Как найти функцию по графику: Как по графику определить формулу функции — Dudom

Как по графику определить формулу функции — Dudom

Графики функций являются одним из важнейших знаний, необходимых в учебе, наравне с таблицей умножения. Они являются фундаментом, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

Таблица графиков функций.

Название функции Формула функции График функции Название графика

Линейная (прямопропорциональная) функция.

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. Т.е. функция оказывается обобщением прямой пропорциональности.

Степенная функция — обратнопропорциональная — это функциональная зависимость, когда увеличение аргумента вызывает соответствующее уменьшение функции.

Функция Бесселя первого рода.

График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.

Квадратичная функция — парабола.

Большинство свойств квадратичной функции связаны с значением дискриминанта.

Квадратичная функция.

Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a — произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b, c — любые действительные числа.

Степенная функция — это функция y = x a , где a — некоторое вещественное число. К степенным часто относят и функцию вида y = kx a , где k — некоторый (ненулевой) коэффициент.

Степенная функция — корень квадратный.

Самый простой случай для дробной степени (x 1/2 = √x).

Степенная — обратная пропорциональность.

Самый простой случай для целой отрицательной степени (1/x = x -1 ) — обратно-пропорциональная зависимость. Здесь k = 1.

Показательная функция — математическая функция f (x) = a x , где a называется основанием степени, а x — показателем степени.

Показательная функция.

Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 2 x (a = 2 > 1).

1″ longdesc=»График показательной функции а>1″ src=»https://www.calc.ru/imgs/articles3/16/87/964599587e5e40d85067.63997678.jpg» />

График показательной функции а>1

Показательная функция.

Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5 x (a = 1/2 x

График показательной функции 0

Логарифмическая функция.

График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0).

Логарифмическая функция.

Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции сильно связаны со значением параметра a. Здесь пример для y = log2x (a = 2 > 1).

1″ src=»https://www.calc.ru/imgs/articles3/10/83/105346587e608e0e0759.16931934.jpg» />

График логарифмической функции — логарифм по основанию а>1

Синус.

Синусоида — периодическая функция с периодом Т = 2π

Косинус.

Тригонометрическая функция косинус. Графики у = sinx и у = cosx сдвинуты по оси х на

.

Тангенс.

Тригонометрическая функция тангенс. Точки разрыва при х =

(2k -1), где k = 0, ±1, ±2. Вертикальные асимптоты в этих точках.

Гиперболический синус — это элементарная функция, выражающаяся через экспоненту и тесно связанная с ее тригонометрическими функциями.

Гиперболический косинус — это элементарная функция, выражающаяся через экспоненту и тесно связанная с ее тригонометрическими функциями.

Гиперболический тангенс — это элементарная функция, выражающаяся через экспоненту и тесно связанная с ее тригонометрическими функциями.

Гиперболический котангенс — это элементарная функция, выражающаяся через экспоненту и тесно связанная с ее тригонометрическими функциями.

Гиперболический секанс — это элементарная функция, выражающаяся через экспоненту и тесно связанная с ее тригонометрическими функциями.

Гиперболический косеканс — это элементарная функция, выражающаяся через экспоненту и тесно связанная с ее тригонометрическими функциями.

Изучение свойств функций и их графиков занимает значительное место как в школьной математике, так и в последующих курсах. Причем не только в курсах математического и функционального анализа, и даже не только в других разделах высшей математики, но и в большинстве узко профессиональных предметов. Например, в экономике – функции полезности, издержек, функции спроса, предложения и потребления. в радиотехнике – функции управления и функции отклика, в статистике – функции распределения. Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных функций, нужно научиться свободно оперировать графиками элементарных функций. Для этого после изучения следующей таблицы рекомендую пройти по ссылке «Преобразования графиков функций».

«К движению» графиков) ограничен. За месяц перед экзаменом кнопка открывается для общего пользования без регистрации. Просьба ко всем, кто в связи с этим столкнулся с какими-либо «глюками» или «багами», сообщать мне подробности. О возможности получения полного доступа см. комментарии к активностям.

Кнопка уже без пароля! Готовимся к экзамену рационально — сдаём успешно.

Друзья, абсолютное большинство разделов этого сайта были и остаются бесплатными для пользователей, которыми преимущественно являются дети. Однако любой сайт требует финансовых вложений: хостинг, доменное имя, разработка . В связи с этим я обычно закрываю свободный доступ к интерактивным упражнениям (по кнопке «К движению» графиков) и открываю его непосредственно перед экзаменом. В этом году я намерена оставить открытым доступ к этим упражнениям в течение всего года, если найдутся взрослые (учителя или родители), которые внесут очень символические суммы на погашение обязательных платежей. Выберите один из трёх способов перевода и затем напишите мне своё мнение о сайте и предложения по его развитию.
С уважением, mathematichka.

В школьном курсе математики изучаются следующие
элементарные функции.

Название функции Формула функции График функции Название графика Комментарий Линейная y = kx Прямая Cамый простой частный случай линейной зависимости — прямая пропорциональность у = kx, где k ≠ 0 — коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k = 1, т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента. Линейная y = kx + b Прямая Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b — любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = -1. Квадратичная y = x 2 Парабола Простейший случай квадратичной зависимости — симметричная парабола с вершиной в начале координат. Квадратичная y = ax 2 + bx + c Парабола Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a — произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b, c — любые действительные числа. Степенная y = x 3 Кубическая парабола Самый простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций». Степенная y = x 1/2 График функции
y = √x Самый простой случай для дробной степени (x 1/2 = √x). Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций». Степенная y = k/x Гипербола Самый простой случай для целой отрицательной степени (1/x = x -1 ) — обратно-пропорциональная зависимость. Здесь k = 1. Показательная y = e x Экспонента Экспоненциальной зависимостью называют показательную функцию для основания e — иррационального числа примерно равного 2,7182818284590. Показательная y = a x График показательной функции Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 2 x (a = 2 > 1). Показательная y = a x График показательной функции Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5 x (a = 1/2 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log2x (a = 2 > 1). Логарифмическая y = logax График логарифмической функции Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log0,5x (a = 1/2 Название функции Формула функции График функции Название графика Комментарий Арксинус y = arcsinx График арксинуса Тригонометрическая функция обратная к y = sinx. Определена на отрезке [−1; 1].
Принимает значения от −π/2 до π/2. Арккосинус y = arccosx График арккосинуса Тригонометрическая функция обратная к y = cosx. Определена на отрезке [−1; 1].
Принимает значения от 0 до π. Арктангенс y = arctgx График арктангенса Тригонометрическая функция обратная к y = tgx. Определена на множестве действительных чисел.
Принимает значения на интервале (−π/2; π/2) .
Имеет асимптоты. Арккотангенс. y = arcctgx График арккотангенса Тригонометрическая функция обратная к y = ctgx. Определена на множестве действительных чисел.
Принимает значения на интервале (0 π) .
Имеет асимптоты.

На занятиях школьники часто спрашивают: «Зачем это нужно знать?» Особенно волнует их этот вопрос при построении и преобразовании графиков тригонометрических функций. Что ж, давайте попробуем посмотреть на одном из сайтов в сети (например, RADIOLINK: Аксессуары) технические характеристики любимых всеми современных приборов связи — мобильников, роутеров. О чем Вам говорят термины «используемый диапазон частот», «прогрессивный метод модуляции» .
А теперь прочитайте в учебнике математики параграф «График гармонических колебаний», а в учебнике физики параграф «Электромагнитные волны». Стало понятнее?

»

Перейти на главную страницу.

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь —
[email protected]

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

Если точка принадлежит графику квадратичной функции, подстановка её координат в уравнение функции y =»» ax² + bx + c должно давать справедливое равенство.

Координаты трёх точек позволяет составить систему из трёх уравнений с тремя неизвестными. Её решением будут коэффициенты уравнения квадратичной функции.

>

Исследование графика функции. Минимум и максимум

На рисунке изображен график функции . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

  • область определения функции;
  • область значений функции;
  • нули функции;
  • промежутки возрастания и убывания;
  • точки максимума и минимума;
  • наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
Ось ординат — вертикальная ось, или ось .

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или .

На нашем рисунке область определения функции  — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок  — от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества  можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция возрастает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению  соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции.

Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке  — точка максимума.

Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке  — точка минимума.

Точка  — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и  на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это  и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны  и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно  и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Написать уравнение полиномиальной функции на основе ее графика

Все ресурсы для предварительного исчисления

12 Диагностических тестов
380 практических тестов
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept

Precalculus Help »
Полиномиальные функции »
Графики полиномиальных функций »
Напишите уравнение полиномиальной функции на основе ее графика

Какое уравнение может быть уравнением для этого графика?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Этот график имеет нули на 3, -2 и -4,5. Это означает, что , , и . С этим последним корнем легче работать, если мы рассмотрим его как и упростим до . Кроме того, это отрицательный многочлен, потому что он убывает, увеличивается, уменьшается, а не наоборот.

Наше уравнение получается в результате умножения , в результате чего получается .

Сообщить об ошибке

Запишите квадратичную функцию для графика:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Потому что нет X-Intercepts, используйте форму, где вершина, SO, что приводит

Отчет о ошибке

Запишите квадратичную функцию для графика:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Метод 1:

Х-пересечения равны . Эти значения были бы получены, если бы исходный квадратичный коэффициент был разложен на множители или преобразован в FOIL, а коэффициенты были установлены равными нулю.

Для , . За , . Эти уравнения определяют результирующие факторы и результирующую функцию; .

Умножение множителей и упрощение, 

.

Ответ: .

 

Способ 2:

Используйте форму , где вершина.

 это , значит , .

Ответ:

Отчет о ошибке

Напишите уравнение для полинома на этом графике:

Возможные ответы: 9005

9005

.0014

Правильный ответ:

Объяснение:

Нули этого многочлена равны .

Это означает, что коэффициенты равны нулю, когда эти значения подставляются вместо x.

умножить обе части на 2

так что один множитель будет

 

умножить обе стороны на 3

так что один множитель будет

 

так что один множитель будет

три множителя

Отчет о ошибке

Напишите уравнение для полинома, показанного на этом графике:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Нули этого многочлена равны . Это означает, что множители равны нулю при подстановке этих значений.

Один множитель равен

Один множитель равен

Третий множитель эквивалентен . Установить равным 0 и умножить на 2:

Умножьте эти три фактора:

График отрицательный, так как он идет вниз, затем вверх, затем вниз, поэтому мы должны поменять местами все знаки:

0 Сообщить об ошибке 0 4 уравнение для многочлена на графике:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Нули многочлена равны . Это означает, что коэффициенты равны нулю, когда эти значения подставлены.

Первый множитель или эквивалентное умножение обеих сторон на 5: 

Второй и третий множители равны и

Умножение:

Вместо стандартного графика идет вниз-вверх-вниз вверх-вниз-вверх, график отрицательный, поэтому меняем все знаки:

Сообщить об ошибке

Напишите уравнение для многочлена на этом графике:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Нули этого многочлена . Это означает, что коэффициенты равны нулю, когда эти значения подставлены. 

или эквивалентно умножьте обе части на 4

первый коэффициент 

 

умножьте обе стороны на 3 

второй коэффициент 

 

5

третий множитель равен

 

Умножьте три множителя:

Сообщить об ошибке

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы Precalculus

12 диагностических тестов
380 практических тестов
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept

Как получить домен и диапазон из графика функции — Криста Кинг Математика

Определение домена и диапазона

Домен состоит из всех ???x???-значений или входных данных функции, а диапазон представляет собой все ???y???-значения или выходные данные функции.

При просмотре графика доменом являются все значения графика слева направо. Диапазон — это все значения графика снизу вверх.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Основные функции с ограничениями домена

Нахождение домена и диапазона по графику функции

Пройти курс

Хотите узнать больше об Алгебре 1? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Учить больше

Область и диапазон графика параболы

Пример

Каковы домен и диапазон функции? Предположим, что график не выходит за пределы показанного графика.

Начнем с домена. Помните, что домен — это то, как далеко график идет слева направо.

Начните с того, что посмотрите на самый левый край этого графика. Значение ???x??? в самой дальней левой точке равно ???x=-2???. Теперь продолжайте отслеживать график, пока не дойдете до точки, которая находится дальше всего справа. Значение ???x??? в этот момент равно ???2???. В графике слева направо нет разрывов, что означает, что он непрерывен от ???-2??? до ???2???.

Домен: ???[-2,2]??? также пишется как ???-2\leq x\leq 2???

Далее давайте посмотрим на диапазон. Помните, что диапазон — это то, как далеко график идет снизу вверх.

Посмотрите на самую дальнюю точку графика или нижнюю часть графика. Значение ???y??? в этот момент равно ???y=1???. Теперь посмотрите, как далеко вверх идет график или вершина графика. Это когда ???x=-2??? или ???x=2???, но теперь мы находим диапазон, поэтому нам нужно посмотреть на ???y???-значение этой точки, которое находится в ???y=5??? . В графике сверху вниз нет разрывов, что означает, что он непрерывен.

Диапазон: ???[1,5]??? также пишется как ???1\leq y\leq 5???

Давайте попробуем еще один пример поиска домена и диапазона на графике.

Помните, что Домен — это все определенные значения x слева направо на графике.

Пример

Каковы домен и диапазон функции? Предположим, что график не выходит за пределы показанного графика.

Начнем с домена. Значение ???x??? в самой дальней левой точке равно ???x=-1???. Теперь продолжайте отслеживать график, пока не дойдете до точки, которая находится дальше всего справа. Значение ???x??? на данный момент равно ???3???. В графике слева направо нет разрывов, что означает, что он непрерывен от ???-1??? до ???3???.

Домен: ???[-1,3]??? также пишется как ???-1\leq x\leq 3???

Далее давайте посмотрим на диапазон. Посмотрите на самую дальнюю точку на графике или на его нижнюю часть. ???y???-значение в этот момент равно ???y=0???.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *