Исследование функции и построение графика функции с помощью производной: Математическое Бюро. Страница 404

{\prime \prime}=0 : x=1$ ; при $x=0$ и
$x=2$ вторая производная не существует.

Таким образом, на промежутках $(0 ; 1)$ и
$(2 ;+\infty)$ функция вогнута, а на промежутках
$(-\infty ; 0)$ и
$(1 ; 2)$ — выпукла. Так как при переходе через точку
$x=1$ вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.

7) Эскиз графика.

Содержание

Общая схема исследования функции и построения графиков (Лекция №11)

    1. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.
    2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
  1. Провести
    исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума
    функции и интервалы возрастания и убывания.
  2. Исследовать
    функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика
    функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
  3. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.
  4. На основании проведенного исследования построить график функции.

Заметим,
что перед построением графика полезно установить, не является ли данная функция
четной или нечетной.

Вспомним, что функция
называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не
меняется: f(-x) = f(x) и функция называется
нечетной, если f(-x) = -f(x).

В этом случае достаточно
исследовать функцию и построить её график при положительных значениях
аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента график
достраивается на том основании, что для четной функции он симметричен относительно
оси Oy, а для нечетной
относительно начала координат.

Примеры. Исследовать функции и построить их графики.

  1. .
    1. Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.

    Пересечение с
    осью Ox: x =
    0,у=0.

    Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на
    промежутке [0, +∞).


    2. . Критические точки: x1 = 1; x2= –1.


    3.


    4. а) Вертикальных асимптот нет

    б) . Асимптота – y = 0.


  2. .
    1. D(y)=(–∞; +∞). Точек
      разрыва нет.

      Пересечение с
      осью Ox: .

    2. .
    3. а) Вертикальных асимптот нет

      б).


      Наклонных асимптот
      нет.

  3. .
    1. D(y)=(0; +∞). Функция
      непрерывна на области определения.

      Пересечение с осью :

    2. а) .

      Вертикальная асимптота x = 0.


      б).

      Наклонная
      асимптота y = 0.

  4. .
    1. D(y)=(
      –∞;0)È(0;1)È(1;+∞).

      Функция имеет две точки
      разрыва x= 0 и x= 1.

      Точек пересечения с осями
      координат нет.

    2. при любых
      действительных значениях x. Поэтому функция возрастает
      на всей числовой прямой.
    3.  

    4.  

      а)

      Вертикальные асимптоты x =
      0, x = 1.

      б)

      Наклонная
      асимптота y = x + 1.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Во многих приложениях математического анализа
встречаются комбинации показательных функций. Эти комбинации рассматриваются
как новые функции и обозначаются:

– гиперболический
синус.

– гиперболический
косинус.

С помощью этих функций можно определить еще две функции.

– гиперболический
тангенс.

– гиперболический
котангенс.

Функции sh x, ch x, th x определены, очевидно, для всех значений x,
т. е. их область определения (–∞; +∞). Функция
же cthx определена всюду за
исключением точки x = 0.

Между гиперболическими функциями существуют
следующие соотношения, аналогичные соответствующим соотношениям между
тригонометрическими функциями.

Найдем: .

Т.е. .

.

Итак, .

Следовательно, .

Найдем производные гиперболических функций

.

Аналогично можно показать .

.

Т.е. и .

Графики гиперболических функций. Для того чтобы изобразить графики функций

shx и chx нужно вспомнить графики функций y
= ex
и y = ex

Проведем исследования функции y = th x.

    1. D(f) = (–∞; +∞), точек
      разрыва нет.
    2. Точка
      пересечения с осями координат .
  1.  

    , функция возрастает на (–∞; +∞). 2*arctgh(x)*arcctgh(x)

    Что исследует?

    Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода

    Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции

    Что умеет находить этот калькулятор:

    • Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
    • Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
    • Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
    • Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
    • Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
    • Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
    • Наклонные асимптоты графика функции: Да
    • Четность и нечетность функции: Да
    Правила ввода выражений и функций

    Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

    absolute(x)
    Абсолютное значение x
    (модуль x или |x|)
    arccos(x)
    Функция — арккосинус от x
    arccosh(x)
    Арккосинус гиперболический от x
    arcsin(x)
    Арксинус от x
    arcsinh(x)
    Арксинус гиперболический от x
    arctg(x)
    Функция — арктангенс от x
    arctgh(x)
    Арктангенс гиперболический от x
    exp(x)
    Функция — экспонента от x (что и e^x)
    log(x) or ln(x)
    Натуральный логарифм от x
    (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
    sin(x)
    Функция — Синус от x
    cos(x)
    Функция — Косинус от x
    sinh(x)
    Функция — Синус гиперболический от x
    cosh(x)
    Функция — Косинус гиперболический от x
    sqrt(x)
    Функция — квадратный корень из x
    sqr(x) или x^2
    Функция — Квадрат x
    ctg(x)
    Функция — Котангенс от x
    arcctg(x)
    Функция — Арккотангенс от x
    arcctgh(x)
    Функция — Гиперболический арккотангенс от x
    tg(x)
    Функция — Тангенс от x
    tgh(x)
    Функция — Тангенс гиперболический от x
    cbrt(x)
    Функция — кубический корень из x
    gamma(x)
    Гамма-функция
    LambertW(x)
    Функция Ламберта
    x! или factorial(x)
    Факториал от x

    В выражениях можно применять следующие операции:

    Действительные числа
    вводить в виде 7. 3
    — возведение в степень
    x + 7
    — сложение
    x — 6
    — вычитание
    15/7
    — дробь

    Другие функции:

    asec(x)
    Функция — арксеканс от x
    acsc(x)
    Функция — арккосеканс от x
    sec(x)
    Функция — секанс от x
    csc(x)
    Функция — косеканс от x
    floor(x)
    Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
    ceiling(x)
    Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
    sign(x)
    Функция — Знак x
    erf(x)
    Функция ошибок (или интеграл вероятности)
    laplace(x)
    Функция Лапласа
    asech(x)
    Функция — гиперболический арксеканс от x
    csch(x)
    Функция — гиперболический косеканс от x
    sech(x)
    Функция — гиперболический секанс от x
    acsch(x)
    Функция — гиперболический арккосеканс от x

    Постоянные:

    pi
    Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
    e
    Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
    i
    Комплексная единица
    oo
    Символ бесконечности — знак для бесконечности

    Исследование функций и построение графиков с помощью производной

    Элементы высшей математики

    Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

    Подробнее

    Дифференциальное исчисление

    Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

    Подробнее

    Дифференциальное исчисление

    ФГОУ СПО ЛТК МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ Дифференциальное исчисление Ст Ленинградская 00г Предисловие Настоящее пособие написано в соответствии с программой по математике для студентов средни профессиональны

    Подробнее

    Математический анализ

    Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

    Подробнее

    16.

    2.Н. Производная.

    6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение…. 6..0.Н. Производная сложной функции…. 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями…. 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

    Подробнее

    присутствие функций арксинуса вида arcsin f x

    Практическая работа Полное исследование функции и построение графика Цель: закрепить навыки исследования функций и построения графиков Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические

    Подробнее

    Дифференциальное исчисление

    Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

    Подробнее

    3.

    Производная функции

    . Производная функции Актуальность темы Понятие производной одно из основных понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки

    Подробнее

    В.И. Иванов С.И. Васин

    Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

    Подробнее

    «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

    Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

    Подробнее

    ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

    М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

    Подробнее

    ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

    Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

    Подробнее

    Примерные практические задания:

    Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

    Подробнее

    4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

    ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

    Подробнее

    ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

    МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

    Подробнее

    Построение графиков функций

    Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

    Подробнее

    Математика (БкПл-100, БкК-100)

    Математика (БкПл-100, БкК-100) М.П. Харламов 2009/2010 учебный год, 2-й семестр Лекция 5. Исследование функций с помощью производных 1 1. Понятие о производных высших порядков Опр. Пусть дана функция f(x)

    Подробнее

    ~ 1 ~ «Признаки монотонности функции»

    ~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на a,b возрастала (убывала) на a,b необходимо и достаточно, чтобы x a,b выполнялось неравенство f (x) 0 (f (x)

    Подробнее

    Примерные практические задания:

    Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

    Подробнее

    ВЗФЭИ. Контрольная работа 1

    ВЗФЭИ. Контрольная работа Задача. По формулам Крамера решить систему уравнений: 5 4 5 6 7 0, 0, 0. Решение. Перенесем свободные члены в правую часть системы: 4 7, 5, 5 6. Решим систему методом Крамера.

    Подробнее

    Электронная библиотека

    ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты индивидуальных заданий

    Подробнее

    . Преобразуем функцию:, если x

    Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

    Подробнее

    x принимает значение f a

    Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

    Подробнее

    ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

    МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Дифференциальное исчисление Задание. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. 8 8 ; 8 8 ~ arcsi arcsi [ ] l l l l l l l l e Задание. Задана функция

    Подробнее

    Тема 39. «Производные функций»

    Тема 39. «Производные функций» Функция Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть = lim = lim + ( ) Таблица производных: Производная

    Подробнее

    Модуль и производная В.В. Сильвестров

    Модуль и производная В.В. Сильвестров При решении некоторых задач приходится находить производную функции, содержащей один или несколько модулей. Такие задачи возможны и на едином государственном экзамене

    Подробнее

    Исследование функций и построение графиков

    ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» Исследование функций и построение

    Подробнее

    Математика (БкПл-100)

    Математика (БкПл-100) М. П. Харламов 011/01 учебный год Тема. Пределы, непрерывность, производные 1 Тема: Предел функции 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр.

    Подробнее

    1. Производная функции в точке

    приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

    Подробнее

    Дифференциальное исчисление

    ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела Дифференциальное исчисление Составила: Миргородская

    Подробнее

    ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

    ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X — внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

    Подробнее

    ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

    Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Методические

    Подробнее

    Исследование функции и построение графика с помощью производной

    Пример 1.





    Решение


    1) Область определения функции



    2) Чётность, нечётность функции:



    Функция не является ни чётной, ни нечётной.


    3) Точки разрыва функции :



     


     — вертикальная
    асимптота


    Найдём наклонные асимптоты функции :



     -
    горизонтальная асимптота


    4) Промежутки монотонности функции и точки экстремума:




                   — критическая
    точка первого рода



    Функция возрастает при и при .


    Точек экстремума нет.


    5) Промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба:




                  — критические
    точки второго рода



     


    Функция выпукла при  и вогнута при .


     — точка
    перегиба



    6) Точки пересечения с осями координат:


    с :  — точек
    пересечения с нет


    с: 


    7) Построим график функции:



     


     


     


    Пример 2.


    Исследовать функцию  и построить
    ее график:



     


    Решение


     


    1) Область определения функции



    2) Чётность, нечётность функции:



    Функция не является ни чётной, ни нечётной.


    3) Точки разрыва функции :



     


     — вертикальная
    асимптота


    Найдём наклонные асимптоты функции :



     -
    горизонтальная асимптота


    4) Промежутки монотонности функции и точки экстремума:



     


     



                   — критические
    точки первого рода



    Функция возрастает при и убывает при  и при.


     — точка
    максимума



    5) Промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба:




                  — критические
    точки второго рода



    Функция выпукла при и и вогнута при .


     — точка
    перегиба



    6) Точки пересечения с осями координат:


    с :


    с: 


    7) Построим график функции:



     


     


     

    Практическая работа «Исследование функций с помощью производной и построение их графиков» | План-конспект занятия по алгебре (11 класс):

    ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №14

     «Исследование функции и построение ее графика»

    ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

    1. Корректировать знания, умения и навыки по  теме: «Исследование функции и построение ее графика».
    2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
    3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

    ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

    1. Ответить на контрольные вопросы:

          а) Какую точку называют критической (стационарной) точкой функции?

          б) Сформулируйте признак возрастания (убывания) функции.

          в) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

          г) Опишите схему исследования функции.

    1. С помощью обучающей таблицы повторить план исследования функции и изучить образцы решенных примеров.
    2. Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).
    3. Изучить условие заданий для практической работы.
    4. Оформить отчет о работе.

    ОБУЧАЮЩАЯ ТАБЛИЦА

    Задание. Исследуйте и постройте графики функции:

                    а) ;                          б) .

    План исследования

    Применение

    плана

    шага

    Функции

    а) 

    б)

    1

    Находим область определения функции

    , ,

    2

    Исследуем функцию на четность, нечетность

     функция ни четная, ни нечетная

      функция четная

    3

    Находим нули (корни) функции и промежутки её знакопостоянства

    , ,

    , — нуль функции

    ,

    — нуль функции

    4

    Находим производную функции и её критические точки

    ,

     — критические точки функции

     — критическая точка функции

    5

    Находим промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции

    х=0 – не является точкой экстремума, х=1 – точка минимума,

    ,

    х=0 – точка максимума,

    6

    Находим предел функции при

    7

     

    Строим эскиз графика функции

    ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

    Вариант 1.

    1. Исследуйте функцию  на максимум и минимум.
    2. Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.
    3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

    Вариант 2.

    1. Исследуйте функцию  на максимум и минимум.
    2. Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.
    3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке

    Вариант 3.

    1. Исследуйте функцию  на максимум и минимум.
    2. Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.
    3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке

    Вариант 4.

    1. Исследуйте функцию  на максимум и минимум.
    2. Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.
    3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке

    СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

    ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ПО ГРАФИКУ ПРОИЗВОДНОЙ

    На рисунке справа – график производной.

    Справедливы утверждения:

    Область определения функции – шире или равна области определения производной

    О множестве  значений функции ничего сказать нельзя

    Стационарные точки функции – абсциссы общих точек графика производной и оси Ох

    Стационарные точки функции:

    Точки экстремума функции – абсциссы точек, в которых график производной пересекает ось Ох

    снизу вверх     – точка минимума функции,

    сверху вниз     – точка максимума функции

     – точка минимума функции

     – точка максимума функции

    Промежутки монотонности функции:

    возрастания– промежутки, на которых график производной находится над осью Ох

    убывания– промежутки, на которых график производной находится под осью Ох

    (включая примыкающие к промежуткам точки,

    лежащие на оси Ох)

    Функция возрастает при

    Функция убывает при

     и при  

    Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0, равен значению производной при х = x0.

    Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0, равен k0

    Угол наклона касательной равен

    ПРОИЗВОДНАЯ

    Дифференцирование – процесс нахождения производной.

    ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

    ,     С – постоянная

    ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

    Пусть  и  дифференцируемы в точке х, тогда справедливо:

    Построить график функции, провести ее полное исследование

    Построить график функции, провести ее полное исследование

    Часто при сдаче тестов по математике попадаются задания, в которых необходимо исследовать квадратичную функцию. Вот типичный пример .

    Исследуем функцию, заданную формулой:

    исследование функции и построение графика

    Область определения: множество всех действительных чисел

    Первая производная:

    Используем правило о том, что производная суммы равна сумме производных.

    На тестах по математике помним, что производная константы равна нулю.

    Воспользуемся правилом производной степени .

    Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

    Вторая производная:

    При сдаче тестов по математике вспоминает правило о том, что вторая производная — это производная от первой производной.

    Производная суммы равна сумме производных.

    Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

    Производная константы равна нулю.

    Когда вы решаете тесты по математике, в который нужно построить график функции, то необходимо найти точки пересечения с осью x:

    Нет

    Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

    Находим дискриминант.

    Дискриминант отрицателен, значит, уравнение не имеет корней.

    Ответ: нет решений.

    Точки пересечения с осью
    :

    Пусть

    Вертикальные асимптоты: нет

    Горизонтальные асимптоты: нет .

    Наклонные асимптоты: нет .

    стремится к бесконечности при x,  стремящемся к бесконечности.

    стремится к бесконечности при x,

    стремящемся к бесконечности.

    Обязательно на тестах по математике найти критические точки:

    Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

    Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

    Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

    Сдавая тесты по математике, указываем правильный ответ:

    .

    Возможные точки перегиба: нет

    Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

    Ответ: нет решений.

    Точки разрыва: нет

    Симметрия относительно оси ординат: нет

    Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

    Раскрываем скобки.

    Выносим знак минус из произведения.

    Производим сокращение.

    Приводим подобные члены.

    Симметрия относительно начала координат: нет

    Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

    Раскрываем скобки.

    Выносим знак минус из произведения.

    Производим сокращение.

    Приводим подобные члены.

    На тестах по математике надо указать тестовые  интервалы:

    Относительные экстремумы:

    Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

    Относительный минимум

    (-2, 17)

    Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

    Используя результаты исследования функции, построим ее график.

    Указываем в своей работе  множество значений функции:

    Наименьшее значение: y=17

    Наибольшее значение: нет

    3.2 Производная как функция — Объем исчисления 1

    Цели обучения

    • Определите производную функцию заданной функции.
    • Постройте производную функцию от графика заданной функции.
    • Укажите связь между производными и непрерывностью.
    • Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
    • Объясните значение производной высшего порядка.

    Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке.Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

    Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная.Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

    Определение

    Позвольте быть функцией. Производная функция , обозначенная как, — это функция, область определения которой состоит из таких значений, что существует следующий предел:

    .

    Говорят, что функция дифференцируема на , если
    существует. В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на , если она дифференцируема в каждой точке открытого набора, а дифференцируемая функция — это функция, в которой существует в своей области.

    В следующих нескольких примерах мы используем (рисунок), чтобы найти производную функции.

    Нахождение производной функции квадратного корня

    Найдите производную от.

    Решение

    Начните непосредственно с определения производной функции. Используйте (рисунок).

    Нахождение производной квадратичной функции

    Найдите производную функции.

    Решение

    Выполните ту же процедуру, но без умножения на конъюгат.

    Найдите производную от.

    Решение

    Мы используем множество различных обозначений для выражения производной функции. На (Рисунок) мы показали, что если, то. Если бы мы выразили эту функцию в форме, мы могли бы выразить производную как или. Мы могли бы передать ту же информацию письменно. Таким образом, для функции каждое из следующих обозначений представляет собой производную от:

    .

    Вместо мы также можем использовать. Использование обозначений (так называемых обозначений Лейбница) довольно распространено в инженерии и физике.Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной. Наклоны этих секущих линий часто выражаются в виде где — разница значений, соответствующая разнице значений, которые выражаются как ((Рисунок)). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения относительно, выражается как

    .

    Фигура 1.Производная выражается как.

    Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку дает скорость изменения функции (или наклон касательной к).

    В (Рисунок) мы обнаружили, что для. Если мы построим график этих функций на тех же осях, что и на (Рисунок), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями.Во-первых, мы замечаем, что он увеличивается по всей своей области, что означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем для всех значений в его области. Кроме того, по мере увеличения наклон касательных к уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение. Мы также замечаем, что это не определено и соответствует вертикальной касательной к точке 0.

    Рис. 2. Производная везде положительна, потому что функция возрастает.

    В (Рисунок) мы обнаружили, что для. Графики этих функций показаны на (Рисунок). Обратите внимание, что для. Для этих же значений. Для значений увеличивается и. Кроме того, имеет горизонтальную касательную в точках и.

    Построение производной с помощью функции

    Используйте следующий график, чтобы нарисовать график.

    Нарисуйте график. На каком интервале находится график выше оси?

    Решение

    Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков.Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть непрерывной там; однако функция, которая является непрерывной в точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

    Проба

    Если дифференцируем в, то существует и

    .

    Мы хотим показать, что это непрерывно, показав это.Таким образом,

    Следовательно, поскольку определено и, мы заключаем, что непрерывно в точке.

    Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию. Эта функция всюду непрерывна; однако не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не предполагает дифференцируемости. Давайте изучим дальше. Для,

    .

    Этот предел не существует, потому что

    .

    См. (Рисунок).

    Рисунок 4. Функция непрерывна в 0, но не дифференцируема в 0.

    Рассмотрим некоторые дополнительные ситуации, в которых непрерывная функция не дифференцируема. Рассмотрим функцию:

    .

    Значит, не существует. Беглый взгляд на график проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке 0 ((рисунок)).

    Рисунок 5. Функция имеет вертикальную касательную в точке. Он непрерывен в 0, но не дифференцируем в 0.

    У функции также есть производная, которая демонстрирует интересное поведение при 0. Мы видим, что

    .

    Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю ((Рисунок)).

    Рисунок 6. Функция не дифференцируема в 0.

    Итого:

    1. Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно может быть не дифференцируемой.
    2. Мы видели, что это невозможно дифференцировать в 0, потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в 0. Отсюда мы заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
    3. Как мы видели в примере, функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
    4. Как мы видели, функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.

    Непрерывная и дифференцируемая кусочная функция

    Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорости. Производная скорости — это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее.В совокупности они называются производными более высокого порядка . Обозначения для производных высшего порядка от могут быть выражены в любой из следующих форм:

    .

    Интересно отметить, что обозначение для можно рассматривать как попытку выразить более компактно. Аналогично.

    Поиск второй производной

    Для, найдите.

    В поисках ускорения

    Положение частицы вдоль оси координат в момент времени (в секундах) определяется выражением (в метрах).Найдите функцию, описывающую его ускорение во времени.

    • Производная функция

    В следующих упражнениях используйте определение производной для поиска.

    1.

    2.

    3.

    4.

    Решение

    5.

    6.

    Решение

    7.

    8.

    Решение

    9.

    10.

    Решение

    Для следующих упражнений используйте график, чтобы нарисовать график его производной.

    11.

    12.

    Решение

    13.

    14.

    Решение

    Для следующих упражнений данный предел представляет производную функции в.Найти и .

    15.

    16.

    Решение

    17.

    18.

    Решение

    19.

    20.

    Решение

    Для следующих функций:

    1. зарисовать график и
    2. используйте определение производной, чтобы показать, что функция не дифференцируема в.

    21.

    23

    Для следующих графиков

    1. определяет, для каких значений существует, но не является непрерывным, и
    2. определить, для каких значений функция является непрерывной, но не дифференцируемой при.

    25.

    Для следующих функций используйте, чтобы найти.

    28.

    29.

    30.

    Решение

    Для следующих упражнений используйте калькулятор для построения графиков. Определите функцию, затем используйте калькулятор для построения графика.

    31. [Т]

    33. [Т]

    35. [Т]

    Для следующих упражнений опишите, что представляют собой эти два выражения в терминах каждой из данных ситуаций. Обязательно укажите единицы измерения.

    37. обозначает население города во время в годах.

    38. обозначает общую сумму денег (в тысячах долларов), потраченную клиентами на концессии в парке развлечений.

    Решение

    а. Средняя ставка, с которой клиенты тратят на уступки, в тысячах на одного клиента.
    г. Скорость (в тысячах на одного покупателя), по которой покупатели тратили деньги на уступки, в тысячах на одного покупателя.

    39. обозначает общую стоимость (в тысячах долларов) производства радиочасов.

    40. обозначает оценку (в процентных пунктах), полученную по тесту за количество часов обучения.

    Решение

    а. Средняя оценка, полученная за тест, при среднем времени обучения между двумя суммами.
    г. Скорость (в процентных пунктах в час), с которой оценка по тесту повышалась или понижалась за данное среднее время обучения в часах.

    41. обозначает стоимость (в долларах) учебника социологии в университетских книжных магазинах США с 1990 года.

    42. обозначает атмосферное давление на высоте футов.

    Решение

    а. Среднее изменение атмосферного давления между двумя разными высотами.
    г. Скорость (торр на фут), с которой атмосферное давление увеличивается или уменьшается на высоте.

    Решение

    а. Скорость (в градусах на фут), с которой температура повышается или понижается для данной высоты.
    г. Скорость изменения температуры при изменении высоты на высоте 1000 футов составляет -0.1 градус на фут.

    Решение

    а. Скорость, с которой число людей, заболевших гриппом, меняется через несколько недель после первоначальной вспышки.
    г. Скорость резко увеличивается до третьей недели, после чего она замедляется, а затем становится постоянной.

    Для следующих упражнений используйте следующую таблицу, в которой показана высота ракеты Saturn V для миссии Apollo 11 через несколько секунд после запуска.

    Время (секунды) Высота (метры)
    0 0
    1 2
    2 4
    3 13
    4 25
    5 32

    47. В чем физический смысл? Какие единицы?

    48. [T] Создайте таблицу значений и нанесите график на одном и том же графике. ( Подсказка: для внутренних точек, оцените и левый предел, и правый предел и усредните их.)

    Решение
    Время (секунды) (м / с)
    0 2
    1 2
    2 5.5
    3 10,5
    4 9,5
    5 7

    3.

    2: Производная как функция

    Цели обучения

    • Определите производную функцию заданной функции.
    • Постройте производную функцию от графика заданной функции.
    • Укажите связь между производными и непрерывностью.
    • Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
    • Объясните значение производной высшего порядка.

    Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке. Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным.В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

    Производные функции

    Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная. Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

    Определение: производная функция

    Пусть \ (f \) будет функцией. Производная функция , обозначаемая \ (f ‘\), является функцией, область определения которой состоит из таких значений \ (x \), что существует следующий предел:

    \ [f ‘(x) = \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h}.\ label {derdef} \]

    Функция \ (f (x) \) называется дифференцируемой в точке \ (a \), если существует \ (f ‘(a) \). В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на на \ (S \), если она дифференцируема в каждой точке открытого множества \ (S \), а дифференцируемая функция — это функция, в которой \ (f ‘( x) \) существует в своем домене.

    В следующих нескольких примерах мы используем уравнение \ ref {derdef}, чтобы найти производную функции.

    Пример \ (\ PageIndex {1} \): поиск производной функции извлечения квадратного корня

    Найдите производную от \ (f (x) = \ sqrt {x} \).

    Решение

    Начните непосредственно с определения производной функции.

    Заменить \ (f (x + h) = \ sqrt {x + h} \) и \ (f (x) = \ sqrt {x} \) в \ (f ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \).

    \ (f ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {\ sqrt {x + h} — \ sqrt {x}} {h} \)
    \ (= \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {\ sqrt {x + h} — \ sqrt {x}} {h} ⋅ \ frac {\ sqrt {x + h} + \ sqrt { x}} {\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x}} \) Умножьте числитель и знаменатель на \ (\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x} \) без распределения в знаменателе.
    \ (= \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {h} {h} left (\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x} \ right)} \) Умножьте числители и упростите.
    \ (= \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {1} {\ left (\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x} \ right)} \) Отмените \ (h \). 2 \).2−2x \ справа) = 2x − 2 \). Таким образом, для функции \ (y = f (x) \) каждое из следующих обозначений представляет производную от \ (f (x) \):

    \ (f ‘(x), \ quad \ dfrac {dy} {dx}, \ quad y’, \ quad \ dfrac {d} {dx} \ big (f (x) \ big) \).

    Вместо \ (f ‘(a) \) мы также можем использовать \ (\ dfrac {dy} {dx} \ Big | _ {x = a} \). Нотация \ (\ dfrac {dy} {dx} \) (называемая нотацией Лейбница) довольно распространена в технике и физике. Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной.Наклоны этих секущих часто выражаются в виде \ (\ dfrac {Δy} {Δx} \), где \ (Δy \) — разность значений \ (y \), соответствующая разнице в \ (x \) значения, которые выражаются как \ (Δx \) (Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения \ (y \) по отношению к \ (x \), выражается как

    \ (\ Displaystyle \ frac {dy} {dx} = \ lim_ {Δx → 0} \ frac {Δy} {Δx} \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): производная выражается как \ (\ dfrac {dy} {dx} = \ displaystyle \ lim_ {Δx → 0} \ frac {Δy} {Δx} \).

    Построение графика производной

    Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку \ (f ‘(x) \) дает скорость изменения функции \ (f (x) \) (или наклон касательной линия к \ (f (x) \)).

    В примере \ (\ PageIndex {1} \) мы обнаружили, что для \ (f (x) = \ sqrt {x} \), \ (f ‘(x) = \ frac {1} {2 \ sqrt { Икс}}\).Если мы построим график этих функций на тех же осях, как на рисунке \ (\ PageIndex {2} \), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что \ (f (x) \) увеличивается по всей своей области, а это означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем \ (f ‘(x)> 0 \) для всех значений x в его области определения. Кроме того, по мере увеличения \ (x \) наклон касательных к \ (f (x) \) уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение \ (f ‘(x) \).2−2x, \; f ‘(x) = 2x − 2 \). Графики этих функций показаны на рисунке \ (\ PageIndex {3} \). Обратите внимание, что \ (f (x) \) убывает при \ (x <1 \). Для тех же значений \ (x \), \ (f '(x) <0 \). Для значений \ (x> 1 \), \ (f (x) \) увеличивается и \ (f ‘(x)> 0 \). Кроме того, \ (f (x) \) имеет горизонтальную касательную в \ (x = 1 \) и \ (f ‘(1) = 0 \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): производная \ (f ‘(x) <0 \), где функция \ (f (x) \) убывает, и \ (f' (x)> 0 \), где \ (f (x) \) возрастает. Производная равна нулю, если функция имеет горизонтальную касательную.

    Пример \ (\ PageIndex {3} \): эскиз производной с использованием функции

    Используйте следующий график \ (f (x) \), чтобы нарисовать график \ (f ‘(x) \).2−4 \). На каком интервале находится график \ (f ‘(x) \) над осью \ (x \)?

    Подсказка

    График \ (f ‘(x) \) положительный, где \ (f (x) \) возрастает.

    Ответ

    \ ((0, + ∞) \)

    Деривативы и непрерывность

    Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков. Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью.Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть непрерывной там; однако функция, которая является непрерывной в точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

    Дифференцируемость подразумевает непрерывность

    Пусть \ (f (x) \) — функция и \ (a \) находится в ее области определения. Если \ (f (x) \) дифференцируема в \ (a \), то \ (f \) непрерывна в \ (a \).

    Проба

    Если \ (f (x) \) дифференцируемо в \ (a \), то \ (f ‘(a) \) существует и, если мы положим \ (h = x — a \), имеем \ (x = a + h \), и поскольку \ (h = xa \ to 0 \), мы можем видеть, что \ (x \ to a \).

    Затем

    \ [f ‘(a) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ nonumber \]

    можно переписать как

    \ (F ‘(a) = \ displaystyle \ lim_ {x → a} \ frac {f (x) −f (a)} {x − a} \).

    Мы хотим показать, что \ (f (x) \) непрерывно в \ (a \), показав, что \ (\ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) = f (a). \) Таким образом,

    \ (\ begin {align *} \ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) & = \ lim_ {x → a} \; \ big (f (x) −f (a) + f (a)) \ big) \\ [4pt]
    & = \ lim_ {x → a} \ left (\ frac {f (x) −f (a)} {x − a} ⋅ (x − a) + f (a) \ right) & & \ text {Умножить и разделить} (f (x) −f (a)) \ text {by} x − a.\\ [4pt]
    & = \ left (\ lim_ {x → a} \ frac {f (x) −f (a)} {x − a} \ right) ⋅ \ left (\ lim_ {x → a} \; (x − a) \ right) + \ lim_ {x → a} f (a) \\ [4pt]
    & = f ‘(a) ⋅0 + f (a) \\ [4pt]
    & = f (а). \ end {align *} \)

    Следовательно, поскольку \ (f (a) \) определено и \ (\ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) = f (a) \), мы заключаем, что \ (f \) непрерывно в \ (а \).

    Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию \ (f (x) = | x | \).2}} = + ∞ \).

    Таким образом, \ (f ‘(0) \) не существует. Быстрый взгляд на график \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \) проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке \ (0 \) (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)).

    Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): функция \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \) имеет вертикальную касательную в точке \ (x = 0 \). Он непрерывен в \ (0 \), но не дифференцируем в \ (0 \).

    Функция \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {ases} \) также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение в \ (0 \).

    Мы видим, что

    \ (е ‘(0) = \ displaystyle \ lim_ {x → 0} \ frac {x \ sin \ left (1 / x \ right) −0} {x − 0} = \ lim_ {x → 0} \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right) \).

    Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю (рисунок \ (\ PageIndex {6} \)).

    Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): функция \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {ases} \) не дифференцируем в \ (0 \).

    Итого:

    1. Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно может быть не дифференцируемой.
    2. Мы видели, что \ (f (x) = | x | \) не может быть дифференцируемым в \ (0 \), потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в точке \ (0.\) Отсюда заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
    3. Как мы видели в примере с \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \), функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
    4. Как мы видели с \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {cases} \) функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.2 + bx + c, & & \ text {if} x <−10 \\ - \ frac {1} {4} x + \ frac {5} {2}, & & \ text {if} x≥ − 10 \ end {case} \), где \ (x \) и \ (f (x) \) указаны в дюймах. Чтобы машина могла плавно двигаться по рельсам, функция \ (f (x) \) должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой в точке \ (- 10 \). Найдите значения \ (b \) и \ (c \), которые делают \ (f (x) \) одновременно непрерывным и дифференцируемым.

      Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Чтобы автомобиль плавно двигался по рельсам, функция должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой.

      Решение

      Чтобы функция была непрерывной в точке \ (x = −10 \), \ (\ displaystyle \ lim_ {x → 10 ^ -} f (x) = f (−10) \). 2 + bx + (10b − 5) −5} {x + 10} & & \ text {Substitute} c = 10b − 5.2, & & \ text {if} x≥3 \ end {cases} \) как непрерывные, так и дифференцируемые в \ (3 \).

      Подсказка

      Используйте Пример \ (\ PageIndex {4} \) в качестве руководства.

      Ответ

      \ (a = 6 \) и \ (b = −9 \)

      Производные инструменты высшего порядка

      Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорости.Производная скорости — это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее. В совокупности они называются производными более высокого порядка . n}.2−3h} {h} \)

    Упростим числитель.
    \ (= \ displaystyle \ lim_ {h → 0} (4x + h − 3) \) Выносим за скобки \ (h \) в числителе и сокращаем, добавляя \ (h \) в знаменатель.
    \ (= 4x − 3 \) Возьми предел.

    Затем найдите \ (f » (x) \), взяв производную от \ (f ‘(x) = 4x − 3. \)

    \ (f » (x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f ‘(x + h) −f’ (x)} {h} \) Используйте \ (f ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \) с \ (f’ (x) \) в место \ (f (x).3 \), найти \ (a (t). \)

    Подсказка

    Используйте Пример \ (\ PageIndex {6} \) в качестве руководства.

    Ответ

    \ (a (t) = 6t \)

    Ключевые понятия

    • Производная функции \ (f (x) \) — это функция, значение которой в \ (x \) равно \ (f ‘(x) \). {\ text {th}} \).

    Ключевые уравнения

    \ (е ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \)

    Глоссарий

    производная функция
    дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная
    с дифференциацией \ (a \)
    функция, для которой существует \ (f ‘(a) \), дифференцируема в \ (a \)
    дифференцируемый на \ (S \)
    функция, для которой \ (f ‘(x) \) существует для каждого \ (x \) в открытом множестве \ (S \), дифференцируема на \ (S \)
    дифференцируемая функция
    функция, для которой существует \ (f ‘(x) \), является дифференцируемой функцией
    производная высшего порядка
    производная от производной от второй производной до производной \ (n ^ {\ text {th}} \) называется производной более высокого порядка

    Авторы и авторство

    • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

    • Пол Сибургер (Колледж Монро) добавил объяснение альтернативного определения производной, используемого в доказательстве того, что дифференцируемость подразумевает непрерывность.

    AP Calculus Review: Оценка производных по графикам — Magoosh Blog

    Итак, вы, возможно, запомнили все производные правила. Вы можете получить f ‘(x) из f ( x ) независимо от того, насколько сложна функция.Но как вы оцениваете производные прямо по графику?

    Как мы увидим в этой обзорной статье, все дело в уклоне !

    Наклон производной меры

    Давайте начнем с фундаментальной связи между производными и графиками функций.

    Значение производной f ‘(a) равно наклону касательной к графику y = f ( x ) при x = a .

    Я рекомендую сначала освежить идею касательных линий. Вот несколько ресурсов, которые могут помочь.

    Пример — оценка производных с использованием касательных

    Используйте информацию на графике f ( x ) ниже, чтобы оценить значение f ‘(1).

    График параболы с касательной, присоединенной в точках (1, 1).

    Решение

    Помните, производные значения — это наклоны! Таким образом, f ‘(1) равно наклону касательной, прикрепленной к графику при x = 1.

    Все, что нужно, — это две точки на линии, чтобы определить наклон. Один момент легко заметить, потому что он также находится на графике самого f : (1, 1). Затем мы смотрим по касательной, пока не найдем другую точку, координаты которой легко оценить. Попробуйте найти точку, которая пересекает «перекресток», потому что тогда она будет иметь целочисленные координаты. Например, (2, 3), или (3, 5), или (0, -1) и т. Д.

    Я собираюсь выбрать (3, 5) в качестве второй точки. Однако, если вы выберете любую другую точку, пока она находится на касательной, ваш ответ должен быть равен (или очень близок) моему.

    Затем используйте формулу наклона ( RISE over RUN ), чтобы вычислить наклон касательной.

    Следовательно, f ‘(1) = 2.

    Увеличение, уменьшение и поворот

    Итак, первый пример, возможно, был довольно простым. Насколько сложно это может быть?

    Иногда нам нужно оценить всех производных значений! Другими словами, учитывая график функции f ( x ), должна быть возможность нарисовать график f ‘( x ).

    При выборе дифференцируемых функций следует помнить о трех вещах.

    • Если f увеличивается в интервале, то f ‘> 0 (выше оси x ) в этом интервале.
    • Если f убывает в интервале, то f ‘<0 (ниже оси x ) в этом интервале.
    • Если f плавно поворачивается в точке x = a , то f ‘( a ) = 0 (пересекает ось x ).

    Пример — оценка графика производной

    Нарисуйте график производной функции, график которой показан ниже.

    Решение

    Сначала определите две точки поворота: x = -2 и 0. Это означает, что f ‘(-2) = f ‘ (0) = 0.

    Затем, определить интервалы, на которых график увеличивается и уменьшается. Когда f увеличивается, мы имеем f ‘> 0.Когда f убывает, мы имеем f ‘<0.

    График функции дает информацию о ее производной… если вы знаете, как ее анализировать.

    На приведенном ниже графике оригинал показан черным цветом, а эскиз его производной — синим.

    Обратите внимание, как синяя кривая соответствует описанию f ‘.

    • Синяя кривая находится выше оси x всякий раз, когда f увеличивается.
    • Синяя кривая находится ниже оси x всякий раз, когда f уменьшается.
    • Синяя кривая пересекает ось x , когда f имеет точку поворота.

    Недифференцируемые точки

    До сих пор в методах оценки производных финансовых инструментов не учитывалась важная проблема. Что происходит, когда функция не имеет значения производной в данной точке?

    Любая точка x = a , в которой f ‘( a ) не существует, называется точкой недифференцируемости.

    Если такой точкой является a , то на графике f ‘будет либо дыра, либо разрыв при x = a .

    Такое поведение может быть вызвано тремя причинами.

    1. Исходная функция не определена или является прерывистой.
    2. На графике исходной функции есть угловая точка.
    3. Касательная прямая вертикальная.

    Давайте рассмотрим три ситуации в следующем примере.

    Пример — оценка производных с недифференцируемыми точками

    Нарисуйте график производной следующей функции.

    Решение

    На этом графике много всего происходит!

    • Вертикальная асимптота x = -5. Поскольку f на данный момент не определено, мы знаем, что значение производной f ‘(-5) не существует.
    • График доходит до острого угла при x = 5. Производные не существуют в угловых точках.
    • Имеется куспид в точке x = 8. Значение производной становится бесконечным в точке возврата.

    Помимо этих важных ориентиров, есть еще одна поворотная точка: x = 0. Давайте проанализируем, что происходит в промежутках между особыми точками.

    Но что именно происходит возле x = -5, 5 и 8?

    При x = -5 исходный график следует вертикальной асимптоте. По определению, значения функции приближаются к ∞ или -∞, чем ближе x к -5. В результате функция становится бесконечно крутой: x → -5.Бесконечная крутизна означает бесконечные значения наклона, поэтому f ‘также должно иметь вертикальную асимптоту x = -5.

    Затем угловая точка x = 5 представляет собой очень внезапное изменение направления. Вместо плавного поворота функция мгновенно меняет курс. Это означает, что произойдет скачок значения производной при пересечении x = 5.

    (Подробнее о разрывах скачка и связанных темах см .: AP Calculus Review: Discontinuities.)

    Наконец, имеется куспид при x = 8. В точке возврата касательная линия графика становится настолько крутой, что фактически становится вертикальной. Это означает, что наклон бесконечен, и снова будет вертикальная асимптота на графике f ‘.

    Давайте теперь соберем все вместе. Синий график представляет собой всего лишь эскиз производной кривой (не на 100% точный, но достаточно близкий для наших целей).

    Обратите внимание не только на странное поведение около каждой точки разрыва, но и на то, что значения производной выше оси x , когда f увеличивается, и ниже оси, когда f уменьшается.

    Эскиз производной сложной функции. Оригинал в черном цвете; производная синего цвета.

    Заключение

    Важно знать, как определить производную функции, основываясь только на ее графике. К счастью, экзамены AP Calculus не потребуют от вас рисования самой производной кривой, но могут попросить вас выбрать, какой вариант ответа лучше всего ей соответствует.

    Используйте плавные поворотные точки в качестве ориентиров. Убедитесь, что вы понимаете странное поведение в недифференцируемых точках.И заполните детали, проанализировав, где f увеличивается и уменьшается.

    Повышение вашего балла по SAT или ACT гарантировано. Начните 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh SAT Prep или 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh ACT Prep уже сегодня!

    Кстати, Magoosh может помочь вам подготовиться к экзаменам SAT и ACT. Нажмите сюда, чтобы узнать больше!

    О Шоне Олте

    Шон получил докторскую степень по математике в Университете штата Огайо в 2008 году (Go Bucks !!).В 2002 году он получил степень бакалавра математики и информатику в Оберлинском колледже. Кроме того, Шон получил степень бакалавра искусств. из Консерватории Оберлина в том же году по специальности «музыкальная композиция». Шон по-прежнему любит музыку — почти так же, как математику! — и он (думает, что) может играть на пианино, гитаре и басу. Шон преподавал и обучал студентов математике около десяти лет и надеется, что его опыт поможет вам добиться успеха!

    3.2 Производная как функция — Исчисление Том 1

    Цели обучения

    • 3.2.1. Определите производную функцию заданной функции.
    • 3.2.2 Постройте производную функцию от графика заданной функции.
    • 3.2.3 Укажите связь между производными и непрерывностью.
    • 3.2.4 Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
    • 3.2.5 Объясните значение производной высшего порядка.

    Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке.Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

    Производные функции

    Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная.Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

    Определение

    Пусть ff — функция. Производная функция, обозначаемая f ‘, f’, — это функция, область определения которой состоит из таких значений xx, что существует следующий предел:

    f ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h.f ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h.

    (3,9)

    Функция f (x) f (x) называется дифференцируемой в точке aa, если
    f ′ (a) f ′ (a) существует. В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на SS, если она дифференцируема в каждой точке открытого множества S, S, а дифференцируемая функция — это функция, в которой f ′ (x) f ′ (x) существует в своей области определения.

    В следующих нескольких примерах мы используем уравнение 3.9, чтобы найти производную функции.

    Пример 3.11

    Нахождение производной функции квадратного корня

    Найти производную f (x) = x.f (x) = x.

    Решение

    Начните непосредственно с определения производной функции. Используйте уравнение 3.1.

    f ′ (x) = limh → 0x + h − xhSubstitutef (x + h) = x + handf (x) = xintof ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h. = limh → 0x + h − xh · x + h + xx + h + x Умножить числитель и знаменатель на x + h + x без распределения в знаменателе.= limh → 0hh (x + h + x) Умножьте числители и упростите. = limh → 01 (x + h + x) Отмените h. = 12x Оцените предел. f ′ (x) = limh → 0x + h − xhSubstitutef ( x + h) = x + handf (x) = xintof ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h. = limh → 0x + h − xh · x + h + xx + h + x Умножьте числитель и знаменатель на x + h + x без распределения в знаменателе. = limh → 0hh (x + h + x) Умножьте числители и упростите. = limh → 01 (x + h + x) Отмените h. = 12x Оцените предел.

    Пример 3.12

    Нахождение производной квадратичной функции

    Найти производную функции f (x) = x2−2x.f (x) = x2−2x.

    Решение

    Выполните ту же процедуру, но без умножения на конъюгат.

    f ′ (x) = limh → 0 ((x + h) 2−2 (x + h)) — (x2−2x) h Заменить f (x + h) = (x + h) 2−2 (x + h) и f (x) = x2−2xintof ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h. = limh → 0x2 + 2xh + h3−2x − 2h − x2 + 2xhExpand (x + h) 2 −2 (x + h). = Limh → 02xh − 2h + h3hSimplify. = Limh → 0h (2x − 2 + h) h Вывести из числителя. = Limh → 0 (2x − 2 + h) Сократить общий множитель h. = 2x − 2 Вычислить предел. F ′ (x) = limh → 0 ((x + h) 2−2 (x + h)) — (x2−2x) hSubstitutef (x + h) = (x + h) 2 −2 (x + h) и f (x) = x2−2xintof ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h.= limh → 0x2 + 2xh + h3−2x − 2h − x2 + 2xhExpand (x + h) 2−2 (x + h). = limh → 02xh − 2h + h3hSimplify. = limh → 0h (2x − 2 + h) hFactor outh из числителя. = limh → 0 (2x − 2 + h) Сократить общий множитель h. = 2x − 2 Вычислить предел.

    КПП 3.6

    Найдите производную f (x) = x2.f (x) = x2.

    Мы используем множество различных обозначений для выражения производной функции. В примере 3.12 мы показали, что если f (x) = x2−2x, f (x) = x2−2x, то f ′ (x) = 2x − 2.f ′ (x) = 2x − 2. Если бы мы выразили эту функцию в виде y = x2−2x, y = x2−2x, мы могли бы выразить производную как y ′ = 2x − 2y ′ = 2x − 2 или dydx = 2x − 2.dydx = 2x − 2. Мы могли бы передать ту же информацию, написав ddx (x2−2x) = 2x − 2.ddx (x2−2x) = 2x − 2. Таким образом, для функции y = f (x), y = f (x) каждое из следующих обозначений представляет производную от f (x): f (x):

    f ′ (x), dydx, y ′, ddx (f (x)). f ′ (x), dydx, y ′, ddx (f (x)).

    Вместо f ′ (a) f ′ (a) мы также можем использовать dydx | x = adydx | x = a Использование обозначения dydxdydx (называемого обозначением Лейбница) довольно распространено в инженерии и физике. Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной.Наклоны этих секущих линий часто выражаются в виде ΔyΔxΔyΔx, где ΔyΔy — разность значений yy, соответствующая разнице значений xx, которые выражаются как ΔxΔx (рисунок 3.11). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения yy по отношению к x, x, выражается как

    dydx = limΔx → 0ΔyΔx.dydx = limΔx → 0ΔyΔx.

    Рисунок 3.11 Производная выражается как dydx = limΔx → 0ΔyΔx.dydx = limΔx → 0ΔyΔx.

    График производной

    Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график.Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку f ′ (x) f ′ (x) дает скорость изменения функции f (x) f (x) (или наклон касательная к f (x)). f (x)).

    В примере 3.11 мы обнаружили, что для f (x) = x, f ′ (x) = 1 / 2x.f (x) = x, f ′ (x) = 1 / 2x. Если мы построим график этих функций на тех же осях, как на рисунке 3.12, мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что f (x) f (x) увеличивается по всей своей области, что означает, что наклон ее касательных во всех точках положительный.Следовательно, мы ожидаем, что f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0 для всех значений xx в его области определения. Кроме того, с увеличением xx наклон касательных к f (x) f (x) уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение f ′ (x) .f ′ (x). Заметим также, что f (0) f (0) не определено и что limx → 0 + f ′ (x) = + ∞, limx → 0 + f ′ (x) = + ∞, что соответствует вертикальной касательной к f ( x) f (x) при 0,0.

    Рисунок 3.12 Производная f ′ (x) f ′ (x) везде положительна, поскольку функция f (x) f (x) возрастает.

    В Примере 3.12 мы обнаружили, что для f (x) = x2−2x, f ′ (x) = 2x − 2. f (x) = x2−2x, f ′ (x) = 2x − 2. Графики этих функций показаны на Рисунке 3.13. Обратите внимание, что f (x) f (x) убывает при x <1.x <1. Для тех же значений x, f ′ (x) <0.x, f ′ (x) <0. Для значений x> 1, f (x) x> 1, f (x) увеличивается и f ′ (x)> 0. f ′ (x)> 0. Кроме того, f (x) f (x) имеет горизонтальную касательную в точках x = 1x = 1 и f ′ (1) = 0. f ′ (1) = 0.

    Рисунок 3.13 Производная f ′ (x) <0f ′ (x) <0, где функция f (x) f (x) убывает, а f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0, где f (x) f (x) увеличивается.Производная равна нулю, если функция имеет горизонтальную касательную.

    Пример 3.13

    Построение производной с помощью функции

    Используйте следующий график f (x) f (x), чтобы нарисовать график f ′ (x) .f ′ (x).

    Решение

    Решение показано на следующем графике. Обратите внимание, что f (x) f (x) возрастает и f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0 на (–2,3). (- 2,3). Кроме того, f (x) f (x) убывает и f ′ (x) <0f ′ (x) <0 на (−∞, −2) (- ∞, −2) и на (3, + ∞). (3, + ∞).Также обратите внимание, что f (x) f (x) имеет горизонтальные касательные в точках –2–2 и 3,3, а f ′ (- 2) = 0f ′ (- 2) = 0 и f ′ (3) = 0.f ′ (3) = 0.

    КПП 3,7

    Нарисуйте график функции f (x) = x2−4. F (x) = x2−4. На каком интервале график f ′ (x) f ′ (x) находится выше оси xx?

    Деривативы и непрерывность

    Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков. Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть непрерывной там; однако функция, которая является непрерывной в точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке.Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

    Теорема 3.1

    Дифференцируемость влечет непрерывность

    Пусть f (x) f (x) — функция, а aa находится в ее области определения. Если f (x) f (x) дифференцируема в a, a, то ff непрерывна в a.a.

    Проба

    Если f (x) f (x) дифференцируема в a, a, то f ′ (a) f ′ (a) существует и

    f ′ (a) = limx → af (x) −f (a) x − a.f ′ (a) = limx → af (x) −f (a) x − a.

    Мы хотим показать, что f (x) f (x) непрерывна в aa, показав, что limx → af (x) = f (a).limx → af (x) = f (a). Таким образом,

    limx → af (x) = limx → a (f (x) −f (a) + f (a)) = limx → a (f (x) −f (a) x − a · (x − a) + f (a)) Умножаем и делим f (x) −f (a) на x − a. = (limx → af (x) −f (a) x − a) · (limx → a (x − a)) + limx → af (a) = f ′ (a) · 0 + f (a) = f (a) .limx → af (x) = limx → a (f (x) −f (a) + f (a)) = limx → a (f (x) −f (a) x − a · (x − a) + f (a)) Умножить и разделить f (x) −f (a) на x − a. = (limx → af ( x) −f (a) x − a) · (limx → a (x − a)) + limx → af (a) = f ′ (a) · 0 + f (a) = f (a).

    Следовательно, поскольку f (a) f (a) определено и limx → af (x) = f (a), limx → af (x) = f (a), мы заключаем, что ff непрерывна в a.a.

    Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость.Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию f (x) = | x | .f (x) = | x |. Эта функция всюду непрерывна; однако f ′ (0) f ′ (0) не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не предполагает дифференцируемости. Давайте изучим дальше. Для f (x) = | x |, f (x) = | x |,

    f ′ (0) = limx → 0f (x) −f (0) x − 0 = limx → 0 | x | — | 0 | x − 0 = limx → 0 | x | xf ′ (0) = limx → 0f (x) −f (0) x − 0 = limx → 0 | x | — | 0 | x − 0 = limx → 0 | x | x.

    Этот предел не существует, потому что

    limx → 0− | x | x = −1andlimx → 0 + | x | x = 1.limx → 0− | x | x = −1andlimx → 0 + | x | x = 1.

    См. Рисунок 3.14.

    Рисунок 3.14. Функция f (x) = | x | f (x) = | x | непрерывна в 00, но не дифференцируема в 0,0.

    Рассмотрим некоторые дополнительные ситуации, в которых непрерывная функция не дифференцируема. Рассмотрим функцию f (x) = x3: f (x) = x3:

    f ′ (0) = limx → 0x3−0x − 0 = limx → 01×23 = + ∞. f ′ (0) = limx → 0x3−0x − 0 = limx → 01×23 = + ∞.

    Таким образом, f ′ (0) f ′ (0) не существует. Быстрый взгляд на график f (x) = x3f (x) = x3 проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке 00 (рисунок 3.15).

    Рисунок 3.15. Функция f (x) = x3f (x) = x3 имеет вертикальную касательную в точке x = 0.x = 0. Он непрерывен на уровне 00, но не дифференцируется при значении 0,0.

    Функция f (x) = {xsin (1x) ifx ≠ 00ifx = 0f (x) = {xsin (1x) ifx ≠ 00ifx = 0 также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение при 0,0. Мы видим, что

    f ′ (0) = limx → 0xsin (1 / x) −0x − 0 = limx → 0sin (1x). f ′ (0) = limx → 0xsin (1 / x) −0x − 0 = limx → 0sin (1x ).

    Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю (Рисунок 3.16).

    Рисунок 3.16. Функция f (x) = {xsin (1x) ifx ≠ 00ifx = 0f (x) = {xsin (1x) ifx ≠ 00ifx = 0 не дифференцируема в 0.0.

    Итого:

    1. Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно может быть не дифференцируемой.
    2. Мы видели, что f (x) = | x | f (x) = | x | не удалось дифференцировать в 00, потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым.Визуально это привело к резкому углу на графике функции при 0,0. Отсюда мы заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
    3. Как мы видели в примере с f (x) = x3, f (x) = x3, функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
    4. Как мы видели с f (x) = {xsin (1x) ifx ≠ 00ifx = 0f (x) = {xsin (1x) ifx ≠ 00ifx = 0, функция может не быть дифференцируемой в точке и более сложными способами. .

    Пример 3.14

    Непрерывная и дифференцируемая кусочная функция

    Компания по производству игрушек хочет спроектировать дорожку для игрушечной машинки, которая начинается по параболической кривой, а затем переходит в прямую (рис. 3.17). Функция, описывающая дорожку, должна иметь вид f (x) = {110×2 + bx + cifx <−10−14x + 52ifx≥ − 10f (x) = {110x2 + bx + cifx <−10−14x + 52ifx≥ −10, где xx и f (x) f (x) выражены в дюймах. Чтобы автомобиль плавно двигался по рельсам, функция f (x) f (x) должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой в точке −10.−10. Найдите значения bb и cc, которые делают f (x) f (x) непрерывной и дифференцируемой.

    Рис. 3.17. Чтобы автомобиль плавно двигался по рельсам, функция должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой.

    Решение

    Чтобы функция была непрерывной при x = −10, limx → −10 − f (x) = f (−10) .x = −10, limx → −10 − f (x) = f (−10). Таким образом, с

    г.
    limx → −10 − f (x) = 110 (−10) 2−10b + c = 10−10b + climx → −10 − f (x) = 110 (−10) 2−10b + c = 10−10b + c

    и f (−10) = 5, f (−10) = 5, должно получиться 10−10b + c = 5.10−10b + c = 5. Эквивалентно, мы имеем c = 10b − 5.c = 10b − 5.

    Чтобы функция была дифференцируемой при −10, −10,

    f ′ (10) = limx → −10f (x) −f (−10) x + 10f ′ (10) = limx → −10f (x) −f (−10) x + 10.

    должен существовать. Поскольку f (x) f (x) определяется с использованием разных правил справа и слева, мы должны оценить этот предел справа и слева, а затем установить их равными друг другу:

    limx → −10 − f (x) −f (−10) x + 10 = limx → −10−110×2 + bx + c − 5x + 10 = limx → −10−110×2 + bx + (10b − 5) −5x + 10 Заменить c = 10b − 5. = Limx → −10 − x2−100 + 10bx + 100b10 (x + 10) = limx → −10− (x + 10) (x − 10 + 10b) 10 (x + 10) Умножить на группировка.= b − 2.limx → −10 − f (x) −f (−10) x + 10 = limx → −10−110×2 + bx + c − 5x + 10 = limx → −10−110×2 + bx + (10b− 5) −5x + 10 Substitutec = 10b − 5. = Limx → −10 − x2−100 + 10bx + 100b10 (x + 10) = limx → −10− (x + 10) (x − 10 + 10b) 10 (x +10) Разложим на множители по группам. = B − 2.

    У нас также есть

    limx → −10 + f (x) −f (−10) x + 10 = limx → −10 + −14x + 52−5x + 10 = limx → −10 + — (x + 10) 4 (x + 10). = −14.limx → −10 + f (x) −f (−10) x + 10 = limx → −10 + −14x + 52−5x + 10 = limx → −10 + — (x + 10) 4 ( х + 10) = — 14.

    Это дает нам b − 2 = −14.b − 2 = −14. Таким образом, b = 74b = 74 и c = 10 (74) −5 = 252. C = 10 (74) −5 = 252.

    КПП 3.8

    Найдите значения aa и bb, которые делают f (x) = {ax + bifx <3x2ifx≥3f (x) = {ax + bifx <3x2ifx≥3 одновременно непрерывным и дифференцируемым в 3.3.

    Производные инструменты высшего порядка

    Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорости. Производная скорости — это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее.В совокупности они называются производными более высокого порядка. Обозначения для производных высшего порядка y = f (x) y = f (x) могут быть выражены в любой из следующих форм:

    f ″ (x), f ‴ (x), f (4) (x),…, f (n) (x) f ″ (x), f (x), f (4) (x),… , f (n) (x)
    y ″ (x), y ‴ (x), y (4) (x),…, y (n) (x) y ″ (x), y ‴ (x), y (4) (x),… , у (п) (х)
    d2ydx2, d3ydx3, d4ydx4,…, dnydxn.d2ydx2, d3ydx3, d4ydx4,…, dnydxn.

    Интересно отметить, что обозначение d2ydx2d2ydx2 можно рассматривать как попытку выразить ddx (dydx) ddx (dydx) более компактно.Аналогично, ddx (ddx (dydx)) = ddx (d2ydx2) = d3ydx3.ddx (ddx (dydx)) = ddx (d2ydx2) = d3ydx3.

    Пример 3.15

    Нахождение второй производной

    Для f (x) = 2×2−3x + 1, f (x) = 2×2−3x + 1, найдите f ″ (x) .f ″ (x).

    Решение

    Сначала найдите f ′ (x) .f ′ (x).

    f ′ (x) = limh → 0 (2 (x + h) 2−3 (x + h) +1) — (2×2−3x + 1) hSubstitutef (x) = 2×2−3x + 1andf (x + h) = 2 (x + h) 2−3 (x + h) + 1intof ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h. = Limh → 04xh + 2h3−3hh Упростим числитель. = Limh → 0 (4x + 2h − 3) Выносим за скобки числитель и сокращаем с помощью знаменателя.= 4x ​​− 3 Примите предел. F ′ (x) = limh → 0 (2 (x + h) 2−3 (x + h) +1) — (2×2−3x + 1) hSubstitutef (x) = 2×2−3x + 1andf (x + h) = 2 (x + h) 2−3 (x + h) + 1intof ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h. = Limh → 04xh + 2h3 −3hh Упростите числитель. = Limh → 0 (4x + 2h − 3) Вынесите за скобки числитель и сократите его с помощью знаменателя. = 4x − 3 Возьмите предел.

    Затем найдите f ″ (x) f ″ (x), взяв производную от f ′ (x) = 4x − 3.f ′ (x) = 4x − 3.

    f ″ (x) = limh → 0f ′ (x + h) −f ′ (x) hUsef ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) hwithf ′ (x) на месте off (x) . = limh → 0 (4 (x + h) −3) — (4x − 3) hSubstitutef ′ (x + h) = 4 (x + h) −3andf ′ (x) = 4x − 3.= limh → 04 Упростить. = 4 Принять предел. f ″ (x) = limh → 0f ′ (x + h) −f ′ (x) hUsef ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) hwithf ′ (x) inplace off (x). = limh → 0 (4 (x + h) −3) — (4x − 3) hSubstitutef ′ (x + h) = 4 (x + h) −3andf ′ (x ) = 4x − 3. = Limh → 04 Упростить. = 4 Взять предел.

    КПП 3.9

    Найдите f ″ (x) f ″ (x) для f (x) = x2.f (x) = x2.

    Пример 3.16

    В поисках ускорения

    Положение частицы вдоль оси координат в момент времени tt (в секундах) определяется выражением s (t) = 3t2−4t + 1s (t) = 3t2−4t + 1 (в метрах). Найдите функцию, описывающую его ускорение в момент времени t.т.

    Решение

    Поскольку v (t) = s ′ (t) v (t) = s ′ (t) и a (t) = v ′ (t) = s ″ (t), a (t) = v ′ (t) = s ″ (t), мы начнем с нахождения производной s (t): s (t):

    s ′ (t) = limh → 0s (t + h) −s (t) h = limh → 03 (t + h) 2−4 (t + h) + 1− (3t2−4t + 1) h = 6t. −4.s ′ (t) = limh → 0s (t + h) −s (t) h = limh → 03 (t + h) 2−4 (t + h) + 1− (3t2−4t + 1) h = 6t − 4.

    Далее,

    s ″ (t) = limh → 0s ′ (t + h) −s ′ (t) h = limh → 06 (t + h) −4− (6t − 4) h = 6. s ″ (t) = limh → 0s ′ (t + h) −s ′ (t) h = limh → 06 (t + h) −4− (6t − 4) h = 6.

    Таким образом, a = 6 м / с2. A = 6 м / с2.

    КПП 3.10

    Для s (t) = t3, s (t) = t3 найдите a (t).в).

    Раздел 3.2. Упражнения

    В следующих упражнениях используйте определение производной, чтобы найти f ′ (x) .f ′ (x).

    Для следующих упражнений используйте график y = f (x) y = f (x), чтобы нарисовать график его производной f ′ (x) .f ′ (x).

    64.

    66.

    Для следующих упражнений данный предел представляет собой производную функции y = f (x) y = f (x) при x = a.x = a. Найдите f (x) f (x) и п.в.

    68.

    limh → 0 (1 + h) 2 / 3−1hlimh → 0 (1 + h) 2 / 3−1h

    69.

    limh → 0 [3 (2 + h) 2 + 2] −14hlimh → 0 [3 (2 + h) 2 + 2] −14h

    70.

    limh → 0cos (π + h) + 1hlimh → 0cos (π + h) + 1h

    71.

    limh → 0 (2 + h) 4−16hlimh → 0 (2 + h) 4−16h

    72.

    limh → 0 [2 (3 + h) 2− (3 + h)] — 15hlimh → 0 [2 (3 + h) 2− (3 + h)] — 15h

    73.

    limh → 0eh − 1hlimh → 0eh − 1h

    Для следующих функций:

    1. набросок графика и
    2. использует определение производной, чтобы показать, что функция не дифференцируема при x = 1.x = 1.

    74.

    f (x) = {2x, 0≤x≤13x − 1, x> 1f (x) = {2x, 0≤x≤13x − 1, x> 1

    75.

    f (x) = {3, x <13x, x≥1f (x) = {3, x <13x, x≥1

    76.

    f (x) = {- x2 + 2, x≤1x, x> 1f (x) = {- x2 + 2, x≤1x, x> 1

    77.

    f (x) = {2x, x≤12x, x> 1f (x) = {2x, x≤12x, x> 1

    Для следующих графиков

    1. определить, для каких значений x = ax = a существует limx → af (x) limx → af (x), но ff не является непрерывным при x = a, x = a и
    2. определяет, для каких значений x = ax = a функция является непрерывной, но не дифференцируемой при x = a.x = a.

    78.

    80.

    Используйте график, чтобы оценить.f ′ (- 0,5), f ′ (- 0,5), б. f ′ (0), f ′ (0), c. f ′ (1), f ′ (1), d. f ′ (2), f ′ (2) и e. f ′ (3), f ′ (3), если он существует.

    Для следующих функций используйте f ″ (x) = limh → 0f ′ (x + h) −f ′ (x) hf ″ (x) = limh → 0f ′ (x + h) −f ′ (x) h. найти f ″ (x) .f ″ (x).

    Для следующих упражнений используйте калькулятор для построения графика f (x) .f (x). Определите функцию f ′ (x), f ′ (x), затем воспользуйтесь калькулятором для построения графика f ′ (x) .f ′ (x).

    85.

    [T] f (x) = 3×2 + 2x + 4. f (x) = 3×2 + 2x + 4.

    88.

    [T] f (x) = 1 + x + 1xf (x) = 1 + x + 1x

    Для следующих упражнений опишите, что представляют собой эти два выражения в терминах каждой из данных ситуаций.Обязательно укажите единицы измерения.

    1. f (x + h) −f (x) hf (x + h) −f (x) h
    2. f ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) hf ′ (x) = limh → 0f (x + h) −f (x) h
    3. .

    90.

    P (x) P (x) обозначает население города во время xx в годах.

    91.

    C (x) C (x) обозначает общую сумму денег (в тысячах долларов), потраченную на уступки xx посетителями в парке развлечений.

    92.

    R (x) R (x) обозначает общую стоимость (в тысячах долларов) производства радиочасов xx.

    93.

    g (x) g (x) обозначает оценку (в процентных пунктах), полученную по тесту за xx часов обучения.

    94.

    B (x) B (x) обозначает стоимость (в долларах) учебника социологии в университетских книжных магазинах США за xx лет с 1990-1990 гг.

    95.

    p (x) p (x) обозначает атмосферное давление в Торрс на высоте xx футов.

    96.

    Нарисуйте график функции y = f (x) y = f (x) со всеми следующими свойствами:

    1. f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0 для −2≤x <1−2≤x <1
    2. f ′ (2) = 0f ′ (2) = 0
    3. f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0 для x> 2x> 2
    4. f (2) = 2f (2) = 2 и f (0) = 1f (0) = 1
    5. limx → −∞f (x) = 0limx → −∞f (x) = 0 и limx → ∞f (x) = ∞limx → ∞f (x) = ∞
    6. f ′ (1) f ′ (1) не существует.

    97.

    Предположим, что температура TT в градусах Фаренгейта на высоте xx в футах над землей задается формулой y = T (x) .y = T (x).

    1. Дайте физическую интерпретацию в единицах измерения T ′ (x) .T ′ (x).
    2. Если мы знаем, что T ′ (1000) = — 0,1, T ′ (1000) = — 0,1, объясните физический смысл.

    98.

    Предположим, что общая прибыль компании равна y = P (x) y = P (x) тысяч долларов при продаже xx единиц товара.

    1. Что измеряет P (b) −P (a) b − aP (b) −P (a) b − a для 0
    2. Что измеряет P ′ (x) P ′ (x) и какие единицы измерения?
    3. Предположим, что P ′ (30) = 5, P ′ (30) = 5, каково примерное изменение прибыли, если количество проданных товаров увеличится с 30 до 31? 30 до 31?

    99.

    График на следующем рисунке моделирует количество людей N (t) N (t), которые заболели гриппом через несколько недель после его первоначальной вспышки в городе с населением 50 00050 000 жителей.

    1. Опишите, что представляет собой N ′ (t) N ′ (t) и как оно ведет себя при увеличении tt.
    2. Что производная говорит нам о том, как этот город пострадал от вспышки гриппа?

    Для следующих упражнений используйте следующую таблицу, в которой показана высота hh ракеты Saturn VV для миссии Apollo 1111 через tt секунд после запуска.

    Время (секунды) Высота (метры)
    00 00
    11 22
    22 44
    33 1313
    44 2525
    55 3232

    100.

    Каков физический смысл h ′ (t)? H ′ (t)? Какие единицы?

    101.

    [T] Создайте таблицу значений для h ′ (t) h ′ (t) и изобразите как h (t) h (t), так и h ′ (t) h ′ (t) на одном графике. ( Подсказка: для внутренних точек, оцените как левый предел, так и правый предел и усредните их. Внутренняя точка интервала I — это элемент I, который не является конечной точкой I.)

    102.

    [T] Наилучшее линейное соответствие данным дает H (t) = 7,229t − 4,905, H (t) = 7,229t − 4,905, где HH — высота ракеты (в метрах) и tt время, прошедшее с момента взлета.Из этого уравнения определите H ′ (t) .H ′ (t). График H (t) H (t) с заданными данными и на отдельной координатной плоскости график H ′ (t) .H ′ (t).

    103.

    [T] Наилучшее квадратичное соответствие данных дается выражением G (t) = 1,429t2 + 0,0857t − 0,1429, G (t) = 1,429t2 + 0,0857t − 0,1429, где GG — высота ракеты. (в метрах), а tt — время, прошедшее с момента взлета. Из этого уравнения определите G ′ (t) .G ′ (t). График G (t) G (t) с заданными данными и на отдельной координатной плоскости график G ′ (t) .G ′ (t).

    104.

    [T] Наилучшее кубическое соответствие данным дает F (t) = 0,2037t3 + 2,956t2−2,705t + 0,4683, F (t) = 0,2037t3 + 2,956t2−2,705t + 0,4683, где FF — высота ракеты (в м), а tt — время, прошедшее с момента взлета. Из этого уравнения определите F ′ (t) .F ′ (t). График F (t) F (t) с заданными данными и на отдельной координатной плоскости график F ′ (t) .F ′ (t). Что лучше всего подходит для данных: линейная, квадратичная или кубическая функция?

    105.

    Используя наилучшие линейные, квадратичные и кубические аппроксимации данных, определите, что такое H ″ (t), G ″ (t) и F ″ (t) H ″ (t), G ″ (t) и F ″ (t). .Каковы физические значения H ″ (t), G ″ (t) и F ″ (t), H ″ (t), G ″ (t) и F ″ (t) и каковы их единицы?

    Заметки по исчислению I, раздел 2-10

    Заметки по исчислению I, разделы 2-10
    Заметки,
    Урок 2.10

    Что значит f ‘
    Сказать про f ?

    Первая производная
    функции — это выражение, которое сообщает нам наклон касательной
    линия к кривой в любой момент. Из-за этого определения первый
    производная функции многое говорит нам о функции.Если положительный, то должен увеличиваться. Если отрицательный, то должен уменьшаться. Если равно нулю, то должно быть
    при относительном максимуме или относительном минимуме. говорит нам похожие вещи о. также
    дает нам ценную информацию о. В
    в частности, он сообщает нам, когда функция вогнута вверх, вогнута вниз,
    или есть точка перегиба. Такой же тип информации
    указал о
    по и так далее.

    увеличение

    +
    уменьшение
    относительный мин.или макс. 0
    вогнуться увеличение +
    вогнуться уменьшение
    точка перегиба относительный мин. или макс. 0
    вогнуться увеличение +
    вогнуться уменьшение
    точка перегиба относительный мин. или макс. 0
    вогнуться увеличение
    вогнуться уменьшение
    точка перегиба относительный мин.или макс.
    вогнуться
    вогнуться
    точка перегиба

    Использование вашего Инструменты для обогащения
    Calculus
    CD (пришедший
    вместе с книгой), загрузите и запустите модуль
    2.10
    .
    Этот модуль позволит вам попрактиковаться в использовании графической информации.
    о
    f
    ‘для определения наклона графика f ..

    Определение:

    Первоначальное Первообразная f является
    функция F такая, что F
    = f .

    Здесь мы видим процесс, обратный тому, что мы
    изучение.Мы начинаем с производной, и мы хотим найти функцию. Этот
    тип
    процесса открытия является общим для научных экспериментов и данных
    встреча.

    Во-первых, нам нужно знать, что разные функции могут
    результат в
    точно такая же производная. Посмотрите на пример ниже:

    Здесь мы видим семейство кривых, построенных с их
    общая производная.

    Семейство параболических функций:, где c принимает
    значения: -1, 0, 1, 2, 3 и 4.

    Прямая линия на графике выше. Это
    производная функция для всех шести параболических функций.
    Поскольку дериватив — это прежде всего инструмент для
    определение формы
    функции положение графика не влияет на форму.
    Следовательно
    совпадающие кривые, которые ориентированы одинаково, но имеют разные
    должность
    имеют такую ​​же производную.

    Проверить концепции
    # 1: положительная производная
    что насчет функции?

    Выберите одну функцию
    положительная функция отрицательная функция
    возрастающая функция убывающая

    # 2: отрицательная секунда
    производная говорит о том, что
    функция?

    Выберите одну функцию
    уменьшается Функция вогнута вниз Функция
    отрицательный

    # 3: Верно или неверно.В
    производная функции также
    функция.

    Выберите одну истину ложь

    # 4: Вторая производная
    нуля говорит, что насчет
    оригинальная функция?

    Выберите там
    точка перегиба Есть относительный минимум или максимум It
    должна быть постоянной функцией

    # 5: Верно или неверно.А
    вторая производная функции
    дает ценную информацию о функции.

    Выберите одну истину ложь

    Математических изображений | Полиномиальные функции и производная (1): линейные функции

    Простейшие функции — это линейные функции. Их формулы представляют собой многочлены степени один или cero (это
    случай, когда функция является постоянной функцией).Их графики представляют собой прямые линии.

    Мы заинтересованы в изучении производных простых функций с помощью интуитивно понятного и наглядного подхода. Начнем с линейной функции.

    ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

    Производная функции в точке может быть определена как мгновенная скорость изменения или как наклон касательной линии к
    график функции в этой точке. Можно сказать, что этот наклон касательной функции в точке является наклоном
    функция.

    Наклон функции, как правило, зависит от x. Тогда, начиная с функции, мы можем
    получить новую функцию, производную функцию исходной функции.

    Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.

    Значение производной функции для любого значения x — это наклон исходной функции в точке x.

    Как мы можем нарисовать производную функцию заданной функции (в нашем случае линейной функции)?

    Общая процедура проста: мы начинаем рисовать касательную к функции в заданной точке.

    В нашем случае это очень просто, потому что касательная к прямой — это та же самая линия:

    Затем мы проводим параллельную линию касательной, проходящую через значение x-1, и получаем прямоугольный треугольник. Длина вертикальной стороны
    — наклон касательной.

    Затем мы можем нарисовать производную функцию линейной функции, что очень просто, потому что это постоянная функция. Ценность этого
    Постоянная функция — это наклон исходной линейной функции.

    Например, линейная функция с положительным наклоном:

    Другой пример, линейная функция с отрицательным наклоном:

    Когда функция является постоянной функцией, это означает, что ее график представляет собой горизонтальную линию (наклон равен 0).
    Тогда производная постоянной функции — это постоянная функция 0.

    Одна простая и интересная идея заключается в том, что когда мы переводим график функции вверх и вниз (мы добавляем или вычитаем число из исходной функции)
    производная не меняется.Причина очень интуитивна, и мы можем поиграть с интерактивным приложением, чтобы увидеть это свойство. Когда ты
    переместите фиолетовую точку, которую вы переводите вверх и вниз по графику, и производная будет такой же:

    Важно отметить, что производная многочлена степени 1 является постоянной функцией (многочленом степени 0). Когда мы
    получить такую ​​полиномиальную функцию, результатом будет многочлен, степень которого на 1 меньше, чем у исходной функции.

    Когда мы изучаем интеграл многочлена степени 1, мы видим, что в этом случае новая функция является многочленом степени 2.Еще на один градус
    чем исходная функция.

    Эти результаты связаны с основной теоремой исчисления.

    РЕКОМЕНДАЦИИ

    Майкл Спивак, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.

    Том М. Апостол, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.

    БОЛЬШЕ ССЫЛКИ

    Производная кубической функции — это квадратичная функция, парабола.

    Многочлены Лагранжа — это многочлены, проходящие через n заданных точек.Мы используем полиномы Лагранжа, чтобы исследовать общую полиномиальную функцию и ее производную.

    Если производная от F (x) равна f (x), то мы говорим, что неопределенный интеграл от f (x) по x равен F (x). Мы также говорим, что F — первообразная или примитивная функция от f.

    Две точки определяют прямую линию. Как функцию мы называем это линейной функцией. Мы можем видеть наклон линии и то, как мы можем получить уравнение прямой через две точки. Мы также изучаем точки пересечения по оси x и оси y линейного уравнения.

    Степень с натуральными показателями — простые и важные функции. Их обратные функции — это степени с рациональными показателями (радикал или корень n-й степени)

    Многочлены степени 2 — это квадратичные функции. Их графики — параболы. Чтобы найти точки пересечения по оси x, мы должны решить квадратное уравнение. Вершина параболы — это максимум минимума функции.

    Многочлены степени 3 — это кубические функции. Реальная кубическая функция всегда пересекает ось x хотя бы один раз.

    В качестве введения в кусочно-линейные функции мы изучаем линейные функции, ограниченные открытым интервалом: их графики подобны отрезкам.

    Кусочная функция — это функция, которая определяется несколькими подфункциями. Если каждый кусок является постоянной функцией, то кусочная функция называется кусочно-постоянной функцией или ступенчатой ​​функцией.

    Непрерывная кусочно-линейная функция определяется несколькими отрезками или лучами, соединенными без скачков между ними.

    Интегральное понятие ассоциируется с понятием площади. Мы начали рассматривать область, ограниченную графиком функции и осью абсцисс между двумя вертикальными линиями.

    Монотонные функции на отрезке интегрируемы. В этих случаях мы можем ограничить ошибку, которую мы допускаем при приближении интеграла с помощью прямоугольников.

    Если мы рассматриваем нижний предел интегрирования a как фиксированный и если мы можем вычислить интеграл для различных значений верхнего предела интегрирования b, то мы можем определить новую функцию: неопределенный интеграл от f.

    Подсчитать площадь под прямой несложно. Это первый пример интеграции, который позволяет нам понять идею и ввести несколько основных понятий: интегральное как область, пределы интеграции, положительные и отрицательные области.

    Вычислить площадь по параболе сложнее, чем вычислить площадь по линейной функции. Мы покажем, как аппроксимировать эту область с помощью прямоугольников и что интегральная функция многочлена степени 2 является многочленом степени 3.

    Мы можем увидеть некоторые основные понятия об интегрировании, применяемые к общей полиномиальной функции. Интегральные функции от полиномиальных функций — это полиномиальные функции с одной степенью выше, чем исходная функция.

    Фундаментальная теорема исчисления говорит нам, что каждая непрерывная функция имеет первообразную, и показывает, как построить ее с помощью интеграла.

    Вторая основная теорема исчисления — мощный инструмент для вычисления определенного интеграла (если мы знаем первообразную функции).

    Увеличивая степень, полином Тейлора все больше и больше приближает экспоненциальную функцию.

    Увеличивая степень, полином Тейлора все больше и больше приближает синусоидальную функцию.

    Функция не определена для значений меньше -1. Многочлены Тейлора относительно начала координат приближают функцию от -1 до 1.

    Функция имеет особенность в -1. Многочлены Тейлора относительно начала координат приближают функцию от -1 до 1.

    Функция имеет особенность в -1. Многочлены Тейлора относительно начала координат приближают функцию от -1 до 1.

    Эта функция имеет две действительные особенности в точках -1 и 1. Многочлены Тейлора аппроксимируют функцию в интервале с центром в центре ряда. Его радиус — это расстояние до ближайшей особенности.

    Это непрерывная функция, не имеющая реальных особенностей. Однако ряд Тейлора приближает функцию только в интервале.Чтобы понять это поведение, мы должны рассмотреть сложную функцию.

    Функции увеличения / уменьшения

    Функции увеличения / уменьшения

    Производная функции может использоваться для определения того, увеличивается или уменьшается функция на любых интервалах в ее области определения. Если f ′ (x) > 0 в каждой точке интервала I, то говорят, что функция возрастает на I. f ′ (x) <0 в каждой точке интервала I, тогда функция Говорят, что уменьшаются на I .Поскольку производная равна нулю или не существует только в критических точках функции, она должна быть положительной или отрицательной во всех других точках, где существует функция.

    При определении интервалов, в которых функция увеличивается или уменьшается, вы сначала находите значения области, в которых будут встречаться все критические точки; затем проверьте все интервалы в области определения функции слева и справа от этих значений, чтобы определить, является ли производная положительной или отрицательной. Если f ′ (x) > 0, то f увеличивается на интервале, а если f ′ (x) <0, то f убывает на интервале.Эта и другая информация может использоваться, чтобы показать достаточно точный набросок графика функции.

    Пример 1: Для f (x) = x 4 — 8 x 2 определить все интервалы, в которых f увеличивается или уменьшается.

    Область f (x) — все действительные числа, и ее критические точки находятся при x = −2, 0 и 2. Проверка всех интервалов слева и справа от этих значений для f ′ (x ) = 4 x 3 -16 x , вы обнаружите, что

    , следовательно, f увеличивается на (−2,0) и (2, + ∞) и убывает на (−∞, −2) и (0,2).

    Пример 2: Для f (x) = sin x + cos x на [0,2π], определите все интервалы, в которых f увеличивается или уменьшается.

    Область f (x) ограничена закрытым интервалом [0,2π], а ее критические точки находятся в точках π / 4 и 5π / 4. Проверяя все интервалы слева и справа от этих значений для f ′ (x) = cos x — sin x , вы обнаружите, что

    , следовательно, f увеличивается на [0, π / 4] (5π / 4, 2π) и уменьшается на (π / 4, 5π / 4).

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.