Как найти область определения функции линейной: Функция. Область определения и область значений функции

Содержание

Как найти область определения функции

После этого экскурса в важную составную матанализа многие согласятся, что найти
область определения функции не очень сложно. Ненамного сложнее, чем Московскую область на карте.

Во-первых, нужно различать виды функций (корень, дробь, синус и др.). Во-вторых,
решать уравнения и неравенства с учетом вида функции (например, на что нельзя делить, какое выражение
не может быть под знаком корня и тому подобное). Согласитесь, не так уж много и не так сложно.

Итак, чтобы находить области определения распространённых функций, порешаем
уравнения и неравенства с одной переменной. А в конце урока обобщим понятие на уровне теории. Пока же —
краткое определение. Область определения функции y=f(x)
— это множество значений X, для которых существуют значения Y
.

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно
посмотреть ответы.

Приступаем к практике. На рисунке изображён график функции .
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на нуль делить нельзя. Поэтому, приравнивая знаменатель
нулю, получаем значение, не входящее в область определения функции: 1. То есть, область определения заданной функции —
это все значения «икса» от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности
. Это хорошо
видно на графике. Приведённый здесь пример функции относится к виду дробей. На уроке разберём решения
всех распространённых видов функций.

Пример 0. Как найти область
определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять)
()? Нужно всего лишь
решить неравенство

x — 5 ≥ 0,

так как для того, чтобы мы получили действительное значение игрека, подкоренное
выражение должно быть больше или равно нулю. Получаем решение: область определения функции — все значения икса
больше или равно пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти включительно до плюс бесконечности).

На чертеже сверху — фрагмент числовой оси. На ней область опредения рассмотренной функции
заштрихована, при этом в «плюсовом» направлении штриховка продолжается бесконечно вместе с самой осью.

Постоянная (константа) определена при любых действительных
значениях x, следовательно, данная функция определена на всём
множестве R действительных чисел. Это можно записать и так:
областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[.

Пример 1. Найти область определения функции
y = 2.

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого
определения имеется в виду естественная область определения. Выражение
f(x) = 2 определено при любых действительных
значениях x, следовательно, данная функция определена на всём
множестве R действительных чисел.

Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус
бесконечности до плюс бесконечности.

В случае, когда функция задана формулой и n — натуральное число:

Пример 2. Найти область определения функции
.

Решение. Как следует из
определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть,
если — 1 ≤ x ≤ 1.
Следовательно, область определения данной функции — [- 1; 1].

Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху — это область определения
данной функции.

Область определения степенной функции с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если a — положительное, то областью определения функции является множество
всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[;

если a — отрицательное, то областью определения функции является
множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[,
то есть вся числовая прямая за исключением нуля.

На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка,
соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).

Пример 3. Найти область определения функции
.

Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором
слагаемом можно представить в виде единицы — так же целого числа.
Следовательно, область определения данной функции — вся числовая прямая, то есть
]- ∞; + ∞[.

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если
— положительное, то областью определения функции является множество [0; + ∞[;

если
— отрицательное, то областью определения функции является множество ]0; + ∞[.

Пример 4. Найти область определения функции
.

Решение. Оба слагаемых в выражении функции — степенные функции с положительными
дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции —
множество [0; + ∞[.

На чертеже сверху заштрихована часть числовой прямой от нуля (включительно) и больше,
причём штриховка продолжается вместе с самой прямой до плюс бесконечности.

Пример 5. Найти область определения функции
.

Решение. Дробный показатель степени данной степенной функции — отрицательный.
Поэтому решим строгое неравенство, когда квадратный трёхчлен в скобках строго больше нуля::

.

Дикриминант получился отрицательный. Следовательно сопряжённое неравенству
квадратное уравнение не имеет корней. А это значит, что квадратный трёхчлен ни при каких значениях
«икса» не равен нулю. Таким образом, область определения данной функции — вся числовая ось, или,
что то же самое — множество R действительных чисел, или,
что то же самое — ]- ∞; + ∞[.

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой ,
областью определения функции является вся числовая прямая, то есть
]- ∞; + ∞[.

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция
определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество
]0; + ∞[.

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение


Область определения функции y = cos(x) —
так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x) —
множество R действительных чисел, кроме чисел
.

Область определения функции y = ctg(x) —
множество R действительных чисел, кроме чисел
.

Пример 8. Найти область определения функции
.

Решение. Внешняя функция — десятичный логарифм и на область её определения
распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент
должен быть положительным. Аргумент здесь — синус «икса». Поворачивая воображаемый циркуль по
окружности, видим, что условие sin x > 0
нарушается при «иксе» равным нулю, «пи», два, умноженном на «пи» и вообще равным произведению числа «пи»
и любого чётного или нечётного целого числа.

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k — целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x) —
множество [-1; 1].

Область определения функции y = arccos(x) —
так же множество [-1; 1].

Область определения функции y = arctg(x) —
множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x) —
так же множество R действительных чисел.

Пример 9. Найти область определения функции
.

Решение. Решим неравенство:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок
[- 4; 4].

Пример 10. Найти область определения функции
.

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок
[0; 1].

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе
дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел,
кроме таких x, при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 11. Найти область определения функции
.

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции — множество
]- ∞; — 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[.

Пример 12. Найти область определения функции
.

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции —
]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 13. Найти область определения функции
.

Решение. Область определения первого слагаемого — данной функции — множество
R действительных чисел, второго слагаемого — все
действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять
условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции — все
x, кроме -2 и 2.

Пример 14. Найти область определения функции
.

Решение. Решим уравнение:

Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных
числах. Таким образом, получаем область определения данной функции — вся числовая прямая или, что
то же самое — множество R действительных чисел или,
что то же самое — ]- ∞; + ∞[.

То есть, какое бы число мы не подставляли вместо «икса», знаменатель никогда не
будет равен нулю.

Пример 15. Найти область определения функции
.

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции —
]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 16. Найти область определения функции
.

Решение. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под
корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:

График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой
направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках
1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения
квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена
на отрезке [1; 2].

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение


Если функция задана формулой вида y = kx + b,
то область определения функции — множество
R действительных чисел.

А теперь обобщим решения рассмотренных примеров. Каждой точке графика функции соответствуют:

  • определённое значение «икса» — аргумента функции;
  • определённое значение «игрека» — самой функции.

Верны следующие факты.

  • От аргумента — «икса» — вычисляется «игрек» — значения функции.
  • Область определения функции — это множества всех значений «икса», для которых существует, то есть может
    быть вычислен «игрек» — значение функции. Иначе говоря, множество значений аргумента, на котором
    «функция работает».

Весь раздел «Исследование функций»

Линейная функция — область определения и значения. Свойства, примеры и график

Функцию, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где  k и b — некоторые числа, х — независимая переменная, называют линейной. Рассмотрим несколько примеров.

В бассейне было 200 л. воды. В течении t мин. в бассейн каждую минуту поступало 80 л. воды. Тогда объем V воды в бассейне вычисляется по формуле: V = 80t + 200, где t ≥ 0. Эта формула задает функциональную зависимость переменной V от переменной t.

Первая бригада собрала 25 ящиков яблок; каждый рабочий второй бригады собрал по 2 ящика. Пусть во второй бригаде было х рабочих. Обозначим число всех ящиков, собранных двумя бригадами, буквой y. Тогда зависимость переменной y от переменной х выражается формулой y = 2x + 25, где х — натуральное число. Важно заметить, что областью определения линейной функции являются все действительные числа.

График линейной функции

Построим график функции y = -2x + 1.

Первым делом составим таблицу значений этой функции для некоторых значений аргумента.

  х   -3   -2   -1   0   1   2   3
  y   7   5   3   1   -1   -3   -5

Точки А(-3;7), В(-2;5), С(-1;3), Е(0;1), Т(1;-1), М(2;-3), К(3;-5) принадлежат искомому графику.

Все эти точки лежат на одной прямой, которая и является графиком функции y = -2x + 1.

Заметим, что вертикальная прямая, т. е. прямая перпендикулярная оси абсцисс не может служить графиком функции. Поскольку прямая однозначно задается любыми двумя своими точками, то то для построения графика линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу значений функции, имеющую лишь два столбца.  Рассмотрим пример.

Построим график функции y = — 3x + 2, составим таблицу значений данной функции для двух произвольных значений аргумента.

  х   0   1
  y   2   -1

Отметим на координатной плоскости точки (0;2) и (1;-1) и проведём через них прямую линию.

Эта прямая является графиком линейной функции y = — 3x + 2.

В формуле y = kx + b, задающей линейную функцию, не исключены случаи, когда k = 0 или b = 0. Рассмотрим случай, когда b = 0 и k ≠ 0. Тогда формула приобретает вид y = kx. Отсюда для всех не равных нулю значений аргумента можно записать, что y/x = k. Эта формула показывает, что для функции y = kx при x ≠ 0 отношение соответствующих значений зависимой и независимой переменных остается постоянным и равно k. Такую зависимость называют прямой прямой пропорциональностью. Поэтому линейную функцию, которую задают формулой y = kx, где k ≠ 0, называют прямой пропорциональностью.                 Функции y = 2x, y = x, y = — x, y = —1/3x — примеры прямых пропорциональностей. Поскольку прямая пропорциональность — частный случай линейной функции, то её график — прямая. Особенностью является то, что эта прямая при любом значении k проходит через точку О(0;0). Действительно, если в формуле y = kx предположить что x = 0, то получим y = 0. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую-нибудь точку графика, отличающуюся от начала координат, и провести прямую через эту точку и начало координат О(0;0). Для примера изобразим графики прямых пропорциональностей которые приводились выше.

Рассмотрим еще один частный случай линейной функции. В формуле y = kx + b предположим k = 0. Получим y = b. Ясно, что в этом случае значения функции будут оставаться неизменными при любых изменениях значений аргумента. Рассмотрим пример, построим график функции y = 2. Как и для построения графика любой линейной функции, нужно знать две принадлежащие ему точки. Эти точки будут иметь одинаковые ординаты, равные 2. Их абсциссы выберем произвольно, например равные -2 и 0. Остается провести прямую через точки А(-2;2) и В(0;2), эта прямая будет параллельна оси абсцисс.

Важно, графиком функции y = 0 является ось абсцисс. Графиком функции y = b, где b ≠ 0, является прямая, параллельная оси абсцисс.

Рассмотрим пример, задайте формулой линейную функцию, график которой изображен на рисунке ниже.

График данной функции пересекает ось ординат в точке (0;4). Подставив координаты этой точки в формулу y = kx + b, получаем 4 = k0 + b, откуда b = 4. Так как данный график пересекает ось абсцисс в точке (3;0), то подставив её координаты в формулу y = kx + 4, получим: 3k + 4 = 0k = —4/3. в ответе получаем уравнение y = -4/3x + 4.

 

Автор публикации

0

Комментарии: 4Публикации: 96Регистрация: 04-09-2015

Параграф 2.2. Свойства и графики основных функций.

 


Работу выполнила: Казанцева А.А. студентка группы 45.2

Пункт 2.2. Свойства и графики основных функций.

Объяснение и обоснование

1. Линейная функция y = kx + b.Линейной функцией называется функция вида
y = kx + b, где k и b — некоторые числа.
Обоснуем основные характеристики этой функции: область определения, область
значений, четность или нечетность, возрастание и убывание.
Область определения — множество всех действительных чисел: D (y) = R,
поскольку формула kx + b имеет смысл при всех действительных значениях
x, то есть для любого действительного x мы можем вычислить значение
kx + b (из свойств действительных чисел, которые строго доказываются в
курсах математического анализа, следует, что для любых действительных
чисел х, k и b однозначно определены произведение kх и сумма kх + b = у).
Область значений линейной функции будет разной в зависимости от зна-
чения коэффициента k.
Если k = 0, то функция имеет вид y = b, то есть ее
область значений состоит из одного числа b. В таком
случае графиком линейной функции y = b является
прямая, параллельная оси Ox, которая пересекает
ось Oy в точке b (рис. 19).
Если k ≠ 0, то E (y) = R (обоснование приведено в примере 3).
Четность и нечетность линейной функции существенно
зависит от значений коэффициентов b и k.
При b = 0 и k ≠ 0 функция y = kx + b превращается в функцию y = kx,
которая является нечетной, поскольку для всех x из ее области определения

f (-x) = k (-x) = -kx = -f (x).

Таким образом, график функции y = kx (рис. 22) симметричен относительно
точки O.
При k = 0 получаем функцию y = b, которая является
четной, поскольку для всех x из ее области определения
f (-x) = b = f (x). То есть график функции y = b
симметричен относительно оси Oy (рис. 21).
В общем случае при k ≠ 0 и b ≠ 0 функция
y = kx + b не является ни четной, ни нечетной, поскольку
f (-x) = k (-x) + b = -kx + b ≠ f (x) и также
f (-x) = -kx + b = -(kx — b) ≠ -f (x).
Возрастание и убывание линейной функции зависит от значения коэффициента k.
При k = 0 получаем функцию y = b — постоянную. При k > 0 функция y = kx + b
возрастает, а при k < 0 — убывает (обоснование приведено в примере 4).
В курсе геометрии было показано, что графиком линейной функции y = kx + b всегда является прямая линия.
Поскольку при x = 0 функция принимает значение y = b, то эта прямая всегда
пересекает ось Oy в точке b. Графики линейных функций приведены в таблице 3/
2. Функция y = k/x (k ≠ 0).
Эта функция выражает обратно пропорциональную зависимость.
Область определения: х ≠ 0. Это можно записать также так:

D (y) = (- ∞; 0) U (0; + ∞).

Область значений: у Ф 0. Это можно записать также так:

E (y) = (- ∞; 0) U (0; + ∞).

Для обоснования области значений функции y = k/x обозначим k/x = a.
Тогда из этого равенства получим x = k/a для всех a ≠ 0. То есть
для всех a ≠ 0 существует значение x = k/a, при котором
y =k/x = k/(k/a) = a. Таким образом, y принимает все
действительные значения, не равные нулю.

Функция нечетная, поскольку ее областью определения является множество,
симметричное относительно точки О, и f (-x) = -k/x = -f(x). Таким образом,
её график симметричен относительно начала координат (рис. 23).

Возрастание и убывание функции зависит от знака коэффициента k.
Если х2 > х1 (то есть х2 — х1 > 0), то для сравнения значений f(х2) и f(х1)
рассмотрим их разность: f(x2)-f(x1) = k/x2 — k/x1 = -k(x2-x1)/x2x1.

На промежутке (0; +∞) значение х1 > 0 и х2 > 0, следовательно, х1х2 > 0.
На промежутке (-∞;0) значение х1 < 0 и х2 < 0, значит, х1х2 > 0.
Учитывая, что х2 — х1 > 0 на каждом из промежутков (—∞; 0) или (0; +∞), при
k > 0 из равенства (1) получаем f(х2) — f(х1) < 0, а при k < 0 получаем f(х2) — f(х1) > 0.

При k > 0 на каждом из промежутков (—∞; 0) и (0; +∞), если х2 > х1, то f (х2) < f (х1),
таким образом, функция убывает на каждом из этих промежутков.

При k < 0 на каждом из промежутков (—∞; 0) и (0; +∞), если х2 > х1, то f (х2) > f (х1),
следовательно, функция возрастает на каждом из этих промежутков.

Из курса алгебры известно, что график функции у = k/x называется
гиперболой (она состоит из двух ветвей). При k > 0 ветви гиперболы
находятся в I и III координатных четвертях, а при k < 0 — во II и IV четвертях (рис. 23).

Замечание. Характеризируя возрастание или убывание функции у = k/x (k ≠ 0),
следует помнить, что, например, функция у = 1/x (рис. 24) убывает
каждом из промежутков (—∞; 0) и (0; +∞), но на всей области определения (х ≠ 0)
эта функция не является убывающей (и не является возрастающей).

Действительно, если взять х1 = —1 и х2 = 1, то x2 > x1, но f(x2) = f(1) = 1, а f(x1) = f(—1) = —1,
то есть большему значению аргумента не соответствует меньшее значение функции,
и на всей ее области определения функция f(x) = 1/x не является убывающей.

Поэтому же нельзя сказать, что функция f (x) = 1/x — убывает на
объединении интервалов (—∞; 0) U (0; +∞).

3. Функция y = ax² (a ≠ 0).Как известно из курса алгебры, графиком этой
функции является парабола, ветви которой направлены вверх при а > 0 (рис. 25, а)
и вниз при а < 0 (рис. 25, б). Поскольку при х = 0 значение у = 0, то график
всегда проходит через начало координат.

<Область определения: х ∈ R, поскольку значение у = ах² можно вычислить при
любых значениях х (из свойств действительных чисел, которые строго
доказываются в курсах математического анализа, следует, что для любых
действительных чисел х и а однозначно определены произведения х • х = х2 и ах²
и ax² = y).

Функция четная, поскольку f (—x) = а (—х)² = ах² = f (x). Таким образом, ее
график симметричен относительно оси Оу.

Область значений. Для нахождения области значений функции у = ax²
обозначим ax² = u. Поскольку а ≠ 0, то из этого равенства x² = u/a (*). При а > 0
уравнение (*) имеет решение для любого u ≥ 0, а при а < 0 уравнение (*) имеет
решение для любого u ≤ 0.

Следовательно, при а > 0 Е (у) = [0; +∞), а при а < 0 Е (у) = (—∞; 0].

Возрастание и убывание.
Если x2 > x1 ( то есть x2 — x1 >0), то для сравнения значений y(x2) и y(x1) рассмотрим их разность
y(x2)-y(x1) = ax2² — ax1² = a(x2² — x1²) = a(x2-x1)(x2+x1). (2)

На промежутке [0; +∞) значение х1 ≥ 0 и х2 > 0, следовательно, х2 + х1 > 0.

На промежутке (—∞; 0] значение х1 < 0 и х2 ≤ 0, значит, х2 + х1 < 0.

Учитывая, что х2 — х1 > 0 на каждом из указанных промежутков, из равенства (2)
получаем:

— при a > 0 на промежутке [0; +∞) у (х2) — у (х1) > 0, а на промежутке (—∞; 0]
y(x2) — y(x1) < 0.

— при a < 0 на промежутке [0; +∞) у (х2) — у (х1) < 0, а на промежутке (—∞; 0]
y(x2) — y(x1) > 0.

Следовательно, при х2 > х1, если a > 0, то на промежутке [0; +∞) у(х2) > y(x1)
функция возрастает, а на промежутке (—∞; 0] у (х2) < у (х1) функция убывает.
если же a < 0, то на промежутке [0; +∞) у (х2) < у (х1)
функция убывает, а на промежутке (—∞; 0] у (х2) > у (х1) функция возрастает.
Соответствующие графики приведены также в таблице 3.

4. Квадратичная функция y = ax² + bx + c (a ≠ 0).
Из курса агебры за 9 класс известно, что функция вида
y = ax² + bx +c, где a,b,c — действительные числа, причём
a≠0, называется квадратичной.Ее графиком является парабола,
ветви которой направлены вверх при а > 0 и вниз при а < 0.

Абсцисса вершины этой параболы x0 =-b/2a. Для обоснования этого
достаточно в заданном квадратном трехчлене выделить полный квадрат:
y = ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x + c/a) = a(x + b/2a)² + (4ac — b²)/4a, то есть
y = ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + y0, где y0 = (4ac — b²)/4a = -D/4a (3)
(D = b² — 4ac — дискриминант квадратного треёхчлена ax² + bx + c).

Напомним, что в зависимости от знака дискриминанта D парабола или
пересекает ось Ох (D > 0), или не пересекает (D < 0), или касается ее (D = 0).
Основные варианты расположения графика функции у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)
представлены в таблице 4.
Охарактеризуем свойства функции у = ax² + bx + с (a ≠ 0).

Область определения: D (у) = R, поскольку значение у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)
можно вычислить при любых значениях х (из свойств действительных чисел,
которые строго доказываются в курсах математического анализа, следует, что для
любых действительных чисел х, а, b и с однозначно определены произведения
х • х = х&, ах² и bx и суммы ах² + bx, (ax² + bx) + с = ax² + bx + с = у).

Область значений. Для нахождения области значений функции у = ax² + bx + с
используем формулу (3) и обозначим a(x + b/2a)² + y0 = u. Поскольку a ≠ 0, то
из этого равенства: (x + b/2a)² = (u — y0)/a.

ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ:

1.Какая функция называется линейной? Назовите свойства линейной функции.
Какая линия является графиком линейной функции? Приведите примеры
линейных функций и их графиков.

2. Какая линия является графиком функции у = k/x (k≠ 0)? Приведите
графиков функций у = k/x при k > 0 и при k < 0. По графикам
укажите свойства этой функции при k > 0 и при k < 0. Докажите нечетность
функции у = k/x (k≠ 0).

3. Какая линия является графиком функции у = ax² (a ≠ 0)?
Как расположен этот график при а > 0 и при а < 0? Приведите примеры графиков функций
у = ax² при а > 0 и при а < 0. По графикам укажите свойства этой
функции при а > 0 и при а < 0. Докажите четность функции у = ax² (a ≠ 0).

4. Какая линия является графиком функции у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)?
Как расположен график при а > 0 и при а < 0? Как найти абсциссу
вершины графика функции у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)?
Приведите примеры графиков этой функции при а > 0 и при а < 0.
По графикам укажите свойства этой функции при а > 0 и при а < 0.



1. Постройте график функции:
1) y = 3x — 2;     2)y = -x + 4;     3) y = -2     4) y = -5x     5) y = 0     6)y = 4x
Есть ли среди этих функций чётные или нечётные? Ответ обоснуйте.

2. По приведёнными графикам функций y = kx + b (рис. 26) укажите знаки k и b в каждом случае.

 

 

Постройте график функции (3 — 5 ).
3. 1) y = -2/x;     2) y = 3/x     3) y = 1/x     4) y = 5/x

4. 1) y = -2x²     2) y = 3x²     3) y = -3x²     4) y = 5x²

5. 1) y = x² — 6x + 7     2) y = -x² + 4x + 2    3) y = 2x² — 2x + 1    4) y = -3x² + 6x

6. По приведённым графикам функции y = ax² + bx + c (a≠) (рис. 27)
укажите знаки a, b, c в каждом случае.

Обратная функция | Алгебра

Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?

Определение.

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.

Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:

1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:

x=f(y).

2) Из полученного равенства выразить y через x:

y=g(x).

Пример.

Найти функцию, обратную функции y=2x-6.

1) x=2y-6

2) -2y=-x-6

y=0,5x+3.

Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).

y=2x-6 и y=0,5x+3 — линейные функции. Графиком линейной функции является прямая.  Для построения прямой берём две точки.

   

   

Однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение  x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой).

Теорема (необходимое и достаточное  условие обратимости функции)

Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.

Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.

Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.

Классический пример — функция y=x². На промежутке [0;∞) функция возрастает. Условие обратимости выполнено, следовательно, можем искать обратную функцию.

Так как область определения функции y=x² — промежуток [0;∞), область значений на этом промежутке — также [0;∞), то область определения и область значений обратной функции — также [0;∞).

1) x=y².

2)

   

Так как y≥0, то

   

то есть на промежутке [0;∞) y=√x — функция, обратная к функции y=x². Их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных четвертей:

В алгебре наиболее известными примерами взаимно обратных функций являются показательная и логарифмическая функция, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Конспект урока по математике на тему «Область определения функции» (10 класс)

Конспект  урока.

Тема:
Определение функции. Область определения и множество значений. График функции.

Цели:

Предметные:

·        
Студенты должны знать понятия функции, графики функции, область
определения и множество значений функции.

·        
Развивать умения построения графиков функций.

Метапредметные:

·        
уметь самостоятельно добывать новые для себя математические
знания, используя для этого доступные источники информации;

·        
уметь выстраивать конструктивные взаимодействия в команде по
решению общих задач;

·        
уметь управлять своей познавательной деятельностью, проводить
самооценку уровня собственного интеллектуального развития.

Личностные:

·        
осуществлять поиск полученной информации для нахождения области
определения и множества значений функций.

Методы
обучения
:

·        
по источнику получения информации: словесный, практический;

·        
по характеру познавательной деятельности: беседа, репродуктивный,
проблемные вопросы;

·        
активные методы обучения: обсуждение, самостоятельная работа,
метод частично – поисковый.

Тип
урока
:

·        
Обобщение и систематизация знаний.

Элементы
педагогических технологий
:

·        
погружения;

·        
информационно-коммуникационная технология;

·        
дифференцированное обучение.

Межпредметные
связи
:

·        
Физика;

·        
Химия;

·        
Техническая механика.

План урока.

1.     
Организационная момент (приветствие, проверка
присутствующих и готовность студентов к уроку)…………………………………………………………………………3мин

2.     
Понятие функции (история)…………………………………………………3мин

3.     
Повторение опорных знаний………………………………………………..14мин

4.     
Изложение нового материала………………………………………………..40мин

5.     
Закрепление…………………………………………………………………..13мин

6.     
Домашние задание……………………………………………………………7мин

Ход урока.

1.     
Организационная момент (приветствие, проверка
присутствующих и готовность студентов к уроку).

2.     
Понятие функции

Идея зависимости величин восходит к древнегреческой науке.
Развитие механики и техники 16 – 17 вв. потребовало введение общего понятия
функции, что было сделано немецким философом и математиком Г. Лейбницем (1646 –
1716 гг). П. Ферма

и
Р. Декарт показали, как представить функции аналитически. Декарт ввел в
математику понятие переменной величины.

Строгое
определение функции дал И. Бернулли (1667 – 1748 гг.), а затем его ученик, член
Петербургской Академии Л. Эйлер ввел обозначение f (x) и объявил
понятие функции центральным понятием анализа.

Позднее
Ж. Фурье, Н. И. Лобачевский, И. П. Декарт и другие внесли большой вклад в
развитие понятия функции. Установление функциональной зависимости между
величинами иллюстрирует важные философские категории – причины и следствия.

3. Повторение
опорных знаний.

3.1 Вопросы:

·        
 

o    Какие
функции вы знаете? ( Чертят в тетрадях функции)

o    Линейная
функция, графиком которой является прямая.

o    Каким
уравнением задаётся линейная функция? (презентация)

o     

3.2
Построить графики функций:

y =
2x,

y=2х+3,

y=х2

o     

1)Зависимость
между переменными x  и y в линейной функции  y = kx является
прямопропорциональной.

2)Область
определения функции – множество R  всех действительных чисел.

Корни
— единственный корень x = 0.

Промежутки
постоянного знака зависят от знака параметра k:

k >
0, то  y > 0 при x > 0 ; y < 0  при x < 0;

k <
0, то  y > 0 при x < 0 ; y < 0  при x > 0.

Экстремумов
нет.

3)Монотонность
функции:

если 
k > 0, то y  возрастает на всей числовой оси;
если k < 0, то y убывает на всей числовой оси.

Наибольшего
и наименьшего значений нет.

Область
значений — множество R.

Четность
— функция y = kx нечетная.

4)Графиком
линейной функции y = kx является прямая, проходящая через начало координат.

Коэффициент
k называется угловым коэффициентом этой прямой.

Он
равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси X: k = tgα.

При
положительных  k этот угол острый, при отрицательных — тупой.

5) Графиком линейной функции y = kx + b является прямая,
смещенная на b единиц.

 Для
построения графика достаточно двух точек.

Например:
A(0;b) B(−kb;0),
если k ¹0 .

6) График
линейной функции y = kx + b при k
¹0, b ¹0.

7)Частный случай

График
линейной функции y = kx + b при k
¹0, b =0.

 

o    Каким
уравнением задаётся квадратичная функция? (презентация)

График функции у=ах2 +n является

параболой, которую
можно получить из

графика функции у=ах2 с помощью

параллельного
переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если n>0, или на
-n
единиц вниз, если n<0.

График функции у=а(х-m)2  является параболой,
которую можно получить из графика функции у=ах2  с помощью параллельного вдоль оси х на m
единиц вправо, если m>0, или –m   единиц влево, если
m <0.

График
функции у=а(х-m)2  +n
является парабола, которую можно получить из графика функции у=ах2 с помощью двух параллельных
переносов: сдвига вдоль оси х на m
единиц вправо, если m>0, или на –m единиц влево, если m<0,
и сдвига вдоль оси у на   n  единиц вверх, если n>0,
или на –n вниз, если n<0.

 

3.     
Изложение нового материала.

На
этом уроке мы рассмотриваем важнейшее понятие в математике – функция. Мы
узнаем, что такое числовая функция, как построить график функции, как найти
область определения и область значений функции. Также рассмотрим возможные
способы задания функции.

Пусть  и  –
это два множества.

Функция  
это соответствие, которое каждому элементу из множества  сопоставляет
единственный элемент из множества .

 

Рассмотрим
такой пример.

Предположим,
есть 4 самолета и 6 городов. Согласно расписанию первый и второй самолет летят
в первый город; третий самолет летит в третий город; четвертый самолет летит в
пятый город (см. Рис. 1).

Рис.
1. Множество  и 

В
этом примере множество самолетов – это множество ,
множество городов – это множество,
расписание – это соответствие, которое каждому элементу первого множества
(самолетов) сопоставляет единственный элемент второго множества (городов).

Если
элемент  из
множества  переходит
в элемент  из
множества ,
то этот элемент  обозначается .

 –
это образ элемента .
Множество всех  называется множеством
значений функции (областью значений функции).
 В приведенном примере
множество значений функции – это первый, третий и пятый город.

Множество  –
это область определения функции.

Рассмотрим
еще несколько примеров.

1. Площади

Каждой
замкнутой фигуре на плоскости сопоставляется неотрицательное число (ее
площадь )
(см. Рис. 2). То есть задается функция.

Рис.
2. Каждой фигуре сопоставляется неотрицательное число (площадь)

Множество  –
это множество всех замкнутых фигур на плоскости. Множество  –
все неотрицательные числа, то есть луч .

В
данном случае множество значений функции совпадает с ,
то есть множество значений – это луч .

2. Движение

Движение
– это такое преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между всеми
ее точками.

Множество  –
это плоскость (множество всех точек плоскости),  –
это движение плоскости, множество  –
та же самая плоскость (см. Рис. 3).

Рис.
3. Движение плоскости

Числовая функция

Если
даны числовое множество  и
правило ,
позволяющее поставить в соответствие каждому элементу  из
множества  определенное
число ,
то говорят, что задана функция  
с областью определения .

Областью
определения функции 
 называют
множество всех значений ,
для которых функция имеет смысл.

Множество
всех значений функции ,  называют областью
значения функции

,  

 –
независимая переменная (аргумент)

 –
зависимая переменная

 –
область определения функции

 – область
значений функции

График функции

Графиком
функции называется множество всех точек (на координатной плоскости) вида ,
где .

Пример

Задана
функция , ,
которая показывает изменение температуры воздуха в зависимости от времени года
(с весны до весны). Построим график этой функции.

Независимая
переменная  –
это время; зависимая переменная  –
это температура (см. Рис. 4).

Рис.
4. График функции , 

Любая
вертикальная прямая  (если  принадлежит
области определения) пересекает график в единственной точке, так как согласно
определению функции закон  такой,
что каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции.

Область
определения – это проекция графика функции на ось .

Область
значения – это проекция графика функции на ось .

Аналитический способ задания функции

Функция,
заданная аналитически, – это функция, которая задана формулами. Чем
хорош аналитический способ задания функции? Тем, что, если у вас есть формула –
вы знаете про функцию всё. Вы можете составить табличку. Построить
график. Исследовать эту функцию полностью. Точно предсказать, где и как будет
вести себя эта функция. Весь математический анализ стоит именно на таком способе
задания функций. 

Примеры:

1. ,  (все
натуральные числа) – такая функция называется последовательностью.

Построим
график  функции
(см. Рис. 5). Это прямая, на которой лежат точки с координатами .

Рис.
5. График функции 

Все
точки графика функции ,  лежат
на построенной прямой (некоторые из них отмечены на рис. 5). Например:

если ,
то ;

если ,
то .

Область
определения этой функции – это множество всех натуральных чисел.

Область
значения этой функции – неотрицательные нечетные числа.

 

 

Графический способ задания функции

В
данном способе функция представлена графиком. По оси абсцисс откладывается
аргумент (),
а по оси ординат – значение функции ().
По графику тоже можно выбрать любой  и
найти соответствующее ему значение  (см.
Рис. 10). 

Рис.
10. Данный график задает функцию

Однако
не каждая кривая может задать график функции. Например, кривая на рисунке 11 не
задает график функции, так как значению  соответствует
несколько значений .

Рис.
11. Данный график не является графическим заданием функции

Табличный способ задания функции

Этот
способ представляет собой простую табличку. В этой таблице каждому  соответствует
(ставится в соответствие) какое-то значение .
В первой строчке – значения аргумента. Во второй строчке – соответствующие им
значения функции, например:

Словесный способ задания функции

Функцию
можно однозначно задать словами.

Пример: 
Пусть  –
это дробная часть положительного числа  в
его десятичной записи.

Это
означает:            

если ,
то

если ,
то 

если ,
то

Понятно,
что при  функция
равна нулю. Поймем, как ведет себя функция на интервалах вида , .

Сначала
рассмотрим функцию на интервале ,
на нем .
При этом  (см.
Рис. 12).

Рис.
12. График функции на промежутке 

5.
Закрепление. Определите способ задания функции (задания на карточках)

6. Домашнее
задание:
§6, №126, №127(1,2)

Прочитайте
параграф, еще раз внимательно рассмотрите определения. Постройте графики  

7.
Список используемой литературы

Математика: алгебра и начала
математического анализа.10 -11 классы:учеб. Для общеобразрват. Организаций: базовый
и углубленный уровни/ др. Ш.А Алимов. М.: Просвещение, 2019

Богомолов
Н.В. Математика: учеб. для ссузов.

 

Область определения функции | Онлайн калькулятор

Данный калькулятор позволит найти область определения функции онлайн.
Область определения функции y=f(x) – это множество всех значений аргумента x, на котором задана функция. Другими словами, это все x, для которых могут существовать значения y. На графике областью определения функции является промежуток, на котором есть график функции.
Область определения функции f(x), как правило, обозначается как D(f). Принадлежность к определенному множеству обозначается символом ∈, а X – область определения функции. Таким образом, формула x∈X означает, что множество всех значений x принадлежит к области определения функции f(x).
Приведем примеры определения основных элементарных функций. Областью определения постоянной функции y=f(x)=C является множество всех действительных чисел. Когда речь идет о степенной функции y=f(x)=xa, область определения зависит от показателя степени данной функции. При нахождении области определения функции y=f(x)= √(n&x) (корень n-ой степени) следует обращать внимание на четность или нечетность n.
Областью определения логарифмической функции являются все положительные действительные числа, и она не зависит от основания логарифма. Областью определения показательной функции, также как и у постоянной функции, является множество всех действительных чисел.

Областью определения сложных функций y=f1(f2(x)) является пересечение двух множеств: x∈D(f2) и множества всех x, для которых f2(x) ∈ D(f1). Следовательно, для того чтобы найти область определения сложной функции, необходимо решить систему неравенства.
Преимуществом онлайн калькулятора является то, что Вам нет необходимости знать и понимать, как находить область определения функции.4)

Область определения функции с примерами решения

Содержание:

  1. Область определения функции
  2. Примеры с решением

Функции являются одним из наиболее важных математических понятий. Напомним, что функции вызывают такие зависимости переменных от переменной при которой каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной

Переменную называют независимой переменной или аргументом. Переменную называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная является функцией от переменной Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной от переменной является функцией, то коротко это записывают так: (Читают: равно от ) Символом обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному

Пусть, например, функция задается формулой Тогда можно записать, что Найдем значения функции для значений равных, например, т. е. найдем

Заметим, что в записи вида вместо употребляют и другие буквы: и т. п.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Например, областью определения функции является множество всех чисел; областью определения функции служит множество всех чисел, кроме

Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания. Например, зависимость длины железного стержня от температуры нагревания выражается формулой где — начальная длина стержня, а — коэффициент линейного расширения. Указанная формула имеет смысл при любых значениях

Однако областью определения функции является промежуток в несколько десятков градусов, для которого справедлив закон линейного расширения.

Напомним, что график функции — это множество всех точек в координатной плоскости, абсцисса равна значению аргумента, а ордината — это соответствующее значение функции.

На рисунке 1 изображен график функции областью определения которой является промежуток С помощью графика можно найти, например, что Наименьшее значение функции равно а наибольшее равно при этом любое число от до является значением данной функции. Таким образом, областью значений функции служит промежуток

Мы изучили некоторые важные виды функций: линейную функцию, т. е. функцию, задаваемую формулой где и — некоторые числа; прямую пропорциональность — это частный случай линейной функции, она задается формулой обратную пропорциональность — функцию

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Область определения функции

Областью определения функции называется совокупность значений независимой переменной, при которых эта функция определена, т. е. область изменения независимой переменной (п. 1.5). Обычно эта переменная является непрерывной, и тогда, как было указано в п. 1.5, эта область определения состоит из одного или нескольких интервалов.

В некоторых случаях область определения функции выясняется из физического или геометрического смысла этой функции. Например, если рассматривать зависимость площади круга от длины его радиуса, то областью определения этой функции будет интервал так как по геометрическому смыслу может принимать именно такие значения.

Если рассматривается зависимость плотности р атмосферы надданной точкой земной поверхности от высоты над уровнем моря, то областью определения этой функции будет интервал где — высота земной поверхности, а — условная высота, принимаемая за границу атмосферы, и т. д. Если функция задана просто формулой, то областью определения служит совокупность значений аргумента, при которых формула дает определенное вещественное (действительное) значение функции. (Мы пока будем рассматривать только вещественные функции от вещественного аргумента, т. е. функции, у которых зависимая и независимая переменные принимают лишь вещественные значения.)

Например, если то может принимать любые значения, т. е. областью определения служит вся числовая ось Если то при вычислении у встретится препятствие в извлечении корня, если окажется, что значит, должно быть а это справедливо при или т. е. область определения в данном случае состоит из двух интервалов: (на рис. 1.10 эта область заштрихована).

При нахождении области определения в аналогичных случаях надо выяснить, что может препятствовать получению значения функции, после чего выписывать неравенства (как в последнем примере ), гарантирующие возможность этого получения. Тогда задача сведется к решению этих неравенств.

Если независимая переменная дискретна, то область определения функции состоит из дискретных (отдельных)точек. Например, если то может принимать только значения 1,2, 3,… Если, как в этом примере, дискретный аргумент принимает лишь целые значения, то обычно его обозначают не а буквами и т. п., а вместо пишут и говорят, что дана последовательность; например, последовательностью служит геометрическая прогрессия и т. п. График функции от дискретного аргумента не является линией, а состоит из дискретных точек (рис. 1.11).

Область изменения самой функции называется иначе множеством значений этой функции. Например, для функции областью определения служит интервал а множеством значений — интервал так как в данном случае принимает только такие значения.Выяснение области определения функции важно для построения ее графика, так как эта область — это та часть оси абсцисс, над или под которой пройдет график; точнее говоря, это — проекция графика на ось абсцисс. На рис. 1.12 показаны три простых графика; области определения этих функций заштрихованы. Ясно, что если область определения состоит из нескольких частей, то и график состоит из нескольких кусков.

Если функция задана аналитическим выражением (формулой) без каких-либо дополнительных условий, то под ее областью определения понимают область существования аналитического выражения, т. е. совокупность всех точек, в которых данное аналитическое выражение определено и принимает только действительные значения. Область называется замкнутой, если она включает в себя все свои границы.

Область определения функции 3 переменных представляет собой некоторую пространственную область, в частности некоторый объем. Площадь равна определенным интеграл от функции чьи пределы интеграции являются перехватами.

Если функция положительна на интервале и график функции выше осей, то площадь от функции может быть определена.
Примеры с решением
Пример 1.

Указать область определения функции, выражающей объем кругового конуса через образующую и радиус основания

Решение:

Функция, найденная в примере 1 (п. 3.1), выглядит так: По смыслу задачи переменные и могут принимать только положительные значения, и при этом всегда так как гипотенуза больше катета (рис. 3.2). Следовательно, область определения задается неравенствами т. е. состоит из всех тех точек первой четверти на плоскости которые лежат ниже биссектрисы (рис. 3.3). Границами области служат прямые

которые сами в область не входят, так что эта область незамкнутая.

Пример 2.

Найти область определения функции

Решение:

Поскольку никаких дополнительных ограничений на аргументы и не наложено, область определения будет состоять из всех тех точек плоскости, для которых данное аналитическое выражение принимает действительные значения.

Для этого подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. или

Если оставить здесь только знак равенства, то получится уравнение границы области или Эта граница состоит из двух биссектрис координатных углов. Для внутренних точек области должно соблюдаться неравенство или Следовательно, эти точки расположены между биссектрисами ближе к оси так как — расстояние точки до оси и оно меньше расстояния точки до оси Таким образом, область состоит из всех точек 2 углов между биссектрисами заключающими внутри себя ось (рис. 3.4).

Область замкнутая, так как включает в себя обе свои границы.

Замечание.

Хотя аналитические выражения функции в примерах 1 и 2 одинаковые, их области определения разные. Па переменные и в примере 1 были наложены дополнительные условия вытекающие из их геометрического смысла.

Пример 3.

Найти область определения функции

Решение:

Выражение, стоящее справа, теряет смысл при тех значениях и при которых знаменатель обращается в нуль. Отсюда областью определения нашей функции является вся плоскость, из которой выброшена прямая (рис. 3.5).

Пример 4.

Найти область опреде-ления функции

Решение:

Для того чтобы квадратный корень имел вещественные значения, его подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решая неравенство находим, что либо либо

Решением первой системы неравенств является Чтобы получить изображение искомой области на координатной плоскости, достаточно провести две прямые и Область состоит из 2 квадрантов с общей вершиной в точке (1, —2) (рис. З.б).

Пример 5.

Найти область определения функции

Решение:

Логарифм определен только при положительном значении его аргумента, поэтому или Чтобы изобразить геометрически область найдем сначала ее границу или Полученное уравнение определяет параболу, вершина которой расположена в точке а ось направлена в положительную сторону оси Точки пересечения параболы с осью получаются из условия откуда т.е. (рис.3.7).

Парабола делит всю плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю по отношению к параболе. Для точек одной из этих частей выполняется неравенство а для другой (на самой параболе Чтобы установить, какая из этих 2 частей является областью определения данной функции, т.е. удовлетворяет условию достаточно проверить это условие для какой-нибудь одной точки, не лежащей на параболе.

Например, начало координат лежит внутри параболы и удовлетворяет нужному условию Следовательно, рассматриваемая область состоит из внутренних точек параболы. Сама парабола в область входить не может, так как для точек параболы и логарифм не определен.

Чтение: поиск домена и диапазона на графике

Цели обучения

  • Определите область линейных, квадратичных, радикальных и рациональных функций из графиков

При поиске области и диапазона различных функций часто возникает вопрос, какие значения может иметь эта функция , а не ? Рисунки упрощают визуализацию того, что такое домен и диапазон, поэтому мы покажем, как определить домен и диапазон функций с учетом их графиков.

Каковы область и диапазон вещественной функции [latex] f (x) = x + 3 [/ latex]?
Это линейная функция . Помните, что линейные функции — это линии, которые бесконечно продолжаются в каждом направлении.

Любое действительное число можно заменить на x и получить значимый результат. Для любого действительного числа вы всегда можете найти значение x , которое даст вам это число для вывода. Если линейная функция не является константой, например [latex] f (x) = 2 [/ latex], ограничений на диапазон нет.{2} [/ latex] отрицательный, откроется вниз. При использовании квадратичных функций помните, что существует либо максимальное (наибольшее) значение, либо минимальное (наименьшее) значение. В этом случае есть максимальное значение.

Вершина, или высокая точка, находится в ([latex] 1, 4 [/ latex]). На графике видно, что [latex] f (x) \ leq4 [/ latex].

Ответ

Домен — это все действительные числа, а диапазон — все действительные числа f ( x ) такие, что [latex] f (x) \ leq4 [/ latex].

Вы можете проверить, что вершина действительно находится в ([latex] 1, 4 [/ latex]).Поскольку квадратичная функция имеет две половины зеркального отображения, линия отражения должна находиться посередине двух точек с одинаковым значением y . Вершина должна лежать на линии отражения, потому что это единственная точка, которая не имеет зеркального отражения!

Обратите внимание, что в предыдущем примере, когда [latex] x = 2 [/ latex] и когда [latex] x = 0 [/ latex], значение функции равно [latex] 1 [/ latex]. (Вы можете проверить это, оценив [latex] f (2) [/ latex] и [latex] f (0) [/ latex].) То есть оба ([latex] 2, 1 [/ latex]) и ( [латекс] 0, 1 [/ латекс]) находятся на графике.Линия отражения здесь [latex] x = 1 [/ latex], поэтому вершина должна находиться в точке [latex] (1, f (1)) [/ latex]. Оценка f (1) дает [latex] f (1) = 4 [/ latex], поэтому вершина находится в [latex] (1, 4) [/ latex].

Пример

Каков домен и диапазон вещественной функции [latex] f (x) = — 2+ \ sqrt {x + 5} [/ latex]?

Показать решение
Это радикальная функция . Область определения радикальной функции — это любое значение x , для которого подкоренное выражение (значение под знаком радикала) не является отрицательным.Это означает [латекс] x + 5 \ geq0 [/ latex], поэтому [латекс] x \ geq-5 [/ latex].

Так как квадратный корень всегда должен быть положительным или [латекс] 0 [/ латекс], [латекс] \ displaystyle \ sqrt {x + 5} \ ge 0 [/ latex]. Это означает [латекс] \ displaystyle -2+ \ sqrt {x + 5} \ ge -2 [/ latex].

Ответ

Домен состоит из действительных чисел x , где [latex] x \ geq − 5 [/ latex], а диапазон — это все действительные числа f ( x ), такие что [latex] f (x) \ geq -2 [/ латекс].

Пример

Какова область определения функции с действительным знаком [latex] \ displaystyle f (x) = \ frac {3x} {x + 2} [/ latex]?

Показать решение
Это рациональная функция .Область рациональной функции ограничена, где знаменатель [латекс] 0 [/ латекс]. В этом случае знаменателем является [латекс] x + 2 [/ латекс], и это [латекс] 0 [/ латекс] только тогда, когда [латекс] x = -2 [/ латекс].

Ответ

Домен состоит из действительных чисел, кроме [latex] −2 [/ latex]

В следующем видео мы покажем, как определить домен и диапазон функций по их графикам.

Резюме

Хотя функция может быть задана как «действительная», может оказаться, что функция имеет ограничения на ее домен и диапазон.Могут быть некоторые реальные числа, которые не могут быть частью домена или диапазона. Это особенно верно для рациональных и радикальных функций, которые могут иметь ограничения по домену, диапазону или обоим. Другие функции, такие как квадратичные функции и полиномиальные функции четной степени, также могут иметь ограничения на их диапазон.

Область и диапазон функции — объяснение и примеры

В этой статье объясняется область определения и диапазон среднего значения функции, а также способы вычисления двух величин. Прежде чем перейти к теме домена и диапазона, давайте кратко опишем, что такое функция.

В математике мы можем сравнить функцию с машиной, которая генерирует некоторый результат в корреляции с заданным входом . На примере машины для чеканки монет мы можем проиллюстрировать значение функции следующим образом.

Когда вы вставляете монету в монетоприемник, в результате получается штампованный и сплющенный кусок металла. Рассматривая функцию, мы можем связать монету и сплющенный кусок металла с доменом и диапазоном.В этом случае функцией считается машина для чеканки монет.

Так же, как машина для штамповки монет, которая может производить только один сплющенный кусок металла за раз, функция работает таким же образом, выдавая один результат за раз.

История функции

Идея функции появилась в начале семнадцатого века, когда Рене Декарт (1596-1650) использовал эту концепцию в своей книге «Геометрия» (1637) для моделирования математических задач.

Пятьдесят лет спустя, после публикации «Геометрии», Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) ввел термин «функция». Позже Леонард Эйлер (1707-1783) сыграл большую роль, введя технику понятия функции y = f (x).

Реальное применение функции

Функции очень полезны в математике, потому что они позволяют нам моделировать реальные проблемы в математическом формате.

Вот несколько примеров применения функции.

  • Окружность окружности

Окружность окружности зависит от ее диаметра или радиуса. Мы можем математически представить это утверждение как:

C (d) = dπ или C (r) = 2π⋅r

Длина тени объекта является функцией его высоты.

  • Положение движущегося объекта

Местоположение движущегося объекта, например автомобиля, зависит от времени.

Температура тела зависит от нескольких факторов и входных данных.

Сложный или простой процент зависит от времени, основной суммы и процентной ставки.

Высота объекта зависит от его возраста и массы тела.

Узнав о функции, теперь можно переходить к вычислению области и диапазона функции.

Какова область и диапазон функции?

Область функции — это входные числа, которые при подключении к функции определяют результат. Проще говоря, мы можем определить область определения функции как возможные значения x, которые сделают уравнение истинным.

Некоторые случаи, когда функция не может быть действительной, — это когда уравнение делится на ноль или отрицательный квадратный корень.

Например, f ( x ) = x 2 является допустимой функцией, потому что независимо от того, какое значение x можно подставить в уравнение, всегда есть правильный ответ. По этой причине мы можем заключить, что область определения любой функции — это действительные числа.

Диапазон функции определяется как набор решений уравнения для заданного входа.Другими словами, диапазон — это результат или значение y функции. Для данной функции существует только один диапазон.

Как использовать обозначения интервалов для указания домена и диапазона?

Поскольку диапазон и область определения функции обычно выражаются в интервальной записи, важно обсудить концепцию интервальной записи.

Процедура записи интервалов включает:

  • Запишите числа, разделенные запятой, в порядке возрастания.
  • Заключите числа в круглые скобки (), чтобы показать, что значение конечной точки не включено.
  • Используйте квадратные скобки [], чтобы заключить числа, когда включено значение конечной точки.

Как найти домен и диапазон функции?

Мы можем определить область определения функции либо алгебраически, либо графическим методом. Чтобы вычислить область определения функции алгебраически, вы решаете уравнение, чтобы определить значения x.

У разных типов функций есть свои методы определения своей области.

Давайте рассмотрим эти типы функций и способы вычисления их области.

Как найти область определения функции без знаменателя и радикалов?

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять этот сценарий.

Пример 1

Найдите область определения f (x) = 5x — 3

Решение

Областью определения линейной функции являются все действительные числа, поэтому

Область: (−∞, ∞)

Диапазон: (−∞, ∞)

Функция с радикалом

Пример 2

Найти область определения функции f (x) = — 2x 2 + 12x + 5

Решение

Функция f (x) = −2x 2 + 12x + 5 является квадратичным многочленом, поэтому область определения (−∞, ∞)

Как найти область для рационального функция с переменной в знаменателе?

Чтобы найти область определения функции этого типа, установите знаменатель равным нулю и вычислите значение переменной.

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять этот сценарий.

Пример 3

Определите область x − 4 / (x 2 −2x − 15)

Решение

Установите знаменатель равным нулю и решите относительно x

⟹ x 2 — 2x — 15 = (x — 5) (x + 3) = 0

Следовательно, x = −3, x = 5

Чтобы знаменатель не был равен нулю, нам нужно избегать чисел −3 и 5 Таким образом, домен состоит из действительных чисел, кроме −3 и 5.

Пример 4

Вычислить область и диапазон функции f (x) = -2 / x.

Решение

Установите знаменатель на ноль.

⟹ x = 0

Следовательно, домен: все действительные числа, кроме 0.

Диапазон — это все действительные значения x, кроме 0.

Пример 5

Найдите домен и диапазон следующей функции .

f (x) = 2 / (x + 1)

Решение

Установите знаменатель равным нулю и решите относительно x.

x + 1 = 0

= -1

Поскольку функция не определена, когда x = -1, доменом являются все действительные числа, кроме -1. Точно так же диапазон — это все действительные числа, кроме 0

Как определить домен для функции с переменной внутри знака корня?

Для нахождения области определения функции членам внутри радикала задается неравенство> 0 или ≥ 0. Затем определяется значение переменной.

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять этот сценарий.

Пример 6

Найдите область определения f (x) = √ (6 + x — x 2 )

Решение

Чтобы избежать квадратных корней из отрицательных чисел, мы задаем выражение внутри знака корня до ≥ 0.

6 + x — x 2 ≥ 0 ⟹ x 2 — x — 6≤ 0

⟹ x 2 — x — 6 = (x — 3) (x +2) = 0

Следовательно, функция равна нулю, если x = 3 или x = -2

Следовательно, домен: [−2, 3]

Пример 7

Найдите область определения f ( x) = x / √ (x 2 — 9)

Решение

Установите выражение внутри знака радикала равным x 2 — 9> 0
Решите, чтобы получить переменную;

x = 3 или — 3

Следовательно, домен: (−∞, −3) & (3, ∞)

Пример 8

Найдите область определения f (x) = 1 / √ ( x 2 -4)

Решение

Разложив знаменатель на множители, мы получим x ≠ (2, — 2).

Проверьте свой ответ, подставив -3 в выражение внутри знака корня.

⟹ (-3) 2 — 4 = 5

также попробуйте с нулем

⟹ 0 2 — 4 = -4, поэтому числа от 2 до -2 недействительны

Попробуйте число больше 2

⟹ 3 2 — 4 = 5. Это верно.

Следовательно, домен = (-∞, -2) U (2, ∞)

Как найти область определения функции с помощью натурального логарифма (ln)?

Чтобы найти домен функции с использованием натурального логарифма, задайте для членов в круглых скобках значение> 0 и затем решите.

Давайте посмотрим на пример ниже, чтобы понять этот сценарий.

Пример 9

Найти область определения функции f (x) = ln (x — 8)

Решение

⟹ x — 8> 0

⟹ x — 8 + 8> 0 + 8

⟹ x> 8

Домен: (8, ∞)

Как найти домен и диапазон отношения?

Отношение — это актив координат x и y. Чтобы найти домен и диапазон в отношении, просто укажите значения x и y соответственно.

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять этот сценарий.

Пример 10

Укажите область и диапазон отношения {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3) }

Решение

Перечислите значения x. Домен: {2, 3, 4, 6}

Список значений y. диапазон: {–3, –1, 3, 6}

Пример 11

Найдите домен и диапазон отношения {(–3, 5), (–2, 5), (–1, 5), (0, 5), (1, 5), (2, 5)}

Решение

Домен {–3, –2, –1, 0, 1, 2} и диапазон равно {5}

Пример 12

Учитывая, что R = {(4, 2) (4, -2), (9, 3) (9, -3)}, найдите домен и диапазон Р.

Решение

Домен представляет собой список первых значений, поэтому D = {4, 9} и диапазон = {2, -2, 3, -3}

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок. f (x) существует или определено.Например, если мы возьмем линейную функцию:

f (x) = 2 x + 3, мы сможем оценить f (x ) в любой момент и получим реальный ответ для y :

Таким образом, область f (x) состоит из действительных чисел или от отрицательной бесконечности до бесконечности.

Диапазон — это набор всех значений y , зависимая величина, которая получится в результате подстановки всех значений x (область) в функцию.

Таким образом, диапазон f (x) = 2 x + 3 также является действительным числом, потому что независимо от того, какое значение имеет x , мы всегда можем умножить это число на 2 и добавить 3.

Это было уравнение, но как неравенство изменит область определения и диапазон этой линейной функции? Что ж, посмотрим, что неравенство никак не влияет на область определения и диапазон линейных функций. Не будем путать домен и диапазон с решением неравенства. Эти две концепции разные. Домен и диапазон означают все возможные значения x и y , которые могут быть заменены неравенством. Решение означает все возможные значения, которые делают утверждение неравенства верным.

Давайте посмотрим на пример:

f (x) > 2 x + 3

Область по-прежнему состоит из действительных чисел, потому что знак неравенства изменяет соотношение между y и x , а не фактический набор значений, которые мы могли бы заменить для любой переменной.Решение неравенства гласит, что значения y должны быть больше 2x + 3 , а не равны. Таким образом, хотя диапазон по-прежнему состоит из действительных чисел, решением является заштрихованная область, для которой y всегда будут больше, чем линия функции. Давайте проверим пару примеров:

Как мы видим, какое бы значение мы ни выбрали y , всегда будет значение x , которое сделает неравенство истинным.Следовательно, область применения и диапазон линейных неравенств всегда будут действительными числами, что опять же не то же самое, что решение неравенства.

Абсолютное значение

Абсолютное значение — это расстояние от нуля, независимо от направления. Следовательно, абсолютное значение всегда положительно. Функция абсолютного значения использует символ абсолютного значения (две параллельные линии) для выражения только положительного вывода для положительного или отрицательного ввода.

Область состоит из действительных чисел, потому что абсолютное значение по-прежнему является линейной функцией.Однако диапазон будет зависеть от вершины функции абсолютного значения (минимум или максимум). Вершиной функции абсолютного значения (а также квадратичной) является наименьшее или наибольшее возможное значение y . При этом конкретном неравенстве функция имеет минимум, а диапазон — все значений больше минимума.

Рассмотрим другой пример:

Линейные функции и их графики

Обзор линий графика

Напомним, что множество всех решений линейного уравнения может быть представлено на прямоугольной координатной плоскости с использованием прямой линии, проходящей по крайней мере через две точки; эта линия называется ее графиком.Например, чтобы построить график линейного уравнения 8x + 4y = 12, мы сначала решим относительно y .

8x + 4y = 12 Вычтем 8x с обеих сторон. 4y = −8x + 12 Разделим обе части на 4.y = −8x + 124 Упростим. Y = −8×4 + 124y = −2x + 3

В таком виде мы видим, что y зависит от x ; другими словами, x — это независимая переменная, которая определяет значения других переменных. Обычно мы думаем о x -значении упорядоченной пары ( x , y ) как о независимой переменной.и y — зависимая переменная — переменная, значение которой определяется значением независимой переменной. Обычно мы воспринимаем значение y упорядоченной пары ( x , y ) как зависимую переменную. Выберите как минимум два значения x и найдите соответствующие значения y . Рекомендуется выбирать ноль, некоторые отрицательные числа, а также некоторые положительные числа. Здесь мы выберем пять значений x , определим соответствующие значения y , а затем сформируем репрезентативный набор упорядоченных парных решений.

x

y

y = −2x + 3

Решения

−2

7

y = −2 (−2) + 3 = 4 + 3 = 7

(-2, 7)

-1

5

y = −2 (−1) + 3 = 2 + 3 = 5

(-1, 5)

0

3

y = −2 (0) + 3 = 0 + 3 = 3

(0, 3)

4

−5

y = −2 (4) + 3 = −8 + 3 = −5

(4, −5)

6

−9

y = −2 (6) + 3 = −12 + 3 = −9

(6, −9)

Постройте точки и проведите через них линию с помощью линейки.Не забудьте добавить стрелки на обоих концах, чтобы указать, что график неограничен.

Результирующая линия представляет все решения 8x + 4y = 12, которых бесконечно много. Вышеупомянутый процесс описывает метод построения графиков, известный как построение точек. Способ определения графика с использованием конечного числа типичных упорядоченных парных решений. Этот метод будет использоваться для построения графиков более сложных функций по мере продвижения в этом курсе.

Крутизну любого наклона можно измерить как отношение вертикального изменения к горизонтальному.Например, уклон 5% можно записать как 5100, что означает, что на каждые 100 футов вперед высота увеличивается на 5 футов.

В математике мы называем наклон линии наклоном Наклон линии, измеряемый как отношение вертикального изменения к горизонтальному изменению, часто называемый «подъем через пробег», обозначается буквой м . Вертикальное изменение называется подъемом. Вертикальное изменение между любыми двумя точками на линии. Горизонтальное изменение называется пробегом. Горизонтальное изменение между любыми двумя точками на линии.. Для любых двух точек (x1, y1) и (x2, y2) мы можем получить подъем и бег, вычитая соответствующие координаты.

Это приводит нас к формуле наклона. Наклон прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2), задается формулой m = y2 − y1x2 − x1 .. Для любых двух точек (x1, y1) и (x2, y2), наклон определяется по формуле:

Уклон m = riserun = y2 − y1x2 − x1 = ΔyΔx ← Изменение y ← Изменение x

Греческая буква дельта (Δ) часто используется для описания изменения количества.Поэтому наклон иногда описывают с использованием обозначения ΔyΔx, которое представляет изменение y , деленное на изменение x .

Пример 1

Найдите наклон прямой, проходящей через (−3, −5) и (2, 1).

Решение:

Учитывая (−3, −5) и (2, 1), вычислите разницу значений y , деленную на разницу значений x . Будьте последовательны при вычитании координат:

(x1, y1) (x2, y2) (- 3, −5) (2,1)

м = y2 − y1x2 − x1 = 1 — (- 5) 2 — (- 3) = 1 + 52 + 3 = 65

Неважно, какую точку вы считаете первой или второй.Однако, поскольку вычитание не является коммутативным, вы должны позаботиться о том, чтобы вычесть координаты первой точки из координат второй точки в том же порядке. Например, мы получим тот же результат, если применим формулу наклона с переключенными точками:

(x1, y1) (x2, y2) (2,1) (−3, −5)

м = y2 − y1x2 − x1 = −5−1−3−2 = −6−5 = 65

Ответ: m = 65

Убедитесь, что наклон равен 65, построив линию, описанную в предыдущем примере.

Конечно, график не является обязательным; Красота формулы наклона состоит в том, что для любых двух точек мы можем получить наклон, используя только алгебру.

Пример 2

Найдите значение y , для которого наклон прямой, проходящей через (6, −3) и (−9, y), равен −23.

Решение:

Подставьте данную информацию в формулу наклона.

Наклон (x1, y1) (x2, y2) m = −23 (6, −3) (−9, y)

м = y2 − y1x2 − x1−23 = y — (- 3) −9−6−23 = y + 3 −15

После подстановки данной информации остается единственная переменная y .Решить.

−15 (−23) = — 15 (−y + 3 15) 10 = y + 37 = y

Ответ: y = 7

Существует четыре геометрических случая для значения наклона.

Если читать график слева направо, линии с наклоном вверх имеют положительный наклон, а линии с наклоном вниз — отрицательный. В двух других случаях используются горизонтальные и вертикальные линии. Напомним, что если k — действительное число, мы имеем

y = k Горизонтальная линия x = k Вертикальная линия

Например, если мы построим график y = 2, мы получим горизонтальную линию, а если мы построим график x = −4, мы получим вертикальную линию.

Из графиков мы можем определить две точки и рассчитать наклон по формуле наклона.

Горизонтальная линия

Вертикальная линия

(x1, y1) (x2, y2) (- 3,2) (3, 2)

м = y2 − y1x2 − x1 = 2− (2) 3 — (- 3) = 2−23 + 3 = 06 = 0

(x1, y1) (x2, y2) (- 4, −1) (−4, 1)

m = y2 − y1x2 − x1 = 1 — (- 1) −4 — (- 4) = 1 + 1−4 + 4 = 20 Не определено

Обратите внимание, что точки на горизонтальной линии имеют одинаковые значения y .Следовательно, подъем равен нулю, а значит, и наклон равен нулю. Точки на вертикальной линии имеют одинаковые значения x . Следовательно, пробег равен нулю, что приводит к неопределенному уклону. В целом

Линейные функции

Для любого линейного уравнения в стандартной форме Любая невертикальная линия может быть записана в стандартной форме ax + by = c., Ax + by = c, мы можем решить для y , чтобы получить форму пересечения наклона Любая невертикальная линия может быть записана в форма y = mx + b, где м — наклон, а (0, b ) — пересечение y ., у = mx + b. Например,

3x − 4y = 8 ← Стандартная форма − 4y = −3x + 8y = −3x + 8−4y = −3x − 4 + 8−4y = 34x − 2 ← Форма пересечения наклона

Где x = 0, мы видим, что y = −2 и, следовательно, (0, −2) — решение для упорядоченной пары. Это точка, где график пересекает ось y и называется пересечением y Точка (или точки), где график пересекает ось y , выраженную в виде упорядоченной пары (0, y ) .. Мы можем использовать эту точку и наклон как средство для быстрого построения линии.Например, чтобы построить график y = 34x − 2, начните с точки пересечения y (0, −2) и отметьте наклон, чтобы найти вторую точку. Затем используйте эти точки, чтобы построить линию следующим образом:

Тест с вертикальной линией показывает, что этот график представляет функцию. Кроме того, домен и диапазон состоят из всех действительных чисел.

В общем случае линейная функция Любая функция, которую можно записать в форме f (x) = mx + b, является функцией, которую можно записать в форме
f (x) = mx + b Линейная функция
где уклон м и b представляют любые действительные числа.Поскольку y = f (x), мы можем использовать y и f (x) как взаимозаменяемые, а упорядоченные парные решения на графе (x, y) можно записать в форме (x, f (x)).

(х, у) ⇔ (х, е (х))

Мы знаем, что любой интервал y будет иметь значение x , равное нулю. Следовательно, перехват y может быть выражен как упорядоченная пара (0, f (0)). Для линейных функций

f (0) = m (0) + b = b

Следовательно, y -перехват любой линейной функции равен (0, b).Чтобы найти пересечение x Точка (или точки), где график пересекает ось x , выраженную в виде упорядоченной пары ( x , 0)., Точка, в которой функция пересекает ось x , находим x , где y = 0 или f (x) = 0.

Пример 3

Изобразите линейную функцию f (x) = — 53x + 6 и обозначьте точку пересечения x .

Решение:

Из функции мы видим, что f (0) = 6 (или b = 6) и, таким образом, y -перехват равен (0, 6).Также мы можем видеть, что наклон m = −53 = −53 = riserun. Начиная с точки пересечения и , отметьте вторую точку на 5 единиц ниже и на 3 единицы вправо. Проведите линейкой линию, проходящую через эти две точки.

Чтобы определить точку пересечения x , найдите значение x , при котором функция равна нулю. Другими словами, определить x , где f (x) = 0.

f (x) = — 53x + 60 = −53x + 653x = 6 (35) 53x = (35) 6x = 185 = 335

Следовательно, перехват x равен (185,0).Общее правило — помечать все важные точки, которые нельзя четко прочитать на графике.

Ответ:

Пример 4

Определите линейную функцию, которая определяет данный график, и найдите точку пересечения x .

Решение:

Начнем с считывания наклона графика. В этом случае начисляются два балла, и мы видим, что

м = стояк = −23

Кроме того, перехват y равен (0, 3) и, следовательно, b = 3.Мы можем подставить в уравнение любую линейную функцию.

г (х) = mx + b ↓↓ g (x) = — 23x + 3

Чтобы найти точку пересечения x , мы устанавливаем g (x) = 0 и решаем относительно x .

г (x) = — 23x + 30 = −23x + 323x = 3 (32) 23x = (32) 3x = 92 = 412

Ответ: g (x) = — 23x + 3; x -перехват: (92,0)

Затем рассмотрите горизонтальные и вертикальные линии. Используйте тест вертикальной линии, чтобы убедиться, что любая горизонтальная линия представляет функцию, а вертикальная — нет.

Для любой горизонтальной линии тест вертикальной линии показывает, что каждое значение x в домене соответствует ровно одному значению y в диапазоне; это функция. С другой стороны, вертикальная линия не проходит тест вертикальной линии; это не функция. Вертикальная линия представляет собой набор упорядоченных пар, в которых все элементы в домене одинаковы. Это нарушает требование о том, что функции должны связывать ровно один элемент в диапазоне с каждым элементом в домене.Резюмируем следующим образом:

Горизонтальная линия

Вертикальная линия

Уравнение:

y = 2

х = −3

x-перехват:

Нет

(−3,0)

Y-перехват:

(0,2)

Нет

Домен:

(-∞, ∞)

{−3}

Диапазон:

{2}

(-∞, ∞)

Функция:

Есть

Горизонтальную линию часто называют постоянной функцией .Дано любое действительное число c ,

f (x) = c Константа функция

Пример 5

Изобразите постоянную функцию g (x) = — 2 и укажите домен и диапазон.

Решение:

Здесь дана постоянная функция, эквивалентная y = −2. Это определяет горизонтальную линию через (0, −2).

Ответ: Домен: ℝ; диапазон: {−2}

Попробуй! График f (x) = 3x − 2 и обозначьте точку пересечения x .

Ответ:

Линейные уравнения и неравенства: графическая интерпретация

Мы можем использовать идеи этого раздела, чтобы развить геометрическое понимание того, что значит решать уравнения вида f (x) = g (x), где f и g — линейные функции. Используя алгебру, мы можем решить линейное уравнение 12x + 1 = 3 следующим образом:

12x + 1 = 312x = 2 (2) 12x = (2) 2x = 4

Решение этого уравнения: x = 4.Геометрически это x -значение пересечения двух графиков f (x) = 12x + 1 и g (x) = 3. Идея состоит в том, чтобы построить график линейных функций по обе стороны от уравнения и определить, где графики совпадают.

Пример 6

График f (x) = 12x + 1 и g (x) = 3 на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) = g (x).

Решение:

Здесь f — линейная функция с наклоном 12 и y -пересечение (0,1).Функция g является постоянной функцией и представляет собой горизонтальную линию. Изобразите обе эти функции на одном наборе осей.

Из графика видно, что f (x) = g (x), где x = 4. Другими словами, 12x + 1 = 3, где x = 4.

Ответ: x = 4

Мы можем немного расширить геометрическую интерпретацию, чтобы решить неравенства. Например, мы можем решить линейное неравенство 12x + 1≥3, используя алгебру, следующим образом:

12x + 1≥312x≥2 (2) 12x≥ (2) 2x≥4

Набор решений состоит из всех действительных чисел, больших или равных 4.Геометрически это значения x , для которых график f (x) = 12x + 1 лежит выше графика g (x) = 3.

Пример 7

Изобразите f (x) = 12x + 1 и g (x) = 3 на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) ≥g (x).

Решение:

На графике это заштриховано.

Из графика видно, что f (x) ≥g (x) или 12x + 1≥3, где x≥4.

Ответ: Значения x , которые решают неравенство, в интервальной записи равны [4, ∞).

Ключевые выводы

  • Мы можем построить линии, нанося точки. Выберите несколько значений для x , найдите соответствующие y -значения, а затем нанесите на график полученные решения для упорядоченных пар. Проведите линию через точки с помощью линейки, чтобы завершить график.
  • Для любых двух точек на прямой мы можем вычислить наклон алгебраически, используя формулу наклона, m = riserun = y2 − y1x2 − x1 = ΔyΔx.
  • Используйте форму пересечения наклона y = mx + b, чтобы быстро нарисовать график линии.От точки пересечения и (0, b) отметьте наклон, чтобы определить вторую точку. Поскольку две точки определяют линию, проведите линию через эти две точки линейкой, чтобы завершить график.
  • Линейные функции имеют вид f (x) = mx + b, где наклон m и b — действительные числа. Чтобы найти перехват x , если он существует, установите f (x) = 0 и решите относительно x .
  • Поскольку y = f (x), мы можем использовать y, и f (x) как взаимозаменяемые.Любую точку на графике функции можно выразить с помощью обозначения функции (x, f (x)).

Тематические упражнения

    Часть A: Графические линии по точкам построения

      Найдите пять упорядоченных парных решений и график.

      Найдите наклон прямой, проходящей через заданные точки.

    1. (-52,14) и (-12,54)

    2. (−4, −3) и (−2, −3)

    3. (12, -1) и (-1, -32)

      Найдите значение y , для которого наклон прямой, проходящей через данные точки, имеет данный наклон.

    1. м = 32; (6,10), (−4, у)

    2. м = −13; (−6,4), (9, у)

    3. м = −4; (−2,5), (−1, y)

    4. м = 3; (1, −2), (−2, y)

    5. м = 15; (1, у), (6,15)

    6. м = −34; (−1, у), (−4,5)

      Определите наклон по графику.

    Часть B: Линейные функции

      Найдите точки пересечения x и y и используйте их для построения графика следующих функций.

      Изобразите линейную функцию и обозначьте точку пересечения x .

      Определите линейную функцию, которая определяет данный график, и найдите точку пересечения x .

    Часть C: Графическая интерпретация линейных уравнений и неравенств

      Постройте график функций f и g на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) = g (x). Проверьте свой ответ алгебраически.

    1. f (x) = 3x − 2, g (x) = — 2x + 3

    2. f (x) = — 13x, g (x) = — 23x + 1

    3. f (x) = 23x − 1, g (x) = — 43x − 3

      Постройте график функций f и g на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) ≥g (x). Проверьте свой ответ алгебраически.

      Постройте график функций f и g на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) Проверьте свой ответ алгебраически.

    1. f (x) = 32x + 3, g (x) = — 32x − 3

    Часть D: Обсуждение

    1. Все ли линейные функции имеют точки пересечения и ? Все ли линейные функции имеют перехват x ? Объяснять.

    2. Может ли функция иметь более одного перехвата y ? Объяснять.

    3. Как проверка вертикальной линии показывает, что вертикальная линия не является функцией?

ответы

  1. ф (х) = х + 1; (−1,0)

  2. f (x) = — 32x; (0,0)

Область и диапазон — College Algebra

Цели обучения

В этом разделе вы будете:

  • Найдите область определения функции, определяемой уравнением.
  • График кусочно-определенных функций.

Если вы настроены на фильм ужасов, вы можете посмотреть один из пяти самых популярных фильмов ужасов всех времен — Я — легенда , Ганнибал , Кольцо , Обида , и Заклятие . (Рисунок) показывает сумму в долларах, которую получил каждый из этих фильмов, когда они были выпущены, а также продажи билетов на фильмы ужасов в целом по годам. Обратите внимание, что мы можем использовать эти данные для создания функции суммы заработка каждого фильма или общей суммы продаж билетов на все фильмы ужасов по годам.Создавая различные функции с использованием данных, мы можем идентифицировать различные независимые и зависимые переменные, и мы можем анализировать данные и функции, чтобы определить область и диапазон. В этом разделе мы исследуем методы определения области и диапазона таких функций.

На основе данных www.the-numbers.com. 1

Нахождение области определения функции, определяемой уравнением

В разделе «Функции и обозначение функций» мы познакомились с концепциями домена и диапазона.В этом разделе мы попрактикуемся в определении доменов и диапазонов для конкретных функций. Имейте в виду, что при определении доменов и диапазонов мы должны учитывать, что физически возможно или значимо в реальных примерах, таких как продажи билетов и год в примере из фильма ужасов выше. Мы также должны учитывать то, что математически разрешено. Например, мы не можем включать какое-либо входное значение, которое приводит к извлечению четного корня из отрицательного числа, если домен и диапазон состоят из действительных чисел.Или в функции, выраженной в виде формулы, мы не можем включать в домен какое-либо входное значение, которое привело бы к делению на 0.

Мы можем визуализировать домен как «зону хранения», которая содержит «сырье» для «функциональной машины», а ассортимент — как еще одну «зону хранения» для продукции машины. См. (Рисунок).

Мы можем записать домен и диапазон в интервальной нотации, которая использует значения в скобках для описания набора чисел. В обозначении интервала мы используем квадратную скобку [, когда набор включает конечную точку и круглую скобку (чтобы указать, что конечная точка либо не включена, либо интервал неограничен.Например, если у человека есть 100 фунтов стерлингов, чтобы потратить, ему или ей нужно будет указать интервал, который больше 0 и меньше или равен 100, и написать Мы обсудим нотацию интервалов более подробно позже.

Обратимся к поиску области определения функции, уравнение которой дано. Часто, чтобы найти область таких функций, нужно запомнить три разные формы. Во-первых, если у функции нет знаменателя или четного корня, подумайте, может ли домен состоять только из действительных чисел.Во-вторых, если в уравнении функции есть знаменатель, исключите значения в области, которые заставляют знаменатель быть равным нулю. В-третьих, если есть четный корень, подумайте об исключении значений, которые сделали бы подкоренное выражение отрицательным.

Прежде чем мы начнем, давайте рассмотрим соглашения об обозначении интервалов:

  • Первым записывается наименьшее число из интервала.
  • Наибольшее число в интервале записывается вторым после запятой.
  • Круглые скобки (или) используются для обозначения того, что значение конечной точки не включено, что называется исключительным.
  • Скобки, [или], используются, чтобы указать, что значение конечной точки включено, называемое включающим.

Краткое описание обозначений интервалов см. На (рисунок).

Нахождение области определения функции как набора упорядоченных пар

Найдите домен следующей функции :.

Сначала определите входные значения. Входное значение — это первая координата в упорядоченной паре. Нет никаких ограничений, так как упорядоченные пары просто перечислены. Домен — это набор первых координат упорядоченных пар.

Найдите домен функции:

Для заданной функции, записанной в форме уравнения, найдите область определения.

  1. Определите входные значения.
  2. Определите любые ограничения на ввод и исключите эти значения из домена.
  3. Если возможно, запишите домен в виде интервала.

Поиск области определения функции

Найдите область определения функции

Входное значение, отображаемое переменной в уравнении, возводится в квадрат, а затем результат уменьшается на единицу.Любое действительное число может быть возведено в квадрат, а затем уменьшено на единицу, поэтому нет никаких ограничений на область применения этой функции. Домен — это набор действительных чисел.

В интервальной форме домен —

Найдите домен функции:

Для функции, записанной в форме уравнения, которое включает дробь, найдите область определения.

  1. Определите входные значения.
  2. Укажите любые ограничения на ввод. Если в формуле функции есть знаменатель, установите знаменатель равным нулю и решите для.Если формула функции содержит четный корень, установите подкоренное выражение больше или равным 0, а затем решите.
  3. Запишите домен в форме интервала, убедившись, что исключены любые запрещенные значения из домена.

Нахождение области определения функции со знаменателем

Найдите область определения функции

Найдите домен функции:

Для функции, записанной в форме уравнения, включающего четный корень, найдите область определения.

  1. Определите входные значения.
  2. Поскольку существует четный корень, исключите все действительные числа, которые дают отрицательное число в подкоренном выражении. Установите подкоренное выражение больше или равное нулю и решите для
  3. Решение (я) — это область определения функции. Если возможно, запишите ответ в интервальной форме.

Нахождение домена функции с четным корнем

Найдите область определения функции

Если в формуле есть четный корень, мы исключаем все действительные числа, которые приводят к отрицательному числу в подкоренном выражении.

Установите подкоренное выражение больше или равное нулю и решите для

Теперь мы исключим из домена любое число больше 7. Все ответы — действительные числа, меньшие или равные

.

Найдите область определения функции

Могут ли быть функции, у которых домен и диапазон вообще не пересекаются?

Да. Например, функция имеет набор всех положительных действительных чисел в качестве домена, но набор всех отрицательных действительных чисел в качестве диапазона.В качестве более крайнего примера входные и выходные данные функции могут быть совершенно разными категориями (например, названия дней недели в качестве входных данных и числа в качестве выходных данных, как на диаграмме посещаемости), в таких случаях домен и диапазон не имеют общих элементов.

Использование обозначений для указания домена и диапазона

В предыдущих примерах мы использовали неравенства и списки для описания области функций. Мы также можем использовать неравенства или другие утверждения, которые могут определять наборы значений или данных, чтобы описать поведение переменной в нотации построителя множеств.Например, описывает поведение в нотации конструктора множеств. Фигурные скобки читаются как «набор», а вертикальная черта | читается как «такой, что», поэтому мы бы читали как «набор x -значений, таких, что 10 меньше или равно и меньше 30».

(рисунок) сравнивает нотацию неравенства, нотацию построителя множеств и нотацию интервалов.

Чтобы объединить два интервала с использованием нотации неравенства или нотации для построения множеств, мы используем слово «или». Как мы видели в предыдущих примерах, мы используем символ объединения, чтобы объединить два несвязанных интервала.Например, объединение наборов и является набором. Это набор всех элементов, которые принадлежат одному или другому (или обоим) из исходных двух наборов. Для наборов с конечным числом таких элементов, элементы не должны быть перечислены в порядке возрастания числового значения. Если исходные два набора имеют некоторые общие элементы, эти элементы должны быть указаны в объединенном наборе только один раз. Для наборов действительных чисел на интервалах другой пример объединения —

.

Для линейного графика опишите набор значений, используя интервальную нотацию.

  1. Определите интервалы, которые должны быть включены в набор, определив, где жирная линия перекрывает реальную линию.
  2. В левом конце каждого интервала используйте [, чтобы каждое конечное значение было включено в набор (сплошная точка) или (для каждого исключенного конечного значения (открытая точка).
  3. В правом конце каждого интервала используйте] с каждым конечным значением, которое должно быть включено в набор (закрашенная точка) или) для каждого исключенного конечного значения (открытая точка).
  4. Используйте символ объединения, чтобы объединить все интервалы в один набор.

Описание наборов в строке действительных чисел

Опишите интервалы значений, показанные на (Рисунок), используя нотацию неравенства, нотацию создателя множеств и нотацию интервалов.

Дано (рисунок), задайте графическое множество в

  1. слов
  2. обозначение конструктора наборов
  3. обозначение интервала
  1. значений, которые меньше или равны –2, или значений, которые больше или равны –1 и меньше 3;
  2. ;

Поиск домена и диапазона из графиков

Другой способ определить область и диапазон функций — использовать графики.Поскольку домен относится к набору возможных входных значений, домен графа состоит из всех входных значений, показанных на оси x . Диапазон — это набор возможных выходных значений, которые отображаются на оси y . Имейте в виду, что если график выходит за пределы видимой части графика, домен и диапазон могут быть больше, чем видимые значения. См. (Рисунок).

Мы можем заметить, что график простирается по горизонтали от правого края без ограничений, поэтому область действия — это все значения диапазона и ниже, поэтому диапазон равен Обратите внимание, что домен и диапазон всегда записываются от меньших к большим значениям или из слева направо для домена и снизу вверху графика для диапазона.

Дано (рисунок), определите домен и диапазон, используя обозначение интервалов.

домен = [1950,2002] диапазон = [47,000,000,89,000,000]

Могут ли домен и диапазон функции совпадать?

Да. Например, домен и диапазон функции корня куба являются набором всех действительных чисел.

Поиск доменов и диапазонов функций инструментария

Теперь мы вернемся к нашему набору функций инструментария, чтобы определить домен и диапазон каждой из них.

Для функции идентичности нет ограничений на домен и диапазон, которые являются набором всех действительных чисел.

Для функции абсолютного значения нет ограничений, однако, поскольку абсолютное значение определяется как расстояние от 0, выходные данные могут быть только больше или равны 0.

Для квадратичной функции область представляет собой все действительные числа, поскольку горизонтальная протяженность графика представляет собой целую линию действительных чисел. Поскольку график не содержит отрицательных значений для диапазона, диапазон состоит только из неотрицательных действительных чисел.

Для кубической функции доменом являются все действительные числа, потому что горизонтальная протяженность графика — это целая линия действительных чисел. То же самое относится к вертикальному экстенту графика, поэтому домен и диапазон включают все действительные числа.

Для обратной функции мы не можем делить на 0, поэтому мы должны исключить 0 из области. Кроме того, 1, деленная на какое-либо значение, никогда не может быть 0, поэтому диапазон также не будет включать 0. В нотации конструктора множеств мы могли бы также записать набор всех действительных чисел, которые не равны нулю.

Для функции кубического корня домен и диапазон включают все действительные числа. Обратите внимание, что нет проблем с получением кубического корня или любого нечетно-целочисленного корня отрицательного числа, и результирующий результат будет отрицательным (это нечетная функция).

Учитывая формулу функции, определите домен и диапазон.

  1. Исключить из домена любые входные значения, которые приводят к делению на ноль.
  2. Исключить из домена любые входные значения, которые имеют нереальные (или неопределенные) выходы числа.
  3. Используйте допустимые входные значения, чтобы определить диапазон выходных значений.
  4. Посмотрите на график функции и значения в таблице, чтобы подтвердить фактическое поведение функции.

Поиск домена и диапазона с помощью функций Toolkit

Найдите домен и диапазон

Нет ограничений по домену, так как любое действительное число может быть построено в кубе, а затем вычтено из результата.

Домен есть и диапазон также

Поиск домена и диапазона

Найдите домен и диапазон

Мы не можем оценить функцию, потому что деление на ноль не определено.Домен равен Поскольку функция никогда не равна нулю, мы исключаем 0 из диапазона. Ассортимент

Поиск домена и диапазона

Найдите домен и диапазон

Анализ

(рисунок) представляет функцию

Найдите домен и диапазон

домен: диапазон:

Построение графиков кусочно-определенных функций

Иногда мы сталкиваемся с функцией, которая требует более одной формулы для получения заданного результата.Например, в функциях инструментария мы ввели функцию абсолютного значения. С областью всех действительных чисел и диапазоном значений, больших или равных 0, абсолютное значение может быть определено как величина или модуль значения действительного числа независимо от знака. Это расстояние от 0 на числовой прямой. Все эти определения требуют, чтобы результат был больше или равен 0.

Если мы вводим 0 или положительное значение, выход будет таким же, как и вход.

Если мы вводим отрицательное значение, выход будет противоположным входному.

Поскольку для этого требуются два разных процесса или части, функция абсолютного значения является примером кусочной функции. Кусочная функция — это функция, в которой используется более одной формулы для определения вывода по разным частям домена.

Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, в которых правило или отношение изменяется, когда входное значение пересекает определенные «границы». Например, в бизнесе мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда стоимость единицы определенного предмета снижается, если заказанное количество превышает определенное значение.Налоговые скобки — еще один реальный пример кусочных функций. Например, рассмотрим простую налоговую систему, в которой доходы до 10 000 фунтов стерлингов облагаются налогом по ставке 10%, а любой дополнительный доход облагается налогом по ставке 20%. Налог на общий доход будет составлять

Кусочная функция

Кусочная функция — это функция, в которой для определения вывода используется более одной формулы. Каждая формула имеет свою собственную область определения, а область определения функции представляет собой объединение всех этих меньших областей.Мы записываем эту идею так:

В кусочной записи функция абсолютного значения равна

.

Для данной кусочной функции напишите формулу и определите область для каждого интервала.

  1. Укажите интервалы, для которых применяются разные правила.
  2. Определите формулы, описывающие, как вычислить выход из входа в каждом интервале.
  3. Используйте фигурные скобки и операторы if для написания функции.

Нарисуйте график для кусочной функции.

  1. Укажите на оси x границы, определяемые интервалами на каждой части домена.
  2. Для каждой части домена построить график на этом интервале, используя соответствующее уравнение, относящееся к этой части. Не отображайте две функции на одном интервале, потому что это нарушит критерии функции.

Построение кусочной функции

Нарисуйте график функции.

Каждая из функций компонента взята из нашей библиотеки функций набора инструментов, поэтому мы знаем их форму.Мы можем представить себе построение графика каждой функции, а затем ограничение графика указанной областью. На конечных точках домена мы рисуем пустые кружки, чтобы указать, где конечная точка не включена из-за неравенства «меньше или больше»; мы рисуем замкнутый круг, где конечная точка включена из-за неравенства «меньше или равно» или «больше или равно».

(рисунок) показывает три компонента кусочной функции, нанесенные на отдельные системы координат.

Теперь, когда мы нарисовали каждую деталь по отдельности, мы объединяем их в одной координатной плоскости.См. (Рисунок).

Постройте следующую кусочную функцию.

Можно ли применить более одной формулы из кусочной функции к значению в домене?

№ Каждое значение соответствует одному уравнению в кусочной формуле.

Ключевые концепции

  • Область функции включает в себя все действительные входные значения, которые не заставят нас попытаться выполнить неопределенную математическую операцию, такую ​​как деление на ноль или извлечение квадратного корня из отрицательного числа.
  • Область функции может быть определена путем перечисления входных значений набора упорядоченных пар. См. (Рисунок).
  • Область функции также может быть определена путем идентификации входных значений функции, записанной в виде уравнения. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
  • Значения интервалов, представленные в числовой строке, могут быть описаны с использованием обозначений неравенства, обозначений построителя множеств и обозначений интервалов. См. (Рисунок).
  • Для многих функций домен и диапазон можно определить по графику.См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Понимание функций инструментария может быть использовано для поиска области и диапазона связанных функций. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
  • Кусочная функция описывается более чем одной формулой. См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Кусочную функцию можно изобразить с помощью каждой алгебраической формулы в назначенной ей подобласти. См. (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

Почему домен различается для разных функций?

Область определения функции зависит от того, какие значения независимой переменной делают функцию неопределенной или мнимой.

Как определить область определения функции, заданной уравнением?

Объясните, чем домен оф отличается от домена

При описании наборов чисел с использованием интервальной записи, когда вы используете круглые скобки, а когда — скобки?

Как построить график кусочной функции?

Изобразите каждую формулу кусочной функции в соответствующей области. Используйте одинаковую шкалу для оси и оси для каждого графика.Обозначьте инклюзивные конечные точки сплошным кружком, а исключительные конечные точки — открытым кружком. Используйте стрелку, чтобы указать или объединить графики, чтобы найти график кусочной функции.

Алгебраические

Для следующих упражнений найдите область определения каждой функции, используя интервальную нотацию.

Найдите домен функции по:

  1. используя алгебру.
  2. , отображающий функцию в подкоренном выражении и определяющий интервалы на оси x , для которых подкоренное выражение неотрицательно.

Сноски

  • 1Цифры: где встречаются данные и кинобизнес. «История кассовых сборов фильмов ужасов». http://www.the-numbers.com/market/genre/Horror. Дата обращения 24.03.2014
  • 2 http://www.eia.gov/dnav/pet/hist/LeafHandler.ashx? N = PET & s = MCRFPAK2 & f = A.

Глоссарий

обозначение интервала
способ описания набора, который включает в себя все числа от нижнего предела до верхнего предела; нижнее и верхнее значения указаны в скобках или круглых скобках, квадратная скобка указывает на включение в набор, а скобка указывает на исключение
кусочная функция
функция, в которой для определения вывода используется более одной формулы.
обозначение конструктора набора
метод описания набора правилом, которому подчиняются все его члены; он принимает вид

3.2 Область и диапазон — Алгебра колледжа

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Найдите область определения функции, определяемой уравнением.
  • График кусочно-определенных функций.

Если вы настроены на фильм ужасов, вы можете посмотреть один из пяти самых популярных фильмов ужасов всех времен — Я — легенда , Ганнибал , Кольцо , Обида , и Заклятие .На Рисунке 1 показана сумма в долларах, которую получил каждый из этих фильмов на момент выхода, а также продажи билетов на фильмы ужасов в целом по годам. Обратите внимание, что мы можем использовать эти данные для создания функции суммы заработка каждого фильма или общей суммы продаж билетов на все фильмы ужасов по годам. Создавая различные функции с использованием данных, мы можем идентифицировать различные независимые и зависимые переменные, и мы можем анализировать данные и функции, чтобы определить область и диапазон. В этом разделе мы исследуем методы определения области и диапазона таких функций.

Рисунок 1 На основе данных, собранных сайтом www.the-numbers.com.

Нахождение области определения функции, определяемой уравнением

В разделе «Функции и обозначение функций» мы познакомились с концепциями домена и диапазона. В этом разделе мы попрактикуемся в определении доменов и диапазонов для конкретных функций. Имейте в виду, что при определении доменов и диапазонов мы должны учитывать, что физически возможно или значимо в реальных примерах, таких как продажи билетов и год в примере из фильма ужасов выше.Мы также должны учитывать то, что математически разрешено. Например, мы не можем включать какое-либо входное значение, которое приводит к извлечению четного корня из отрицательного числа, если домен и диапазон состоят из действительных чисел. Или в функции, выраженной в виде формулы, мы не можем включать в домен какое-либо входное значение, которое привело бы к делению на 0.

Мы можем визуализировать домен как «область хранения», которая содержит «сырье» для «функции». машина »и ассортимент в качестве еще одной« зоны хранения »для продукции станка.См. Рисунок 2.

Рисунок 2

Мы можем записать домен и диапазон в интервальной нотации, которая использует значения в скобках для описания набора чисел. В обозначении интервала мы используем квадратную скобку [, когда набор включает конечную точку и круглую скобку (чтобы указать, что конечная точка либо не включена, либо интервал неограничен. Например, если у человека есть 100 долларов, чтобы потратить, он или она нужно выразить интервал, который больше 0, но меньше или равен 100, и написать (0,100].(0,100]. Обозначение интервалов мы обсудим более подробно позже.

Давайте обратим наше внимание на поиск области определения функции, уравнение которой предоставляется. Часто поиск области определения таких функций включает запоминание трех различных форм. Во-первых, если функция не имеет знаменателя или нечетного корня, подумайте, может ли область быть все действительными числами. Во-вторых, если есть знаменатель в уравнении функции, исключите значения в области, которые заставляют знаменатель быть равным нулю.В-третьих, если есть четный корень, подумайте об исключении значений, которые сделали бы подкоренное выражение отрицательным.

Прежде чем мы начнем, давайте рассмотрим соглашения об обозначении интервалов:

  • Первым записывается наименьшее число из интервала.
  • Наибольшее число в интервале записывается вторым после запятой.
  • Круглые скобки (или) используются для обозначения того, что значение конечной точки не включено, что называется исключительным.
  • Скобки, [или], используются, чтобы указать, что значение конечной точки включено, называемое включающим.

Краткое описание обозначений интервалов см. На рисунке 3.

Рисунок 3

Пример 1

Нахождение области определения функции как набора упорядоченных пар

Найдите область определения следующей функции: {(2,10), (3,10), (4,20), (5,30), (6,40)} {(2,10), (3, 10), (4,20), (5,30), (6,40)}.

Решение

Сначала определите входные значения. Входное значение — это первая координата в упорядоченной паре. Нет никаких ограничений, так как упорядоченные пары просто перечислены.Домен — это набор первых координат упорядоченных пар.

Попробуй # 1

Найдите домен функции:

{(−5,4), (0,0), (5, −4), (10, −8), (15, −12)} {(- 5,4), (0,0), (5, −4), (10, −8), (15, −12)}

Как к

Для заданной функции, записанной в форме уравнения, найдите область определения.

  1. Определите входные значения.
  2. Определите любые ограничения на ввод и исключите эти значения из домена.
  3. Если возможно, запишите домен в виде интервала.

Пример 2

Нахождение области определения функции

Найдите область определения функции f (x) = x2−1.f (x) = x2−1.

Решение

Входное значение, показанное переменной xx в уравнении, возводится в квадрат, а затем результат уменьшается на единицу. Любое действительное число может быть возведено в квадрат, а затем уменьшено на единицу, поэтому нет никаких ограничений на область применения этой функции. Домен — это набор действительных чисел.

В интервальной форме область значений ff равна (−∞, ∞).(−∞, ∞).

Попробуй # 2

Найдите область определения функции: f (x) = 5 − x + x3.f (x) = 5 − x + x3.

Как к

Для функции, записанной в форме уравнения, которое включает дробь, найдите область определения.

  1. Определите входные значения.
  2. Укажите любые ограничения на ввод. Если в формуле функции есть знаменатель, установите знаменатель равным нулю и решите относительно xx. Если формула функции содержит четный корень, установите подкоренное выражение больше или равным 0, а затем решите.
  3. Запишите домен в форме интервала, убедившись, что исключены любые запрещенные значения из домена.

Пример 3

Нахождение области определения функции со знаменателем

Найдите область определения функции f (x) = x + 12 − x.f (x) = x + 12 − x.

Решение

Когда есть знаменатель, мы хотим включить только значения входных данных, которые не заставляют знаменатель быть нулевым. Итак, мы установим знаменатель равным 0 и решим относительно x.Икс.

2 − x = 0 − x = −2x = 22 − x = 0 − x = −2x = 2

Теперь мы исключим 2 из области. Все ответы — действительные числа, где x <2x <2 ​​или x> 2x> 2, как показано на рисунке 4. Мы можем использовать символ, известный как объединение, ∪, ∪, чтобы объединить два набора. В интервальных обозначениях запишем решение: (−∞, 2) ∪ (2, ∞). (- ∞, 2) ∪ (2, ∞).

Рисунок 4

Попробуй # 3

Найдите область определения функции: f (x) = 1 + 4x2x − 1.f (x) = 1 + 4x2x − 1.

Как к

Для функции, записанной в форме уравнения, включающего четный корень, найдите область определения.

  1. Определите входные значения.
  2. Поскольку существует четный корень, исключите все действительные числа, которые дают отрицательное число в подкоренном выражении. Установите подкоренное выражение больше или равное нулю и решите относительно x.x.
  3. Решение (я) — это область определения функции. Если возможно, запишите ответ в интервальной форме.

Пример 4

Нахождение области определения функции с четным корнем

Найдите область определения функции f (x) = 7 − x.е (х) = 7-х.

Решение

Если в формуле есть четный корень, мы исключаем все действительные числа, которые приводят к отрицательному числу в подкоренном выражении.

Установите подкоренное выражение больше или равное нулю и решите относительно x.x.

7 − x≥0 − x≥ − 7x≤77 − x≥0 − x≥ − 7x≤7

Теперь мы исключим из домена любое число больше 7. Все ответы — действительные числа, меньшие или равные 7,7 или (−∞, 7]. (- ∞, 7].

Попробуй # 4

Найдите область определения функции f (x) = 5 + 2x.е (х) = 5 + 2х.

Q&A

Могут ли быть функции, у которых домен и диапазон вообще не пересекаются?

Да. Например, функция f (x) = — 1xf (x) = — 1x имеет набор всех положительных действительных чисел в качестве домена, но набор всех отрицательных действительных чисел в качестве диапазона. В качестве более крайнего примера входные и выходные данные функции могут быть совершенно разными категориями (например, названия дней недели в качестве входных данных и числа в качестве выходных данных, как на диаграмме посещаемости), в таких случаях домен и диапазон не имеют общих элементов.

Использование обозначений для указания домена и диапазона

В предыдущих примерах мы использовали неравенства и списки для описания области функций. Мы также можем использовать неравенства или другие утверждения, которые могут определять наборы значений или данных, чтобы описать поведение переменной в нотации построителя множеств. Например, {x | 10≤x <30} {x | 10≤x <30} описывает поведение xx в нотации построителя множеств. Фигурные скобки {} {} читаются как «набор из», а вертикальная черта | читается как «такой, что», поэтому мы будем читать {x | 10≤x <30} {x | 10≤x <30} как «набор x -значений, таких, что 10 меньше или равно x , x и xx меньше 30.”

На рис. 5 сравниваются обозначения неравенства, обозначения построителя множеств и обозначения интервалов.

Рисунок 5

Чтобы объединить два интервала с использованием нотации неравенства или нотации для построения множеств, мы используем слово «или». Как мы видели в предыдущих примерах, мы используем символ объединения, ∪,, чтобы объединить два несвязанных интервала. Например, объединение множеств {2,3,5} {2,3,5}
и {4,6} {4,6}
это набор {2,3,4,5,6}. {2,3,4,5,6}. Это набор всех элементов, которые принадлежат одному или другому (или обоим) из двух исходных наборов.Для наборов с конечным числом таких элементов, элементы не должны быть перечислены в порядке возрастания числового значения. Если исходные два набора имеют некоторые общие элементы, эти элементы должны быть указаны в объединенном наборе только один раз. Для наборов действительных чисел на интервалах другой пример объединения —

.
{x | | x | ≥3} = (- ∞, −3] ∪ [3, ∞) {x | | x | ≥3} = (- ∞, −3] ∪ [3, ∞)

Обозначение конструктора множеств и обозначение интервалов

Нотация для построения наборов — это метод определения набора элементов, удовлетворяющих определенному условию.Он принимает форму {x | утверждение о x} {x | утверждение о x}, которое читается как «множество всех xx таких, что утверждение о xx истинно». Например,

Обозначение интервала — это способ описания наборов, которые включают в себя все действительные числа между нижним пределом, который может или не может быть включен, и верхним пределом, который может или не может быть включен. Значения конечных точек указаны в скобках или скобках. Квадратная скобка указывает на включение в набор, а скобка указывает на исключение из набора.Например,

Как к

Для линейного графика опишите набор значений, используя интервальную нотацию.

  1. Определите интервалы, которые должны быть включены в набор, определив, где жирная линия перекрывает действительную линию.
  2. В левом конце каждого интервала используйте [, чтобы каждое конечное значение было включено в набор (сплошная точка) или (для каждого исключенного конечного значения (открытая точка).
  3. В правом конце каждого интервала используйте] с каждым конечным значением, которое должно быть включено в набор (закрашенная точка) или) для каждого исключенного конечного значения (открытая точка).
  4. Используйте символ объединения ∪∪, чтобы объединить все интервалы в один набор.

Пример 5

Описание множеств в строке вещественных чисел

Опишите интервалы значений, показанные на рисунке 6, используя нотацию неравенства, нотацию создателя множеств и нотацию интервалов.

Рисунок 6

Решение

Чтобы описать значения x, x, включенные в показанные интервалы, мы бы сказали: «xx — действительное число, большее или равное 1, но меньшее или равное 3, или действительное число больше 5. .”

Неравенство 1≤x≤3orx> 51≤x≤3orx> 5
Обозначение конструктора набора {x | 1≤x≤3orx> 5} {x | 1≤x≤3orx> 5}
Обозначение интервалов [1,3] ∪ (5, ∞) [1,3] ∪ (5, ∞)

Помните, что при записи или чтении обозначений интервала использование квадратных скобок означает, что граница включена в набор. Использование круглых скобок означает, что граница не включена в набор.

Попробуй # 5

На рисунке 7 укажите набор в виде графика в

.

  1. ⓐ слов
  2. ⓑ обозначение конструктора наборов
  3. ⓒ обозначение интервала

Рисунок 7

Поиск домена и диапазона из графиков

Другой способ определить область и диапазон функций — использовать графики. Поскольку домен относится к набору возможных входных значений, домен графа состоит из всех входных значений, показанных на оси x .Диапазон — это набор возможных выходных значений, которые отображаются на оси y . Имейте в виду, что если график выходит за пределы видимой части графика, домен и диапазон могут быть больше, чем видимые значения. См. Рисунок 8.

Рисунок 8

Мы можем заметить, что граф простирается по горизонтали от −5−5 вправо без границ, поэтому область определения равна [−5, ∞). [- 5, ∞). Вертикальная протяженность графика — это все значения диапазона 55 и ниже, поэтому диапазон равен (-∞, 5].(−∞, 5]. Обратите внимание, что домен и диапазон всегда записываются от меньших к большим значениям или слева направо для домена и от нижней части графика до верхней части графика для диапазона.

Пример 6

Нахождение области и диапазона по графику

Найдите область определения и диапазон функции ff
график которой показан на рисунке 9.

Рисунок 9

Решение

Мы можем заметить, что горизонтальная протяженность графика составляет от –3 к 1, поэтому область определения ff
равно (−3,1].(−3,1].

График по вертикали составляет от 0 до –4, поэтому диапазон составляет [–4,0). [- 4,0). См. Рисунок 10.

Рисунок 10

Пример 7

Поиск области и диапазона по графику добычи нефти

Найдите область определения и диапазон функции ff, график которой показан на рисунке 11.

Рисунок 11 (кредит: модификация работы Управления энергетической информации США)

Решение

Входная величина по горизонтальной оси — это «годы», которые мы представляем переменной tt для времени.Объем производства — «тысячи баррелей нефти в день», который мы представляем переменной bb для баррелей. График может продолжаться влево и вправо за пределы того, что просматривается, но на основе видимой части графика мы можем определить домен как 1973≤t≤20081973≤t≤2008 и диапазон примерно как 180≤b≤ 2010. 180≤b≤2010.

В обозначении интервалов это [1973, 2008], а диапазон — примерно [180, 2010]. Для области и диапазона мы аппроксимируем наименьшие и наибольшие значения, поскольку они не попадают точно на линии сетки.

Попробуй # 6

По рисунку 12 определите домен и диапазон, используя интервальную нотацию.

Рисунок 12

Q&A

Могут ли домен и диапазон функции совпадать?

Да. Например, домен и диапазон функции корня куба являются набором всех действительных чисел.

Поиск доменов и диапазонов функций инструментария

Теперь мы вернемся к нашему набору функций инструментария, чтобы определить домен и диапазон каждой из них.

Рисунок 13 Для постоянной функции f (x) = c, f (x) = c область значений состоит из всех действительных чисел; ограничений на ввод нет. Единственное выходное значение — это константа c, c, поэтому диапазон — это набор {c} {c}, содержащий этот единственный элемент. В обозначении интервалов это записывается как [c, c], [c, c], интервал, который начинается и заканчивается c.c.

Рис. 14 Для тождественной функции f (x) = x, f (x) = x, нет ограничений на x.x. И домен, и диапазон представляют собой набор всех действительных чисел.Рисунок 15 Для функции абсолютного значения f (x) = | x |, f (x) = | x | нет ограничений на x.x. Однако, поскольку абсолютное значение определяется как расстояние от 0, выходные данные могут быть только больше или равны 0.

Рисунок 16 Для квадратичной функции f (x) = x2, f (x) = x2, область представляет собой все действительные числа, поскольку горизонтальная протяженность графика представляет собой целую линию действительных чисел. Поскольку график не содержит отрицательных значений для диапазона, диапазон состоит только из неотрицательных действительных чисел.

Рисунок 17 Для кубической функции f (x) = x3, f (x) = x3, область представляет собой все действительные числа, потому что горизонтальная протяженность графика представляет собой целую линию действительных чисел.То же самое относится к вертикальному экстенту графика, поэтому домен и диапазон включают все действительные числа.

Рисунок 18 Для обратной функции f (x) = 1x, f (x) = 1x, мы не можем делить на 0, поэтому мы должны исключить 0 из области. Кроме того, 1, деленная на какое-либо значение, никогда не может быть 0, поэтому диапазон также не будет включать 0. В нотации конструктора множеств мы могли бы также записать {x | x ≠ 0}, {x | x ≠ 0}, набор все действительные числа, не равные нулю.

Рисунок 19 Для функции обратного квадрата f (x) = 1×2, f (x) = 1×2, мы не можем делить на 0,0, поэтому мы должны исключить 00 из области.Также нет xx, который может дать выход 0, поэтому 0 также исключается из диапазона. Обратите внимание, что результат этой функции всегда положительный из-за квадрата в знаменателе, поэтому диапазон включает только положительные числа.

Рисунок 20 Для функции квадратного корня f (x) = x, f (x) = x, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного действительного числа, поэтому область значений должна быть 0 или больше. Диапазон также исключает отрицательные числа, потому что квадратный корень положительного числа xx определен как положительный, хотя квадрат отрицательного числа −x − x также дает нам x.Икс.

Рисунок 21 Для функции кубического корня f (x) = x3, f (x) = x3, домен и диапазон включают все действительные числа. Обратите внимание, что нет проблем с получением кубического корня или любого нечетно-целочисленного корня отрицательного числа, и результирующий результат будет отрицательным (это нечетная функция).

Как к

Учитывая формулу функции, определите домен и диапазон.

  1. Исключить из домена любые входные значения, которые приводят к делению на ноль.
  2. Исключить из домена любые входные значения, которые имеют нереальные (или неопределенные) выходы числа.
  3. Используйте допустимые входные значения, чтобы определить диапазон выходных значений.
  4. Посмотрите на график функции и значения в таблице, чтобы подтвердить фактическое поведение функции.

Пример 8

Поиск домена и диапазона с помощью функций набора инструментов

Найдите область и диапазон значений f (x) = 2×3 − x.f (x) = 2×3 − x.

Решение

Нет ограничений по домену, так как любое действительное число может быть построено в кубе, а затем вычтено из результата.

Область значений — (−∞, ∞) (- ∞, ∞), а диапазон также (−∞, ∞). (- ∞, ∞).

Пример 9

Поиск домена и диапазона

Найдите область и диапазон f (x) = 2x + 1. f (x) = 2x + 1.

Решение

Мы не можем оценить функцию при -1-1, потому что деление на ноль не определено. Область определения: (−∞, −1) ∪ (−1, ∞). (- ∞, −1) ∪ (−1, ∞). Поскольку функция никогда не равна нулю, мы исключаем 0 из диапазона. Диапазон равен (−∞, 0) ∪ (0, ∞). (- ∞, 0) ∪ (0, ∞).

Пример 10

Поиск домена и диапазона

Найдите область и диапазон f (x) = 2x + 4.е (х) = 2х + 4.

Решение

Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому значение внутри радикала должно быть неотрицательным.

x + 4≥0, когда x≥ − 4x + 4≥0, когда x≥ − 4

Область определения f (x) f (x) равна [−4, ∞). [- 4, ∞).

Затем мы находим диапазон. Мы знаем, что f (−4) = 0, f (−4) = 0, и значение функции увеличивается с увеличением xx без какого-либо верхнего предела. Мы заключаем, что диапазон ff равен [0, ∞). [0, ∞).

Анализ

На рисунке 22 представлена ​​функция f.f.

Рисунок 22

Попробуй # 7

Найдите область и диапазон значений f (x) = — 2 − x.f (x) = — 2 − x.

Построение графиков кусочно-определенных функций

Иногда мы сталкиваемся с функцией, которая требует более одной формулы для получения заданного результата. Например, в функциях инструментария мы ввели функцию абсолютного значения f (x) = | x | .f (x) = | x |. С областью всех действительных чисел и диапазоном значений, большим или равным 0, абсолютное значение может быть определено как величина или модуль значения действительного числа независимо от знака.Это расстояние от 0 на числовой прямой. Все эти определения требуют, чтобы вывод был больше или равен 0.

Если мы вводим 0 или положительное значение, вывод будет таким же, как и ввод.

f (x) = xifx≥0f (x) = xifx≥0

Если мы вводим отрицательное значение, выход будет противоположным входному.

f (x) = — xifx <0f (x) = - xifx <0

Поскольку для этого требуются два разных процесса или части, функция абсолютного значения является примером кусочной функции. Кусочная функция — это функция, в которой используется более одной формулы для определения вывода по разным частям домена.

Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, в которых правило или отношение изменяется, когда входное значение пересекает определенные «границы». Например, в бизнесе мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда стоимость единицы определенного предмета снижается, если заказанное количество превышает определенное значение. Налоговые скобки — еще один реальный пример кусочных функций. Например, рассмотрим простую налоговую систему, в которой доход до 10 000 долларов США облагается налогом по ставке 10%, а любой дополнительный доход облагается налогом по ставке 20%.Налог на общий доход SS составит 0,1S0,1S, если S≤ 10 000 долларов S≤ 10 000 долларов, и 1000 долларов США + 0,2 (S — 10 000 долларов США) 1000 долларов США + 0,2 (S — 10 000 долларов США), если S> 10 000 долларов США S> 10 000 долларов США.

Кусочная функция

Кусочная функция — это функция, в которой для определения вывода используется более одной формулы. Каждая формула имеет свою собственную область определения, а область определения функции представляет собой объединение всех этих меньших областей. Мы записываем эту идею так:

f (x) = {формула 1, если x находится в области 1, формула 2, если x находится в области 2, формула 3, если x находится в области 3, f (x) = {формула 1, если x находится в области 1, формула 2, если x находится в области 2, формула 3, если x находится в области 3

В кусочной записи функция абсолютного значения равна

.
| x | = {x, если x≥0 − x, если x <0 | x | = {x, если x≥0 − x, если x <0

Как к

Для данной кусочной функции напишите формулу и определите область для каждого интервала.

  1. Укажите интервалы, для которых применяются разные правила.
  2. Определите формулы, описывающие, как вычислить выход из входа в каждом интервале.
  3. Используйте фигурные скобки и операторы if для написания функции.

Пример 11

Написание кусочной функции

Музей взимает 5 долларов США с человека за экскурсию с группой от 1 до 9 человек или фиксированную плату в размере 50 долларов США за группу из 10 или более человек. Напишите функцию, связывающую количество людей n, n со стоимостью C.С.

Решение

Потребуются две разные формулы. Для n -значения меньше 10, C = 5n.C = 5n. Для значений nn, равных 10 или больше, C = 50.C = 50.

C (n) = {5nif0 Анализ

Функция представлена ​​на рисунке 23. График представляет собой диагональную линию от n = 0n = 0 до n = 10n = 10 и константу после этого. В этом примере две формулы совпадают в точке встречи, где n = 10, n = 10, но не все кусочные функции обладают этим свойством.

Рисунок 23

Пример 12

Работа с кусочной функцией

Компания сотовой связи использует приведенную ниже функцию для определения стоимости C, C в долларах за гигабайт передачи данных.

C (g) = {25if0 Найдите стоимость использования 1,5 гигабайт данных и стоимость использования 4 гигабайт данных.

Решение

Чтобы узнать стоимость использования 1,5 гигабайт данных, C (1.5), C (1.5), мы сначала смотрим, в какую часть области попадает наш ввод. Поскольку 1.5 меньше 2, мы используем первую формулу.

Чтобы определить стоимость использования 4 гигабайт данных, C (4), C (4), мы видим, что введенное нами значение 4 больше 2, поэтому мы используем вторую формулу.

C (4) = 25 + 10 (4−2) = 45 долларов США C (4) = 25 + 10 (4−2) = 45 долларов США

Анализ

Функция представлена ​​на рисунке 24. Мы можем видеть, где функция изменяется от постоянной до смещенной и растянутой идентичности при g = 2.g = 2.Мы наносим графики для различных формул на общий набор осей, следя за тем, чтобы каждая формула применялась в соответствующей области.

Рисунок 24

Как к

Нарисуйте график для кусочной функции.

  1. Укажите на оси x границы, определяемые интервалами на каждой части домена.
  2. Для каждой части домена построить график на этом интервале, используя соответствующее уравнение, относящееся к этой части.Не отображайте две функции на одном интервале, потому что это нарушит критерии функции.

Пример 13

Построение кусочной функции

Нарисуйте график функции.

f (x) = {x2ifx≤13if1 2f (x) = {x2ifx≤13if1 2

Решение

Каждая из функций компонента взята из нашей библиотеки функций набора инструментов, поэтому мы знаем их форму. Мы можем представить себе построение графика каждой функции, а затем ограничение графика указанной областью.На конечных точках домена мы рисуем пустые кружки, чтобы указать, где конечная точка не включена из-за неравенства «меньше или больше»; мы рисуем замкнутый круг, где конечная точка включена из-за неравенства «меньше или равно» или «больше или равно».

На рис. 25 показаны три компонента кусочной функции в разных системах координат.

Рисунок 25 (а) f (x) = x2, если x≤1; f (x) = x2if x≤1; (б) f (x) = 3, если 1 2f (x) = x, если x> 2

Теперь, когда мы нарисовали каждую деталь по отдельности, мы объединяем их в одной координатной плоскости.См. Рисунок 26.

Рисунок 26

Анализ

Обратите внимание, что график действительно проходит тест вертикальной линии даже при x = 1x = 1 и x = 2x = 2, потому что точки (1,3) (1,3) и (2,2) (2,2) не являются часть графика функции, хотя (1,1) (1,1)
и (2,3) (2,3) равны.

Попробуй # 8

Постройте следующую кусочную функцию.

f (x) = {x3ifx <−1−2if − 1 4f (x) = {x3ifx <−1−2if − 1 4

Q&A

Можно ли применить более одной формулы из кусочной функции к значению в домене?

№Каждому значению соответствует одно уравнение в кусочной формуле.

3.2 Упражнения по разделам

Устные

1.

Почему домен различается для разных функций?

2.

Как определить область определения функции, заданной уравнением?

3.

Объясните, почему область определения f (x) = x3f (x) = x3 отличается от области определения f (x) = x.f (x) = x.

4.

При описании наборов чисел с использованием интервальной записи, когда вы используете круглые скобки, а когда — скобки?

5.

Как построить график кусочной функции?

Алгебраические

Для следующих упражнений найдите область определения каждой функции, используя интервальную нотацию.

6.

f (x) = — 2x (x − 1) (x − 2) f (x) = — 2x (x − 1) (x − 2)

9.

f (x) = 3−6−2xf (x) = 3−6−2x

15.

f (x) = 3x + 14x + 2f (x) = 3x + 14x + 2

16.

f (x) = x + 4x − 4f (x) = x + 4x − 4

17.

f (x) = x − 3×2 + 9x − 22f (x) = x − 3×2 + 9x − 22

18.

f (x) = 1×2 − x − 6f (x) = 1×2 − x − 6

19.

f (x) = 2×3−250×2−2x − 15f (x) = 2×3−250×2−2x − 15

22.

f (x) = x − 4x − 6f (x) = x − 4x − 6

23.

f (x) = x − 6x − 4f (x) = x − 6x − 4

25.

f (x) = x2−9xx2−81f (x) = x2−9xx2−81

26.

Найти область определения функции f (x) = 2×3−50xf (x) = 2×3−50x по:

  1. ⓐ по алгебре.
  2. — отображение функции в подкоренном выражении и определение интервалов на оси x , для которых подкоренное выражение неотрицательно.
Графический

Для следующих упражнений запишите домен и диапазон каждой функции, используя интервальную нотацию.

28.

30.

32.

34.

36.

Для следующих упражнений нарисуйте график кусочной функции. Запишите домен в интервальной записи.

38.

f (x) = {x + 1ifx <−2−2x − 3ifx≥ − 2f (x) = {x + 1ifx <−2−2x − 3ifx≥ − 2

39.

f (x) = {2x − 1ifx <11 + xifx≥1f (x) = {2x − 1ifx <11 + xifx≥1

40.

f (x) = {x + 1ifx <0x−1ifx> 0f (x) = {x + 1ifx <0x−1ifx> 0

41.

f (x) = {3ifx <0xifx≥0f (x) = {3ifx <0xifx≥0

42.

f (x) = {x2, если x <01 − x, если x> 0, f (x) = {x2, если x <01 − x, если x> 0

43.

f (x) = {x2x + 2ifx <0ifx≥0f (x) = {x2x + 2ifx <0ifx≥0

44.

f (x) = {x + 1ifx <1x3ifx≥1f (x) = {x + 1ifx <1x3ifx≥1

45.

f (x) = {| x | 1ifx <2ifx≥2f (x) = {| x | 1ifx <2ifx≥2

Числовой

Для следующих упражнений, учитывая каждую функцию f, f, оцените f (−3), f (−2), f (−1), f (−3), f (−2), f (−1), и f (0) .f (0).

46.

f (x) = {x + 1ifx <−2−2x − 3ifx≥ − 2f (x) = {x + 1ifx <−2−2x − 3ifx≥ − 2

47.

f (x) = {1, если x≤ − 30, если x> −3f (x) = {1, если x≤ − 30, если x> −3

48.

f (x) = {- 2×2 + 3, если x≤ − 15x − 7, если x> −1f (x) = {- 2×2 + 3, если x≤ − 15x − 7, если x> −1

Для следующих упражнений, учитывая каждую функцию f, f, оцените f (−1), f (0), f (2), f (−1), f (0), f (2) и f (4 ) .f (4).

49.

f (x) = {7x + 3ifx <07x + 6ifx≥0f (x) = {7x + 3ifx <07x + 6ifx≥0

50.

f (x) = {x2−2ifx <24+ | x − 5 | ifx≥2f (x) = {x2−2ifx <24+ | x − 5 | ifx≥2

51.

f (x) = {5xifx <03if0≤x≤3x2ifx> 3f (x) = {5xifx <03if0≤x≤3x2ifx> 3

Для следующих упражнений запишите область определения кусочной функции в интервальной записи.

52.

f (x) = {x + 1ifx <−2−2x − 3ifx≥ − 2f (x) = {x + 1ifx <−2−2x − 3ifx≥ − 2

53.

f (x) = {x2−2ifx <1 − x2 + 2ifx> 1f (x) = {x2−2ifx <1 − x2 + 2ifx> 1

54.

f (x) = {2x − 3−3x2ifx <0ifx≥2f (x) = {2x − 3−3x2ifx <0ifx≥2

Технологии

55.

График y = 1x2y = 1×2 в окне просмотра [-0,5, -0,1] [- 0,5, -0,1] и [0,1,0,5]. [0,1,0,5]. Определите соответствующий диапазон для смотрового окна. Покажи графики.

56.

График y = 1xy = 1x в окне просмотра [−0.5, -0,1] [-0,5, -0,1] и [0,1,0,5]. [0,1,0,5]. Определите соответствующий диапазон для смотрового окна. Покажи графики.

добавочный номер

57.

Предположим, что диапазон функции ff равен [−5,8]. [- 5,8]. Каков диапазон | f (x) |? | F (x) |?

58.

Создайте функцию, диапазон которой состоит из неотрицательных действительных чисел.

59.

Создайте функцию, в которой домен x> 2.x> 2.

Реальные приложения

60.

Высота снаряда hh зависит от времени, в течение которого он находится в воздухе.Высота в футах для tt секунд задается функцией h (t) = — 16t2 + 96t.h (t) = — 16t2 + 96t.
Какова область применения функции? Что означает домен в контексте проблемы?

61.

Стоимость изготовления xx предметов в долларах определяется функцией C (x) = 10x + 500.C (x) = 10x + 500.

  1. ⓐФиксированная стоимость определяется, когда произведено ноль единиц продукции. Найдите фиксированную стоимость этого товара.
  2. ⓑ Сколько стоит изготовление 25 предметов?
  3. ⓒ Предположим, что максимальная разрешенная стоимость составляет 1500 долларов США.Каковы область и диапазон функции стоимости C (x)? C (x)?

Линейные уравнения и функции — Функции и их графики

Функции и их графики

Функция, функция, какова ваша функция? Вы личный тренер, известный шпион, ограничитель дверей или что-то совсем другое? Думаем, последний.

Функция принимает некоторые входные данные, обычно называемые x , в уравнение, f ( x ).Затем x проходит через уравнение, и в конце мы получаем некоторый результат, обычно известный как y . Обратите внимание, что y и f ( x ) на самом деле одно и то же. Может, и — знаменитый шпион?

Мы называем x независимой переменной и y зависимой переменной . Итак, x имеет хорошую работу, а y все еще живет дома. Все возможные значения x- — это область , а все возможные значения y- — это диапазон .

Пример задачи

Найдите область и диапазон y = 3 x — 4, где 0 ≤ x <4.

Если бы нам просто дали уравнение, y = 3 x — 4, не говоря ничего другого, мы бы сказали, что домен — это все действительные числа. При этом не учитываются воображаемые, фальшивые, бредовые и позерские числа.

Однако в данном случае мы не можем выбрать x , которые нам нравятся под солнцем. Проблема говорит, что 0 ≤ x <4.Это означает, что наш домен ограничен всеми действительными числами от 0 до 4, включая 0, но не 4 (из-за линии под голодным ртом Пакмана).

А теперь ассортимент. Диапазон всех возможных значений: и . В нашем уравнении y = 3 x -4, значения y- — это то, что мы получаем, когда вставляем известные нам значения x- . Давайте составим таблицу, чтобы уточнить диапазон.

Диапазон этой функции: -4 ≤ y <8.Обратите внимание, что y меньше 8, потому что x не может равняться 4, поэтому y также никогда не может быть точно равно 8.

В этом случае диапазон легкий; мы могли бы посмотреть на наименьшее и наибольшее значения x , и они дают нам наименьшее и наибольшее значения x . Что, если бы у нас было что-то вроде y = — x 2 , с -2 < x <2?

Здесь, если мы просто вставим x = -2 и 2, мы получим y = -4 для них обоих.Однако мы знаем, что y не просто остаются на -4 все время. Мы должны проверить x = 0, чтобы найти, что y = 0, что дает нам диапазон -4 < y <0. Каждый раз, когда график может качаться или опускаться, проверьте различные числа, чтобы найти правильный диапазон.

Теперь поговорим на секунду о функциях построения графиков. Собственно, давайте поговорим и построим график одновременно. Только не просите нас тоже жевать жвачку.

Пример задачи

График y = 3 x — 4, где 0 ≤ x <4.

Ой, это снова ты. Вы собираетесь повторить вещь , не так ли?

Ничего страшного, потому что это означает, что мы уже проделали большую работу. Мы знаем домен и диапазон, и мы отметили несколько моментов.

Начните с рисования координатной плоскости . Ось x замерзает на спине, лежа, в то время как ось x стоит по стойке смирно. Они встречаются посередине в исходной точке .Не пытайтесь слишком сильно визуализировать это; на самом деле это не так больно, как кажется. Мы надеемся.

Мы используем числа на осях для построения точек и линии. Мы делаем заказанных пар , которые выглядят так: ( x , y ). А x всегда вызывает дробовик, поэтому y никогда не попадает первым.

Начиная с начала координат (0, 0), положительные значения x перемещаются вправо, а положительные значения y перемещаются вверх. Переместите оба числа вместе, чтобы построить каждую точку из нашей таблицы.

Видите, как красиво они выстраиваются? Почему они не могли так красиво выглядеть на школьных фотографиях? Что ж, проведем через них черту, пока они сидят неподвижно.

У нас здесь ограниченная область, поэтому мы рисуем только линию, где функция действительно существует. Несуществующие линии на удивление легко рисовать, так что будьте начеку.

Вертикальность

В функциях есть кое-что очень важное. Фактически, это настолько важно, что мы собираемся поместить его в отдельную строку:

На каждые x есть только один y .Другими словами, каждый вход имеет только один выход. Один х входит, один х уходит.

Если уравнение нарушает этот принцип, это не функция. К счастью, нам не нужно подключаться и проверять каждое значение x- , чтобы увидеть, разделяет ли какое-либо из них значение y- . Это было бы утомительно и ужасно. Вместо этого мы можем использовать тест вертикальной линии . Какое имя, а?

Возьмем, к примеру, эти графики. Это именно то, на что похоже: рисование вертикальных линий поверх графика.Если какая-либо вертикальная линия может проходить через график более одного раза, тогда уравнение , а не функция.

Смотрите? Мы можем сразу сказать, что является функцией, а что нет. И обратите внимание, что второй график в середине имеет одинаковое значение y- для двух разных значений x- (например, при y = 0). Это полностью разрешено. Мы просто не можем иметь одно и то же значение x- для нескольких значений y- , как на первом и третьем графиках.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.