Как найти сумму геометрической прогрессии формула: Геометрическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии + примеры

 

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Геометрическая прогрессия обозначается b1,b2,b3, …, bn, … .

Отношение любого члена геометрической погрешности к её предыдущему члену равно одному и тому же числу, то есть b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = … . Это следует непосредственно из определения арифметической прогрессии. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Обычно знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q.

Монотонная и постоянная последовательность

Одним из способов задания геометрической прогрессии является задание её первого члена b1 и знаменателя геометрической погрешности q. Например, b1=4, q=-2. Эти два условия задают геометрическую прогрессию 4, -8, 16, -32, … .8 -1))/(3-1) = 19 680.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Определение геометрической прогрессии: формула n-го члена прогрессии
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspСумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей


Тема 11.


Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.


Сегодня мы выведем 2 формулы для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии.


Давным-давно сказал один мудрец


Что прежде надо


Связать начало и конец


У численного ряда.


Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел:


1+2+3+…+98+99+100.


Задача очень непроста:


Как сделать, чтобы быстро


От единицы и до ста


Сложить в уме все числа?


Пять первых связок изучи,


Найдёшь к решению ключи.


С этой задачей связана история, которую рассказывают об известном немецком математике Карле Гауссе.


Когда учитель предложил ученикам сложить натуральные числа от 1 до 100, то маленький Карл моментально пришел с ответом. Вероятно, он заметил, что сумма первого и последнего слагаемого равна 101, сумма второго и предпоследнего слагаемого, тоже 101 и ничего странного в этом нет. Второе слагаемое на единицу больше первого, а предпоследнее на единицу меньше последнего, так что сумма должна быть такой же. То же будет происходить и с каждой новой парой чисел. Таких сумм 50, так как всего чисел 100 и все они разделены на пары. Значит, вся сумма равна числу 101 умноженному на 50. И Гаусс подсчитал, что сумма равна 5050.


1+2+3+4+…..+97+98+99+100


1+100=101


2+99=101


3+98=101


1+2+3+4+…+97+98+99+100=101∙50=5050


С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму n-первых членов арифметической прогрессии:


Обозначим сумму первых n-членов арифметической прогрессии Sn и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором в порядке убывания:


Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an (1)


Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (2)


Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом равна a1 + an, число таких пар равно n, поэтому сложив почленно равенства (1) и (2), получим:


2Sn=a1+an∙n


Разделим обе части этого равенства на 2 и получим формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии:


Sn=(a1+an)2∙n


Этой формулой удобно пользоваться, когда известны первый и последний члены арифметической прогрессии. Но можно вывести еще одну формулу, для этого вместо an подставим формулу n-го члена, которую мы узнали на прошлом занятии. Получим:


Sn=(a1+an)2∙n=a1+a1+dn-12∙n=2a1+dn-12∙n


Для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии, используя эту формулу, достаточно знать первый член и разность арифметической прогрессии.


Разберем несколько примеров:


Найдем сумму первых 10-ти членов арифметической прогрессии, первый член которой равен минус 23, а десятый член равен 4. Воспользуемся формулой:Sn=(a1+an)2∙n, получим


S10=(-23+4)2∙10=-192∙10=-19∙5=-95


Рассмотрим еще один пример:


Вычислим сумму первых двадцати двух членов арифметической прогрессии:


-15; -11; -7; -3; ….


Итак, a1=-15,d=4, значит, можно воспользоваться второй формулой: Sn=2a1+dn-12∙n, получим:


S22=2∙-15+4∙(22-1)2∙22=-30+842∙22=54∙11=594.


А теперь давай найдем сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен 10 и разность равна 3.


Как найти сумму с 15-го по 30-й член включительно, давай подумаем: S30=a1+a2+…+a14+a15+…+a30, если мы найдем сумму тридцати членов и вычтем из нее сумму первых 14-ти членов, то мы получим необходимую сумму с 15-го по 30-й члены.


Итак, S30=2∙10+3∙292∙30=1072∙30=107∙15=1605


S14=2∙10+3∙132∙14=592∙14=59∙7=413


S15-30=S30-S14=1605-413=1192


Ответ: 1192.


Эту же сумму мы могли найти и другим, способом, если бы ввели новую арифметическую последовательность, первый член которой был бы равен пятнадцатому члену нашей прогрессии.


А теперь давай решим уравнение:


x+1+x+5+x+9+…+x+69=684


Можно, конечно, расписать все слагаемые, привести подобные и решить это линейное уравнение, но это займет очень много времени. А если внимательно посмотреть на это уравнение, то можно заметить, что каждое следующее слагаемое отличается от предыдущего на 4. То, есть последовательность:


x + 1; x + 5; x + 9; … ; x + 69 является арифметической, сумма членов которой равна 684.


Итак, имеем: a1=x+1,a2=x+5,an=x+69, Sn=684.


Найдем разность арифметической прогрессии:


d=a2-a1=x+5-x+1=4


Найдем номер последнего члена, для этого воспользуемся формулой n-го члена: an = a1 + d(n — 1)


x + 69 = x + 1 + 4(n — 1)


x + 69 = x + 1 + 4n — 4


4n = 72, n = 18


Подставим все данные в формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии, получим:


684=x+1+x+52∙18


684 = (2x + 70) ∙ 9, отсюда 2x + 70 = 76    2x=6,    x=3


Ответ:3

Геометрическая прогрессия и сумма ее членов 🐲 СПАДИЛО.РУ

Определение

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Другими словами, последовательность (bn) – геометрическая последовательность, если для натурального n выполняются условия:

bn+1= bn×q,

где q некоторое число, которое называется знаменатель прогрессии, и bn≠0

Примером такой последовательности может быть ряд чисел 2; 10; 50; 250;…., откуда видно, что каждое последующее больше предыдущего в пять раз, значит, каждый член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число 5. Или, например, ряд чисел 20; -2; 0,2; -0,02……, где видно, что каждое последующее умножали на одно и то же число (-0,1).

Так как по определению геометрической прогрессии мы имеем одно и то же число, то это и есть число q. Оно называется «знаменатель» геометрической прогрессии. Он находится путем деления соседних членов – последующего на предыдущий, то есть q=bn+1bn… Знаменатель не может быть равным нулю!

Для того чтобы задать геометрическую прогрессию, надо знать ее первый член и знаменатель. Например, если b1=4, q=3, то получим прогрессию: 4; 12; 36; ….и так далее. Ну, а зная первый член и знаменатель, можно найти любой член геометрической прогрессии: b2=b1q; b3=(b1q)q=b1q2; b4==((b1q)q)q=b1q3. Так можно продолжать и дальше, но из этих записей видно, что можно найти n-ый член геометрической последовательности, если умножить первый член на знаменатель, степень которого на 1 меньше порядкового номера искомого члена, то есть bn=b1 qn−1 . Мы получили формулу n-ого члена геометрической прогрессии.

Формула n-ого члена геометрической прогрессии

bn=b1 ×qn−1

Рассмотри на примерах применение формулы bn=b1 qn−1 для указанного члена геометрической прогрессии.

Пример №1. Найти четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что b1=6, q=3. Составляем формулу для b4:

b4=b1 q4−1=b1 q3

Подставляем в формулу значения, указанные в задании и вычисляем результат: b4=6×33=162.

Найти шестой член геометрической прогрессии 2; -6;……. Здесь для нахождения b6 надо знать знаменатель q. Для его нахождения надо -6 разделить на 2, получим -3, то есть q=-3. Теперь составляем формулу для b6, подставляем значения и вычисляем ответ:

b6=b1 q6−1=b1 q5=2×(−3)5=−486

Свойство геометрической прогрессии

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов. Формула:

b2n=bn−1×bn+1

Верным является и утверждение, обратное данному: если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность чисел является геометрической прогрессией.

Другими словами, с помощью данной формулы можно найти неизвестный член геометрической прогрессии, соседние члены которого известны. Рассмотрим применение данного свойства на примерах.

Пример №2. Найти b5, если задана геометрическая прогрессия, в которой b4=32, b6=128. Составляем формулу, подставляем в нее значения и вычисляем:

b25=b5−1×b5+1=b4 ×b6 =32×128=4096

Этим действием мы нашли квадрат пятого члена геометрической прогрессии, поэтому извлекаем квадратный корень из числа 4096 для нахождения значения b5: b5=√4096=64

Найти у, если дана геометрическая прогрессия …..24; у; 96. Видим, что у находится между соседними известными числами 24 и 96. Поэтому, следуя свойству, умножаем данные числа и извлекаем квадратный корень из полученного числа: у=√24×96=√2304=48.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Формула суммы членов геометрической прогрессии с известными членами

Sn=bnq−b1q−1.. , где q≠1

Для нахождения суммы по данной формуле нужно знать первый и последний член геометрической прогрессии, а также ее знаменатель.

Также есть вторая формула, по которой можно находить сумму нескольких первых членов прогрессии, зная только первый ее член и знаменатель:
Формула суммы членов геометрической прогрессии с известным первым членом и знаменателем

Sn=b1(qn−1)q−1.., где q≠1

Рассмотрим применение данных формул на примере, решив его двумя способами.

Пример №3. Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если известно, что b1=2; b5=162; q=-3.

Способ №1 (первая формула). Составим формулу для нахождения S5:

S5=b5q−b1q−1..

Подставим значения b1=2; b5=162 и найдем результат:

S5=162(−3)−2−3−1..=−486−2−4..=−488−4..=122

Способ №2 (вторая формула).

 Sn=b1(qn−1)q−1.

Для решения нам нужен первый член и знаменатель: b1=2; q=-3. Составим формулу:

S5=b1(q5−1)q−1.

Подставим в формулу данные значения и вычислим сумму:

S5=2((−3)5−1)−3−1..=2(−243−1)−4..=−488−4..=122

Таким образом, мы увидели, что у нас получился один и тот же результат 122 в обоих способах решения. Выбор формулы зависит от данных в условии задачи.

Урок 38. формула суммы первых n членов геометрической прогрессии — Алгебра — 9 класс

Напомним, что геометрической прогрессией называется последовательность ненулевых чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Из определения следует, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.
Зная первый член и знаменатель, можно найти любой член геометрической прогрессии по его номеру. Это позволяет сделать формула n-го члена.
Мы выяснили, что последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого её члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов. Это свойство геометрической прогрессии называется её характеристическим свойством.
Более того, квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная с некоторого, равен не только произведению своих непосредственных соседей, но и произведению членов прогрессии, находящихся от него на одинаковом расстоянии.
Например, квадрат 10-го члена геометрической прогрессии равен произведению 9-го и 11-го членов, а также 8-го и 12-го, 7-го и 13-го, … 1-го и 19-го.
Обозначим сумму первых n членов геометрической прогрессии как эс энное и запишем эту сумму.
Умножим полученное равенство на знаменатель прогрессии q.
Учитывая, что a1q = a2, a2q = a3, a3q = a4an-1q = an, получаем равенство 2.
Вычитаем из равенства 2 равенство 1.
При q, не равном единице, делим обе части равенства на q минус 1 и получаем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Вернёмся к задаче, которую мы решали в начале урока. Найдём количество зёрен, которые попросил в награду у принца создатель шахмат: на первую клетку шахматной доски он просил положить одно зерно, на каждую следующую в два раза больше зёрен, чем на предыдущую.
Заметим, что эти числа образуют геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 2. В этой прогрессии 64 члена – по количеству клеток на шахматной доске. На последнюю клетку нужно было положить 2 в 63-й степени зёрен.
А общее количество зёрен равно сумме первых 64-х членов данной геометрической прогрессии.
Вычислим приближённо массу всего зерна. Заметим, что 2 в десятой степени равно 1024, округлим до 1000. Тогда в награду изобретателю нужно дать 16, умноженное на 10 в 18-й степени зёрен.
Масса одного пшеничного зерна составляет примерно 0,06 грамма.
Масса всех зёрен должна составить примерно 10 в 12-й степени тонн, то есть триллион тонн. Однако, такого количества пшеницы не собрало человечество за все годы своего существования.
По полученной формуле можно находить сумму n первых членов геометрической прогрессии, если известны её первый и n-й члены, знаменатель и количество членов. Но далеко не всегда нам известен n-й член. И не обязательно его находить.
Воспользуемся формулой n – го члена геометрической прогрессии и выведем ещё одну формулу суммы первых n членов – через первый член и знаменатель геометрической прогрессии.
Найдём сумму первых семи членов геометрической прогрессии с первым членом 4400 и знаменателем –0,1.
Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 364, её знаменатель равен 3. Найдём первый член.
Запишем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, подставим в неё известные величины, решим полученное уравнение.
Первый член геометрической прогрессии равен 1.

Геометрическая прогрессия на примерах

Геометрическая прогрессия не менее важная в математике по сравнению с арифметической. Геометрической прогрессией называют такую последовательность чисел b1, b2,…, b[n] каждый следующий член которой, получается умножением предыдущего на постоянное число. Это число, которое также характеризует скорость роста или убывания прогрессии называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают

Для полного задания геометрической прогрессии кроме знаменателя необходимо знать или определить первый ее член. Для положительного значения знаменателя прогрессия является монотонной последовательностью, причем если это последовательность чисел является монотонно убывающей и при монотонно возрастающей. Случай, когда знаменатель равен единице на практике не рассматривается, поскольку имеем последовательность одинаковых чисел, а их суммирование не вызывает практического интереса

Общий член геометрической прогрессии вычисляют по формуле

Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяют по формуле

Рассмотрим решения классических задач на геометрическую прогрессию. Начнем для понимания с простейших.

 

Пример 1. Первый член геометрической прогрессии равен 27, а ее знаменатель равен 1/3. Найти шесть первых членов геометрической прогрессии.

Решение: Запишем условие задачи в виде

Для вычислений используем формулу n-го члена геометрической прогрессии

На ее основе находим неизвестные члены прогрессии

Как можно убедиться, вычисления членов геометрической прогрессии несложные. Сама прогрессия будет выглядеть следующим образом

 

Пример 2. Даны три первых члена геометрической прогрессии : 6; -12; 24. Найти знаменатель и седьмой ее член.

Решение: Вычисляем знаменатель геомитрической прогрессии исходя из его определения

Получили знакопеременную геометрическую прогрессию знаменатель которой равен -2. Седьмой член вычисляем по формуле

На этом задача решена.

 

Пример 3. Геометрическая прогрессия задана двумя ее членами . Найти десятый член прогрессии.

Решение:

Запишем заданные значения через формулы

По правилам нужно было бы найти знаменатель, а затем искать нужное значение, но для десятого члена имеем

Такую же формулу можно получить на основе нехитрых манипуляций с входными данными. Разделим шестой член ряда на другой, в результате получим

Если полученное значение умножить на шестой член, получим десятый

Таким образом, для подобных задач с помощью несложных преобразований в быстрый способ можно отыскать правильное решение.

 

Пример 4. Геометрическая прогрессия задано рекуррентными формулами

Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых шести членов.

Решение:

Запишем заданные данные в виде системы уравнений

Выразим знаменатель разделив второе уравнение на первое

Найдем первый член прогрессии из первого уравнения

Вычислим следующие пять членов для нахождения суммы геометрической прогрессии

Поскольку найти сумму в данном случае не составляет большого труда, то обходя простые выкладки сводим все слагаемые под общий знаменатель

В общем случае, при нахождении суммы знакопеременных рядов следует выделять их положительную часть и отрицательную и найти отдельно их суммы по приведенным выше формулам. Наконец найденные значения добавить.

Примеры на геометрическую прогрессию не так сложны если знать несколько базовых формул. Все остальное сводится к простым математическим манипуляциям. Практикуйте с примерами самостоятельно и подобные задания будут для Вас несложными.

Похожие материалы:

bn геометрическая прогрессия

Вы искали bn геометрическая прогрессия? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и q в геометрической прогрессии формула q, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «bn геометрическая прогрессия».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как bn геометрическая прогрессия,q в геометрической прогрессии формула q,q как найти,геометрическая прогрессия,геометрическая прогрессия bn,геометрическая прогрессия q как найти,геометрическая прогрессия задана,геометрическая прогрессия задачи,геометрическая прогрессия как решать,геометрическая прогрессия найдите,геометрическая сумма,геометрические прогрессии как решать,геометрической прогрессии,геометрической прогрессии график,график геометрической прогрессии,дана геометрическая прогрессия,как в геометрической прогрессии найти q,как найти q в геометрической прогрессии,как найти в геометрической прогрессии q,как найти геометрическая прогрессия,как найти геометрическую прогрессию,как найти первый член геометрической прогрессии,как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии,как найти сумму бесконечной геометрической прогрессии,как найти сумму первых 5 чисел геометрической прогрессии,как найти член геометрической прогрессии,как решается геометрическая прогрессия,как решать геометрические прогрессии,как решать геометрическую прогрессию,как решить геометрическую прогрессию,как решить прогрессию геометрическую,найдите знаменатель геометрической прогрессии,найти знаменатель бесконечной геометрической прогрессии,найти знаменатель геометрической прогрессии,найти сумму геометрической прогрессии,найти сумму первых 5 чисел геометрической прогрессии,последовательность геометрическая,расчет прогрессии геометрической прогрессии,решение геометрической прогрессии,сумма n первых чисел геометрической прогрессии,сумма n первых членов геометрической прогрессии,сумма n членов геометрической прогрессии,сумма геометр прогрессии,сумма геометрической последовательности,сумма н первых чисел геометрической прогрессии,сумма н членов геометрической прогрессии,сумма первых n чисел геометрической прогрессии,сумма первых n членов геометрической прогрессии,сумма первых н чисел геометрической прогрессии,сумма первых членов геометрической прогрессии,сумма членов геом прогрессии,сумма членов геометрической прогрессии,формула n го числа геометрической прогрессии,формула н го члена геометрической прогрессии,член геометрической прогрессии,члены геометрической прогрессии. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и bn геометрическая прогрессия. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, q как найти).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же bn геометрическая прогрессия Онлайн?

Решить задачу bn геометрическая прогрессия вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

формула, как найти q, сумма первых n чисел

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия являет собой последовательность чисел. Когда каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число \(Xn\), то говорят, что представлена числовая последовательность. Она имеет вид: \(X_1, X_2\)

,…,\(X_n\), или \({[X_n]}\). Для задания последовательности необходимо знать закон, по которому каждому натуральному числу n соответственно поставлено общее число последовательности \(f(n)=X_n.\)

Геометрическая прогрессия — последовательность с заданным первым членом \(b_1\), в которой каждый следующий, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\).

Числа \( b_1\) и q не могут равняться нулю, поскольку в таком случае все члены прогрессии, начиная со второго, будут равны нулю.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Геометрическую прогрессию определяют как произведение между ее знаменателем и n-м членом:

\(b_n=b_{n-1}\cdot q,\)

Где \(b_n\) — \(n-й\) член прогрессии, \(q\) — знаменатель прогрессии.2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}.\)

Если \(b_1 > 0\) и \(q > 1\) или \(b_1 < 0\) и \(0 < q < 1\), то для геометрической последовательности характерно возрастание.

Если \(b_1 > 0\) и 0 < \(q < 1\) или \(b_1 < 0\) и \(q > 1\), то для нее характерно убывание.

Примеры геометрических прогрессий в жизни:

  1. Размножение бактерий крайне велико и осуществляется по геометрической прогрессии: каждая клетка делится на две, новые — делятся еще на две и т.д. Знание принципов размножения бактерий находит свое применение в биотехнологии, пищевой промышленности, медицине и т.д.
  2. Зная формулу суммы геометрической прогрессии, можно находить площади и объемы геометрических фигур. Еще Архимед заметил связь между прогрессиями и вывел формулу для нахождения площади сегмента параболы через сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
  3. Возрастание скорости химических реакций происходит в геометрической прогрессии при увеличении температуры по арифметической прогрессии.2}\Rightarrow1+q=3\Rightarrow q=2.\)

    Ответ: \(q=2. \)

    Геометрическая серия

    А

    геометрическая серия

    это

    ряд

    чьи родственные

    последовательность

    геометрический. Это результат добавления

    условия

    из

    геометрическая последовательность

    .


    Пример 1:

    Конечная геометрическая последовательность:

    1

    2

    ,

    1

    4

    ,

    1

    8

    ,

    1

    16

    ,

    ,

    1

    32768

    Связанные конечные геометрические ряды:

    1

    2

    +

    1

    4

    +

    1

    8

    +

    1

    16

    +

    +

    1

    32768

    Написано в сигма-нотации:

    k

    знак равно

    1

    15

    1

    2

    k


    Пример 2:

    Бесконечная геометрическая последовательность:

    2

    ,

    6

    ,

    18

    ,

    54

    ,

    Связанные бесконечные геометрические серии:

    2

    +

    6

    +

    18

    +

    54

    +

    Написано в сигма-нотации:

    п

    знак равно

    1

    (

    2

    3

    п

    1

    )

    Конечный геометрический ряд

    Чтобы найти сумму конечного геометрического ряда, используйте формулу

    S

    п

    знак равно

    а

    1

    (

    1

    р

    п

    )

    1

    р

    ,

    р

    1

    ,

    где

    п

    это количество терминов,

    а

    1

    это первый член и

    р

    это

    обычное отношение

    .


    Пример 3:

    Найдите сумму первых

    8

    члены геометрического ряда, если

    а

    1

    знак равно

    1

    и

    р

    знак равно

    2

    .

    S

    8

    знак равно

    1

    (

    1

    2

    8

    )

    1

    2

    знак равно

    255


    Пример 4:

    Найти

    S

    10

    , десятая частичная сумма бесконечного геометрического ряда

    24

    +

    12

    +

    6

    +

    .

    Сначала найдите

    р

    .

    р

    знак равно

    а

    2

    а

    1

    знак равно

    12

    24

    знак равно

    1

    2

    Теперь найдите сумму:

    S

    10

    знак равно

    24

    (

    1

    (

    1

    2

    )

    10

    )

    1

    1

    2

    знак равно

    3069

    64


    Пример 5:

    Оценивать.

    п

    знак равно

    1

    10

    3

    (

    2

    )

    п

    1

    (Вы находите

    S

    10

    для сериала

    3

    6

    +

    12

    24

    +

    , обыкновенное отношение которого

    2

    .)

    S

    п

    знак равно

    а

    1

    (

    1

    р

    п

    )

    1

    р

    S

    10

    знак равно

    3

    [

    1

    (

    2

    )

    10

    ]

    1

    (

    2

    )

    знак равно

    3

    (

    1

    1024

    )

    3

    знак равно

    1023

    Бесконечная геометрическая серия

    Чтобы найти сумму бесконечного геометрического ряда, имеющего отношения с

    абсолютная величина

    меньше единицы, используйте формулу,

    S

    знак равно

    а

    1

    1

    р

    ,

    где

    а

    1

    это первый член и

    р

    это обычное отношение.


    Пример 6:

    Найдите сумму бесконечного геометрического ряда

    27

    +

    18

    +

    12

    +

    8

    +

    .

    Первая находка

    р

    :

    р

    знак равно

    а

    2

    а

    1

    знак равно

    18

    27

    знак равно

    2

    3

    Затем найдите сумму:

    S

    знак равно

    а

    1

    1

    р

    S

    знак равно

    27

    1

    2

    3

    знак равно

    81 год


    Пример 7:

    Найдите сумму бесконечного геометрического ряда

    8

    +

    12

    +

    18

    +

    27

    +

    если он существует.

    Первая находка

    р

    :

    р

    знак равно

    а

    2

    а

    1

    знак равно

    12

    8

    знак равно

    3

    2

    С

    р

    знак равно

    3

    2

    не меньше единицы, ряды не сходятся.То есть в нем нет суммы.

    Сумма первых n членов геометрической последовательности

    Если последовательность геометрическая, есть способы найти сумму первых n элементов.
    термины, обозначенные Sn, без фактического добавления всех терминов.

    Чтобы найти сумму первых Sn
    термины геометрической последовательности используют формулу
    Sn = a1 (1 − rn) 1 − r, r ≠ 1,
    где n
    — количество слагаемых, a1
    — первый член, а r
    это обычное отношение.

    Сумма первых n
    термины геометрической последовательности называется геометрической серией.

    Пример 1:

    Найдите сумму первых 8 членов геометрического ряда, если a1 = 1
    и r = 2.

    S8 = 1 (1-28) 1-2 = 255

    Пример 2:

    Найдите S10
    геометрической последовательности 24,12,6, ⋯.

    Сначала найдите r.

    r = r2r1 = 1224 = 12

    Теперь найдите сумму:

    S10 = 24 (1− (12) 10) 1−12 = 306964

    Пример 3:

    Вычислить.

    ∑n = 1103 (−2) n − 1

    (Вы находите S10
    для ряда 3−6 + 12−24 + ⋯, значащий коэффициент которого равен −2.)

    Sn = a1 (1 − rn) 1 − rS10 = 3 [1 — (- 2) 10] 1 — (- 2) = 3 (1−1024) 3 = −1023

    Для того, чтобы бесконечный геометрический ряд имел сумму, должно быть стандартное отношение r
    должно быть между -1
    и 1. Тогда при n
    увеличивается, рН
    становится все ближе и ближе к 0. Чтобы найти сумму бесконечного геометрического ряда, имеющего отношения с абсолютным значением меньше единицы, используйте формулу S = a11 − r, где a1
    — первый член, а r
    это обычное отношение.

    Пример 4:

    Найдите сумму бесконечной геометрической последовательности
    27,18,12,8, ⋯.

    Сначала найдите r:

    r = a2a1 = 1827 = 23

    Затем найдите сумму:

    S = a11 − r

    S = 271−23 = 81

    Пример 5:

    Найдите сумму бесконечной геометрической последовательности
    8,12,18,27, ⋯
    если он существует.

    Сначала найдите r:

    r = a2a1 = 128 = 32

    Так как r = 32

    не меньше единицы. Серия не имеет суммы.

    Существует формула для вычисления члена n th геометрического ряда, то есть суммы первых n
    члены геометрической последовательности.

    См. Также: сигма-обозначение ряда
    и сумма первых n
    члены арифметической последовательности

    Сумма ГП | Геометрическая прогрессия | Решенные примеры

    В этом мини-уроке мы нацелены на определение суммы GP. Давайте научимся находить сумму n членов GP, сумму бесконечных GP, сумму формулы GP, сумму членов в GP, сумму конечных GP, сумму бесконечных членов в GP, сумму геометрических прогрессия

    Клара определенным образом экономит несколько долларов каждую неделю.На первой неделе она вносит 2 доллара. На 2 неделе — 4 доллара, на 3 неделе — 8 долларов, на 4 неделе — 16 долларов и т. Д. Сколько у нее останется в копилке по истечении 6 недель?

    Ряд чисел, полученный путем умножения или деления каждого предыдущего члена, такой, что существует общее отношение между членами (которое не равно 0), представляет собой геометрическую прогрессию, а сумма всех этих членов образуется так, что является суммой геометрическая прогрессия.

    Здесь сумма, накапливаемая каждую неделю, имеет постоянный коэффициент, равный 2 долларам, а начальное значение — 2 доллара.

    Каждую неделю вносится сумма: 2, 4, 8, 16, 32, 64 доллара.

    Итак, через 6 недель у нее будет 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 126 долларов, накопленные в ее копилке.

    Мы можем найти то же самое, используя формулу суммы GP «n» членов. Научимся его рассчитывать сейчас.

    План урока

    Что такое сумма геометрической прогрессии?

    Давайте обсудим, как суммировать произвольный GP. Рассмотрим сумму первых n членов GP с первым членом \ (a \) и общим отношением \ (r \).n)} {1 — r}, r \ neq 1 \)

    Если \ (r = 1 \),

    Учитывая указанную выше проблему копилки, сумма ЗП находится следующим образом.

    Сумма GP

    Обратите внимание на то, что мяч падает с высоты на приведенной ниже анимации.

    Отрегулируйте его высоту (a) и время (r) с помощью ползунков, показанных вверху.

    Мяч теряет свою энергию, и последовательность максимальных высот приблизительно геометрическая.6)} {1- \ dfrac {1} {3}} \\\\ & = \ dfrac {1} {2} \ dfrac {(1- \ dfrac {1} {729})} {(\ dfrac { 2} {3})} \\\\ & = \ dfrac {182} {243} \\\\ & = 0,76 \ end {align} \]


    Как рассчитать сумму n условий терапевта?

    Сумма конечных GP

    Определите геометрическую прогрессию и определите общее отношение «r» и первый член «a».

    Найдите количество элементов «n», для которых должна быть вычислена сумма. n-1)} {r — 1} \) и вычисляем сумму всех членов GP.

    Сумма бесконечных GP

    Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, у нас есть первый член и постоянное соотношение между членами. Мы бы не узнали последний срок. Тогда \ (s_n = \ dfrac {a_1} {1-r} \)

    • Если \ (\ mid r \ mid <1 \) , то ряд сходится и у ряда есть сумма.

    Например, Квадрат строится путем соединения середин сторон исходного квадрата.2 \ end {align} \]

    \ (s_n = \ dfrac {a_1} {1-r} \)

    Калькулятор суммы бесконечных GP

    Найдите симуляцию ниже. Введите первый член и общее отношение и проверьте, как сумма бесконечного GP сходится к меньшему значению.

    • Если \ (\ mid r \ mid> 1 \) , то ряд не сходится и у него нет суммы. Это расходится.

    Например: Рассмотрим бесконечную серию суммы, обратной простым числам,

    \ [- \ dfrac {5} {10} + \ dfrac {15} {10} — \ dfrac {45} {10} + \ dfrac {135} {10} +.п -1)} {г -1} \).

  4. Для \ (r = 1 \) сумма GP \ (= na \).
  5. Сумма бесконечных GP равна \ (S_ \ infty = \ dfrac {a} {1-r} \)
  6. Решенные примеры

    В GP сумма первых трех членов равна 16, а сумма следующих трех членов равна 128. Найдите сумму первых n членов GP.

    Решение

    Пусть a и r будет первым членом и общим отношением GP.п-1)} {7} \)

    Сара поделилась сообщением с 5 уникальными людьми в час ночи. В 2 часа ночи каждая из ее подруг поделилась им с 5 уникальными людьми. Затем в 15:00 каждый из их друзей поделился с 5 уникальными людьми. Сколько уникальных людей получили бы сообщение в этой последовательности к 8 часам утра?

    Решение

    Очевидно, мы находим, что это геометрическая прогрессия, поскольку первый член равен 5

    Общий коэффициент \ (= \ dfrac {25} {5} = \ dfrac {125} {25} = 5 \)

    \ [\ begin {align} S_8 & = \ dfrac {5 (5 ^ 8-1)} {5-1} \\\\ & = \ dfrac {5 (3

    )} {4} \\\\ & = 5 \ times 97656 \\\\ & = 488,280 \ text {people} \ end {align} \]

    \ (\ следовательно \) 488 820 человек получили бы сообщение к 8 утра.

    Расстояние, пройденное мячом, сброшенным с высоты (в дюймах): \ (\ dfrac {128} {9}, \ dfrac {32} {3} \), 8, 6 … Какое может быть пройденное расстояние? мячом перед отдыхом?

    Решение

    Расстояние, пройденное мячом \ (= \ dfrac {128} {9}, \ dfrac {32} {3}, 8, 6 … \)

    Здесь начальный член \ (a = \ dfrac {128} {9} \) и обычное отношение:

    \ [\ begin {align} r & = \ dfrac {(\ dfrac {32} {3})} {(\ dfrac {128} {9})} \\\\ & = \ dfrac {32} {3} \ times \ dfrac {9} {128} \\\\ & = \ dfrac {3} {4} \ end {align} \]

    Общее расстояние, пройденное мячом, будет суммой этого бесконечного GP.

    Сумма бесконечных GP: \ [\ begin {align} & = \ dfrac {a} {1-r} \\\\ & = \ dfrac {\ dfrac {128} {9}} {1 — \ dfrac {3} {4}} \\\\ & = \ dfrac {128} {9} \ times 4 \\\\ & = \ dfrac {512} {9} \ text {in} \\\\ & = 56,88 \ text {in} \ end {align} \]

    \ (\ следовательно \) Общее расстояние = 56,88 дюйма
    • Если сумма трех действительных чисел в GP равна 26, а сумма их квадратов равна 364, найдите наибольшее число.
    • Найдите сумму бесконечного GP 0.3+ 0,33+ 0,333 + …. [подсказка: \ (0,3 = \ dfrac {3} {10} \)]

    Интерактивные вопросы

    Вот несколько занятий для вас. Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.


    Подведем итоги

    Мини-урок был посвящен увлекательной концепции суммы GP.Математическое путешествие вокруг суммы GP началось с того, что студент уже знал, и продолжилось творчески, создавая новую концепцию в молодых умах. Сделано таким образом, чтобы оно не только было понятным и понятным, но и навсегда осталось с ними.

    О компании Cuemath

    В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

    Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-обучение-обучение» учителя исследуют тему со всех сторон.

    Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению.


    Часто задаваемые вопросы (FAQ)

    1. Что такое полная форма терапевта?

    Полная форма GP — это геометрическая прогрессия.

    2. Что такое GP по математике?

    Последовательность в математике, полученная с постоянным соотношением последовательных членов, называется геометрической прогрессией.{n-1} \]

    геометрических последовательностей и серий | Безграничная алгебра

    Геометрические последовательности

    Геометрическая последовательность — это упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на константу, называемую [латекс] r [/ латекс], обычное отношение.

    Цели обучения

    Вычислить [латекс] n [/ латекс] -й член геометрической последовательности с учетом начального значения [латекс] a [/ латекс] и общего отношения [латекс] r [/ латекс]

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Общая форма геометрической последовательности: [латекс] a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3, ar ^ 4, \ cdots [/ latex]
    • [латекс] n [/ латекс] -й член геометрической последовательности с начальным значением [латекс] n [/ латекс] и общим соотношением [латекс] r [/ латекс] задается следующим образом: [латекс] {a} _ { n} = a {r} ^ {n-1} [/ латекс].
    Ключевые термины
    • геометрическая последовательность : упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое общим отношением. Также известна как геометрическая прогрессия.

    Определение геометрических последовательностей

    Геометрическая прогрессия, также известная как геометрическая последовательность, представляет собой упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое обычным соотношением [латекс] r [/ латекс ].{n-1} [/ латекс]

    Такая геометрическая последовательность также следует рекурсивному соотношению:

    [латекс] a_n = ra_ {n-1} [/ латекс]

    для каждого целого числа [латекс] n \ ge 1. [/ Latex]

    Поведение геометрических последовательностей

    Обычно, чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической, просто проверяют, все ли последовательные записи в последовательности имеют одинаковое соотношение. Обычное отношение геометрического ряда может быть отрицательным, что приведет к чередованию последовательности. В чередующейся последовательности будут числа, которые переключаются между положительными и отрицательными знаками.Например: [латекс] 1, -3,9, -27,81, -243, \ cdots [/ latex] — геометрическая последовательность с общим соотношением [латекс] -3 [/ латекс].

    Поведение геометрической последовательности зависит от значения общего отношения. Если общее отношение:

    • Положительно, все условия будут того же знака, что и первоначальный термин
    • Отрицательное, условия будут чередоваться между положительным и отрицательным
    • Больше, чем [latex] 1 [/ latex], будет экспоненциальный рост в сторону положительной бесконечности ([latex] + \ infty [/ latex])
    • [latex] 1 [/ latex], последовательность будет постоянной
    • Между [латексом] -1 [/ латексом] и [латексом] 1 [/ латексом], но не между [латексом] 0 [/ латексом] будет экспоненциальный спад в сторону [латекса] 0 [/ латекса]
    • [latex] -1 [/ latex], прогрессия — чередующаяся последовательность (см. Чередующиеся серии)
    • Меньше [latex] -1 [/ latex], для абсолютных значений наблюдается экспоненциальный рост в сторону положительной и отрицательной бесконечности (из-за чередования знака)

    Геометрические последовательности (с общим соотношением, не равным [латекс] -1 [/ латекс], [латекс] 1 [/ латекс] или [латекс] 0 [/ латекс]) показывают экспоненциальный рост или экспоненциальное затухание, в отличие от линейный рост (или снижение) арифметической прогрессии, такой как [латекс] 4, 15, 26, 37, 48, \ cdots [/ латекс] (с общим отличием [латекс] 11 [/ латекс]).Этот результат был получен T.R. Мальтуса в качестве математической основы его принципа народонаселения. Обратите внимание, что два вида прогрессии связаны между собой: возведение в степень каждого члена арифметической прогрессии дает геометрическую прогрессию, а логарифм каждого члена в геометрической прогрессии с положительным общим отношением дает арифметическую прогрессию.

    Интересным результатом определения геометрической прогрессии является то, что для любого значения общего отношения любые три последовательных термина [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс] удовлетворяет следующему уравнению:

    [латекс] {b} ^ {2} = ac [/ латекс]

    Суммирование первых n членов геометрической последовательности

    Используя обычное отношение и первый член геометрической последовательности, мы можем суммировать его члены.{n}} {1-r}} [/ латекс].

    Ключевые термины
    • геометрическая серия : Бесконечная последовательность добавляемых чисел, члены которой находятся путем умножения предыдущего члена на фиксированное ненулевое число, называемое обычным отношением.
    • геометрическая прогрессия : серия чисел, в которой каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое общим отношением.

    Геометрические ряды представляют собой примеры бесконечных рядов с конечными суммами, хотя не все из них обладают этим свойством.Исторически геометрические ряды играли важную роль в раннем развитии исчисления, и они по-прежнему занимают центральное место в изучении сходимости рядов. Геометрические ряды используются в математике и имеют важные приложения в физике, инженерии, биологии, экономике, информатике, теории очередей и финансах.

    Члены геометрического ряда образуют геометрическую прогрессию, что означает, что соотношение следующих друг за другом членов в ряду постоянно. {n}}}} [/ латекс]

    является геометрическим, потому что каждый последующий член может быть получен умножением предыдущего члена на [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {2}} [/ latex].{n}}} [/ латекс]

    Эту концепцию можно визуализировать с помощью диаграммы:

    Бесконечная геометрическая серия: Каждый из фиолетовых квадратов получается путем умножения площади следующего большего квадрата на [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {4}} [/ latex]. Площадь первого квадрата составляет [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4}} [/ latex], а площадь второй квадрат — [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {4} \ cdot \ frac {1} {4} = \ frac {1} {16}} [/ latex].

    Ниже приведены несколько геометрических рядов с разными общими отношениями.Поведение терминов зависит от общего соотношения [латекс] г [/ латекс]:

    • [латекс] 4 + 40 + 400 + 4000 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] 10 [/ латекс]
    • [латекс] \ displaystyle {9 + 3 + 1 + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {9} + \ dots} [/ latex] имеет общее соотношение [латекс] {\ frac {1 } {3}} [/ латекс]
    • [латекс] 3 + 3 + 3 + 3 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] 1 [/ латекс]
    • [латекс] \ displaystyle {1- \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} — \ frac {1} {8} + \ dots} [/ latex] имеет общее соотношение [латекс] — \ frac {1} {2} [/ latex]
    • [латекс] 3-3 + 3-3 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] -1 [/ латекс]

    Значение [latex] r [/ latex] предоставляет информацию о характере серии:

    • Если [латекс] r [/ латекс] находится между [латекс] -1 [/ латекс] и [латекс] +1 [/ латекс], члены ряда становятся все меньше и меньше, приближаясь к нулю в пределе, и ряд сходится к сумме.Рассмотрим последовательность, в которой [латекс] r [/ latex] равен половине [латекса] {\ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {8}, \ cdots \ right)} [/ latex], сумма которых равна единице.
    • Если [latex] r [/ latex] больше, чем [latex] 1 [/ latex] или меньше, чем [latex] -1 [/ latex], члены ряда становятся все больше и больше по величине. Сумма членов также становится все больше и больше, и в серии нет суммы. Сериал расходится.
    • Если [latex] r [/ latex] равно [latex] 1 [/ latex], все члены серии совпадают.Сериал расходится.
    • Если [latex] r [/ latex] равно [latex] -1 [/ latex], термины принимают поочередно два значения [latex] \ left (\ text {eg}, 2, -2,2, -2,2 , -2, \ cdots \ right) [/ латекс]. Сумма членов колеблется между двумя значениями [latex] \ left (\ text {eg.}, 2,0,2,0,2,0, \ cdots \ right) [/ latex]. Это другой тип дивергенции, и снова у ряда нет суммы.

    Мы можем использовать формулу, чтобы найти сумму конечного числа членов в последовательности. {5}} {1-3} \\ & = 6 \ cdot \ frac {{-242}} {-2} \\ & = 6 \ cdot 121 \\ & = 726 \ end {align}} [/ латекс ]

    Бесконечная геометрическая серия

    Геометрические ряды — один из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами.

    Цели обучения

    Вычислить сумму бесконечного геометрического ряда и определить, когда геометрический ряд будет сходиться

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Сумма геометрического ряда конечна, пока члены приближаются к нулю; поскольку числа близки к нулю, они становятся незначительно малыми, что позволяет вычислить сумму, несмотря на бесконечность ряда.
    • Для бесконечного геометрического ряда, который сходится, его сумму можно вычислить по формуле [latex] \ displaystyle {s = \ frac {a} {1-r}} [/ latex].
    Ключевые термины
    • сходиться : приблизиться к конечной сумме.
    • геометрическая серия : бесконечная последовательность суммированных чисел, члены которой постепенно изменяются с общим соотношением.

    Геометрический ряд — это бесконечный ряд, члены которого находятся в геометрической прогрессии или чьи последовательные члены имеют общее отношение. Если члены геометрического ряда стремятся к нулю, сумма его членов будет конечной. Когда числа близки к нулю, они становятся незначительно малыми, что позволяет вычислить сумму, несмотря на бесконечность ряда.

    Говорят, что геометрический ряд с конечной суммой сходится. Ряд сходится тогда и только тогда, когда абсолютное значение общего отношения меньше единицы:

    .

    [латекс] \ левый | г \ право | <1 [/ латекс]

    Что следует на примере бесконечного ряда с конечной суммой. Подсчитаем сумму [latex] s [/ latex] следующей серии:

    [латекс] \ displaystyle {s = 1+ \ frac {2} {3} + \ frac {4} {9} + \ frac {8} {27} + \ cdots} [/ latex]

    Эта серия имеет общее соотношение [латекс] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex].Если мы умножим на это обычное соотношение, то начальный член [латекс] 1 [/ latex] станет [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex], [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex] становится [latex] \ displaystyle {\ frac {4} {9}} [/ latex] и так далее:

    [латекс] \ displaystyle {\ frac {2} {3} s = \ frac {2} {3} + \ frac {4} {9} + \ frac {8} {27} + \ frac {16} { 81} + \ cdots} [/ латекс]

    Эта новая серия такая же, как и исходная, за исключением того, что отсутствует первый член. Вычитая новую серию [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3} s} [/ latex] из исходной серии, [latex] s [/ latex] отменяет все термины в оригинале, кроме первого:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} s- \ frac {2} {3} s & = 1 \\ \ поэтому s & = 3 \ end {align}} [/ latex]

    Подобный метод можно использовать для вычисления любого самоподобного выражения.n \ rightarrow 0 \\ & = \ frac {a} {1-r} \ end {align}} [/ latex]

    Следовательно, для [latex] | r | <1 [/ latex] мы можем записать бесконечную сумму как:

    [латекс] \ Displaystyle {s = \ frac {a} {1-r}} [/ латекс]

    Пример

    Найдите сумму бесконечного геометрического ряда [латекс] 64+ 32 + 16 + 8 + \ cdots [/ latex]

    Сначала найдите [latex] r [/ latex], или постоянное соотношение между каждым членом и тем, что ему предшествует:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} r & = \ frac {32} {64} \\ & = \ frac {1} {2} \ end {align}} [/ latex]

    Подставьте [латекс] a = 64 [/ latex] и [latex] \ displaystyle r = \ frac {1} {2} [/ latex] в формулу суммы бесконечного геометрического ряда:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} s & = \ frac {64} {1- \ frac {1} {2}} \\ & = \ frac {64} {\ frac {1} {2} } \\ & = 128 \ end {align}} [/ latex]

    Применения геометрической серии

    Геометрические ряды применяются в математике и естественных науках и являются одним из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами.

    Цели обучения

    Применение геометрических последовательностей и рядов к различным физическим и математическим темам

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Повторяющаяся десятичная дробь может рассматриваться как геометрическая последовательность, общее отношение которой равно степени [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {10}} [/ latex].
    • Архимед использовал сумму геометрического ряда для вычисления площади, заключенной между параболой и прямой линией.
    • Внутренняя часть снежинки Коха представляет собой союз бесконечного множества треугольников.При изучении фракталов геометрические ряды часто возникают как периметр, площадь или объем самоподобной фигуры.
    • Знание бесконечных рядов позволяет нам решать древние проблемы, такие как парадоксы Зенона.
    Ключевые термины
    • геометрическая серия : бесконечная последовательность суммированных чисел, члены которой постепенно изменяются с общим соотношением.
    • фрактал : природное явление или математический набор, который демонстрирует повторяющийся узор, который можно увидеть в любом масштабе.

    Геометрические ряды сыграли важную роль в раннем развитии исчисления и продолжают оставаться центральной частью изучения сходимости рядов. Геометрические ряды используются во всей математике. У них есть важные приложения в физике, инженерии, биологии, экономике, информатике, теории массового обслуживания и финансах.

    Геометрические ряды — один из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами, хотя не все из них обладают этим свойством.

    Повторяющаяся десятичная дробь

    Повторяющееся десятичное число можно рассматривать как геометрический ряд, общее отношение которого равно степени [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {10}} [/ latex].Например:

    [латекс] \ displaystyle {0,7777 \ cdots = \ frac {7} {10} + \ frac {7} {100} + \ frac {7} {1000} + \ frac {7} {10000} + \ cdots} [/ латекс]

    Формула суммы геометрического ряда может использоваться для преобразования десятичной дроби в дробь:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0,7777 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {7} {10}} {1- \ frac {1 } {10}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {7} {10} \ right)} {\ left (\ frac {9} {10} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {7} {10} \ right) \ left (\ frac {10} {9} \ right) \\ & = \ frac {7} {9} \ end {align}} [/ latex]

    Формула работает для любого повторяющегося термина.Еще несколько примеров:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0.123412341234 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {1234} {10000}} {1- \ frac {1 } {10000}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {1234} {10000} \ right)} {\ left (\ frac {9999} {10000} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {1234} {10000} \ right) \ left (\ frac {10000} {9999} \ right) \\ & = \ frac {1234} {9999} \ end {align}} [/ latex]

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0,0

    0909 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {9} {100}} {1- \ frac {1 } {100}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {9} {100} \ right)} {\ left (\ frac {99} {100} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {9} {100} \ right) \ left (\ frac {100} {99} \ right) \\ & = \ frac {9} {99} \\ & = \ frac {1} {11} \ конец {align}} [/ latex]

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0.143814381438 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {1438} {10000}} {1- \ frac {1} {10000}} \\ & = \ frac { \ left (\ frac {1438} {10000} \ right)} {\ left (\ frac {9999} {10000} \ right)} \\ & = \ left (\ frac {1438} {10000} \ right) \ left (\ frac {10000} {9999} \ right) \\ & = \ frac {1438} {9999} \ end {align}} [/ latex]

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0,9999 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {9} {10}} {1- \ frac {1 } {10}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {9} {10} \ right)} {\ left (\ frac {9} {10} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {9} {10} \ right) \ left (\ frac {10} {9} \ right) \\ & = \ frac {9} {9} \\ & = 1 \ end {align}} [/ латекс]

    То есть повторяющаяся десятичная дробь с повторяющейся частью длины [латекс] n [/ latex] равна частному повторяющейся части (как целое число) и [латекс] 10 ^ n — 1 [/ latex].

    Квадратура Параболы Архимеда

    Архимед использовал сумму геометрического ряда для вычисления площади, заключенной между параболой и прямой линией. Его метод заключался в том, чтобы разрезать область на бесконечное количество треугольников.

    Теорема Архимеда: Разбиение Архимеда параболического сегмента на бесконечное количество треугольников.

    Теорема Архимеда утверждает, что общая площадь под параболой равна [latex] \ displaystyle {\ frac {4} {3}} [/ latex] площади синего треугольника.{3} + \ cdots} [/ латекс]

    Первый член представляет площадь синего треугольника, второй член — площади двух зеленых треугольников, третий член — площади четырех желтых треугольников и так далее. Упрощение дробей дает:

    [латекс] \ displaystyle {1+ \ frac {1} {4} + \ frac {1} {16} + \ frac {1} {64} + \ cdots} [/ latex]

    Это геометрическая серия с общим соотношением [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {4}} [/ latex], а дробная часть равна [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {3} }[/латекс].

    Фрактальная геометрия

    Снежинка Коха: Внутренняя часть снежинки Коха состоит из бесконечного количества треугольников.

    Снежинка Коха — это фрактальная форма, внутренность которой состоит из бесконечного количества треугольников. При изучении фракталов геометрические ряды часто возникают как периметр, площадь или объем самоподобной фигуры. В случае снежинки Коха ее площадь можно описать геометрическим рядом.

    Построение снежинки Коха: первые четыре итерации: каждая итерация добавляет набор треугольников снаружи формы.

    Область внутри снежинки Коха можно описать как объединение бесконечного числа равносторонних треугольников. На диаграмме выше треугольники, добавленные во второй итерации, имеют размер [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {3}} [/ latex], равный размеру стороны наибольшего треугольника, и поэтому они имеют ровно [латекс ] \ displaystyle {\ frac {1} {9}} [/ latex] область. Точно так же каждый треугольник, добавленный во второй итерации, имеет [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {9}} [/ latex] площадь треугольников, добавленных в предыдущей итерации, и так далее.{3} + \ cdots} [/ латекс]

    Первый член этого ряда представляет площадь первого треугольника, второй член — общую площадь трех треугольников, добавленных во второй итерации, третий член — общую площадь двенадцати треугольников, добавленных в третьей итерации, и т. Д. . За исключением начального члена [латекс] 1 [/ латекс], этот ряд является геометрическим с постоянным соотношением [латекс] \ displaystyle {r = \ frac {4} {9}} [/ latex]. Первый член геометрического ряда — [латекс] \ displaystyle {a = 3 \ frac {1} {9} = \ frac {1} {3}} [/ latex], поэтому сумма составляет:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 1+ \ frac {a} {1-r} & = 1 + \ frac {\ frac {1} {3}} {1- \ frac {4} {9 }} \\ & = \ frac {8} {5} \ end {align}} [/ latex]

    Таким образом, снежинка Коха имеет [latex] \ displaystyle {\ frac {8} {5}} [/ latex] площади основного треугольника.

    Парадоксы Зенона

    Парадоксы Зенона — это набор философских проблем, изобретенных древнегреческим философом для поддержки учения о том, что истина противоречит нашим чувствам. Проще говоря, один из парадоксов Зенона гласит: существует точка A, которая хочет переместиться в другую точку B. Если A перемещается только на половину расстояния между ней и точкой B за один раз, она никогда не доберется туда, потому что вы можете продолжать делить оставшееся пространство пополам навсегда. Ошибка Зенона заключается в предположении, что сумма бесконечного числа конечных шагов не может быть конечной.Теперь мы знаем, что его парадокс не соответствует действительности, о чем свидетельствует сходимость геометрического ряда с [латексом] \ displaystyle {r = \ frac {1} {2}} [/ latex]. Эта проблема была решена современной математикой, которая может применить концепцию бесконечного ряда, чтобы найти сумму пройденных расстояний.

    Использование формулы для геометрического ряда

    Так же, как сумма членов арифметической последовательности называется арифметическим рядом, сумма членов геометрической последовательности называется геометрическим рядом .{k} [/ латекс]

    Решение

    Пример 5: Решение прикладной задачи с помощью геометрической серии

    На новой работе стартовая зарплата сотрудника составляет 26 750 долларов. Он получает повышение на 1,6% годовых. Найдите его общий заработок по истечении 5 лет.

    Решение

    Задачу можно представить в виде геометрического ряда с [латексом] {a} _ {1} = 26,750 [/ latex]; [латекс] n = 5 [/ латекс]; и [латекс] r = 1,016 [/ латекс]. Подставьте значения для [latex] {a} _ {1} [/ latex], [latex] r [/ latex] и [latex] n [/ latex] в формулу и упростите, чтобы найти общую сумму заработка в конце. от 5 лет.{5} \ right)} {1 — 1.016} \ приблизительно 138 \ text {,} 099.03 \ hfill \ end {array} [/ latex]

    К концу 5 лет он заработает в общей сложности 138 099,03 долларов.

    Попробуй 8

    На новой работе стартовая зарплата сотрудника составляет 32 100 долларов. Ежегодно она получает 2% -ное повышение. Сколько она заработает к концу 8 лет?

    Решение

    Использование формулы суммы бесконечного геометрического ряда

    До сих пор мы рассматривали только конечные серии. Иногда, однако, нас интересует сумма членов бесконечной последовательности, а не сумма только первых [latex] n [/ latex] членов.{\ infty} 2k [/ latex], где верхний предел суммирования равен бесконечности. Поскольку члены не стремятся к нулю, сумма ряда неограниченно увеличивается по мере того, как мы добавляем новые члены. Следовательно, сумма этого бесконечного ряда не определена. Когда сумма не является действительным числом, мы говорим, что ряд расходится на .

    Определение того, определена ли сумма бесконечного геометрического ряда

    Если члены бесконечного геометрического ряда приближаются к нулю, можно определить сумму бесконечного геометрического ряда.{n} [/ latex] становятся очень маленькими и приближаются к нулю. Каждый последующий член влияет на сумму меньше, чем предыдущий член. По мере того, как каждый последующий член приближается к 0, сумма членов приближается к конечному значению. Члены любого бесконечного геометрического ряда с [latex] -1

    Общее примечание: определение того, определена ли сумма бесконечного геометрического ряда

    Сумма бесконечной серии определяется, если серия геометрическая и [латекс] -1

    Как сделать: учитывая первые несколько членов бесконечного ряда, определите, существует ли сумма ряда.

    1. Найдите отношение второго члена к первому.
    2. Найдите отношение третьего члена ко второму члену.
    3. Продолжайте этот процесс, чтобы гарантировать постоянство отношения одного члена к предыдущему. Если да, то серия геометрическая.
    4. Если на шаге 3 было обнаружено общее соотношение [латекс] r [/ латекс], проверьте, [латекс] -1

    Решение

    1. Отношение второго члена к первому составляет [латекс] \ frac {\ text {2}} {\ text {3}} [/ latex],
      , что не то же самое, что отношение третьего члена к второй, [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex]. Серия не геометрическая.
    2. Отношение второго члена к первому такое же, как отношение третьего члена ко второму. Ряд геометрический с общим соотношением [латекс] \ frac {2} {3} \ text {.} [/ Latex] Сумма бесконечного ряда определена.
    3. Данная формула является экспоненциальной с основанием [латекс] \ frac {1} {3} [/ latex]; серия геометрическая с общим соотношением [латекс] \ frac {1} {3} \ text {.} [/ latex] Сумма бесконечного ряда определена.
    4. Данная формула не является экспоненциальной; ряд не является геометрическим, потому что члены возрастают, и поэтому не может дать конечной суммы.

    Определите, определена ли сумма бесконечного ряда.

    Попробуй 9

    [латекс] \ frac {1} {3} + \ frac {1} {2} + \ frac {3} {4} + \ frac {9} {8} +.{k} [/ латекс]

    Решение

    геометрическая серия | Purplemath

    Purplemath

    Можно взять сумму конечного числа членов геометрической последовательности. И по причинам, которые вы будете изучать в математике, вы можете взять сумму бесконечной геометрической последовательности , но только в особых обстоятельствах, когда общее отношение r находится между –1 и 1; то есть у вас должно быть | r | <1.

    Для геометрической последовательности с первым членом a 1 = a и общим отношением r сумма первых n членов определяется как:

    MathHelp.com

    Примечание. В вашей книге может быть немного другая форма приведенной выше формулы частичной суммы. Например, « a » можно умножить через числитель, множители дроби можно поменять местами, или суммирование может начаться с i = 0 и иметь степень n + 1 в числителе.Все эти формы эквивалентны, и приведенная выше формулировка может быть получена из полиномиального деления в столбик.

    В частном случае, | r | <1, бесконечная сумма существует и имеет следующее значение:


    Первые несколько членов: –6, 12, –24:

    .

    a 1 = 3 (–2) 1 = (3) (- 2) = –6

    a 2 = 3 (–2) 2 = (3) (4) = 12

    a 3 = 3 (–2) 3 = (3) (- 8) = –24

    Итак, это геометрический ряд с знаменателем r = –2.(Я также могу сказать, что это должен быть геометрический ряд из-за формы, данной каждому члену: по мере увеличения индекса каждый член будет умножаться на дополнительный коэффициент –2.)

    Первый член последовательности равен a = –6. Подставляя в формулу суммирования, получаем:

    Итак, сумма суммирования равна:

    .


    • Оценить S

      10 для 250, 100, 40, 16 ,….

    Обозначение «S10» означает, что мне нужно найти сумму первых десяти членов. Первый член — a = 250. Разделив пары терминов, я получу:

    100 ÷ 250 = 2/5

    40 ÷ 100 = 2/5

    … и так далее, поэтому добавляемые члены образуют геометрическую последовательность с общим отношением

    r = 2/5.

    В отличие от формулы для n -й частичной суммы арифметического ряда, мне не нужно значение последнего члена при нахождении n -й частичной суммы геометрического ряда. Итак, у меня есть все, что нужно для продолжения. Когда я вставляю значения первого члена и общего отношения, формула суммирования дает мне:

    Я не буду «упрощать» это, чтобы получить десятичную форму, потому что это почти наверняка будет считаться «неправильным» ответом.Вместо этого мой ответ:



    Примечание. Если вы попытаетесь выполнить указанные выше вычисления на своем калькуляторе, он вполне может вернуть десятичное приближение 416,62297 … вместо дробного (и точного) ответа.

    Как вы можете видеть на снимке экрана выше, ввод значений в дробной форме и использование команды «преобразовать в дробь» по-прежнему дает только десятичное приближение к ответу.Но (на самом деле!) Десятичное приближение почти наверняка будет расценено как «неправильный» ответ. Найдите время, чтобы найти дробную форму.


    • Найдите

      a n , если S 4 = 26/27 и r = 1/3.

    Они дали мне сумму первых четырех членов, S 4 , и значение общего отношения r .Поскольку существует общее соотношение, я знаю, что это должен быть геометрический ряд. Подключаем к формуле геометрического ряда-суммы, я получаю:

    Умножая обе стороны на

    27/40, чтобы найти первый член a = a 1 , я получаю:

    Затем, подставляя формулу для n -го члена геометрической последовательности, я получаю:


    • Покажите с помощью геометрического ряда, что 0.3333 … равно 1/3.

    В этом есть одна хитрость. Сначала мне нужно разбить повторяющуюся десятичную дробь на отдельные части; то есть «0,3333 …» становится:

    0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …

    Разделение десятичной формы таким образом явно подчеркивает повторяющийся образец непрерывного (то есть бесконечного) десятичного числа: для каждого члена у меня есть десятичная точка, за которой следует постоянно увеличивающееся количество нулей, а затем заканчивая цифрой «3».Эта расширенная десятичная форма может быть записана в дробной форме, а затем преобразована в форму геометрической последовательности:

    Это доказывает, что 0,333 … является (или, по крайней мере, может быть выражено как) бесконечный геометрический ряд с

    a = 3/10 и r = 1/10. Поскольку | r | <1, я могу использовать формулу для суммирования бесконечных геометрических рядов:


    Для приведенного выше доказательства, используя формулу суммирования, чтобы показать, что геометрический ряд «разложит» 0.333 … имеет значение одной трети. — это «показатель», о котором просило упражнение (поэтому очень важно выполнять свою работу аккуратно и логично). И вы можете использовать этот метод для преобразования любого повторяющегося десятичного числа в его дробную форму.


    • Преобразуйте 1,363636 … в дробную форму с помощью геометрического ряда.

    Сначала я разобью это на составные части, чтобы найти узор:

    1.363636 .. = 1 + 0,36 + 0,0036 + 0,000036 + …

    Две цифры повторяются, поэтому дроби немного отличаются. Но это все же геометрический ряд:

    Это показывает, что исходная десятичная дробь может быть выражена как ведущая «1», добавленная к геометрическому ряду, имеющему

    a = 9/25 и r = 1/100. Поскольку значение общего отношения достаточно мало, я могу применить формулу для бесконечных геометрических рядов.Тогда сумма оценивается как:

    Таким образом, эквивалентная дробь в форме неправильных дробей и смешанных чисел:


    Кстати, с помощью этой техники можно доказать, что 0,999 … = 1.


    URL: https://www.purplemath.com/modules/series5.htm

    Сумма первых n членов геометрической последовательности — видео и стенограмма урока

    Формула суммы

    Эта формула начинается с сигма-записи, которая сообщает вам, что вы будете складывать серии чисел.Далее идет формула для нахождения каждого члена нашей геометрической последовательности. Это просто a умноженное на r в kth степени. Наша сигма-нотация говорит нам добавлять эти члены, начиная с k = 0 и заканчивая n — 1.

    Все это равно a умноженное на 1 минус r к n-ому . мощность свыше 1 минус р . Это говорит нам, что мы можем использовать часть после знака равенства, чтобы найти нашу сумму наших первых n членов.Нам даже не нужно добавлять отдельные термины. Это очень полезно, если мы хотим найти сумму большого количества терминов.

    В этой формуле a обозначает наш начальный член или число, r — наше обычное отношение, а n — количество членов, для которых мы хотим найти сумму.

    Использование формулы суммы

    Давайте теперь посмотрим, как мы можем использовать эту формулу. Допустим, мы занимаемся выращиванием картофеля.Мы хотим знать, сколько картофеля мы вырастили после уборки четвертого раунда. Итак, наше n равно 4. Мы начали с 1 картофелины, поэтому наше a равно 1. Наше общее отношение равно 20, потому что мы каждый раз умножали на 20, чтобы получить следующее число в нашей последовательности. У нас есть все числа, необходимые для работы нашей формулы, так что давайте воспользуемся ею сейчас. Мы подключаем все наши ценности.

    Теперь мы можем продолжить и оценить. Сначала мы переводим наши 20 в четвертую степень, чтобы получить 160 000.1 минус 160 000 равно -159 999. 1 минус 20 равно -19. -159 999 разделить на -19 равно 8 421. 8,421 умножить на 1 равно 8,421. Вот и наш ответ.

    Другой пример

    Хотите попробовать еще один? На этот раз вы попытаетесь решить это, пока мы работаем над этим вместе. Давайте найдем сумму первых 6 членов геометрической последовательности, которая начинается с чисел 2, 4 и 8.

    Во-первых, нам нужно найти наше общее отношение. Мы делаем это, деля каждый термин на предыдущий.Каждый раз при делении мы должны получать одно и то же число. Делим 4 на 2 и 8 на 4. Что получаем? Мы получаем 2, поэтому наше общее отношение, наше r , равно 2. Мы хотим найти первые 6 членов, поэтому наше n равно 6. Наше a равно 2, так как это наше начальное число. Теперь мы можем заполнить нашу формулу следующими значениями:

    Теперь оценим.

    Наш ответ — 126, и все готово.Как ты это сделал?

    Резюме урока

    Давайте рассмотрим то, что мы узнали. Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой каждый член или число представляет собой предыдущий член или число, умноженное на определенную константу. Наше обычное отношение — это наша постоянная умножения. Формула для нахождения суммы первых n членов геометрической последовательности: a , умноженное на 1 минус r , до n-й степени над 1 минус r , где n — это количество членов, которое мы хотим чтобы найти сумму для a нашего начального члена нашей последовательности и r нашего общего отношения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.