Как правильно открывать скобки в уравнениях: Как правильно раскрывать скобки?

Содержание

Раскрытие скобок а. Как раскрывать скобки в выражениях и уравнениях

В данной статье мы подробно рассмотрим основные правила такой важной темы курса математики, как раскрытие скобок. Знать правила раскрытия скобок нужно для того, чтобы верно решать уравнения, в которых они используются.

Как правильно раскрывать скобки при сложении

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак « + »

Эта самый простой случай, ибо если перед скобками стоит знак сложения, при раскрытии скобок знаки внутри них не меняются. Пример:

(9 + 3) + (1 — 6 + 9) = 9 + 3 + 1 — 6 + 9 = 16.

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак « — »

В данном случае нужно переписать все слагаемые без скобок, но при этом сменить все знаки внутри них на противоположные. Знаки меняются только у слагаемых из тех скобок, перед которыми стоял знак « — ». Пример:

(9 + 3) — (1 — 6 + 9) = 9 + 3 — 1 + 6 — 9 = 8.

Как раскрыть скобки при умножении

Перед скобками стоит число-множитель

В данном случае нужно умножить каждое слагаемое на множитель и раскрыть скобки, не меняя знаков. 2) * 12 = 1728.

Как раскрыть 3 скобки

Бывают уравнения, в которых перемножаются сразу 3 скобки. В таком случае нужно сначала перемножить между собой слагаемые первых двух скобок, и затем сумму этого перемножения умножить на слагаемые третьей скобки. Пример:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 — 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 — 6) = — 21.

Данные правила раскрытия скобок одинаково распространяются для решения как линейных, так и тригонометрических уравнений.

Везде. Везде и всюду, куда ни глянь, встречаются вот такие конструкции:

«Конструкции» эти у грамотных людей вызывают неоднозначную реакцию. Как минимум типа «неужели так — правильно?».
Вообще лично я не могу понять, откуда пошла «мода» не закрывать внешние кавычки. Первая и единственная приходящая по этому поводу аналогия — аналогия со скобками. Никто же не сомневается, что две скобки подряд — это нормально. Например: «Оплатить весь тираж (200 шт. (из них 100 — брак))». А вот в нормальности постановки двух кавычек подряд кто-то засомневался (интересно, кто первый?)… И теперь все поголовно стали с чистой совестью плодить конструкции типа ООО «Фирма «ПупковЪ и Ко».
Но даже если вы в жизни не видели правила, о котором речь пойдет чуть ниже, то единственным логически обоснованным вариантом (на примере скобок) был бы следующий: ООО «Фирма «ПупковЪ и Ко»».
Итак, непосредственно правило:
Если в начале или в конце цитаты (то же относится к прямой речи) встречаются внутренние и внешние кавычки, то они должны различаться между собой рисунком (так называемые «елочки» и «лапочки»), причем внешние кавычки не должны опускаться, например: С борта парохода передали по радио:«„Ленинград“ вошел в тропики и следует дальше своим курсом». О Жуковском Белинский пишет: «Современники юности Жуковского смотрели на него преимущественно как на автора баллад, и в одном своем послании Батюшков называл его „балладником“».
© Правила русской орфографии и пунктуации. — Тула: Автограф, 1995. — 192 с.
Соответственно… если у вас нет возможности набрать кавычки-«елочки», то, что уж поделаешь, придется пользоваться такими «» значками. Однако, невозможность (или нежелание) использовать русские кавычки отнюдь не является причиной, по которой можно не закрывать внешние кавычки.

Таким образом с неверностью констукции ООО «Фирма «ПупковЪ и Ко» вроде бы разобрались. Встречаются еще конструкции вида ООО «Фирма «ПупковЪ и Ко».
Из правила совершенно понятно, что и такие конструкции безграмотны… (Правильно: ООО «Фирма „ПупковЪ и Ко“»

Однако!
В «Справочнике издателя и автора» А. Э. Мильчина (издание 2004 года) указано, что можно использовать два варианта оформления в подобных случаях. Использование «елочек» и «лапок» и (при отсутствии технических средств) использование только «елочек»: двух открывающих и одной закрывающей.
Справочник это «свежий» и лично у меня тут сразу появляется 2 вопроса. Во-первых, с какой все же радости можно использовать одну закрывающую кавычку-елочку (ну нелогично это, см. выше), а во-вторых, особо обращает на себя внимание фраза «при отсутствии технических средств». Это как, простите? Вот откройте Notepad и наберите там «только елочки: две открывающие и одну закрывающую». На клавиатуре таких символов нет. Напечатать «елочку» не получается… Сочетание Shift + 2 выдает знак » (который, как известно, и кавычкой-то не является). А теперь откройте Microsoft Word и снова нажмите Shift + 2. Программа исправит » на « (или »). Что же, получается что существовавшее не один десяток лет правило взяли и переписали под Microsoft Word? Мол, раз ворд из «Фирма «ПупковЪ и Ко» делает «Фирма «ПупковЪ и Ко», то пусть теперь это будет допустимо и корректно???
Похоже, что так. А если это так, то есть все основания усомниться в правильности подобного нововведения.

Да, и еще одно уточнение… про то самое «отсутствие технических средств». Дело в том, что на любом компьютере с Windows всегда имеются «технические средства» для ввода и «елочек», и «лапок», так что это новое «правило» (для меня оно — именно в кавычках) неверно изначально!

Все специальные символы шрифта можно легко набрать, зная соответствующий номер этого символа. Достаточно зажать Alt и набрать на NumLock-клавиатуре (NumLock нажат, индикаторная лампочка горит) соответствующий номер символа:

„ Alt + 0132 (левая «лапка»)
“ Alt + 0147 (правая «лапка»)
« Alt + 0171 (левая «елочка»)
» Alt + 0187 (правая «елочка»)

На этом уроке вы узнаете, как из выражения, содержащего скобки, путем преобразования получить выражение, в котором скобок нет. Вы научитесь раскрывать скобки, перед которыми стоит знак плюс и знак минус. Мы вспомним, как раскрывать скобки, используя распределительный закон умножения. Рассмотренные примеры позволят связать новый и ранее изученный материал в единое целое.

Тема: Решение уравнений

Урок: Раскрытие скобок

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+». Использование сочетательного закона сложения.

Если к числу нужно прибавить сумму двух чисел, то можно к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а затем второе.

Слева от знака равно выражение со скобками, а справа — выражение без скобок. Значит, при переходе от левой части равенства к правой произошло раскрытие скобок.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Раскрыв скобки, мы изменили порядок действий. Считать стало удобнее.

Пример 2.

Пример 3.

Заметим, что во всех трех примерах мы просто убирали скобки. Сформулируем правило:

Замечание.

Если первое слагаемое в скобках стоит без знака, то его надо записать со знаком «плюс».

Можно выполнить пример по действиям. Сначала к 889 прибавить 445. Это действие в уме выполнить можно, но это не очень просто. Раскроем скобки и увидим, что изменённый порядок действий значительно упростит вычисления.

Если следовать указанному порядку действий, то нужно сначала из 512 вычесть 345, а затем к результату прибавить 1345. Раскрыв скобки, мы изменим порядок действий и значительно упростим вычисления.

Иллюстрирующий пример и правило.

Рассмотрим пример: . Найти значение выражения можно, сложив 2 и 5, а затем взять полученное число с противоположным знаком. Получим -7.

С другой стороны, тот же самый результат можно получить, сложив числа, противоположные исходным.

Сформулируем правило:

Пример 1.

Пример 2.

Правило не изменяется, если в скобках не два, а три или более слагаемых.

Пример 3.

Замечание. Знаки меняются на противоположные только перед слагаемыми.

Для того чтобы раскрыть скобки, в данном случае нужно вспомнить распределительное свойство.

Сначала умножим первую скобку на 2, а вторую — на 3.

Перед первой скобкой стоит знак «+», значит, знаки нужно оставить без изменения. Перед второй стоит знак «-», следовательно, все знаки нужно поменять на противоположные

Список литературы

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. — Гимназия, 2006.
  3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — Просвещение, 1989.
  4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс — ЗШ МИФИ, 2011.
  5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — ЗШ МИФИ, 2011.
  6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. — Просвещение, 1989.
  1. Онлайн тесты по математике ().
  2. Можно скачать указанные в п. 1.2. книги ().

Домашнее задание

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)
  2. Домашнее задание: № 1254, № 1255, № 1256 (б,г)
  3. Другие задания: № 1258(в), № 1248

Сейчас мы как раз перейдем к раскрытию скобок в выражениях, в которых выражение в скобках умножается на число или выражение. Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус: скобки вместе со знаком минус опускаются, а знаки всех слагаемых в скобках заменяются на противоположные.

Одним из видов преобразования выражения является раскрытие скобок. Числовые, буквенные выражения и выражения с переменными бывают составлены с использованием скобок, которые могут указывать порядок выполнения действий, содержать отрицательное число и т.п. Допустим, что в описанных выше выражениях вместо чисел и переменных могут быть любые выражения.

И обратим внимание еще на один момент, касающийся особенностей записи решения при раскрытии скобок. В предыдущем пункте мы разобрались с тем, что называют раскрытием скобок. Для этого существуют правила раскрытия скобок, к обзору которых мы и приступаем. Это правило продиктовано тем, что положительные числа принято записывать без скобок, скобки в этом случае излишни. Выражение (−3,7)−(−2)+4+(−9) может быть записано без скобок как −3,7+2+4−9.

Наконец, третья часть правила просто обусловлена особенностями записи отрицательных чисел, стоящих слева в выражении (о чем мы упоминали в разделе скобки для записи отрицательных чисел). Можно столкнуться с выражениями, составленными из числа, знаков минус и нескольких пар скобок. Если раскрывать скобки, продвигаясь от внутренних к внешним, то решение будет таким: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5))=−(5)=−5.

Как раскрыть скобки?

Вот тому пояснение: −(−2·x) есть +2·x, а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x, −(x2)=−x2, +(−1/x)=−1/x и −(2·x·y2:z)=−2·x·y2:z. Первая часть записанного правила раскрытия скобок напрямую следует из правила умножения отрицательных чисел. Вторая его часть является следствием правила умножения чисел с разными знаками. Переходим к примерам раскрытия скобок в произведениях и частных двух чисел с разными знаками.

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения.

Приведенное выше правило учитывает всю цепочку этих действий и значительно ускоряет процесс раскрытия скобок. Это же правило позволяет раскрывать скобки в выражениях, представляющих собой произведения и частные выражений со знаком минус, не являющихся суммами и разностями.

Рассмотрим примеры применения этого правила. Дадим соответствующее правило. Выше мы уже сталкивались с выражениями вида −(a) и −(−a), которые без скобок записываются как −a и a соответственно. Например, −(3)=3, и. Это частные случаи озвученного правила. Теперь рассмотрим примеры раскрытия скобок, когда в них заключены суммы или разности. Покажем примеры использования этого правила. Обозначим выражение (b1+b2) как b, после чего используем правило умножения скобки на выражение из предыдущего пункта, имеем (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2)·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b.

По индукции это утверждение можно распространить на произвольное количество слагаемых в каждой скобке. Осталось раскрыть скобки в полученном выражении, используя правила из предыдущих пунктов, в итоге получаем 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.

Правило по математике раскрытие скобок если перед скобками стоит (+) и (-) очень нужно прваило

Это выражение представляет собой произведение трех множителей (2+4), 3 и (5+7·8). Раскрывать скобки придется последовательно. Теперь используем правило умножения скобки на число, имеем ((2+4)·3)·(5+7·8)=(2·3+4·3)·(5+7·8). Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок.

Для примера преобразуем выражение (a+b+c)2. Сначала запишем его в виде произведения двух скобок (a+b+c)·(a+b+c), теперь выполним умножение скобки на скобку, получаем a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Также скажем, что для возведения сумм и разностей двух чисел в натуральную степень целесообразно применять формулу бинома Ньютона. К примеру, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Не менее удобно предварительно деление заменить умножением, после чего воспользоваться соответствующим правилом раскрытия скобок в произведении.

Осталось разобраться с порядком раскрытия скобок на примерах. Возьмем выражение (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Подставляем эти результаты в исходное выражение: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·7). Остается лишь закончить раскрытие скобок, в результате имеем −5+3·2:4+6·7. Значит, при переходе от левой части равенства к правой произошло раскрытие скобок.

Заметим, что во всех трех примерах мы просто убирали скобки. Сначала к 889 прибавить 445. Это действие в уме выполнить можно, но это не очень просто. Раскроем скобки и увидим, что изменённый порядок действий значительно упростит вычисления.

Как раскрыть скобки в другой степени

Иллюстрирующий пример и правило. Рассмотрим пример: . Найти значение выражения можно, сложив 2 и 5, а затем взять полученное число с противоположным знаком. Правило не изменяется, если в скобках не два, а три или более слагаемых. Замечание. Знаки меняются на противоположные только перед слагаемыми. Для того чтобы раскрыть скобки, в данном случае нужно вспомнить распределительное свойство.

У одиночных чисел в скобках

Ваша ошибка заключается не в знаках, а в неправильной работе с дробями? В 6 классе мы познакомились с положительными и отрицательными числами. Как будем решать примеры и уравнения?

Сколько получилось в скобках? Что можно сказать об этих выражениях? Конечно, результат первого и второго примеров одинаков, значит между ними можно поставить знак равенства: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Что же мы сделали со скобками?

Демонстрация слайда 6 с правилами раскрытия скобок. Таким образом, правила раскрытия скобок помогут нам решать примеры, упрощать выражения. Далее учащимся предлагается работа в парах: необходимо стрелками соединить выражение, содержащее скобки с соответствующим нему выражением без скобок.

Слайд 11 Однажды в Солнечном городе поспорили Знайка и Незнайка, кто из них решил уравнение правильно. Далее учащиеся самостоятельно решают уравнение, применяя правила раскрытия скобок. Решение уравнений»Цели урока: образовательные (закрепление ЗУНов по теме: «Раскрытие скобок.

Тема урока: «Раскрытие скобок. В данном случае нужно каждое слагаемое из первых скобок перемножить с каждым слагаемым из вторых скобок и затем сложить полученные результаты. Сначала берутся два первых множителя, заключаются еще в одни скобки, и внутри этих скобок проводится раскрытие скобок по одному из уже известных правил.

rawalan.freezeet.ru

Раскрытие скобок: правила и примеры (7 класс)

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений
. Например
, в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Однако если мы имеем дело с алгебраическим выражением
, содержащим переменную
— например таким: \(2(x-3)\) – то вычислить значение в скобке не получается, мешает переменная. Поэтому в таком случае скобки «раскрывают», используя для этого соответствующие правила.

Правила раскрытия скобок

Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря:

Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение \((5+x)\) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут
.

Пример

. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение

: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:

Здесь нужно пояснить, что у a, пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.

Пример

: Упростите выражение \(2x-(-7+x)\).
Решение

: внутри скобки два слагаемых: \(-7\) и \(x\), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые
.

Пример.

Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение

: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть:

Пример.

Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение

: В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей
.

Пример.

Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение

: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

Пример.

Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение

: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу.
На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\) . Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\) . А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\) . Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение
, просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример.

Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.

Решение задач по математике онлайн

Калькулятор онлайн.

Упрощение многочлена.
Умножение многочленов.

С помощью данной математической программы вы можете упростить многочлен.
В процессе работы программа:
— умножает многочлены
— суммирует одночлены (приводит подобные)
— раскрывает скобки
— возводит многочлен в степень

Программа упрощения многочленов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы вы могли проконтролировать свои знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек.

Немного теории.

Произведение одночлена и многочлена. Понятие многочлена

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:

Приведем в полученном многочлене подобные члены:

Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида
.

За степень многочлена
стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен имеет третью степень, а трехчлен — вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки — это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения и, т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, — это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

— квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

— квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

— разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач Нахождение НОД и НОК Упрощение многочлена (умножение многочленов) Деление многочлена на многочлен столбиком Вычисление числовых дробей Решение задач на проценты Комплексные числа: сумма, разность, произведение и частное Системы 2-х линейных уравнений с двумя переменными Решение квадратного уравнения Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена Решение неравенств Решение систем неравенств Построение графика квадратичной функции Построение графика дробно-линейной функции Решение арифметической и геометрической прогрессий Решение тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений Вычисление пределов, производной, касательной Интеграл, первообразная Решение треугольников Вычисления действий с векторами Вычисления действий с прямыми и плоскостями Площадь геометрических фигур Периметр геометрических фигур Объем геометрических тел Площадь поверхности геометрических тел
Конструктор дорожных ситуаций
Погода — новости — гороскопы

www.mathsolution.ru

Раскрытие скобок

Продолжаем изучать основы алгебры. В данном уроке мы научимся раскрывать скобки в выражениях. Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.

Чтобы раскрывать скобки, нужно выучить наизусть всего два правила. При регулярных занятиях раскрывать скобки можно с закрытыми глазами, и те правила, которые требовалось заучивать наизусть, можно благополучно забыть.

Первое правило раскрытия скобок

Рассмотрим следующее выражение:

Значение данного выражения равно 2
. Раскроем скобки в данном выражении. Раскрыть скобки означает избавиться от них, не влияя на значение выражения. То есть, после избавления от скобок значение выражения 8+(−9+3)
по прежнему должно быть равно двум.

Первое правило раскрытия скобок выглядит следующим образом:

При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.

Итак, мы видим что в выражении 8+(−9+3)
перед скобками стоит плюс. Этот плюс нужно опустить вместе со скобками. Иными словами, скобки исчезнут вместе с плюсом, который перед ними стоял. А то, что было в скобках запишется без изменений:

8−9+3
. Данное выражение равно 2
, как и предыдущее выражение со скобками было равно 2
.

8+(−9+3)
и 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Пример 2.
Раскрыть скобки в выражении 3 + (−1 − 4)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Пример 3.
Раскрыть скобки в выражении 2 + (−1)

В данном примере раскрытие скобок стало своего рода обратной операцией замене вычитания сложением. Как это понимать?

В выражении 2−1
происходит вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получится выражение 2+(−1)
. Но если в выражении 2+(−1)
раскрыть скобки, то получится изначальное 2−1
.

Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после каких-нибудь преобразований. То есть, избавить его от скобок и сделать проще.

Например, упростим выражение 2a+a−5b+b
.

Чтобы упростить данное выражение, можно привести подобные слагаемые. Напомним, что для приведения подобных слагаемых, нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:

Получили выражение 3a+(−4b)
. В этом выражении раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок, то есть опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:

Таким образом, выражение 2a+a−5b+b
упрощается до 3a−4b
.

Раскрыв одни скобки, по пути могут встретиться другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в следующем выражении:

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В данном случае применимо первое правило раскрытия скобок, а именно опускание скобок вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Пример 3.
Раскрыть скобки в выражении 6+(−3)+(−2)

В обоих местах, где имеются скобки, перед ними стоит плюс. Здесь опять же применяется первое правило раскрытия скобок:

Иногда первое слагаемое в скобках записано без знака. Например, в выражении 1+(2+3−4)
первое слагаемое в скобках 2
записано без знака. Возникает вопрос, а какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ напрашивается сам — перед двойкой будет стоять плюс.

На самом деле даже будучи в скобках перед двойкой стоит плюс, но мы его не видим по причине того, что его не записывают. Мы уже говорили, что полная запись положительных чисел выглядит как +1, +2, +3.
Но плюсы по традиции не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас положительные числа 1, 2, 3
.

Поэтому, чтобы раскрыть скобки в выражении 1+(2+3−4)
, нужно как обычно опустить скобки вместе с плюсом, стоящим перед этими скобками, но первое слагаемое которое было в скобках записать со знаком плюс:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Пример 4.
Раскрыть скобки в выражении −5 + (2 − 3)

Перед скобками стоит плюс, поэтому применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками. Но первое слагаемое, которое в скобках записываем со знаком плюс:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Пример 5.
Раскрыть скобки в выражении (−5)

Перед скобки стоит плюс, но он не записан по причине того, что до него не было других чисел или выражений. Наша задача убрать скобки, применив первое правило раскрытия скобок, а именно опустить скобки вместе с этим плюсом (даже если он невидим)

Пример 6.
Раскрыть скобки в выражении 2a + (−6a + b)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Пример 7.
Раскрыть скобки в выражении 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

В данном выражении имеется два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Второе правило раскрытия скобок

Теперь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Оно применяется тогда, когда перед скобками стоит минус.

Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный.

Например, раскроем скобки в следующем выражении

Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:

Мы получили выражение без скобок 5+2+3
. Данное выражение равно 10, как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.

Таким образом, между выражениями 5−(−2−3)
и 5+2+3
можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Пример 2.
Раскрыть скобки в выражении 6 − (−2 − 5)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, записываем с противоположными знаками:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Пример 3.
Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

Пример 4.
Раскрыть скобки в выражении −(−3 + 4)

Пример 5.
Раскрыть скобки в выражении −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить второе правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения +(−9−2)
нужно применить первое правило:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
= 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Пример 6.
Раскрыть скобки в выражении −(−a − 1)

Пример 7.
Раскрыть скобки в выражении −(4a + 3)

Пример 8.
Раскрыть скобки в выражении a
− (4b + 3) + 15

Пример 9.
Раскрыть скобки в выражении 2a
+ (3b − b) − (3c + 5)

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить первое правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения −(3c+5)
нужно применить второе правило:

2a + (3b − b) − (3c + 5)
= 2a + 3b − b − 3c − 5

Пример 10.
Раскрыть скобки в выражении −a
− (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Здесь три места, где нужно раскрыть скобки. Вначале нужно применить второе правило раскрытия скобок, затем первое, а затем опять второе:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
= −a +
4a − 6b + 8c − 15

Механизм раскрытия скобок

Правила раскрытия скобок, которые мы сейчас рассмотрели, основаны на распределительном законе умножения:

На самом деле раскрытием скобок
называют ту процедуру, когда общий множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. В результате такого умножения скобки исчезают. Например, раскроем скобки в выражении 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Поэтому если нужно умножить число на выражение в скобках (или выражение в скобках умножить на число) надо говорить раскроем скобки
.

Но как связан распределительный закон умножения с правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали ранее?

Дело в том, что перед любыми скобками стоит общий множитель. В примере 3×(4+5)
общий множитель это 3
. А в примере a(b+c)
общий множитель это переменная a .

Если перед скобками нет чисел или переменных, то общим множителем является 1
или −1
, в зависимости от того какой знак стоит перед скобками. Если перед скобками стоит плюс, значит общим множителем является 1
. Если перед скобками стоит минус, значит общим множителем является −1
.

К примеру, раскроем скобки в выражении −(3b−1)
. Перед скобками стоит минус, поэтому нужно воспользоваться вторым правилом раскрытия скобок, то есть опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед скобками. А выражение, которое было в скобках, записать с противоположными знаками:

Мы раскрыли скобки, воспользовавшись правилом раскрытия скобок. Но эти же скобки можно раскрыть, воспользовавшись распределительным законом умножения. Для этого сначала записываем перед скобками общий множитель 1, который не был записан:

Минус, который раньше стоял перед скобками относился к этой единице. Теперь можно раскрыть скобки, применяя распределительный закон умножения. Для этого общий множитель −1
нужно умножить на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложить.

Для удобства заменим разность, находящуюся в скобках на сумму:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Как и в прошлый раз мы получили выражение −3b+1
. Каждый согласится с тем, что в этот раз затрачено больше времени на решение столь простейшего примера. Поэтому разумнее пользоваться готовыми правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали в данном уроке:

Но не мешает знать, как эти правила работают.

В данном уроке мы научились ещё одному тождественному преобразованию. Вместе с раскрытием скобок, вынесением общего за скобки и приведением подобных слагаемых можно немного расширить круг решаемых задач. Например:

Здесь нужно выполнить два действия — сначала раскрыть скобки, а потом привести подобные слагаемые. Итак, по порядку:

1) Раскрываем скобки:

2) Приводим подобные слагаемые:

В получившемся выражении −10b+(−1)
можно раскрыть скобки:

Пример 2.
Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:

1) Раскроем скобки:

2) Приведем подобные слагаемые.
В этот раз для экономии времени и места не будем записывать, как коэффициенты умножаются на общую буквенную часть

Пример 3.
Упростить выражение 8m+3m
и найти его значение при m=−4

1) Сначала упростим выражение. Чтобы упростить выражение 8m+3m
, можно вынести в нём общий множитель m
за скобки:

2) Находим значение выражения m(8+3)
при m=−4
. Для этого в выражение m(8+3)
вместо переменной m
подставляем число −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений . Например
, в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Пример.

Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение

: \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример.

Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение

: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Пример.

Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение

: В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей
.

Пример.

Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение

: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Пример.

Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение

: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример.

Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение

: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…

Потом второе.

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу.
На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\)
. Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\)
. А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\)
. Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение
, просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример.

Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

Пример.

Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение

:

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\)
\())\)

Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.

\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\)
\())\)

Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.

\(=-(x\)\(+3(3x-6)\)
\()=\)

Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.

\(=-(x\)\(+9x-18\)
\()=\)

И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.

Раскрытие скобок — это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.

Как решать уравнения со скобками?

Не все уравнения, содержащие скобки, решаются одинаково. Конечно, чаще всего в них требуется раскрыть скобки и привести подобные слагаемые (при этом способы раскрытия скобок разняться). Но иногда скобки раскрывать не нужно. Рассмотрим все эти случаи на конкретных примерах:

  1. 5х — (3х — 7) = 9 + (-4х + 16).
  2. 2х — 3(х + 5) = -12.
  3. (х + 1)(7х — 21) = 0. 

Решение уравнений через раскрытие скобок

Данный метод решения уравнений встречается наиболее часто, но и он при всей своей кажущейся универсальности, делится на подвиды в зависимости от способа раскрытия скобок.

1) Решение уравнения 5х — (3х — 7) = 9 + (-4х + 16).

В данном уравнении перед скобками стоят знаки минус и плюс. Чтобы раскрыть скобки в первом случае, где перед ними стоит знак минус, следует все знаки внутри скобок поменять на противоположные. Перед второй парой скобок стоит знак плюс, который на знаки в скобках никах не повлияет, значит их можно просто опустить. Получаем:

5х — 3х + 7 = 9 — 4х + 16.

Слагаемые с х перенесем в левую часть уравнения, а остальные в правую (знаки переносимых слагаемых будут меняться на противоположные):

5х — 3х + 4х = 9 + 16 — 7.

Приведем подобные слагаемые:

6х = 18.

Чтобы найти неизвестный множитель х, разделим произведение 18 на известный множитель 6:

х = 18 / 6 = 3.

2) Решение уравнения 2х — 3(х + 5) = -12.

В этом уравнении также сначала нужно раскрыть скобки, но применив распределительное свойство: чтобы -3 умножить на сумму (х + 5) следует -3 умножить на каждое слагаемое в скобках и сложить полученные произведения:

2х — 3х — 15 = -12

-х = -12 + 15

-х = 3

х = 3 / (-1) = 3.

Решение уравнений без раскрытия скобок

Третье уравнение (х + 1)(7х — 21) = 0 тоже можно решить раскрыв скобки, но гораздо проще в таких случаях воспользоваться свойством умножения: произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю. Значит:

х + 1 = 0 или 7х — 21 = 0.

а) х + 1 = 0

х1 = -1.

б) 7х — 21 = 0

7х = 21

х = 21 / 7

х2 = 3.

 

Урок математики по теме «Раскрытие скобок». 6-й класс


Тип урока: урок изучения нового материала.


Цели урока:

  • образовательные:

сформировать способность к раскрытию скобок с
учетом знака, стоящего перед скобками;

  • развивающие:
  • развивать логическое мышление, внимание, математическую
    речь, умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

  • воспитывающие:
  • формирование ответственности, познавательного
    интереса к предмету


    Ход урока


    I. Организационный момент.

    Проверь-ка дружок

    Ты готов на урок?

    Всё ли на месте? Всё в порядке?

    Ручка, книжка и тетрадка.

    Все ли правильно сидят?

    Все ль внимательно глядят?

    Начать урок я хочу с вопроса к вам:

    Как вы думаете, что самое ценное на Земле? (Ответы детей.)

    Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал
    известный ученый Аль-Бируни : “Знание – самое превосходное из владений. Все
    стремятся к нему, само же оно не приходит”.

    Пусть эти слова станут девизом нашего урока.


    II. Актуализация прежних знаний, умений, навыков:

    Устный счет:

    1.1. Какое сегодня число?

    2. Расскажите, что вы знаете о числе 20?

    3. А где расположено это число на координатной прямой?

    4. Назовите число ему обратное.

    5. Назовите число ему противоположное.

    6. Как называется число – 20?

    7. Какие числа называются противоположными?

    8. Какие числа называются отрицательными?

    9. Чем равен модуль числа 20? – 20?

    10. Чему равна сумма противоположных чисел?

    2. Объясните следующие записи:

    а) Гениальный математик древности Архимед родился в 0 287 г.

    б) Гениальный русский математик Н.И.Лобаческий родился в 1792 г.

    в) Первые олимпийские игры состоялись в Греции в – 776 г.

    г) Первые Международные олимпийские игры состоялись в 1896 г.

    д) XXII Олимпийские зимние игры
    состоялись в 2014 году.

    3. Узнайте, какие числа крутятся на “математической карусели” (все действия
    выполняются устно).


    II. Формирование новых знаний, умений, навыков.

    Вы научились выполнять разные действия с целыми числами. Чем же будем
    заниматься дальше? Как будем решать примеры и уравнения?

    Давайте найдем значение данных выражений

    -7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0

    -7 + 3 + 4 = 0

    Какой порядок действий в 1 примере? Сколько получилось в скобках? Порядок
    действий во втором примере? Результат первого действия? Что можно сказать об
    этих выражениях?

    Конечно результаты первого и второго выражений одинаковы, значит между ними
    можно поставить знак равенства: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

    Что же мы сделали со скобками? (Опустили.)

    Как вы думаете чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Дети формулируют
    тему урока.) В нашем примере, какой знак стоит перед скобками. (Плюс.)

    И так мы подошли к следующему правилу:


    Если перед скобками стоит знак +, то можно опустить скобки и этот знак +,
    сохраняя знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках
    записано без знака, то его надо записать со знаком +.

    А как быть, если перед скобками стоит знак минус?

    В этом случае нужно рассуждать так же как при вычитании: необходимо прибавить
    число противоположное вычитаемому:

    -7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

    – Итак, мы раскрыли скобки, когда перед ними стоял знак минус.

    Правило раскрытия скобок, когда перед скобками стоит знак “-“.


    Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак -, надо заменить этот знак
    на +, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом
    раскрыть скобки.

    Давайте послушаем правила раскрытия скобок в стихах:

    Перед скобкой плюс стоит.

    Он о том и говорит

    Что ты скобки опускай

    Да все знаки выпускай!

    Перед скобкой минус строгий

    Загородит нам дорогу

    Чтобы скобки убирать

    Надо знаки поменять!

    Да ребята знак минус очень коварный, это “ сторож” у ворот(скобки), он
    выпускает числа и переменные только тогда, когда они поменяют “ паспорта”, то
    есть свои знаки.

    Зачем вообще нужно раскрывать скобки? (Когда есть скобки, есть момент
    какой-то элемент незавершенности, какой-то тайны. Это – как закрытая дверь, за
    которой находится что-то интересное.) Вот сегодня мы изведали эту тайну.

    Небольшой экскурс в историю:

    Фигурные скобки появляются в сочинениях Виета (1593). Широкое применение
    скобки получили лишь в первой половине XVIII
    века, благодаря Лейбницу и ещё больше Эйлеру.


    Физкультминутка.


    III. Закрепление новых знаний, умений, навыков.

    Работа по учебнику:

    № 1234 (раскройте скобки) – устно.

    № 1236(раскройте скобки) – устно.

    № 1235 (найдите значение выражения) – письменно.

    № 1238 (упростите выражения) – работа в парах.


    IV. Подведение итогов урока.

    1. Объявляются оценки.

    2. Дом. задание . п.39 №1254 (а, б, в),1255 (а, б, в),1259.

    3. Чему мы сегодня научились?

    Что нового узнали?

    И завершить урок я хочу пожеланиями каждому из вас:

    “К математике способность проявляй,

    Не ленись, а ежедневно развивай.

    Умножай, дели, трудись, соображай,

    С математикой дружить не забывай”.

    Как научиться перемножать большие числа и зачем вам это нужно

    В школе было важно правильно писать слова «задача» и «решение» и красиво рисовать скобки. В итоге для многих алгебра и геометрия остались набором непонятных формул, которые нужно заучивать наизусть. Профессор математики Нелли Литвак и продюсер Алла Кечеджан написали об этом книгу «Математика для безнадежных гуманитариев. Для тех, кто учил языки, литературу и прочую лирику». Публикуем отрывок о разных способах умножения и о том, почему раскрытие скобок — это естественный закон о разрывании вещей.

    18 × 5

    Начнем с задания из книги Джо Боулер «Математическое мышление». Это одно из ее любимых заданий. Оно очень простое, пожалуйста, выполните его полностью.

    Задание: Умножьте в уме 18 на 5. Напишите подробно, как именно вы это сделали. То есть что на что умножили сначала, что потом, что складывали. Или, может, вы помнили ответ наизусть? Удачи!

    Это простенькое задание Джо Боулер задавала многим, в том числе ребятам из технологического стартапа, у которых с умножением все в порядке. Тем не менее, они бурно обсуждали задание, горячились, выбегали к доске, а потом даже предложили выпустить футболку с надписью 18 × 5.

    Что их так потрясло? То, что все они решили эту простую задачку разными способами! Наверное, многие из вас посчитали вот так:

    18 × 5 = 10 × 5 + 8 × 5 = 50 + 40 = 90.

    Кто-то посчитал по-другому:

    18 × 5 = 20 × 5 — 2 × 5 = 100 — 10 = 90.

    А можно еще вот так:

    9 × 2 × 5 = 9 × 10 = 90.

    Еще один удобный способ умножить на 5 — это сначала умножить на 10, а потом поделить пополам. Вот так:

    18 × 5 = (18 × 10) / 2 = 180 / 2 = 90.

    Знаете ли вы, что во французском языке считают не десятками, а двадцатками? Число 90 по-французски звучит так: quatre vingt dix, что в буквальном переводе означает «четырежды двадцать десять». И мы могли бы посчитать на французский манер:

    18 × 5 = 4(4 × 5) + 2 × 5 = 4 × 20 + 10 = 90.

    Надеемся, мы вас убедили, что даже при элементарном умножении нет единственно правильного подхода. Прийти к ответу можно самыми разными способами, и все они правильные.

    Путь к решению — это и есть самое интересное в математике. А вовсе не правильный ответ!

    Решение важнее ответа

    «Одна из самых первых и самых сложных задач, с которой я сталкиваюсь как университетский преподаватель, — это заставить студентов (да, именно заставить!) правильно записывать математику. Их первые домашние задания — это обычно нечитабельная коллекция цифр и символов… „Зачем писать полные предложения? — удивляется первокурсник. — Я же нашел правильный ответ, вот, смотрите, внизу страницы!“»

    Автор этих строк — профессор математики Кевин Хьюстон из Лидского университета в Англии и автор книги «Думать как математик» (How to Think Like a Mathematician). Под его словами подпишется подавляющее большинство университетских преподавателей.

    В школе на уроках математики мы привыкли, что самое главное — это правильный ответ и что учитель из обрывков формул поймет, как мы до него добрались. Но на самом деле в математике, по словам того же Хьюстона, главное — «получить ответ с помощью обоснованных аргументов и убедить других, что ваши аргументы обоснованы».

    В этом еще один колоссальный разрыв между школьной математикой и математикой на самом деле. Главное не ответ, главное — решение. Математические статьи в основном состоят из слов, а не из формул. И даже формулы, если приглядеться внимательно, это просто часть предложения! Мы могли бы это все записать словами, но формулы просто короче. Как пишет Джейсон Уилкс в книге «Математика в огне», формулы — это всего-навсего сокращения.

    Работа по математике — это связное рассуждение. В этом смысле она ничем не отличается от работы, скажем, по истории.

    Муж Нелли тоже университетский преподаватель математики. И, конечно, он тоже тратит много сил и времени, чтобы убедить студентов записывать решения подробно, с помощью полных предложений. Убедить бывших школьников, что решение важнее ответа, очень непросто! На рисунке его любимый пример, который он приводит на своих занятиях.

    Ответ совершенно правильный, можете сами проверить. Но если рассуждать так, то можно получить и много всякой ерунды, например, что ¹²/₂₄ тоже равно ¼, или что ¹³/₃₉ равно ⅑.

    На всякий случай приведем правильное решение. Можете в нем не разбираться, мы просто хотим показать, что оно выглядит совершенно по-другому.

    Как видите, правильный ответ мало что значит. Получилась одна четвертая — ну и что. Это может посчитать любой калькулятор. Для математиков самое важное — это подход. Если нам нужно упростить дробь, то нельзя взять и зачеркнуть шестерку, а нужно искать общие множители!

    Главное не ответ, а решение. И мы уже видели, что даже такую простую задачку, как 18 × 5, можно решить самыми разными способами. Поэтому математика — это не набор стандартных приемов, а творческий процесс.

    В математике есть понятие вкуса: кому-то больше нравится одно решение, кому-то другое. У математиков могут быть свои любимые способы доказательств, теоремы, алгоритмы. И уж конечно, в математике есть мода и даже устаревшие задачи и устаревшие методы решения!

    Устаревшая математика?

    В блестящем TED-выступлении в октябре 2014 года Эдуардо Саенц де Кабесон сказал: «Если вы хотите сделать подарок навечно, не дарите бриллианты, подарите теорему!»

    Если математический результат доказан, то он верен всегда. Любая теорема — на века. В других науках это не так. Например, сначала люди считали, что земля плоская; потом стали полагать, что круглая. Сначала думали, что брожение вина — это химический процесс, потом Луи Пастер доказал, что брожение происходит из-за бактерий (кстати, именно в честь Пастера мы называем молоко пастеризованным). Математика в этом плане занимает особенное место.

    Если математический результат доказан, то он — как ни крути — всегда останется верным.

    Тем не менее, в математике, как в искусстве, что-то становится классикой, а что-то устаревает. Например, теорема Пифагора — это золотая классика, которая не устареет никогда! Не случайно профессор математики и популяризатор Алексей Савватеев сказал, что именно эту теорему он передал бы в капсуле инопланетянам как одно из основных достижений человеческого разума.

    Что же такое устаревшая теорема? Нелли запомнилась история, которую ей рассказал коллега из университета Твенте, профессор по вычислительным методам.

    Вычислительные методы — это область математики, которая разрабатывает алгоритмы, чтобы решать задачи приблизительно, с помощью вычислений, а не с помощью формул. Коллега Нелли рассказал ей, как лет двадцать назад уходил на пенсию старый профессор и оставил ему журналы по вычислительным методам 60-х годов. Это были отличные журналы, в них публиковались известные авторы. Но только тогда еще не было общедоступных быстрых компьютеров. Ученые пользовались так называемыми специальными функциями и таблицами, которые занимали целые тома.

    С появлением компьютеров все изменилось, потому что машины считают очень быстро. Обычный ноутбук выполняет 2 миллиарда операций в секунду! Многие результаты и подходы докомпьютерной эпохи безнадежно устарели. Коллега Нелли глубоко вздохнул и отнес все эти журналы в макулатуру.

    Вы уже раскрыли скобки!

    Посмотрим снова на пример 18 × 5. Допустим, вы подсчитали так:

    18 × 5 = 10 × 5 + 8 × 5 = 50 + 40 = 90.

    Когда мы умножаем в уме, мы очень легко и естественно разбиваем числа на части и умножаем по отдельности. Это и есть раскрытие скобок. Скобки нам нужны, просто чтобы записать то, что мы делаем в уме:

    (10 + 8) × 5 = 10 × 5 + 8 × 5 = 50 + 40 = 90.

    Математики называют раскрытие скобок великими и ужасными словами «распределительный закон».

    Звучит умно, но терминология не так важна. В книге «Математика в огне» Уилкс называет раскрытие скобок «естественным законом о разрывании вещей». Мы «разрываем» 18 на две части — 10 и 8, умножаем каждую из них на 5, а потом складываем.

    Две скобки

    Скобок может быть и больше. Принцип остается тот же самый.

    Задание: Умножьте 12 на 13. Объясните, как это можно сделать с помощью раскрытия скобок. Считать в столбик, на калькуляторе или пользоваться Интернетом можно, только чтобы проверить ответ. Удачи!

    Начать можно, как и раньше:

    12 × 13 = (10+ 2) × 13 = 10 × 13 + 2 × 13.

    В принципе теперь можно сразу посчитать ответ:

    130 + 26 = 156.

    Но, если подумать: как мы умножаем на 13? Может, кто-то делает это на автомате. Но обычно (может, даже незаметно для себя) мы все-таки разрываем 13 на 10 и 3. Тогда получается:

    10 × 13 + 2 × 13 = 10 × (10 + 3) + 2 × (10 + 3) = 10 × 10 + 10 × 3 + 2 × 10 + 2 × 3 = 100 + 30 + 20 + 6 = 156.

    Конечно, скобок может быть и больше:

    12 × 13 × 14 = (10 + 2) × (10 + 3) × (10 + 4).

    И чисел в скобках тоже может быть больше:

    112 × 113 = (100 + 10 + 2) × (100 + 10 + 3).

    Принцип тот же, просто вычисления длиннее. Сколько бы ни было скобок.

    Скобки и площади

    Со школы мы привыкли считать, что есть две математики — алгебра и геометрия, и каждая тема сама по себе. На самом деле в математике все взаимосвязано и наука движется вперед, как раз когда идеи из одного раздела проникают в другой.

    Площадь прямоугольника — скорее геометрия. Раскрытие скобок — типичная алгебра. Но площадь прямоугольника — это одна сторона, умноженная на другую. И скобки мы раскрываем тоже, когда умножаем числа. Значит, связь есть!

    Алла долго воевала со скобками, пока не решила их нарисовать. Когда она увидела связь между скобками, умножением и площадью прямоугольника, все встало на свои места.

    Нелли долго удивлялась: неужели на числах было непонятно? Но многим детям и взрослым — в точности как Алле — гораздо проще работать с рисунками, фигурами и площадями, чем с абстрактными числами и скобками. Классическая школьная программа обычно не рассчитана на визуалов. Мы постараемся немножко восполнить этот пробел и нарисовать тему скобок.

    Нарисуйте прямоугольник 12 на 13 см. Ничего страшного, если у вас под рукой нет бумаги с карандашом — на своем любимом пляже в Варне Алла начертила прямоугольник, конечно же, пером чайки на песке.

    Теперь сделайте десять «насечек» для десятков по вертикали и горизонтали, а потом две и три для единиц соответственно. Теперь проведем линию раздела между десятками и единицами. Получилось 4 прямоугольника.

    Теперь перемножаем длину и ширину в каждом из прямоугольников между собой:

    10 × 10 = 100

    2 × 10 = 20

    2 × 3 = 6

    3 × 10 = 30

    Потом складываем все результаты и получаем 156.

    Это работает всегда! Фактически Алла предложила геометрическую трактовку раскрытия скобок. Когда мы раскрывали скобки без рисунка, мы разбивали 12 × 13 на те же самые числа:

    12 × 13 = (10 + 2) × (10 + 3) = 10 × (10 + 3) + 2 × (10 + 3) = 100 + 30 + 20 + 6 = 156.

    Задание: С помощью площадей прямоугольников умножьте 21 на 33. Удачи!

    a плюс b в квадрате

    Может быть, вы помните (а может, и нет) знаменитую формулу для вычисления (a + b) в квадрате:

    a-квадрат-плюс-два-ab-плюс-b-квадрат

    Мы написали эту формулу на рисунке. У кого-то она вызовет легкую ностальгию, у кого-то — давно забытое, но знакомое смятение.

    Задание: Получите сами формулу для вычисления (a + b)². У нас для этого уже все есть! Вспомните, что (a + b) — это всего лишь число. А квадрат — это число, умноженное на само себя! То есть (a + b)² = (a + b)(a + b). Получив формулу, проверьте ее на числах. Удачи!

    Надеемся, вы увидели связь этой формулы с предыдущей. Это в точности то же самое, что (a + b)(a + b), но только скобки одинаковые. Заметим, что когда мы перемножаем букву саму на себя, например, a × a, то знак умножения упускать не принято. На письме aa смотрится как-то некрасиво и неуместно, как крик о помощи или заикание. Принято писать a × a или a². Давайте попробуем применить эту формулу. Вот что получилось:

    (a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + ab + ba + b × b.

    Что тут можно заметить? Во-первых, a × a — это a², а b × b — это b². Кроме того, ab и ba — это одно и то же, потому что буквы просто обозначают числа, и перемножать их можно в любом порядке. Тогда ab + ba = ab + ab = 2ab. В результате выходит:

    (a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + ab + ba + b × b = a² + 2ab + b².

    То, что слева, равно тому, что справа, то есть:

    (a + b)² = a² + 2ab + b².

    Что и требовалось доказать.

    Естественно, геометрическая интерпретация через площади по-прежнему в силе. Мы приводим рисунок ниже, но сначала попробуйте выполнить задание сами!

    Задание: Объясните формулу (a + b)² = a² + 2ab + b² с помощью площадей. Удачи!

    Если у вас получилось выполнить это задание, то можете снять видео и выложить его на «Ютьюбе». Как вы думаете, сколько просмотров оно наберет? Не стоит недооценивать интерес людей к раскрытию скобок. В 2012 году тридцатисекундное видео учителя математики из Индии Кхуршеда Батливалы про (a + b)² взорвало Интернет, собрав более миллиона просмотров! И это всего лишь визуализация того, как раскрыть скобки с помощью площадей.

    Давайте попробуем повторить успех Батливалы. Нарисуем горизонтальную линию, состоящую из двух отрезков — a и b.

    Так как в формуле мы возводим a и b в квадрат, то и рисуем квадрат — проводим вертикальную линию, также состоящую из отрезков — a и b (помните, что у квадрата все стороны равны?), и достраиваем чертеж до нужной нам фигуры. Площадь такого квадрата равна (a + b)(a + b), или (a + b)².

    А теперь разделим квадрат изнутри на 4 части, соединив между собой противоположные стороны.

    Из чего состоит эта площадь? a² и b² — это площади внутренних заштрихованных квадратов. Осталось два одинаковых внутренних прямоугольника, у каждого из которых площадь равна ab. Сложим четыре площади вместе и получим a × a + ab + ab + b × b. Узнаете? Это же та же формула, a² + 2ab + b²!

    Если вам, как и Алле, непросто раскрывать скобки, то по картинке всегда можно вспомнить формулу или даже вывести ее заново! К этому волшебному квадрату мы еще не раз вернемся. Именно он позволит нам добраться до самых глубоких корней квадратного уравнения и доказать теорему Пифагора.

    Ну и наконец, подставим числа. Давайте a примем за 4, а b — за 3. Тогда (4 + 3)² = 7² = 7 × 7 = 49. А по формуле (4 + 3)² = 42 + 2 × 4 × 3 + 32 = 16 + 24 + 9 = 49. Красота!

    Игры с умножением

    В Интернете можно найти много интересных игр и примеров с умножением чисел. Вот один забавный.

    Задание: Возьмите калькулятор, умножьте 481 на 21 и на ваш возраст. Понимаете, как получился результат? Для самых любознательных вопрос посложнее: всегда ли это работает? Удачи!

    Конечно, числа 481 и 21 выбраны не случайно. Если их перемножить, то получится 10101. Допустим вам 34 года. Тогда 10101 × 34 = 343434. Это работает, если вам от 10 до 99. Кстати, этот трюк напрямую связан с раскрытием скобок.

    Смотрите, мы можем разорвать 10101 на части:

    10101 = 10000 + 100 + 1. Перемножим по частям:

    10000 × 34 = 340000

    100 × 34 = 3400

    1 × 34 = 34.

    Сложим и получим 343434.

    Стихия скобок

    Тему раскрытия скобок можно продолжать бесконечно. Если бы мы не ограничились (a + b)², а добавили побольше скобок, например, (a + b)³ = (a + b) (a + b) (a + b), то очень быстро столкнулись бы с комбинаторикой, биномом Ньютона, треугольником Паскаля и теорией вероятностей. И предела этому нет…

    Наш гуманитарий Алла, находясь под впечатлением от скобок в математике, стояла на черноморском берегу и смотрела на отплывающие от берега судна. Она заметила, что паруса издалека выглядят как скобки, и можно представить, что это числа ходят под парусами: те, что побольше, отплывают на шхунах, поменьше — на утлых лодочках. С берегом расставаться всегда немного грустно. Вот на какие стихи Аллу вдохновила математика:

    Мне жалко цифры разрывать,

    Они, как лодки от причала,

    Не отрываются сначала,

    На помощь нужно ветер звать.

    И гнутся скобки — столько ветра,

    А на борту одно весло.

    От круглых чисел словно ветка

    Откалывается колесо.

    В рубрике «Открытое чтение» мы публикуем отрывки из книг в том виде, в котором их предоставляют издатели. Незначительные сокращения обозначены многоточием в квадратных скобках. Мнение автора может не совпадать с мнением редакции.

    Где можно учиться по теме #математика

    Читайте нас в Facebook, VK, Twitter, Instagram, Telegram (@tandp_ru) и Яндекс.Дзен.

    Перемножение скобок

    При математических вычислениях операции над числами и переменными часто для удобства или наглядности группируют с помощью круглых скобок. Случаются и противоположные ситуации, когда выражение в скобках необходимо преобразовать к тождественному выражению, не содержащему скобок.

    Одним из наиболее сложных случаев раскрытия скобок является перемножение двух или более заключенных в скобки выражений.

    Замечание 1

    Для краткости вместо «перемножение выражений, заключенных в скобки» допустимо говорить «перемножение скобок».

    Чтобы получать корректные результаты при перемножении скобок, необходимо придерживаться определенных математических алгоритмов.

    Во-первых, следует помнить, когда при раскрытии скобок знак меняется:

    Готовые работы на аналогичную тему

    • когда перед скобками стоит знак плюс, его можно опустить вместе со скобками;
    • когда перед скобками стоит знак минус, его можно опустить вместе со скобками, однако все заключавшиеся в них слагаемые поменяют знак на противоположный.

    Во-вторых, следует иметь в виду распределительный закон умножения: при умножении числа на сумму чисел следует это число умножить по отдельности на каждое слагаемое, а полученные произведения сложить. Например:

    $5 \cdot (3 + 4) \implies 5 \cdot 3+5 \cdot 4 \implies 35$.

    Распределительный закон умножения является частным случаем математической дистрибутивности.

    Определение 1

    Умножение числа или переменной на выражение в скобках или выражения в скобках на число или переменную принято называть раскрытием скобок.

    В общем случае раскрытие скобок выглядит как

    $(a_1 ± a_2 ± … ± a_n) \cdot b = a_1 \cdot b ± a_2 \cdot b ± … ±a_n \cdot b$

    Понятно, что выражение в скобках и множитель $b$ можно поменять местами, результат раскрытия будет такой же. Множитель при скобках (в данном случае $b$) называют общим множителем.

    Когда перед скобками отсутствуют числа или переменные, общим множителем являются $1$ или $−1$, в зависимости от знака перед скобками:

    • в случае, если перед скобками находится плюс, общим множителем считается $1$;
    • если перед скобками находится минус, то общий множитель равен $−1$.

    Еще одним приемом, помогающим раскрывать скобки, является приведение подобных слагаемых, то есть таких, в которых участвуют однотипные переменные, например:

    $-4 \cdot (2b + 1) — 2b + 3$

    После раскрытия скобок окажется, что переменная $b$ дважды встречается в получившемся выражении, равно как и свободные члены:

    $-4 \cdot (2b + 1) — 2b + 3 = -8b + (-4) + (-2b) + 3 = (-8 + (-2)) \cdot b + (-4 + 3)$

    Таким образом, мы получили две группы подобных слагаемых, которые можно безопасно складывать и вычитать в рамках своих скобок.2 \cdot \frac{1}{x + 2}$.

    При умножении скобки на скобку одно из выражений рассматривается как общий множитель. Рассмотрим произведение

    $(a_1 + a_2) \cdot (b_1 + b_2)$.

    Обозначим выражение $(b_1 + b_2)$ переменной $b$, превратив его в общий множитель, после чего задачу можно свести к уже знакомому виду:

    $(a_1 + a_2) \cdot (b_1 + b_2) = (a_1 + a_2) \cdot b = (a_1 \cdot b + a_2 \cdot b) = a_1 \cdot b + a_2 \cdot b$.

    Заменив везде $b$ на $(b_1 + b_2)$, повторно воспользуемся правилом умножения выражения на скобку:

    $a_1 \cdot b + a_2 \cdot b=a_1 \cdot (b_1 + b_2) + a_2 \cdot (b_1 + b_2) = \\ (a_1 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_2) + (a_2 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2) = \\ a_1 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$.

    В результате данного преобразования выражение из произведения двух скобок стало суммой произведений каждого слагаемого из первого выражения-скобки на каждое слагаемое второго.

    Определение 2

    Чтобы умножить одну сумму, представленную, как выражение в скобках, на другую, нужно каждое слагаемое первой умножить на каждое слагаемое второй, а затем сложить получившиеся произведения.3$.

    В выражениях, в которых перемножаются три и больше выражений в скобках, проводится по тому же принципу последовательно: сначала обрабатываются два первых множителя, результат заключается в дополнительные скобки, внутри которых раскрытие производится по стандартному алгоритму. Например, раскроем скобки в выражении

    $(2 + 4) \cdot 3 \cdot (5 + 7 \cdot 8)$.

    Оно представляет собой произведение трех множителей $(2 + 4)$, $3$ и $(5 + 7 \cdot 8)$. Первые два множителя для наглядности заключим в дополнительные скобки:

    $(2+4) \cdot 3 \cdot (5 + 7 \cdot 8) = ((2+4) \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8)$.

    Произведем умножение скобки на число:

    $((2 + 4) \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8) = (2 \cdot 3 + 4 \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8)$.

    Перемножим выражения в скобках:

    $(2 \cdot 3 + 4 \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8) = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 8 + 4 \cdot 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 8$.

    Вместо чисел внутри скобок могут присутствовать переменные, а также другие выражения.2 + 3x — 2$

    Математика — Алгебра Логики

    x > y = y

    x y = y x


    Как видите, и в булевой алгебре операции сложения () и умножения (&) позволяют
    переставлять свои слагаемые.


    Можно использовать простое мнемоническое правило: при перестановке
    операндов логической операции местами надо повернуть знак операции
    вокруг веритикальной оси. Если получится другой знак логической
    операции, взять его. Если получится тот же знак, взять его.
    Если получится несуществующий знак (для операции &), то оставить прежний знак.

    Ассоциативные операции.


    Ассоциативными называют операции, которые можно выполнять в
    произвольном порядке. По схеме:
    (x + y) + z = x + (y + z), где + — некоторая операция.

    Здесь приведена программа на языке C,
    позволяющая увидеть таблицу истинности всех 16 бинарных логических
    операций и проверить их ассоциативность путем перебора вариантов.



    Проверка показывает ассоциативность всего лишь для 4 операций
    «&», «», «», «» из 10 нетривиальных.



    (x & y) & z = x & (y & z)
    (x y) z = x (y z)
    (x y) z = x (y z)
    (x y) z = x (y z)



    Из комутативности и ассоциативности этих четырех операций
    следует, что если мы имеем много переменных подряд, соединенных
    такой операцией, то переменные можно переставлять в любом
    порядке, а значит скобки для указания порядка не обязательны:



    (a & b) & (c & d) = a & d & c & b.

    Дистрибутивные операции.


    Дистрибутивной называют пару операций, для которых
    работает схема раскрытия скобок, характерная для
    сложения и умножения в арифметике:



    x * (y + z) = (x * y) + (x * z) и

    (x + y) * z = (x * z) + (y * z),

    где * и + — некоторые
    логические операции.


    Первую схему будем называть левой дистрибутивностью, вторую
    схему — правой дистрибутивностью, а если срабатывают обе
    схемы, то будем говорить о полной дистрибутивности или просто
    дистрибутивности.


    Здесь приведена программа на языке C, позволяющая проверить
    дистрибутивность для всех возможных комбинаций бинарных
    логических операций путем перебора вариантов. Она автоматически
    пропускает тривиальные операции и составляет правила
    дистрибутивности.



    Результаты программы выглядят так.



    Из полученных правил наибольший практический интерес
    представляют:


    x & (y z) = (x & y) (x & z)
    (x y) & z = (x & z) (y & z)
    x (y & z) = (x y) & (x z)
    (x & y) z = (x z) & (y z)
    x & (y z) = (x & y) (x & z)
    (x y) & z = (x & z) (y & z)



    Как видите, дистрибутивность между логическим умножением
    и сложением в алгебре логики такая же как в обычной
    алгебре (где она называется «распределительным законом»).
    Обратите внимание, что и для операций «» и «&» можно
    раскрывать скобки таким же способом. Причем обе операции
    оказываются равноправны: можно раскрывать скобки когда
    в них стоит «&», а вне скобок — «», а можно и в обратной
    ситуации — когда внутри скобок стоит «».

    Законы поглощения.


    Формула вида x # 0 (где # — некоторая бинарная операция) представляет собой
    функцию от одной переменной. Мы знаем все 4 функции
    от одной переменной, поэтому всякую такую формулу можно
    упростить до одной из этих 4 функций: 0,
    1, x или ~x.



    То же самое рассуждение применимо и к формулам вида:
    x # 1, x # x, x # ~x, 1 # x, 0 # x, ~x # x.
    В результате для
    каждой такой формулы получается закон поглощения,
    который позволяет избавиться от лишних знаков операций и
    переменных.



    Как обычно, поручим нудную работу по перебору вариантов
    компьютеру. Здесь приведена
    программа на языке C, позволяющая получить список всех
    правил поглощения сразу в виде web-странички.


    Цветом выделены законы поглощения, используемые чаще всего.

    Закон исключенного третьего.


    Это — один из законов поглощения:

    x ~x = 1



    В булевой алгебре этот закон оспорить невозможно, так
    как достаточно подставить значения x = 0, 1
    и убедиться в наличии равенства в обоих случаях. Применение
    этого закона на практике, например в психологике, накладывает
    дополнительные ограничения, описанные
    в первой главе. Что, впрочем,
    справедливо и для осталных законов булевой алгебры.



    Я специально останавливаюсь на этом законе потому, что в
    некоторых логических системах (интуиционистская логика,
    конструктивная логика), которые построены на иных
    принципах, чем булева алгебра, в этих системах закон
    исключенного третьего не действует. Что
    неудивительно, ведь в тех системах совсем другие границы применимости.

    Законы Де Моргана.




    ~(x & y) = ~x ~y
    ~(x y) = ~x & ~y


    Эти равенства удобны для избавления от лишних скобок.

    Формулы для импликации.




    x y = (x y) & (x y)
    x y = y x
    x y = ~x y
    x y = ~y ~x

    Решение уравнений с модулем

    Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа,  и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.

    Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

    Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.

    Число -5  имеет знак «-» и абсолютное значение 5.

    Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

    Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

    Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

    Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

    Правило раскрытия модуля выглядит так:

    |f(x)|= f(x),   если f(x) ≥ 0, и

    |f(x)|= — f(x), если f(x) < 0

    Например |x-3|=x-3,  если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.

    Чтобы решить уравнение , содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля.

    Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два  различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.

    Одно уравнение  существует на числовом  промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.

    А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.

    Рассмотрим простой пример.

    Решим уравнение:

    |x-3|=-x2+4x-3

    1.  Раскроем модуль.

    |x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

    |x-3|=-(x-3)=3-x, если  x-3<0, т.е. если х<3

    2. Мы получили два числовых промежутка:  х≥3 и х<3.

    Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:

    А) При  х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:

    x-3=-x2+4x-3

    Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

    Раскроем скобки, приведем подобные члены:

    x2 -3х=0

    и решим это уравнение.

    Это уравнение имеет корни:

    х1=0, х2=3

    Внимание! поскольку  уравнение x-3=-x2+4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х2=3.

    Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

    3-x=-x2+4x-3

    Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!

    Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:

    x2-5х+6=0

    х1=2, х2=3

    Внимание! поскольку  уравнение 3-х=-x2+4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х1=2.

    Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго — корень  х=2.

    Ответ:  х=3, х=2

     

    Использование круглых скобок в математике: правила и примеры — стенограмма видео и урока

    Когда использовать круглые скобки в калькуляторах

    Это дополнение к уроку поможет учащимся понять, что в некоторых задачах необходимо использовать круглые скобки, чтобы ввести задачу в калькулятор, даже если скобок в начале не было. Рассмотрим следующую задачу 2 / (7 + 3)

    Мы знаем, что сначала нужно упростить знаменатель, а затем упростить дробь (и преобразовать в десятичную, если мы предпочитаем)

    2 / (7 + 3) = 2/10 = 1/5 = 0.2

    Студенты знают, как сгруппировать члены в знаменателе вместе, потому что их научили распознавать черту дроби как разделение числителя и знаменателя на группы. Но что, если мы попробуем ввести это в калькулятор, не упрощая сначала самостоятельно?

    Попросите ученика попробовать ввести задачу в калькулятор точно так, как написано: 2 / (7 + 3), и нажать Enter. Калькулятор скажет 3,2857142857142 …, возможно, с более или менее десятичными знаками. Это неправильный ответ.Что произошло?

    Калькуляторы и компьютеры запрограммированы так, чтобы следовать порядку операций. Когда студент набирал 2 / (7 + 3), калькулятор вычислял выражение в том виде, в каком оно было набрано: он выполнял деление перед сложением в соответствии с порядком выполнения операций. Калькулятор дал оценку 2/7 +3, что не соответствовало нашим ожиданиям. Чтобы решить эту проблему, попросите учащегося использовать круглые скобки вокруг знаменателя, чтобы указать калькулятору сначала упростить 7 + 3. Попросите учащегося ввести 2 / (7 + 3) и нажать Enter.Теперь калькулятор скажет 0,2, что правильно.

    Практические задачи

    Есть и другие ситуации, когда нам нужно будет ввести скобки в калькуляторе, если они явно не записаны в задаче. Попросите учащегося решить задачи, введя текст в калькулятор. Чтобы получить правильный ответ, нужно будет добавить круглые скобки. Ответ, если он введен правильно, будет заявленным ответом. Попросите учащегося найти, где следует использовать круглые скобки, чтобы получить правильный результат.

    1. (2 + 5) / 5 Ответ должен быть 1,4

    2. (3-7) / (2-1) Ответ должен быть 4

    3. 2 (3 + 1) Ответ должен быть 16

    Решения для ввода

    Чтобы получить правильные ответы, перечисленные выше, задачи следует набирать следующим образом:

    1. (2 + 5) / 5

    Сгруппируйте члены числителя в круглые скобки

    2. (3–7) / (2–1)

    Сгруппируйте члены числителя в круглые скобки и сгруппируйте члены знаменателя в круглые скобки.

    3. 2 (3 + 1)

    Сгруппируйте экспоненту целиком в круглые скобки.

    Круглые, фигурные и квадратные скобки в математике

    Вы встретите много символов в математике и арифметике. Фактически, язык математики написан символами, с некоторым текстом, вставленным по мере необходимости для пояснения. Три важных и связанных символа, которые вы часто будете видеть в математике, — это круглые, квадратные и фигурные скобки, которые вы часто будете встречать в предалгебре и алгебре. Вот почему так важно понимать, как эти символы используются в высшей математике.

    Использование круглых скобок ()

    Круглые скобки используются для группировки чисел или переменных, или того и другого. Когда вы видите математическую задачу, содержащую круглые скобки, вам нужно использовать порядок операций для ее решения. Например, возьмем задачу: 9-5 ÷ (8-3) x 2 + 6

    Для этой проблемы вы должны сначала вычислить операцию в круглых скобках, даже если это операция, которая обычно выполняется после других операций в задаче. В этой задаче операции умножения и деления обычно выполняются перед вычитанием (минус), однако, поскольку 8–3 попадают в круглые скобки, вы должны сначала решить эту часть задачи.Как только вы позаботитесь о вычислениях, которые попадают в круглые скобки, вы удалите их. В этом случае (8 — 3) становится 5, поэтому вы должны решить проблему следующим образом:

    9-5 ÷ (8-3) x 2 + 6

    = 9–5
    ÷ 5 х 2 + 6

    = 9 — 1 х 2 + 6

    = 9 — 2 + 6

    = 7 + 6

    = 13

    Обратите внимание, что в соответствии с порядком операций вы должны сначала работать с тем, что указано в круглых скобках, затем вычислять числа с показателями, а затем умножать и / или делить и, наконец, складывать или вычитать.Умножение и деление, а также сложение и вычитание занимают одинаковое место в порядке операций, поэтому вы выполняете их слева направо.

    В приведенной выше задаче, позаботившись о вычитании в круглых скобках, вам нужно сначала разделить 5 на 5, получив 1; затем умножьте 1 на 2, получив 2; затем вычтите 2 из 9, получив 7; а затем сложите 7 и 6, получив окончательный ответ 13.

    Круглые скобки также могут означать умножение

    В задаче: 3 (2 + 5) круглые скобки говорят вам умножать.Однако вы не будете умножать, пока не завершите операцию в круглых скобках — 2 + 5 — поэтому вы решите проблему следующим образом:

    3 (2 + 5)

    = 3 (7)

    = 21

    Примеры скоб []

    Скобки также используются после скобок для группировки чисел и переменных. Обычно вы используете сначала круглые скобки, затем скобки, а затем фигурные скобки. Вот пример проблемы с использованием скобок:

    4–3 [4–2 (6–3)] ÷ 3

    = 4 — 3 [4 — 2 (3)] ÷ 3 (Сначала выполните операцию, указанную в скобках; скобки оставить.)

    = 4 — 3 [4 — 6] ÷ 3 (Выполните операцию в скобках.)

    = 4 — 3 [-2] ÷ 3 (скобка говорит вам, что нужно умножить число внутри, что составляет -3 x -2.)

    = 4 + 6 ÷ 3

    = 4 + 2

    знак равно
    6

    Примеры скобок {}

    Фигурные скобки также используются для группировки чисел и переменных. В этом примере задачи используются круглые, квадратные и фигурные скобки. Скобки внутри других скобок (или скобок и фигурных скобок) также называются «вложенными скобками».»Помните, когда у вас есть круглые скобки внутри скобок и фигурных скобок или вложенные круглые скобки, всегда работайте изнутри:

    2 {1 + [4 (2 + 1) + 3]}

    = 2 {1 + [4 (3) + 3]}

    = 2 {1 + [12 + 3]}

    = 2 {1 + [15]}

    = 2 {16}

    = 32

    Примечания относительно скобок, скобок и фигурных скобок

    Круглые, квадратные и фигурные скобки иногда называют «круглыми», «квадратными» и «фигурными» скобками соответственно.Подтяжки также используются в наборах, например:

    {2, 3, 6, 8, 10 …}

    При работе с вложенными круглыми скобками порядок всегда будет следующим: круглые скобки, скобки, фигурные скобки:

    {[()]}

    Решение линейных уравнений: с пареном; «All x», «No x» Soln’s

    Purplemath

    В этом уроке мы сначала попрактикуемся в решении линейных уравнений, содержащих скобки.Их решение потребует умножения и упрощения, прежде чем приступить к фактическому процессу решения. Если вам не нравятся скобки, сначала займитесь изучением. Тогда вернись сюда.

    Затем мы рассмотрим два странных типа решений: «нет решения» и решение «все x ». В первом случае процесс решения заканчивается бессмыслицей, а во втором — тривиально верным утверждением. Поскольку учащиеся нечасто сталкиваются с такими решениями, их легко забыть, а значит, и запутать.Но я бы поставил хорошие деньги на то, что в следующем тесте будет хотя бы одно из этих уравнений, а в финале, вероятно, будет еще одно. Так что изучите и сделайте заметку, чтобы просмотреть уравнения «без решения» и «все уравнения — x » перед следующим экзаменом.

    MathHelp.com


    После того, как вы изучите основы решения линейных уравнений, ваш учебник и инструктор начнут предлагать вам упражнения, которые включают в себя скобки, которые обычно необходимо сначала упростить (или «развернуть», что означает, что вы умножили, а затем упростил результат).

    Во-первых, мне нужно умножить скобки в правой части. Затем я могу продолжить как обычно:

    Тогда мое решение:


    • Решить 6

      x — (3 x + 8) = 16

    Сначала я упрощу левую часть; тогда решу обычным способом.Я хочу быть осторожным, когда пишу негатив в скобках. Если у меня возникают проблемы с отслеживанием знаков «минус», я ставлю «1» перед круглыми скобками.

    Тогда мое решение:


    • Решите 7 (5

      x — 2) = 6 (6 x — 1)

    Это уравнение заключено в скобки с обеих сторон уравнения.Я должен обязательно взять 7 и 6 до их соответствующих скобок.

    После того, как я упростил любую сторону, я переместил меньший из двух членов переменных («35 x » с левой стороны), чтобы убедиться, что у полученного в результате члена переменной нет знака «минус». Это не «правило», но, безусловно, облегчает мою жизнь. И мой окончательный ответ:

    Для уравнений с скобками, не торопитесь и выпишите все ваших шагов, как я сделал выше.Не пытайтесь делать все в своей голове.


    Во-первых, мне нужно умножить в левой части, взяв 3 через —

    Подождите … В этом уравнении я действительно могу избавиться от 3, разделив его на части, потому что 6 в правой части делится на 3. На самом деле мне не нужно распределять для этого конкретного уравнения. Вместо:

    3 (х — 2) = 6
    ——— —
    3 3

    х — 2 = 2
    +2 +2
    ———-
    х = 4

    Тогда мое решение:

    Если бы я не заметил, что могу начать с разделения, я бы все равно получил правильный ответ.Но если есть возможность разделить, предоставив себе меньшие числа для работы, я бы хотел этим воспользоваться. Это упрощение происходит не часто, но постарайтесь не закрывать глаза на то, что несколько раз оно появляется.


    • Решите 13 — (2

      x + 2) = 2 ( x + 2) + 3 x

    Я начну с умножения на каждую скобку (знак «минус» слева и 2 справа).Затем я объединю похожие термины, упрощу и решу:

    Тогда мой ответ:


    Не забывайте: никогда нет причин быть неуверенным в своем решении линейного уравнения, потому что вы всегда можете проверить свой ответ. Значение решения состоит в том, что именно значение x делает уравнение истинным. Итак, чтобы проверить свой ответ, вы вставляете значение своего решения обратно в исходное уравнение и убедитесь, что уравнение «работает» с этим значением.Например, в последнем упражнении выше мое решение было x = 1. Чтобы проверить свое решение, я подставлю свое значение в левую (LHS) и правую (RHS) части исходного уравнения. , и убедитесь, что обе стороны оценивают одно и то же число.

    13 — (2 x + 2) = 2 ( x + 2) + 3 x

    слева: 13 — (2 [1] + 2)

    = 13 — (2 + 2) = 13-4 = 9

    ПРА: 2 ([1] + 2) + 3 [1]

    Две стороны уравнения дают одно и то же значение, поэтому решение «проверяет», и теперь я, , знаю, , что мой ответ правильный

    Кстати, если есть возможность, попробуйте проверить свои ответы при сдаче тестов.После того, как вы ответите на все вопросы (при условии, что у вас осталось немного времени), вернитесь и вставьте свои решения обратно в исходный вопрос. Если ваше решение вопроса «проверяет», значит, вы знаете, что ответили правильно. Если он не проверяет, то у вас есть шанс исправить свою ошибку до того, как вы сдадите свой тест.


    Вам также может потребоваться решить линейные уравнения с вложенными скобками .

    • Решите 2 [3

      x + 4 (3 — x )] = 3 (5 — 4 x ) — 11

    Прежде чем я смогу решить, мне нужно упростить.Сначала я упрощу левую часть:

    2 [3 x + 4 (3 — x )]

    2 [3 x + 4 (3) + 4 (- x )]

    2 [3 x + 12 — 4 x ]

    2 [12 — x ]

    24-2 x

    Тогда я упрощу правую часть:

    3 (5 — 4 x ) — 11

    3 (5) + 3 (–4 x ) — 11

    15 — 12 x — 11

    4–12 x

    Теперь, когда я упростил обе стороны уравнения, я могу перейти к решению.

    24 — 2x = 4 — 12x
    + 12x + 12x
    ——————-
    24 + 10x = 4
    -24-24
    —————
    10x = -20
    — —
    10 10

    х = -2

    Итак, мой окончательный ответ:


    • Решите 3 [

      x — 2 (3 x — 4)] + 15 = 5 — [2 x — (3 + x )] — 11

    Моим первым шагом будет упростить каждую часть этого уравнения, работая изнутри.Начну с левой стороны:

    3 [ x — 2 (3 x — 4)] + 15

    3 [ x — 6 x + 8] + 15

    3 [–5 x + 8] + 15

    –15 x + 24 + 15

    –15 x + 39

    Тогда я упрощу правую часть:

    5 — [2 x — (3 + x )] — 11

    5 — [2 x — 3 — x ] — 11

    5 — [ x — 3] — 11

    5 — x + 3 — 11

    х — 3

    После упрощения каждой стороны я могу приступить к решению.Мое упрощенное уравнение:

    Я перемещаю меньший член переменной (равный –15 x слева), а затем перемещаю числа, чтобы закончить решение.

    -15x + 39 = -x — 3
    + 15x + 15x
    ——————-
    39 = 14x — 3
    +3 +3
    ————
    42 = 14x
    — —
    14 14

    3 = х


    Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении линейных уравнений с вложенными круглыми скобками.Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Решить для x», чтобы сравнить свой ответ с ответом Матвея. (Или пропустите виджет и перейдите к следующей странице.)

    (Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)



    URL: https: //www.purplemath.com / modules / solvelin4.htm

    Удаление условных обозначений группировки: скобки, скобки, фигурные скобки

    7

    Правила снятия скобок

    Кронштейны и скобы

    2-й уровень

    Отношение a b к b a

    Правила снятия скобок

    Перед круглыми скобками будет стоять знак плюс +

    .

    a + ( b c + d )

    или знак минус —

    a — ( b c + d ).

    Если перед круглыми скобками стоит знак плюс +
    , просто удалите их. Ничего не меняется.

    a + ( b c + d ) = a + b c + d .

    Если перед круглыми скобками стоит знак минус —
    меняет знак каждого члена в круглых скобках.
    Измените + на — и — на +.

    a — ( b c + d ) = a b + c d .

    Знак b в скобках понимается как +. Таким образом, после удаления скобок этот термин становится — b .

    c в скобках становится + c . И + d становится — d .

    Другими словами: Чтобы вычесть сумму, вычтите каждый член суммы .

    a — ( b c + d ) = a b + c d .

    Вычтем b . Вычтите — c — то есть сложите. И вычтите d .

    Мы можем обосновать эти две возможности примерами из арифметики, потому что алгебра абстрагирована — взята из — арифметики.

    Например, вот как мы можем вычислить 256 + 98:

    256 + 98 = 256 + 100 — 2
    = 356 — 2
    = 354.
    То есть
    256 + (100–2) = 256 + 100 — 2.
    Когда мы убираем эти скобки, ничего не меняется.
    А вот как рассчитать 256 — 98:
    256–98 = 256–100 + 2
    = 156 + 2
    = 158.
    То есть
    256 — (100-2) = 256 — 100 + 2.
    Когда мы убираем эти скобки, знак каждого члена
    в скобках меняется.

    Проблема 1.Убрать круглые скобки.

    a) p + ( q r + s )
    = p + q r + s

    b) p — ( q r + s )
    = p q + r s

    В каждой из следующих задач снимите скобки, а затем упростите
    , добавив числа.

    Например,

    ( x — 3) — ( y -4) = x -3- y + 4
    = x y + 1.

    Знак перед ( x — 3) понимается как +. Поэтому знаки в скобках не меняются.

    Но предшествующий знак ( y -4) стоит минус. Следовательно, y изменится на −y, а −4 изменится на +4.

    Наконец, в алгебре принято писать буквальные термины, x y , слева от числового члена.

    Проблема
    2. ( x + 2) + ( y + 8)
    = x + 2 + y + 8
    = x + y + 10.
    Проблема
    3. ( x + 2) — ( y + 8)
    = x + 2- y -8
    = x y — 6.
    Проблема
    4. ( x -2) + ( y + 8)
    = x -2 + y + 8
    = x + y + 6.
    Задача 5. ( x -2) — ( y + 8) = x -2- y -8
    = x y — 10.
    Задача 6. ( x — 2) — ( y — 8) = x -2- y + 8
    = x y + 6.
    Задача 7. ( x — 2) + ( y — 8) = x — 2 + y — 8
    = x + y — 10.
    Задача 8. ( a -2) + ( b + 3) — ( c -7) = a — 2 + b + 3 — c + 7
    = a + b c + 8.
    Задача 9. ( a -5) — ( b + 6) — ( c -9) = a -5- b -6- c + 9
    = a b c — 2.
    Задача 10.( a + 2) — ( b -3) + ( c -8) — ( d + 1)
    = a + 2 — b + 3 + c — 8 — d — 1
    = a b + c d — 4.

    Опять же, когда перед круглыми скобками стоит знак минус, каждый знак внутри них меняется. Мы видели это раньше в правиле Урока 3:

    .

    a — (- b ) = a + b .

    Задача 11. — (- x + y ) = x y .
    Задача 12.- ( x y ) = x + y .
    Задача 13. — ( x + y -2) = x y + 2.

    Задача 14. Запишите отрицательный результат

    .

    a b + c d .

    a + b c + d .

    Пример 1. Размещение скобок. Правила алгебры действуют в обоих направлениях. Следовательно, поскольку мы можем убрать круглые скобки, мы также можем их разместить. Мы можем написать

    a b + c d

    следующими способами:

    a — ( b c + d )

    ( a b ) — (- c + d )

    a — ( b c ) — d

    И так далее.

    Задача 15. Перепишите каждое из следующего, заключив скобки.

    a) — x + y = — ( x y ).

    б) — х у =
    — ( x + y )

    c) — a + b c + d =
    — ( a b + c d ).

    d) Поместите в скобки b и c :

    a b + c d =
    a — ( b c ) — d .

    Кронштейны и скобы

    Скобки [] и фигурные скобки {} выполняют ту же функцию, что и круглые скобки. Все они группирующие символы. После скобок мы используем скобки для наглядности.После скобок подтяжки.

    При удалении скобок применяются те же правила, что и при удалении скобок.

    Пример 2. a — [ b — ( c d + e )]

    Удалим все символы группировки. Мы сделаем это, удалив
    скобки в первую очередь. Затем мы сделаем это снова, удалив сначала круглые скобки. Студент должен уметь делать это в любом случае.

    Итак, после снятия скобок:

    a — [ b — ( c d + e )] = a b + ( c d + e ).

    В скобках есть два термина. Первый член — b . Второй член — ( c d + e ).(См. Задачу 1c выше.) Поскольку перед скобками стоит -, знак каждого из двух членов изменяется. Знаки в пределах термина ( c d + e ) не меняются.

    Наконец, мы убираем круглые скобки, которым предшествует +:

    = a b + c d + e .

    Теперь давайте решим ту же задачу, сначала убрав круглые скобки:

    a — [ b — ( c d + e )] = a — [ b c + d e ]
    = a b + c d + e .

    Поскольку скобкам предшествует -, каждый знак в них меняется. А поскольку скобкам также предшествует -, каждый знак в них меняется.

    Проблема 16.

    a) Сначала снимите скобки, затем снимите скобки.

    w + [ x — ( y + z )] = w + x — ( y + z )
    = w + x y z

    Сначала удалите скобки, затем снимите скобки.

    w + [ x — ( y + z )] = w + [ x y z )]
    = w + x y z

    б) Сначала снимите скобки, затем снимите скобки.

    w — [ x + ( y z )] = w x — ( y z )
    = w x y + z

    Сначала удалите скобки, затем снимите скобки.

    w — [ x + ( y z )] = w — [ x + y z ]
    = w x y + z

    c) Сначала снимите скобки, затем снимите скобки.

    w — [ x — ( y + z )] = w x + ( y + z )
    = w x + y + z

    Сначала удалите скобки, затем снимите скобки.

    w — [ x — ( y + z )] = w — [ x y z )]
    = w x + y + z

    d) Сначала снимите скобки, затем снимите скобки.

    w + [ x — ( y z )] = w + x — ( y z )
    = w + x y + z

    Сначала удалите скобки, затем снимите скобки.

    w + [ x — ( y z )] = w + [ x y + z ) [
    = w + x y + z

    Проблема 17.Удалите все символы группировки. Упрощайте по мере продвижения, оценивая числа. Сначала снимите кронштейны.

    a) 5 — [3 — ( x — 2)] = 5 — 3 + ( х — 2)
    = 2 + x -2
    = х .
    b) 5 — [3 — ( x + 2)] = 5 — 3 + ( х + 2)
    = 2 + х + 2
    = x + 4.
    c) −5 + [3 — ( x — 2)] = −5 + 3 — ( х -2)
    = −2- х + 2
    = х .
    d) 5 — [−3 — ( x + 2)] = 5 + 3 + ( х + 2)
    = 8 + x + 2
    = х + 10.

    Проблема 18.

    a) Сначала снимите скобки, затем скобки, затем скобки.
    а) Упростите, добавив числа.

    10 — {2 + [3 — ( x — 5)]} = 10 — 2 — [3 — ( x — 5)]
    = 8 — 3 + ( x — 5)
    = 5 + x -5
    = х .

    Сначала удалите круглые скобки, затем квадратные скобки, затем фигурные скобки.

    10 — {2 + [3 — ( x — 5)]} = 10 — {2 + [3 — x + 5]}
    = 10 — {2 + 3 — x + 5}
    = 10-10 + x
    = х .

    б) Сначала снимите скобки, затем скобки, затем скобки.

    8 + {2 — [12 + ( x — 2)]} = 8 + 2 — [12 + ( x — 2)]
    = 10-12 — ( x -2)
    = −2- х + 2
    = х .

    Сначала удалите круглые скобки, затем квадратные скобки, затем фигурные скобки.

    8 + {2 — [12 + ( x — 2)]} = 8 + {2 — [12 + x — 2]}
    = 8 + {2 — 12 — x + 2}
    = 8 + 2 — 12 — х + 2
    = х .

    2-й уровень

    Следующий урок: Добавление похожих терминов

    Содержание | Дом


    Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
    Даже 1 доллар поможет.


    Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

    Вопросы или комментарии?

    Эл. Почта: [email protected]

    Скобки (круглые скобки)

    Скобки — это символы, которые используются попарно для группировки предметов.

    Типы кронштейнов включают:

    • круглые скобки или «круглые скобки» ()
    • «квадратные скобки» или «квадратные скобки» []
    • фигурные скобки {}
    • «угловые скобки» <>

    (Примечание. Угловые скобки могут сбивать с толку, поскольку они
    выглядят как знаки «меньше» и «больше»)

    Когда мы видим что-то внутри скобок, мы делаем это в первую очередь (как описано в разделе «Порядок операций»).

    Пример: (3 + 2) × (6-4)

    Скобки группируют 3 и 2 вместе, а 6 и 4 вместе, поэтому они выполняются первыми:

    (3 + 2) × (6-4)
    = (5) × (2)
    = 5 × 2
    = 10

    Без скобок сначала выполняется умножение:

    3 + 2 × 6 — 4
    = 3 + 12 — 4
    = 11 (не 10)

    При более сложной группировке хорошо использовать различных типов скобок :

    Пример: [(3 + 2) × (6–4) + 2] × 4

    Скобки группируют 3 и 2 вместе, а 6 и 4 вместе, а квадратные скобки говорят нам выполнить все вычисления внутри них перед умножением на 4:

    [(3 + 2) × (6–4) + 2] × 4
    = [(5) × (2) + 2] × 4
    = [10 + 2] × 4
    = 12 × 4
    = 48

    Фигурные скобки

    Фигурные скобки {} используются в наборах:

    Пример: {2, 4, 6, 8}

    Набор четных чисел от 2 до 8

    Алгебра — использование круглых скобок

    В алгебраических уравнениях круглые скобки используются для группировки чисел или символов. 2].2] Сначала завершите операции в круглых скобках ().

    N = 2 × [3 + 49]

    N = 2 × [52] Во-вторых, завершите операции внутри скобок [].

    N = 104

    Порядок операций

    В алгебре установлены правила для порядка, в котором оцениваются операции. Эти же общепринятые правила используются также при программировании алгебраических уравнений в калькуляторах. При решении следующего уравнения порядок действий приведен ниже:

    1.2 — 4 + 3 × [13] + √25 + 84 ÷ 4 + 3⁄4

    2. Показатели степени. Затем удалите все экспоненты. Считайте любые корни (квадратные, кубические и т. Д.) Показателями степени. Заполнение степеней и корней в уравнении дает следующее:

    N = 64 + 36 — 4 + 3 × 13 + 5 + 84 ÷ 4 + 3⁄4

    3. Умножение и деление. Оцените все умножения и деления слева направо. Умножайте и делите слева направо за один шаг. Распространенной ошибкой является использование для этого двух шагов (то есть, чтобы очистить все знаки умножения, а затем очистить все знаки деления), но это неправильный метод.Считайте дроби делением. Завершение умножения и деления в уравнении дает следующее:

    N = 64 + 36 — 4 + 39 + 5 + 21 + 3⁄4

    4. Сложение и вычитание. Оценивайте сложение и вычитание слева направо. Как и выше, сложение и вычитание вычисляются слева направо за один шаг. Завершение сложения и вычитания в уравнении дает следующее:

    X = 161 3⁄4

    Порядок операций для алгебраических уравнений
    1. Круглые скобки
    2. Показатели
    3. Умножение и деление
    4. Сложение и вычитание

    аббревиатура PEMDAS для запоминания порядка действий в алгебре.PEMDAS — это аббревиатура от скобок, показателей степени, умножения, деления, сложения и вычитания. Чтобы запомнить это, многие используют фразу: «Прошу прощения, дорогая тетя Салли». Однако всегда помните, что умножать / делить или складывать / вычитать нужно за один проход слева направо, а не по отдельности.

    Летный механик рекомендует

    Что такое скобка?

    Обновлено: 12.04.2021, Computer Hope

    Скобка — это знак препинания, используемый для заключения информации, аналогичный скобкам.Открытая скобка , которая выглядит как (, используется для начала текста в скобках . Закрывающая скобка , ) обозначает конец текста в скобках. В скобках во множественном числе , в скобках .

    Подсказка

    Круглые скобки также называются изогнутыми скобками , особенно за пределами США.

    Как вводить круглые скобки

    Чтобы ввести открывающую скобку на клавиатуре США, удерживайте Shift и нажмите 9 в верхней части клавиатуры.Чтобы ввести закрывающую скобку, удерживайте Shift, и нажмите 0 (ноль).

    Чтобы создать тильду на смартфоне или планшете, откройте сенсорную клавиатуру, перейдите в раздел цифр (123) или символов (симв.) И коснитесь символа « (» или «) ».

    Для чего используются круглые скобки?

    • В письменной форме круглые скобки могут означать дополнительную информацию, отступление или особые замечания. Например, «Ребенку суровую лекцию дали (и он ее заслужил).«
    • В математических выражениях круглые скобки обозначают приоритет в порядке операций. Части выражения, заключенные в круглые скобки, должны быть вычислены в первую очередь, а результат используется в остальной части выражения. Например, в этом выражении:
     5 + 2 x 5 = 15 

    Умножение выполняется перед сложением в соответствии со стандартным порядком операций. Однако в этом выражении:

     (5 ​​+ 2) х 5 = 35 

    Сначала выполняется сложение в круглых скобках, а затем сумма используется в остальной части выражения.Такой вид математического выражения, результат которого зависит от положения скобок, называется неассоциативным.

    Скобки в программировании

    Ниже приведен пример использования круглых скобок в операторе if с использованием языка программирования Perl.

     if ($ test = ~ / [a-zA-z] /) {
       print "Работает! \ n";
    } 

    Скобки регулярных выражений

    В регулярных выражениях текст фиксируется круглыми скобками. Например, в следующем регулярном выражении Perl переменная $ piglatin принимает все, что начинается с «th», и перемещает это в конец строки.(th) (. *) / \ 2 \ 1 / i;

    Круглые скобки в формулах электронных таблиц

    В следующем примере показано, как формула, содержащая круглые скобки, может отображаться в Microsoft Excel. В приведенном ниже примере формула складывает ячейки с A1 по A5, чтобы получить общую сумму.

     = сумма (a1: a5) 

    Круглые скобки

    Круглая скобка описывает одиночный знак «(» или «)» и считается единственным числом. Скобки — это версия множественного числа, описывающая как знаки «(», так и «)». Например, в нижеследующем предложении «оперативная память» заключена в круглые скобки.

     RAM (оперативная память) - это тип компьютерной памяти, в которой временно хранится информация. 

    Термины клавиатуры, Цифровая клавиша, Термины программирования

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.