Как раскрывать модуль в уравнении: Уравнение с модулем

Простейшие уравнения с модулем. Тест

Определение. Геометрический смысл

 

Модуль (или абсолютная величина)   числа   (обозначается как )— неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа  

А именно:

Мы будем называть данное правило правилом раскрытия модуля.

Например, так как , попадаем в первую строку (ситуацию).

так как попадаем во вторую ситуацию.

С геометрической точки зрения,  – есть расстояние между числом   и началом координат.

Решением уравнения, например,  являются числа и , потому что расстояние от точки координатной прямой до нуля равно , и расстояние от точки   до нуля также равно 6.

|| с геометрической точки зрения означает расстояние между точками и .

 

Полезные примеры

 

1) Раскрыть модуль:

Так как больше, чем , то , а значит согласно правилу раскрытия модуля.

2) Раскрыть модуль:

Так как больше нуля при всех значениях , то согласно правилу раскрытия модуля.

3) Раскрыть модуль:

Так как , то , а значит, согласно правилу раскрытия модуля.

Решение уравнений

 

1) Решить уравнение .

Модуль – всегда неотрицательная величина, поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: { }

2) Решить уравнение: .

Модуль раскрывается таким образом в случае, когда  .

Ответ:

3) Решить уравнение:

Согласно геометрическому смыслу модуля левая и правая части равенства представляют из себя одно и то же.

Ответ:

4)  Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

а)

Имеем: ,     

Откуда .

Поскольку мы находимся в ситуации , то подходит только корень .

б)

Имеем: ,    

Откуда или .

Поскольку мы находимся в ситуации , то ни один корень из найденных в пункте (б) нам не подходит.

Ответ: .

Коротко можно было бы решение оформить так:

5) Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

a) Первый случай:

Что равносильно .

б) Второй случай:

Что равносильно

Ответ:

6) Решить уравнение:

Можно было бы действовать согласно правилу раскрытия модуля, но проще будет в данном случае рассуждать так:

Внутри модуля может «скрываться» как так и .

Поэтому или

или

Из первого уравнения или , а второе уравнение корней не имеет.

Ответ:

 

7) Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

а) Первый случай:

Рассмотрим отдельно первую строку системы:

Рассмотрим уравнение из системы:

или

Разложим на множители левую часть уравнения способом группировки, предварительно разбив среднее слагаемое на два:

Откуда (трехчлен в скобках корней не имеет).

Данный корень удовлетворяет первой строке системы, он пойдет  в ответ.

б) Второй случай:

Решение неравенства системы:

Корень удовлетворяет решению неравенства системы.

Собираем решения.

Ответ:

 

Также, смотрите «Модуль. Простейшие неравенства с модулем» здесь.

Вы можете пройти тест  по теме «Модуль. Раскрытие модуля. Простешие уравнения с модулем»

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

 АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

Учебник для

общеобразовательных

учреждений. Базовый и

профильный уровень

(Оформление и автор интерактивных технологий Морозова Е.)

Объяснение и обоснование

     Решать любое уравнение или неравенство, содержащее знак модуля, можно одним из трех основных способов: по определению модуля, исходя из геометрического смысла модуля или по общей схеме. Некоторые уравнения или неравенства с модулем могут быть также решены с использованием специальных соотношений.

        В зависимости от выбранного способа решения получаем разные записи решения.

Пример            Решите уравнение | 2x – 4 | = 6.

I способ (по определению модуля)

II способ (использование геометрического смысла модуля)

     Замечание. При решении уравнения с использованием геометрического смысла модуля знак модуля раскрывается неявно, то есть определение модуля в явном виде не применяется.

     Общая схема решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля — это фактически немного измененный метод интервалов. Поясним содержание этой схемы на примере уравнения с двумя модулями вида

|f (x)| + |g (x)| = a  (a > 0).

     Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть знаки модулей, а для этого необходимо знать, где функции f (x) и g (x) будут положительными, а где — отрицательными. То есть фактически мы должны решить неравенства

f (x) ≥ или ≤0,                              (1)

g (x) ≥ или ≤0.                             (2)

     Каждое из этих неравенств мы умеем решать методом интервалов. Перестроим прием решения неравенств методом интервалов таким образом, чтобы он давал возможность одновременно решать каждое из последних неравенств. Как известно, решение неравенства (1) методом интервалов начинается с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции f (x)), а решение неравенства (2) — с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции g (x)). Чтобы начать одновременно решать оба неравенства, необходимо найти общую область определения для функций f (x) и g (x), то есть найти ОДЗ данного уравнения (это и есть первый из ориентиров необходимой схемы).

     Чтобы продолжить решение неравенств f (x) ≥или≤0 и g (x) ≥или≤ 0 методом интервалов, необходимо найти нули функций f (x) и g (x), то есть найти нули всех подмодульных функций (это и есть второй ориентир).

     Если далее применить схему метода интервалов одновременно для двух неравенств, необходимо на ОДЗ отметить нули подмодульных функций и разбить ОДЗ на промежутки (это третий ориентир).

     В каждом из полученных промежутков знаки функций f (x) и g (x) не могут измениться. Тогда мы можем найти знаки подмодульных функций на каждом промежутке (в любой точке этого промежутка), раскрыть знаки модулей и найти решение данного уравнения в каждом из этих промежутков (это и есть четвертый ориентир общей схемы). 

     Обоснование возможности применения приведенной схемы к решению неравенств с модулями проводится аналогично.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Вопросы для контроля

  1. Объясните, какими способами можно решать уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. Проиллюстрируйте эти способы на примерах.
  2. Обоснуйте специальные соотношения. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.
  3. Обоснуйте обобщения использования геометрического смысла модуля. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

Упражнения

Решите уравнения и неравенства, содержащие знак модуля (1–15).

Постройте график функции

ТЕСТ

Уравнения и неравенства

 

 

 

модульная арифметика — расширение по модулю с кратными делителями

спросил

Изменено
6 лет, 1 месяц назад

Просмотрено
2к раз

$\begingroup$

Есть ли какое-нибудь общее расширение для ‘a mod mn’? Мод
— это операция по модулю: http://en. wikipedia.org/wiki/Modulo_operation

 Например: у нас есть
(a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n
(a x b ) mod n = ((a mod n) x (b mod n)) mod n
Точно так же есть ли какое-либо упрощение/расширение для:
мод (m x n) = ?
 

Спасибо

Редактировать: добавлен пример для пояснения

  • модульная арифметика

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Здесь нет простого правила. Есть не такое простое правило, которое может быть не тем, что вам нужно, но вот оно: это правило предполагает, что $m$ и $n$ не имеют общего делителя, т. е. что $\gcd(m,n)=1 $. В этом случае вы можете использовать расширенный алгоритм Евклида (тождество Безу), чтобы найти целые числа $u$ и $v$ так, что $$mu+nv=1.$$
Теперь предположим, что $$\begin{aligned}a&\equiv r\pmod{m},\\a&\equiv s\pmod{n}.\end{aligned}$$
Итак, существуют целые числа $p$, $q$, такие что $a=pm+r$ и $a=qn+s$. Умножьте первое уравнение на $n$, а второе на $m$, чтобы получить
$$\begin{aligned}am&\equiv rm\pmod{mn},\\an&\equiv sn\pmod{mn}.\end{aligned}$$
Из этого вы получаете
$$a=a\cdot 1=amu+anv\equiv rmu+snv\pmod{mn}$$
что представляет собой связь между $a\bmod mn$, с одной стороны, и $r=a\bmod m$ и $s=a\bmod n$, с другой.

Это сокращение весьма полезно в таких приложениях, как шифрование RSA, где вам нужно вычислить большие степени по модулю произведения двух больших простых чисел. Достаточно вычислить мощность по модулю каждого фактора, а затем объединить результаты.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Предварительное исчисление алгебры

— Удаление модуля для выражения x через

спросил

Изменено
1 год, 4 месяца назад

Просмотрено
11 тысяч раз

$\begingroup$

Мне нужно найти точку пересечения этих двух прямых. $$f(x) = |x — a| + a $$ $$g(x) = 4x + a$$ Сейчас у меня есть $$4x = |x — a|$$, и я знаю, что для удаления модуля мне нужно возвести в квадрат обе стороны, но я Я не уверен, что делать дальше, чтобы получить x = что-то

  • алгебра-предварительное исчисление

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Возведение в квадрат не требуется. Когда $x\ge a$, у нас есть

$$4x=|x-a|=x-a\имеется x=-\frac a3\ge a\имеется a\le0$$

Когда $x

$$4x=|x-a|= a-x\подразумевает x=\frac a50$$

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Вы можете либо возвести обе стороны в квадрат, а затем использовать квадратичную формулу для нахождения $x$, либо просто заметить, что $|x-a|=4x$ означает, что $x-a=4x$ или $x-a = -4x$.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *