Как найти меньшую сторону параллелограмма: найдите меньшую сторону параллелограмма если высоты параллелограмма равны 6 см и 16 см а

Содержание

Как найти стороны параллелограмма

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

 

1. Формулы длины сторон через диагонали и угол между ними.

 

a, b — стороны параллелограмма

D большая диагональ

d меньшая диагональ

α, β — углы между диагоналями

 

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними (по теореме косинусов), (a, b):

 

 

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и сторону, (a, b):

 

Формулы сторон параллелограмма , (a, b):

 

 

2. Формулы длины сторон параллелограмма через высоту.

 

a, b — стороны параллелограмма

Hb высота на сторону b

Ha — высота на сторону a

α β — углы параллелограмма

 

Формулы сторон параллелограмма через высоту, (a, b):

 

 

3. Дополнительные, интересные формулы параллелограмма:

 

a, b — стороны параллелограмма

D большая диагональ

d меньшая диагональ

α — острый угол между диагоналями

 

Формула суммы квадратов диагоналей:

 

Формула разности квадратов сторон:

 

 



 

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии

Задачи по школьной математике.

Параллелограмм

  • Сторона параллелограмма втрое больше другой его стороны. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 24.

  • Сторона ромба равна 5, а меньшая диагональ равна 6. Найдите большую диагональ.
  • Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 6 и 8.
  • Сторона ромба равна 17, а одна из диагоналей равна 30. Найдите длину второй диагонали.
  • Найдите тупой угол (в градусах) ромба, если высота, проведенная из его вершины, делит противоположную сторону пополам.
  • Диагональ ромба образует с его стороной угол 25о. Найдите больший угол ромба.
  • Диагональ ромба равна его стороне. Найдите больший угол ромба.
  • Периметр ромба равен 24. Высота равна 3. Найдите тупой угол ромба.
  • В ромбе диагонали равны 10 и 15. Найдите площадь ромба.
  • Найдите сторону ромба, если его острый угол 30о, а площадь равна 18.
  • Найдите сторону ромба, если его диагонали относятся как 3:4, а площадь равна 384.
  • Найдите большую сторону прямоугольника, площадь которого равна 400, а стороны относятся как 4 : 1.
  • Периметр прямоугольника равен 60. Одна сторона больше другой на 10. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
  • В параллелограмме сторона АВ равна 6, диагонали равны 9 и 5, О — точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр треугольника АОВ?
  • Сумма двух противоположных углов параллелограмма равна 94о. Найдите больший угол параллелограмма.
  • Периметр параллелограмма равен 60. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны относятся как 2 : 3, а острый угол равен 30о.
  • Найдите площадь параллелограмма ABCD, если угол BAD равен 150о, АВ равно 3 и AD равно 8.
  • Параллелограмм и прямоугольник имеют соответственно одинаковые стороны. Площадь параллелограмма в два раза меньше площади прямоугольника. Найдите тупой угол параллелограмма.
  • Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна 144, а высоты равны 8 и 12.
  • Диагонали параллелограмма равны 6 и 8, а угол между ними равен 30о. Найдите площадь параллелограмма.
  • Площадь параллелограмма равна 120, а его высоты равны 8 и 12. Найдите периметр параллелограмма.
  • Стороны параллелограмма равны и . Найдите сумму квадратов длин диагоналей параллелограмма.
  • Стороны параллелограмма равны соответственно 6 и 16, а его тупой угол равен 120о. Найдите длину меньшей диагонали параллелограмма.
  • Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его диагональ увеличить в 2 раза?
  • Во сколько раз увеличится площадь ромба, если каждую диагональ увеличить в 2 раза?
  • Во сколько раз изменится площадь прямоугольника, если каждую сторону увеличить в 3 раза?
  • Найдите сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику со сторонами, равными 4 и 9.
  • Середины сторон квадрата соединены отрезками. Найдите отношение площади фигуры, образованной этими отрезками к площади квадрата.
  • Стороны квадрата ABCD разделены точками E, F, L и N в отношении 1:2 каждая. Найдите отношение площадей квадрата и четырехугольника EFLN.
  • Периметр прямоугольника равен 24. Внутри прямоугольника выбрана точка. Найдите сумму расстояний от этой точки до всех сторон прямоугольника.
  • В параллелограмме ABCD высота BE делит сторону AD в точке E пополам. Найдите сторону AB, если периметр параллелограмма равен 7, а периметр треугольника ABD равен 5.
  • Диагонали параллелограмма равны 17 и 19. Одна сторона равна 10. Найдите другую сторону.
  • В параллелограмме ABCD проведена высота BK. Найдите углы и стороны параллелограмма, если AK = 5, KD = 8 и угол ABK равен 30о.
  • В параллелограмме боковая сторона равна 8 и острый угол при основании равен 30о. Найдите проекции высоты, опущенной на основание, на основание и на боковую сторону.
  • Точки M и N — середины противолежащих сторон BC и AD параллелограмма ABCD. Докажите, что четырехуголь­ник AMCN — параллелограмм.
  • Биссектриса угла параллелограмма делит сторону па­раллелограмма на отрезки, равные a и b. Найдите стороны па­раллелограмма.
  • Высота параллелограмма, проведенная из вершины ту­пого угла, равна 2 и делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол параллелограмма равен 30◦. Найдите диагональ, проведенную из вершины тупого угла, и углы, которые она об­разует со сторонами.

  • Диагонали  параллелограмма  ABCD  пересекаются  в точке O. Периметр параллелограмма равен 12, а разность пери­метров треугольников BOC и COD равна 2. Найдите стороны параллелограмма.

  • Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Биссектрисы углов A и B пересекают прямую CD в точках M и N, причем MN = 12. Найдите стороны паралле­лограмма.

  • Угол при вершине A ромба ABCD равен 20◦. Точки и N — основания перпендикуляров, опущенных из вершины на стороны AD и CD. Найдите углы треугольника BMN.

  • Докажите, что точки попарного пересечения биссек­трис всех четырех углов параллелограмма являются вершинами прямоугольника.

  • Докажите, что отрезок, соединяющий середины про­тивоположных сторон параллелограмма, проходит через его центр.

  • Найдите расстояние от центра ромба до его стороны, если острый угол ромба равен 30◦, а сторона равна 4.
  • На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD взя­ты точки K и M так, что AKCM является ромбом. Диаго­наль AC составляет со стороной AB угол 30◦. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника ABCD рав­на 3.

  • Прямая имеет с параллелограммом ABCD единствен­ную общую точку B. Вершины A и C удалены от этой прямой на расстояния a и b соответственно. На какое расстояние удалена от этой прямой вершина D?
  • Угол при вершине A ромба ABCD равен 60◦. На сторо­нах AB и BC взяты соответственно точки M и N, причем AM = BN. Докажите, что треугольник DMN равносторонний.
  • Точка внутри параллелограмма соединена со всеми его вершинами. Докажите, что суммы площадей треугольников, прилежащих к противоположным сторонам параллелограмма, равны между собой.
  • На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD взя­ты точки M и N так, что прямые MC и NC делят параллело­грамм на три равновеликие части. Найдите MN, если BD = d.
  • Пусть E и F — середины сторон BC и AD параллелограмма ABCD. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми AEEDBF и FC, если известно, что площадь ABCD равна S.
  • Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника — вершины параллелограмма. Для каких четырехугольников этот параллелограмм является прямоугольником, для каких — ромбом, для каких — квадратом?
  • Высота параллелограмма

    Обозначения в формулах эквивалентны обозначениям на рисунках, а именно:


    а — стороны, параллелограмма, параллельные друг другу


    b — боковые стороны параллелограмма


    h — высота параллелограмма


    d — диагональ параллелограмма


    S — площадь параллелограмма


    α — острый угол при основании параллелограмма




    Высота параллелограмма равна соотношению площади к основанию (Формула 1)




    Высота параллелограмма равна произведению боковой стороны на синус угла при основании (Формула 2)




    Соотношение оснований параллелограмма равно обратно пропорциональному соотношению высот, опущенных на соответствующие стороны (Формула 3)




    Высоты параллелограмма, опущенные из одной вершины, образуют угол, равный углу параллелограмма при соседней вершине (Рисунок 2)




    Высота параллелограмма равна, корню из разности квадрата боковой стороны и квадрата длины отрезка, образующего прямоугольный треугольник, другими сторонами которого являются боковая сторона и высота (Формула 4)




    Высота параллелограмма равна корню из разности квадрата диагонали, из которой опущена высота и квадрата длины отрезка между точкой, из которой проведена диагональ и точкой пересечения высоты и основания (Формула 5)

    Позначення у формулах еквівалентні позначенням на малюнках, а саме:

    а — сторони, паралелограма, паралельні один одному

    b — бічні сторони паралелограма

    h — висота паралелограма

    d — дiагональ паралелограма

    S — площа паралелограма

    α — гострий кут при основі паралелограма

    Висота паралелограма дорівнює співвідношенню площі до підстави (Формула 1)  

    Висота паралелограма дорівнює твору бічної сторони на синус кута при його основі (Формула 2)  

    Співвідношення підстав паралелограма дорівнює обернено пропорційному співвідношенню висот, опущених на відповідні сторони (Формула 3)

    Висоти паралелограма, опущені з однієї вершини, утворюють кут, рівний куту паралелограма при сусідній вершині (Малюнок 2)

    Висота паралелограма рівна, корню з різниці квадрата бічної сторони і квадрата довжини відрізка, створюючого прямокутний трикутник, іншими сторонами якого є бічна сторона і висота (Формула 4)

    Висота паралелограма дорівнює корню з різниці квадрата діагоналі, з якої опущена висота і квадрата довжини відрізка між точкою, з якої проведена діагональ і точкою пересічення висоти і основання (Формула 5)

    Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции — урок.

    Геометрия, 8 класс.

    Площадь параллелограмма

    Необходимо определить, что такое высота параллелограмма.

     

    Это перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную параллельную сторону. Обычно высоту проводят из вершины параллелограмма. Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то он имеет высоты двух различных длин.

     

    Высота \(BE\), проведённая между длинными сторонами, короче высоты \(BF\), проведённой между короткими сторонами.

     

     

    Так как стороны ромба одинаковы, то высоты ромба также одинаковы: \(BE = BF\).

     

     

    Площадь произвольного параллелограмма

    Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.

     

    Проведём высоты из двух вершин \(B\) и \(C\) к стороне \(AD\) .

     

    Прямоугольные треугольники \(ABE\) и \(DCF\) равны (равные гипотенузы как противоположные стороны параллелограмма и равные катеты как расстояние между параллельными прямыми).

     

    Параллелограмм \(ABCD\) и прямоугольник \(EBCF\) — равновеликие, так как состоят из равных фигур:

     

    SABCD=SABE+SEBCD;SEBCF=SEBCD+SDCF.

     

    Значит, площадь параллелограмма определяется так же, как площадь прямоугольника:

     

    SEBCF=BE⋅BC;SABCD=BE⋅BC=BE⋅AD.

     

    Если обозначить сторону через \(a\), высоту — через \(h\), то:

     

    Sп−гр=a⋅h.

     

    Для определения площади параллелограмма можно использовать короткую сторону и высоту, проведённую к короткой стороне.

    Площадь ромба

    Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, они перпендикулярны и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

     

     

    SABCD=4⋅SABO=4⋅BO⋅AO2=2⋅BO⋅AO.

     

    Формула определения площади ромба:

     

    Sромба=d1⋅d22.

     

    Эта формула справедлива для определения площади любого четырёхугольника, если его диагонали перпендикулярны.

     

    Так как диагонали квадрата равны, то для определения площади квадрата в формуле достаточно длины одной диагонали:

     

    Sквадрата=d22.

    Площадь произвольного треугольника

    Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

     

     

     

    Sтреуг=aha2, где \(h\) — высота (на рисунке — \(BE\)), проведённая к стороне \(a\) (на рисунке — \(AD\)).

     

    Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.

     

    Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.

     

    SΔ=pp−ap−bp−c;p=a+b+c2

     

    — формула Герона, где \(a\), \(b\) и \(c\) — стороны треугольника, \(p\) — полупериметр треугольника.

    Площадь прямоугольного треугольника

    Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:

     

    S=a⋅b2, где \(a\) и \(b\) — катеты.

     

    Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.

    Пример:

    1. вычислим площадь треугольника со сторонами \(17\) см, \(39\) см, \(44\) см.

     

    Решение:

     

    p=17+39+442=50;SΔ=50⋅50−17⋅50−39⋅50−44=50⋅33⋅11⋅6==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3=5⋅2⋅3⋅11=330см2.

     

    Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители: a⋅a=a.

    Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.

    Пример:

    2. вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны \(15\) см, \(13\) см, \(4\) см.

     

    Решение:

    используем две формулы вычисления площади:  SΔ=aha2 и SΔ=pp−ap−bp−c.

     

    Меньшая высота в треугольнике — та, которая проведена к большей стороне, поэтому \(a =\) \(15\) см.

     

    SΔ=pp−ap−bp−c=16⋅1⋅3⋅12=24см2.

    Составляем уравнение:

                            

    15⋅h3=24⋅215⋅h=48;h=4815=3,2(см).

    Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.

    Пример:

    3. дан параллелограмм со сторонами \(17\) см и \(39\) см, длина диагонали равна \(44\) см. Вычислим площадь параллелограмма.  

     

    Решение:

     

    диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:

     

    Sпараллелограмма=2⋅SΔ=2⋅330=660(см2).

    Площадь трапеции

    Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.

     

    Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.

     

     

    Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ.
     

     

    SABCD=SABD+SDBC;SABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==AD+BC⋅BE2.

     

    Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через \(a\) и \(b\), высоту через \(h\), то:

     

    Sтрап=a+b2⋅h.

    Обрати внимание!

    Важные следствия:

     

    1. если высоты треугольников равны, то их площади относятся как длины оснований.

     

    2. Если основания треугольников равны, то их площади относятся как длины высот.

     

    3. Если высоты треугольников равны и их основания равны, то они равновелики, например, медиана делит треугольник на две равновеликие части.

    Задания В5. Параллелограмм | Подготовка к ЕГЭ по математике

    В этой статье работаем с Задачами №3 ЕГЭ по математике, которые связаны с параллелограммом.
    Смотрите в других статьях разбор Задачи №3, в которых фигурирует:
    – треугольник;
    – прямоугольник;
    – ромб;
    – произвольный четырехугольник;
    – трапеция;
    – многоугольник;
    – круг;
    – векторы;
    – координатная плоскость;

    Задача 1.  Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.

    Решение: + показать

    Задача 2. Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 25 и 20, а угол между ними равен 30˚.

    Решение: + показать

    Задача 3. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

    Решение: + показать

    Задача 4. Стороны параллелограмма равны 8 и 16. Высота, опущенная на первую сторону, равна 12. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

    Решение: + показать

    Так как согласно формуле площади параллелограмма , то

    Откуда

    Ответ: 6. 

    Задача 5. Периметр параллелограмма равен 38. Одна сторона параллелограмма на 3 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

    Решение: + показать

    Пусть меньшая сторона параллелограмма равна , тогда большая сторона равна согласно условию.

    Периметр параллелограмма – сумма длин всех сторон, при этом противоположные стороны параллелограмма равны.

    Поэтому

    Ответ: 8. 

    Задача 6. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 26. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.

    Решение: + показать

    Задача 7. Площадь параллелограмма   равна 116. Найдите площадь параллелограмма , вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

    Решение: + показать

    Задача 8. Площадь параллелограмма  равна 180. Точка   — середина стороны . Найдите площадь треугольника .

    Решение: + показать

    Вы можете пройти тест «Задачи №3. Параллелограмм»

    Параллелограмм. Свойства, площадь и признаки

    Параллелограмм — это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.
    Свойства параллелограмма:

    1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    3. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

    Давайте посмотрим, как свойства параллелограмма применяются в решении задач ЕГЭ.

    1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

    Пусть  и  — биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне . Сумма углов и  равна . Углы и  — половинки углов и . Значит, сумма углов и  равна  градусов. Из треугольника находим, что угол  — прямой.
    Ответ: .

    Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, — перпендикулярны.

    Легко доказывается и другое свойство биссектрис параллелограмма:

    Биссектрисы противоположных углов параллелограмма — параллельны.

    Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

    2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна . Найдите его большую сторону.

    Найдем на этом рисунке накрест лежащие углы. Мы уже рассказывали, что это такое.

    Углы и , а также и  — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, угол равен углу , а угол  — углу .
    Получаем, что треугольники и  — равнобедренные, то есть , а . Тогда .

    Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

    Запишем формулы площади параллелограмма:

    , где  — основание параллелограмма,  — его высота.
    , где  и  — стороны параллелограмма,  — угол между ними.

    И еще одна формула.

    , где  и  — диагонали параллелограмма,  — угол между ними.

    3 формулы площади параллелограмма — онлайн калькулятор расчета

    Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

    Площадь параллелограмма через сторону и высоту вычисляется по формуле:

    • a — сторона параллелограмма.
    • h — высота.

     
     
     
    Формула площади параллелограмма через стороны и угол между ними:

    • a — сторона параллелограмма.
    • b — сторона параллелограмма.
    • α — угол между сторонами.

     
     
    Для быстрого расчета площади параллелограмма воспользуйтесь онлайн калькулятором:

    Формула площади параллелограмма через диагонали параллелограмма и угол между ними

    • d и D — диагонали параллелограмма.
    • α — угол между диагоналями.

     
     
    Онлайн расчет:

    Оцени статью

    Оценить

    Средняя оценка / 5. Количество голосов:

    Спасибо, помогите другим — напишите комментарий, добавьте информации к статье.

    Или поделись статьей

    Видим, что вы не нашли ответ на свой вопрос.

    Помогите улучшить статью.

    Напишите комментарий, что можно добавить к статье, какой информации не хватает.

    Отправить

    Спасибо за ваши отзыв!

    Как найти длину стороны параллелограмма

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
    или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
    в
    информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
    ан
    Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
    средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
    в виде
    ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
    искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
    на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
    Идентификация авторских прав, которые были нарушены;
    Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
    достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
    а
    ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
    к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
    Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
    Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
    ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
    информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
    либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон
    Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Как найти длину диагонали параллелограмма

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
    или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
    в
    информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
    ан
    Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
    средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
    в виде
    ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
    искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
    на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
    Идентификация авторских прав, которые были нарушены;
    Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
    достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
    а
    ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
    к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
    Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
    Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
    ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
    информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
    либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон
    Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Геометрия

    — Может ли параллелограмм иметь целые числа для всех четырех сторон и обеих диагоналей?

    Ваша догадка неверна. Существует непрямоугольный не ромбовидный параллелограмм с целой стороной и длиной диагонали:

    Предположим, что параллелограмм — это $ ABCD $, где $ AB = a $, $ AD = b $ и $ BD = c $. 2 $$
    Чтобы удовлетворить неравенствам треугольника, выберем
    $$ \ color {blue} {a = 2r-s \ qquad b = 2s + r \ qquad c = 2 (r + s) — (rs) \ qquad d = 2 (rs) + (r + s)} $ $
    Гарантируется, что они образуют непрямоугольный не ромбовидный целочисленный параллелограмм с заданными ограничениями на $ r $ и $ s $. Тот, что изображен вверху этого ответа, соответствует $ (r, s) = (5,2) $, а самый маленький экземпляр (тот, у которого длина сторон 4 и 7) соответствует $ (r, s) = (3, 2) $.

    Площадь параллелограмма с учетом диагоналей и стороны

    Основная формула для вычисления площади параллелограмма — это длина одной стороны, умноженная на высоту параллелограмма с этой стороны.

    Но что нам делать, если у нас нет этих измерений (сторона, высота)? Что, если вместо этого нам будет представлена ​​длина одной стороны и длина обеих диагоналей?

    Давайте посмотрим, как мы можем вычислить площадь параллелограмма в этом случае в следующей задаче.

    Задача

    У параллелограмма длина стороны 13 единиц и длина диагонали 24 единицы и 10 единиц. Найдите его область.

    Стратегия

    Есть два способа начать думать об этой проблеме, и оба приведут нас к одной и той же точке и решению.

    Поскольку у нас есть обе диагонали, мы можем начать с размышлений о свойствах диагоналей в параллелограммах — они делят друг друга пополам. Итак, если у нас есть диагонали в 24 и 10 единиц, они делят друг друга пополам на сегменты по 12 единиц и 5 единиц соответственно:

    Итак, теперь у нас есть треугольник со сторонами 5, 12 и 13 — тройка Пифагора, что означает треугольник. представляет собой прямоугольный треугольник, и мы можем легко вычислить его площадь как ножку x ножку / 2 или 5×12 / 2 = 30.

    Но если m∠AOB = 90 °, то m∠AOD = 90 °, поскольку AOB и ∠AOD представляют собой линейную пару, которая в сумме дает 180 °.Треугольники ΔAOB и ΔAOD тогда конгруэнтны (по бокам-углам-сторонам), как и треугольники ΔAOB и ΔCOB (также по бокам-углам-бокам). Итак, у нас есть 4 треугольника площадью 30, составляющих площадь параллелограмма, площадь которого, таким образом, равна 4×30 = 120.

    Другой способ осмыслить проблему — вспомнить, что если параллелограмм представляет собой ромб, то его площадь равна произведению диагоналей, разделенных на два. Это потому, что ромб также является воздушным змеем, и мы показали, что площадь воздушного змея равна половине произведения его диагоналей.

    Итак, если мы докажем, что параллелограмм является ромбом, мы можем использовать это напрямую. Мы можем перейти к доказательству того, что этот параллелограмм действительно является ромбом, используя тот факт, что если диагонали параллелограмма перпендикулярны, это ромб — и мы показали выше, что эти диагонали действительно перпендикулярны.

    Таким образом, площадь параллелограмма равна (диагональ x диагональ / 2), или 24×10 / 2 = 120, как указано выше.

    Решение

    (1) AC = 24 // Дано
    (2) BD = 10 // Дано
    (3) AO = OC = 12 // Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам
    (4) BO = OD = 5 // Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам
    (5) AB = 13 // Дано
    (6) m∠AOB = 90 ° // (3), (4), (5), обратное теореме Пифагора ( 5,12,13 — тройка Пифагора)
    (7) AC⊥DB // (6), определение перпендикулярных прямых
    (8) ABCD — ромб // параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб
    (9) Площадь ABCD = | AC | · | DB | / 2 // Площадь ромба — произведение диагоналей, разделенных на два
    (10) Площадь ABCD = 24 · 10/2 = 120 квадратных единиц // (1), (2), (9)

    Итак, в этом случае у нас есть диагонали и сторона параллелограмма, которые образуют пифагорову тройку. Это упрощает расчет площади параллелограмма. Но как насчет других параллелограммов, у которых диагонали не перпендикулярны?

    Оказывается, мы можем определить площадь параллелограмма и для этих случаев. Нам просто нужно будет использовать еще немного вычислений, известных как формула Герона для площади треугольника, который не является прямоугольным.

    Видео с вопросом: Определение длины стороны параллелограмма по подобию треугольников

    Стенограмма видео

    Учитывая, что 𝐴𝐵𝐶𝐷 — параллелограмм, 𝐵 — середина отрезка 𝐴𝐹, 𝐶𝐸
    равно восьми сантиметрам, 𝐷𝐸 равно 16 сантиметрам, а 𝐶𝑋 равно 11
    в сантиметрах найдите длину отрезка 𝐴𝐷.

    В этом вопросе нам сначала говорят, что 𝐴𝐵𝐶𝐷 — параллелограмм. Это четырехугольник в верхней части рисунка. Одно из основных свойств параллелограммов, о которых мы должны помнить, заключается в том, что
    противоположные стороны параллельны. На рисунке это будет означать, что прямая 𝐷𝐴 параллельна прямой 𝐶𝐵 и прямой 𝐶𝐷.
    параллельно 𝐵𝐴. Следующее, что нам говорят, — это то, что 𝐵 — это середина отрезка прямой. И нам даны размеры: 𝐶𝐴 — восемь сантиметров, 𝐷𝐴 — 16.
    сантиметры, а 𝐶𝑋 равно 11 сантиметрам, поэтому мы можем заполнить эти измерения
    на диаграмму.

    Вопрос просит нас найти длину этого отрезка 𝐴𝐷. Чтобы разобраться с этим, мы должны вспомнить еще один важный факт об обратном.
    стороны параллелограмма. Мы знаем, что они параллельны, но мы также должны помнить, что противоположные стороны
    конгруэнтный. Это означает, что они одинаковой длины. Следовательно, если нам нужна длина стороны, противоположной 𝐴𝐷, длина линии
    отрезок 𝐶𝐵, то мы бы знали, что он будет такой же длины.Указанная здесь длина 11 сантиметров относится только к отрезку линии.
    𝐶𝑋, а не на весь отрезок 𝐶𝐵. Итак, давайте посмотрим, есть ли способ, которым мы можем вычислить этот отрезок линии 𝑋𝐵.

    Рассмотрим эти два треугольника. У нас есть меньший треугольник 𝐶𝐸𝑋 и больший треугольник. Затем мы могли бы спросить себя, похожи ли эти два треугольника. Это означает, что они будут той же формы, но разного размера. Один из способов доказать сходство в треугольниках — использовать критерий AA в
    что мы видим, если существуют две пары соответствующих пар конгруэнтных углов.Итак, давайте посмотрим на углы в этих треугольниках. Давайте посмотрим на этот угол 𝐸𝑋𝐶 и посмотрим, будет ли угол равный этому
    один. Что ж, на самом деле было бы. Есть вертикально противоположный угол, угол 𝐵𝑋𝐹. Таким образом, эти два угла будут равны по размеру.

    Теперь посмотрим на угол 𝐸𝐶𝑋. Если учесть, что у нас есть параллельные прямые и, то трансверсаль прямой
    𝐶𝐵 даст нам равный угол. Можно сказать, что угол 𝐶𝐵𝐹 равен углу, потому что у нас есть альтернативные
    углы.Как мы показали, есть две пары соответствующих углов, равных, тогда
    мы показали, что правило AA выполняется. Это означает, что наши два треугольника 𝐶𝐸𝑋 и 𝐵𝐹𝑋 действительно похожи. Итак, давайте вернемся к причине, по которой мы хотели проверить, что эти два треугольника были
    аналогично, и это нужно для определения длины отрезка 𝑋𝐵.

    В этих похожих треугольниках они будут иметь одинаковую пропорцию между каждой длиной на
    меньший треугольник равняется каждой длине большего треугольника.Мы могли бы также подумать об этом с точки зрения нахождения масштабного коэффициента. Чтобы найти этот масштабный коэффициент, нам нужна соответствующая пара длин на
    меньший треугольник и на больший треугольник. Теперь нам не дается длина этого отрезка 𝐵𝐹, но мы можем его обработать.
    получиться относительно просто. Поскольку нам говорят, что 𝐵 — это середина, тогда длина линии
    отрезок 𝐵𝐹 будет такой же, как длина этого отрезка.

    Используя тот факт, что в параллелограмме противоположные стороны параллельны и совпадают,
    тогда длина 𝐴𝐵 будет равна сумме восьми сантиметров и 16
    сантиметры. А это 24 сантиметра. Итак, 𝐵𝐹 тоже 24 сантиметра. Теперь у нас есть пара соответствующих сторон в меньшем треугольнике и в большем треугольнике.
    треугольник, который позволит нам вычислить масштабный коэффициент. Если 𝐶𝐴 равно восьми сантиметрам, а 𝐵𝐹 — 24 сантиметра, то масштабный коэффициент должен
    быть три. Это означает, что каждую длину меньшего треугольника можно умножить на три, чтобы получить
    соответствующей длины на большем треугольнике.

    Мы помним, что мы пытаемся найти эту длину отрезка 𝐵𝑋, поэтому
    сторона меньшего треугольника соответствовала бы этой длине? Это будет отрезок 𝐶𝑋.Поэтому мы можем взять 𝐶𝑋 из 11 сантиметров и умножить его на масштабный коэффициент
    три, чтобы получить длину 33 сантиметра. И, наконец, после всей этой работы мы готовы рассчитать длину
    отрезка 𝐴𝐷. Помня, что параллелограмм имеет равные противоположные стороны, мы добавляем 11
    сантиметра и 33 сантиметра, что дает нам окончательный ответ, что длина
    отрезок 𝐴𝐷 составляет 44 сантиметра.

    Parallelogram — математическое определение слова

    Parallelogram — математическое определение слова — Math Open Reference

    Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждую вершину
    , чтобы изменить форму параллелограмма. Обратите внимание, как противоположные стороны остаются параллельными.

    Параллелограмм — это
    четырехугольник с противоположными сторонами
    параллельно.
    Но есть различные тесты, которые можно применить, чтобы увидеть, является ли что-то параллелограммом.

    Это «родитель» некоторых других четырехугольников,
    которые получаются добавлением различного рода ограничений:

    • Прямоугольник — это параллелограмм, но все четыре внутренних угла фиксированы под углом 90 °
    • Ромб — это параллелограмм, у которого все четыре стороны равны по длине
    • Квадрат — это параллелограмм, но все стороны равны по длине и
      внутренние углы 90 °

    Четырехугольник является параллелограммом, если:

    1. Обе пары противоположных сторон параллельны. (По определению). Или же:
    2. Обе пары противоположных сторон равны. Если они совпадают, они также должны быть параллельны. Или же:
    3. Одна пара противоположных сторон равны и параллельны. Тогда другая пара также должна быть параллельна.

    Свойства параллелограмма

    Эти факты и свойства верны для параллелограммов и форм-потомков: квадрата, прямоугольника и ромба.

    .

    .

    База Базой можно считать любую сторону.Выбирайте любой понравившийся. Если используется для расчета площади (см. Ниже), необходимо использовать соответствующую высоту.
    На рисунке выше выбрана одна из четырех возможных баз и соответствующая высота.
    Высота
    (высота)
    Высота (или высота) параллелограмма — это расстояние по перпендикуляру.
    от основания на противоположную сторону (которую, возможно, придется удлинить). На рисунке выше показана высота, соответствующая базовому CD.
    Площадь Площадь параллелограмма можно найти, умножив основание на соответствующую высоту.См. Также Площадь параллелограмма
    Периметр Расстояние вокруг параллелограмма. Сумма его сторон. См. Также Периметр параллелограмма
    Напротив
    сторон
    Противоположные стороны
    конгруэнтные (равные по длине) и
    параллельно.
    Изменяя форму параллелограмма вверху страницы, обратите внимание на то, что противоположные стороны всегда имеют одинаковую длину.
    Диагонали Каждая диагональ разрезает другую диагональ на две равные части, как показано на рисунке ниже.Видеть
    Диагонали параллелограмма для интерактивной демонстрации этого.
    Интерьер
    Уголки
    Противоположные углы равны, как видно ниже.
    Последовательные углы всегда являются дополнительными (добавить к 180 °)

    Подробнее об этих свойствах см.
    Внутренние углы параллелограмма.

    Параллелограмм вписанный в любой четырехугольник

    Если вы найдете
    средние точки
    каждой стороны любого
    четырехугольник
    затем свяжите их последовательно линиями, результат всегда будет
    параллелограмм.

    Сначала это может показаться нелогичным, но посмотрите
    Параллелограмм вписан в любой четырехугольник
    для оживленного исследования этого факта.

    Другие темы полигонов

    Общие

    Типы многоугольника

    Площадь различных типов полигонов

    Периметр различных типов полигонов

    Углы, связанные с многоугольниками

    Именованные многоугольники

    (C) Открытый справочник по математике, 2011 г.

    Все права защищены.

    1.2.2: Основания и высоты параллелограммов

    Давайте еще немного исследуем область параллелограммов.

    Упражнение \ (\ PageIndex {1} \): параллелограмм и его прямоугольники

    Елена и Тайлер находили площадь этого параллелограмма:

    Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)

    Переместите ползунок, чтобы увидеть, как Тайлер это сделал:

    Переместите ползунок, чтобы увидеть, как это сделала Елена:

    Как совпадают две стратегии определения площади параллелограмма? Чем они разные?

    Резюме

    • Мы можем выбрать любую из четырех сторон параллелограмма в качестве основания . И сторона (сегмент), и его длина (размер) называются основанием.
    • Если мы проведем любой перпендикулярный сегмент от точки на основании до противоположной стороны параллелограмма, этот сегмент всегда будет иметь одинаковую длину. Мы называем это значение высотой . Существует бесконечно много сегментов, которые могут представлять высоту!

    Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): 2 копии одного и того же параллелограмма. Слева база = 6 единиц. Соответствующая высота = 4 единицы. Справа база = 5 единиц.Соответствующая высота = 4,8 единицы. Для обоих показаны 3 разных сегмента, обозначающих высоту.

    Вот две копии одного и того же параллелограмма. Слева сторона, являющаяся основанием, имеет длину 6 единиц. Соответствующая высота — 4 единицы. Справа сторона, являющаяся основанием, имеет длину 5 единиц. Соответствующая высота составляет 4,8 единицы. Для обоих показаны три разных сегмента, обозначающих высоту. Мы могли бы привлечь гораздо больше!

    Независимо от того, какая сторона выбрана в качестве основания, площадь параллелограмма является произведением этого основания и соответствующей ему высоты. Мы можем это проверить:

    \ (4 \ times 6 = 24 \ qquad \ text {и} \ qquad 4.8 \ times 5 = 24 \)

    Мы можем понять, почему это так, разложив параллелограммы на прямоугольники.

    Рисунок \ (\ PageIndex {7} \)

    Обратите внимание, что длины сторон каждого прямоугольника являются основанием и высотой параллелограмма. Несмотря на то, что два прямоугольника имеют разные длины сторон, произведения длин сторон равны, поэтому они имеют одинаковую площадь! И оба прямоугольника имеют ту же площадь, что и параллелограмм.

    Мы часто используем буквы вместо цифр. Если \ (b \) — основание параллелограмма (в единицах), а \ (h \) — соответствующая высота (в единицах), то площадь параллелограмма (в квадратных единицах) является произведением этих двух чисел. \ (b \ cdot h \)

    Обратите внимание, что мы пишем символ умножения с маленькой точки вместо символа \ (\ times \). Это сделано для того, чтобы мы не запутались, означает ли \ (\ times \) умножение или буква \ (x \) заменяет число.

    В старшей школе вы сможете доказать, что отрезок перпендикуляра от точки на одной стороне параллелограмма до противоположной стороны всегда будет иметь одинаковую длину.

    Рисунок \ (\ PageIndex {8} \)

    . Легче всего это увидеть, если нарисовать параллелограмм на миллиметровой бумаге. А пока мы будем использовать это как факт.

    Глоссарий

    Определение: основание (параллелограмма или треугольника)

    В качестве основы фигуры мы можем выбрать любую сторону параллелограмма или треугольника.Иногда мы используем слово base для обозначения длины этой стороны.

    Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)

    Определение: высота (параллелограмма или треугольника)

    Высота — это кратчайшее расстояние от основания фигуры до противоположной стороны (для параллелограмма) или противоположной вершины (для треугольника).

    Мы можем показать высоту более чем в одном месте, но она всегда будет перпендикулярна выбранному основанию.

    Рисунок \ (\ PageIndex {10} \)

    Определение: параллелограмм

    Параллелограмм — это четырехугольник, у которого две пары параллельных сторон.

    Вот два примера параллелограммов.

    Рисунок \ (\ PageIndex {11} \): два параллелограмма с указанными углами и длинами сторон. Слева верхняя и нижняя стороны = 5 шт. Левая и правая стороны = 4,24 единицы. Верхний левый и нижний правый углы = 135 градусов. Правый верхний и левый нижний углы = 45 градусов. Справа верхняя и нижняя стороны = 9,34 единицы. Левая и правая стороны = 4 шт. Верхний левый и нижний правый углы = 27,2 градуса. Правый верхний и левый нижний углы = 152,8 градуса.

    Определение: Четырехугольник

    Четырехугольник — это тип многоугольника с 4 сторонами. Прямоугольник — это пример четырехугольника. Пятиугольник — это не четырехугольник, потому что у него 5 сторон.

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.