Как найти высоту у равнобедренного треугольника: Высота равнобедренного треугольника | Онлайн калькулятор

Содержание

Высота равнобедренного треугольника | Онлайн калькулятор

Равнобедренным треугольником называется такой треугольник, у которого две из трех сторон равны между собой. Равные стороны считаются боковыми сторонами а, а третья сторона в называется основанием равнобедренного треугольника.

Соответственно, в таком треугольнике можно провести три высоты, две из которых будут равны между собой, аналогично сторонам — это высоты, опущенные на боковую сторону треугольника а, а третья высота опускается на основание. Высота треугольника проводится из угла треугольника к противолежащей стороне под прямым углом. Большинство задач с высотой треугольника решаются через прямоугольные треугольники, которые она образует.

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, обладает рядом индивидуальных свойств, присущих только ей и не распространяющихся на другие высоты в таком треугольнике. В частности, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой, проведенным к основанию, следовательно, она не только образует прямой угол с основанием, но и делит его на две равные части, как медиана, и аналогично делит угол пополам, как биссектриса. В итоге, высота является своеобразной осью симметрии треугольника и разделяет его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике высота является катетом, и чтобы найти ее длину необходимо соотнести стороны равнобедренного треугольника со сторонами прямоугольного. Боковая сторона равнобедренного треугольника становится гипотенузой, а чтобы определить второй катет, основание равнобедренного треугольника нужно разделить пополам, по свойству медианы.

Длина высоты равнобедренного треугольника равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадрата боковой стороны равнобедренного треугольника и четверти квадрата основания равнобедренного треугольника:

Второй случай, когда условиями задачи нужно найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, раскрывается проще всего через площадь треугольника.

Площадь любого треугольника можно найти несколькими способами — например, через три стороны треугольника по формуле Герона, или через высоту, умножив ее на половину стороны, на которую она опущена. И тем, и другим способом получаются одинаковые значения площади, следовательно обе эти формулы можно друг к другу приравнять и отсюда вывести окончательную формулу высоты, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника.

Формула Герона для равнобедренного треугольника будет иметь несколько упрощенный вид за счет того, что значения боковых сторон повторяются:

Площадь равнобедренного треугольника через высоту, опущенную к боковой стороне

Эту же формулу можно применять для нахождения любой высоты в равнобедренном треугольнике, если поменять в формуле соответствующие стороны местами.

Формула высоты равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании α: h=a sin⁡α

Формула через боковую сторону и угол напротив основания β:

Формула через основание и угол при нем α:

через основание и угол противолежащий ему β:

к основанию, к боковой стороне

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты равнобедренного треугольника, а также разберем примеры решения задач по данной теме.

Примечание: треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны (боковые). Третья сторона называется основанием.

Свойства высоты в равнобедренном треугольнике

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике две высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

AE = CD

Обратная формулировка: Если в треугольнике две высоты равны, значит он является равнобедренным.

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.

  • BD – высота, проведенная к основанию AC;
  • BD – медиана, следовательно, AD = DC;
  • BD – биссектриса, следовательно, угол α равен углу β.
  • BD – серединный перпендикуляр к стороне AC.

Свойство 3

Если известны стороны/углы равнобедренного треугольника, то:

1. Длина высоты ha, опущенной на основание a, вычисляется по формуле:

  • a – основание;
  • b – боковая сторона.

2. Длина высоты hb, проведенной к боковой стороне b, равняется:

p – это полупериметр треугольника, рассчитывается таким образом:

3. Высоту к боковой стороне можно найти через синус угла и длину стороны треугольника:

Примечание: к равнобедренному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.

Пример задачи

Задача 1
Дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 15 см, а боковая сторона – 12 см. Найдите длину высоты, опущенной к основанию.

Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 3:

Задача 2
Найдите высоту, проведенную к боковой стороне равнобедренного треугольника длиной 13 см. Основание фигуры равняется 10 см.

Решение
Для начала вычислим полупериметр треугольника:

Теперь применим соответствующую формулу для нахождения высоты (представлена в Свойстве 3):

Как найти высоту в треугольнике abc: формулы, примеры задач

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Как посчитать высоту равнобедренного треугольника

Чтобы посчитать чему равна высота равнобедренного треугольника просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить высоту равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • длину двух равных сторон (a) и длину основания (b)
  • длину двух равных сторон (a) и угол α
  • длину двух равных сторон (a) и угол β
  • длину основания (b) и угол α
  • длину основания (b) и угол β

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Если известны длина стороны а и основания b

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и длина основания b?

Формула

h = √a2 — (b/2)2

Пример

Если сторона a = 10 см, а сторона b = 5 см, то:

h = √102 — (5/2)2 = √100 — 6.25 ≈ 9.68 см

Если известны длина стороны а и угол α

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол α?

Формула

h = a⋅sin α

Пример

Если сторона a = 5 см, а ∠α = 45°, то:

h = 5⋅sin 45 ≈ 3,53 см

Если известны длина стороны а и угол β

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол β?

Формула

h = a⋅cos β/2

Пример

Если сторона a = 5 см, а ∠β = 30°, то:

h = 5⋅cos 30/2 ≈ 4. 83 см

Если известны длина стороны b и угол α

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол α?

Формула

h = b/2tg α

Пример

Если сторона b = 20 см, а ∠α = 35°, то:

h = 20/2tg 35 = 10⋅0.7 = 7 см

Если известны длина стороны b и угол β

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол β?

Формула

h = b/2ctg β/2

Пример

Если сторона b = 15 см, а ∠β = 40°, то:

h = 15/2ctg 40/2 = 7.5⋅2.7474 ≈ 20.6 см

См. также

Равнобедренный треугольник. Свойства, Признаки, Высота

Определение равнобедренного треугольника

Определение равнобедренного треугольника звучит проще простого:

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Чтобы найти основание равнобедренного треугольника, используйте формулу: b = 2a cos

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 5 теорем.

Теоремы помогут доказать, что треугольник равнобедренный, а не какой-нибудь ещё. Давайте приступим.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Мы выяснили, что AС — основание равнобедренного треугольника. Поскольку боковые стороны треугольника равны AB = СB, то и углы при основании — равны. ∠ BАC = ∠ BСA. Изи!

 

Геометрия в 7 классе полна острых углов. Чтобы ваш ребенок миновал их круглым отличником, запишите его на бесплатный пробный урок математики в онлайн-школу Skysmart.

Наши опытные преподаватели научат с закрытыми глазами отличать равнобедренный треугольник от равностороннего, а интерактивная платформа не даст заскучать на уроках.

 

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Чтобы доказать все эти теоремы, вспомним, что такое биссектриса, медиана и высота.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Доказательство теорем 2, 3, 4 будет коллективным, поскольку из определений видно, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника — это одно и то же.

А вот и доказательство:

  • Δ ABC
  • Высота BH делит Δ ABC на два прямоугольных треугольника ABH и CBH
  • Δ ABH = Δ CBH, поскольку гипотенузы и катет равны по теореме Пифагора
  • Согласно теореме 1: в треугольниках ABH и BCH ∠ BАH = ∠ BСH, поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны
  • Так как Δ ABC — равнобедренный, то его боковые стороны равны AB = BC
  • AH = CH, поскольку точка H делит основание Δ ABC на две равные части
  • Δ ABH = Δ BCH
  • Значит, отрезок BH одновременно биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC

Вуаля, сразу три теоремы доказаны.

Теорема 5: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (третий признак равенства треугольников).

Доказательство:

Дано два Δ ABC = Δ A1B1C1.

Чтобы доказать равенство треугольников, мысленно наложите один треугольник на другой так, чтобы стороны совпали. Точка A должна совпасть с точкой А1, точка B должна совпасть с точкой B2, точка С — с точкой С1.

Если все стороны совпадают — треугольники равны, а теорема доказана.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

 

  1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
  2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, то такой треугольник — равнобедренный.
  3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, то такой треугольник — равнобедренный.
  4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, то такой треугольник снова равнобедренный!
  5. Если два угла треугольника равны, такой треугольник является равнобедренным.
Свойства углов равнобедренного треугольника

  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  • Углы при основании в равнобедренном треугольнике — всегда острые.
  • Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

b — основание равнобедренного треугольника

a — равные стороны равнобедренного треугольника

α — углы при основании

β — угол, образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания b) равнобедренного треугольника

 

Формулы длины равных сторон равнобедренного треугольника (стороны a):

 

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

b — основание равнобедренного треугольника

a — равные стороны равнобедренного треугольника

α — углы при основании

β — угол, образованный равными сторонами

L — высота, биссектриса и медиана

 

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника, через сторону и угол (L)

Формула высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника, через стороны (L)

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать градусы и длины в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ABC: ∠C = 80∘, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с пятью теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны.
∠A = ∠C = 80∘.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180∘
∠B = 180∘ − 80∘ − 80∘ = 20∘.
∠B = 20∘

Задачка два. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 110∘. Найдите наибольший из внешних углов этого треугольника.

Вспоминаем первую теорему о равенстве углов при основании (а лучше не забываем вовсе). Поскольку сумма углов = 180∘, то второго угла в 110∘ в нём быть не может. Соответственно, известный угол в 110∘ — это угол при вершине. (180∘−110∘)/2=35∘. Внешние углы треугольника равны: 180∘−110∘=70∘,180∘−35∘=145∘,180∘−35∘=145∘. Больший внешний угол равен 145∘

Еще больше тренировок — в детской школе Skysmart. Записывайте ребенка на бесплатный урок математики и приходите сами: покажем, как все устроено и наметим индивидуальную программу занятий.

Высота равнобедренного треугольника



Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел равнобедренный треугольник). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение






Задача










В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB, и AC равны 13а. Тангенс угла B равен 3/4. Найдите высоту AK, проведенную к основанию BC этого равнобедренного треугольника.






Решение.






Поскольку мы знаем тангенс угла B, то стороны прямоугольного треугольника AKB соотносятся как






AK/KB = tg B = 3/4







Обозначим коэффициент пропорциональности этих сторон как х.






Тогда по теореме Пифагора для данного треугольника будет справедливо выражение:







(3x)2 + (4x)2 = (13a)2

9x2  + 16x2
= 169a2

25x2
 = 169a2

x2
 = 169/25a2

x = 13/5a


Откуда


AK = 3x = 13/5a*3= 7,8a


KB = 4x = 13/5a*4 = 10,4a


Ответ:    7,8a и
10,4a




 Углы равнобедренного треугольника |

Описание курса

| Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник 

   

Как найти длину высоты в равнобедренном треугольнике

Высотами в треугольнике называют три отрезка прямых, каждый из которых перпендикулярен одной из сторон и соединяет ее с противолежащей вершиной. Как минимум две стороны и два угла в равнобедренном треугольнике имеют одинаковые величины, поэтому и длины двух высот должны быть равны. Это обстоятельство значительно упрощает вычисление длин высот фигуры.

Высоту (Hc), проведенную к основанию равнобедренного треугольника, можно рассчитать, зная длины этого основания (c) и боковой стороны (a). Для этого можно использовать теорему Пифагора, так как высота, боковая сторона и половина основания образуют прямоугольный треугольник. Высота и половина основания в нем являются катетами, поэтому для решения задачи извлеките корень из разности между возведенной в квадрат длиной боковой стороны и четвертью квадрата длины основания: Hс = √(a²-¼*c²).

Эту же высоту (Hc) можно вычислить и по длине любой из сторон, если в условиях приведена величина хотя бы одного угла. Если это угол при основании треугольника (α) а известная длина определяет величину боковой стороны (a), для получения результате перемножьте длину известной стороны и синус известного угла: Hс = a*sin(α). Эта формула вытекает из теоремы синусов.

Если известна длина основания (с) и величина прилегающего к нему угла (α), для вычисления высоты (Hc), половину длины основания умножьте на синус известного угла и разделите на синус разницы между 90° и величиной того же угла: Hс = ½*c*sin(α)/sin(90°-α).

При известных размерах основания (с) и противолежащего ему угла (γ) для вычисления высоты (Hc) умножайте половину длины известной стороны на синус разницы между 90° и половиной известного угла, а результат делите на синус половины того же угла: Hс = ½*c*sin(90°-γ/2)/sin(γ/2). Эта формула, как и две предыдущие, вытекает из теоремы синусов в сочетании с теоремой о сумме углов в треугольнике.

Длину высоты, проведенной к одной из боковых сторон (Ha) можно вычислить, например, зная длину этой стороны (a) и площадь равнобедренного треугольника (S). Чтобы это сделать, найдите удвоенную величину соотношения между площадью и длиной известной стороны: Ha = 2*S/a.

Калькулятор равнобедренного треугольника — Расчет высокой точности

[1] 2021/05/06 05:04 Мужчина / 20-летний уровень / Учитель / Исследователь / Очень /

Цель использования
Модель Lego

[2] 2021/05/04 11:25 — / До 20 лет / Средняя школа / Университет / Аспирант / Очень /

Цель использования
Помогает при выполнении домашних заданий (Геометрия для старших классов).

[3] 2021/04/25 21:30 Мужской / 50-летний уровень / Самозанятые люди / Очень /

Цель использования
Попытка подсчитать, сколько годного к употреблению масла у меня осталось в циклической ( горизонтальный!) бак.Требуется для расчета углов треугольника по известной гипотенузе (радиус круга) и высоте треугольника (уровень масла). Получилось удовольствие. Осталось еще 195 литров! (заменяем бак).

[4] 2021.04.21 10:12 Мужчина / Уровень 30 лет / Инженер / Очень /

Цель использования
Слишком долго не ходил в школу. Изготовление стола из эпоксидной смолы, необходимого для подрезки стальных ножек, пока смола мокрая. Вырисовал ножки для прямоугольной основы, забыл некоторые геометрические доказательства.Смотрел их и вручную делал расчеты. Проверил с помощью этого калькулятора -> получилось с такими же точными числами и углами. Хороший инструмент для проверки, не ленитесь и полагайтесь на технологии, которые сделают все за вас. Вот почему у нас есть манекены, которые не могут решать математические уравнения Facebook.

[5] 2021/04/17 22:19 Женщина / 60 лет и старше / Пенсионер / Очень /

Назначение
Пошив шторки для нашей горки для муниципального бассейна. Это пирамида, состоящая из 4-х треугольников.Стороны легко измерить, углы нужны.
Комментарий / запрос
Отлично и быстро. Спасибо.

[6] 2021/04/05 04:56 Женщина / Уровень 40 лет / Другое / Очень /

Цель использования
Рассчитать размер детской палатки для двора 🙂

[7] 2021/03/02 23:20 Женский / До 20 лет / Старшая школа / Университет / Аспирантка / Очень /

Цель использования
Быстрее решать задачи

[8] 2021/02/26 02:15 Мужчина / Уровень 30 лет / Инженер / Очень /

Цель использования
Игра с периметром: отношения диаметров многоугольников с увеличивающимся числом сторон.Наблюдая, как отношение приближается к пи, когда многоугольник становится более круглым.

[9] 2021/02/10 22:40 Женщина / 30-летний уровень / Офисный работник / Государственный служащий / Очень /

Цель использования
Попытка найти длины сторон, когда я знаю база — 48 дюймов, а базовый ангел — 30 градусов

[10] 2021/02/09 14:38 Мужчина / уровень 40 лет / Офисный работник / Государственный служащий / Очень /

Цель использования
Требуется дизайнерский угол «сделай сам», доступны только определенные размеры.Спасибо за калькулятор.

Калькулятор равнобедренного треугольника

Калькулятор равнобедренного треугольника — лучший выбор, если вы ищете быстрое решение ваших геометрических задач. Узнайте площадь равнобедренного треугольника, его периметр, внутренний радиус, радиус описанной окружности, высоту и углы — все в одном месте. Если вы хотите построить питомник, узнать площадь равнобедренного фронтона греческого храма или просто выполнить домашнее задание по математике, этот инструмент здесь для вас. Поэкспериментируйте с калькулятором или продолжайте читать, чтобы узнать больше о формулах равнобедренного треугольника.

Что такое равнобедренный треугольник?

Равнобедренный треугольник — это треугольник с двумя сторонами равной длины, которые называются катетами. Третья сторона треугольника называется основанием. Угол при вершине — это угол между ножками и углами с основанием, так как одна из их сторон называется углами основания.

Свойства равнобедренного треугольника:

  • имеет ось симметрии по высоте вершины
  • Два угла напротив ножек равны по длине
  • равнобедренный треугольник может быть острым, прямым или тупым, но это зависит только от угла при вершине (углы основания всегда острые)

Равносторонний треугольник — это частный случай равнобедренного треугольника.

Формулы равнобедренного треугольника для площади и периметра

Для вычисления площади равнобедренного треугольника можно использовать множество различных формул. Самыми популярными являются уравнения:

  1. Данная рука a и основание b :

    площадь = (1/4) * b * √ (4 * a² - b²)

  2. Дано h высота от вершины и основания b или h3 высота от двух других вершин и плеча a :

    площадь = 0.5 * h * b = 0,5 * h3 * a

  3. Любой угол и плечо или основание

площадь = (1/2) * a * b * sin (base_angle) = (1/2) * a² * sin (vertex_angle)

Кроме того, вы можете воспользоваться нашим калькулятором площади треугольника, чтобы узнать другие уравнения, которые работают для всех типов треугольников, а не только для равнобедренных.

Чтобы вычислить периметр равнобедренного треугольника, просто сложите все стороны треугольника:
периметр = a + a + b = 2 * a + b

Теорема о равнобедренном треугольнике

Теорема о равнобедренном треугольнике, также известная как теорема об основных углах, утверждает, что , если две стороны треугольника равны, то углы, противоположные этим сторонам, равны .

Также существует обратная теорема, утверждающая, что , если два угла треугольника совпадают, то стороны, противоположные этим углам, равны .

Калькулятор золотого треугольника

Золотой треугольник, который также называют возвышенным треугольником, представляет собой равнобедренный треугольник, в котором ножка находится в золотом сечении по отношению к основанию:

a / b = φ ~ 1,618

Золотой треугольник обладает необычными свойствами:

  • Это единственный треугольник с тремя углами в пропорции 2: 2: 1
  • Это форма треугольников в точках пентаграммы
  • Используется для формирования логарифмической спирали

Как найти площадь с помощью этого калькулятора равнобедренного треугольника?

Давайте узнаем, как пользоваться этим инструментом на простом примере.Взгляните на это пошаговое решение:

  1. Определите ваше первое данное значение . Предположим, мы хотим проверить свойства золотого треугольника. Наберите 1,681 дюйма в коробку с опорой .
  2. Введите второй известный параметр . Например, возьмите основание, равное 1 дюйм.
  3. Все остальные параметры рассчитываются в мгновение ока! Мы проверили, например, что периметр равнобедренного треугольника равен 4,236 дюйма и что углы в золотом треугольнике равны 72 ° и 36 ° — соотношение действительно равно 2: 2: 1.

Вы можете использовать этот калькулятор для определения параметров, отличных от приведенных в примере, но помните, что обычно есть два разных равнобедренных треугольника с заданной площадью и другим параметром, например длина ноги. Наш калькулятор покажет одно из возможных решений.

Как определить высоту треугольника в трех разных ситуациях

В тригонометрии высоту треугольника можно определить разными способами в зависимости от того, прямоугольный ли это треугольник, равнобедренный треугольник (треугольник с двумя равными сторонами), или равносторонний треугольник.

1. Как найти высоту прямоугольного треугольника

Прежде чем мы начнем, вот что вам нужно знать о прямоугольных треугольниках. Прямоугольный треугольник имеет три стороны: гипотенузу, высоту и основание треугольника. Основание и высота прямоугольного треугольника — это всегда стороны, прилегающие к прямому углу, а гипотенуза — самая длинная сторона.

Высоту прямоугольного треугольника можно определить по формуле площади:

Если заданная площадь неизвестна, вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту прямоугольного треугольника.Вот что утверждает теорема Пифагора, учитывая, что c — гипотенуза, а a и b — две другие стороны:

Давайте возьмем единицы с рисунка выше и подставим длину основания и гипотенузы, чтобы найти недостающую высоту:

2. Определение высоты неправильного треугольника

К сожалению, вы не можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту равнобедренного треугольника или высоту равностороннего треугольника (где все стороны треугольника равны).Вместо этого вам придется провести перпендикулярную линию через основание треугольника, чтобы образовался прямой угол:

Эта линия представляет высоту этих неправильных треугольников. После того, как вы сформировали эту линию, вам нужно будет использовать формулу Герона, чтобы найти площадь всего треугольника.

Формула Герона

Первый шаг формулы Герона — вычисление половины периметра треугольника. В этом случае s представляет половину периметра, а a, b, и c — стороны:

После того, как вы определили s , используйте следующую формулу для вычисления площади треугольника.Опять же, две стороны: a и b , а самая длинная сторона (гипотенуза) — c :

.

Давайте подставим длины сторон этого равнобедренного треугольника, чтобы найти площадь треугольника:

Теперь мы заменим s в формуле площади непрямого треугольника.

Использование площади для определения высоты треугольника

Теперь, когда вы знаете площадь изображенного выше треугольника, вы можете подставить его в формулу треугольника A = 1 / 2bh, чтобы найти высоту треугольника.В этом случае основание будет равно половине расстояния пяти (2,5), так как это самая короткая сторона треугольника.

Формулы высоты главного треугольника

Определение высоты треугольника — это многоэтапный процесс, который может сбивать с толку. Однако его освоение поможет вам изучить различные типы формул площади, такие как формула цапли и A = 1 / 2bh. Здесь также показано, как использовать теорему Пифагора и формулы периметра треугольника для определения других величин внутри треугольника.

Дополнительные домашние задания по математике

Равнобедренный треугольник — математический путь

Равнобедренный треугольник представляет собой многоугольник из трех сторон и двух равных сторон . Другая неравная сторона называется основанием треугольника.

Следовательно, два угла также будут равными (α), а другие — разными (β), т.е. это угол, образованный двумя равными сторонами ( a ).

Двумя частными случаями равнобедренных треугольников являются равносторонний треугольник и равнобедренный прямоугольный треугольник .

Высота равнобедренного треугольника

Высота ( h ) равнобедренного треугольника (или высота ) может быть вычислена по теореме Пифагора. Стороны a , b / 2 и h образуют прямоугольный треугольник. Стороны b / 2 и h представляют собой катеты, а a — гипотенузу.

По теореме Пифагора:

И получается, что высота h составляет:

В равнобедренном треугольнике высота , соответствующая основанию ( b ), также является биссектрисой угла, серединным перпендикуляром и серединой.

Площадь равнобедренного треугольника вычисляется из основания b (неповторяющаяся сторона) и высоты ( h ) треугольника, соответствующего основанию. Площадь — это произведение основания и высоты, разделенные на два, и формула имеет следующую формулу:

.

Периметр равнобедренного треугольника получается сложением трех сторон треугольника.Имея две равные стороны, периметр равен удвоенной повторяющейся стороне ( a ) плюс другая сторона ( b ).

Если повторяющаяся сторона ( a ) и угол двух равных сторон известны, другая сторона ( b ) должна быть найдена по закону косинусов .

Загрузите этот калькулятор , чтобы получить результаты формул на этой странице. Выберите исходные данные и введите их в верхнем левом поле. Для получения результатов нажмите ENTER.

Triangle-total.rar или Triangle-total.exe

Примечание. Предоставлено автором: Хосе Мария Пареха Маркано . Химик. Севилья, испания.

Решенные упражнения

Упражнение в области равнобедренного треугольника

Определите площадь равнобедренного треугольника , зная его две равные стороны ( a = 3 см) и неравную, длина которой составляет 2 см ( b = 2 см).

Какая у него площадь ?

Рассчитайте площадь по приведенной выше формуле, умножив основание на высоту:

Площадь равнобедренного треугольника равна 2.83 см 2 .

Упражнение по периметру равнобедренного треугольника

Это равнобедренный треугольник с двумя равными сторонами, a = 3 см, а другая сторона b = 2 см.

Каков его периметр ?

Чтобы вычислить этот периметр , мы добавляем повторяющуюся сторону, умноженную на два, плюс неравную сторону, то есть:

Получается, что периметр равнобедренного треугольника равен 8 см .

Упражнение на высоту равнобедренного треугольника

Найдите стороны и периметр равнобедренного треугольника, высота которого относительно неровной стороны составляет h = 6 см, а противоположный угол, также неровный, составляет 40 °.

Найдено с помощью тригонометрических соотношений из одного прямоугольного треугольника, на который делится равнобедренный треугольник высотой h .

Отрезок, противоположный углу β / 2, который является отрезком b /2, мы нашли его через касательную:

Сторона b меры 4.36 см.

Образуется гипотенуза прямоугольного треугольника, то есть сторона и находится по косинусу:

Сторона и имеет размер 6,38 см.

Наконец, периметр треугольника составит:

Получается, что периметр этого равнобедренного треугольника будет составлять 17,12 см.

Равнобедренный треугольник — определение математического слова

Равнобедренный треугольник — определение математического слова — Math Open Reference

Треугольник, две стороны которого равны.Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждую вершину, чтобы изменить форму треугольника.
Обратите внимание, что он всегда остается равнобедренным треугольником, стороны AB и AC всегда равны по длине.

Слово равнобедренное произносится как «глаз- sos -ell-easy» с ударением на «sos». Это любой треугольник с двумя сторонами одинаковой длины.

Если все три стороны имеют одинаковую длину, это называется
равносторонний треугольник.
Очевидно, что все равносторонние треугольники также обладают всеми свойствами равнобедренного треугольника.

Недвижимость

  • Неравную сторону равнобедренного треугольника обычно называют «основанием» треугольника.
  • Углы основания равнобедренного треугольника всегда равны.
    На рисунке выше углы ∠ABC и ∠ACB всегда одинаковы
  • Когда 3-й угол является прямым, он называется «равнобедренный прямоугольный треугольник».
  • Высота — это расстояние по перпендикуляру от основания до самой верхней вершины.

Построение равнобедренного треугольника

Можно построить равнобедренный треугольник заданных размеров, используя только циркуль и линейку.Посмотрите на эти три конструкции:

Решение равнобедренного треугольника

Основание, катет или высота равнобедренного треугольника можно найти, если вы знаете два других.
А
серединный перпендикуляр
базы образует
высота
треугольника, как показано справа.
Это образует два
совпадающие прямоугольные треугольники
это может быть решено с помощью
Теорема Пифагора
как показано ниже.

Нахождение базы

Чтобы найти базу с учетом шага и высоты, используйте формулу:

где:
L — длина отрезка
A — высота

Нахождение отрезка

Чтобы найти длину ноги с учетом базы и высоты, используйте формулу:

где:
B — длина основания
A — высота

Высота

Чтобы найти высоту по базе и ноге, используйте формулу:

где:
L — длина ножки
B — основание

Внутренние углы

Если вам дадут один
внутренний угол
равнобедренного треугольника можно найти два других.

Например, нам дан угол при вершине, как показано справа от 40 °.
Мы знаем, что внутренние углы всех треугольников составляют 180 °.
Таким образом, два базовых угла должны в сумме составлять 180-40 или 140 °. Поскольку два основных угла совпадают (одна и та же мера), каждый из них составляет 70 °.

Если нам дан базовый угол, скажем, 45 °, мы знаем, что базовые углы конгруэнтны (та же мера)
а внутренние углы любого треугольника всегда складываются в 180 °. Таким образом, угол при вершине должен составлять 180-45-45 или 90 °.

Другие треугольники

Общий

Периметр / Площадь

Типы треугольников

Центры треугольника

Конгруэнтность и сходство

Решение треугольников

Тесты и упражнения «Треугольник»

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.

Все права защищены.

Как использовать теорему Пифагора для равнобедренных треугольников

С помощью теоремы Пифагора можно найти любую неизвестную сторону прямоугольного треугольника, если длины двух других сторон известны.Теорема Пифагора может быть использована для решения любой стороны равнобедренного треугольника, даже если это не прямоугольный треугольник. У равнобедренных треугольников две стороны равной длины и два эквивалентных угла. Проведя прямую линию по центру равнобедренного треугольника, его можно разделить на два равных прямоугольных треугольника, а теорему Пифагора можно легко использовать для определения длины неизвестной стороны.

    Нарисуйте треугольник вертикально на листе бумаги так, чтобы нечетная сторона (та, которая по длине не равна двум другим) находилась у основания треугольника.Например, предположим, что равнобедренный треугольник с двумя сторонами равной, но неизвестной длины, длина одной стороны составляет 8 дюймов, а высота — 3 дюйма. На вашем рисунке сторона размером 8 дюймов должна быть у основания треугольника.

    Проведите прямую линию по середине треугольника от вершины до основания. Эта линия должна быть перпендикулярна основанию и разделять треугольник на два равных прямоугольных треугольника — в этом примере каждый имеет высоту 3 дюйма и основание 4 дюйма.

    Напишите значения длин известных сторон треугольника рядом с совпадающими сторонами.Эти значения могут быть получены из конкретной математической задачи или из измерений для определенного проекта. Напишите «3 дюйма». рядом с линией, проведенной на шаге 2, и «4 дюйма» по обе стороны от этой линии у основания треугольника.

    Определите, какая сторона имеет неизвестную длину, и используйте теорему Пифагора, чтобы найти ее с помощью калькулятора. Неизвестная сторона — это гипотенуза каждого из двух треугольников.

    Обозначьте гипотенузу «C» и любой из катетов треугольника «A», а другой — «B.2].

    Гипотенуза — это линия, соединяющая основание и высоту прямоугольного треугольника.

    Катеты прямоугольного треугольника — это две стороны, образующие прямой угол.

    Используйте половину исходной длины основания треугольника в качестве базового значения для прямоугольного треугольника, когда вы разделили треугольник на две равные половины.

Как найти высоту треугольника (правого, равностороннего, равнобедренного …)

Треугольники имеют три высоты, каждый связан с отдельным основанием.Независимо от того, имеется ли до трех разных высот, у одного треугольника всегда будет только одна мера площади. В некоторых треугольниках, таких как прямоугольные, равнобедренные и равносторонние треугольники, определить высоту легко одним из двух способов.

Как найти высоту треугольника

Каждый треугольник имеет три высоты или высоты, потому что у каждого треугольника три стороны. Высота треугольника — это длина перпендикулярного отрезка прямой, начинающегося на одной стороне и пересекающего противоположный угол.

В равностороннем треугольнике, таком как △ СОЛНЦЕ ниже, каждая высота — это отрезок прямой, разделяющий сторону пополам, а также биссектрису противоположного угла. Это произойдет только в равностороннем треугольнике.

По определению равностороннего треугольника вы уже знаете, что все три стороны равны, и все три угла равны 60 °. Если сторона помечена, вы знаете ее длину.

У нашего яркого маленького △ СОЛНЦА одна сторона обозначена 24 см, поэтому все три стороны равны 24 см.Каждый отрезок линии, показывающий высоту с каждой стороны, также делит равносторонний треугольник на два прямоугольных.

Формула высоты треугольника

Ваша способность разделить треугольник на прямоугольные или распознать существующий прямоугольный треугольник — это ваш ключ к определению высоты исходного треугольника. Вы можете взять любую сторону нашего великолепного △ СОЛНЦА и увидеть, что отрезок линии, показывающий его высоту, делит сторону пополам, так что каждая короткая ножка только что созданного прямоугольного треугольника составляет 12 см.Мы уже знаем, что гипотенуза равна 24 см.

Зная все три угла и две стороны прямоугольного треугольника, какова длина третьей стороны? Это работа для теоремы Пифагора :

Использование теоремы Пифагора

Ориентируйтесь на длину; углы не важны в теореме Пифагора. Подключите то, что вы знаете:

а2 + Ь2 = с2

122 + b2 = 242

144 + b2 = 576 см2

b2 = 432 см2

b2 = 432 см2

б = 20.7846096908 см

Большинство людей с радостью скажут, что высота (сторона b) составляет приблизительно 20,78, или b ≈ 20,78.

Вы можете решить для себя, сколько значащих цифр нужно вашему ответу, поскольку десятичная дробь будет продолжать повторяться. Не забудьте использовать для ответа линейные измерения!

Решение теоремы Пифагора работает с прямоугольными, равнобедренными и равносторонними треугольниками. На разносторонних треугольниках не получится!

Используя формулу площади, чтобы найти высоту

Формула для площади треугольника: : 12 основание × высота, или 12 bh.Если вы знаете площадь и длину основания, вы можете рассчитать высоту.

В отличие от метода теоремы Пифагора, если у вас есть две из трех частей, вы можете найти высоту для любого треугольника!

Здесь у нас есть scalene △ ZIG с базой в 56 ярдов и площадью 987 квадратных ярдов, но никаких подсказок об углах и двух других сторонах !:

Вспоминая формулу для площади, где A означает площадь, b — основание, а h — высота, мы вспоминаем

A = 12 bh

Это можно переставить с помощью алгебры:

А = bh3

ч = 2 (Ab)

Введите наши известные значения:

h = 2 (987 квадратных ярдов 56 ярдов)

ч = 2 (17.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.