Как разделить данный отрезок на n равных частей: Применение теоремы Фалеса. Пример 1

Содержание

Деление картинки на N равных частей

Мне нужна формула (логика), чтобы разделить фиксированную область на ‘N’ количество равных частей. Например, у меня есть картинка / изображение 800*800,, так что теперь мне нужно разрезать его на 10 равных частей и каков будет размер нарезанных частей. Вы можете мне в этом помочь?

algorithm

logic

Поделиться

Источник


user1129951    

07 февраля 2012 в 08:04

2 ответа


  • Деление времени на двенадцать равных частей

    Я пытаюсь получить значение 12 равных частей длины ночи. Вот как выглядит мой стол: sunrise_time sunset_time Day_Length Night_length 2014-01-01 06:02:41.000 2014-01-01 20:44:05.000 14:41:24.0000000 09:18:36.0000000 Это мой запрос, но я получаю day_length вместо night_light : select…

  • Разделить строку на N равных частей?

    У меня есть строка, которую я хотел бы разделить на N равных частей. Например, представьте, что у меня есть строка длиной 128, и я хочу разделить ее на 4 куска длиной 32 каждый; то есть сначала 32 символа, затем вторые 32 и так далее. Как я могу это сделать?



2

Поскольку вы не указываете, что они должны быть квадратными или накладывать какие-либо другие ограничения, кроме «десяти равных частей», почему бы вам просто не разрезать изображение на (для вашего примера) десять изображений 80*800 (или 800*80, если вы хотите разрезать в другом измерении)?

Это даст десять кусков одинакового размера, не беспокоясь о том, есть ли у вас оптимальные квадраты и так далее. Если вариант использования просто разрезается на равные части (например, изображение, идущее по проводам из сети, где десять небольших запросов могут показаться более отзывчивыми, чем один большой), это будет работать нормально.

Другими словами, что-то вроде:

def getSlice (sliceNumber, sliceCount, image):
    xpos   = 0
    xsize  = image.xsize

    ypos   =  sliceNumber      * image.ysize / sliceCount
    ypos2  = (sliceNumber + 1) * image.ysize / sliceCount

    if sliceNumber < sliceCount - 1:
        ysize = ypos2 - ypos1
    else:
        ysize = image.ysize - ypos1 - 1

    return image.subImage (xpos, ypos, xsize, ysize)

При вызове его с пятью кусочками вы получите:

+-------------------------------------------+
|           getSlice (0, 5, image)          |
+-------------------------------------------+
|           getSlice (1, 5, image)          |
+-------------------------------------------+
|           getSlice (2, 5, image)          |
+-------------------------------------------+
|           getSlice (3, 5, image)          |
+-------------------------------------------+
|           getSlice (4, 5, image)          |
+-------------------------------------------+

Материал ypos/ypos2 и заявление if в конце предназначены для удовлетворения ситуаций, когда деления могут не давать идеально выровненных чисел. Они должны гарантировать, что вы не будете дублировать или пропускать какие-либо строки из изображения.

Поделиться


paxdiablo    

07 февраля 2012 в 08:12



0

Во — первых, вы должны найти для N все такие пары k,l, что k*l=N. K — число строк, l-число столбцов.

Во-вторых, вы должны выбрать из этих пар ту, которую хотите.

После этого вы должны вырезать изображение.

Какой шаг создает проблему?

Если вам нужны, например, самые квадратные части, проверьте все l, начиная с sqrt(N), на единицу. Получите первый разделитель, который вы найдете. Таким образом, вы можете объединить шаги 1 и 2.

Поделиться


Gangnus    

07 февраля 2012 в 09:53


Похожие вопросы:

Разделить массив C на n равных частей

Я пытаюсь разделить массив на n равных частей, вычисляя начальный и конечный индексы. Адрес начального и конечного элементов будет передан в функцию, которая будет сортировать эти массивы. Например,…

Как разделить список на n равных частей, python

Данный ( любой ) список слов lst я должен разделить на 10 равных частей. x = len(lst)/10 как дать этим частям имена переменных? В выводе мне нужно 10 переменных ( part1, part2… part10 ) с x…

android деление окружности на N равных частей и знание координат каждой точки деления

У меня есть требование, чтобы круг был разделен на N равных частей на основе числа (2,3…n. Но мне нужны координаты разделительных точек. У меня есть круг, чьи centre(x,y) и radius(150) известны….

Деление времени на двенадцать равных частей

Я пытаюсь получить значение 12 равных частей длины ночи. Вот как выглядит мой стол: sunrise_time sunset_time Day_Length Night_length 2014-01-01 06:02:41.000 2014-01-01 20:44:05.000 14:41:24.0000000…

Разделить строку на N равных частей?

У меня есть строка, которую я хотел бы разделить на N равных частей. Например, представьте, что у меня есть строка длиной 128, и я хочу разделить ее на 4 куска длиной 32 каждый; то есть сначала 32…

Как найти значение координат всех точек, которые делят линию на 5 равных частей

Как разделить линию на n равных частей, например-5 равных частей. Например, мне нужно добавить 5 точек на прямой линии на основе координат начальной и конечной точки XY, приведенных ниже: Отправная…

Разбить Кортеж на n частей

Я пытаюсь создать функцию, которая получает диапазон двойников (Double, Double) и n (Int), где я делю этот интервал на n равных частей. Я знаю, что если бы это был список, я бы разделил его на…

Разделите линию на n равных частей

Я рисую линию от точки A(x1,y1) до точки B (x2,y2). Теперь мне нужно разделить эту линию на n равных частей. Линия не прямая, поэтому я не могу вычислить точки на основе оси x и ширины. Я рисую…

разбиение массива javascript на n равных частей?

Как разделить этот массив ans на n равных частей? если 1-100-это предоставленный вход, я хочу, чтобы выход был разделен на куски по 10, отображаемые в отдельных строках. function range(start, end) {…

Разделить строку на N частей

Я разрабатываю код Arduino, который принимает на вход строку с переменным размером, и цель состоит в том, чтобы разделить строку на N частей (также N берется на вход кодом Arduino, и это…

Урок 5. теорема фалеса — Геометрия — 8 класс

Возьмем лист бумаги с параллельными краями, отложим не нем произвольный отрезок AB и проведем прямые, перпендикулярные AB. Согнем лист по этим перпендикулярам, повторим сгибы несколько раз и раскроем лист. Измерим отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1.
Повторим такие же действия с листом бумаги, у которого края не параллельны. Измерим отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1.
И в первом и во втором случае отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1 равны. Их равенство доказывается теоремой, которую нызывают по имени греческого математика Фалеса Милетского.
Формулировка теоремы Фалеса:
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных).
Дано: А1А2 = А2А3
c || d || e
Доказать: В1В2 = B2В3
Доказательство:
А) пусть a || b
А1А2 = В1В2
А2А3 = B2В3
Как противоположные стороны параллелограммов. По условию А1А2 = А2А3, следовательно В1В2 = B2В3
Б) пусть ab

Проведем прямую k, параллельную прямой a, она пересечет прямую с в точке F, прямую d в точке В2, прямую e в точке Е.
A1FB2A2 – параллелограмм, значит А1А2 = FB2
Аналогично доказывается, что А2А3 = B2E, по условию А1А2 = А2А3, значит FB2 = B2E. Треугольники B1FB2 и B2B3E равны по стороне и двум углам.
Следовательно, В1В2 = B2В3
В общем виде теорема Фалеса формулируется так: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки.
Есть и более короткая формулировка: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Доказанная выше теорема является частным случаем общей теоремы Фалеса, так как равные отрезки пропорциональны с коэффициентом, равным единице.
Для теоремы Фалеса верно обратное утверждение:
Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.
В этой теореме важно, что равные отрезки начинаются от вершины.

С помощью теоремы Фалеса можно разделить данный отрезок на n равных частей.
Пусть дан отрезок AB длиной 8 см. Требуется разделить его на 7 равных частей.
Решение:
Проведем луч с началом в точке А, отличный от отрезка АВ, и отложим на нем с помощью циркуля последовательно семь равных отрезков, начиная от точки А.
Конец последнего отрезка соединим с точкой B и проведем параллельные прямые через каждую из точек до пересечения с отрезком АВ.

Отрезок АВ разделится на 7 частей, они равны между собой по теореме Фалеса.

Фалес Милетский – родился приблизительно в 625 г. умер в середине VI в. до н.э. – родоначальник европейской науки и философии математик, астроном и политический деятель. Фалес происходил из знатного финикийского рода, был современником Солона и Креза, среди сограждан пользовался большим уважением.
В геометрии Фалесу приписывают открытие и доказательство ряда теорем: о делении круга диаметром пополам, о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, о равенстве вертикальных углов, один из признаков равенства прямоугольных треугольников и другие.
Фалес впервые ввел в науку, и в частности в математику, доказательство.
Теорема Фалеса используется не только в геометрии, но и в морской навигации. Она выступает в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

Читать онлайн «Геометрические построения на плоскости» бесплатно

Введение

Под геометрическими построениями понимают элементарные построения на плоскости, основанные на основных положениях геометрии.

Геометрические построения на плоскости производятся с помощью циркуля и линейки.

Базовыми задачами при построении на плоскости являются:

— Построение отрезка, равного данному.

— Деление отрезка пополам.

— Деление отрезка на части.

— Построение перпендикуляра к отрезку в данной точке.

— Построение серединного перпендикуляра данного отрезка.

— Построение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярную данной прямой.

— Построение прямой, параллельной данной прямой и проходящей через заданную точку.

— Построение угла, равного данному.

— Деление угла на части.

— Построение касательных к окружности.

— Построение вписанных и описанных окружностей.

Существуют задачи на построение, которые не разрешимы с помощью циркуля и линейки. К ним относятся:

1. Задача о делении угла на три равные части.

2. Задача о построении куба, объем которого в два раза больше объема данного куба.

3. Задача о построении квадрата, равновеликого данному кругу.

Задачи на построение обычно разделяют на четыре части: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ состоит в установлении зависимостей между данными фигурами и искомой фигурой с целью нахождения способа решения задачи.

Построение состоит в перечислении основных построений, которые надо выполнить для решения задачи, при этом выполняя действия на чертеже.

Доказательство служит для того, чтобы удовлетвориться, что построенная фигура удовлетворяет всем поставленным условиям. Иногда это непосредственно следует из анализа и построения.

При исследовании рассматриваются варианты, когда задача не имеет решения или имеет несколько вариантов решения при различных данных.

Построение отрезков и прямых

Задание 1. Построить отрезок равный данному.

Решение. На прямой отмечаем точку А — начало отрезка. Затем раствором циркуля, равным данному отрезку на прямой из точки А откладываем отрезок АВ, равный данному.

Задание 2. Разделить отрезок пополам.

Решение. Пусть дан отрезок АВ:

Из точек А и В проводим дуги радиусом большим половины длины отрезка:

Соединяем точки пересечения дуг. Точка пересечения с отрезком АВ делит данный отрезок пополам:

Подобным образом строится серединный перпендикуляр к отрезку.

Задание 3. Разделить данный отрезок на данное число равных частей.

Решение. Проводим прямую, параллельную данному отрезку АВ.

На прямой откладываем нужное число равных отрезков.

Через крайние точки и точки А и В проводим прямые и получаем точку О.

Через точку О и остальные точки проводим прямые, которые и отсекают на отрезке АВ равные части.

Эту задачу можно решить другим способом.

Через любой конец отрезка AB под произвольным углом к нему (лучше острым) проводим прямую AC. С помощью циркуля от точки A на прямой AC откладываем нужно число равных отрезков. Последнюю точку D соединяем с точкой B, а через остальные точки проводим прямые, параллельные прямой BD, до пересечения их с отрезком AB. Точки пересечения разделят отрезок AB на нужные равные части.

Задание 4. Разделить данный отрезок на части, пропорциональные данным величинам.

Решение. Проводим прямую, параллельную данному отрезку АВ.

На прямой откладываем отрезки, пропорциональные данным величинам.

Через крайние точки и точки А и В проводим прямые и получаем точку О.

Через точку О и остальные точки проводим прямые, которые и отсекают на отрезке АВ пропорциональные части.

Задание 5. Построить перпендикуляр к прямой MN в данной ее точке А.

Решение. Пусть дана прямая MN и точка А лежащая на этой прямой.

Из произвольной точки О, не лежащей на прямой, проводим окружность радиусом ОА. Через вторую точку В пересечения окружности с прямой проводим диаметр ВС. Конец диаметра С соединяем с точкой А.

СА — искомый перпендикуляр.

Задание 6. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной.

Решение. Возможны два случая:

1. Пусть даны прямая а и точка А, не лежащая на прямой а:

Из точки А проводим дугу, так чтобы она пересекала прямую а в двух точках:

Из точек пересечения дуги с прямой а проводим две дуги тем же радиусом:

Соединяем точки пересечения дуг и получаем прямую, перпендикулярную прямой а и проходящую через точку А:

2. Пусть даны прямая а и точка А, лежащая на прямой а:

Из точки А строим дугу произвольного радиуса:

Из точек пересечения прямой и дуги проводим две дуги равными радиусами:

Через точки пересечения дуг проводим прямую и получаем перпендикуляр к прямой а в точке А:

Задание 7. Через данную точку провести прямую, параллельную данной.

Решение. Пусть дана прямая АВ и точка С, не лежащая на прямой.

Произвольным раствором циркуля проводим окружность с центром в точке С так, чтобы она пересекла прямую АВ.

Тем же раствором циркуля от одной из точек пересечения М откладываем на АВ в любую сторону отрезок MN. Снова тем же раствором засекаем из точки N дугу. Точку Р пересечения дуги с окружностью соединяем с данной точкой С.

РС — искомая прямая.

Задание 8. Провести прямую, параллельную заданной прямой MN и отстоящую от нее на расстояние а.

Решение. Через произвольную точку В на прямой MN проводим прямую AB, перпендикулярную к заданной. На перпендикуляре от точки В откладываем отрезок BC, равный заданному расстоянию а. Через точку С проводим прямую CD, параллельную заданной.

Отрезок BC можно отложить на перпендикуляре в обе стороны, поэтому задача имеет два решения.

Задание 9. Даны отрезки а и b. Построить отрезок длиной.

Решение. Построим отрезок длиной а+b:

Делим полученный отрезок пополам и проводим окружность радиусом (a+b):2.

Из точки С проводим перпендикуляр до пересечения с окружностью:

Вопрос 2

Разделить
данный отрезок  AB на n равных
частей.

Построение. Пусть
[ AB ] – данный отрезок. Проведем из
точки A луч a , не содержащий
отрезок AB . Отложим от точки A на
построенном луче равные
отрезки: AA 1, A 1 A 2, … ,  A n  – 1 A .
Соединим точки A и B .
Проведем через точки A 1,  A 2, … ,  A n  – 1 прямые,
параллельные прямой A B (см. § 8.6).
Они пересекают отрезокAB в
точках B 1,  B 2, … ,  B n  – 1.
Отрезки AB 1,  B 1 B 2, … ,  B n  – 1 B –
искомые отрезки.

Модель 8.10.
Деление отрезка на равные части.

Равенство
отрезков AB 1  =  B 1 B 2  = … =  B n  – 1 B следует
непосредственно из теоремы Фалеса.

 Рисунок
8.8.1.

Билет
№3

1.
Пропорциональные отрезки в круге.

2.
Вывод формулы для вычисления суммы
углов выпуклого многоугольника.

Вопрос 1

Теорема
1

Если
через точку, лежащую внутри круга,
проведены диаметр и хорда, то произведение
отрезков хорды равно произведению
отрезков диаметра. Требуется доказать: 

.

 как
вертикальные, 

 как
вписанные. 

 и
их сходственные стороны пропорциональны: 

,
откуда 

 .

Следствие
1

Для
всех хорд, проходящих через данную точку
внутри круга, произведение отрезков
постоянно ( 

 ).

Теорема
2

Если
из точки, лежащей вне круга, проведены
секущая и касательная, то произведение
секущей на ее внешнюю часть равно
квадрату касательной. 

Дано:
окружность, 

 и 

 —
секущая и касательная. Требуется
доказать: 

.

 ( 

 —
об­щий и 

 ,
так как каждый из них измеряется 

).
Против их равных углов лежат пары
сходст­венных сторон: 

 и 

 и 

,
откуда 

.

Следствие
2

Для
всех секущих, проходящих через данную
точку вне круга, произведение секущей
на ее внешнюю часть постоянно ( 

 ).

Если
из точки 

 окружности
опущен перпендикуляр на диаметр, то
перпендикуляр является средним
пропорциональным между отрезками
диаметра. 

Дано: 

 . 

Требуется
доказать: 

.

Если
из точки 

 окружности
опущен перпендикуляр на диаметр, то
хорда, соединяющая точку Сс концом
диаметра, есть среднее пропорциональное
между диаметром и проекцией хорды на
диаметр. 

Дано: 

 . 

Требуется
доказать: 

.

Теоремы
3 и 4 являются следствиями теорем о
средних пропорциональных отрезках в
прямоугольном треугольнике.

Вопрос 2

Сумма углов n-угольника
равна 180°(n-2).

Доказательство
проводится для случая выпуклого
n-угольника

В
случае n=3 смотреть Теорема о сумме
углов треугольника.

Пусть 
 —
данный выпуклый многоугольник и n > 3.
Тогда проведем из одной вершины к
противоположным вершинам n-3 диагонали: 
.
Так как многоугольник выпуклый, то эти
диагонали разбивают его на n — 2
треугольника: 
.
Сумма углов многоугольника совпадает
с суммой углов всех этих треугольников.
Сумма углов в каждом треугольнике равна
180°, а число этих треугольников есть
n-2. Следовательно, сумма углов n-угольника
равна 180°(n-2). Теорема
доказана.

Билет
№4

1.
Параллельные прямые(определение).
Признаки параллельности двух прямых и
доказательство всех.

2. Нахождение
гипотенузы, катета и острого угла
прямоугольного треугольника по данным
его второму катету и острому углу.

Математика. Основы геометрии: Теорема Фалеса. Разбиение отрезка на заданное число равных частей

Главная >
Образование >
Математика >
МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

Теорема Фалеса

Пусть две произвольные прямые x и y пересекаются тремя параллельными прямыми n1, n2 и n3 в точках X1, X2, X3 и Y1, Y2, Y3, как показано на рисунке:

 

Пусть, далее, про точки X1, X2 и X3, расположенные на прямой x, известно, что они следуют друг за другом через равные расстояния, так что |X1X2| = |X2X3|. Мы собираемся теперь доказать, что точки Y1, Y2 и Y3, расположенные на прямой y, также следуют друг за другом через равные расстояния: |Y1Y2| = |Y2Y3|. Это утверждение известно как теорема Фалеса. (Под теоремами математики понимают важные утверждения, которые можно доказать на основании ранее установленных фактов. Некоторые из теорем называются именами выдающихся математиков — как в данном случае.)

Приступаем к доказательству. Для этого через точку Y2 проведем прямую x1, параллельную прямой x. У нас образовалось два параллелограмма с общей стороной X2Y2.

 

Обозначим точки пересечения прямой x1 с прямыми n1 и n3 как N1 и N3, соответственно. Теперь мы можем обозначить параллелограммы по их вершинам как X1X2Y2N1 и X2X3N3Y2. Поскольку у параллелограммов противоположные стороны равны между собой, то

|X1X2| = |N1Y2|,

|X2X3| = |Y2N3|    

и потому

|N1Y2| = |Y2N3|.

Таким образом, точка Y2 является серединой отрезка N1N3, а значит,

параллельные прямые n1 и n3 симметричны относительно точки Y2.

Прямая y также симметрична относительно точки Y2, поскольку она проходит через эту точку.

Следовательно, Y1 и Y3 — точки пересечения прямых n1 и n3 со стороной y — симметричны относительно Y2.

Отсюда заключаем, что |Y1Y2| = |Y2Y3|. Что и требовалось доказать.

Разбиение отрезка на заданное число равных частей

Допустим нам требуется разбить некоторый отрезок OX на три равные части. Теорема Фалеса дает нам возможность сделать это легко и изящно.

 

Проведем от точки O произвольный луч, который образует с отрезком OX любой угол, кроме нуля и 180° (на практике, однако, удобно брать угол в пределах приблизительно от 30° до 90°).

Отметим на этом луче три точки Y1 Y2 и Y3 с одинаковым шагом, начиная от точки O, так чтобы выполнялось соотношение
      |OY1| = |Y1Y2| = |Y2Y3|.
(Длина шага принципиальной роли не играет и выбирается из соображения удобства. Например, мы можем приставить к лучу линейку и сделать на нем три засечки через каждый сантиметр. Другая возможность заключается в том, чтобы делать шаги циркулем с фиксированным расстоянием между концами.)

 

Через точку Y3 и второй конец исходного отрезка — точку X — проведем прямую m.

Через остальные точки, отмеченные на луче, проведем прямые, параллельные прямой m. Согласно теореме Фалеса, эти прямые, пересекая отрезок OX, разобьют его на три равные части.

Подобным же образом, произвольный отрезок можно разбить на любое другое число равных частей.

Еще один способ построения параллельных прямых

Пусть дан угол X1OY1 (не равный нулю и не равный 180°) с вершиной в точке O и со сторонами, проходящими через некоторые точки X1 и Y1.

 

На стороне OX1 отметим точки X2 и X3, следующие с равным шагом за точкой X1:

|OX1| = |X1X2| = |X2X3|.

На стороне OY1 отметим точки Y2 и Y3, следующие с равным шагом за точкой Y1:

|OY1| = |Y1Y2| = |Y2Y3|.

Построим теперь прямые X1Y1, X2Y2 и X3Y3 и докажем, что они параллельны друг другу.

 

Действительно, через точку Y2 проведем прямую m2, параллельную прямой X1Y1. По теореме Фалеса, она пересекает сторону OX1 в точке X2, то есть она совпадает с прямой X2Y2. Следовательно, прямая X2Y2 параллельна прямой X1Y1. Точно таким же образом доказывается, что прямая X3Y3 параллельна прямой X2Y2.

Очевидно, что в этом геометрическом построении ряды точек можно продолжить, соблюдая выбранный шаг, так что:

|X2X3| = |X3X4| = |X5X6| и так далее,

|Y2Y3| = |Y3Y4| = |Y5Y6| и так далее.

Рассуждая, как раньше, можно доказать, что все прямые, проходящие через точки X и Y с одинаковыми индексами, параллельны между собой.

Конспект

Теорема Фалеса: Если три параллельные прямые отсекают на некоторой четвертой прямой два равных по длине отрезка, то при пересечении с какой-либо пятой прямой они также отсекут два отрезка равной длины.

Разбиение отрезка OX на n равных частей:

Строим произвольный луч с началом в точке O.

Вдоль луча от точки O делаем n шагов равной длины, делая засечку на каждом шагу.

Последнюю засечку соединяем прямой m с точкой X.

Через остальные засечки проводим прямые, параллельные m. Эти прямые делят отрезок OX на n равных частей.

Построение параллельных прямых: Пусть по двум сторонам угла, начиная от вершины, прошлись равномерным шагом два разных существа, оставляя точечные следы. Тогда все прямые, соединяющие следы с одинаковым порядковым номером, параллельны между собой.

Задачи

4.5.1. Дана геометрическая конструкция:

 

Известно, что |X1X2| = |X2X3| и |Y1Y2| = |Y2Y3|. Можно ли утверждать, что прямые n1, n2 и n3 параллельны между собой?

4.5.2. Рассмотрим ту же геометрическую конструкцию:

 

Известно, что |X1X2| = |X2X3| и |Y1Y2| = |Y2Y3|. Кроме того, дано, что прямые n1 и n2 параллельны. Можно ли утверждать, что прямая n3 параллельна прямым n1 и n2?

4.5.3. Пусть дана конструкция:

 

Здесь прямые n1, n2 и n3 параллельны друг другу, причем |X1X2| = |X2X3|. Верна ли в этом случае теорема Фалеса?

4.5.4. Рассмотрим конструкцию:

 

Известно, что прямые A1B1 и A2B2 параллельны, при этом |OA1| = 1,5 см; |OA2| = 3,0 см; |A1B1| = 1,0 см. Чему равна длина отрезка A2B2?

4.5.5. Дан единичный отрезок. С помощью циркуля и линейки без делений построить отрезки длиной (1) 2/3 и (2) 12/5.

4.5.6. Дана прямая и не лежащая на ней точка. Как с помощью линейки с делениями провести через эту точку прямую, параллельную данной?

 

 

 

Урок на тему «Деление отрезка на 2, 4, 8 равных частей с помощью циркуля и линейки» 4 Класс

I. Самоопределение к учебной деятельности

— С хорошим настроением и улыбками на лицах мы начинаем наш урок. Улыбнитесь друг другу.

— Вы хотите, чтобы урок получился интересным, познавательным? (…)

— Что нужно для этого сделать?

(Внимательно слушать, активно работать, помогать друг другу)

— Молодцы, ребята. Итак, в путь за новыми знаниями,

Мотивационный компонент урока. Эмоционально-положительный настрой на урок, создание ситуации успеха.

II. Активизация знаний и фиксация затруднений в деятельности

— Ребята, что вы видите на доске?

(На доске, разделенной на клетки, изображён отрезок)

— Можете вы разделить данный отрезок пополам? Каким образом?

(Предполагаемый ответ — да, можно посчитать кол-во клеток и разделить их на два)

— Обратите внимание на отрезок, изображённый на нелинованном поле. Как в этом случае разделить отрезок пополам?

(Предполагаемый ответ- с помощью линейки)

— А можно разделить данный отрезок без использования линейки?

(Ответы детей)

— Хотите узнать ответ на этот вопрос?

— Предлагаю вам заглянуть на страничку нашего учебника.

Развитие наблюдательности, внимательности, умения с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли; выполнять анализ объектов с целью выявления признаков.

Учитель выявляет уровень знаний. Проводит параллель с ранее изученным материалом.

III. Постановка учебной задачи

Постановка проблемной задачи:

Учебник стр.73 № 283.

Рубрика: обсудим вместе.

— Прочитайте задание в упражнении (обучающиеся читают самостоятельно задание)

— О чём говорится в номере 283?

«Трое учеников получили задание разделить отрезок АВ пополам при помощи циркуля и линейки без шкалы. Как выполнил задание каждый из учеников?»

— Можем мы сразу ответить на вопрос задания? (выслушиваются ответы детей)

— Некоторые из вас сказали – нет. Почему? (Нужно проанализировать, как рассуждал каждый из учеников)

— Предлагаю поработать в парах. Рассмотрите внимательно рисунки и выскажите своё предположение. Работа в парах.

Обсуждение результатов работы.

— Кто из ребят, Маша, Катя или Саша (персонажи книги) выполнил задание правильно? Объясните ошибки других учеников.

Выслушиваются разные ответы детей.

Вывод: из трёх ребят правильно выполнила задание Маша, так как она начертила две одинаковые окружности с центрами в точках А и В и радиусами, длины которых равны (составляют) больше половины отрезка.

— Какую ошибку, по вашему мнению, допустили Катя и Саша? (Катя начертила окружности, радиус которых меньше половины отрезка, и окружности не пересеклись, а Саша начертил окружности с разными радиусами).

— Ребята, вы хорошо справились с заданием.

— Как вы думаете, какие ещё вопросы нам предстоит решить сегодня?

(Научиться делить отрезки на равные части)

-Сегодня ваша задача усложнится тем, что все чертежи вы будете выполнять на нелинованной бумаге. Но с этой задачей, я надеюсь, мы легко справимся. 

Постановка проблемной задачи: как разделить отрезок пополам, используя циркуль и линейку без шкалы.
Рассмотрение и оценка трех предложенных решений, из которых только одно верно. Анализ выявленных ошибок.

Развитие наблюдательности, внимательности, логического мышления, развитие речи. Дети проводят сравнительный анализ, находят отличительные и общие черты.

Парная форма работы.
Критерий  дифференциации:
— степень помощи, взаимоподдержки, взаимовыручки.

Развитие самостоятельности в определении задачи урока.
Дети должны знать к чему стремиться, иметь желание преодолеть данную ступень – тему урока, чтобы перейти к следующей. 

IV. Построение проекта выхода из затруднений

Формулирование алгоритма построения точки, являющейся серединой отрезка.

— Ребята, как же разделить отрезок на две равные по длине части, не используя обычный хорошо известный вам способ? (ответы обучающихся)

— С помощью каких инструментов это задание можно выполнить на нелинованной бумаге? (с помощью циркуля и линейки без шкалы)

— Какой шаг мы выполняем первым?

(Начертим отрезок произвольной длины и обозначим его буквами КС)

— Второй шаг.

(С помощью циркуля из точек, являющихся концами отрезка, изобразим две окружности)

— Ребята, о чём нужно помнить, выполняя второй шаг алгоритма?

(Радиус окружности должен быть больше половины отрезка, так как окружности должны пересекаться)

— Третий шаг.

( Обозначаем точки пересечения окружностей карандашом синего цвета)

— Четвёртый шаг.

( С помощью линейки соединяем обозначенные точки и проводим прямую линию)

— Пятый шаг.

( Отмечаем точку пересечения прямой с отрезком)

Вывод: Данная точка является серединой отрезка КС.

Формулирование алгоритма построения точки, являющейся серединой отрезка.

V Первичное закрепление во внешней речи

Выполнение задания из учебника на с.74 № 285.

Постройте любой отрезок и разделите его пополам с помощью циркуля и линейки.

(Последовательность выполнения этапов проговаривается вслух)

Решение практических задач, связанных с делением отрезка на две равные части.

VI Самостоятельная работа с самопроверкой

Выполнение упражнения в рабочей тетради № 2 на стр.47.

Дан отрезок АВ. Проведите две окружности с центрами в точках А и В и радиусом 3 см. Отметьте цветным карандашом точки пересечения окружностей. Проведите прямую через эти точки. Отметьте другим цветом точку пересечения этой прямой с отрезком АВ.

Проверьте с помощью линейки со шкалой, является ли эта точка серединой отрезка АВ.

Самоконтроль: проверка правильности построения середины отрезка (точки) с помощью линейки со шкалой.

Активная познавательная деятельность. Развитие самостоятельности.

VII Включение в систему знаний

— Как вы думаете, ребята, можно ли, используя данный алгоритм, разделить отрезок на 4 равные части? (8 равных частей?)

(Предположения детей)

Выполнение работы с применением алгоритма в случаях деления отрезка на 4 и 8 равных частей. (Учебник с.74 № 287)

Применение изученного алгоритма в случаях деления отрезка на 4 и 8 равных частей. Практическая работа «Деление отрезка на 2,4,8 равных частей с помощью линейки и циркуля»

VIII Рефлексия

Самооценка
— Чему новому научились?
— Достигли ли своей цели?
— Довольны ли своей работой?
Какие задачи поставили на будущее?

Дифференцированное Д/з

1) Закрепить умение делить отрезки на 2;4; 8 частей (Р/т с.48 № 135)

2)Подумать, на каких уроках, кроме математики, можно использовать данный способ деления отрезка на равные части. Привести примеры.

 Регулирующий момент урока.

Учить самостоятельно оценивать работу, ставить задачи на следующий урок.

Вызвать чувство радости, удовлетворённости от урока.

Жданова Н.С. Перспектива

n1.doc (8 стор.)
Оригінал
  1   2   3   4   5   6   7   8

ЗМІСТ

Введення 5

Глава I. ВСТУП У теорії перспективи 7

  1. Основні поняття лінійної перспективи 7
  2. Побудова і використання проецирующего апарату 14
  3. Перспектива точки 23

Глава П. ПЕРСПЕКТИВА ПРЯМИЙ І ПЛОЩИНІ 30

  1. Перспектива відрізка прямої 30
  2. Перспектива прямий загального положення 36
  3. Перспектива прямих приватного та особливого положення 38
  4. Перспектива паралельних прямих 47
  5. Перспектива площині 52

Глава III. ПЕРСПЕКТИВНІ МАСШТАБИ 57

  1. Загальні поняття 57
  2. Перспективний масштаб широт 62
  3. Перспективний масштаб висот 64
  4. Перспективний масштаб глибин. Дистанційна точка 68
  5. Перспективний масштаб на прямий довільного напрямку 71
  6. Розподіл і збільшення відрізка в перспективі 74

Глава IV. ПЕРСПЕКТИВА ПЛОСКИХ ФІГУР 80

  1. Перспектива кутів 80
  2. Перспектива елементів міського пейзажу 87
  3. Перспектива багатокутників 94
  4. Перспектива окружності 101

Глава V. ПЕРСПЕКТИВА ОБ’ЄМНИХ ТЕЛ 107

  1. Перспектива багатогранних геометричних тіл 107
  2. Перспектива круглих тел 114
  3. Перспектива тіл в різних положеннях 121
  4. Аналіз побудови перспектив з натури 127

Глава VI. ПОБУДОВА ПЕРСПЕКТИВНИХ ЗОБРАЖЕНЬ 132

  1. Спосіб перспективних сіток 132
  2. Спосіб малої і великої картин 136
  3. Спосіб архітекторів 140
  4. Спосіб суміщення предметної площині з картинної 149
  5. Перспектива інтер’єру 152

3

Глава VII. ПЕРСПЕКТИВНІ зображення явищ

ОСВІТЛЕННЯ 16 *

  1. Основні положення 1 «!
  2. Тіні при штучному освітленні loo
  3. Тіні при природному освітленні 1 ‘1
  4. Тіні предметів в інтер’єрі х °

Глава VIII. ЗАКОНИ ПОБУДОВИ дзеркальне відображення
І АНАЛІЗ ПЕРСПЕКТИВНИХ ЗОБРАЖЕНЬ
У МИСТЕЦТВО 195

  1. Побудова відображень у дзеркальній поверхні 195
  2. Перспективні зображення в картинах художників 204

Глава IX. ФОРМУВАННЯ І РОЗВИТОК ПЕРСПЕКТИВИ

ЯК НАУКИ 215

Література

223
ВСТУП

Сучасний вчитель образотворчого мистецтва і креслення повинен володіти теорією і практикою зображення просторових форм на площині. У навчальній роботі, техніці і мистецтві широко використовуються малюнки, креслення, фотографічні знімки, картини. Всі ці види зображень мають різноманітне призначення. Одні застосовуються в якості ілюстрацій навчального та наукового матеріалів, інші — у вигляді інженерно-будівельних креслень, треті — як твори образотворчого мистецтва, що відображають епоху, уявлення людей про навколишній світ і про самих себе.

Всякий креслення, малюнок, картина являють собою поєднання на площині точок, ліній і колірних плям, згрупованих так, що при розгляданні вони формують уявлення про ті чи інші просторових формах.

Проблема побудови зображень тривимірного простору на двомірної площини листа завжди стояла перед художниками і вченими. У часи Античності й Середньовіччя її вирішували інтуїтивно, слідуючи в основному зоровим враженням, здоровому глузду і традиції. Епоха Відродження створила математично строге вчення про способи передачі простору, назвавши його перспективою.

В основі перспективи лежить принцип проекцій, який відповідає принципу отримання зображення на сітківці ока людини, пов’язаному із зоровим сприйняттям просторових форм. Вивчення в XX в. закономірностей зорового сприйняття та участі в цьому процесі мозку людини багато в чому розширило наші уявлення про перспективні зображеннях і дозволило по-іншому поглянути на історію образотворчого мистецтва.

У даному навчальному посібнику розглядаються правила і прийоми лінійної (ренесансної) перспективи, як найбільш розробленої системи,

5

апробованої багатьма поколіннями митців, дані загальні положення цієї науки, наведені деякі прийоми побудови перспективи плоских фігур і об’ємних тіл у різних ракурсах, інтер’єрів і ЕКСТІЛ-Кур’єрові житлових і громадських будівель, а також власних і падаючих тіней.

Знання перспективи допоможе студентам в освоєнні теорії образотворчого мистецтва, в глибокому розумінні різних образотворчих систем. Уміння використовувати перспективу допомагає не тільки при малюванні з натури, але і при створенні живописних композицій, скульптурних та архітектурних комплексів за поданням, а також є основою для реконструкції образів давно зниклих пам’яток мистецтва, що дійшли до нас в руїнах.

Наведені в цьому посібнику схеми з картин відомих художників показують практичне застосування закономірностей перспективних побудов в образотворчому мистецтві.

Також як приклади використані гравюри та офорти художника А. Шибанова.

Глава I

ВСТУП У ТЕОРІЮ ПЕРСПЕКТИВИ

1. Основні поняття лінійної перспективи

Сприйняття форми будь-якого предмета змінюється залежно від точки зору художника, від його місця розташування. Наприклад, через вікно в кімнаті можна побачити вдалині кілька великих багатоповерхових споруд, і тільки частина сусіднього невеликого будинку, розташованого в декількох метрах від вікна. Дзеркальне сприйняття залежить від будови нашого органу зору — ока та його здатності сприймати світло, відбите від розглянутого нами освітленого предмета.

Поняття перспектива (франц. — perspecktive — Наскрізь бачити, уважно розглядати) відображає методичний прийом розглядання предметів через прозору площину картини, на якій будуються всі перспективні зображення. Перспективне зображення може бути побудовано на поверхні будь-якої форми. У зв’язку з цим перспектива підрозділяється на кілька видів. Перспективне зображення, побудоване на площині, називається лінійною перспективою. Залежно від призначення перспективних зображень площину може бути розташована вертикально, похило і навіть горизонтально (рис. 1). Трикутник ABC проектується на вертикальну К х і похилу До 2 площині, в обох випадках зображення різне, але побудоване за законами лінійної перспективи. Зображення трикутника на циліндричній поверхні. Кзстроітся за законами панорамної перспективи. Купольна перспектива дозволяє побудувати зображення на поверхні сфери До 3 або еліпсоїда К А.

Вчення про методи побудови перспективних зображень грунтується на використанні основних понять і правил елементарної геометрії, на правилах ортогонального і центрального проектування (частини

Рис. 1

Рис.2

нарисної геометрії) і на деяких відомостях з фізики (оптика), анатомії та фізіології органів зору.

Анатомія і фізіологія органів зору розкривають і роз’яснюють процес бачення як дія відбитих від предмета променів світла на сітчасту оболонку ока.

Здатність ока узагальнено і детально бачити прийнята неодмінною умовою при малюванні і є основою професії художника.

Око має складну будову (рис. 2). Передня частина очного яблука являє собою приймаючий пристрій очі і складається з прозорої рогівки і кришталика (оптичної лінзи). Кришталик має здатність за допомогою спеціальних м’язів — райдужної оболонки — міняти свою кривизну, фокусуючи зображення на сітківці, розташованої на дні очного яблука. У центрі райдужної оболонки знаходиться отвір — зіниця, діаметр якого змінюється. Найбільш чітке зображення утворюється на невеликій частині сітківки, розташованої навпроти зіниці, — жовтій плямі. Промені, відбиті від усіх точок предмета, проходять через кришталик — оптичний центр (S) і потрапляють на внутрішню, чутливу до світла сітківку, де виникає перевернуте зображення предмета. Отримане роздратування по головному нерву передається в мозок. Мозок переробляє інформацію і коригує зоровий образ. Промені, що з’єднують око глядача з окремими точками спостережуваного об’єкта, прийнято називати променями зору. На рис. 2 показані дві однакові за розміром стрілки, розташовані на різній відстані від ока. Стрілка А знаходиться ближче і на сітківці ока відображається великим зображенням, ніж стрілка Б, розташована даль-

8

Рис.3

Рис. 4

ше. При значній відстані предмет проглядається гірше, його окремі деталі можуть бути невиразні.

Теорія лінійної перспективи і основний метод її побудови виникли з творчої практики художників і розвинулися в точну науку, яка допомагає сучасним художникам, архітекторам і дизайнерам будувати зображення, що збігаються в достатній мірі з зоровим сприйняттям.

Перспектива предмета будується з геометричних елементів — точок, ліній, площин по методу центрального проектування або центральних проекцій. Цей метод простий і зручний у застосуванні, а тому незамінний у практичній роботі. Перспективне зображення виходить на площині за допомогою проектують променів, проведених з центру проекцій.

Для побудови тригранної піраміди О’А’В’С за методом центрального проектування проведемо проекційні промені з центру проекцій S до предмета (рис. 3, 4). Сукупність променів зору SA ‘, SB’, SC, SO ‘, об’єднаних центром S, називають променевим пучком. Щоб отримати центральну проекцію, введемо між центром S і предметом прозору площину К, яка перетне променевої пучок і визначить проекцію піраміди АВСО.

9

Для того, щоб отримати центральну проекцію відрізка А’В ‘на заданій площині К (рис. 5) проведемо з точки зору S промені до кінців даного відрізка. Центральну проекцію відрізка АВ називають перспективним зображенням або перспективою. Дане перспективне зображення вийшло в результаті руху проекційних променів в одній площині. Променевої пучок може бути площиною, пірамідою або конусом, залежно від форми розглянутого об’єкта (рис. 6,7). З трьох перерахованих варіантів, конус слід вважати найбільш загальним видом, так як підставу конуса — замкнута крива — буде межею якого завгодно замкнутого багатокутника.

10

Слід зауважити, що перспективні зображення, виконані за допомогою методу центрального проектування, не відповідають повністю дійсній картині бачення реального світу в природних умовах зорового сприйняття двома очима. Смотрение одночасно двома очима (бінокулярний зір) дає на сітчастих оболонках очей дві відмінні один від одного позиції спостережуваного об’єкта. У свідомості зображення сумуються. Людина не просто бачить одну центральну проекцію замість двох, але на додаток до цього відчуває в деяких межах об’ємність спостережуваного об’єкта. Злиття двох зображень воєдино, що супроводжується відчуттям обсягу, називається стереоскопічним ефектом.

У тих випадках, коли предмет розташований занадто близько до нас, при бінокулярний зір виникає ефект зворотної перспективи. Форма і розміри предмета різко спотворюються. Всі об’єкти при достатньому видаленні їх від глядача втрачають чіткість деталей, різкість контурів і зорово сприймаються не об’ємними, а плоскими.

Існує три незалежних один від одного категорії зорового сприйняття різної чіткості, зумовлені анатомічною будовою і фізіологією очі. До першої категорії належить зорове сприйняття, що забезпечує найвищу ступінь чіткості бачення, до другої — досить високий ступінь чіткості бачення. Обидві ці категорії зорового сприйняття викликаються променями, які, заломлюючись, потрапляють в межі жовтої плями. До третьої категорії відноситься зорове сприйняття, що не забезпечує належної чіткості, необхідної для нормального зору. Третя категорія променями, що падають на сітчасту оболонку ока за межі жовтої плями, і дає великі візуальні спотворення.

Категорії зорового сприйняття схематично зображені у вигляді трьох конусів видимості з однієї геометричній віссю (рис. 8). При перетині конусів видимості з площиною картини перпендикулярній осі вийде фігура перерізу, обмежена еліпсоїдної лінією. Отримане перетин називають полем зору, воно складається з трьох частин. Найменша частина в центрі, позначена цифрою I, — поле найвищого ступеня ясного зору; частина, позначена цифрою II, — поле досить ясного зору, третя частина — III — поле неясного зору.

Діяльність мозку, контролюючи і коригуючи зорові враження, вибирає з суцільного пучка променів зору, укладених усередині конічної поверхні, лише той промінь, який викликає найвищу чіткість і ясність бачення — головний промінь зору. Головний промінь зору забезпечує цілісне і досить чітке зорове сприйняття простору і володіє здатністю переміщатися, за рахунок обертання очі, повороту голови і тіла глядача.

Рис.8 11

Якщо через головний промінь зору провести вертикальну До 2 і горизонтальну К х площині, то поле ясного зору розділиться на симетричні, але не рівні частини (рис. 9). Верхня частина буде дещо менше, ніж нижня. Це стає очевидно, якщо виміряти кути, утворені крайніми периферичними променями зору. Вони будуть рівні відповідно 110 ° і 140 °. При цьому верхній промінь з оптичною віссю становить кут 45 °, нижній — 65 °, а два бічних — по 70 °.

Конус видимості в поздовжньому розрізі виявляє кут зору. На основі досліджень фізіологів і психологів доведено, що чітке сприйняття предметів оком людини можливе при куті ясного зору 28 ° -37 °, а достатня видимість — при куті 53 °. Якщо людина підійде до предмета дуже близько, зорове відстань зменшиться, кут зору збільшиться.

При невеликому зоровому відстані предмети першого плану не потрапляють в поле ясного зору і проектуються у поле неясного зору, що призводить до великих спотворень форми. При куті зору до 65 ° вони не сильно помітні, хоча вже впливають на загальне сприйняття об’єкта.

Якщо точка зору розташована далеко від картини, то предмети потраплять у поле ясного зору. Перспективні зміни будуть ледь помітні. Якщо написати пейзажний етюд в ясний день і зобразити на ньому тільки «туманні» дали, то глядач прийме його за знімок не ясного, а туманного дня або здивується, що обриси розпливчасті і фарби бляклими навіть на передньому плані картини.

Важливо правильно вибрати розташування картинній площині. Щоб перспективне зображення відповідало найкращому зоровому сприйняттю, вся картина повинна знаходитися в межах поля ясного зору (рис. 10), так як за кордоном поля ясного бачення чіткість видимості слабшає.

12

Рис. 10

Збільшення або зменшення кута ясного зору, а також невдале розташування головного променя зору в деяких випадках призводить до невідповідності зорового образу з зображенням. вим вченням про проекціях як графічному методі побудови зображень. Теорія центральних проекцій дає можливість опанувати методом побудови зображень не тільки на основі безпосереднього спостереження предметів (малювання з натури), а й за поданням, на основі словесного опису зображуваного об’єкта. Останнє особливо необхідно вчителю образотворчого мистецтва, беручи до уваги його ілюстративну роботу, як невід’ємну частину уроку образотворчого мистецтва, і велику роботу оформлювального характеру, проведену в школі.

13

2. Побудова і використання проецирующего апарату

14

Модель проецирующего апарату розроблена на основі методу центрального проектування. На ній зручно вивчати закони і способи побудови на площині картини фігур, заданих в предметному просторі. Однак дана модель лише умовно відображає процес сприйняття натури та зображення її на площині аркуша. Домовимося, що картина розташовується строго між об’єктом і спостерігачем. Однак, щоб вона не закривала зображуваний об’єкт, зрушимо її трохи вбік від малює (рис. 11). При проектуванні багатокутника на три площини проекцій, розташованих під довільним кутом до глядача, зображення, отримані на кожній з площин, є центральними проекціями

Рис. 12

об’єкта при єдиній точці зору (рис. 12). Щоб задача на побудову перспективи предмета мала тільки одне рішення, приймемо, що картинна площина перпендикулярна головному променю зору.

Подивимося проецирующий апарат, за допомогою якого визначимо основні терміни і поняття. Зобразимо горизонтальну площину і позначимо її буквою П (рис.13). Це — предметна площину, яку будемо вважати безмежною. Такий площиною в інтер’єрі може бути площину підлоги або, в умовах екстер’єру, поверхню землі. Якщо предметна площина нерівна, тобто має поглиблення, западини або

Рис. 13

15

возвышенности, следует задать воображаемую плоскость, расположенную ниже впадин — опущенный план, или выше выступающей поверхности земли, — поднятый план. На предметной плоскости располагаются зритель и наблюдаемый объект, в нашем случае четырехгранная пирамида.

Глаз зрителя находится над предметной плоскостью на расстоянии, которое соответствует его росту и определяет положение точки зрения ( S ). Эта же точка является центром проекций, через который проходят проекционные лучи ко всем точкам изображаемого объекта. Перпендикуляр, опущенный из глаза зрителя на предметную плоскость, определит положение точки стояния ( s ).

Между зрителем и объектом, строго перпендикулярно предметной плоскости, располагается картинная плоскость (К). Часть картинной плоскости, на которой строится изображение, называется картиной. Картинная плоскость пересекает предметную по прямой, которую называют основанием картины ( In ). Картинная плоскость делит пространство между зрителем и объектом на две части. Часть пространства, где находится зритель, называется промежуточным или нейтральным пространством. Если предмет расположен в промежуточном пространстве, то лучи, направленные в глаз зрителя от любой точки объекта, не пересекают картинную плоскость и, следовательно, не дают на ней никаких изображений. Пространство за картинной плоскостью называется предметным. Там располагаются объекты, подлежащие построению в перспективе.

Проецирующий аппарат в упрощенном виде представлен на рис. 14: фигура человека изображена в виде вертикального отрезка, у которого точ-

Рис. 14 16

ка S соответствует положению глаза, а точка s точке стояния. Длина этого перпендикуляра называется высотой точки зрения ( Ss ). Через высоту точки зрения параллельно картинной плоскости проходит нейтральная плоскость ( N ) или плоскость исчезновения. Все, что находится за ней, человек не видит. Линия пересечения нейтральной и предметной плоскостей называется предметным следом нейтральной плоскости ( N n.) Безграничное пространство за нейтральной плоскостью, а значит и за зрителем, называется мнимым пространством.

Высота точки зрения определяет положение плоскости горизонта. Плоскость горизонта (Н) — воображаемая плоскость, проходящая всегда горизонтально через глаз зрителя, параллельна предметной плоскости и всегда пересекает картинную плоскость по прямой линии горизонта ( h ). Реальное положение плоскости горизонта может быть установлено при помощи прибора, называемого уровнем.

Через точку зрения проходит только одна горизонтальная плоскость, а, следовательно, на плоскости картины линия горизонта может быть только одна. Линия горизонта делит поле зрения рисующего человека на две части и пересекает нейтральную плоскость по нейтральной прямой (п).

Главный луч зрения ( SP ) — перпендикуляр, проведенный из точки зрения к картине, всегда лежит в плоскости горизонта и определяет расстояние от зрителя до картины, так называемое зрительное или дистанционное расстояние. Главный луч зрения всегда совпадает с осью конуса нормального видения. Главный луч зрения иногда называют главным перпендикуляром .

Рис. 15

Главная точка картины (Р) находится в точке пересечения главного луча зрения с линией горизонта, р 0 — проекция главной точки картины на ее основание. Вертикальная плоскость, проходящая через главный луч зрения, делит промежуточное пространство на правую и левую части и называется плоскостью главного луча зрения ( sSPp 0). Она пересекается с картиной по главной линии картины или линии главного вертикала (Рр 0) и служит началом отсчета всех измерений (рис. 15).

Из всех перечисленных терминов, применяемых в теории перспективы, четыре являются основными, и их принято называть главными элементами картины, необходимыми для построения перспективного изображения:

  1. SP — расстояние от зрителя до картины — главный луч зрения;
  2. h — линия горизонта;
  3. Р — главная точка картины;
  4. k — основание картины. P = D 2 P = SJ 3 (рис. 1 7).

    Рис. 16 Рис 17

    18

    Линия горизонта является необходимым элементом как для построения и проверки перспективных построений, так и при выполнении эскизов и рисунков по представлению. Человек, не меняя своего положения относительно картинной плоскости, рассматривает один и тот же предмет —

    треугольную призму, лежащую на боковой стороне и напоминающую по форме туристическую палатку (рис. 18, 19, 20). В первом случае наблюдатель стоит (рис. 18). Рост среднего человека составляет 1,65 м. Линия горизонта находится посередине картины. Если человек сядет, точка зрения понизится, линия горизонта займет низкое положение (рис. 19). Если человек встанет на подставку и будет рассматривать предмет сверху — горизонт высокий (рис. 20).

    19

    Сравнив все три картины с изображением палатки (рис. 21) можно заметить, что размер изображений принципиально не меняется, а изменяется положение линии горизонта. Меняется и положение предмета относительно основания картины — увеличивается или уменьшается величина Ъ. При высоком горизонте объект перемещается вглубь, при низком — приближается к переднему плану картины.

    20

    Любое положение линии горизонта имеет свои преимущества в восприятии пространства и находящихся в нем предметов. Выбор зависит от ком-

    Рис. 22

    позиционного замысла художника. Высокую линию горизонта применяют для показа необъятных просторов полей, лесных массивов, речных и морских далей, интерьеров с красивым рисунком паркета, в многофигурных композициях с охватом большой глубины пространства, например на первоначальном варианте картины Леонардо да Винчи «Поклонение волхвов» (рис. 22). Перед художником стояла задача показать грандиозность события, последующего после рождения Христа. Благодаря высокой линии горизонта он смог изобразить не только Марию, младенца и волхвов, но и десятки других фигур, свидетелей и участников этого важного события.

    Русский художник К.А. Зеленцов в своей картине «Мастерская художника» хотел отобразить конкретный, хорошо знакомый ему интерьер, который он наблюдал каждый день (рис. 23). В этом случае расположение линии горизонта по середине картины вполне оправдано.

    Низкий горизонт используют в картинах для придания монументальности сюжетной композиции, в пейзаже — для показа большой части неба с грозовыми облаками, разноцветной радугой, летящими самолетами и т.д. В интерьере низкий горизонт позволяет показать росписи на потолках, форму карнизов и рельефы, украшения стен.

    При изображении интерьера церкви Санта Мария в Риме (рис. 24), для придания монументальности был использован низкий горизонт, что позволило показать конструкцию и рисунок потолка, верхние части колонн — капители, форму арки, карнизы и т. д.

    21

    Средний горизонт

    Рис. 23

    Низкий горизонт

    Рис. 24 22

    Рис. 25

    Для определения удачного расположения на картине изображаемых объектов и линии горизонта используют видоискатель (рис. 25). Для его изготовления в листе плотной бумаги (или картона) вырезают прямоугольник со сторонами, пропорциональными сторонам будущей картины. Держа в руках, видоискатель направляют на выбранный объект и через прямоугольное отверстие фиксируют наиболее удачное композиционное расположение. Картину помещают на место, которое занимал видоискатель, и сразу обозначают на плоскости листа уровень линии горизонта. Иногда к видоискателю добавляют полоску, передвигающуюся по вертикали и горизонтали, что придает отверстию в видоискателе любую форму прямоугольника с различным соотношением его высоты и ширины.

    Свободное владение законами перспективного изображения дает возможность художнику построить свой эскиз и разместить элементы композиции так, как они воспринимаются в натуре.

    Проецирующий аппарат позволяет точно передать форму и расположение предметов в пространстве методом центрального проецирования.

    3. Перспектива точки

    Все без исключения перспективные изображения на плоскости картины строятся в результате последовательного выполнения необходимых подсобных геометрических построений, относительная точность которых обеспечивает достаточную правильность перспективного изображения, соответствующего зрительному восприятию. Значение и последовательность

    23

    подсобных геометрических построений рассмотрим на получении перспективного изображения точки методом центрального проецирования.

    Точка является основным геометрическим элементом любого объекта, перспектива которого подлежит построению ил и проверке. Перспектива всякого отрезка прямой, ограниченного в своих линейных размерах конечными точками, всегда может быть построена по перспективам двух точек. Перспектива всякой плоскости, расположенной в предметном пространстве, строится по перспективам трех точек, лежащих в рассматриваемой плоскости и не находящихся на одной прямой. Перспектива поверхности, расположенной в предметном пространстве, строится по перспективам точек.

    Метод построения рисунка с натуры и по представлению « по точкам » был принят и применен в преподавании П.П. Чистяковым. Позднее этот метод, существенно обогащенный педагогическим опытом, успешно применялся его преемником и последователем по академической школе В.Е. Савинским, который справедливо считал метод построения изображений «по точкам» принципом академического рисунка.

    Положение всякой точки в пространстве может быть определено координатами X , Y и Z (Рис. 26). За начало координат примем точку р 0 — осно-

    вание главного вертикала. Ось X совпадает с основанием картины к, ось Z — с главным вертикалом картинной плоскости, ось Y перпендикулярна плоскости картины.

    Лампочка электрического фонаря на улице (рис. 27) представляет в натуре точку А’, ее проекция — точка а’.

    Рассмотрим расположение точки А’, в системе проецирующего аппарата. В предметной плоскости зададим точку и ее основание (рис. 28). Через высоту точки зрения Ss и проецирующий луч SA ‘ проведем вспомогательную плоскость Т.

    Необходимыми геометрическими элементами при построении перспективы точки А’ будут:

    25

    sa — линия пересечения вспомогательной плоскости Т с предметной плоскостью П. Эта линия, пересекая основание картины k , отмечает

    на нем точку а 0, связывая тем самым заданный объект А’ и точку зрения S через проекции а’ и s с основанием картины.

    Аа 0 — линия пересечения плоскости Т с картинной плоскостью. Определяет прямую, на которой должна лежать перспектива точки А’ — точка А

    Определим местонахождение перспективы А на линии Аа 0. Для этого проведем в плоскости Г луч зрения S А’. Он пересечет линию Аа 0 и отметит на ней точку А, которая и является перспективой точки А’.

    На картине (рис. 29) видно, что перспектива точки А и ее основание а расположились на одном перпендикуляре к линии горизонта и основанию картины.

    Положение точки называется общим, если она расположена в предметном пространстве и находится на некотором расстоянии от предметной и картинной плоскостей. Точка А’ является точкой общего положения.

    Рассмотрим случай, когда пространственная точка В’лежит на земле (рис. 2 7). В проецирующем аппарате она располагается на предметной плоскости П. Ее основание совпадает с самой точкой В’ = Ъ’ и расстояние до предметной плоскости равно 0 (рис. 30). Перспективу точки В’и ее основания Ъ’ построим аналогичным способом. Перспектива точки В и ее основание Ъ на картине лежат на одном перпендикуляре и совпадают (В з Ъ) (рис. 31). Точка В находится ниже линии горизонта, справа от главного вертикала Рр 0.

    26

    Положение точки называется частным, если она лежит в предметной или картинной плоскости, например, как точка В’. Точка Е’ лежит в картинной плоскости, об этом свидетельствует ее совпадение с перспективой Е’ = Е) (рис. 32, 33). Она находится выше линии горизонта, слева от главного вертикала. Точки А’ з а’ и С’ = с лежат в предметной плоскости на раз-

    ном расстоянии от картины.а.

    27

    Рассмотрим случай, когда точка общего положения расположена во мнимом пространстве, т. е. за спиной зрителя (рис. 34). Из точки зрения S проведем луч зрения через точку А’ и продолжим его до пересечения с картинной плоскостью. Соединим точку стояния s с основанием а’ и продолжим до пересечения с основанием картины, получим точку а 0. Из точки а 0 восстановим перпендикуляр, пересечение которого с прямой a ‘ S опреде-

    лит точку а. На картине (рис. 35) из построений видно, что перспектива точки А и ее основание а лежат на одном перпендикуляре к основанию картины, однако перспектива А находится ниже линии горизонта, а ее основание выше.

    Для построения перспективы точки направляют лучи зрения в точку и ее проекцию на предметной плоскости и находят точки пересечения их с картиной. На картине можно определить пространственное положение любой точки по ее перспективному изображению.

    | Вопросы и упражнения для самоконтроля

    1. Что такое перспектива? С какими науками у нее существуют прочные межпредметные связи?
    2. Как устроен глаз человека? Как происходит получение зрительного образа на сетчатке глаза?
    1. Объясните роль мозга человека в корректировке зрительного образа.
    2. На каких поверхностях может быть построено перспективное изображение?
    3. Какие виды перспективы применяют?
    1. В чем заключается метод центрального проецирования? Что общего и в чем отличия процесса восприятия образа и принципа центрального проецирования?
    2. При каких условиях зрительный образ совпадает с центральной проекцией объекта наблюдения?

    28

    Рис.36

    1. Как конусы видимости влияют на четкость восприятия?
    2. Как определяют поле ясного зрения человека?
    1. Какой угол зрения соответствует наилучшему восприятию натуры?
    2. Назовите главные элементы проецирующего аппарата. Как они расположены относительно друг друга?
    3. Что такое совмещенная точка зрения и как ее применяют в перспективных построениях?
    4. Как влияет изменение уровня линии горизонта на изображение предметов?
    5. С помощью какого инструмента можно в реальной практике определить уровень линии горизонта?
    6. Как используют линию горизонта художники для выражения своего композиционного замысла?
    7. Какое приспособление используют художники для выбора оптимального положения линии горизонта при работе с натуры?
    8. Как построить перспективу точки, заданной в предметном пространстве, в мнимом пространстве?
    9. Рассмотрите картину с расположенными на ней точками А, В, С, D (рис. 36) и ответьте на вопросы:

    Какая из точек расположена в предметной плоскости? Какая из точек расположена в картинной плоскости? Какая из точек имеет наибольшую высоту? Какая из точек дальше всего удалена от зрителя? Какая пара точек удалена на одинаковое расстояние?

    29

    Как разделить отрезок на n равных частей

    Царство математики огромно, даже если мы говорим только об элементарной математике. Я получил это как комплимент, когда Монти Фистер, автор популярного компакт-диска Gnarly Math , недавно пожаловался мне на отсутствие на моем участке замечательного сооружения, обнаруженного двумя молодыми студентами Дэном Литчфилдом и Дэйвом Голденхеймом в 1995 году. Я интерпретировал запрос Монти как удивление, как такой всеобъемлющий ресурс, как этот сайт, смог избежать описания интересной темы и недавнего события, имеющего некоторое образовательное значение.

    Причина отчасти заключалась в том, что после публикации отчета об открытии в «Учителе математики» в январе 1997 года стало невозможно обсуждать эту тему, не обращая внимания на поверхностную огласку, сопровождавшую это замечательное открытие. Появление новых технологий и нового программного обеспечения оказало глубокое влияние на весь учебный процесс. Мы можем ожидать в будущем, что большая часть математики, обычно излагаемая учителем в классе, будет независимо открыта учениками с помощью новой технологии.Ожидается, что такие частные открытия и личное участие повысят мотивацию студентов в конкретном предмете или, в более общем плане, в получении знаний в целом.

    Миллионы студентов снова и снова откроют одни и те же факты. Что ни в коей мере не должно умалять чувства собственного достоинства каждого. Это как раз ожидаемый и широко желаемый результат реформы образования, когда учащиеся должны изучать математику, выполняя ее. Вполне вероятно, что время от времени студенты будут делать новые открытия.

    Не умаляя личных достижений Дэна и Дэйва, нужно сказать, что в их случае этого не произошло. Мальчики заслуживают похвалы за обнаружение нетривиального результата. Тем не менее, это неловко для преподавательского сообщества, которое, очевидно, не узнало хорошо известную конструкцию даже после десятка приглашенных выступлений на различных конференциях NCTM.

    Во время летнего курса геометрии в Greens Farms Academy, штат Коннектикут, двух мальчиков попросили разработать процедуру для разделения данного отрезка прямой на n равных частей.Учитель Чарли Дитрих предвосхитил вариант стандартной конструкции, основанный на предложении VI.9 достопочтенного Евклида. К его удивлению, «в течение двух часов они объявили, что решили эту задачу не с помощью компаса и линейки, а на компьютере с помощью блокнота Geometer».

    Почему-то конструкция была воспринята как новое достижение, единственное в своем роде за 2500 лет с момента публикации Elements . Новости разошлись. Последовали приглашения на конференции.Я могу ошибаться, но только в январе 1997 года, когда отчет был опубликован в журнале Mathematics Teacher и замечен Джимом Уилсоном из Университета Джорджии, открытие было помещено в исторический контекст.

    Лично я знал о строительстве еще школьником. Основная лемма, приведенная ниже, появляется как задача № 1.4 из сборника задач Прасолова (Москва, 1986). В [Головина и Яглом], с. 50 он выглядит как Пример 23 вместе с замечанием, что всю конструкцию можно выполнить только с помощью линейки.Вот мои воспоминания много лет назад. Джим Уилсон предлагает список сайтов, решающих проблему разделения сегмента на n частей.

    Следующая лемма служит основой для индуктивного построения n-й части данного отрезка.

    Лемма

    Пусть точка P на стороне AD параллелограмма ABCD такова, что n · AP = AD. Пусть Q — точка пересечения AC и BP. Тогда (n + 1) · AQ = AC.

    Проба 1

    Из подобия ΔAPQ и ΔBQC, QC / AQ = BC / AP = AD / AP = n.Следовательно, AC / AQ = n + 1.

    Проба 2

    Разделите AD и BC на n равных частей. Через точки деления (из которых P — одна) проведите линии, параллельные BP. Пусть R — точка пересечения диагонали AC напротив Q. По построению (или по Евклиду VI.9) сторона QC ΔBQC делится на n равных частей. То же верно и для стороны AR ΔADR. Таким образом, очевидно, что диагональ AC делится на n + 1 равных частей.

    Проба 3

    Нарисуйте диагональ BD.Пусть O — точка пересечения двух диагоналей. Проведите также прямую DS через Q. Мы применим теорему Чевы к ΔABD. Поскольку BO = OD и AS / SB · BO / OD · DP / AP = 1, мы имеем AS / SB = AP / DP = 1 / (n — 1). По теореме Ванобеля AQ / QO = AS / SB + AP / DP = 2 / (n — 1) или AQ / AO = 2 / (n + 1). Поскольку AC = 2AO, AQ / AC = 1 / (n + 1).

    Замечание 1

    Доказательство 3 показывает, как легко обобщить лемму. Если AP / AD = a / b для некоторых вещественных a и b, то AQ / AC = a / (a ​​+ b).

    С этого момента для упрощения диаграмм я буду ссылаться на прямоугольники, хотя все результаты (после очевидных изменений) остаются действительными для общих параллелограммов.

    Следствие 1

    Применим лемму к прямоугольнику ABCD. Пусть AP n будет n-й частью стороны AD. Найдите Q на пересечении BP n и AC. Пусть P n + 1 будет основанием перпендикуляра от Q до AD. Тогда (n + 1) · AP n + 1 = AD.

    Проба

    Утверждение следует из леммы и подобия треугольников ACD и AQP n + 1 .

    Теорема

    Предположим, что в прямоугольнике ABCD BM / BC = a / b и AP / AD = c / d.Пусть R — пересечение AM и BP, а S — основание перпендикуляра R к AD. Тогда AS / AD = ac / (ad + bc).

    Проба

    Чтобы получить этот результат, сначала примените замечание 1 к диагонали BD (вместо AC) и точке M (вместо P). Затем используйте теорему Чевы и теорему Ванобеля в ΔABD, как в доказательстве 3 леммы. Это дает BR / BP. Наконец, рассмотрим аналогичные треугольники ABP и SPR с точки зрения Евклида VI.9.

    Следствие 2

    Пусть в теореме a = c = 1.Тогда AS / AD = 1 / (b + d).

    Это приводит к следующей конструкции. Начнем с b = 1 и d = 2. Теорема дает отношение 1/3. Переместите P в BC, чтобы заменить M, и используйте S вместо P в AD. Это приводит к b = 2 и d = 3. Таким образом, теорема дает отношение 1/5. Повторите этот процесс теперь с b = 3 и d = 5. Следующее соотношение будет 1/8 и так далее. Каким образом мы можем сгенерировать всю последовательность Фибоначчи.

    Обобщение

    Лемма вверху страницы является частным случаем следующей задачи, которая была опубликована (проблема геометрии № 90) в 1965 году.Пусть прямая l пересекает стороны AB и CD параллелограмма ABCD в точках E и F соответственно. Пусть G будет пересечением l с диагональю AC. Тогда AB / AE + AD / AF = AC / AG. Лемма получается, когда E совпадает с B.

    Замечание 2

    Очевидно, что конструкцию GLaD можно осуществить складыванием бумаги. Таким образом, он известен как метод по диагонали пересечения . Он был описан Р. Дж. Лангом в 1988 г.

    Список литературы

    1. Л.Головина Ю.Ю., Яглом Ю.М., Индукция в геометрии, , Физматгиз, 1961.
    2. Р. Дж. Лэнг, Four Problems III , British Origami , № 132, октябрь 1988 г., стр. 7-11
    3. А. А. Леман, Задачи Московской математической олимпиады , Просвещение, 1965, на русском языке
    4. В. В. Прасолов, Задачи планиметрии , т. 1, Наука, М., 1986, на русском языке

    | Контакты |
    | Первая страница |
    | Содержание |
    | Геометрия |

    Copyright © 1996-2018 Александр Богомольный

    swift — разделить строку на n равных частей

    Я рисую линию от точки A (x1, y1) до точки B (x2, y2).Теперь мне нужно разделить эту строку на n равных частей. Линия не прямая, поэтому я не могу рассчитать точки на основе оси x и ширины.
    Я рисую линию следующим образом:

      let lineTop = DrawFiguresViewModel.getLine (fromPoint: CGPoint (x: point.x, y: point.y), toPoint: CGPoint (x: (point.x-100), y: (point.y-100)) )
    self.view.layer.addSublayer (lineTop)
    
    class DrawFiguresViewModel {
        class func getLine (fromPoint start: CGPoint, toPoint end: CGPoint) -> CALayer {
            let line = CAShapeLayer ()
            пусть linePath = UIBezierPath ()
            linePath.переместить (в: начало)
            linePath.addLine (до: конец)
            line.path = linePath.cgPath
            line.strokeColor = Colors.lineColor.cgColor
            line.lineWidth = 2
            line.lineJoin = kCALineJoinRound
            обратная линия
        }
    }
      

    Любой старт в этом направлении будет отличным.

    Редактировать1:
    Хочу нарисовать схему вроде.

    Я могу нарисовать жирные линии, но теперь мне нужно нарисовать тонкую линию с указанием причины и причины текста. На одинаковом расстоянии от вертикальной (наклонной) линии может быть несколько причин.

    Редактировать2:
    После добавления кода от Мартина я получаю его как
    Хотя это хорошо, но немного смещено. Также, поскольку это n + 1, я удаляю значение индекса 0 перед его рисованием.

    Edit3:
    Ниже приведен код для рисования линий с использованием функции Мартина:

      if (node.childs.count> 0) {
                var arrPoints = divSegment (начало: CGPoint (x: point.x, y: point.y), конец: CGPoint (x: (point.x-100), y: (point.y-100)), части: узел .Дети.считать)
                arrPoints.remove (в: 0)
                печать (arrPoints)
                for (index, obj) в node.childs.enumerated () {
                    если пусть nodeN = obj как? DataNode {
                        пусть pointN = arrPoints [индекс]
                        drawLevel1Line (точка: точкаN, nodeTitle: nodeN.title)
                    }
                }
            }
      

    Решено: разделите линию на равные части — Adobe Support Community

    Тот же принцип применяется к изогнутым путям, если вы говорите о добавлении равноудаленных точек на сегмент .Добавленные точки находятся на одинаковом расстоянии (для практических целей) вдоль сегмента, в чем вы можете убедиться, скопировав отдельные сегменты, вставив их и затем проверив длину каждого в палитре информации о документе.

    Вы также можете проверить это, применив фильтр к двум эллипсам с одинаковым большим диаметром, но с разными вспомогательными диаметрами. Обратите внимание, что соответствующие точки не выравниваются по вертикали между двумя эллипсами.

    Это полезно при эквидистантном сегментировании сегментов (но не для равных делений полных путей с несколькими и неравными сегментами).

    Добавить точки, с другой стороны, не учитывает кривизну. Итак, соответствующие точки выравниваются по вертикали. Это важно, например, когда вам нужно найти радиальные углы эллипса, например, когда вам нужен эллиптический транспортир для построения иллюстрации. Это также полезно для построения позиций для покадровой «орбитальной» анимации, потому что движущийся по орбите объект затем «ускоряется» по мере приближения к меньшему диаметру и «замедляется» по мере приближения к большому диаметру, что более убедительно для равномерное орбитальное движение.

    К сожалению, довольно неубедительная команда Illustrator «Добавить точки привязки» не позволяет указать для , сколько точек добавить на сегмент. Он только добавляет точки к разделенным пополам сегментам. Придется применять неоднократно. Это исключает нечетное количество новых сегментов. (Еще один пример того, как функция Illustrator далеко отстает от завершения по сравнению с другими программами.)

    Итак, как вы, например, находите 12-часовые позиции круга? Вам нужно 2 добавленных точки на исходный сегмент.Добавить точки привязки нельзя, но можно использовать Zig-Zag Filter. Обратите внимание, что часовые точки круга, конечно же, разграничивают каждые 15 градусов. Безусловно полезный прирост.

    А как насчет нашего эллиптического транспортира? Конечно, например, изометрический транспортир с отметками каждые, скажем, 10 градусов был бы очень полезен. Для этого потребуется 8 дополнительных очков на сегмент. Добавить точки привязки нельзя. Зигзагообразный фильтр может, но точки будут равноудалены — не подходит для использования в качестве эллиптического транспортира.Что делать?

    Используйте зигзагообразный фильтр на круге …

    … затем масштабируйте круг по вертикали на 58% (синус изометрического угла, 35’16 дюймов).

    Такие манипуляции могут быть ключом к созданию изометрических эллиптических и сферических транспортиров (а также диметрических и триметрических транспортиров, если на то пошло) — важных инструментов для правильного построения простых и сложных вращений вокруг осей рисования.

    (А теперь попробуйте сказать мне, что различные функции (и неинтуитивные обходные пути), упомянутые выше, не могут и не должны быть интегрированы в один, более доступный для обнаружения инструмент.)

    JET

    Деление линейного сегмента на заданное соотношение

    Деление линейного сегмента на заданное соотношение

    Дан отрезок AB, мы хотим разделить его в соотношении m: n, где m и n — положительные целые числа. Чтобы помочь вам понять это, возьмем m = 3 и n = 2.
    Этапы построения:
    1. Нарисуйте любой луч AX, образующий острый угол с AB.
    2. Найдите 5 (= m + n) точек A 1 , A 2 , A 3 , A 4 и A 5 на AX так, чтобы AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5 .
    3. Присоединиться к BA 5 .
    4. Через точку A 3 (m = 3) проведите линию, параллельную A 5 B (сделав угол равным ∠AA 5 B) в точке A 3 , пересекающей AB в точке точка C (см. рисунок).Тогда AC: CB = 3: 2.

    Давайте посмотрим, как этот метод дает нам требуемое деление.
    Поскольку A 3 C параллельно A 5 B, следовательно,
    \ (\ frac {A {{A} _ {3}}} {{{A} _ {3}} {{A} _ {5}}} = \ frac {AC} {CB} \ text {} \ left (\ text {По основной теореме пропорциональности} \ right) \)
    \ (\ frac {A {{A} _ {3} }} {{{A} _ {3}} {{A} _ {5}}} = \ frac {3} {2} \ text {(По построению)} \)
    \ (\ text {} \ frac {AC} {CB} = \ frac {3} {2} \ text {} \)
    Это показывает, что C делит AB в соотношении 3: 2.


    Альтернативный метод
    Этапы построения:
    1. Нарисуйте любой луч AX, образующий острый угол с AB.
    2. Нарисуйте луч BY, параллельный AX, сделав ∠ABY равным ∠BAX.
    3. Найдите точки A 1 , A 2 , A 3 (m = 3) на AX и B 1 , B 2 (n = 2) на BY так, чтобы AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = BB 1 = B 1 B 2 .
    4. Соединение A 3 B 2 .

    Пусть он пересекает AB в точке C (см. Рисунок)
    Тогда AC: CB = 3: 2
    Почему этот метод работает? Покажи нам.
    Здесь DAA 3 C аналогичен DAB 2 C. (Почему?)
    \ (\ text {Then} \ frac {A {{A} _ {3}}} {B {{B} _ { 2}}} = \ frac {AC} {BC} \)
    \ (\ frac {A {{A} _ {3}}} {B {{B} _ {2}}} = \ frac {3} {2} \ text {(По построению)} \)
    \ (\ text {} \ frac {AC} {BC} = \ frac {3} {2} \)
    Фактически, приведенные выше методы работают для разделения отрезок линии в любом соотношении.
    Теперь мы воспользуемся идеей приведенной выше конструкции для построения треугольника, подобного данному треугольнику, стороны которого находятся в заданном соотношении с соответствующими сторонами данного треугольника.

    Найдите все точки разделения.

    Существует формула для нахождения точек деления на живом сегменте.

    Если разделить отрезок на соотношение m: n …

    Чтобы найти точку разделения между (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ) в соотношении m: n

    Точка разделения: [(mx 2 + nx 1 ) / (m + n), (my 2 + ny 1 ) / (m + n)]

    В этом случае мы хотим разделить сегмент на 5 равных частей, поэтому

    будет 4 очка дивизиона.

    За первую точку деления примем ближайшую к

    нижняя точка нашего сегмента в (-5, -3) …

    Поскольку мы делим на 5 равных отрезков, соотношение из (-5, -3)

    до 1-й точки деления приведет к тому, что линия будет разделена в соотношении

    из 1: 4, поэтому m = 1, n = 4 (x 1 , y 1 ) = (-5, -3), (x 2 , y 2 ) = (3,4)

    Координата x для 1-й точки деления равна (1 (3) +4 (-5)) / (1 + 4) = -17/5 = -3 2/5

    Координата y для 1-й точки деления равна (1 (4) +4 (-3)) / (1 + 4) = -8/5 = -1 3/5

    Первая точка деления (-3 2/5, -1 3/5)

    По-прежнему используются (x 1 , y 1 ) = (-5, -3) и (x 2 , y 2 ) = (3,4) для 2-й точки

    деление теперь будет 2: 3, поэтому m = 2, n = 3

    Координата x для 2-й точки деления равна (2 (3) +3 (-5)) / (2 + 3) = -9/5 = -1 4/5

    Координата y для 2-й точки деления равна (2 (4) +3 (-3)) / (2 + 3) = -1/5

    2-я точка деления будет (-1 4/5, -1/5)

    Продолжая в том же духе, соотношение для 3-го деления составляет 3: 2

    По-прежнему используется формула [(mx 2 + nx 1 ) / (m + n), (my 2 + ny 1 ) / (m + n)]

    Если мы продолжим использовать (-5, -3) как (x 1 , y 1 ) и ((3,4) как (x 2 , y 2 ) с m = 3, n = 2

    Для четвертой точки деления соотношение m: n станет 4: 1

    Я оставляю вам поиск двух других разделительных пунктов.Удачи и

    Надеюсь, это поможет.

    Андрей

    Кстати: давайте проверим, что наша вторая точка деления (-1 4/5, -1/5) на самом деле

    на нашем исходном линейном сегменте:

    У нас есть точки (-5, -3), (3,4)

    Наклон подъем / спуск = (4 — (- 3)) / (3 — (- 5)) = 7/8

    наш отрезок выглядит как y = (7/8) x + b

    Подставляя (3,4) для (x, y), мы можем найти b

    4 = (7/8) (3) + b

    4 = 21/8 + Ь

    б = 4- (21/8) = 11/8

    Уравнение отрезка прямой: y = (7/8) x + 11/8

    Нам нужно убедиться, что (-1 4/5, -1/5) находится в этой строке

    или (-9/5, -1/5)

    -1/5 = (7/8) (- 9/5) + 11/8

    -1/5 = -63/40 + 11/8

    -1/5 = -63/40 + 55/40

    -1/5 = -8/40

    -1/5 = -1/5

    Точка проверяется как находящаяся на отрезке линии, поэтому наш ответ

    кажется правильным.

    Формула сечения | Блестящая вики по математике и науке

    Если точка P (x, y) P (x, y) P (x, y) лежит на отрезке AB‾ \ overline {AB} AB ((((между точками AAA и B) B) B) и удовлетворяет AP: PB = m: n, AP: PB = m: n, AP: PB = m: n, тогда мы говорим, что PPP делит AB‾ \ overline {AB} AB внутри в соотношении m: nm: nm: n. Точка разделения имеет координаты

    .

    P = (mx2 + nx1m + n, my2 + ny1m + n) .P = \ left (\ dfrac {mx_2 + nx_1} {m + n}, \ dfrac {my_2 + ny_1} {m + n} \ right) .P = (m + nmx2 + nx1, m + nmy2 + ny1).

    Формулу можно получить, построив два похожих прямоугольных треугольника, как показано ниже. Их гипотенузы расположены вдоль отрезка прямой и находятся в соотношении m: нм: нм: n.

    Красный и зеленый треугольники подобны, поскольку соответствующие углы треугольников равны. Это означает, что отношения их соответствующих сторон равны. Обратите внимание, что точка PPP находится на расстоянии мм + n × AB \ frac {m} {m + n} \ times ABm + nm × AB от AAA.То есть

    x = x1 + mm + n (x2 − x1) = (m + n) x1 + mx2 − mx1m + n = mx2 + nx1m + n. (1) \ begin {align} x & = x_1 + \ frac {m } {m + n} (x_2 — x_1) \\
    & = \ frac {(m + n) x_1 + m x_2 — m x _1} {m + n} \\
    & = \ frac {m {x} _ {2} + n {x} _ {1}} {m + n}. \ qquad (1)
    \ end {выровнено} x = x1 + m + nm (x2 −x1) = m + n (m + n) x1 + mx2 −mx1 = m + nmx2 + nx1. (1)

    Аналогичным образом решение для yyy дает

    y = my2 + ny1m + n. (2) y = \ frac {m {y} _ {2} + n {y} _ {1}} {m + n}. \ qquad (2) y = m + nmy2 + ny1. (2)

    Следовательно, из (1) (1) (1) и (2) (2) (2)

    P (x, y) = (mx2 + nx1m + n, my2 + ny1m + n).□ P (x, y) = \ left (\ dfrac {m {x} _ {2} + n {x} _ {1}} {m + n}, \ dfrac {m {y} _ {2} + n {y} _ {1}} {m + n} \ right). \ _ \ squareP (x, y) = (m + nmx2 + nx1, m + nmy2 + ny1). □

    Как частный случай внутреннего деления, если PPP является средней точкой AB‾ \ overline {AB} AB, то он делит AB‾ \ overline {AB} AB внутри в соотношении 1: 11: 11: 1. Следовательно, применяя формулу для внутреннего деления и подставляя m = n = 1m = n = 1m = n = 1, получаем

    P = (x1 + y12, x2 + y22) .P = \ left (\ dfrac {x_1 + y_1} {2}, \ dfrac {x_2 + y_2} {2} \ right).P = (2×1 + y1, 2×2 + y2).

    Для A = (- 3,1) A = (- 3,1) A = (- 3,1) и B = (3, −6) B = (3, -6) B = (3, −6) , каковы координаты точки P = (x, y) P = (x, y) P = (x, y), которая внутренне делит отрезок AB‾ \ overline {AB} AB в соотношении 1: 2? 1: 2? 1: 2?

    ОТВЕЧАТЬ

    Точка PPP находится на расстоянии 11 + 2 × AB \ frac {1} {1 + 2} \ times AB1 + 21 × AB от точки AAA.

    При измерении параллельно оси xxx получаем

    х = −3 + 13 × (3 — (- 3)) = — 1.\ begin {выровнено}
    x & = -3 + \ frac {1} {3} \ times \ big (3 — (-3) \ big) \\
    & = -1.
    \ end {align} x = −3 + 31 × (3 — (- 3)) = — 1.

    При измерении параллельно оси yyy получаем

    y = 1 + 13 × (−6−1) = — 43. \ begin {align} y & = 1 + \ frac {1} {3} \ times (-6-1) \\ & = — \ frac {4} {3}. \ end {align} y = 1 + 31 × (−6−1) = — 34,

    Таким образом, координаты PPP равны (−1, −43) \ big (-1, — \ frac {4} {3} \ big) (−1, −34) □ _ \ square □

    Если A = (- 3,6) A = (- 3,6) A = (- 3,6), каковы координаты B = (x2, y2) B ​​= (x_2, y_2) B = (x2 , y2), если точка P = (- 2,4) P = (- 2,4) P = (- 2,4) делит отрезок AB‾ \ overline {AB} AB внутри в соотношении 1: 3? 1 : 3? 1: 3?

    ОТВЕЧАТЬ

    В этом примере мы должны найти одну из конечных точек линейного сегмента.Рисование подобных треугольников поможет нам решить и эту проблему.

    Стороны треугольника находятся в соотношении 1:31: 31: 3. Основание розового треугольника имеет длину −2 — (- 3) = 1-2 — (-3) = 1−2 — (- 3) = 1. Основание зеленого треугольника в три раза длиннее, то есть x — (- 2) = 3 × 1x — (-2) = 3 \ times 1x — (- 2) = 3 × 1. Решение этого дает x = 1x = 1x = 1.

    Высота розового треугольника 4−6 = −24-6 = -24−6 = −2. Высота зеленого треугольника в три раза больше, то есть y − 4 = 3 × (−2) y — 4 = 3 \ times (-2) y − 4 = 3 × (−2).Решение этого уравнения дает y = −2y = -2y = −2.

    Таким образом, координаты BBB равны (1, −2). (1, -2). (1, −2). □ _ \ квадрат □

    Для A = (- 2, −1) A = (-2, -1) A = (- 2, −1) и B = (4,11) B = (4,11) B = (4,11) , точка P = (x, y) P = (x, y) P = (x, y) внутренне делит отрезок AB‾ \ overline {AB} AB в соотношении m: nm: nm: n. Если PP P является точкой пересечения AB‾ \ overline {AB} AB и оси yyy, каково значение m: n? M: n? M: n?

    ОТВЕЧАТЬ

    Поскольку точка PPP находится на оси yyy, ее координата xxx равна нулю.Мы можем записать координаты PPP как (0, y) (0, y) (0, y).

    Горизонтальное расстояние между PP P и AAA равно 0 — (- 2) = 20 — (-2) = 20 — (- 2) = 2.
    Горизонтальное расстояние между BBB и PPP составляет 4-0 = 44-0 = 44-0 = 4.

    Соотношение оснований прямоугольных треугольников 2:42: 42: 4 или 1:21: 21: 2. Поскольку треугольники похожи, соотношение их гипотенуз также составляет 1:21: 21: 2.

    Следовательно, точка PPP делит отрезок ABABAB в соотношении 1:21: 21: 2. □ _ \ квадрат □

    В каком соотношении точка P = (- 3,7) P = (- 3,7) P = (- 3,7) делит отрезок прямой, соединяющий A = (- 5,11) A = (- 5,11 ) A = (- 5,11) и B = (4, −7)? B = (4, -7)? B = (4, −7)?

    ОТВЕЧАТЬ

    Мы можем нарисовать 2 похожих прямоугольных треугольника: красный треугольник с гипотенузой APAPAP и синий треугольник с гипотенузой PB.ПБ.ПБ.

    Point PPP делит отрезок ABABAB в соотношении AP: PBAP: PBAP: PB, что эквивалентно a: ba: ba: b, поскольку треугольники похожи. Найдем длины aaa и b: b: b:

    a = (- 3) — (- 5) = 2, b = 4 — (- 3) = 7. a = (-3) — (-5) = 2, \ quad b = 4 — (-3) = 7. a = (- 3) — (- 5) = 2, b = 4 — (- 3) = 7.

    Таким образом, точка PPP делит отрезок ABABAB в соотношении a: b = 2: 7a: b = 2: 7a: b = 2: 7.

    В качестве альтернативы соотношение AP: PBAP: PBAP: PB также равно c: d, c: d, c: d, i.е.

    c = 7−11 = −4, d = (- 7) −7 = −14 ⟹ c: d = 2: 7. c = 7-11 = -4, \ quad d = (-7) — 7 = -14 \ подразумевает c: d = 2: 7.c = 7−11 = −4, d = (- 7) −7 = −14⟹c: d = 2: 7.

    Мы снова получаем соотношение 2:72: 72: 7, что согласуется с нашими предыдущими расчетами. □ _ \ квадрат □

    Для решения вопросов, аналогичных приведенному выше примеру, существует альтернативный метод, в котором вам нужно решать только одну переменную вместо двух. Приведенный ниже пример демонстрирует это.

    Найдите отношение, в котором точка (5,4) (5,4) (5,4) делит прямую, соединяющую точки (2,1) (2,1) (2,1) и (7,6) (7 , 6) (7,6).

    ОТВЕЧАТЬ

    Вы можете решить этот вопрос обычным способом, приняв соотношение m: nm: nm: n. Но теперь мы возьмем другую замену. Предположим, что k = mnk = \ dfrac {m} {n} k = nm, так что m: n = k: 1m: n = k: 1m: n = k: 1. Теперь необходимое соотношение будет k: 1k: 1k: 1.
    P (x, y) = (kx2 + x1k + 1, y = ky2 + y1k + 1) P ~ (x, y) = \ left (\ dfrac {kx_2 + x_1} {k + 1} \ quad, \ quad y = \ dfrac {ky_2 + y_1} {k + 1} \ right) P (x, y) = (k + 1kx2 + x1, y = k + 1ky2 + y1)
    Учитывая, что точка P = (5,4) P = (5,4) P = (5,4).Итак, замените xxx или yyy в приведенном выше результате.

    x = kx2 + x1k + 1 ⟹ 5 = 7k + 2k + 1x = \ dfrac {kx_2 + x_1} {k + 1} \ подразумевает 5 = \ dfrac {7k + 2} {k + 1} x = k + 1kx2 + X1 ⟹5 = k + 17k + 2

    ⟹ k = 32 \ подразумевает k = \ dfrac {3} {2} ⟹k = 23.

    Найдите координаты точки PPP, которая разделяет прямую, соединяющую A = (4, −5) A = (4, -5) A = (4, −5) и B = (6,3) B = (6, 3) B = (6,3) в соотношении 2:52: 52: 5.

    ОТВЕЧАТЬ

    Пусть координаты PPP равны (x, y) (x, y) (x, y).P (x, y) = (2 × 6 + 5 × 42 + 5,2 × 3 + 5 × −52 + 5) P (x, y) = (12 + 207,6−257) ∴P = (327 , −197) \ begin {выровнено}
    P ~ (x, y) & = \ left (\ dfrac {2 \ times 6 + 5 \ times 4} {2 + 5}, \ dfrac {2 \ times 3 + 5 \ times -5} {2 + 5} \верно) \\
    P ~ (x, y) & = \ left (\ dfrac {12 + 20} {7}, \ dfrac {6–25} {7} \ right) \\
    \ поэтому P & = \ left (\ dfrac {32} {7}, — \ dfrac {19} {7} \ right) \\
    \ end {align} P (x, y) P (x, y) ∴P = (2 + 52 × 6 + 5 × 4, 2 + 52 × 3 + 5 × −5) = (712 + 20 , 76−25) = (732, −719)

    Найдите координаты средней точки отрезка, соединяющего точки (4, −6) (4, -6) (4, −6) и (−2,4) (- 2,4) (- 2,4).

    ОТВЕЧАТЬ

    Средняя точка = (x1 + x22, y1 + y22) = (4−22, −6 + 42) = (1, −1) Средняя точка = \ left (\ dfrac {x_1 + x_2} {2}, \ dfrac {y_1 + y_2} {2} \ right) = \ left (\ dfrac {4-2} {2}, \ dfrac {-6 + 4} {2} \ right) = (1, -1) Средняя точка = (2×1 + x2, 2y1 + y2) = (24−2, 2−6 + 4) = (1, −1)

    Более подробную информацию о мидпойнте можно найти в этой вики.

    A = (7, −2), A = (7, -2), A = (7, −2), B = (- 1,0), B = (- 1, 0), B = (- 1 , 0), C = (- 2,8) C = (- 2, 8) C = (- 2,8)

    A = (0,9), A = (0, 9), A = (0,9), B = (- 4, −1), B = (- 4, -1), B = (- 4, −1), С = (6,1) С = (6, 1) С = (6,1)

    A = (9,1), A = (9, 1), A = (9,1), B = (6, −8), B = (6, -8), B = (6, −8) , C = (6,12) C = (6, 12) C = (6,12)

    A = (3, −8), A = (3, -8), A = (3, −8), B = (- 14,3), B = (- 14, 3), B = (- 14 , 3), C = (- 4,2) C = (- 4, 2) C = (- 4,2)

    В треугольнике ABC, ABC, ABC середины сторон BC, BC, BC, CA CA CA и AB AB AB лежат в точках (1,0), (1, 0), (1,0), (3,5) (3, 5) (3,5) и (−2,4), (-2, 4), (−2,4) соответственно.Найдите координаты трех вершин A, A, A, BBB и C.C.C.

    Отправьте свой ответ

    Как показано на диаграмме выше, четыре точки O = (1, −3), K = (a, b), A = (c, d), Y = (2,7) O = (1, -3) , K = (a, b), A = (c, d), Y = (2,7) O = (1, −3), K = (a, b), A = (c, d), Y = (2,7) лежат на одном отрезке.Если OK = KA = AY, OK = KA = AY, OK = KA = AY, каково значение a + b + c + d? A + b + c + d? A + b + c + d?

    Доказать, что «разделить угол на три равные части» можно в математике.

    Za-Chary писал:

    В вышеприведенной статье также говорится следующее:

    • Разделение любого отрезка прямой на две равные части с помощью только линейки и циркуля возможно.
    • Можно разделить любой угол на две равные части с помощью только линейки и циркуля.∞, так вот! что такое бесконечность? его ∞ + 1 = ∞, поэтому я думаю, что если бы его можно было сложить или умножить, это НЕ бесконечность.
      Я предлагаю использовать Ω (Омега) для ИСТИННОЙ бесконечности и A (Альфа) для ИСТИННОЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ бесконечности. Это потому, что если бесконечность будет делать + — * / со всеми натуральными числами, тогда будет БЕСКОНЕЧНОСТЬ БЕСКОНЕЧНОСТИ!
      ИСТИННАЯ ИНДИВИДУАЛЬНОСТЬ БЫЛА СУПЕР ТРАНСДЕНТАЛЬНОЙ.
      Это означает, что бесконечность (истина) не может быть добавлена, вычтена, суммирована, преобразована в частные, записана, модифицирована и т. Д. Бесконечность должна БЫТЬ БЕСКОНЕЧНОСТЬЮ.п такие же. Итак, я обнаружил
      n = 1
      парадокс, который доказывает, что ∞ НЕ ИСТИНА БЕСКОНЕЧНОСТЬ. Это потому, что линия длинна ∞ и заканчивается на бесконечности, поэтому она вечна. Но если он заканчивается на бесконечности, у него есть КОНЕЦ. Итак, истинная бесконечность — это число, но его не нужно связывать или сокращать с другими числами.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.