Как доказать что средняя линия трапеции параллельна основаниям: Свойство средней линии трапеции — доказательство

Содержание

Трапеция, Средняя линия трапеции, треугольник

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами. Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя Линия Трапеции

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Теорема:

Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.

Теорема:

Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

MN средняя линия, AB и CD
— основания, AD и BC — боковые стороны

MN = (AB + DC)/2

Теорема:

Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.

Основная задача: Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.

Средняя Линия Треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема: Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

AM = MC and BN = NC =>

MN || AB

MN = AB/2

Применение свойств средней линии треугольника и трапеции

Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5
Мы соединяем A5 с B и проводим такие прямые через A4, A3, A2 и A1, которые параллельны A5B. Они пересекают AB соответственно в точках B4, B3, B2 и B1. Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB3A3A5 мы видим, что BB4 = B4B3. Таким же образом, из трапеции B4B2A2A4 получаем B4B3 = B3B2

В то время как из трапеции B3B1A1A3, B3B2 = B2B1.
Тогда из B2AA2 следует, что B2B1 = B1A. В заключении получаем :
AB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ Справочник по математике — Планиметрия

Средние линии треугольника

      Определение. Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (рис. 1).

Рис.1

      На рисунке 1 средней линией является отрезок DE.

      Утверждение 1. Средняя линия треугольника параллельна не пересекающейся с ней стороне треугольника и равна половине этой стороны.

      Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник   ABC   и обозначим буквой   D   середину стороны   AB   (рис. 2). Проведем через точку   D   до пересечения с прямой   BC   прямую, параллельную прямой   AC .   Обозначим буквой   E   точку пересечения прямых   DE   и   BC .

Рис.2

      Поскольку   AD = DB ,   а прямые   AC   и   DE   параллельны, то выполнены все условия теоремы Фалеса, и можно заключить, что выполнено равенство:   CE = EB .   Отсюда вытекает, что точка   E   является серединой стороны   CB ,   а отрезок   DE   является средней линией треугольника.

      Первую часть утверждения 1 мы доказали.

      Для того, чтобы доказать вторую часть утверждения 1, заметим, что в любом треугольнике можно провести три средних линии – отрезки   DE , EF   и   FD   (рис.3).

Рис.3

      Поскольку

DE | | FC ,       DF | | EC ,

то четырёхугольник DECF – параллелограммчетырёхугольник DECF – параллелограмм, следовательно,   DE = FC .

      Поскольку

DE | | AF ,       AD | | FE ,

то четырёхугольник   DEFA   – параллелограммчетырёхугольник   DEFA   – параллелограмм, следовательно,   DE = AF .

      Но поскольку   AF = FC ,   то отсюда вытекает равенство

что и требуется доказать.

      Доказательство утверждения 1 закончено.

      Следствие.

Рис.4

Средняя линия трапеции

      Напомним, что трапециейтрапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.

      Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции.

      Отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции, называют диагоналями трапеции.

      Определение. Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 5).

Рис.5

      На рисунке 5 средней линией трапеции является отрезок   EF .

      Утверждение 2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы этих оснований.

Рис.6

      Доказательство. Проведем через вершину   B   и середину боковой стороны   F   трапеции прямую линию (рис. 6). Обозначим точку пересечения прямых   BF   и   AD   буквой   G .   Рассмотрим треугольники   BCF   и   FDG .   У этих треугольников стороны   CF   и   FD   равны, поскольку точка   F   – середина стороны   CD .   Углы   BCF   и   FDG   равны, поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых   BC   и   AD   с секущей   CD .   Углы   BFC   и   DFG   равны, поскольку они являются вертикальными. Тем самым выполнены все условия признака равенства треугольников «По стороне и прилежащим к ней углам», и можно заключить, что треугольники   BCF   и   FDG   равны. Из равенства треугольников   BCF   и   FDG   следует равенство отрезков   BF   и   FG ,   откуда вытекает, что отрезок   EF   является средней линией треугольника   ABG .   Поэтому

что и требовалось доказать.

      Задача 1. Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами на основаниях трапеции.

Рис.7

      Решение. Пусть   ABCD   – трапеция,   EF   –  её средняя линия,   LM   – указанный отрезок (рис.7). Поскольку   AE = EB ,   то, в силу теоремы Фалеса, выполнено равенство:   LN = NM ,   что и требовалось доказать.

      Задача 2. Доказать, что отрезок, который диагонали трапеции высекают на средней линии трапеции, равен половине разности оснований трапеции.

Рис.8

      Решение. Пусть   ABCD   – трапеция,   EF   – её средняя линия,   KL   – указанный отрезок (рис.8). В соответствии с задачей 1 можем заключить, что точка   K   – середина отрезка   AC ,   а точка   L   – середина отрезка   BD .   Поэтому отрезок   EK   – средняя линия треугольника   BAC ,   а отрезок   EL   – средняя линия треугольника   ABD .   В силу утверждения 1 выполнены равенства:

      Следовательно,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Прямая, проходящая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения боковых сторон трапеции.

Рис.9

      Доказательство. Пусть   K   и   L   – середины оснований   BC   и   AD   трапеции   ABCD   соответственно (рис.9). Обозначим буквой   M   точку пересечения боковых сторон   AB   и   CD .   Проведем через точки   M   и   K   прямую и обозначим точку пересечения этой прямой с основанием   AD   символом   N .   Докажем, что точки   N   и   L   совпадают. Для этого заметим, что треугольник   BMK   подобен треугольнику   AMN .   Следовательно, выполнено равенство:

      Заметим также, что треугольник   KMC   подобен треугольнику   NMD .   Поэтому

      Из этих соотношений получаем:

откуда вытекает, что точки   N   и   L   совпадают. Доказательство завершено.

      Почти те же рассуждения позволяют доказать следующий факт, который мы предоставляем читателю в качестве упражнения.

      Утверждение 4. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину одного из оснований трапеции, проходит через середину другого основания трапеции.

      Следствие. Точка пересечения диагоналей, середины оснований и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

Средние линии четырехугольника. Теорема Вариньона

      Определение. Средней линией четырехугольника называют отрезок, соединяющий середины непересекающихся сторон четырёхугольника.

      Поскольку у каждого четырехугольника имеются две пары непересекающихся сторон, то у каждого четырехугольника имеются две средних линии (рис.10).

Рис. 10

      На рисунке 10 средние линии – это отрезки   EF   и   GH .

      Замечание 1. Приведенное определение средней линии относится не только к плоским четырехугольникам, но и к «пространственным четырехугольникам» (рис.11). «Пространственным четырехугольником» мы называем замкнутую ломаную линию из 4 звеньев без самопересечений, не лежащую в одной плоскости.

Рис.11

      На рисунке 11 изображен «пространственный четырёхугольник»   ABCD ,   средними линиями которого являются отрезки   EF   и   GH .

      Замечание 2. Несмотря на то, что трапеция является четырехугольником, принято средней линией трапеции называть только отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

      Замечание 3. В данном разделе справочника не рассматриваются невыпуклые четырёхугольники и четырёхугольники с самопересечениями.

      Теорема Вариньона. Середины сторон произвольного плоского или «пространственного» четырёхугольника являются вершинами параллелограммапараллелограмма.

      Доказательство. Рассмотрим плоский четырёхугольник   ABCD ,   изображенный на рисунке 12. Точки   E, G, F, H   – середины сторон, отрезок   AC   – диагональ четырёхугольника.

Рис.12

      Поскольку отрезок   EG   – средняя линия треугольника   ABC ,   то отрезок   EG   параллелен диагонали   AC   и равен её половине. Поскольку отрезок   FH   – средняя линия треугольника   CDA ,   то отрезок   FH   параллелен диагонали   AC   и равен её половине. Таким образом, в четырёхугольнике   EGFH   противоположные стороны   EG   и   FH   равны и параллельны. В силу признака параллелограммапризнака параллелограммапризнака параллелограмма отсюда вытекает, что четырёхугольник   EGFH   – параллелограмм, что и требовалось доказать.

      Замечание 4 . В случае «пространственного четырёхугольника»   ABCD   доказательство остаётся тем же (рис. 13).

Рис.13

      Поскольку диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополамдиагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополамдиагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то справедливо следующее утверждение, непосредственно вытекающее из теоремы Вариньона.

      Утверждение 5. Средние линии произвольного четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам (рис. 14).

Рис.14

      Утверждение 6. Рассмотрим произвольный плоский или «пространственный» четырёхугольник   ABCD ,   у которого отрезок   EF   является одной из средних линий (рис. 15). Тогда будет выполнено векторное равенство:

Рис. 15

      Доказательство. Рассмотрим в пространстве или на плоскости произвольную декартову систему координат с началом в некоторой точке   O   (рис. 16).

Рис.16

      В соответствии со свойствами векторов справедливы следующие равенства:

что и требовалось доказать.

      Следствие. Средняя линия четырёхугольника меньше или равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника, причём равенство достигается лишь в том случае, когда указанные стороны четырёхугольника параллельны.

      Другими словами, средняя линия четырёхугольника равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника лишь в том случае, когда этот четырехугольник является трапециейтрапецией, а не пересекающие среднюю линию стороны четырёхугольника – основания трапеции.

Средние линии тетраэдра

      Тетраэдром называют произвольную треугольную пирамиду (рис. 17).

Рис.17

      У каждого тетраэдра имеется   4   вершины,   4   грани и   6   рёбер, причем все рёбра делятся на   3   пары непересекающихся рёбер. На рисунке 17 каждая пара непересекающихся рёбер выделена отдельным цветом. Каждые два непересекающихся ребра тетраэдра лежат на скрещивающихся прямых скрещивающихся прямых.

      Определение. Средней линией (бимедианой) тетраэдра называют отрезок, соединяющий середины двух непересекающихся рёбер тетраэдра.

Рис.18

      У каждого тетраэдра имеется 3 средних линии. Изображённый на рисунке 18 отрезок   EF   является одной из средних линий тетраэдра.

      Утверждение 7. Все средние линии тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

      Доказательство. Выберем какую-нибудь среднюю линию тетраэдра, например,   EF   и докажем, что любая другая средняя линия тетраэдра проходит через середину отрезка   EF .   Для этого рассмотрим, например, среднюю линию   GH ,   соединяющую середины рёбер   AC   и   BD ,   и соединим отрезками точки   E, H, F, G   (рис.19).

Рис.19

      Заметим, что отрезок   EH   является средней линией треугольника   ADB ,   поэтому

      Отрезок GF является средней линией треугольника   ACB ,   поэтому

      Отсюда вытекает, что отрезки   EH   и   GF   равны и параллельны, следовательно, четырёхугольник   EHFG   – параллелограммследовательно, четырёхугольник   EHFG   – параллелограммследовательно, четырёхугольник   EHFG   – параллелограмм. Поскольку средние линии тетраэдра   EF   и   GH   являются диагоналями этого параллелограмма, то в точке пересечения они делятся пополамв точке пересечения они делятся пополамв точке пересечения они делятся пополам, что и требовалось доказать.

      Определение. Точку пересечения средних линий тетраэдра называют центроидом тетраэдра.

      Утверждение 8. Рассмотрим в пространстве декартову систему координат с началом в точке   O   и произвольный тетраэдр   ABCD .   Если обозначить буквой   M   центроид этого тетраэдра (рис. 20), то будет выполнено векторное равенство:

Рис.20

      Доказательство. По свойствам векторов

что и требовалось доказать.

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Трапеция. Свойства, признаки, площадь. Средняя линия трапеции

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований:

Как видим, теория очень проста. А задачи, в которых применяются свойства трапеции, весьма разнообразны. В этой статье разобраны и стандартные задачи (номер  и ), и более интересные.

. Найдите высоту трапеции , опущенную из вершины , если стороны квадратных клеток равны .

 

 

Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины .

Ответ: .

. Основания трапеции равны  и , боковая сторона, равная , образует с одним из оснований трапеции угол . Найдите площадь трапеции.

Это стандартная задача. Углы и  — односторонние, значит, их сумма равна , и тогда угол равен . Из треугольника найдем высоту . Катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы. Получаем, что и площадь трапеции равна .

. Основания трапеции равны  и . Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция , и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, и , в которых проведены средние линии.

Мы помним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.

Из треугольника  находим: .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

В следующей задаче мы тоже воспользуемся свойством средней линии треугольника.

. Основания трапеции равны  и . Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем  — среднюю линию трапеции, . Легко доказать, что отрезок , соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии. Дальше все просто. Найдем отрезки  и , являющиеся средними линиями треугольников и , а затем отрезок . Он равен .

. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного , отсекает треугольник, периметр которого равен . Найдите периметр трапеции.

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть .

Периметр трапеции равен .

Заметим, что периметр трапеции на 8 больше, чем периметр треугольника. Значит, он равен 15 + 8 = 23.

Ответ: .

Средняя линия трапеции

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её векторным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

\[15\ см+17\ см=32\ см\]

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

\[52\ см-32\ см=20\ см\]

Значит, по теореме 1, получаем

\[n=\frac{20\ см}{2}=10\ см\]

Ответ: $10\ см$.

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ — расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ — радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ — трапеция, а $OH$ — ее средняя линия. По теореме 1, получаем

\[OH=\frac{AD+BC}{2}=\frac{9\ см+5\ см}{2}=7\ см.\]

Значит

\[d=2OH=2\cdot 7\ см=14\ см.\]

Ответ: $14$ см.

Пример 3

Доказать, что средняя линия трапеции проходит через середину произвольной диагонали данной трапеции.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ADCD$ со средней линией $MN$. Рассмотрим диагональ $AC$. Обозначим точкой $K$ — точку пересечения средней линии с этой диагональю (Рис. 3).

Рисунок 3.

Докажем, что $AK=KC$.

Так как $MN$ — средняя линия трапеции, то по теореме 1 $MN||BC$. Следовательно, $AM=NB$ и $MK||BC$. Тогда, по теореме о средней линии треугольника, получим что $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$. Значит $AK=KC$.

ч. т. д.

Средняя линия трапеции / Векторы / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Векторы
  5. Средняя линия трапеции

  Средняя линия трапеции   — это отрезок, который соединяет середины её боковых сторон.

Теорема
Доказательство

Дано: ABCD — трапеция, MN — средняя линия ABCD

Доказать: MN AD,

Доказательство:

По правилу многоугольника = + + и = + + . Сложив эти равенства, получим:

2 = ( + ) + ( + ) + ( + ).

Но M и N — середины сторон АВ и CD, поэтому + =  и  + =  (так как сумму составляют противоположные векторы, а сумма противоположных векторов равна нулевому вектору) . Следовательно, 2 = + , откуда = ( + ).

Так как векторы и сонаправлены, то векторы и также сонаправлены, а длина вектора ( + ) равна AD + ВС. Отсюда следует, что MN AD, . Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие вектора

Равенство векторов

Откладывание вектора от данной точки

Сумма двух векторов

Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Сумма нескольких векторов

Вычитание векторов

Произведение вектора на число

Применение векторов к решению задач

Векторы



Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс


Задание 793,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 795,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 797,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 20,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 810,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 974,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5. com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright







Параллельна ли средняя линия трапеции ее основаниям. Средняя линия трапеции

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

Значит, по теореме 1, получаем

Ответ:
$10\ см$.

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ — расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ — радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ — трапеция, а $OH$ — ее средняя линия. По теореме 1, получаем

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

Значит, по теореме 1, получаем

Ответ:
$10\ см$.

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ — расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ — радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ — трапеция, а $OH$ — ее средняя линия. По теореме 1, получаем

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
  4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции
.

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции
.

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD — BC)/2


или

LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными
.

Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.

Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.

Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны
, то есть треугольники являются равновеликими.

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований
.

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции
(BC/AD).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

  • Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
  • Длина отрезка
    , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

a, b

— основания трапеции

c, d

— боковые стороны трапеции

d1 d2

— диагонали трапеции

α β
— углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1.
Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований
. Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2
. Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3
. Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Примечание
. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме
.

Задача
.

Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение
.

Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC

9 / 6 = 24 / BC

BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ
: 16 см

Задача
.

В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение
.

Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим
длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле
нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит

AD = AM+BC+KD

a + 8 + b = 24

a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2

и

h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении

h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425

h 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:

425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169

-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256

-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256

-64b = -768

b = 12

Таким образом, KD = 12

Откуда

h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25

h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований

, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции

S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ
: площадь трапеции равна 80 см 2 .

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией
.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями
, а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами
. Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя Линия Трапеции

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Теорема:

Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.

Теорема:

Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

MN
средняя линия, AB
и CD

— основания, AD
и BC
— боковые стороны

MN = (AB + DC)/2

Теорема:

Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.

Основная задача
: Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.

Средняя Линия Треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема
: Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

AM = MC and BN = NC
=>

Применение свойств средней линии треугольника и трапеции

Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Мы соединяем A 5 с B и проводим такие прямые через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B. Они пересекают AB соответственно в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 . Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что BB 4 = B 4 B 3 . Таким же образом, из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2

В то время как из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В заключении получаем:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.

8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Трапеция. — Трапеция.

Комментарии преподавателя

Тра­пе­ция

Опре­де­ле­ние

Тра­пе­ция – это че­ты­рёх­уголь­ник, у ко­то­ро­го две сто­ро­ны па­рал­лель­ны, а две дру­гие – нет.

На Рис. 1. изоб­ра­же­на про­из­воль­ная тра­пе­ция.  – это бо­ко­вые сто­ро­ны (те, ко­то­рые не па­рал­лель­ны).  – ос­но­ва­ния (па­рал­лель­ные сто­ро­ны).

Рис. 1. Тра­пе­ция

Если срав­ни­вать тра­пе­цию с па­рал­ле­ло­грам­мом, то у па­рал­ле­ло­грам­ма две пары па­рал­лель­ных сто­рон. То есть па­рал­ле­ло­грамм не яв­ля­ет­ся част­ным слу­ча­ем тра­пе­ции, так как в опре­де­ле­нии тра­пе­ции чётко ска­за­но, что две сто­ро­ны тра­пе­ции не па­рал­лель­ны.

Вы­де­лим неко­то­рые виды тра­пе­ции (част­ные слу­чаи):

  • рав­но­бед­рен­ная (рав­но­бо­кая) тра­пе­ция: бо­ко­вые сто­ро­ны равны;
  • пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция: один из углов равен  (из опре­де­ле­ния тра­пе­ции и свой­ства па­рал­лель­ных пря­мых сле­ду­ет, что два угла будут по ).

Опре­де­ле­ние

Сред­няя линия тра­пе­ции – от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны бо­ко­вых сто­рон.

На Рис. 2. изоб­ра­же­на тра­пе­ция со сред­ней ли­ни­ей .

Рис. 2. Сред­няя линия тра­пе­ции

Свой­ства сред­ней линии тра­пе­ции:

1.      Сред­няя линия тра­пе­ции па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции.

До­ка­за­тель­ство:

Пусть се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны  тра­пе­ции  – точка . Про­ве­дём через эту точку пря­мую, па­рал­лель­ную ос­но­ва­ни­ям. Эта пря­мая пе­ре­се­чёт вто­рую бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции  в точке .

По по­стро­е­нию: . По тео­ре­ме Фа­ле­са из этого сле­ду­ет: . Зна­чит,  – се­ре­ди­на сто­ро­ны . Зна­чит,  – сред­няя линия.

До­ка­за­но.

2.      Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний тра­пе­ции: .

До­ка­за­тель­ство:

Про­ве­дём сред­нюю линию тра­пе­ции и одну из диа­го­на­лей: на­при­мер,  (см. Рис. 3).

Рис. 3

По тео­ре­ме Фа­ле­са па­рал­лель­ные пря­мые от­се­ка­ют на сто­ро­нах угла про­пор­ци­о­наль­ные от­рез­ки. Так как равны от­рез­ки: . Зна­чит, от­ре­зок  яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка , а от­ре­зок  – сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка .

Зна­чит, .

При­ме­ча­ние: это сле­ду­ет из свой­ства сред­ней линии тре­уголь­ни­ка: сред­няя линия тре­уголь­ни­ка па­рал­лель­на ос­но­ва­нию и равна его по­ло­вине. Пер­вая часть этого свой­ства до­ка­зы­ва­ет­ся ана­ло­гич­но с до­ка­за­тель­ством пер­во­го свой­ства сред­ней линии тра­пе­ции, а вто­рую часть можно до­ка­зать (к при­ме­ру, для сред­ней линии  тре­уголь­ни­ка ), про­ве­дя через точку  пря­мую, па­рал­лель­ную . Из тео­ре­мы Фа­ле­са будет сле­до­вать, что эта пря­мая будет яв­лять­ся сред­ней ли­ни­ей, а об­ра­зо­ван­ный че­ты­рёх­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грам­мом (две пары по­пар­но па­рал­лель­ных сто­рон). От­сю­да уже неслож­но по­лу­чить тре­бу­е­мое свой­ство.

По­лу­ча­ем: .

До­ка­за­но.

Рас­смот­рим те­перь по­дроб­нее ос­нов­ные виды тра­пе­ции и их свой­ства.

На­пом­ним, что рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция – тра­пе­ция, у ко­то­рой бо­ко­вые сто­ро­ны равны. Рас­смот­рим свой­ства бо­ко­вой тра­пе­ции.

1.      Углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны.

До­ка­за­тель­ство:

Вы­пол­ним стан­дарт­ное до­пол­ни­тель­ное по­стро­е­ние, ко­то­рое очень часто ис­поль­зу­ет­ся при ре­ше­нии раз­лич­ных задач на тра­пе­цию: про­ве­дём пря­мую  па­рал­лель­но бо­ко­вой сто­роне  (см. Рис. 4).

Рис. 4

 – па­рал­ле­ло­грамм.

От­сю­да сле­ду­ет, что: . Зна­чит, тре­уголь­ник  – рав­но­бед­рен­ный. А зна­чит, углы при его ос­но­ва­нии равны, то есть:  (по­след­ние два угла равны, как со­от­вет­ствен­ные при па­рал­лель­ных пря­мых ).

До­ка­за­но.

2.      Диа­го­на­ли рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны.

До­ка­за­тель­ство:

Для до­ка­за­тель­ства этого свой­ства вос­поль­зу­ем­ся преды­ду­щим. Дей­стви­тель­но, рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки:  и  (см. Рис. 5.).

Рис. 5

 (по пер­во­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков: две сто­ро­ны и угол между ними).

Из этого ра­вен­ства сразу сле­ду­ет, что: .

До­ка­за­но.

Ока­зы­ва­ет­ся, что, как и в слу­чае с па­рал­ле­ло­грам­мом, у рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции свой­ства од­но­вре­мен­но яв­ля­ют­ся и при­зна­ка­ми. Сфор­му­ли­ру­ем и до­ка­жем эти при­зна­ки.

При­зна­ки рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции

1.      Дано:  – тра­пе­ция; .

До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство:

До­ка­за­тель­ство дан­но­го при­зна­ка аб­со­лют­но ана­ло­гич­но до­ка­за­тель­ству со­от­вет­ству­ю­ще­го свой­ства. Про­ве­дём в тра­пе­ции  пря­мую  па­рал­лель­но сто­роне  (см. Рис. 6).

 – па­рал­ле­ло­грамм (две пары по­пар­но па­рал­лель­ных сто­рон).

 (со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых). От­ку­да, поль­зу­ясь усло­ви­ем, по­лу­ча­ем:  – рав­но­бед­рен­ный

Рис. 6

(равны углы при ос­но­ва­нии). Зна­чит:  (у па­рал­ле­ло­грам­ма про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны).

До­ка­за­но.

2.       Дано:  – тра­пе­ция; .

До­ка­зать: .

До­ка­за­тель­ство:

Вы­пол­ним ещё одно стан­дарт­ное до­пол­ни­тель­ное по­стро­е­ние при ре­ше­нии задач с тра­пе­ци­ей: про­ве­дём через вер­ши­ну  пря­мую  па­рал­лель­но диа­го­на­ли  (см. Рис. 7).

Рис. 7

 – па­рал­ле­ло­грамм (две пары по­пар­но па­рал­лель­ных сто­рон).

 (со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых). Кроме того,  – рав­но­бед­рен­ный ( – по усло­вию;  – по свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма). А зна­чит: .

До­ка­за­но.

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров ре­ше­ния задач с тра­пе­ци­ей.

При­мер 1.

Дано:  – тра­пе­ция; .

Найти: 

Ре­ше­ние:

Сумма углов при бо­ко­вой сто­роне тра­пе­ции равна  – свой­ство внут­рен­них од­но­сто­рон­них углов при па­рал­лель­ных пря­мых. Из этого факта можно по­лу­чить два ра­вен­ства:

Ответ: .

При­мер 2.

Дано:  – тра­пе­ция; . .

Найти: 

Ре­ше­ние:

Рис. 8

Про­ве­дём вы­со­ту . По­лу­ча­ем че­ты­рёх­уголь­ник , в ко­то­ром про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны по­пар­но па­рал­лель­ны, а два углы равны по . Зна­чит,  – па­рал­ле­ло­грамм, а точ­нее, пря­мо­уголь­ник.

Из этого сле­ду­ет, что . От­ку­да: .

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник . В нём один из ост­рых углов, по усло­вию, равен . Зна­чит, вто­рой равен , то есть: . Вос­поль­зу­ем­ся свой­ством ка­те­та, ле­жа­ще­го про­тив угла : он в два раза мень­ше ги­по­те­ну­зы.

.

Ответ: .

На этом уроке мы рас­смот­ре­ли по­ня­тие тра­пе­ции и её свой­ства, изу­чи­ли виды тра­пе­ции, а также ре­ши­ли несколь­ко при­ме­ров ти­по­вых задач.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/trapetsiya

http://www.youtube.com/watch?v=Yqw5oZ3iFAI

http://www.youtube.com/watch?v=1tY3omQhTuk

http://img3.proshkolu.ru/content/media/pic/std/1000000/983000/982960-b6b4e8f6a4e7b336. jpg

http://static.wixstatic.com/media/13679f_7ac2889143594b059462e77b25eda7c6.jpg

http://delaem-uroki.narod.ru/img/102/792/KZqhOMb.gif

Трапеция. Задача на среднюю линию трапеции.

http://cs323223.vk.me/v323223595/5e51/Gi2qlTPgLVo.jpg

http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/47/46420/img2.jpg

Трапеция, средняя линия и средний сегмент трапеции и треугольника

Четырехугольник с двумя противоположными параллельными сторонами называется трапецией (трапецией) .

Параллельные стороны трапеции называются основаниями (AB и CD), а те, которые не параллельны, называются ножками (AD и BC).
Если ноги равны по длине, трапеция называется равнобедренная .
DE и CF — , высота .

Средняя линия трапеции

Линия, соединяющая середины сторон, которые не параллельны, называется средней линией (или средним сегментом) трапеции.

Линия MN является средней линией ABCD. А сегмент MN — это средний сегмент ABCD.

AM = MD
BN = NC

Средняя линия трапеции параллельна ее сторонам.
В нашем случае — MN || AB || ОКРУГ КОЛУМБИЯ.

Теорема 1:

Если линия, проходящая через середину отрезка трапеции, параллельна ее основаниям,
затем линия проходит через середину другой ноги.

Теорема 2:

Средний отрезок трапеции составляет половину длины двух параллельных сторон.

Другими словами:
$ \ overline {MN} = \ frac {\ overline {AB} + \ overline {DC}} {2} $

Середина треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средним сегментом треугольника.

Он параллелен третьей стороне, а его длина вдвое меньше длины третьей стороны.

Теорема : Если отрезок прямой пересекает середину одной стороны треугольника и параллелен другой стороне того же треугольника, то этот отрезок делит третью сторону пополам.

$ \ overline {AM} = \ overline {MC} $ и $ \ overline {BN} = \ overline {NC} $ =>

$ MN || AB $
$ \ overline {MN} = \ frac {\ overline {AB}} {2} $

Применение свойств средних сегментов

Разделите отрезок на равные отрезки без измерения.

Задание: Разделите данный сегмент $ \ overline {AB} $ на 5 равных сегментов без измерения.

Решение:

Пусть p — произвольный луч с началом A, не лежащий на AB.На п. Рисуем последовательно пять равных отрезков.
$ \ overline {AA_1} = \ overline {A_1A_2} = \ overline {A_2A_3} = \ overline {A_3A_4} = \ overline {A_4A_5} $
Мы соединяем A 5 с B и проводим линии через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B.

Они пересекают AB в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 соответственно.
Эти точки делят отрезок $ \ overline {AB} $ на пять равных отрезков.

Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что $ \ overline {BB_4} = \ overline {B_4B_3} $.
Таким же образом из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 ,
получаем $ \ overline {B_4B_3} = \ overline {B_3B_2} $

При этом от трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 ,
$ \ overline {B_3B_2} = \ overline {B_2B_1} $.
Тогда из B 2 AA 2 следует, что $ \ overline {B_2B_1} = \ overline {B_1A} $.В итоге получаем:
$ \ overline {AB_1} = \ overline {B_1B_2} = \ overline {B_2B_3} = \ overline {B_3B_4} = \ overline {B_4B} $

Понятно, что если AB нужно разделить на другое количество равных отрезков,
мы должны спроецировать такое же количество равных отрезков на p.
Далее поступаем так же.

Теорема о срединном сегменте трапеции | Справка по геометрии

На сегодняшнем уроке геометрии мы докажем теорему о среднем сегменте трапеции, опираясь на ранее доказанную теорему о среднем сегменте треугольника.

Теорема о середине треугольника утверждает, что линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, называемая средним сегментом, параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины третьей стороны.

Аналогичная теорема существует и для трапеций: линия, соединяющая середины двух сторон трапеции, параллельна основаниям, а ее длина равна половине суммы длин оснований.

Задача

ABCD — трапеция, AB || CD .EF — это линия, соединяющая середины ног AD и BC , AE = ED и BF = FC . Докажите, что EF || DC и что EF = ½ ( AB + DC )

Стратегия

Поскольку мы имеем дело со средними точками сегментов, мы будем использовать то, что мы уже доказали для средних сегментов треугольника. Давайте создадим такие треугольники, проведя линию от вершины A через среднюю точку F, пока она не пересечет продолжение базового DC в точке G:

Мы можем легко показать, что ΔABF и ΔGCF совпадают, используя Angle-Side -Угловой постулат.Исходя из этого, мы можем показать, что EF — это средний сегмент треугольника ΔADG. Таким образом, согласно теореме о треугольнике среднего сегмента, он параллелен DG и равен половине DG .

Но DG — это DC + CG , а поскольку ΔABF и ΔGCF совпадают, CG = AB , поэтому EF равно половине DC + AB . Другими словами, длина EF — это среднее арифметическое (среднее) длин оснований.

Доказательство

Вот как доказать теорему о среднем сегменте трапеции:

(1) AB || DG // Учитывая, что ABCD — это трапеция
(2) ∠BAF ≅ ∠CGF // Теорема об альтернативных внутренних углах
(3) ∠AED ≅ ∠CEF // Вертикальные углы
(4) BF = FC // Дано
(5) ΔABF ≅ ΔGCF // (2), (3), (4), Угол-боковой-угол
(6) AF = FG // (5), соответствующие стороны равных треугольников
(7) EF — мидсегмент // (6), определение мидсегмента
(8) EF || DG // (7), теорема о мидсегменте треугольника
(9) EF = ½DG // (7), Теорема о промежуточном сегменте треугольника
(10) DG = DC + CG
(11) CG = AB // (5), соответствующие стороны совпадающих треугольников
(12) EF = ½ (DC + CG ) // (9), (10), переходное свойство равенства
(13) EF = ½ (DC + AB ) // (11) , (12), Транзитивное свойство равенства

Верно и обратное утверждение этой теоремы — прямая, параллельная одной из траекторий Основание апезоида и пересекает одну из середин ноги, также пересекает середину другой ноги, и ее длина равна половине суммы длин оснований.

Конверс теоремы о срединном сегменте трапеции

Теорема о срединном сегменте трапеции утверждает, что отрезок прямой, соединяющий середины сторон трапеции, параллелен основаниям и равен половине их суммы.

Здесь мы докажем обратное утверждение теоремы о срединном сегменте трапеции — линия, параллельная основанию трапеции и пересекающая середину одной ноги, является средним сегментом: она пересекает середину другой ноги и ее длину. равна половине суммы длин оснований.

Задача

ABCD — это трапеция. EF — это отрезок, параллельный его основаниям, AB и CD, и | AE | = | ED |. Покажите, что EF — это средний сегмент трапеции, то есть | BF | = | FC | и | EF | = ½ · (| AB | + | CD |)

Стратегия

Мы уже доказали аналогичную обратную теорему для треугольников, поэтому давайте попробуем использовать теорему о середине треугольника. Для этого нам понадобится треугольник — создадим его, нарисовав диагональ AC, которая пересекает EF в точке G.

В треугольнике ΔACD, | EG | — это линия, параллельная основному CD, которая начинается от середины стороны AD, поэтому согласно обратной теореме о среднем сегменте треугольника, это средний сегмент.Поскольку это средний сегмент, | AG | = | GC | и | EG | равна половине базы. | EG | тогда равна половине CD: | EG | = ½ · | CD |

Теперь посмотрим на треугольник ΔACB. Используя те же рассуждения, что и выше, поскольку | AG | = | GC |, | FG | начинается с середины стороны AC и параллельна AB — так что по обратной теореме о среднем сегменте треугольника это средний сегмент, и | BF | = | FC |, и мы доказали первую часть обратной теоремы

Доказательство

Но потому что | FG | является средним сегментом, он также равен половине основания, поэтому | FG | = ½ · | AB |.Теперь | EF | = | EG | + | FG | = ½ · | CD | + ½ · | AB | = ½ · (| AB | + | CD |), и мы доказали вторую часть.

(1) EG || CD // Дано
(2) | AE | = | ED | // Учитывая
(3) EG является промежуточным сегментом в ΔACD // (1), (2), обратная теорема о среднем сегменте треугольника
(4) | AG | = | GC | // (3), определение середины треугольника
(5) EG || AB // Учитывая
(6) GF является промежуточным сегментом в ΔACB // (4), (5), обратная теорема о среднем сегменте треугольника
(7) | BF | = | FC | // (6), определение середины треугольника
(8) | EG | = ½ · | CD | // (3), теорема о середине треугольника
(9) | GF | = ½ · | AB | // (6), теорема о середине треугольника
(10) | EF | = | EG | + | FG | = ½ · | CD | + ½ · | AB | = ½ · (| AB | + | CD |)

Свойства срединного сегмента трапеции — Задача 1

Средний сегмент трапеции соединяет середины двух конгруэнтных сторон трапеции и параллелен паре параллельных сторон.

Длина среднего сегмента — это сумма двух оснований, деленная на 2. Помните, что основания трапеции — это две параллельные стороны.

Чтобы найти углы внутри трапеции, помните, что, поскольку две стороны параллельны, другие стороны можно рассматривать как поперечные, образуя соответствующие углы и те же внутренние боковые углы. Используя то, что известно о соответствующих и одинаковых внутренних углах, можно найти размеры недостающих углов трапеции.

В этой задаче нас просят найти длину этого сегмента и меру этих двух углов. Что ж, давайте начнем с того, что мы знаем об этой проблеме?

Хорошо, я вижу, что эта точка — середина этой стороны, а эта точка — середина этой другой стороны. Поскольку у меня две параллельные стороны, это будет трапеция, и, поскольку это средние точки, я создал промежуточный сегмент и две ключевые вещи, которые я знаю о средних сегментах, первое — это то, что они параллельны двух оснований, поэтому я собираюсь вернуться сюда и отметить этот средний сегмент как параллельный, и я также знаю, что длина моего среднего сегмента — это среднее значение двух оснований, поэтому, если вы сложите две базы и разделенные на 2, вы получите длину вашего среднего сегмента.

Итак, давайте найдем первый. ‘a’ — это расстояние до нашего среднего сегмента, поэтому я собираюсь сказать, что a равно среднему значению ваших двух оснований, которые равны 10 и 18. Итак, 10 и 18 равны 28, поэтому a равно 28, деленному на 2, поэтому a это 14, и наши единицы здесь — сантиметры, поэтому я собираюсь написать это 14 см.

Теперь найдем x. Что ж, поскольку эти две линии параллельны, я могу думать об этой стороне прямо здесь как о поперечине, создающей соответствующие углы, которые всегда совпадают. Итак, x конгруэнтен 55 градусам, потому что соответствующие углы должны быть конгруэнтными.Теперь, чтобы найти y, мне нужно будет смотреть на эту сторону как на поперечную.

Несколько способов выяснить это. Первый способ — сказать, что 120 градусов соответствует этому углу прямо здесь, поэтому этот угол должен быть 120 градусов. 120 градусов и y находятся на одной стороне поперечной, и они находятся между двумя параллельными линиями, поэтому это одна и та же сторона, что означает, что y плюс 120 градусов должны быть дополнительными, поэтому, если я вычитаю 120 градусов, я вижу, что y должен быть 60 градусов.

Итак, два ключевых момента в решении этой проблемы: один — помнить, что средний сегмент и трапеция параллельны двум основаниям, а их длина равна сумме двух оснований, деленных на 2.

Свойства срединного сегмента трапеции — Концепция

Середина трапеции — это отрезок прямой, соединяющий середины двух непараллельных сторон трапеции. Промежуточный сегмент трапеции параллелен набору параллельных линий трапеции и равен среднему значению длин оснований. Средний сегмент трапеции связан со средним сегментом треугольника, учитывая, что их длина пропорциональна основанию.

В трапеции, основания которой являются двумя параллельными сторонами, мы можем нарисовать средний сегмент, но как найти средний сегмент трапеции? Это похоже на поиск середины треугольника. Первое, что мы собираемся сделать, это найти одну из наших непараллельных сторон и найти ее середину. Затем мы перейдем к другой непараллельной стороне и найдем середину этого сегмента.Затем вы собираетесь соединить 2, образуя линейный сегмент, поэтому то, что я собираюсь называть этим средним сегментом x, я скажу, что он имеет длину x, есть две особенности этого среднего сегмента и трапеции. Во-первых, она параллельна обоим основаниям, поэтому, найдя среднюю точку и соединив средние точки, мы создали еще одну параллельную линию.
Второй ключевой момент заключается в том, что x это расстояние равно среднему значению оснований, поэтому среднее значение означает сложение и последующее деление на количество имеющихся у вас членов.Итак, у нас есть только 2 члена, поэтому я собираюсь сказать, что x равно a плюс b, деленному на 2. Итак, если вы пытаетесь найти одну из этих недостающих сторон, но знаете 2 из них, все, что вам нужно сделать. подставляет их в эту формулу. Но как это похоже на треугольник? Что ж, мы сказали в среднем сегменте треугольника, что x равно половине b, так какова связь между средним сегментом треугольника и средним сегментом трапеции? Хорошо, если бы мы посмотрели на эту трапецию, если бы я взял эту вершину прямо здесь и перетащил ее полностью, пока она не встретила эту вершину прямо здесь.
Тогда я бы создал треугольник, поэтому мы могли бы назвать эту точку a, поэтому, если мы будем использовать ту же самую формулу, где x, средний сегмент — это среднее значение оснований, которое мы собираемся получить с x равняется половине b, но почему? Как вы можете видеть, это просто точка, и точки не имеют никакого расстояния. Итак, здесь a равно 0, поэтому, если я заменю его на 0, мы получим, что x равно 0 плюс b, разделенное на 2, а 0 плюс b — это просто b, разделенное на 2. Итак, это соотношение между средним сегментом треугольника и a. трапециевидный средний сегмент.
Это то, что в трапеции мы знаем, что средний сегмент будет параллелен 2 основаниям, и мы можем найти его длину, взяв среднее значение 2 оснований.

Основания трапеции, ножки, углы и площадь, правила и формулы

Трапеция — это четырехугольник с одной парой параллельных линий

Основания — две параллельные линии называются основаниями.

Ноги — две непараллельные линии — это ноги.

Недвижимость

  • Свойство №1) Углы на одной стороне опоры называются смежными углами и являются дополнительными (еще )
  • Свойство № 2) Площадь трапеции = $$ Площадь = высота \ cdot \ left (\ frac {\ text {sum base}} {2} \ right) $$ (еще )
  • Объект № 3) Трапеции имеют средний сегмент, который соединяет мипоинты ног (еще )

Смежные углы трапеции

Углы на одной стороне ножки называются смежными углами, например $$ \ angle A $$ и $$ \ angle D $$ являются дополнительными.По той же причине $$ \ angle B $$ и $$ \ angle C $$ являются дополнительными.

Проблема 1

$$ \ angle ZWX = 180 — 44 = 136 ° $$

Проблема 2

Используйте теорему о смежных углах для вычисления m $$ \ angle MLO $$.

Покажи ответ

$$ \ angle MLO = 180-124 = 56 ° $$

Проблема 3

Найдите значение x на трапеции ниже, затем определите меру углов $$ \ angle WXY $$ и $$ \ angle XYZ $$.

Покажи ответ

Проблема 4

Что не так с трапецией LMNO, изображенной ниже? (Объясните, почему LMNO не может быть трапецией, основываясь на предоставленной информации) .

Покажи ответ

Если LMNO — трапеция, и ее основания LO и MN параллельны, то $$ \ angle MNO $$ и $$ \ angle NOL $$, которые должны быть дополнительными, сумма этих углов не равна 180 111 + 68 ≠ 180. 2
$

Средняя часть трапеции:

Проблема 6

Используйте теорему о среднем сегменте, чтобы определить длину включения среднего сегмента.

Длина среднего сегмента

Чтобы вычислить длину среднего сегмента, найдите среднее значение длины оснований среднего сегмента = (6 + 4) / 2 = 5.

Быстрый обзор Midpoint

Самая важная вещь, о которой нужно помнить, — это то, что средняя точка делит линию пополам (разрезает линию на две равные половины).

Показать среднюю точку

Средняя точка красного сегмента, изображенного ниже, — это точка $$ (A, 2b) $$ (нажмите кнопку ниже, чтобы увидеть).

Средний сегмент трапеции — это сегмент, соединяющий середины непараллельных сторон трапеции.

На трапеции ниже середины непараллельных сторон — это точки S и V. Средний сегмент — это красный отрезок линии от S до V.

Пример среднего сегмента

Трапеция # 10

Шаг 1

Расчет длины оснований. Верхняя база:

$$ 35–16 = 9 $$

Шаг 2

Расчет низкой базы:

$$ 45 — 0 = 45
$$

Шаг 3

Расчет суммы оснований

$$ 9 + 45 = 54 $$

Шаг 4

Разделите сумму на 2

$$ \ frac {54} {2} = \ boxed {27} $$

Проблема 8

Какова длина среднего сегмента SV трапеции ниже?

Покажи ответ

Шаг 1

Расчет длины оснований.Верхняя база:

$$ 17–8 = 9 $$

Шаг 2

Расчет низкой базы:

$$ 20 — 0 = 20
$$

Шаг 3

Расчет суммы оснований

$$ 9 + 20 = 29 $$

Шаг 4

Разделите сумму на 2

$$ \ frac {29} {2} = \ boxed {14.5} $$

Проблема 9

Красный сегмент ниже среднего сегмента?

Покажи ответ

Это не настоящий средний сегмент, потому что его длина не равна половине суммы длин оснований.

Геометрия: свойства трапеций

Свойства трапеций

Трапеция представляет собой четырехугольник с ровно двумя параллельными сторонами. На рисунке 15.1 изображена трапеция ABCD. Помните соглашения об именах для многоугольников. Вы должны перечислить вершины в последовательном порядке.В трапеции ABCD, BC? ? ОБЪЯВЛЕНИЕ. Параллельные стороны BC и AD называются основаниями , а непараллельные стороны AB и CD — ножками . Базовые углы — это пара углов, имеющих общую основу. На рисунке 15.1? A и? D образуют один набор базовых углов.

Рисунок 15.1 Трапеция ABCD.

Когда середины двух сторон трапеции соединяются вместе, полученный сегмент называется медианной трапеции.На рисунке 15.2 R и S — середины AB и CD, а RS — медиана трапеции ABCD. Медиана трапеции параллельна каждому основанию. Как ни странно, длина медианы трапеции равна половине суммы длин двух оснований. Примите эти утверждения как теоремы (без доказательства) и используйте их при необходимости.

Рис. 15.2 R и S — середины AB и CD, а RS — медиана трапеции ABCD.

  • Теорема 15.1 : Медиана трапеции параллельна каждому основанию.
  • Теорема 15.2 : Длина медианы трапеции равна половине суммы длин двух оснований.
  • Пример 1 : Трапеция ABCD, BC? ? AD, R — это середина AB, а S — середина CD, как показано на рисунке 15.3. Найти AD, BC и RS, если BC = 2x, RX = 4x? 25 и AD = 3x? 5.

Рисунок 15.3 Трапеция ABCD, BC? ? AD AB имеет среднюю точку R, а CD — среднюю точку S.

  • Решение : Поскольку RS = 1 / 2 (AD + BC), вы можете заменить значения для каждой длины сегмента:
  • 4x? 25 = 1 / 2 (3x? 5 + 2x)
  • Перестановка и упрощение дает:
  • 4x? 25 = 5 / 2 x — 5 / 2
  • 4x? 5 / 2 x = 25 — 5 / 2
  • 3 / 2 x = 45 / 2
  • x = 15
  • Итак, x = 15, BC = 30, RS = 35 и AD = 40.

Высота трапеции — это отрезок перпендикулярной линии от вершины одного основания к другому основанию (или к продолжению этого основания). На рисунке 15.4 BT — это высота трапеции ABCD.

Рисунок 15.4 Трапеция ABCD с высотой BT.

Solid Facts

Трапеция представляет собой четырехугольник с ровно двумя параллельными сторонами.

основания трапеции — это параллельные стороны.

ножки трапеции — это непараллельные стороны.

Медиана трапеции — это отрезок прямой, соединяющий средние точки двух сторон.

Высота трапеции — это отрезок перпендикулярной линии от вершины одного основания к другому основанию (или к продолжению этого основания).

Углы основания трапеции — это пара углов, имеющих общее основание.

В трапецию встроены две параллельные линии (основания BC и AD), пересеченные поперечиной (одна из сторон, AB или CD).Вы знаете, что два внутренних угла на одной стороне трансверсали являются дополнительными углами (теорема 10.5), поэтому? A и? B являются дополнительными углами, как и? C и? D.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.