Как находить пропорции: § Задачи на пропорции. Как решить пропорцию

Содержание

Решение пропорций | Математика

Рассмотрим решение пропорций на конкретных примерах. 

Решить уравнения с пропорцией:

 1)  25 : x = 10 : 18

Здесь x — неизвестный средний член пропорции. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов разделим на известный средний член:

   

25 и 10 сокращаем на 5. Затем 18 и 2 сокращаем на 2.

   

Ответ: 45.

   

Здесь y — неизвестный крайний член пропорции. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член:

   

   

   

Ответ: 13,5.

При решении пропорций с десятичными дробями удобно для упрощения вычислений использовать основное свойство дроби.

   

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов делим на известный средний член пропорции:

   

В числителе после запятой в общей сложности два знака, в знаменателе — один. Поэтому, умножив и числитель, и знаменатель на 100,  мы получим дробь, равную данной. В числителе умножение на 100 распределим так: каждый из множителей умножим на 10. В знаменателе 0,6 умножим на 10 и результат умножим на 10: 

   

Сокращаем 24 и 6 на 6, 10 и 45 — на 5:

   

Еще раз сокращаем 4 и 2 на 2:

   

   

Ответ: 18.

Решение пропорций с обыкновенными дробями и смешанными числами удобнее записывать в строчку.

   

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов разделим на известный крайний член:

   

Смешанные числа переводим в неправильные дроби:

   

   

   

Ответ: 28.

При решении более сложных пропорций удобно использовать непосредственно основное свойство пропорции.

   

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов:

   

Здесь удобно упростить уравнение, разделив обе части на 5:

   

   

   

   

   

   

Ответ: 10,5.

   

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

   

Для упрощения вычислений удобно умножить каждую часть уравнения на 10:

   

   

   

Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

   

Ответ: 1,12.

Урок 5. пропорции — Математика — 6 класс

Математика

6 класс

Урок № 5

Пропорции

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Понятие пропорции.
  • Основное свойство пропорции.
  • Как правильно составить пропорцию.
  • Как найти неизвестный член пропорции.

Тезаурус

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Основная литература

  1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
  2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Если один член пропорции неизвестен и необходимо его определить, то говорят, что нужно решить пропорцию.

Рассмотрим 3 способа нахождения неизвестного члена пропорции.

1 способ.

2 способ.

Способ 3.

Задача.

Решение:

Ответ:

1) можно;

2) можно;

3) нельзя;

4) нельзя.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: сортировка элементов по категориям.

№2. Тип задания: Подстановка элементов в пропуски в тексте.

Найдите неизвестный член пропорции.

Для нахождения неизвестного члена пропорции воспользуемся основным свойством пропорции, из которого следует: чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних членов разделить на известный средний член пропорции.

Ответ: 3.

Как составить и рассчитать пропорцию: онлайн калькулятор

Онлайн калькулятор пропорций



Формула пропорций

Пропо́рция — это равенство двух отношений, когда a:b=c:d

средние
члены
1:10=7:70
крайние члены
0,1=0,1
1 10 = 7 70

Основные свойства пропорции

Произведение крайних членов равно произведению средних членов (крест-накрест): если a:b=c:d, то a⋅d=b⋅c

1
10 ✕ 7
70

1  70 = 10  7

Обращение пропорции: если a:b=c:d, то b:a=d:c

1
10 7
70

10
1 = 70
7

Перестановка средних членов: если a:b=c:d, то a:c=b:d

1
10 7
70

1
7 = 10
70

Перестановка крайних членов: если a:b=c:d, то d:b=c:a

1
10 7
70

70
10 = 7
1


Решение пропорции с одним неизвестным | Уравнение

1 : 10 = x : 70



1
10 = x
70

Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение

x = 1  70
10 = 7



Как посчитать пропорцию

Задача: нужно пить 1 таблетку активированного угля на 10 килограмм веса. Сколько таблеток нужно выпить, если человек весит 70 кг?

Составим пропорцию:
1 таблетка — 10 кг
x таблеток — 70 кг

Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение:
1 таблетка
x таблеток ✕ 10 кг
70 кг

x = 1  70 : 10 = 7

Ответ: 7 таблеток

Задача: за пять часов Вася пишет две статьи. Сколько статей он напишет за 20 часов?

Составим пропорцию:
2 статьи — 5 часов 
x статей — 20 часов

x = 2  20 : 5 = 8

Ответ: 8 статей


Будущим выпускникам школ могу сказать, что умение составлять пропорции мне пригодилось и при расчёте процентов, и для того, чтобы пропорционально уменьшать картинки, и в HTML-вёрстке интернет-страницы, и в бытовых ситуациях.

Составить пропорцию

Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика  обречена быть хромой  и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:

что тоже самое (это разная форма записи).

Пример:

Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).

Основное правило пропорции:

a:b=c:d

произведение крайних членов равно произведению средних

то есть

a∙d=b∙c

*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти. 

Если рассматривать форму записи вида:

то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали

a∙d=b∙c

Как видите результат тот же.

Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.

Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.

Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b,  c – числа:

Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.

Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:

1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях «Задачи на проценты. Часть 1!» и «Задачи на проценты. Часть 2!».

2. Многие формулы заданы в виде пропорций:

    > теорема синусов

    > отношение элементов в треугольнике

    > теорема тангенсов

> теорема Фалеса и другие.

3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3  и прочие.

4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной  мере, так и для перевода из одной меры в другую:

  —  часы в минуты (и наоборот).

  —  единицы объёма, площади.

  —  длины, например мили в километры (и наоборот).

  —  градусы в радианы  (и наоборот).

здесь без составления пропорции не обойтись.

Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:

Необходимо определить число, которое составляет 35%  от 700.

В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:

Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.

Иксу соответствует 35 процентов. Значит,

700    –    100%

х       –     35 %

Решаем

Ответ: 245

Переведём 50 минут в часы.

Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие — x часов это 50 минут. Значит

1    –    60

х    –    50

Решаем:

То есть 50 минут это пять шестых часа.

Ответ: 5/6

Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?

Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:

Одной миле соответствует 1,6 километра.

Икс миль это три километра.

1    –    1,6

х    –    3

Ответ: 1,875 миль

Вы знаете, что для перевода  градусов в радианы (и обратно) существуют  формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.

Переведём 65 градусов в радианную меру.

Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.

Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.

Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.

Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан.

Если записать отношение в общем виде, то получится

То есть, если необходимо перевести градусы в радианы, то подставляете в эту пропорцию градусы и вычисляете радианы; если необходимо перевести радианы в градусы, то подставляете радианы  и вычисляете градусы.

Можете изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!

Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ — здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика!!!

Всего доброго!

С уважением, Александр 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Пропорция

Продолжаем изучать соотношения. В данном уроке мы познакомимся с пропорцией.

Что такое пропорция?

Пропорцией называют равенство двух отношений. Например, отношение  равно отношению 

Данная пропорция читается следующим образом:

Десять так относится к пяти, как два относится к одному

Дроби, из которых составлена пропорция, всегда равны. Например, если в пропорции выполнить деление в обеих дробях, то получится число 2 в обеих частях:

Предположим, что в классе 10 девочек и 5 мальчиков

Запишем отношение десяти девочек к пяти мальчикам:

10 : 5

Преобразуем данное отношение в дробь

Выполнив деление в этой дроби, мы получим 2. То есть десять девочек так будут относиться к пяти мальчикам, что на одного мальчика будет приходиться две девочки

Теперь рассмотрим другой класс в котором две девочки и один мальчик

Запишем отношение двух девочек к одному мальчику:

2 : 1

Преобразуем данное отношение в дробь:

Выполнив деление в этой дроби, мы снова получим 2. То есть две девочки так будут относиться к одному мальчику, что на этого одного мальчика будут приходиться две девочки:

Можно сделать вывод, что отношение  пропорционально отношению . Поэтому оно и читалось как «десять так относится к пяти, как два относится к одному».

В нашем примере десять девочек так относятся к пяти мальчикам, как и две девочки относятся к одному мальчику.

Пример 2. Рассмотрим отношение 12 девочек к 3 мальчикам

а также отношение 12 девочек к 2 мальчикам

Данные отношения не являются пропорциональными. Другими словами, мы не можем записать, что , поскольку первое отношение, как видно на рисунке показывает, что на одного мальчика приходятся четыре девочки, а второе отношение показывает, что на одного мальчика приходятся шесть девочек.

Поэтому отношение  не пропорционально отношению .

Из рассмотренных примеров видно, что пропорция составляется из дробей. Первая рассмотренная нами пропорция  состоит из двух дробей. Если выполнить деление в этих дробях, то получим, что 2=2. Понятно, что 2 равно 2.

Вторая рассмотренная нами пропорция была . Мы пришли к выводу, что она составлена неправильно, поэтому поставили между дробями  и  знак не равно (≠). Если выполнить деление в этих дробях, получим числа 4 и 6. Понятно, что 4 не равно 6.

Рассмотрим пропорцию . Данная пропорция составлена правильно, поскольку отношения    и    равны между собой:

Можно проверить это, выполнив деление в этих дробях, то есть разделить 4 на 2, а 8 на 4. В результате с двух сторон получатся двойки. А 2 равно 2

2 = 2

Все числа, находящиеся в пропорции (числители и знаменатели обеих дробей) называются членами пропорции. Эти члены подразделяются на два вида: крайние члены и средние члены.

В нашей пропорции    крайние члены это 4 и 4, а средние члены это 2 и 8

Почему крайние члены называют крайними, а средние средними? Если записать пропорцию не в дробном, а в обычном виде, то сразу станет всё понятно:

4 : 2 = 8 : 4

Числа 4 и 4 располагаются с краю, поэтому их назвали крайними, а числа 2 и 8 располагаются посередине, поэтому их назвали средними:

С помощью переменных пропорцию можно записать так:

Данное выражение можно прочесть следующим образом:

a так относится к b, как c относится к d

Смысл данного предложения уже понятен. Речь идет о членах, участвующих в соотношении. a и d — это крайние члены пропорции, b и c — средние члены пропорции.


Основное свойство пропорции

Основное свойство пропорции выглядит следующим образом:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Мы знаем, что произведение это ни что иное, как обычное умножение. Чтобы проверить правильно ли составлена пропорция, нужно перемножить её крайние и средние члены. Если произведение крайних членов будет равно произведению средних членов, то такая пропорция составлена правильно.

Например, проверим правильно ли составлена пропорция . Для этого перемножим её крайние и средние члены. Легко заметить, что крайние и средние члены пропорции располагаются «крест-накрест», поэтому в умножении нет ничего сложного. Перемножаем члены пропорции «крест-накрест»:

4 × 4 = 16 — произведение крайних членов пропорции равно 16.

2 × 8 = 16 — произведение средних членов пропорции так же равно 16.

4 × 4 = 2 × 8

16 = 16

4 × 4 = 2 × 8 — произведение крайних членов равно произведению средних членов. Значит пропорция  составлена правильно.


Пример 2. Проверить правильно ли составлена пропорция

Проверим равно ли произведение крайних членов пропорции произведению её средних членов. Перемножим члены пропорции крест-накрест:

2 × 6 = 12 — произведение крайних членов пропорции равно 12

3 × 1 = 3 — произведение средних членов пропорции равно 3

2 × 6 ≠ 3 × 1

12 ≠ 3

2 × 6 ≠ 3 × 1 — произведение крайних членов пропорции НЕ равно произведению её средних членов. Значит пропорция  составлена неправильно.

Поэтому в пропорции  разумнее заменить знак равенства (=) на знак не равно (≠)


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Задачи и задания на пропорции: примеры и решение

Решение заданий на пропорции

Если один из членов пропорции неизвестен и надо его найти, то говорят, что надо решить пропорцию. Решение пропорций всегда выполняется с помощью свойства пропорции.

Задание 1. Найдите неизвестный член пропорции:



a)   x   =   3 ;     б)   1   =   5  .
2 1 3 x

Решение: Так как неизвестны крайние члены пропорции, то для их нахождения надо умножить средние члены и разделить полученный результат на известный крайний член:



a) x =   2 · 3 ,   x = 6.
1



б) x =   3 · 5 ,   x = 15.
1

Ответ:  а) x = 6,   б) x = 15.

Задание 2. Решите пропорции:



a)   30   =   5 ;     б)   7   =   x  .
x 8 5 10

Решение: Так как неизвестны средние члены пропорции, то для их нахождения надо умножить крайние члены и разделить полученный результат на известный средний член:



a) x =   30 · 8 ,   x = 48.
5



б) x =   7 · 10 ,   x = 14.
5

Ответ:  а) x = 48,   б) x = 14.

Задание 3. Известно, что  21x = 14y.   Найдите отношение  x  к  y.

Решение: Сначала сократим обе части равенства на общий множитель  7:

получим:

3x = 2y.

Теперь разделим обе части на  3y,  чтобы в левой части у  x  убрать множитель  3,  а в правой части избавиться от  y:

После сокращения отношений у нас остаётся:

Ответ:  2 к 3.

Задачи на пропорции с решением

Задача 1. Из  300  читателей библиотеки  108  человек — студенты. Какой процент всех читателей составляют студенты?

Решение: Примем всех читателей библиотеки за  100%  и запишем условие задачи кратко:

300 — 100%

108 — ?%

Составим пропорцию:

Найдём  x:



x =   108 · 100   = 36.
300

Ответ:  36%  всех читателей составляют студенты.

Задача 2. При варке варенья используют ягоды и сахар в отношении  5:2.  Сколько надо ягод, если взяли  450  грамм сахара?

Решение: Составим пропорцию:

Найдём  x:



x =   5 · 450   = 1125.
2

Ответ:  На  450  гр сахара надо взять  1125  гр ягод.

стандартный расчет с помощью пропорций

Сегодня мы продолжаем серию видеоуроков, посвященных задачам на проценты из ЕГЭ по математике. В частности, разберем две вполне реальных задачи из ЕГЭ и еще раз убедимся, насколько важно внимательно читать условие задачи и правильно его интерпретировать.

Итак, первая задача:

Задача. Только 95% и 37 500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу B1?

На первый взгляд кажется, что это какая-то задача для кэпов. Наподобие:

Задача. На дереве сидело 7 птичек. 3 из них улетело. Сколько птичек улетело?

Тем не менее, давай все-таки сосчитаем. Решать будем методом пропорций. Итак, у нас есть 37 500 учеников — это 100%. А также есть некое число x учеников, которое составляет 95% тех самых счастливчиков, которые правильно решили задачу B1. Записываем это:

37 500 — 100%
X — 95%

Нужно составить пропорцию и найти x. Получаем:

Перед нами классическая пропорция, но прежде чем воспользоваться основным свойством и перемножить ее крест-накрест, предлагаю разделить обе части уравнения на 100. Другими словами, зачеркнем в числителе каждой дроби по два нуля. Перепишем полученное уравнение:

По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Другими словами:

x = 375 · 95

Это довольно большие числа, поэтому придется умножать их столбиком. Напоминаю, что пользоваться калькулятором на ЕГЭ по математике категорически запрещено. Получим:

x = 35 625

Итого ответ: 35 625. Именно столько человек из исходных 37 500 решили задачу B1 правильно. Как видите, эти числа довольно близки, что вполне логично, потому что 95% тоже очень близки к 100%. В общем, первая задача решена. Переходим к второй.

Задача на проценты №2

Задача. Только 80% из 45 000 выпускников города правильно решили задачу B9. Сколько человек решили задачу B9 неправильно?

Решаем по той же самой схеме. Изначально было 45 000 выпускников — это 100%. Затем из этого количества надо выбрать x выпускников, которые должны составить 80% от исходного количества. Составляем пропорцию и решаем:

45 000 — 100%
x — 80%

Давайте сократим по одному нулю в числителе и знаменателе 2-й дроби. Еще раз перепишем полученную конструкцию:

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:

45 000 · 8 = x · 10

Это простейшее линейное уравнение. Выразим из него переменную x:

x = 45 000 · 8 : 10

Сокращаем по одному нулю у 45 000 и у 10, в знаменателе остается единица, поэтому все, что нам нужно — это найти значение выражения:

x = 4500 · 8

Можно, конечно, поступить так же, как в прошлый раз, и перемножить эти числа столбиком. Но давайте не будем сами себе усложнять жизнь, и вместо умножения столбиком разложим восьмерку на множители:

x = 4500 · 2 · 2 · 2 = 9000 · 2 · 2 = 36 000

А теперь — самое главное, о чем я говорил в самом начале урока. Нужно внимательно читать условие задачи!

Что от нас требуется узнать? Сколько человек решили задачу B9 неправильно. А мы только что нашли тех людей, которые решили правильно. Таких оказалось 80% от исходного числа, т. е. 36 000. Это значит, что для получения окончательного ответа надо вычесть из исходной численности учеников наши 80%. Получим:

45 000 − 36 000 = 9000

Полученное число 9000 — это и есть ответ к задаче. Итого в этом городе из 45 000 выпускников 9000 человек решили задачу B9 неправильно. Все, задача решена.

Я надеюсь, что этот ролик поможет тем, кто самостоятельно готовится к ЕГЭ по математике. А у меня на этом все. С вами был Павел Бердов. До новых встреч!:)

Смотрите также:

  1. Процент: налоги и зарплата. Считаем с помощью коэффициентов
  2. Задачи на проценты: считаем проценты с помощью пропорции
  3. Как решать квадратные уравнения
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 11 (без логарифмов)
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 3 вариант
  6. Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение используем пропорции

Соотношения и пропорции — Пропорции

Пропорция
просто утверждение, что два соотношения равны. Это можно записать двумя
способами: как две равные дроби a / b = c / d; или используя двоеточие, a: b = c: d. Следующие
пропорция читается как «двадцать равно двадцати пяти, как четыре — пяти».

В проблемах
включая пропорции, мы можем использовать перекрестные произведения, чтобы проверить,
равны и образуют пропорцию.Чтобы найти перекрестные произведения пропорции,
мы умножаем внешние члены, называемые крайними, и средние, называемые
значение.

Здесь 20 и
5 — крайности, а 25 и 4 — средства. Поскольку кросс-продукты
оба равны сотне, мы знаем, что эти отношения равны и что это
это верная пропорция.

Мы также можем
используйте перекрестные произведения, чтобы найти пропущенный член в пропорции.Вот пример.
В фильме ужасов с участием гигантского жука он выглядел на 50 футов выше.
длинный. Однако для жука использовалась модель, которая на самом деле была всего 20 дюймов.
длинный. В фильме также использовалась модель здания высотой 30 дюймов. Какого роста
здание кажется в фильме?

Сначала напишите
пропорция, в которой пропущенный член заменяется буквой. Мы находим
произведите перекрестное произведение, умножив 20 на x и 50 на 30.Затем разделите на
найти х. Внимательно изучите этот шаг, потому что это метод, который мы будем часто использовать.
по алгебре. Мы пытаемся найти неизвестное нам число x в левой части
уравнение само по себе. Поскольку x умножается на 20, мы можем использовать «обратный»
умножения, то есть деления, чтобы избавиться от 20. Мы можем разделить и то, и другое.
стороны уравнения на одно и то же число, не меняя смысла
уравнение. Когда мы разделим обе стороны на 20, мы обнаружим, что здание будет
кажутся 75 футов высотой.

Обратите внимание, что мы
используя обратное умножение на 20, то есть деление на 20, чтобы получить только x
на одной стороне.

назад
наверх

Как вычислять соотношения и пропорции в математике

Обновлено 12 февраля 2020 г.

Кевин Бек

Рецензент: Lana Bandoim, B.S.

Концепция пропорции , вероятно, вам знакома, но вы не сможете дать ей строгое математическое определение.Например, вы можете распознать, что 10-летний ребенок меньше взрослого обычного размера, точно так же, как этот же взрослый меньше профессионального баскетболиста, даже если эти три размера разные.

Точно так же вы, вероятно, знакомы с понятием отношения . Например, если вы участвуете в спортивном соревновании и знаете, что соотношение болельщиков-соперников и дружелюбных болельщиков велико, вы можете быть менее демонстративны, когда ваш любимый клуб забивает гол, чем если бы это соотношение было обратным.

В математике и статистике существует множество вопросов о пропорциях, процентах и ​​соотношениях. К счастью, краткого объяснения основных понятий и нескольких примеров должно быть достаточно, чтобы вы пропорционально лучше изучаете математику.

Соотношения и пропорции

Отношение — это, по сути, дробь или два числа, выраженные как частное, например 3/4 или 179/2385. Но это особый вид дроби, которая используется для сравнения связанных величин. Например, если в комнате 11 мальчиков и 13 девочек, соотношение мальчиков и девочек составляет 11 к 13, что может быть записано как 11/13 или 11:13.

Коэффициент — это латинское слово, означающее «разум». Определение рационального числа может быть выражено в виде дроби; некоторые числа, такие как значение π в геометрии, иррациональны и не могут быть выражены таким образом, вместо этого они выражаются как бесконечное десятичное число. Возможно, древние математики сочли такое положение «необоснованным».

Пропорция — это просто выражение, устанавливающее два равных друг другу отношения с использованием различных абсолютных чисел в дробях.Пропорции записываются как соотношения, например, a / b = c / d или a: b = c: d.

Как вычислить соотношения

Для решения большинства простых задач с соотношениями вам не нужна необычная функция калькулятора соотношений. Например, вы ходите в спортзал 17 раз за 30 дней в месяц. Каково ваше соотношение дней в тренажерном зале к дням без занятий в тренажерном зале в этом месяце?

Ответ — , а не (дни в спортзале / общее количество дней), поэтому не поддавайтесь соблазну думать, что ответ — 17:30. Вместо этого вычтите дни в тренажерном зале из общего количества дней, чтобы получить дни без занятий в тренажерном зале, необходимую вторую часть вашего соотношения.Следовательно, ответ — 17:13 (или 17/13).

Как вычислить пропорцию

Иногда очевидно, что без выполнения каких-либо вычислений два отношения пропорциональны друг другу. Если вы и ваша собака — единственные два животных в комнате, и вам сказали, что в соседнем спортзале 457 человек и 457 собак, то вы знаете, что соотношение людей и собак одинаково в обоих помещениях.

Но как насчет соотношений, которые нелегко сравнить с первого взгляда? Например, пропорционально ли 17/52 3/9? Если нет, то что больше?

Один из способов сделать это — вычислить десятичные числа каждой дроби и посмотреть, какая из них больше.Но если вы понимаете пропорции, вы можете вместо этого использовать перекрестное умножение, умножая противоположные знаменатели и числители:

(17/52) =? = (3/9)

(17) (9) = 153; (3) (52) = 156

Таким образом, отношения не совсем равны (3/9 немного больше), и доли не пропорциональны.

Что такое константа пропорциональности?

Константа пропорциональности представляет собой постоянную разницу между отношениями пропорциональности. Если a пропорционально b, то в выражении a = kb , k — константа пропорциональности.Две переменные a и b называются обратно пропорциональными , когда их произведение ab является константой для всех a и b, то есть когда a = C / b и b = C / a.

Пример: Количество поклонников стрельбы из лука пропорционально количеству фанатов бейсбола в данной кофейне. Сначала 6 любителей стрельбы из лука и 9 любителей бейсбола. Если число фанатов бейсбола увеличится до 24, сколько должно быть поклонников стрельбы из лука?

Решить относительно k, где a = kb, a = 6 и b = 9:
k = 6/9 = 2/3 = 0.667

Теперь решите уравнение a = (0,667) (24), чтобы получить 16 любителей стрельбы из лука в теперь более переполненном кафе.

Пропорции

Пропорция означает, что два соотношения (или дроби) равны.

Пример:

Таким образом, 1 из 3 равно 2 из 6

Коэффициенты одинаковы, поэтому они пропорциональны.

Пример: веревка

Длина веревки и вес пропорциональны.

Если 20 м каната весит 1 кг , тогда:

  • 40 м троса весит 2 кг
  • 200 м из этого каната весит 10 кг
  • и т. Д.

Итак:

20
1
знак равно
40
2

Размеры

Когда формы «пропорциональны», их относительные размеры одинаковы.

Здесь мы видим, что отношения длины головы к длине тела одинаковы на обоих рисунках.

Значит они пропорциональны .

Слишком длинная или короткая голова будет выглядеть плохо!

Пример: международные размеры бумаги (например, A3, A4, A5 и т. Д.) Имеют одинаковые пропорции:

Таким образом, любой рисунок или документ можно изменить, чтобы он поместился на любом листе.Очень аккуратный.

Работа с пропорциями

ТЕПЕРЬ, как нам это использовать?

Пример: вы хотите нарисовать голову собаки … какой длины она должна быть?

Запишем пропорцию с помощью соотношения 10/20 сверху:

?
42
знак равно
10
20

Сейчас
решаем специальным методом:

Умножьте на известные углы,
затем разделите на третье число

И получаем это:

? = (42 × 10) / 20
= 420/20
= 21

Итак, вам следует нарисовать голову 21 длиной .

Использование пропорций для вычисления процентов

Процент — это на самом деле соотношение! Сказать «25%» на самом деле означает «25 на 100»:

25% = 25 100

Мы можем использовать пропорции для решения вопросов, связанных с процентами.

Уловка состоит в том, чтобы поместить то, что мы знаем, в эту форму:

Часть Целая = Процент 100

Пример: что составляет 25% от 160?

Процент 25, целое 160, и мы хотим найти «часть»:

Деталь 160 = 25 100

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число:

Деталь = (160 × 25) / 100
= 4000/100
= 40

Ответ: 25% от 160 это 40.

Примечание: мы также могли бы решить эту проблему, выполнив сначала разделение, например:

Часть = 160 × (25/100)
= 160 × 0,25
= 40

Любой метод работает нормально.

Мы также можем найти процент:

Пример: сколько будет 12 долларов в процентах от 80 долларов?

Укажите, что нам известно:

$ 12 $ 80 = процентов 100

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число.На этот раз известные углы — верхний левый и нижний правый:

.

Процент = (12 долларов США × 100) / 80 долларов США
= 1200/80
= 15%

Ответ: 12 долларов — это 15% из 80 долларов

Или найдите все:

Пример: продажная цена телефона составляла 150 долларов, что составляло всего 80% от нормальной цены. Какая была нормальная цена?

Укажите, что нам известно:

$ 150 Всего = 80 100

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число:

Всего = (150 $ × 100) / 80
= 15000/80
= 187.50

Ответ: у телефона нормальная цена была 187,50 $

Использование пропорций для решения треугольников

Мы можем использовать пропорции для решения подобных треугольников.

Пример: Какова высота дерева?

Сэм попытался использовать лестницу, рулетку, веревки и другие вещи, но так и не смог определить, насколько высоким было дерево.

Но тут Сэму пришла в голову умная идея … похожие треугольники!

Сэм измеряет палку и ее тень (в метрах), а также тень от дерева, и вот что он получает:

Теперь Сэм делает набросок треугольников и записывает соотношение «высота к длине» для обоих треугольников:

Высота:
Длина тени: h
2.9 мес. =
2,4 м
1,3 м

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число:

h = (2,9 × 2,4) / 1,3
= 6,96 / 1,3
= 5,4 м (с точностью до 0,1)

Ответ: дерево 5,4 м высотой.

И ему даже лестница не понадобилась!

«Высота» могла быть внизу, если она была внизу для ОБОИХ соотношений, например:

Попробуем соотношение «Длина тени к высоте»:

Длина тени:
Высота:
2.9 м
ч =
1,3 м
2,4 м

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число:

h = (2,9 × 2,4) / 1,3
= 6,96 / 1,3
= 5,4 м (с точностью до 0,1)

Это тот же расчет, что и раньше.

A «Бетон», пример

Коэффициенты могут иметь более двух чисел !

Например, бетон получают путем смешивания цемента, песка, камней и воды.

Типичная смесь цемента, песка и камней записывается как соотношение, например 1: 2: 6.

Мы можем умножить все значения на одну и ту же величину и получить то же соотношение.

10:20:60 совпадает с 1: 2: 6

Итак, когда мы используем 10 ведер цемента, мы должны использовать 20 ведер песка и 60 камней.

Пример: вы только что засыпали 12 ведер камней в миксер. Сколько цемента и сколько песка нужно добавить, чтобы получилась смесь 1: 2: 6?

Разложим в таблице для наглядности:

Цемент Песок Камни
Необходимое соотношение: 1 2 6
У вас: 12

У вас 12 ведер с камнями, но в соотношении 6.

Это нормально, у вас просто вдвое больше камней, чем число в соотношении … так что вам нужно в два раза больше из всего , чтобы сохранить соотношение.

Вот решение:

Цемент Песок Камни
Необходимое соотношение: 1 2 6
У вас: 2 4 12

И соотношение 2: 4: 12 такое же, как 1: 2: 6 (потому что они показывают те же относительные размеры )

Итак, ответ: добавьте 2 ведра цемента и 4 ведра песка. (Вам также понадобится вода и много перемешивания ….)

Почему у них одинаковое соотношение? Ну, соотношение 1: 2: 6 говорит о :

  • вдвое больше песка, чем цемента (1: 2: 6)
  • В 6 раз больше камней, чем цемента (1: 2: 6)

В нашем миксе:

  • вдвое больше песка, чем цемента (2: 4: 12)
  • В 6 раз больше камней, чем цемента (2: 4: 12)

Так должно быть в самый раз!

Это хорошая вещь о соотношениях.Вы можете увеличивать или уменьшать количество, и если относительные размеры одинаковы, то соотношение будет таким же.

Пропорции — Объяснение и примеры

Трудно представить, какой была бы наша жизнь без математических понятий, таких как пропорции. В нашей повседневной жизни мы часто сталкиваемся с пропорциями и соотношениями, когда идем за покупками, готовим, во время профессиональной поездки и т. Д.

Соотношения и пропорции важны для — эффективной работы. В этой статье мы узнаем, как рассчитать пропорции и применить полученные знания для решения типовых задач, но перед этим давайте начнем с определения соотношений.

Коэффициент — это способ сравнения двух или более величин. Знак, используемый для обозначения отношения, — двоеточие «: » Предположим, что a и b — две разные величины или числа, тогда отношение a к b можно записать как a / b или a: b.Точно так же отношение b к a также может быть представлено как b: a или b / a. Первая величина в соотношении называется антецедентом, а вторая величина — как следствие.

Примеры соотношений: : или 3: 4, 1/5 или 1: 5, 199/389 или 199: 389 и т. Д. Из этого примера очевидно, что соотношение — это просто дробь, в которой антецедент равен числитель и консеквент являются знаменателем.

Знаменитый рисунок Витрувианского человека Леонардо да Винчи был основан на идеальных пропорциях человеческого тела.Каждая часть тела занимает разное соотношение, например, лицо занимает около 1/10 от общей высоты, а голова занимает около 1/8 от общей высоты. Писатели средневековья впервые использовали слово proportio (пропорция). В 1948 году Ле Корбюзье дал систему пропорций.

Что такое пропорция?

Пропорция — это выражение, которое говорит нам, что два отношения эквивалентны. Два отношения называются пропорциональными, если они эквивалентны. Пропорции обозначаются знаком «:» или «=».Например, если a, b, c и d — целые числа, тогда пропорция записывается как a: b = c: d или a / b = c / d или b: a = d: c. Например, отношения 3: 5 и 15: 25 пропорциональны и записываются как 3: 5 = 15: 25

Четыре числа a, b, c и d известны как члены пропорции. Первый a и последний член d называются крайними членами, а второй и третий члены в пропорциональном выражении называются средними членами.

Как решить пропорции?

Легко вычислить, пропорциональны ли соотношения.Чтобы проверить, пропорционально ли соотношение a: b и c: d.

  • Умножьте первый член на последний член: axd
  • Умножьте второй член на третий член: bxc
  • Если произведение крайних членов равно произведению средних членов, то отношения пропорциональны: axd = bxc

Непрерывная пропорция

Говорят, что два отношения a: b и b: c находятся в непрерывной пропорции, если a: b = b: c. В этом случае член c называется третьей пропорцией a и b, тогда как b называется средней пропорцией между членами a и c.

Когда члены a, b и c находятся в непрерывной пропорции, получается следующая формула:

a / b = b / c

Перекрестное умножение членов дает; a x c = b x b, Следовательно,

b² = ac

Пример 1

Выясните, пропорциональны ли следующие соотношения: 8:10 и 12:15.

Пояснение

  • Умножьте первый и четвертый члены отношений.

8 × 15 = 120

  • Теперь умножьте второй и третий член.

10 × 12 = 120

  • Поскольку произведение крайностей равно произведению средних,
  • Поскольку произведение средних (120) = произведение крайностей (120),
  • Следовательно, 8 : 10 и 12:15 пропорциональны.

Пример 2

Проверьте, пропорционально ли соотношение 6: 12 :: 12: 24.

Объяснение

  • Это случай непрерывной пропорции, поэтому примените формулу axc = bxb,
  • В этом случае a: b: c = 6: 12: 24, следовательно, a = 6, b = 12 и c = 24
  • Умножьте первое и третье слагаемые:

6 × 24 = 144

  • Квадрат средних членов:

(12) ² = 12 × 12 = 144

  • Следовательно, соотношение 6:12:24 пропорционально.

Пример 3

Если 12: 18 :: 20: стр.Найдите значение x, чтобы соотношения были пропорциональными?

Объяснение

Дано: 12: 18 :: 20: p

Приравняйте произведение крайностей к произведению средств;
⇒ 12 × p = 20 × 18
⇒ p = (20 × 18) / 12

Решить относительно p;
⇒ p = 30
Следовательно, значение p = 30

Пример 4

Найдите третье, пропорциональное 3 и 6.

Объяснение

  • Пусть третье пропорционально быть c.
  • Тогда b² = ac
    6 x 6 = 3 xc

C = 36/3

= 12

Таким образом, третье значение, пропорциональное 3 и 6, равно 12

Пример 5

Вычислить среднее пропорциональное между 3 и 27

Пояснение

  • Пусть среднее пропорциональное между 3 и 27 будет m.
  • Применяя формулу b² = ac; ‘

Следовательно, mxm = 27 x 3 = 81

m 2 = 81
⇒ m = √81
⇒ m = 9
Следовательно, среднее значение, пропорциональное между 3 и 27, равно 9

Пример 6

Учитывая отношения a: b = 4: 5 и b: c = 6: 7, определите соотношение a: b: c.

Объяснение

  • Так как b является общим членом между двумя отношениями;
  • Умножьте каждый член первого отношения на значение b второго отношения;

a: b = 4: 5 = 24:30,

  • Также умножьте каждый член во втором соотношении на значение b в первом соотношении;

b: c = 6: 7 = 30: 35

Следовательно, соотношение a: b: c = 24:30:35

Золотое сечение

Самым большим применением пропорции является золотое сечение , который очень помог в анализе пропорций различных объектов и искусственных систем, таких как финансовые рынки.Считается, что эти две величины находятся в золотом сечении, если их отношение равно отношению их суммы к большей из двух величин, то есть (a + b) / a = a / b, где a> b> 0.

Это соотношение обозначается греческой буквой φ. Далее упрощая это уравнение, мы получаем φ 2 — φ — 1 = 0. И решая это с помощью квадратичной формулы, мы получаем φ = 1.6180339887…

Евклид и многие математики после него работали над золотым сечением и обнаружили его существование. в правильном пятиугольнике и золотом прямоугольнике.

Практические вопросы

1. Определите значение пропущенной буквы в каждой из следующих пропорций.

а. 6: 9 = h: 15

б. т: 7 = 12: 21

в. 4: у = 8: 14

д. d: 3 = 0,4: 0,5

д. 1/3 ∶ 1/4 = 1/9:

f. 9: k = 6: 10

г. 2: 7 = м: 42

ч. 30: 25 = 42: r

i. x: 1,5 = 6,3: 4,5

2. Учитывая первый, второй и четвертый члены в пропорции 9, 21 и 77 соответственно.Вычислите значение третьего члена.

3. Стоимость 4 кг риса 28 долларов. Найдите стоимость 20 кг риса.

4. Отношение длины цветника к ширине 3/2. Рассчитайте длину цветника, если ширина 36 м.

5. В церковном хоре должны быть сформированы группы из мужчин и женщин. Если каждая группа должна состоять из 6 женщин и 4 мужчин. Сколько мужчин нужно, если в церкви 102 женщины?

Ответы

1.

а. 10

б. 4

г. 7

г. 2,4

e. 1/12

ф. 15

г. 12

ч. 35

и. 2.1

2. 33

3. $ 140

4. 54 м

5. 68

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Доля населения — Статистика How To

Статистические определения> Доля населения

Какова доля населения?

Доля населения — это часть населения , имеющая определенную характеристику.Например, предположим, что у вас 1000 человек в населении, и 237 из них имеют голубые глаза. Доля людей с голубыми глазами — 237 из 1000, или 237/1000. Буква p используется для обозначения доли населения, поэтому этот факт можно записать так:
p = 237/1000.
Вы также можете записать 237/100 в виде десятичной дроби (разделив 1000 на 237). Если вы это сделали, то p = 0,237.

Диаграмма Венна, животные в клинике и «собаки», подмножество популяции.

Пример вопроса: Ветеринарная клиника сообщает, что из 3412 животных, зарегистрированных в клинике, 1712 — собаки, 1012 — кошки, а остальные — грызуны или птицы. Какова доля собак в клинике p?

Ответ: Количество собак — 1 712, общее количество — 3 412 голов. Следовательно, p = 1,712 / 3,412. В десятичном формате это p = 1712/3412 = 0,502 (с точностью до двух десятичных знаков).

Формула

Чтобы получить «p», просто разделите общую популяцию (в приведенном выше вопросе это животные в клинике) на количество предметов, которые вас интересуют (в приведенном выше случае это собаки).В виде формулы это записывается как

р = х / п

Где:
«x» — это количество элементов, которые вас интересуют, а
«n» — это общее количество элементов в генеральной совокупности.

Примечание : Хотя «p» обычно используется в качестве символа доли населения, вы также можете увидеть вместо него букву «пи» (π).

Оценка p

В реальном мире вы обычно не знаете фактов обо всей совокупности, поэтому вы используете выборочные данные для оценки p.Этот образец пропорции записывается как p̂, произносится как p-hat . Он рассчитывается таким же образом, за исключением того, что вы используете данные из выборки: просто разделите общее количество элементов в выборке на количество элементов, которые вас интересуют.

Пример вопроса: При опросе 3121 человека 412 были недостаточно вакцинированы. Какая доля недовакцинированных людей среди местного населения?

Ответ: Вы не знаете данных о населении для данной местности, поэтому используйте данные для примера:
p̂ = x / n
= 412/3121
= 0.132 (до 3 знаков после запятой).

Next : Использование выборки для оценки с.

См. Также: Доверительный интервал для населения. Пропорция.

Список литературы

Гоник Л. (1993). Мультяшный справочник по статистике. HarperPerennial.
Kotz, S .; и др., ред. (2006), Энциклопедия статистических наук, Wiley.
Vogt, W.P. (2005). Словарь статистики и методологии: нетехническое руководство для социальных наук. МУДРЕЦ.
Уилан, К.(2014). Голая статистика. W. W. Norton & Company

————————————————— —————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С помощью Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .

Соотношения и пропорции и способы их решения (Алгебра 1, Как решать линейные уравнения) — Mathplanet

Давайте поговорим о пропорциях и пропорциях. Когда мы говорим о скорости автомобиля или самолета, мы измеряем ее в милях в час. Это называется ставкой и является разновидностью соотношения. Отношение — это способ сравнения двух величин с использованием деления в милях в час, где мы сравниваем мили и часы.

Отношение можно записать тремя разными способами, и все они читаются как «отношение x к y»

$$ x \: to \: y $$

$$ x: y $$

$$ \ frac {x} {y} $$

С другой стороны, пропорция — это уравнение, которое говорит, что два отношения эквивалентны.Например, если один пакет смеси файлов cookie приводит к получению 20 файлов cookie, это было бы то же самое, что сказать, что два пакета приведут к созданию 40 файлов cookie.

$$ \ frac {20} {1} = \ frac {40} {2} $$

Пропорция читается как «x относится к y, как z относится к w»

$$ \ frac {x} {y} = \ frac {z} {w} \: где \: y, w \ neq 0 $$

Если одно число в пропорции неизвестно, вы можете найти это число, решив пропорцию.


Пример

Вы знаете, что для приготовления 20 блинов нужно использовать 2 яйца.Сколько яиц нужно для приготовления 100 блинов?

Яйца блины
Небольшое количество 2 20
Крупная сумма х 100

$$ \ frac {яйца} {блины} = \ frac {яйца} {блины} \: \: или \: \: \ frac {блины} {яйца} = \ frac {блины} {яйца} $ $

Если мы напишем неизвестное число в номинаторе, то мы сможем решить это, как любое другое уравнение

$$ \ frac {x} {100} = \ frac {2} {20} $$

Умножаем обе стороны на 100

$$ {\ color {зеленый} {100 \, \ cdot}} \, \ frac {x} {100} = {\ color {зеленый} {100 \, \ cdot}} \, \ frac {2} { 20} $$

$$ x = \ frac {200} {20} $$

$$ x = 10 $$

Если в знаменателе стоит неизвестное число, мы можем использовать другой метод, включающий перекрестное произведение.Перекрестное произведение — это произведение числителя одного из соотношений и знаменателя второго отношения. Произведения пропорции всегда равны

.

Если мы снова воспользуемся примером с смесью печенья, использованной выше

$$ \ frac {{\ color {green} {20}}} {{\ color {blue} {1}}} = \ frac {{\ color {blue} {40}}} {{\ color {зеленый } {2}}} $$

$$ {\ color {blue} {1}} \ cdot {\ color {blue} {40}} = {\ color {green} {2}} \ cdot {\ color {green} {20}} = 40

$

Говорят, что в пропорции, если

$$ \ frac {x} {y} = \ frac {z} {w} \: где \: y, w \ neq 0 $$

$$ xw = yz $$

Если вы посмотрите на карту, она всегда говорит вам в одном из углов, что 1 дюйм карты соответствует гораздо большему расстоянию в реальности.Это называется масштабированием. Мы часто используем масштабирование для изображения различных объектов. Масштабирование подразумевает воссоздание модели объекта и разделение его пропорций, но с разным размером. Можно увеличить (увеличить) или уменьшить (уменьшить). Например, масштаб 1: 4 представляет четвертую часть. Таким образом, любое измерение, которое мы видим в модели, будет составлять 1/4 от реального измерения. Если мы хотим вычислить обратное, где у нас есть стена высотой 20 футов и мы хотим воспроизвести ее в масштабе 1: 4, мы просто вычисляем:

$$ 20 \ cdot 1: 4 = 20 \ cdot \ frac {1} {4} = 5 $$

В масштабной модели 1: X, где X — постоянная величина, все измерения становятся 1 / X — от реального измерения.Та же математика применима, когда мы хотим увеличить. При изображении чего-либо в масштабе 2: 1 все измерения становятся в два раза больше, чем на самом деле. Мы делим на 2, когда хотим найти фактическое измерение.


Видеоурок

Найти x

$$ \ frac {x} {x + 20} = \ frac {24} {54} $$

Написание и решение процентных соотношений

Результаты обучения

  • Перевести выражение в пропорцию
  • Решите процентную долю

Ранее мы решали процентные уравнения, применяя свойства равенства, которые мы использовали для решения уравнений по всему тексту.Некоторые люди предпочитают решать процентные уравнения, используя метод пропорций. Метод пропорции для решения процентных задач предполагает процентное соотношение. Пропорция % — это уравнение, в котором процент равен эквивалентному соотношению.

Например, [латекс] \ text {60%} = \ frac {60} {100} [/ latex], и мы можем упростить [латекс] \ frac {60} {100} = \ frac {3} {5} [/латекс]. Поскольку уравнение [латекс] \ frac {60} {100} = \ frac {3} {5} [/ latex] показывает процент, равный эквивалентному соотношению, мы называем это процентным соотношением.Используя словарь, который мы использовали ранее:

[латекс] \ frac {\ text {amount}} {\ text {base}} = \ frac {\ text {percent}} {100} [/ latex]
[латекс] \ frac {3} {5} = \ frac {60} {100} [/ латекс]

Процентная доля

Сумма дана в процентах к [латексу] 100 [/ латексу].

[латекс] \ frac {\ text {amount}} {\ text {base}} = \ frac {\ text {percent}} {100} [/ latex]

Если мы переформулируем проблему словами пропорции, может быть проще установить пропорцию:

[латекс] \ mathit {\ text {Сумма отнесена к основанию, как процент к сотне.}} [/ latex]
Можно также сказать:

[латекс] \ mathit {\ text {Сумма из базы такая же, как и процент из ста.}} [/ Latex]
Сначала мы попрактикуемся в переводе в процентную пропорцию. Позже мы решим пропорцию.

, пример

Перевести в пропорции. Какое число [латекс] \ text {75%} [/ latex] из [latex] 90? [/ Latex]

Решение
Если вы ищете слово «из», оно может помочь вам определить базу.

Определите части процентной доли.
Пересчитайте как пропорцию. Какое число из [латекса] 90 [/ латекса] совпадает с [латексом] 75 [/ латексом] из [латекса] 100 [/ латексом]?
Установите пропорцию. Пусть [latex] n = \ text {number} [/ latex]. [латекс] \ frac {n} {90} = \ frac {75} {100} [/ латекс]

, пример

Перевести в пропорции. [латекс] 19 [/ латекс] это [латекс] \ текст {25%} [/ латекс] какого числа?

Показать решение

Решение

Определите части процентной доли.
Пересчитайте как пропорцию. [латекс] 19 [/ латекс] из какого числа совпадает с [латексом] 25 [/ латексом] из [латексом] 100 [/ латексом]?
Установите пропорцию. Пусть [latex] n = \ text {number} [/ latex]. [латекс] \ frac {19} {n} = \ frac {25} {100} [/ latex]

, пример

Перевести в пропорции. Какой процент [латекса] 27 [/ латекса] составляет [латекс] 9? [/ Latex]

Показать решение

Решение

Определите части процентной доли.
Пересчитайте как пропорцию. [латекс] 9 [/ латекс] из [латекса] 27 [/ латекс] совпадает с каким числом из [латекса] 100 [/ латекс]?
Установите пропорцию. Пусть [latex] p = \ text {percent} [/ latex]. [латекс] \ frac {9} {27} = \ frac {p} {100} [/ latex]

Теперь, когда мы записали процентные уравнения как пропорции, мы готовы решать уравнения.

, пример

Переведите и решите, используя пропорции: Какое число [latex] \ text {45%} [/ latex] of [latex] 80? [/ Latex]

Показать решение

Решение

Определите части процентной доли.
Пересчитайте как пропорцию. Какое число из [латекса] 80 [/ латекса] совпадает с [латексом] 45 [/ латексом] из [латекса] 100 [/ латексом]?
Установите пропорцию. Пусть [latex] n = [/ latex] число. [латекс] \ frac {n} {80} = \ frac {45} {100} [/ латекс]
Найдите перекрестные произведения и приравняйте их. [латекс] 100 \ cdot {n} = 80 \ cdot {45} [/ латекс]
Упростить. [латекс] 100n = 3,600 [/ латекс]
Разделите обе стороны на [латекс] 100 [/ латекс]. [латекс] \ frac {100n} {100} = \ frac {3,600} {100} [/ латекс]
Упростить. [латекс] n = 36 [/ латекс]
Проверьте, разумен ли ответ.
Да. [латекс] 45 [/ латекс] чуть меньше половины [латекса] 100 [/ латекса], а [латекс] 36 [/ латекс] чуть меньше половины [латекса] 80 [/ латекса].
Напишите полное предложение, которое отвечает на вопрос. [латекс] 36 [/ латекс] — это [латекс] 45 \ text {%} [/ latex] из [латекса] 80 [/ latex].

В следующем видео показан аналогичный пример решения процентной доли.

В следующем примере процент больше, чем [латекс] 100 [/ латекс], что больше, чем одно целое. Так что неизвестное число будет больше, чем базовое.

, пример

Переведите и решите, используя пропорции: [latex] \ text {125%} [/ latex] of [latex] 25 [/ latex] — это какое число?

Показать решение

Решение

Определите части процентной доли.
Пересчитайте как пропорцию. Какое число из [латекса] 25 [/ латекса] совпадает с [латексом] 125 [/ латексом] из [латекса] 100 [/ латексом]?
Установите пропорцию. Пусть [latex] n = [/ latex] число. [латекс] \ frac {n} {25} = \ frac {125} {100} [/ латекс]
Найдите перекрестные произведения и приравняйте их. [латекс] 100 \ cdot {n} = 25 \ cdot {125} [/ латекс]
Упростить. [латекс] 100n = 3,125 [/ латекс]
Разделите обе стороны на [латекс] 100 [/ латекс]. [латекс] \ frac {100n} {100} = \ frac {3,125} {100} [/ латекс]
Упростить. [латекс] n = 31,25 [/ латекс]
Проверьте, разумен ли ответ.
Да. [латекс] 125 [/ латекс] больше, чем [латекс] 100 [/ латекс], и [латекс] 31,25 [/ латекс] больше, чем [латекс] 25 [/ латекс].
Напишите полное предложение, которое отвечает на вопрос. [латекс] 125 \ text {%} [/ latex] из [latex] 25 [/ latex] is [latex] 31.25 [/ латекс].

Проценты с десятичными знаками и деньгами также используются в пропорциях.

, пример

Переведите и решите: [latex] \ text {6.5%} [/ latex] из какого числа [latex] \ text {\ $ 1.56}? [/ Latex]

Показать решение

Решение

Определите части процентной доли.
Пересчитайте как пропорцию. [латекс] \ text {\ $ 1.56} [/ латекс] из какого числа совпадает с [латексом] 6,5 [/ латексом] из [латексом] 100 [/ латексом]?
Установите пропорцию. Пусть [latex] n = [/ latex] число. [латекс] \ frac {1.56} {n} = \ frac {6.5} {100} [/ latex]
Найдите перекрестные произведения и приравняйте их. [латекс] 100 \ cdot {1.56} = n \ cdot {6.5} [/ латекс]
Упростить. [латекс] 156 = 6.5n [/ латекс]
Разделите обе стороны на [латекс] 6,5 [/ латекс], чтобы изолировать переменную. [латекс] \ frac {156} {6.5} = \ frac {6.5n} {6.5} [/ латекс]
Упростить. [латекс] 24 = н [/ латекс]
Проверьте, разумен ли ответ.
Да. [latex] 6.5 \ text {%} [/ latex] — это небольшое количество, а [latex] \ text {\ $ 1.56} [/ latex] намного меньше, чем [latex] \ text {\ $ 24} [/ latex].
Напишите полное предложение, которое отвечает на вопрос. [латекс] 6.5 \ text {%} [/ latex] из [latex] \ text {\ $ 24} [/ latex] is [latex] \ text {\ $ 1.56} [/ латекс].

В следующем видео мы показываем похожую проблему, обратите внимание на другую формулировку, которая приводит к тому же уравнению.

, пример

Переведите и решите, используя пропорции: Какой процент [latex] 72 [/ latex] составляет [latex] 9? [/ Latex]

Показать решение

Решение

Определите части процентной доли.
Пересчитайте как пропорцию. [латекс] 9 [/ латекс] из [латекса] 72 [/ латекс] совпадает с каким числом из [латекса] 100 [/ латекс]?
Установите пропорцию. Пусть [latex] n = [/ latex] число. [латекс] \ frac {9} {72} = \ frac {n} {100} [/ латекс]
Найдите перекрестные произведения и приравняйте их. [латекс] 72 \ cdot {n} = 100 \ cdot {9} [/ латекс]
Упростить. [латекс] 72n = 900 [/ латекс]
Разделите обе стороны на [латекс] 72 [/ латекс]. [латекс] \ frac {72n} {72} = \ frac {900} {72} [/ латекс]
Упростить. [латекс] n = 12,5 [/ латекс]
Проверьте, разумен ли ответ.
Да. [latex] 9 [/ latex] — это [latex] \ frac {1} {8} [/ latex] из [latex] 72 [/ latex] и [latex] \ frac {1} {8} [/ latex] это [латекс] 12,5 \ текст {%} [/ латекс].

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.