Как определить сколько решений имеет система уравнений: Как найти сколько решений имеет система уравнений? Плииииз помогите:)

Содержание

Метод отображения Задание 1. Сколько решений имеет система:

Решение системы логических уравнений

Решение системы логических уравнений . Сколько решений имеет уравнение A BB C C D = 0 Количество наборов переменных равно =. Можно составить таблицу истинности и проверить, сколько наборов соответствуют

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

5.

Исчисление высказываний и предикатов

5. Исчисление высказываний и предикатов Пусть дано непустое множество простых предложений Q. Расширим это множество, присоединив к нему все те предложения, которые можно образовать с использованием сентенциональных

Подробнее

АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА

АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА Прежде всего нужно знать, что симплекс-метод является универсальным методом решения задач линейного программирования (ЗЛП) в том смысле, что он позволяет решать ЗЛП с любым количеством

Подробнее

Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному

Подробнее

ПЕРВЫЕ ШАГИ НА ПУТИ К ОЛИМПУ

УДК 51 ПЕРВЫЕ ШАГИ НА ПУТИ К ОЛИМПУ Соколова В. В., Мандров Г. научные руководители учитель математики старших классов Новикова О.В., учитель информатика старших классов Мясникова И.С. Муниципальное общеобразовательное

Подробнее

Умножение числа на 10.»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 2 Урок математики в 3 классе «Сочетательное свойство умножения. Умножение числа на 10.» Учитель: Гурьянова Е.С. г. Навашино

Подробнее

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства Неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного

Подробнее

Тема 5 Рациональные системы уравнений

Тема 5 Рациональные системы уравнений F ( x, x,. .., ) 0, F ( x, x,…, ) 0, Система уравнений вида где… Fk ( x, x,…, ) 0, F i( x, x,…, ), i,…, k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Подробнее

Формула крюков. Первые примеры

Формула крюков Что для нас головоломка, духом тайны разум будит очевидно, для потомка просто школьным курсом будет. И. Губерман Первые примеры На рисунке показаны все существующие способов так заполнить

Подробнее

16 (повышенный уровень, время 2 мин)

16 (повышенный уровень, время мин) Тема: Кодирование чисел. Системы счисления. Что нужно знать: принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления чтобы перевести число, скажем, 15, из системы

Подробнее

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами

Подробнее

Затем дробную часть числа 0,

Арифметические основы компьютерной техники. Пример. Даны два числа: 76.54 и 5.7 Задание Перевести числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Затем перевести числа в восьмеричной

Подробнее

Тема: Системы счисления

Коротко о главном Тема: Системы счисления Системы счисления — это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, который существовали раньше

Подробнее

B13 (повышенный уровень, время 7 мин)

B3 (повышенный уровень, время 7 мин) Тема: динамическое программирование. Что нужно знать: динамическое программирование это способ решения сложных задач путем сведения их к более простым задачам того

Подробнее

Поиск кратчайших расстояний в графе

Поиск кратчайших расстояний в графе 1 Алгоритм Дейкстры поиск кратчайших расстояний от одной вершины до всех остальных. Дан граф, на ребрах графа указаны числа, их можно называть «весами» ребер. Расстояние

Подробнее

УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ 1. Разложение на множители a) ( x 1)( y+ ) 9. б) x(y 98). в) x + y= xy. г) x + 4xy 7y. д) 19x yz 995, решить в простых числах. Делимость чисел а) y = 5x + 6. б) в) г) д) x + 1=

Подробнее

Задача 5 «Кольцевая линия»

Задача 5 «Кольцевая линия» Полное решение этой задаче основано на следующем наблюдении. Пусть Андрей и Борис живут на различных станциях, причем при движении от Андрея к Борису по и против часовой стрелки

Подробнее

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ 5 9 классы МОСКВА «ВАКО» 201 УДК 32.851 ББК 4.262.22 С4 6+ Издание допущено к использованию в образовательном процессе на основании приказа Министерства образования и науки РФ

Подробнее

Тестовые задания и диктанты

Глава4 Уравнения 1 Тестовые задания и диктанты Т-01 Решение линейного уравнения Т-02 Решение уравнений разложением на множители Т-03 Рациональные уравнения, сводящиеся к линейным Т-04 Замена неизвестного

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ.

Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,…, n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

г. Классная работа.

5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Подробнее

Симметрия в задачах с параметрами

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Подробнее

22 (повышенный уровень, время 7 мин)

К. Поляков, 09-6 22 (повышенный уровень, время 7 мин) Тема: динамическое программирование. Что нужно знать: динамическое программирование это способ решения сложных задач путем сведения их к более простым

Подробнее

Решение Задачи об N ферзях

Решение Задачи об N ферзях Андрея Борисовича Скрыпника (Эл.почта — [email protected]) 2017 год Содержание 1 Формулировка Задачи об N ферзях 1 2 Алгоритм решения Задачи об N ферзях 2 2.1 Первая детализация

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

Одномерные массивы. Лабораторная работа 9

Лабораторная работа 9 Одномерные массивы Массивы. Ссылочные типы и null. Часто в программах требуется завести большое количество переменных одного и того же типа. Можно, конечно, написать большое количество

Подробнее

Задания С6 ЕГЭ олимпиадного характера

Задания С6 ЕГЭ олимпиадного характера 1. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 11 раз больше, либо в 11 раз

Подробнее

Символ N O P Q R S T U V W X Y Z Код символа

Открытая олимпиада школьников «Информационные технологии» 2017-18 Решения заданий заключительного этапа для 7 и 8 класса 1. Системы счисления (1 балл) [Торрент] Петя решил скачать файл используя торрент-клиент.

Подробнее

Исследование системы линейных уравнений с двумя переменными на количество решений

Цель урока: сформировать умение по
виду системы двух линейных уравнений с двумя
переменными определять количество решений
системы.

Задачи:

  • Образовательные:
    • повторить способы решения систем линейных
      уравнений;
    • связать графическую модель системы с
      количеством решений системы;
    • найти связь между соотношением коэффициентов
      при переменных в системе и количеством решений.
  • Развивающие:
    • формировать способности к самостоятельным
      исследованиям;
    • развивать познавательный интерес учащихся;
    • развивать умение выделять главное,
      существенное.
  • Воспитательные:
    • воспитывать культуру общения; уважение к
      товарищу, умение достойно вести себя. закреплять
      навыки работы в группе;
    • формировать мотивацию на здоровый образ жизни.

Тип урока: комбинированный

ХОД УРОКА

I. Организационный момент (нацелить
учащихся на урок)

– На предыдущих уроках мы научились решать
системы двух линейных уравнений с двумя
переменными разными способами. Сегодня на уроке
нам предстоит ответить на вопрос: «Как, не решая
систему уравнений определить, сколько же решений
она имеет?», поэтому тема урока называется
«Исследование системы линейных уравнений с
двумя переменными на количество решений ». Итак,
начнём урок. Соберёмся с силами. В четыре приёма
глубоко вдохнём воздух через нос и в пять приёмов
с силой выдохнем, задувая воображаемую свечку.
Повторим это 3 раза. Очень быстро активизируем
свой мозг. Для этого интенсивно промассажируем
межбровную точку: указательным пальцем правой
руки делаем 5 круговых движений в одну сторону и в
другую. Повторим это 2-3 раза.

II. Проверка домашнего задания
(коррекция ошибок)

Показать решение системы разными способами:

А) методом подстановки;

Б) Методом сложения;

В) по формулам Крамера;

Г) Графически.

Пока на доске готовятся к ответам по домашнему
заданию, с остальными учениками начинается
подготовка к следующему этапу урока.

III. Этап подготовки к усвоению нового
материала
(актуализация опорных знаний)

– Если вы знаете ответы на вопросы, но вдруг
растерялись и всё сразу забыли, попробуйте
собраться, убедить себя, что вы всё знаете и у вас
всё получится. Хорошо помогает обыкновенный
массаж всех пальцев. Во время обдумывания
массажируйте все пальчики от основания к ногтю.

– Что называют системой двух уравнений?

– Что значит решить систему линейных
уравнений?

– Что является решением системы линейных
уравнений?

– Будет ли пара чисел (– 3; 3) решением системы
уравнений:

– Расскажите, в чём суть каждого известного вам
способа решения систем линейных уравнений с
двумя переменными. (Рекомендуется общение в
парах)

Ответы учеников сопровождаются показом
слайдов 1-14 (Презентация)
учителем. (можно одним из учеников). Проверяем
домашнее задание (слушаем ответы учеников у
доски).

Учитель: Для решения специфических
систем уравнений существует ещё один способ,
называется он методом подбора решения.
Попробуйте, не решая подобрать решение системы
уравнений: .
Объясните суть метода.

– Найдите решение системы уравнений:

а)
      б)       в)

– Дано уравнение a + b =15, добавьте такое
уравнение, чтобы решением полученной системы
была пара чисел (– 12; 27)

Перечислите ещё раз все способы решения систем
линейных уравнений, с которыми вы познакомились.

IV. Этап усвоения новых знаний
(исследовательская работа)

– Прежде чем переходить к следующему этапу
урока, немного отдохнём.

Сидя на стуле – расслабьтесь, примите позу
пиджака, висящего на вешалке,

«Постреляйте» глазами в соседей. А затем
вспомним про «царственную осанку»: спина прямая,
мышцы головы без напряжения, выражение лица
очень значительное, соберёмся с мыслями, для чего
сделаем массаж межбровной точки или пальчиков и
приступим к дальнейшей работе.

Учитель: Мы научились решать системы
линейных уравнений с двумя переменными разными
способами и знаем, что система таких уравнений
может иметь:

А) одно решение;

Б) не иметь решений;

В) много решений.

А нельзя ли, не прибегая к решению, ответить на
вопрос: сколько же решений имеет система
уравнений?
Сейчас мы с вами проведём
небольшое исследование.

Для начала разобьемся на три исследовательские
группы. Составим план нашего исследования,
ответив на вопросы:

1) Что представляет собой графическая модель
системы линейных уравнений с двумя переменными?

2) Как могут располагаться две прямые на
плоскости?

3) Как зависит количество решений системы от
расположения прямых?

(После ответов учащихся используем слайды 6-10 Презентации. )

Учитель: Значит основа нашего
исследования состоит в том, чтобы по виду системы
понять, как располагаются прямые.

Каждая исследовательская группа решает эту
задачу на конкретной системе уравнений по плану (Приложение 1).

Система для группы №1.       

Система для группы №2.      

Система для группы №3.      

На выполнение работы даётся 5 минут, затем
делимся своими выводами с одноклассниками. (Приложение 2), а также
обращаемся к слайдам 15-17 Презентации.

V. Релаксация

Предлагаю отдохнуть, расслабиться:
физкультминутка или психологический тренинг. (Приложение 3)

VI. Закрепление нового материала

А) Первичное закрепление

Используя полученные выводы, ответьте на
вопрос: сколько решений имеет система уравнений

а)                
б)               
в)

Итак, прежде чем решать систему, можно узнать,
сколько она имеет решений.

Б) решение более сложных задач по новой теме

1) Дана система уравнений      

– При каких значениях параметра a данная
система имеет единственное решение?

(Работа выполняется в группах по 4 человека:
пары поворачиваются друг к другу)

– При каких значениях параметра a данная
система не имеет решений?

– При каких значениях параметра данная система
уравнений имеет много решений?

2) Дано уравнение – 2x + 3y = 12

Добавьте ещё одно уравнение так, чтобы система
этих уравнений имела:

А) одно решение;

Б) бесконечно много решений.

3) Провести полное исследование системы
уравнений на наличие её решений:

VII. Рефлексия. Методика «Мухомор»

На дополнительной доске (или на отдельном
плакате) нарисован круг, разбитый на секторы.
Каждый сектор – это вопрос, рассмотренный на
уроке. Ученикам предлагается

поставить точку:

  • ближе к центру, если ответ на вопрос не вызывает
    сомнения;
  • в середину сектора, если сомнения есть;
  • ближе к окружности, если вопрос остался не
    понятым; (Приложение 4)

VIII. Домашнее задание

Алгебра-7, под редакцией Теляковского.
Параграфы 40-44, №1089,1095а), решать любым способом.

Выяснить, при каком значении a система имеет одно
решение, много решений, не имеет
решений      

– Итак: наш урок подошёл к концу. Приготовим
себя к перемене: сцепите руки замком, положите их
на затылок. Положите голову на парту, резко
сядьте прямо, примите «царственную» позу.
Повторите это ещё раз.

– Урок окончен. Всем спасибо. Подойдите к доске
и сделайте отметку на предложенном рисунке. До
свидания.

Сколько решений имеет система логических уравнений.

Логика

Способы
решения систем логических уравнений

Киргизова
Е.В., Немкова А.Е.

Лесосибирский
педагогический институт –

филиал
Сибирского федерального университета, Россия

Умение мыслить последовательно, рассуждать
доказательно, строить гипотезы, опровергать негативные выводы, не приходит само
по себе, это умение развивает наука логика . Логика – это наука, изучающая
методы установленияистинности или
ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других
высказываний .

Овладение азами этой науки невозможно без
решения логических задач. Проверка сформированности умений применять свои
знания в новой ситуации осуществляется за счет сдачи. В частности, это умение
решать логические задачи. Задания В15 в ЕГЭ, являются заданиями повышенной
сложности, так как они содержат системы логических уравнений. Можно выделить
различные способы решения систем логических уравнений. Это сведение к одному
уравнению, построение таблицы истинности, декомпозиция, последовательное
решение уравнений и т. д.

Задача:

Решить систему
логических уравнений:

Рассмотрим метод сведения к одному уравнению

.
Данный метод предполагает преобразование логических уравнений, таким образом,
чтобы правые их части были равны истинностному значению (то есть 1). Для этого
применяют операцию логического отрицания. Затем, если в уравнениях есть сложные
логические операции, заменяем их базовыми: «И», «ИЛИ», «НЕ». Следующим шагом
объединяем уравнения в одно, равносильное системе, с помощью логической
операции «И». После этого, следует сделать преобразования полученного уравнения
на основе законов алгебры логики и получить конкретное решение системы.

Решение 1:

Применяем
инверсию к обеим частям первого уравнения:

Представим импликацию через базовые
операции «ИЛИ», «НЕ»:

Поскольку левые части уравнений
равны 1, можно объединить их с помощью операции “И” в одно уравнение,
равносильное исходной системе:

Раскрываем
первую скобку по закону де Моргана и преобразовываем полученный результат:

Полученное
уравнение, имеет одно решение:
A
=0
, B
=0
и C
=1
.

Следующий способ – построение таблиц истинности

.
Поскольку логические величины имеют только два значения, можно просто перебрать
все варианты и найти среди них те, при которых выполняется данная система
уравнений. То есть, мы строим одну общую таблицу истинности для всех уравнений
системы и находим строку с нужными значениями.

Решение 2:


Составим таблицу истинности для системы:

Полужирным выделена строчка, для
которой выполняются условия задачи. Таким образом, A
=0
, B
=0
и C
=1
.

Способ декомпозиции

.
Идея состоит в том, чтобы зафиксировать значение одной из
переменных (положить ее равной 0 или 1) и за счет этого упростить уравнения.
Затем можно зафиксировать значение второй переменной и т.д.

Решение 3:

Пусть A
= 0, тогда
:

Из первого уравнения получаем
B
=0,
а из второго – С=1. Решение системы: A
=
0
, B
= 0
и C
= 1
.

Так же можно воспользоваться
методом последовательного решения уравнений

, на каждом шаге добавляя по
одной переменной в рассматриваемый набор. Для этого необходимо преобразовать
уравнения таким образом, что бы переменные вводились в алфавитном порядке.
Далее строим дерево решений, последовательно добавляя в него переменные.

Первое уравнение системы зависит
только от A
и B
, а второе уравнение от А и C
. Переменная А может принимать 2
значения 0 и 1:

Из первого уравнения следует, что
,
поэтому при A
=
0 п
олучаем B
= 0
, а при A
= 1
имеем B
= 1
. Итак, первое
уравнение имеет два решения относительно переменных A
и B
.

Изобразим второе уравнение, из которого определим значения C
для каждого варианта. При A
=1
импликация не может быть ложной, то есть вторая ветка дерева не
имеет решения. При
A
=0

получаем единственное решение
C
= 1

:

Таким
образом, получили решение системы: A
=
0
, B
= 0
и C
= 1
.

В ЕГЭ по информатике очень часто требуется
определить количество решений системы логических уравнений, без нахождения
самих решений, для этого тоже существуют определенные методы. Основной способ
нахождения количества решений системы логических уравнений – замена переменных
. Сначала необходимо
максимально упростить каждое из уравнений на основе законов алгебры логики, а
затем заменить сложные части уравнений новыми переменными и определить
количество решений новой системы. Далее вернуться к замене и определить для нее
количество решений.

Задача:

Сколько решений имеет уравнение (A

B
) +
(C

D
) = 1? Где A, B, C, D –
логические переменные.

Решение:

Введем новые переменные:
X
=
A

B
и
Y
=
C

D
. С
учетом новых переменных уравнение запишется в виде:
X
+
Y
=
1.

Дизъюнкция верна в трех случаях: (0;1), (1;0) и
(1;1), при этом
X
и
Y
является импликацией,
то есть является истинной в трех случаях и ложной – в одном. Поэтому случай
(0;1) будет соответствовать трем возможным сочетаниям параметров. Случай (1;1)
– будет соответствовать девяти возможным сочетаниям параметров исходного
уравнения. Значит, всего возможных решений данного уравнения 3+9=15.

Следующий способ определения количества решений
системы логических уравнений – бинарное
дерево
. Рассмотрим данный метод на примере.

Задача:

Сколько различных
решений имеет система логических уравнений:

Приведенная система уравнений равносильна
уравнению:

(
x

1

x

2

)*(
x

2

x

3

)*…*(
x m

-1

x m

) = 1.

Предположим, что
x

1



истинно, тогда из первого уравнения получаем, что
x

2

также истинно, из
второго —
x

3

=1, и так далее до
x m

= 1. Значит набор (1; 1; …; 1) из
m

единиц является решением системы. Пусть теперь
x

1

=0, тогда из первого
уравнения имеем
x

2

=0 или
x

2

=1.

Когда
x

2

истинно получаем, что
остальные переменные также истинны, то есть набор (0; 1; …; 1) является
решением системы. При
x

2

=0 получаем, что
x

3

=0 или
x

3

=, и так далее.
Продолжая до последней переменной, получаем, что решениями уравнения являются
следующие наборы переменных (m
+1 решение, в каждом
решении по
m
значений переменных):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Такой подход хорошо иллюстрируется с помощью
построения бинарного дерева. Количество возможных решений – количество
различных ветвей построенного дерева. Легко заметить, что оно равно
m
+1.

Переменные

Дерево

Количество
решений

x 1

x 2

x 3

В случае трудностей в рассуждениях и построении
дерева решений можно искать решение с использованием таблиц истинности
, для одного – двух уравнений.

Перепишем систему уравнений в виде:

И составим таблицу истинности отдельно для
одного уравнения:

Составим таблицу истинности для двух уравнений:

x 1

x 2

x 3

x 1 → x 2

x 2 → x 3

(x 1 → x 2) * (x 2 → x 3)

Далее можно увидеть, что одно уравнение истинно
в следующих трех случаях: (0; 0), (0; 1), (1; 1). Система двух уравнений истина
в четырех случаях (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1). При этом сразу
видно, что существует решение, состоящее из одних нулей и еще m
решений,
в которых добавляется по одной единице, начиная с последней позиции до
заполнения всех возможных мест. Можно предположить, что общее решение будет
иметь такой же вид, но чтобы такой подход стал решением, требуется
доказательство, что предположение верно.

Подводя итог всему вышесказанному, хочется
обратить внимание, на то, что не все рассмотренные методы являются
универсальными. При решении каждой системы логических уравнений следует
учитывать ее особенности, на основе которых и выбирать метод решения.

Литература:

1.
Логические задачи / О.Б.
Богомолова – 2-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 271 с.: ил.

2.
Поляков К.Ю. Системы
логических уравнений / Учебно-методическая газета для учителей информатики:
Информатика №14, 2011 г.

Данной материал содержит презентацию, в которой представлены методы решения логических уравнений и систем логических уравнений в задании В15 (№ 23, 2015) ЕГЭ по информатике. Известно, что это задание является одним из самых сложных среди заданий ЕГЭ. Презентация может быть полезна при проведении уроков по теме «Логика» в профильных классах, а также при подготовке к сдаче ЕГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Решение задания В15 (системы логических уравнений) Вишневская М.П., МАОУ «Гимназия №3» 18 ноября 2013 г., г. Саратов

Задание В15 — одно из самых сложных в ЕГЭ по информатике!!! Проверяются умения: преобразовывать выражения, содержащие логические переменные; описывать на естественном языке множество значений логических переменных, при которых заданный набор логических переменных истинен; подсчитывать число двоичных наборов, удовлетворяющих заданным условиям. Самое сложное, т.к. нет формальных правил, как это сделать, требуется догадка.

Без чего не обойтись!

Без чего не обойтись!

Условные обозначения конъюнкция: A /\ B , A  B , AB , А &B, A and B дизъюнкция: A \ / B , A + B , A | B , А or B отрицание:  A , А, not A эквиваленция: A  В, A  B, A  B исключающее «или»: A  B , A xor B

Метод замены переменных Сколько существует различных наборов значений логических переменных х1, х2, …, х9, х10, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям: ((x1 ≡ x2) \/ (x3 ≡ x4)) /\ (¬(x1 ≡ x2) \/ ¬(x3 ≡ x4)) = 1 ((x3 ≡ x4) \/ (x5 ≡ x6)) /\ (¬(x3 ≡ x4) \/ ¬(x5 ≡ x6)) = 1 ((x5 ≡ x6) \/ (x7 ≡ x8)) /\ (¬(x5 ≡ x7) \/ ¬(x7 ≡ x8)) = 1 ((x7 ≡ x8) \/ (x9 ≡ x10)) /\ (¬(x7 ≡ x8) \/ ¬(x9 ≡ x10)) = 1 В ответе не нужно перечислять все различные наборы х1, х2, …, х9, х10, при которых выполняется данная система равенств. В качестве ответа необходимо указать количество таких наборов (демо-версия 2012 г.)

Решение Шаг 1. Упрощаем, выполнив замену переменных t1 = x1  x2 t2 = x3  x4 t3 = x5  x6 t4 = x7  x8 t5 = x9  x10 После упрощения: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) =1 (t2 \/ t3) /\ (¬t2 \/ ¬ t3) =1 (t3 \/ t4) /\ (¬t3 \/ ¬ t4) =1 (t4 \/ t5) /\ (¬t4 \/ ¬ t5) =1 Рассмотрим одно из уравнений: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) =1 Очевидно, оно =1 только если одна из переменных равна 0, а другая – 1. Воспользуемся формулой для выражения операции XOR через конъюнкцию и дизъюнкцию: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) = t1  t2 = ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬(t2 ≡ t3) =1 ¬(t3 ≡ t4) =1 ¬(t4 ≡ t5) =1

Шаг2. Анализ системы ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬(t2 ≡ t3) =1 ¬(t3 ≡ t4) =1 ¬(t4 ≡ t5) =1 t1 t2 t3 t4 t5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Т.к. tk = x2k-1 ≡ x2k (t1 = x1  x2 ,….), то каждому значению tk соответствует две пары значений x2k-1 и x2k , например: tk =0 соответствуют две пары — (0,1) и (1,0) , а tk =1 – пары (0,0) и (1,1).

Шаг3. Подсчет числа решений. Каждое t имеет 2 решения, количество t – 5. Т.о. для переменных t существует 2 5 = 32 решения. Но каждому t соответствует пара решений х, т.е. исходная система имеет 2*32 = 64 решения. Ответ: 64

Метод исключения части решений Сколько существует различных наборов значений логических переменных х1, х2, …, х5, y1,y2,… , y5 , которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям: (x1→ x2)∧(x2→ x3)∧(x3→ x4)∧(x4→ x5) =1; (y1→ y2)∧(y2→ y3)∧(y3→ y4) ∧(y4→ y5) =1; y5→ x5 =1. В ответе не нужно перечислять все различные наборы х1, х2, …, х5, y 1 ,y2,… , y5, при которых выполняется данная система равенств. В качестве ответа необходимо указать количество таких наборов.

Решение. Шаг1. Последовательное решение уравнений х1 1 0 х2 1 0 1 х3 1 0 1 1 х4 1 0 1 1 1 х5 1 0 1 1 1 1 Первое уравнение – конъюнкция нескольких операций импликации, равна 1, т.е. каждая из импликаций истинна. Импликация ложна только в одном случае, когда 1  0, во всех других случаях (0  0, 0  1, 1  1) операция возвращает 1. Запишем это в виде таблицы:

Шаг1. Последовательное решение уравнений Т.о. получено 6 наборов решений для х1,х2,х3,х4,х5: (00000), (00001), (00011), (00111), (01111), (11111). Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что для y1, y2, y3, y4, y5 существует такой же набор решений. Т.к. уравнения эти независимы, т.е. в них нет общих переменных, то решением этой системы уравнений (без учета третьего уравнения) будет 6*6= 36 пар «иксов» и «игреков». Рассмотрим третье уравнение: y5→ x5 =1 Решением являются пары: 0 0 0 1 1 1 Не является решением пара: 1 0

Сопоставим полученные решения Там, где y5 =1, не подходят x5=0. таких пар 5. Количество решений системы: 36-5= 31 . Ответ: 31 Понадобилась комбинаторика!!!

Метод динамического программирования Сколько различных решений имеет логическое уравнение x 1 → x 2 → x 3 → x 4 → x 5 → x 6 = 1, где x 1, x 2, …, x 6 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количеств о таких наборов.

Решение Шаг1. Анализ условия Слева в уравнении последовательно записаны операции импликации, приоритет одинаков. Перепишем: ((((X 1 → X 2) → X 3) → X 4) → X 5) → X 6 = 1 NB! Каждая следующая переменная зависит не от предыдущей, а от результата предыдущей импликации!

Шаг2. Выявление закономерности Рассмотрим первую импликацию, X 1 → X 2. Таблица истинности: X 1 X 2 X 1 → X 2 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Из одного 0 получили 2 единицы, а из 1 получили один 0 и одну 1. Всего один 0 и три 1, это результат первой операции.

Шаг2. Выявление закономерности Подключив к результату первой операции x 3 , получим: F(x 1 ,x 2) x 3 F(x 1 ,x 2)  x 3 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 Из двух 0 – две 1, из каждой 1 (их 3) по одному 0 и 1 (3+3)

Шаг 3. Вывод формулы Т.о. можно составить формулы для вычисления количества нулей N i и количества единиц E i для уравнения с i переменными: ,

Шаг 4. Заполнение таблицы Заполним слева направо таблицу для i = 6, вычисляя число нулей и единиц по приведенным выше формулам; в таблице показано, как строится следующий столбец по предыдущему: : число переменных 1 2 3 4 5 6 Число нулей N i 1 1 3 5 11 21 Число единиц E i 1 2*1+1= 3 2*1+3= 5 11 21 43 Ответ: 43

Метод с использованием упрощений логических выражений Сколько различных решений имеет уравнение ((J → K) → (M  N  L))  ((M  N  L) → (¬ J  K))  (M → J) = 1 где J , K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J , K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение Заметим, что J → K = ¬ J  K Введем замену переменных: J → K=А, M  N  L =В Перепишем уравнение с учетом замены: (A → B)  (B → A)  (M → J)=1 4. (A  B)  (M → J)= 1 5. Очевидно, что A  B при одинаковых значениях А и В 6. Рассмотрим последнюю импликацию M → J =1 Это возможно, если: M=J=0 M=0, J=1 M=J=1

Решение Т.к. A  B , то При M=J=0 получаем 1 + К=0. Нет решений. При M=0, J=1 получаем 0 + К=0, К=0, а N и L — любые, 4 решения: ¬ J  K = M  N  L K N L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1

Решение 10. При M=J=1 получаем 0+К=1 *N * L , или K=N*L, 4 решения: 11. Итого имеет 4+4=8 решений Ответ: 8 K N L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1

Источники информации: О.Б. Богомолова, Д.Ю. Усенков. В15: новые задачи и новое решение // Информатика, № 6, 2012, с. 35 – 39. К.Ю. Поляков. Логические уравнения // Информатика, № 14, 2011, с. 30-35. http://ege-go.ru/zadania/grb/b15/ , [ Электронный ресурс ] . http://kpolyakov.narod. ru/school/ege.htm , [ Электронный ресурс ] .

Тема урока:


Решение логических уравнений

Образовательная –

изучение способов решения логических уравнений, формирование умений и навыков решения логических уравнений и построения логического выражения по таблице истинности;

Развивающая —

создать условия для развития познавательного интереса учащихся, способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления;

Воспитательная

: способствовать воспитанию умения выслушивать мнение других,
воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов.

Тип урока:


комбинированный урок

Оборудование:


компьютер, мультимедийный проектор, презентация 6.

Ход урока

    Повторение и актуализацию опорных знаний.

    Проверка домашнего задания (10 минут)

На предыдущих уроках мы познакомились с основными законами алгебры логики, научились использовать эти законы для упрощения логических выражений.

Выполним проверку домашнего задания по упрощению логических выражений:

1. Какое из приведенных слов удовлетворяет логическому условию:

(первая буква согласная→вторая буква согласная)
٨

(последняя буква гласная → предпоследняя буква гласная)? Если таких слов несколько, укажите наименьшее из них.

1) АННА 2) МАРИЯ 3) ОЛЕГ 4) СТЕПАН

Введем обозначения:

А – первая буква согласная

В – вторая буква согласная

С – последняя буква гласная

D
– предпоследняя буква гласная

Составим выражение:

Составим таблицу:

2. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению

Упростим запись исходного выражения и предложенных вариантов:

3. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

Определим значения этих выражений при указанных значениях аргументов:

    Ознакомление с темой урока, изложение нового материала

    (30 минут)

Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Решение логических уравнений». Изучив данную тему, вы узнаете основные способы решения логических уравнений, получите навыки решения этих уравнений путем использования языка алгебры логики и умения составления логического выражения по таблице истинности.

1. Решить логическое уравнение

(¬K


M) → (¬L


M


N) =0

Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.

Решение:

Преобразуем выражение
(¬K


M) → (¬L


M


N)

Выражение ложно, когда оба слагаемые ложны. Второе слагаемое равно 0, если M
=0, N
=0, L
=1. В первом слагаемом K
=0, так как М=0, а
.

Ответ: 0100

2. Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?

Решение: преобразуем выражение

(A
+B
)*(C
+D
)=1

A
+B
=1 и C
+D
=1

2 способ: составление таблицы истинности

3 способ
: построение СДНФ – совершенной дизъюнктивной нормальной формы для функции – дизъюнкции полных правильных элементарных конъюнкций.

Преобразуем исходное выражение, раскроем скобки для того, чтобы получить дизъюнкцию конъюнкций:

(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=

Дополним конъюнкции до полных конъюнкций (произведение всех аргументов), раскроем скобки:

Учтем одинаковые конъюнкции:

В итоге получаем СДНФ, содержащую 9 конъюнкций. Следовательно, таблица истинности для данной функции имеет значение 1 на 9 строках из 2 4 =16 наборов значений переменных.

3. Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?

Упростим выражение:

,

3 способ
: построение СДНФ

Учтем одинаковые конъюнкции:

В итоге получаем СДНФ, содержащую 5 конъюнкций. Следовательно таблица истинности для данной функции имеет значение 1 на 5 строках из 2 4 =16 наборов значений переменных.

Построение логического выражения по таблице истинности:

для каждой строки таблицы истинности, содержащей 1 составляем произведение аргументов, причем, переменные, равные 0, входят в произведение с отрицанием, а переменные, равные 1 – без отрицания. Искомое выражение F
будет составляется из суммы полученных произведений. Затем, если возможно, это выражение необходимо упростить.

Пример: дана таблица истинности выражения. Построить логическое выражение.

Решение:

3. Задание на дом (5 минут)

    Решить уравнение:

    Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?

    По заданной таблице истинности составить логическое выражение и

упростить его.

Можно выделить различные способы решения систем логических уравнений. Это сведение к одному уравнению, построение таблицы истинности и декомпозиция.

Задача:
Решить систему логических уравнений:

Рассмотрим метод сведения к одному уравнению

. Данный метод предполагает преобразование логических уравнений, таким образом, чтобы правые их части были равны истинностному значению (то есть 1). Для этого применяют операцию логического отрицания. Затем, если в уравнениях есть сложные логические операции, заменяем их базовыми: «И», «ИЛИ», «НЕ». Следующим шагом объединяем уравнения в одно, равносильное системе, с помощью логической операции «И». После этого, следует сделать преобразования полученного уравнения на основе законов алгебры логики и получить конкретное решение системы.

Решение 1:
Применяем инверсию к обеим частям первого уравнения:

Представим импликацию через базовые операции «ИЛИ», «НЕ»:

Поскольку левые части уравнений равны 1, можно объединить их с помощью операции “И” в одно уравнение, равносильное исходной системе:

Раскрываем первую скобку по закону де Моргана и преобразовываем полученный результат:

Полученное уравнение, имеет одно решение: A
=0, B=0 и C=1.

Следующий способ – построение таблиц истинности

. Поскольку логические величины имеют только два значения, можно просто перебрать все варианты и найти среди них те, при которых выполняется данная система уравнений. То есть, мы строим одну общую таблицу истинности для всех уравнений системы и находим строку с нужными значениями.

Решение 2:
Составим таблицу истинности для системы:

Полужирным выделена строчка, для которой выполняются условия задачи. Таким образом, A=0, B=0 и C=1.

Способ декомпозиции

. Идея состоит в том, чтобы зафиксировать значение одной из переменных (положить ее равной 0 или 1) и за счет этого упростить уравнения. Затем можно зафиксировать значение второй переменной и т.д.

Решение 3:
Пусть A = 0, тогда:

Из первого уравнения получаем B
=0, а из второго – С=1. Решение системы: A = 0, B = 0 и C = 1.

В ЕГЭ по информатике очень часто требуется определить количество решений системы логических уравнений, без нахождения самих решений, для этого тоже существуют определенные методы. Основной способ нахождения количества решений системы логических уравнений –
замена переменных
. Сначала необходимо максимально упростить каждое из уравнений на основе законов алгебры логики, а затем заменить сложные части уравнений новыми переменными и определить количество решений новой системы. Далее вернуться к замене и определить для нее количество решений.

Задача:
Сколько решений имеет уравнение (A
→B
) + (C
→D
) = 1? Где A, B, C, D – логические переменные.

Решение:
Введем новые переменные: X
= A
→B
и Y
= C
→D
. С учетом новых переменных уравнение запишется в виде: X
+ Y
= 1.

Дизъюнкция верна в трех случаях: (0;1), (1;0) и (1;1), при этом X
и Y
является импликацией, то есть является истинной в трех случаях и ложной – в одном. Поэтому случай (0;1) будет соответствовать трем возможным сочетаниям параметров. Случай (1;1) – будет соответствовать девяти возможным сочетаниям параметров исходного уравнения. Значит, всего возможных решений данного уравнения 3+9=15.

Следующий способ определения количества решений системы логических уравнений – бинарное дерево
. Рассмотрим данный метод на примере.

Задача:
Сколько различных решений имеет система логических уравнений:

Приведенная система уравнений равносильна уравнению:

(x

1

x

2
)*(x

2

x

3
)*…*(x m

-1

x m

) = 1.

Предположим, что x

1

– истинно, тогда из первого уравнения получаем, что x

2
также истинно, из второго — x

3
=1, и так далее до x m

= 1. Значит набор (1; 1; …; 1) из m
единиц является решением системы. Пусть теперь x

1
=0, тогда из первого уравнения имеем x

2
=0 или x

2
=1.

Когда x

2
истинно получаем, что остальные переменные также истинны, то есть набор (0; 1; …; 1) является решением системы. При x

2
=0 получаем, что x

3
=0 или x

3
=, и так далее. Продолжая до последней переменной, получаем, что решениями уравнения являются следующие наборы переменных (m
+1 решение, в каждом решении по m
значений переменных):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Такой подход хорошо иллюстрируется с помощью построения бинарного дерева. Количество возможных решений – количество различных ветвей построенного дерева. Легко заметить, что оно равно m
+1.

Дерево

Количество решений

x 1

x 2

x 3

В случае трудностей в рассужд
ниях и построении де
рева решений можно искать решение с
использованием
таблиц истинности
, для одного – двух уравнений.

Перепишем систему уравнений в виде:

И составим таблицу истинности отдельно для одного уравнения:

Составим таблицу истинности для двух уравнений:

x 1

x 2

x 3

x 1 → x 2

x 2 → x 3

(x 1 → x 2) * (x 2 → x 3)

Тест.

Решения систем уравнений второй степени

Будьте внимательны! У Вас есть 10 минут на прохождение теста. Система оценивания — 5 балльная. Разбалловка теста — 3,4,5 баллов, в зависимости от сложности вопроса. Порядок заданий и вариантов ответов в тесте случайный. С допущенными ошибками и верными ответами можно будет ознакомиться после прохождения теста. Удачи!

Список вопросов теста

Вопрос 1

Укажите порядок действий при решении системы уравнений способом подстановки.

Варианты ответов
  • Выразить из уравнения первой степени одну переменную через другую.
  • Подставить полученное выражение в уравнение второй степени.
  • Решить получившееся уравнение с одной переменной.
  • Найти соответствующие значения второй переменной.
Вопрос 2

Сколько различных способов решения систем уравнений второй степени вам известно?

Варианты ответов
Вопрос 3

Какой способ позволяет заменить в системе уравнений некоторое выражение одной буквой?

Варианты ответов
  • графический способ
  • способ подстановки
  • способ алгебраического сложения
  • способ введения новой переменной
Вопрос 4

Сколько решений имеет система  

Вопрос 5

Решите систему  

Варианты ответов
  • (-4;4)
  • (4;-4)
  • (-4;-4)
  • (4;4)
Вопрос 6

Решите систему  

Варианты ответов
  • (4;1)
  • (-4;9)
  • (1;4)
  • (-1;6)
Вопрос 7

Укажите систему уравнений, графики которых изображены на рисунке.  

Варианты ответов
Вопрос 8

Сколько решений имеет система уравнений, графики которых изображены на рисунке. Если графиком одного уравнения является пара прямых, а графиком другого — гипербола.

Варианты ответов
Вопрос 9

Имеет ли решения система уравнений

 В ответе укажите только одно слово без знаков препинания и пробелов: да или нет.

Вопрос 10

Решите систему уравнений  

В ответе укажите пару чисел без пробелов. Например: (7,3;-5).

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

03.06.17

  • Сформировать представление о математической модели система уравнений.
  • Познакомиться с понятием системы двух линейных уравнений и ее решении.
  • Изучить графический способ решения систем двух уравнений.
  • Решить вопрос о количестве решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
  • Решение более сложных систем двух уравнений с двумя неизвестными.

03.06.17

Вспомним!

  • Что называется линейным уравнением с двумя неизвестными?
  • Что значит решить уравнение с двумя неизвестными?
  • Сколько может быть решений у линейного уравнения?
  • Что называется графиком линейного уравнения с двумя переменными?
  • Сколько точек определяет прямую?
  • Когда две прямые на плоскости пересекаются?
  • Когда две прямые на плоскости параллельны? 
  • Когда две прямые на плоскости совпадают?

03.06.17

Вспомним!

Решением уравнения с двумя неизвестными называется пара переменных, при подстановке которых уравнение становится верным числовым равенством.

03.06.17

Решить линейное уравнение –

это значит найти те значения

переменной, при каждом из которых

уравнение обращается в верное

числовое равенство.

Таких решений бесконечно много.

03.06.17

4

03.06.17

4

5 x — 8 = 0

2х² + 3х + 7 = 0

03.06.17

4

Вспомним!

х + у – 8 = 0

Реальная ситуация (словесная модель)

Алгебраическая модель

Сумма двух чисел равна 8.

Геометрическая модель

х + у = 8

(линейное уравнение с двумя переменными)

прямая

(график линейного уравнения с двумя переменными)

Для построения графика достаточно найти координаты двух точек.

03.06.17

Вспомним!

  • Придать переменной х конкретное значение х ₁; найти

из уравнения

ах + b у + c = 0 соответствующее значение у ₁. Получим (х₁;у₁).

2. Придать переменной х конкретное значение х ₂; найти

из уравнения

ах + b у + c = 0 соответствующее значение у ₂.

Получим ).

3. Построим на координатной плоскости точки (х₁; у₁),

; у₂) и соединим прямой.

4. Прямая – есть график уравнения.

03.06.17

Количество болезнетворных микробов в организме описывается по формуле y -50000=5000 t . Человек начинает принимать лекарство. Количество микробов, уничтожаемых лекарством, y =15000 t ( t – время в сутках). Какое время человек должен принимать лекарство?

03.06.17

9

Часто приходится рассматривать математическую модель

состоящую из двух линейных уравнений с двумя переменными.

Решение системы уравнений с двумя неизвестными называется пара переменных, при подстановке которых уравнения становятся верными числовыми равенствами.

Решить систему — это значит найти все ее решения

или доказать, что их нет.

03.06. 17

9

Как определить сколько решений имеет система уравнений

без построения графиков?

у = 3х + 1

у = 3х + 1

K 1 K 2 , значит прямые пересекаются.

Система имеет одно решение!

K 1 = K 2 , значит прямые параллельны.

Система не имеет решения(она несовместимая)!

прямые совпадают.

Система имеет бесконечно много решений (она неопределённая)!

y

y

y

x

x

x

03.06.17

12

y

у = 2х — 3

у = (-х +4):2

Пример 1

Пример 1

Решить систему уравнений:

Графический способ

решения систем

1. Построим график уравнения

2х – у – 3 = 0 , у = 2х – 3.

Получим точки:

х

1

у

2

-1

1

2

А

(0; 2)

(1; -1), (2; 1)

1

(2; 1)

O

x

2

1

2. Построим график уравнения

х + 2у – 4 = 0 , 2у = -х + 4,

у = (-х + 4) : 2.

-1

(1; -1)

-3

х

у

0

2

2

1

Получим точки:

(0; 2), (2; 1)

3 . Прямые пересекаются в

единственной точке А(2;1)

Ответ: (2; 1)

12

03. 06.17

Устно:

Совместное задание для двоих (в парах): составить алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом

  • 11.1,
  • 11.2,
  • 11.4,
  • 11.5,
  • 11.6,
  • 11.7

03.06.17

13

Алгоритм решения системы уравнений графическим способом

1 . Приводим оба уравнения к виду линейной функции y = k x + m.

2. Составляем расчётные таблицы для каждой функции.

3. Строим графики функций в одной координатной плоскости.

4. Определяем число решений:

  • Если прямые пересекаются, то одно решение пара чисел (х ; у) – координаты точки пересечения;
  • Если прямые параллельны, то нет решений;
  • Если прямые совпадают, то бесконечно много решений.

5. Записываем ответ.

У доски:

  • 11.8,
  • 11.9,
  • 11.14;
  • 11.10‒11.13(а)

03.06.17

13

03.06.17

13

Количество решений двух линейных уравнений с

двумя переменными.

то прямые пересекаются и система

имеет единственное решение.

то прямые параллельны и система не

имеет решений. Система называется

несовместной.

то прямые совпадают и система

имеет бесконечно много решений.

Система называется

неопределенной.

03.06.17

13

y

у = (5 – х):2

у = — (2х + 3):4

Пример 2

Пример 1

Решить систему уравнений:

Графический способ

решения систем

1. Построим график уравнения

х + 2у – 5 = 0 , у = (5 — х):2.

(1; 2)

Получим точки:

2

х

1

у

3

2

1

(3; 1)

(1; 2), (3; 1)

1

O

x

-1,5

3

(-1,5; 0)

2. Построим график уравнения

2 х + 4у + 3 = 0 , 4у = -2х — 3,

у = -(2х + 3) : 4.

1

(2,5; -2)

-2

х

у

-1,5

2,5

0

-2

Получим точки:

(-1,5; 0), (2,5; -2)

Ответ:

система не имеет решений

3 . Прямые параллельны.

03.06.17

18

Пример 3

При каких значениях а система уравнений имеет единственное решение:

Условие при которых система уравнений имеет единственное решение:

Используем свойство пропорции:

03.06.17

19

Пример 4

При каких значениях а система уравнений несовместна

(т.е. не имеет решений):

Условие при которых система уравнений несовместна (не имеет решений):

1) Сначала рассмотрим равенство

Используем свойство пропорции:

03.06.17

19

2) Теперь проверим неравенство:

При подстановке значения а = 2 имеем:

— верное неравенство

03.06.17

19

Пример 5

При каких значениях а система уравнений неопределенна:

Укажите решения системы.

Условие при которых система уравнений неопределенна:

1) Сначала рассмотрим равенство

Используем свойство пропорции:

19

03.06.17

2) Теперь проверим равенство:

При подстановке значения а = 1 имеем:

— верное равенство

При подстановке значения а = 1 в данную систему имеем:

Поделим второе уравнение на 2, имеем:

03.06.17

19

  • Что собой представляют графики обоих уравнений системы?
  • В каком случае система имеет единственное решение?
  • Какая система является несовместимой?
  • О какой системе говорят, что она неопределенна?
  • Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
  • Что значит решить систему уравнений?

03.06.17

19

  • Урок привлек меня тем…
  • Для меня было открытие то, что…

03.06.17

19

  • Учебник: прочитать § 11, с. 65‒70;
  • Задачник: № 11.3, 11.10‒11.13 (б)

03.06.17

19

Интегрированный урок по математике и информатике «Исследование системы линейных уравнений с двумя переменными на количество решений и оформление работы в MicrosoftWord, PowerPoint»

Область Восточно-Казахстанская Город (район) Семей Школа (номер школы, название) КГУСО школа-лицей №7 Ф.И.О. педагога (автора статьи) Шукыжанова А.С., Сангалиева Г.К. Контактные данные (телефон, электронный адрес) [email protected]

Интегрированный урок по математике и информатике на тему: «Исследование системы линейных уравнений с двумя переменными на количество решений и оформление работы в MicrosoftWord, PowerPoint»

Цели урока:

Образовательные:

Развивающие:

Воспитательные:

  • повторить способы решения систем линейных уравнений;

    связать графическую модель системы с количеством решений системы;

    найти связь между соотношением коэффициентов при переменных в системе и количеством решений;

    уметь использовать практические навыки работы с презентацией и в текстовом редакторе.

    формировать способности к самостоятельным исследованиям;

    развивать познавательный интерес учащихся;

    развивать умение выделять главное, существенное.

    воспитывать культуру общения; уважение к товарищу, умение достойно вести себя, закреплять навыки работы в группе;

    формировать мотивацию на здоровый образ жизни.

Тип урока: комбинированный, интегрированный

Оборудование: ПК, экран, проектор, переносная доска

ХОД УРОКА

I. Организационный момент (нацелить учащихся на урок)

Вступление учителя математики:  сегодня на уроке мы будем повторить и обобщить ранее изученный материал по математике и информатике, а основная цель — исследовать связь между соотношением коэффициентов при переменных в системе линейных уравнений и количеством ее решений.

II. Повторение правил техники безопасности

Учитель информатики:

Требования безопасности во время работы

При появлении изменений в функционировании аппаратуры, самопроизвольного ее отключения необходимо немедленно прекратить работу и сообщить об этом преподавателю.

Контролировать расстояние до экрана и правильную осанку.

Запрещается:

При включенном напряжении сети отключать, подключать кабели, соединяющие различные устройства компьютера.

Касаться экрана дисплея, тыльной стороны дисплея, разъемов, соединительных кабелей, токоведущих частей аппаратуры.

Самостоятельно устранять неисправность работы клавиатуры.

Работать грязными, влажными руками, во влажной одежде.

Работать за дисплеем дольше положенного времени.

Запрещается без разрешения преподавателя:

Включать и выключать компьютер, дисплей.

Подключать кабели, разъемы и другую аппаратуру к компьютеру.

Требования безопасности по окончанию работы:

По окончании работы выполнить действия строго по указанию преподавателя.

III.Проверка домашнего задания (коррекция ошибок)

Учитель математики: покажите решение системы разными способами:

а) методом подстановки;
б) методом сложения;
г) графически;

Пока на доске готовятся к ответам по домашнему заданию, с остальными учениками начинается подготовка к следующему этапу урока.

IV. Актуализация опорных знаний

Ребята, мы с вами сейчас повторим способы решения систем линейных уравнений и графическая модель системы линейных уравнений с двумя переменными.

Давайте вспомним, что называется системой линейных уравнений?

Что является решением системы с двумя переменными?

Что означает решить систему линейных уравнений с двумя переменными ?

Сколько решений может иметь система уравнений?

Как узнать, сколько решений имеет система?

Какие способы решения систем знаете, какие их преимущества и недостатки?

Закончить предложение: если прямые не пересекаются т. е. параллельны, то …

Если прямые совпадают, то…

Предлагаю вашему вниманию пять систем. Вам необходимо для каждой из них определить рациональный способ решения и обосновать свой выбор.

1.

2.

Определите количество решений системы уравнений:

2. 3.

V. Исследовательская работа

Работа дана в качестве домашнего задания. Работа выполняется в 6 группах по 4 человека: все исследуют задание, один ученик выполняет работу в MicrosoftWord (графическую работу в ПО GeoGebra), второй – в PowerPoint, третий –защищает, четвертый – координирует.

Учитель информатики: повторим правила оформления в текстовом редакторе над исследовательской работой:

Требования к оформлению работ

Текст должен быть набран на компьютере и содержать:

Титульный лист

Оглавление

Введение (не более 2-х страниц): актуальность выбранной темы исследования, цель, задача данной работы, кратко указываются методы решения поставленной задачи.

Исследовательскую часть (не более 15 стр.) может состоять из отдельных глав и содержать: аналитический обзор известных результатов по выбранной теме, где отмечается необходимость проведения данной работы и цель, описание методов решения поставленной задачи, результаты работы и их обсуждение, иллюстративный материал (чертежи, графики, фотографии, рисунки и т.д.)

Список использованной литературы. Ссылки следует давать в квадратных скобках. Нумерация должна быть последовательной, по мере появления ссылок в тексте. Порядок: фамилия и инициалы автора, название статьи и журнала, книги, место издания и издательство, год издания, номер выпуска, страницы.

Учащиеся отвечают и показывают свои работы в соответствии по группам.

Учитель математики:

Основная цель — исследовать связь между соотношением коэффициентов при переменных в системе линейных уравнений и количеством ее решений, а также зависимость количества решений системы от расположения графиков линейных уравнений.

Задания группам:
 

Группа 1. Дана система уравнений      

Составить системы уравнений относительно значений параметра, чтобы система:

а) не имеет решений;

б) имела одно решение;

в) имела бесконечное множество решений.

Группа 2.

Составьте линейное уравнение, если для уравнения

ах + 3у = 6 пара (-3;4) является решением. Добавьте ещё одно уравнение так, чтобы система этих уравнений :

а)имела одно решение;
б) не имеет решений.

Группа 3.

Дана система уравнений      

Определить:

– При каких значениях параметра в графики данных функции параллельны?

– При каких значениях параметра в графики данных функции пересекаются?

– При каких значениях параметра в графики данных функции совпадают?

Группа 4.

Составьте линейное уравнение х + 3у = а, если ее график, пересекает график функции

у= 2,5х — 5,5 в точкеА(3,2).

Добавьте ещё одно уравнение так, чтобы система этих уравнений имела:

а) одно решение;
б) бесконечное множество решений

Группа 5.

Найти уравнение, которое в системе с уравнением 2х — у =0 не имеет решений, а в системе с уравнением 2х — 3у = 6 имеет одно решение.

Группа 6.

По данному графику составить уравнение линейной функции.

Добавьте ещё одно уравнение так, чтобы система этих уравнений :

а) не имеет решений;

б)имела одно решение;

Вывод.

Если количество решений систем линейных уравнений зависит от коэффициентов при переменных и от расположения графиков, то

не прибегая к решению, исследуя данный параметр, а также график линейного уравнения можно ли составить систему уравнений так, чтобы она:

а) имела одно решение;

б) не имеет решений;

в) имела бесконечное множество решений?

Ваш ответ?

Учащиеся по группам защищают свои проекты у экрана.

VI. Заключительный этап.

Тесты для групп:
Вариант1

1 Какая из перечисленных пар чисел является решением системы уравнений

 

а)(0;-8) б) (8;0) в) (9;-1) г) (15; -7)

2. Сколько решений имеет система
 
а) одно б)нет решений в) множество решений г) два решения 
3. Решите систему уравнений и найдите сумму значений переменных х и у 

а) 1 б) -1 в) 5 г) – 7

Вариант 2

1 Какая из перечисленных пар чисел является решением системы уравнений?

а) (15; -7) б) (-2;-7) в) (0;-5) г)(11;6)

2. Сколько решений имеет система 

а) множество решений б)нет решений в) одно г) два решения

3. Решите систему уравнений и найдите сумму значений переменных х и у 
 
а) 95 б)19 в)- 19 г) 85 
Вариант 3

1 Какая из перечисленных пар чисел является решением системы уравнений

а) (2;9) б) (4;3) в) (3;2) г) (-4;3)

2. Сколько решений имеет система 

а) нет решений б) множество решений в) одно г) два решения

3. Решите систему уравнений и найдите сумму значений переменных х и у 

а) 1 б)7 в)-1 г) -7

Вариант 4

1 Какая из перечисленных пар чисел является решением системы уравнений

а)(-2;-3) б)(1;1) в)(9;0) г) (-2;3)

2. Сколько решений имеет система 

а) множество решений б)нет решений в) одно г) два решения

3. Решите систему уравнений и найдите сумму значений переменных х и у 

а) 5 б) 1 в)-1 г)-5

Ответы к тесту 
 

№ варианта

Задание1 

Задание2 

Задание3 

в 

а 

б 

б 

в 

а 

г 

б 

б 

г 

в 

в 

Выводы:

Сегодня на уроке мы обобщили все методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными.

Выделили преимущества и недостатки каждого метода и наиболее распространенный метод решения систем.

Рассмотрели системы имеющие различное количество решений.

Рассмотрели методы наиболее рациональные при решении той или иной системы.

Непосредственно проверили практические знания решения систем линейных уравнений с двумя переменными при решении систем линейных уравнений с параметрами.
VII. Рефлексия. Методика «Дерево»

Дерево, разбито на части. Каждая часть- это уровень знаний, который вы приобрели на уроке.

    крона — ответ на вопросы не вызывает сомнения;

    ствол дерева — сомнения есть;

    корень — вопросы остались не понятными;

    VIII. Домашнее задание

    №1522(2) №1561(2), решать любым способом, параграф 9, п. 9.3 — 9.5.
     

    Работы учащихся по группам (1 группа)

    Защита презентации (1 группа)

    Коммунальное Государственное учреждение

    средняя общеобразовательная школа-лицей №7

    Система линейных уравнений

    с двумя неизвестными

    Подготовили ученики 6 «А» класса:

    Аханова З., Тайлакбаев Т.,

    Исанов А., Голдомов Э.

    г.Семей, 2017

    Система линейных уравнений с двумя неизвестными

    Введение

     

    Разработкой методов решения систем линейных уравнений с двумя переменными занимался древнегреческий ученый Диофант, который не имел обозначений для неизвестных, прилагал немало усилий для того, чтобы свести решения системы уравнений к решению одного уравнений. Позже приемы исключения неизвестных из линейных уравнений разрабатывали известные ученые, такие как Ферма, Ньютон и другие. Немало задач, вызванных необходимостью того времени, решаются с помощью систем уравнений с двумя переменными.

    Что такое система уравнений?

    К определению системы уравнений будем подбираться постепенно. Сначала лишь скажем, что его удобно дать, указав два момента: во-первых, вид записи, и, во-вторых, вложенный в эту запись смысл. Остановимся на них по очереди, а затем обобщим рассуждения в определение систем уравнений.

    Пусть перед нами несколько каких-нибудь уравнений. Для примера возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5. Запишем их одно под другим и объединим слева фигурной скобкой:

    Записи подобного вида, представляющие собой несколько расположенных в столбик уравнений и объединенных слева фигурной скобкой, являются записями систем уравнений.

    Что же означают такие записи? Они задают множество всех таких решений уравнений системы, которые являются решением каждого уравнения.

    Не помешает описать это другими словами. Допустим, какие-то решения первого уравнения являются решениями и всех остальных уравнений системы. Так вот запись системы как раз их и обозначает.

    Теперь мы готовы достойно воспринять определение системы уравнений.

    Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения системы.

    Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.

    Например, пара значений переменных x=5, y=2 (ее можно записать как (5, 2)) является решением системы уравнений  по определению, так как уравнения системы при подстановке в них x=5, y=2 обращаются в верные числовые равенства 5+2=7 и 5−2=3 соответственно. А вот пара значений x=3, y=0 не является решением этой системы, так как при подстановке этих значений в уравнения, первое из них обратится в неверное равенство 3+0=7.

    Рассмотрим способы решения систем уравнений.

    Способ подстановки

    Если все левые части линейны относительно неизвестных, то система называется линейной системой уравнений. Обычно линейную систему уравнений с двумя или тремя неизвестными записывают, соответственно, в виде

    Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными и будем решать ее методом исключения; исключить неизвестную y – это значит найти такое следствие нашей системы, которое уже не содержало бы у. Для получения такого уравнения умножим первое уравнение системы на b2, а второе на b1; получим

    Вычтем теперь второе уравнение этой системы из первого. При этом члены, содержащие у, уничтожатся, и мы получим

    (а1b2 – а2b1) x = b2c1 — b1c2

    В этом уравнении исключена неизвестная у.

    Обратимся снова к системе и умножим ее первое уравнение на а2, а второе на а1; получим

    Вычтем из второго уравнения этой системы первое:

    (а1b2 – а2b1) у = а1c2 – а2c1

    Таким образом, мы из системы

    Для исключения неизвестной из уравнений системы применяют также прием, называемый методом подстановки. Он состоит в том, что с помощью одного из уравнений одного из уравнений системы одну неизвестную выражают через другую и найденное выражение подставляют в оставшееся уравнение системы.

    Итак:

    Если коэффициенты при неизвестных не пропорциональны:

      ,

      То система определенная.

      Если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны:

        То система несовместная.

        Если пропорциональны коэффициенты при неизвестных в свободные члены:

          То система неопределенная.

          Проведенное исследование систем линейных уравнений с двумя неизвестными допускает простое геометрическое истолкование. Всякое линейное уравнение вида определяет на координатной плоскости прямую линию. Уравнения системы можно поэтому истолковать как уравнение двух прямых плоскости, а задачу решение системы – как задачу об отыскании точки пересечения этих прямых. Ясно, что возможны три случая: 1) данные прямые пересекаются; этот случай отвечает определенной системе; 2) данные две прямые параллельны; этот случай соответствует несовместной системе;

          Данные прямые совпадают; этот случай соответствует неопределенной системе: каждая точка «дважды заданной» прямой будет решением системы.

          Алгоритм решения системы линейных уравнений способом подстановки:

          1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из него одну переменную через другую, например, x через y.

          2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной.

          3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение.

          4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте, получаем вторую неизвестную из решения.

          5. Выполнить проверку полученного решения.

          Например: 

          Ответ: (2; 1).

          Способ сложения

          Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.

          1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.

          2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным.

          3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.

          4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.

          5. Сделать проверку решения.

          Например:

          Так как, одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной y. Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.

          Получим следующую систему уравнений: из второго уравнения вычитаем первое. Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение.

          Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение.

          ⇒y=14

          Ответ: (6; 14).

          Графическое решение

          Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.

          Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.

          Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.

           Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

          Примеры. Решить графическим способом систему уравнений.

          Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

          Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

          Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

          Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

          Ответ: (4; 5).

          Известно, что для уравнения с двумя переменными существует, вообще говоря, бесконечно много пар чисел (а; b), таких, что при подстановке их в уравнение получаются верные числовые равенства.

          Если же рассматривают два уравнения с двумя переменными и ставится задача найти все пары чисел (а; Ь), таких, что при подстановке их в эти уравнения получаются верные числовые равенства, то говорят, что задана система уравнений. Систему уравнений

          Решить систему уравнений — значит найти множество всех пар чисел (а; Ь), таких, что при подстановке числа а вместо х и числа b вместо у получаются верные числовые равенства. Это множество будем называть решением системы уравнений. Если решение системы уравнений — пустое множество, то ее называют несовместной.

          Аналогично можно определить систему уравнений с тремя и большим числом переменных. Здесь мы будем рассматривать системы, у которых число уравнений равняется числу переменных.

          Две системы уравнений называются равносильными, если их решения совпадают. В частности, если обе системы несовместны, то их также считают равносильными.

          При решении систем уравнений их заменяют более простыми, равносильными им системами. Так же как и при решении уравнений, в процессе решения систем уравнений важно знать, при каких преобразованиях данная система переходит в равносильную ей систему уравнений.

          Очевидно, что при замене одного из уравнений системы равносильным ему уравнением система переходит в равносильную ей систему уравнений (в частности, можно выполнять перенос членов уравнения из одной части в другую с изменением знака* и умножение обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число). Поэтому мы можем заменить систему (1) равносильной ей системой

          Основные методы решения систем уравнений уже рассмотрены при решении систем линейных уравнений в 7-м классе.

          а) Метод подстановки основан на том, что если из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

          При решении систем применяется и метод разложения на множители, основывающейся на том, что если выражения f1(x,y) и f2(x,y) определены для всех значений переменных x и y, то система

           

           

           

           

           

           

           

          Задачи на исследование

          I группа

          Дана система линейных уравнений

          Составить системы уравнений относительно значений параметров, чтобы система:

          Не имеет решений

          Имела одно решение

          Имела бесконечное множество решений

            Решение.

            Системы линейных уравнений с двумя переменными вида

              (I)

              Имеет одно решение, если коэффициенты при переменных , , , – не пропорциональны, тогда , , значит, параметр принимает любое число кроме , а параметр – любое число

              Случай I

              Если ,

              , , ,

              Проверка:

              Ответ:

              Случай II

              Если ,

              Используя способ сложения, приравниваем коэффициенты при переменной , так как они имеют противоположенные знаки

              ___________

              подставляя в первое уравнение вместо , находим

              Проверка:

              Ответ:

              Система (I) имеет бесконечное множество решений, если коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны, то есть

                , тогда

                Система имеет вид

                Решаем систему способом подстановки, то есть из второго уравнения выражаем через переменную

                ,

                , , – принимает любое значение.

                Ответ:

                Система не имеет решений, если условие коэффициенты пропорциональны, а отношение свободных членов не равно коэффициенту пропорциональности, то есть

                  , тогда

                  Решаем графическим способом

                  ,

                  1.

                  1

                  -1

                   

                  2.

                  0

                  2

                   

                  4,5

                  -1,5

                     

                  -7

                  -1

                  Прямые параллельны, значит, система не имеет решений

                  Вывод: количество решений системы линейных уравнений зависит от коэффициентов при переменных и свободных членов.

                  Задачи на исследование

                  II группа

                  Составьте линейное уравнение, если для уравнения пара является решением. Добавьте еще одно уравнение так, чтобы система этих уравнений

                  Имела одно решение

                  Не имеет решений

                    Решение.

                    Если пара чисел является решением данного уравнения. То верно равенство

                    , тогда данное уравнение имеет вид

                    Система не имеет решений, если во втором уравнении коэффициенты при переменных и пропорциональны числам 2 и 3. Тогда в искомом уравнении коэффициенты при переменных можно найти, умножая числа 2 и 3 на любое число, тогда

                      ,

                      ,

                         

                      ___________

                         
                         

                      , (неверно)

                      Система не имеет решений.

                      Система имеет одно решение, если условия коэффициента при переменных не пропорциональны, тогда

                        Решаем систему графическим способом. Выражаем через переменную и в первом, и во втором уравнении.

                        ,

                        Составим таблицы для данных функций

                        1.

                        3

                        0

                         

                        2.

                        0

                        -1

                         

                        0

                        2

                           

                        2

                        -2

                        Две прямые пересекаются в точке, тогда решением систем является пара чисел

                        Проверка:

                        Ответ:

                        Итак, от коэффициентов при переменных зависит количество решений систем уравнений.

                        Задачи на исследование

                        III группа

                        Дана система уравнений

                        Определить:

                        При каких значениях параметров графики данных функций параллельны?

                        При каких значениях параметров графики данных функций пересекаются?

                        При каких значениях параметров графики данных функций совпадают?

                        Решение.

                        Если прямые параллельны, то они не пересекаются, значит, система линейных уравнений не имеет решений. Тогда выполняется равенство

                          , , ,

                          Подставляя вместо , , , значение, составим пропорцию , , значит, если , , система не имеет решений.

                          ,

                          Чтобы построить графики функции , выражаем через в каждом уравнении

                          Если графики данных функций пересекаются, значит, система имеет одно решение.

                            , – любое число, тогда

                            ,

                            Итак, если , – любое число, тогда две прямые пресекаются в одной точке, система имеет одно решение.

                            Если прямые совпадают, то система имеет бесконечное множество решений, то есть верно равенство

                              , ,

                              ,

                              Задачи на исследование

                              IV группа

                              Задача

                                Составьте линейное уравнение , если ее график пересекает график функции в точке . Добавьте еще одно уравнение так, чтобы система этих уравнений имела

                                Одно решение

                                Бесконечное множество решений

                                  Решение.

                                  Если график функции пересекает график другой функции в точке , это значит, точка принадлежит каждой прямой, являющейся графиком соответствующей функции.

                                  Также координаты точки удовлетворяют данное линейное уравнение.

                                  ,

                                  Зная, что система имеет одно решение, если угловые коэффициенты при переменных не пропорциональны. Учитывая условие, составим систему

                                    Решаем уравнение способом подстановки

                                    , подставляя в первое уравнение 2, находим

                                    Ответ:

                                    Если система имеет бесконечное множество решений, то угловые коэффициенты и свободные члены пропорциональны, то есть

                                      Систему решаем способом сложения

                                      То есть система имеет бесконечное множество решений.

                                      Графики функций параллельны.

                                      Задачи на исследование

                                      V группа

                                      Задача на исследование.

                                      Найти уравнение, которое в системе с уравнением не имеет решений, а в системе с уравнением имеет одно решение.

                                      Решение.

                                      Пусть искомое уравнение имеет вид . Если в системе уравнение не имеет решения, то должно выполняться соотношение

                                        Если эти отношения равны 4, то , , , , ,

                                        Значит, система имеет вид

                                        Решаем систему графически

                                        , ,

                                        Получим прямую пропорциональность, график – прямая, проходящая через начало координат

                                        1

                                        2

                                        Две прямые совпадают, значит, координаты любой точки, лежащей на прямой составляют пару решений системы.

                                        Если искомое уравнение в системе с уравнением имеет одно решение, значит, должно выполняться

                                          В нашем случае , , , значит, система

                                          имеет одно решение, так как

                                          , ,

                                          Проверка:

                                          Итак, искомое уравнение имеет вид

                                          Ответ:

                                          Задачи на исследование

                                          VI группа

                                          Задача на исследование

                                          По данному чертежу составить линейное уравнение. Добавить еще одно уравнение так, чтобы система этих уравнений:

                                          Не имела решений

                                          Имела одно решение

                                            Решение.

                                            Линейная функция имеет формулу ; (I)

                                              Если ее график проходит через точки и , то координаты точки удовлетворяют условию (I)

                                              Подставляя координаты точек, составим систему уравнений

                                              , , , то есть данное уравнение имеет вид:

                                              , , , ,

                                              Угловые коэффициенты соответствующих линейных функций пропорциональны.

                                              Если , , тогда второе уравнение имеет вид , , где – любое число, не равное – 18.

                                              Допустим, что , тогда , , свободный член – любое число,

                                              , а система

                                              Решаем систему графически

                                              ,

                                              Прямые, не пересекаются, нет общей точки прямых, значит, система не имеет решений.

                                              Система имеет одно решение тогда, и только тогда, если угловые коэффициенты не пропорциональны

                                                , ,

                                                Прямые пересекаются в точке . Решение системы .

                                                Ответ:

                                                Метод сложения в системе уравнений

                                                Этим видео я начинаю цикл уроков, посвящённых системам уравнений. Сегодня мы поговорим о решении систем линейных уравнений методом сложения — это один из самых простых способов, но одновременно и один из самых эффективных.

                                                Способ сложения состоит из трёх простых шагов:

                                                1. Посмотреть на систему и выбрать переменную, у которой в каждом уравнении стоят одинаковые (либо противоположные) коэффициенты;
                                                2. Выполнить алгебраическое вычитание (для противоположных чисел — сложение) уравнений друг из друга, после чего привести подобные слагаемые;
                                                3. Решить новое уравнение, получившееся после второго шага.

                                                Если всё сделать правильно, то на выходе мы получим одно-единственное уравнение с одной переменной — решить его не составит труда. Затем останется лишь подставить найденный корень в исходную система и получить окончательный ответ.

                                                Однако на практике всё не так просто. Причин тому несколько:

                                                • Решение уравнений способом сложения подразумевает, что во всех строчках должны присутствовать переменные с одинаковыми/противоположными коэффициентами. А что делать, если это требование не выполняется?
                                                • Далеко не всегда после сложения/вычитания уравнений указанным способом мы получим красивую конструкцию, которая легко решается. Возможно ли как-то упростить выкладки и ускорить вычисления?

                                                Чтобы получить ответ на эти вопросы, а заодно разобраться с несколькими дополнительными тонкостями, на которых «заваливаются» многие ученики, смотрите мой видеоурок:

                                                Этим уроком мы начинаем цикл лекций, посвященный системам уравнений. А начнем мы из самых простых из них, а именно из те, которые содержат два уравнения и две переменных. Каждое из них будет являться линейным.

                                                Системы — это материал 7-го класса, но этот урок также будет полезен старшеклассникам, которые хотят освежить свои знания в этой теме.

                                                Вообще, существует два метода решения подобных систем:

                                                1. Метод сложения;
                                                2. Метод выражения одной переменной через другую.

                                                Сегодня мы займемся именно первым методом — будем применять способ вычитания и сложения. Но для этого нужно понимать следующий факт: как только у вас есть два или более уравнений, вы вправе взять любые два из них и сложить друг с другом. Складываются они почленно, т.е. «иксы» складываются с «иксами» и приводятся подобные, «игреки» с «игреками» — вновь приводятся подобные, а то, что стоит справа от знака равенства, также складывается друг с другом, и там тоже приводятся подобные.

                                                Результатами подобных махинаций будет новое уравнение, которое, если и имеет корни, то они обязательно будут находиться среди корней исходного уравнения. Поэтому наша задача — сделать вычитание или сложение таким образом, чтобы или $x$, или $y$ исчез.

                                                Как этого добиться и каким инструментом для этого пользоваться — об этом мы сейчас и поговорим.

                                                Решение легких задач с применением способа сложения

                                                Итак, учимся применять метод сложения на примере двух простейших выражений.

                                                Задача № 1

                                                \[\left\{ \begin{align}& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end{align} \right.\]

                                                Заметим, что у $y$ коэффициент в первом уравнении $-4$, а во втором — $+4$. Они взаимно противоположны, поэтому логично предположить, что если мы их сложим, то в полученной сумме «игреки» взаимно уничтожатся. Складываем и получаем:

                                                \[12x=24\]

                                                Решаем простейшую конструкцию:

                                                \[x=2\]

                                                Прекрасно, мы нашли «икс». Что теперь с ним делать? Мы вправе подставить его в любое из уравнений. Подставим в первое:

                                                \[5\cdot 2-4y=22\]

                                                \[10-4y=22\]

                                                Решаем:

                                                \[-4y=22-10\]

                                                \[-4y=12\left| :\left( -4 \right) \right.\]

                                                \[y=-3\]

                                                Ответ: $\left( 2;-3 \right)$.

                                                Задача № 2

                                                \[\left\{ \begin{align}& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end{align} \right.\]

                                                Здесь полностью аналогичная ситуация, только уже с «иксами». Сложим их:

                                                \[0-10y=-30\]

                                                Мы получили простейшее линейное уравнение, давайте решим его:

                                                \[y=3\]

                                                Теперь давайте найдем $x$:

                                                \[6x-11\cdot 3=-5\]

                                                \[6x=-51+33\]

                                                \[6x=-18\]

                                                \[x=-3\]

                                                Ответ: $\left( -3;3 \right)$.

                                                Важные моменты

                                                Итак, только что мы решили две простейших системы линейных уравнений методом сложения. Еще раз ключевые моменты:

                                                1. Если есть противоположные коэффициенты при одной из переменных, то необходимо сложить все переменные в уравнении. В этом случае одна из них уничтожится.
                                                2. Найденную переменную подставляем в любое из уравнений системы, чтобы найти вторую.
                                                3. Окончательную запись ответа можно представить по-разному. Например, так — $x=…,y=…$, или в виде координаты точек — $\left( …;… \right)$. Второй вариант предпочтительней. Главное помнить, что первой координатой идет $x$, а второй — $y$.
                                                4. Правило записывать ответ в виде координат точки применимо не всегда. Например, его нельзя использовать, когда в роли переменных выступают не $x$ и $y$, а, к примеру, $a$ и $b$.

                                                В следующих задачах мы рассмотрим прием вычитания, когда коэффициенты не противоположны.

                                                Решение легких задач с применением метода вычитания

                                                Задача № 1

                                                \[\left\{ \begin{align}& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end{align} \right.\]

                                                Заметим, что противоположных коэффициентов здесь нет, однако есть одинаковые. Поэтому вычитаем из первого уравнения второе:

                                                \[10x-\left( -6x \right)-3y-\left( -3y \right)=5-\left( -27 \right)\]

                                                \[10x+6x-3y+3y=5+27\]

                                                \[16x=32\left| :16 \right.\]

                                                \[x=2\]

                                                Теперь подставляем значение $x$ в любое из уравнений системы. Давайте в первое:

                                                \[10\cdot 2-3y=5\]

                                                \[20-5=3y\]

                                                \[15=3y\]

                                                \[y=5\]

                                                Ответ: $\left( 2;5 \right)$.

                                                Задача № 2

                                                \[\left\{ \begin{align}& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end{align} \right.\]

                                                Мы снова видим одинаковый коэффициент $5$ при $x$ в первом и во втором уравнении. Поэтому логично предположить, что нужно из первого уравнения вычесть второе:

                                                \[0+6y=-22+4\]

                                                \[6y=-18\left| :6 \right.\]

                                                \[y=-3\]

                                                Одну переменную мы вычислили. Теперь давайте найдем вторую, например, подставив значение $y$ во вторую конструкцию:

                                                \[5x-2\cdot \left( -3 \right)=-4\]

                                                \[5x+6=-4\]

                                                \[5x=-4-6\]

                                                \[5x=-10\left| :5 \right.\]

                                                \[x=-2\]

                                                Ответ: $\left( -3;-2 \right)$.

                                                Нюансы решения

                                                Итак, что мы видим? По существу, схема ничем не отличается от решения предыдущих систем. Отличие только в том, что мы уравнения не складываем, а вычитаем. Мы проводим алгебраическое вычитание.

                                                Другими словами, как только вы видите систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, первое, на что вам необходимо посмотреть — это на коэффициенты. Если они где-либо одинаковые, уравнения вычитаются, а если они противоположные — применяется метод сложения. Всегда это делается для того, чтобы одна из них исчезла, и в итогом уравнении, которая осталась после вычитания, осталась бы только одна переменная.

                                                Разумеется, это еще не все. Сейчас мы рассмотрим системы, в которых уравнения вообще несогласованны. Т.е. нет в них таких переменных, которые были бы либо одинаковые, либо противоположные. В этом случае для решения таких систем применяется дополнительный прием, а именно домножение каждого из уравнений на специальный коэффициент. Как найти его и как решать вообще такие системы, сейчас мы об этом и поговорим.

                                                Решение задач методом домножения на коэффициент

                                                Пример № 1

                                                \[\left\{ \begin{align}& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end{align} \right.\]

                                                Мы видим, что ни при $x$, ни при $y$ коэффициенты не только не взаимно противоположны, но и вообще никак не соотносятся с другим уравнением. Эти коэффициенты никак не исчезнут, даже если мы сложим или вычтем уравнения друг из друга. Поэтому необходимо применить домножение. Давайте попытаемся избавиться от переменной $y$. Для этого мы домножим первое уравнение на коэффициент при $y$ из второго уравнения, а второе уравнение — при $y$ из первого уравнения, при этом не трогая знак. Умножаем и получаем новую систему:

                                                \[\left\{ \begin{align}& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end{align} \right.\]

                                                Смотрим на нее: при $y$ противоположные коэффициенты. В такой ситуации необходимо применять метод сложения. Сложим:

                                                \[37x=148\]

                                                \[x=4\]

                                                Теперь необходимо найти $y$. Для этого подставим $x$ в первое выражение:

                                                \[5\cdot 4-9y=38\]

                                                \[20-9y=38\]

                                                \[-9y=18\left| :\left( -9 \right) \right.\]

                                                \[y=-2\]

                                                Ответ: $\left( 4;-2 \right)$.

                                                Пример № 2

                                                \[\left\{ \begin{align}& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end{align} \right.\]

                                                Вновь коэффициенты ни при одной из переменных не согласованы. Домножим на коэффициенты при $y$:

                                                \[\left\{ \begin{align}& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end{align} \right.\]

                                                \[\left\{ \begin{align}& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end{align} \right.\]

                                                Наша новая система равносильна предыдущей, однако коэффициенты при $y$ являются взаимно противоположными, и поэтому здесь легко применить метод сложения:

                                                \[118x=-136\]

                                                \[x=-2\]

                                                Теперь найдем $y$, подставив $x$ в первое уравнение:

                                                \[11\cdot \left( -2 \right)+4y=-18\]

                                                \[-22+4y=-18\]

                                                \[4y=4\]

                                                \[y=1\]

                                                Ответ: $\left( -2;1 \right)$.

                                                Нюансы решения

                                                Ключевое правило здесь следующее: всегда умножаем лишь на положительные числа — это избавит вас от глупых и обидных ошибок, связанных с изменением знаков. А вообще, схема решения довольно проста:

                                                1. Смотрим на систему и анализируем каждое уравнение.
                                                2. Если мы видим, что ни при $y$, ни при $x$ коэффициенты не согласованы, т.е. они не являются ни равными, ни противоположными, то делаем следующее: выбираем переменную, от которой нужно избавиться, а затем смотрим на коэффициенты при этих уравнениях. Если первое уравнение домножим на коэффициент из второго, а второе, соответственное, домножим на коэффициент из первого, то в итоге мы получим систему, которая полностью равносильна предыдущей, и коэффициенты при $y$ будут согласованы. Все наши действия или преобразования направлены лишь на то, чтобы получить одну переменную в одном уравнении.
                                                3. Находим одну переменную.
                                                4. Подставляем найденную переменную в одно из двух уравнений системы и находим вторую.
                                                5. Записываем ответ в виде координаты точек, если у нас переменные $x$ и $y$.

                                                Но даже в таком нехитром алгоритме есть свои тонкости, например, коэффициенты при $x$ или $y$ могут быть дробями и прочими «некрасивыми» числами. Эти случаи мы сейчас рассмотрим отдельно, потому что в них можно действовать несколько иначе, чем по стандартному алгоритму.

                                                Решение задач с дробными числами

                                                Пример № 1

                                                \[\left\{ \begin{align}& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end{align} \right.\]

                                                Для начала заметим, что во втором уравнении присутствуют дроби. Но заметим, что можно разделить $4$ на $0,8$. Получим $5$. Давайте второе уравнение домножим на $5$:

                                                \[\left\{ \begin{align}& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end{align} \right.\]

                                                Вычитаем уравнения друг из друга:

                                                \[0-15,5n=62\]

                                                \[n=\frac{65}{-15,5}=-\frac{124}{31}=-4\]

                                                $n$ мы нашли, теперь посчитаем $m$:

                                                \[4m-3\cdot \left( -4 \right)=32\]

                                                \[4m+12=32\]

                                                \[4m=20\]

                                                \[m=5\]

                                                Ответ: $n=-4;m=5$

                                                Пример № 2

                                                \[\left\{ \begin{align}& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end{align} \right.\]

                                                Здесь, как и в предыдущей системе, присутствуют дробные коэффициенты, однако ни при одной из переменных коэффициенты в целое число раз друг в друга не укладываются. Поэтому используем стандартный алгоритм. Избавится от $p$:

                                                \[\left\{ \begin{align}& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end{align} \right.\]

                                                Применяем метод вычитания:

                                                \[15,5k=-31\]

                                                \[k=-\frac{31}{15,5}=-\frac{62}{31}=-2\]

                                                Давайте найдем $p$, подставив $k$ во вторую конструкцию:

                                                \[2p-5\cdot \left( -2 \right)=2\]

                                                \[2p-5\cdot \left( -2 \right)=2\]

                                                \[2p+10=2\]

                                                \[2p=-8\]

                                                \[p=-4\]

                                                Ответ: $p=-4;k=-2$.

                                                Нюансы решения

                                                Вот и вся оптимизация. В первом уравнении мы не стали домножать вообще ни на что, а второе уравнение домножили на $5$. В итоге мы получили согласованное и даже одинаковое уравнение при первой переменной. Во второй системе мы действовали по стандартному алгоритму.

                                                Но как найти числа, на которые необходимо домножать уравнения? Ведь если домножать на дробные числа, мы получим новые дроби. Поэтому дроби необходимо домножить на число, которое бы дало новое целое число, а уже после этого домножать переменные на коэффициенты, следуя стандартному алгоритму.

                                                В заключение хотел бы обратить ваше внимание на формат записи ответа. Как я уже и говорил, поскольку здесь у нас тут не $x$ и $y$, а другие значения, мы пользуемся нестандартной записью вида:

                                                \[n=-4\]

                                                \[m=5\]

                                                Решение сложных систем уравнений

                                                В качестве заключительного аккорда к сегодняшнему видеоуроку давайте рассмотрим пару действительно сложных систем. Их сложность будет состоять в том, что в них и слева, и справа будут стоять переменные. Поэтому для их решения нам придется применять предварительную обработку.

                                                Система № 1

                                                \[\left\{ \begin{align}& 3\left( 2x-y \right)+5=-2\left( x+3y \right)+4 \\& 6\left( y+1 \right)-1=5\left( 2x-1 \right)+8 \\\end{align} \right.\]

                                                Каждое уравнение несет в себе определенную сложность. Поэтому с каждым выражением давайте поступим как с обычной линейной конструкцией.

                                                Первая:

                                                \[3\left( 2x-y \right)+5=-2\left( x+3y \right)+4\]

                                                \[6x-3y+5=-2x-6y+4\]

                                                \[6x-3y+2x+6y=4-5\]

                                                \[8x+3y=-1\]

                                                Вторая:

                                                \[6\left( y+1 \right)-1=5\left( 2x-1 \right)+8\]

                                                \[6y+6-1=10x-5+8\]

                                                \[6y-10x=-5+8-6+1\]

                                                \[-10x+6y=-2\]

                                                Итого мы получим окончательную систему, которая равносильна исходной:

                                                \[\left\{ \begin{align}& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end{align} \right.\]

                                                Посмотрим на коэффициенты при $y$: $3$ укладывается в $6$ два раза, поэтому домножим первое уравнение на $2$:

                                                \[\left\{ \begin{align}& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end{align} \right.\]

                                                Коэффициенты при $y$ теперь равны, поэтому вычитаем из первого уравнения второе: $$

                                                \[26x=0\]

                                                \[x=0\]

                                                Теперь найдем $y$:

                                                \[3y=-1\]

                                                \[y=-\frac{1}{3}\]

                                                Ответ: $\left( 0;-\frac{1}{3} \right)$

                                                Система № 2

                                                \[\left\{ \begin{align}& 4\left( a-3b \right)-2a=3\left( b+4 \right)-11 \\& -3\left( b-2a \right)-12=2\left( a-5 \right)+b \\\end{align} \right.\]

                                                Преобразуем первое выражение:

                                                \[4\left( a-3b \right)-2a=3\left( b+4 \right)-11\]

                                                \[4a-12b-2a=3b+12-11\]

                                                \[4a-12b-2a-3b=12-11\]

                                                \[2a-15b=1\]

                                                Разбираемся со вторым:

                                                \[-3\left( b-2a \right)-12=2\left( a-5 \right)+b\]

                                                \[-3b+6a-12=2a-10+b\]

                                                \[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

                                                \[4a-4b=2\]

                                                Итого, наша первоначальная система примет такой вид:

                                                \[\left\{ \begin{align}& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end{align} \right.\]

                                                Посмотрев на коэффициенты при $a$, мы видим, что первое уравнение нужно домножить на $2$:

                                                \[\left\{ \begin{align}& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end{align} \right.\]

                                                Вычитаем из первой конструкции вторую:

                                                \[0-26b=0\]

                                                \[-26b=0\]

                                                \[b=0\]

                                                Теперь найдем $a$:

                                                \[2a-0=1\]

                                                \[a=\frac{1}{2}\]

                                                Ответ: $\left( a=\frac{1}{2};b=0 \right)$.

                                                Вот и все. Надеюсь, этот видеоурок поможет вам разобраться в этой нелегкой теме, а именно в решении систем простых линейных уравнений. Дальше еще будет много уроков, посвященных этой теме: мы разберем более сложные примеры, где переменных будет больше, а сами уравнения уже будут нелинейными. До новых встреч!

                                                Смотрите также:

                                                1. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №5
                                                2. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
                                                3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 10 (без логарифмов)
                                                4. Как решать задачи про смеси и сплавы
                                                5. Задача B5: площадь фигуры без клеток

                                                Систем уравнений с двумя переменными

                                                Введение в системы уравнений

                                                Система уравнений состоит из двух или более уравнений с двумя или более переменными, где любое решение должно одновременно удовлетворять всем уравнениям в системе.

                                                Цели обучения

                                                Объясните, какие системы уравнений могут представлять

                                                Основные выводы

                                                Ключевые моменты
                                                • Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.
                                                • Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно.
                                                • Чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть как минимум столько же уравнений, сколько переменных.
                                                • Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является любая упорядоченная пара [латекс] (x, y) [/ latex], которая удовлетворяет каждому уравнению независимо. Графически решения — это точки пересечения линий.
                                                Ключевые термины
                                                • Система линейных уравнений : Набор из двух или более уравнений, состоящих из двух или более переменных, которые рассматриваются одновременно.
                                                • зависимая система : система линейных уравнений, в которой два уравнения представляют
                                                  одну и ту же линию; существует бесконечное количество решений зависимой системы.
                                                • несовместимая система : Система линейных уравнений без общего решения, потому что они
                                                  представляют собой параллельные линии, которые не имеют общих точек или прямых.
                                                • независимая система : Система линейных уравнений с ровно одной парой решений [latex] (x, y) [/ latex].

                                                Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям системы одновременно.Некоторые линейные системы могут не иметь решения, в то время как другие могут иметь бесконечное количество решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть по крайней мере столько же уравнений, сколько переменных. Даже в этом случае это не гарантирует уникального решения.

                                                В этом разделе мы сосредоточимся в первую очередь на системах линейных уравнений, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными:

                                                [латекс] 2x + y = 15 \ 3x — y = 5 [/ латекс]

                                                Решение системы линейных уравнений с двумя переменными — это любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо.В этом примере упорядоченная пара (4, 7) является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям.

                                                [латекс] 2 (4) + 7 = 15 \\ 3 (4) — 7 = 5 [/ латекс]

                                                Оба эти утверждения верны, поэтому [latex] (4, 7) [/ latex] действительно является решением системы уравнений.

                                                Обратите внимание, что система линейных уравнений может содержать более двух уравнений и более двух переменных.Например,

                                                [латекс] 3x + 2y — z = 12 \\ x — 2y + 4z = -2 \\ -x + 12y -z = 0 [/ латекс]

                                                — это система трех уравнений с тремя переменными [латекс] x, y, z [/ latex]. Решение системы выше дается

                                                [латекс] x = 1 \ y = -2 \ z = — 2 [/ латекс]

                                                , поскольку он делает все три уравнения действительными.

                                                Типы линейных систем и их решения

                                                В общем, линейная система может вести себя одним из трех возможных способов:

                                                1. Система имеет единственное уникальное решение .
                                                2. В системе нет решения .
                                                3. В системе бесконечно много решений .

                                                Каждая из этих возможностей представляет собой определенный тип системы линейных уравнений с двумя переменными. Каждый из них может отображаться графически, как показано ниже. Обратите внимание, что решение системы линейных уравнений — это любая точка, в которой линии пересекаются.

                                                Системы линейных уравнений: Графические представления трех типов систем.

                                                Независимая система имеет ровно одну пару решений [latex] (x, y) [/ latex]. Точка пересечения двух линий — единственное решение.

                                                Непоследовательная система не имеет решения. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекутся.

                                                У зависимой системы бесконечно много решений. Линии точно такие же, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

                                                Графическое решение систем

                                                Простой способ решить систему уравнений — это найти точку или точки пересечения уравнений.Это графический метод.

                                                Цели обучения

                                                Графическое решение системы уравнений с двумя переменными

                                                Основные выводы

                                                Ключевые моменты
                                                • Чтобы решить систему уравнений графически, нанесите уравнения на график и укажите точки пересечения как решения. У системы уравнений может быть несколько решений.
                                                • Система линейных уравнений будет иметь одну точку пересечения или одно решение.
                                                • Чтобы построить график системы уравнений, записанных в стандартной форме, вы должны переписать уравнения в форме пересечения углов наклона.
                                                Ключевые термины
                                                • Система уравнений : Набор уравнений с несколькими переменными, которые могут быть решены с использованием определенного набора значений.
                                                • Графический метод : способ визуального поиска набора значений, который решает систему уравнений.

                                                Система уравнений (также известная как одновременные уравнения) — это система уравнений с несколькими переменными, которая решается, когда значения всех переменных одновременно удовлетворяют всем уравнениям.Наиболее распространенные способы решения системы уравнений:

                                                • Графический метод
                                                • Метод замещения
                                                • Метод исключения

                                                Здесь мы обратимся к графическому методу.

                                                Графическое решение систем

                                                Некоторые системы имеют только один набор правильных ответов, в то время как другие имеют несколько наборов, которые удовлетворяют всем уравнениям. Графически показано, что набор уравнений, решенных только с одним набором ответов, будет иметь только одну точку пересечения, как показано ниже.Эта точка считается решением системы уравнений. В наборе линейных уравнений (например, на изображении ниже) есть только одно решение.

                                                Система линейных уравнений с двумя переменными : На этом графике показана система уравнений с двумя переменными и только один набор ответов, который удовлетворяет обоим уравнениям.

                                                Система с двумя наборами ответов, которые удовлетворяют обоим уравнениям, имеет две точки пересечения (таким образом, два решения системы), как показано на изображении ниже.

                                                Система уравнений с несколькими ответами: Это пример системы уравнений, показанной графически, которая имеет два набора ответов, которые удовлетворяют обоим уравнениям в системе.

                                                Преобразование в форму пересечения уклона

                                                Прежде чем успешно решить систему графически, необходимо понять, как графически отображать уравнения, записанные в стандартной форме, или [latex] Ax + By = C [/ latex]. Вы всегда можете использовать графический калькулятор для графического представления уравнений, но полезно знать, как самостоятельно формулировать такие уравнения.

                                                Для этого вам необходимо преобразовать уравнения в форму пересечения наклона или [латекс] y = mx + b [/ latex], где м = наклон и b = пересечение по оси y.

                                                Лучший способ преобразовать уравнение в форму пересечения наклона — сначала выделить переменную y , а затем разделить правую часть на B , как показано ниже.

                                                [латекс] \ begin {align} \ displaystyle Ax + By & = C \\ By & = — Ax + C \\ y & = \ frac {-Ax + C} {B} \\ y & = — \ frac {A} { B} x + \ frac {C} {B} \ end {align} [/ latex]

                                                Теперь [latex] \ displaystyle — \ frac {A} {B} [/ latex] — это уклон м, и [latex] \ displaystyle \ frac {C} {B} [/ latex] — точка пересечения по оси Y б .

                                                Определение решений на графике

                                                После того, как вы преобразовали уравнения в форму с пересечением наклона, вы можете построить графики для уравнений. Чтобы определить решения системы уравнений, определите точки пересечения между графическими уравнениями. Упорядоченная пара, которая представляет собой пересечение (я), представляет собой решение (я) системы уравнений.

                                                Метод замещения

                                                Метод подстановки — это способ решения системы уравнений путем выражения уравнений только с помощью одной переменной.

                                                Цели обучения

                                                Решите системы уравнений с двумя переменными с помощью замены

                                                Основные выводы

                                                Ключевые моменты
                                                • Система уравнений — это система уравнений, которая может быть решена с использованием определенного набора значений.
                                                • Метод подстановки работает, выражая одну из переменных через другую, затем подставляя ее обратно в исходное уравнение и упрощая его.
                                                • Очень важно проверить свою работу после того, как вы нашли набор значений для переменных.Сделайте это, подставив найденные вами значения обратно в исходные уравнения.
                                                • Решение системы уравнений можно записать в виде упорядоченной пары ( x , y ).
                                                Ключевые термины
                                                • метод подстановки : Метод решения системы уравнений путем выражения уравнения только одной переменной
                                                • Система уравнений : Набор уравнений с несколькими переменными, которые могут быть решены с использованием определенного набора значений.

                                                Метод подстановки для решения систем уравнений — это способ упростить систему уравнений, выразив одну переменную через другую, тем самым удалив одну переменную из уравнения. Когда полученное упрощенное уравнение имеет только одну переменную, с которой можно работать, уравнение становится разрешимым.

                                                Метод замещения состоит из следующих шагов:

                                                1. В первом уравнении решите одну из переменных через другие.
                                                2. Подставьте это выражение в остальные уравнения.
                                                3. Продолжайте, пока не сведете систему к одному линейному уравнению.
                                                4. Решите это уравнение, а затем выполняйте обратную замену, пока решение не будет найдено.

                                                Решение методом замещения

                                                Попрактикуемся в этом, решив следующую систему уравнений:

                                                [латекс] x-y = -1 [/ латекс]

                                                [латекс] x + 2y = -4 [/ латекс]

                                                Начнем с решения первого уравнения, чтобы выразить x через y .

                                                [латекс] \ begin {align} \ displaystyle x-y & = — 1 \\ x & = y-1 \ end {align} [/ latex]

                                                Затем мы заменим наше новое определение x во второе уравнение:

                                                [латекс] \ displaystyle \ begin {align} x + 2y & = — 4 \\ (y-1) + 2y & = — 4 \ end {align} [/ latex]

                                                Обратите внимание, что теперь это уравнение имеет только одну переменную (y). Затем мы можем упростить это уравнение и решить относительно y :

                                                [латекс] \ displaystyle \ begin {align} (y-1) + 2y & = — 4 \\ 3y-1 & = — 4 \\ 3y & = — 3 \\ y & = — 1 \ end {align} [/ latex]

                                                Теперь, когда мы знаем значение y , мы можем использовать его, чтобы найти значение другой переменной, x. Для этого подставьте значение y в первое уравнение и решите относительно x .

                                                [латекс] \ displaystyle \ begin {align} x-y & = — 1 \\ x — (- 1) & = — 1 \\ x + 1 & = — 1 \\ x & = — 1-1 \\ x & = — 2 \ end {align} [/ latex]

                                                Таким образом, решение системы: [latex] (- 2, -1) [/ latex], то есть точка, где две функции графически пересекаются. Проверьте решение, подставив значения в одно из уравнений.

                                                [латекс] \ displaystyle \ begin {align} x-y & = — 1 \\ (- 2) — (- 1) & = — 1 \\ — 2 + 1 & = — 1 \\ — 1 & = — 1 \ end {align} [/ латекс]

                                                Метод исключения

                                                Метод исключения используется для исключения переменной, чтобы упростить поиск оставшейся переменной (переменных) в системе уравнений.

                                                Цели обучения

                                                Решите системы уравнений с двумя переменными методом исключения

                                                Основные выводы

                                                Ключевые моменты
                                                • Этапы метода исключения следующие: (1) составьте уравнения так, чтобы переменные выстроились в линию, (2) измените одно уравнение, чтобы оба уравнения использовали согласованную переменную, которую можно исключить, (3) сложите уравнения, чтобы исключить переменную, (4) решить и (5) выполнить обратную замену для поиска другой переменной.
                                                • Всегда проверяйте ответ.Это делается путем включения обоих значений в одно или оба исходных уравнения.
                                                Ключевые термины
                                                • метод исключения : Процесс решения системы уравнений путем исключения одной переменной для более простого решения оставшейся переменной.
                                                • Система уравнений : Набор уравнений с несколькими переменными, которые могут быть решены с использованием определенного набора значений.

                                                Метод исключения для решения систем уравнений, также известный как исключение добавлением , представляет собой способ исключения одной из переменных в системе, чтобы более просто оценить оставшуюся переменную.После успешного нахождения значений остальных переменных они подставляются в исходное уравнение, чтобы найти правильное значение для другой переменной.

                                                Метод исключения включает следующие шаги:

                                                1. Перепишите уравнения так, чтобы переменные выровнялись.
                                                2. Измените одно уравнение так, чтобы оба уравнения имели переменную, которая компенсируется при сложении уравнений.
                                                3. Добавьте уравнения и удалите переменную.
                                                4. Найдите оставшуюся переменную.
                                                5. Обратно подставить и решить для другой переменной.

                                                Решение методом исключения

                                                Метод исключения можно продемонстрировать на простом примере:

                                                [латекс] \ displaystyle 4x + y = 8 \\ 2y + x = 9 [/ латекс]

                                                Сначала выровняйте переменные, чтобы уравнения можно было легко сложить на более позднем этапе:

                                                [латекс] \ displaystyle \ begin {align} 4x + y & = 8 \\ x + 2y & = 9 \ end {align} [/ latex]

                                                Затем посмотрите, не настроены ли уже какие-либо переменные таким образом, что их сложение приведет к их исключению из системы.Если нет, умножьте одно уравнение на число, позволяющее компенсировать переменные. В этом примере переменную y можно исключить, если мы умножим верхнее уравнение на [латекс] -2 [/ латекс], а затем сложим уравнения.

                                                Шаг умножения:

                                                [латекс] \ displaystyle \ begin {align} -2 (4x + y & = 8) \\ x + 2y & = 9 \ end {align} [/ latex]

                                                Результат:

                                                [латекс] \ displaystyle \ begin {align} -8x-2y & = — 16 \\ x + 2y & = 9 \ end {align} [/ latex]

                                                Теперь добавьте уравнения, чтобы исключить переменную y .

                                                [латекс] \ displaystyle \ begin {align} -8x + x-2y + 2y & = — 16 + 9 \\ — 7x & = — 7 \ end {align} [/ latex]

                                                Наконец, найдите переменную x .

                                                [латекс] \ displaystyle \ begin {align} -7x & = — 7 \\ x & = \ frac {-7} {- 7} \\ x & = 1 \ end {align} [/ latex]

                                                Затем вернитесь к одному из исходных уравнений и замените найденное нами значение на x . Проще всего выбрать простейшее уравнение, но подойдет любое уравнение.

                                                [латекс] \ displaystyle \ begin {align} 4x + y & = 8 \\ 4 (1) + y & = 8 \\ 4 + y & = 8 \\ y & = 4 \ end {align} [/ latex]

                                                Следовательно, решение уравнения (1,4).Всегда важно проверить ответ, подставив оба этих значения вместо соответствующих переменных в одно из уравнений.

                                                [латекс] \ displaystyle \ begin {align} 4x + y & = 8 \\ 4 (1) + 4 & = 8 \\ 4 + 4 & = 8 \\ 8 & = 8 \ end {align} [/ latex]

                                                Несогласованные и зависимые системы с двумя переменными

                                                Для линейных уравнений с двумя переменными несовместные системы не имеют решений, а зависимые системы имеют бесконечно много решений.

                                                Цели обучения

                                                Объясните, когда системы уравнений с двумя переменными несовместимы или зависимы как графически, так и алгебраически.

                                                Основные выводы

                                                Ключевые моменты
                                                • Графически уравнения в зависимой системе представляют собой одну и ту же линию. Уравнения в противоречивой системе представляют собой параллельные линии, которые никогда не пересекаются.
                                                • Мы можем использовать методы решения систем уравнений для определения зависимых и несовместимых систем: Зависимые системы имеют бесконечное количество решений. Применение методов решения систем уравнений приведет к истинному тождеству, например [латекс] 0 = 0 [/ латекс].Несогласованные системы не имеют решений. Применение методов решения систем уравнений приведет к противоречию, например к утверждению [латекс] 0 = 1 [/ латекс].
                                                Ключевые термины
                                                • несовместимая система : Система линейных уравнений без общего решения, потому что они
                                                  представляют собой параллельные линии, которые не имеют общих точек или прямых.
                                                • независимая система : Система линейных уравнений с ровно одной парой решений.
                                                • зависимая система : система линейных уравнений, в которой два уравнения представляют
                                                  одну и ту же линию; существует бесконечное количество решений зависимой системы.

                                                Напомним, что линейная система может вести себя одним из трех возможных способов:

                                                1. Система имеет единственное уникальное решение.
                                                2. В системе нет решения.
                                                3. В системе бесконечно много решений.

                                                Также напомним, что каждая из этих возможностей соответствует типу системы линейных уравнений с двумя переменными. Независимая система уравнений имеет ровно одно решение [latex] (x, y) [/ latex]. Несогласованная система не имеет решения, а зависимая система имеет бесконечное количество решений.

                                                В предыдущих модулях обсуждалось, как найти решение для независимой системы уравнений. Теперь мы сосредоточимся на выявлении зависимых и несовместимых систем линейных уравнений.

                                                Зависимые системы

                                                Уравнения линейной системы независимы , если ни одно из уравнений не может быть получено алгебраически из других. Когда уравнения независимы, каждое уравнение содержит новую информацию о переменных, и удаление любого из уравнений увеличивает размер набора решений.Системы, которые не являются независимыми, по определению зависимые . Уравнения в зависимой системе могут выводиться друг из друга; они описывают одну и ту же линию. Они не добавляют новую информацию о переменных, и потеря уравнения из зависимой системы не изменяет размер набора решений.

                                                Мы можем применять методы замены или исключения для решения систем уравнений, чтобы идентифицировать зависимые системы. Зависимые системы имеют бесконечное количество решений, потому что все точки на одной линии также находятся на другой линии.После использования замены или добавления результирующее уравнение будет идентичным, например [латекс] 0 = 0 [/ латекс].

                                                Например, рассмотрим два уравнения

                                                [латекс] 3x + 2y = 6 \ 6x + 4y = 12 [/ латекс]

                                                Мы можем применить метод исключения для их оценки. Если бы мы умножили первое уравнение на коэффициент [латекс] -2 [/ латекс], мы получили бы:

                                                [латекс] \ displaystyle \ begin {align} -2 (3x + 2y & = 6) \\ — 6x-4y & = — 12 \ end {align} [/ latex]

                                                Добавление этого ко второму уравнению даст [латекс] 0 = 0 [/ латекс].Таким образом, две линии зависимы. Также обратите внимание, что это одно и то же уравнение, увеличенное в два раза; другими словами, второе уравнение может быть получено из первого.

                                                На графике два уравнения образуют идентичные линии, как показано ниже.

                                                Зависимая система : Уравнения [латекс] 3x + 2y = 6 [/ latex] и [latex] 6x + 4y = 12 [/ latex] являются зависимыми, и при отображении на графике они образуют одну и ту же линию.

                                                Обратите внимание, что существует бесконечное количество решений для зависимой системы, и эти решения относятся к общей линии.

                                                Несогласованные системы

                                                Линейная система непротиворечива, если у нее есть решение, и непоследовательна в противном случае. Напомним, что графическое представление несовместимой системы состоит из параллельных линий, которые имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения [latex] y [/ latex]. Они никогда не пересекутся.

                                                Мы также можем применять методы решения систем уравнений для выявления несовместимых систем. Когда система несовместима, можно вывести противоречие из уравнений, например, утверждение [латекс] 0 = 1 [/ латекс].

                                                Рассмотрим следующие два уравнения:

                                                [латекс] 3x + 2y = 6 \ 3x + 2y = 12 [/ латекс]

                                                Мы можем применить метод исключения, чтобы попытаться решить эту систему. Вычитая первое уравнение из второго, обе переменные удаляются, и мы получаем [латекс] 0 = 6 [/ латекс]. Это противоречие, и мы можем определить, что это несовместимая система. Графики этих уравнений на плоскости [latex] xy [/ latex] представляют собой пару параллельных линий.

                                                Несогласованная система: Уравнения [латекс] 3x + 2y = 6 [/ латекс] и [латекс] 3x + 2y = 12 [/ латекс] несовместимы.

                                                В общем случае несоответствия возникают, если левые части уравнений в системе линейно зависимы, а постоянные члены не удовлетворяют соотношению зависимости. Система уравнений, левые части которой линейно независимы, всегда непротиворечива.

                                                Приложения систем уравнений

                                                Системы уравнений могут использоваться для решения многих реальных задач, в которых для одних и тех же переменных используется несколько ограничений.

                                                Цели обучения

                                                Применение систем уравнений с двумя переменными к реальным примерам

                                                Основные выводы

                                                Ключевые моменты
                                                • Если у вас есть проблема, которая включает несколько переменных, вы можете решить ее, создав систему уравнений.
                                                • После определения переменных определите отношения между ними и запишите их в виде уравнений.
                                                Ключевые термины
                                                • Система уравнений : Набор уравнений с несколькими переменными, которые могут быть решены с использованием определенного набора значений.
                                                Системы уравнений в реальном мире

                                                Система уравнений, также известная как одновременные уравнения, представляет собой набор уравнений с несколькими переменными. Ответ на систему уравнений — это набор значений, который удовлетворяет всем уравнениям в системе, и таких ответов может быть много для любой данной системы.Ответы обычно записываются в виде упорядоченной пары: [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]. Подходы к решению системы уравнений включают замену и исключение, а также графические методы.

                                                Существует несколько практических приложений систем уравнений. Они подробно показаны ниже.

                                                Планирование мероприятия

                                                Система уравнений может использоваться для решения задачи планирования, когда необходимо учитывать несколько ограничений:

                                                Эмили устраивает большую вечеринку после школы.Принципал наложил два ограничения. Во-первых, общее количество людей (учителей и студентов, вместе взятых) должно составлять [латекс] 56 [/ латекс]. Во-вторых, на каждые семь учеников должен приходиться один учитель. Итак, сколько учеников и сколько учителей приглашено на вечеринку?

                                                Во-первых, нам нужно идентифицировать и назвать наши переменные. В данном случае нашими переменными являются учителя и ученики. Количество учителей будет [латекс] Т [/ латекс], а количество учеников — [латекс] S [/ латекс].

                                                Теперь нам нужно составить наши уравнения.Существует ограничение, ограничивающее общее количество людей [латекс] 56 [/ латекс], поэтому:

                                                [латекс] T + S = 56 [/ латекс]

                                                На каждые семь учеников должен приходиться один учитель, поэтому:

                                                [латекс] \ frac {S} {7} = T [/ латекс]

                                                Теперь у нас есть система уравнений, которую можно решить с помощью подстановки, исключения или графически. Решение системы: [латекс] S = 49 [/ латекс] и [латекс] T = 7 [/ латекс].

                                                Поиск неизвестных количеств

                                                Этот следующий пример показывает, как системы уравнений используются для нахождения величин.

                                                Группа студентов и учителей [латекс] 75 [/ латекс] в поле собирает сладкий картофель для нуждающихся. Кейси собирает в три раза больше сладкого картофеля, чем Дэвис, а затем, возвращаясь к машине, берет еще пять! Глядя на ее недавно увеличившуюся кучу, Дэвис замечает: «Ух ты, у тебя [латекса] 29 [/ латекса] картофеля больше, чем у меня!» Сколько сладкого картофеля собрали Кейси и Дэвис каждый?

                                                Чтобы решить, мы сначала определяем наши переменные. Количество сладкого картофеля, которое собирает Кейси, — [латекс] K [/ латекс], а количество сладкого картофеля, которое собирает Дэвис, — [латекс] D [/ латекс].

                                                Теперь мы можем писать уравнения на основе ситуации:

                                                [латекс] К-5 = 3D [/ латекс]

                                                [латекс] D + 29 = K [/ латекс]

                                                Отсюда замена, исключение или построение графика покажут, что [латекс] K = 41 [/ латекс] и [латекс] D = 12 [/ латекс].

                                                Важно всегда проверять свои ответы. Хороший способ проверить решения системы уравнений — это посмотреть на функции графически, а затем увидеть, где пересекаются графики. Или вы можете подставить свои ответы в каждое уравнение и убедиться, что они приводят к точным решениям.

                                                Другие приложения

                                                Существует множество других приложений для систем уравнений, таких как определение того, какой ландшафтный дизайнер предлагает лучшее предложение, сколько разные операторы сотовой связи взимают за минуту, или сравнение информации о питании в рецептах.

                                                Система линейных уравнений — Линейная алгебра с приложениями

                                                Практические задачи во многих областях науки, таких как биология, бизнес, химия, информатика, экономика, электроника, инженерия, физика и социальные науки, часто можно свести к решению системы линейных уравнений.Линейная алгебра возникла из попыток найти систематические методы решения этих систем, поэтому естественно начать эту книгу с изучения линейных уравнений.

                                                Если, и — действительные числа, график уравнения вида

                                                — прямая линия (если и не равны нулю), поэтому такое уравнение называется линейным уравнением в переменных и. Однако часто удобно записывать переменные как, особенно когда задействовано более двух переменных.Уравнение вида

                                                называется линейным уравнением в переменных. Здесь обозначают действительные числа (называемые коэффициентами соответственно), а также число (называемое постоянным членом уравнения). Конечный набор линейных уравнений в переменных называется системой линейных уравнений для этих переменных. Следовательно,

                                                — линейное уравнение; коэффициенты при, и равны, и, а постоянный член равен.Обратите внимание, что каждая переменная в линейном уравнении встречается только в первой степени.

                                                Для линейного уравнения последовательность чисел называется решением уравнения, если

                                                , то есть, если уравнение удовлетворяется при выполнении замен. Последовательность чисел называется решением системы уравнений, если она является решением каждого уравнения в системе.

                                                Система может вообще не иметь решения, может иметь уникальное решение или может иметь бесконечное семейство решений.Например, система не имеет решения, потому что сумма двух чисел не может быть одновременно 2 и 3. Система, у которой нет решения, называется несогласованной ; система с хотя бы одним решением называется согласованная .

                                                Покажите, что для произвольных значений и

                                                — это решение системы

                                                Просто подставьте эти значения,, и в каждое уравнение.

                                                Поскольку оба уравнения удовлетворяются, это решение для всех вариантов и.

                                                Величины и в этом примере называются параметрами , а набор решений, описанный таким образом, считается заданным в параметрической форме и называется общим решением для системы. Оказывается, что решения каждой системы уравнений (если — это решений) могут быть даны в параметрической форме (то есть, переменные, задаются в терминах новых независимых переменных и т. Д. .).

                                                Когда задействованы только две переменные, решения систем линейных уравнений могут быть описаны геометрически, потому что график линейного уравнения представляет собой прямую линию, если и не оба равны нулю. Более того, точка с координатами и лежит на прямой тогда и только тогда, когда — то есть когда, является решением уравнения. Следовательно, решения системы линейных уравнений соответствуют точкам, которые лежат на всех рассматриваемых линиях.

                                                В частности, если система состоит только из одного уравнения, должно быть бесконечно много решений, потому что на прямой бесконечно много точек. Если система имеет два уравнения, есть три возможности для соответствующих прямых:

                                                • Линии пересекаются в одной точке. Тогда в системе есть уникальное решение , соответствующее этой точке.
                                                • Линии параллельны (и четкие) и не пересекаются. Тогда в системе нет решения .
                                                • Строки идентичны. Тогда в системе будет бесконечно много решений — по одному для каждой точки на (общей) прямой.

                                                С тремя переменными график уравнения может быть показан как плоскость и, таким образом, снова дает «картину» множества решений. Однако у этого графического метода есть свои ограничения: когда задействовано более трех переменных, физическое изображение графов (называемых гиперплоскостями) невозможно. Необходимо обратиться к более «алгебраическому» методу решения.

                                                Перед описанием метода мы вводим понятие, упрощающее вычисления. Рассмотрим следующую систему

                                                трех уравнений с четырьмя переменными. Массив чисел

                                                , возникающее в системе, называется расширенной матрицей системы. Каждая строка матрицы состоит из коэффициентов переменных (по порядку) из соответствующего уравнения вместе с постоянным членом. Для наглядности константы разделены вертикальной линией.Расширенная матрица — это просто другой способ описания системы уравнений. Массив коэффициентов при переменных

                                                называется матрицей коэффициентов системы, а
                                                называется постоянной матрицей системы.

                                                Элементарные операции

                                                Алгебраический метод решения систем линейных уравнений описывается следующим образом. Две такие системы называются эквивалентами , если они имеют одинаковый набор решений.Система решается путем написания серии систем, одна за другой, каждая из которых эквивалентна предыдущей системе. Каждая из этих систем имеет тот же набор решений, что и исходная; цель состоит в том, чтобы получить систему, которую легко решить. Каждая система в серии получается из предыдущей системы простой манипуляцией, выбранной так, чтобы она не меняла набор решений.

                                                В качестве иллюстрации мы решаем систему таким образом. На каждом этапе отображается соответствующая расширенная матрица.Исходная система —

                                                Сначала вычтите дважды первое уравнение из второго. В результате получается система

                                                .

                                                , что эквивалентно оригиналу. На этом этапе мы получаем, умножив второе уравнение на. В результате получается эквивалентная система

                                                .

                                                Наконец, мы дважды вычитаем второе уравнение из первого, чтобы получить другую эквивалентную систему.

                                                Теперь эту систему легко решить! И поскольку он эквивалентен исходной системе, он обеспечивает решение этой системы.

                                                Обратите внимание, что на каждом этапе в системе (и, следовательно, в расширенной матрице) выполняется определенная операция для создания эквивалентной системы.

                                                Следующие операции, называемые элементарными операциями , могут в обычном порядке выполняться над системами линейных уравнений для получения эквивалентных систем.

                                                1. Поменять местами два уравнения.
                                                2. Умножьте одно уравнение на ненулевое число.
                                                3. Добавьте одно уравнение, кратное одному, к другому уравнению.

                                                Предположим, что последовательность элементарных операций выполняется над системой линейных уравнений. Тогда результирующая система имеет тот же набор решений, что и исходная, поэтому две системы эквивалентны.

                                                Элементарные операции, выполняемые над системой уравнений, производят соответствующие манипуляции с строками расширенной матрицы. Таким образом, умножение строки матрицы на число означает умножение каждой записи строки на.Добавление одной строки к другой означает добавление каждой записи этой строки к соответствующей записи другой строки. Аналогично производится вычитание двух строк. Обратите внимание, что мы считаем две строки равными, если соответствующие записи совпадают.

                                                В ручных вычислениях (и в компьютерных программах) мы манипулируем строками расширенной матрицы, а не уравнениями. По этой причине мы переформулируем эти элементарные операции для матриц.

                                                Следующие операции называются элементарными операциями со строками матрицы.

                                                1. Поменять местами два ряда.
                                                2. Умножить одну строку на ненулевое число.
                                                3. Добавить кратное одной строки в другую строку.

                                                На иллюстрации выше серия таких операций привела к матрице вида

                                                , где звездочки обозначают произвольные числа. В случае трех уравнений с тремя переменными цель состоит в том, чтобы получить матрицу вида

                                                Это не всегда происходит, как мы увидим в следующем разделе.Вот пример, в котором это действительно происходит.

                                                Решение:
                                                Расширенная матрица исходной системы —

                                                Чтобы создать в верхнем левом углу, мы можем умножить строку с 1 на. Однако можно получить без введения дробей, вычтя строку 2 из строки 1. Результат:

                                                Верхний левый угол теперь используется для «очистки» первого столбца, то есть для создания нулей в других позициях в этом столбце.Сначала отнимите строку 1 от строки 2, чтобы получить

                                                .

                                                Следующее умножение на строку 1 из строки 3. Результат:

                                                .

                                                Это завершает работу над столбцом 1. Теперь мы используем во второй позиции второй строки, чтобы очистить второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и затем добавляя строку 2 к строке 3. Для удобства обе операции со строками сделано за один шаг. Результат

                                                Обратите внимание, что две последние манипуляции не повлияли на первый столбец (во второй строке там стоит ноль), поэтому наши предыдущие усилия там не были подорваны.Наконец, мы очищаем третий столбец. Начните с умножения строки 3 на, чтобы получить

                                                .

                                                Теперь вычтите временную строку 3 из строки 1, а затем добавьте умноженную строку 3 к строке 2, чтобы получить

                                                .

                                                Соответствующие уравнения:, и, которые дают (единственное) решение.

                                                Алгебраический метод, представленный в предыдущем разделе, можно резюмировать следующим образом: Для данной системы линейных уравнений используйте последовательность элементарных операций со строками, чтобы преобразовать расширенную матрицу в «красивую» матрицу (что означает, что соответствующие уравнения легко решить. ).В примере 1.1.3 эта красивая матрица приняла вид

                                                .

                                                Следующие определения определяют хорошие матрицы, которые возникают в этом процессе.

                                                Говорят, что матрица находится в виде ряда строк (и будет называться матрицей рядов , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

                                                1. Все нулевых строк (полностью состоящие из нулей) находятся внизу.
                                                2. Первая ненулевая запись слева в каждой ненулевой строке — это a, называемая ведущей для этой строки.
                                                3. Каждый ведущий элемент находится справа от всех ведущих строк в строках над ним.

                                                Матрица строка-эшелон называется сокращенной строкой-эшелонной формой (и будет называться сокращенной матрицей строка-эшелон , если, кроме того, она удовлетворяет следующему условию:

                                                4. Каждый ведущий элемент — это единственная ненулевая запись в своем столбце.

                                                Матрицы «строка-эшелон» имеют форму «ступеньки», как показано в следующем примере (звездочки указывают произвольные числа).

                                                Ведущие элементы проходят через матрицу «вниз и вправо». Записи выше и справа от ведущих s произвольны, но все записи ниже и слева от них равны нулю. Следовательно, матрица в виде эшелона строк находится в сокращенной форме, если, кроме того, все элементы непосредственно над каждым ведущим равны нулю. Обратите внимание, что матрица в форме эшелона строк может с помощью нескольких дополнительных операций со строками быть приведена к сокращенной форме (используйте операции со строками, чтобы последовательно создавать нули над каждой ведущей единицей, начиная справа).

                                                Важность матриц строка-эшелон вытекает из следующей теоремы.

                                                Каждая матрица может быть приведена к (сокращенной) форме строки-эшелона последовательностью элементарных операций со строками.

                                                Фактически, мы можем дать пошаговую процедуру для фактического нахождения матрицы ряда строк. Обратите внимание: несмотря на то, что существует множество последовательностей операций со строками, которые приведут матрицу к форме ряда строк, та, которую мы используем, является систематической и ее легко программировать на компьютере. Обратите внимание, что алгоритм имеет дело с матрицами в целом, возможно, со столбцами нулей.

                                                Шаг 1. Если матрица полностью состоит из нулей, остановитесь — она ​​уже в виде эшелона строк.

                                                Шаг 2. В противном случае найдите первый столбец слева, содержащий ненулевую запись (назовите его), и переместите строку, содержащую эту запись, в верхнюю позицию.

                                                Шаг 3. Теперь умножьте новую верхнюю строку на, чтобы создать интерлиньяж.

                                                Шаг 4. Вычитая числа, кратные этой строке, из строк под ней, сделайте каждую запись ниже начального нуля. Это завершает первую строку, и все дальнейшие операции со строками выполняются с оставшимися строками.

                                                Шаг 5. Повторите шаги 1–4 для матрицы, состоящей из оставшихся строк.

                                                Процесс останавливается, когда либо на шаге 5 не остается строк, либо оставшиеся строки состоят полностью из нулей.

                                                Обратите внимание на то, что алгоритм Гаусса является рекурсивным: после получения первого интервала процедура повторяется для оставшихся строк матрицы. Это упрощает использование алгоритма на компьютере. Обратите внимание, что в решении примера 1.1.3 не использовался гауссовский алгоритм в том виде, в каком он был написан, потому что первый ведущий не был создан путем деления строки 1 на.Причина этого в том, что он избегает дробей. Однако общий шаблон ясен: создайте ведущие слева направо, используя каждый из них по очереди, чтобы создать нули под ним. Вот один пример.

                                                Решение:

                                                Соответствующая расширенная матрица —

                                                Создайте первую ведущую, поменяв местами строки 1 и 2

                                                Теперь вычтите умноженную строку 1 из строки 2 и вычтите умноженную строку 1 из строки 3.Результат

                                                Теперь вычтите строку 2 из строки 3, чтобы получить

                                                .

                                                Это означает, что следующая сокращенная система уравнений

                                                эквивалентен исходной системе. Другими словами, у них одинаковые решения. Но эта последняя система явно не имеет решения (последнее уравнение требует этого и удовлетворяет, а таких чисел не существует). Следовательно, исходная система не имеет решения.

                                                Для решения линейной системы расширенная матрица преобразуется в сокращенную строку-эшелон, а переменные, соответствующие ведущим, называются ведущими переменными .Поскольку матрица представлена ​​в сокращенной форме, каждая ведущая переменная встречается ровно в одном уравнении, поэтому это уравнение может быть решено для получения формулы для ведущей переменной в терминах не ведущих переменных. Принято называть нелидирующие переменные «свободными» переменными и маркировать их новыми переменными, называемыми параметрами . Каждый выбор этих параметров приводит к решению системы, и каждое решение возникает таким образом. Эта процедура в целом работает и получила название

                                                .

                                                Для решения системы линейных уравнений выполните следующие действия:

                                                1. Перенести расширенную матрицу \ index {расширенную матрицу} \ index {матрица! Расширенная матрица} в сокращенную матрицу-эшелон строк, используя элементарные операции со строками.
                                                2. Если возникает строка, система несовместима.
                                                3. В противном случае присвойте не ведущие переменные (если они есть) в качестве параметров и используйте уравнения, соответствующие сокращенной матрице строки-эшелон, чтобы найти ведущие переменные в терминах параметров.

                                                Существует вариант этой процедуры, в котором расширенная матрица переносится только в строчно-эшелонированную форму. Не ведущие переменные назначаются как параметры, как и раньше. Затем последнее уравнение (соответствующее форме строки-эшелона) используется для решения последней ведущей переменной в терминах параметров.Эта последняя ведущая переменная затем подставляется во все предыдущие уравнения. Затем второе последнее уравнение дает вторую последнюю ведущую переменную, которая также подставляется обратно. Процесс продолжает давать общее решение. Эта процедура называется обратной заменой . Можно показать, что эта процедура численно более эффективна и поэтому важна при решении очень больших систем.

                                                Рейтинг

                                                Можно доказать, что уменьшенная строковая форма матрицы однозначно определяется.То есть, независимо от того, какая серия операций со строками используется для переноса в сокращенную матрицу с эшелонированием строк, результатом всегда будет одна и та же матрица. Напротив, это неверно для матриц ряда строк: разные серии операций со строками могут переносить одну и ту же матрицу в разные матрицы ряда строк. В самом деле, матрица может быть перенесена (с помощью одной строковой операции) в матрицу-эшелон строк, а затем с помощью другой строковой операции в (сокращенную) матрицу-эшелон. Однако — это , правда, что количество ведущих единиц должно быть одинаковым в каждой из этих матриц строка-эшелон (это будет доказано позже).Следовательно, количество зависит только от того, каким образом приведено в строй.

                                                Ранг матрицы — это количество ведущих s в любой матрице строка-эшелон, к которой можно перенести операции со строками.

                                                Вычислить ранг.

                                                Решение:

                                                Приведение к строчной форме

                                                Поскольку эта матрица эшелонов строк имеет два ведущих s, rank.

                                                Предположим, что ранг, где — матрица со строками и столбцами.Тогда потому что ведущие s лежат в разных строках, и потому что ведущие s лежат в разных столбцах. Более того, у ранга есть полезное приложение к уравнениям. Напомним, что система линейных уравнений называется непротиворечивой, если она имеет хотя бы одно решение.

                                                Проба:

                                                Тот факт, что ранг расширенной матрицы равен, означает, что есть ровно ведущие переменные и, следовательно, точно не ведущие переменные. Все эти нелидирующие переменные назначаются как параметры в гауссовском алгоритме, поэтому набор решений включает в себя именно параметры.Следовательно, если существует хотя бы один параметр, а значит, и решений бесконечно много. Если, нет параметров и поэтому единственное решение.

                                                Теорема 1.2.2 показывает, что для любой системы линейных уравнений существуют ровно три возможности:

                                                1. Нет решения . Это происходит, когда ряд встречается в форме эшелона строк. Это тот случай, когда система несовместима.
                                                2. Уникальное решение . Это происходит, когда каждая переменная является ведущей переменной.
                                                3. Бесконечное множество решений . Это происходит, когда система согласована и есть хотя бы одна не ведущая переменная, поэтому задействован хотя бы один параметр.

                                                https://www.geogebra.org/m/cwQ9uYCZ
                                                Пожалуйста, ответьте на эти вопросы после открытия веб-страницы:
                                                1. Для данной линейной системы, что представляет каждая из них?

                                                2. Что можно сказать о решениях, исходя из графика? Есть ли у системы одно решение, нет решения или бесконечно много решений? Почему

                                                3.Измените постоянный член в каждом уравнении на 0, что изменилось на графике?

                                                4. Для следующей линейной системы:

                                                Можете ли вы решить это методом исключения Гаусса? Что вы наблюдаете, когда смотрите на график?

                                                Многие важные проблемы связаны с линейными неравенствами , а не с линейными уравнениями Например, условие для переменных может принимать форму неравенства, а не равенства.Существует метод (называемый симплексным алгоритмом ) для поиска решений системы таких неравенств, который максимизирует функцию вида где и являются фиксированными константами.

                                                Система уравнений с переменными называется однородной , если все постоянные члены равны нулю, то есть если каждое уравнение системы имеет вид

                                                Очевидно, решение такой системы; это называется тривиальным решением .Любое решение, в котором хотя бы одна переменная имеет ненулевое значение, называется нетривиальным решением .
                                                Наша главная цель в этом разделе — дать полезное условие, при котором однородная система имеет нетривиальные решения. Следующий пример поучителен.

                                                Покажите, что следующая однородная система имеет нетривиальные решения.

                                                Решение:

                                                Приведение расширенной матрицы к сокращенной форме эшелона строк описано ниже.

                                                Ведущими переменными являются,, и, например, назначается в качестве параметра.Тогда общее решение:,,,. Следовательно, взяв (скажем), мы получим нетривиальное решение:,,,.

                                                Существование нетривиального решения в примере 1.3.1 обеспечивается наличием параметра в решении. Это связано с тем, что существует не ведущая переменная (в данном случае). Но здесь должно быть не ведущей переменной, потому что есть четыре переменных и только три уравнения (и, следовательно, не более три ведущие переменные).Это обсуждение обобщает доказательство следующей основной теоремы.

                                                Если однородная система линейных уравнений имеет больше переменных, чем уравнений, то она имеет нетривиальное решение (фактически бесконечно много).

                                                Проба:

                                                Предположим, что есть уравнения в переменных, где, и пусть обозначают сокращенную строчно-эшелонированную форму расширенной матрицы. Если есть ведущие переменные, есть не ведущие переменные и, следовательно, параметры. Следовательно, достаточно показать это.Но потому что имеет ведущие единицы и строки, и по гипотезе. Итак, что дает.

                                                Обратите внимание, что обратное утверждение теоремы 1.3.1 неверно: если однородная система имеет нетривиальные решения, она не должна иметь больше переменных, чем уравнения (система имеет нетривиальные решения, но.)

                                                Теорема 1.3.1 очень полезна в приложениях. В следующем примере представлена ​​иллюстрация из геометрии.

                                                Мы называем график уравнения конической , если числа, и не все равны нулю.Покажите, что есть хотя бы одна коника, проходящая через любые пять точек на плоскости, которые не все лежат на одной прямой.

                                                Решение:

                                                Пусть координаты пяти точек будут,,, и. График проходов if

                                                Это дает пять уравнений, по одному для каждого, линейных по шести переменным,,,,, и. Следовательно, по теореме 1.1.3 существует нетривиальное решение. Если все пять точек лежат на линии с уравнением, вопреки предположению. Следовательно, один из « отличен от нуля.

                                                Линейные комбинации и базовые решения

                                                Что касается строк, два столбца считаются равными , если они имеют одинаковое количество записей и соответствующие записи одинаковы. Позвольте и быть столбцами с одинаковым количеством записей. Что касается операций с элементарными строками, их сумма получается путем сложения соответствующих записей, и, если это число, скалярное произведение определяется путем умножения каждой записи на. Точнее:

                                                Сумма скалярных кратных нескольких столбцов называется линейной комбинацией этих столбцов.Например, это линейная комбинация и для любого выбора чисел и.

                                                Решение:

                                                Для, мы должны определить, существуют ли числа, и такие, что, то есть

                                                Приравнивание соответствующих элементов дает систему линейных уравнений,, и для,, и. Путем исключения Гаусса решение есть, и где — параметр. Взяв, мы видим, что это линейная комбинация, и.

                                                Обращаясь к, снова ищем, и такие, что; то есть

                                                , что приводит к уравнениям,, и для действительных чисел, и.Но на этот раз нет , нет решения, которое может проверить читатель, так что не является линейной комбинацией, и.

                                                Наш интерес к линейным комбинациям проистекает из того факта, что они предоставляют один из лучших способов описания общего решения однородной системы линейных уравнений. Когда
                                                решает такую ​​систему с переменными, запишите переменные в виде матрицы столбцов:. Обозначается тривиальное решение. В качестве иллюстрации, общее решение в
                                                Пример 1.3.1 — это,, и, где — параметр, и теперь мы бы выразили это как
                                                , говоря, что общее решение -, где произвольно.

                                                Теперь пусть и — два решения однородной системы с переменными. Тогда любая линейная комбинация этих решений снова оказывается решением системы. В более общем плане:

                                                Фактически, предположим, что типичное уравнение в системе имеет вид, и предположим, что

                                                , являются решениями. Потом и
                                                .
                                                Следовательно, это тоже решение, потому что

                                                Аналогичный аргумент показывает, что Утверждение 1.1 верно для линейных комбинаций более двух решений.

                                                Замечательно то, что каждое решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию определенных частных решений, и, фактически, эти решения легко вычисляются с использованием гауссовского алгоритма. Вот пример.

                                                Решить однородную систему с матрицей коэффициентов

                                                Решение:

                                                Приведение дополненной матрицы к уменьшенной форме —

                                                , поэтому решения являются,,, и методом исключения Гаусса.Следовательно, мы можем записать общее решение в матричной форме

                                                Вот и частные решения, определяемые гауссовским алгоритмом.

                                                Решения и в примере 1.3.5 обозначены следующим образом:

                                                Алгоритм Гаусса систематически выдает решения для любой однородной линейной системы, называемые базовыми решениями , по одному для каждого параметра.

                                                Кроме того, алгоритм дает стандартный способ выразить каждое решение как линейную комбинацию базовых решений, как в Примере 1.3.5, где общее решение принимает вид

                                                Следовательно, вводя новый параметр, мы можем умножить исходное базовое решение на 5 и, таким образом, исключить дроби.

                                                По этой причине:

                                                Любое ненулевое скалярное кратное базового решения будет по-прежнему называться базовым решением.

                                                Точно так же алгоритм Гаусса выдает базовые решения для для каждой однородной системы, по одному для каждого параметра ( нет базовых решений, если система имеет только тривиальное решение).Более того, каждое решение задается алгоритмом как линейная комбинация
                                                этих базовых решений (как в Примере 1.3.5). Если имеет ранг, теорема 1.2.2 показывает, что есть ровно параметры, а значит, и базовые решения. Это доказывает:

                                                Найдите основные решения однородной системы с матрицей коэффициентов и выразите каждое решение как линейную комбинацию основных решений, где

                                                Решение:

                                                Приведение расширенной матрицы к сокращенной строчно-эшелонированной форме —

                                                , поэтому общее решение — это,,,, и где, и — параметры.В матричной форме это

                                                Следовательно, базовые решения —

                                                Решение систем уравнений с помощью построения графиков

                                                Хотя системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными могут быть решены с помощью алгебры, это также возможно для систем уравнений путем построения графика каждого уравнения в системе. В приведенных ниже примерах вы увидите, как найти решение системы уравнений на основе графика, как определить, нет ли решений, и как определить, существует ли бесконечно много решений.Вы также увидите пример нелинейной системы и ее график.

                                                реклама

                                                График системы уравнений с одним решением

                                                Рассмотрим следующую систему уравнений.

                                                \ (\ begin {array} {l} x + 2y = 8 \\ \\ x-2y = -4 \ end {array} \)

                                                Если вы решите эту систему, используя метод сложения, вы обнаружите, что \ (x = 2 \) и \ (y = 3 \). Но как это выглядит на графике?

                                                Обратите внимание, что две прямые пересекаются ровно в одной точке, и это точка \ ((2, 3) \). Для любой системы с одним решением графики будут пересекаться в одной точке, и эта точка будет представлять решение системы уравнений.

                                                Если вы не помните, как построить график этих уравнений, обязательно ознакомьтесь с этой статьей: как построить график линейных уравнений.

                                                График системы уравнений без решений

                                                Следующая система уравнений не имеет решения.

                                                \ (\ begin {array} {l} x-y = -2 \\ \\ x-y = 1 \ end {array} \)

                                                Как бы вы узнали? Один из способов — попытаться решить систему и убедиться, что вы получите неверное утверждение.Другой вариант — понять, что первое уравнение говорит, что x – y — это одно число, а второе уравнение говорит, что x – y имеет другое значение. Оба эти утверждения не могут быть правдой. Разница должна иметь одно значение.

                                                Вы также можете это сказать, посмотрев на график системы уравнений.

                                                Две линии параллельны, что означает, что они никогда не пересекутся. Для любой системы уравнений, если у нее нет решения, два графика не будут пересекаться ни в одной точке.Для линейных уравнений это приведет к графику из двух параллельных линий.

                                                Бесконечно много решений.

                                                Давайте теперь посмотрим на систему уравнений с бесконечным числом решений. Хотя это не всегда будет так очевидно, вы можете сказать, что эта система имеет бесконечно много решений, потому что второе уравнение просто кратно первому.

                                                \ (\ begin {array} {l} x + y = -2 \\ \\ 2x + 2y = -4 \ end {array} \)

                                                Если бы вы построили график этих двух уравнений, вы бы получили следующий результат.

                                                Несмотря на то, что система уравнений включает два линейных уравнения, в итоге получается одна линия. Так будет всегда, когда решений бесконечно много. Набор решений — это фактически все точки на линии.

                                                Может быть два, три или четыре решения?

                                                Вы могли заметить, что мы рассмотрели только три случая: одно решение, без решений и бесконечно много решений. При работе с линейными уравнениями это единственные возможности.

                                                Это потому, что графики уравнений представляют собой линии. Прямая линия может пересекать другую прямую линию только в одной точке, ни в одной точке или во всех точках (это одна и та же линия). Если две линии пересекаются, скажем, ровно в двух точках, тогда линии должны будут изгибаться и больше не будут линиями.

                                                Однако, если вы работаете с нелинейными уравнениями, все обстоит иначе! Например, на графике ниже круг и линия пересекаются ровно в двух точках.

                                                Эти две точки представляют собой решения системы уравнений. Но опять же, это только потому, что оба графика не из линейного уравнения.

                                                Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

                                                Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

                                                Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

                                                Связанные

                                                Решения систем линейных уравнений

                                                В этом уроке будут рассмотрены 3 типа решений систем линейных уравнений.Система линейных уравнений может иметь одно решение, не иметь решения или бесконечно много решений. Наклоны и точки пересечения линий по оси y определят тип решения, которое будет иметь система.

                                                Решения систем линейных уравнений: 1 решение

                                                Система линейных уравнений имеет одно решение, если линии имеют разный наклон независимо от значений их пересечений по оси Y.

                                                Например, следующие системы линейных уравнений будут иметь одно решение.Мы показываем уклоны для каждой системы синим цветом. Обратите внимание, как различаются уклоны.

                                                1. y = (-2 /9 ) x + 6
                                                y = 2x + — 3

                                                2. y = -8x + 6
                                                y = 8x + -10

                                                3. y = 0,5x + 3
                                                y = 6x + 3

                                                Когда система двух линейных уравнений имеет разные наклоны, они будут встречаться в пространстве в одной точке. Точка пересечения — это решение.

                                                Если мы построим график для первой системы слева, вы увидите решение или точку пересечения с оранжевой точкой. Если вы не понимаете, как мы построили линии ниже, перейдите к урокам по построению графика уклона.

                                                у = (-2/9) х + 6
                                                у = 2х + -3

                                                Решения систем линейных уравнений: нет решения

                                                Система линейных уравнений не имеет решения, если линии имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения по оси Y.

                                                Например, следующие системы линейных уравнений не будут иметь решения.Мы показываем наклоны для каждой системы красным цветом, а точки пересечения по оси Y — синим. Обратите внимание, что наклон такой же, но пересечения по оси Y разные.

                                                4. y = -2x + 1
                                                y = -2x — 2

                                                5. y = 3x + 5
                                                y = 3x + -8

                                                6. y = (2/5) х + -6
                                                у = (2/5) х + 1

                                                Когда система двух линейных уравнений имеет одинаковый наклон, но разные точки пересечения по оси Y, они никогда не встречаются в пространстве.Поскольку они никогда не встречаются, решений нет.

                                                Построив график четвертой системы, вы увидите, что линии параллельны.

                                                y = -2x + 1
                                                y = -2x — 2

                                                Решения систем линейных уравнений: бесконечно много решений.

                                                Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений, если линии имеют одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения по оси y.

                                                Например, следующие системы линейных уравнений будут иметь бесконечно много решений. Обратите внимание, как одинаковый наклон и как такая же точка пересечения по оси Y.

                                                7. y = 2x + 1
                                                y = 2x + 1

                                                8. y = -4x + 1/2
                                                y = -4x + 1/2

                                                9. y = (3/4) x + 8
                                                у = (3/4) х + 8

                                                Когда система двух линейных уравнений имеет одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения по оси Y, они встречаются повсюду. Так как они встречаются повсюду, решений существует бесконечно много

                                                После построения графиков седьмой системы мы видим, что два графика встречаются повсюду.

                                                y = 2x + 1
                                                y = 2x + 1

                                                Системы линейных уравнений

                                                В первой половине этого учебника мы в первую очередь будем сосредоточены на понимании решений систем линейных уравнений.

                                                Определение

                                                Уравнение с неизвестными x, y, z, … называется линейным , если обе части уравнения являются суммой (постоянных) кратных x, y, z, … плюс необязательная константа.

                                                Например,

                                                3x + 4y = 2z − x − z = 100

                                                — линейные уравнения, но

                                                3x + yz = 3sin (x) −cos (y) = 2

                                                — нет.

                                                Обычно мы перемещаем неизвестные в левую часть уравнения, а константы — вправо.

                                                Система линейных уравнений представляет собой набор нескольких линейных уравнений, например

                                                Ax + 2y + 3z = 62x − 3y + 2z = 143x + y − z = −2. (1.1.1)

                                                Определение (наборы решений)
                                                • Решение системы уравнений — это список чисел x, y, z, …, которые делают все уравнения истинными одновременно.
                                                • Набор решений системы уравнений — это совокупность всех решений.
                                                • Решение системы означает нахождение всех решений с формулами, включающими некоторое количество параметров.

                                                Система линейных уравнений не требует решения. Например, не существует чисел x и y, при которых одновременно выполняются следующие два уравнения:

                                                Сх + 2у = 3х + 2у = −3.

                                                В данном случае набор решений — пустой . Поскольку это довольно важное свойство системы уравнений, оно имеет собственное название.

                                                Определение

                                                Система уравнений называется несовместимой , если она не имеет решений.В противном случае он называется соответствует .

                                                Решение системы уравнений от n переменных — это список из n чисел. Например, (x, y, z) = (1, −2,3) является решением (1.1.1). Поскольку в этом тексте мы будем изучать решения систем уравнений, сейчас хорошее время, чтобы исправить наши представления о списках чисел.

                                                Мы используем R для обозначения набора всех действительных чисел, то есть числовой прямой. Он содержит числа вроде 0,32, −π, 104, …

                                                .

                                                Определение

                                                Пусть n — целое положительное число.Определяем

                                                Rn = все упорядоченные наборы вещественных чисел (x1, x2, x3, …, xn).

                                                Набор из n действительных чисел называется точкой Rn.

                                                Другими словами, Rn — это просто набор всех (упорядоченных) списков n действительных чисел. Сейчас мы нарисуем Rn, но имейте в виду, что — это определение . Например, (0,32, −π) и (1, −2,3) являются точками R3.

                                                Пример (числовая строка)

                                                Когда n = 1, мы просто возвращаем R: R1 = R. Геометрически это числовая прямая.

                                                Пример (Евклидова плоскость)

                                                Когда n = 2, мы можем думать о R2 как о плоскости xy. Мы можем это сделать, потому что каждая точка на плоскости может быть представлена ​​упорядоченной парой действительных чисел, а именно ее координатами x и y.

                                                Пример (3-пробел)

                                                Когда n = 3, мы можем думать о R3 как о пространстве , в котором мы (кажется) живем. Мы можем это сделать, потому что каждая точка в пространстве может быть представлена ​​упорядоченной тройкой вещественных чисел, а именно ее x-, y- и z-координаты.

                                                Так что же такое R4? или R5? или Rn? Их труднее визуализировать, поэтому вам нужно вернуться к определению: Rn — это набор всех упорядоченных наборов n действительных чисел (x1, x2, x3, …, xn).

                                                Они по-прежнему являются «геометрическими» пространствами в том смысле, что наша интуиция относительно R2 и R3 часто распространяется на Rn.

                                                Мы сделаем определения и теоремы формулировок, которые применимы к любому Rn, но мы будем рисовать только изображения для R2 и R3.

                                                Сила использования этих пространств заключается в способности маркировать различные интересующие объекты, такие как геометрические объекты и решения систем уравнений, точками Rn.

                                                В приведенных выше примерах с психологической точки зрения было полезно заменить список из четырех чисел (представляющих поток трафика) или из 841 числа (представляющих QR-код) одним фрагментом данных: точкой в ​​некотором Rn. Это мощная концепция; начиная с раздела 2.2, мы будем почти исключительно записывать решения систем линейных уравнений таким способом.

                                                Прежде чем обсуждать, как решить систему линейных уравнений ниже, полезно увидеть несколько изображений того, как эти наборы решений выглядят геометрически.

                                                Одно уравнение с двумя переменными

                                                Рассмотрим линейное уравнение x + y = 1. Мы можем переписать это как y = 1 − x, что определяет прямую на плоскости: наклон равен −1, а точка пересечения x равна 1.

                                                Определение (линии)

                                                Для наших целей линия — это луч, который представляет собой прямой и бесконечный в обоих направлениях.

                                                Одно уравнение в трех переменных

                                                Рассмотрим линейное уравнение x + y + z = 1. Это неявное уравнение для плоскости в космосе.

                                                Определение (самолеты)

                                                Плоскость — это плоский лист, бесконечный во всех направлениях.

                                                Уравнение x + y + z + w = ​​1 определяет «3-плоскость» в 4-м пространстве, и, в более общем смысле, одно линейное уравнение с n переменными определяет «(n − 1) -плоскость» в n-пространстве. . Мы уточним эти утверждения в разделе 2.7.

                                                Два уравнения с двумя переменными

                                                Теперь рассмотрим систему двух линейных уравнений

                                                Cx − 3y = −32x + y = 8.

                                                Каждое уравнение индивидуально определяет линию на плоскости, изображенную ниже.

                                                Решение системы обоих уравнений — это пара чисел (x, y), которая делает оба уравнения одновременно истинными. Другими словами, это точка, лежащая одновременно на обеих линиях. На картинке выше видно, что есть только одна точка пересечения линий: следовательно, эта система имеет ровно одно решение. (Это решение (3,2), как может убедиться читатель.)

                                                Обычно две прямые на плоскости пересекаются в одной точке, но, конечно, это не всегда так.Рассмотрим теперь систему уравнений

                                                Cx − 3y = −3x − 3y = 3.

                                                Они определяют параллельных прямых на плоскости.

                                                Тот факт, что линии не пересекаются, означает, что система уравнений не имеет решения. Конечно, это легко увидеть алгебраически: если x − 3y = −3, то не может быть и x − 3y = 3.

                                                Есть еще одна возможность. Рассмотрим систему уравнений

                                                Cx − 3y = −32x − 6y = −6.

                                                Второе уравнение кратно первому, поэтому эти уравнения определяют ту же линию на плоскости.

                                                В этом случае решений системы уравнений бесконечно много.

                                                Два уравнения с тремя переменными

                                                Рассмотрим систему двух линейных уравнений

                                                Bx + y + z = 1x − z = 0.

                                                Каждое уравнение индивидуально определяет плоскость в пространстве. Решениями системы обоих уравнений являются точки, лежащие на обеих плоскостях. На картинке ниже мы видим, что плоскости пересекаются в линию. В частности, у этой системы бесконечно много решений.

                                                Рисунок 21 Плоскости, определяемые уравнениями x + y + z = 1 и x − z = 0, пересекаются красной линией, которая является множеством решений системы обоих уравнений.

                                                В общем случае решение системы уравнений от n переменных является пересечением «(n − 1) -плоскостей» в n-пространстве. Это всегда какое-то линейное пространство, о чем мы поговорим в разделе 2.4.

                                                Согласно этому определению, решение системы уравнений означает запись всех решений через некоторое количество параметров.Мы дадим систематический способ сделать это в Разделе 1.3; а пока мы дадим параметрические описания в примерах предыдущего раздела.

                                                строк

                                                Рассмотрим линейное уравнение x + y = 1 этого примера. В этом контексте мы называем x + y = 1 неявным уравнением линии . Мы можем записать ту же строку в параметрической форме следующим образом:

                                                (x, y) = (t, 1 − t) для любого t∈R.

                                                Это означает, что каждая точка на прямой имеет вид (t, 1 − t) для некоторого действительного числа t.В этом случае мы называем t параметром , поскольку он параметризует точки на линии.

                                                Теперь рассмотрим систему двух линейных уравнений

                                                Bx + y + z = 1x − z = 0

                                                этого примера. Все вместе они образуют неявные уравнения для линии в R3. (Для определения линии в пространстве необходимы как минимум два уравнения.) Эта линия также имеет параметрическую форму с одним параметром t:

                                                (x, y, z) = (t, 1-2t, t).

                                                Рисунок 24 Плоскости, определяемые уравнениями x + y + z = 1 и x − z = 0, пересекаются желтой линией, которая параметризуется как (x, y, z) = (t, 1−2t, t).Переместите ползунок, чтобы изменить параметризованную точку.

                                                Обратите внимание, что в каждом случае параметр t позволяет нам использовать R для , обозначая точки на линии. Однако ни одна из линий не совпадает с числовой прямой R: действительно, каждая точка в первой строке имеет две координаты, как точка (0,1), и каждая точка во второй строке имеет три координаты, например (0,1 , 0).

                                                Самолеты

                                                Рассмотрим линейное уравнение x + y + z = 1 этого примера. Это неявное уравнение плоскости в пространстве.У этой плоскости есть уравнение в параметрической форме : мы можем записать каждую точку на плоскости как

                                                (x, y, z) = (1 − t − w, t, w) для любого, w∈R.

                                                В этом случае нам нужны два параметра t и w для описания всех точек на плоскости.

                                                Рисунок 26 — Плоскость в R3 определяется уравнением x + y + z = 1. Эта плоскость параметризуется двумя числами t, w; переместите ползунки, чтобы изменить параметризованную точку.

                                                Обратите внимание, что параметры t, w позволяют нам использовать от R2 до для обозначения точек на плоскости.Однако эта плоскость не такая же, как и плоскость R2, : действительно, каждая точка на этой плоскости имеет три координаты, как и точка (0,0,1).

                                                Когда есть уникальное решение, как в этом примере, нет необходимости использовать параметры для описания набора решений.

                                                Решение линейной системы с тремя переменными с отсутствием или бесконечностью решений — концепция

                                                Иногда у нас есть система уравнений, которая имеет либо бесконечное, либо нулевое решение.Мы называем эти системы уравнений без решения . Когда мы решаем систему уравнений и приходим к ложному утверждению, это говорит нам о том, что уравнения не пересекаются в одной общей точке. Один сценарий состоит в том, что 2 или более плоскостей параллельны или две плоскости пересекаются, а другая пересекается в другой точке.

                                                Решение системы трех переменных.Всякий раз, когда мы имеем дело с уравнением с тремя переменными, это означает, что мы имеем дело с реальным измерением. В этом случае все является первой степенью, поэтому мы имеем дело с плоскостью, так что на самом деле у нас есть три плоскости, и нам нужно выяснить, как три плоскости могут пересекаться, хорошо? Самый распространенный способ найти их пересекающиеся — это если они действительно пересекаются в какой-то точке, поэтому, если эта нижняя плоскость является этой нижней поверхностью плоскости, у нас есть плоскость, которая входит в нее, и плоскость, которая также входит, все они встретимся здесь прямо здесь, ладно?
                                                Сейчас мы поговорим о том, что происходит, когда они не встречаются ни в одной точке.Мы собираемся решить их математически, но мы хотим выяснить, как мы можем правильно интерпретировать наши результаты, и может произойти пара вещей, которые не пересекаются в одной точке. Опять же, если эта нижняя поверхность является плоскостью, у нас могут быть параллельные плоскости, и в этом случае у нас нет пересечения для всех трех или все они могут быть одной и той же плоскостью в целом, и в этом случае они пересекаются повсюду, хорошо, поэтому мы собираемся сделать следующее: сделайте это алгебраически и посмотрите, когда случается эта странность, что это означает, что физически происходит с нашими планами.

                                                Решение уравнений с бесконечными решениями или без решений — видео и стенограмма урока

                                                Практические задачи — уравнения с бесконечными решениями или без решений

                                                В следующих практических задачах студенты будут практиковаться в решении уравнений, чтобы определить, есть ли одно решение, бесконечно много решений или нет решения. Они также изобразят каждую сторону уравнения на одном графике, чтобы сделать открытие.

                                                Проблемы

                                                Решите следующие уравнения, чтобы определить, существует ли одно решение, бесконечно много решений или нет решения.Затем следуйте инструкциям, чтобы построить график.

                                                1. x + 7 + 2 x = x — 9. После решения изобразите каждую часть уравнения: y = x + 7 + 2 x и y = х — 9.

                                                2. 2 x x + 2 = -5 x + 6 x — 3. После решения нанесите на график каждую часть уравнения: y = 2 x x + 2 и y = -5 x + 6 x -3.

                                                3. x + 5 = 3 x — 2 x + 7-2. После решения изобразите каждую часть уравнения: y = x + 5 и y = 3 x — 2 x + 7 — 2.

                                                Решения

                                                1. Объединяя одинаковые члены с каждой стороны, получаем 3 x + 7 = x — 9. Вычитая x с обеих сторон и вычитая 7 с обеих сторон, получаем 2 x = -16. Деление на 2 дает x = -8.У этого уравнения есть одно решение. Чтобы построить график, сначала объедините одинаковые члены в первом уравнении, чтобы получить y = 3 x + 7 и y = x — 9.

                                                Графики пересекаются друг с другом в решении x = -8.

                                                2. Объединение одинаковых членов с каждой стороны, x + 2 = x — 3. Вычитание x из обеих частей уравнения дает 2 = -3. Это уравнение не имеет решения. Чтобы построить график, сначала объедините одинаковые члены с каждой стороны, чтобы получить уравнения y = x + 2 и y = x — 3.

                                                Графики никогда не пересекаются — это параллельные линии.

                                                3. Объединение одинаковых членов с каждой стороны, x + 5 = x + 5. Вычитание 5 из обеих частей уравнения дает x = x .

                                                Добавить комментарий

                                                Ваш адрес email не будет опубликован.