Как найти площадь трапеции если неизвестна высота: Все формулы площади трапеции — найти онлайн

Содержание

Как найти площадь трапеции если неизвестна высота. Все варианты того, как найти площадь трапеции

Трапецией называется такой четырехугольник, две стороны у которого параллельны (это основания трапеции, обозначенные на рисунке a и b), а другие две — нет (на рисунке АД и CB). Высота трапеции — это отрезок h, проведенный перпендикулярно к основаниям.

Как найти высоту трапеции при известных величинах площади трапеции и длин оснований?

Для вычисления площади S трапеции ABCD, воспользуемся формулой:

S = ((a+b) × h)/2.

Здесь отрезки a и b — это основания трапеции, h — это высота трапеции.

Преобразуя эту формулу, можем записать:

Используя эту формулу, получим значение h, если известны величина площади S и величины длин оснований a и b.

Пример

Если известно, что площадь трапеции S равна 50 см², длина основания a составляет 4 см, длина основания b составляет 6 см, то, чтобы найти высоту h, используем формулу:

Подставляем в формулу известные величины.

h = (2 × 50)/(4+6) = 100/10 = 10 см

Ответ: высота трапеции составляет 10 см.

Как находить высоту трапеции, если даны величины площади трапеции и длина средней линии?

Воспользуемся формулой вычисления площади трапеции:

Здесь m — средняя линия, h — высота трапеции.

Если возникает вопрос, как найти высоту трапеции, формула:

h = S/m, будет ответом.

Таким образом, можем найти величину высоты трапеции h, имея известные величины площади S и отрезка средней линии m.

Пример

Известна длина средней линии трапеции m, которая составляет 20 см, и площадь S, которая равна 200 см². Найдем значение величины высоты трапеции h.

Подставив значения S и m, получим:

h = 200/20 = 10 см

Ответ: высота трапеции составляет 10 см

Как найти высоту прямоугольной трапеции?

Если трапеция — это четырехугольник, с двумя параллельными сторонами (основаниями) трапеции. То диагональ — это отрезок, который соединяющий две противоположные вершины углов трапеции (отрезок АС на рисунке). Если трапеция прямоугольная, с помощью диагонали, найдем величину высоты трапеции h.

Прямоугольной трапецией называется такая трапеция, где одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае ее длина (АД) совпадает с высотой h.

Итак, рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где AD — это высота, DC — это основание, AC — это диагональ. Воспользуемся теоремой Пифагора. Квадрат гипотенузы AC прямоугольного треугольника ADC равен сумме квадратов его катетов AB и BC.

Тогда можно записать:

AC² = AD² + DC².

AD — это катет треугольника, боковая сторона трапеции и, в то же время, ее высота. Ведь отрезок АД перпендикулярен основаниям. Его длина составит:

AD = √(AC² — DC²)

Итак, имеем формулу для вычисления высоты трапеции h = AD

Пример

Если длина основания прямоугольной трапеции(DC) равна 14 см, а диагональ (AC) составляет 15 см, для получения значения высоты(AD -боковой стороны) воспользуемся теоремой Пифагора.

Пусть х — это неизвестный катет прямоугольного треугольника(AD), тогда

AC² = AD² + DC² можно записать

15² = 14² + х²,

х = √(15²-14²) = √(225-196) = √29 см

Ответ: высота прямоугольной трапеции (АВ) составит √29 см, что приблизительно составит, 5. 385 см

Как найти высоту равнобедренной трапеции?

Равнобедренной трапецией, называют трапецию, у которой длины боковых сторон равны между собой. Прямая, проведенная через середины оснований такой трапеции будет осью симметрии. Частным случаем является трапеция, диагонали которой перпендикулярны друг другу, тогда высота h, будет равна полусумме оснований.

Рассмотрим случай, если диагонали не перпендикулярны друг другу. В равнобочной (равнобедренной) трапеции равны углы при основаниях и длины диагоналей равны. Также известно, что все вершины равнобокой трапеции касаются линии окружности, проведенной вокруг этой трапеции.

Рассмотрим рисунок. ABCD- равнобедренная трапеция. Известно, что основания трапеции параллельны, значит, BC = b параллельно AD = a, сторона AB = CD = c, значит, углы при основаниях соответственно равны, можно записать угол BAQ = CDS = α, и угол ABC = BCD = β. Таким образом, делаем вывод о равенстве треугольника ABQ треугольнику SCD, значит, отрезок

AQ = SD = (AD — BC)/2 = (a — b)/2.

Имея по условию задачи величины оснований a и b, и длину боковой стороны с, найдем высоту трапеции h, равную отрезку BQ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABQ. ВО — высота трапеции, перпендикулярна основанию AD, значит и отрезку AQ. Сторону AQ треугольника ABQ, найдем, воспользовавшись выведенной нами ранее формулой:

Имея значения двух катетов прямоугольного треугольника, найдем гипотенузу BQ= h. Используем теорему Пифагора.

AB²= AQ² + BQ²

Подставим данные задачи:

c² = AQ² + h².

Получим формулу для нахождения высоты равнобедренной трапеции:

h = √(c²-AQ²).

Пример

Дана равнобедренная трапеция ABCD, где основание AD = a = 10см, основание BC = b = 4см, а боковая сторона AB = c = 12см. При таких условиях, рассмотрим на примере, как найти трапеции высоту, равнобедренной трапеции АВСД.

Найдем сторону AQ треугольника ABQ, подставив известные данные:

AQ = (a — b)/2 = (10-4)/2=3см.

Теперь подставим значения сторон треугольника в формулу теоремы Пифагора.

h = √(c²- AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11.6см.

Ответ. Высота h равнобедренной трапеции ABCD составляет 11.6 см.

Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) , где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:

, где DP – внешняя высота в

Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:

Вынесем за скобку

Что и требовалось доказать.

Следствие из формулы площади трапеции:

Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то

2) Применение общей формулы площади четырехугольника
.
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется , сложить получившиеся выражения, вынести за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению . Отсюда

3) Метод сдвига диагонали

Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи. Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами». Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь? Проведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:

Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)
4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).

Спецприемы репетитора по математике.

Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать. Для остальных рассказываю дальше. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:

Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:

Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то — вторая ее половина. Ч.т.д.

В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы:). Приходите на занятия!

Задачи на площадь трапеции:

Замечание репетитора по математике
: Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.

1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна Найти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.
9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).

Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения. Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4. Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.

Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве
, подготовка к ЕГЭ в Строгино
.

(S) трапеции, начните вычисление высоты (h) с нахождения полусуммы длин параллельных сторон: (a+b)/2. Затем на полученное значение разделите площадь — результат и будет искомой величиной: h = S/((a+b)/2) = 2*S/(a+b).

Зная длину средней линии (m) и площадь (S) можно упростить формулу из предыдущего шага. По определению средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, поэтому для вычисления высоты (h) фигуры просто разделите площадь на длину средней линии: h = S/m.

Можно определить высоту (h) такого и в том случае, если даны только длина одной из боковых сторон (с) и угол (α), образуемый ей и длинным основанием. В этом случае следует рассмотреть , образуемый этой стороной, высотой и коротким отрезком основания, который отсекает опущенная на него высота. Этот треугольник будет прямоугольным, известная сторона будет в нем гипотенузой, а высота — катетом. Отношение длин и гипотенузы равно противолежащего катету угла, поэтому для вычисления высоты трапеции умножьте известную длину стороны на синус известного угла: h = с*sin(α).

Такой же треугольник стоит рассмотреть и если даны длина боковой стороны (с) и величина угла (β) между ней и другим (коротким) основанием. В этом случае величина угла между боковой стороной (гипотенузой) и высотой (катетом) будет на 90° меньше известного из условий угла: β-90°. Так как отношение длин катета и гипотенузы равно косинусу угла между ними, то высоту трапеции вычислите умножением косинуса уменьшенного на 90° угла на длину боковой стороны: h = с*cos(β-90°).

Если вписана окружность известного радиуса (r), вычисления высоты (h) будет очень проста и не потребует никаких других параметров. Такая окружность по определению должна каждого из оснований только одной точкой и эти точки будут лежать на одной линии с центром . Это значит, что расстояние между ними будет равно диаметру (удвоенному радиусу), проведенному перпендикулярно основаниям, то есть совпадающим с высотой трапеции: h=2*r.

Трапецией считается такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Высотой трапеции называется отрезок, проведенный перпендикулярно между двумя параллельными прямыми. В зависимости от исходных данных ее можно вычислить по-разному.

Вам понадобится

  • Знание сторон, оснований, средней линии трапеции, а так же, опционально, ее площадь и/или периметр.

Инструкция

Допустим, имеется трапеция с теми же данными, что и на рисунке 1. Проведем 2 высоты, получим , у которого 2 меньшие стороны катетами прямоугольных треугольников. Обозначим меньший катит за x. Он находится

Геометрия – одна из наук, с применением которой на практике человек сталкивается практически ежедневно. Среди многообразия геометрических фигур отдельного внимания заслуживает и трапеция. Она представляет собой выпуклую фигуру с четырьмя сторонами, из которых две параллельны между собой. Последние называются основаниями, а оставшиеся две – боковыми сторонами. Отрезок, перпендикулярный основаниям и определяющий величину промежутка между ними, и будет высотой трапеции. Каким же образом можно вычислить его длину?

Найти высоту произвольной трапеции

Базируясь на исходных данных, определение высоты фигуры возможно несколькими способами.

Известна площадь

Если длина параллельных сторон известна, а также указана площадь фигуры, то для определения искомого перпендикуляра можно воспользоваться следующим соотношением:

S=h*(a+b)/2,
h – искомая величина (высота),
S – площадь фигуры,
a и b – стороны, параллельные друг другу.
Из приведенной формулы следует, что h=2S/(a+b).

Известна величина средней линии

Если среди исходных данных помимо площади трапеции (S) известна, и длина ее линии средины (l), то для вычислений пригодится другая формула. Прежде стоит уточнить, что такое средняя линия для данного вида четырехугольника. Термин определяет часть прямой, соединяющей средины боковых сторон фигуры.

Исходя из свойства трапеции l=(a+b)/2,
l – линия средины,
a, b – стороны-основания четырехугольника.
Поэтому h=2S/(a+b)=S/l.

Известны 4 стороны фигуры

В данном случае поможет теорема Пифагора. Опустив перпендикуляры на большую сторону-основание, воспользуйтесь ею для двух получившихся прямоугольных треугольников. Итоговое выражение будет иметь вид:

h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 ,

c и d – 2 другие стороны.

Углы в основании

При наличии данных об углах при основании, воспользуйтесь тригонометрическими функциями.

h = c* sinα = d*sinβ,

α и β – углы в основании четырехугольника,
c и d – его боковые стороны.

Диагонали фигуры и углы, которые пересекаясь они образуют

Длина диагонали – длина отрезка, соединяющего противоположные вершины фигуры. Обозначим данные величины символами d1 и d2, а углы между ними γ и φ. Тогда:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,

a и b – стороны-основания фигуры,
d1 и d2 – диагонали трапеции,
γ и φ – углы между диагоналями.

Высота фигуры и радиус окружности, которая в нее вписана

Как следует из определения такого рода окружности, она касается каждого основания в 1 точке, которые являются частью одной прямой. Поэтому расстояние между ними – диаметр – искомая высота фигуры. А так как диаметр – удвоенный радиус, то:

h = 2 * r,
r – радиус окружности, которую вписали в данную трапецию.

Найти высоту равнобедренной трапеции

  • Как и следует из формулировки, отличительной характеристикой равнобедренной трапеции является равенство ее боковых сторон. Поэтому для нахождения высоты фигуры воспользуйтесь формулой для определения данной величины в случае, когда известны стороны трапеции.

Итак, если с = d, то h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2 -(a-b) 2 /4,
a, b – стороны-основания четырехугольника,
c = d – его боковые стороны.

  • При наличии величины углов, образованных двумя сторонами (основанием и боковой), высоту трапеции определяет следующее соотношение:

h = c* sinα,
h = с * tgα *cosα = с * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b-a)/2,

α – угол в основании фигуры,
a, b (a
c = d – его боковые стороны.

  • Если даны величины диагоналей фигуры, то выражение для нахождения высоты фигуры видоизменится, т.к. d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.

Для того чтобы чувствовать себя на уроках геометрии уверенно и успешно решать задачи, недостаточно выучить формулы. Их нужно в первую очередь понимать. Бояться, а тем более ненавидеть формулы — непродуктивно. В этой статье доступным языком будут проанализированы различные способы поиска площади трапеции. Для лучшего усвоения соответствующих правил и теорем уделим некоторое внимание ее свойствам. Это поможет разобраться в том, как работают правила и в каких случаях следует применять те или иные формулы.

Определяем трапецию

Что это за фигура в целом? Трапецией называют многоугольник из четырех углов с двумя параллельными сторонами. Две другие стороны трапеции могут быть наклонены под различными углами. Ее параллельные стороны называют основаниями, а для непараллельных сторон применяют наименование «боковые стороны» или «бедра». Такие фигуры довольно часто встречаются в обыденной жизни. Контуры трапеции можно увидеть в силуэтах одежды, предметах интерьера, мебели, посуды и многих других. Трапеция бывает разных видов: разносторонняя, равнобокая и прямоугольная. Более детально их типы и свойства разберем далее в статье.

Свойства трапеции

Остановимся коротко на свойствах этой фигуры. Сумма углов, прилегающих к любой боковой стороне, всегда равняется 180°. Надо заметить, что все углы трапеции в сумме составляют 360°. У трапеции существует понятие средней линии. Если соединить середины боковых сторон отрезком — это и будет средняя линия. Ее обозначают m. У средней линии есть важные свойства: она всегда параллельна основаниям (мы помним, что основания также параллельны между собой) и равна их полусумме:

Это определение обязательно надо выучить и понять, ведь это ключ к решению множества задач!

У трапеции всегда можно опустить высоту на основание. Высота — это перпендикуляр, часто обозначаемый символом h, который проведен из любой точки одного основания на другое основание или его продолжение. Средняя линия и высота помогут найти площадь трапеции. Подобные задачи являются самыми распространенными в школьном курсе геометрии и регулярно появляются среди контрольных и экзаменационных работ.

Самые простые формулы площади трапеции

Разберем две самые популярные и простые формулы, с помощью которых находят площадь трапеции. Достаточно умножить высоту на полусумму оснований, чтобы легко найти искомое:

S = h*(a + b)/2.

В этой формуле a, b обозначают основания трапеции, h — высоту. Для удобства восприятия в этой статье знаки умножения отмечены символом (*) в формулах, хотя в официальных справочниках знак умножения обычно опускают.

Рассмотрим пример.

Дано: трапеция с двумя основаниями, равными 10 и 14 см, высота составляет 7 см. Чему равна площадь трапеции?

Разберем решение этой задачи. По этой формуле сначала нужно найти полусумму оснований: (10+14)/2 = 12. Итак, полусумма равняется 12 см. Теперь полусумму умножаем на высоту: 12*7 = 84. Искомое найдено. Ответ: площадь трапеции равна 84 кв. см.

Вторая известная формула гласит: площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту трапеции. То есть фактически вытекает из предшествующего понятия средней линии: S=m*h.

Использование диагоналей для вычислений

Другой способ нахождения площади трапеции на самом деле не так уж сложен. Он связан с ее диагоналями. По этой формуле для нахождения площади требуется умножить полупроизведение ее диагоналей (d 1 d 2) на синус угла между ними:

S = ½ d 1 d 2 sina.

Рассмотрим задачу, которая показывает применение этого способа. Дано: трапеция с длиной диагоналей равной соответственно 8 и 13 см. Угол a между диагоналями равняется 30°. Найти площадь трапеции.

Решение. Используя вышеприведенную формулу, легко вычислить требуемое. Как известно, sin 30° составляет 0,5. Следовательно, S = 8*13*0,5=52. Ответ: площадь равна 52 кв. см.

Ищем площадь равнобокой трапеции

Трапеция может быть равнобокой (равнобедренной). Ее боковые стороны одинаковы И углы при основаниях равны, что хорошо иллюстрирует рисунок. Равнобедренная трапеция имеет такие же свойства, что и обычная, плюс ряд особых. Вокруг равнобокой трапеции может быть описана окружность, и в нее может быть вписана окружность.

Какие же есть методики вычисления площади такой фигуры? Нижеприведенный способ потребует больших вычислений. Для его применения нужно знать значения синуса (sin) и косинуса (cos) угла при основании трапеции. Для их расчетов требуются либо таблицы Брадиса либо инженерный калькулятор. Вот эта формула:

S = c
*sin a
*(a
c
*cos a
),

где с
— боковое бедро, a
— угол при нижнем основании.

Равнобокая трапеция обладает диагоналями одинаковой длины. Верно и обратное утверждение: если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной. Отсюда следующая формула, помогающая найти площадь трапеции — полупроизведение квадрата диагоналей на синус угла между ними: S = ½ d 2 sina.

Находим площадь прямоугольной трапеции

Известен частный случай прямоугольной трапеции. Это трапеция, у которой одна боковая сторона (ее бедро) примыкает к основаниям под прямым углом. Она имеет свойства обычной трапеции. Помимо этого, она обладает очень интересной особенностью. Разность квадратов диагоналей такой трапеции равняется разности квадратов ее оснований. Для нее используют все ранее приведенные методики вычисления площади.

Применяем смекалку

Есть одна хитрость, которая может помочь в случае забывчивости специфических формул. Рассмотрим внимательнее, что представляет собой трапеция. Если мысленно разделить ее на части, то мы получим знакомые и понятные геометрические фигуры: квадрат или прямоугольник и треугольник (один или два). Если известны высота и стороны трапеции, можно воспользоваться формулами площади треугольника и прямоугольника, после чего сложить все полученные величины.

Проиллюстрируем это следующим примером. Дана прямоугольная трапеция. Угол C = 45°, углы A, D составляют 90°. Верхнее основание трапеции равно 20 см, высота равна 16 см. Требуется вычислить площадь фигуры.

Данная фигура очевидным образом состоит из прямоугольника (если два угла равны 90°) и треугольника. Так как трапеция прямоугольная, следовательно, ее высота равна ее боковой стороне, то есть 16 см. Имеем прямоугольник со сторонами 20 и 16 см соответственно. Рассмотрим теперь треугольник, угол которого равен 45°. Мы знаем, что одна его сторона составляет 16 см. Так как эта сторона является одновременно высотой трапеции (а нам известно, что высота опускается на основание под прямым углом), следовательно, второй угол треугольника равен 90°. Отсюда оставшийся угол треугольника составляет 45°. Следствием этого мы получаем прямоугольный равнобедренный треугольник, у которого две стороны одинаковы. Значит, другая сторона треугольника равна высоте, то есть 16 см. Осталось вычислить площадь треугольника и прямоугольника и сложить полученные величины.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = (16*16)/2 = 128. Площадь прямоугольника равняется произведению его ширины на длину: S = 20*16 = 320. Мы нашли требуемое: площадь трапеции S = 128 + 320 = 448 кв. см. Можно легко себя перепроверить, воспользовавшись вышеприведенными формулами, ответ будет идентичен.

Используем формулу Пика

Напоследок приведем еще одну оригинальную формулу, помогающую искать площадь трапеции. Она называется формулой Пика. Ею удобно пользоваться, когда трапеция нарисована на клетчатой бумаге. Подобные задачи часто встречаются в материалах ГИА. Выглядит она следующим образом:

S = M/2 + N — 1,

в этой формуле M — количество узлов, т.е. пересечений линий фигуры с линиями клетки на границах трапеции (оранжевые точки на рисунке), N — количество узлов внутри фигуры (синие точки). Удобнее всего пользоваться ею при нахождении площади неправильного многоугольника. Тем не менее, чем больше арсенал используемых методик, тем меньше ошибок и лучше результаты.

Разумеется, приведенными сведениями далеко не исчерпываются типы и свойства трапеции, а также способы поиска ее площади. В этой статье дан обзор наиболее важных ее характеристик. В решении геометрических задач важно действовать постепенно, начинать с легких формул и задач, последовательно закреплять понимание, переходить на другой уровень сложности.

Собранные воедино самые распространенные формулы помогут ученикам сориентироваться в разнообразных способах вычисления площади трапеции и более качественно подготовиться к тестам и контрольным работам по этой теме.

формулы через стороны, диагонали, площадь

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту трапеции, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Напомним, высотой трапеции называется отрезок, соединяющий оба ее основания и перпендикулярный им.

Нахождение высоты трапеции

Через длины сторон

Если известны длины всех четырех сторон трапеции, ее высота рассчитывается по формуле ниже:

Через боковую сторону и прилежащий угол

Высоту трапеции можно вычислить, если знать длину любой из ее боковых сторон и значение прилежащего к ней и основанию угла.

Через диагонали и угол между ними

Зная длину оснований трапеции, а также диагоналей и угол между ними, вычислить высоту удастся по формуле:

Если сумму оснований заменить длиной средней линии (m), то формула будет выглядеть следующим образом:

Средняя линия трапеции (m) равняется полусумме ее оснований, т.е m = (a+b)/2.

Через площадь

Высоту трапеции можно вычислить, если известны ее площадь и длины оснований (или средней линии).

Примечание: формулы для нахождения высоты равнобедренной и прямоугольной трапеций представлены на нашем сайте в отдельных публикациях.

Примеры задач

Задание 1
Найдите высоту трапеции, если ее основания равны 9 и 6 см, а боковые стороны – 4 и 5 см.

Решение
Т.к. у нас есть длины всех сторон, мы можем воспользоваться первой формулой для вычисления требуемого значения:

Кстати, т. к. высота равна одной из боковой сторон трапеции, значит она является прямоугольной.

Задание 2
Площадь трапеции равна 26 см2. Найдите ее высоту, если основания равны 10 и 3 см.

Решение
В данном случае можно применить последнюю из рассмотренных формул:

Площадь трапеции | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны друг другу. Высотой трапеции называют линию, перпендикулярную основаниями, для удобства ее часто проводят из тупого угла трапеции на большее основание. Средняя линия трапеции – это линия, которая параллельна основаниям, и разделяет боковые стороны ровно пополам. Среднюю линию трапеции можно найти средним арифметическим оснований – сложив их и разделив на два.

Площадь трапеции в самом простом виде – это произведение средней линии на высоту, или если раскрыть формулу средней линии, то произведение полусуммы оснований на высоту.

Доказательством этой формулы будет служить представление площади трапеции, как суммы площадей двух треугольников полученных при проведении диагонали.

Площади этих треугольников будут равны соответственно и (для того, чтобы нарисовать высоту во втором треугольнике, необходимо будет продлить основание b). Площадь трапеции будет равна сумме полученных выражений, где мы вынесем высоту за скобку, и получим искомую формулу:


Вывести формулу, для того чтобы вычислить площадь трапеции через стороны, можно с помощью метода подстановки.

Проведя две высоты в трапеции, получаем по бокам прямоугольные треугольники с известными гипотенузами и неизвестными катетами x и y.
Таким образом x+y=d-b, y=d-b-x.
Одинаковый катет у обоих треугольников – высота, которую мы ищем. Через теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках выражаем высоту и . Приравнивая, получаем a2-x2=c2-y2 или x2-y2=a2-c2.
x2-(d-b-x)2=a2-c2 — Подставляем вместо х полученное выше выражение d-b-y.
x2-d2+bd+dx-b2+bd-bx-x2+dx-bx=a2-c2 — Раскрываем скобки.
x2-d2+2bd+2dx-b2-2bx-x2=a2-c2 — Приводим подобные слагаемые.
2dx-2bx=a2-c2+d2+b2-2bd — Переносим все вправо, оставляя слева только y.
2x(d-b)=a2-c2+(d-b)2 — Выносим общие множители.

Подставляем обратно y в формулу высоты .
Формула площади трапеции через стороны будет выглядеть так:


Площадь трапеции через диагонали и угол между ними считается условным делением трапеции на четыре треугольника, точно также как и площадь любого произвольного четырехугольника.


Площадь равнобедренной трапеции можно найти еще одним способом, если даны угол при основании и радиус вписанной окружности. Дело в том, что центр вписанной окружности, откуда берет свое начало радиус, находится точно в центре трапеции, таким образом, приравнивая высоту и диаметр окружности (либо удвоенный радиус). Также одно из свойств трапеции, описанной вокруг окружности – это равенство суммы оснований и суммы боковых сторон, значит, мы сможем найти среднюю линию, зная боковые стороны. Проведя высоту, из прямоугольного треугольника получаем боковую сторону и среднюю линию
Тогда площадь трапеции равна

формулы площади, доказательства. Трапеция на занятиях с репетитоом по математике — Колпаков Александр Николаевич

Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) , где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:

, где DP – внешняя высота в

Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:

Вынесем за скобку

Что и требовалось доказать.

Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то

2) Применение общей формулы площади четырехугольника.
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется , сложить получившиеся выражения, вынести за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению . Отсюда

3) Метод сдвига диагонали
Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи. Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами». Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь? Проведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:

Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)
4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).

Спецприемы репетитора по математике.

Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать. Для остальных рассказываю дальше. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:

Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:

Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то  — вторая ее половина. Ч.т.д.

В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы :). Приходите на занятия!

Задачи на площадь трапеции:

Замечание репетитора по математике: Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.

1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна Найти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.
9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).

Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения. Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4. Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.

Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве, подготовка к ЕГЭ в Строгино.

Площадь трапеции: как вычислить, формула

В математике известно несколько видов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. Среди них и трапеция — вид выпуклого четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные противоположные стороны называются основаниями, а две другие – боковыми сторонами трапеции. Отрезок, который соединяет середины боковых сторон, называется средней линией. Существует несколько видов трапеций: равнобедренная, прямоугольная, криволинейная. Для каждого вида трапеции есть формулы для нахождения площади.

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать длину ее оснований и высоту. Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный основаниям. Пусть верхнее основание — a, нижнее основание — b, а высота — h. Тогда вычислить площадь S можно по формуле:

S = ½ * (a+b) * h

т.е. взять полусумму оснований, умноженную на высоту.

Трапеция

Также удастся вычислить площадь трапеции, если известно значение высоты и средней линии. Обозначим среднюю линию — m. Тогда

S = h * m

Решим задачу посложнее: известны длины четырех сторон трапеции — a, b, c, d. Тогда площадь отыщется по формуле:

Если известны длины диагоналей и угол между ними, то площадь ищется так:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

где d с индексами 1 и 2 — диагонали. В данной формуле в расчете приводится синус угла.

При известных длинах оснований a и b и двух углах при нижнем основании площадь вычисляется так:

S = ½ * (b2 — a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Площадь равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция — это частный случай трапеции. Ее отличие в том, что такая трапеция — это выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Ее боковые стороны равны.

Равнобедренная трапеция

Найти площадь равнобедренной трапеции можно несколькими способами.

  • Через длины трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, поэтому обозначены одной величиной — с, а и b — длины оснований:
  • Если известна длина верхнего основания, боковой стороны и величина угла при нижнем основании, то площадь вычисляется так:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

где а — верхнее основание, с — боковая сторона.

  •  Если вместо верхнего основания известна длина нижнего – b, площадь рассчитывается по формуле:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

  • Если когда известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:

S = ½ * (b2 – a2) * tg α

  • Также площадь рассчитывается через диагонали и угол между ними. В этом случае диагонали по длине равны, поэтому каждую обозначаем буквой d без индексов:

S = ½ * d2 * sin α

  • Вычислим площадь трапеции, зная длину боковой стороны, средней линии и величину угла при нижнем основании.

Пусть боковая сторона — с, средняя линия — m, угол — a, тогда:

S = m * c * sin α

Иногда в равностороннюю трапецию можно вписать окружность, радиус которой будет — r.

Круг в трапеции

Известно, что в любую трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Тогда площадь найдется через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:

S = 4r2 / sin α

Такой же расчет производится и через диаметр D вписанной окружности (кстати, он совпадает с высотой трапеции):

S = D2 / sin α

Зная основания и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется так:

S = a * b / sin α

(эта и последующие формулы верны только для трапеций с вписанной окружностью).

Трапеция в круге

Через основания и радиус окружности площадь ищется так:

S = r * (a + b)

Если известны только основания, то площадь считается по формуле:

Через основания и боковую линию площадь трапеции с вписанным кругом и через основания и среднюю линию — m вычисляется так:

Площадь прямоугольной трапеции

Прямоугольной называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае боковая сторона по длине совпадает с высотой трапеции.

Прямоугольная трапеция представляет из себя квадрат и треугольник. Найдя площадь каждой из фигур, сложите полученные результаты и получите общую площадь фигуры.

Прямоугольная трапеция

Также для вычисления площади прямоугольной трапеции подходят общие формулы для расчета площади трапеции.

  • Если известны длины оснований и высота (или перпендикулярная боковая сторона), то площадь рассчитывается по формуле:

S = (a + b) * h / 2

В качестве h (высоты) может выступать боковая сторона с. Тогда формула выглядит так:

S = (a + b) * c / 2

  • Другой способ рассчитать площадь — перемножить длину средней линии на высоту:

S = m * h

или на длину боковой перпендикулярной стороны:

S = m * c

  • Следующий способ вычисления — через половину произведения диагоналей и синус угла между ними:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Прямоугольная трапеция с перпендикулярными диагоналями

Если диагонали перпендикулярны, то формула упрощается до:

S = ½ * d1 * d2

  • Еще один способ вычисления — через полупериметр (сумма длин двух противоположных сторон) и радиус вписанной окружности.

S = (a + b) * r

Эта формула действительна для оснований. Если брать длины боковых сторон, то одна из них будет равна удвоенному радиусу. Формула будет выглядеть так:

S = (2r + c) * r

  • Если в трапецию вписана окружность, то площадь вычисляется так же:

S = 2m * r

где m — длина средней линии.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция представляет из себя плоскую фигуру, ограниченную графиком неотрицательной непрерывной функции y = f(x), определенной на отрезке [a;b], осью абсцисс и прямыми x = a, x = b. По сути, две ее стороны параллельны друг другу (основания), третья сторона перпендикулярна основаниям, а четвертая представляет из себя кривую, соответствующую графику функции.

Криволинейная трапеция

Площадь криволинейной трапеции ищут через интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Так вычисляются площади различных видов трапеций. Но, помимо свойств сторон, трапеции обладают одинаковыми свойствами углов. Как у всех существующих четырехугольников, сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусов. А сумма углов, прилежащих к боковой стороне, — 180 градусам.

Как найти площадь трапеции: формулы и примеры

Практика прошлогодних ЕГЭ и ГИА показывает, что задачи по геометрии вызывают сложности у многих школьников. Вы легко справитесь с ними, если заучите все нужные формулы и попрактикуетесь в решении задач.

В этой статье вы увидите формулы нахождения площади трапеции, а также примеры задач с решениями. Такие же могут попасться вам в КИМах на аттестационных экзаменах или на олимпиадах. Поэтому отнеситесь к ним внимательно.

Что нужно знать про трапецию?

Для начала вспомним, что трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны, их еще называют основаниями, параллельны, а две другие – нет.

В трапеции также может быть опущена высота (перпендикуляр к основанию). Проведена средняя линия – это прямая, которая параллельна основаниям и равна половине их суммы. А также диагонали, которые могут пересекаться, образуя острые и тупые углы. Или, в отдельных случаях, под прямым углом. Кроме того, если трапеция равнобедренная, в нее можно вписать окружность. И описать окружность около нее.

Формулы площади трапеции

Для начала рассмотрим стандартные формулы нахождения площади трапеции. Способы вычислить площадь равнобедренной и криволинейной трапеций рассмотрим ниже.

Итак, представьте, что у вас есть трапеция с основаниями a и b, в которой к большему основанию опущена высота h. Вычислить площадь фигуры в таком случае проще простого. Надо всего лишь разделить на два сумму длин оснований и умножить то, что получится, на высоту: S = 1/2(a + b)*h.

Возьмем другой случай: предположим, в трапеции, кроме высоты, проведена средняя линия m. Нам известна формула нахождения длины средней линии: m = 1/2(a + b). Поэтому с полным правом можем упростить формулу площади трапеции до следующего вида: S = m* h. Другими словами, чтобы найти площадь трапеции, надо умножить среднюю линию на высоту.

Рассмотрим еще один вариант: в трапеции проведены диагонали d1и d2, которые пересекаются не под прямым углом α. Чтобы вычислить площадь такой трапеции, вам нужно разделить на два произведение диагоналей и умножить то, что получится, на sin угла между ними: S= 1/2d1d2 *sinα.

Теперь рассмотрим формулу для нахождения площади трапеции, если о ней неизвестно ничего, кроме длин всех ее сторон: a, b, c и d. Это громоздкая и сложная формула, но вам будет полезно запомнить на всякий случай и ее: S = 1/2(a + b) * √c2 – ( ( 1/2(b – a)) * ((b – a)2 + c2 – d2) )2.

Кстати, приведенные выше примеры верны и для того случая, когда вам потребуется формула площади прямоугольной трапеции. Эта трапеция, боковая сторона которой примыкает к основаниям под прямым углом.

Равнобедренная трапеция

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Мы рассмотрим несколько вариантов формулы площади равнобедренной трапеции.

Первый вариант: для случая, когда внутрь равнобедренной трапеции вписана окружность с радиусом r, а боковая сторона и большее основание образуют острый угол α. Окружность может быть вписана в трапецию при условии, что сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон.

Площадь равнобедренной трапеции вычисляется так: умножьте квадрат радиуса вписанной окружности на четыре и разделите все это на sinα: S = 4r2/sinα. Еще одна формула площади является частным случаем для того варианта, когда угол между большим основанием и боковой стороной равен 300: S = 8r2.

Второй вариант: на этот раз возьмем равнобедренную трапецию, в которой вдобавок проведены диагонали d1 и d2, а также высота h. Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, высота составляет половину суммы оснований: h = 1/2(a + b). Зная это, легко преобразовать уже знакомую вам формулу площади трапеции в такой вид: S = h2.

Формула площади криволинейной трапеции

Начнем с того, что разберемся: что такое криволинейная трапеция. Представьте себе ось координат и график непрерывной и неотрицательной функции f, которая не меняет знака в пределах заданного отрезка [a; b] на оси x. Криволинейную трапецию образуют график функции у = f(x) – вверху, ось х – внизу (отрезок [a; b]), а по бокам – прямые, проведенные между точками a и b и графиком функции.

Вычислить площадь такой нестандартной фигуры нельзя приведенными выше способами. Тут нужно применить математический анализ и использовать интеграл. А именно: формулу Ньютона-Лейбница – S = ∫baf(x)dx = F(x)│ba = F(b) – F(a). В этой формуле F – первообразная нашей функции на выбранном отрезке [a; b]. И площадь криволинейной трапеции соответствует приращению первообразной на заданном отрезке.

Примеры задач

Чтобы все эти формулы лучше улеглись в голове, вот вам несколько примеров задач на нахождение площади трапеции. Лучше всего будет, если вы сперва попробуете решить задачи сами, и только потом сверите полученный ответ с готовым решением.

Задача №1: Дана трапеция. Ее большее основание – 11 см, меньшее – 4см. В трапеции проведены диагонали, одна длиной 12 см, вторая – 9 см.

Решение: Постройте трапецию АМРС. Проведите прямую РХ через вершину Р так, чтобы она оказалась параллельной диагонали МС и пересекла прямую АС в точке Х. Получится треугольник АРХ.

Мы рассмотрим две полученных в результате этих манипуляций фигуры: треугольник АРХ и параллелограмм СМРХ.

Благодаря параллелограмму мы узнаем, что РХ = МС = 12 см и СХ = МР = 4см. Откуда можем вычислить сторону АХ треугольника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.

Мы также можем доказать, что треугольник АРХ – прямоугольный (для этого примените теорему Пифагора – АХ2 = АР2 + РХ2). И высчитать его площадь: SAPX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 см2.

Дальше вам потребуется доказать, что треугольники АМР и РСХ являются равновеликими. Основанием послужит равенство сторон МР и СХ (уже доказанное выше). А также высоты, которые вы опустите на эти стороны – они равны высоте трапеции АМРС.

Все это позволит вам утверждать, что SAMPC = SAPX = 54 см2.

Задача №2: Дана трапеция КРМС. На ее боковых сторонах расположены точки О и Е, при этом ОЕ и КС параллельны. Также известно, что площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ находятся в соотношении 1:5. РМ = а и КС = b. Требуется найти ОЕ.

Решение:  Проведите через точку М прямую, параллельную РК, и точку ее пересечения с ОЕ обозначьте Т. А – точка пересечения прямой, проведенной через точку Е параллельно РК, с основанием КС.

Введем еще одно обозначение – ОЕ = х. А также высоту h1 для треугольника ТМЕ и высоту h2 для треугольника АЕС (вы можете самостоятельно доказать подобие этих треугольников).

Будем считать, что b > а. Площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ относятся как 1:5, что дает нам право составить такое уравнение: (х + а) * h1 = 1/5(b + х) * h2. Преобразуем и получим: h1/ h2 = 1/5 * ((b + х)/(х + а)).

Раз треугольники ТМЕ и АЕС подобные, имеем h1/ h2 = (х – а)/( b – х). Объединим обе записи и получим: (х – а)/(b – х) = 1/5 * ((b + х)/(х + а)) ↔ 5(х – а)(х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х2 – а2) = (b2 – х2) ↔ 6х2 = b2 + 5а2 ↔ х = √(5а2 + b2)/6.

Таким образом, ОЕ = х = √(5а2 + b2)/6.

Также советуем посмотреть вам наше новое видео по теме нахождения площади фигур, в том числе и трапеции:

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Площадь трапеции.Определение, формула и калькулятор

Площадь трапеции. Определение, формула и калькулятор — Открытый справочник по математике

Количество квадратных единиц, необходимое для полного заполнения
трапеция.
Формула: Средняя ширина × высота

Попробуйте это Перетащите оранжевые точки, чтобы переместить трапецию и изменить ее размер. Как размер трапеции
изменяется, пересчитывается площадь.

Формула площади

Площадь трапеции равна средней ширине, умноженной на высоту, или по формуле:


где
b1, b2 — длины каждого основания
h — высота (высота)

Напомним, что основания — это две параллельные стороны трапеции.Высота (или высота) трапеции — это
перпендикулярное расстояние
между двумя базами.

В приведенном выше апплете нажмите «заморозить размеры». Когда вы перетаскиваете любую вершину, вы увидите, что трапеция перерисовывается, сохраняя неизменными высоту и основания. Обратите внимание, как область в отображаемой формуле не меняется. Площадь зависит только от высоты и базовой длины, поэтому, как вы можете видеть, существует множество трапеций с заданным набором размеров, которые имеют одинаковую площадь.

Вывод формулы

См. Раздел «Как получить формулу площади трапеции».

Калькулятор

Используйте калькулятор выше, чтобы рассчитать высоту, базовую длину и площадь трапеции.

Введите любые три значения, и будет вычислено недостающее.
Например: введите высоту и две базовые длины и нажмите «Рассчитать». Площадь будет рассчитана.

Точно так же, если вы введете площадь и две длины основания, будет рассчитана высота, необходимая для получения этой площади.

Определение высоты по площади

Как найти высоту (высоту) трапеции, задайте две базы и площадь.Приведенная выше основная формула площади имеет четыре переменные (площадь, два основания и высоту). Если мы знаем какие-то три, мы всегда сможем найти четвертый.
Так, например, если мы знаем площадь и две базы, мы можем найти высоту, просто изменив основную формулу:

Где a — площадь, а b1, b2 — две базы.

Нахождение базы в районе

Как найти основание трапеции, укажите одно из оснований, высоту и площадь.
Приведенная выше основная формула площади имеет четыре переменные (площадь, два основания и высоту).Если мы знаем какие-то три, мы всегда сможем найти четвертый.
Так, например, если мы знаем площадь, одно основание и высоту, мы можем найти недостающее основание, просто изменив основную формулу:

Где a — площадь, b — известная база, а h — высота (высота).

Если известно медианное значение

Напомним, что
медиана (м) трапеции
— отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон. Напомним также, что длина медианы — это среднее значение двух параллельных сторон.См. Медиана трапеции

Где м, — это медиана, а х — высота (высота).

Площадь в виде сложной формы

Другой способ найти площадь трапеции — рассматривать ее как более простые формы, а затем добавлять или вычитать их площади, чтобы найти результат. Для
Например, трапецию можно рассматривать как меньший прямоугольник плюс два прямоугольных треугольника:

Дополнительные сведения об этой общей технике см. В разделе «Область неправильных многоугольников».

Координатная геометрия

В координатной геометрии, если вы знаете координаты четырех вершин,
вы можете рассчитать различные его свойства, в том числе площадь и периметр.Для получения дополнительной информации см. Площадь и периметр трапеции (Координатная геометрия).

Что попробовать

  1. На рисунке выше нажмите «скрыть детали»
  2. Перетащите оранжевые точки на вершинах, чтобы получилась трапеция произвольного размера.
  3. Рассчитайте площадь по формуле
  4. Теперь попробуйте оценить площадь трапеции, просто глядя на
    квадратов внутри нее
  5. Когда вы закончите, нажмите «Показать подробности», чтобы увидеть, насколько близко вы подошли.

Другие полигоны

Общий

Типы многоугольника

Площадь различных типов полигонов

Периметр различных типов полигонов

Углы, связанные с полигонами

Именованные полигоны

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Как найти площадь трапеции (формула и видео) // Tutors.com

Содержание

  1. Что такое трапеция?
  2. Как найти площадь трапеции
  3. Площадь трапеции, формула
  • Примеры площади трапеции
  • Трапеция представляет собой четырехугольник с одной парой параллельных сторон. Итак, этот четырехсторонний многоугольник представляет собой плоскую фигуру и замкнутую фигуру.Он имеет четыре отрезка линии и четыре внутренних угла. Параллельные стороны — это два основания трапеции ; две другие стороны — его ноги.

    Обычно у трапеции более длинная параллельная сторона — основание — горизонтально. Перпендикулярная линия от основания к другой параллельной стороне даст вам высоту трапеции или высоту .

    Что такое средний по математике?

    В математике среднее значение — это сумма группы чисел, деленная на количество элементов в группе.

    Итак, если у вас есть три человека, которые держат книги, вы можете найти среднее количество книг, которые они держат, вот так: Мартин держит 5 книг, Мак держит 3 книги, а Мария держит 4 книги. Вместе 12 книг держат 3 человека. Итак, 12 книг ÷ 3 человека = в среднем по 4 книги каждая.

    Чтобы найти площадь трапеции, вы найдете среднюю длину двух оснований.

    Как найти площадь трапеции

    Чтобы найти площадь любой трапеции, начните с обозначения ее основания и высоты.На нашей трапеции обозначьте более длинное основание a и более короткое основание b. Обозначьте линию, перпендикулярную двум основаниям, h для высоты или высоты трапеции.

    Обратите внимание, мы не пометили ноги. Нам не нужно ничего знать о длине ног или углах вершин, чтобы найти площадь.

    Площадь трапеции, формула

    Формула площади трапеции — это среднее значение оснований, умноженное на высоту. В формуле длинное и короткое основание — это a и b, а высота — h:

    .

    Умножение на 12 аналогично делению на 2.Мы берем половину суммы длины двух оснований (их среднее значение), а затем умножаем ее на высоту или высоту, чтобы найти площадь в квадратных единицах.

    Уравнение площади трапеции

    Трапеция LMNO имеет параллельные основания LM и NO. Линейный сегмент LM имеет длину 7 см, а линейный сегмент NO — 13 см. Мы обозначим более длинную сторону NO как a, а короткую сторону LM как b. Высота h 5 см.

    Сначала давайте подставим эти числа в нашу формулу:

    площадь = 13 см + 7 см2 × 5 см

    Далее складываем 13 плюс 7 и получаем:

    площадь = 20 см2 × 5 см

    Потом делим на два и получаем:

    площадь = 10 см × 5 см

    Наконец, умножаем и получаем ответ:

    площадь = 50 см2

    Площадь этой трапеции составляет 50 квадратных сантиметров.

    Примеры площади трапеции

    Теперь попробуйте! Другая трапеция имеет длинное основание a, 11 метров, и более короткое основание b, 7 метров. Его высота h составляет 9 метров. Какая площадь в квадратных метрах?

    площадь = 11 см + 7 см2 × 9 см

    Получили 81 квадратный метр? Ваш ответ для площади всегда выражается в квадратных единицах линейного измерения. Таким образом, трапеция, измеренная в футах, дает площадь в квадратных футах, сантиметры — в квадратных сантиметрах и так далее.

    Помните, что умножение на ½ аналогично делению на 2, поэтому вы можете сложить длины оснований, а затем разделить их сумму на два, если вам так легче.

    Из-за коммутативности умножения вы можете переставить эти три числа, 12, высоту h и длину основания a + b, в любом порядке, чтобы упростить вычисления.

    Итак, с трапецией LMNO вы могли бы написать такую ​​формулу, как:

    площадь = 12 × 9 × (11 + 7)

    Пример # 2

    Вот вам еще один пример. Новая трапеция перевернута по сравнению с тем, как вы их обычно видите, но пусть это вас не остановит! Короткое основание b имеет длину 21 дюйм.Длинное основание a (на этот раз вверху рисунка) составляет 31 дюйм в длину. Высота h (независимо от того, с какой стороны вы смотрите на трапецию) составляет 5 дюймов.

    площадь = 12 × 5 × (31 + 21)

    ИЛИ

    площадь = 12 × (31 + 21) × 5

    ИЛИ

    площадь = 31 + 212 × 5

    Как бы вы ни использовали формулу, вы всегда получите один и тот же ответ: площадь = 130 кв. Дюймов

    Краткое содержание урока

    В этом уроке и видео мы рассмотрели, что такое трапеция, изучили, как средние значения играют роль в геометрии, научились маркировать и использовать части трапеции для вычисления площади, а также узнали формулу для вычисления площади трапеции в квадратные единицы.

    Следующий урок:

    .

    Формула Герона

    Калькулятор площади трапеции

    Если у вас когда-либо были проблемы с запоминанием формул в классе геометрии, эта область калькулятора трапеции обязательно вам поможет. Всего за несколько простых шагов вы сможете найти площадь трапеции и определить все другие ее свойства, такие как длины сторон или внутренние углы. Итак, если вас беспокоят такие вопросы, как «как найти периметр трапеции», не смотрите дальше — просто продолжайте читать, чтобы узнать!

    Вы также можете воспользоваться нашим калькулятором окружности, чтобы проанализировать геометрию круга более подробно.

    Что такое трапеция?

    Трапеция — это четырехсторонняя геометрическая форма, две стороны которой параллельны друг другу. Эти две стороны ( a и b на изображении выше) называются основаниями трапеции. Две другие стороны ( c и d ) называются ножками. х — высота трапеции.

    Сумма всех внутренних углов трапеции дает 360 °. Кроме того, углы на одной стороне опоры называются смежными и всегда составляют в сумме 180 °:

    α + β = 180 °

    γ + δ = 180 °

    Как найти площадь трапеции?

    Площадь трапеции находится по следующей формуле:

    A = (a + b) * h / 2

    Вы можете заметить, что для трапеции с a = b (и, следовательно, c = d = h) формула упрощается до A = a * h , что в точности соответствует формуле для площади прямоугольника.

    Как найти периметр трапеции?

    Вы также можете использовать вычислитель площади трапеции, чтобы найти периметр этой геометрической формы. Просто сложите все стороны вместе:

    P = a + b + c + d

    Использование калькулятора площади трапеции: пример

    Предположим, вы хотите вычислить площадь определенной трапеции. Все данные:

    α = 30 °

    γ = 125 °

    h = 6 см

    a = 4 см

    P = 25 см

    1. Рассчитайте оставшиеся внутренние углы.Поскольку α + β = 180 ° , β = 180 ° - 30 ° = 150 ° .

    2. Аналогично, как γ + δ = 180 ° , δ = 180 ° - 125 ° = 55 ° .

    3. Найдите длины сторон трапеции, используя формулу синуса угла:

    sin 30 ° = ц / ч

    sin 55 ° = д / ч

    c = sin 30 ° * 6 = 12 см

    d = sin 55 ° * 6 = 7,325 см

    1. Вычтите значения a, c и d из периметра трапеции, чтобы найти длину второго основания:

    b = P - a - c - d = 25 - 4 - 12 - 7.325 = 1,675 см

    1. Наконец, примените формулу для площади трапеции:

    A = (a + b) * h / 2 = (4 + 1,675) * 6/2 = 17,026 см²

    Не забудьте также бегло взглянуть на калькулятор шестиугольника!

    Иллюстративная математика

    Соответствие стандартам содержания:
    8.G.B.7

    Задача

    Четырехугольник $ ABCD $ — трапеция, $ AD = 15 $, $ AB = 50 $, $ BC = 20 $, высота 12. Какова площадь трапеции?

    Комментарий IM

    Цель этого задания состоит в том, чтобы студенты использовали теорему Пифагора, чтобы найти неизвестные длины сторон трапеции, чтобы определить площадь.Эта задача потребует творческого подхода и настойчивости, поскольку учащиеся должны разложить данную трапецию на другие многоугольники, чтобы найти ее площадь. В предложенном решении перпендикуляры от A и B нарисованы к основанию $ \ overline {DC} $, а затем используется теорема Пифагора для определения длин недостающих сегментов. В качестве альтернативы, $ \ overline {AB} $ можно удлинить и провести перпендикуляры от $ C $ и $ D $ к этому расширенному сегменту, получив прямоугольник, из которого нужно вычесть два треугольника, чтобы получить трапецию $ ABCD $.Наконец, можно нарисовать одну из диагоналей $ \ overline {AC} $ или $ \ overline {DB} $, разделив $ ABCD $ на два треугольника, и можно вычислить площадь этих треугольников. Все три метода требуют двух приложений теоремы Пифагора для завершения вычислений.

    В идеале ученики должны думать о добавлении вспомогательных линий (MP7), но некоторые ученики могут не думать о таком подходе. Если группа учащихся непродуктивно пытается решить эту задачу, учитель может предложить учащимся нарисовать одну или обе высоты, указанные в решении, чтобы создать строительные леса.

    Это задание было адаптировано из задачи № 20 теста 8 Американской математической олимпиады (AMC) 2011 года. Ответы на несколько вариантов ответов для задачи имели следующее распределение:

    Выбор Ответ Процент ответов
    (А) 600 10,84
    (В) 650 16.80
    (К) 700 18,85
    (Д) * 750 30,78
    (R) 800 10,25
    Пропустить 12,40

    Из 153 485 участвовавших учеников 72 648 или 47% были в 8-м классе, 50 433 или 33% были в 7-м классе, а остальные были менее 7-го класса.

    Решение

    Мы можем разделить трапецию на прямоугольник и два прямоугольных треугольника, нарисовав перпендикуляры от $ A $ и $ B $ к основанию $ \ overline {DC} $, как показано на рисунке ниже:

    Чтобы увидеть, что $ ABFE $ — прямоугольник, обратите внимание: поскольку $ ABC $ — трапеция, это означает, что $ \ overleftrightarrow {AB} $ и
    $ \ overleftrightarrow {CD} $ параллельны. Поскольку $ \ overleftrightarrow {AE} $ и
    $ \ overleftrightarrow {BF} $ перпендикулярны $ \ overleftrightarrow {DC} $, они также перпендикулярны $ \ overleftrightarrow {AB} $.2 = 400 -144 = 256 $, так что $ | FC | = 16 $.

    Собирая эту информацию вместе, получаем, что площадь $ \ Triangle DAE $ равна $ \ frac {1} {2}.
    \ раз 9 \ раз 12 = 54 $. Площадь $ \ треугольника CBF $ равна $ \ frac {1} {2} \ times 16 \ times 12 = 96 $. Наконец, прямоугольник $ ABCD $ 50 на 12, поэтому у него есть площадь
    600. Сложение этих трех величин дает
    $$
    \ text {Площадь} (ABCD) = 54 + 96 + 600 = 750.
    $$

    В качестве альтернативы, если учащиеся знают формулу площади трапеции, а именно половину высоты, умноженную на сумму длин двух параллельных сторон, мы имеем, что высота равна 12.Две параллельные стороны имеют длину 50 и 50 + 16 + 9 или 75. Таким образом, применение формулы дает
    $$
    \ frac {1} {2} \ times 12 \ times (50 + 75) = 750.
    $$

    Трапеция

    (Перейти к области трапеции или периметру трапеции)

    Трапеция — это четырехсторонняя плоская форма с прямыми сторонами, имеющая пару противоположных сторон, параллельных (отмечены стрелками ниже):

    Трапеция Равнобедренная трапеция

    Трапеция:

    имеет пару параллельных сторон

    — это равнобедренная трапеция , когда она имеет равных углов с параллельной стороны

    называется « трапеция » в Великобритании (см. Ниже)

    Игра с трапецией:

    Параллельные стороны — это «основания»

    Две другие стороны — «ножки»

    Расстояние (под прямым углом) от одной базы до другой называется «высотой»

    Площадь
    трапеции

    Площадь — это среднее значение двух базовых длин, раз превышающее высоту :

    Площадь = a + b 2 × h

    Пример: два основания трапеции — 6 м и 4 м, а высота — 3 м.Какова его площадь?

    Площадь = 6 м + 4 м 2 × 3 м = 5 м × 3 м = 15 м 2

    Инструмент «Площадь многоугольника путем рисования» полезен, когда вы можете нарисовать трапецию.

    Периметр трапеции

    Периметр — это расстояние по краям.

    Периметр равен сумме длин всех сторон :

    Периметр = a + b + c + d

    Пример: Трапеция имеет длину стороны 5 см, 12 см, 4 см и 15 см. Каков ее периметр?

    Периметр = 5 см + 12 см + 4 см + 15 см = 36 см

    Медиана трапеции

    Медиана (также называемая средней линией или срединным сегментом) — это линейный сегмент на полпути между двумя основаниями.

    Средняя длина — это среднее значение двух базовых длин:

    м = а + б 2

    Вы можете рассчитать площадь, зная медианное значение, это просто медиана, умноженная на высоту:

    Площадь = mh

    Трапеция

    Трапеция (UK: trapezoid) — четырехугольник без параллельных сторон.

    Определения США и Великобритании поменялись местами, например:

    Трапеция Трапеция
    США: пара параллельных сторон НЕТ параллельных сторон
    Великобритания: НЕТ параллельных сторон пара параллельных сторон

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.