Как найти расстояние до начала координат от точки: Please Wait… | Cloudflare

Содержание

Метод координат на плоскости. Расстояние между точками. Расстояние до точки от начала координат. Координаты точки, делящей отрезок в отношении λ . Координаты середины отрезка. Координаты центра тяжести треугольника.

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Линейная алгебра. Вектора, матрицы, определители, миноры, детерминанты…  / / Метод координат на плоскости. Расстояние между точками. Расстояние до точки от начала координат. Координаты точки, делящей отрезок в отношении λ . Координаты середины отрезка. Координаты центра тяжести треугольника.

Поделиться:   





Метод координат на плоскости.

Расстояние между точками. Расстояние до точки от начала координат. Координаты точки, делящей отрезок в отношении λ . Координаты середины отрезка = координаты точки, делящей отрезок пополам.  Координаты центра тяжести треугольника = координаты точки пересечения медиан.

  • название задачи,
  • рисунок, поясняющий метод,
  • расчетная формула

*Бабичева, Болдовская, Справочник по математике. СибАДИ, 2010. (классная книга)  


Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:


Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.

Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator

как найти расстояние от точки до начала координат

Вы искали как найти расстояние от точки до начала координат? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и расстояние от начала координат до точки формула, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «как найти расстояние от точки до начала координат».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как как найти расстояние от точки до начала координат,расстояние от начала координат до точки формула. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и как найти расстояние от точки до начала координат. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, как найти расстояние от точки до начала координат).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как найти расстояние от точки до начала координат Онлайн?

Решить задачу как найти расстояние от точки до начала координат вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

§ 26. Расстояние от точки до плоскости в координатах

§ 26.Расстояние от точки до плоскости в координатах

Напомним, что расстояние от данной точки M0 до плоскости α равно длине перпендикуляра M0M1(M1∈ α), опущенного из точки M0 на плоскость α (рис. 228).

Проведём через точку M0(x0; y0; z0), не лежащую на плоскости α, прямую h, перпендикулярную α. Так как вектор нормали плоскости α является направляющим вектором прямой h, то для поиска координат x1, y1, z1 точки M1 пересечения прямой h и плоскости α достаточно, как и в предыдущем параграфе, решить систему уравнений относительно параметра t:

Решением этой системы является

t0 =  = ,

что позволяет нам найти искомые координаты точки пересечения прямой h и плоскости α:

Тогда находим длину отрезка M0M1, равную искомому расстоянию d от точки M0 до плоскости α:

d = | M0M1 | =

= =

=  = 

= |t0| =

= •=

= .

Если точка M0 лежит на данной плоскости, то

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

и искомое расстояние равно нулю, что также следует из полученной формулы

d = .

Расстояние от начала координат O(0; 0; 0) до плоскости α равно

.

Приведём ещё один способ рассуждений.

Расстояние от точки M0 до плоскости α обозначим: d = | M0; α | = | M0M1|, где точка M1 — основание перпендикуляра, опущенного из точки M0 на плоскость α (см. рис. 228).

Пусть в системе координат Oxyz плоскость α задана уравнением

Ax + By + Cz + D = 0,(1)

точки M0 и M1 имеют координаты: M0(x0; y0; z0), M1(x1; y1; z1).

Заметим, что

M1 ∈ α ⇒ Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0.(2)

Вектор (x0 – x1; y0 – y1; z0 – z1) и вектор нормали (A; B; C) плоскости α коллинеарны, так как каждый из них перпендикулярен плоскости α, поэтому

• = |  |•|  |•(±1) = ±d•|  |;

(+1, если  ↑↑ ; – 1, если  ↑↓ ).

Тогда

|M0; α | = d = |  | =  = .

Раскроем в числителе скобки и, пользуясь соотношением (2), заменим выражение –Ax1 – By1 – Cz1 числом D. Получаем

d = .(3)

Сравните два приведённых способа рассуждений и выберите для себя наиболее понятный.

ЗадаЧа 7.182. Найти расстояние от точки K(1; –2; 3) до плоскости 3x + 2y – 6z + 5 = 0.

Решение. Находим координаты вектора нормали плоскости: (3; 2; –6). Тогда

d =  =  = 2.

Ответ: 2.

ЗадаЧа 7.183. Найти множество точек, равноудалённых от плоскостей 2x + 2y – z – 3 = 0 и 3x + 4y + 12z – 13 = 0.

Решение. Пусть точка M(x; y; z) равноудалена от данных плоскостей, тогда

 = , т. е.

 = .

Данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений

 = ,

или  = – .

После упрощения получим уравнения двух плоскостей

17x + 14y – 49z = 0 и 35x + 38y + 23z – 78 = 0.

Подумайте, почему эти плоскости получились взаимно перпендикулярными и как они связаны с данными в задаче плоскостями.

Задания для работы с интернет-ресурсами

1. Вы можете найти в Интернете дополнительный материал по темам «Декартова прямоугольная система координат в пространстве», «Координаты вектора», «Условие параллельности двух векторов в координатах», «Скалярное произведение векторов в координатах», «Условие перпендикулярности двух векторов в координатах», «Проекция вектора на ось в координатах».

2. Найдите и изучите дополнительные материалы и презентации по темам: «Простейшие задачи стереометрии в координатах», «Уравнения и неравенства, задающие множества точек в пространстве», «Уравнение сферы и неравенство шара».

3. Найдите и выпишите знакомые и незнакомые формулы по теме «Плоскость в пространстве в координатах».

4. Найдите и выпишите знакомые и незнакомые формулы по темам «Прямая в координатах», «Взаимное расположение прямой и плоскости в координатах».

5. Набрав в поисковой системе слова «Прямая и плоскость в пространстве», «Параллельность прямой и плоскости», вы увидите, как можно использовать векторы и координаты при изучении вопросов параллельности прямой и плоскости.

6. Посмотрите статьи по теме «Аналитическая геометрия». Этот раздел математики вы будете изучать в высших учебных заведениях, но многими формулами и приёмами координатного метода изучения свойств геометрических фигур вы владеете уже сейчас. Попытайтесь узнать об этом ещё больше.

Вопросы для самооценки

1. Оцените результаты изучения этой главы. Довольны ли вы ими?

2. Что нового вы узнали в этой главе?

3. Как могут пригодиться вам эти знания в повседневной жизни?

4.  Какие задания в этой главе были для вас самыми трудными? Почему?

5. Использовали ли вы при выполнении заданий дополнительные источники: справочники, пособия, интернет-ресурсы?

6. Обращались ли вы за помощью к одноклассникам, родителям, учителю?

11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Уравнение плоскости. Движения пространства. — Уравнение плоскости.

Комментарии преподавателя

Урав­не­ние плос­ко­сти

Урав­не­ние с тремя пе­ре­мен­ны­ми x, у, z на­зы­ва­ет­ся урав­не­ни­ем дан­ной по­верх­но­сти P в си­сте­ме ко­ор­ди­нат Охуz, если этому урав­не­нию удо­вле­тво­ря­ют ко­ор­ди­на­ты любой точки по­верх­но­сти Р и не удо­вле­тво­ря­ют ко­ор­ди­на­ты ни­ка­кой точки, не ле­жа­щей на этой по­верх­но­сти. Из всех воз­мож­ных по­верх­но­стей нас се­год­ня будет ин­те­ре­со­вать урав­не­ние плос­ко­сти.

Урав­не­ние плос­ко­сти через точку и век­тор

Пусть дана неко­то­рая точка M0(x0;y0;z0) и нену­ле­вой век­тор . Через точку M0 можно про­ве­сти толь­ко одну плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­ную век­то­ру  (см. рис. 1).

Рис. 1. 

Вы­ве­дем урав­не­ние плос­ко­сти α. Пусть М — про­из­воль­ная точка про­стран­ства. Оче­вид­но, что точка М при­над­ле­жит плос­ко­сти α толь­ко тогда, когда век­тор  пер­пен­ди­ку­ля­рен век­то­ру . По­это­му урав­не­ние плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точку M0 пер­пен­ди­ку­ляр­но век­то­ру, можно за­пи­сать в виде: .

 

Урав­не­ние плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точку пер­пен­ди­ку­ляр­но век­то­ру фор­му­ла

Итак, фор­му­ла урав­не­ния плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точку, пер­пен­ди­ку­ляр­но век­то­ру:

Век­тор  в урав­не­нии  на­зы­ва­ет­ся нор­маль­ным век­то­ром плос­ко­сти. В ка­че­стве нор­маль­но­го век­то­ра можно взять любой век­тор, пер­пен­ди­ку­ляр­ный плос­ко­сти.

Пусть ко­ор­ди­на­ты век­то­ра равны . И обо­зна­чим ко­ор­ди­на­ты про­из­воль­ной точки М через x, y и z. Тогда век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты .

Урав­не­ние плос­ко­сти через точку

Те­перь можно за­пи­сать урав­не­ние плос­ко­сти через ко­ор­ди­на­ты век­то­ра и век­то­ра :

Это урав­не­ние на­зы­ва­ет­ся урав­не­ни­ем плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точку M0(x0;y0;z0) пер­пен­ди­ку­ляр­но век­то­ру (А; В; С). Рас­кро­ем скоб­ки и пе­ре­груп­пи­ру­ем сла­га­е­мые, обо­зна­чив сла­га­е­мые, не со­дер­жа­щие пе­ре­мен­ные за D:

;

;

.

Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти

Зная урав­не­ние плос­ко­сти, можно найти рас­сто­я­ние от точки, не ле­жа­щей на плос­ко­сти до самой плос­ко­сти.

Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти за­да­ча

Дано: В неко­то­рой де­кар­то­вой си­сте­ме ко­ор­ди­нат урав­не­ние Ax+By +Cz+D=0, опи­сы­ва­ю­щее плос­кость. M0(x0, y0, z0) — точка про­стран­ства, за­дан­ная сво­и­ми ко­ор­ди­на­та­ми в той же си­сте­ме ко­ор­ди­нат (см. рис. 2).

Рис. 2.

Найти: рас­сто­я­ние от точки М0 до плос­ко­сти.

Ре­ше­ние: Пусть точка М1(x1;y1;z1)-про­ек­ция точки М0 на плос­кость. Зна­чит, нам необ­хо­ди­мо найти длину от­рез­ка M0M1. Чтобы найти рас­сто­я­ние d, вы­ра­зим век­тор  через век­тор нор­ма­ли, ко­ор­ди­на­ты ко­то­ро­го мы знаем по урав­не­нию плос­ко­сти —  (А; В; С): .

Так как век­тор  и век­тор  — кол­ли­не­ар­ны, зна­чит, можно вы­ра­зить ко­ор­ди­на­ты век­то­ра  двумя спо­со­ба­ми: , .

По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Вы­ра­жа­ем ко­ор­ди­на­ты точки M1:

Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точки M1 в урав­не­ние плос­ко­сти, так как эта точка лежит в плос­ко­сти α:

.

От­сю­да вы­ра­жа­ем ко­эф­фи­ци­ент k:

.

Фор­му­ла рас­сто­я­ния от точки до плос­ко­сти

Те­перь вы­ве­дем фор­му­лу для на­хож­де­ния рас­сто­я­ния от точки до плос­ко­сти:

.

Урав­не­ние плос­ко­сти за­да­чи

За­да­ча 1.

Дано: Тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках А1{-5;2;7), А2(5;0;6), А3(0;-1;2). А1М0 – ме­ди­а­на (см. рис. 3). Найти: урав­не­ние плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точку М0 пер­пен­ди­ку­ляр­но ме­ди­ане А1М0.

Рис. 3.

Ре­ше­ние:

Чтобы на­пи­сать урав­не­ние плос­ко­сти, мы долж­ны знать ко­ор­ди­на­ты точки М0, при­над­ле­жа­щей плос­ко­сти, и ко­ор­ди­на­ты век­то­ра нор­ма­ли. За нор­маль­ный век­тор плос­ко­сти можно при­нять век­тор . Опре­де­лим его ко­ор­ди­на­ты. Точка М0— се­ре­ди­на от­рез­ка А2А3, по­это­му, ее ко­ор­ди­на­ты равны .

Ко­ор­ди­на­ты нор­маль­но­го век­то­ра  на­хо­дим, вы­чи­тая из ко­ор­ди­нат конца ко­ор­ди­на­ты на­ча­ла век­то­ра: .

Те­перь под­ста­вим все нуж­ные числа в урав­не­ние плос­ко­сти:

;

.

Ответ: .

Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти за­да­ча 2

За­да­ча 2.

Дано: пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед (см. рис. 4), AB=4; AD=3; AA1=2. A1K:KD1=2:1; K∈α; ; . Найти: а) Рас­сто­я­ние от B1 до α, б) Рас­сто­я­ние от M до D1.

Рис. 4.

Ре­ше­ние: Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

а) Чтобы найти нуж­ное нам рас­сто­я­ние на­пи­шем урав­не­ние плос­ко­сти α. Для этого узна­ем ко­ор­ди­на­ты точки K и ко­ор­ди­на­ты век­то­ра нор­ма­ли к плос­ко­сти. Век­тор нор­ма­ли в дан­ном слу­чае – это век­тор . Так как это ра­ди­ус-век­тор, его ко­ор­ди­на­ты сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми точки С1. ; K(0;2;2).

Тогда урав­не­ние плос­ко­сти α имеет вид ,

Или .

Ис­ко­мое рас­сто­я­ние от точки В1 до плос­ко­сти α на­хо­дим по фор­му­ле: .

Ко­ор­ди­на­ты точки В1 равны (4;0;2). Тогда .

б) Чтобы узнать необ­хо­ди­мое рас­сто­я­ние най­дем ко­ор­ди­на­ты точек M и D1, D1(0;3;2).По усло­вию, точка M на­хо­дит­ся на пря­мой BC, зна­чит M(4;y;0). Так как точка М(4;y;0) при­над­ле­жит плос­ко­сти α, то ее ко­ор­ди­на­ты можно под­ста­вить в урав­не­ние плос­ко­сти, ко­то­рое мы уже знаем — 

По­лу­чи­ли: 16+3y-10=0. Тогда y=-2, M(4;-2;0).

Те­перь най­дем мо­дуль век­то­ра , как ко­рень из суммы квад­ра­тов раз­но­сти ко­ор­ди­нат конца и на­ча­ла век­то­ра: .

Ответ: ; .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/uravnenie-ploskosti

http://www.youtube.com/watch?v=M5RfXWoz5jQ

http://www.youtube.com/watch?v=Zpv7yKF1QXI

http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/normal_equation_of_plane.html

http://www.mathprofi.ru/uravnenie_ploskosti.html

http://dealer-auto.spb.ru/blog.php?snjqf=/rcxdfcn/statistika_naseleniya_zadachi_s_resheniem_2626_3.jpg

http://mypresentation.ru/download/uravnenie_ploskosti_v_prostranstve

Определить расстояние от точки m до плоскости. Расстояние от точки до плоскости онлайн. Вывод формулы для координатного метода поиска расстояния от точки до плоскости в пространстве

Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость π и произвольную точку M 0 . Выберем для плоскости единичный нормальный вектор
n с началом
в некоторой точке М 1 ∈ π, и пусть р(М 0 ,π) — расстояние от точки М 0 до плоскости π. Тогда (рис. 5.5)

р(М 0 ,π) = | пр n M 1 M 0
| = |nM 1 M 0
|, (5.8)

так как |n| = 1.

Если плоскость π задана в прямоугольной системе координат своим общим уравнением
Ax + By + Cz + D = 0, то ее нормальным вектором является вектор с координатами {A; B; C} и в качестве единичного нормального вектора можно выбрать

Пусть (x 0 ; y 0 ; z 0) и (x 1 ; y 1 ; z 1) координаты точек M 0 и M 1 . Тогда выполнено равенство Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, так как точка M 1 принадлежит плоскости, и можно найти координаты вектора M 1 M 0
: M 1 M 0
= {x 0 -x 1 ; y 0 -y 1 ; z 0 -z 1 }. Записывая скалярное произведение
nM 1 M 0
в координатной форме и преобразуя (5.8), получаем

поскольку Ax 1 + By 1 + Cz 1 = — D. Итак, чтобы вычислить расстояние от точки до плоскости нужно подставить координаты точки в общее уравнение плоскости, а затем абсолютную величину результата разделить на нормирующий множитель, равный длине соответствующего нормального вектора. 2) } } = 0,85 $$

Ответ:

Данная статья рассказывает об определении расстояния от точки до плоскости. произведем разбор методом координат, который позволит находить расстояние от заданной точки трехмерного пространства. Для закрепления рассмотрим примеры нескольких задач.

Расстояние от точки до плоскости находится посредством известного расстояния от точки до точки, где одна из них заданная, а другая – проекция на заданную плоскость.

Когда в пространстве задается точка М 1 с плоскостью χ , то через точку можно провести перпендикулярную плоскости прямую. Н 1 является общей точкой их пересечения. Отсюда получаем, что отрезок М 1 Н 1 – это перпендикуляр,который провели из точки М 1 к плоскости χ , где точка Н 1 – основание перпендикуляра.

Определение 1

Называют расстояние от заданной точки к основанию перпендикуляра, который провели из заданной точки к заданной плоскости.

Определение может быть записано разными формулировками.

Определение 2

Расстоянием от точки до плоскости
называют длину перпендикуляра, который провели из заданной точки к заданной плоскости.

Расстояние от точки М 1 к плоскости χ определяется так: расстояние от точки М 1 до плоскости χ будет являться наименьшим от заданной точки до любой точки плоскости. Если точка Н 2 располагается в плоскости χ и не равна точке Н 2 , тогда получаем прямоугольный треугольник вида М 2 H 1 H 2
, который является прямоугольным, где имеется катет М 2 H 1 , М 2 H 2
– гипотенуза. Значит, отсюда следует, что M 1 H 1
считается наклонной, которая проводится из точки М 1 до плоскости χ . Мы имеем, что перпендикуляр, проведенный из заданной точки к плоскости, меньше наклонной, которую проводят из точки к заданной плоскости. Рассмотрим этот случай на рисунке, приведенном ниже.

Расстояние от точки до плоскости – теория, примеры, решения

Существует ряд геометрических задач, решения которых должны содержать расстояние от точки до плоскости. Способы выявления этого могут быть разными. Для разрешения применяют теорему Пифагора или подобия треугольников. Когда по условию необходимо рассчитать расстояние от точки до плоскости, заданные в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, решают методом координат. Данный пункт рассматривает этот метод.

По условию задачи имеем, что задана точка трехмерного пространства с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) с плоскостью χ , необходимо определить расстояние от М 1 к плоскости χ . Для решения применяется несколько способов решения.

Первый способ

Данный способ основывается на нахождении расстояния от точки до плоскости при помощи координат точки Н 1 , которые являются основанием перпендикуляра из точки М 1 к плоскости χ . Далее необходимо вычислить расстояние между М 1 и Н 1 .

Для решения задачи вторым способом применяют нормальное уравнение заданной плоскости.

Второй способ

По условию имеем, что Н 1 является основанием перпендикуляра, который опустили из точки М 1 на плоскость χ . Тогда определяем координаты (x 2 , y 2 , z 2) точки Н 1 . Искомое расстояние от М 1 к плоскости χ находится по формуле M 1 H 1 = (x 2 — x 1) 2 + (y 2 — y 1) 2 + (z 2 — z 1) 2 , где M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и H 1 (x 2 , y 2 , z 2) . Для решения необходимо узнать координаты точки Н 1 .

Имеем, что Н 1 является точкой пересечения плоскости χ с прямой a , которая проходит через точку М 1 , расположенную перпендикулярно плоскости χ . Отсюда следует, что необходимо составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости. Именно тогда сможем определить координаты точки Н 1 . Необходимо произвести вычисление координат точки пересечения прямой и плоскости.

Алгоритм нахождения расстояния от точки с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) к плоскости χ :

Определение 3

  • составить уравнение прямой а, проходящей через точку М 1 и одновременно
  • перпендикулярной к плоскости χ ;
  • найти и вычислить координаты (x 2 , y 2 , z 2) точки Н 1 , являющимися точками
  • пересечения прямой a с плоскостью χ ;
  • вычислить расстояние от М 1 до χ , используя формулу M 1 H 1 = (x 2 — x 1) 2 + (y 2 — y 1) 2 + z 2 — z 1 2 .

Третий способ

В заданной прямоугольной системе координат О х у z имеется плоскость χ , тогда получаем нормальное уравнение плоскости вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 . Отсюда получаем, что расстояние M 1 H 1 с точкой M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , проведенной на плоскость χ , вычисляемое по формуле M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p . Эта формула справедлива, так как это установлено благодаря теореме.

Теорема

Если задана точка M 1 (x 1 , y 1 , z 1) в трехмерном пространстве, имеющая нормальное уравнение плоскости χ вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , тогда вычисление расстояния от точки до плоскости M 1 H 1 производится из формулы M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p , так как x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Доказательство

Доказательство теоремы сводится к нахождению расстояния от точки до прямой. Отсюда получаем, что расстояние от M 1 до плоскости χ — это и есть модуль разности числовой проекции радиус-вектора M 1 с расстоянием от начала координат к плоскости χ . Тогда получаем выражение M 1 H 1 = n p n → O M → — p . Нормальный вектор плоскости χ имеет вид n → = cos α , cos β , cos γ , а его длина равняется единице, n p n → O M → — числовая проекция вектора O M → = (x 1 , y 1 , z 1) по направлению, определяемым вектором n → .

Применим формулу вычисления скалярных векторов. Тогда получаем выражение для нахождения вектора вида n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , так как n → = cos α , cos β , cos γ · z и O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Координатная форма записи примет вид n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , тогда M 1 H 1 = n p n → O M → — p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p . Теорема доказана.

Отсюда получаем, что расстояние от точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) к плоскости χ вычисляется при помощи подстановки в левую часть нормального уравнения плоскости cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 вместо х, у, z координаты x 1 , y 1 и z 1
,относящиеся к точке М 1 , взяв абсолютную величину полученного значения.

Рассмотрим примеры нахождения расстояния от точки с координатами до заданной плоскости.

Пример 1

Вычислить расстояние от точки с координатами M 1 (5 , — 3 , 10) к плоскости 2 x — y + 5 z — 3 = 0 .

Решение

Решим задачу двумя способами.

Первый способ начнется с вычисления направляющего вектора прямой a . По условию имеем, что заданное уравнение 2 x — y + 5 z — 3 = 0 является уравнением плоскости общего вида, а n → = (2 , — 1 , 5) является нормальным вектором заданной плоскости. Его применяют в качестве направляющего вектора прямой a , которая перпендикулярна относительно заданной плоскости. Следует записать каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящее через M 1 (5 , — 3 , 10) с направляющим вектором с координатами 2 , — 1 , 5 .

Уравнение получит вид x — 5 2 = y — (- 3) — 1 = z — 10 5 ⇔ x — 5 2 = y + 3 — 1 = z — 10 5 .

Следует определить точки пересечения. Для этого нежно объединить уравнения в систему для перехода от канонического к уравнениям двух пересекающихся прямых. Данную точку примем за Н 1 . Получим, что

x — 5 2 = y + 3 — 1 = z — 10 5 ⇔ — 1 · (x — 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x — 5) = 2 · (z — 10) 5 · (y + 3) = — 1 · (z — 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x — 2 z — 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x — 2 z — 5 = 0

После чего необходимо разрешить систему

x + 2 y + 1 = 0 5 x — 2 z — 5 = 0 2 x — y + 5 z — 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x — 2 z = 5 2 x — y + 5 z = 3

Обратимся к правилу решения системы по Гауссу:

1 2 0 — 1 5 0 — 2 5 2 — 1 5 3 ~ 1 2 0 — 1 0 — 10 — 2 10 0 — 5 5 5 ~ 1 2 0 — 1 0 — 10 — 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = — 1 10 · 10 + 2 · z = — 1 , x = — 1 — 2 · y = 1

Получаем, что H 1 (1 , — 1 , 0) .

Производим вычисления расстояния от заданной точки до плоскости. Берем точки M 1 (5 , — 3 , 10) и H 1 (1 , — 1 , 0) и получаем

M 1 H 1 = (1 — 5) 2 + (- 1 — (- 3)) 2 + (0 — 10) 2 = 2 30

Второй способ решения заключается в том, чтобы для начала привести заданное уравнение 2 x — y + 5 z — 3 = 0 к нормальному виду. Определяем нормирующий множитель и получаем 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 . Отсюда выводим уравнение плоскости 2 30 · x — 1 30 · y + 5 30 · z — 3 30 = 0 . Вычисление левой части уравнения производится посредствам подстановки x = 5 , y = — 3 , z = 10 , причем нужно взять расстояние от M 1 (5 , — 3 , 10) до 2 x — y + 5 z — 3 = 0 по модулю. Получаем выражение:

M 1 H 1 = 2 30 · 5 — 1 30 · — 3 + 5 30 · 10 — 3 30 = 60 30 = 2 30

Ответ: 2 30 .

Когда плоскость χ задается одним из способов раздела способы задания плоскости, тогда нужно для начала получить уравнение плоскости χ и вычислять искомое расстояние при помощи любого метода.

Пример 2

В трехмерном пространстве задаются точки с координатами M 1 (5 , — 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , — 1) . Вычислить расстяние от М 1 к плоскости А В С.

Решение

Для начала необходимо записать уравнение плоскости, проходящее через заданные три точки с координатами M 1 (5 , — 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , — 1) .

x — 0 y — 2 z — 1 2 — 0 6 — 2 1 — 1 4 — 0 0 — 2 — 1 — 1 = 0 ⇔ x y — 2 z — 1 2 4 0 4 — 2 — 2 = 0 ⇔ ⇔ — 8 x + 4 y — 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x — y + 5 z — 3 = 0

Отсюда следует, что задача имеет аналогичное предыдущему решение. Значит, расстояние от точки М 1 к плоскости А В С имеет значение 2 30 .

Ответ: 2 30 .

Нахождение расстояния от заданной точки на плоскости или к плоскости, которым они параллельны, удобнее, применив формулу M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p . Отсюда получим, что нормальные уравнения плоскостей получают в несколько действий.

Пример 3

Найти расстояние от заданной точки с координатами M 1 (- 3 , 2 , — 7) к координатной плоскости О х у z и плоскости, заданной уравнением 2 y — 5 = 0 .

Решение

Координатная плоскость О у z соответствует уравнению вида х = 0 . Для плоскости О у z оно является нормальным. Поэтому необходимо подставить в левую часть выражения значения х = — 3 и взять модуль значения расстояния от точки с координатами M 1 (- 3 , 2 , — 7) к плоскости. Получаем значение, равное — 3 = 3 .

После преобразования нормальное уравнение плоскости 2 y — 5 = 0 получит вид y — 5 2 = 0 . Тогда можно найти искомое расстояние от точки с координатами M 1 (- 3 , 2 , — 7) к плоскости 2 y — 5 = 0 . Подставив и вычислив, получаем 2 — 5 2 = 5 2 — 2 .

Ответ:
Искомое расстояние от M 1 (- 3 , 2 , — 7) до О у z имеет значение 3 , а до 2 y — 5 = 0 имеет значение 5 2 — 2 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Пусть
существует плоскость
.
Проведем нормаль
через начало координат О. Пусть заданы
– углы, образованные нормальюс осями координат.
.
Пусть–
длина отрезка нормали
до пересечения с плоскостью. Считая
известными направляющие косинусы
нормали,
выведем уравнение плоскости.

Пусть

)
– произвольная точка плоскости. Вектор
единичной нормали имеет координаты.
Найдем проекцию вектора
на нормаль.

Поскольку
точка М

принадлежит плоскости, то

.

Это
и есть уравнение заданной плоскости,
называющееся нормальным

.

Расстояние от точки до плоскости

Пусть
дана плоскость
,М
*
– точка пространства,d

– её расстояние
от плоскости.

Определение.

Отклонением

точки М*

от плоскости называется
число (+
d
),

если M
*

лежит по ту сторону от плоскости, куда
указывает положительное направление
нормали
,
и число (-d
),
если точка расположена по другую сторону
плоскости:

.

Теорема
.
Пусть
плоскость
с единичной нормальюзадана нормальным уравнением:

Пусть
М
*
– точка пространства Отклонение т.M
*
от плоскости задаётся выражением

Доказательство.

Проекцию т.

*
на нормаль обозначимQ
.

Отклонение точки М*

от плоскости равно

.

Правило.

Чтобы найти отклонение


т. M
*
от плоскости, нужно в нормальное уравнение
плоскости подставить координаты т. M
*
.
Расстояние от точки до плоскости равно
.

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду

Пусть
одна и та же плоскость задана двумя
уравнениями:

Общее уравнение,

Нормальное уравнение.

Поскольку оба
уравнения задают одну плоскость, их
коэффициенты пропорциональны:

Первые три равенства
возведем в квадрат и сложим:

Отсюда
найдем
– нормирующий множитель:

. (10)

Умножив
общее уравнение плоскости на нормирующий
множитель, получим нормальное уравнение
плоскости:

Примеры задач на тему «Плоскость».

Пример
1.
Составить
уравнение плоскости
,
проходящей через заданную точку
(2,1,-1)
и параллельной плоскости.

Решение
.
Нормаль к плоскости
:
.
Поскольку плоскости параллельны, то
нормальявляется и нормалью к искомой плоскости.
Используя уравнение плоскости, проходящей
через заданную точку (3), получим для
плоскостиуравнение:

Ответ:

Пример
2.
Основанием
перпендикуляра, опущенного из начала
координат на плоскость
,
является точка
.
Найти уравнение плоскости.

Решение
.
Вектор

является нормалью к плоскости.
ТочкаМ
0

принадлежит плоскости. Можно воспользоваться
уравнением плоскости, проходящей через
заданную точку (3):

Ответ:

Пример
3.
Построить
плоскость
,
проходящую через точки

и перпендикулярную
плоскости
:.

Следовательно,
чтобы некоторая точка М

(x
,
y
,
z
)
принадлежала плоскости
,
необходимо, чтобы три вектора
были
компланарны:

=0.

Осталось
раскрыть определитель и привести
полученное выражение к виду общего
уравнения (1).

Пример
4.
Плоскость
задана
общим уравнением:

Найти
отклонение точки
от заданной плоскости.

Решение
.
Приведем уравнение плоскости к нормальному
виду.

,

.

Подставим
в полученное нормальное уравнение
координаты точки М*
.

.

Ответ:

.

Пример
5.
Пересекает
ли плоскость
отрезок.

Решение
.
Чтобы отрезок АВ

пересекал плоскость, отклонения
иот плоскостидолжны иметь разные знаки:

.

Пример
6.
Пересечение
трех плоскостей в одной точке.

.

Система
имеет единственное решение, следовательно,
три плоскости имеют одну общую точку.

Пример
7.
Нахождение
биссектрис двугранного угла, образованного
двумя заданными плоскостями.

Пусть
и- отклонение некоторой точки
от первой и второй плоскостей.

На одной из
биссектральных плоскостей (отвечающей
тому углу, в котором лежит начало
координат) эти отклонения равны по
модулю и знаку, а на другой – равны по
модулю и противоположны по знаку.

Это уравнение
первой биссектральной плоскости.

Это уравнение
второй биссектральной плоскости.

Пример
8.
Определение
местоположения двух данных точек
иотносительно двугранных углов,
образованных данными плоскостями.

Пусть

.
Определить: в одном, в смежных или в
вертикальных углах находятся точкии.

а).
Если
илежат по одну сторону оти от,
то они лежат в одном двугранном углу.

б).
Если
илежат по одну сторону оти по разные от,
то они лежат в смежных углах.

в).
Если
илежат по разные стороны оти,
то они лежат в вертикальных углах.

Системы
координат 3

Линии
на плоскости 8

Линии
первого порядка. Прямые на плоскости. 10

Угол
между прямыми 12

Общее
уравнение прямой 13

Неполное
уравнение первой степени 14

Уравнение
прямой “в отрезках” 14

Совместное
исследование уравнений двух прямых 15

Нормаль
к прямой 15

Угол
между двумя прямыми 16

Каноническое
уравнение прямой 16

Параметрические
уравнения прямой 17

Нормальное
(нормированное) уравнение прямой 18

Расстояние
от точки до прямой 19

Уравнение
пучка прямых 20

Примеры
задач на тему «прямая на плоскости» 22

Векторное
произведение векторов 24

Свойства
векторного произведения 24

Геометрические
свойства 24

Алгебраические
свойства 25

Выражение
векторного произведения через координаты
сомножителей 26

Смешанное
произведение трёх векторов 28

Геометрический
смысл смешанного произведения 28

Выражение
смешанного произведения через координаты
векторов 29

Примеры
решения задач

,

Конкурс «Презентация к уроку»

Класс:

11

Презентация к уроку



Назад
Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

  • обобщение и систематизация знаний и умений
    учащихся;
  • развитие умений анализировать, сравнивать,
    делать выводы.

Оборудование:

  • мультимедийный проектор;
  • компьютер;
  • листы с текстами задач

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Организационный момент

II. Этап актуализации знаний
(слайд 2)

Повторяем как определяется расстояние от точки
до плоскости

III. Лекция
(cлайды 3-15)

На занятии мы рассмотрим различные способы
нахождения расстояния от точки до плоскости.

Первый метод: поэтапно-вычислительный

Расстояние от точки М до плоскости α:
– равно расстоянию до плоскости α от
произвольной точки Р, лежащей на прямой a,
которая проходит через точку М и параллельна
плоскости α;
– равно расстоянию до плоскости α от
произвольной точки Р, лежащей на плоскости β,
которая проходит через точку М и параллельна
плоскости α.

Решим следующие задачи:

№1.
В кубе А…D 1 найти
расстояние от точки С 1 до плоскости АВ 1 С.

Осталось вычислить значение длины отрезка О 1 Н.

№2.
В правильной шестиугольной призме
А…F 1 , все ребра которой равны 1, найдите
расстояние от точки А до плоскости DEA 1 .

Следующий метод: метод объемов
.

Если объем пирамиды АВСМ равен V, то
расстояние от точки М до плоскости α, содержащей ∆АВС вычисляется по формуле ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При решении задач мы используем равенство
объемов одной фигуры, выраженные двумя
различными способами.

Решим следующую задачу:

№3.
Ребро AD пирамиды DABC
перпендикулярно плоскости основания АВС.
Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей
через середины ребер АВ, АС и АD, если.

При решении задач координатным методом

расстояние от точки М до плоскости α можно
вычислить по формуле ρ(М; α) = , где М(х 0 ; у 0 ; z 0), а
плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0

Решим следующую задачу:

№4.
В единичном кубе A…D 1 найдите
расстояние от точки А 1 до плоскости ВDC 1 .

Введем систему координат с началом в точке А,
ось у пройдет по ребру АВ, ось х – по ребру АD, ось z
– по ребру АА 1 . Тогда координаты точек В
(0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Составим уравнение плоскости, проходящей через
точки В, D, C 1 .

Тогда – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1=
0. Следовательно, ρ =

Следующий метод, который можно использовать
при решении задач данного типа – метод
опорных задач.

Применение данного метода состоит в применении
известных опорных задач, которые формулируются
как теоремы.

Решим следующую задачу:

№5.
В единичном кубе А…D 1
найдите расстояние от точки D 1 до
плоскости АВ 1 С.

Рассмотрим применение векторного метода.

№6.
В единичном кубе А…D 1
найдите расстояние от точки А 1 до
плоскости ВDС 1 .

Итак, мы рассмотрели различные способы, которые
можно использовать при решении данного типа
задач. Выбор того или иного метода зависит от
конкретной задачи и ваших предпочтений.

IV. Работа в группах

Попробуйте решить задачу разными способами.

№1.
Ребро куба А…D 1 равно . Найдите
расстояние от вершины С до плоскости BDC 1 .

№2.
В правильном тетраэдре АВСD с
ребром найдите
расстояние от точки А до плоскости BDC

№3.
В правильной треугольной призме
АВСА 1 В 1 С 1 все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от А до плоскости
ВСА 1 .

№4.
В правильной четырехугольной
пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите
расстояние от А до плоскости SCD.

V. Итог урока, домашнее задание, рефлексия

Как инструменты близости вычисляют расстояние—Справка











Как определяется расстояние

Расстояние между любыми двумя объектами вычисляется как минимальный интервал между ними, т. е., там, где два объекта расположены ближе всего друг к другу. Эта логика действует во всех инструментах геообработки, которые вычисляют расстояние, включая такие инструменты, как Ближайший объект, Построить таблицу ближайших объектов, Расстояние между точками и Пространственное соединение (с опцией ближайших совпадений).

Измерения расстояний имеют наибольшую точность, если входные данные используют систему координат равнопромежуточной проекции. Хотя вычисление расстояния может быть выполнено независимо от системы координат, результат может оказаться не точным или даже бессмысленным, если данные используют географическую систему координат или система координат задана неправильно.

Более подробно о географических системах координат и системах координат проекции

Для дальнейшего обсуждения, расстоянием всегда будет считаться минимальный интервал между двумя объектами.

Особые соображения

  • Несколько объектов могут оказаться на одинаковом удалении от другого объекта. В таком случае один из равноудаленных объектов будет выбираться в качестве ближайшего случайным образом.
  • Если один из объектов содержит другой или находится внутри другого объекта, расстояние между ними равно 0.
    • Это означает, что если объект находится внутри полигона, расстояние между ним и окружающим его полигоном равно 0.
  • Расстояние между двумя объектами равняется нулю всякий раз, когда у них имеется хотя бы одна общая координата x,y.
    • Это означает, что при пересечении, перекрытии или касании двух объектов, расстояние между ними равняется 0.
  • Расстояние всегда вычисляется до границы полигонального объекта, не до центра или центроида полигона.
    • Как отмечено выше, если объект полностью находится внутри полигона, расстояние между ним и окружающим его полигоном равно 0.
  • Расстояние между двумя объектами (любого типа) не меняется в зависимости от направления измерения.

Основные операции для определения расстояния

Вычисление расстояния зависит от типа геометрии объектов, а также от других факторов, таких как система координат. Однако есть три основных правила, подробнее описанные ниже, которые определяют способ вычисления расстояния.

  1. Расстояние между двумя точками является прямой линией, соединяющей их.
  2. Расстояние от точки до линии измеряется либо как перпендикуляр, либо как расстояние до ближайшей вершины.
  3. Расстояние между полилиниями определяется вершинами сегментов.

Правило 1: расстояние между двумя точками является прямой линией, соединяющей их

На рисунке ниже показано расстояние между двумя точками, вместе с несколькими ключевыми словами и объектами, использующимися инструментами близости.

Ключевые слова в вышеуказанных выносках (IN_FID, NEAR_DIST, NEAR_FID, NEAR_X, NEAR_Y и NEAR_ANGLE) являются полями, добавляемыми к выходным данным инструментами Построить таблицу ближайших объектов и Расстояние между точками, а также к входному классу объектов при использовании инструмента Ближайший объект.

Расстояние между мультиточками

Для особого случая, когда определяется расстояние между мультиточками, вычисляются расстояния от каждой точки входного мультиточечного объекта до каждой точки ближайшего мультиточечного объекта с помощью Правила 1, минимальное из этих трех расстояний станет расстоянием между мультиточечными объектами.

Кроме того, когда одна из точек мультиточечного объекта находится поверх одной из точек другого мультиточечного объекта, расстояние между ними равняется 0. Это справедливо для всех составных объектов.

Правило 2: расстояние от точки до полилинии измеряется либо как перпендикуляр, либо как расстояние до ближайшей вершины

В ArcGIS линейные объекты называются полилиниями. Эти два термина, линия и полилиния, взаимозаменяемы. Полилиния является упорядоченным набором точек, эти точки называются вершинами. An individual vertice is a vertex. Полилиния может иметь любое количество вершин. Линия, заданная двумя вершинами, называется сегментом. Две вершины, которые задают сегмент линии, называются конечными вершинами.

Сходным образом, полигон является замкнутой областью, заданной одной или несколькими полилиниями.

Кратчайшим расстоянием от точки до сегмента линии является перпендикуляр к ней. Если в пределах конечных вершин сегмента перпендикуляр провести не удается, кратчайшим расстоянием будет расстояние до ближайшей конечной вершины.

Расстояние от точки до полилинии

Если полилиния содержит только один сегмент, для вычисления расстояния применяется Правило 2.

Если полилиния состоит из нескольких сегментов (чаще всего), сначала определяется ближайший к точке сегмент линии, затем для вычисления расстояния применяется Правило 2.

Расстояние от точки до полигона

Поскольку полигон является замкнутой областью, образованной набором сегментов линий, вычисление расстояния от точки до полигона включает определение ближайшего к точке сегмента, затем применяется Правило 2.

Расстояние будет определяться, только если точка находится вне полигона; иначе, расстояние равно 0.

На рисунке выше, для точек 2 и 3 расстояние равно 0, для точек 1 и 4 – расстояние положительно.

Правило 3: расстояние между полилиниями определяется вершинами сегментов линии

Для двух объектов, не являющихся точками, таких как два сегмента линий:

  1. Расстояние вычисляется от каждой из конечных вершин входного сегмента до ближайшего сегмента с использованием Правила 2.
  2. Расстояние вычисляется от каждой из конечных вершин ближайшего сегмента до входного сегмента.

Минимальное из этих двух значений принимается за расстояние между двумя сегментами.

Расстояние от полилинии до полилинии

В простейшем случае, предположим, что оба полилинейных объекта состоят из одного сегмента. На рисунке ниже показан перпендикуляр CX от вершины C до сегмента, заданного вершинами AB. Перпендикуляр от вершины D также вычисляется, но это расстояние больше, чем расстояние CX. Поэтому CX является кратчайшим расстоянием от сегмента CD до сегмента AB.

Обратите внимание, что перпендикуляр от вершины A или B до сегмента CD провести нельзя, поэтому, кратчайшее расстояние вычисляется от вершин A и B до вершины C. В результате, именно AC является кратчайшим расстоянием между сегментами AB и CD.

Из двух вычисленных расстояний (AC и CX), CX является кратчайшим между двумя сегментами, поскольку это минимальное расстояние из всех расстояний между вершинами и сегментом.

Когда обе полилинии состоят из нескольких сегментов, определяются два наиболее близкорасположенных друг к другу сегмента, затем вычисляется расстояние, согласно Правилу 3.

Расстояние от полилинии до полигона

При вычислении расстояния между полилинией и полигоном определяются два наиболее близкорасположенных сегмента: один сегмент полилинии и один сегмент из образующих границу полигона. Расстояние между этими двумя сегментами определяется так же, как описано в Правиле 3.

Краткая информация

На следующем рисунке показано, как измеряется расстояние между объектами различных типов и определяется положение ближайших объектов. Показаны не все возможные комбинации.

Связанные темы

Отзыв по этому разделу?

Прямая на плоскости, всевозможные уравнения, расстояние от точки до прямой.

Страница 1 из 3

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

 

Существуют такие формы записи уравнения прямой:

1) $y=kx+b,$ где $k -$ угловой коэффициент, $b-$ отрезок, который прямая отсекает на оси $OY. $

2) $y-y_0=k(x-x_0) $ — уравнение прямой, которая проходит через заданную точку $P(x_0, y_0)$ под заданным углом $\alpha$ к оси $OX$ $(k=tg\alpha).$

3) $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1} $ — уравнение прямой, которая проходит через две точки $M(x_1, y_1)$ и $N(x_2, y_2).$ 

4) $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 $ — уравнение прямой в отрезках на осях, где $a$ и $b -$ величины отрезков, которые прямая отсекает на осях координат.

5) $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m} $ — каноническое уравнение прямой, где $\overline{S}=(l, m) -$ направляющий вектор прямой, то есть вектор параллельный прямой $(\overline{S}\parallel L),$ точка $P(x_0, y_0)\in L.$

  {jumi[*4]}

6) $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$ — уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0)$ перпендикулярно вектору $\overline{N}=(A, B).$ Вектор $\overline N$ называется нормальным вектором прямой.

7) $Ax+By+C=0 -$ общее уравнение прямой $L,$ где $\overline{N}=(A, B) -$ нормальный вектор прямой $L. 2}}\right|.$$

 

Видео с вопросом: Определение расстояния между точкой и исходной точкой с помощью формулы расстояния между двумя точками

Стенограмма видеозаписи

Найдите расстояние между отрицательной точкой два, четыре и исходной точкой.

Чтобы помочь нам понять, что означает этот вопрос, я нарисовал небольшой набросок. На самом деле я показал это на паре осей. Так что на самом деле у нас есть два момента. У нас отрицательные два, четыре.А у нас ноль, ноль. И это ноль, ноль, потому что это источник. И мы пытаемся найти расстояние между этими двумя точками. И я изобразил это розовой линией.

Для этого нам нужно использовать формулу расстояния или формулу расстояния между двумя точками. И формула такова: расстояние равно квадратному корню два минус 𝑥 один все в квадрате плюс 𝑦 два минус 𝑦 один все в квадрате.

На самом деле это означает квадратный корень из разницы между нашими-координатами в квадрате плюс разность между нашими 𝑦-координатами в квадрате. Но почему это дает нам расстояние? Что ж, причина, по которой мы получили эту формулу, в том, что она исходит из теоремы Пифагора.

Итак, я нарисовал маленький треугольник, чтобы помочь нам понять, что это будет. Итак, у меня получился прямоугольный треугольник. А наше расстояние на самом деле наша гипотенуза. Наша разница в 𝑦 — одна из наших коротких сторон. А разница в 𝑥-координатах — это на самом деле наша другая более короткая сторона. Таким образом, мы сможем адаптировать нашу теорему Пифагора, чтобы на самом деле дать нам гипотенузу или, в данном случае, расстояние.

Хорошо, отлично! Давайте воспользуемся формулой, чтобы вычислить расстояние между нашей точкой и исходной точкой. Итак, во-первых, я обозначил наши координаты. И я сделал это, чтобы мы знали, что мы собираемся вернуть в нашу формулу, не совершая ошибок. А затем мы фактически подставим эти значения в нашу формулу.

Итак, мы имеем, что расстояние равно квадратному корню из нуля минус два минус два, все в квадрате. И это потому, что это 𝑥 два, то есть ноль, минус один, что отрицательно.И тогда все в квадрате. И это будет плюс ноль минус четыре в квадрате. И это потому, что это наши ценности два и 𝑦 один. Таким образом, это даст нам, что расстояние равно квадратному корню из двух в квадрате плюс отрицательные четыре в квадрате.

И, как вы можете видеть на этом этапе, мы фактически возводим в квадрат разности каждой из наших 𝑥-координат и 𝑦-координат. Так что на самом деле это будет означать, что не имеет значения, в каком направлении у нас есть очки. Так что, если бы наши 𝑥 один и 𝑦 один поменяли местами с нашими два и два, это все равно работало бы, потому что мы фактически возводим разницу в квадрат.Так что ответ всегда будет положительным.

Итак, теперь мы можем продолжить и сказать, что расстояние равно корню 20. Хорошо, это окончательный ответ? О да, здесь у нас есть ответ. Но я всегда говорю: если вы получите резкий ответ, постарайтесь упростить, где это возможно. Итак, мы попробуем и дальше упростить это.

Чтобы еще больше упростить это, мы будем использовать это правило surd, которое гласит, что корень 𝑎, умноженный на корень 𝑏, равен корню, помня, что мы действительно хотим, чтобы 𝑎 или 𝑏 были наивысшим квадратным множителем 20 , что означает, что мы можем сказать, что корень 20 равен корню четыре, умноженному на корень пять.И мы не можем упростить это дальше.

Итак, мы можем сказать, что расстояние между отрицательной точкой два, четыре и исходной точкой будет равно двум корням пять. И в этом вопросе у нас просто нет единиц. Вместо этого мы часто можем сказать, что это две единицы длины корня пятью.

Кратчайшее расстояние между точкой и окружностью

Какое расстояние между кругом

C

с уравнением

Икс

2

+

y

2

знак равно

р

2

с центром в начале координат и в точке

п

(

Икс

1

,

y

1

)

?

Луч

О

п

, начиная с начала координат

О

и проходя через точку

п

, пересекает круг в точке, ближайшей к

п

. Таким образом, расстояние между кругом и точкой будет разницей расстояния точки от начала координат и радиуса круга.

С помощью

Формула расстояния

, кратчайшее расстояние между точкой и окружностью равно

|

(

Икс

1

)

2

+

(

y

1

)

2

р

|

.

Обратите внимание, что формула работает независимо от того,

п

находится внутри или вне круга.

Если круг не центрирован в начале координат, но имеет центр, скажите

(

час

,

k

)

и радиус

р

, кратчайшее расстояние между точкой

п

(

Икс

1

,

y

1

)

и круг

|

(

Икс

1

час

)

2

+

(

y

1

k

)

2

р

|

.


Пример 1:

Какое кратчайшее расстояние между кругом

Икс

2

+

y

2

знак равно

9

и точка

А

(

3

,

4

)

?

Круг с центром в начале координат и имеет радиус

3

.

Итак, кратчайшее расстояние

D

между точкой и кругом определяется выражением

D

знак равно

|

(

3

)

2

+

(

4

)

2

3

|

знак равно

|

25

3

|

знак равно

|

5

3

|

знак равно

2

То есть кратчайшее расстояние между ними составляет

2

единицы измерения.


Пример 2:

Какое кратчайшее расстояние между кругом

Икс

2

+

y

2

знак равно

36

и точка

Q

(

2

,

2

)

?

Круг с центром в начале координат и имеет радиус

6

.

Итак, кратчайшее расстояние

D

между точкой и кругом определяется выражением

D

знак равно

|

(

2

)

2

+

(

2

)

2

6

|

знак равно

|

8

6

|

знак равно

6

2

2

3. 17

То есть кратчайшее расстояние между ними составляет около

3,17

единицы измерения.


Пример 3:

Какое кратчайшее расстояние между кругом

(

Икс

+

3

)

2

+

(

y

3

)

2

знак равно

5

2

и точка

Z

(

2

,

0

)

?

Сравните данное уравнение со стандартной формой уравнения круга,

(

Икс

час

)

2

+

(

y

k

)

2

знак равно

р

2

где

(

час

,

k

)

это центр и

р

это радиус.

Данный круг имеет центр в

(

3

,

3

)

и имеет радиус

5

единицы измерения.

Тогда кратчайшее расстояние

D

между точкой и кругом определяется выражением

D

знак равно

|

5

(

3

(

2

)

)

2

+

(

3

0

)

2

|

знак равно

|

5

1

+

9

|

знак равно

|

5

10

|

1. 84

То есть кратчайшее расстояние между ними составляет около

1,84

единицы измерения.


Пример 4:

Какое кратчайшее расстояние между кругом

Икс

2

+

y

2

8

Икс

+

10

y

8

знак равно

0

и точка

п

(

4

,

11

)

?

Перепишем уравнение круга в виде

(

Икс

час

)

2

+

(

y

k

)

2

знак равно

р

2

где

(

час

,

k

)

это центр и

р

это радиус.

Икс

2

+

y

2

8

Икс

+

10

y

8

знак равно

0

Икс

2

8

Икс

+

16

+

y

2

+

10

y

+

25

знак равно

8

+

16

+

25

(

Икс

4

)

2

+

(

y

+

5

)

2

знак равно

49

(

Икс

4

)

2

+

(

y

+

5

)

2

знак равно

7

2

Итак, круг имеет центр в

(

4

,

5

)

и имеет радиус

7

единицы измерения.

Тогда кратчайшее расстояние

D

между точкой и кругом определяется выражением

D

знак равно

|

(

4

4

)

2

+

(

11

(

5

)

)

2

7

|

знак равно

|

64

+

36

7

|

знак равно

100

7

знак равно

3

То есть кратчайшее расстояние между ними составляет

3

единицы измерения.

Расстояние от точки до вертикальной или горизонтальной линии

Расстояние от точки до вертикальной или горизонтальной линии — Math Open Reference

Расстояние от точки до вертикальной или горизонтальной линии можно найти по простой разности координат.

Попробуй это
Перетащите точку C или линию, используя оранжевую точку на ней. Обратите внимание на расстояние от точки до линии.
Вы также можете перетащить исходную точку на (0,0).

Найти расстояние от точки до линии легко, если линия
вертикальный
или же
горизонтальный.Мы
просто найдите разницу между соответствующими координатами точки и линии.
Фактически, для вертикальных линий это способ , только ,
поскольку для других методов требуется наклон линии, который не определен для вертикальных линий.
Для получения дополнительной информации см. Наклон линии (Координатная геометрия).

Вертикальные линии

На рисунке выше нажмите «Сброс». Как видите, у нас есть вертикальная линия,
уравнение x = 22.
Это означает, что все точки линии имеют координату x 22.Данная точка C имеет координаты (42,7), что означает, что она имеет координату x 42.
Таким образом, расстояние между точкой и линией равно разнице между 22 и 42 или 20.

Как формула:

расстояние = | P x — L x |
где:
P x — координата x данной точки P
Д x — координата x любой точки на данной вертикальной прямой L.
| | вертикальные полосы означают «абсолютное значение» — делают его положительным, даже если вычисление дает отрицательное.

Пример:

Здесь мы видим, как использовать этот метод для расчета расстояний на рисунке выше.

  • На рисунке выше нажмите «Сброс».
  • Перетащите точку C влево, мимо оси Y, пока она не будет иметь координаты (-10,15).
  • Линия имеет координату x 22.
  • Точка C имеет координату x -10.
  • Следовательно, расстояние от C до линии составляет

    | -10-22 | = 32

Горизонтальные линии

На рисунке выше нажмите «Сброс», затем «По горизонтали».
Как видите, у нас есть горизонтальная линия с уравнением y = 25.
Это означает, что все точки линии имеют координату y, равную 25.
Данная точка C имеет координаты (39,7), что означает, что ее координата y равна 7.
Таким образом, расстояние между точкой и линией — это разница между 25 и 7 или 18.

Как формула:

расстояние = | P y — L y |
где:
P y — координата y данной точки P
л y — координата y любой точки на заданной вертикальной прямой L.
| | вертикальные полосы означают «абсолютное значение» — делают его положительным, даже если вычисление дает отрицательное.

Пример:

Здесь мы видим, как использовать этот метод для расчета расстояний на рисунке выше.

  • На рисунке выше нажмите «Сброс», затем «По горизонтали»
  • Перетащите точку C вниз, мимо оси x, пока она не получит координаты (40, -6).
  • Линия имеет координату Y 25.
  • Координата Y точки C равна -6.
  • Следовательно, расстояние от C до линии составляет

    | -6-25 | = 31

Что попробовать

Проверьте свое понимание этого метода, выполнив следующие действия:

  1. На рисунке выше нажмите «Сброс» и «Скрыть детали»
  2. Перетащите точку C в любое место и перетащите оранжевую точку на линии в любое место.
  3. Рассчитайте расстояние от точки до линии.
  4. Щелкните «Показать подробности», чтобы увидеть, как вы это сделали.
  5. Щелкните «горизонтально» и повторите.

Другие методы

Это один из способов найти расстояние от точки до линии. Другие:

Ограничения

Для большей ясности в приведенном выше апплете координаты округлены до целых чисел, а длины округлены до одного десятичного знака.
Это может привести к небольшому отклонению расчетов.

Подробнее см.
Учебные заметки

Другие темы о координатной геометрии

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.

Все права защищены.

Формула расстояния | Purplemath

Purplemath

Формула расстояния — это вариант теоремы Пифагора, которую вы использовали еще в геометрии.Вот как мы переходим от одного к другому:

Предположим, вам даны две точки (–2, 1) и (1, 5), и они хотят, чтобы вы выяснили, насколько они далеко друг от друга. Очки выглядят так:

MathHelp.

com

Вы можете рисовать линии, образующие прямоугольный треугольник, используя эти точки как два угла:

Легко найти длины горизонтальной и вертикальной сторон прямоугольного треугольника: просто вычтите значения x и значения y :

Затем используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину третьей стороны (которая является гипотенузой прямоугольного треугольника):

…so:


Этот формат всегда верен. Имея две точки, вы всегда можете построить их, нарисовать прямоугольный треугольник, а затем найти длину гипотенузы. Длина гипотенузы — это расстояние между двумя точками. Поскольку этот формат работает всегда, его можно превратить в формулу:

Формула расстояния: учитывая две точки ( x 1 , y 1 ) и ( x 2 , y 2 ), дается расстояние d между этими точками. по формуле:

Пусть вас не пугают индексы.Они только указывают на то, что есть «первая» точка и «вторая» точка; то есть у вас есть два очка. Какой из них вы назовете «первым» или «вторым» — решать вам. В любом случае расстояние будет таким же.


  • Найдите расстояние между точками (–2, –3) и (–4, 4).

Я просто подставляю координаты в формулу расстояния:

Тогда расстояние будет sqrt (53), или около 7. 28 с округлением до двух десятичных знаков.


URL: https://www.purplemath.com/modules/distform.htm

Страница не найдена | Ларсон Precalculus — Precalculus 9e

MathArticles.com предоставляет соответствующие статьи из известных математических журналов.Статьи согласованы по тематике исчисления Ларсона. Посетите MathArticles.com, чтобы получить доступ к статьям из:

Журнал

Организации

AMATYC Обзор

Американская математическая ассоциация двухгодичных колледжей

Американский математический ежемесячник

Математическая ассоциация Америки

Журнал математики колледжа

Математическая ассоциация Америки

Журнал химического образования

Американское химическое общество

Математические горизонты

Математическая ассоциация Америки

Математический вестник

Математическая ассоциация (Великобритания)

Математический журнал

Математическая ассоциация Америки

Учитель математики

Национальный совет учителей математики

Учитель физики

Американская ассоциация учителей физики

Scientific American

Scientific American

Журнал UMAP

Консорциум математики и ее приложений

Формула расстояния Пифагора — Полный курс алгебры

32

Расстояние точки от начала координат

Расстояние между любыми двумя точками

Доказательство теоремы Пифагора

ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ и исчисления — это теорема, которая связывает квадраты, нарисованные на сторонах прямоугольного треугольника. Заслуга в доказательстве теоремы принадлежит греческому философу Пифагору, жившему в VI веке до н.э.

г.

Вот утверждение теоремы:

В прямоугольном треугольнике квадрат, нарисованный на стороне, противоположной прямому углу
, равен квадратам, нарисованным на сторонах, составляющих прямой угол.

Это означает, что если ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом при A, то квадрат, нарисованный на BC напротив прямого угла, равен двум квадратам вместе на CA, AB.

Другими словами, если требуется одна банка краски, чтобы нарисовать квадрат на BC, то также потребуется ровно одна банка, чтобы закрасить два других квадрата.

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой («hy-POT’n-yoos», что буквально означает «растяжение вниз»).

Алгебраически, если гипотенуза равна c , а стороны равны a, b :

a 2 + b 2 = c 2 .

Доказательство см. Ниже.

Задача 1. Сформулируйте теорему Пифагора словами.

В прямоугольном треугольнике квадрат на стороне, противоположной прямому углу, будет равен квадратам на сторонах, составляющих прямой угол.

Задача 2. Правый треугольник ниже имеет стороны a, b, c .

Что из следующего является правильным?

а) а 2 + б 2 = в 2

б) а 2 + в 2 = б 2

c) a 2 = b 2 + c 2

г) в 2 = б 2 + а 2

в) правильно.

Задача 3. Рассчитайте длину гипотенузы c , когда стороны следующие.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

a) a = 5 см, b = 12 см.

с 2 = 5 2 + 12 2
= 25 + 144
= 169.
Следовательно, c =
= 13 см,
об упрощении радикала.

б) a = 3 см, b = 6 см.

с 2 = 3 2 + 6 2
= 9 + 36
= 9 (1 + 4)
= 9 · 5.
Следовательно, c =
= см.

Поскольку 9 — квадратное число и общий делитель 9 и 36, то мы можем ожидать упрощения радикала, написав 9 + 36 = 9 (1 + 4) = 9 · 5.

Мы, конечно, могли бы написать 9 + 36 = 45 = 9 · 5.Но это сначала стирает квадрат номер 9. Затем мы должны вернуть его.

Расстояние d точки ( x , y ) от исходной точки

Согласно теореме Пифагора и значению прямоугольных координат ( x , y ),

d 2 = x 2 + y 2 .

Следовательно,

«Расстояние точки от начала координат
равен квадратному корню из
сумма квадратов координат.«

Пример 1. Как далеко от начала координат находится точка (4, −5)?

Задача 4. Как далеко от начала координат находится точка (−5, −12)?

Расстояние между любыми двумя точками

Как далеко от (4, 3) до (15, 8)?

Рассмотрим расстояние d как гипотенузу прямоугольного треугольника.Тогда, согласно задаче 4 урока 31, координаты под прямым углом равны (15, 3).

Следовательно, горизонтальный отрезок этого треугольника — это просто расстояние от 4 до 15:15 — 4 = 11.

Вертикальный отрезок — это расстояние от 3 до 8: 8 — 3 = 5.

Следовательно,

Чтобы найти формулу, воспользуемся нижними индексами и обозначим две точки как

.

( x 1 , y 1 ) (« x -sub-1, y -sub-1″) и ( x 2 , y 2 ) (« x -sub-2, y -sub-2″).

Нижним индексом 1 отмечены координаты первой точки; индекс 2 обозначает координаты секунды. Мы пишем абсолютное значение, потому что расстояние никогда не бывает отрицательным.

Вот формула Пифагора для расстояния между любыми двумя точками:

Разницу условно обозначают
x — обозначает символ Δ x («дельта — x «):

Δ x = x 2 x 1

Аналогично

Δ y = y 2 y 1

Следовательно,

Пример 2.Рассчитайте расстояние между точками (1, 3) и (4, 8).

Решение. Δ x = 4 — 1 = 3.
Δ y = 8 — 3 = 5.

Следовательно,

Примечание: Неважно, какую точку мы называем первой, а какую — второй. Или

Δ x = 1-4 = −3.
Δ y = 3-8 = −5.

Но (−3) 2 = 9 и (−5) 2 = 25. Квадраты всегда будут положительными.

Пример 3.Вычислите расстояние между точками (−8, −4) и (1, 2).

Решение. Δ x = 1 — (−8) = 1 + 8 = 9.
Δ y = 2 — (−4) = 2 + 4 = 6.

Следовательно,

Проблема 5.Рассчитайте расстояние между (2, 5) и (8, 1)

Задача 6. Вычислите расстояние между (−11, −6) и (−16, −1)

Доказательство теоремы Пифагора

Пусть прямоугольный треугольник имеет стороны a , b и гипотенузу c . И давайте расположим четыре из этих треугольников, чтобы сформировать квадрат со стороной a + b .(Рис.1)

Теперь площадь этого квадрата равна сумме четырех треугольников плюс внутренний квадрат со стороной c .

Однако два из этих треугольников, вместе взятые, равны прямоугольнику со сторонами a , b . В

Площадь такого прямоугольника равна a умножить на b : ab . Следовательно, четыре треугольника вместе равны двум таким

прямоугольники.Их площадь — 2 ab .

Что касается квадрата со стороной c , его площадь просто c 2 . Следовательно, площадь всего квадрата

c 2 + 2 ab . . . . . . . (1)

В то же время равный квадрат со стороной a + b (рис. 2)
состоит из квадрата со стороной a , квадрата со стороной b и двух прямоугольников, стороны a , b .Следовательно, площадь этого квадрата

a 2 + b 2 + 2 ab .

Но это равно квадрату, образованному треугольниками, линия (1):

a 2 + b 2 + 2 ab = c 2 + 2 ab .

Следовательно, вычитая два прямоугольника 2 ab из каждого квадрата, у нас остается

a 2 + b 2 = c 2 .

Это теорема Пифагора.

Следующий урок: Уравнение прямой

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Каково расстояние по горизонтали от начала координат до точки (8,1)

Помогите, пожалуйста, я дам вам 15 баллов, если вы ответите

Опрос группы семиклассников и группы учителей местной средней школы спросил, сколько братьев и сестер у каждого из них. Точечные графики ниже sh

результаты.
Студенты
Точечный график «Студенты». В числовой строке от 0 до 9 указано количество братьев и сестер. Есть 2 точки над 0, 4 над 1, 7 над 2, 5 над 3, 2 над 4 и 0 над 5, 6, 7, 8 и 9.
Учителя
Точечный график «Учителя». В числовой строке от 0 до 9 указано количество братьев и сестер. Есть 1 точка над 0, 3 точки над 1, 2 над 2, 4 над 3, 5 над 4, 3 над 5, 1 над 6, 0 над 7, 1 над 8 и 0 над 9.
Основываясь на форме двух точечных графиков, какие утверждения правильно их сравнивают? Выберите три варианта.Центр данных для учащихся имеет меньшее значение, чем центр данных для учителей.
Центр данных находится справа от точечной диаграммы как для учителей, так и для учеников.
Данные по учителям больше, чем по учащимся.
Оба набора данных сгруппированы около 2.
Было опрошено столько же учителей, сколько и студентов.

Пожалуйста, сделайте это для меня. У меня очень тяжелые времена, и из-за этого я плохо разбираюсь в математике!

Какое уравнение после решения дает значение x, отличное от трех других?
7 3
3-4
= 20
37
4 + х = -20

001
Икс-
3
= 20
نا انا
(9) -8-201-4)

ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ НЕМЕДЛЕННО LOL 10 БАЛЛОВ КАЖДОМУ !!! У друга Джулиана Джеймса тоже есть резервуар в форме треугольной призмы. Размеры загара Джеймса

k каждый в точности умножает размеры резервуара Джулиана. Если площадь треугольного основания резервуара Джулиана составляет приблизительно 400 квадратных дюймов, какова приблизительная площадь треугольного основания резервуара Джеймса?
3025 квадратных дюймов
2035 квадратных дюймов
3045 квадратных дюймов
4025 квадратных дюймов

Три веревки длиной 2 м 84 см, 4 м 26 см и 7 м 10 см необходимо разрезать на небольшие кусочки одинаковой длины. Какова максимально возможная длина каждого

равные части, чтобы не было потерь? Сколько всего штук?

Может ли кто-нибудь бесплатно помочь мне с домашним заданием, если я не смогу задать вопрос?

помощь
Круг ниже имеет центр в точке A и радиус 4.5 см.
Найдите размеры отрезков линии, которые вы можете определить. Для всех, кого вы

не могу определить, объясните, почему.
Сегмент AB
Сегмент ED
Сегмент DF
Сегмент CA

Хине нужно сделать подарочные корзины из 40 конфет, 24 пакетов с чипсами и 16 пакетов сока.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.