Как обозначаются однородные дополнения: Как подчеркиваются однородные члены предложения, как выделять с примерами

Содержание

как подчеркивается однородные члены предложения

русский язык 4Б: Подготовка к сочинению-описанию «Моя любимая игрушка »
Добрый день, ребята! Сегодня мы будем учиться писать сочинение- описание «Моя

любимая игрушка »
Для того, чтобы начать работу, нам необходимо получить «билет» на урок. Правильный ответ на вопрос позволит нам продолжить работу.
• Какие типы речи вы знаете?( описание, повествование, рассуждение).
• Что такое описание?( описание — это тип речи, основа которого перечень признаков предмета, явления).
• Какова композиция описания?( общее впечатление, описание деталей, оценка).
— Какое слово главное в названии нашего сочинения ? (Любимая)
— Что означает это слово? Обратимся к словарю. (Любимый — пользующийся наибольшей любовью)
— Подберите синонимы к этому слову. (Дорогой, обожаемый, симпатичный, бесценный.)
— Какие чувства, эмоции несет это слово? ( Положительные, позитивные)
— А слово «моя» о чем говорит? (О личной оценке, должна чувствоваться личность владельца, проявляться эмоции и чувства владельца).
— В каком стиле , как вы думаете, должно быть выдержано описание?
— Сравним два текста.
Щенок — мягкая игрушка из искусственного меха. Предназначена для детей 5-12 лет. Длина 25 см., высота — 20 см. Цвет коричневый с белым. Неозвученная, без механического завода.
Перед вами веселый маленький щенок. У него большая голова со смешными ушами-лопушками, задорно торчащий хвостик, толстые лапы. Шерстка густая и мягкая, темно-коричневого цвета, лишь животик беленький. Из-под шерстки ласково поблескивают черные бусинки глаз и высовывается любопытный нос. Щенок просто как живой! Очень симпатичная игрушка.
— Какой текст соответствует нашей теме и почему? (Текст №2, т. к. в первом тексте идет разговор о игрушке вообще, а не о любимой вещи, нет авторского отношения, а второй текст больше подходит, т.к. есть описание и оценка игрушки).
— Какие чувства и эмоции у вас вызывают оба текста? (Первый — сообщает информацию сухо, без эмоций; во втором видно отношение к игрушке.)
— К какому типу речи относится текст №2 , докажите, найдя композиционные части? (К описанию.)
I. Общее впечатление: Перед нами веселый маленький щенок.
II . Описание игрушки: У него большая голова со смешными ушками-лопушками, задорно торчащий хвостик и т.д.
III. Оценка: Щенок просто как живой! Очень симпатичная игрушка.
Игра » Корректор»
Каждому слову необходимо найти нужное место, иначе может потеряться и значение его, и красота.
Перед вами два текста, поработаем корректорами и исправим ошибки в работах учеников, которые уже написали сочинение о своей любимой игрушке.
Щенок был среднего роста. Голова, уши, глаза, нос, рот, ноги, хвост. Нос и глаза у щенка черные. Лапы короткие и лохматые. Сам щенок был белый с черными пятнышками. Хвост был лохматый и крючком. Щенок был веселый и радостный, ласковый.
У меня есть кукла. Ее мне купили года три назад. У нее голубые глаза, маленький рот, длинные волосы. Кукла ростом маленькая. На ней надето синее платье, на ногах белые тапочки, сделана она из пластмассы. Эта кукла красивая, с ней интересно играть. Ее мне купили зимой, и, когда был Новый год, я наряжала ее Снегурочкой. Я ее очень люблю и часто играю с ней. У кукленка длинные волосы, и я каждый день улаживаю ее спать.
В первом тексте стилистические и лексические ошибки (средний рост у щенка; рот и ноги у щенка; частые повторы слова «был»).
Во втором тексте нарушена композиция сочинения- описания, используются слова «улаживаю», а надо «укладываю», «кукленка», а надо «куколка»; повторы.
Просмотрите внимательно презентацию и по ней напишите своё сочинение.
сочинение.ppt

От данных прилагательных образуй наречия. Подбери к наречиям антонимы.
Прежний-
пустой-
Весёлый-
редкий-
крутой-
частый-
верный-
тугой-
строги

й-
крепкий-
нежданный-
безнадежный-
левый-
интересный-

Описать свой ЛТС будущего (Летающее транспортное Средство)​

соч русский язык 4 класс текст: Космос бесконечно велик и загадочен. В нем миллиарды звезд и планет. На одной из планет, покрытой песами и морями, жил

мальчик Иван. Он очень любилсмотреть ночами на звездыВот и в эту рождественскую ночь. Иван стоял и любовался небом. И вдруг он увидел падающую звезду. Упала она совсем рядом. Мальчик решил пойти и посмотреть на нее поближе. Когда он добрался до звезды, то увидел, что это не звезда, а звездолет этот момент одна из панелей корабля отошла, Иван увидел мальчика, который смотрел на него и мысленно звал за собой. Наш герой так и сделал. Внутри корабля все сверкало и переливалось разноцветными лампочками. А мальчик стоял посреди мерцающего круга и протягивал Ивану Меня зовут Тумбук, я прилетел планеты Созарин. У нас случилась руку:большая беда нам нужна помощь​

люди ответте срочно как сокоатить филологический факультет оочень надо и оочень быстро надо пожалуйста​

помогите пожайлуста:[​

срочно пожалуйста у меня сооч пожалуйста помогите​

УМОЛЯЮ ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ МНЕ УМОЛЯЮ 3 задания​

12. Всегда твёрдые согласные соответственнов рядах1. обжёг руку, покажите2. причёска, парашют3. жирный, цыгане4. аршин, чертаА) 1, 3 B) 2, 3C) 2, 4D)

3, 4​

5. Не может быть главным словом всловосочетанииА) существительноеВ) прилагательноеС) предлогD) глагол​

Одонородные члены предложения: правило, примеры, запятые

Умение различать синтаксические единицы, а также знание пунктуационных правил позволяют правильно расставлять знаки препинания в предложении. Одним из важных пунктуационных умений является умение идентифицировать однородные члены предложения.

Общее понятие

Однородные члены относятся к одной и той же словоформе, выполняя одну синтаксическую функцию. Они произносятся с перечислительной интонацией. Внутри них наблюдается сочинительная связь, то есть связь, возникающая только между равноправными компонентами.

Они имеют различные смысловые значения:

  • соединение : «Мама и папа вечером пришли домой»;
  • разделение: «Не только дети, но и родители ждут новогодние каникулы»;
  • противопоставление: «Синоптики обещают не снег, а дождь«.

Значение

Однородные члены предложения осложняют простое предложение (но не делают его сложным).

Они способны сократить целый ряд однотипных предложений. Сравните: Мама пришла домой. Папа пришёл домой. – Мама и папа пришли домой.

Эти синтаксические единицы делают наши высказывания более информативными; они украшают речь, придавая ей выразительность.

Важно! Два и более однородных члена объединяются в ряд. В предложениях возможно употребление нескольких рядов. Но употребление более трех рядов однородных членов делает предложение тяжелым для понимания.

Виды

По наличию зависимых слов данные синтаксические единицы делятся на:

  • нераспространённые, или одиночные : «Невесомые снежинки падают и тают«;
  • распространённые: «Невесомые снежинки падают с неба, тают в ладошках«.

Такие конструкции в зависимости от выполняемой функции подчёркиваются по-разному: и как части грамматической основы, и как второстепенные члены:

  • Однородные подлежащие обозначают несколько действующих лиц (кто?) или предметов (что?): «Лена и Катя (кто?) пришли в школу очень рано». При синтаксическом разборе они подчёркиваются одной линией.
  • Однородные сказуемые обозначают несколько действий подлежащего (что делает? чем является?): «Лена (что делала?) пела и танцевала». При синтаксическом разборе они подчёркиваются двумя линиями.
  • Однородные дополнения относятся к одной словоформе и отвечают на один вопрос косвенного падежа (кого? чего? кому? чему? что? кем? чем? о ком? о чём?): «Мы в лесу собирали (что?) ягоды и грибы». При синтаксическом разборе они подчёркиваются пунктиром.
  • Однородные определения обозначают несколько признаков одного предмета или явления (какой? чей?): «Красивая и умная (какая?) Лена покорила жюри». При синтаксическом разборе они подчёркиваются волнистой линией.
  • Однородные обстоятельства относятся к одной словоформе и отвечают на один из вопросов: где? куда? когда? откуда? почему? зачем? как?: «Лена пела (где?) дома и в школе». При синтаксическом разборе они подчёркиваются точкой с тире.

Справка! При составлении графической схемы такие члены предложения заключаются в кружок.

Как найти?

Алгоритм нахождения данных синтаксических единиц:

  1. найти слово, от которого задаются вопросы;
  2. проверить, одинаковы ли задаваемые вопросы;
  3. проверить, одинакова ли синтаксическая функция анализируемых зависимых слов.

Пунктуация

Запятая не ставится:

  1. между двумя однородными членами, если они связаны одиночным сочинительным союзом и, например: Лена пела и плясала;
  2. между членами, соединёнными союзом и, стоящими попарно: Лена пела и плясала, шила и вязала;
  3. в устойчивых сочетаниях: ни пуха ни пера, ни рыба ни мясо,и смех и грех, ни то ни сё, ни свет ни заря.

Запятая ставится:

  1. между однородными членами, не соединёнными союзами, например: Катя занимается спортом, танцами, шитьём;
  2. между членами, соединёнными противительными союзами а, но, да (в значении но), однако, зато: Мама пришла домой рано, но ничего не успела;
  3. между членами, соединёнными повторяющимися союзами: сочинительными и, да (в значении и), ни… ни и разделительными или, либо, то… то, то ли… то ли, не то… не то), например: То ли Коля, то ли папа приготовил мне завтрак;
  4. перед второй частью двойных союзов не только…, но и…; как…, так и…; не столько…, сколько; хотя и…, но…; если не…, то и др., например: Валентин не только пел, но и танцевал;
  5. между парами однородных членов, связанных союзами и и или, например: Леночка пела и плясала, шила и вязала.

Таким образом, однородные члены могут быть выражены любой частью речи, также эти конструкции могут выполнять любые функции. Их использование значительно обогащает нашу речь, делая её более точной и выразительной.

Полезное видео

Определение однородных членов предложения.

Однородные члены предложения. Запятая между однородными членами

Эта статья поможет вам обобщить все ваши знания по теме «однородные члены предложения».

Однородные члены — слова, которые относятся к одному и тому же члену предложения или поясняются одним и тем же членом предложения и отвечают на один и тот же вопрос. Однородными могут быть любые члены предложения: подлежащие, сказуемые, второстепенные члены. 

Как найти в предложении однородные члены

Чтобы найти однородные члены, нужно сначала найти главные члены, а затем составить все возможные словосочетания и выделить те слова, которые зависят от одного и того же слова и отвечают на один и тот же вопрос.

Однородные члены могут быть связаны между собой интонацией перечисления с союзами (и, а, но, да и другие), либо только интонацией перечисления (без союзов). Однородные члены в предложении графически отмечают, рисуя кружок над каждым однородным членом.

Пример простого предложения с однородными подлежащими:

     О          О          О
Метели, снега и туманы покорны морозу всегда. 

(Что?) метели, снега, туманы (каковы?) покорны. Это тот случай, когда однородные члены поясняются одним членом предложения.

Пример простого предложения с однородными сказуемыми:

                      О                           О
Старушка сорвала с грядки и подала Жене очень красивый цветок…

Старушка (что сделала?) сорвала. Старушка (что сделала?) подала. Однородные сказуемые относятся к одному и тому же члену предложения — подлежащему.

Пример простого предложения с однородными второстепенными членами:

                                                       О                 О
Есть в осени первоначальной короткая, но дивная пора.

Пора (какая?) короткая.  Пора (какая?) дивная. Короткая, дивная — однородные второстепенные члены, а точнее — однородные определения.

Зачастую ученик принимает за однородные члены предложения неоднородные, возникает путаница и в запятых. Поэтому стоит обратить внимание на те слова, которые похожи на однородные члены, но ими не являются.

Не являются однородными членами предложения

  • повторяющиеся слова, употребляющиеся с целью подчеркнуть множество предметов, длительность действия, его повторяемость. Такие сочетания слов рассматривают как единый член предложения. Примеры:

 Мы точно плавали в воздухе и кружились, кружились, кружились. Белые ромашки бегут под его ногами назад, назад;

  • повторяющиеся одинаковые формы, соединенные частицей не, так. Примеры:

 верь не верь, старайся не старайся, писать так писать, работать так работать;

  • сочетания двух глаголов, из которых первый лексически неполный, например:

 возьму и скажу, взял да и пожаловался, пойду посмотрю;

  • устойчивые сочетания с двойными союзами, между которыми запятая не ставится (!). Примеры:

 ни взад ни вперёд, ни за что ни про что, ни рыба ни мясо, ни сном ни духом, и смех и грех, и так и сяк, и день и ночь, и смех и горе, и стар и млад, и так и эдак, и туда и сюда, ни больше ни меньше, ни жив ни мёртв, ни да ни нет, ни днём ни ночью, ни конца ни края, ни пуха ни пера, ни тот ни другой, ни прибавить ни убавить.

Однородные и неоднородные определения

В начальной школе не учат различать однородные определения и неоднородные определения. А между тем это важно, ведь в первом и втором случае запятые ставятся по-разному.

Однородные определения  обозначают признаки разных предметов (английский, французский язык) или схожие признаки одного предмета (скучный, утомительный день).
Неоднородные определения характеризуют предмет или явление с различных сторон, часто выражено сочетанием качественного и относительного прилагательных (прекрасный струнный оркестр) либо качественными прилагательными разных смысловых групп (холодные крупные капли). Неоднородные определения стоят только перед определяемым словом.

Различие между однородными и неоднородными определениями заключается в следующем:

  • каждое из однородных определений относится непосредственно к определяемому слову;
  • первое определение из пары неоднородных относится к последующему словосочетанию.

Небольшая хитрость: если между определениями можно вставить без потери смысла союз и, то они однородные. Между неоднородными вставка и невозможна. 

Пример:

Стекла играют огоньками, точно мелкими драгоценными камнями.

Союз и вставить нельзя (мелкими драгоценными камнями). Драгоценными камнями (какими?) мелкими. Интонации перечисления нет. Это неоднородные определения.

                                                    О                  О
В прихожей холодно, и пахнет сырой, промерзлой корой дров.

Возможна вставка союза и (сырой и промерзлой корой). Есть интонация перечисления. Это схожие признаки одного предмета, они характеризуют предмет с одной стороны. Это однородные определения.

  • Не являются однородными определения-прилагательные, характеризующие предмет или явление с различных сторон.

Пример:

Большие стеклянные двери были распахнуты настежь. 

Большие стеклянные — обозначение размера и материала, это не однородные члены.

В моем архиве нашлась желтенькая школьная тетрадка, написанная беглым почерком.

Желтенькая школьная — обозначение цвета и предназначения, не однородные члены.

Но иногда в художественных произведениях могут встретиться предложения, в которых между определениями, характеризующими предмет с разных сторон, стоят запятые.

                             О             О         О
Наступила дождливая, грязная, темная осень (Чехов). 

В них авторы стремятся создать единое, целостное представление о предмете или явлении, и такие определения можно считать однородными.

  • Определения считаются неоднородными, если одно определение выражено местоимением или числительным, а другое – прилагательным.

Почему ты не надеваешь свое новое платье?
Наконец мы дождались первых теплых дней.

Как ставить запятые между однородными членами

Теперь, когда мы научились находить однородные члены и отличать их от неоднородных, потренируемся в расстановке запятых.

Однородные члены предложения могут соединяться при помощи союзов и без помощи союзов.

  1. Если между однородными членами нет союзов, то ставится запятая. 
  2. Перед союзами а, но, да в значении но, зато, однако в значении но между однородными членами всегда ставится запятая.
  3. Если однородные члены соединяет одиночный союз и, да в значении и, или, либо, то перед ним запятая не ставится.
  4. Если однородные члены соединяют повторяющиеся союзы и…и, ни… ни, или… или, либо… либо, то… то, не то… не то, то между ними запятая ставится. То есть, если союзы повторяются, то знаки препинания ставятся так же, как при бессоюзной связи. Запятая ставится между всеми однородными членами и в том случае, когда только часть их связана повторяющимися союзами, а остальные соединяются бессоюзной связью.
  5. В случае составных союзов (если не…, то; если не…, так; хотя…, но и; как…, так и; не только…, но и; не столько…, сколько; настолько…, насколько; не то что…, а; не то чтобы…, а  ) запятая между однородными членами ставится.

Между неоднородными определениями запятая не ставится.

Если однородные члены разделяются запятой, то запятые ставятся только между ними.

Пример:

                          О                       О                         О
Но я любил взлетанье птиц, и лодку, и на лодке вёсла.   
О, и О, и О

Запятые стоят только между однородными членами (взлетанье, лодку, вёсла). Перед словом взлетанье нет запятой, потому что это первый из однородных членов.

        О                                     О            О                                        О 
Смотрит солнце с небес, и блестит, и горит, по полям и лугам разливается. 
О, и О, и О, О

Перед первым повторяющимся союзом и стоит запятая, потому что этот союз стоит между однородными членами (смотрит, блестит).

                                О                        О                                 О
Я рассказал  и про собаку, и про слонёнка, и про маленькую лань. 
и О, и О, и О

Перед первым повторяющимся союзом и не стоит запятой, потому что он находится не между однородными членами, а перед первым из них.

Запятые в простых предложениях с однородными членами без союзов

  • Если союзов нет, между однородными членами всегда ставятся запятые. Пример:

                   О             О         О
Река раскинулась, течёт, грустит лениво…

Запятые в простых предложениях с однородными членами, соединенными одиночным союзом

  • Если союз и, да в значении и, или, либо  одиночный, запятая перед ним не ставится.

              О              О
Ветки берёз и тополей глядят из сада.

                   О           О          О            О
Я люблю булки, плюшки, батоны и кекс!

  • Если между однородными членами стоит союз а, но, да в значении но, затооднако в значении но, то есть противительный союз, то перед ним всегда ставится запятая.

       О       О
Не род, а ум поставлю в воеводы (Пушкин).

Союз однако следует отличать от вводного слова однако: союз можно заменить на синонимичный союз но. Если однако является союзом, то запятая ставится только перед ним.

                               О                             О
Задача была нетрудной, однако трудоёмкой. ( Задача была нетрудной, но трудоёмкой.)

Если однако является вводным словом, то запятые ставятся с двух сторон.

Он, однако, остался спокоен.

Запятые в простых предложениях с однородными членами, соединенными повторяющимися союзами

  • Запятая ставится перед повторяющимися союзами только между однородными членами.

                                          О                 О              О
Уже не стало видно ни земли, ни деревьев, ни неба.

                                              О                               О               О
Я обращал внимание и на крик птиц, и на их песни, и на полёт.

                  О          О             О                  О
Я люблю хлеб, и торт, и пирожные, и пряники.

  •  Запятая ставится между всеми однородными членами даже когда только часть их связана повторяющимися союзами, а остальные соединяются без помощи союзов.

       О           О                 О                       О                О
Он слеп, упрям, нетерпелив, и легкомыслен, и кичлив (Пушкин). 

  • Если союз и соединяет однородные члены попарно, то запятая ставится только перед парными группами.

            О           О              О             О
Я счастлив и силён, свободен и молод (Брюсов).

  • Парные союзы могут соединяться повторяющимся союзом и.

                              О              О             О           О
Мины рвались и близко и далеко, и справа и слева.

  • При двух однородных членах с повторяющимся союзом и запятая может не ставиться, если однородные члены образуют тесное смысловое единство (пояснительных слов такие однородные члены не имеют):

и братья и сёстры, и родители и дети, и тело и душа, и стихи и проза, и дни и ночи, и ножи и вилки и др.

Наиболее часто такие единства образуют антонимы:

и слава и позор, и любовь и ненависть, и радость и горе.

  • Иногда союз и кажется повторяющимся, но на деле это одиночные союзы, соединяющие однородные члены разных групп.

    О                 О               О                    О
Дома и на работе  он искал и не находил покоя.

Первый союз и связывает однородные обстоятельства места: дома и на работе; второй союз и связывает однородные сказуемые: искал и не находил; поэтому каждый из этих союзов — одиночный, запятая не ставится.

Составные союзы

  • Однородные члены с составными союзами (если не…, то; если не…, так; хотя…, но и; как…, так и; не только…, но и; не столько…, сколько; настолько…, насколько; не то что…, а; не то чтобы…, а  ) разделяются только одной запятой, которая ставится перед второй частью союза.

                                            О                                            О
Я имею поручение как от судьи, так и от всех наших знакомых помирить вас с приятелем вашим.

 Союзы а также, а то и могут иметь присоединительное значение (значение «и притом»). Обратите внимание, что после второго однородного члена предложения с таким союзом запятая не ставится (вспоминаем, что запятая ставится только между однородными членами). Например:

                  О                             О
Бывает трудно, а то и невозможно сразу разобраться в подобной ситуации.

Однородные члены в предложениях с обобщающим словом

В предложениях с обобщающими словами знаки препинания ставятся в соответствии с правилом: если обобщающее слово перед однородными членами — после него ставим двоеточие; если после однородных членов или предложение продолжается — после однородных членов ставим тире.

  • Если обобщающее слово стоит перед однородными членами, то после него ставится двоеточие. Пример:

   Желтые кленовые листья лежали всюду: на дорожках, на скамейках, на крышах машин.

  • Если обобщающее слово стоит после однородных членов, то перед ним ставится тире. Пример:

На дорожках, на скамейках, на крышах машин – всюду лежали желтые кленовые листья.

  • Если обобщающее слово стоит перед однородными членами, а после них предложение продолжается, то после обобщающего слова ставится двоеточие, а после однородных членов – тире.

                            О                       О                 О
Всюду:
на дорожках, на скамейках, на крышах машин – лежали желтые кленовые листья.

С однородными членами в простых предложениях разобрались. Но как правильно расставить знаки препинания в сложных предложениях с однородными членами? Рассмотрим подробнее.

Сложные предложения с однородными членами

Чтобы правильно расставить запятые в сложно предложении с однородными членами, действуйте по алгоритму. Для начала определяем основы каждой части сложного предложения. Ставим между частями запятые. Теперь представьте, что каждая часть — это простое предложение. Находим однородные члены и расставляем запятые по приведенным выше правилам. Пример:

Маленькая девочка стояла на шаре и потом вдруг побежала но шар завертелся под её ногами и она снова поехала вокруг арены.

Находим главные члены:

Маленькая девочка стояла на шаре и потом вдруг побежала но шар завертелся под её ногами и она снова поехала вокруг арены.

Видим 3 основы: Девочка стояла, побежала. Шар  завертелся. Она поехала. Это сложное предложение, состоящее из трех частей. Ставим между ними запятые.

Маленькая девочка стояла на шаре и потом вдруг побежала, но шар завертелся под её ногами, и она снова поехала вокруг арены.

Находим однородные члены (стояла и побежала). Определяем, нужны ли запятые между однородными членами. Они соединены одиночным союзом и. Запятая между ними не нужна. Получилось:

                                       О                                              О
Маленькая девочка стояла на шаре и потом вдруг побежала, но шар завертелся под её ногами, и она снова поехала вокруг арены.


Еще один пример:

Кто-то ей подал разные колокольчатые браслеты и она надела их себе на туфельки и на руки и снова стала медленно кружиться на шаре.

Находим основы. Кто-то подал; она надела и стала кружиться — 2 основы. Значит, это сложное предложение, состоящее из двух частей. Ставим между ними запятую.

Кто-то ей подал разные колокольчатые браслеты,  и она надела их себе на туфельки и на руки и снова стала медленно кружиться на шаре.

Теперь находим однородные члены.  В первой части однородных членов нет. Во второй части есть однородные сказуемые надела и стала кружиться. Она (что сделала?) надела. Она (что сделала?) стала кружиться. Однородные сказуемые соединены одиночным союзом и. Запятая перед ним не ставится.

Еще есть однородные второстепенные члены на туфельки и на руки. Надела (куда?) на туфельки. Надела (куда?) на руки. Они тоже соединены одиночным союзом и. Запятая не ставится. Итог:

Кто-то ей подал разные колокольчатые браслеты, 

              О                            О                  О
и она надела их себе на туфельки и на руки и снова
     О
стала медленно кружиться на шаре.


И закрепим:

Девочка вдобавок умела светиться в темноте и она медленно плыла по кругу и светилась и звенела.

Выделяем основы. Девочка умела; она плыла/ светилась / звенела — 2 основы. Это сложное предложение из двух частей. Ставим между ними запятую.

Девочка вдобавок умела светиться в темноте, и она медленно плыла по кругу и светилась и звенела.

В первой части однородных членов нет, её не трогаем. Во второй есть однородные сказуемые, соединенные повторяющимся союзом и, значит ставим между однородными членами запятые.

Девочка вдобавок умела светиться в темноте,
                             О                             О                 О
и она медленно плыла по кругу, и светилась, и звенела.

Как видите, главное правильно определить основы и найти однородные члены, а уж расставить запятые проще простого!

А теперь потренируемся самостоятельно составлять предложения с однородными членами и правильно расставлять знаки препинания.

Распространенные ошибки при расстановке запятых в предложениях с  однородными членами

Самая частая ошибка — запятую в простом предложении ставят не МЕЖДУ однородными членами, а перед первым из них или за последним из них. Запятая ставится МЕЖДУ однородным членами.

Вторая ошибка — «не отделяют мух от котлет», не дифференцируют части сложного предложения и однородные члены.

Будьте внимательны, расставляйте запятые по приведенному у нас на 7 гуру алгоритму и все получится!

Составьте несколько простых предложений с однородными членами

Мы приведем примеры, а вы по аналогии придумайте ещё пару-тройку похожих предложений.

                             О                 О                  О                 О
На лугу росли ромашки, васильки, колокольчики и незабудки.

                   О           О
Собака скулила и лаяла от радости.

                            О              О           О
Осень была золотой, солнечной, теплой.

Несколько сложных предложений с однородными членами

                                                                  О                           О
Кот влез на крышу будки, а собака пыталась подпрыгнуть и поймать его.

                           О               О
Погода стояла ясная, солнечная, и ребята гуляли до самого вечера.

 А теперь вы!

Однородные члены предложения- примеры, пунктуация

Однородные члены предложения (далее – ОЧП) – это члены синтаксической конструкции, которые соединяются с помощью перечислительной интонации или сочинительной связи, при этом в контексте они выполняют одинаковую функцию. К таким единицам задаётся один и тот же вопрос, они связаны с одним и тем же словом в высказывании. Могут быть представлены любой самостоятельной частью речи: именами числительными, существительными, прилагательными и т.д. Также они указывают на какое-либо действие, явление, предмет, обстоятельство или признак.

Какие члены предложения могут быть однородными

Выполнять функцию однородных могут главные и второстепенные члены синтаксической конструкции:

  • Осенний вечер напоминает мне о былом и уносит к воспоминаниям о тихих, нежных и тайных встречах.

Обычно однородные члены представлены одной и той же частью речи, но иногда они выражаются морфологически разнородными словами. Примеры:

  • Денис играл в футбол очень умело, с необыкновенным рвением. «Умело» – наречие, а «рвением» – существительное.
  • Приехала красивая девушка лет двадцати, пышущая молодостью и энергией, с длинными волосами и ногами. «Лет двадцати» – именное словосочетание в родительном падеже, «пышущая молодостью и энергией» – причастный оборот, «с длинными волосами и ногами» – сочетание двух существительных с зависимым прилагательным.

Анализируемые единицы могут иметь при себе зависимые лексемы. В этом случае их называют распространёнными:

  • Зима в произведениях автора довольно многообразна. В рассказах описываются радостные моменты: катание на горках, заканчивающиеся насквозь мокрыми носками и рукавицами; лепка снежной бабы, похожей на тётю Глашу; пение рождественских колядок, сопровождающееся счастливыми лицами односельчан.
  • Дети играли в прятки и смеялись.

Кроме того, ряд ОЧП не всегда один, их может быть два и более:

    • Настасья выросла и купила себе платья, туфли и украшения. В этом предложении однородные сказуемые «выросла» и «купила», а также три дополнения «платья», «туфли» и «украшения».
    • Луна светила и указывала на тропинки, поля и косогоры.В приведённом контексте есть однородные сказуемые «светила» и «указывала», а также три дополнения «тропинки», «поля» и «косогоры».
  • Балет и уроки рисования помогают мне полностью, на все сто процентов расслабиться. В этом контексте два ряда однородных членов:
  1. Первое предложение с двумя однородными подлежащими – «балет» и «уроки», которые связаны со сказуемым – «помогают расслабиться».
  2. Однородные обстоятельства образа действия «полностью», «на все сто процентов» зависят от сказуемого «помогают расслабиться» («как?») «полностью», «на все сто процентов».

Как найти однородные члены предложения

Чтобы выяснить, представлены ли в высказывании однородные члены, необходимо следовать несложному алгоритму:

  1. Найти семантическое ядро предложения – его грамматическую основу.
  2. Посмотреть, есть ли члены, отвечающие на одинаковые вопросы и относящиеся к одному и тому же слову.
  3. Убедиться, что ОЧП связаны посредством союзов или перечислительной интонации.

Например:

  • Катя принесла конфеты и печенье. «Конфеты» и «печенье» – это однородные дополнения, к которым можно поставить вопрос «что?». Они относятся к сказуемому «принесла», связаны сочинительной связью с помощью союза «и».
  • Любе нравятся приключенческие и фантастические рассказы. «Приключенческие и фантастические» – однородные определения, относящиеся к подлежащему «рассказы».

Нужно отметить, что бывают неоднородные определения, которые следует отличать от однородных. Неоднородными называются определения, которые дают характеристику предмету с разных сторон. Между такими словами не ставится запятые и сочинительные союзы:

  • Вчера вечером большой чёрный кот пришёл к нам под дверь и жалобно просился в дом. Определения «большой», «чёрный» – неоднородные, т.к. описывают разные качества (размер и цвет).
  • Красный шёлковый длинный платок очень понравился Ирине Васильевне. Определения «красный», «шёлковый», «длинный» – неоднородные, т.к. описывают разные качества (цвет, материал и длину).
  • Саша вместе с другом поднимал в спортивном зале тяжёлые чугунные гири. «Тяжёлые», «чугунные» – неоднородные определения, которые качество и материал предмета.

Между такими определениями не получится подставить сочинительный союз, поэтому постановка пунктуационных знаков неуместна.

Как подчеркиваются однородные члены предложения

Известно, что однородными могут быть главные и второстепенные члены предложения. Это значит, что ОЧП подчёркиваются точно так же, как и неоднородные, в соответствии с выполняемыми функциями.

Так, однородные подлежащие подчёркиваются одной сплошной чертой, а сказуемые двумя:

  • Моему брату Евгению нравились сложные предметы – история и математика.
  • Надя играла в баскетбол и танцевала хип-хоп.

Второстепенные ОЧП подчёркиваются следующим образом:

  • дополнение – прерывистой чертой: Маленькому Вове подарили книгу и мыльные пузыри;
  • определение – волнистой линией: Я купила оранжевые, синие, красные и зелёные ёлочные игрушки; Больше всего Алина любит оранжевый, розовый и голубой цвет.
  • Обстоятельство – линией «штрих-точка-штрих-точка»: К родителям нужно относиться уважительно и терпеливо.

Как связаны между собой однородные члены предложения

ОЧП равноправны, связываются между собой несколькими способами:

С помощью запятых

ОЧП могут перечисляться через запятую. Такое предложение произносится с перечислительной интонацией (бессоюзное предложение):

  • Оле принесли в больницу бананы, апельсины, мандарины, киви, манго. Это предложение с несколькими однородными определениями «бананы, апельсины, мандарины, киви, манго». Кроме того, однородные определения можно соединять с помощью сочинительных союзов: Оле принесли в больницу и бананы, и апельсины, и мандарины, и киви, и манго.
  • Вместе они плакали, смеялись, мечтали. Это простое предложение с однородными сказуемыми «плакали, смеялись, мечтали».

С помощью союзов

Часто ОЧП соединяются посредством сочинительных (разделительные, соединительные, противительные) союзов. К ним относятся: либо…либо, и, а, не то…не то, или, однако, но и т.д.

Например:

  • Мы ехали по кривой и длинной дороге.
  • Я долго думал, уйти мне или остаться.
  • Вдалеке показался силуэт не то девушки, не то мужчины.

С помощью запятых и союзов

Иногда ОЧП связываются запятыми и союзами:

  • Рядом стоявший мужчина выглядел сонным, голодным и уставшим.
  • На днях мы подобрали худую, больную и облезлую собаку.

Запятая между однородными членами ставится, если они соединены парными сочинительными союзами:

  • Я хотела поехать либо в Турцию, либо в Египет.
  • Пуговицы на пиджаке были не то бежевые, не то перламутровые.

Знаки препинания при однородных членах предложения

Пунктуация в таких контекстах зависит от того, каким способом связываются ОЧП – союзной или бессоюзной связью.

Запятая между однородными членами предложения

Между ОЧП запятая нужна, если они соединяются с помощью:

Тип соединения Пример Схема
запятой (бессоюзное предложение) Я испытал в эти минуты страх, боль, ужас, разочарование. [О, О, О, О]
одиночных противительных союзов: «а», «но», «однако» в значении «но», «да» в значении «но», «зато» Дима любил не учёбу, а спорт. [не О, а О]
повторяющихся союзов: и… и… и, ни… ни… ни, ли… ли… ли, либо… либо… либо, не то… не то… не то и др. Дима любил и учёбу, и спорт, и развлечения. [и О, и О, и О]
У меня есть кошка и собака, черепаха и попугай. [О и О, О и О]
двойных союзов: если не…, то; хотя…, но и; не только…, но и; не столько…, сколько; настолько…, насколько; не то что…, а и т.д. Дима любил не только учёбу, но и спорт. [не только О, но и О]

Запятая не ставится

В некоторых случаях постановка пунктуационного знака некорректна. Запятая не нужна во фразеологических оборотах. Таких устойчивых конструкций можно привести много, их следует запомнить: и стар и млад, ни рыба ни мясо, ни шатко ни валко, ни жив ни мёртв, ни свет ни заря и др.

Например:

  • Избранник Ксении оказался ни рыба ни мясо – сразу не понять, что это за человек.
  • Дедушка Гриша стоял ни жив ни мёртв.

Чтобы не пропустить фразеологизм в предложении, необходимо помнить, что его смысл не определяется лексическим значением отдельно взятых слов. Значение такого словосочетания неделимо и целостно.

Запятая не требуется, если союз «и» присоединяет разные пары однородных членов:

  • Слава и Костя кричали и смеялись на уроках и переменах.

Знак не ставится между одиночными разделительными (либо, или) и присоединительными («и», «да» в значении «и») союзами:

  • Мама испечёт сегодня пирог или ватрушки.
  • В парке на дереве мы видели белку или дятла.
  • К нам в гости пришли бабушка и дедушка.

Тире

Другой пунктуационный знак – тире, ставится, если однородные члены стоят перед обобщающей лексемой:

  • Однако ни Валя, ни Яна – никто не хочет со мной дружить. Схема [О, О – О].
  • Деньги, недвижимость, знакомства – ничего мне этого не надо. Схема [О, О, О – О].

Если после однородных членов перед обобщающей лексемой стоят вводные слова или словосочетания («короче говоря», «словом», «одним словом» и др.), перед вводной фразой следует ставить тире, а после него – запятую:

  • Паша рассказывал о себе, о доме, об учёбе, об отношениях – короче говоря, обо всей своей жизни. Схема [О, О, О, О – короче говоря, О].

Двоеточие

Перед ОЧП может стоять обобщающая лексема, которая обозначает родовое понятие или обозначаются наречиями и местоимениями («всегда», «всё», «все», «повсюду», «вокруг» и т.д.). В свою очередь, однородные члены выражают видовое понятие. В этих случаях после обобщения необходимо ставить двоеточие.

Например:

  • Я устала заботиться обо всех: о муже, о ребёнке, о родственниках, об учениках и домашних питомцах.
  • В бабушкином палисаднике росли прекрасные цветы: бархатцы, амаранты, васильки, розы, бегонии и незабудки.
  • Марии нравятся все спортивные игры: волейбол, теннис, баскетбол и даже футбол.
  • В зоопарке громко кричали и рычали животные: тигры, львы, волки, обезьяны, медведи.

Если после обобщающей лексемы есть слова: а именно, например, как-то, то есть, то перед ними ставится запятая, а после них – двоеточие:

  • В нём мне не нравится многое, а именно: манера речи, черты лица, юмор и походка. Схема [О, а именно: О, О, О и О].
  • Я люблю читать русскую классику, например: Пушкина, Тургенева, Толстого, Достоевского, Бунина. Схема [О, например: О, О, О, О, О].

Если однородные члены, которые стоят после обобщающей лексемы, не заканчивают собой высказывание, то перед первым из них нужно поставить двоеточие, а после последнего – тире:

  • Повсюду: в горах, в пустыне, в лесу, в тайге – любит и страдает человек одинаково. [О: о, о, о, о – …].
  • Никто: ни знакомые, ни друзья – не станут мне дороже матери и отца. [О: ни о, ни о – …].

Однородными членами предложения не являются

К ОЧП не относятся:

  1. Лексемы, которые повторяются для того, чтобы подчеркнуть большое количество предметов, повторяемость действия, его длительность и др. Впереди тропинка вела мимо этого дома вверх, вверх. Это одинаковые слова, которые следуют одно за другим, подчёркиваются как один член предложения.
  2. Одинаковые формы, которые повторяются и соединяются частицами «так», «не»: гулять так гулять, плачь не плачь, старайся не старайся и др.
  3. Сочетания глаголов, в котором первый лексически неполный: пойду поем, возьму и расскажу, взял да и расплакался.
  4. Устойчивые словосочетания с двойными союзами: ни за что ни про что, ни сном ни духом, ни кола ни двора, и так и сяк и др.

Между их частями запятая не ставится.

Таким образом, ОЧП – одинаковые слова, зависящие от одних и тех же лексем и связанные интонацией (запятыми) или сочинительными союзами.

Однородные члены предложения с обобщающими словами. Урок в 11 классе

                                      УРОК В  11 КЛАССЕ.

 

ОДНОРОДНЫЕ ЧЛЕНЫ ПРЕДЛОЖЕНИЯ С ОБОБЩАЮЩИМИ СЛОВАМИ.

 

 

                                               ХОД УРОКА.

 

—          Тема  нашего урока: однородные члены предложения с обобщающими словами (словосочетаниями). Наша задача – научиться видеть  их в тексте, помнить о том, что однородные члены предложения играют роль действенного изобразительного средства (повторим, что  такое градация), а самое главное – научиться правильно расставлять знаки препинания в синтаксических конструкциях с однородными членами предложения, имеющими обобщающие слова.

 

( У доски по теме готовится отвечать ученик, записывает примеры, иллюстрирующие правило).

 

      Учащиеся пишут словарный диктант:

Незамечаемые ошибки, не замечаемые мной ошибки, нерастворимый осадок, неизъяснимое счастье, недосолить суп, поступок неразумен,  работа не зачтена, не доел винегрет, недаром выделили, отдал вещь не даром, непрофессионал.

 

Учитель просит к последнему слову подобрать синоним.

Учащиеся записывают в тетради толкование слова «дилетант»:

 лат. — услаждать, забавлять — любитель, занимающийся каким-либо искусством, наукой без специальной подготовки, поверхностно знакомый с чем-либо человек.

   

—  Вот сейчас мы и проверим, дилетанты вы в области орфоэпии или этот раздел русского языка знаете хорошо. Запишите, а потом произнесите вслух слова в соответствиями с нормам русского литературного произношения:

 

     ТЕ¢ФТЕ¢ЛИ                ТО¢РТЫ              КВАРТА¢Л              ТО¢РТЫ (-ОВ, -АМИ)

     ЩАВЕ¢ЛЬ              ДОНЕ¢ЛЬЗЯ        ВОДОПРОВО¢Д        ИСТЕ¢КШИЙ

     МЕ¢ЛЬКО¢М

 

—          Скажите, какие слова допускают двоякое произношение?

 

Ещё один ученик записывает у доски предложение, расставляя знаки препинания:  …Лежало множество всякой всяч..ны куча исписа..ых мелко бумажек накрытых мраморным позеленевшим прессом какая(то) стари..ая книга в кожа..ом переплёте с красным обрезом лимон весь высохший рюмка с какою(то) жидкостью и тремя мухами накрытая письмом кусоч..к где(то) поднятой тряпки два пера запачка..ые чернилами…

 

Ученик отвечает теорию по теме: знаки препинания при однородных членах предложения с обобщающими словами.

 

ИНФОРМАЦИЯ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ.

Однородные члены предложения выполняют одну и ту же функцию и относятся к одному и тому же  слову. В составе предложения они связаны между собой как равноправные и независимые друг от друга. Отношения между однородными членами выражаются интонацией и сочинительными союзами. Разнообразные союзы могут выразить разные виды отношений между однородными: перечисление, противопоставление и др. Однородными могут быть любые члены предложений. Однако определения могут быть и неоднородными, если они характеризуют предмет с разных сторон. Ряд  однородных членов может быть открыт или закрыт обобщающим словом или словосочетанием.

    Обобщающее слово обозначает родовое понятие по отношению к понятиям, названным однородными членами, которые обозначают видовые понятия.

Обобщающие слова чаще всего выражены определительными и отрицательными местоимениями: ВСЁ, ВСЕ, ВСЯКИЕ, НИКТО, НИЧТО и др., а также местоимёнными наречиями: ВЕЗДЕ, ВСЕГДА, ВСЮДУ и др.

 Однако обобщающим словом может быть и другая знаменательная часть речи. Например: Тут были все клички, все повелительные наклонения: стреляй, обругай, порхай, допекай… (Гоголь).

  Если обобщающее  слово стоит в главной части сложноподчинённого предложения, то придаточная часть, которая относится к этому обобщающему слову, тоже может иметь обобщающую функцию: Он знает толк во всём,  что важно для русского человека: в лошадях и в скотине, в кирпичах и в посуде, в песнях и плясках.

    Пунктуация при однородных членах предложения с обобщающим словом зависит от расположения обобщающего слова по отношению к однородным членам предложения.

  1. Если обобщающие слова предшествуют однородному ряду, то после них ставится двоеточие:

                            Всё тебе: и молитва дневная,

                            И бессонницы  млеющий жар,

                            И стихов моих белая стая,

                            И очей моих синий пожар.

                                                   (А. А. Ахматова)

Если после обобщающего слова стоят слова КАК-ТО, А ИМЕННО, НАПРИМЕР, ТО ЕСТЬ, то перед ними ставится запятая, а после них двоеточие:

Гости говорили о многих приятных вещах, как-то: о природе, о собаках, о чепчиках…(Гоголь).

  От обобщающего слова (словосочетания) следует отличать ПРИЛОЖЕНИЕ, общее для следующих за ним однородных членов, выраженных именами собственными, обозначающими лиц, географические названия, названия литературных произведений. В этом случае двоеточие перед однородными членами не ставится.

  Сёстры Таня, Лена, Оля любили своего брата.

  Романы Л. Толстого «Война и мир», «Анна Каренина», «Воскресение» читает весь мир.

  1. Если обобщающее слово (словосочетание) стоит после ряда однородных членов, то перед ними ставится тире.

                            Она узнала зыбь и дымы,

                            Огни, и мраки, и дома –

                            Весь город мой неповторимый.

                                                    ( А. А. Блок)

  ПРИМЕЧАНИЕ: если перед обобщающим словом (словосочетанием) стоит вводная конструкция, то перед ней ставится тире, а после неё – запятая: Но здравый смысл, твёрдость и свобода – словом, все её достоинства точно родились с ней.

  1. В целях усиления смысловой роли обобщающего слова оно может ставиться и перед однородным рядом и повторяться после него. При этом перед однородными членами ставится двоеточие, а после него – тире:

                   И всё это: пышная вершина клёна, подвенечная белизна яблонь, синева неба – всё поражало свежестью и новизной.

 ПРИМЕЧАНИЕ: в речи  деловой и отчасти научной двоеточие может ставиться перед перечислением и без обобщающего слова:

     На собрании присутствовали: студенты, аспиранты, преподаватели.

В художественном и публицистическом тексте такой знак препинания крайне редок. Он возможен лишь в тексте с вкраплением элементов научной речи с целью предупреждения о последующем перечислении. У Тургенева читаем: «В                двух или трёх местах кучками росли: татарская жимолость, бузина, шиповник – остатки прежних клумб.

 

  1. После обобщающего слова может стоять не двоеточие, а тире, если однородные члены предложения выполняют при обобщающем слове функцию приложения со значением уточнения:

                   И снова всё   светло и бренно –

                   Вода, и небо, и песок,

                   И хрупкая морская пена,

                   И отплывающий челнок.

                                 (Д. Самойлов)

Если однородные члены стоят в середине предложения, то тире в этом случае ставится перед ними и после них:

    И отовсюду – из каждого дома, двора, переулка – бежало навстречу нам эхо.

 

  1. Общая тенденция вытеснения двоеточия знаком тире сказалось и на оформлении однородных членов предложения с обобщающими словами; независимо от позиции обобщающих слов начинает унифицироваться оформление рядов однородных словоформ. Наиболее распространённым и единственным знаком при любой позиции обобщающих слов становится тире.

 

 (У каждого ученика на столе отксерокопированы  предложения  с однородными членами предложения из произведений  А. С. Пушкина, Н. В. Гоголя, В. Г. Короленко, К. Г. Паустовского).

 

—          Читаем у Паустовского: «Во время ненастья начинаешь ценить простые земные блага – тёплую избу, огонь в русской печи, писк самовара, сухую солому на полу, застланную грубым рядном для ночлега, усыпительный шум дождя по крыше и сладкую дремоту.

  —    Но перейдём от сухой теории к поэзии, к стилистической функции однородных членов. Какова функция однородных дополнений в предложении Паустовского?

 

 (Предложение, насыщенное однородными дополнениями образует благодаря этому единое целое, создаёт общую картину, обладающую большой живописностью и экспрессивностью…)

 

—          А теперь прочитайте следующее предложение и скажите, что подчёркивают однородные члены предложения в этом отрывок. Заодно вспомните автора и произведение, откуда взят этот отрывок.

                    …Уже столпы заставы

                     Белеют: вот уж по Тверской

                     Возок несётся чрез ухабы.

                     Мелькают мимо будки, бабы,

                     Мальчишки, лавки, фонари,

                     Дворцы, сады, монастыри,

                     Бухарцы, сани, огороды,

                     Купцы, лачужки, мужики,

                     Бульвары, башни, казаки,

                     Аптеки, магазины моды,

                     Балконы, львы на воротах

                     И стаи галок на крестах.

Конечно же, это А. С. Пушкин и его роман «Евгений Онегин». Однородные подлежащие помогают автору показать быстро сменяющие друг друга картины.

 

—          Обратите внимание на следующее предложение, в котором В. Г. Короленко по-своему использует выразительные возможности однородных членов:

«Перед глазами ходил океан, и колыхался, и гремел, и сверкал, и угасал, и светился, и уходил куда-то в бесконечность.»

—          Какую стилистическую функцию выполняют однородные сказуемые-глаголы в этом предложении?

           (Создают впечатление динамичности и напряжённости действия.)

 

—          Вернёмся к предложению, записанному учеником в начале урока. С какой целью Гоголь использовал перечисление однородных членов?

 «Лежало множество всякой всячины: куча исписанных мелко бумажек, накрытых мраморным позеленевшим прессом с яичком наверху, какая-то старинная книга в кожаном переплёте с красным обрезом, лимон, весь высохший, ростом не более лесного ореха, отломленная ручка кресел, рюмка с какою-то жидкостью и тремя мухами, накрытая письмом, кусочек сургучика, кусочек где-то поднятой тряпки, два пера, запачканные чернилами, высохшие, как в чахотке, зубочистка, совершенно пожелтевшая, которою хозяин, может быть, ковырял в зубах своих ещё до нашествия на Москву французов».

 

(Н. В. Гоголь в «Мёртвых душах» использует перечисление однородных членов для создания СТАТИЧЕСКОЙ картины, на которой тщательно выписаны все детали единого целого. Можно не сомневаться, что эти вещи принадлежат Плюшкину).

 

—          Встречаются и особые приёмы употребления однородных членов. Так, у А. П.Чехова часто можно найти троекратное их повторение, создающее своеобразный ритмический рисунок фразы, мелодичность и музыкальность речи:

 «Она, высокая, красивая, стройная, казалась теперь рядом с ним очень здоровой и нарядной». (А. П. Чехов)

 

—          Говорить о стилистической функции однородных членов предложения можно бесконечно. Весьма выразительны однородные определения, как согласованные, так и несогласованные, образующие ряды эпитетов, позволяющих создать целую гамму красок, звуков, запахов.

 

  «Каждому, кто знает книги Грина и знает Севастополь, ясно, что легендарный Зурбаган – это почти точное описание Севастополя, города прозрачных бухт, дряхлых лодочников, солнечных отсветов, военных кораблей, запахов свежей рыбы, акации и кремнистой земли и торжественных закатов, вздымающих к небу весь блеск и свет отражённой черноморской воды.» ( Паустовский).

 

—          Взгляните на предложения Гоголя и Лермонтова и скажите, какую стилистическую фигуру вы видите в этих текстах?

   «Чистое, непорочное, прекрасное, как невеста, стояло перед ним произведение художника. Скромно, божественно, невинно и просто, как гений, возносилось оно над всем». (Гоголь).

      Найду ль там прежние объятья?

      Старинный встречу ли привет?

      Узнают ли друзья и братья

      Страдальца после многих лет?

                             (Лермонтов)

 

(В предложении Гоголя однородные эпитеты ЧИСТОЕ, НЕПОРОЧНОЕ, ПРЕКРАСНОЕ расположены по степени нарастания, усиливают передачу впечатления от картины. Это восходящая (возрастающая) градация.

В предложении Лермонтова – нисходящая (убывающая) градация.)

 

Учитель просит учащихся вспомнить, что называется градацией.

 

—          Градация это фигура в виде синтаксической конструкции, внутри которой однородные выразительные средства (эпитеты, сравнения, метафоры и т.п.) располагаются в порядке усиления или ослабления признака.

 

 Учащиеся записывают определение градации в тетрадь: Градация (лат. – постепенное возвышение) – стилистический приём расположения слов и выражений, а также средств художественной изобразительности по возрастающей или убывающей (нисходящей) значимости.

 

—          Возрастающая градация в русской словесности используется более часто, чем нисходящая. Развёрнутая многоплановая градация лежит в основе композиции «Сказки о рыбаке и рыбке» Пушкина. Эту проблему исследовал дома ученик и выяснил, что градация в сказке восходящая.

 

Класс  слушает сообщение ученика.

 

Вверх по лестнице поднимаются желания старухи:

Не хочу быть чёрной крестьянкой,

Хочу быть столбовой дворянкой.

 

Не хочу быть столбовою дворянкой,

А хочу быть вольною царицей.

 

Не хочу быть вольною царицей,

Хочу быть владычицей морскою.

 

  На месте «ветхой землянки» сначала появляется  «изба со светёлкой», потом — «высокий терем», а там и  «царские палаты».

 

 Чем более неуёмные и вздорные требования старухи вынужден старик передавать золотой рыбке, тем суровее, грознее встречает его море:

—          «море слегка разыгралось»

—          «помутилося синее море»

—          «не спокойно синее море»

—          «почернело синее море»

—          «на море чёрная буря».

 

—          Быть может, отчасти благодаря такой стилистической фигуре, как градация, мы можем определить идею пушкинской сказки. Чему учит это произведение А. С. Пушкина?

 

( Все произведения А. С. Пушкина учат нас быть людьми. Философская «Сказка о рыбаке и рыбке» напоминает нам о том, что наши желания должны быть соразмерны нашим возможностям. Некоторые амбиции могут закончиться иногда очень плачевно).

 

Амбиция – обострённое себялюбие, самомнение, спесь.

 

—          Вот и заканчивается урок, серьёзный и не очень, посвящённый однородным членам предложения и знакам препинания при наличии обобщающего слова при них. А завершить урок хочется на шутливой ноте. Посмотрите и скажите, почему эти предложения могут вызвать улыбку? Объясните стилистические ошибки и исправьте предложения.

 

 

  1. Пью чай с лимоном и с удовольствием.

(Предложение построено явно неудачно: сочетания «с лимоном и с удовольствием» внешне напоминают однородные члены, но они выражают несовместимые понятия, далёкие одно от другого, поэтому в роли однородных членов выступать не могут. И действительно: сочетание «с лимоном» является дополнением, а сочетание «с удовольствием» – обстоятельством образа действия.)

  1. «Рекомендую дамам не выходить без мужа или без дубины». (Горький).
  2. «Человек… существо, знакомое с употреблением брюк и дара слова…» (Горький).

 (В этих предложениях нарушена логическая связь между однородными членами: объединены в качестве однородных неоднородные понятия. М. Горький использовал в этих предложениях подобный стилистический приём для создания комического эффекта, пародируя нелогичную речь).

 

—          Мне думается, что вы не только будете активно использовать в своих сочинениях ряды однородных членов предложения с обобщающими словами и без них, но и грамотно ставить знаки препинания.

 

Учащиеся выполняют самостоятельную работу по карточкам на изученную тему.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

БИБЛИОГРАФИЯ:

 

1.      Валгина Н. С., Светлышева В. Н. Орфография и пунктуация: Справочник. – М: Высшая школа, 1996.

2.      Горшков А. И. Русская словесность: От слова к словесности: Учеб. Пособие для учащихся 10 – 11 классов, школ, гимназий и лицеев гуманитарной направленности. – М.: Просвещение, 1995.

3.      Дейкина А. Д., Пахнова Т. М. Русский язык: Учебник-практикум для старших классов.- М.: Вербум-М, 2001.

4.      Макурина Л. В. Русский язык 11 класс. Урок за уроком: Книга для учителя. – 2-е изд. – М.: ООО «Торгово-издательский дом «Русское слово –РС», 2001.

5.      Меркин Г. С., Зыбина Т. М., Максимчук Н. А ., Рябикова О. С. Развитие речи. Выразительные средства художественной речи: Пособие для учителя /Под общей редакцией Г.С.Меркина, Т.М.Зыбиной. – М.: ООО «Русское слово – учебная книга», 2002.

6.      Орфоэпический словарь русского языка: Произношение, ударение, грамматические формы / С.Н.Борунова, В.Л.Воронцова, Н.А.Еськова; Под ред.  Р.И.Аванесова. – 3-е изд., стереотип. – М.: Рус. Яз., 1987.

7.      Розенталь Д.Э., Голуб И.Б. Секреты стилистики. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.

8.      Розенталь Д.Э., Голуб и.Б., Кохтев Н.Н. Русский язык для школьников 5 – 9 классов. Путешествие в страну слов: Учебное пособие. – М.6 Дрофа, 1995.

9.      Ткаченко Е.М. Пунктуация: правила, упражнения, диктанты. Часть 1. Простое и осложнённое предложение. – М.: Имкса, 2001.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определите стилистическую функцию однородных членов в данных предложениях.

 

1. Во время ненастья начинаешь ценить самые простые земные благатёплую и¢збу¢, огонь в русской печи¢, писк самовара, сухую солому на полу, застланную грубым рядном[1] для ночлега, усыпительный шум дождя по крыше и сладкую дремо¢ту. (К. Г. Паустовский)

 

 

 

2. …Уже столпы заставы

Белеют: вот уж по Тверской

Возок несётся чрез ухабы.

Мелькают мимо будки, бабы,

Мальчишки, лавки, фонари,

Дворцы, сады, монастыри,

Бухарцы, сани, огороды,

Купцы, лачужки, мужики,

Бульвары, башни, казаки,

Аптеки, магазины моды,

Балконы, львы на воротах

И стаи галок на крестах.

                       (А. С. Пушкин)

 

 

3. Перед глазами ходил океан, и колыхался, и гремел, и сверкал, и угасал, и светился, и уходил куда-то в бесконечность. (В. Г. Короленко)

 

 

4. …Лежало множество всякой всячины: куча исписанных мелко бумажек, накрытых мраморным позеленевшим прессом с яичком наверху, какая-то старинная книга в кожаном переплёте с красны обрезом, лимон, весь высохший, ростом не более лесного ореха, отломленная ручка кресел, рюмка с какою-то жидкостью и тремя мухами, накрытая письмом, кусочек сургучика, кусочек где-то поднятой тряпки, два пера, запачканные чернилами… (Н.В. Гоголь)

 

 

5. Она, высокая, стройная, красивая, казалась теперь рядом с ним очень здоровой и нарядной. (А. П. Чехов)

 

   6. Каждому, кто знает книги Грина и Севастополь, ясно, что легендарный Зурбаган – это почти точное описание Севастополя, города прозрачных бухт, дряхлых лодочников, солнечных отсветов, военных кораблей, запахов свежей рыбы, акаций и кремнистой земли и торжественных закатов, вздымающих к небу весь блеск и свет отражённой черноморской воды. (К. Г. Паустовский)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Какую стилистическую фигуру вы видите в этих текстах?

 

 

1.     Чистое, непорочное, прекрасное, как невеста, стояло перед ним произведение художника. (Н. В. Гоголь)

 

 

2.     Найду ль там прежние объятья?

Старинный встречу ли привет?

Узнают ли друзья и братья

Страдальца после многих лет?

                                       (М. Ю. Лермонтов)

 

 

 

 

Объясните стилистические ошибки и исправьте предложения.

 

 

1.     Пью чай с лимоном и с удовольствием.

 

 

2.     …Рекомендую дамам не выходить без мужа или без дубины.(М. Горький)

 

 

3.     Человек —  существо, знакомое с употреблением брюк и дара слова. (М. Горький)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КАРТОЧКИ.

 

 

 

 

№1

 Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1.Потом появились прибавления с хозяйской стороны изделия кухни пирог с головизною куда вошли хрящ и щёки десятипудового осетра другой пирог с груздями пряженцы маслянцы взваренцы. 2. Красота ум глупость все эти слова никак не шли к ней как не шло всё человеческое поистине была она как бы с какой-то другой планеты. 3. И отовсюду из каждого дома двора из каждой руины переулка бежало навстречу нам эхо.

 

 

 

 

 

№2

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1. …Начали мало-помалу появляться свидетели знакомый читателю прокурор-моргун инспектор врачебной управы Трухачевский Бегушкин и прочие по словам Собакевича даром беременящие землю. 2. Ни хозяйство ни служба ни литература ничто ко мне не пристало. 3. Всё есть в стихах и вкус и слово и чувства верная основа.

 

 

 

 

№3

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1. Обосновавшись в гнезде скворец начинает таскать туда всякий строительный вздор мох вату перья пух тряпки солому сухие травинки. 2. Гостиные сплетни балы тщеславие ничтожество вот заколдованный круг из которого я не могу выйти. 3. У них всё через край и хорошее и дурное и радость и горе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№4

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1. На столе был приготовлен ему прибор и завтрак масло яйца глянцевито-зелёные огурцы. 2. Вечные тревоги мучительная борьба с холодом и голодом тоскливое уныние матери хлопотливое отчаяние отца грубые притеснения хозяев и лавочников всё это ежедневное непрерывное горе развило в Тихоне робость неизъяснимую… 3. И теперь всё это и плёс и мельница и уютные берега принадлежало инженеру.

 

 

 

 

 

№5.

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1. Всё обещало мне его край неба тусклый и червонный и милый сон под Рождество и Пасхи ветер многозвонный и прутья красные лозы и парковые водопады и две большие стрекозы на ржавом чугуне ограды. 2. Но здравый смысл твёрдость и свобода горячее участие в чужих бедах и радостях словом все её достоинства точно родились с ней. 3. Всё вокруг Ильи дома мостовая небо вздрагивало прыгало лезло на него чёрной тяжёлой массой.

 

 

 

 

 

№6

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1. Зима наша прошла чудесно. Всё было наше всё было общее прошлое и будущее радость и вся жизнь до последнего дыхания. 2. А она уже не молодая лет тридцати но тоже высокая стройная чернобровая краснощёкая одним словом не девица а мармелад. 3. Все эти слова и «окоём» и «стожары» и «льзя» и глагол «сентябрит» (о первых осенних холодах) я услышал в обыденной речи от старика с совершенно детской душой истового труженика и бедняка но не по бедности а потому что он довольствовался в своей жизни самым малым…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№7

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1. На этом уго¢льном столе поместилось вынутое из чемодана платье а именно панталоны под сюртук панталоны серенькие два бархатных жилета и два атласных сюртук и два фрака. 2. И запах горький и печальный туманов и духов и кольца сквозь перчатки тонкой и строгий вид и эхо над пустыней звонкой от цоканья копыт всё говорит о беспредельном всё хочет нам помочь. 3.  В жену мою до того въелись все привычки старой девицы Бетховен ночные прогулки резеда переписка с друзьями альбомы и прочее что ко всякому другому образу жизни особенно к жизни хозяйки дома она никак привыкнуть не могла.

 

 

 

 

№8

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

   1. Кроме упомянутых инструментов в отряде набралось ещё немного походного инвентаря как-то котлы чайники топоры поперечная пила сапёрная лопатка паяльник и пр. 2. Его шестнадцать лет его живые взоры ланиты нежные заносчивые споры порывы дружества негодованье гнев всё обещает в нём любимца зорких дев. 3. И кресты и далёкие окна и вершины зубчатого леса всё дышит ленивым и белым размером весны.

 

 

 

 

№9

  Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

  1. Если ему на ярмарке посчастливилось напасть на простака и обыграть его он накупал кучу всего что прежде попадалось ему на глаза в лавках хомутов курительных свечек платков для няньки жеребца изюму серебряный рукомойник голландского холста крупитчатой муки табаку пистолетов селёдок картин точильный инструмент горшков фаянсовую посуду… 2. И жизнь всечастно кочевая труды заботы ночь и днём всё размышлению мешая приводят в первобытный вид живую душу… 3. Он проиграл коляску дрожки трёх лошадей два хомута всю мебель женины серёжки короче всё всё дочиста.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№10

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1. Местами расходились зелёные чащи озарённые солнцем и показывали неосвещённое между них углубление зиявшее как тёмная пасть оно было всё окинуто тенью и чуть-чуть мелькали в чёрной глубине её бежавшая узкая дорожка обрушенные перила пошатнувшаяся беседка дуплистый дряхлый ствол ивы седой чапыжник густой щетиною вытыкавший из-за ивы иссохшие от страшной глушины перепутавшиеся и скрестившиеся листья и сучья… 2. Вкусили смерть свидетели Христовы и сплетницы старухи и солдаты и прокуратор Рима все прошли. 3. Зато всё так же мощно дышала река и всё что было на неё пристани корабли катера подъёмные краны лесовозы.

 

 

 

 

№11

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1. Мне всегда казалось что я мог бы с таким же увлечением как и писательством заниматься некоторыми другими вещами мореплаванием археологией или вторичным географическим открытием давно открытых земель. 2. Ничто ни лиловый пожар Эгейского моря ни розовеющий мрамор и алые олеандры Эллады ни синий сказочный воздух Сицилии ни золотая тусклая дымка над бессмертным Парижем ничто не только не может приглушить нашу память о своей стране но наоборот доводят её до почти болезненной остроты. 3. Моя постоянная напряжённая улыбка мучительная наблюдательность тоскливое и напрасное желание уйти всё это вероятно было весьма замечательно в своём роде.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№12

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения. 

  

1. Король королева принцы и весь двор в Версале проводили время в непрерывных празденствах балеты фейерверки балы блестящие охоты на вытоптанных хлебных полях по ночам фантастические сражения за карточными столами при свете сотен восковых свечей. 2. Я слышала что он донёс обо всём и поборы с мужиков и обложение содержателей почт с хвоста лошади и ваш чубук всё всё…3. Не успел я отойти двух вёрст как уже полились кругом меня по широкому мокрому лугу и спереди по зазеленевшим холмам от лесу до лесу и сзади по длинной пыльной дороге по сверкающим обагрённым кустам и по реке стыдливо синевшей из-под редеющего тумана повсюду полились потоки молодого горячего света.

 

 

 

 

№13.

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1. Всё было прекрасно и зелень и фонари и предстоящее свидание и вкус папиросы которую ухитрился закурить на ветру. 2. За ним (домиком) душистая черёмуха целые ряды низеньких фруктовых деревьев потопленных багрянцем вишен и яхонтовым морем слив развесистый клён в тени которого разостлан для отдыха ковёр перед домом просторный двор с низенькою свежей травкою с протоптанною дорожкою от амбара до кухни и от кухни до барских покоев длинношеий гусь пьющий воду с молодыми и нежными как пух гусятами всё это для меня имеет неизъяснимую прелесть быть может оттого что я уже не вижу их и что нам мило всё то с чем мы в разлуке. 3. И над всем этим над городом над рекой над садами тихо сияла низкая пурпурная луна.

 

 

 

 

 

№14

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1. Но охотники уже не обращали ни на что внимания и мысли у них были одинаковы о печке о вальдшнепиной похлёбке о крепком хорошем чае. 2. Виною всему слово «миллионщик» не сам миллионщик а именно одно слово ибо в одном звуке этого слова заключается что-то такое которое действует и на людей подлецов и на людей ни то ни сё и на хороших людей словом на всех действует. 3. Но все эти смутные ожидания никогда не сбываются а сбываются другие вещи которых вовсе не ожидаешь как-то падежи недоимки продажи с публичного торга и прочая и прочая.

 

 

 

 

№15

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

     

1. Пробовалось сообщить ему (лицу) множество разных выражений то важное и степенное то почтительное но с некоторою улыбкою то просто почтительное без улыбки. 2. Люди львы орлы и куропатки рогатые олени гуси пауки молчаливые рыбы обитавшие в воде морские звёзды и те которых нельзя было видеть глазами словом все жизни все жизни все жизни свершив печальный круг угасали…3. Он убедился в невозможности продолжать службу жить в столице словом жить как жил до сих пор…

 

 

 

 

 

 

 

№16

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1. Но явственно на нём (озере) отражены и я и все союзники мои ночь белая и Бог и твердь и сосны… 2. Меж ними всё рождало споры и к размышлению влекло племён минувших договоры плоды наук добро и зло и предрассудки вековые и гроба тайны роковые судьба и жизнь в свою чреду всё подвергалось их суду. 3. Всё и пугливые взгляды печальный чёрных глаз и грустное выражение его смуглого лица и рассказы и жадность с которой  он накидывался на приносимую нам пищу всё это внушало какое-то захватывающе острое сочувствие к купленному мальчику.

 

 

 

 

№17

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1. Деды его жили пышно то есть по-старинному принимали званых и незваных кормили их на убой отпускали по четверти овса чужим кучерам на тройку держали музыкантов песенников и собак в торжественные дни поили народ вином и брагой по зимам ездили в Москву на своих в тяжёлых колымагах а иногда по целым месяцам сидели без гроша и питались домашней живностью. 2. И в музыке и в доме мужа во всех романах одним словом везде я была только эпизодическим лицом. 3. Слова «артистический» «художественность так и сыпались из её уст.

 

 

 

 

№18

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1. А в гостиной вот что представлялось любопытному взору наблюдателя по углам изразцовые печи кисленькое фортепиано направо заваленное рукописными нотами диван обитый полинялым голубым штофом с беловатыми разводами круглый стол две горки с фарфоровыми и бисерными игрушками екатерининского времени на стене известный портрет белокурой девицы с голубком на груди и закатившимися глазами на столе ваза с свежими розами… 2. Всё что нравилось ласкало давало надежду шум дождя раскаты грома мысли о счастье разговоры о любви всё это стало одним воспоминанием. 3. Всё что могло приглушить звуки ковры портьеры и мягкую мебель Григ давно убрал из дома.

 

 

 

 

 

 

 

№19

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1. В комнате оставались только те вещи которые князь Андрей всегда брал с собой шкатулка большой серебряный погребец два турецких пистолета и шашка подарок отца привезённый из-под Очакова. 2. И всё это огромная и пышная вершина клёна светло-зелёная гряда аллеи подвенечная белизна яблонь груш черёмух солнце синева неба всё поражало своей густотой свежестью и новизной. 3. Наряду с иными стихийными бедствиями как-то пожар град начисто выбивающий хлебные поля ненастье или наоборот великая сушь есть в деревне ещё одно бедствие.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№20

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1. В комнате попадались всё старинные приятели попадающиеся всякому в небольших деревянных трактирах а именно заиндевевший самовар выскобленные гладко сосновые стены трёхугольный шкаф с чайниками и чашками в углу фарфоровые вызолоченные яички перед образами висевшие на голубых и красных ленточках окотившаяся недавно кошка зеркало показывавшее вместо двух четыре глаза а вместо лица какую-то лепёшку… 2. И всё это мох на кузне псарня заросшая лопухами голые стропила над розовыми стенами так чудесно на ясном голубом небе среди беглых круглых облаков. 3. Результатом ваших увлечений были запущенность имений и расстройство сельского хозяйства.

 

 

 

 

№21

Расставьте знаки препинания, подчеркните однородные члены предложения.

 

1.      В числе этих любителей преферанса было два военных с благородными но слегка изношенными лицами несколько штатских особ в тесных высоких галстуках и с висячими крашеными усами какие бывают  только у людей решительных но благонамеренных пять или шесть уездных чиновников с круглыми брюшками пухлыми и потными ручками и скромно неподвижными ножками…2. Всюду в разбитых дворцовых парках среди развалин пожарищ в блиндажах на батареях она искала Балашова спрашивала о нём. 3. Все лица ямщик смотритель мужики на дороге или в деревне все имели для него новый смысл.

 

 

 

 


[1] Рядно¢, -а¢, мн. ря¢дна, -ден, -днам, ср. Толстый холст кустарного производства.

Однородные члены предложения и знаки препинания при них

Сегодня
мы…

·                  
Выясним, какими бывают однородные члены предложения.

·                  
Поговорим о знаках препинания между однородными членами предложения.

·                  
Узнаем, как обозначаются обобщающие слова при однородных членах.

Итак, как
выглядит простое неосложнённое предложение? В нем есть один или два главных
члена. И в нем могут быть второстепенные члены: дополнение, определение,
обстоятельство. Но как быть, если мы хотим просто увеличить количество главных
или второстепенных членов предложения? Тогда нам придётся обратиться к
однородным членам.

Ведь мы
можем говорить о двух предметах и более.

Чашка
стоит на столе.

Присоединим
к чашке чайник.

Теперь у
нас два подлежащих, и это – однородные подлежащие. При этом сказуемое осталось
одно, и оно относится к обоим подлежащим.

Однако
предмет может совершить и несколько действий.

Олег
всё время работает. А вот Николай не только работает, но и отдыхает.

Здесь у
нас уже два сказуемых.

И это
однородные сказуемые.

При этом
подлежащее осталось одно, и к нему относятся оба сказуемых.

Мы можем
столкнуться с несколькими объектами действия.

Они
вдруг увидели медведя.

Они
увидели медведя и слона
. Во втором предложении – два дополнения.

Значит, и
дополнения могут быть однородными членами. Причём, оба слова у нас отвечают на
один вопрос – кого? И вопрос этот мы ставим от одного слова – от слова увидели.

Ещё у
предмета может быть несколько характеристик.

У нас
есть красные шарики. У нас есть красные и зелёные шарики.

Два
определения, которые мы здесь видим, будут однородными.

При этом
слова опять отвечают на один вопрос, и ставится он от одного слова.

Ну, а
можем ли мы указать несколько обстоятельств? Конечно!

Они
увидятся завтра. Они увидятся и завтра, и послезавтра.

Во втором
предложении два обстоятельства, и они будут однородными.

Оба слова
отвечают на вопрос когда? и относятся к сказуемому.

И мы
можем сделать несколько выводов:

Однородные
члены – это такие члены предложения, которые связаны с одним словом и отвечают
на один и тот же вопрос.

Однородными
могут быть главные и второстепенные члены предложения.

То есть,
мы можем сказать, что однородные члены предложения – это одинаковые члены
предложения. Эти члены предложения связаны и между собой, так называемой
сочинительной связью. То есть, ни один однородный член не подчиняется другому.
Эти члены предложения между собой равны, ни один из них не важнее другого.

Чаще
всего однородные члены выражаются одной и той же частью речи.

В
жизни каждого человека бывают светлые и тёмные полосы.
Здесь мы видим
однородные определения – прилагательные.

Но ведь
есть и части речи, которые похожи по своим функциям!

Я
взяла с собой свою и Катину сумки.

Здесь мы
видим прилагательное и местоимение. Но эти слова стоят в одной форме.

Я в
первый и последний раз это говорю!
А здесь прилагательное и числительное
становятся однородными членами. Для них это легко, потому что они морфологически
однородны.

И здесь в
игру внезапно вступает… Михаил Булгаков! Вот отрывок из его повести «Собачье
сердце»:

– Я
вижу, как вы развиваетесь после Каутского, – визгливо и пожелтев, крикнул
Филипп Филиппович.

Здесь
соединительный союз и внезапно стоит между наречием и деепричастием, и
получается, что они выступают как однородные члены! Как же такое возможно?

Оказывается,
Булгаков имел на такой художественный приём полное право!

Потому
что иногда однородные члены предложения всё же бывают разными частям речи.

Я не
знал, кто и зачем это придумал.

Здесь
местоимение и наречие выступают как однородные члены предложения. Но при этом
они все равно относятся к одному слову.

Это
была девушка лет восемнадцати, с очаровательной улыбкой
. А тут вообще как однородные члены выступают словосочетания. Но при
этом они все же отвечают на один вопрос – какая?

А как
вообще соединяются однородные члены между собой?

Мы можем
воспользоваться интонацией.

В продаже
были яблоки, груши. Тут мы видим бессоюзную связь.

Но мы
можем воспользоваться и союзом.

В
продаже были яблоки и груши
.

Здесь мы
воспользовались соединительным союзом и.

При этом однородные
члены могут разделяться запятыми.

В
продаже были яблоки, груши, лимоны.

Составим
вот такую схему предложения.

Мы
обозначили предыдущий текст. И вот наши однородные члены. Здесь мы подчеркнули
бессоюзную связь и разделили однородные члены при помощи запятых.

Но может
быть, надо поставить ещё одну запятую? Стоп! Мы должны не выделять однородные
члены из текста, а только отделять их друг от друга!

Так что
запятые никогда не ставятся перед первым однородными членом предложения
и после последнего.

То есть,
если мы решим просто добавить ещё немного текста, то запятые мы все равно не
поставим – ни перед первым однородным членом, ни после последнего.

Мы
собрали боровики, подосиновики, сыроежки и отправились домой.

Нужно
помнить, что запятые ставятся только между однородными членами.

Но к
запятым могут присоединяться и союзы.

Просто
заменим одну запятую союзом и. Запятая исчезла!

В
продаже были яблоки и груши, лимоны.

А это
значит, что перед одиночным соединительным союзом запятая не нужна.

Что это
значит – перед одиночным союзом?

Мы ведь
можем заменить союзами сразу две запятые!

Но почему
запятые остались на месте?! Оказывается, если союзы повторяются, то запятые
никуда не пропадают.

В
продаже были яблоки, и груши, и лимоны.

При
парных соединительных союзах запятые ставятся
.

А если мы
хотим добавить союз и перед первым однородным членом? Мы можем это
сделать, но запятая не появится.

В
продаже были и яблоки, и груши, и лимоны.

Мы не
ставим запятую перед первым однородным членом.

А теперь
давайте рассмотрим вот эту любопытную схему. Здесь четыре однородных члена,
есть два соединительных союза. Но они не повторяются подряд! А ведь запятые
ставятся, только если союзы повторяются.

Значит,
мы поставим запятую там, где нет союзов. А при союзах запятых опять не будет.

В
продаже были яблоки и груши, лимоны и апельсины.

Но почему
это мы все время говорим только о союзе и?

Потому
что с остальными союзами проблем гораздо меньше!

Посмотрим
на знаки препинания при других союзах.

Вот
предложение: В продаже были не яблоки, а груши.

Конечно,
перед союзом а мы поставим запятую!

Так что
при остальных союзах запятые обычно ставятся.

Мальчик
был невысоким, но крепким
. Мы хорошо помним, что при союзе но запятая
ставится.

Она то
улыбнётся, то заплачет.

А здесь
повторяющийся союз то, то. Конечно. мы поставим
запятую.

Но все же
с некоторыми союзами у нас могут возникнуть проблемы. Поговорим о них.

Союзы или
и да (в значении и) при однородных членах требуют таких же знаков препинания,
как и союз и.

Купи
яблок или груш. Мы не поставим запятую при этом разделительном союзе.

Но что,
если он будет повторяющимся?

Купи
или яблок, или груш.

То есть,
запятые будут ставиться именно при повторении союзов.

Так какие
знаки препинания ставятся при однородных членах предложения?

При
бессоюзной связи – запятые.

А если
есть одиночный соединительный союз и – запятые не ставятся.

Если
союзы парные – запятые ставятся.

А если
союзы повторяются, но не подряд – запятые не нужны.

Это
правило и эти схемы подходят и для союза или. И для союза да в
значении
и.

Что мы
ещё должны знать? Запятые не ставятся перед первым однородным членом. И не
ставятся после последнего однородного члена. В остальном между однородными
членами ставятся запятые. При большинстве союзов.

Но
посмотрим на наш пример ещё раз. Все это перечисление… неужели это нельзя было
сказать одним словом? Ну конечно, мы можем обобщить информацию! К каждому
нашему однородному члену подходит слово фрукты.

Именно
поэтому при однородных членах часто могут стоять обобщающие слова.

Понаблюдаем
за этим обобщающим словом.

Понятие фрукты
включает в себя и яблоки, и груши, и лимоны. То есть, это более широкое
понятие. А однородные члены по отношению к нему – понятия более узкие.

Обобщающим
словом можно назвать любой из однородных членов предложения. При этом
обобщающее слово отвечает на тот же вопрос.

Но
обобщающие слова нужно как-то включать в предложение. Какие знаки препинания мы
при этом будем ставить?

Здесь
важно, где стоит обобщающее слово. Мы можем поставить его перед
однородными членами.

Мы собрали
грибы: грузди, опята, боровики.

Здесь мы
поставим после обобщающего слова двоеточие. Двоеточие в данном случае – все
равно что стрелка вправо, указывающая на однородные члены.

Но ведь
мы можем потом захотеть продолжить предложение. Предположим, что в знакомую нам
схему добавляется какой-то текст. Нам его нужно отделить от однородных членов.
И мы это делаем при помощи тире.

Мы
собрали грибы: грузди, опята, боровики – и пошли домой.

А вот
тире, похоже, стрелка как раз в левую сторону – однородные члены там,
посмотрите!

Это
подтверждается и ещё одной схемой. Мы ведь можем поставить обобщающее слово и после
однородных членов предложения. Тогда схема будет выглядеть вот так. И перед
обобщающим словом мы поставим тире.

Мы
собирали грузди, опята, боровики – осенние грибы.

Итак, обобщающее
слово – слово, которым можно обозначить любой из однородных членов предложения.
При это обобщающее слово отвечает на те же вопросы, а часто ещё и стоит в той
же форме, что и однородные члены.

Обобщающие
слова в тексте обозначаются при помощи двоеточия или тире.

Если
обобщающее слово стоит перед однородными членами, то после него ставится тире.

Если
после однородных членов мы хотим продолжить предложение, то перед началом
текста нужно поставить тире.

А если
обобщающее слово ставится после однородных членов, то перед обобщающим словом
ставится тире.

Обобщающие слова при однородных членах

При однородных членах предложения бывают обобщающие слова, которые могут стоять перед или после однородных членов.

Обобщающие слова — это слова, стоящие при однородных членах и указывающие их общее значение. Обобщающие слова отвечают на тот же вопрос и являются тем же членом предложения, что и однородные члены.

В саду росли цветы: розы, тюльпаны, нарциссы.

Слово  цветы  — это обобщающее слово. И обобщающее слово (цветы), и однородные члены (розы, тюльпаны, нарциссы) являются подлежащими.

В схемах предложений с обобщающими словами, обобщающие слова обозначаются так – .

Особенно часто обобщающими словами бывают следующие местоимения и наречия:  всё, всё это, все, все они, вот что, никто, ничто, везде, всюду, нигде, всегда, никогда. Например:

Радовались все: родители, ученики, учителя.

У нас никогда не бывает хорошей погоды: ни летом, ни зимой, ни весной, ни осенью.

После обобщающих слов перед однородными членами иногда могут стоять уточняющие словакак-то, а именно, например  — указывающие, что дальше пойдёт перечисление. Перед уточняющим словом ставиться запятая, а после него двоеточие:

Я хорошо подготовился к походу, а именно: купил палатку, взял спички, вставил батарейки в фонарик.

[, а именно : , и .]

Перед обобщающим словом, стоящим после однородных членов, могут быть употреблены вводные словасловом, одним словом, короче говоря  и др. — имеющие значение итога. После вводного слова перед обобщающим, ставится запятая:

В комнате, на кухне, в коридоре – короче говоря, всюду был ужасный беспорядок.

[, , – короче говоря , .]

Знаки препинания при обобщающих словах

В предложениях с обобщающими словами при однородных членах предложения ставятся двоеточие и тире.

Двоеточие ставится после обобщающего слова, если оно стоит перед однородными членами предложения:

В саду росли разные деревья: дубы, каштаны и липы.

[ : , и .]

Тире ставится перед обобщающим словом, если оно стоит после однородных членов предложения.

Бумага, краски, карандашивсё было аккуратно сложено.

[, , – .]

Двоеточие и тире. Если обобщающее слово стоит перед однородными членами, а после них предложение продолжается, то перед однородными членами ставится двоеточие, а после них, перед остальной частью предложения, ставится тире.

Фрукты: яблоки, груши, сливы – начинали уже созревать.

[ : , , – … .]

Однородные уравнения второго порядка

Однородные уравнения второго порядка

Существует два определения термина «однородное дифференциальное уравнение». Одно определение называет уравнение первого порядка вида

однородный, если M и N являются однородными функциями одинаковой степени. Второе определение — и то, которое вы будете видеть гораздо чаще — утверждает, что дифференциальное уравнение ( любого порядка ) является однородным , если однажды все члены, включающие неизвестную функцию, будут собраны вместе на одной стороне уравнения , другая сторона тождественно равна нулю.Например,

, но

Неоднородное уравнение

можно превратить в однородный, просто заменив правую часть на 0:

.

Уравнение (**) называется однородным уравнением , соответствующим неоднородному уравнению , (*). Существует важная связь между решением неоднородного линейного уравнения и решением соответствующего ему однородного уравнения.Двумя основными результатами этих отношений являются следующие:

Теорема A. Если y 1 ( x ) и y 2 ( x ) являются линейно независимыми решениями линейного однородного уравнения (**), то каждое решение равно линейная комбинация y 1 и y 2 . То есть общее решение линейного однородного уравнения равно

Теорема B. Если y ( x ) является любым частным решением линейного неоднородного уравнения (*), и если y h ( x ) является общим решением соответствующего однородного уравнения, то общее решение линейного неоднородного уравнения

То есть

[Примечание: общее решение соответствующего однородного уравнения, которое здесь обозначено как y h , иногда называют дополнительной функцией неоднородного уравнения (*).] Теорема A может быть обобщена на однородные линейные уравнения любого порядка, в то время как теорема B в том виде, в каком она написана, верна для линейных уравнений любого порядка. Теоремы A и B — это, пожалуй, самые важные теоретические факты о линейных дифференциальных уравнениях, которые определенно стоит запомнить.

Пример 1 : Дифференциальное уравнение

удовлетворяют функции

Убедитесь, что любая линейная комбинация y 1 и y 2 также является решением этого уравнения.Каково его общее решение?

Каждая линейная комбинация y 1 = e x и y 2 = xe x выглядит так:

для некоторых констант c 1 и c 2 . Чтобы убедиться, что это удовлетворяет дифференциальному уравнению, просто подставьте. Если y = c 1 e x + c 2 xe x , то

Подставляя эти выражения в левую часть данного дифференциального уравнения, получаем

Таким образом, любая линейная комбинация y 1 = e x и y 2 = xe x действительно удовлетворяет дифференциальному уравнению.Теперь, поскольку y 1 = e x и y 2 = xe x линейно независимы, теорема A говорит, что общее решение уравнения равно

Пример 2 : Убедитесь, что y = 4 x — 5 удовлетворяет уравнению

Тогда, учитывая, что y 1 = e x и y 2 = e 4x являются решениями соответствующего однородного уравнения, запишите общее решение данного неоднородного уравнения.

Во-первых, чтобы убедиться, что y = 4 x — 5 является частным решением неоднородного уравнения, просто подставьте. Если y = 4 x — 5, то y ′ = 4 и y ″ = 0, поэтому левая часть уравнения становится

.

Теперь, поскольку функции y 1 = e x и y 2 = e 4x линейно независимы (поскольку ни одно из них не является постоянным кратным другой), теорема A говорит, что общее решение соответствующего однородного уравнения равно

Теорема B тогда говорит

— общее решение данного неоднородного уравнения.

Пример 3 : Убедитесь, что y 1 = sin x и y 2 = cos x удовлетворяют однородному дифференциальному уравнению y ″ + y = 0. Что тогда является общим решением неоднородного уравнения y ″ + y = x ?

Если y 1 = sin x , то y 1 + y 1 действительно равно нулю.Точно так же, если y 2 = cos x , то y 2 = y также равно нулю, если требуется. Поскольку y 1 = sin x и y 2 = cos x линейно независимы, теорема A утверждает, что общее решение однородного уравнения y ″ + y = 0 имеет вид

Теперь, чтобы решить данное неоднородное уравнение, все, что нужно, — это какое-то конкретное решение.При осмотре можно увидеть, что y = x удовлетворяет y ″ + y = x . Следовательно, согласно теореме B, общее решение этого неоднородного уравнения равно

Дополнительное решение — обзор

III.K Округление до точного решения

Зная оптимальное разделение, мы стремимся найти строго дополнительное решение уравнения. (26).

В одном случае это очень просто. Если случается, что множество B в оптимальном разделе пусто, то x (0) = 0 является строго дополнительным решением, и все готово.Обратите внимание, что в этом случае s ( x (0)) должно быть положительным. Поскольку s ( x (0)) = q , этот случай можно легко увидеть в том и только том случае, если q > 0.

Следовательно, с этого момента мы предполагаем, что класс B не является пустой. Предполагая это, мы описываем процедуру округления, которая может быть применена к любому x , сгенерированному алгоритмом, чтобы получить вектор x¯ такой, что x¯ и его избыточный вектор s¯ = s (x¯) являются дополнительными (в том смысле, что x ¯N = s¯B = 0).Однако в общем случае эти x¯ и s¯ не обязательно неотрицательны. Но, как мы увидим, после достаточного количества дополнительных итераций алгоритма разделение между «малыми» и «большими» переменными становится достаточно сильным, чтобы получить строго дополнительное решение. Все это можно сделать за полиномиальное время.

Разбивая матрицу M и векторы x и s согласно оптимальному разбиению, соотношение s = Mx + q можно переписать как

(SBSN) = (MBBMBNMNBMNN) (xBxN ) + (qBqN).

Поскольку qBTxB0 = 0 и x B (0)> 0, следует, что q B = 0. Следовательно, имеем

sB = MBBxB + MBNxN.

Рассмотрим систему уравнений относительно неизвестного вектора ξ, задаваемого формулой

(43) MBBξ = sB − MBNxN.

Обратите внимание, что ξ = x B является «большим» решением (43), поскольку записи x B являются «большими» переменными. Мы легко можем видеть, что уравнение. (43) имеет больше решений.Это следует из использования любого оптимального решения x∼ с x∼B ≠ 0. Имеется x∼N = 0 и sB (x˜) = 0, откуда MBBx˜B = 0. Поскольку x B (0) 0, отсюда следует, что матрица M BB должна быть сингулярной, и, следовательно, уравнение (43) имеет несколько решений.

Пусть теперь ξ — любое решение уравнения. (43) и рассмотрим вектор x¯, определенный как

x¯B = xB − ξ, x¯N = 0.

Определите s¯ = s (x¯). Поскольку x¯N = 0, имеем

s¯B = MBBx¯B = MBB (xB − ξ) = 0.

Следовательно, x¯N = s¯B = 0, показывая, что векторы x¯ и s¯ дополняют друг друга.Однако будет ясно, что векторы x¯ и s¯ не обязательно неотрицательны, не говоря уже о строго дополнительных. Это верно, только если

(44) x¯B = xB − ξ> 0,

и

(45) S¯N = MNBx¯B + MNNx¯N + qN = MNB (xB − ξ) + qN = SN − MNNxN − MNBξ> 0.

Обратите внимание, что если мы запустим алгоритм достаточно долго, x B и s N сходятся к положительным векторам, тогда как x N и s B (и, следовательно, также ξ) сходятся к нулю.Это делает правдоподобным, что если мы возьмем ε достаточно малым в алгоритме, то мы получим решение ξ уравнения (43), которое удовлетворяет (44) и (45), что приведет к строго дополнительному решению уравнения. (43).

Опуская дальнейшие подробности, мы завершаем этот раздел указанием основного результата сложности для результатов внутренней точки: при решении уравнения. (43) методом исключения Гаусса точное решение уравнения (26) можно найти после не более чем 7nL итераций, где L обозначает двоичный размер задачи.

Дополнение и разница наборов

Литература к занятию 5 — (продолжение)

Дополнение и разница наборов


Помните, что мы часто
работать с определенным набором объектов при решении задач или
обсуждение вопросов. Мы назвали этот набор объектов a
универсальный набор или вселенная.
Например, в приведенной выше задаче о вводе универсальный набор
может быть либо набором всех долларов США, либо набором
836 долларов Сэм изначально имел на текущем счете.


Комплектация набора:
The
дополнение
набора, обозначенное
А ‘,
— это множество всех элементов в данном универсальном множестве
U чего нет в
А
.

В обозначении конструктора наборов: A ‘= { x
U :
х


A }.

Диаграмма Венна для
дополнение набора A есть
показано ниже, где заштрихованная область представляет
А ‘.

Пример:
Для вводной
пример на предыдущей странице, пусть универсальный набор
U будет Сэмом за 836 долларов
имеет на текущем счете и пусть
A быть набором
429 долларов чека.Дополнение набора
будет набором из 407 долларов, оставшихся на текущем счете.

Пример:
Пусть U = {1, 2,
3, 4, 5, 6} и A =
{1, 3, 5}. Затем A
= {2, 4, 6}.

Пример:
U
знак равно

В
дополнением вселенной является пустое множество.

Пример:

∅ ‘

знак равно
U
Дополнением к пустому множеству является универсальное множество.


комплект
Разница:


Модель
относительное дополнение
или
разница наборов
наборов
A
и B , обозначается A
B , это набор всех
элементы в A , которые
отсутствует в B .

В обозначении конструктора множеств
А
B = { x

U :
х


A и

х


B } =
А

B ‘.

Диаграмма Венна для заданной разности множеств
A и B показан ниже
где заштрихованная область представляет
А
В .

Пример:
Для вводной
пример на предыдущей странице, пусть универсальный набор
U набор всех
Долларов США, давай установим А
быть набором из 836 долларов, который Сэм изначально имел на текущем счете,
и пусть B будет набором
429 долларов чека. Тогда установленная разница
A и
B будет 407 долларов
остающийся на текущем счете.

Пример:
Пусть A = { a, b, c, d } и B = { b,
д, д}
. потом
А
B = { a, c } и B
A = { e }.

Пример:
Пусть G = { t, a, n } и H = { n,
а, т
}.Тогда G H =

∅.

Как нам
определить вычитание целых чисел?

в
вводный пример на
на предыдущей странице этого раздела, оставшийся баланс составлял
разница между мощностями наборов для
текущий счет и чек. Это также работает для третьего
пример (выше) где

n ( G )
n ( H ) = 3 — 3 = 0 = n (∅).

Но во втором примере (выше)
разница между мощностями не дает
ожидаемый результат, например,

n ( A )
n ( B ) = 4 — 3 = 1 ≠ 2 = n ( A
В ).

В таком случае,
B не является подмножеством
А . Это приводит к
определение набора для вычитания целых чисел, указанных на
Следующая страница.



Возврат
на домашнюю страницу Пейля | Миннесота
Государственный университет Мурхед | Математика
Отдел

Раздел 5. {p-1} \ frac {\ overrightarrow {x_ {p}} \ cdot \ overrightarrow {v_ {i}}} {\ overrightarrow {v_ {i}} \ cdot \ overrightarrow {v_ {i}}} \ overrightarrow { v_ {i}} [/ латекс].{2}} \ overrightarrow {x_ {p}} [/ latex],

, затем:

1. [латекс] \ overrightarrow {x_ {p + 1}} \ cdot \ overrightarrow {x_ {k}} = 0 [/ latex] для [latex] k = 1, …, p [/ latex] .

2. Если [латекс] \ overrightarrow {u} [/ latex] не находится в [латексе] \ text {Span} \ {\ overrightarrow {x_ {1}}, …, \ overrightarrow {x_ {p} } \} [/ latex], затем [latex] \ overrightarrow {x_ {p + 1}} \ neq0 [/ latex] и [latex] \ {\ overrightarrow {x_ {1}}, …, \ overrightarrow { x_ {p}}, \ overrightarrow {x_ {p + 1}} \} [/ latex] — ортогональный набор.

Пример 3: Пусть [латекс] W = \ mbox {Span} \ {\ overrightarrow {x_ {1}}, \ overrightarrow {x_ {2}} \} [/ latex], где [латекс] \ overrightarrow { x_ {1}} = \ left [\ begin {array} {c} 1 \\ 2 \\ 3 \ end {array} \ right] [/ latex] и [latex] \ overrightarrow {x_ {2}} = \ left [\ begin {array} {c} -2 \\ 0 \\ 1 \ end {array} \ right] [/ latex].

Постройте ортогональный базис для [латекса] W [/ латекса].

Упражнение 3: Пусть [латекс] W = \ mbox {Span} \ {\ overrightarrow {x_ {1}}, \ overrightarrow {x_ {2}} \} [/ latex], где [латекс] \ overrightarrow { x_ {1}} = \ left [\ begin {array} {c} 1 \\ -1 \\ 3 \ end {array} \ right] [/ latex] и [latex] \ overrightarrow {x_ {2}} = \ left [\ begin {array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \ end {array} \ right] [/ latex].

Постройте ортогональный базис для [латекса] W [/ латекса].

Пример 4: Пусть [latex] W = \ mbox {Span} \ {\ overrightarrow {x_ {1}}, \ overrightarrow {x_ {2}}, \ overrightarrow {x_ {3}} \} [/ latex ], где [латекс] \ overrightarrow {x_ {1}} = \ left [\ begin {array} {c} 1 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \ end {array} \ right] [/ latex], [латекс] \ overrightarrow {x_ {2}} = \ left [\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \ end {array} \ right] [/ latex] и [latex] \ overrightarrow {x_ {3}} = \ left [\ begin {array} {c} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {array} \ right] [/ latex].

Построить ортогональный базис для [латекса] W [/ latex].}

Упражнение 4: Пусть [latex] W = \ mbox {Span} \ {\ overrightarrow {x_ {1}}, \ overrightarrow {x_ {2}}, \ overrightarrow {x_ {3}} \} [/ latex ], где [латекс] \ overrightarrow {x_ {1}} = \ left [\ begin {array} {c} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \ end {array} \ right] [/ latex], [латекс] \ overrightarrow {x_ {2}} = \ left [\ begin {array} {c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \ end {array} \ right] [/ latex] и [latex] \ overrightarrow {x_ {3}} = \ left [\ begin {array} {c} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \ end {array} \ right] [/ latex].

Постройте ортогональный базис для [латекса] W [/ латекса].

Замечание: Чтобы получить ортонормированный базис из данного базиса, нужно просто использовать процесс Грама-Шмидта для получения ортогонального базиса, а затем нормализовать базис, то есть разделить каждый вектор на его собственную длину, чтобы получить единичный вектор.

Пример 5: Пусть [latex] W = \ mbox {Span} \ {\ overrightarrow {x_ {1}}, \ overrightarrow {x_ {2}}, \ overrightarrow {x_ {3}} \} [/ latex ], где [латекс] \ overrightarrow {x_ {1}} = \ left [\ begin {array} {c} 1 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \ end {array} \ right] [/ latex], [латекс] \ overrightarrow {x_ {2}} = \ left [\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \ end {array} \ right] [/ latex] и [latex] \ overrightarrow {x_ {3}} = \ left [\ begin {array} {c} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {array} \ right] [/ latex].

Постройте ортонормированный базис для [латекса] W [/ латекса].

Упражнение 5: Пусть [latex] W = \ mbox {Span} \ {\ overrightarrow {x_ {1}}, \ overrightarrow {x_ {2}}, \ overrightarrow {x_ {3}} \} [/ latex ], где [латекс] \ overrightarrow {x_ {1}} = \ left [\ begin {array} {c} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \ end {array} \ right] [/ latex], [латекс] \ overrightarrow {x_ {2}} = \ left [\ begin {array} {c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \ end {array} \ right] [/ latex] и [latex] \ overrightarrow {x_ {3}} = \ left [\ begin {array} {c} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \ end {array} \ right] [/ latex].{\ bot} [/ латекс].

г. Для матрицы [latex] m \ times n [/ latex] [latex] A [/ latex] векторы в нулевом пространстве [latex] A [/ latex] ортогональны векторам в пространстве строк [latex] A [/латекс].

г. Для квадратной матрицы [latex] A [/ latex] векторы в Col [latex] A [/ latex] ортогональны векторам в Nul [latex] A [/ latex].

г. { \ bot} [/ латекс].

e. Для каждого [latex] \ overrightarrow {y} [/ latex] и каждого подпространства [latex] W [/ latex] вектор [latex] \ overrightarrow {y} — \ mbox {proj} _ {W} \ overrightarrow {y } [/ latex] ортогонален [латексу] W [/ latex].

ф. Ортогональная проекция [latex] \ widehat {y} [/ latex] [latex] \ overrightarrow {y} [/ latex] на подпространство [latex] W [/ latex] иногда может зависеть от ортогонального базиса для [latex] W [/ latex] используется для вычисления [latex] \ widehat {y} [/ latex].

г.{\ bot}, [/ latex], затем [latex] \ overrightarrow {z_ {1}} [/ latex] должны быть ортогональной проекцией [latex] \ overrightarrow {y} [/ latex] на [latex] W [/ латекс].

г. Если [латекс] \ {\ overrightarrow {v_ {1}}, \ overrightarrow {v_ {2}}, \ overrightarrow {v_ {3}} \} [/ latex] является ортогональной основой для [latex] W [/ latex ], затем умножение [latex] \ overrightarrow {v_ {3}} [/ latex] на скаляр [latex] c [/ latex] дает новый ортогональный базис [latex] \ {\ overrightarrow {v_ {1}}, \ overrightarrow {v_ {2}}, c \ overrightarrow {v_ {3}} \} [/ latex].

г. Если [латекс] W = \ mbox {Span} \ {\ overrightarrow {v_ {1}}, \ overrightarrow {v_ {2}}, \ overrightarrow {v_ {3}} \} [/ latex], и если [латекс ] \ {\ overrightarrow {v_ {1}}, \ overrightarrow {v_ {2}}, \ overrightarrow {v_ {3}} \} [/ latex] — ортогональный набор из [латекса] W [/ latex], тогда [латекс] \ {\ overrightarrow {v_ {1}}, \ overrightarrow {v_ {2}}, \ overrightarrow {v_ {3}} \} [/ latex] является основой для [latex] W [/ latex].

e. Если [latex] \ overrightarrow {x} [/ latex] не находится в подпространстве [latex] W [/ latex], тогда [latex] \ overrightarrow {x} — \ mbox {proj} _ {W} \ overrightarrow {x } [/ latex] не равно нулю.

Дополнения, пересечения и объединения

Некоторые события могут быть естественным образом выражены в терминах других, иногда более простых, событий.

Дополняет

Определение

Дополнение события Событие не происходит. A в пространстве выборки S , обозначается A c , — это совокупность всех результатов в S , которые не являются элементами набора A . Соответствует отрицанию словесного описания события A .

Пример 10

Два события, связанные с экспериментом по прокатке одного штампа, — это E : «выпало четное число» и T : «выпало число больше двух». Найдите дополнение каждого.

Решение:

В пространстве выборки S = ​​{1,2,3,4,5,6} соответствующие наборы результатов: E = {2,4,6} и T = {3,4,5,6}.Дополнения: Ec = {1,3,5} и Tc = {1,2}.

На словах дополнения описываются словами «выпавшее число не четное» и «выпавшее число не больше двух». Конечно, проще было бы описать «выпавшее число нечетное» и «выпавшее число меньше трех».

Если завтра вероятность дождя составляет 60%, какова вероятность хорошей погоды? Очевидный ответ, 40%, является примером следующего общего правила.

Правило вероятности для дополнений

Р (Ас) = 1 — Р (А)

Эта формула особенно полезна, когда непосредственное определение вероятности события затруднено.

Пример 11

Найдите вероятность того, что хотя бы одна решка выпадет за пять бросков честной монеты.

Решение:

Определите результаты списками из пяти h s и t s, таких как tthtt и hhttt. Перечислять их все утомительно, но посчитать их несложно. Подумайте об использовании для этого древовидной диаграммы. Есть два варианта первого броска. Для каждого из них есть два варианта для второго броска, следовательно, 2 × 2 = 4 исхода для двух бросков.Для каждого из этих четырех исходов существует две возможности для третьего броска, следовательно, 4 × 2 = 8 исходов для трех бросков. Точно так же есть 8 × 2 = 16 исходов для четырех бросков и, наконец, 16 × 2 = 32 исхода для пяти бросков.

Пусть O обозначает событие «минимум одна голова». Есть много способов получить хотя бы одну решку, но только один способ не получить: все решки. Таким образом, хотя трудно перечислить все исходы, образующие O , легко написать Oc = {ttttt}.Поскольку существует 32 равновероятных исхода, каждый имеет вероятность 1/32, поэтому P (Oc) = 1 ∕ 32, следовательно, P (O) = 1−1 ∕ 32≈0,97 или около 97% вероятности.

Пересечение событий

Определение

Пересечение событий Оба события происходят. A и B , обозначается A B , — это совокупность всех результатов, которые являются элементами обоих наборов A и B . Это соответствует объединению описаний двух событий с использованием слова «и».

Сказать, что событие A B произошло, означает, что в конкретном испытании эксперимента произошли как A , так и B . Визуальное представление пересечения событий A, и B в пространстве выборки S дано на рисунке 3.4 «Пересечение событий». Пересечение соответствует заштрихованной области в форме линзы, которая находится внутри обоих овалов.

Рисунок 3.4 Пересечение событий A и B

Пример 12

В эксперименте по прокатке одиночного штампа найдите пересечение E 11 T событий E : «выпало четное число» и T : «выпало число больше двух».

Решение:

Примерное пространство S = {1,2,3,4,5,6}.Поскольку исходы, общие для E = {2,4,6} и T = {3,4,5,6}, равны 4 и 6, E∩T = {4,6}.

На словах перекресток описывается как «выпавшее число четное и больше двух». Единственные числа от одного до шести, которые являются четными и больше двух, — это четыре и шесть, что соответствует приведенным выше E T .

Пример 13

Выбрасывается один кубик.

  1. Предположим, что кубик правильный.Найдите вероятность того, что выпавшее число будет четным и больше двух.
  2. Предположим, что игральная кость была «загружена» так, что P (1) = 1 12, P (6) = 3 ∕ 12, а остальные четыре исхода одинаково вероятны друг с другом. Теперь найдите вероятность того, что выпавшее число будет четным и больше двух.

Решение:

В обоих случаях пространство выборки S = ​​{1,2,3,4,5,6}, а рассматриваемое событие — это пересечение E∩T = {4,6} из предыдущего примера.

  1. Так как кубик правильный, все исходы равновероятны, поэтому после подсчета мы получаем P (E∩T) = 2 ∕ 6.
  2. Информация о вероятностях шести исходов, которые у нас есть на данный момент, составляет

    .
    Результат123456Вероятность112pppp312

Поскольку P (1) + P (6) = 4 ∕ 12 = 1 ∕ 3, а вероятности всех шести исходов в сумме составляют 1,

P (2) + P (3) + P (4) + P (5) = 1−13 = 23

Таким образом, 4p = 2 3, поэтому p = 1 6.В частности, P (4) = 1 ∕ 6. Следовательно,

P (E∩T) = P (4) + P (6) = 16 + 312 = 512

Определение

События A и B являются взаимоисключающими событиями, которые не могут происходить одновременно. , если у них нет общих элементов.

Отсутствие общих исходов для A, и B означает в точности то, что одновременно A и B не могут возникнуть в одном испытании случайного эксперимента.Это дает следующее правило.

Правило вероятности для взаимоисключающих событий

События A и B являются взаимоисключающими, если и только если

P (A∩B) = 0

Любое событие A и его дополнение A c являются взаимоисключающими, но A и B могут быть взаимоисключающими, но не дополнять друг друга.

Пример 14

В эксперименте по бросанию одного кубика найдите три варианта для события A , чтобы события A и E : «выпало четное число» были взаимоисключающими.

Решение:

Поскольку E = {2,4,6} и мы хотим, чтобы у A не было элементов, общих с E , подойдет любое событие, не содержащее четных чисел. Три варианта: {1,3,5} (дополнение E c , коэффициент), {1,3} и {5}.

Союз событий

Определение

Объединение событий Происходит одно или другое событие. A и B , обозначено A B , — это совокупность всех результатов, которые являются элементами того или другого из наборов A и B , или их обоих. Это соответствует объединению описаний двух событий с использованием слова «или».

Сказать, что событие A B произошло, означает, что в конкретном испытании эксперимента произошло либо A , либо B (или оба произошли).Визуальное представление объединения событий A, и B в пространстве образцов S приведено на рисунке 3.5 «Объединение событий». Объединение соответствует заштрихованной области.

Рисунок 3.5 Объединение событий A и B

Пример 15

В эксперименте с прокаткой одного кубика найдите объединение событий E : «выпало четное число» и T : «выпало число больше двух.”

Решение:

Поскольку результаты, которые находятся в E = {2,4,6} или T = {3,4,5,6} (или в обоих), равны 2, 3, 4, 5 и 6, E∪T = { 2,3,4,5,6}. Обратите внимание, что такой результат, как 4, который присутствует в обоих наборах, по-прежнему указывается только один раз (хотя, строго говоря, это не неправильно указывать его дважды).

На словах объединение описывается как «выпавшее число четное или больше двух». Каждое число от одного до шести, за исключением числа один, либо четное, либо больше двух, что соответствует приведенным выше E T .

Пример 16

Семья из двух детей выбирается случайным образом. Пусть B обозначает событие, когда хотя бы один ребенок является мальчиком, пусть D обозначает событие, когда пол двух детей различается, и пусть M обозначает событие, в котором совпадают полы двух детей. Найдите B D и B∪M.

Решение:

Примерное пространство для этого эксперимента: S = {bb, bg, gb, gg}, где первая буква обозначает пол первенца, а вторая буква обозначает пол второго ребенка.События B , D и M — это

.
B = {bb, bg, gb} D = {bg, gb} M = {bb, gg}

Каждый результат в D уже находится в B , поэтому результаты, которые находятся по крайней мере в одном или другом из наборов B и D , являются просто самим набором B : B∪D = { bb, bg, gb} = B.

Каждый результат во всем пространстве выборки S находится по крайней мере в одном или другом из наборов B и M , поэтому B∪M = {bb, bg, gb, gg} = S.

Следующее правило аддитивной вероятности является полезной формулой для расчета вероятности A∪B.

Аддитивное правило вероятности

P (A∪B) = P (A) + P (B) −P (A∩B)

Следующий пример, в котором мы вычисляем вероятность объединения как путем подсчета, так и с помощью формулы, показывает, почему необходим последний член в формуле.

Пример 17

Брошены два честных кубика.Найдите вероятности следующих событий:

  1. обе кости показывают четверку
  2. по крайней мере на одной матрице показаны четыре

Решение:

Как и в случае с подбрасыванием двух одинаковых монет, реальный опыт подсказывает, что для того, чтобы в пространстве выборки были равновероятные результаты, мы должны перечислить результаты так, как если бы мы могли различать два кубика. Мы могли представить, что один из них красный, а другой зеленый. Тогда любой результат можно обозначить парой чисел, как на следующем экране, где первое число в паре — это количество точек на верхней грани зеленого кубика, а второе число в паре — количество точек на верхняя грань красного кубика.

111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566

  1. Существует 36 равновероятных исходов, из которых ровно один соответствует двум четверкам, поэтому вероятность выпадения пары четверок равна 1/36.
  2. Из таблицы видно, что данному событию соответствует 11 пар: шесть пар в четвертом ряду (зеленый кубик показывает четыре) плюс пять дополнительных пар, кроме пары 44, уже подсчитанной, в четвертый столбец (красный кубик — четыре), поэтому ответ — 11/36.Чтобы увидеть, как формула дает то же число, пусть A G обозначает событие, когда зеленый кубик равен четверке, и пусть A R обозначает событие, когда красный кубик равен четверке. Тогда, очевидно, подсчитывая, получаем P (AG) = 6 36 и P (AR) = 6 36. Поскольку AG∩AR = {44}, P (AG∩AR) = 1 ∕ 36; это, конечно, вычисление в части (а). Таким образом, по аддитивному правилу вероятности

    P (AG∪AR) = P (AG) + P (AR) −P (AG − AR) = 636 + 636−136 = 1136

Пример 18

Служба репетиторства специализируется на подготовке взрослых к экзаменам на эквивалентность в средней школе.Среди всех студентов, обращающихся за помощью в службу, 63% нуждаются в помощи по математике, 34% нуждаются в помощи по английскому языку и 27% нуждаются в помощи как по математике, так и по английскому языку. Каков процент студентов, которым нужна помощь по математике или английскому языку?

Решение:

Представьте, что вы выбираете ученика наугад, то есть таким образом, чтобы каждый ученик имел одинаковые шансы быть выбранным. Пусть M обозначает событие «студенту нужна помощь по математике», а E обозначает событие «студенту нужна помощь на английском языке».Приведенная информация состоит в том, что P (M) = 0,63, P (E) = 0,34 и P (M∩E) = 0,27. Аддитивное правило вероятности дает

P (M∪E) = P (M) + P (E) −P (M∩E) = 0,63 + 0,34−0,27 = 0,70

Обратите внимание на то, как наивные рассуждения о том, что если 63% нуждаются в помощи по математике, а 34% нуждаются в помощи по английскому языку, то 63 плюс 34 или 97% нуждаются в помощи в том или другом, дает слишком большое число. Необходимо вычесть процент, нуждающийся в помощи по обоим предметам, иначе люди, нуждающиеся в помощи по обоим предметам, будут подсчитаны дважды: один раз за помощь по математике и еще раз за помощь по английскому языку.Простая сумма вероятностей работала бы, если бы рассматриваемые события были взаимоисключающими, поскольку тогда P (A∩B) равно нулю и не имеет значения.

Пример 19

Добровольцев для оказания помощи при стихийных бедствиях были классифицированы по специальностям ( C : строительство, E : образование, M : медицина) и языковым навыкам ( S : свободно говорит на одном языке, T : свободно говорит на двух или более языках).Результаты показаны в следующей двухсторонней классификации таблица :

Специальность Знание языка
S т
С 12 1
E 4 3
М 6 2

Первая строка цифр означает, что 12 добровольцев, специализирующихся на строительстве, свободно говорят на одном языке, а 1 доброволец, специализирующийся на строительстве, свободно говорит как минимум на двух языках.Аналогично для двух других рядов.

Доброволец выбирается случайным образом, что означает, что у каждого из них есть равные шансы быть выбранным. Найдите вероятность того, что:

  1. его специальность — медицина, и он говорит на двух или более языках;
  2. либо его специальность — медицина, либо он говорит на двух или более языках;
  3. его специальность — не медицина.

Решение:

Когда информация представлена ​​в виде двухсторонней классификационной таблицы, обычно удобно присоединить к таблице итоговые данные по строкам и столбцам, чтобы создать новую таблицу, подобную этой:

Специальность Знание языка Итого
S т
С 12 1 13
E 4 3 7
М 6 2 8
Всего 22 6 28
  1. Искомая вероятность равна P (M∩T).Таблица показывает, что таких людей 2, из 28, следовательно, P (M∩T) = 2 ∕ 28≈0,07 или примерно 7% шанс.
  2. Искомая вероятность равна P (M∪T). Итоговая сумма третьей строки и общая сумма в выборке дают P (M) = 8 ∕ 28. Итог во втором столбце и итоговая сумма дают P (T) = 6 ∕ 28. Таким образом, используя результат из части (а),

    P (M∪T) = P (M) + P (T) −P (M∩T) = 828 + 628−228 = 1228≈0,43

    или примерно 43% шанс.

  3. Эту вероятность можно вычислить двумя способами.Поскольку интересующее событие можно рассматривать как событие C E , а события C и E являются взаимоисключающими, ответ будет, используя итоги первых двух строк,

    P (C∪E) = P (C) + P (E) −P (C∩E) = 1328 + 728−028 = 2028≈0,71

    С другой стороны, интересующее событие можно рассматривать как дополнение M c к M , следовательно, используя значение P (M), вычисленное в части (b),

    P (Mc) = 1 − P (M) = 1−828 = 2028≈0.71

    как и раньше.

Key Takeaway

  • Вероятность события, которое является дополнением или объединением событий с известной вероятностью, может быть вычислена с использованием формул.

Упражнения

    Базовый

  1. Для выборочного пространства S = {a, b, c, d, e} идентифицируйте дополнение каждого данного события.

    1. A = {a, d, e}
    2. B = {b, c, d, e}
    3. S
  2. Для выборочного пространства S = {r, s, t, u, v} идентифицировать дополнение каждого заданного события.

    1. R = {t, u}
    2. T = {r}
    3. ∅ («пустой» набор, не имеющий элементов)
  3. Пробел для трех подбрасываний монеты

    S = {hhh, hht, hth, htt, thh, tht, tth, ttt}

    Определить события

    H: наблюдается хотя бы одна голова M: наблюдается больше голов, чем хвостов

    1. Перечислите исходы, которые включают H и M .
    2. Перечислите результаты, которые включают H M , H M и H c .
    3. Предполагая, что все исходы равновероятны, найдите P (H∩M), P (H∪M) и P (Hc).
    4. Определите, являются ли H c и M взаимоисключающими. Объясните, почему да или почему нет.
  4. Для эксперимента по однократному катанию одиночного шестигранного кубика определите события

    T: выпало три числа G: выпало четыре или больше

    1. Перечислите исходы, которые включают T и G .
    2. Перечислите исходы, которые включают T G , T G , T c и (T∪G) c.
    3. Предполагая, что все исходы равновероятны, найдите P (T∩G), P (T∪G) и P (Tc).
    4. Определите, являются ли T и G взаимоисключающими. Объясните, почему да или почему нет.
  5. В специальной колоде из 16 карт есть 4 синих, 4 желтых, 4 зеленых и 4 красных.Четыре карты каждого цвета пронумерованы от одного до четырех. Наугад вытягивается одна карта. Определить события

    B: карта синего цвета R: карта красного цвета N: номер на карте не более двух

    1. Перечислите исходы, которые включают B , R и N .
    2. Перечислите исходы, которые включают B R , B R , B N , R N , B c и (B∪R ) c.
    3. Предполагая, что все исходы равновероятны, найдите вероятности событий из предыдущей части.
    4. Определите, являются ли B и N взаимоисключающими. Объясните, почему да или почему нет.
  6. В контексте предыдущей проблемы определите события

    Y: карточка желтого цвета I: число на карточке не единица J: число на карточке двойка или четверка

    1. Перечислите исходы, которые включают Y , I и J .
    2. Перечислите исходы, которые включают Y I , Y J , I J , I c и (Y∪J) c.
    3. Предполагая, что все исходы равновероятны, найдите вероятности событий из предыдущей части.
    4. Определите, являются ли I c и J взаимоисключающими.Объясните, почему да или почему нет.
  7. Представленная диаграмма Венна показывает пространство выборки и два события: A, и B, . Предположим, что P (a) = 0,13, P (b) = 0,09, P (c) = 0,27, P (d) = 0,20 и P (e) = 0,31. Убедитесь, что в сумме вероятности результатов равны 1, затем вычислите следующие вероятности.

    1. П (А).
    2. П (В).
    3. P (Ac) двумя способами: (i) путем нахождения результатов в A c и сложения их вероятностей, и (ii) с использованием правила вероятности для дополнений.
    4. П (A∩B).
    5. P (A∪B) двумя способами: (i) путем нахождения исходов в A B и сложения их вероятностей, и (ii) с использованием аддитивного правила вероятности.
  8. Представленная диаграмма Венна показывает пространство выборки и два события: A, и B, . Предположим, что P (a) = 0,32, P (b) = 0,17, P (c) = 0,28 и P (d) = 0,23. Убедитесь, что в сумме вероятности результатов равны 1, затем вычислите следующие вероятности.

    1. П (А).
    2. П (В).
    3. P (Ac) двумя способами: (i) путем нахождения результатов в A c и сложения их вероятностей, и (ii) с использованием правила вероятности для дополнений.
    4. П (A∩B).
    5. P (A∪B) двумя способами: (i) путем нахождения исходов в A B и сложения их вероятностей, и (ii) с использованием аддитивного правила вероятности.
  9. Подтвердите, что вероятности в двусторонней таблице непредвиденных обстоятельств в сумме равны 1, затем используйте ее, чтобы найти вероятности указанных событий.

    U В Вт
    A 0.15 0,00 0,23
    Б 0,22 0,30 0,10
    1. P (A), P (B), P (A∩B).
    2. P (U), P (W), P (U∩W).
    3. П (U∪W).
    4. P (Vc).
    5. Определить, являются ли события A и U взаимоисключающими; события A и V .
  10. Подтвердите, что вероятности в двусторонней таблице непредвиденных обстоятельств в сумме равны 1, затем используйте ее, чтобы найти вероятности указанных событий.

    R S т
    M 0,09 0.25 0,19
    N 0,31 0,16 0,00
    1. P (R), P (S), P (R∩S).
    2. P (M), P (N), P (M∩N).
    3. П (R∪S).
    4. П (RC).
    5. Определяет, являются ли события N и S взаимоисключающими; события N и T .

    Приложения

  1. Сделайте заявление на обычном английском языке, описывающее дополнение каждого события (не вставляйте просто слово «not»).

    1. При броске кубика: «пять или больше».
    2. В броске кубика: «четное число».
    3. За два подбрасывания монеты: «хотя бы одна решка».
    4. При случайной выборке студента колледжа: «Не первокурсник».
  2. Сделайте заявление на обычном английском языке, описывающее дополнение каждого события (не вставляйте просто слово «not»).

    1. При броске кубика: «два или меньше».
    2. При броске кубика: «один, три или четыре».
    3. За два броска монеты: «максимум одна решка».
    4. При случайной выборке студента колледжа: «Ни первокурсник, ни старшеклассник».
  3. Пространство выборки, которое описывает все семьи с тремя детьми в соответствии с полами детей и очередностью рождения, составляет

    .
    S = {bbb, bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, ggb, ggg}.

    Для каждого из следующих событий в эксперименте по случайному выбору семьи из трех детей сформулируйте дополнение события в самых простых возможных терминах, затем найдите результаты, которые составляют событие и его дополнение.

    1. По крайней мере, один ребенок — девочка.
    2. Максимум один ребенок — девочка.
    3. Все дети девочки.
    4. Ровно двое из детей девочки.
    5. Первенец — девочка.
  4. Пространство выборки, описывающее двустороннюю классификацию граждан по полу и мнению по политическим вопросам, составляет

    .
    S = {mf, ma, mn, ff, fa, fn},

    , где первая буква обозначает пол ( m : мужской, f : женский), а второе мнение ( f : за, a : против, n : нейтрально).Для каждого из следующих событий в эксперименте по случайному выбору гражданина укажите дополнение события в самых простых возможных терминах, а затем найдите результаты, которые составляют событие и его дополнение.

    1. Это мужчина.
    2. Этот человек не поддерживает.
    3. Лицо либо мужчина, либо за.
    4. Человек женского пола и нейтрален.
  5. Турист, говорящий на английском и немецком, но не на другом языке, посещает регион Словении. Если 35% жителей говорят по-английски, 15% — по-немецки, а 3% — на английском и немецком, какова вероятность того, что турист сможет поговорить со случайно встреченным жителем региона?

  6. В одной стране 43% всех автомобилей имеют подушки безопасности, 27% — антиблокировочные тормоза и 13% — и то, и другое.Какова вероятность того, что случайно выбранный автомобиль будет иметь и подушки безопасности, и антиблокировочную систему тормозов?

  7. Производитель проверяет свои записи за последний год о компонентах, полученных от внешних поставщиков. Распределение по источнику (поставщик A , поставщик B ) и качеству ( H : высокое, U : пригодное для использования, D : дефектное) показано в двусторонней таблице непредвиденных обстоятельств.

    H U Д
    A 0,6937 0.0049 0,0014
    Б 0,2982 0,0009 0,0009

    Запись детали выбирается случайным образом. Найдите вероятность каждого из следующих событий.

    1. Деталь неисправна.
    2. Деталь была либо высокого качества, либо, по крайней мере, ее можно было использовать двумя способами: (i) добавляя числа в таблицу, и (ii) используя ответ на (a) и Правило вероятности для дополнений.
    3. Деталь была неисправна и пришла от поставщика B .
    4. Деталь была неисправна или поступила от поставщика B двумя способами: путем нахождения ячеек в таблице, соответствующих этому событию, и сложения их вероятностей, и (ii) с помощью аддитивного правила вероятности.
  8. Лица с определенным заболеванием были классифицированы в соответствии с наличием ( T ) или отсутствием ( N ) потенциального токсина в их крови и началом состояния ( E : раннее, M : среднее , L : поздно). Разбивка согласно этой классификации показана в двухсторонней таблице непредвиденных обстоятельств.

    E M л
    Т 0,012 0.124 0,013
    N 0,170 0,638 0,043

    Один из этих людей выбирается случайным образом. Найдите вероятность каждого из следующих событий.

    1. У человека рано началось заболевание.
    2. Состояние наступило либо на среднем уровне, либо позже, двумя способами: (i) добавлением чисел в таблицу и (ii) использованием ответа на (a) и правила вероятности для дополнений.
    3. Токсин присутствует в крови человека.
    4. У человека началось раннее заболевание, и токсин присутствует в крови человека.
    5. Человек испытал раннее начало состояния или токсин присутствует в крови человека двумя способами: (i) путем нахождения ячеек в таблице, которые соответствуют этому событию, и сложения их вероятностей, и (ii) с помощью добавки Правило вероятности.
  9. Распределение студентов, зачисленных на курс университета, по классам ( F : первокурсник, So: второкурсник, J : младший, Se: старший) и академической специальности ( S : естественные науки, математика или инженерия, L : гуманитарные науки, O : другое) показано в таблице двусторонней классификации.

    Майор Класс
    Ф Так Дж SE
    S 92 42 20 13
    л 368 167 80 53
    O 460 209 100 67

    Студент, зачисленный на курс, выбирается случайным образом.Присоедините итоговые значения строки и столбца к таблице и используйте развернутую таблицу, чтобы определить вероятность каждого из следующих событий.

    1. Студент — первокурсник.
    2. Студент по специальности «гуманитарные науки».
    3. Студентка на первом курсе гуманитарных наук.
    4. Студент либо первокурсник, либо специальность гуманитарных наук.
    5. Студент не имеет гуманитарного образования.
  10. Таблица связывает ответ на призыв колледжа к своим выпускникам по сбору средств с количеством лет, прошедших после окончания учебы.

    Ответ лет со дня выпуска
    0–5 6–20 21–35 Более 35
    Положительный 120 440 210 90
    Нет 1380 3560 3290 910

    Выпускник выбирается случайным образом.Присоедините итоговые значения строки и столбца к таблице и используйте развернутую таблицу, чтобы определить вероятность каждого из следующих событий.

    1. Выпускник ответил.
    2. Выпускник не ответил.
    3. Выпускник закончил обучение как минимум 21 год назад.
    4. Выпускник закончил обучение как минимум 21 год назад и откликнулся.

    Дополнительные упражнения

  1. Пространство для подбрасывания трех монет —

    .
    S = {hhh, hht, hth, htt, thh, tht, tth, ttt}

    1. Перечислите результаты, соответствующие утверждению «Все монеты — орла».”
    2. Перечислите результаты, соответствующие утверждению «Не все монеты являются орлами».
    3. Перечислите результаты, соответствующие утверждению «Все монеты не орла».

ответов

    1. H = {hhh, hht, hth, htt, thh, tht, tth}, M = {hhh, hht, hth, thh}
    2. H∩M = {hhh, hht, hth, thh}, H∪M = H, Hc = {ttt}
    3. P (H∩M) = 4 ∕ 8, P (H∪M) = 7 ∕ 8, P (Hc) = 1 ∕ 8
    4. Взаимоисключающие, потому что у них нет общих элементов.
    1. B = {b1, b2, b3, b4}, R = {r1, r2, r3, r4}, N = {b1, b2, y1, y2, g1, g2, r1, r2}
    2. B∩R = ∅, B∪R = {b1, b2, b3, b4, r1, r2, r3, r4}, B∩N = {b1, b2}, R∪N = {b1, b2, y1, y2 , g1, g2, r1, r2, r3, r4}, Bc = {y1, y2, y3, y4, g1, g2, g3, g4, r1, r2, r3, r4}, (B∪R) c = { y1, y2, y3, y4, g1, g2, g3, g4}
    3. P (B∩R) = 0, P (B∪R) = 8 ∕ 16, P (B∩N) = 2 ∕ 16, P (R∪N) = 10 ∕ 16, P (Bc) = 12 ∕ 16 , P ((B∪R) c) = 8 ∕ 16
    4. Не исключают друг друга, потому что у них есть общий элемент.
    1. P (A) = 0,38, P (B) = 0,62, P (A∩B) = 0
    2. P (U) = 0,37, P (W) = 0,33, P (U∩W) = 0
    3. 0.7
    4. 0,7
    5. A и U не являются взаимоисключающими, поскольку P (A∩U) — ненулевое число 0,15. A и V являются взаимоисключающими, поскольку P (A∩V) = 0.
    1. «четыре или меньше»
    2. «нечетное число»
    3. «без решки» или «все решки»
    4. «первокурсник»
    1. «Все дети мальчики.”

      Событие: {bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, ggb, ggg},

      Дополнение: {bbb}

    2. «По крайней мере двое из детей девочки» или «Девочек две или три».

      Событие: {bbb, bbg, bgb, gbb},

      Дополнение: {bgg, gbg, ggb, ggg}

    3. «По крайней мере, один ребенок — мальчик.”

      Событие: {ggg},

      Дополнение: {bbb, bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, ggb}

    4. «Девочек нет, ровно одна девочка, либо три девочки».

      Событие: {bgg, gbg, ggb},

      Дополнение: {bbb, bbg, bgb, gbb, ggg}

    5. «Первенец — мальчик.”

      Событие: {gbb, gbg, ggb, ggg},

      Дополнение: {bbb, bbg, bgb, bgg}

    1. 0.0023
    2. 0,9977
    3. 0,0009
    4. 0,3014
    1. 920/1671
    2. 668/1671
    3. 368/1671
    4. 1220/1671
    5. 1003/1671
    1. {hhh}
    2. {hht, hth, htt, thh, tht, tth, ttt}
    3. {ttt}

7.2 Неоднородные линейные уравнения — Исчисление Том 3

Задачи обучения

  • 7.2.1 Напишите общее решение неоднородного дифференциального уравнения.
  • 7.2.2 Решите неоднородное дифференциальное уравнение методом неопределенных коэффициентов.
  • 7.2.3 Решите неоднородное дифференциальное уравнение методом вариации параметров.

В этом разделе мы рассмотрим, как решать неоднородные дифференциальные уравнения.Терминология и методы отличаются от тех, которые мы использовали для однородных уравнений, поэтому давайте начнем с определения некоторых новых терминов.

Общее решение неоднородного линейного уравнения

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение

a2 (x) y ″ + a1 (x) y ′ + a0 (x) y = r (x). a2 (x) y ″ + a1 (x) y ′ + a0 (x) y = r (x).

Соответствующее однородное уравнение

a2 (x) y ″ + a1 (x) y ′ + a0 (x) y = 0a2 (x) y ″ + a1 (x) y ′ + a0 (x) y = 0

(7.3)

называется дополнительным уравнением. Мы увидим, что решение дополнительного уравнения является важным шагом в решении неоднородного дифференциального уравнения.

Определение

Решение yp (x) yp (x) дифференциального уравнения, не содержащее произвольных постоянных, называется частным решением уравнения.

Теорема 7.4

Общее решение неоднородного уравнения

Пусть yp (x) yp (x) — любое частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения

a2 (x) y ″ + a1 (x) y ′ + a0 (x) y = r (x). a2 (x) y ″ + a1 (x) y ′ + a0 (x) y = r (x).

Также пусть c1y1 (x) + c2y2 (x) c1y1 (x) + c2y2 (x) обозначает общее решение дополнительного уравнения.Тогда общее решение неоднородного уравнения дается

y (x) = c1y1 (x) + c2y2 (x) + yp (x). y (x) = c1y1 (x) + c2y2 (x) + yp (x).

(7,4)

Проба

Чтобы доказать, что y (x) y (x) является общим решением, мы должны сначала показать, что оно решает дифференциальное уравнение, и, во-вторых, что любое решение дифференциального уравнения может быть записано в этой форме. Подставляя y (x) y (x) в дифференциальное уравнение, получаем

a2 (x) y ″ + a1 (x) y ′ + a0 (x) y = a2 (x) (c1y1 + c2y2 + yp) ″ + a1 (x) (c1y1 + c2y2 + yp) ′ + a0 (x) (c1y1 + c2y2 + yp) = [a2 (x) (c1y1 + c2y2) ″ + a1 (x) (c1y1 + c2y2) ′ + a0 (x) (c1y1 + c2y2)] + a2 (x) yp ″ + a1 (x) yp ′ + a0 (x) yp = 0 + r (x) = r (x).a2 (x) y ″ + a1 (x) y ′ + a0 (x) y = a2 (x) (c1y1 + c2y2 + yp) ″ + a1 (x) (c1y1 + c2y2 + yp) ′ + a0 (x) (c1y1 + c2y2 + yp) = [a2 (x) (c1y1 + c2y2) ″ + a1 (x) (c1y1 + c2y2) ′ + a0 (x) (c1y1 + c2y2)] + a2 (x) yp ″ + a1 (x) yp ′ + a0 (x) yp = 0 + r (x) = r (x).

Итак, y (x) y (x) — решение.

Пусть теперь z (x) z (x) — любое решение уравнения a2 (x) y ″ + a1 (x) y ′ + a0 (x) y = r (x) .a2 (x) y ″ + a1 ( х) y ′ + a0 (x) y = r (x). Тогда

a2 (x) (z − yp) ″ + a1 (x) (z − yp) ′ + a0 (x) (z − yp) = (a2 (x) z ″ + a1 (x) z ′ + a0 (x) ) z) — (a2 (x) yp ″ + a1 (x) yp ′ + a0 (x) yp) = r (x) −r (x) = 0, a2 (x) (z − yp) ″ + a1 (x) (z − yp) ′ + a0 (x) (z − yp) = (a2 (x) z ″ + a1 (x) z ′ + a0 (x) z) — (a2 (x) yp ″ + a1 (x) yp ′ + a0 (x) yp) = r (x) −r (x) = 0,

, поэтому z (x) −yp (x) z (x) −yp (x) является решением дополнительного уравнения.Но c1y1 (x) + c2y2 (x) c1y1 (x) + c2y2 (x) является общим решением дополнительного уравнения, поэтому существуют константы c1c1 и c2c2 такие, что

z (x) −yp (x) = c1y1 (x) + c2y2 (x). z (x) −yp (x) = c1y1 (x) + c2y2 (x).

Отсюда мы видим, что z (x) = c1y1 (x) + c2y2 (x) + yp (x). Z (x) = c1y1 (x) + c2y2 (x) + yp (x).

Пример 7.11

Проверка общего решения

Учитывая, что yp (x) = xyp (x) = x является частным решением дифференциального уравнения y ″ + y = x, y ″ + y = x, запишите общее решение и проверьте, убедившись, что решение удовлетворяет уравнению .

Решение

Дополнительное уравнение y ″ + y = 0, y ″ + y = 0, которое имеет общее решение c1cosx + c2sinx.c1cosx + c2sinx. Итак, общее решение неоднородного уравнения

y (x) = c1cosx + c2sinx + x.y (x) = c1cosx + c2sinx + x.

Чтобы убедиться, что это решение, подставьте его в дифференциальное уравнение. У нас

y ′ (x) = — c1sinx + c2cosx + 1andy ″ (x) = — c1cosx − c2sinx.y ′ (x) = — c1sinx + c2cosx + 1andy ″ (x) = — c1cosx − c2sinx.

Затем

y ″ (x) + y (x) = — c1cosx − c2sinx + c1cosx + c2sinx + x = x.y ″ (x) + y (x) = — c1cosx − c2sinx + c1cosx + c2sinx + x = x.

Итак, y (x) y (x) является решением y ″ + y = x.y ″ + y = x.

КПП 7.10

Учитывая, что yp (x) = — 2yp (x) = — 2 является частным решением y ″ −3y′ − 4y = 8, y ″ −3y′ − 4y = 8, запишите общее решение и убедитесь, что общее решение удовлетворяет уравнению.

В предыдущем разделе мы узнали, как решать однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Следовательно, для неоднородных уравнений вида ay ″ + by ′ + cy = r (x), ay ″ + by ′ + cy = r (x) мы уже знаем, как решить дополнительное уравнение, и проблема сводится к нахождение частного решения неоднородного уравнения.Теперь рассмотрим два метода для этого: метод неопределенных коэффициентов и метод вариации параметров.

Неопределенные коэффициенты

Метод неопределенных коэффициентов включает в себя обоснованные предположения о форме конкретного решения на основе формы r (x) .r (x). Когда мы берем производные от полиномов, экспоненциальных функций, синусов и косинусов, мы получаем многочлены, экспоненциальные функции, синусы и косинусы. Поэтому, когда r (x) r (x) имеет одну из этих форм, возможно, что решение неоднородного дифференциального уравнения может принять ту же самую форму.Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как это работает.

Пример 7.12

Неопределенные коэффициенты, когда r (x) r (x) является полиномом

Найдите общее решение y ″ + 4y ′ + 3y = 3x.y ″ + 4y ′ + 3y = 3x.

Решение

Дополнительное уравнение имеет вид y ″ + 4y ′ + 3y = 0, y ″ + 4y ′ + 3y = 0, с общим решением c1e − x + c2e − 3x.c1e − x + c2e − 3x. Поскольку r (x) = 3x, r (x) = 3x, конкретное решение может иметь вид yp (x) = Ax + B.yp (x) = Ax + B. Если это так, то yp ′ (x) = Ayp ′ (x) = A и yp ″ (x) = 0.yp ″ (x) = 0. Чтобы ypyp было решением дифференциального уравнения, мы должны найти такие значения AA и BB, чтобы

y ″ + 4y ′ + 3y = 3×0 + 4 (A) +3 (Ax + B) = 3x3Ax + (4A + 3B) = 3x.y ″ + 4y ′ + 3y = 3×0 + 4 (A) +3 (Ax + В) = 3x3Ax + (4A + 3B) = 3x.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых слагаемых, получаем

Тогда A = 1A = 1 и B = −43, B = −43, поэтому yp (x) = x − 43yp (x) = x − 43 и общее решение равно

y (x) = c1e − x + c2e − 3x + x − 43. y (x) = c1e − x + c2e − 3x + x − 43.

Обратите внимание, что в примере 7.12, хотя r (x) r (x) не включает постоянный член, нам необходимо было включить постоянный член в наше предположение.Если бы мы предположили решение вида yp = Axyp = Ax (без постоянного члена), мы не смогли бы найти решение. (Проверьте это!) Если функция r (x) r (x) является полиномом, наша догадка для конкретного решения должна быть полиномом той же степени, и она должна включать все члены более низкого порядка, независимо от того, являются ли они присутствует в r (x) .r (x).

Пример 7.13

Неопределенные коэффициенты, когда r (x) r (x) является экспонентой

Найдите общее решение y ″ −y′ − 2y = 2e3x.y ″ −y′ − 2y = 2e3x.

Решение

Дополнительное уравнение имеет вид y ″ −y′ − 2y = 0, y ″ −y′ − 2y = 0 с общим решением c1e − x + c2e2x.c1e − x + c2e2x. Поскольку r (x) = 2e3x, r (x) = 2e3x, конкретное решение может иметь вид yp (x) = Ae3x.yp (x) = Ae3x. Тогда yp ′ (x) = 3Ae3xyp ′ (x) = 3Ae3x и yp ″ (x) = 9Ae3x.yp ″ (x) = 9Ae3x. Чтобы ypyp было решением дифференциального уравнения, мы должны найти такое значение AA, чтобы

y ″ −y′ − 2y = 2e3x9Ae3x − 3Ae3x − 2Ae3x = 2e3x4Ae3x = 2e3x.y ″ −y′ − 2y = 2e3x9Ae3x − 3Ae3x − 2Ae3x = 2e3x4Ae3x = 2e3x.

Итак, 4A = 24A = 2 и A = 1 / 2.A = 1/2. Тогда yp (x) = (12) e3x, yp (x) = (12) e3x, и общее решение равно

y (x) = c1e − x + c2e2x + 12e3x.y (x) = c1e − x + c2e2x + 12e3x.

КПП 7.11

Найдите общее решение уравнения y ″ −4y ′ + 4y = 7sint − cost.y ″ −4y ′ + 4y = 7sint − cost.

В предыдущей контрольной точке r (x) r (x) включало как синусоидальные, так и косинусные члены. Однако даже если r (x) r (x) включает только синусоидальный член или только косинусный член, оба члена должны присутствовать в предположении. Метод неопределенных коэффициентов также работает с произведениями полиномов, экспонент, синусов и косинусов.Некоторые ключевые формы r (x) r (x) и связанные с ними предположения для yp (x) yp (x) приведены в таблице 7.2.

r (x) r (x) Первоначальное предположение для yp (x) yp (x)
kk (постоянная) AA (постоянная)
топор + bax + b Ax + BAx + B ( Примечание : предположение должно включать оба члена, даже если b = 0.b = 0.)
ax2 + bx + cax2 + bx + c Ax2 + Bx + CAx2 + Bx + C ( Примечание : предположение должно включать все три члена, даже если bb или cc равны нулю.)
Многочлены высшего порядка Полином того же порядка, что и r (x) r (x)
aeλxaeλx AeλxAeλx
acosβx + bsinβxacosβx + bsinβx Acosβx + BsinβxAcosβx + Bsinβx ( Примечание : предположение должно включать оба члена, даже если a = 0a = 0 или b = 0.b = 0.)
aeαxcosβx + beαxsinβxaeαxcosβx + beαxsinβx Aeαxcosβx + BeαxsinβxAeαxcosβx + Beαxsinβx
(ax2 + bx + c) eλx (ax2 + bx + c) eλx (Ax2 + Bx + C) eλx (Ax2 + Bx + C) eλx
(a2x2 + a1x + a0) cosβx + (b2x2 + b1x + b0) sinβx (a2x2 + a1x + a0) cosβx + (b2x2 + b1x + b0) sinβx (A2x2 + A1x + A0) cosβx + (B2x2 + B1x + B0) sinβx (A2x2 + A1x + A0) cosβx + (B2x2 + B1x + B0) sinβx
(a2x2 + a1x + a0) eαxcosβx + (b2x2 + b1x + b0) eαxsinβx (a2x2 + a1x + a0) eαxcosβx + (b2x2 + b1x + b0) eαxsinβx (A2x2 + A1x + A0) eαxcosβx + (B2x2 + B1x + B0) eαxsinβx (A2x2 + A1x + A0) eαxcosβx + (B2x2 + B1x + B0) eαxsinβx

Таблица 7.2 Ключевые формы для метода неопределенных коэффициентов

Имейте в виду, что у этого метода есть ключевая ошибка. Рассмотрим дифференциальное уравнение y ″ + 5y ′ + 6y = 3e − 2x.y ″ + 5y ′ + 6y = 3e − 2x. Основываясь на виде r (x), r (x), мы предполагаем частное решение вида yp (x) = Ae − 2x.yp (x) = Ae − 2x. Но когда мы подставляем это выражение в дифференциальное уравнение, чтобы найти значение для A, A, мы сталкиваемся с проблемой. У нас

yp ′ (x) = — 2Ae − 2xyp ′ (x) = — 2Ae − 2x

и

yp ″ = 4Ae − 2x, yp ″ = 4Ae − 2x,

, поэтому мы хотим

y ″ + 5y ′ + 6y = 3e − 2x4Ae − 2x + 5 (−2Ae − 2x) + 6Ae − 2x = 3e − 2x4Ae − 2x − 10Ae − 2x + 6Ae − 2x = 3e − 2×0 = 3e − 2x, y ″ + 5y ′ + 6y = 3e − 2x4Ae − 2x + 5 (−2Ae − 2x) + 6Ae − 2x = 3e − 2x4Ae − 2x − 10Ae − 2x + 6Ae − 2x = 3e − 2×0 = 3e − 2x,

, что невозможно.

Присмотревшись, мы видим, что в этом случае общее решение дополнительного уравнения — c1e − 2x + c2e − 3x.c1e − 2x + c2e − 3x. Экспоненциальная функция в r (x) r (x) на самом деле является решением дополнительного уравнения, поэтому, как мы только что видели, все члены в левой части уравнения сокращаются. В этом случае мы все еще можем использовать метод неопределенных коэффициентов, но мы должны изменить наше предположение, умножив его на x.x. Используя новое предположение, yp (x) = Ax − 2x, yp (x) = Ax − 2x, мы имеем

yp ′ (x) = A (e − 2x − 2xe − 2x) yp ′ (x) = A (e − 2x − 2xe − 2x)

и

yp ″ (x) = — 4Ae − 2x + 4Axe − 2x.yp ″ (x) = — 4Ae − 2x + 4Axe − 2x.

Замена дает

y ″ + 5y ′ + 6y = 3e − 2x (−4Ae − 2x + 4Axe − 2x) +5 (Ae − 2x − 2Axe − 2x) + 6Axe − 2x = 3e − 2x − 4Ae − 2x + 4Axe − 2x + 5Ae −2x − 10Axe − 2x + 6Axe − 2x = 3e − 2xAe − 2x = 3e − 2x.y ″ + 5y ′ + 6y = 3e − 2x (−4Ae − 2x + 4Axe − 2x) +5 (Ae − 2x − 2Axe −2x) + 6Axe − 2x = 3e − 2x − 4Ae − 2x + 4Axe − 2x + 5Ae − 2x − 10Axe − 2x + 6Axe − 2x = 3e − 2xAe − 2x = 3e − 2x.

Итак, A = 3A = 3 и yp (x) = 3xe − 2x.yp (x) = 3xe − 2x. Это дает нам следующее общее решение

y (x) = c1e − 2x + c2e − 3x + 3xe − 2x.y (x) = c1e − 2x + c2e − 3x + 3xe − 2x.

Обратите внимание, что если бы xe − 2xxe − 2x также было решением дополнительного уравнения, нам пришлось бы снова умножить на xx и попробовать yp (x) = Ax2e − 2x.yp (x) = Ax2e − 2x.

Стратегия решения проблем

Стратегия решения проблем: метод неопределенных коэффициентов
  1. Решите дополнительное уравнение и запишите общее решение.
  2. Основываясь на форме r (x), r (x), сделайте первоначальное предположение для yp (x) .yp (x).
  3. Проверьте, является ли какой-либо член в предположении для yp (x) yp (x) решением дополнительного уравнения. Если да, умножьте предположение на x.x. Повторяйте этот шаг до тех пор, пока в yp (x) yp (x) не останется членов, решающих дополнительное уравнение.
  4. Подставьте yp (x) yp (x) в дифференциальное уравнение и приравняйте аналогичные члены, чтобы найти значения для неизвестных коэффициентов в yp (x) .yp (x).
  5. Добавьте общее решение дополнительного уравнения и только что найденное частное решение, чтобы получить общее решение неоднородного уравнения.

Пример 7.14

Решение неоднородных уравнений

Найдите общие решения следующих дифференциальных уравнений.

  1. y ″ −9y = −6cos3xy ″ −9y = −6cos3x
  2. x ″ + 2x ′ + x = 4e − tx ″ + 2x ′ + x = 4e − t
  3. y ″ −2y ′ + 5y = 10×2−3x − 3y ″ −2y ′ + 5y = 10×2−3x − 3
  4. y ″ −3y ′ = — 12ty ″ −3y ′ = — 12t
Решение
  1. Дополнительное уравнение y ″ −9y = 0, y ″ −9y = 0, которое имеет общее решение c1e3x + c2e − 3xc1e3x + c2e − 3x (шаг 1).Основываясь на форме r (x) = — 6cos3x, r (x) = — 6cos3x, наше первоначальное предположение для конкретного решения: yp (x) = Acos3x + Bsin3xyp (x) = Acos3x + Bsin3x (шаг 2). Ни один из членов в yp (x) yp (x) не решает дополнительное уравнение, так что это верное предположение (шаг 3).
    Теперь мы хотим найти значения для AA и B, B, поэтому подставляем ypyp в дифференциальное уравнение. У нас
    yp ′ (x) = — 3Asin3x + 3Bcos3xandyp ″ (x) = — 9Acos3x − 9Bsin3x, yp ′ (x) = — 3Asin3x + 3Bcos3xandyp ″ (x) = — 9Acos3x − 9Bsin3x,
    поэтому мы хотим найти такие значения AA и BB, чтобы
    y ″ −9y = −6cos3x − 9Acos3x − 9Bsin3x − 9 (Acos3x + Bsin3x) = — 6cos3x − 18Acos3x − 18Bsin3x = −6cos3x.y ″ −9y = −6cos3x − 9Acos3x − 9Bsin3x − 9 (Acos3x + Bsin3x) = — 6cos3x − 18Acos3x − 18Bsin3x = −6cos3x.
    Следовательно,
    −18A = −6−18B = 0. − 18A = −6−18B = 0.
    Это дает A = 13A = 13 и B = 0, B = 0, поэтому yp (x) = (13) cos3xyp (x) = (13) cos3x (шаг 4).
    Собирая все вместе, получаем общее решение
    y (x) = c1e3x + c2e − 3x + 13cos3x.y (x) = c1e3x + c2e − 3x + 13cos3x.
  2. Дополнительное уравнение: x ″ + 2x ′ + x = 0, x ″ + 2x ′ + x = 0, которое имеет общее решение c1e − t + c2te − tc1e − t + c2te − t (шаг 1). Основываясь на форме r (t) = 4e − t, r (t) = 4e − t, наше первоначальное предположение для конкретного решения будет xp (t) = Ae − txp (t) = Ae − t (шаг 2).Однако мы видим, что это предположение решает дополнительное уравнение, поэтому мы должны умножить на t, t, что дает новое предположение: xp (t) = Ate − txp (t) = Ate − t (шаг 3). Проверяя это новое предположение, мы видим, что оно также решает дополнительное уравнение, поэтому мы должны снова умножить его на t , что дает xp (t) = At2e − txp (t) = At2e − t (снова шаг 3). Теперь, проверив это предположение, мы видим, что xp (t) xp (t) не решает дополнительное уравнение, так что это верное предположение (шаг 3 еще раз).
    Теперь мы хотим найти значение для A, A, поэтому мы подставляем xpxp в дифференциальное уравнение.У нас
    xp (t) = At2e − t, soxp ′ (t) = 2Ate − t − At2e − txp (t) = At2e − t, soxp ′ (t) = 2Ate − t − At2e − t
    и xp ″ (t) = 2Ae − t − 2Ate − t− (2Ate − t − At2e − t) = 2Ae − t − 4Ate − t + At2e − t.xp ″ (t) = 2Ae − t − 2Ate − t — (2Ate − t − At2e − t) = 2Ae − t − 4Ate − t + At2e − t.
    Подставляя в дифференциальное уравнение, мы хотим найти такое значение AA, чтобы
    x ″ + 2x ′ + x = 4e − t2Ae − t − 4Ate − t + At2e − t + 2 (2Ate − t − At2e − t) + At2e − t = 4e − t2Ae − t = 4e − tx ″ + 2x ′ + x = 4e − t2Ae − t − 4Ate − t + At2e − t + 2 (2Ate − t − At2e − t) + At2e − t = 4e − t2Ae − t = 4e − t.
    Это дает A = 2, A = 2, поэтому xp (t) = 2t2e − txp (t) = 2t2e − t (шаг 4).Собирая все вместе, получаем общее решение
    x (t) = c1e − t + c2te − t + 2t2e − t. x (t) = c1e − t + c2te − t + 2t2e − t.
  3. Дополнительное уравнение y ″ −2y ′ + 5y = 0, y ″ −2y ′ + 5y = 0, которое имеет общее решение c1excos2x + c2exsin2xc1excos2x + c2exsin2x (шаг 1). Основываясь на форме r (x) = 10×2−3x − 3, r (x) = 10×2−3x − 3, наше первоначальное предположение для частного решения: yp (x) = Ax2 + Bx + Cyp (x) = Ax2 + Bx + C (шаг 2). Ни один из членов в yp (x) yp (x) не решает дополнительное уравнение, так что это верное предположение (шаг 3).Теперь мы хотим найти значения для A, A, B, B и C, C, поэтому мы подставляем ypyp в дифференциальное уравнение. У нас есть yp ′ (x) = 2Ax + Byp ′ (x) = 2Ax + B и yp ″ (x) = 2A, yp ″ (x) = 2A, поэтому мы хотим найти значения A, A, B, B , и CC такие, что
    y ″ −2y ′ + 5y = 10×2−3x − 32A − 2 (2Ax + B) +5 (Ax2 + Bx + C) = 10×2−3x − 35Ax2 + (5B − 4A) x + (5C − 2B + 2A) = 10×2 −3x − 3.y ″ −2y ′ + 5y = 10×2−3x − 32A − 2 (2Ax + B) +5 (Ax2 + Bx + C) = 10×2−3x − 35Ax2 + (5B − 4A) x + (5C − 2B + 2A) = 10×2−3x − 3.
    Следовательно,
    5A = 105B-4A = -35C-2B + 2A = -3,5A = 105B-4A = -35C-2B + 2A = -3.
    Это дает A = 2, A = 2, B = 1, B = 1 и C = −1, C = −1, поэтому yp (x) = 2×2 + x − 1yp (x) = 2×2 + x − 1 ( шаг 4).Собирая все вместе, получаем общее решение
    y (x) = c1excos2x + c2exsin2x + 2×2 + x − 1. y (x) = c1excos2x + c2exsin2x + 2×2 + x − 1.
  4. Дополнительное уравнение y ″ −3y ′ = 0, y ″ −3y ′ = 0, которое имеет общее решение c1e3t + c2c1e3t + c2 (шаг 1). Основываясь на форме r (t) = — 12t, r (t) = — 12t, наше первоначальное предположение для конкретного решения будет yp (t) = At ​​+ Byp (t) = At ​​+ B (шаг 2). Однако мы видим, что постоянный член в этом предположении решает дополнительное уравнение, поэтому мы должны умножить его на t, t, что дает новое предположение: yp (t) = At2 + Btyp (t) = At2 + Bt (шаг 3) .Проверяя это новое предположение, мы видим, что ни один из членов в yp (t) yp (t) не решает дополнительное уравнение, так что это верное предположение (снова шаг 3). Теперь мы хотим найти значения для AA и B, B, поэтому мы подставляем ypyp в дифференциальное уравнение. У нас есть yp ′ (t) = 2At + Byp ′ (t) = 2At + B и yp ″ (t) = 2A, yp ″ (t) = 2A, поэтому мы хотим найти такие значения AA и BB, что
    y ″ −3y ′ = — 12t2A − 3 (2At + B) = — 12t − 6At + (2A − 3B) = — 12t.y ″ −3y ′ = — 12t2A − 3 (2At + B) = — 12t − 6At + ( 2А − 3Б) = — 12т.
    Следовательно,
    −6A = −122A − 3B = 0. −6A = −122A − 3B = 0.
    Это дает A = 2A = 2 и B = 4/3, B = 4/3, поэтому yp (t) = 2t2 + (4/3) typ (t) = 2t2 + (4/3) t (шаг 4). Собирая все вместе, получаем общее решение
    y (t) = c1e3t + c2 + 2t2 + 43t.y (t) = c1e3t + c2 + 2t2 + 43t.

КПП 7.12

Найдите общее решение следующих дифференциальных уравнений.

  1. y ″ −5y ′ + 4y = 3exy ″ −5y ′ + 4y = 3ex
  2. y ″ + y′ − 6y = 52cos2ty ″ + y′ − 6y = 52cos2t

Вариация параметров

Иногда r (x) r (x) не является комбинацией многочленов, экспонент или синусов и косинусов.В этом случае метод неопределенных коэффициентов не работает, и мы должны использовать другой подход, чтобы найти конкретное решение дифференциального уравнения. Мы используем подход, называемый методом вариации параметров.

Чтобы немного упростить наши вычисления, мы собираемся разделить дифференциальное уравнение на a, a, так что у нас есть старший коэффициент 1. Тогда дифференциальное уравнение имеет вид

y ″ + py ′ + qy = r (x), y ″ + py ′ + qy = r (x),

, где pp и qq — константы.

Если общее решение дополнительного уравнения дается формулой c1y1 (x) + c2y2 (x), c1y1 (x) + c2y2 (x), мы будем искать частное решение вида yp (x) = u (x) y1 (x) + v (x) y2 (x). yp (x) = u (x) y1 (x) + v (x) y2 (x). В этом случае мы используем два линейно независимых решения дополнительного уравнения для формирования нашего частного решения. Однако мы предполагаем, что коэффициенты являются функциями x , а не константами. Мы хотим найти функции u (x) u (x) и v (x) v (x) такие, что yp (x) yp (x) удовлетворяет дифференциальному уравнению.У нас

yp = uy1 + vy2yp ′ = u′y1 + uy1 ′ + v′y2 + vy2′yp ″ = (u′y1 + v′y2) ′ + u′y1 ′ + uy1 ″ + v′y2 ′ + vy2 ″. yp = uy1 + vy2yp ′ = u′y1 + uy1 ′ + v′y2 + vy2′yp ″ = (u′y1 + v′y2) ′ + u′y1 ′ + uy1 ″ + v′y2 ′ + vy2 ″.

Подставляя в дифференциальное уравнение, получаем

yp ″ + pyp ′ + qyp = [(u′y1 + v′y2) ′ + u′y1 ′ + uy1 ″ + v′y2 ′ + vy2 ″] + p [u′y1 + uy1 ′ + v′y2 + vy2 ′] + q [uy1 + vy2] = u [y1 ″ + py1 ′ + qy1] + v [y2 ″ + py2 ′ + qy2] + (u′y1 + v′y2) ′ + p (u′y1 + v′y2) + (u′y1 ′ + v′y2 ′). yp ″ + pyp ′ + qyp = [(u′y1 + v′y2) ′ + u′y1 ′ + uy1 ″ + v′y2 ′ + vy2 ″] + p [u′y1 + uy1 ′ + v′y2 + vy2 ′] + q [uy1 + vy2] = u [y1 ″ + py1 ′ + qy1] + v [y2 ″ + py2 ′ + qy2] + (u′y1 + v′y2) ′ + p (u′y1 + v′y2) + (u′y1 ′ + v′y2 ′).

Обратите внимание, что y1y1 и y2y2 являются решениями дополнительного уравнения, поэтому первые два члена равны нулю. Таким образом, имеем

(u′y1 + v′y2) ′ + p (u′y1 + v′y2) + (u′y1 ′ + v′y2 ′) = r (x). (u′y1 + v′y2) ′ + p (u′y1 + v′y2) + (u′y1 ′ + v′y2 ′) = r (x).

Если мы упростим это уравнение, наложив дополнительное условие u′y1 + v′y2 = 0, u′y1 + v′y2 = 0, первые два члена равны нулю, и это сведется к u′y1 ′ + v′y2 ′ = R (x). U′y1 ′ + v′y2 ′ = r (x). Итак, с этим дополнительным условием мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

u′y1 + v′y2 = 0u′y1 ′ + v′y2 ′ = r (x).u′y1 + v′y2 = 0u′y1 ′ + v′y2 ′ = r (x).

Решение этой системы дает нам u′u ′ и v ′, v ′, которые мы можем интегрировать, чтобы найти u и v .

Тогда yp (x) = u (x) y1 (x) + v (x) y2 (x) yp (x) = u (x) y1 (x) + v (x) y2 (x) является частным решение дифференциального уравнения. Решение этой системы уравнений иногда бывает сложной задачей, поэтому давайте воспользуемся этой возможностью, чтобы рассмотреть правило Крамера, которое позволяет нам решать систему уравнений с использованием определителей.

Правило: Правило Крамера

Система уравнений

a1z1 + b1z2 = r1a2z1 + b2z2 = r2a1z1 + b1z2 = r1a2z1 + b2z2 = r2

имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель коэффициентов не равен нулю.В этом случае решение дается

z1 = | r1b1r2b2 || a1b1a2b2 | andz2 = | a1r1a2r2 || a1b1a2b2 | .z1 = | r1b1r2b2 || a1b1a2b2 | andz2 = | a1r1a2r2 || a1b1a2b2 |.

Пример 7.15

Использование правила Крамера

Используйте правило Крамера для решения следующей системы уравнений.

x2z1 + 2xz2 = 0z1−3x2z2 = 2xx2z1 + 2xz2 = 0z1−3x2z2 = 2x

Решение

У нас

a1 (x) = x2a2 (x) = 1b1 (x) = 2xb2 (x) = — 3x2r1 (x) = 0r2 (x) = 2x.a1 (x) = x2a2 (x) = 1b1 (x) = 2xb2 ( х) = — 3х2r1 (х) = 0r2 (х) = 2х.

Затем,

| a1b1a2b2 | = | x22x1−3×2 | = −3×4−2x | a1b1a2b2 | = | x22x1−3×2 | = −3×4−2x

и

| r1b1r2b2 | = | 02x2x − 3×2 | = 0−4×2 = −4×2.| r1b1r2b2 | = | 02x2x − 3×2 | = 0−4×2 = −4×2.

Таким образом,

z1 = | r1b1r2b2 || a1b1a2b2 | = −4×2−3×4−2x = 4x3x3 + 2.z1 = | r1b1r2b2 || a1b1a2b2 | = −4×2−3×4−2x = 4x3x3 + 2.

Кроме того,

| a1r1a2r2 | = | x2012x | = 2×3−0 = 2×3. | a1r1a2r2 | = | x2012x | = 2×3−0 = 2×3.

Таким образом,

z2 = | a1r1a2r2 || a1b1a2b2 | = 2×3−3×4−2x = −2x23x3 + 2.z2 = | a1r1a2r2 || a1b1a2b2 | = 2×3−3×4−2x = −2x23x3 + 2.

КПП 7,13

Используйте правило Крамера для решения следующей системы уравнений.

2xz1−3z2 = 0x2z1 + 4xz2 = x + 12xz1−3z2 = 0x2z1 + 4xz2 = x + 1

Стратегия решения проблем

Стратегия решения проблем: метод изменения параметров
  1. Решите дополнительное уравнение и запишите общее решение
    c1y1 (x) + c2y2 (x).c1y1 (x) + c2y2 (x).
  2. Используйте правило Крамера или другую подходящую технику, чтобы найти функции u ′ (x) u ′ (x) и v ′ (x) v ′ (x), удовлетворяющие
    u′y1 + v′y2 = 0u′y1 ′ + v′y2 ′ = r (x). u′y1 + v′y2 = 0u′y1 ′ + v′y2 ′ = r (x).
  3. Интегрируйте u′u ′ и v′v ′, чтобы найти u (x) u (x) и v (x) .v (x). Тогда yp (x) = u (x) y1 (x) + v (x) y2 (x) yp (x) = u (x) y1 (x) + v (x) y2 (x) — частное решение к уравнению.
  4. Добавьте общее решение дополнительного уравнения и частное решение, найденное на шаге 3, чтобы получить общее решение неоднородного уравнения.

Пример 7.16

Использование метода вариации параметров

Найдите общее решение следующих дифференциальных уравнений.

  1. y ″ −2y ′ + y = ett2y ″ −2y ′ + y = ett2
  2. y ″ + y = 3sin2xy ″ + y = 3sin2x
Решение
  1. Дополнительное уравнение имеет вид y ″ −2y ′ + y = 0y ″ −2y ′ + y = 0 с соответствующим общим решением c1et + c2tet.c1et + c2tet. Следовательно, y1 (t) = ety1 (t) = et и y2 (t) = tet.y2 (t) = tet. Вычисляя производные, получаем y1 ′ (t) = ety1 ′ (t) = et и y2 ′ (t) = et + tety2 ′ (t) = et + tet (шаг 1).Затем мы хотим найти функции u ′ (t) u ′ (t) и v ′ (t) v ′ (t) так, чтобы
    u′et + v′tet = 0u′et + v ′ (et + tet) = ett2.u′et + v′tet = 0u′et + v ′ (et + tet) = ett2.
    Применяя правило Крамера, получаем
    u ′ = | 0tetett2et + tet || ettetetet + tet | = 0 − tet (ett2) et (et + tet) −ettet = −e2tte2t = −1tu ′ = | 0tetett2et + tet || ettetetet + tet | = 0 − tet (ett2) et (et + tet) −ettet = −e2tte2t = −1t
    и
    v ′ = | et0etett2 || ettetetet + tet | = et (ett2) e2t = 1t2 (шаг 2) .v ′ = | et0etett2 || ettetetet + tet | = et (ett2) e2t = 1t2 (шаг 2).
    Интегрируя, получаем
    u = −∫1tdt = −ln | t | v = ∫1t2dt = −1t (шаг 3).u = −∫1tdt = −ln | t | v = ∫1t2dt = −1t (шаг 3).
    Тогда у нас
    yp = −etln | t | −1ttet = −etln | t | −et (шаг 4) .yp = −etln | t | −1ttet = −etln | t | −et (шаг 4).
    Член etet является решением дополнительного уравнения, поэтому нам не нужно явно переносить этот член в наше общее решение. Общее решение —
    y (t) = c1et + c2tet − etln | t | (шаг 5). y (t) = c1et + c2tet − etln | t | (шаг 5).
  2. Дополнительное уравнение: y ″ + y = 0y ″ + y = 0 с соответствующим общим решением c1cosx + c2sinx.c1cosx + c2sinx. Итак, y1 (x) = cosxy1 (x) = cosx и y2 (x) = sinxy2 (x) = sinx (шаг 1).Затем мы хотим найти такие функции u ′ (x) u ′ (x) и v ′ (x) v ′ (x), что
    u′cosx + v′sinx = 0 − u′sinx + v′cosx = 3sin2x.u′cosx + v′sinx = 0 − u′sinx + v′cosx = 3sin2x.
    Применяя правило Крамера, получаем
    u ′ = | 0sinx3sin2xcosx || cosxsinx − sinxcosx | = 0−3sin3xcos2x + sin2x = −3sin3xu ′ = | 0sinx3sin2xcosx || cosxsinx − sinxcosx | = 0−3sin3xcos2x + sin2x = −3sin
    и
    v ′ = | cosx0 − sinx3sin2x || cosxsinx − sinxcosx | = 3sin2xcosx1 = 3sin2xcosx (шаг 2) .v ′ = | cosx0 − sinx3sin2x || cosxsinx − sinxcosx | = 3sin2xcosx1 = 3sin2xcosx (шаг 2).
    Интегрируя сначала, находим u , получаем
    u = ∫ − 3sin3xdx = −3 [−13sin2xcosx + 23∫sinxdx] = sin2xcosx + 2cosx.u = ∫ − 3sin3xdx = −3 [−13sin2xcosx + 23∫sinxdx] = sin2xcosx + 2cosx.
    Теперь мы интегрируем, чтобы найти против . Используя подстановку (с w = sinxw = sinx), получаем
    v = ∫3sin2xcosxdx = ∫3w2dw = w3 = sin3x.v = ∫3sin2xcosxdx = ∫3w2dw = w3 = sin3x.
    Затем
    yp = (sin2xcosx + 2cosx) cosx + (sin3x) sinx = sin2xcos2x + 2cos2x + sin4x = 2cos2x + sin2x (cos2x + sin2x) (шаг 4). = 2cos2x + sin2x = cos2x + 1yp = (sin2xcosx + 2 sincos3) cosx + (sin2xcosx + 2 sincos3) cosx + sinx = sin2xcos2x + 2cos2x + sin4x = 2cos2x + sin2x (cos2x + sin2x) (шаг 4). = 2cos2x + sin2x = cos2x + 1
    Общее решение —
    y (x) = c1cosx + c2sinx + 1 + cos2x (шаг 5).y (x) = c1cosx + c2sinx + 1 + cos2x (шаг 5).

КПП 7.14

Найдите общее решение следующих дифференциальных уравнений.

  1. y ″ + y = secxy ″ + y = secx
  2. x ″ −2x ′ + x = ettx ″ −2x ′ + x = ett

Раздел 7.2 Упражнения

Решите следующие уравнения, используя метод неопределенных коэффициентов.

54.

2y ″ −5y′ − 12y = 62y ″ −5y′ − 12y = 6

55.

3y ″ + y′ − 4y = 83y ″ + y′ − 4y = 8

56.

y ″ −6y ′ + 5y = e − xy ″ −6y ′ + 5y = e − x

57.

y ″ + 16y = e − 2xy ″ + 16y = e − 2x

58.

y ″ −4y = x2 + 1y ″ −4y = x2 + 1

59.

y ″ −4y ′ + 4y = 8×2 + 4xy ″ −4y ′ + 4y = 8×2 + 4x

60.

y ″ −2y′ − 3y = sin2xy ″ −2y′ − 3y = sin2x

61.

y ″ + 2y ′ + y = sinx + cosxy ″ + 2y ′ + y = sinx + cosx

62.

y ″ + 9y = excosxy ″ + 9y = excosx

63.

y ″ + y = 3sin2x + xcos2xy ″ + y = 3sin2x + xcos2x

64.

y ″ + 3y′ − 28y = 10e4xy ″ + 3y′ − 28y = 10e4x

65.

y ″ + 10y ′ + 25y = xe − 5x + 4y ″ + 10y ′ + 25y = xe − 5x + 4

В каждой из следующих задач

  1. Напишите форму частного решения yp (x) yp (x) для метода неопределенных коэффициентов.
  2. [T] Используйте систему компьютерной алгебры, чтобы найти конкретное решение данного уравнения.

66.

y ″ −y′ − y = x + e − xy ″ −y′ − y = x + e − x

67.

y ″ −3y = x2−4x + 11y ″ −3y = x2−4x + 11

68.

y ″ −y′ − 4y = excos3xy ″ −y′ − 4y = excos3x

69.

2y ″ −y ′ + y = (x2−5x) e − x2y ″ −y ′ + y = (x2−5x) e − x

70.

4y ″ + 5y′ − 2y = e2x + xsinx4y ″ + 5y′ − 2y = e2x + xsinx

71.

y ″ −y′ − 2y = x2exsinxy ″ −y′ − 2y = x2exsinx

Решите дифференциальное уравнение, используя либо метод неопределенных коэффициентов, либо вариацию параметров.

72.

y ″ + 3y′ − 4y = 2exy ″ + 3y′ − 4y = 2ex

73.

y ″ + 2y ′ = e3xy ″ + 2y ′ = e3x

74.

y ″ + 6y ′ + 9y = e − xy ″ + 6y ′ + 9y = e − x

75.

y ″ + 2y′ − 8y = 6e2xy ″ + 2y′ − 8y = 6e2x

Решите дифференциальное уравнение методом вариации параметров.

76.

4y ″ + y = 2sinx4y ″ + y = 2sinx

78.

y ″ + y = secx, 0

79.

y ″ + 4y = 3csc2x, 0

Найдите единственное решение, удовлетворяющее дифференциальному уравнению и заданным начальным условиям, где yp (x) yp (x) — частное решение.

80.

y ″ −2y ′ + y = 12ex, y ″ −2y ′ + y = 12ex, yp (x) = 6x2ex, yp (x) = 6x2ex, y (0) = 6, y ′ (0) = 0y ( 0) = 6, y ′ (0) = 0

81.

y ″ −7y ′ = 4xe7x, y ″ −7y ′ = 4xe7x, yp (x) = 27x2e7x − 449xe7x, yp (x) = 27x2e7x − 449xe7x, y (0) = — 1, y ′ (0) = 0y (0) = — 1, y ′ (0) = 0

82.

y ″ + y = cosx − 4sinx, y ″ + y = cosx − 4sinx, yp (x) = 2xcosx + 12xsinx, yp (x) = 2xcosx + 12xsinx, y (0) = 8, y ′ (0) = −4у (0) = 8, у ′ (0) = — 4

83.

y ″ −5y ′ = e5x + 8e − 5x, y ″ −5y ′ = e5x + 8e − 5x, yp (x) = 15xe5x + 425e − 5x, yp (x) = 15xe5x + 425e − 5x, y (0 ) = — 2, y ′ (0) = 0y (0) = — 2, y ′ (0) = 0

В каждой из следующих задач даны два линейно независимых решения y1y1 и y2y2, которые удовлетворяют соответствующему однородному уравнению.Воспользуйтесь методом вариации параметров, чтобы найти частное решение заданного неоднородного уравнения. Предположим, что x > 0 в каждом упражнении.

84.

x2y ″ + 2xy′ − 2y = 3x, x2y ″ + 2xy′ − 2y = 3x, y1 (x) = x, y2 (x) = x − 2y1 (x) = x, y2 (x) = x − 2

85.

x2y ″ −2y = 10×2−1, x2y ″ −2y = 10×2−1, y1 (x) = x2, y2 (x) = x − 1y1 (x) = x2, y2 (x) = x − 1

(PDF) Сеть свертки развязанного графа для вывода заменяемых и дополнительных элементов

5.7 Оперативное и онлайн-тестирование A / B (RQ5)

Для обычного A / B-тестирования мы сравниваем PolyGCN, GATNE-I и

DecGCN на крупномасштабном промышленном JD.com набор данных. Как показано в таблице 1

, набор данных JD.com содержит более 4 миллионов элементов, 84 миллиона

отношений замены и 51 миллион отношений дополнения. Параметры

устанавливаются так же, как в разделе 5.1. Результаты в Таблице 6

показывают, что DecGCN превосходит две базовые показатели по обеим задачам вывода

. По сравнению с GATNE-I, DecGCN может достичь лучшей производительности

на 0,9–5,6% и 0,5–6,1% для предполагаемых заменителей

и дополнений, соответственно, w.r.t. все оценочные показатели.

Для онлайн-тестирования A / B мы развертываем DecGCN и самый мощный

baseline GATNE-I в модуле Candidate Generation в онлайн-системе рекомендаций

на JD.com на один месяц (с июня 2020 года

по июль 2020 года). ). Для каждого запроса мы используем модель для генерации can-

дидатов и объединяем их с другими источниками генерации кандидатов

для повторного ранжирования. Онлайн-эксперименты показывают, что наш метод DecGCN

значительно превосходит самый надежный базовый метод GATNE-I

на 3.6% (p-значение

<

0,01) в рейтинге кликов. Кроме того, мы наблюдаем улучшение глубины просмотра на 0,3% (то есть глубины прокручиваемых списков рекомендаций

).

6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой статье мы предлагаем эффективную развязанную сеть Graph Convolu-

для задачи вывода заменяемых и дополнительных

элементов. Предлагаемая DecGCN способна изучать подстановки элементов

и дополняемость как отдельные векторы встраивания,

, где дополнительно фиксируется взаимное влияние между различными структурами графа и семантикой

элементов.Эксперименты с тремя общедоступными наборами данных

и A / B-тестирование на реальной промышленной рекомендательной системе

демонстрируют замечательную производительность нашего решения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1]

Юко Цэнь, Сюй Цзоу, Цзяньвэй Чжан, Хунся Ян, Цзинжэнь Чжоу и Цзе Тан.

2019. Обучение представлению для гетерогенной мультиплексной сети с атрибутами.

В КДД’19. 1358–1368.

[2]

Вэйцзян Чен, Юлонг Гу, Чжаочунь Жэнь, Сяннань Хэ, Хунтао Се, Тонг Го,

Давэй Инь и Юндун Чжан.2019. Полу-контролируемое профилирование пользователей с помощью

сетей внимания на гетерогенных графах. В IJCAI’19.

[3]

Юйсяо Донг, Нитеш В Чавла и Анантрам Свами. 2017. metapath3vec:

Обучение масштабируемому представлению для гетерогенных сетей. В КДД’17. 135–

144.

[4]

Алессандро Эпасто и Брайан Пероцци. 2019. Достаточно ли одного вложения?

представления обучающих узлов, охватывающие несколько социальных контекстов.В WWW’19.

394–404.

[5]

Шаохуа Фань, Цзюньсюн Чжу, Сяотянь Хан, Чуань Ши, Линмей Ху, Бию Ма и

Юнлян Ли. 2019. Гетерогенная графическая нейронная сеть, управляемая метапатом, для рекомендации

Intent. В КДД’19. 2478–2486.

[6]

Хунъян Гао, Чжэнъян Ван и Шуйван Цзи. 2018. Крупномасштабные обучаемые сверточные сети

графов. В КДД’18. 1416–1424.

[7]

Юлонг Гу, Чжуое Дин, Шуайцян Ван и Давэй Инь.2020. Иерархическая

Профилирование пользователей для рекомендательных систем электронной коммерции. В WSDM’20.

[8]

Юлонг Гу, Чжуое Дин, Шуайцян Ван, Лисинь Цзоу, Идин Лю и Давэй Инь.

2020. Глубокие многогранные преобразователи для многоцелевого ранжирования в крупномасштабных

Рекомендательные системы для электронной коммерции. В ЦИКМ’20.

[9]

Уилл Хэмилтон, Чжитао Ин и Юре Лесковец. 2017. Индуктивное представление

обучения на больших графах. В NeurIPS’17.1024–1034.

[10]

Уильям Л. Гамильтон, Рекс Ин и Юре Лесковец. 2017. Представление обучения

на графах: методы и приложения. Препринт arXiv arXiv: 1709.05584 (2017).

[11]

Ди Хэ, Инцэ Ся, Тао Цинь, Ливэй Ван, Нэнхай Ю, Тие-Ян Лю и Вэй-Ин

Ма. 2016. Двойное обучение для машинного перевода. В NeurIPS’16. 820–828.

[12]

Ван-Ченг Кан, Эрик Ким, Юре Лесковец, Чарльз Розенберг и Джулиан

Маколи.2019. Завершите дополнение Look: Scene-based Additional Product Rec-

. В CVPR’19. 10532–10541.

[13]

Томас Кипф и Макс Веллинг. 2016. Полууправляемая классификация с графом

сверточных сетей. Препринт arXiv arXiv: 1609.02907 (2016).

[14]

Нинхао Лю, Цяоюй Тан, Юнин Ли, Хунся Ян, Цзинжэнь Чжоу и Ся

Ху. 2019. Достаточно ли одного вектора? исследование многозначности узлов для встраивания сети

.В КДД’19. 932–940.

[15]

Цзяньсинь Ма, Пэн Цуй, Кун Куанг, Синь Ван и Вену Чжу. 2019. Распутанные

сверточных сетей на

графах. В ICML’19. 4212–4221.

[16]

Яо Ма, Чжаочунь Рен, Цзихэн Цзян, Цзилян Тан и Давэй Инь. 2018. Встраивание многомерной сети Multi-

с иерархической структурой. В WSDM’18. 387–

395.

[17]

Джулиан Маколи, Рахул Панди и Юре Лесковец. 2015. Вывод сетей из

взаимозаменяемых и дополнительных продуктов.В SIGKDD. 785–794.

[18]

Джулиан Маколи, Кристофер Таргет, Циньфэн Ши и Антон Ван Ден Хенгель.

2015. Рекомендации по стилям и заменителям на основе изображений. В СИГИР’15. 43–52.

[19]

Винит Ракеш, Суханг Ван, Кай Шу и Хуан Лю. 2019. Связанные вариационные автокодеры

для вывода заменяемых и дополнительных элементов. В WSDM’19.

438–446.

[20]

Чуан Ши, Биньбинь Ху, Уэйн Синь Чжао и С Ю Филип.2018. Гетерогенная информационная сеть

встраивание для рекомендации. IEEE TKDE 31, 2 (2018),

357–370.

[21]

Петар Величкович, Гиллем Кукурулл, Аранча Казанова, Адриана Ромеро, Пьетро

Лио и Йошуа Бенджио. 2017. Графики сетей внимания. Препринт arXiv

arXiv: 1710.10903 (2017).

[22]

Лукас Винь Тран, Туан-Ань Нгуен Фам, Йи Тай, Идин Лю, Гао Конг и

Сяоли Ли. 2019. Взаимодействуйте и решайте: смесь сетей под-внимания для эффективной рекомендации группы

.В СИГИР’19. 255–264.

[23]

Хунвэй Ван, Фучжэн Чжан, Мэнди Чжан, Юре Лесковец, Мяо Чжао,

Вэньцзе Ли и Чжунюань Ван. 2019. Нейронные сети с графами знаний

с регуляризацией гладкости меток для рекомендательных систем. В КДД’19. 968–

977.

[24]

Цзичжэ Ван, Пайпей Хуанг, Хуан Чжао, Чжибо Чжан, Биньцян Чжао и Дик Лун

Ли. 2018. Встраивание товаров в миллиардном масштабе для рекомендации

электронной коммерции в alibaba.В КДД’18. 839–848.

[25]

Сяо Ван, Хоуе Цзи, Чуан Ши, Бай Ван, Яньфан Е, Пэн Цуй и Филипп S

Yu. 2019. Гетерогенная графовая сеть внимания. В WWW’19. 2022–2032 гг.

[26]

Цзихан Ван, Цзихэн Цзян, Чжаочунь Рен, Цзилян Тан и Давэй Инь. 2018. Фреймворк

с ограничениями по пути для различения заменяемых и дополнительных продуктов

в электронной коммерции. В WSDM’18. 619–627.

[27]

Цзунхань Ву, Шируй Пань, Фенвен Чен, Гуодун Лонг, Чэнци Чжан и

Ю Филип.2020. Комплексный обзор графовых нейронных сетей. IEEE

Транзакции в нейронных сетях и обучающих системах (2020 г.).

[28]

Цаймин Сюн, Виктор Чжун и Ричард Сохер. 2016. Динамическое покрытие

сетей для ответов на вопросы. Препринт arXiv arXiv: 1611.01604 (2016).

[29]

Рекс Ин, Руин Хэ, Кайфэн Чен, Понг Эксомбатчай, Уильям Л. Гамильтон,

и Юре Лесковец. 2018. Графические сверточные нейронные сети для рекомендательных систем веб-масштаба

.В КДД’18. 974–983.

[30]

Сонджун Юн, Минбёль Чон, Рэхён Ким, Джеу Кан и Хёну Дж Ким.

2019. Граф трансформаторных сетей. В NeurIPS’19. 11960–11970.

[31]

Чусю Чжан, Дунцзинь Сонг, Чао Хуанг, Анантрам Свами и Нитеш В.

Чавла. 2019. Нейронная сеть с гетерогенным графом. В КДД’19. 793–803.

[32]

Минюэ Чжан, Сюань Вэй, Сюньхуа Го, Гуоцин Чен и Цян Вэй. 2019.

Идентификация дополнений и заменителей продуктов: каркас нейронной сети —

Работа на основе внедрения продукта.ТКДД’19 13, 3 (2019), 1–29.

[33]

Шицзе Чжан, Хунчжи Инь, Циньонг Ван, Тонг Чен, Хунсю Чен и Куок

Вьет Хунг Нгуен. 2019. Вывод замещаемых продуктов с вложением в глубокую сеть

. IJCAI’19 (2019), 4306–4312.

[34]

Инь Чжан, Хаокай Лу, Вэй Ню и Джеймс Каверли. 2018. Качественно-ориентированный нейрон

, рекомендация по дополнительному элементу. В RecSys’18. 77–85.

[35]

Тонг Чжао, Джулиан Маколи, Менъя Ли и Ирвин Кинг.2017. Повышение точности рекомендаций

с использованием сетей взаимозаменяемых и дополнительных продуктов

. В IJCNN’17. 3649–3655.

[36]

Сяню Чжао, Чаншэн Гу, Хаошенглун Чжан, Сяобин Лю, Сиван Ян,

и Цзилян Тан. 2019. Глубокое обучение с подкреплением для интернет-рекламы в рекомендательных системах

. Препринт arXiv arXiv: 1909.03602 (2019).

[37]

Сяню Чжао, Лун Ся, Цзилян Тан и Давэй Инь.2019. Deep reinforce-

— обучение поиску, рекомендациям и интернет-рекламе: опрос.

SIGWEB’19 Spring (2019), 1–15.

[38]

Сянюй Чжао, Сюйдун Чжэн, Сиван Ян, Сяобин Лю и Цзилян Тан. 2020.

Совместно учимся рекомендовать и рекламировать. Препринт arXiv arXiv: 2003.00097

(2020).

[39]

Цзе Чжоу, Ганьцюй Цуй, Чжэнъянь Чжан, Чэн Ян, Чжиюань Лю, Лифенг Ван,

Чанчэн Ли и Маосун Сунь.2018. Графические нейронные сети: обзор

методов и приложений. Препринт arXiv arXiv: 1812.08434 (2018).

[40]

Джун-Ян Чжу, Парк Тэсун, Филипп Изола и Алексей Эфрос. 2017. Непарное преобразование изображения в изображение

с использованием согласованных по циклу состязательных сетей.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.