

Итак, неполное квадратное уравнение a x 2 + b x = 0 имеет два корня x = 0 и x = −b / a.

Для закрепления материала разберем решение на конкретном примере.

Пример.

Решите уравнение.

Решение.

Вынимая x из скобок, получаем уравнение.Это эквивалентно двум уравнениям x = 0 и. Решаем полученное линейное уравнение:, и разделив смешанное число на обыкновенную дробь, находим. Следовательно, корни исходного уравнения — x = 0 и.

После получения необходимой практики решения таких уравнений можно записать вкратце:

Ответ:

х = 0 ,.

Дискриминант, формула для корней квадратного уравнения

Существует формула корня для решения квадратных уравнений.Запишем квадратную формулу :, где D = b 2 −4 a c — так называемый квадратичный дискриминант … Обозначение по сути означает то.

Полезно знать, как была получена формула корней и как она применяется при нахождении корней квадратных уравнений. Давайте разберемся.

Вывод формулы для корней квадратного уравнения

Допустим, нам нужно решить квадратное уравнение a x 2 + b x + c = 0.Выполним несколько эквивалентных преобразований:

  • Мы можем разделить обе части этого уравнения на ненулевое число a, в результате мы получим сокращенное квадратное уравнение.
  • Теперь выберите полный квадрат с левой стороны :. После этого уравнение примет вид.
  • На данном этапе можно осуществить перенос двух последних членов в правую часть с противоположным знаком, как у нас.
  • А еще трансформируем выражение в правой части :.

В результате мы приходим к уравнению, эквивалентному исходному квадратному уравнению a x 2 + b x + c = 0.

Мы уже решали уравнения, аналогичные по форме в предыдущих параграфах, когда мы их анализировали. Это позволяет сделать следующие выводы относительно корней уравнения:

  • если, то уравнение не имеет реальных решений;
  • если, то уравнение имеет вид, следовательно, откуда виден его единственный корень;
  • если, то или, что одно и то же, или, то есть уравнение имеет два корня.

Таким образом, наличие или отсутствие корней уравнения, а значит и исходного квадратного уравнения, зависит от знака выражения в правой части. В свою очередь, знак этого выражения определяется знаком числителя, поскольку знаменатель 4 · a 2 всегда положительный, то есть знак выражения b 2 −4 · a · c. Это выражение b 2 −4 a c было названо дискриминантом квадратного уравнения и обозначено буквой D … Отсюда понятна суть дискриминанта — по его значению и знаку делается вывод, имеет ли квадратное уравнение действительные корни, и если да, то каково их количество — один или два.

Возвращаясь к уравнению, перепишем его, используя дискриминантную запись :. И делаем выводы:

  • если D
  • если D = 0, то это уравнение имеет единственный корень;
  • наконец, если D> 0, то уравнение имеет два корня или, которые в силу этого можно переписать в виде или, а после разложения и сведения дробей к общему знаменателю получим.

Итак, мы вывели формулы для корней квадратного уравнения, они имеют вид, где дискриминант D вычисляется по формуле D = b 2 −4 · a · c.

С их помощью с положительным дискриминантом можно вычислить оба действительных корня квадратного уравнения. Когда дискриминант равен нулю, обе формулы дают одно и то же значение корня, соответствующее единственному решению квадратного уравнения. А с отрицательным дискриминантом, пытаясь использовать формулу для корней квадратного уравнения, мы сталкиваемся с извлечением квадратного корня из отрицательного числа, что выводит нас за рамки школьной программы… С отрицательным дискриминантом квадратное уравнение не имеет действительных корней, но имеет пару комплексно сопряженных корня , которые можно найти, используя те же формулы корней, которые мы получили.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

На практике при решении квадратных уравнений можно сразу использовать формулу корней, с помощью которой можно вычислить их значения. Но это больше касается поиска сложных корней.

Однако в школьном курсе алгебры обычно речь идет не о комплексных, а о вещественных корнях квадратного уравнения.В этом случае желательно сначала найти дискриминант перед использованием формул для корней квадратного уравнения, убедиться в его неотрицательности (в противном случае можно сделать вывод, что уравнение не имеет действительных корней) и только после которые вычисляют значения корней.

Приведенное выше рассуждение позволяет написать решатель квадратного уравнения … Для решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 необходимо:

  • по дискриминантной формуле D = b 2 −4 · a · C рассчитать его стоимость;
  • заключают, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, если дискриминант отрицательный;
  • вычислить единственный корень уравнения по формуле, если D = 0;
  • найти два действительных корня квадратного уравнения, используя формулу корня, если дискриминант положительный.

Здесь просто отметим, что если дискриминант равен нулю, можно использовать и формулу, она даст то же значение, что и.

Можно перейти к примерам использования алгоритма решения квадратных уравнений.

Примеры решения квадратных уравнений

Рассмотрим решения трех квадратных уравнений с положительным, отрицательным и нулевым дискриминантами. Разобравшись с их решением, по аналогии можно будет решить любое другое квадратное уравнение.Давайте начнем.

Пример.

Найдите корни уравнения x 2 + 2 x — 6 = 0.

Решение.

В данном случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a = 1, b = 2 и c = −6. По алгоритму сначала нужно вычислить дискриминант, для этого подставляем указанные a, b и c в формулу дискриминанта, у нас D = b 2 −4 ac = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28 … Поскольку 28> 0, то есть дискриминант больше нуля, квадратное уравнение имеет два действительных корня.Находим их по формуле корня, получаем, здесь можно упростить полученные выражения, выполнив , вычленив знак корня с последующим уменьшением дроби:

Ответ:

Перейдем к следующему типичному примеру.

Пример.

Решите квадратное уравнение −4×2 + 28x — 49 = 0.

Решение.

Начнем с нахождения дискриминанта: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0… Следовательно, это квадратное уравнение имеет единственный корень, который мы находим как

Ответ:

х = 3,5.

Осталось рассмотреть решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Пример.

Решите уравнение 5 y 2 + 6 y + 2 = 0.

Решение.

Вот коэффициенты квадратного уравнения: a = 5, b = 6 и c = 2. Подставляя эти значения в дискриминантную формулу, имеем D = b 2 −4 ac = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4… Дискриминант отрицательный, следовательно, это квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если нужно указать комплексные корни, то применим известную формулу для корней квадратного уравнения и выполним операции с комплексными числами :

Ответ:

настоящих корней нет, сложные корни выглядят следующим образом :.

Еще раз отметим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицательный, то в школе обычно сразу записывают ответ, в котором указывают, что реальных корней нет, а комплексные корни не найдены.

Формула корня для четных вторых коэффициентов

Формула корней квадратного уравнения, где D = b 2 −4 ac, позволяет получить формулу более компактного вида, позволяющую решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x (или просто с коэффициентом вида 2 n, например, или 14 ln5 = 2 7 ln5). Давай вытащим это.

Допустим, нам нужно решить квадратное уравнение вида a x 2 + 2 n x + c = 0. Найдем его корни по известной нам формуле.Для этого вычисляем дискриминант D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c), а затем используем формулу корня:

Обозначим выражение n 2 — a · c как D 1 (иногда его обозначают D «). Тогда формула для корней рассматриваемого квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2 n принимает вид, где D 1 \ u003d n 2 — a · c.

Легко видеть, что D = 4 · D 1, или D 1 = D / 4. Иными словами, D 1 — четвертая часть дискриминанта.Понятно, что знак D 1 совпадает со знаком D. То есть знак D 1 также является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Итак, чтобы решить квадратное уравнение со вторым коэффициентом 2 n, вам нужно

  • Вычислить D 1 = n 2 −a · c;
  • Если D 1
  • Если D 1 = 0, то вычислить единственный корень уравнения по формуле;
  • Если D 1> 0, то найти два действительных корня по формуле.

Рассмотрим решение примера с использованием формулы корня, полученной в этом абзаце.

Пример.

Решите квадратное уравнение 5×2 −6x — 32 = 0.

Решение.

Второй коэффициент этого уравнения может быть представлен как 2 · (−3). То есть можно переписать исходное квадратное уравнение в виде 5 x 2 + 2 (−3) x — 32 = 0, здесь a = 5, n = −3 и c = −32, и вычислить четвертая часть дискриминанта: D 1 = n 2 −ac = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169… Поскольку его значение положительное, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их, используя соответствующую формулу корня:

Обратите внимание, что можно было использовать обычную формулу для корней квадратного уравнения, но в этом случае потребуется больше вычислительной работы.

Ответ:

Упрощение квадратных уравнений

Иногда, прежде чем приступить к вычислению корней квадратного уравнения по формулам, не помешает задать вопрос: «Можно ли упростить вид этого уравнения»? Согласитесь, что в плане расчетов решить квадратное уравнение 11 x 2 −4 x — 6 = 0 будет проще, чем 1100 x 2 −400 x — 600 = 0.

Обычно упрощение формы квадратного уравнения достигается умножением или делением обеих его частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце нам удалось упростить уравнение 1100×2 −400x — 600 = 0, разделив обе части на 100.

Аналогичное преобразование проводится с квадратными уравнениями, коэффициенты которых нет. В этом случае обе части уравнения обычно делятся на абсолютные значения его коэффициентов. Например, возьмем квадратное уравнение 12 x 2 −42 x + 48 = 0.абсолютные значения его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = НОД (НОД (12, 42), 48) = НОД (6, 48) = 6. Деление обеих сторон исходной квадратичной уравнение на 6, приходим к эквивалентному квадратному уравнению 2 x 2 −7 x + 8 = 0.

А умножение обеих частей квадратного уравнения обычно делается, чтобы избавиться от дробных коэффициентов. В этом случае умножение осуществляется на знаменатели его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4 x — 18 = 0.

В заключение этого абзаца отметим, что мы почти всегда избавляемся от минуса в главном коэффициенте квадратного уравнения, меняя знаки всех членов, что соответствует умножению (или делению) обеих частей на −1. Например, обычно от квадратного уравнения −2×2 −3x + 7 = 0 переходит к решению 2×2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения

Формула для корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты.На основе формулы корня можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Самые известные и применимые формулы взяты из теоремы Виета о форме и. В частности, для данного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Например, по виду квадратного уравнения 3 x 2 −7 x + 22 = 0 сразу можно сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Используя уже написанные формулы, можно получить ряд других соотношений между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Например, вы можете выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Список использованной литературы.

  • Алгебра: уч. за 8 кл. общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд.- М .: Просвещение, 2008. — 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.
  • А.Г. Мордкович Алгебра. 8 класс. В 14.00 Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 11-е изд., Стер. — М .: Мнемозина, 2009. — 215 с .: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

Just. По формулам и понятным простым правилам. На первом этапе

необходимо привести данное уравнение к стандартному виду, т.е. посмотреть:

Если уравнение уже дано вам в этой форме, вам не нужно делать первый шаг.Самое главное правильно

определяют все коэффициенты, и , b и c .

Формула для нахождения корней квадратного уравнения.

Выражение под знаком корня называется дискриминантом
… Как видите, чтобы найти x, мы

использовать только a, b и c .
Тех. коэффициенты из квадратного уравнения … Просто аккуратно подставьте

означает a, b и c в эту формулу и посчитайте.Замените на их знака!

например , в уравнении:

, и = 1; b = 3; с = -4.

Подставляем значения и пишем:

Пример почти решен:

Это ответ.

Самая распространенная ошибка — путаница со значащими знаками. a, b и из … Вернее, с заменой

отрицательных значения в формулу вычисления корней.Здесь подробное обозначение формулы спасает

с конкретными номерами. Если у вас есть вычислительные проблемы, сделайте это!

Предположим, вам нужно решить этот пример:

Здесь a = -6;
b = -5;
с = -1

Расписываем все подробно, тщательно, ничего не упускаем со всеми знаками и скобками:

Квадратные уравнения часто выглядят немного иначе.Например, так:

А теперь обратите внимание на передовые методы, которые значительно уменьшат количество ошибок.

Первый прием … Не поленитесь решить квадратное уравнение и привести его к стандартному виду.

Что это значит?

Допустим, после любых преобразований вы получили следующее уравнение:

Не торопитесь писать формулу корня! Вы почти наверняка перепутаете шансы. а, б и в.

Постройте пример правильно. Сначала X возводится в квадрат, затем без квадрата, затем свободный член. Как это:

Избавьтесь от минуса. Как? Вы должны умножить все уравнение на -1. Получаем:

Но теперь вы можете спокойно записать формулу для корней, вычислить дискриминант и завершить пример.

Сделай сам. У вас должны быть корни 2 и -1.

Прием второй. Проверь корни! По теореме vieta .

Для решения данных квадратных уравнений, т.е. если коэффициент

х 2 + bx + c = 0,

, затем x 1 x 2 = c

х 1 + х 2 = — б

Для полного квадратного уравнения, в котором a ≠ 1 :

x 2 + b x + c = 0,

разделите все уравнение на и:

→ →

, где x 1, и x 2 — корни уравнения.

Прием третий … Если ваше уравнение содержит дробные коэффициенты, избавьтесь от дробей! Умножить

уравнение с общим знаменателем.

Выход. Практический совет:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, строим справа .

2. Если перед x в квадрате стоит отрицательный коэффициент, мы исключаем его, умножая сумму

.

уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные, мы исключаем дроби, умножая все уравнение на соответствующее

Фактор

.

4. Если квадрат x чистый, коэффициент равен единице, решение можно легко проверить с помощью

.

Квадратные уравнения … Общие сведения.

IN квадратичный x должен присутствовать в квадрате (поэтому он называется

«Квадрат»). Помимо него в уравнении могут (а может и не быть!) Просто x (в первой степени) и

просто номер ( свободный член ). И не должно быть x в степени больше двух.

Общее алгебраическое уравнение.

где x — свободная переменная, a ,
b , c — коэффициенты, а a 0
.

например :

Выражение квадратное трехчлен .

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия:

Вызывается первым или наивысшим коэффициентом,

Называется второй или коэффициент при,

· Вызывается свободным участником.

Полное квадратное уравнение.

Эти квадратные уравнения содержат полный набор членов слева. X в квадрате с

коэффициент и, x в первой степени с коэффициентом b и свободный член от. IN все коэффициенты

должно быть ненулевым.

Неполное называется квадратным уравнением, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме

наивысший из них (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.

Предположим, что b = 0, — x исчезает в первой степени. Получается, например:

2х 2 -6х = 0,

и т.д. И если оба коэффициента, b и c равны нулю, то все еще проще, например:

2х 2 = 0,

Обратите внимание, что квадрат x присутствует во всех уравнениях.

Почему и не могут быть нулевыми? Затем квадрат x исчезает, и уравнение становится линейным .

И решено совсем иначе …

Неполное квадратное уравнение отличается от классических (полных) уравнений тем, что его множители или точка пересечения равны нулю. График таких функций — параболы. В зависимости от общего вида они делятся на 3 группы. Принципы решения для всех типов уравнений одинаковы.

Нет ничего сложного в определении типа неполного многочлена. Лучше всего рассмотреть основные отличия на наглядных примерах:

  1. Если b = 0, то уравнение имеет вид ax 2 + c = 0.
  2. Если c = 0, то следует решить выражение ax 2 + bx = 0.
  3. Если b = 0 и c = 0, то многочлен становится равенством типа ax 2 = 0.

Последний случай является скорее теоретической возможностью и никогда не встречается в задачах проверки знаний, поскольку единственное допустимое значение переменной x в выражении равно нулю. В дальнейшем будут рассмотрены методы и примеры решения неполных квадратных уравнений 1) и 2) типов.

Общий алгоритм поиска переменных и примеры с решением

Независимо от типа уравнения алгоритм решения сводится к следующим шагам:

  1. Приведите выражение к форме, удобной для поиска корней.
  2. Выполните вычисления.
  3. Запишите свой ответ.

Самый простой способ решить неполные уравнения — это факторизовать левую часть и оставить ноль справа. Таким образом, формула неполного квадратного уравнения для нахождения корней сводится к вычислению значения x для каждого из факторов.

Можно только научиться решать его на практике, поэтому давайте рассмотрим конкретный пример нахождения корней неполного уравнения:

Как видите, в данном случае b = 0. Факторизуем левую часть и получаем выражение:

4 (х — 0,5) ⋅ (х + 0,5) = 0.

Очевидно, что произведение равно нулю, если хотя бы один из факторов равен нулю. Этим требованиям соответствуют значения переменной x1 = 0,5 и (или) x2 = -0,5.

Чтобы легко и быстро справиться с задачей разложения трехчлена квадрата на множители, вы должны запомнить следующую формулу:

Если в выражении нет свободного члена, задача значительно упрощается.Достаточно просто найти и вынести общий знаменатель. Для наглядности рассмотрим пример решения неполных квадратных уравнений вида ax2 + bx = 0.

Возьмем переменную x за скобки и получим следующее выражение:

х ⋅ (х + 3) = 0.

Руководствуясь логикой, приходим к выводу, что x1 = 0, а x2 = -3.

Традиционное решение и неполные квадратные уравнения

Что произойдет, если вы примените дискриминантную формулу и попытаетесь найти корни многочлена с коэффициентами, равными нулю? Возьмем пример из сборника типовых заданий к ЕГЭ в 2017 году, решим его по стандартным формулам и методом факторинга.

7х 2 — 3х = 0.

Рассчитаем значение дискриминанта: D = (-3) 2-4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Получается, что у полинома два корня:

Теперь давайте решим уравнение на множители и сравним результаты.

Х ⋅ (7х + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Как видите, оба метода дают одинаковый результат, но решение уравнения вторым методом оказалось намного проще и быстрее.

Теорема Виета

А что делать с любимой теоремой Виета? Можно ли использовать этот метод с неполным трехчленом? Попробуем разобраться в аспектах приведения неполных уравнений к классическому виду ax2 + bx + c = 0.

Фактически, в этом случае можно применить теорему Виета. Нужно только привести выражение к общему виду, заменив недостающие члены на ноль.

Например, при b = 0 и a = 1, чтобы исключить вероятность путаницы, задание следует записать в виде: ax2 + 0 + c = 0.Тогда отношение суммы и произведения корней и множителей многочлена можно выразить следующим образом:

Теоретические расчеты помогают познакомиться с сутью вопроса и всегда требуют практических навыков решения конкретных задач. Обратимся еще раз к справочнику типовых заданий к ЕГЭ и найдем подходящий пример:

Запишем выражение в форме, удобной для применения теоремы Виета:

х 2 + 0-16 = 0.

Следующим шагом будет создание системы условий:

Очевидно, что корни квадратного многочлена будут x 1 = 4 и x 2 = -4.

А теперь попрактикуемся в приведении уравнения к общему виду. Возьмем следующий пример: 1/4 × x 2-1 = 0

Чтобы применить теорему Виета к выражению, необходимо избавиться от дроби. Умножьте левую и правую части на 4 и посмотрите на результат: x2– 4 = 0. Полученное равенство готово к решению по теореме Виета, но гораздо проще и быстрее получить ответ, просто передав c \ u003d 4 в правую часть уравнения: x2 = 4.

Подводя итоги, следует сказать, что лучший способ решения неполных уравнений — это факторизация, которая является самым простым и быстрым методом. Если вы столкнулись с трудностями в процессе поиска корней, можете обратиться к традиционному методу поиска корней через дискриминант.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.