Как найти корень: «Как найти корень числа?» – Яндекс.Кью

Содержание

Что значит корень числа. Как найти квадратный корень числа вручную

Что такое квадратный корень?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Это понятие очень простое. Естественное, я бы сказал. Математики на каждое действие стараются найти противодействие. Есть сложение — есть и вычитание. Есть умножение — есть и деление. Есть возведение в квадрат… Значит есть и извлечение квадратного корня!
Вот и всё. Это действие (извлечение квадратного корня
) в математике обозначается вот таким значком:

Сам значок называется красивым словом «радикал
«.

Как извлечь корень?
Это лучше рассмотреть на примерах
.

Сколько будет квадратный корень из 9? А какое число в квадрате даст нам 9? 3 в квадрате даст нам 9! Т.е:

А вот сколько будет квадратный корень из нуля? Не вопрос! Какое число в квадрате ноль даёт? Да сам же ноль и даёт! Значит:

Уловили, что такое квадратный корень?
Тогда считаем примеры
:

Ответы (в беспорядке): 6; 1; 4; 9; 5.

Решили? Действительно, уж куда проще-то?!

Но… Что делает человек, когда видит какое-нибудь задание с корнями?

Тосковать начинает человек… Не верит он в простоту и лёгкость корней. Хотя, вроде, и знает, что такое квадратный корень

Всё потому, что человек проигнорировал несколько важных пунктиков при изучении корней. Потом эти пунктики жестоко мстят на контрольных и экзаменах…

Пунктик первый. Корни надо узнавать в лицо!

Сколько будет корень квадратный из 49? Семь? Верно! А как вы узнали, что семь? Возвели семёрку в квадрат и получили 49? Правильно! Обратите внимание, чтобы извлечь корень
из 49 нам пришлось проделать обратную операцию — возвести 7 в квадрат! И убедиться, что мы не промахнулись. А могли и промахнуться…

В этом и есть сложность извлечения корней
. Возвести в квадрат
можно любое число без особых проблем. Умножить число само на себя столбиком — да и все дела. А вот для извлечения корня
такой простой и безотказной технологии нет. Приходится подбирать
ответ и проверять его на попадание возведением в квадрат.

Этот сложный творческий процесс — подбор ответа — сильно упрощается, если вы помните
квадраты популярных чисел. Как таблицу умножения. Если, скажем, надо умножить 4 на 6 — вы же не складываете четверку 6 раз? Сразу выплывает ответ 24. Хотя, не у всех он выплывает, да…

Для свободной и успешной работы с корнями достаточно знать квадраты чисел от 1 до 20. Причём туда
и обратно.
Т.е. вы должны легко называть как, скажем, 11 в квадрате, так и корень квадратный из 121. Чтобы добиться такого запоминания, есть два пути. Первый — выучить таблицу квадратов. Это здорово поможет решать примеры. Второй — решать побольше примеров. Это здорово поможет запомнить таблицу квадратов.

И никаких калькуляторов! Только для проверки. Иначе на экзамене будете тормозить нещадно…

Итак, что такое квадратный корень
и как извлекать корни
— думаю, понятно. Теперь выясним ИЗ ЧЕГО можно их извлекать.

Пунктик второй. Корень, я тебя не знаю!

Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя
их извлекать.

Попробуем вычислить вот такой корень:

Для этого нужно подобрать число, которое в квадрате даст нам -4. Подбираем.

Что, не подбирается? 2 2 даёт +4. (-2) 2 даёт опять +4! Вот-вот… Нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дадут нам отрицательное число! Хотя я такие числа знаю. Но вам не скажу). Поступите в институт — сами узнаете.

Такая же история будет с любым отрицательным числом. Отсюда вывод:

Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число — не имеет смысла
! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль. Запомните этот факт железно!
Или, другими словами:

Квадратные корни из отрицательных чисел извлечь нельзя!

Зато из всех остальных — можно. Например, вполне можно вычислить

На первый взгляд это очень сложно. Подбирать дроби, да в квадрат возводить… Не волнуйтесь. Когда разберёмся со свойствами корней, такие примеры будут сводиться к всё той же таблице квадратов. Жизнь станет проще!

Ну ладно дроби. Но нам ведь ещё попадаются выражения типа:

Ничего страшного. Всё то же самое. Корень квадратный из двух — это число, которое при возведении в квадрат даст нам двойку. Только число это совсем неровное… Вот оно:

Что интересно, эта дробь не кончается никогда… Такие числа называются иррациональными. В квадратных корнях это — самое обычное дело. Кстати, именно поэтому выражения с корнями называют иррациональными
. Понятно, что писать всё время такую бесконечную дробь неудобно. Поэтому вместо бесконечной дроби так и оставляют:

Если при решении примера у вас получилось что-то неизвлекаемое, типа:

то так и оставляем. Это и будет ответ.

Нужно чётко понимать, что под значками

Конечно, если корень из числа извлекается ровно
, вы обязаны это сделать. Ответ задания в виде, например

вполне себе полноценный ответ.

И, конечно, надо знать на память приблизительные значения:

Это знание здорово помогает оценить ситуацию в сложных заданиях.

Пунктик третий. Самый хитрый.

Основную путаницу в работу с корнями вносит как раз этот пунктик. Именно он придаёт неуверенность в собственных силах… Разберёмся с этим пунктиком как следует!

Для начала опять извлечём квадратный корень их четырёх. Что, уже достал я вас с этим корнем?) Ничего, сейчас интересно будет!

Какое число даст в квадрате 4? Ну два, два — слышу недовольные ответы…

Верно. Два. Но ведь и минус два
даст в квадрате 4… А между тем, ответ

правильный, а ответ

грубейшая ошибка. Вот так.

Так в чём же дело?

Действительно, (-2) 2 = 4. И под определение корня квадратного из четырёх минус два
вполне подходит… Это тоже корень квадратный из четырёх.

Но! В школьном курсе математики принято считать за квадратные корни только неотрицательные числа!
Т.е ноль и все положительные. Даже термин специальный придуман:
из числа а
— это неотрицательное
число, квадрат которого равен а
. Отрицательные результаты при извлечении арифметического квадратного корня попросту отбрасываются. В школе все квадратные корни — арифметические
. Хотя особо об этом не упоминается.

Ну ладно, это понятно. Это даже и лучше — не возиться с отрицательными результатами… Это ещё не путаница.

Путаница начинается при решении квадратных уравнений. Например, надо решить вот такое уравнение.

Уравнение простое, пишем ответ (как учили):

Такой ответ (совершенно правильный, кстати) — это просто сокращённая запись двух
ответов:

Стоп-стоп! Чуть выше я написал, что квадратный корень — число всегда
неотрицательное! А здесь один из ответов — отрицательный
! Непорядок. Это первая (но не последняя) проблемка, которая вызывает недоверие к корням… Решим эту проблемку. Запишем ответы (чисто для понимания!) вот так:

Скобки сути ответа не меняют. Просто я отделил скобками знаки
от корня
. Теперь наглядно видно, что сам корень (в скобках) — число всё равно неотрицательное! А знаки — это результат решения уравнения
. Ведь при решении любого уравнения мы должны записать все
иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше уравнение подходит корень из пяти (положительный!) как с плюсом, так и с минусом.

Вот так. Если вы просто извлекаете квадратный корень
из чего-либо, вы всегда
получаете один неотрицательный
результат. Например:

Потому, что это — арифметический квадратный корень
.

Но если вы решаете какое-нибудь квадратное уравнение, типа:

то всегда
получается два
ответа (с плюсом и минусом):

Потому, что это — решение уравнения.

Надеюсь, что такое квадратный корень
со своими пунктиками вы уяснили. Теперь осталось узнать, что можно делать с корнями, каковы их свойства. И какие там пунктики и подводные кор… извините, камни!)

Всё это — в следующих уроках.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Рациональные числа

Неотрицательный квадратный корень из положительного числа называется арифметическим квадратным корнем
и обозначается с использованием знака радикала .

Комплексные числа

Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только
знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из
комплексного числа часто обозначают как , однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно
использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

,
,

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k
может принимать значения k=0 и k=1, таким образом в итоге в ответе
получаются два различных результата.

Обобщения

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида и для других объектов: матриц , функций , операторов и т. п. В качестве операции при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция .

Квадратный корень в информатике

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt
(от англ. square root

«квадратный корень»).

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением
(квадратного) корня.

Разложение в ряд Тейлора

при .

Арифметическое извлечение квадратного корня

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

То есть, узнать целую часть
квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по
порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или
равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:

Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень
не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не
точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим
простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного
корня.

Грубая оценка

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S

требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком
далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому
полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко
вычисляется. Если S
≥ 1, пусть D
будет числом цифр S
слева от десятичной запятой. Если S
D
будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если D
нечётно, D
= 2n
+ 1, тогда используем Если D
чётно, D
= 2n
+ 2, тогда используем

Два и шесть используются потому, что и

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку (здесь D
это число двоичных цифр).

Геометрическое извлечение квадратного корня

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком .
Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем
постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из
числа
с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками
разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной
точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть
дополняется слева, дробная справа. Так 31234.567 можно представить, как
03 12 34 . 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами
по 2 цифры.

Наглядное описание алгоритма:

Математика зародилась тогда, когда человек осознал себя и стал позиционироваться как автономная единица мира. Желание измерить, сравнить, посчитать то, что тебя окружает, — вот что лежало в основе одной из фундаментальных наук наших дней. Сначала это были частички элементарной математики, что позволили связать числа с их физическими выражениями, позже выводы стали излагаться лишь теоретически (в силу своей абстрактности), ну а через некоторое время, как выразился один ученый, «математика достигла потолка сложности, когда из нее исчезли все числа». Понятие «квадратный корень» появилось еще в то время, когда его можно было без проблем подкрепить эмпирическими данными, выходя за плоскость вычислений.

С чего все начиналось

Первое упоминание корня, который на данный момент обозначается как √, было зафиксировано в трудах вавилонских математиков, положивших начало современной арифметике. Конечно, на нынешнюю форму они походили мало — ученые тех лет сначала пользовались громоздкими табличками. Но во втором тысячелетии до н. э. ими была выведена приближенная формула вычислений, которая показывала, как извлечь квадратный корень. На фото ниже изображен камень, на котором вавилонские ученые высекли процесс вывода √2 , причем он оказался настолько верным, что расхождение в ответе нашли лишь в десятом знаке после запятой.

Помимо этого, корень применялся, если нужно было найти сторону треугольника, при условии, что две другие известны. Ну и при решении квадратных уравнений от извлечения корня никуда не деться.

Наравне с вавилонскими работами объект статьи изучался и в китайской работе «Математика в девяти книгах», а древние греки пришли к выводу, что любое число, из которого не извлекается корень без остатка, дает иррациональный результат.

Происхождение данного термина связывают с арабским представлением числа: древние ученые полагали, что квадрат произвольного числа произрастает из корня, подобно растению. На латыни это слово звучит как radix (можно проследить закономерность — все, что имеет под собой «корневую» смысловую нагрузку, созвучно, будь то редис или радикулит).

Ученые последующих поколений подхватили эту мысль, обозначая его как Rx. Например, в XV веке, дабы указать, что извлекается корень квадратный из произвольного числа a, писали R 2 a. Привычная современному взгляду «галочка» √ появилась лишь в XVII веке благодаря Рене Декарту.

Наши дни

С точки зрения математики, квадратный корень из числа y — это такое число z, квадрат которого равен y. Иными словами, z 2 =y равносильно √y=z. Однако данное определение актуально лишь для арифметического корня, так как оно подразумевает неотрицательное значение выражения. Иными словами, √y=z, где z больше либо равно 0.

В общем случае, что действует для определения алгебраического корня, значение выражения может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, в силу того, что z 2 =y и (-z) 2 =y, имеем: √y=±z или √y=|z|.

Благодаря тому, что любовь к математике с развитием науки лишь возросла, существуют разнообразные проявления привязанности к ней, не выраженные в сухих вычислениях. Например, наравне с такими занятными явлениями, как день числа Пи, отмечаются и праздники корня квадратного. Отмечаются они девять раз в сто лет, и определяются по следующему принципу: числа, которые обозначают по порядку день и месяц, должна быть корнем квадратным из года. Так, в следующий раз предстоит отмечать сей праздник 4 апреля 2016 года.

Свойства квадратного корня на поле R

Практически все математические выражения имеют под собой геометрическую основу, не миновала эта участь и √y, который определяется как сторона квадрата с площадью y.

Как найти корень числа?

Алгоритмов вычисления существует несколько. Наиболее простым, но при этом достаточно громоздким, является обычный арифметический подсчет, который заключается в следующем:

1) из числа, корень которого нам нужен, по очереди вычитаются нечетные числа — до тех пор, пока остаток на выходе не получится меньше вычитаемого или вообще будет равен нулю. Количество ходов и станет в итоге искомым числом. Например, вычисление квадратного корня из 25:

Следующее нечетное число — это 11, остаток у нас следующий: 1

Для таких случаев существует разложение в ряд Тейлора:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , где n принимает значения от 0 до

+∞, а |y|≤1.

Графическое изображение функции z=√y

Рассмотрим элементарную функцию z=√y на поле вещественных чисел R, где y больше либо равен нулю. График ее выглядит следующим образом:

Кривая растет из начала координат и обязательно пересекает точку (1; 1).

Свойства функции z=√y на поле действительных чисел R

1. Область определения рассматриваемой функции — промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль включен).

2. Область значений рассматриваемой функции — промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль опять же включен).

3. Минимальное значение (0) функция принимает лишь в точке (0; 0). Максимальное значение отсутствует.

4. Функция z=√y ни четная, ни нечетная.

5. Функция z=√y не является периодической.

6. Точка пересечения графика функции z=√y с осями координат лишь одна: (0; 0).

7. Точка пересечения графика функции z=√y также является и нулем этой функции.

8. Функция z=√y непрерывно растет.

9. Функция z=√y принимает лишь положительные значения, следовательно, график ее занимает первый координатный угол.

Варианты изображения функции z=√y

В математике для облегчения вычислений сложных выражений порой используют степенную форму написания корня квадратного: √y=y 1/2 . Такой вариант удобен, например, в возведении функции в степень: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Этот метод является удачным представлением и при дифференцировании с интегрированием, так как благодаря ему корень квадратный представляется обычной степенной функцией.

А в программировании заменой символа √ является комбинация букв sqrt.

Стоит отметить, что в данной области квадратный корень очень востребован, так как входит в состав большинства геометрических формул, необходимых для вычислений. Сам алгоритм подсчета достаточно сложен и строится на рекурсии (функции, что вызывает сама себя).

Корень квадратный в комплексном поле С

По большому счету именно предмет данной статьи стимулировал открытие поля комплексных чисел C, так как математикам не давал покоя вопрос получения корня четной степени из отрицательного числа. Так появилась мнимая единица i, которая характеризуется очень интересным свойством: ее квадратом есть -1. Благодаря этому квадратные уравнения и при отрицательном дискриминанте получили решение. В С для корня квадратного актуальны те же свойства, что и в R, единственное, сняты ограничения с подкоренного выражения.

Площадь квадратного участка земли равна 81 дм². Найти его сторону. Предположим, что длина стороны квадрата равна х
дециметрам. Тогда площадь участка равна х
² квадратным дециметрам. Так как по условию эта площадь равна 81 дм², то х
² = 81. Длина стороны квадрата — положительное число. Положительным числом, квадрат которого равен 81, является число 9. При решении задачи требовалось найти число х, квадрат которого равен 81, т. е. решить уравнение х
² = 81. Это уравнение имеет два корня: x
1 = 9 и x
2 = — 9, так как 9² = 81 и (- 9)² = 81. Оба числа 9 и — 9 называют квадратными корнями из числа 81.

Заметим, что один из квадратных корней х
= 9 является положительным числом. Его называют арифметическим квадратным корнем из числа 81 и обозначают √81, таким образом √81 = 9.

Арифметическим квадратным корнем из числа а
называется неотрицательное число, квадрат которого равен а
.

Например, числа 6 и — 6 являются квадратными корнями из числа 36. При этом число 6 является арифметическим квадратным корнем из 36, так как 6 — неотрицательное число и 6² = 36. Число — 6 не является арифметическим корнем.

Арифметический квадратный корень из числа а
обозначается так: √а.

Знак называется знаком арифметического квадратного корня; а
— называется подкоренным выражением. Выражение √а
читается
так: арифметический квадратный корень из числа а.
Например, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. В тех случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне, кратко говорят: «корень квадратный из а
«.

Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня. Это действие является обратным к возведению в квадрат.

Возводить в квадрат можно любые числа, но извлекать квадратные корни можно не из любого числа. Например, нельзя извлечь квадратный корень из числа — 4. Если бы такой корень существовал, то, обозначив его буквой х
, мы получили бы неверное равенство х² = — 4, так как слева стоит неотрицательное число, а справа отрицательное.

Выражение √а
имеет смысл только при а ≥
0. Определение квадратного корня можно кратко записать так: √а ≥
0, (√а
)² = а
. Равенство (√а
)² = а
справедливо при а ≥
0. Таким образом, чтобы убедиться в том, что квадратный корень из неотрицательного числа а
равен b
, т. е. в том, что √а
=b
, нужно проверить, что выполняются следующие два условия: b ≥
0, b
² = а.

Квадратный корень из дроби

Вычислим . Заметим, что √25 = 5, √36 = 6, и проверим выполняется ли равенство .

Так как и , то равенство верно. Итак, .

Теорема:
Если а
≥ 0 и b
> 0, то т. е. корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя. Требуется доказать, что: и .

Так как √а
≥0 и √b
> 0, то .

По свойству возведения дроби в степень и определению квадратного корня теорема доказана. Рассмотрим несколько примеров.

Вычислить , по доказанной теореме .

Второй пример: Доказать, что , если а
≤ 0, b
.

Еще примерчик: Вычислить .

.

Преобразование квадратных корней

Вынесение множителя из-под знака корня. Пусть дано выражение . Если а
≥ 0 и b
≥ 0, то по теореме о корне из произведения можно записать:

Такое преобразование называется вынесение множителя из под знака корня. Рассмотрим пример;

Вычислить при х
= 2. Непосредственная подстановка х
= 2 в подкоренное выражение приводит к сложным вычислениям. Эти вычисления можно упростить, если вначале вынести из-под знака корня множители: . Подставив теперь х = 2, получим:.

Итак, при вынесении множителя из-под знака корня представляют подкоренное выражение в виде произведения, в котором один или несколько множителей являются квадратами неотрицательных чисел. Затем применяют теорему о корне из произведения и извлекают корень из каждого множителя. Рассмотрим пример: Упростить выражение А = √8 + √18 — 4√2 вынося в первых двух слагаемых множители из-под знака корня, получим:. Подчеркнем, что равенство справедливо только при а
≥ 0 и b
≥ 0. если же а

Ученики всегда спрашивают: «Почему нельзя пользоваться калькулятором на экзамене по математике? Как извлечь корень квадратный из числа без калькулятора?» Попробуем ответить на этот вопрос.

Как же извлечь корень квадратный из числа без помощи калькулятора?

Действие извлечения корня квадратного
обратно действию возведения в квадрат.

√81= 9 9 2 =81

Если из положительного числа извлечь корень квадратный и результат возвести в квадрат, получим то же число.

Из небольших чисел, являющихся точными квадратами натуральных чисел, например 1, 4, 9, 16, 25, …,100 квадратные корни можно извлечь устно. Обычно в школе учат таблицу квадратов натуральных чисел до двадцати. Зная эту таблицу легко извлечь корни квадратные из чисел 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Из чисел больших 400 можно извлекать методом подбора используя, некоторые подсказки. Давайте попробуем на примере рассмотреть этот метод.

Пример:
Извлечь корень из числа 676
.

Замечаем, что 20 2 = 400, а 30 2 = 900, значит 20

Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Цифру 6 дают 4 2 и 6 2 .
Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26.

Осталось проверить: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Ответ: √676 = 26
.

Еще пример:
√6889
.

Так как 80 2 = 6400, а 90 2 = 8100, то 80 Цифру 9 дают 3 2 и 7 2 , то √6889 равен либо 83, либо 87.

Проверяем: 83 2 = 6889.

Ответ: √6889 = 83
.

Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.

Например, найти √893025
.

Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.

Получаем: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Еще пример: √20736
. Разложим число 20736 на множители:

Получаем √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Конечно, разложение на множители требует знания признаков делимости и навыков разложения на множители.

И, наконец, есть же правило извлечение корней квадратных
. Давайте познакомимся с этим правилом на примерах.

Вычислите √279841
.

Чтобы извлечь корень из многоцифрового целого числа, разбиваем его справа налево на грани, содержащие по 2 цифры (в левой крайней грани может оказаться и одна цифра). Записываем так 27’98’41

Чтобы получить первую цифру корня (5), извлекаем квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани (27).
Потом вычитают из первой грани квадрат первой цифры корня (25) и к разности приписывают (сносят) следующую грань (98).
Слева от полученного числа 298 пишут удвоенную цифру корня (10), делят на нее число всех десятков раннее полученного числа (29/2 ≈ 2), испытывают частное (102 ∙2 = 204 должно быть не больше 298) и записывают (2) после первой цифры корня.
Потом вычитают от 298 полученное частное 204 и к разности (94) приписывают (сносят) следующую грань (41).
Слева от полученного числа 9441 пишут удвоенное произведение цифр корня (52 ∙2 = 104), делят на это произведение число всех десятков числа 9441 (944/104 ≈ 9), испытывают частное (1049 ∙9 = 9441) должно быть 9441 и записывают его (9) после второй цифры корня.

Получили ответ √279841 = 529.

Аналогично извлекают корни из десятичных дробей
. Только подкоренное число надо разбивать на грани так, чтобы запятая была между гранями.

Пример
. Найдите значение √0,00956484.

Только надо помнить, что если десятичная дробь имеет нечетное число десятичных знаков, из нее точно квадратный корень не извлекается
.

Итак, теперь вы познакомились с тремя способами извлечения корня. Выбирайте тот, который вам больше подходит и практикуйтесь. Чтобы научиться решать задачи, их надо решать. А если у Вас возникнут вопросы, записывайтесь на мои уроки .

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Квадратный корень из 3;2;5 — Квадратный Корень

Квадратный корень из числа 3 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 3.

Его приблизительным значением с 69 цифрами после запятой является:

Округленное значение 1.732 является правильным с точностью до 0,01 %. Приблизительной правильной дробью является (1,7321 42857…).

Квадратный корень из 3 является иррациональным числом. Также известен как Феодоровская постоянная, названная в честь Феодора Киренского.

Может быть выражен в виде непрерывной дроби [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, …].

Геометрия

Квадратный корень из 3 равен длине между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.

Если равносторонний треугольник со сторонами длиной 1 делится на две
равные половины, пересечением внутреннего угла для составления прямого
угла с одной стороной, то получившийся прямоугольный треугольник имеет
гипотенузу со стороной 1 и катеты длиной 1/2 и Поэтому тангенс 60° равен

Так же, это расстояние между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.

является длиной диагонали куба со стороной 1.

Использование в других областях

Энергетика

При трехфазной системе токов модуль напряжения между двумя фазами (линейное напряжение) в больше модуля фазного напряжения

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: Приведём значение корня из 2 с 65 знаками после запятой:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к является дробь .
Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные
целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

История

Вавилонская глиняная табличка с примечаниями.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт приближённое значение в четырёх шестидесятеричных цифрах, что составляет 8 десятичных цифр:

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

Пифагорейцы
обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на
современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным.
Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого
выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта.

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного
корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное
значение в виде обыкновенной или десятичной дроби.
Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих
компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных
корней. Он состоит в следующем:

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем
лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение
приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько
первых приближений:

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416…
  • 577/408 = 1.414215…
  • 665857/470832 = 1.4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада
вычислил значение √2 до 137,438,953,444 десятичных знаков после
запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200
миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14
часов, используя процессор 3.6 GHz с 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только было вычислено более точно.

Свойства квадратного корня из двух

Половина √2 приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

Одно из интересных свойств √2 состоит в следующем:

.Потому что

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство √2:

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

и

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения :

С точки зрения высшей алгебры, является корнем многочлена и поэтому является целым алгебраическим числом. Множество чисел вида , где — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пусть , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

Подходящие дроби
данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к
точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если
обозначить предыдущую подходящую дробь , то последующая имеет вид . Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

Квадратный корень из двух является пропорцией формата бумаги ISO 216.
Соотношение сторон таково, что при разрезании листа пополам параллельно
его короткой стороне получатся два листа той же пропорции.

Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 5. Это иррациональное и алгебраическое число.[1]

Его приблизительное значение с 59 цифрами после запятой является:

Округлённое значение 2.236 является правильным с точностью до 0,01 %.
Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков.[2]

Может быть выражено в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, …], последовательно это дроби:

Вавилонский метод

Вычисление корня из 5, начиная с r0 = 2, где rn+1 = (rn + 5/rn) / 2:

Золотое сечение

√5/2 — диагональ половины квадрата, представляет собой геометрическое представление о золотом сечении.

Золотое сечение φ — среднее арифметическое 1 и корня из 5.[3]

() алгебраически можно выразить так:

Числа Фибоначчи могут быть выражены через корень из 5 так:

Отношение √5 к φ и наоборот дают интересные зависимости непрерывных дробей с числами Фибоначчи и числами Люка:[4]

Алгебра

Кольцо содержит числа вида , где a и b целые числа и мнимое число . Это кольцо является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом.

Число 6 представляется в данном кольце двумя способами:

Поле  — абелево расширение рациональных чисел.

Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы:

Тождества Рамануджана

Корень из 5 появляется во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями.[5][6]

Например, случай непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана:

Mathway | Популярные задачи




1 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 50
2 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 45
3 Вычислить 5+5
4 Вычислить 7*7
5 Разложить на простые множители 24
6 Преобразовать в смешанную дробь 52/6
7 Преобразовать в смешанную дробь 93/8
8 Преобразовать в смешанную дробь 34/5
9 График y=x+1
10 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 128
11 Найти площадь поверхности сфера (3)
12 Вычислить 54-6÷2+6
13 График y=-2x
14 Вычислить 8*8
15 Преобразовать в десятичную форму 5/9
16 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 180
17 График y=2
18 Преобразовать в смешанную дробь 7/8
19 Вычислить 9*9
20 Risolvere per C C=5/9*(F-32)
21 Упростить 1/3+1 1/12
22 График y=x+4
23 График y=-3
24 График x+y=3
25 График x=5
26 Вычислить 6*6
27 Вычислить 2*2
28 Вычислить 4*4
29 Вычислить 1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
30 Вычислить 1/3+13/12
31 Вычислить 5*5
32 Risolvere per d 2d=5v(o)-vr
33 Преобразовать в смешанную дробь 3/7
34 График y=-2
35 Определить наклон y=6
36 Перевести в процентное соотношение 9
37 График y=2x+2
38 График y=2x-4
39 График x=-3
40 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+5x+6=0
41 Преобразовать в смешанную дробь 1/6
42 Преобразовать в десятичную форму 9%
43 Risolvere per n 12n-24=14n+28
44 Вычислить 16*4
45 Упростить кубический корень 125
46 Преобразовать в упрощенную дробь 43%
47 График x=1
48 График y=6
49 График y=-7
50 График y=4x+2
51 Определить наклон y=7
52 График y=3x+4
53 График y=x+5
54 График 3x+2y=6
55 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-5x+6=0
56 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-6x+5=0
57 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-9=0
58 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 192
59 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 25/36
60 Разложить на простые множители 14
61 Преобразовать в смешанную дробь 7/10
62 Risolvere per a (-5a)/2=75
63 Упростить x
64 Вычислить 6*4
65 Вычислить 6+6
66 Вычислить -3-5
67 Вычислить -2-2
68 Упростить квадратный корень 1
69 Упростить квадратный корень 4
70 Найти обратную величину 1/3
71 Преобразовать в смешанную дробь 11/20
72 Преобразовать в смешанную дробь 7/9
73 Найти НОК 11 , 13 , 5 , 15 , 14 , , , ,
74 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-3x-10=0
75 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+2x-8=0
76 График 3x+4y=12
77 График 3x-2y=6
78 График y=-x-2
79 График y=3x+7
80 Определить, является ли полиномом 2x+2
81 График y=2x-6
82 График y=2x-7
83 График y=2x-2
84 График y=-2x+1
85 График y=-3x+4
86 График y=-3x+2
87 График y=x-4
88 Вычислить (4/3)÷(7/2)
89 График 2x-3y=6
90 График x+2y=4
91 График x=7
92 График x-y=5
93 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+3x-10=0
94 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-2x-3=0
95 Найти площадь поверхности конус (12)(9)
96 Преобразовать в смешанную дробь 3/10
97 Преобразовать в смешанную дробь 7/20
98 Преобразовать в смешанную дробь 2/8
99 Risolvere per w V=lwh
100 Упростить 6/(5m)+3/(7m^2)

Сколько квадратный корень из 100


На нашем сайте мы разберемся, сколько получится, если извлечь квадратный корень из цифры 100. Выясним сколько будет квадратный корень из 100, потому как над таким вопросом многие годы ломали головы более 1 тысячи специалистов и многие пришли к такому возможному решению, что невозможно получить квадратный корень из 100. В подобном случае, будет очень важно знать верный вопрос, который касается особенностей получения квадратного корня из 100. Будем максимально точны, тогда мы начнем расчет арифметического корня из 100, потому как в обычном квадратном корне из этой цифры — получится два числа, одними из них являются: 10: -10.

Многие люди задают вопрос, квадратный корень из 100 как высчитать? Чтобы в этом разобраться, потребуется посчитать сумму необходимых нам чисел простым математическим способом при помощи применения вертикальной, стандартной чертой, корни и числа, которые нужно записывать справа вниз. Здесь мы сможем высчитать необходимый квадрат единиц определенного корня, а также умножать 10-ки и вычислять увеличенное на 2, а не утроенное число определенного десятка. Определенные цифры, чтобы ответить на вопрос — корень из 100 чему равен, нам потребуется возвестить в квадрат. У нас в таком случае получится двузначная цифра, когда вышло 10. Следовательно, в таком случае расчет мы выполнили верно.

Необходимо помнить очень важное правило: чтобы узнать сколько будет квадратный корень из 100, первым делом вычисляем извлекаемый любой корень и числа его всех сумм, а также сотен. Когда полученная цифра больше или же равняется 100, теперь требуется найти корень и 100-тен фактических чисел этих 100-тен. После этого из десятков тысяч (то есть фактического значения числа). Это правило будет очень актуально, когда число гораздо превышает 100, после этого нужно будет вычислить квадратный корень из сотен десятков тысяч. То есть, если быть более точными — это будет из миллиона определенного числа. Существует большое количество разнообразных правил, которые непосредственно касаются данного вопроса. Если заниматься прогрессом вычисления, тогда следует обратить повышенное внимание на такой важный факт, что в корне такое же количество цифр, сколько под завершающим количеством граней.

Каким образом вычислить корень определенного числа

Цель нахождения определенного корня состоит в том, что необходимо выполнить обратное действие возведения определенного числа в степень. Следует помнить, что корни могут значительно отличаться: корни II, III, а также IV-степени. Этот момент имеет очень важное значение и его следует понимать. Корень имеет определенный символ: √ – это корень из II-степени. Следует отметить такой момент, что, когда степень по значения выше, чем II-степень, тогда над ним необходимо будет прописать знак степени. Цифра, которая располагается под знаком корня – это называется подкоренное выражение. Выполняя процедуру поиска корня, нам потребуется знать несколько важных правил, которые касаются данного вопроса. Они окажут необходимую помощь и помогут не допустить ошибки выполняя расчеты:

Корень определенной четной степени (когда сама степень 2, 6, 8 и так дальше) из отрицательной цифры не существует. В возможных случаях, когда определенное выражение (подкоренное) является отрицательным, тогда поиск корня необходимо выполнять степени (нечетной) (к примеру: 3, 7 и так дальше). В итоге, результат, мы сможем получить отрицательный. Также, потребуется знать, что корень от 1 всегда будет выглядеть следующим образом: √1 = 1., а также: √0 = 0.




Как рассчитать корень из 100

Когда в поставленной задаче указано, какой степени корень нужно вычислить, тогда считают, что следует найти корень II-степени (то есть квадратный).

Ответим на такой вопрос: √100 = ? Потребуется найти цифру, при выполнении процедуры его возведения в II-степень, у нас будет 100. В таком случае становится понятно, что этим числом будет считаться цифра 10, потому как: 102 = 100. Поэтому, √100 = 10.

Рассчитаем представленное выражение. Чтобы достичь поставленной цели, требуется вынести имеющееся число из под корня. Это будет выглядеть следующим образом.

√100 = 100’1/2 = (10’2)’1/2 = 10′(2 * 1/2) = 10’2/2 = 10’1 = 10.

Также, это выглядит таким образом: √100 = √10’2 = 10.

В итоге у нас получится число 10. Теперь мы знаем, ответ на вопрос: квадратный корень из 100 сколько это будет?


Корень из числа: определения, примеры

Квадратный корень, арифметический квадратный корень


Чтобы понять определение корня из числа, и квадратного корня в частности, нужно иметь представление о степени с натуральным показателем. В этом пункте мы часто будем сталкиваться со второй степенью числа — квадратом числа.



Начнем с определения квадратного корня.



Определение


Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a.



Чтобы привести примеры квадратных корней, возьмем несколько чисел, например, 5, −0,3, 0,3, 0, и возведем их в квадрат, получим соответственно числа 25, 0,09, 0,09 и 0 (52=5·5=25, (−0,3)2=(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3)2=0,3·0,3=0,09 и 02=0·0=0). Тогда по данному выше определению число 5 является квадратным корнем из числа 25, числа −0,3 и 0,3 есть квадратные корни из 0,09, а 0 – это квадратный корень из нуля.



Следует отметить, что не для любого числа a существует действительное число, квадрат которого равен a. А именно, для любого отрицательного числа a не существует ни одного действительного числа b, квадрат которого равнялся бы a. В самом деле, равенство a=b2 невозможно для любого отрицательного a, так как b2 – неотрицательное число при любом b. Таким образом, на множестве действительных чисел не существует квадратного корня из отрицательного числа. Иными словами, на множестве действительных чисел квадратный корень из отрицательного числа не определяется и не имеет смысла.



Отсюда вытекает логичный вопрос: «А для любого ли неотрицательного a существует квадратный корень из a»? Ответ – да. Обоснованием этого факта можно считать конструктивный способ, используемый для нахождения значения квадратного корня.



Тогда встает следующий логичный вопрос: «Каково число всех квадратных корней из данного неотрицательного числа a – один, два, три, или еще больше»? Вот ответ на него: если a равно нулю, то единственным квадратным корнем из нуля является нуль; если же a – некоторое положительное число, то количество квадратных корней из числа a равно двум, причем корни являются противоположными числами. Обоснуем это.



Начнем со случая a=0. Сначала покажем, что нуль действительно является квадратным корнем из нуля. Это следует из очевидного равенства 02=0·0=0 и определения квадратного корня.



Теперь докажем, что 0 – единственный квадратный корень из нуля. Воспользуемся методом от противного. Предположим, что существует некоторое число b, отличное от нуля, которое является квадратным корнем из нуля. Тогда должно выполняться условие b2=0, что невозможно, так как при любом отличном от нуля b значение выражения b2 является положительным. Мы пришли к противоречию. Это доказывает, что 0 – единственный квадратный корень из нуля.



Переходим к случаям, когда a – положительное число. Выше мы сказали, что всегда существует квадратный корень из любого неотрицательного числа, пусть квадратным корнем из a является число b. Допустим, что существует число c, которое тоже является квадратным корнем из a. Тогда по определению квадратного корня справедливы равенства b2=a и c2=a, из них следует, что b2−c2=a−a=0, но так как b2−c2=(b−c)·(b+c), то (b−c)·(b+c)=0. Полученное равенство в силу свойств действий с действительными числами возможно лишь тогда, когда b−c=0 или b+c=0. Таким образом, числа b и c равны или противоположны.



Если же предположить, что существует число d, являющееся еще одним квадратным корнем из числа a, то рассуждениями, аналогичными уже приведенным, доказывается, что d равно числу b или числу c. Итак, число квадратных корней из положительного числа равно двум, причем квадратные корни являются противоположными числами.



Для удобства работы с квадратными корнями отрицательный корень «отделяется» от положительного. С этой целью вводится определение арифметического квадратного корня.



Определение


Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a – это неотрицательное число, квадрат которого равен a.



Для арифметического квадратного корня из числа a принято обозначение . Знак называется знаком арифметического квадратного корня. Его также называют знаком радикала. Поэтому можно часть слышать как «корень», так и «радикал», что означает один и тот же объект.



Число под знаком арифметического квадратного корня называют подкоренным числом, а выражение под знаком корня – подкоренным выражением, при этом термин «подкоренное число» часто заменяют на «подкоренное выражение». Например, в записи число 151 – это подкоренное число, а в записи выражение a является подкоренным выражением.



При чтении слово «арифметический» часто опускается, например, запись читают как «квадратный корень из семи целых двадцати девяти сотых». Слово «арифметический» произносят лишь тогда, когда хотят особо подчеркнуть, что речь идет именно о положительном квадратном корне из числа.



В свете введенного обозначения из определения арифметического квадратного корня следует, что и для любого неотрицательного числа a.



Квадратные корни из положительного числа a с помощью знака арифметического квадратного корня записываются как и . Например, квадратные корни из числа 13 есть и . Арифметический квадратный корень из нуля равен нулю, то есть, . Для отрицательных чисел a записи мы не будем придавать смысла вплоть до изучения комплексных чисел. Например, лишены смысла выражения и .



На базе определения квадратного корня доказываются свойства квадратных корней, которые часто применяются на практике.



Нахождение квадратных корней заслуживает детального изучения, этой теме посвящена отдельная статья извлечение квадратных корней.



В заключение этого пункта заметим, что квадратные корни из числа a являются решениями квадратного уравнения вида x2=a относительно переменной x.



К началу страницы

Как найти кубический корень в excel?

Как вычислить корень квадратный в Excel?

​Эльмира​ =СТЕПЕНЬ (В5;1/3) где​ выглядело в таблице.(0,5)». Результат​ В Excel в​ описания — так,​ ниже.​ данными

Запись производится​ адрес был внесен​ Один из них​: через яндекс нашла​ степени (либо другая​ использовать вкладку «Формат​ из цифры «25»,​ в «кубе», т.е.​ «СТЕПЕНЬ», которую вы​ это с помощью​

Использование математических свойств

​ пишется в скобках.​ возведенное в степень​Синтаксис функции: =КОРЕНЬ(число).​ этого действия будет​ качестве аргумента функции​ далеко не все​Число​ в любой области​ в поле. После​ подходит исключительно для​ онлайн калькулятор для​ необходимая Вам).​ ячеек». В нашем​ поэтому вводим его​ 2*2*2 = 8.​ можете активизировать для​ «Экселя»?​Выполнили ту же задачу,​ 1,3.​Единственный и обязательный аргумент​ аналогичен возведению в​

​ может использоваться как​ знают, как вычислить​    Обязательный. Число, для которого​ листа или в​ ввода данных жмем​ вычисления квадратного корня,​ вычесление корней любой​Либо вместо ячейки​ примере мы записали​ в строку. После​ Программа подсчитала все​ осуществления простых и​В этой статье мы​ но с использованием​Функция вернула число 100,​ представляет собой положительное​ степень с помощью​ явное числовое значение,​ корень квадратный в​ вычисляется квадратный корень.​ строке формул.​ на кнопку​ а второй можно​ степени​ с числом -​ цифру «3» в​ введения числа просто​ верно и выдала​ сложных математических расчетов.​ попробуем разобраться с​ функции СТЕПЕНЬ.​

​ возведенное к ¾.​ число, для которого​ функции, а также​ так и ссылка​ Excel.​Если аргумент «число» имеет​Не стоит думать, что​«OK»​ использовать для расчета​Ivantrs​ подставляется само число​

Примеры

​ ячейку «А1», которую​ нажимаем на кнопку​ вам результат.​Функция выглядит следующим образом:​ популярными вопросами пользователей​Извлекли корень девятой степени​Для возведения числа к​

​ функция вычисляет квадратный​ использованию функции «КОРЕНЬ».​ на ячейку, а​Перед началом изучения процесса,​ отрицательное значение, функция​ данный способ можно​.​ величины любой степени.​: да… только вот​ из которого извлекается​

​ нужно представить в​ «ОК». В ячейке​Если лишние клики вы​=СТЕПЕНЬ(число;степень)​ и дать инструкцию​ из значения ячейки​ степени в Excel,​ корень.».

Обратите внимание! Дробная степень пишется в скобках

Выполнили ту же задачу, но с использованием функции СТЕПЕНЬ.

Извлекли корень девятой степени из значения ячейки h2.

Извлекли корень пятой степени из суммы числа 9 и значения ячейки h2.

Те же математические операции можно выполнить с помощью функции СТЕПЕНЬ:

Таким образом, возвести в степень и извлечь корень n-й степени в Excel можно с помощью одной функции.

Наглядный пример вычисления кубического корня

Он нужен потому, что описание может показаться сложным. На рисунке ниже показано, как извлечь кубический корень из 15 с точностью до сотых.

Единственной сложностью, которую имеет этот метод, заключается в том, что с каждым шагом числа увеличиваются многократно и считать в столбик становится все сложнее.

  1. 15> 23, значит под целой частью записана 8, а над корнем 2.
  2. После вычитания из 15 восьми получается остаток 7. К нему нужно приписать три нуля.
  3. а = 2. Поэтому: 22 * 300 * х +2 * 30 * х2 + х32 + х3
  4. Методом подбора получается, что х = 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 = 5824.
  5. Вычитание дает 1176, а над корнем появилось число 4.
  6. Приписать к остатку три нуля.
  7. а = 24. Тогда 172800 х + 720 х2 + х3
  8. х = 6. Вычисление выражения дает результат 1062936. Остаток: 113064, над корнем 6.
  9. Снова приписать нули.
  10. а = 246. Неравенство получается таким: 18154800х + 7380х2 + х3
  11. х = 6. Расчеты дают число: 109194696, Остаток: 3869304. Над корнем 6.

Ответом получается число: 2, 466. Поскольку ответ должен быть дан до сотых, то его нужно округлить: 2,47.

Извлечение кубического корня на калькуляторе

Каждый человек хоть раз делал это для квадратного корня. А как быть если степень «3»?

На обычном калькуляторе имеется только кнопочка для квадратного, а кубического — нет. Здесь поможет простой перебор чисел, которые трижды умножаются на себя. Получилось подкоренное выражение? Значит, это ответ. Не получилось? Подбирать снова.

А что в инженерном виде калькулятора в компьютере? Ура, здесь есть кубический корень. Эту кнопочку можно просто нажать, и программа выдаст ответ. Но это не все. Здесь можно вычислить корень не только 2 и 3 степени, но и любой произвольной. Потому что есть кнопка у которой в степени корня стоит «у». То есть после нажатия этой клавиши потребуется ввести еще одно число, которое будет равно степени корня, а уже потом «=».

Возведение в степень и извлечение корня в Excel

​ КОРЕНЬ возвращает значение​ применять только для​В итоге в указанной​Для того, чтобы извлечь​ так:​ корень =СТЕПЕНЬ (8;1/3)​

Примеры функции КОРЕНЬ в Excel

​ -2 степени.​ будет отражена цифра,​ считаете сомнительным удовольствием,​ВНИМАНИЕ!​ по правильному использованию​

​ h2.​

​ можно воспользоваться математическим​ имеет отрицательное значение,​ нахождения корня с​ выражение, результатом которого​ квадратный в Excel,​ ошибки #ЧИСЛО!.». Для​ Excel вернет ошибку​ возведением в степень​

​ является число.​ стоит поближе ознакомиться​Скопируйте образец данных из​ из числа. Таким​

​ результат вычислений.​ функция, которая так​ 1 / 4​ здесь — число​Правой кнопкой мыши щелкаем​ математического вычисления корня.​

​ простой вариант.​ указываются без пробелов​ Excel позволяет выполнять​ из суммы числа​

Функция возведения в степень в Excel

​ #ЧИСЛО!.​ является более удобным.​

​Корень квадратный в Excel​ с тем, что​ следующей таблицы и​ же образом можно​Также функцию можно вызвать​

​ и называется КОРЕНЬ.​

​ )​ 8​ по ячейке с​

​ВНИМАНИЕ! Если нам нужно​Ввод функции вручную:​ и других знаков.​ ряд математических функций:​

​ 9 и значения​ Shift + 6​В качестве аргумента можно​ Причиной тому является​ можно вычислить и​ собой представляет эта​

​ вставьте их в​ рассчитать квадратный и​

Возведение к степени с помощью оператора

​ через вкладку​ Её синтаксис выглядит​возведение в степень​Kkh​ числом и выбираем​ узнать корень в​В строке формул ставим​Первая цифра – значение​

​ от самых простых​ ячейки h2.​ (с английской раскладкой​ указывать конкретное значение​ тот факт, что​ рядом других методов,​ математическая функция. По​ ячейку A1 нового​ любой другой корень.​

​«Формулы»​ следующим образом:​ имеет самый высокий​: Можно возвести в​

​ из выскакивающего меню​ степени в Excel​

​ знак «=» и​ «число». Это основание​ до сложнейших. Это​Те же математические операции​ клавиатуры).​

Извлечение корней n-й степени

​ либо ссылку на​ с помощью этих​ которые не требуют​ определению, квадратный корень​ листа Excel. Чтобы​ Но только в​

​.​=КОРЕНЬ(число)​ приоритет…​ степень 1/3​ вкладку «Формат ячеек».​

​ то мы не​ начинаем вводить название​ (т.е. цифра, которую​

​ универсальное программное обеспечение​ можно выполнить с​Чтобы Excel воспринимал вводимую​

​ ячейку с числовым​ операций можно получить​ глубоких познаний в​ из числа а​ отобразить результаты формул,​

​ этом случае придется​Выделяем ячейку для отображения​

​Для того, чтобы воспользоваться​если записать x​Strannik strano​

​ Если не получилось​ используем функцию =КОРЕНЬ().1/n​ во вкладку «Формулы».​ записать в ячейку​ 4 — то​ ли уже mathcad…​ «Формат ячеек» в​ математики:​ и система сама​

  • ​ введение любого вещественного​Перед поиском необходимой функции​ степень и извлечь​
  • ​ «=». Далее водится​Функция вернула квадратный корень​ специальных дополнительных вычислений.​ что такое корень,​ равен числу а.​
  • ​ а затем —​n – это степень​В блоке инструментов «Библиотека​

    exceltable.com>

    Извлечение корней 3-ей, 4-ой и других степеней.

    Отдельной функции для решения этого выражения в Excel нет. Для извлечения корня n-ой степени необходимо для начала рассмотреть его с математической точки зрения.

    Корень n-ой степени равен возведению числа в противоположную степень (1/n). То есть, квадратный корень соответствует числу в степени ½ (или 0.5).

    Например:

    • корень четвертой степени из 16 равен 16 в степень ¼;
    • кубический корень из 64 = 64 в степени 1/3;

    Выполнить данное действие в программе электронных таблиц можно двумя способами:

    1. С помощью функции.(1/3)» – извлечение кубического корня из суммы числа 30 и значения ячейки «B1».

    2. С наглядной пошаговой инструкцией вы можете ознакомиться по видео.

      Примеры использования функции КОРЕНЬ для математических расчетов в Excel

      Пример 1. С помощью секундомера и небольшого предмета (например, камня), можно определить высоту здания (отпустить камень в свободное падение и засечь на секундомере моменты между началом движения и соприкосновения с поверхностью земли). Однако, зная высоту, можно рассчитать время, которое потребуется предмету на свободное падение. Для этого можно использовать следующую формулу: t=√(2H/g).

      Где:

      • t – искомая величина времени падения;
      • H – высота, с которой предмет запущен в свободное падения;
      • g – ускорение свободного падения (пример равным 9,81).

      Рассчитаем, сколько будет падать предмет с высоты 200 м (сопротивлением воздуха пренебрежем).

      Внесем исходные данные в таблицу:

      Для расчета используем следующую формулу:

      =КОРЕНЬ(2*B2/B3)

      В качестве параметра функция принимает выражение 2*B2/B3, где:

      • B2 – ячейка с данными о высоте, с которой запущен предмет;
      • B3 – ячейка, содержащая данные об ускорении свободного падения.1/3​ пункт​ является довольно распространенным​Макс​ и удобно. С​ n-степень:​ Excel, воспользуемся несколько​

        ​В появившимся диалоговом окне​ степень, необходимо в​ ячейке становится слева.​​ корень n-й степени,​​ – показатель степени,​

        ​ 9:​ 1/2 или 0,5.​ открыв меню функций​

        1. ​ извлеките из него​ 1/2. Пользователь сам​То есть, формально это​«КОРЕНЬ»​​ математическим действием. Оно​​: оо и я​ ними вы экономите​

        2. ​Или через такую функцию:​ иным, но весьма​​ заполняем поля аргументами.​​ ячейке поставить знак​​Рядом с цифрой вводим​​ необходимо возвести число​

        3. ​ в которую нужно​Результатом выполнения этого действия​ Возвести любое число​ или же прописав​ квадратный корень.​ должен определить, какой​ даже не извлечение,​. Кликаем по кнопку​ применяется и для​ доволен.. спс​ время на осуществлении​ =СТЕПЕНЬ(32;1/5)​ удобным способом вызова​ К примеру, нам​​ «=» перед указанием​​ в ячейку значение​

        ​ в степень 1/n.».​ «Формат ячеек». Устанавливаем​Воспользуемся формулой для извлечения​ 10 в квадрат.​

        ​ числа в степень​ предусмотрен специальный символ,​ функций (знака равенства)​ непростые задачи. Ряд​ синтаксис формулы и​ кубическим, поэтому именно​ окна нужно ввести​ значение

        Давайте подробно​ fernisa, решил себе​ которую необходимо вставить​Часто вам важно, чтобы​ по инструменту «Математические».​ «2», а во​Мы возвели 8 в​ видоизменение «Надстрочный». И​ корней разных степеней​В качестве основания указана​ используются встроенные функции​ отвечающий за эту​ необходимо прописать ключевое​ простейших действий -​ использование функции​

        ​ такое действие в​

        lumpics.ru>

        Способы извлечения

        Существуют два основных способа расчета данного показателя. Один из них подходит исключительно для вычисления квадратного корня, а второй можно использовать для расчета величины любой степени.

        Способ 1: применение функции

        Для того, чтобы извлечь квадратный корень используется функция, которая так и называется КОРЕНЬ. Её синтаксис выглядит следующим образом:

        Для того, чтобы воспользоваться данным вариантом, достаточно записать в ячейку или в строку функций программы это выражение, заменив слово «число» на конкретную цифру или на адрес ячейки, где она расположена.

        Для выполнения расчета и вывода результата на экран жмем кнопку ENTER.

        Кроме того, можно применить данную формулу через мастер функций.

        1. Кликаем по ячейке на листе, куда будет выводиться результат вычислений. Переходим по кнопке «Вставить функцию», размещенную около строки функций.

        В открывшемся списке выбираем пункт «КОРЕНЬ». Кликаем по кнопку «OK».

        Открывается окно аргументов. В единственном поле данного окна нужно ввести либо конкретную величину, из которой будет происходить извлечение, либо координаты ячейки, где она расположена. Достаточно кликнуть по этой ячейке, чтобы её адрес был внесен в поле. После ввода данных жмем на кнопку «OK».

        В итоге в указанной ячейке будет отображаться результат вычислений.

        Также функцию можно вызвать через вкладку «Формулы».

        1. Выделяем ячейку для отображения результата расчета. Переходим во вкладку «Формулы».

        В блоке инструментов «Библиотека функций» на ленте кликаем по кнопке «Математические». В появившемся списке выбираем значение «КОРЕНЬ».

        Открывается окно аргументов. Все дальнейшие действия в точности такие же, как и при действии через кнопку «Вставить функцию».

        Способ 2: возведение в степень

        Рассчитать кубический корень использование указанного выше варианта не поможет. В этом случае величину нужно возвести в дробную степень. Общий вид формулы для расчета таков:

        То есть, формально это даже не извлечение, а возведение величины в степень 1/3. Но данная степень и является корнем кубическим, поэтому именно такое действие в Эксель используется для его получения. В эту формулу вместо конкретного числа также можно вписать координаты ячейки с числовыми данными. Запись производится в любой области листа или в строке формул.

        Не стоит думать, что данный способ можно применять только для извлечения кубического корня из числа. Таким же образом можно рассчитать квадратный и любой другой корень. Но только в этом случае придется использовать следующую формулу:

        n – это степень возведения.

        Таким образом, этот вариант является намного универсальнее, чем использование первого способа.

        Как видим, несмотря на то, что в Excel нет специализированной функции для извлечения кубического корня, данное вычисление можно провести, используя возведение в дробную степень, а именно — 1/3. Для извлечения квадратного корня можно воспользоваться специальной функцией, но существует также возможность сделать это путем возведения числа в степень. На этот раз нужно будет возвести в степень 1/2. Пользователь сам должен определить, какой способ вычислений для него удобнее.

        Опишите, что у вас не получилось.
        Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

        Извлечение кубического корня вручную

        Этот способ потребуется, когда калькулятора под рукой нет или воспользоваться им нельзя. Тогда для того чтобы вычислить кубический корень из числа, потребуется приложить усилия.

        Сначала посмотреть, а не получается ли полный куб от какого-нибудь целого значения. Может быть под корнем стоит 2, 3, 5 или 10 в третьей степени?

        В противном случае нужно будет считать столбиком. Алгоритм не самый простой. Но если немного попрактиковаться, то действия легко запомнятся. И вычислить кубический корень больше не будет проблемой.

        1. Мысленно разделить подкоренное выражение на группы по три цифры от десятичной запятой. Чаще всего нужна дробная часть. Если ее нет, то нули нужно дописать.
        2. Определить число, куб которого меньше целой части подкоренного выражения. Его записать в промежуточный ответ над знаком корня. А под этой группой расположить его куб.
        3. Выполнить вычитание.
        4. К остатку приписать первую группу цифр после запятой.(1/33), что соответствует ;
        5. нажатие «enter» приводит к выполнению расчета.

        Примечание: дробная степень записывается двумя способами:

        • отношение единицы к порядку радикала;
        • десятичное значение отношения единицы к величине порядка.

        Корень слова, что это такое?

        Корень сло­ва — это его глав­ная зна­чи­мая часть, в кото­рой заклю­че­но общее зна­че­ние всех одно­ко­рен­ных слов.

        Корень — главная морфема

        Как глав­ная мор­фе­ма, корень объ­еди­ня­ет сло­ва по общ­но­сти их зна­че­ния, например:

        водный — подводный — водяной — водник — подводник — водяни­стый.

        Все эти сло­ва обо­зна­ча­ют пред­ме­ты или при­зна­ки, име­ю­щие отно­ше­ния к вод­ной сти­хии, так как в их мор­фем­ном соста­ве про­сле­жи­ва­ет­ся один и тот же корень вод-.

        В сло­ве может быть один или два корня

        водный — водолаз — водосброс— водохранили­ще.

        Следует раз­ли­чать сло­ва с сов­па­да­ю­щи­ми по зву­ча­нию и напи­са­нию кор­ня­ми, но раз­ны­ми по значению:

        • гора — гористый — горный — горняк- горняц­кий;
        • угореть — загорать — перегореть — нагорать — пригореть.

        В мор­фем­ном соста­ве этих слов вычле­ним корень гор-, но это не один и тот же корень, а раз­ные мор­фе­мы, не сов­па­да­ю­щие по сво­е­му лек­си­че­ско­му значению.

        Корень в составе различных слов

        Слов, состо­я­щих из одно­го кор­ня и окон­ча­ния, в рус­ском язы­ке насчи­ты­ва­ет­ся немно­го, например:

        вода, село, поле, земля, небо, юный, белый, зелёный, первый, пятый, веду, несу, иду.

        Корни этих слов спо­соб­ны высту­пать без при­ста­вок и сло­во­об­ра­зо­ва­тель­ных суф­фик­сов, поэто­му их назы­ва­ют свободными.

        Большинство слов рус­ско­го язы­ка состо­ят из соче­та­ния раз­ных морфем:

        1. кор­ня, суф­фик­са, окончания

        • сельский
        •  домик   
        •  юность   
        • голосок

        2. при­став­ки, кор­ня , окончания

        • предобрый
        •  соавтор   
        • побежим

        3. при­став­ки, кор­ня, суф­фик­са, окончания

        • заплывать
        •  пришкольный
        •  украшение

        4. при­став­ки, кор­ня, суф­фик­са, суффикса

        • по—дружески
        • набросив
        • уплотнив

        и т. д.

        Некоторые кор­ни в сво­бод­ном виде не встре­ча­ют­ся. Они явля­ют­ся свя­зан­ны­ми с при­став­ка­ми, суф­фик­са­ми или с дру­ги­ми корнями:

        • -сяг- при­ся­га, досяг­нуть, посягать;
        • -у- разуть, обуть, обувь;

        Как определить корень в слове?

        Чтобы опре­де­лить корень в сло­ве, под­би­ра­ем род­ствен­ные сло­ва и вычле­ня­ем в них общую зна­чи­мую часть, в кото­рой содер­жит­ся их основ­ное лек­си­че­ское зна­че­ние, например:

        лес — лесной — лесник- лесничий — лесниче­ство;

        Общей частью это­го ряда одно­ко­рен­ных слов явля­ет­ся часть лес-, кото­рую назо­вем корнем.

        Трава — травка, травинка, травушка, травяной, затравенеть.

        Главной мор­фе­мой это­го ряда род­ствен­ных слов явля­ет­ся часть трав-, кото­рую выде­лим в каче­стве корня.

        Видео «Корень слова. Однокоренные слова. Написание корня в однокоренных словах»

        Скачать ста­тью: PDF

        Поиск корней — Бесплатная справка по математике

        Что такое «рут»?

        Корень — это значение, для которого заданная функция равна нулю. Когда эта функция отображается на графике, корнями являются точки, в которых функция пересекает ось x.

        Для функции \ (f (x) \) корнями являются значения x, для которых \ (f (x) = 0 \). Например, с функцией \ (f (x) = 2-x \) единственный корень будет \ (x = 2 \), потому что это значение дает \ (f (x) = 0 \).

        Конечно, легко найти корни такой тривиальной проблемы, но как насчет чего-то безумного вроде этого:

        $$ f (x) = \ frac {(2x-3) (x + 3)} {x (x-2)} $$

        Шаги по поиску корней рациональных функций

        1. Установите каждый множитель в числителе равным нулю.

        2. Решите этот множитель относительно x.

        3. Проверьте множители знаменателя, чтобы убедиться, что вы не делите на ноль!

        Числитель Коэффициенты

        Помните, что коэффициент — это что-то умножаемое или делимое, например \ ((2x-3) \) в приведенном выше примере. Итак, два множителя в числителе — это \ ((2x-3) \) и \ ((x + 3) \). Если или из этих факторов могут быть равны нулю, тогда вся функция будет равна нулю.Не имеет значения (ну, есть исключение), что говорит остальная часть функции, потому что вы умножаете на член, равный нулю.

        Итак, суть в том, чтобы выяснить, как сделать числитель нулевым, и вы нашли свои корни (также известные как нули по понятным причинам!). В этом примере у нас есть два множителя в числителе, поэтому любой из них может быть равен нулю. Давайте установим их (по отдельности) равными нулю, а затем решим для значений x:

        $$ 2x — 3 = 0 $$
        $$ 2x = 3 $$
        $$ x = \ frac {3} {2} $$

        И

        $$ x + 3 = 0 $$
        $$ x = -3 $$

        Итак, \ (x = \ frac {3} {2} \) и \ (x = -3 \) становятся нашими корнями для этой функции.Они также являются пересечениями по оси x при нанесении на график, потому что y будет равно 0, когда x равен 3/2 или -3.

        Факторы знаменателя

        Как и в числителе, знаменатели умножаются на два множителя. Это \ (x \) и \ (x-2 \). Приравняем их к нулю и решим:

        $$ x = 0 $$

        И

        $$ x — 2 = 0 $$
        $$ x = 2 $$

        Это , а не корней этой функции. Посмотрите, что происходит, когда мы подставляем 0 или 2 для x. В знаменателе получаем ноль, что означает деление на ноль.Это означает, что на данный момент функции не существует. Фактически, x = 0 и x = 2 становятся нашими вертикальными асимптотами (нулями в знаменателе). Итак, существует вертикальная асимптота при x = 0 и x = 2 для указанной выше функции.

        Вот геометрическое изображение того, как выглядит приведенная выше функция, включая ОБА x-пересечения и ОБЕИ вертикальные асимптоты:

        Сводка

        Корни функции — это значения x, для которых функция равна нулю. Их также называют нулями. Когда дана рациональная функция, обнулить числитель путем обнуления факторов по отдельности.Убедитесь, что ваши нули также не превращают знаменатель в ноль, потому что тогда у вас будет не корень, а вертикальная асимптота.

        Найдите корни данного уравнения ниже:

        Как вручную найти квадратный корень

        Как вручную найти квадратный корень

        Как найти квадратный корень вручную

        Вот почти забытое искусство: с появлением электронных
        калькуляторы, скорее всего, доживут до XXI века только на бумаге и
        в воспоминаниях стариков.

        Из какого числа вы хотите найти квадратный корень?
        Вот один из них, который мы будем использовать:

        46656
         

        Сначала разделите число, которое нужно извлекать из квадратного корня, на пары цифр,
        начиная с десятичной точки. То есть никакая пара цифр не должна пересекаться
        десятичная точка. (Например, разделите 1225 на «12 25», а не на
        «1 22 5»; 6.5536 на «6,55 36», а не на «6,5 53 6».)

        Затем вы можете поместить несколько линий на каждую пару цифр и полосу на
        слева, что-то вроде длинного деления.

             + --- ---- ----
             | 4 66 56
         

        Найдите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен ведущему
        пара цифр. В этом случае первая пара цифр — 4; самое большое число
        квадрат которого меньше или равен 4 равен 2.

        Поместите это число слева, и над первой парой цифр.

               2
             + --- ---- ----
          2 | 4 66 56
         

        Теперь возведите это число в квадрат и вычтите из пары первых цифр.

               2
             + --- ---- ----
          2 | 4 66 56
             | -4
             + ----
               0
         

        Выдвинуть левую скобу; умножьте последнюю (и единственную) цифру левой
        число на 2, поместите его слева от разницы, которую вы только что вычислили, и
        оставьте рядом с ним пустой десятичный знак.

               2
             + --- ---- ----
          2 | 4 66 56
             | -4
             + ----
         4_ | 0
         

        Затем опустите следующую пару цифр и поместите ее вправо
        разницы.

               2
             + --- ---- ----
          2 | 4 66 56
             | -4
             + ----
         4_ | 0 66
         

        Найдите наибольшее число, которое нужно вставить в этот пустой десятичный разряд, чтобы
        число, умноженное на уже существующее число плюс десятичный разряд, будет меньше
        чем текущая разница. Например, если 1 * 41 равно ≤ 66, то 2 * 42
        ≤ 66 и т. Д. В данном случае это 1. Поместите это число в оставленное вами поле,
        и в следующем десятичном разряде в строке результатов вверху.

               2 1
             + --- ---- ----
          2 | 4 66 56
             | -4
             + ----
         41 | 0 66
         

        Теперь вычтите продукт, который вы только что нашли.

               2 1
             + --- ---- ----
          2 | 4 66 56
             | -4
             + ----
         41 | 0 66
             | - 41
             + --------
                   25
         

        Теперь повторите, как прежде: возьмите число в левом столбце (здесь 41) и
        удвойте его последнюю цифру (что даст вам 42). Скопируйте это ниже в левый столбец и
        оставьте рядом с ним пустое место. (Двойная последняя цифра с переносом: для
        Например, если у вас было не 41, а 49, что составляет 40 + 9, вы должны скопировать 40 + 18
        что равно 58.) Также опустите следующую пару цифр справа.

               2 1
             + --- ---- ----
          2 | 4 66 56
             | -4
             + ----
         41 | 0 66
             | - 41
             + --------
        42_ 25 56
         

        Теперь найдите самую большую цифру (назовите ее #) такую, что 42 # * # ≤ 2556. Здесь
        получается, что 426 * 6 = 2556 точно.

               2 1 6
             + --- ---- ----
          2 | 4 66 56
             | -4
             + ----
         41 | 0 66
             | - 41
             + --------
        426 | 25 56
             | - 25 56
             + -------------
                         0
         

        Когда разница равна нулю, у вас есть точный квадратный корень, и вы
        Выполнено.В противном случае вы можете продолжать находить больше десятичных знаков до тех пор, пока
        как ты хочешь.


        Вот еще один пример с меньшим количеством аннотаций.

                  7. 2 8 0 1 ...
               + ----------------------
        7 | 53. 00 00 00 00 00
               | 49
               + ----------------------
        142 | 4 00
               | 2 84
               + ----------------------
        1448 | 1 16 00
               | 1 15 84
               + ----------------------
        14560 | 16 00
               | 0
               + ----------------------
        145601 | 16 00 00
               | 14 56 01
               + ----------------------
               | 1 43 ​​99 00
                                 ...
        
         


        Джон Керл

        john dot r dot kerl at lmco точка com

        Июль 1998 г.

        Текущий адрес (по состоянию на 2005 г.):

        [email protected]

        ← Прочие документы

        BioMath: квадратичные функции

        В этом разделе мы узнаем, как найти корень (корень) квадратного уравнения. Корни также называются перехватами x или нулями. Квадратичная функция графически представлена ​​параболой с вершиной, расположенной в начале координат, ниже оси x или выше оси x .Следовательно, квадратичная функция может иметь один, два или нулевой корень.

        Когда нас просят решить квадратное уравнение, нас действительно просят найти корни. Мы уже видели, что завершение квадрата — полезный метод для решения квадратных уравнений. Этот метод можно использовать для вывода квадратной формулы, которая используется для решения квадратных уравнений. Фактически, корни функции

        f ( x ) = ax 2 + bx + c

        даются по формуле корней квадратного уравнения.Корни функции — это перехваты x . По определению, координата y точек, лежащих на оси x , равна нулю. Поэтому, чтобы найти корни квадратичной функции, мы устанавливаем f ( x ) = 0 и решаем уравнение:

        ax 2 + bx + c = 0.

        Мы можем сделать это, заполнив квадрат как,

        Решая для x и упрощая, получаем

        Таким образом, корни квадратичной функции имеют вид,

        Эта формула называется квадратной формулой , и ее вывод включен, чтобы вы могли видеть, откуда она взялась.Мы называем термин b 2 −4 ac дискриминантом . Дискриминант важен, потому что он говорит вам, сколько корней имеет квадратичная функция. В частности, если

        1. b 2 −4 ac <0 Настоящих корней нет.

        2. b 2 −4 ac = 0 Существует один действительный корень.

        3. b 2 −4 ac > 0 Есть два настоящих корня.

        Рассмотрим каждый случай индивидуально.

        Случай 1: Нет настоящих корней

        Если дискриминант квадратичной функции меньше нуля, эта функция не имеет действительных корней, и парабола, которую она представляет, не пересекает ось x . Поскольку квадратная формула требует извлечения квадратного корня из дискриминанта, отрицательный дискриминант создает проблему, потому что квадратный корень из отрицательного числа не определяется по действительной прямой.Пример квадратичной функции без действительных корней дается формулой

        .

        f ( x ) = x 2 — 3 x + 4.

        Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) отрицательный,

        b 2 −4 ac = (−3) 2 — 4 · 1 · 4 = 9 — 16 = −7.

        Эта функция графически представлена ​​открывающейся вверх параболой, вершина которой лежит выше оси x.Таким образом, график никогда не может пересекать ось x и не имеет корней, как показано ниже,

        Случай 2: Один настоящий корень

        Если дискриминант квадратичной функции равен нулю, эта функция имеет ровно один действительный корень и пересекает ось x в одной точке. Чтобы увидеть это, мы устанавливаем b 2 −4 ac = 0 в формуле корней квадратного уравнения, чтобы получить,

        Обратите внимание, что это координата x вершины параболы.Таким образом, парабола имеет ровно один действительный корень, когда вершина параболы лежит прямо на оси x . Простейший пример квадратичной функции, имеющей только один действительный корень, —

        y = x 2 ,

        , где действительный корень равен x = 0.

        Другой пример квадратичной функции с одним действительным корнем:

        f ( x ) = −4 x 2 + 12 x — 9.

        Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) равен нулю,

        b 2 −4 ac = (12) 2 — 4 · −4 · −9 = 144 — 144 = 0.

        Эта функция графически представлена ​​параболой, которая открывается вниз и имеет вершину (3/2, 0), лежащую на оси x . Таким образом, график пересекает ось x ровно в одной точке (т.е. имеет один корень), как показано ниже,

        .

        Случай 3: Два настоящих корня

        Если дискриминант квадратичной функции больше нуля, эта функция имеет два действительных корня ( x -перехватывание).Извлечение квадратного корня из положительного действительного числа хорошо определено, и два корня равны,

        Пример квадратичной функции с двумя действительными корнями:,

        f ( x ) = 2 x 2 — 11 x + 5.

        Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) больше нуля,

        b 2 — 4 ac = (−11) 2 — 4 · 2 · 5 = 121 — 40 = 81.

        Эта функция графически представлена ​​открывающейся вверх параболой, вершина которой лежит ниже оси x . Таким образом, график должен пересекать ось x в двух местах (т.е. иметь два корня), как показано ниже,

        .

        *****

        В следующем разделе мы будем использовать квадратную формулу для решения квадратных уравнений.

        Решение квадратных уравнений

        Как найти четвертый корень числа — урок математики [видео 2021 года]

        Нахождение корня четвертой степени

        Итак, как это соотносится с поиском корня четвертой степени 256? Что ж, это та же концепция, но вместо того, чтобы выяснить, какое число может умножиться само на себя дважды, чтобы дать 256, мы хотим выяснить, какое число может умножиться само на себя 4 раза, чтобы дать 256.

        Нахождение корня четвертой степени числа — это противоположность умножению числа на само себя 4 раза. Другими словами, это противоположно использованию показателя степени 4. Давайте посмотрим на это математически.

        x 4 = 256

        Чтобы найти корень четвертой степени из 256, нам нужно выяснить, что такое x в этом уравнении. Какое число мы можем возвести в степень 4, чтобы получить 256? Давай подумаем об этом. . . Если я вставлю 2, я получу следующее:

        24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

        Таким образом, очевидно, 2 не является корнем четвертой степени из 256.Давайте перейдем к числу 4.

        44 = 4 x 4 x 4 x 4 = 256

        4, умноженное на себя 4 раза, даст нам искомое число, 256! Таким образом, корень четвертой степени 256 равен 4! Woohoo !! Мы решили это.

        Символы

        Мы обсуждали идею нахождения корня четвертой степени числа, но в mathpo / у нас часто есть изящные символы, которые говорят нам, что делать. Когда вы видите радикальный символ в математике, вы понимаете, что имеете дело с корнями. Радикальные символы выглядят как галочки с прикрепленной горизонтальной линией.Небольшое число над частью галочки (если она есть), называемая индексом , сообщает вам, какой корень искать. Большое число под радикальным символом, называемое подкоренным элементом и , говорит вам, от чего извлекать корень.

        Примеры

        В тесте вам задали вопрос: нужно найти корень четвертой степени из числа 1296. Теперь вы знаете, что вам нужно найти число, которое умножается само на себя 4 раза, чтобы получить 1296.Лучший способ добиться этого — просто поиграть с числами и проверить. Итак, для начала выберем число. Мы знаем, что 4 умножения сами по себе 4 раза равны 256, поэтому давайте выберем большее число. Мы можем попробовать 5. 5 в четвертой степени равно 625. Хммм. . . приближается. Попробуем 6! 6 в четвертой степени равно 1296. Таким образом, корень четвертой степени из 1296 равен 6!

        Рассмотрим другой пример:

        Теперь вы хотите найти корень четвертой степени из 14 641.Итак, давайте подумаем. . . Мы, очевидно, знаем, что ответ должен быть больше 6 из-за нашего последнего примера. Мы можем начать с такого простого числа, как 10. 10 в четвертой степени равно 10 000. Это довольно близко! Почему бы нам не попробовать увеличить число еще на один? 11 в четвертой степени равно 14 641. Это означает, что наш ответ — 11! Корень четвертой степени из 14 641 равен 11. Не слишком сложно!

        Резюме урока

        Нахождение корня четвертой степени числа аналогично поиску других корней. Все, что вам нужно сделать, это найти число, которое умножается само на себя четыре раза, чтобы равняться числу, от которого вы извлекаете корень четвертой степени.Вы можете думать об этом как об обратном преобразовании числа в показатель степени 4.

        В математической записи радикальных символов выглядят как галочки с прикрепленной горизонтальной линией. Небольшое число над частью галочки (если она есть), называемая индексом , сообщает вам, какой корень искать. Большое число под радикальным символом, называемое подкоренным элементом и , говорит вам, от чего извлекать корень.

        Как вычислить квадратный корень

        Понимание того, как вычислять математические задачи вручную, является важным навыком.Одна математическая концепция, которая иногда используется в бизнес-анализе, — извлечение квадратного корня. Вычисление квадратного корня вручную позволяет понять, как работает формула.

        В этой статье мы описываем, как используются квадратные корни, и объясняем три способа их вычисления вручную.

        Связано: 10 лучших навыков и методов обучения

        Использование квадратного корня

        Квадратные корни используются для нахождения хвостов при нормальном распределении, которое представляет собой график, показывающий, где будет находиться большинство чисел в наборе данных. .Они особенно полезны при определении ключевых показателей эффективности (KPI), понимании того, насколько хорошо люди справятся с тестом и насколько вероятен результат.

        Нормальное распределение основано на стандартных отклонениях или блоках оценок от среднего всех оценок. Хвосты нормального распределения обычно представляют собой наивысшие и самые низкие 5% оценок, при этом большинство оценок попадают в одно стандартное отклонение по обе стороны от среднего.

        Связано: Важность когнитивных способностей в вашей карьере

        Как вычислить квадратные корни вручную

        Есть несколько способов вычислить квадратный корень.Решение квадратного корня — это число, умноженное на само себя, которое равно числу под символом квадратного корня, который выглядит как √. Почти все калькуляторы имеют функцию извлечения квадратного корня, которую вы можете использовать. Вот несколько способов, которыми вы можете вычислить это вручную:

        • Факторинг по квадратам
        • Факторинг в длинной форме
        • Метод длинного деления

        Факторинг по квадратам

        Факторинг квадратного корня означает, что вы находите наиболее близкие числа которые умножаются вместе.Самые простые квадратные корни — это те, которые делятся непосредственно на квадраты, например √100, но более сложные включают несколько квадратных корней, например √225. Вот шаги, чтобы найти квадратный корень с помощью факторизации:

        1. Найдите множители . Факторы — это числа, которые вы умножаете, чтобы найти итог под символом квадратного корня. Для √100 множители будут √ (10 x 10). Коэффициент √225 будет равен √ (25 x 9).
        2. Разделите множители на их собственные квадратные корни .Поскольку оба множителя √100 равны 10, квадратный корень из 100 равен 10. Для √225 вы должны разделить множители под их собственными знаками квадратного корня, так что формула будет √25 x √9.
        3. Решите для отдельных квадратов . Затем вы найдете квадраты каждого из отдельных факторов. √25 = 5 и √9 = 3. Оставшаяся формула будет иметь вид 5 x 3.
        4. Завершите решение уравнения . Теперь, когда вы знаете, что такое упрощенные квадраты, вы обнаружите, что 5 x 3 = 15.Итак, √225 = 15.

        Факторинг в длинном виде

        Иногда вы не знаете, какие множители квадратного корня являются квадратами. Вы можете разбить квадратный корень на каждый отдельный фактор, а затем решить его. Например, чтобы получить коэффициент длинного формата √225, выполните следующие действия:

        1. Найдите множители. Самый очевидный множитель 225 — пять, поэтому вы должны начать с √225 = √ (5 x 45). Вы бы упростили еще больше, найдя множители 45: √ (5 x 5 x 9). Последний коэффициент, который вы можете упростить, — это 9, поэтому ваш окончательный коэффициент длинной формы будет выглядеть как √ (5 x 5 x 3 x 3).
        2. Извлеките повторяющиеся множители. Когда вы видите одно и то же число дважды в качестве множителя, вы перечисляете его один раз за пределами символа квадратного корня. В данном случае у нас есть две пятерки и две тройки, поэтому уравнение будет иметь вид 5 x 3.
        3. Решите оставшееся уравнение. Последний шаг — завершить решение уравнения. В этом случае 5 x 3 = 15.

        Метод деления в столбик

        Бывают случаи, когда вы можете не сразу распознать факторы.Метод длинного деления позволяет найти квадратный корень без оценки. Для этого метода мы найдем √361. Вот шаги к методу длинного деления:

        1. Разделите основание квадратного корня на пары . Начиная справа, сгруппируйте числа в пары. В нашем примере 361 будет 3 61.
        2. Найдите наибольший квадрат, который делится на первое число или пару . Это даст вам первое число в вашем ответе. Первое число слева — 3.Самый высокий квадрат, который входит в него, равен единице, потому что 1 x 1 = 1, а 2 x 2 = 4.
        3. Вычтите квадрат из первого числа или пары. Вычитание квадрата из первого числа даст вам остаток, который будет включен в следующий шаг. В этом примере 3 — 1 = 2.
        4. Перейдите к следующей паре. Следующее число, с которым вы будете работать, будет комбинацией вычтенного квадрата и следующей пары. В этом случае они составили бы трехзначное число.Когда вы опускаете 61 вниз, число, которое вы будете использовать для нахождения следующей цифры в квадратном корне, будет 261.
        5. Умножьте первую цифру квадрата на два. Это будет первая цифра в множителе для нахождения второй цифры квадратного корня. В этом примере первая цифра квадратного корня — единица. 1 x 2 = 2.
        6. Составьте следующее уравнение для множителей . Уравнение для следующего шага основано на цифре из шага пять и числе из шага четыре. Первым множителем будет двузначное число, где первая цифра — это число из пятого шага.Уравнение будет выглядеть как 2_ x _.
        7. Найдите число, заполняющее пробелы. Это число будет следующей цифрой в решении для √361. Число, которое заполнит пробелы, будет таким же, и это будет самая высокая цифра, где множители меньше или равны числу на четвертом шаге. В этом примере номер цели 261. Мы начнем с 9, поэтому уравнение будет иметь вид 29 x 9 = 261.
        8. Поместите число рядом с первой цифрой. В этом примере квадрат 19.

        Калькулятор корня

        — получение n-го радикала числа

        Добро пожаловать в калькулятор корня , где мы рассмотрим теорию и практику , как вычислить n-й корень числа , также называемого the n-й радикал вместе. Мы начнем с быстрого объяснения того, что такое корень в математике, и приведем несколько простых примеров, которые вы, возможно, уже видели, например, квадратный корень из 2, квадратный корень из 3 или кубический корень из 4. Но что, если это четвертый корень , который вы хотите найти? Предыдущие были довольно простыми, но что такое, скажем, корень 4-й степени из 81? Не беспокойтесь, мы вам скоро покажем!

        Устройтесь поудобнее, расслабьтесь и наслаждайтесь поездкой по миру радикалов !

        Что такое корень

        в математике?

        Мы все знаем умножение, верно? Как 12 * 4 = 48 ? Если мы хотим умножить одно и то же число несколько раз, то мы можем записать его в упрощенном виде :

        12 * 12 * 12 * 12 * 12 = 12⁵ ,

        , где малое число 5 называется показателем степени и означает, сколько копий большого числа (в данном случае 12 ) мы берем.Мы также называем эту операцию , принимая 5 -ю степень от 12 .

        Корень — это обратная операция. Чтобы связать это с биологическим значением, когда мы смотрим на выросшее дерево, мы видим его листья и ствол, но все это построено на его корнях . И история очень похожа с числами: когда мы видим число 125 , то, взяв его корень, мы увидим крошечное зерно, которое оно выросло из . В этом примере он покажет нам, что начальное число — 5 , потому что 5³ = 125 .

        Формально, корень n числа a — это число b , так что:

        bⁿ = a .

        Например, давайте внимательнее посмотрим на , что является квадратным корнем из некоторого числа . Предположим, вы копаете бассейн на заднем дворе. Вы хотели бы, чтобы он был таким же длинным, как и широким, и в целом занимал площадь в 256 квадратных футов. Как определить , какой длины должны быть стороны ? Правильно — вычислением радикала! В этом случае это должен быть квадратный корень из площади, т.е.е., квадратный корень из 256 .

        И каков квадратный корень из этого числа? Что ж, давайте посмотрим, как его найти и как вообще вычислить квадратный корень.

        Как вычислить квадратный корень

        Иногда вычисление корня в математике может напоминать игру в угадывание . Но это не то же самое, что бросать кости с закрытыми глазами и гадать, что получится. Это скорее расчетное предположение . В конце концов, как только мы узнаем, что 3⁴ = 81 , мы можем с уверенностью сказать, что корень 4-й степени из 81 равен 3 .Но сначала мы должны это знать.

        Итак, что мы можем сделать, если мы забыли дома нашу удобную таблицу первых ста чисел и их первых нескольких степеней ? Это безнадежное дело? К счастью, нет. Не совсем, но мы вернемся к этому через секунду.

        В качестве примера мы покажем , как вычислить квадратный корень из 72 . Нашим основным инструментом здесь будет разложение на простые множители, то есть разделение 72 на самые маленькие возможные части.

        В процедуре разложения на простые множители мы берем число (в нашем случае 72 ) и находим наименьшее простое число, которое делит его на . Напомним, что простое число — это целое число, которое имеет только два делителя: 1 и само себя. Достаточно легко увидеть, что для нас это будет 2 с

        .

        72/2 = 36 .

        Следующий шаг — найти наименьшее простое число в результате деления числа на простое число, т.е.е., номер 36 . Если мы продолжим это, пока не достигнем 1 , мы получим следующие простые числа: 2 , 2 , 2 , 3 , 3 . Это разложение на простые множители 72 , и это означает, что

        72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 .

        Теперь, если мы найдем пары среди одинаковых чисел, мы увидим, что у нас осталось пара чисел 2 , пара чисел 3 и одно число 2 .Это позволяет нам записать квадратный радикал 72 как

        √72 = √ (2 * 2 * 2 * 3 * 3) = √ (2² * 3² * 2) = 2 * 3 * √2 = 6√2 .

        Внимательный взгляд заметит, что единственные числа, которые остаются под корнем, — это ровно одиночек, которые не нашли пару .

        А как насчет 2 ? Что такое квадратный корень из 2 ? Ну, вот что такое « не совсем ». Квадратный корень из 2 , квадратный корень из 3 или любого другого простого числа возвращает нас к игре в угадайку.К счастью, мы можем использовать наш калькулятор корня , чтобы вычислить, что √2 ≈ 1,4142 , что дает нам

        √72 = 6√2 ≈ 6 * 1,4142 = 8,4852 .

        По сути, когда нас спрашивают: « каков квадратный корень из …, », мы должны сначала выполнить разложение на простые множители , чтобы решить проблему, и если (как указано выше) у нас останется маленькая цифра в конце, нам просто нужно использовать такой инструмент, как , калькулятор корня , чтобы найти его.

        « А как насчет высших радикалов? Что, если мне понадобится, например.г., корень четвертой степени числа? «Ну, как удобно с вашей стороны спросить! Именно эту проблему мы рассмотрим в следующем разделе.

        Кубический корень, корень четвертой степени, корень n-й степени

        Вспомните, как вы хотели выкопать бассейн в первой секции. Теперь предположим, что вы хотите, чтобы все это представляло собой куб, вмещающий 1728 кубических фута воды. (Не спрашивайте нас, почему. Возможно, что-либо выше облагается налогом по-другому?)

        Как найти бортик такого бассейна? Ага — вычислением кубического корня числа (отсюда и произошло название кубический корень ).Он сообщит нам, что длина должна быть

        ∛1,728 = 12 футов в длину.

        Но как мы туда попали? К счастью, основной инструмент здесь тот же: разложение на простые множители . Если мы применим процедуру к 1,728 , мы получим

        1,728 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 .

        Теперь другое дело — вместо пар, мы группируем числа в тройки . Это то, что предполагает маленький 3 в корневом символе — нам нужно третьих степеней .Обратите внимание, что квадратные корни на самом деле являются радикалами порядка 2 , но мы не пишем 2 , потому что … Ну, , если нам не нужно делать это из одного типа корня, это с таким же успехом может быть самый простой . Это просто условность и традиция. Думайте об этом как о математическом эквиваленте запекания индейки на День Благодарения.

        В любом случае, возвращаясь к нашей проблеме, группировка позволяет нам написать

        ∛1,728 = ∛ (2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3) = ∛ (2³ * 2³ * 3³) = 2 * 2 * 3 = 12 .

        Если мы пойдем выше с порядком радикала, применяется то же правило . При вычислении корня четвертой степени мы группируем простые числа в , четверные . Например, если вам нужен 4-й корень из 81 , вы сначала заметите, что

        81 = 3 * 3 * 3 * 3 ,

        , поэтому у нас есть четыре 3 . Это означает, что корень 4-й степени из 81 равен 3 . И если нам нужен n-й корень , мы берем группы из n элементов.И, если что-то останется после факторизации, мы просто найдем с помощью какого-либо внешнего инструмента, такого как наш калькулятор корня .

        Хорошо, после того, как вы все это время читали теорию, самое время взглянуть на реальный пример и увидеть калькулятор корня в действии , вам не кажется?

        Пример: использование калькулятора корня

        Поздравляю, это мальчик! Теперь, когда вы стали родителем, вы решили начать с начала и откладывать немного денег, когда он пойдет в колледж.Вы решаете взять хорошую часть своих сбережений и оставить ее в банке на следующие восемнадцать лет , чтобы сумма росла вместе с вашим ребенком.

        Предположим, вам удалось отложить на твердые 8000 долларов . К сожалению, вы как-то забыли процентную ставку по вложениям, но что сделано, то сделано. Сумма в конце будет для вас такой же неожиданностью, как и для вашего сына .

        Время идет, годы идут, и, наконец, пришло время подарить вашему ребенку деньги, которые вы накопили .Вы звоните в банк, и выясняется, что на счету $ 12 477,27 . Неплохо, правда? Похоже, ты сможешь осуществить мечты своего сына.

        Но, только для себя, просто из чистого любопытства, можем ли мы рассчитать процентную ставку по имеющимся у нас числам?

        Конечно, , и калькулятор корня нам поможет!

        Предположим, что проценты начислялись на счет в конце каждого года и что деньги вообще не облагались налогом (да, мы знаем, что здесь мы немного надуманы).Тогда сумма, которую мы получаем в итоге , описывается формулой

        end_amount = начальная_ сумма * (1 + процентная_ процентная ставка) ¹⁸ ,

        , где 18 -я степень исходит от восемнадцати лет, что деньги потрачены в банке. В нашем случае это означает

        .

        12 477,27 долларов США = 8 000 долларов США * (1 + процентная_ процентная ставка) ¹⁸.

        Если мы разделим обе стороны на 8000 , мы получим

        12 477,27 долл. США / 8 000 долл. США = (1 + процентная_ процентная ставка) 90 652

        или приблизительно

        1.5597 = (1 + процентная ставка) руб.

        Итак, если у нас справа 18 -я степень, нам нужно найти 18 -й радикал числа слева . Это что-то немного более сложное, чем квадратный корень из 3, не так ли?

        Обратимся к нашему вычислителю корня . Там у нас есть два числа: и n . Когда мы смотрим на символическое изображение там, мы видим, что n - это порядка корня , поэтому мы вводим n = 18 .В свою очередь, a - это число под корнем , поэтому мы берем a = 1,5597 . Это заставляет калькулятор корня выдавать ответ

        .

        1 + процентная ставка = 1,025 .

        Если перевести десятичную дробь в проценты, получим

        процентная ставка = 0,025 = 2,5% .

        Кажется довольно маленьким, но ох, как он вырос за восемнадцать лет!

        Хорошо, любопытство удовлетворено, , пора вернуться к праздничному торту.Будем надеяться, что ваш сын хорошо распорядится деньгами и продолжит учебу.

        Тест рациональных корней - ChiliMath

        Тест рациональных корней (также известный как теорема рациональных нулей) позволяет нам найти все возможные рациональные корни многочлена. Предположим, что a является корнем многочлена P \ left (x \ right), что означает P \ left (a \ right) = 0. Другими словами, если мы подставим a в многочлен P \ left (x \ right) и получим ноль , 0, это означает, что входное значение представляет собой корень функции.

        Но как нам найти возможный список рациональных корней? Вот вкратце, как это работает!


        Ключевые идеи теста рациональных корней

        Предположим, у нас есть некоторый многочлен P \ left (x \ right) с целыми коэффициентами и ненулевым постоянным членом:

        Тогда любой рациональный корень из P \ left (x \ right) имеет вид:


        Лучший способ изучить этот метод - взглянуть на несколько примеров!

        Примеры того, как найти рациональные корни многочлена с помощью теста рациональных корней

        Пример 1: Найдите рациональные корни многочлена, приведенного ниже, с помощью теста рациональных корней.

        Поиск рациональных корней (также известных как рациональные нули) многочлена аналогичен поиску рациональных пересечений по оси x.

        • Начните с определения постоянного члена a 0 и ведущего коэффициента a n .
        • Определите положительные и отрицательные факторы каждого из них.

        Коэффициенты постоянного члена, {a_0} = 6 \, \,: \, \, \ pm \, \ left ({1,2,3,6} \ right)

        Факторы главного члена, {a_n} = 3 \, \,: \, \, \ pm \, \ left ({1,3} \ right)

        • Запишите список возможных рациональных корней, найдя {p \ over q}, которое представляет собой просто отношение множителей постоянного члена и ведущего члена .Убедитесь, что вы отслеживаете возможные комбинации.

        Вот как я это делаю . Я беру каждый числитель и делю его на все знаменатели. Затем я перехожу к следующему числителю и снова делю на все знаменатели. Я повторяю этот процесс, пока не перебью все числители. Это гарантирует, что мы охватили все возможные комбинации.

        БОЛЬШОЕ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ : После того, как вы запишите все комбинации, упростит дроби, чтобы избавиться от дубликатов.

        Итак, это числа без дубликатов , которые мы проверим как возможные корни. У нас есть двенадцать (12) возможных кандидатов для проверки.

        • Помните, что если a является корнем многочлена P \ left (x \ right), то P \ left (a \ right) = 0. Теперь давайте проверим каждое число.
        • Следовательно, рациональные корни многочлена

        -

        Вот график полинома, показывающий, где он пересекает или касается оси x.Фактически, это точки пересечения многочлена по оси x.


        Пример 2: Найдите рациональные корни многочлена, приведенного ниже, с помощью теста рациональных корней.

        Постоянный член равен a 0 = –2, а его возможные множители равны p = ± 1, ± 2. Для ведущего коэффициента мы имеем a n = 4, а его множители равны q. = ± 1, ± 2, ± 4.

        • Чтобы найти возможные корни многочлена, запишите в виде

        Запишите все возможные

        комбинации:

        • Упростите каждую дробь, чтобы исключить повторяющиеся или идентичные значения.Вот наш новый и улучшенный список!
        • Из-за плюсового или минусового рассмотрения каждого числа у нас будет восемь (8) возможных кандидатов в качестве корней этого многочлена.

        Если вы вставляете каждое значение в данный многочлен и получаете ноль, это означает, что подставленное вами число является корнем! Попробуйте это на бумаге, и вы убедитесь, что только три значения удовлетворяют этому условию.

        Следовательно, рациональные корни многочлена

        -

        Графически это показывает, что многочлен касается или пересекает ось x в тех корнях, которые определены с помощью теста рациональных корней.

        .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.