Изобразите на координатной прямой множество точек координаты которых удовлетворяют данному условию: Изобразите на координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: а) |х| = 2; б) |х| ≤ 1; в) |х| ≥ 3.

Содержание

Вариант 2 Изобразите на координатной прямой промежутки: а) х ? -2 б) 0 &lt х &lt 5. Изобразите на координатной плоскости множество точек на алгебраическом языке множество точек, симметричных относительно оси ординат точкам полосы, заданной неравенством 2 ? х ? 6.

Контрольная работа № 5 по теме
«Координаты и графики»
Оценка
«3»
«4»
«5»

Обязательная часть
4 задания
4 задания
5 заданий

Дополнительная часть

1 задание
2 задания

Вариант 1
Изобразите на координатной прямой промежутки:
а) х
· 1; б) -6 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: а) х = -2; б) у = 4.
Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: а) у
· 1; б) -3
· х
· 1.
Изобразите на координатной прямой множество точек, удовлетворяющих условиям: у = -х и -5
· х
· 5.
На рисунке 5.55 учебника (см. с.151) изображен график изменения температуры воздуха в течение одного дня. Используя график ответьте на вопросы: а) Какова была минимальная температура в этот день? б) В какое время суток температура в этот день была равна 2 оС? в) Когда в течение дня температура повышалась?
Запишите предложение на алгебраическом языке: «Расстояние между точками с и -3 больше или равно 7».
Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям: у = х2 и |х|
· 4.
Прямоугольник задан неравенствами -1
· х
· 4 и 1
· у
· 3. Задайте неравенствами другой прямоугольник, симметричный данному относительно оси абсцисс.
Вариант 2
Изобразите на координатной прямой промежутки:
а) х
· -2; б) 0 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: а) х = 5; б) у = -3.
Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию: а) х
· 4; б) 0
· у
· 5.
Изобразите на координатной прямой множество точек, удовлетворяющих условиям: у = х и -3
· х
· 3.
На рисунке 5.56 учебника (см. с.152) изображен график движения туриста от туристического лагеря до станции. Используя график ответьте на вопросы: а) Сколько километров прошел турист за последний час пути? б) Сколько километров прошел турист до привала? в) за какое время турист отошел от лагеря на 5 км?
Найдите пересечение промежутков |х| · х
· 1.
Постройте график зависимости 13 QUOTE 1415
Опишите на алгебраическом языке множество точек, симметричных относительно оси ординат точкам полосы, заданной неравенством 2
· х
· 6.

15

Приложенные файлы

  • 14507241
    Размер файла: 43 kB Загрузок: 0

Ответы к странице 134 №457-461 ГДЗ к учебнику Алгебра 7 класс Дорофеев, Суворова, Бунимович

Задание 457

Четырехугольник ABCD, изображенный на рисунке 5.16, является прямоугольником. Найдите периметр этого прямоугольника.

Решение

AB = |6 − (−8)| = |6 + 8| = |14| = 14;
CB = |11 − (−7)| = |11 + 7| = |18| = 18;
P = 2(AB + CB) = 2 * (14 + 18) = 2 * 32 = 64.
Ответ: P = 64

Задание 458

Изобразите на координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:
а) |x| = 2;
б) |x| ≤ 1;
в) |x| ≥ 3.
Подсказка.
Прочитайте данное условие, используя слово «расстояние», например:
|x| = 6 − расстояние от точки x до 0 равно 6.

Решение

а) |x| = 2 − расстояние от точки x до 0 равно 2.

б) |x| ≤ 1 − расстояние от точки x до 0 меньше или равно 1.

в) |x| ≥ 3 − расстояние от точки x до 0 больше или равно 3.

Задание 459

1) Задайте двойным неравенством множество точек, удовлетворяющих условию |x| < 4.
2) Задайте промежуток −6 < x < 6 с помощью неравенства с модулем.

Решение

1) |x| < 4 или −4 < x < 4

б) −6 < x < 6 или |x| < 6

Задание 460

1) Прочитайте, используя слово «расстояние»:
а) |m − 1| = 5;
б) |m − 6| < 20;
в) |a − (−2)| > 3;
г) |c + 10| ≤ 1.
2) Запишите предложения с помощью знака модуля:
а) расстояние между точками c и 5 равно 8;
б) расстояние между точками a и 3 больше 1;
в) расстояние между точками b и −9 меньше или равно 10;
г) расстояние между точками y и −2 больше или равно 12.

Решение

1) а) |m − 1| = 5 − расстояние между точками m и 1 равно 5;
б) |m − 6| < 20 − расстояние между точками m и 6 меньше 20;
в) |a − (−2)| > 3 − расстояние между точками a и −2 больше 3;
г) |c + 10| ≤ 1 − расстояние между точками c и −10 не больше 1.

2) а) |c − 5| = 8;
б) |a − 3| > 1;
в) |b − (−9)| ≤ 10;
г) |y − (−2)| ≥ 12.

Задание 461

Изобразите на координатной прямой множество точек, удовлетворяющих условиям:
а)
|x − 5| = 3,
|x − 5| ≤ 3,
|x − 5| ≥ 3;
б)
|x − 1| = 6,
|x − 1| < 6,
|x − 1| > 6;
в)
|x + 3| = 4,
|x + 3| ≤ 4,
|x + 3| ≥ 4;
г)
|x + 2| = 5,
|x + 2| < 5,
|x + 2| > 5.

Решение

а) |x − 5| = 3

|x − 5| ≤ 3

|x − 5| ≥ 3

б) |x − 1| = 6

|x − 1| < 6

|x − 1| > 6

в) |x + 3| = 4

|x + 3| ≤ 4

|x + 3| ≥ 4

г) |x + 2| = 5

|x + 2| < 5

|x + 2| > 5

Использование системы заданий как средства формирования предметных компетенций учащихся при обучении математике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 378.1:378.124.4:372.851 doi 10.24411/2221-0458-2019-10007

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЗАДАНИЙ КАК СРЕДСТВА ФОРМИРОВАНИЯ ПРЕДМЕТНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ УЧАЩИХСЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Кара-Сал Н.М., Танова О.М., Шактар О.О. Тувинский государственный университет, г. Кызыл

THE USE OF THE SYSTEM TASKS AS MEANS OF FORMATION OF SUBJECT COMPETENCES OF STUDENTS IN LEARNING MATHEMATICS

Kara-Sal N. M., Tanova O.M., Shaktar O.O. Tuvan State University, Kyzyl

Статья посвящена формированию предметных компетенций у учащихся при изучении темы «Изображение множества точек на плоскости» на занятиях элективного курса. Рассматриваются особенности системы заданий для формирования предметных компетенций учащихся. Особое внимание обращается на связь аналитического и графического языка при изображении на плоскости множеств, заданных уравнениями, неравенствами и их системами. Использование разработанной системы заданий по теме «Изображение множества точек плоскости, заданных уравнениями, неравенствами и их системами» при проведении элективного курса способствует формированию предметных компетенций у школьников. Они развивают такие способности у учащихся, как осознанное понимание основных понятий, тем самым обеспечивая фундаментальное усвоение знаний темы и формируя как предметные компетенции, так и ключевые.

Ключевые слова: формирование предметных компетенций, компетентностный подход, наглядность, элективный курс, уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, изображение множества точек, графики функций, уравнения и неравенства с модулем, система заданий.

The article is devoted to the formation of subject competencies of students in studying the topic «Depicting a set of points on a plane» during the elective course. The features of the system of tasks for the formation of the subject competencies of students are considered. Particular attention is paid to the relation of the analytical and graphical language when depicting point sets on the plane defined by equations, inequalities and their systems. The use of the developed system of tasks during the elective course topic «Depicting sets of points on the plane defined by equations, inequalities and their systems» contributes to the formation of subject competencies of students. These competencies develop such skills in students as a conscious understanding of the basic concepts, thereby providing fundamental assimilation of topic knowledge and forming both subject competencies, and key competencies as well.

Keywords: formation of subject competencies, competency-based approach, visibility,

elective course, equations, inequalities, equations and inequalities’ systems, depiction of a set of points, functions’ graphs, equations and inequalities with a module, system of tasks.

Компетентностый подход согласно ется ведущей при определении качества

ФГОС является одним из основных на- учебной деятельности школьников, то важ-

правлений современного образования [9]. ной задачей учителя является формирова-Компетентностый подход подразумевает ние предметных компетенций.

освоение учащимися таких умений, ко- Известно, что предметные компетенции

торые позволяют им действовать в новых можно сформировать на уроках математи-

неопределенных условиях, для чего уча- ки, на факультативных занятиях и электив-

щимся необходимо находить и получать ных курсах. На занятиях элективных кур-

требуемые результаты. При этом главной сов возможно более углубленное изучение

задачей учителя становится мотивирова- отдельных тем школьного курса математи-

ние учащихся, где они могли бы проявить ки на основе разработки и подбора заданий

самостоятельность и инициативу. для формирования специальных предмет-

Кроме ключевых компетенций, необ- ных компетенций у учащихся.

ходимых для любой предметной области, В статье остановимся на системе задач,

важными являются предметные компетен- разработанных по теме «Изображение мно-

ции. В стандартах среднего (полного) об- жества точек плоскости, заданных урав-

щего образования под предметными ком- нениями, неравенствами и их системами»,

петенциями понимают «специфические способствующих формированию предмет-

способности, необходимые для эффектив- ных компетенций учащихся при изучении

ного выполнения конкретного действия в этой темы. Эти задания нами использова-

конкретной предметной области и вклю- лись на занятиях элективного курса по ма-

чающие узкоспециальные знания, особого тематике для учащихся девятого класса. рода предметные умения, навыки, способы Анализ тем школьного курса математи-

мышления» [8]. При обучении математике ки показывает, что наиболее сложными для

под предметной компетентностью подразу- формирования осознанных знаний у уча-

мевают математическую компетентность, щихся являются те, которые связаны с ре-

которая способствует применению знаний шением математических задач с графиче-

учащимися для решения математических скими иллюстрациями множеств точек на задач. «Математическая компетенция — координатной плоскости [1,6,7]. Например,

это способность структурировать данные, изображение линий, заданных соответству-

вычленять математические отношения, ющими уравнениями, неравенствами и их

создавать математическую модель, ситуа- системами, нахождение площадей фигур,

ции, анализировать и преобразовывать ее, ограниченных некоторыми линиями без

интерпретировать полученные результаты» применения интеграла и т.д.

[8]. В процессе преподавания математики в

Так как предметная компетенция явля- школе учителю приходится опираться на

наглядные средства обучения, которые позволяют облегчить решение многих математических задач. При использовании чертежей для решения задач часто возникают новые идеи, способы решения, появляется возможность по-другому взглянуть на постановку задачи и высказать гипотезу.

При изучении темы «Изображение множества точек плоскости, заданных уравнениями, неравенствами и их системами» на первоначальном этапе учителю необходимо осуществлять систематизацию свойств и графиков элементарных функций, изучаемых в школьном курсе алгебры основной школы: линейной; дробно-рациональной; квадратичной и т.д. Заметим, что особого внимания требует повторение свойств и графиков функций, содержащих модуль, так как именно такие графики чаще встречаются при изображении линий на плоскости и нахождении площадей соответствующих фигур, образованных этими линиями.

Учащимся следует напомнить, что уравнение F (х; у) = 0 и все точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, задают на плоскости некоторую линию. ). По этим точкам легко построить искомую прямую (рис.1).

vA

Рис. 1

Аналогично решаются задачи б, в, г.

Заметим, что зависимость разных величин друг от друга описывают по-разному — с помощью аналитического задания формулой, с помощью уравнений, неравенств и их систем. Чаще всего бывает удобно показать зависимость таким образом, чтобы были видны ее свойства. Тогда возникает необходимость построения графиков функций и уравнений. Поэтому учителю необходимо подчеркнуть школьникам эту особенность, так как их часто отпугивает формулировка, где требуется описать множество точек плоскости, заданное тем или иным уравнением, неравенством и их системой. Им проще решить задачу — построить график той или иной функции, т.е. когда зависимость задается формулой У = f (x),z = f (xУ) и т.д.

Характерной ошибкой школьников при изображении множества точек на плоскости является то, что они не отличают изображение точки (а;0) и прямой х = а или точки (0; Ь) и прямой у Ь . Поэтому в первую группу заданий целесообразно включить следующие задания.

Задание 2. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию:

-3 -3

0х — 2; 1х — —; 2х — 28х — —;

22

3у — -2;4у — 3;5у = -28у — 3.

Здесь учителю следует пояснить, что уравнение х = 2 изображает не одну точку (2; 0), а бесконечное множество точек этой прямой. А условию х = 2 и х — — удовлетворяют параллельные оси ординат прямые. Аналогично, уравнению У = 3 , например, удовлетворяют бесконечное множество точек прямой у = 3 , в том числе точка (0;3) , а условию у = -2 и у = 3 удовлетворяют параллельные оси абсцисс прямые.

Задание 3. 2 — 0

е) у2 + 4у = х2 — 4х ?

При выполнении этого задания следует обратить внимание на различные ситуации изображения множества точек на плоскости, заданных уравнениями второй степени: 1) окружность,2) точка, 3) объединение прямых; 4) пустое множество и др. Это связано с тем, что у учащихся уравнение а (х — х0) + Ь (у — у0) = R2 ассоциируется только с окружностью.

Так, если в случае (а) уравнение задает

окружность (х — 0) + (у — 0) = 22 с центром в точке (0;0) и радиуса 2, то во втором случае ) уравнению х2 + У2 не удовлетворяет ни одна точка на плоскости, так как выражение х2 + у2 > 0 .

В случае (г) условие а2 + Ь2 = 0 выполняется тогда и только тогда, когда а = Ь = 0 . В нашем случае имеем уравнение (х-1)2-(у-2)2 -0, откуда х = 1, С= 2, т. е. получим одну точку (1;2), удовлетворяющую уравнению.

В случае (д), например, имеем ситуацию 4х2 = 25у2, откуда 2* = 5у или 2х — _5у , т.е. имеем объединение прямых у = — х и

-2 5

у — — х ‘ 5

Изображения некоторых линий на плоскости представлены на рис.6,7

Следующую группу составляют задания на нахождение множеств точек плоскости, которые содержат модуль.

Задание 4. Определить множество точек плоскости, заданное уравнением [3,4]: а|у| = х2 — 4х + 8 1 |х| +1 у\ = 2

2|у| — х2 -4|х

ЗУ =

4\у\-

+ 3

2 х х х| = 3

При выполнении этого задания необходимо повторить понятие модуля числа и графики элементарных функций, содержащих модуль. — х2 + 4х + 3

— у — х2 — 4 х + 3 у — -х2 + 4 х — 3

— у = х2 + 4 х + 3 у — -х2 — 4 х — 3

График уравнения |х| +|у| =2 потребует раскрытия выражений |х| и |у|, которое сводится к рассмотрению четырёх случаев:

1) х>0, у>0, тогда получим уравнение х+у=2, график которого представляет собой отрезок прямой у=х+2

Аналогично в случаях 2-4 получим отрезки соответствующих прямых.

2) х<0, у>0, отрезок прямой у=х+2

3) х<0, у<0, отрезок прямой у=-х-2

4) х>0, у<0, отрезок прямой у=х-2

Таким образом, уравнение |х| + |у| =2

представляет собой квадрат, изображенной на рис.

Третья группа заданий представляет собой задания на нахождение множества точек координатной плоскости, уравнения которых задаются неравенствами. Для таких заданий требуются навыки выполнения простейших примеров, на которых базируются более сложные задания.

Рассмотрим примеры:

Задание. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию [5]:

а) х < 2; з

б) х > — 2;

в) у > -2;

г) У 1 3;

д) — 2 < х < 2;

е) -2 < у < 3;

ж) 2 < х-2 < 5;

з) 1 < 3-у < 4 .

Для решения таких заданий необходимо, чтобы учащиеся понимали геометрический смысл простейших неравенств хДа, где знак Д означает один из знаков >, >, <, < (аналогично уДЬ).

Если на координатной прямой неравенству х<а удовлетворяет множество точек, расположенных левее от а, то на координатной плоскости это неравенство определяет полуплоскость, расположенную левее прямой х=а. По аналогии определяются множества точек, удовлетворяющих неравенствам: х < а, х > а, х > а.

В случае у>Ь, например, имеем полуплоскость, которая расположена правее прямой у=Ь.

Ниже показаны изображения некоторых из приведенных выше примеров (а, Ь , е).

Задание 5. Какое множество точек пло- равенствам вида F(x, у)Д0 (знак Д означает

скости задает неравенство:

а) 3х+2у-5<0

б) (х — 2 )2+ (у +1)2 < 4

в) х2 + 2х + у2- 4 — 4 > 0

г) у |3х — 2|

д) х- |у| > 2

е) у <

2-у/х + 2

ж) \х\ + |у\ < 2

з) х 2+ у2- 2\х\ +4у+1 < 0 ?

>, >, <, < ) плоскость разбивается на полуплоскости, и решение задачи состоит из двух частей: изображения границы области и выбора полуплоскости, удовлетворяющей условию задачи.

Обратимся к примерам заданий (а — з)

В случае (а) находим границу области, „ 5 — 3х

задаваемой неравенством у-. Это пря-

5 — 3 х 2 мая у=-, которая разбивает плоскость

При выполнении этих заданий следует на две полуплоскости. Чтобы определить, обратить внимание учащихся на то, что не- какую полуплоскость выбрать, удобно

взять контрольную точку и проверить. Покажем на примере.

Л / / /// ~Л

Л \ / / — / > \ / /

5 — 3х

Неравенство 3у —^— задает на плоскости множество точек, расположенных ниже 5 — 3х

прямой у=—^—. . Это означает, что полуплоскость выбрана верно.

Если в случае (б) получим внутреннюю часть окружности с центром в точке (2; -1) радиуса R=2, то в случае (в) сначала необходимо выяснить, какую линию представляет собой данное неравенство. С этой целью необходимо преобразовать левую часть неравенства, используя выделение полного квадрата, а именно х2 +2х+ у2 -4у-4=( х2 -4у+4)-1-4-4=( х +12 +( у — 22 — 9

Тогда искомое неравенство приводится к виду ( х +12 +(у — 22 > 9. Границей области является окружность с центром в точке (1; 2) радиуса 3. Множество точек, задаваемое этим неравенством, представляет собой внутренность круга, включая границу.

В пункте (д) неравенство х |у\ > 2 задает

множество точек плоскости, изображенной

на чертеже снизу (рис. 14). Границей обла-

22

сти являются гиперболы у = —, у = — — .

хх

Задание в пункте (з) аналогично заданию (в), отличие заключается в том, что надо раскрыть выражение |х|. В результате получим объединение двух кругов:

(х -1)2 +(у + 22 < 4 и (х +1)2 +(у + 22 < 4

Четвертую группу заданий составляют задания, обратные выше рассмотренным, где по заданным рисункам требуется задать аналитическим способом множества точек плоскости. Покажем некоторые из них.

а)

х — у < 2 ; X + у > 1 — х + 2 у < 3

б) в)

| х2 + 2 х + 6 > 0 [ х — 4 > 0 ‘

х — 5 < 0 х2 — 6х + 9 < 0 ‘

В пятую группу включаются задания на изображение множества точек плоскости, заданные системой линейных неравенств.

Задание 6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющий условию:

Г х +1 < 0 г) |х2 -7х +18 > 0

Таким образом, использование разработанной нами системы заданий по теме «Изображение множества точек плоскости, заданных уравнениями, неравенствами и их системами» при проведении элективного курса способствует формированию предметных компетенций у школьников. Они развивают такие способности у учащихся, как осознанное понимание основных понятий, тем самым обеспечивая фундаментальное усвоение знаний темы и формируя как предметные компетенции, так и ключевые.

Библиографический список

1. Атанасян Л.С. Геометрия: учеб. Для 7-9 кл.средней школы. М.: Просвещение, 5. 2012. 255 с.

2. Кара-Сал Н.М. Методика обучения учащихся решению задач, связанных с описанием множества точек на плоскости. // Научные труды Тывинского государственного университета. Кызыл: ОИО ТывГУ 2006. С.62-65.

3. Кара-Сал Н.М. Методические рекомен- 6. дации при изучении темы «Модуль числа» в 6 классе. Башкы. 1996. №3. С.28-

32. 7.

4. Кара-Сал Н.М. Решение некоторых

уравнений на уроках алгебры в 7-9 кл. Башкы. 1997. №5. С.11-15. Кара-Сал Н.М., Танова О.М. Пропедевтика изучения элементов геометрии в тувинской национальной школе. // Сознание человека: традиционно устойчивые модели жизни этноса и эволюция: материалы международного конгресса по этнической психологии, 3-7 июля 2012 г. Кызыл. 2013. С.21-27. Мордкович А. Г. Алгебра, 8 кл. Ч. 1-2: учебник/ А. Г. Мордкович. М.: Мнемози-на, 2013.

Мордкович А. Т. Алгебра, 9 кл. Ч. 1-2: учебник /А. Г. Мордкович, П. В. Семё-

нов. М.: Мнемозина, 2013.

8. Семенов А.Л. О концепции развития российского математического образования // Наука об образовании. 2013. №3. С.46-62.

9. Федеральные государственные образовательные стандарты. Режим доступа: https://fgos.ru/

10. Ященко И В. и др. ЕГЭ 2019, Математика. 36 вариантов. Профильный уровень. М.: Изд-во Национальное образование, 2019. 240 с.

References

1. Atanasyan L.S. Geometriya: ucheb.dlya 7-9 kl.srednei shkoly [Geometry. A textbook for the 7-9th forms of the secondary school]. Moscow, Prosvesheniye Publ. , 2012. 255 p. (in Russian)

2. Kara-Sal N.M. Metodika obucheniya uchashikhsya resheniyu zadach, svyazannykh s opisniyem mnozhestva tochek na ploskosti [Methods of teaching students to solving tasks related to description of a set of points on a plane]. Nauchnye trudy Tyvinskogo gosudarstvennogo universiteta [Scientific works of Tuvan State University]. Kyzyl, TuvSU Publ., 2006. Pp.62-65. (in Russian)

3. Kara-Sal N.M. Metodicheskiye rekomendatsii pri izuchenii temy «ModuF chisla» v 6 klasse [Methodical recommendations in the process of studying the topic «Number Module» at the 6th form]. Bashky Journal. 1996. No.3. Pp.2832. (in Russian)

4. Kara-Sal N.M. Resheniye nekotorykh uravneniy na urokakh algebry v 7-9 kl.[Certain equations solving on Algebra classes at the 7-9th forms]. Bashky Journal.

1997. No.5. Pp.11-15. (in Russian)

5. Kara-Sal N.M., Tanova O.M. Propedevtika izucheniya elementov geometrii v tuvinskoi natsionalnoi shkole. Soznaniye cheloveka: traditsionnoustoichivyemodelizhiznietnosa i evolyutsiya: materialy mezhdunarodnogo kongressa po etnicheskoi psikhologii, 3-7 iyulya 2012 g. [Propedeutics of studying geometry elements at a Tuvan national school. Human Conscious. Traditional models of ethnos living and evolution. Materials of the international congress on Ethnic Psychology, 3-7th July, 2012]. Kyzyl, 2013. Pp.21-27. (in Russian)

6. Mordkovich A G. Algebra, 8 kl. Ch.1-2: uchebnik [Algebra, 8th form. Parts 1-2]. Moscow, Mnemozina Publ., 2013. (in Russian)

7. Mordkovich A G. Algebra, 9 kl. Ch.1-2: uchebnik [Algebra, 9th form. Parts 1-2]. Moscow, Mnemozina Publ., 2013. (in Russian)

8. Semyonov A.L. O kontseptsii razvitiya rossiyskogo matematicheskogo obrazovaniya [On the concept of Russian mathematical education development]. Nauka ob Obrazovanii [Science of Education Journal]. 2013. No.3. Pp.46-62. (in Russian)

9. Federal’nye gosudarstvennye obrazovatel’nye standarty [Federal State Standards of Education]. Available at: https://fgos.ru/

10. Yashchenko I.V. et al. EGE 2019, Matematika. 36 variantov. Profilny uroven’ [EGE Unified State Exam 36 variants. Mathematics Advanced Level]. Moscow, Natsional’noye Obrazovaniye Publ., 2019. 240 p. (in Russian)

Кара-Сал Надежда Маасовна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и МПМ Тувинского государственного университета, г. Кызыл, E-mail: [email protected] mail.ru

Танова Оксана Монгушовна, старший преподаватель кафедры математики и МПМ Тувинского государственного университета, г. Кызыл, E-mail: [email protected] Шактар Ойнарина Очуровна, преподаватель кафедры математики и МПМ Тувинского государственного университета, г. Кызыл, E-mail: [email protected]

Nadezhda Kara-Sal, Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor at the Department of Mathematics and Mathematics Teaching Methods, Tuvan State University, Kysyl, E-mail: [email protected]

Oksana Tanova, Senior Lecturer at the Department of Mathematics and Mathematics Teaching Methods, Tuvan State Unversity, Kysyl, E-mail: [email protected] Oynarina Shaktar, Lecturer at the Department of Mathematics and Mathematics Teaching Methods, Tuvan State University, Kyzyl, e-mail: [email protected]

Дата поступления статьи в редакцию 21.06.19

Зачет по математике «Координаты и графики»

7кл Зачет « Координаты и графики»

1. Изобразите на координатной прямой промежутки:

а) х2; б)-5

свой пример

2. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

а) х= -2; б) у=4. в) у1;

г) -3х 1. д)______________ е)________________

свой пример свой пример

3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям:

а)и -6, б) у=х3 и в) у=х2 и -7.

г)______________________ д) _______________________

свой пример свой пример

4. По графику движения туриста от турлагеря до станции (рис. 5.56 учеб.) ответьте на вопросы:

а) Сколько километров прошел турист за первые 4 ч движения?______________

б) За какое время турист отошел от турлагеря на 9 км?________________

в) Сколько километров прошел турист от привала до станции?__________________

по рис. 5.57 ваши вопросы и ответы:

а)______________________________________________________________________

________________________________________________________________________

б)______________________________________________________________________

________________________________________________________________________

в)______________________________________________________________________

________________________________________________________________________

5. Прямоугольник задан неравенствами. Задайте неравенствами другой прямоугольник, симметричный данному относительно оси ординат.

а)-6и . б)___________________________свой пример

6. Найдите пересечение и объединение промежутков, заданных неравенствами

а) и -5 б)__________________________ свой пример

7. Постройте график зависимости:

а) б)

Группа ___________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

Задание фигур на координатной плоскости уравнениями и неравенствами

Пусть задано уравнение с двумя переменными F(x; y). Вы уже познакомились со способами решения таких уравнений аналитически. Множество решений таких уравнений можно представить и в виде графика.

Графиком уравнения F(x; y) называют множество точек координатной плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Для построения графика уравнения с двумя переменными сначала выражают в уравнении переменную y через переменную x.

Наверняка вы уже умеете строить разнообразные графики уравнений с двумя переменными: ax + b = c – прямая, yx = k – гипербола, (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – окружность, радиус которой равен R, а центр находится в точке O(a; b).

Пример 1.

Построить график уравнения x2 – 9y2 = 0.

Решение.

Разложим на множители левую часть уравнения.

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, то есть y = x/3 или y = -x/3.

Ответ: рисунок 1.

Особое место занимает задание фигур на плоскости уравнениями, содержащими знак абсолютной величины, на которых мы подробно остановимся. Рассмотрим этапы построения графиков уравнений вида |y| = f(x) и |y| = |f(x)|.

Первое уравнение равносильно системе

{f(x) ≥ 0,
{y = f(x) или y = -f(x).

То есть его график состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.

Для построения графика второго уравнения строят графики двух функций: y = f(x) и y = -f(x).

Пример 2.

Построить график уравнения |y| = 2 + x.

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе

{x + 2 ≥ 0,
{y = x + 2 или y = -x – 2.

Строим множество точек.

Ответ: рисунок 2.

Пример 3.

Построить график уравнения |y – x| = 1.

Решение.

Если y ≥ x, то y = x + 1, если y ≤ x, то y = x – 1.

Ответ: рисунок 3.

При построении графиков уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, удобно и рационально использовать метод областей, основанный на разбиении координатной плоскости на части, в которых каждое подмодульное выражение сохраняет свой знак.

Пример 4.

Построить график уравнения x + |x| + y + |y| = 2.

Решение.

В данном примере знак каждого подмодульного выражения зависит от координатной четверти.

1) В первой координатной четверти x ≥ 0 и y ≥ 0. После раскрытия модуля заданное уравнение будет иметь вид:

2x + 2y = 2, а после упрощения x + y = 1.

2) Во второй четверти, где x < 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) В третьей четверти x < 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) В четвертой четверти, при x ≥ 0, а y < 0 получим, что x = 1.

График данного уравнения будем строить по четвертям.

Ответ: рисунок 4.

Пример 5.

Изобразить множество точек, у которых координаты удовлетворяют равенству |x – 1| + |y – 1| = 1.

Решение.

Нули подмодульных выражений x = 1 и y = 1 разбивают координатную плоскость на четыре области. Раскроем модули по областям. Оформим это в виде таблицы.

Область
Знак подмодульного выражения
Полученное уравнение после раскрытия модуля
I x ≥ 1 и y ≥ 1 x + y = 3
II x < 1 и y ≥ 1 -x + y = 1
III x < 1 и y < 1 x + y = 1
IV x ≥ 1 и y < 1 x – y = 1

Ответ: рисунок 5.

На координатной плоскости фигуры могут задаваться и неравенствами.

Графиком неравенства с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого неравенства.

Рассмотрим алгоритм построения модели решений неравенства с двумя переменными:

  1. Записать уравнение, соответствующее неравенству.
  2. Построить график уравнения из пункта 1.
  3. Выбрать произвольную точку в одной из полуплоскостей. Проверить, удовлетворяют ли координаты выбранной точки данному неравенству.
  4. Изобразить графически множество всех решений неравенства.

Рассмотрим, прежде всего, неравенство ax + bx + c > 0. Уравнение ax + bx + c = 0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них функция f(x) = ax + bx + c сохраняет знак. Для определения этого знака достаточно взять любую точку, принадлежащую полуплоскости, и вычислить значение функции в этой точке. Если знак функции совпадает со знаком неравенства, то эта полуплоскость и будет решением неравенства.

Рассмотрим примеры графического решения наиболее часто встречающихся неравенств с двумя переменными.

1) ax + bx + c ≥ 0. Рисунок 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Рисунок 7.

3) x2 + y2 ≤ a, a > 0. Рисунок 8.

4) y ≥ x2. Рисунок 9.

5) xy ≤ 1. Рисунок 10.

Если у  вас появились вопросы или вы хотите попрактиковаться изображать на плоскости модели множества всех решений неравенств с двумя переменными с помощью математического моделирования, вы можете провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после того, как зарегистрируетесь. Для дальнейшей работы с преподавателем у вас будет возможность выбрать подходящий для вас тарифный план.

 Остались вопросы? Не знаете, как изобразить фигуру на координатной плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Контрольные Работы По Курсу Алгебры 7 Класс – Telegraph

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Контрольные Работы По Курсу Алгебры 7 Класс

Опубликовано 28.02.2018 — 17:32 — Чулкова Марина Николаевна
Контрольные работы проводятся в соответствии с рекомендациями автора Дорофееа Г. В. ( Алгебра: учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Минаева, Л. О.Рослова.  М.: Просвещение, 2017 г.) и текстами контрольных работ, взятых из сборника Кузнецовой Л. В. ( Алгебра: контрольные работы для 7-9 классов общеобразователь­ных учреждений: книга для учителя /Л. В. Кузнецова. — М.: Просвещение, 2011 г.)
Контрольная работа по алгебре №1 по теме: « Дроби и проценты».  7 класс.
а) 0,17 + ;                б) 2,5 : .
4. Найдите значение выражения  при а  = –4, b  = –6, с = 3.
6. Спортивный костюм до уценки товаров стоил 800 р. Сколько заплатит покупатель за этот костюм, если он продается со скидкой 7,5 %?
7. В течение недели семья отмечала ежедневный расход воды (в л) и получила следующие данные: 5,7; 6,5; 6,1; 6,5; 6,5; 6,8; 6,7. Найдите среднее арифметическое и размах полученных данных.
________________________________________________________
8. Расположите в порядке возрастания числа:
–0,2; (–0,2) 2 ; (–0,2) 3 ; (–0,2) 4 .
9. Фирма платит рекламным агентам 5 % от стоимости заказа. На какую сумму агент должен найти заказ, чтобы заработать 1 000 р.?
10. В ряду чисел 8, 10, 14, 6, 12, 16 одно число вычеркнули. Среднее арифметическое нового ряда стало равно 12. Найдите вычеркнутое число.
Контрольная работа по алгебре №1 по теме: « Дроби и проценты».  7 класс.
1. Расположите в порядке возрастания числа:
4. Найдите значение выражения  при а  = –5, b = 6, с  = 7.
6. Зимой в зоопарке проживало 120 животных, а к лету их стало 150. На сколько процентов увеличилось число животных в зоопарке?
7. В течение полугода ежемесячный расход электроэнергии (в кВт ∙   ч) в семье был следующий: 148; 148; 125; 126; 112; 115. Найдите среднее арифметическое и размах полученных данных.
_______________________________________________________
8. Найдите значение выражения  при а  = –0,5.
9. После снижения цен на 20 % килограмм груш стал стоить 36 р. Сколько стоил килограмм груш до снижения цен?
10. К ряду чисел 16, 12, 20, 18, 14 приписали еще одно число. Среднее арифметическое нового ряда стало равно 15. Какое число приписали?
Контрольная работа по алгебре №2 по теме: « Прямая и обратная пропорциональность»
1. Площадь поверхности параллелепипеда можно вычислить по формуле S = 2 ( ab + bc + ac ). Найдите площадь поверхности параллелепипеда, если а  = 4 см, b  = 2,5 см, с = 6 см.
2. Лыжники должны пройти а  км. Они идут со скоростью v  км/ч. Составьте формулу для вычисления расстояния S , которое останется пройти лыжникам через t  ч.
3. В бассейн начали подавать воду, и через некоторое время вода поднялась до уровня 30 см. До какого уровня поднялась бы вода за это же время, если бы скорость подачи воды была в 3 раза выше?
4. Найдите неизвестный член пропорции .
5. На каждые 100 км пути автомобиль расходует 9 л бензина. Сколько бензина потребуется, чтобы проехать 450 км?
__________________________________________________________
6. Даны три числа: 15, 6 и 5. Найдите четвертое число, чтобы из этих чисел можно было составить пропорцию. Найдите все решения задачи.
7. Автомобиль проехал некоторое расстояние за 2,4 ч. За какое время он проедет это же расстояние, если уменьшит скорость на 20 %?
8. Периметр  треугольника  равен  70  см.  Найдите  длины  сторон  этого  треугольника,  если   АВ   относится  к   ВС   как  3 : 4,  а   ВС   относится  к АС  как 6 : 7.
Контрольная работа по алгебре №2 по теме: « Прямая и обратная пропорциональность»
1. Площадь  поверхности  цилиндра  можно  вычислить  по  формуле S  = 2 π r  ( r  + h ) .  Найдите  площадь  поверхности  цилиндра,  если   r  = 5 cм, h  = 10 см ( π ≈ 3,14).
2. Чашка чая и пирожок стоят соответственно а  р. и b  р. Составьте формулу для вычисления оплаты С  за m  чашек чая и n  пирожков.
3. Цех за 6 дней выполнил некоторый заказ на изготовление бетонных плиток для дорожек. За какое время такое же количество плиток изготовит другой цех, производительность которого в 2 раза ниже?
4. Найдите неизвестный член пропорции .
5. Распределите 450 тетрадей пропорционально числам 2 : 3 : 4.
____________________________________________________________
6. Найдите неизвестное число х , если .
7. Скорость автомобиля на трассе оказалась на 50 % выше скорости этого автомобиля по городу. Какое время затрачивает автомобиль на трассе на преодоление расстояния, на которое в городе у него уходит 1,2 ч?
8. Всего имеется 400 г семян. Их надо насыпать в три пакета так, чтобы масса семян в первом пакете составила 40 %,  а масса семян во втором пакете – 50 % массы семян в третьем пакете. Сколько семян будет в каждом пакете?
Контрольная работа по алгебре  №3 по теме: « Введение в алгебру». 7 класс.
а) 3 ас   ∙  5 аb ;        б) 10 х   ∙  9 у ∙  (–7 а ).
2. Приведите подобные слагаемые в сумме b  – 6 a  – 10 b  + 9 a  + 4 b .
3. Составьте выражение по условию задачи.
В фермерском хозяйстве х  гусей, уток в 2 раза больше, чем гусей, а кур на 20 больше, чем уток. Сколько всего птиц в фермерском хозяйстве?
bm  + 2 – (5 + 7 m ) – 4 m         при m  = 17.
5. Упростите выражение 7 ( у  + 2 х ) – 2 ( х  – 2 у ).
6. В выражение у – х – z  подставьте х = аb + b , у = ab + c , z = ab  –  b  и упростите получившееся выражение.
7. Раскройте скобки в выражении: 2 с  – (3 с  + (2 с  – ( с  + 1)) + 3).
8. У учителя 300 тетрадей. Ежедневно он раздает по 27 тетрадей. Сколько тетрадей останется через n  дней? Какие значения может принимать число n ?
Контрольная работа по алгебре  №3 по теме: « Введение в алгебру». 7 класс.
а) 6 cd   ∙  2 ac ;        б) 4 m   ∙  (–5 n ) ∙  (–8 k ).
2. Приведите подобные слагаемые в сумме 4 – 12 b  – 2 a  + 5 b  – a .
3. Составьте выражение по условию задачи.
В  первый  день  на  ярмарке  фермер  продал   х   кг  овощей,  во  второй день – в 3 раза больше, в третий – на 150 кг меньше, чем в первый. Сколько килограммов овощей продал фермер за 3 дня?
11 n  – (7 n  – 1) – 6 n  + 8   при n  = 16.
5. Упростите выражение: 4 (2 а  – c ) – 5( а  + 3 c ).
6. В выражение у – х  – 1 подставьте х = аb + 1, у  = ab  – 1 и упростите получившееся выражение.
х ( у + z )  – y ( x + z )  – z ( x – y ) .
8. Пусть сумма трех последовательных нечетных чисел равна В . Найдите сумму трех следующих нечетных чисел.
Контрольная работа №4 по теме : « Уравнения». 7класс.
За верно выполненное задание 9 *  ученик получает дополнительную отметку
6. Решите задачу с помощью уравнения.
Брат в 2 раза старше сестры. Сколько лет сестре и сколько брату, если им вместе 24 года?
_________________________________________________________
7. Решите уравнение 10 – ((2 х  + 1) – х ) = 3 х .
8. Выразите  из  равенства  3 ( х – у ) = – z   каждую  переменную  через другие.
9 * . В классе 25 детей. При посадке деревьев в школьном саду каждая девочка посадила по 2 дерева, а каждый мальчик – 3 дерева. Всего было посажено 63 дерева. Сколько девочек в классе?
Контрольная работа №4 по теме : « Уравнения». 7класс.
1. Является ли число 5 корнем уравнения х 2  – 2 х  – 5 = 0?
6. Решите задачу с помощью уравнения.
Масса изюма составляет 15 % массы фруктовой смеси. Сколько получится смеси, если взято 90 г изюма?
______________________________________________________________
7. Решите уравнение: (7 – 2 х ) = .
8. Выразите  из  равенства  5 ( у  – 2 х ) = z   каждую  переменную  через другие.
9 * . В баке в 2 раза больше молока, чем в ведре. Если из бака перелить в ведро 2 л, то в баке будет на 5 л молока больше, чем в ведре. Сколько молока в ведре и сколько в баке?
Контрольная работа №5 по теме : «Координаты и графики». 7класс.
За верно выполненное задание 8 *  ученик получает дополнительную отметку
1. Изобразите на координатной прямой промежутки:
а) х   ≥ 1 ;                б) –6 < х  – 2.
2. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:
3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:
а) у   ≤  –1;                б) –3 ≤ х  ≤ 1 .
4. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям: у  = – х  и –5 ≤ х  ≤ 5 .
5. На рисунке 5.55 в учебнике (с. 151) изображен график изменения температуры воздуха в течение одного дня. Используя график, ответьте на вопросы:
а) Какова была минимальная температура в этот день?
б) В какое время суток температура в этот день была равна 2  ° С?
в) Когда в течение суток температура повышалась?
_____________________________________________________________
6. Запишите предложение «Расстояние между точками С  и –3 больше или равно 7» на алгебраическом языке.
7. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям у  = х 3  и | x  | ≤ 4 .
8 * . Прямоугольник задан неравенствами –1 ≤   х   ≤  и 1 ≤   у   ≤  3. Задайте неравенствами другой прямоугольник, симметричный данному относительно оси абсцисс.
1. Изобразите на координатной прямой промежутки:
а) х   ≤  –2;                б) 0 < х  < 5.
2. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:
а) х  = 5;                б) у  = –3.
3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:
а) х   ≥ 4 ;                б) 0 ≤ у  ≤ 5
4. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям:
а) у  = х ;                б) –3 ≤ х ≤ 3 .
5. На рисунке 5.56 из учебника (с. 152) изображен график движения туриста от туристического лагеря до станции. Используя график, ответьте на вопросы:
а) Сколько километров прошел турист за последний час пути?
б) Сколько километров прошел турист до привала?
в) За какое время турист отошел от лагеря на 5 км?
__________________________________________________________________
6. Найдите  пересечение  промежутков, заданных неравенствами | x  | ≤ 5  и –7 ≤ x  ≤ 1.
8. *  Опишите  на  алгебраическом  языке  множество  точек,  симметричных  относительно  оси  ординат  точкам  полосы,  заданной  неравенством 2 ≤ x  ≤ 6 .
Контрольная работа по алгебре №6  по теме: «Степени».  7 класс.
За верно выполненное задание 12 *  ученик получает отдельную отметку
Выполните действие, воспользовавшись соответствующим свойством степени (1–5).
______________________________________________________________
10. Представьте выражение  в виде степени с основанием с .
11. При каком значении n выполняется равенство (3 n  – 1 ) 2  = 81?
12 * . Сравните: 121 20  и 3 20   ∙  5 20 .
Контрольная работа по алгебре №6  по теме: «Степени».  7 класс.
За верно выполненное задание 12 *  ученик получает отдельную отметку
Выполните действие, воспользовавшись соответствующим свойством степени (1–5).
________________________________________________________________
10. Представьте выражение  в виде степени с основанием с .
11. При каком значении n  выполняется равенство 10 2 ( n  – 1)  = 10 000.
Контрольная работа №7 по теме : «Многочлены». 7класс.
За верно выполненное задание 10 *  ученик получает дополнительную отметку
1. Найдите значение выражения 1,5 х 3  – 2,4 у  при х  = –1, у  = 2.
Представьте в виде многочлена (2–4).        
5. 3 а ( а  – b ) + ( b  (2 a  – b ).
7. Представьте в виде квадрата двучлена выражение  9 + 12 х  + 4 х 2 .
__________________________________________________________
(3 х  + 1) (4 х  – 2) – 6 (2 х  – 1) 2  + 14.
10 * . Найдите значение выражения а 2  + , если а  –  = 2,  = 3.
1. Найдите значение выражения 2 х 2  – 0,5 у  + 6 при х  = 4, у  = –2.
Представьте в виде многочлена (2–4).
5. 5 х  (2 х  + 3) – ( х  – 1) ( х  – 6).
7. Представьте в виде квадрата двучлена выражение  4 а 2  – 20 ах  + 25 х 2 .
_______________________________________________________________
8. Докажите, что если х – у – z  = 0, то  х  ( уz  + 1) – y  ( xz  + 1) – z  ( xy  + 1) = = – xyz .
9. Выполните возведение в квадрат: (3 а 2  + 1 – а ) 2 .
10 * . Найдите значение выражения а 2  + b 2 , если а – b  = 6, ab  = 10.
Контрольная работа №8 по теме : « Решение задач с помощью уравнений». 7класс.
За верно выполненное задание 8 *  ученик получает дополнительную отметку
1. Лодка проплыла расстояние между пристанями вниз по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Собственная скорость лодки равна 10 км/ч, а скорость течения реки – 2 км/ч. Сколько времени лодка плыла по течению реки?
Составьте уравнение по условию задачи, обозначив через х  время, которое лодка плыла по течению реки.
2. По условию предыдущей задачи составьте уравнение, обозначив через х  расстояние между пристанями.
4. 6 (2 х  + 0,5) = 8 х  – (3 х  + 4).
5. Площадь прямоугольника на 15 см 2  меньше площади квадрата. Одна из сторон прямоугольника равна стороне квадрата, а другая на 3 см меньше ее. Найдите сторону квадрата.
_____________________________________________________________
7. 10 – х  (5 – (6 + х )) = х  ( х  + 3) – 4 х .
8 * . Фабрика предполагала выпустить партию изделий за 36 дней. Однако она выпускала ежедневно на 4 изделия больше, поэтому за 8 дней до срока ей осталось выпустить 48 изделий. Сколько изделий в день предполагалось выпускать первоначально?
1. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 245 км, одновременно навстречу друг другу выехали автобус и автомобиль. Они встретились через 2 ч. С какой скоростью ехал каждый из них, если известно, что скорость автомобиля на 15 км/ч больше скорости автобуса?
Составьте уравнение по условию задачи, обозначив через х  скорость автобуса (в км/ч).
2. По условию предыдущей задачи составьте уравнение, обозначив через х  скорость автомобиля (в км/ч).
4. 6 х  – (2 х  + 5) = 2 (3 х  – 6).
5. Площадь прямоугольника равна площади квадрата. Одна из сторон прямоугольника на 4 см больше стороны квадрата, а другая – на 3 см меньше ее. Найдите сторону квадрата.
_________________________________________________________________
7. х ( х  ( х  – 1)) + 6 = х  ( х  + 3) ( х  – 4).
8 * . Фабрика должна выпустить партию изделий за 10 дней. Но оказалось, что надо выпустить на 70 изделий больше. Поэтому ежедневно выпускали на 3 изделия больше, чем предполагалось, и работа продолжалась на 2 дня дольше. Сколько изделий в день предполагалось выпускать первоначально?
Контрольная работа №9 по теме: «Разложение многочленов на множители». 7класс.
За верно выполненное задание 12 *  ученик получает дополнительную отметку
Вынесите общий множитель за скобки (1–2).
7. Выполните действия: ( а  – 2) ( а  + 2) – а  ( а  – 1).
_______________________________________________________
10. Представьте ( а + b ) ( a – b ) ( a 2  + b 2 ) в виде многочлена.
с  ( с – 2) ( с + 2) – ( с – 1) ( с 2  + с  + 1).
2 х  + 2 у   – х 2  – 2 ху  – у 2 .
Вынесите общий множитель за скобки (1–2).
7. Выполните действия: 2 с  ( с  – b ) – ( c  – 3) ( c + 3).
___________________________________________________________
10. Представьте ( а + b ) 2  – ( a 2  – b 2 ) в виде произведения.
11. Разложите на множители: а 4 b  + ab 4 .
12*. Решите уравнение (1 – 3 х ) 2  + 3 х  – 1 = 0.
ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  ПО  АЛГЕБРЕ   В 7 КЛАССЕ
                        -2,3+                            
Б).  6 (2 х  + 0,5) = 8 х  – (3 х  + 4).
5 .Вынесите общий множитель за скобки .
а).    За день рабочий должен сделать 180  деталей. До обеда он сделал  70% нормы. Сколько деталей он сделал до  обеда?
б)     В  школьном  туристическом  слёте приняли  участие 35% всех  учащихся   школы, это 224 ученика. Сколько  учеников  в школе?
в)     После снижения цен на 20 % килограмм груш стал стоить 36 р. Сколько стоил килограмм груш до снижения цен?
ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  ПО  АЛГЕБРЕ   В 7 КЛАССЕ
3,2:                                                
0,8·0,7                                            
Б). 6 х  – (2 х  + 5) = 2 (3 х  – 6).
4.Вынесите общий множитель за скобки
  5.Представьте в виде многочлена .
а).    За день рабочий должен сделать 360  деталей. До обеда он сделал  60% нормы. Сколько деталей он сделал  после  обеда?
б)     Спортивный костюм до уценки товаров стоил 800 р. Сколько заплатит покупатель за этот костюм, если он продается со скидкой 7%?
в)    Из 28 учеников класса 10 человек учатся без  троек. Сколько процентов от численности класса они  составляют?
Итоговая контрольная работа представлена в виде теста на основе демонстрационных материалов ГИА. Данная работа может быть использована и при проведении вводного диагностического контроля по алгебре в …
Варианты контрольных работ для учащихся 9-х классов, которые включают в себя задания 3-х уровней. …
Контрольная работа №3 по алгебре 8 класс. Готовые карточки. К УМК Мордкович….
В разработке контрольная работа представлена в 6-ти вариантах 3-х уровней сложности. Работа позволяет провести контроль знаний дифференцированно от уровня подготовленности учащихся. Большее количество…
В разработке контрольная работа представлена в 6-ти вариантах 3-х уровней сложности. Работа позволяет провести контроль знаний дифференцированно от уровня подготовленности учащихся. Большее количество…
Контрольная работа составлена в формате ГИА. Есть задания с выбором ответа, есть с кратким ответов и несколько заданий с полным оформлением….
Предлагаемые вниманию учителей контрольные работы составлены в соответствии с программой по математике .  Могут быть использованы во всех типах учебных заведений….

Контрольные работы по алгебре 7 класс
Контрольные работы по алгебре для 7 класса | Материал по…
Алгебра 7 Контрольные Макарычев | КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Алгебра 7 класс Контрольные работы КИМ | Контроль знаний
Контрольные работы по алгебре 7 класс
Современные Методы Диагностирования Кабельных Линий Реферат
Сочинение На Тему Рассуждение По Роману Дубровский
Возбуждение Дела Об Административном Правонарушении Реферат
Сочинение Про Зиму 5 Класс
Какие Основные Идеи Диссертации Чернышевского

2. Изобразите на плоскости xoy множество точек, удовлетворяющих системе неравенств: Обоснуйте построение.

2. Решите неравенство. log ( ) 0

Второй (заключительный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика», весна 017 г Вариант 8 1 Из пункта A в пункт B, расстояние между

Подробнее

50 (напомним:!

Второй (заключительный) этап олимпиады школьников «Шаг в будущее» для 8-10 классов по общеобразовательному предмету «Математика», 10 класс, весна 018 г. Вариант 1 Задача 1. (10 баллов) Сравните числа:

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

x x a < 2 имеет хотя бы одно положительное

Второй (заключительный) этап XIX олимпиады школьников «Шаг в будущее» для 8-10 классов по образовательному предмету «Математика», 9 класс, весна 017 г. Вариант 1 1. Железнодорожная кампания получила заказ

Подробнее

. (8 баллов) x x x. cos 1 cos 2 2sin

Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Математика» осень 06 г. Вариант. Из пункта А в пункт В вышел один пешеход и с некоторым

Подробнее

Тренировочная работа 5 по МАТЕМАТИКЕ

Тренировочная работа 5 по МАТЕМАТИКЕ класс Вариант Математика. класс. Вариант Часть Ответом на задания B B должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерений писать не нужно. B Аня

Подробнее

tg A 1 BM A 1M Ответ: arctg 0,6.

Математика класс Вариант -3-9- Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Дано уравнение cos 3π x cosx а) Решите уравнение; б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку 5π ;4π Решение а)

Подробнее

9 класс. 1 xy 1. x + y = 1 12, x 2 y + xy 2 = 12. xy = 3, x + y = 4.

9 класс 5). Найдите все решения системы уравнений xy x + y =, x y + xy =. Заметим, что x y + xy = xyx + y). Введем замену xy = a, x + y = b. Тогда получаем a b =, b a = ab, b a =, b a =, b = + a, ab =

Подробнее

Решение задач заочного тура 2011

Решение задач заочного тура 0 I Математический блок Задача Найдите число натуральных корней уравнения Ответ: 00 0 решений Решение задачи Представим число в виде Тогда правая часть данного уравнения равна

Подробнее

ОЛИМПИАДА «ФИЗТЕХ» ПО МАТЕМАТИКЕ. 9 класс

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ОЛИМПИАДА «ФИЗТЕХ» ПО МАТЕМАТИКЕ 9 класс БИЛЕТ 9 ШИФР Заполняется ответственным секретарём 1. Дана линейная функция f(x). Известно, что расстояние между точками пересечения

Подробнее

+ = и. + bx + 2= 0 имеют два

Первый (заочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по общеобразовательному предмету «Математика», осень 16 г 1 КЛАСС 1 Буратино, Карабас-Барабас и Дуремар бегают по

Подробнее

MAO = NAO. Таким образом, если из Рис. 1

005-006 уч. год. 6, 9 кл. Математика. Планиметрия (часть II). Вторая часть по планиметрии содержит три параграфа. В 1 подробно обсуждаются свойства касательных, хорд и секущих, доказывается теорема о касательной

Подробнее

Решения заданий варианта ЕГЭ 2007 года. Часть 1

Решения заданий варианта ЕГЭ 007 года Часть Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru A Упростите выражение b b, 0,,6 b 0,, b, b 0,,6 b, 0,, 0,, Решение: b b = b + = b Правильный ответ:

Подробнее

Тренировочная работа 4 по МАТЕМАТИКЕ

Тренировочная работа 4 по МАТЕМАТИКЕ 1 мая 11 года 11 класс Вариант 1 Математика 11 класс Вариант 1 Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (4 мин)

Подробнее

Квадратные уравнения

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Квадратные уравнения 1 Неполные квадратные уравнения………………………. 1 2 Выделение полного квадрата………………………….

Подробнее

1 Òåñòîâàÿ àñòü (5 çàäà )

ÎËÈÌÏÈÀÄÀ «ÏÎÊÎÐÈ ÂÎÐÎÁÜœÂÛ ÃÎÐÛ! 2014-2015 Ïðåäâàðèòåëüíûé ýòàï 10-11 êëàññû 1 Òåñòîâàÿ àñòü (5 çàäà ) 1.1 Èððàöèîíàëüíîå íåðàâåíñòâî 1-1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 9 2 1 x 10 1. x 2 4x + 4  îòâåòå óêàæèòå

Подробнее

Ответы. Ответ: ), ),, )

Ответы 1. Решите систему уравнений { Второе уравнение умножаем на и прибавляем к первому:. Замечаем, что. Откуда, полагая, что, получим и. 1), то есть. Из первого уравнения, находим, что и. Откуда, то

Подробнее

tg A 1 BM A 1M Ответ: arctg 0,6.

Математика класс Вариант 5-7—5 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Дано уравнение cos π x cosx а) Решите уравнение; б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку 5π ;π Решение а) По

Подробнее

ОЛИМПИАДА «ФИЗТЕХ» ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ОЛИМПИАДА «ФИЗТЕХ» ПО МАТЕМАТИКЕ 11 класс БИЛЕТ 1 ШИФР Заполняется ответственным секретарём 1. Найдите все значения x, при каждом из которых одно из трёх данных чисел

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ, ЗАДАННЫЕ НЕРАВЕНСТВАМИ Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по

Подробнее

Алгебра 2 Словарь Глава 3

A B
Абсцисса Первая координата вещественных чисел, связанная с точкой на координатной плоскости.
Связанное уравнение Уравнение, из которого выводится неравенство путем замены знака равенства символом неравенства
Оси Две числовые линии, одна горизонтальная и одна вертикальная, пересекаются в точке O.
Граница Линия в координатной плоскости, разделяющая плоскость на две полуплоскости.
Декартова система координат Прямоугольная система координат
Замкнутая полуплоскость Полуплоскость вместе с ее границей.
Согласованные Уравнения в системе, которые имеют по крайней мере одно решение
Постоянная функция Функция вида f (x) = b, где b — действительное число.Его график представляет собой горизонтальную линию y = b.
Координаты Уникальная упорядоченная пара чисел, связанная с каждой точкой на плоскости
Зависимая Уравнения в согласованной системе, которые имеют бесконечное множество решений.
Домен Набор функции, при котором каждый элемент набора сопоставляется функцией ровно с одним элементом второго набора, называемого диапазоном.
Область отношения Набор первых координат упорядоченных пар отношения.
Эквивалентные системы Системы уравнений с одинаковыми решениями
Несогласованные Уравнения в системе, не имеющей решения.
Функция Соответствие между двумя наборами, D и R, которое присваивает каждому номеру D ровно один элемент R.
Функциональное обозначение Обозначение: «f (x)» используется для обозначения значение функции в точке x. Это не означает f умножить на x!
Построение графика упорядоченной пары График в плоскости xy-координат, связанный с упорядоченной парой действительных чисел.
График функции Набор всех точек (x, y), где x находится в области определения функции, а правило функции присваивает y x.
График открытого предложения Набор всех точек на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют предложению.
Линейная комбинация Результат сложения двух линейных уравнений.
Линейное уравнение Любое уравнение, которое может быть выражено в форме Ax + By = C, где A и B не равны 0.
Линейная функция Функция f, которая может быть определена как f (x) = mx + b, где m, b и x — действительные числа.
Линейное неравенство по двум переменным Предложение, полученное заменой знака равенства в линейном уравнении с двумя переменными символом неравенства.
Линейная система Набор линейных уравнений с теми же двумя переменными.
Диаграмма отображения Дайграмма, отображающая соответствие между двумя наборами.
Открытая полуплоскость Любая из двух полуплоскостей
Открытое предложение с двумя переменными Уравнение или неравенство, которое может содержать две переменные.
Упорядоченная пара Пара чисел, имеющая определенный порядок.
Ордината Вторая координата в упорядоченной паре или действительные числа, связанные с точкой на координатной плоскости.
Происхождение На числовой прямой график 0.В плоской прямоугольной системе координат точка пересечения осей; график (0,0).
Построение точки Действие по нахождению точки на координатной плоскости или на числовой прямой.
Форма точечного уклона Запишите линейное уравнение в форме: y- (y1) = m (x- (x1)). [единицы должны быть индексами]
Плоская прямоугольная система координат Система для определения местоположения точки, связанной с любой упорядоченной парой, по двум числовым линиям, пересекающимся под прямым углом.
Квадрант 23 Одна из четырех областей, на которые плоская прямоугольная система координат разделена своими осями.
Диапазон Набор функции, с которой каждый элемент набора, называемого доменом, сопоставляется функцией ровно с одним элементом.
Диапазон отношения Набор вторых координат упорядоченных пар отношения.
Отношение Любой набор заказываемых пар.
Одновременное решение Любая упорядоченная пара, которая является решением каждого уравнения в системе.
Наклон Для любых двух различных точек (x1, y1) и (x2, y2) на прямой m, наклон прямой m равен: (y2-y1) / (x2-x1). [Единицы & 2s должны быть нижними индексами]
Форма пересечения наклона Запишите линейное уравнение в форме: y = mx + b.
Решение системы Любая упорядоченная пара, которая является решением каждого уравнения в системе.
Набор решений Набор всех решений открытого предложения, принадлежащих заданной области переменной.
Стандартная форма Написание линейного уравнения в форме: Ax + By = C, где A, B и C — целые числа, а старший коэффициент положительный.
Система неравенств по двум переменным Множество всех точек, удовлетворяющих всем неравенствам в системе. Это область, где пересекаются графики индивидуальных неравенств.
Система линейных уравнений Набор линейных уравнений с теми же двумя переменными.
Значения функции Члены диапазона функции
Координата X Первая координата действительных чисел, связанная с точкой в ​​координатной плоскости.
X-пересечение X-координата точки, в которой линия или кривая пересекает ось x.
Плоскость по оси Xy. Поверхность или плоскость, содержащая две числовые линии, называемые осями, которые пересекаются под прямым углом в начале каждой числовой линии.
Координата Y Вторая координата в упорядоченной паре или действительные числа, связанные с точкой в ​​координатной плоскости.
Y-образная точка Y-координата точки, в которой линия или кривая пересекает ось Y.
нулевая матрица Матрица, все элементы которой равны нулю.
квадратная матрица Матрица с одинаковым количеством строк и столбцов
скалярное произведение Между действительным числом r и матрицей A находится матрица rA, в которой каждый элемент rA в r раз больше соответствующего элемента А.
скаляр вещественное число.
матрица-строка Матрица, состоящая только из одной строки.
произведение матриц Для матриц Amxn и Bnxp — это матрица mxp, элемент которой в строке ath и столбце b является суммой произведений соответствующих элементов строки ath строки A и столбца b матрицы B.
матрица Прямоугольный массив чисел, заключенный в скобки.
обратные матрицы Связь, существующая между матрицей A и матрицей B, если AB = BA = единичная матрица.
единичная матрица AN матрица размером n x m, главная диагональ которой сверху слева направо вниз, имеет все элементы 1, а все остальные элементы равны 0.
элементов матрицы Числа в матрице.
отношения доминирования Отношение, которое существует между членами группы, когда между любыми двумя членами один доминирует над другим.
Размерность матрицы Действительное число, связанное с квадратной матрицей и обычно отображаемое в той же самой форме
диагональная матрица Матрица, единственные ненулевые элементы которой находятся на главной диагонали.
определитель Действительное число, связанное с квадратной матрицей и обычно отображаемое в той же форме
матрица столбцов Матрица, состоящая только из одного столбца.

Что такое конические сечения?

Коническое сечение (или просто коническое) — это кривая, полученная как пересечение поверхности конуса с плоскостью.Три типа конических сечений — это гипербола, парабола и эллипс. Круг является эллипсом и иногда считается четвертым типом конического сечения.

Конические сечения могут быть созданы
пересекающая плоскость конусом. Конус состоит из двух одинаковых по форме
части, называемые пеленами. Один покров — вот что
большинство людей имеют в виду «конус» и имеют форму праздничной шляпы.

Конические сечения образуются путем пересечения плоскости с конусом. Если плоскость параллельна оси вращения (оси $ y $), то коническое сечение
это гипербола.{\ circ} $), то коническое сечение представляет собой эллипс.

Конус и конические секции

Шерстяной покров и четыре конических секции. Каждая коника определяется углом, под которым плоскость образует ось конуса.

Общие части конических сечений

Хотя каждый тип конического сечения выглядит очень по-разному, у них есть некоторые общие черты. Например, у каждого типа есть как минимум один фокус и директриса.

Фокус — это точка, вокруг которой построено коническое сечение.Другими словами, это точка, в которой сходятся лучи, отраженные от кривой. Парабола имеет один фокус, вокруг которого строится форма; эллипс и гипербола — два.

Директриса — это линия, используемая для построения и определения конического сечения. Расстояние директрисы от точки на коническом сечении имеет постоянное отношение к расстоянию от этой точки до фокуса. Как и в случае с фокусом, парабола имеет один
директрисы, а у эллипсов и гипербол — по две.

Эти свойства, общие для конических секций, часто представлены в виде следующего определения, которое будет развиваться далее в следующем разделе.Коническое сечение — это геометрическое место точек $ P $, расстояние которых до фокуса является постоянным кратным расстоянию от $ P $ до направляющей коники . Эти расстояния показаны оранжевыми линиями для каждого конического сечения на следующей диаграмме.

Детали конических секций

Три конических сечения с обозначенными фокусами и направляющими.

Каждый тип конического сечения более подробно описан ниже.

Парабола

Парабола — это набор всех точек, расстояние от которых до фиксированной точки, называемой фокусом, составляет , равное расстоянию от фиксированной линии, называемой директрисой.Точка посередине между фокусом и направляющей называется вершиной параболы.

На следующем рисунке изображены четыре параболы в том виде, в каком они появляются на координатной плоскости. Они могут открываться вверх, вниз, влево или вправо.

Четыре параболы, открывающиеся в разные стороны

Вершина находится посередине между направляющей и фокусом.

Эллипсы

Эллипс — это набор всех точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек (фокусов) постоянна.В случае
эллипса, есть два фокуса и две директрисы.

На следующем рисунке изображен типичный эллипс в том виде, в каком он отображается на координатной плоскости.

Эллипс

Сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов постоянна.

Гиперболы

Гипербола — это совокупность всех точек, в которых разница между их расстояниями от двух фиксированных точек (фокусов) постоянна. В случае
гипербола, есть два очага и две директрисы.Гиперболы тоже имеют
две асимптоты.

График типичной гиперболы показан на следующем рисунке.

Гипербола

Разница расстояний от любой точки эллипса до фокусов
постоянно. Поперечная ось также называется большой осью, а поперечная ось
сопряженная ось также называется малой осью.

Применение конических сечений

Конические сечения используются во многих областях исследований, в частности, для описания форм.Например, они используются в астрономии для описания формы орбит объектов в космосе. Два массивных объекта в космосе, которые взаимодействуют согласно закону всемирного тяготения Ньютона, могут двигаться по орбитам, имеющим форму конических секций. Они могли следовать эллипсам, параболам или гиперболам, в зависимости от их свойств.

Линейные уравнения в координатной плоскости (Алгебра 1, Визуализация линейных функций) — Mathplanet

Линейное уравнение — это уравнение с двумя переменными, график которого представляет собой линию.График линейного уравнения — это набор точек на координатной плоскости, которые все являются решениями уравнения. Если все переменные представляют собой действительные числа, можно изобразить уравнение, нанеся на график достаточно точек, чтобы распознать шаблон, а затем соединить точки, чтобы включить все точки.

Если вы хотите построить график линейного уравнения, у вас должно быть как минимум две точки, но обычно рекомендуется использовать более двух точек. При выборе очков старайтесь включать как положительные, так и отрицательные значения, а также ноль.


Пример

Постройте функцию y = x + 2

Начните с выбора пары значений для x, например -2, -1, 0, 1 и 2 и вычислите соответствующие значения y.

X Y = х + 2 Заказанная пара
-2 -2 + 2 = 0 (-2, 0)
-1 -1 + 2 = 1 (-1, 1)
0 0 + 2 = 2 (0, 2)
1 1 + 2 = 3 (1, 3)
2 2 + 2 = 4 (2, 4)

Теперь вы можете просто построить пять упорядоченных пар в координатной плоскости

На данный момент это пример дискретной функции.Дискретная функция состоит из изолированных точек.

Проведя линию через все точки и продолжая линию в обоих направлениях, мы получаем противоположность дискретной функции, непрерывную функцию, которая имеет непрерывный график.

Если вы хотите использовать только две точки для определения вашей линии, вы можете использовать две точки, где график пересекает оси. Точка, в которой график пересекает ось x, называется отрезком x, а точка, в которой график пересекает ось y, называется отрезком y.Пересечение по оси x находится путем нахождения значения x, когда y = 0, (x, 0), а точка пересечения по оси y находится путем нахождения значения y, когда x = 0, (0, y).

Стандартная форма линейного уравнения —

$$ Ax + By = C, \: \: A, B \ neq 0 $$

Прежде чем вы сможете построить линейное уравнение в его стандартной форме, вы должны сначала решить уравнение относительно y.

$$ 2y-4x = 8 $$

$$ 2y-4x \, {\ color {green} {+ \, 4x}} = 8 \, {\ color {green} {+ \, 4x}} $$

$$ 2y = 4x + 8 $$

$$ \ frac {2y} {{\ color {green} 2}} = \ frac {4x} {{\ color {green} 2}} + \ frac {8} {{\ color {green} 2}} $

$$ y = 2x + 4 $$

Отсюда вы можете построить уравнение, как в примере выше.

График y = a представляет собой горизонтальную линию, где прямая проходит через точку (0, a)

В то время как график x = a представляет собой вертикальную линию, проходящую через точку (a, 0)


Видеоурок

Постройте график линейного уравнения y = 3x — 2

Декартова координатная плоскость | Encyclopedia.com

Декартова система координат названа в честь французского математика и философа Рене Декарта (1596–1650), который одним из первых описал ее свойства.Однако исторические свидетельства показывают, что Пьер де Ферма (1601–1665), другой французский математик и ученый, на самом деле сделал больше для развития картезианской системы.

Чтобы лучше понять природу декартовой плоскости, мы можем начать с числовой прямой. Начните с линии L, которая обозначает числовую ось (рисунок 1). На L выберите точку, O, и пусть эта точка обозначает нулевую точку или начало координат. Расстояние справа от O положительное; слева отрицательный. Теперь выберите другую точку A справа от O на L.Эта точка соответствует номеру 1. Расстояние между O и A — это единица измерения, с помощью которой мы можем найти B, C, D…, соответствующие 2, 3, 4.. . Повторите этот процесс слева от O на L с точками Q, R, S, T.. . которые соответствуют числам -1, -2, -3, -4. . . Таким образом, точки A, B, C, D… Q, R, S, T… соответствуют набору целых чисел (рисунок 1). Если мы далее разделим сегмент OA на d равных частей, то 1 / d представляет длину каждой части. Кроме того, если c — положительное целое число, то c / d представляет длину c этих частей.Таким образом, мы можем найти точки, соответствующие рациональным числам от 0 до 1.

Построив прямоугольники с их основаниями на числовой прямой, мы можем найти точки, которые также соответствуют некоторым иррациональным числам. Например, на рисунке 1 прямоугольник OCPZ имеет основание 3 и сегмент 2. Используя теорию Пифагора, мы знаем, что отрезок OP имеет длину, равную. Точно так же длина отрезка OW равна. Действительные числа обладают следующим свойством: каждому действительному числу соответствует одна и только одна точка на числовой оси; и, наоборот, каждой точке числовой оси соответствует одно и только одно действительное число.

Что произойдет, если ввести две числовые линии — одну горизонтальную, а другую вертикальную? В прямоугольной декартовой плоскости положение точки определяется относительно двух перпендикулярных линий, называемых осями координат. Пересечение этих осей называется началом координат, а четыре секции, на которые ось делит данную плоскость, являются квадрантами. Вертикальная ось — это действительные числа, обычно называемые осью y или осью функций; горизонтальная ось обычно известна как ось x или ось независимой переменной (рисунок 2).Расстояние по оси x справа от оси y положительное; слева отрицательный. Расстояние по оси y над осью x положительно; ниже отрицательный. Обычно единицы измерения по осям координат одинаковы для обеих осей, но иногда удобно использовать разные меры для каждой оси.

P 1 (x 1 , y 1 ) обозначает фиксированную точку, где x 1 представляет координату x (абсцисса) — перпендикулярное расстояние от оси y до P 1 ; y 1 представляет координату y (ординату) — перпендикулярное расстояние

от оси до P 1 .Для P 1 x 1 и y 1 являются действительными числами. Никакие другие числа здесь не имели бы значения. Таким образом, мы видим, что с помощью прямоугольной системы координат мы можем показать соответствие между парами действительных чисел и точками на плоскости. Каждой паре действительных чисел (x, y) соответствует одна и только одна точка (P), и, наоборот, каждой точке (P) соответствует одна и только пара действительных чисел (x, y). Мы говорим, что существует взаимно однозначное соответствие между точками на плоскости и парой всех действительных чисел.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.