Как раскрываются скобки: Как правильно раскрывать скобки?

Содержание

Раскрытие скобок

Продолжаем изучать основы алгебры. В данном уроке мы научимся раскрывать скобки в выражениях. Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.

Чтобы раскрывать скобки, нужно выучить наизусть два правила. При регулярных занятиях раскрывать скобки можно с закрытыми глазами, и про те правила которые требовалось заучивать наизусть, можно благополучно забыть.

Первое правило раскрытия скобок

Рассмотрим следующее выражение:

8 + (−9 + 3)

Значение данного выражения равно 2. Раскроем скобки в данном выражении. Раскрыть скобки означает избавиться от них, не влияя на значение выражения. То есть после избавления от скобок значение выражения 8 + (−9 + 3) по прежнему должно быть равно двум.

Первое правило раскрытия скобок выглядит следующим образом:

При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.

Итак, мы видим что в выражении 8 + (−9 + 3) перед скобками стоит плюс. Этот плюс нужно опустить вместе со скобками. Иными словами, скобки исчезнут вместе с плюсом, который перед ними стоял. А то, что было в скобках запишется без изменений:

Мы получили выражение без скобок 8−9+3. Данное выражение равно 2, как и предыдущее выражение со скобками было равно 2.

8 + (−9 + 3) = 2

8 − 9 + 3 = 2

Таким образом, между выражениями 8+(−9+3) и 8−9+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

2 = 2


Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 3 + (−1 − 4)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4


Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 + (−1)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:

2 + (−1) = 2 − 1

В данном примере раскрытие скобок стало своего рода обратной операцией замене вычитания сложением. Как это понимать?

В выражении 2 − 1 происходит вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получится выражение 2 + (−1). Но если в выражении 2 + (−1) раскрыть скобки, то получится изначальное 2 − 1.

Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после каких-нибудь преобразований. То есть избавить его от скобок и сделать проще.

Например, упростим выражение 2a− 5b.

Чтобы упростить данное выражение, можно привести подобные слагаемые. Напомним, что для приведения подобных слагаемых, нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:

Получили выражение 3+ (−4b). В этом выражении раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок, то есть опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:

3a + (−4b) = 3a − 4b

Таким образом, выражение 2a+a−5b+b упрощается до 3a−4b.

Раскрыв одни скобки, по пути могут встретиться другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в следующем выражении:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6)

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В данном случае применимо первое правило раскрытия скобок, а именно опускание скобок вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6


Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 6+(−3)+(−2)

В обоих местах, где имеются скобки, перед ними стоит плюс. Здесь опять же применяется первое правило раскрытия скобок:

6 + (−3) + (−2) = 6 − 3 − 2


Иногда первое слагаемое в скобках записано без знака. Например, в выражении 1+(2+3−4) первое слагаемое в скобках 2 записано без знака. Возникает вопрос, а какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ напрашивается сам — перед двойкой будет стоять плюс.

На самом деле даже будучи в скобках перед двойкой стоит плюс, но мы его не видим по причине того, что его не записывают. Мы уже говорили, что полная запись положительных чисел выглядит как +1, +2, +3. Но плюсы по традиции не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас положительные числа 1, 2, 3.

Поэтому, чтобы раскрыть скобки в выражении 1+(2+3−4), нужно как обычно опустить скобки вместе с плюсом, стоящим перед этими скобками, но первое слагаемое которое было в скобках записать со знаком плюс:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4


Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −5 + (2 − 3)

Перед скобками стоит плюс, поэтому применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками. Но первое слагаемое, которое в скобках записываем со знаком плюс:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3


Пример 5. Раскрыть скобки в выражении (−5)

Перед скобками стоит плюс, но он не записан по причине того, что до него не было других чисел или выражений. Наша задача убрать скобки, применив первое правило раскрытия скобок, а именно опустить скобки вместе с этим плюсом (даже если он невидим)

(−5) = −5


Пример 6. Раскрыть скобки в выражении 2a + (−6a + b)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b


Пример 7. Раскрыть скобки в выражении 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

В данном выражении имеется два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d


Второе правило раскрытия скобок

Теперь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Оно применяется тогда, когда перед скобками стоит минус.

Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный.

Например, раскроем скобки в следующем выражении

5 − (−2 − 3)

Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:

Мы получили выражение без скобок 5 + 2 + 3. Данное выражение равно 10, как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.

5 − (−2 − 3) = 10

5 + 2 + 3 = 10

Таким образом, между выражениями 5−(−2−3) и 5+2+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

10 = 10


Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 6 − (−2 − 5)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, записываем с противоположными знаками:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5


Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

2 − (7 + 3) = 2 − 7 − 3


Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −(−3 + 4)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

−(−3 + 4) = 3 − 4


Пример 5. Раскрыть скобки в выражении −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить второе правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения +(−9 − 2) нужно применить первое правило:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2


Пример 6. Раскрыть скобки в выражении −(−a − 1)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

−(−a − 1) = a + 1


Пример 7. Раскрыть скобки в выражении −(4a + 3)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

−(4a + 3) = −4a − 3


Пример 8. Раскрыть скобки в выражении a − (4b + 3) + 15

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

a − (4b + 3) + 15 a − 4b − 3 + 15


Пример 9. Раскрыть скобки в выражении 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить первое правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения −(3c+5) нужно применить второе правило:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5


Пример 10. Раскрыть скобки в выражении −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Здесь три места, где нужно раскрыть скобки. Вначале нужно применить второе правило раскрытия скобок, затем первое, а затем опять второе:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) −a + 4a − 6b + 8c − 15


Механизм раскрытия скобок

Правила раскрытия скобок, которые мы сейчас рассмотрели, основаны на распределительном законе умножения:

a(b+c) = ab + ac

На самом деле раскрытием скобок называют ту процедуру, когда общий множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. В результате такого умножения скобки исчезают. Например, раскроем скобки в выражении 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Поэтому, если нужно умножить число на выражение в скобках (или выражение в скобках умножить на число) надо говорить раскроем скобки.

Но как связан распределительный закон умножения с правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали ранее?

Дело в том, что перед любыми скобками стоит общий множитель. В примере 3×(4+5) общий множитель это 3. А в примере a(b+c) общий множитель это переменная a.

Если перед скобками нет чисел или переменных, то общим множителем является 1 или −1, в зависимости от того, какой знак стоит перед скобками. Если перед скобками стоит плюс, значит общим множителем является 1. Если перед скобками стоит минус, значит общим множителем является −1.

К примеру, раскроем скобки в выражении −(3b−1). Перед скобками стоит минус, поэтому нужно воспользоваться вторым правилом раскрытия скобок, то есть опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед скобками. А выражение, которое было в скобках, записать с противоположными знаками:

−(3b − 1) = −3b + 1

Мы раскрыли скобки, воспользовавшись правилом раскрытия скобок. Но эти же скобки можно раскрыть, воспользовавшись распределительным законом умножения. Для этого сначала записываем перед скобками общий множитель 1, который не был записан:

−1(3b −1)

Минус, который раньше стоял перед скобками относился к этой единице. Теперь можно раскрыть скобки, применяя распределительный закон умножения. Для этого общий множитель −1 нужно умножить на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложить.

Для удобства заменим разность, находящуюся в скобках на сумму:

−1(3b −1) = −1( 3b + (−1) )

Далее умножаем общий множитель −1 на каждое слагаемое в скобках:

−1(3b −1) = −1(3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Как и в прошлый раз мы получили выражение −3b+1. Каждый согласится с тем, что в этот раз затрачено больше времени на решение столь простейшего примера. Поэтому разумнее пользоваться готовыми правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали в данном уроке:

−(3b − 1) = −3b + 1

Но не мешает знать, как эти правила работают.


В данном уроке мы научились ещё одному тождественному преобразованию. Вместе с раскрытием скобок, вынесением общего за скобки и приведением подобных слагаемых можно немного расширить круг решаемых задач. Например:

Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:

Здесь нужно выполнить два действия — сначала раскрыть скобки, а потом привести подобные слагаемые. Итак, по порядку:

1) Раскрываем скобки:

2) Приводим подобные слагаемые:

В получившемся выражении −10b+(−1) можно раскрыть скобки:


Пример 2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:

1) Раскроем скобки:

2) Приведем подобные слагаемые. В этот раз для экономии времени и места, не будем записывать, как коэффициенты умножаются на общую буквенную часть


Пример 3. Упростить выражение 8m+3m и найти его значение при m=−4

1) Сначала упростим выражение. Чтобы упростить выражение 8m+3m, можно вынести в нём общий множитель m за скобки:

8m+3m = m(8+3)

2) Находим значение выражения m(8+3) при m=−4. Для этого в выражение m(8+3) вместо переменной m подставляем число −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 2. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 3. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 4. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 5. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 6. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 7. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 8. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 9. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 10. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 11. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 12. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 13. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 14. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 15. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 16. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 17. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 18. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 19. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 20. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 21. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 22. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 23. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в следующем выражении:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

правила и примеры (7 класс)


Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений. Например, в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).


Однако если мы имеем дело с алгебраическим выражением, содержащим переменную — например таким: \(2(x-3)\) – то вычислить значение в скобке не получается, мешает переменная. Поэтому в таком случае скобки «раскрывают», используя для этого соответствующие правила.

Правила раскрытия скобок

Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря: 


\((a-b)=a-b\)



Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение \((5+x)\) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут.


Пример. Раскройте скобку \((1+y-7x)\).
Решение: \((1+y-7x)=1+y-7x\).


Пример. Упростите выражение: \(3+(5-2x)\).
Решение: Раскрываем скобку согласно правилу, а затем приводим подобные слагаемые:




Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:


\(-(a-b)=-a+b\)



Здесь нужно пояснить, что у \(a\), пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.


Пример: Упростите выражение \(2x-(-7+x)\).
Решение: внутри скобки два слагаемых: \(-7\) и \(x\), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые.



Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение: \(-(4m+3)=-4m-3\).


Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть: 


\(c(a-b)=ca-cb\)



Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение: В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.


Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).



Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).


Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:


\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)



Пример.  Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.

Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:


Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:

— сначала первое…


— потом второе.



Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:


Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.


Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\). Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\). А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\). Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке


Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).


Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:

— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;

— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.


При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение, просто переписывая его как есть. 

Давайте для примера разберем написанное выше задание.


Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:







\(7x+2(5\)\(-(3x+y)\)\()=\)


Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.


\(=7x+2(5\)\(-3x-y\)\()=\)


Теперь раскрываем вторую скобку, внешнюю.


\(=7x+2·5-2·3x-2·y=\)


Упрощаем получившееся выражение…


\(=7x+10-6x-2y=\)


…и приводим подобные.


\(=x+10-2y\)


Готово.


Пример.  Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение:








\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\)\())\)


Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.


\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\)\())\)


Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.


\(=-(x\)\(+3(3x-6)\)\()=\)


Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.


\(=-(x\)\(+9x-18\)\()=\)


Вновь приводим подобные.


\(=-(10x-18)=\)


И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.


\(=-10x+18\)


Готово.


Раскрытие скобок — это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.


Смотрите также:
Вынесение общего множителя за скобки

Скачать статью

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2·(3+4) на выражение вида 2·3+2·4без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Определение 1

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

  • знаки «+» или «-» перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
  • произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5+(−3)−(−7) к 5−3+7. Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a+b)·(c+d) на сумму a·c+a·d+b·c+b·d. Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x2·1a-x+sin(b)  будет соответствовать выражение без скобок вида x2·1a-x2·x+x2·sin(b) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5−(3−(2−1))=5−(3−2+1)=5−3+2−1 или 5−(3−(2−1))=5−3+(2−1)=5−3+2−1.

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (−4) и 3+(−4). Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, +(а) на +а, -(а) на –а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5, выражение 3+(5) без скобок примет вид 3+5, так как +(5) заменяется на +5, а выражение 3+(−5) эквивалентно выражению 3−5, так как +(−5) заменяется на −5.

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. +(−a) мы заменяем на −a,  −(−a) заменяется на +a. Если выражение начинается с отрицательного числа (−a), которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (−a) остается −a.

Приведем примеры:  (−5) можно записать как  −5,  (−3)+0,5 принимает вид −3+0,5,  4+(−3) превращается в 4−3, а −(−4)−(−3) после раскрытия скобок принимает вид 4+3, так как −(−4) и −(−3) заменяется на +4 и +3.

Следует понимать, что записать выражение 3·(−5) как 3·−5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a−b равна a+(−b). На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a, которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a+(−b)  — это разность a−b.

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что −(−a)=a, a−(−b)=a+b.

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть −(−((−(5)))). Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5))=−(5)=−5. Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: −(−((−(5))))=((−(5)))=(−(5))=−(5)=−5.

Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком «+» впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение −(−2·x)−(x2)+(−1x)−(2·x·y2:z) примет вид 2·x−x2−1x−2·x·y2:z. Как мы это сделали? Мы знаем, что −(−2·x) есть +2·x, а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x, −(x2)=−x2, +(−1x)=−1x и −(2·x·y2:z)=−2·x·y2:z.

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) мы можем заменить на (a·b), а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменить на (−a·b). Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел -435 и -2, вида(-2)·-435 . Для этого заменим исходное выражение на 2·435 . Раскроем скобки и получим 2·435 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел (−4):(−2), то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4:2

На месте отрицательных чисел −a и −b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые  не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении  -3·xx2+1·x·(ln5). Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования:   -3·xx2+1·x·(ln5)=-3·xx2+1·x·ln5=3·xx2+1·x·ln5.

Выражение (−3)·2 можно преобразовать в выражение (−3·2). После этого можно раскрыть скобки: −3·2.

 23·-45=-23·45=-23·45

 Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок:  (−5):2=(−5:2)=−5:2 и  234:(-3,5)=-234:3,5=-234:3,5.

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два  примера.

-1x+1:x-3=-1x+1:x-3=-1x+1:x-3

и 

sin(x)·(-x2)=(-sin(x)·x2)=-sin(x)·x2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Пример 2

Для примера, возьмем выражение 5·(−3)·(−2), которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как  (5·3·2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5·3·2.

В произведении (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)  пять чисел являются отрицательными. поэтому (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)=(−2,5·3:2·4:1,25:1). Окончательно раскрыв скобки, получаем  −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и -1 или -1 заменяем на (−1)·a.

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные −1, в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1, а нечетного – равно −1, что позволяет нам использовать знак минус.

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении -23:(-2)·4:-67 выглядела бы следующим образом:

-23:(-2)·4:-67=-23·-12·4·-76==(-1)·23·(-1)·12·4·(-1)·76==(-1)·(-1)·(-1)·23·12·4·76=(-1)·23·12·4·76==-23·12·4·76

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

 x2·(-x):(-1x)·x-3:2.

Его можно привести к выражению без скобок  x2·x:1x·x-3:2 .

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Пример 3

Для примера приведем выражение (12−3,5)−7.  Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12−3,5)−7=+12−3,5−7. В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как +12−3,5−7=12−3,5−7.

Пример 4

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение  x+2a-3×2+1-x2-4+1x и проведем с ним действия  x+2a-3×2+1-x2-4+1x==x+2a-3×2+1-x2-4+1x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

Пример 5

2+x2+1x-x·y·z+2·x-1+(-1+x-x2)==2+x2+1x-x·y·z+2·x-1-1+x+x2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-», скобки со знаком «-» опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Пример 6

К примеру:

—12=12,-1x+1=-1x+1,-(-x2)=x2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

—x+x3-3—2·x2+3·x3·x+1x-1-x+2,

получаем x-x3-3+2·x2-3·x3·x+1x-1-x+2.

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a1±a2±…±an)·b=(a1·b±a2·b±…±an·b) или b·( a1±a2±…±an)=(b·a1±b·a2±…±b·an), где a1, a2, …, an и b – некоторые числа или выражения.

Пример 7

Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3−7)·2. Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3−7)·2=(3·2−7·2). Получаем 3·2−7·2.

Раскрыв скобки в выражении 3·x2·1-x+1x+2, получаем  3×2·1-3·x2·x+3·x2·1x+2.

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида (a1+a2)·(b1+b2). Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b1+b2) как b. Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2)·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b. Выполнив обратную замену b на (b1+b2), снова применим правило умножения выражения на скобку:  a1·b+a2·b==a1·(b1+b2)+a2·(b1+b2)==(a1·b1+a1·b2)+(a2·b1+a2·b2)==a1·b1+a1·b2+a2·b1+a2·b2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

(a1+a2+…+am)·(b1+b2+…+bn)==a1b1+a1b2+…+a1bn++a2b1+a2b2+…+a2bn++…++amb1+amb1+…ambn

Проведем раскрытие скобок в выражении (1+x)·(x2+x+6) Оно представляет собой произведение двух сумм.  Запишем решение: (1+x)·(x2+x+6)==(1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6)==1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение  (1−x)·(3·x·y−2·x·y3).

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3)). Теперь мы можем применить правило: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3))==(1·3·x·y+1·(−2·x·y3)+(−x)·3·x·y+(−x)·(−2·x·y3))

Раскроем скобки: 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2+4)·3·(5+7·8).

В выражении содержится сразу три множителя (2+4)3 и (5+7·8). Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2+4)·3·(5+7·8)=((2+4)·3)·(5+7·8).

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2+4)·3)·(5+7·8)=(2·3+4·3)·(5+7·8).

Умножаем скобку на скобку: (2·3+4·3)·(5+7·8)=2·3·5+2·3·7·8+4·3·5+4·3·7·8.

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения  (a+b+c)2. Его можно записать в виде произведения двух скобок  (a+b+c)·(a+b+c).  Произведем умножение скобки на скобку и получим a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Разберем еще один пример:

Пример 8

1x+23=1x+2·1x+2·1x+2==1x·1x+1x·2+2·1x+2·2·1x+2==1x·1x·1x+1x·2·1x+2·1x·1x+2·2·1x+1x·1x·2++1×2·2+2·1x·2+2·2·2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x2-x):4=x2:4-x:4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x+2):23 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x+2):23=(x+2)·23. Умножим скобку на число (x+2)·23=x·23+2·23.

Вот еще один пример деления на скобку:

Пример 9

1x+x+1:(x+2) .

Заменим деление умножением: 1x+x+1·1x+2.

Выполним умножение:  1x+x+1·1x+2=1x·1x+2+x·1x+2+1·1x+2.

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

  • первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
  • на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
  • заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения  (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Намнем преобразование с выражений 3·(−2):(−4) и 6·(−7), которые должны принять вид (3·2:4) и (−6·7). При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·7). Раскрываем скобки:−5+3·2:4+6·7.

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2·(3+4) на выражение вида 2·3+2·4без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Определение 1

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

  • знаки «+» или «-» перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
  • произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5+(−3)−(−7) к 5−3+7. Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a+b)·(c+d) на сумму a·c+a·d+b·c+b·d. Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x2·1a-x+sin(b)  будет соответствовать выражение без скобок вида x2·1a-x2·x+x2·sin(b) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5−(3−(2−1))=5−(3−2+1)=5−3+2−1 или 5−(3−(2−1))=5−3+(2−1)=5−3+2−1.

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (−4) и 3+(−4). Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, +(а) на +а, -(а) на –а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5, выражение 3+(5) без скобок примет вид 3+5, так как +(5) заменяется на +5, а выражение 3+(−5) эквивалентно выражению 3−5, так как +(−5) заменяется на −5.

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. +(−a) мы заменяем на −a,  −(−a) заменяется на +a. Если выражение начинается с отрицательного числа (−a), которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (−a) остается −a.

Приведем примеры:  (−5) можно записать как  −5,  (−3)+0,5 принимает вид −3+0,5,  4+(−3) превращается в 4−3, а −(−4)−(−3) после раскрытия скобок принимает вид 4+3, так как −(−4) и −(−3) заменяется на +4 и +3.

Следует понимать, что записать выражение 3·(−5) как 3·−5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a−b равна a+(−b). На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a, которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a+(−b)  — это разность a−b.

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что −(−a)=a, a−(−b)=a+b.

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть −(−((−(5)))). Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5))=−(5)=−5. Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: −(−((−(5))))=((−(5)))=(−(5))=−(5)=−5.

Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком «+» впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение −(−2·x)−(x2)+(−1x)−(2·x·y2:z) примет вид 2·x−x2−1x−2·x·y2:z. Как мы это сделали? Мы знаем, что −(−2·x) есть +2·x, а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x, −(x2)=−x2, +(−1x)=−1x и −(2·x·y2:z)=−2·x·y2:z.

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) мы можем заменить на (a·b), а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменить на (−a·b). Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел -435 и -2, вида(-2)·-435 . Для этого заменим исходное выражение на 2·435 . Раскроем скобки и получим 2·435 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел (−4):(−2), то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4:2

На месте отрицательных чисел −a и −b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые  не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении  -3·xx2+1·x·(ln5). Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования:   -3·xx2+1·x·(ln5)=-3·xx2+1·x·ln5=3·xx2+1·x·ln5.

Выражение (−3)·2 можно преобразовать в выражение (−3·2). После этого можно раскрыть скобки: −3·2.

 23·-45=-23·45=-23·45

 Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок:  (−5):2=(−5:2)=−5:2 и  234:(-3,5)=-234:3,5=-234:3,5.

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два  примера.

-1x+1:x-3=-1x+1:x-3=-1x+1:x-3

и 

sin(x)·(-x2)=(-sin(x)·x2)=-sin(x)·x2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Пример 2

Для примера, возьмем выражение 5·(−3)·(−2), которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как  (5·3·2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5·3·2.

В произведении (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)  пять чисел являются отрицательными. поэтому (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)=(−2,5·3:2·4:1,25:1). Окончательно раскрыв скобки, получаем  −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и -1 или -1 заменяем на (−1)·a.

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные −1, в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1, а нечетного – равно −1, что позволяет нам использовать знак минус.

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении -23:(-2)·4:-67 выглядела бы следующим образом:

-23:(-2)·4:-67=-23·-12·4·-76==(-1)·23·(-1)·12·4·(-1)·76==(-1)·(-1)·(-1)·23·12·4·76=(-1)·23·12·4·76==-23·12·4·76

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

 x2·(-x):(-1x)·x-3:2.

Его можно привести к выражению без скобок  x2·x:1x·x-3:2 .

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Пример 3

Для примера приведем выражение (12−3,5)−7.  Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12−3,5)−7=+12−3,5−7. В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как +12−3,5−7=12−3,5−7.

Пример 4

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение  x+2a-3×2+1-x2-4+1x и проведем с ним действия  x+2a-3×2+1-x2-4+1x==x+2a-3×2+1-x2-4+1x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

Пример 5

2+x2+1x-x·y·z+2·x-1+(-1+x-x2)==2+x2+1x-x·y·z+2·x-1-1+x+x2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-», скобки со знаком «-» опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Пример 6

К примеру:

—12=12,-1x+1=-1x+1,-(-x2)=x2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

—x+x3-3—2·x2+3·x3·x+1x-1-x+2,

получаем x-x3-3+2·x2-3·x3·x+1x-1-x+2.

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a1±a2±…±an)·b=(a1·b±a2·b±…±an·b) или b·( a1±a2±…±an)=(b·a1±b·a2±…±b·an), где a1, a2, …, an и b – некоторые числа или выражения.

Пример 7

Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3−7)·2. Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3−7)·2=(3·2−7·2). Получаем 3·2−7·2.

Раскрыв скобки в выражении 3·x2·1-x+1x+2, получаем  3×2·1-3·x2·x+3·x2·1x+2.

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида (a1+a2)·(b1+b2). Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b1+b2) как b. Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2)·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b. Выполнив обратную замену b на (b1+b2), снова применим правило умножения выражения на скобку:  a1·b+a2·b==a1·(b1+b2)+a2·(b1+b2)==(a1·b1+a1·b2)+(a2·b1+a2·b2)==a1·b1+a1·b2+a2·b1+a2·b2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

(a1+a2+…+am)·(b1+b2+…+bn)==a1b1+a1b2+…+a1bn++a2b1+a2b2+…+a2bn++…++amb1+amb1+…ambn

Проведем раскрытие скобок в выражении (1+x)·(x2+x+6) Оно представляет собой произведение двух сумм.  Запишем решение: (1+x)·(x2+x+6)==(1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6)==1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение  (1−x)·(3·x·y−2·x·y3).

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3)). Теперь мы можем применить правило: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3))==(1·3·x·y+1·(−2·x·y3)+(−x)·3·x·y+(−x)·(−2·x·y3))

Раскроем скобки: 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2+4)·3·(5+7·8).

В выражении содержится сразу три множителя (2+4)3 и (5+7·8). Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2+4)·3·(5+7·8)=((2+4)·3)·(5+7·8).

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2+4)·3)·(5+7·8)=(2·3+4·3)·(5+7·8).

Умножаем скобку на скобку: (2·3+4·3)·(5+7·8)=2·3·5+2·3·7·8+4·3·5+4·3·7·8.

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения  (a+b+c)2. Его можно записать в виде произведения двух скобок  (a+b+c)·(a+b+c).  Произведем умножение скобки на скобку и получим a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Разберем еще один пример:

Пример 8

1x+23=1x+2·1x+2·1x+2==1x·1x+1x·2+2·1x+2·2·1x+2==1x·1x·1x+1x·2·1x+2·1x·1x+2·2·1x+1x·1x·2++1×2·2+2·1x·2+2·2·2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x2-x):4=x2:4-x:4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x+2):23 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x+2):23=(x+2)·23. Умножим скобку на число (x+2)·23=x·23+2·23.

Вот еще один пример деления на скобку:

Пример 9

1x+x+1:(x+2) .

Заменим деление умножением: 1x+x+1·1x+2.

Выполним умножение:  1x+x+1·1x+2=1x·1x+2+x·1x+2+1·1x+2.

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

  • первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
  • на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
  • заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения  (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Намнем преобразование с выражений 3·(−2):(−4) и 6·(−7), которые должны принять вид (3·2:4) и (−6·7). При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·7). Раскрываем скобки:−5+3·2:4+6·7.

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2·(3+4) на выражение вида 2·3+2·4без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Определение 1

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

  • знаки «+» или «-» перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
  • произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5+(−3)−(−7) к 5−3+7. Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a+b)·(c+d) на сумму a·c+a·d+b·c+b·d. Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x2·1a-x+sin(b)  будет соответствовать выражение без скобок вида x2·1a-x2·x+x2·sin(b) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5−(3−(2−1))=5−(3−2+1)=5−3+2−1 или 5−(3−(2−1))=5−3+(2−1)=5−3+2−1.

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (−4) и 3+(−4). Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, +(а) на +а, -(а) на –а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5, выражение 3+(5) без скобок примет вид 3+5, так как +(5) заменяется на +5, а выражение 3+(−5) эквивалентно выражению 3−5, так как +(−5) заменяется на −5.

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. +(−a) мы заменяем на −a,  −(−a) заменяется на +a. Если выражение начинается с отрицательного числа (−a), которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (−a) остается −a.

Приведем примеры:  (−5) можно записать как  −5,  (−3)+0,5 принимает вид −3+0,5,  4+(−3) превращается в 4−3, а −(−4)−(−3) после раскрытия скобок принимает вид 4+3, так как −(−4) и −(−3) заменяется на +4 и +3.

Следует понимать, что записать выражение 3·(−5) как 3·−5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a−b равна a+(−b). На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a, которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a+(−b)  — это разность a−b.

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что −(−a)=a, a−(−b)=a+b.

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть −(−((−(5)))). Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5))=−(5)=−5. Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: −(−((−(5))))=((−(5)))=(−(5))=−(5)=−5.

Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком «+» впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение −(−2·x)−(x2)+(−1x)−(2·x·y2:z) примет вид 2·x−x2−1x−2·x·y2:z. Как мы это сделали? Мы знаем, что −(−2·x) есть +2·x, а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x, −(x2)=−x2, +(−1x)=−1x и −(2·x·y2:z)=−2·x·y2:z.

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) мы можем заменить на (a·b), а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменить на (−a·b). Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел -435 и -2, вида(-2)·-435 . Для этого заменим исходное выражение на 2·435 . Раскроем скобки и получим 2·435 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел (−4):(−2), то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4:2

На месте отрицательных чисел −a и −b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые  не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении  -3·xx2+1·x·(ln5). Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования:   -3·xx2+1·x·(ln5)=-3·xx2+1·x·ln5=3·xx2+1·x·ln5.

Выражение (−3)·2 можно преобразовать в выражение (−3·2). После этого можно раскрыть скобки: −3·2.

 23·-45=-23·45=-23·45

 Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок:  (−5):2=(−5:2)=−5:2 и  234:(-3,5)=-234:3,5=-234:3,5.

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два  примера.

-1x+1:x-3=-1x+1:x-3=-1x+1:x-3

и 

sin(x)·(-x2)=(-sin(x)·x2)=-sin(x)·x2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Пример 2

Для примера, возьмем выражение 5·(−3)·(−2), которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как  (5·3·2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5·3·2.

В произведении (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)  пять чисел являются отрицательными. поэтому (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)=(−2,5·3:2·4:1,25:1). Окончательно раскрыв скобки, получаем  −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и -1 или -1 заменяем на (−1)·a.

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные −1, в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1, а нечетного – равно −1, что позволяет нам использовать знак минус.

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении -23:(-2)·4:-67 выглядела бы следующим образом:

-23:(-2)·4:-67=-23·-12·4·-76==(-1)·23·(-1)·12·4·(-1)·76==(-1)·(-1)·(-1)·23·12·4·76=(-1)·23·12·4·76==-23·12·4·76

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

 x2·(-x):(-1x)·x-3:2.

Его можно привести к выражению без скобок  x2·x:1x·x-3:2 .

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Пример 3

Для примера приведем выражение (12−3,5)−7.  Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12−3,5)−7=+12−3,5−7. В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как +12−3,5−7=12−3,5−7.

Пример 4

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение  x+2a-3×2+1-x2-4+1x и проведем с ним действия  x+2a-3×2+1-x2-4+1x==x+2a-3×2+1-x2-4+1x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

Пример 5

2+x2+1x-x·y·z+2·x-1+(-1+x-x2)==2+x2+1x-x·y·z+2·x-1-1+x+x2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-», скобки со знаком «-» опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Пример 6

К примеру:

—12=12,-1x+1=-1x+1,-(-x2)=x2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

—x+x3-3—2·x2+3·x3·x+1x-1-x+2,

получаем x-x3-3+2·x2-3·x3·x+1x-1-x+2.

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a1±a2±…±an)·b=(a1·b±a2·b±…±an·b) или b·( a1±a2±…±an)=(b·a1±b·a2±…±b·an), где a1, a2, …, an и b – некоторые числа или выражения.

Пример 7

Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3−7)·2. Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3−7)·2=(3·2−7·2). Получаем 3·2−7·2.

Раскрыв скобки в выражении 3·x2·1-x+1x+2, получаем  3×2·1-3·x2·x+3·x2·1x+2.

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида (a1+a2)·(b1+b2). Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b1+b2) как b. Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2)·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b. Выполнив обратную замену b на (b1+b2), снова применим правило умножения выражения на скобку:  a1·b+a2·b==a1·(b1+b2)+a2·(b1+b2)==(a1·b1+a1·b2)+(a2·b1+a2·b2)==a1·b1+a1·b2+a2·b1+a2·b2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

(a1+a2+…+am)·(b1+b2+…+bn)==a1b1+a1b2+…+a1bn++a2b1+a2b2+…+a2bn++…++amb1+amb1+…ambn

Проведем раскрытие скобок в выражении (1+x)·(x2+x+6) Оно представляет собой произведение двух сумм.  Запишем решение: (1+x)·(x2+x+6)==(1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6)==1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение  (1−x)·(3·x·y−2·x·y3).

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3)). Теперь мы можем применить правило: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3))==(1·3·x·y+1·(−2·x·y3)+(−x)·3·x·y+(−x)·(−2·x·y3))

Раскроем скобки: 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2+4)·3·(5+7·8).

В выражении содержится сразу три множителя (2+4)3 и (5+7·8). Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2+4)·3·(5+7·8)=((2+4)·3)·(5+7·8).

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2+4)·3)·(5+7·8)=(2·3+4·3)·(5+7·8).

Умножаем скобку на скобку: (2·3+4·3)·(5+7·8)=2·3·5+2·3·7·8+4·3·5+4·3·7·8.

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения  (a+b+c)2. Его можно записать в виде произведения двух скобок  (a+b+c)·(a+b+c).  Произведем умножение скобки на скобку и получим a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Разберем еще один пример:

Пример 8

1x+23=1x+2·1x+2·1x+2==1x·1x+1x·2+2·1x+2·2·1x+2==1x·1x·1x+1x·2·1x+2·1x·1x+2·2·1x+1x·1x·2++1×2·2+2·1x·2+2·2·2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x2-x):4=x2:4-x:4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x+2):23 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x+2):23=(x+2)·23. Умножим скобку на число (x+2)·23=x·23+2·23.

Вот еще один пример деления на скобку:

Пример 9

1x+x+1:(x+2) .

Заменим деление умножением: 1x+x+1·1x+2.

Выполним умножение:  1x+x+1·1x+2=1x·1x+2+x·1x+2+1·1x+2.

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

  • первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
  • на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
  • заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения  (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Намнем преобразование с выражений 3·(−2):(−4) и 6·(−7), которые должны принять вид (3·2:4) и (−6·7). При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·7). Раскрываем скобки:−5+3·2:4+6·7.

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Как раскрывать скобки в выражениях и уравнениях. Правила математики.

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.

Отдельного внимания заслуживает еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения
3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.

И еще один важный момент. В математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении или в скобках первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не +7+3, а просто 7+3, несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение (5+x) – знайте, что и перед скобкой стоит плюс, который не пишут, и перед пятеркой стоит плюс +(+5+x).

Правило раскрытия скобок при сложении

При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.

Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 + (7 + 3) Перед скобками плюс, значит знаки перед числами в скобках не меняем.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Правило раскрытия скобок при вычитании

Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный. Отсутствие знака перед первым слагаемым в скобках подразумевает знак +.

Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)

Перед скобками стоит минус, значит нужно поменять знаки перед числами из скобок. В скобках перед цифрой 7 знака нет, это значит, что семерка положительная, считается, что перед ней знак +.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

При раскрытии скобок убираем из примера минус, который был перед скобками, и сами скобки 2 − (+ 7 + 3)  , а знаки, которые были в скобках, меняем на противоположные.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Раскрытие скобок при умножении

Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число, стоящее внутри скобок, умножается на множитель, стоящий перед скобками. При этом умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Таким образом, сскобки в произведениях раскрываются в соответствии с распределительным свойством умножения.

Пример. 2 · (9 — 7) = 2 · 9 — 2 · 7

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй скобки.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

На самом деле, нет необходимости запоминать все правила, достаточно помнить только одно, вот это: c(a−b)=ca−cb. Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получится правило (a−b)=a−b. А если подставить минус единицу, получим правило −(a−b)=−a+b. Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Раскрываем скобки при делении

Если после скобок стоит знак деления, то каждое число, стоящее внутри скобок, делится на делитель, стоящий после скобок, и наоборот.

Пример.  (9 + 6) : 3=9 : 3 + 6 : 3

Как раскрыть вложенные скобки

Если в выражении присутствуют вложенные скобки, то их раскрывают по порядку, начиная с внешних или внутренних.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать остальные скобки, просто переписывая их как есть. 

Пример.    12 — (a + (6 — b) — 3) = 12 — a — (6 — b) + 3 = 12 — a — 6 + b + 3 = 9 — a + b

Раскрытие скобок: правила, формулы, примеры

Раскрытие скобок — это замена выражения, записанного со скобками, на равное ему выражение без скобок.

Правила и формулы раскрытия скобок

Если перед скобками стоит знак  +   (плюс), то все числа, стоящие внутри скобок, сохраняют свой знак.

Общая формула:

a + (-b + cd) = ab + cd.

Пример.

16 + (10 — 15) = 16 + 10 — 15 = 11.

Если перед скобками стоит знак    (минус), то все числа, стоящие внутри скобок, меняют свой знак на противоположный.

Общая формула:

a — (-b + cd) = a + bc + d.

Пример.

16 — (10 — 15) = 16 — 10 + 15 = 21.

Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число, стоящее внутри скобок, умножается на множитель, стоящий перед скобками.

Общие формулы:

a(-b + cd) = —ab + acad,

a(-b + cd) = abac + ad.

Следовательно, скобки в произведениях раскрываются в соответствии с распределительным свойством умножения.

Примеры:

2 · (a — 7) = 2a — 14,

-3 · (-5 + 2x) = 15 — 6x.

Если после скобок стоит знак деления, то каждое число, стоящее внутри скобок, делится на делитель, стоящий после скобок.

Общие формулы:



(a — b + c) : d  =   a — b + c   =   a   —   b   +   c
d d d d



(ab + c) : —d  =   ab + c   =
d



  =   a   —   b   +   c   =  — a   +   b   —   c
d d d d d d

Примеры:

(3a — 21) : 3 = a — 7,

(3a — 21) : -3 = —a + 7.

Если в выражении присутствуют вложенные скобки, то их раскрывают по порядку, начиная с внешних или внутренних:

12 — (a + (6 — b) — 3) = 12 — a — (6 — b) + 3 = 12 — a — 6 + b + 3 = 9 — a + b.

4q \]

Расширение и упрощение

Выражения со скобками часто можно смешивать с другими терминами. Например, \ (3 (h + 2) — 4 \). В этих случаях сначала разверните скобку, а затем соберите любые похожие термины.

Пример 1

Расширить и упростить \ (3 (h + 2) — 4 \).

\ [3 (h + 2) — 4 = 3 \ times h + 3 \ times 2 — 4 = 3h + 6 — 4 = 3h + 2 \]

Пример 2

Расширить и упростить \ (6g + 2g (3g + 7) \).

BIDMAS или BODMAS — это порядок операций: скобки, индексы или степени, деление или умножение, сложение или вычитание.2 + 20г \).

Ответы обычно пишутся в порядке убывания степени.

Алгебра — расширение

«Расширение» означает, что удаляет () … но мы должны делать это правильно!

() называются «круглыми скобками» или «скобками»

Все, что находится внутри (), следует рассматривать как «пакет».

Итак, при умножении: умножьте на все, что находится внутри «пакета».

Пример: развернуть 3 × (5 + 2)

Ответ:

Сейчас он расширен.

Также можем завершить расчет:

3 × (5 + 2) = 3 × 5 + 3 × 2
= 15 + 6
= 21

По алгебре

В алгебре ставить две вещи рядом друг с другом обычно означает умножать.

Итак, 3 (a + b) означает умножение 3 на (a + b)

Вот пример расширения с использованием переменных a , b и c вместо чисел:

А вот еще пример с числами.Обратите внимание на «·» между 3 и 6, означающее умножение, поэтому 3 · 6 = 18 :

Умножение отрицаний имеет особые правила: отрицательное умножение на положительное дает отрицательное, а умножение двух отрицательных дает положительное:

В этом случае −3 · -5 = +15 (положительный ответ), но вот пример, где вторая часть отрицательна:

Таким образом, второй член оказался отрицательным, потому что 2x · −a = −2ax , (также лучше писать «−2ax», а не «−2xa»).

Это было также интересно, потому что x возведен в квадрат (x 2 )

Наконец, у нас есть пример с тремя членами внутри:

Применяется то же правило: умножать на все, что находится внутри ().

И вот подсказка: когда умножение очевидно (например, a · 2 ), делайте это сразу, но когда нужно больше думать (например, a · −b ), оставьте его для следующей строки.

Много раз много

Как нам сделать что-то подобное?

(x + 2y) (3x — 4y)

Прочтите умножение многочленов, чтобы узнать!

Заключение

Умножить на все внутри ()

Сделайте это в два этапа:

  • Запишите результат умножения
  • Затем выполните умножение

раскрывающихся выражений — методы и примеры

Хорошо, так что вам не терпится узнать , как раскрыть алгебраическое выражение , но сначала, что такое алгебраическое выражение? Зачем нам нужно учиться раскрывать выражения?

Алгебра существовала еще в 2000 году до нашей эры.C. когда ранние цивилизации, такие как Финикия и Месопотамия, могли вести бартерную торговлю для обмена товарами. Чтобы обменивать товары более эффективно, люди начали использовать письма для обозначения товаров; это привело к появлению алгебраических выражений.

Чтобы узнать основные определения алгебраических выражений, вы можете обратиться к первой статье этого раздела (Сложение и вычитание выражений).

Что значит раскрыть выражение?

В этой статье мы узнаем, как расширять и упрощать алгебраические выражения.

Расширять означает что-то увеличивать. В данном случае это означает избавление от любых признаков группировки в выражении. Признаками группировки являются скобки, круглые скобки и фигурные или фигурные скобки.

Как раскрыть выражения?

Чтобы развернуть выражение, вам нужно всего лишь придерживаться следующих простых приемов:

  • Если группировке предшествует знак «плюс» (+), умножьте число вне группировки, не меняя оператора в скобках.Например, чтобы развернуть:

a + (b — c + d) = a + b — c + d.

  • И если группировке предшествует знак минус (-), умножьте число снаружи на все члены внутри круглых скобок и измените знак каждого члена внутри знака группировки, то есть замените плюс на минус и наоборот. Например, a− (b — c + d) = a — b + c — d.
  • Примените свойство распространения, чтобы удалить круглые или квадратные скобки и объединить похожие термины. Дистрибутивное свойство утверждает, что a (b + c) = ab + ac и a (b — c) = ab — ac.

Чтобы хорошо научиться раскрывать выражения, давайте рассмотрим несколько примеров, выполнив описанные выше действия.

Как раскрыть одну пару скобок?

Давайте разберемся в этом сценарии с помощью нескольких примеров.

Пример 1

Развернуть: 3 (x + 6).

Решение

Умножьте каждый член в скобках на член снаружи:

3 (х + 6) = 3 * х + 3 * 6

= 3x +18

Пример 2

Разложить −2x (x — y — z)

Решение

Умножьте −2x на все члены в скобках и соответственно измените операторы;

−2x (x — y — z) = −2 × 2 + 2xy + 2xz

Пример 3

Развернуть −3a 2 (3 — b)

Решение

Примените свойство распределения, чтобы умножить −3a 2 на все члены в скобках.Также измените операторы соответствующим образом.

−3a 2 (3 — b) = −9a 2 + 3a 2 b

Пример 4

Развернуть 3xy (2x + y2)

Примените распределительное свойство умножения. В этом случае используется правило экспоненты для умножения;

3xy (2x + y 2 ) = 6x 2 y + 3xy 3

Как расширить выражения с более чем одной группировкой?

Иногда у нас могут быть алгебраические выражения, заключенные в разные наборы скобок.Для решения таких задач мы просто расширяем каждую группу по отдельности и объединяем термины.

Пример 5

2 (3x + 4) + 4 (x — 1)

Решение

Умножьте каждую скобку отдельно, затем объедините похожие термины;

2 (3x + 4) + 4 (x — 1) = 6x + 8 + 4x — 4

= 10x + 4

Пример 6

Развернуть 3b — {5a — [6a + 2 (10a — b)]}

Решение

3b — {5a — [6a + 2 (10a — b)]} = 3b — {5a — [6a + 20a — 2b]}

= 3b — {5a — [26a — 2b]}

= 3b — {5a — 26a + 2b} = 3b — {−21a + 2b}

= 3b + 21a — 2b

= b + 21a

Как раскрыть двойные скобки?

Давайте разберемся в этом сценарии с помощью нескольких примеров.

Пример 7

Развернуть (3x — 2) (3x + 2)

Решение

(3x — 2) (3x + 2) = 9x 2 + 6x — 6x — 4

= 9x 2 — 4

Пример 8

Развернуть (x 2 + x — 2) (x 2 + x — 6)

Решение

Умножьте все члены и соберите похожие термины.Для членов с показателями степени, примените правило экспоненты для умножения;

(x 2 + x — 2) (x 2 + x — 6) = x 4 + x 3 — 6x 2 + x 3 + x 2 — 6x — 2x 2 — 2x + 12

Соберите похожие термины;

= x 4 + 2x 3 — 7x 2 — 8x + 12

Практические вопросы

Раскройте каждое из следующих алгебраических выражений:

  1. 5a (2b + 3c)
  2. 4x — 2 [5y — x + 3 (2x — y)]
  3. 3b — {5a — [6a + 2 (10a — b)]}
  4. (3x 2 — 2x + 1) (x 2 — 4x — 5)
  5. (x 2 + x — 2) (x 2 + x — 6)
  6. (х + 6) (х — 6)
  7. −2a (3a — 5b + 2c)
  8. 4 (х + 2y — 3z)
  9. (у — 3) (у + 2)
  10. (х + 2) (2x 2 — х — 1)

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Расширение и упрощение алгебраических выражений — видео и стенограмма урока

Порядок действий

Точно так же, как возбуждение от вождения отличной машины не возникло бы, если бы вы не знали, как ее завести, настоящая математика не может произойти без соблюдения некоторых основных, но важных правил.Эти правила и есть порядок действий.

Некоторые из вас, возможно, выучили аббревиатуру PEMDAS, которая означает:

P — Скобки (скобки)

E — Показатели

M & D — Умножение и деление, как они появляются (слева направо)

A & S — сложение и вычитание по мере их появления (слева направо)

Это порядок, который необходимо соблюдать при вычислении любого алгебраического выражения. Конечно, у вас может не быть всех этих операций одновременно в одном выражении.

Расширение алгебраических выражений

Когда мы расширяем алгебраическое выражение, мы объединяем более одного числа или переменной, выполняя данную алгебраическую операцию (операции). Мы делаем это, используя свойство distributive для удаления круглых или квадратных скобок и комбинируя похожие термины.

Умножение

Чтобы раскрыть выражения, которые включают умножение, следуйте правилам распределительного свойства , которые гласят, что любое число можно умножить на любое число.Итак, числа можно умножать на переменную, на другое число или на себя.

Когда мы расширяем термины по распределению, нам может потребоваться объединить похожие термины для упрощения. Одинаковые термины — числа из одной группы (4, 0, 5 или 89), или они имеют одну и ту же переменную и показатель степени (3 x 2 и 5 x 2 являются примерами похожих терминов). Давайте посмотрим на несколько примеров.

Пример

Начнем с простого расширения, используя свойство распределения:

Используя PEMDAS, мы сначала начинаем с круглых или квадратных скобок.Поскольку числа в скобках не похожи на термины ( x — это переменная, а 3 — это число), мы не смогли объединить их путем сложения, и не было никаких показателей. Итак, мы затем использовали свойство распределения, чтобы умножить все, что находится в круглых скобках, на все, что находится снаружи. Поэтому мы умножили x и 3 в скобках на 5.

Другой пример

Вот еще один пример. Как видим, имеем:

Опять же, используя PEMDAS и свойство распределения, мы видим, что числа в скобках похожи на термины, поэтому мы сначала объединяем их, а затем распределяем 5.

Правила знаков

Не забывайте правила знаков для умножения и деления:

  • Когда два знака совпадают, результат положительный, и
  • Если два знака различны, результат отрицательный

Примеры можно увидеть здесь:

Кроме того, когда вы распределяете отрицательное число, этот отрицательный знак изменяет знаки каждого числа, на которое оно распространяется, что вы можете увидеть здесь:

Два набора скобок

Чтобы раскрыть два набора скобок или скобок, вам нужно умножить каждый член в первой скобке на каждый член во второй.Затем вы объедините похожие термины. Не забывайте следить за своими знаками!

Деление

Теперь, когда дело доходит до деления, оно следует тем же правилам, что и умножение; в конце концов, они являются обратными друг другу операциями. Другими словами, если вы умножите число, скажем, 5 x, на другое число, а затем разделите на то же число, у вас все равно будет 5 x . Звучит маловероятно? Что ж, взгляните сюда:

Деление можно выразить с помощью символа деления, умножения на десятичное число от 0 до 1 или дробью.Как видим:

Пример

В следующем примере у нас есть похожие термины в скобках, поэтому сначала мы их объединяем. Затем мы делим каждый член в скобке на внешний член. Как видите, получается всего 2/3. Все просто, правда?

Показатели

Наконец, помните, что показатель степени — это математический символ, который выражается в виде небольшого числа в правом верхнем углу другого числа (его основания) и представляет, во сколько раз умножается основание.

Взгляните на эти три приведенных здесь примера. Экспоненты могут быть такими же простыми, как первый пример простого умножения 5 на себя три раза и получения 125, или столь же сложными, как получение длинного выражения типа 4 x в квадрате минус 28 x плюс сорок девять.

Упрощение алгебраических выражений

Упрощение выражений означает, что вы комбинируете одинаковые термины, чтобы упростить выражения.

Помните, что при добавлении или вычитании терминов в выражении вы можете комбинировать только похожие термины. Давайте взглянем.

Пример

Как видите, 5 x и 2 x были похожими терминами, поэтому мы добавили их. Точно так же 12 и -4 были подобны термам, и когда они были вычтены, результат был 8.

Комбинация операций

Когда алгебраическое выражение содержит более одной операции, вам определенно нужно следовать порядку операций, чтобы обе операции раскрылись. и упростить.Давайте посмотрим на эту таблицу, которая появляется здесь. Как видите, у нас есть множество различных методов, основанных на различных примерах, представленных здесь. Например:

Не стесняйтесь делать паузу, чтобы поближе познакомиться с другими примерами в этой таблице, пока не почувствуете, что вы их усвоили.

Резюме урока

Хорошо, давайте ненадолго проанализируем важную информацию, которую мы узнали. В этом уроке мы рассмотрели, как алгебраические выражения являются математическими выражениями, созданными из целых чисел, переменных, букв и операторов (т.е., +, -, ÷, х). Мы также узнали, что при упрощении и расширении алгебраических операций следуйте порядку операций: PEMDAS.

Вы можете складывать и вычитать только , например, термины , которые являются числами из одной группы или имеют одну и ту же переменную и показатель степени. Мы также узнали, что мы должны использовать распределительное свойство для умножения каждого члена на каждый член, а также важное напоминание о том, чтобы не забывать следить за своими знаками! И, наконец, мы узнали, что показатель степени — это математический символ, который выражается в виде небольшого числа в верхнем правом углу другого числа (его основания) и представляет, во сколько раз умножается само основание.

1.3 Расширение кронштейнов с легкостью

В прошлом уроке мы вычислили \ (23 \ times37 \) с помощью модели площади:

\ (23 \ times37 = \ left (20 + 3 \ right) \ cdot \ left (30 + 7 \ right) = 20 \ cdot30 + 20 \ cdot7 + 3 \ cdot30 + 3 \ cdot7 \)

Наша работа по раскрытию \ (\ left (20 + 3 \ right) \ left (30 + 7 \ right) \) сводится к выбору одного числа из первого набора круглых скобок — 20 или 3 — и одного числа из второго набора круглых скобок — 30 или 7 — умножая их вместе, а затем складывая все возможные комбинации по одному числу из каждой.Каждому отдельному продукту соответствует площадь одного куска разделенного прямоугольника.

Та же работа применима и к более крупным изделиям. Например, при вычислении \ (371 \ times42 \) как \ (\ left (300 + 70 + 1 \ right) \ left (40 + 2 \ right) \) мы снова выбираем один член из каждого набора круглых скобок, вычисляем их product, и суммируем все возможные продукты, образованные таким образом.

\ (\ влево (300 + 70 + 1 \ вправо) \ влево (40 + 2 \ вправо) = 300 \ cdot40 + 70 \ cdot40 + 1 \ cdot40 + 300 \ cdot2 + 70 \ cdot2 + 1 \ cdot2 \)

В прошлом уроке мы видели и более абстрактный пример:

\ (\ left (a + b + c + d \ right) \ cdot \ left (e + f + g \ right) = ae + af + ag + be + bf + bg + ce + cf + cg + de + df + dg \)

РАСШИРЯЮЩИЕСЯ СКОБКИ (U.S.) / РАЗДВИЖНЫЕ КРОНШТЕЙНЫ (Великобритания)

Чтобы вычислить произведение двух сумм, выберите по одному члену из каждого набора круглых скобок, умножьте и просуммируйте все возможные произведения, которые могут возникнуть таким образом.

например \ (\ left (a + b + c \ right) \ left (x + y + w + z \ right) = ax + bx + cx + ay + \ ldots \) ​​

например \ (\ влево (a + b \ вправо) \ раз c = ac + bc \)

например \ (\ left (x + y \ right) \ left (p + q \ right) = xp + yp + xq + yq \)

Комментарий к ПРАВИлу РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: Второй пример выше можно представить как произведение двух сумм в круглых скобках, если представить \ (\ left (a + b \ right) c \) как \ (\ left (a + b \ right) \ left (c \ right) \).Выбор одного члена из каждого набора круглых скобок соответствует всегда выбору \ (c \) во втором наборе и, таким образом, приводит к расширению: \ (ab + ac \). Этот единственный пример или его вариант \ (a \ left (b + c \ right) = ab + ac \) в школьных учебниках называется распределительным правилом .

Лично я не считаю полезным с педагогической точки зрения выделять этот единственный пример из всей концепции раскрытия скобок. Математики в продвинутой работе доказали, что все примеры раскрытия скобок логически следуют из этого единственного правила, но эта работа, что вполне уместно, никогда не передается студентам.В опыте студентов-математиков нет причин делать этот единственный пример с раскрывающимися скобками особенным. Просто раскройте все скобки!

Комментарий к FOIL (А почему не LIFO и FLIO, и OILF и…?)

Если вы не знаете, что это, отлично! Если вы знаете, что это такое, мой непреклонный совет: ЗАБУДЬТЕ ЭТО! Это не помогает для выражений типа \ (\ left (x + y + 2 \ right) \ left (a + b + c + 7 \ right) \).

Гораздо проще всегда просто раскрывать скобки: выбирая по очереди один член из каждого набора скобок, умножая и суммируя все возможные произведения.Это намного лучше, чем запоминание специального правила, которое работает только для одного конкретного типа примера. (А студенты сами могут понять, как быть систематичными. Пусть!)

УПРАЖНЕНИЕ: Если бы вы развернули \ (\ left (x + y + 2 \ right) \ left (a + b + c + 7 \ right) \), сколько отдельных терминов вы ожидаете увидеть?

ДАЛЬШЕ…

У нас есть, что \ (\ left (3 + 7 \ right) \ left (4 + 5 \ right) \) соответствует разделению прямоугольника на четыре части.Итак…

Чему геометрически соответствует \ (\ left (2 + 3 \ right) \ cdot \ left (4 + 5 \ right) \ cdot \ left (6 + 7 \ right) \)?

Подумайте об этом, прежде чем читать дальше.

Ответ : \ (\ left (2 + 3 \ right) \ cdot \ left (4 + 5 \ right) \ cdot \ left (6 + 7 \ right) \) соответствует разделению трехмерного блока на ВОСЕМЬ шт.

(Где на картинке фигура \ (3 \ times4 \ times7 \)?)

Вот восемь штук в списке:

\ (\ влево (2 + 3 \ вправо) \ CDOT \ влево (4 + 5 \ вправо) \ CDOT \ влево (6 + 7 \ вправо) \)

\ (= 2 \ times4 \ times6 + 2 \ times4 \ times7 + 3 \ times4 \ times6 + 3 \ times4 \ times7 + 2 \ times5 \ times6 \)

\ (+ 2 \ times5 \ times7 + 3 \ times5 \ times6 + 3 \ times5 \ times7 \)

УВЕДОМЛЕНИЕ СНОВА, мы выбираем один термин из каждого набора круглых скобок и стараемся охватить все возможные комбинации!

В этом примере говорится, что \ (5 \ cdot9 \ cdot13 = 48 + 56 + 72 + 84 + 60 + 70 + 90 + 105 \), что действительно так. {2} а \)? \ (акси \)? \ (xyc \)?

(ответы появляются в конце этого урока)

УПРАЖНЕНИЕ 2 : Если бы это выражение развернулось

\ (\ left (a + b + c + d + e \ right) \ left (w + x \ right) \ left (a + x + b + t + r \ right) \ left (e + f \ справа) \)

сколько было бы терминов? Есть ли у этого выражения геометрическая интерпретация?

УПРАЖНЕНИЕ 3 : БЕЗ КАЛЬКУЛЯТОРА вычислить:

а) \ (24 \ times14 \)

б) \ (106 \ раз 21 \)

в) \ (213 \ times31 \)

(Например, \ (13 \ times26 = \ left (10 + 3 \ right) \ left (20 + 6 \ right) = 200 + 60 + 60 + 18 = 338 \).)

Попробуйте проделать это в уме!

УПРАЖНЕНИЕ 4 : \ (\ left (2 + 3 \ right) \ cdot \ left (7 + 4 \ right) \) можно вычислить двумя способами:

Короткий путь: \ (\ left (2 + 3 \ right) \ cdot \ left (7 + 4 \ right) = 5 \ cdot11 = 55 \)

Длинный путь: \ (\ left (2 + 3 \ right) \ cdot \ left (7 + 4 \ right) = 2 \ cdot7 + 2 \ cdot4 + 3 \ cdot7 + 3 \ cdot4 \)

Вычислите каждый из следующих коротких и длинных путей.

a) \ (\ left (2 + 3 \ right) \ cdot \ left (3 + 7 \ right) \ cdot \ left (1 + 5 + 5 \ right) \)

б) \ (\ влево (2 + 4 + 6 \ вправо) \ cdot \ влево (2 + 6 + 1 + 3 \ вправо) \)

АССОЦИАТИВНЫЙ ЗАКОН ОБ УМНОЖЕНИИ

В качестве заключительного комментария мы должны указать, что многие люди считают, что трехмерное мышление оправдывает ассоциативный закон умножения:

\ (\ left (ab \ right) c = a \ left (bc \ right) \) для всех счетных чисел \ (a \), \ (b \) и \ (c \).

Можете ли вы увидеть, как вычисление объема следующего твердого тела двумя разными способами оправдывает это убеждение? (Может быть, здесь тоже присутствует небольшая коммутативность!)

Ответы на упражнение:

1. a) Будет \ (2 \ times3 \ times3 = 18 \) членов.

б) Все перечисленные термины, кроме одного, появляются: \ (xcp \) не появляется. (Примечание: термины, которые появляются, могут иметь другой порядок для их продукта: например, \ (cay \) может отображаться как \ (yac \).)

2. Будет \ (5 \ умножить на 2 \ умножить на 5 \ умножить на 2 = 100 \) членов. Я лично не уверен, как нарисовать четырехмерный блок и показать его разбитым на части. Но я уверен, что механизм соответствующей алгебры будет таким же.

3. \ (24 \ times 14 = \ left (20 + 4 \ right) \ left (10 + 4 \ right) = 200 + 40 + 80 + 16 = 336 \).

\ (106 \ times 21 = \ left (100 + 6 \ right) \ left (20 + 1 \ right) = 2000 + 120 + 100 + 6 = 2226 \).

\ (213 \ times31 = \ left (200 + 10 + 3 \ right) \ left (30 + 1 \ right) = 6000 + 300 + 90 + 200 + 10 + 3 = 6603 \).

4. Короткие пути дают \ (5 \ times10 \ times11 = 550 \) и \ (12 \ times12 = 144 \). Можно убедиться, что и долгие пути годятся!

Присоединяйтесь к обсуждению в Facebook и Twitter и любезно поделитесь этой страницей с помощью кнопок ниже.

Facebook

Twitter

Раскрывающиеся скобки (ключевой этап 3)

Урок

Расширение скобок означает умножение членов для удаления скобок из выражения.Представьте, что мы хотим убрать скобки из приведенного ниже выражения. Нам нужно раскрыть скобки.

Как расширить скобки

Раскладывать скобки очень просто.

Умножьте каждый член в скобках на член вне скобок.

Раскройте скобки ниже.

Пошаговая инструкция:

Умножьте первый член в скобках (x) на член вне скобок (2).

2 × х = 2х

2x

Умножьте второй член внутри скобок (1) на член вне скобок (2) и прибавьте к предыдущему результату.

2 × 1 = 2

2x + 2

Ответ:

Расширение 2 (x + 1) дает 2x + 2 .

Формула для раскрытия скобок

Приведенная ниже формула показывает, как раскрыть квадратные скобки:

, a , b и c , заменяют любое число или термин.

Слайды урока

Ползунок ниже показывает еще один реальный пример того, как раскрыть скобки.В этом примере в скобках содержится более двух терминов.

Откройте слайдер в новой вкладке

Советы по умножению

Будьте осторожны со знаками

У каждого термина в скобках будет знак.

  • положительных и терминов имеют перед ними знак + , или без знака, если это первый член.
  • Перед отрицательными терминами стоит знак .

Эти знаки необходимо включать при умножении членов.

Запомните правила умножения разных знаков:

Те же знаки дают плюс:

Разные знаки дают минус:

Помогите нам улучшить математику Монстр

  • Вы не согласны с чем-то на этой странице?
  • Вы заметили опечатку?

Сообщите нам, используя эту форму

См. Также

Что такое алгебра?

Что такое термин?

Что такое выражение?

Умножение букв

Умножение условий

Раскладные кронштейны

Продолжаем изучать основы алгебры.В этом уроке мы узнаем, как расширять алгебраические выражения. Раскрытие скобок означает избавление от скобок в выражении.

Чтобы раскрыть скобки, вы должны выучить наизусть два правила. При регулярной практике вы сможете легко расширять скобки, а правила, которые вам приходилось запоминать, можно безопасно забыть.

Первое правило раскрытия скобок

Рассмотрим следующее выражение:

8 + (−9 + 3)

Значение этого выражения — 2.Раскройте круглые скобки в этом выражении. Раскрыть круглые скобки — значит избавиться от них, не влияя на значение выражения. То есть значение выражения 8 + (-9 + 3) все равно должно быть 2.

Первое правило раскрытия скобок выглядит следующим образом:

Когда вы раскрываете круглые скобки, если перед скобками стоит знак «плюс», этот плюс удаляется скобками.

Итак, мы видим, что в выражении 8 + (-9 + 3) перед скобками стоит плюс.Этот плюс необходимо убрать вместе со скобками. Другими словами, скобки исчезнут вместе со знаком плюс перед ними. А то, что было в скобках, будет написано без изменений:

.

Мы получили выражение без скобок 8-9 + 3. Это выражение равно 2, так же как предыдущее выражение со скобками было равно 2.

8 + (-9 + 3) = 2

8–9 + 3 = 2

Таким образом, между выражениями 8 + (- 9 + 3) и 8-9 + 3 можно поставить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:

8 + (−9 + 3) = 8 — 9 + 3

2 = 2


Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 3 + (-1-4)

Перед скобками стоит плюс, поэтому плюс отбрасывается вместе со скобками. То, что было в скобках, останется без изменений:

3 + (-1-4) = 3-1-4


Пример 3. Раскройте скобки в выражении 2 + (-1)

Перед скобками стоит плюс, поэтому плюс отбрасывается вместе со скобками. То, что было в скобках, останется без изменений:

2 + (-1) = 2 — 1

В этом примере раскрытие круглых скобок стало своего рода обратной операцией, заменяющей вычитание сложением.Что это значит?

В выражении 2 — 1 есть вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получаем 2 + (-1). Но если раскрыть скобки в выражении 2 + (-1), получится исходное 2-1.

Итак, вы можете использовать первое правило заключения в скобки для упрощения выражений после некоторых преобразований. То есть избавьтесь от скобок и сделайте это проще.

Например, упростите выражение 2a + a- 5b + b.

Чтобы упростить это выражение, вы можете комбинировать похожие термины.Напомним, что для объединения одинаковых терминов сложите коэффициенты одинаковых терминов и умножьте результат на общую буквенную часть:

Получаем выражение 3a + (-4b). В этом выражении мы раскрываем скобки. Перед круглыми скобками стоит плюс, поэтому мы используем первое правило раскрытия круглых скобок, т.е. мы опускаем круглые скобки вместе с плюсом перед круглыми скобками:

3a + (−4b) = 3a — 4b

Таким образом, выражение 2a + a-5b + b упрощается до 3a-4b.

После раскрытия одной из круглых скобок по пути могут быть другие скобки. Примените к ним те же правила, что и к первому. Например, раскройте скобки в следующем выражении:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6)

Вот два места, где нужно раскрыть круглые скобки. В этом случае применяется первое правило раскрытия скобок, а именно: отбрасывание скобок вместе со знаком плюс перед скобками:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2-3 + 1 + 3-6


Пример 3. Раскройте скобки в выражении 6 + (- 3) + (- 2)

В обоих местах, где есть круглые скобки, перед ними стоит плюс. Здесь снова применяется первое правило раскрытия скобок:

6 + (−3) + (−2) = 6-3-2


Иногда первое слагаемое в скобках пишется без знака. Например, в выражении 1+ (2 + 3-4) первое слагаемое в скобках 2 написано без знака. Возникает вопрос: какой знак будет перед двумя после того, как круглые скобки будут опущены, и знак плюса перед круглыми скобками? Ответ очевиден: перед двумя будет знак плюса.

На самом деле, даже в скобках перед двумя стоит плюс, но мы его не видим из-за того, что он не записан. Мы уже говорили, что полная запись положительных чисел выглядит как +1, +2, +3. Но плюсы традиционно не записываются, поэтому мы видим обычные положительные числа 1, 2, 3.

Следовательно, чтобы раскрыть круглые скобки в выражении 1+ (2 + 3-4), вам нужно удалить круглые скобки, как обычно, вместе со знаком плюс перед круглыми скобками, но записать первое слагаемое, которое было в круглых скобках со знаком плюс:

1 + (2 + 3 — 4) = 1 + 2 + 3 — 4


Пример 4. Раскройте скобки в выражении -5 + (2-3)

Перед круглыми скобками стоит знак «плюс», поэтому мы применяем первое правило раскрытия скобок, а именно, мы опускаем скобки вместе со знаком «плюс» перед скобками. Но первое слагаемое в круглых скобках нужно писать со знаком плюс:

−5 + (2-3) = −5 + 2-3


Пример 5. Раскройте скобки в выражении (-5)

Перед скобками стоит знак «плюс», но он не записан, потому что перед ним нет других чисел или выражений.Наша задача — убрать круглые скобки, применив первое правило объяснения скобок, а именно убрать скобки вместе с плюсом (даже если он невидимый)

(-5) = -5


Пример 6. Раскройте скобки в выражении 2a + (-6a + b)

Перед круглыми скобками стоит знак «плюс», поэтому плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках, будет написано без изменений:

.

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b


Пример 7. Раскройте скобки в выражении 5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d)

В этом выражении есть два места, где нужно раскрыть круглые скобки. В обоих местах перед круглыми скобками стоит плюс, так что плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках, будет написано без изменений:

.

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a — 2d


Второе правило раскрытия скобок

Теперь рассмотрим второе правило раскрытия скобок.Это применимо, когда скобкам предшествует знак минус.

Если перед скобками стоит минус, этот минус удаляется вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный.

Например, разверните круглые скобки в следующем выражении

5 — (-2-3)

Мы видим, что перед скобками стоит минус. Итак, нам нужно применить второе правило раскрытия, а именно убрать круглые скобки вместе с минусом перед этими скобками.В этом случае слагаемые, которые были в скобках, поменяют знак на противоположный:

Мы получили выражение без скобок 5 + 2 + 3. Это выражение равно 10, так же как предыдущее выражение со скобками было равно 10.

5 — (-2-3) = 10

5 + 2 + 3 = 10

Таким образом, между выражениями 5 — (- 2-3) и 5 ​​+ 2 + 3 можно поставить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:

5 — (-2-3) = 5 + 2 + 3

10 = 10


Пример 2. Раскройте скобки в выражении 6 — (-2 — 5)

Мы используем второе правило объяснения скобок: мы опускаем скобки вместе со знаком минус перед скобками. В этом случае напишите слагаемые, которые были в круглых скобках с противоположными знаками:

6 — (-2-5) = 6 + 2 + 5


Пример 3. Раскройте скобки в выражении 2 — (7 + 3)

Перед скобками стоит знак минус, поэтому мы применяем второе правило раскрытия скобок:

2 — (7 + 3) = 2-7-3


Пример 4. Раскройте скобки в выражении — (- 3 + 4)

Перед скобками стоит знак минус, поэтому мы применяем второе правило раскрытия скобок:

— (- 3 + 4) = 3-4


Пример 5. Раскройте скобки в выражении — (- 8-2) + 16 + (-9-2)

Есть два места, где вам нужно раскрыть скобки. В первом случае нам нужно применить второе правило, а когда дело доходит до выражения + (- 9-2), нам нужно применить первое правило:

— (- 8-2) + 16 + (−9-2) = 8 + 2 + 16-9-2


Пример 6. Раскройте скобки в выражении — (- a — 1)

Перед скобками стоит знак минус, поэтому мы применяем второе правило раскрытия скобок:

— (- а — 1) = а + 1


Пример 7. Раскройте скобки в выражении — (4a + 3)

Перед скобками стоит знак минус, поэтому мы применяем второе правило раскрытия скобок:

— (4a + 3) = −4a — 3


Пример 8. Раскройте скобки в выражении a — (4b + 3) + 15

Перед скобками стоит минус, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:

a — (4b + 3) + 15 = a — 4b — 3 + 15


Пример 9. Раскройте скобки в выражении 2a + (3b — b) — (3c + 5)

Есть два места, где вам нужно раскрыть скобки.В первом случае вам нужно применить первое правило, а когда дело доходит до выражения — (3c + 5), вам нужно применить второе правило:

2a + (3b — b) — (3c + 5) = 2a + 3b — b — 3c — 5


Пример 10. Раскройте скобки в выражении −a — (−4a) + (−6b) — (−8c + 15)

Есть три места, где вам нужно раскрыть скобки. Сначала вы применяете вторую из раскрывающихся скобок, затем первую, а затем снова вторую:

−a — (−4a) + (−6b) — (−8c + 15) = −a + 4a — 6b + 8c — 15


Что нужно знать о раскрывающихся скобках

Правила в скобках, которые мы только что обсудили, основаны на распределительном законе умножения:

a (b + c) = ab + ac

Фактически, раскрывающиеся скобки — это процедура, с помощью которой общий множитель умножается на каждое слагаемое в скобках.В результате такого умножения скобки убираются.

Например, развернуть скобки в выражении 3 × (4 + 5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Следовательно, если вы хотите умножить число на выражение в скобках (или выражение в скобках, умноженное на число), вы должны сказать «разверните скобки».

Но как распределительный закон умножения соотносится с правилами раскрывающихся скобок, которые мы обсуждали ранее?

Дело в том, что перед скобками стоит общий множитель.В примере 3 × (4 + 5) общий множитель равен 3. А в примере a (b + c) общим множителем является переменная a .

Если перед круглыми скобками нет чисел или переменных, то общий множитель равен 1 или -1, в зависимости от того, какой знак стоит перед круглыми скобками. Если перед скобками стоит знак плюс, то общий множитель равен 1. Если перед скобками стоит минус, то общий множитель равен -1.

Например, раскройте скобки в выражении — (3b-1).Перед круглыми скобками стоит минус, поэтому мы должны использовать второе правило раскрытия круглых скобок, то есть удалить круглые скобки вместе с минусом перед круглыми скобками. Напишите выражение, которое было в круглых скобках с противоположными знаками:

— (3b — 1) = −3b + 1

Мы расширили скобки с помощью правила раскрытия скобок. Но те же скобки можно расширить, используя распределительный закон умножения. Для этого сначала запишите перед круглыми скобками общий множитель 1, который не был записан:

-1 (3b -1)

Минус перед круглыми скобками относится к этой единице.Теперь вы можете расширить скобки, применив распределительный закон умножения. Для этого умножьте общий множитель -1 на каждое слагаемое в скобках и сложите результаты.

Для удобства замените разницу в скобках на сумму:

-1 (3b -1) = -1 (3b + (-1))

Затем умножьте общий множитель -1 на каждое слагаемое в скобках:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Как и в прошлый раз, мы получили выражение -3b + 1.Все согласятся, что на этот раз на решение такого простого примера уйдет больше времени. Поэтому разумнее использовать готовые правила раскрытия скобок, о которых мы говорили в этом уроке:

— (3b — 1) = −3b + 1

Но хорошо знать, как работают эти правила.


На этом уроке мы узнали об еще одной трансформации личности. Вместе с раскрывающимися круглыми скобками, факторизацией путем исключения общих факторов и т.п. терминов мы можем немного расширить круг решаемых проблем.Например:

Раскройте круглые скобки и объедините одинаковые термины в следующее выражение:

Здесь нам нужно выполнить два действия — сначала раскрыть скобки, а затем объединить похожие термины. Итак, по порядку:

1) Раскройте скобки:

2) Объедините похожие термины:

В полученном выражении -10b + (- 1) вы можете раскрыть скобки:


Пример 2. Раскройте круглые скобки и объедините одинаковые термины в следующее выражение:

1) Раскройте скобки:

2) Объедините похожие термины: На этот раз, чтобы сэкономить время и место, мы не будем записывать, как коэффициенты умножаются на общую буквенную часть


Пример 3. Упростите выражение 8m + 3m и найдите его значение при m = -4

1) Во-первых, упростим выражение.Чтобы упростить выражение 8m + 3m, мы можем вынести общий множитель m из скобок:

8 м + 3 м = м (8 + 3)

2) Найдите значение выражения m (8 + 3), когда m = -4. Для этого замените m (8 + 3) на -4

.

м (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44


Видеоурок

Упражнения

Задача 1. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 2. Раскройте круглые скобки в следующем выражении:

Задача 3. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 4. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 5. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 6. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 7. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 8. Раскройте круглые скобки в следующем выражении:

Задача 9. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 10. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 11. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 12. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 13. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 14. Раскройте круглые скобки в следующем выражении:

Задача 15. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 16. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 17. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 18. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 19. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 20. Раскройте круглые скобки в следующем выражении:

Задача 21. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задача 22. Раскройте круглые скобки и объедините одинаковые термины в следующее выражение:

Задача 23. Раскройте круглые скобки и объедините одинаковые термины в следующем выражении:


Видеоурок