Х 2 5 решить: Калькулятор онлайн — Решение уравнений и неравенств с модулями

Содержание

12. Уравнения, содержащие модуль. Рациональные уравнения

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Уравнения, содержащие модуль

Если в уравнении некоторые выражения, содержащие неизвестное, стоят по знаком модуля, то решение исходного уравнения ищется отдельно на каждом из промежутков знакопостоянства этих выражений.

Пример 1
Решить уравнение |3x-6|=x+2.
Решение:
Рассмотрим первый случай: 3х-6≥0, тогда 3х-6=х+2, 2х=8, х=4.
Рассмотрим второй случай: 3х-6<0, тогда 3х-6=-(х+2), 4х=4, х=1.
Ответ: 1; 4.


Пример 2
Решить уравнение |x-2| — 3|x-1| + 4|x-3| = 5.

Отметим на координатной прямой точки:

х-2=0     х-1=0    х-3=0
х=2        х=1      х=3


Рассмотрим решения уравнения на промежутках (-∞; 1];   (1; 2];  (2; 3] и (3; +∞).

При х≤1: -(х-2) + 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2+3х-3-4х+12=5, -2х=-6, х=3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При 1<х≤2: -(х-2) — 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2-3х+3-4х+12=5, -8х=-12, х=1,5. Ответ принадлежит промежутку.
При 2<х≤3: х-2 — 3(х-1) -4(х-3)=5, х-2-3х+3-4х+12=5, -6х=-8, х=4/3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При х>3: х-2 — 3(х-1) +4(х-3)=5, х-2-3х+3+4х-12=5, 2х=16, х=8. Ответ принадлежит промежутку.
Ответ: 1,5; 8.



Рациональные уравнения

  Рациональным уравнением называется уравнение вида 

где P(x), Q(x)  — многочлены.

Решение уравнения сводится к решению системы:

Пример 

Решить уравнение

Решение:

x2-4=0,                х-2≠0,

x2=4,                   х≠ 2.

х=-2 или х=2.

Число 2 не может быть корнем.

Ответ: -2.


УПРАЖНЕНИЯ

1. Из данных уравнений выберите те, которые не имеют корней:

а) |x|+4=1;    |x-5|=2;   |x+3|=-6.    б) |1+x|=3;   |1-x|=-4;   8+|x|=2.

Решение:
а)  |x|+4=1 не имеет корней, т.к.  |x|=-3 и модуль не может быть отрицательным числом; |x-5|=2 имеет корни; |x+3|=-6 не имеет корней, т.к.   модуль не может быть отрицательным числом.
Ответ: |x|+4=1; |x+3|=-6.





2. Решите уравнение:

а) |5x|=15;    б) |2x|=16.

Решение:
а) |5x|=15;
    |5||x|=15;
     5|x|=15;
     |x|=3;
     x=3 или x=-3.





3. Решите уравнение:

а) |5x+1|=5;    б) |2x-1|=10.

Решение:
а) |5x+1|=5;

Ответ: -1,2; 0,8.





4. Решите уравнение:

а) |5x2+3x-1|=-x2-36;    б) |3x2-5x-4|=-4x2-23.

Решение:
а) |5x2+3x-1|=-x2-36. Рассмотрим выражение  -x2-36, оно принимает отрицательные значения при любых значениях х, следовательно уравнение |5x2+3x-1|=-x2-36 не имеет корней.
Ответ: нет корней





5. Решите уравнение:

Решение:

Ответ: -1/3.



6. Решите уравнение:

Решение:

14х2-5x-1=0,



7. Решите уравнение:

Решение:





8. Решите уравнение:

Решение:

х ≠3.
Ответ: -4; 1.



9. Найдите, при каком значении переменной значение выражения 

 равно:  а) -6;    б) 6.
Решение:



10. Решите уравнение:




Решение:
а) Разложим знаменатели на множители:
х2-36=(x-6)(x+6).
108-24x+х2=(x-6)(x-18).
2x-36=2(x-18).



11. Решите уравнение:

а) х2-6|x|=0;    б) х2+4|x|=0.   

Решение:
а) х2-6|x|=0; 
х≥0: х2-6x=0;   х(х-6)=0, x1=0, x2=6.

x<0:  х2+6x=0;   х(х+6)=0, x1=0, x2=-6.

Ответ: -6; 0; 6.


12.Решите уравнение:

а) х2-3|x|+2=0;    б) х2-2|x|+1=0.   

Решение:
а) х2-3|x|+2=0.
х≥0: х2-3x+2=0;   D=9-8=1, x1=2, x2=1.
x<0:  х2+3x+2=0;   D=9-8=1, x1=-2, x2=-1.
Ответ: -2; -1; 1; 2.


13. Решите уравнение:

а) |x-2|+|x-4|=5;     б) |x-1|-|x-4|=6.

Решение:
а) |x-2|+|x-4|=5.
x≤2: -(x-2)-(x-4)=5, -x+2-x+4=5, x=0,5.
2<x≤4: x+2-(x-4)=5, x-2-x+4=5, 2=5 — нет решений.
x>4: x-2+x-4=5, 2x=11, x=5,5.

Ответ: 0,5; 5,5.


14.Решите уравнение:

а) |3- |4- |x|||=5;   б) 8-|2 -|x|||=3. 

Решение:
а) |3- |4- |x|||=5;
3- |4- |x||=5               или          3- |4- |x||=-5;
|4-|x||=-2 — нет решений            |4-|x||=8
                                                    4-|x|=8 или 4-|x|=-8
                                                    |x|=-4 — нет решений   |x|=12
                                                                                         х=12 или х=-12.
Ответ: -12; 12.



15. Решите уравнение:

Решение:
а) 
3x-7≥0: х2-3x+10=0;   D=9-40=-31<0 — нет корней.

3x-7<0: х2-3x-10=0;   D=9+40=49, x1=5, x2=-2.
3x-7≠0, x≠7/3.
Ответ: -2; 5.


ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Какие из чисел -4; -1;  2;  1,5; 2,5 являются корнями уравнения:

а) |3x-1|=5;    б) |4-2x|=1?

2. Решите уравнение:

а) |3x|=21;    б) |2x|=-12.

3.  Решите уравнение:

а) |2x-5|=1;    б) |3x+6|=18.

4.  Решите уравнение:

5.  Решите уравнение:

6.  Решите уравнение:

7.  Решите уравнение:

8.  Решите уравнение:

9. Решите уравнение:

а) 3(x-1) = |2x-1|;   б) |5-2x|=|x+4|.

10. Решите уравнение:

а) |х2+x|=12;    б) |х2-3x|=10.


Проверь себя


Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

В задании №5 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Квадратные уравнения

Арифметический квадратный корень

Корни и степени

Показательная функция

Показательные уравнения

Логарифмическая функция

Логарифмические уравнения

Тригонометрический круг

Формулы приведения

Формулы тригонометрии

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь умножается на А в правой части — смешанное число Его целая часть равна 19, а дробная часть равна Запишем это число в виде неправильной дроби:

Получим:

или

Выбираем меньший корень.

Ответ: — 6,5.

2. Решите уравнение

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

Ответ: — 6

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как и приведем дроби к общему знаменателю:

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Решим пропорцию:

Условие  при этом выполняется.

Ответ: 87.

5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

Мы получили, что . Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: Находят его корни: или Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 9.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение

Вспомним, что Уравнение приобретает вид: Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

откуда

8. Решите уравнение

Представим как

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

Ответ: 7,5.

9. Решите уравнение

Представим в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что

Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел;

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

Область допустимых значений: . Значит, 

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом 

Ответ: 21.

11. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Ответ: -4.

12. Решите уравнение:

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 19.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Получим систему:

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: и

Очевидно, корень является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения:

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену Получим:

Получаем решения: Вернемся к переменной x.

Поделим обе части уравнения на и умножим на 4.

Первой серии принадлежат решения

Вторая серия включает решения

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это

Ответ: -2.

15. Решите уравнение В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение:

Сделаем замену Получим: Решения этого уравнения:

Вернемся к переменной х:

Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

Наименьший положительный корень

Ответ: 2

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №5 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!

Урок 12. решение алгебраических уравнений разложением на множители — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №12. Решение алгебраических уравнений разложением на множители.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) типы алгебраических уравнений;

2) решение алгебраические уравнения методом разложения на множители;

3) методы решения алгебраических уравнений.

Глоссарий по теме

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x1, x2, …, xn)=0, где P — многочлен от переменных x1, x2, …, xn, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x1, x2, …, xn)=0 называется алгебраическим уравнение над множеством F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Значения переменных x1, x2, …, xn, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Биквадратными называются уравнения вида ах4 + bх2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида: ax3 + bx2 + bx + a = 0, где a, b –  заданные числа.

Уравнение вида anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. an-1=ak, при k=0, 1, …, n.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним, что такое алгебраическое уравнение?

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x1, x2, …, xn)=0, где P — многочлен от переменных x1, x2, …, xn, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля F, и тогда уравнение P(x1, x2, …, xn)=0 называется алгебраическим уравнение над полем F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Например, уравнение

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения. Значения переменных x1, x2, …, xn, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

  1. Алгебраические уравнения, решаемые разложением на множители:

Пример 1.

x3 – 3x – 2 = 0.

Решение: I способ

D(–2) : ,

Можно догадаться, что число х1 = –1 является корнем этого уравнения, так как –1 + 3 – 2 = 0.

(х + 1)( х2 –х–2) = 0;

х + 1 = 0 или х2 –х–2 = 0;

х1 = –1 х2,3 = ;

х2,3 = ;

х2 = –1, х3 = 2

Ответ: –1; 2.

II способ

x3 + х2 – х2 – х – 2x – 2 = 0;

(x3 + х2) – (х2 + х) – 2(x + 1) = 0;

х2(х + 1) – х(х + 1) – 2(х + 1) = 0;

(х + 1) (х2 –х–2) = 0;

(х + 1) (х + 1) (х –2) = 0;

(х –2) = 0;

х1 = –1, х2 = 2

Ответ: –1; 2.

  1. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
    1. Биквадратные уравнения

На прошлом уроке мы познакомились с данным видом уравнений

Определение. Биквадратными называются уравнения вида ах4 + bх2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Метод решения

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки у=х2.

Новое квадратное уравнение относительно переменной у: ay2+by+c=0.

Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения

y1 и y2.

Решая эти два уравнения (y1=x12 и y2=x12) относительно переменной x, мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

Порядок действий при решении биквадратных уравнений

  1. Ввести новую переменную у=х2
  2. Подставить данную переменную в исходное уравнение
  3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
  4. После нахождения корней (y1; y2) подставить их в нашу переменную у=х2 и найти исходные корни биквадратного уравнения

Пример 2.

х4 – 8х2 – 9 = 0.

Решение: Пусть у = х2, где у 0; у2 – 8у – 9 = 0;

По формулам Виета:

у1 = –1; у2 = 9;

Первое решение отбрасываем ( у 0),

а из второго находим х1 = –3; х2 = 3.

Ответ: х1 = –3; х2 = 3.

2 Симметрические уравнения

Решение симметрических уравнений рассмотрим на примере симметрических уравнений третьей степени.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида ax3 + bx2 + bx + a = 0, где ab –  заданные числа.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрических уравнений:

10.  У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е.

(х + 1)(ах2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому, 
х + 1 = 0 или ах2 + (b – а)x + а = 0,

первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

20.  У симметрического уравнения корней, равных нулю, нет.

30. При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом.

Пример 3.

х3 + 2x2 + 2х + 1 = 0.

Решение: У исходного уравнения обязательно есть корень х = –1.

Разлагая далее левую часть на множители, получим

(х + 1)(x2 + х + 1) = 0.

Квадратное уравнение

x2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

Ответ: –1.

2 Возвратные уравнения

Уравнение вида anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. an-1=ak, при k=0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b и c — некоторые числа, причём a ≠ 0. Оно является частным случаем уравнения ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0 при k = 1.

Порядок действий при решении возвратных уравнений вида ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0:

  • разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения;
  • группировкой привести полученное уравнение к виду 
  • ввести новую переменную , тогда выполнено
    , то есть ; 

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at2 +bt+c–2a=0;

  • решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Пример 4

2x4 – 3x3 – 7x2 –15x + 50 = 0.

Решение: Разделим на x2, получим:

Введем замену:
Пусть

тогда 2t2 – 3t – 27 = 0

t=-3

x2+3x+5=0

D<0

2×2-9x+10=0

x=2; x=2,5

Ответ: .

Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения) / math5school.ru

 

 

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями

такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому

уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма.

Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в

целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

xn + yn = zn

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых

числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы

решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

  • способ перебора вариантов;

  • применение алгоритма Евклида;

  • представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

  • разложения на множители;

  • решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

  • метод остатков;

  • метод бесконечного спуска.

 

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x2 – xy – 2y2 = 7.

Решение

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

 

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

б) 5х + 7у = 19;

в) 201х – 1999у = 12.

Решение

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в

целых числах.

Ответ: решений нет.

 

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

x0 = 1, y0 = 2.

Тогда

5x0 + 7y0 = 19,

откуда

5(х – x0) + 7(у – y0) = 0,

5(х – x0) = –7(у – y0).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x0 = 7k, у – y0 = –5k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

 

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x0 = 1273·12 = 15276, y0 = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

 

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x3 + y3 = 3333333;

б) x3 + y3 = 4(x2y + xy2 + 1).

Решение

а) Так как x3 и y3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x3 + y3

может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

 

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y)3 = 7(x2y + xy2) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7

дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

 

4. Решить

а) в простых числах уравнение х2 – 7х – 144 = у2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x2 – xy + y2.

Решение

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

2 х 16, 2 у 16.

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

 

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x2 – (y + 1)x + y2 – y = 0. 

Дискриминант этого уравнения равен –3y2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из

исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

 

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x2 + y2 + z2 = x3 +

y3 + z3 ?

Решение

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y3 и z3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь

вид

x2 + 2y2 = x3

или, иначе,

x2(x–1) = 2y2.

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно

много, а именно, это все числа вида 2n2+1. Подставляя в x2(x–1) = 2y2 такое число, после несложных преобразований

получаем:

y = xn = n(2n2+1) = 2n3+n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n2+1; 2n3+n; –2n3– n).

Ответ: существует.

 

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x2 + y2 + z2 + u2 = 2xyzu.

Решение

Число x2 + y2 + z2 + u2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x2 + y2 + z2 + u2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится

на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x2 + y2 + z2 + u2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 –

опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1, u = 2u1,

и исходное уравнение примет вид

x12 + y12 + z12 + u12 =

8x1y1z1u1.

Теперь заметим, что (2k + 1)2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x1, y1,

z1, u1 нечётны, то x12 + y12 + z12 +

u12 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x12 + y12 +

z12 + u12 не делится даже на 4. Значит,

x1 = 2x2, y1 = 2y2, z1 = 2z2, u1 =

2u2,

и мы получаем уравнение

x22 + y22 + z22 + u22 =

32x2y2z2u2.

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

Ответ: (0; 0; 0; 0).

 

7. Докажите, что уравнение

(х – у)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 30

не имеет решений в целых числах.

Решение

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

abc = 10.

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5,

либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в

целых числах.

 

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у2.

Решение

Очевидно, что

если х = 1, то у2 = 1,

если х = 3, то у2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

х1 = 1, у1 = 1;

х2 = 1, у2 = –1;

х3 = 3, у3 = 3;

х4 = 3, у4 = –3.

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

 

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a3 – b3 – c3 = 3abc,  a2 = 2(b + c).

Решение

Так как

3abc > 0, то a3 > b3 + c3;

таким образом имеем

b

Складывая эти неравенства, получим, что

b + c

С учётом последнего неравенства, из второго уравнения системы получаем, что

a2

Но второе уравнение системы также показывает, что а – чётное число. Таким образом, а = 2, b = c = 1.

Ответ: (2; 1; 1)

 

10. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х2 + х = у4 + у3 + у2 + у.

Решение

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у2 + 1),

или

х(х + 1) = (у2 + у)(у2 + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому,

приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

х1 = 0, у1 = 0;

х2 = 0, у2 = –1;

х3 = –1, у3 = 0;

х4 = –1, у4 = –1.

Произведение (у2 + у)(у2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля,

только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х5 = 5, х6 = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих

исходному уравнению:

х5 = 5, у5 = 2;

х6 = –6, у6 = 2.

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

 

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

а) ху = х + у + 3;

б) х2 + у2 = х + у + 2.

 

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х3 + 21у2 + 5 = 0;

б) 15х2 – 7у2 = 9.

 

3. Решить в натуральных числах уравнение:

а) 2х + 1 = у2;

б) 3·2х + 1 = у2.

 

4. Доказать, что уравнение х3 + 3у3 + 9z3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

x = y = z = 0.

 

5. Доказать, что уравнение х2 + 5 = у3 в целых числах не имеет решений.

 

11.3.2. Решение простейших показательных уравнений.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 2 мин. Просмотров 724 Опубликовано

Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными уравнениями.

Простейшие показательные уравнения — это уравнения вида: ax=ay. Отсюда следует равенство: х=у. В самом деле, степени с одинаковыми основаниями могут быть равными только в том случае, если равны показатели этих степеней.

Примеры.

Решить уравнение:

1) 5x=125.  Представим число 125 в виде степени числа 5:

5x=53; Степени равны, их основания равны, значит, и показатели степеней будут равны:

x=3.

2) 4x=32. Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 2:

(22)x=25; используем формулу возведения степени в степень: (ax)y=axy  

22x=25;

2x=5  |:2

x=2,5.

 3) 32x-1=81. Число 81 представим в виде степени числа 3:

32x-1=34;  приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями:

2x-1=4;  решаем простейшее линейное уравнение:

2x=4+1;

2x=5  |:2;

x=2,5.

 

К правой части применяем формулу: (a/b)-x=(b/a)x. Получим равенство степеней с одинаковыми основаниями.

Приравниваем показатели степеней и находим х из полученного линейного уравнения.

 

 

 

 

 

Приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями.

Переносим степень из правой части уравнения в левую.

Вынесли общий множитель (2х-6) за скобки. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие при этом значении не теряют смысла. Содержимое каждой из скобок приравниваем к нулю и решаем простейшие уравнения.

 

6) 7∙5x-5x+1=2∙53.

Показатели степеней складываются, если степени перемножаются ( ax∙ay=ax+y ), поэтому:

7∙5x-5x∙51=2∙53;

5x(7-5)=2∙53;  вынесли общий множитель за скобки.

5x∙2=2∙53     |:2

5x=53;  отсюда следует:

x=3.

7) 3x+2+4∙3x+1=21.  Применим формулу: ax+y=ax∙ay  (При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают):

3x∙32+4∙3x∙31=21; вынесем общий множитель за скобки:

3x(9+12)=21;

3x∙21=21  |:21

3x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени с любым основанием.

3x=30;

x=0.

51+2x+52x+3=650.  Решаем аналогично.

51∙52x+52x∙53=650;

52x(5+125)=650;

52x∙130=650   |:130

52x=5; приравняем показатели равных степеней с основаниями 5.

2x=1  |:2

x=0,5.

«Ваше решение повлияет на всё российское бизнес-сообщество». Майкл Калви в последнем слове заявил о невиновности — своей и коллег — Бизнес — Новости Санкт-Петербурга

Мещанский районный суд Москвы 19 июля заслушал последнее слово основателя инвестиционного фонда Baring Vostok Майкла Калви. Он заявил о невиновности всех фигурантов дела о растрате в банке «Восточный» и о влиянии приговора на всё бизнес-сообщество.

«Ваша честь, я невиновен, и все мои коллеги тоже невиновны. У вас есть бесспорные доказательства нашей невиновности. Ваше решение повлияет не только на меня и моих коллег, но и на все российское бизнес-сообщество», — цитирует Калви РБК.

Он отметил, что его и других фигурантов дела обвиняют в преступлении, «которого никогда не было, за которое никто из обвиняемых не получил никакой выгоды и за которое никто не понёс никакого ущерба», нет ни одного доказательства, подтверждающего выдвинутые обвинения. Также в деле «нет ни одного свидетеля, который подтвердил наличие в наших действиях состава преступления», — сказал Калви со ссылкой на заявление представителей прокуратуры.

По словам бизнесмена, решение суда «станет символом независимости и справедливости российского правосудия». Отклонение обвинений стало бы «огромным позитивным сигналом о независимости судов и защите прав инвесторов», считает Калви. В его представлении такой исход дела может «привести к миллиардам долларов новых инвестиций в Россию и к тысячам новых рабочих мест».

Пресс-секретарь президента РФ Дмитрий Песков не согласился с тем, что решение по делу Калви может глобально повлиять на российское бизнес-сообщество. «Отдельно взятое дело не может иметь глобального [влияния], — цитирует его ТАСС. — Вы знаете, что главное — это те системные меры, которые принимаются для повышения инвестиционной привлекательности страны и обеспечения этой привлекательности. Это гораздо более важный процесс».

Прокуратура ранее запросила для Калви шесть лет условно. Приговор огласят 2 августа.

Решите уравнение x2 = 5.

Каков pH раствора, в котором H + составляет 0,0110 M & gt;

Пол может установить деревянный пол площадью 300 квадратных футов за 18 часов. Мэтт может установить такой же пол за 22 часа. Сколько времени потребуется Полу и Мэтту, чтобы в

работать вместе?
4 часа
9,9 часов
13,2 часов
30 часов

найти сумму 35 + 369 + 37 + 38 … + 125 + 126

Постройте график линейного уравнения, найдя
2 = 4х + у

Входной билет на карнавал стоит 89 долларов.97, включая королевскую трапезу
это стоит 10,85 долларов, 1 игровая приставка и 3 водные аттракционы (каждая

е
стоит по той же цене). Стоимость водной прогулки вдвое выше, чем стоимость спектакля.
станция игры. Узнайте стоимость водной прогулки. Оценка с точностью до десятых.

Было обнаружено, что толщина 81 случайно выбранных алюминиевых листов имеет отклонение 3,23. Постройте 98% доверительный интервал для популяции

n разница толщины всех алюминиевых листов на этом заводе.Округлите ответы до двух знаков после запятой

Рассмотрим набор данных, в котором среднее значение выборки составляет 26,826,8, а стандартное отклонение выборки — 7,97,9. Вычислите z-оценку, учитывая, что x.

Популяция аспирантов крупного университета изучается с помощью выборочного обследования. Исследователь пытался оценить

e означает задолженность студентов через студенческие ссуды и долю всех студентов, имеющих студенческую ссуду. Случайная выборка из 350 студентов была отобрана из различных школ университета.Результаты выборки показали, что 30% имели студенческий заем, а средний долг составлял 18 450 долларов. Какие из следующих утверждений является верным?
A. Результат, 30%, представляет собой статистику, а средний долг, 18 450 долларов США, является значением параметра.
Б. Средний долг всех студентов является параметром, а 30% владельцев студенческих ссуд — это значение параметра.
C. Средний долг всех студентов, доля держателей ссуды, а также значения 30% и 18 450 долларов — все это примеры параметров.
D. Средний долг всех студентов и доля держателей студенческих ссуд являются параметрами, но значения 30% и 18 450 долларов являются статистическими.{2} = 9 \).

Член с квадратным множителем изолирован, поэтому мы начинаем с применения свойства квадратного корня.

На этом этапе разделите «плюс или минус» на два уравнения и решите каждое отдельно.

Решения: \ (- 2 \) и \ (- 8 \).

В дополнение к меньшему количеству шагов этот метод позволяет нам решать уравнения, которые не учитывают множители.

Завершение квадрата

В этом разделе мы разработаем метод для переписывания любого квадратного уравнения вида

\ (a x ^ {2} + b x + c = 0 \)

как уравнение вида

Этот процесс называется , завершение квадрата 4 .{2} = \ color {Cerulean} {1} \)

Чтобы завершить квадрат, добавьте \ (1 \) к обеим сторонам, завершите квадрат и затем решите, извлекая корни.

На этом этапе разделите «плюс или минус» на два уравнения и решите каждое отдельно.

Ответ :

Решения: \ (- 8 \) и \ (6 \).

Примечание

В предыдущем примере решения — целые числа. Если это так, то будет учитываться исходное уравнение.

Если уравнение множится, мы можем решить его путем факторизации.{2} — 10 х + 26 = 0 \).

Решение

Начните с вычитания \ (26 \) из обеих частей уравнения.

Здесь \ (b = -10 \), и мы определяем значение, завершающее квадрат, следующим образом:

Чтобы получить квадрат, добавьте \ (25 \) к обеим сторонам уравнения.

Разложите на множители, а затем решите, извлекая корни.

Ответ :

Решения: \ (5 \ pm i \).

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Решите, завершив квадрат: \ (x ^ {2} — 2 x — 17 = 0 \). {2} + 18 \), где \ (t \) представляет время через секунды после падения объекта.{2} + 50 \), где \ (t \) представляет время в секундах после падения объекта. Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю? (Округлите до ближайшей сотой доли секунды.)

  • Какова высота лестницы длиной \ (22 \) футов, если ее основание находится в \ (6 \) футах от здания, на которое она опирается? Округлите до ближайшей десятой доли фута.
  • Высота треугольника равна \ (\ frac {1} {2} \) длине его основания. Если площадь треугольника составляет \ (72 \) квадратных метров, найдите точную длину основания треугольника.
  • Ответ

    1. \ (\ pm 9 \)

    3. \ (\ pm \ frac {1} {3} \)

    5. \ (\ pm 2 \ sqrt {3} \)

    7. \ (\ pm \ frac {3} {4} \)

    9. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {2}} {2} \)

    11. \ (\ pm 2 \ sqrt {10} \)

    13. \ (\ pm i \)

    15. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {5}} {5} \)

    17. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {2}} {4} i \)

    19.\ (\ pm 2 i \)

    21. \ (\ pm \ frac {2} {3} \)

    23. \ (\ pm 2 \ sqrt {2} \)

    25. \ (\ pm 2 i \ sqrt {2} \)

    27. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {10}} {5} \)

    29. \ (- 9, -5 \)

    31. \ (5 \ pm 2 \ sqrt {5} \)

    33. \ (- \ frac {2} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {6}} {3} i \)

    35. \ (\ frac {- 2 \ pm 3 \ sqrt {3}} {6} \)

    37. \ (\ frac {1} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {6}} {6} i \)

    39.{2} = 3 (3 т + 1) \)

  • \ ((3 t + 2) (t-4) — (t-8) = 1-10 t \)
  • Ответ

    1. \ (- 15 \ pm \ sqrt {10} \)

    3. 1 \ (\ pm 2 \ sqrt {2} \)

    5. 1 \ (\ pm i \ sqrt {3} \)

    7. \ (- 15,5 \)

    9. \ (- \ frac {1} {3}, 1 \)

    11. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {5}} {2} \)

    13. \ (\ frac {-3 \ pm \ sqrt {17}} {2} \)

    15. \ (- \ frac {3} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {11}} {2} i \)

    17.\ (\ frac {7 \ pm 3 \ sqrt {3}} {2} \)

    19. \ (\ frac {1 \ pm \ sqrt {17}} {4} \)

    21. \ (\ frac {2 \ pm \ sqrt {5}} {2} \)

    23. \ (\ frac {-3 \ pm \ sqrt {6}} {3} \)

    25. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {10}} {3} \)

    27. \ (\ frac {3 \ pm 2 \ sqrt {6}} {2} \)

    29. 1 \ (\ pm 2 i \)

    31. \ (\ frac {1 \ pm \ sqrt {17}} {4} \)

    33. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {7}} {3} \)

    35. 2 \ (\ pm 2 \ sqrt {5} \)

    37.{2} -6 (6 x + 1) = 0 \)

    Ответ

    1. \ (0.19,1.31 \)

    3. \ (- 0,45,1,12 \)

    5. \ (0,33,0,67 \)

    Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

    1. Создайте собственное уравнение, которое можно решить, извлекая корни. Поделитесь им и решением на доске обсуждений.
    2. Объясните, почему метод извлечения корней значительно расширяет наши возможности решать квадратные уравнения.{2} = q \).

      Решение уравнения абсолютных значений

      Далее мы узнаем, как решить уравнение абсолютного значения . Чтобы решить такое уравнение, как [latex] | 2x — 6 | = 8 [/ latex], мы замечаем, что абсолютное значение будет равно 8, если количество внутри столбцов абсолютного значения равно [latex] 8 [/ latex] или [латекс] -8 [/ латекс]. Это приводит к двум различным уравнениям, которые мы можем решить независимо.

      [латекс] \ begin {array} {lll} 2x — 6 = 8 \ hfill & \ text {или} \ hfill & 2x — 6 = -8 \ hfill \\ 2x = 14 \ hfill & \ hfill & 2x = — 2 \ hfill \\ x = 7 \ hfill & \ hfill & x = -1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

      Полезно знать, как решать проблемы, связанные с функциями абсолютного значения.Например, нам может потребоваться определить числа или точки на линии, которые находятся на заданном расстоянии от заданной контрольной точки.

      Общее примечание: уравнения абсолютных значений

      Абсолютное значение x записывается как [latex] | x | [/ latex]. Он имеет следующие свойства:

      [латекс] \ begin {array} {l} \ text {If} x \ ge 0, \ text {then} | x | = x. \ Hfill \\ \ text {If} x <0, \ text {тогда } | x | = -x. \ hfill \ end {array} [/ latex]

      Для действительных чисел [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс], уравнение вида [латекс] | A | = B [/ латекс] с [латексом] B \ ge 0 [/ latex], будут решения, когда [latex] A = B [/ latex] или [latex] A = -B [/ latex].Если [latex] B <0 [/ latex], уравнение [latex] | A | = B [/ latex] не имеет решения.

      Уравнение абсолютного значения в форме [latex] | ax + b | = c [/ latex] имеет следующие свойства:

      [латекс] \ begin {array} {l} \ text {If} c <0, | ax + b | = c \ text {не имеет решения}. \ Hfill \\ \ text {If} c = 0, | ax + b | = c \ text {имеет одно решение}. \ hfill \\ \ text {If} c> 0, | ax + b | = c \ text {имеет два решения}. \ hfill \ end {array} [ / латекс]

      Как: решить уравнение абсолютного значения.

      1. Изолировать выражение абсолютного значения по одну сторону от знака равенства.
      2. Если [latex] c> 0 [/ latex], запишите и решите два уравнения: [latex] ax + b = c [/ latex] и [latex] ax + b = -c [/ latex].

      Пример 8: Решение уравнений абсолютных значений

      Решите следующие уравнения абсолютных значений:

      а. [латекс] | 6x + 4 | = 8 [/ латекс]
      б. [латекс] | 3x + 4 | = -9 [/ латекс]
      c. [латекс] | 3x — 5 | -4 = 6 [/ латекс]
      г. [латекс] | -5x + 10 | = 0 [/ латекс]

      Решение

      а. [латекс] | 6x + 4 | = 8 [/ латекс]

      Напишите два уравнения и решите каждое:

      [латекс] \ begin {array} {ll} 6x + 4 \ hfill & = 8 \ hfill & 6x + 4 \ hfill & = — 8 \ hfill \\ 6x \ hfill & = 4 \ hfill & 6x \ hfill & = — 12 \ hfill \\ x \ hfill & = \ frac {2} {3} \ hfill & x \ hfill & = — 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

      Два решения: [латекс] x = \ frac {2} {3} [/ latex], [latex] x = -2 [/ latex].

      г. [латекс] | 3x + 4 | = -9 [/ латекс]

      Нет решения, так как абсолютное значение не может быть отрицательным.

      г. [латекс] | 3x — 5 | -4 = 6 [/ латекс]

      Выделите выражение абсолютного значения и запишите два уравнения.

      [латекс] \ begin {array} {lll} \ hfill & | 3x — 5 | -4 = 6 \ hfill & \ hfill \\ \ hfill & | 3x — 5 | = 10 \ hfill & \ hfill \\ \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ 3x — 5 = 10 \ hfill & \ hfill & 3x — 5 = -10 \ hfill \\ 3x = 15 \ hfill & \ hfill & 3x = -5 \ hfill \\ x = 5 \ hfill & \ hfill & x = — \ frac {5} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

      Есть два решения: [латекс] x = 5 [/ latex], [latex] x = — \ frac {5} {3} [/ latex].

      г. [латекс] | -5x + 10 | = 0 [/ латекс]

      Уравнение устанавливается равным нулю, поэтому нам нужно написать только одно уравнение.

      [латекс] \ begin {array} {l} -5x + 10 \ hfill & = 0 \ hfill \\ -5x \ hfill & = — 10 \ hfill \\ x \ hfill & = 2 \ hfill \ end {array} [/ latex ]

      Есть одно решение: [латекс] х = 2 [/ латекс].

      Попробовать 7

      Решите уравнение абсолютного значения: [latex] | 1 — 4x | + 8 = 13 [/ latex].

      Решение

      Wolfram | Alpha Примеры: Алгебра


      Другие примеры

      Решение уравнения

      Решите уравнения с одной или несколькими переменными как символьно, так и численно.

      Решите полиномиальное уравнение:

      Решите систему линейных уравнений:

      Решите уравнение с параметрами:

      Другие примеры


      Другие примеры

      Полиномы

      Решайте, строите и находите альтернативные формы полиномиальных выражений от одной или нескольких переменных.

      Вычислить свойства многочлена от нескольких переменных:

      Другие примеры


      Другие примеры

      Рациональные функции

      Вычислить разрывы и другие свойства рациональных функций.

      Вычислить свойства рациональной функции:

      Вычислить частичное разложение дроби:

      Другие примеры


      Другие примеры

      Упрощение

      Упростите алгебраические функции и выражения.

      Другие примеры


      Другие примеры

      Матрицы

      Найдите свойства и выполните вычисления с матрицами.

      Выполните базовую арифметику с матрицами:

      Вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы:

      Другие примеры


      Другие примеры

      Кватернионы

      Выполните вычисления в кватернионной системе счисления.

      Получите информацию о кватернионе:

      Проведите расчеты с кватернионами:

      Другие примеры


      Другие примеры

      Конечные группы

      Откройте для себя свойства групп, содержащих конечное число элементов.

      Получите информацию о конечной группе:

      Спросите о собственности группы:

      Сделайте алгебру с перестановками:

      Другие примеры


      Другие примеры

      Конечные поля

      Откройте для себя свойства полей, содержащих конечное число элементов.

      Вычислить свойства конечного поля:

      Вычислить конкретное свойство:

      Другие примеры


      Другие примеры

      Домен и диапазон

      Найдите область и диапазон математических функций.

      Вычислить область определения функции:

      Вычислить диапазон функции:

      Другие примеры

      Промежуточная алгебра
      Урок 7: Линейные уравнения в одной переменной

      WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра среднего уровня

      Цели обучения


      После изучения этого руководства вы сможете:

      1. Знайте, что такое линейное уравнение.
      2. Знайте, является ли значение решением или нет.
      3. Используйте свойства сложения, вычитания, умножения и деления
        равенств для решения линейных уравнений.
      4. Знайте, когда уравнение не имеет решения.
      5. Знайте, когда в уравнении все действительные числа являются решением.

      Введение


      Здесь мы начинаем вникать в суть того, что
      алгебра о
      — решение уравнений.В этом уроке мы будем искать
      конкретно
      при линейных уравнениях и их решениях. Мы начнем медленно
      а также
      решать уравнения, использующие только одно свойство, чтобы убедиться, что у вас есть
      физическое лицо
      понятий вниз. Тогда мы наберем темп и смешаем их там, где
      вам нужно использовать несколько свойств и шагов, чтобы выполнить работу.

      Уравнения могут быть использованы для решения различных
      проблемы. Позже
      учебные пособия, мы будем использовать их для решения текстовых задач.потом
      ты
      может ответить на эти сложные математические вопросы.

      Учебник


      Уравнение

      Два выражения равны друг другу

      Линейное уравнение

      Уравнение, которое можно записать в виде
      ax + b = c
      где a, b и c — константы

      Ниже приведен пример линейного уравнения:
      3 x — 4 = 5

      Решение

      Значение, такое, что при замене переменной на
      it,
      это делает
      уравнение верно.

      (левая сторона выходит равной правой)

      Набор решений

      Набор всех решений

      Пример
      1
      : Определите, являются ли какие-либо из следующих значений для x
      решения
      к данному уравнению.
      3 х — 4
      знак равно
      5; x = 3, 5.

      Проверка 3
      3 x — 4 = 5
      3 (3) — 4 = 5
      9–4 = 5
      5 = 5
      Истинно 3
      это решение

      Проверка 5
      3 x — 4 = 5
      3 (5) — 4 = 5
      15–4 = 5
      11 = 5
      Ложь 5
      не решение

      Решение линейного уравнения
      в целом

      Получите переменную, которую вы решаете, в одиночку с одной стороны
      и все
      else на другой стороне, используя ОБРАТНЫЕ операции.

      Следующее даст нам инструменты, которые нам нужны для
      решать линейные уравнения.

      Сложение и вычитание
      Свойства равенства

      Если a = b, то a + c = b + c

      Если a = b, то a — c = b — c

      Другими словами, если два выражения равны каждому
      другой и ты
      прибавлять или вычитать одно и то же к обеим сторонам, обе стороны будут
      оставаться равными.

      Обратите внимание, что сложение и вычитание являются обратными
      операции каждого
      Другие. Например, если у вас есть добавляемый номер,
      вам нужно перейти к другой стороне уравнения, тогда вы бы
      вычесть
      это с обеих сторон этого уравнения.

      Пример
      2
      : Найдите переменную. x — 5 = 2.

      x — 5 = 2
      x — 5 + 5 = 2 + 5
      x = 7

      * Обратное от sub. 5 — доп.
      5

      Обратите внимание, что если вы вернете 7 для x дюймов
      исходной проблемы вы увидите, что 7 — это решение нашей
      проблема.

      Пример
      3
      : Найдите переменную. y + 4 = -7.

      y + 4 = -7
      y + 4-4 = -7-4
      y = -11

      * Инверсия доп.4 является суб. 4

      Обратите внимание, что если вы вернете -11 для y в исходной задаче, вы увидите, что -11 — это решение, которое мы
      находятся
      ищу
      .

      Умножение и деление
      Свойства равенства

      Если a = b, то a (c) = b (c)

      Если a = b, то a / c = b / c, где c —
      не равно 0.

      Другими словами, , если два выражения равны
      друг друга и ты
      умножить или разделить (кроме 0) одну и ту же константу на оба
      стороны,
      обе стороны останутся равными.

      Обратите внимание, что умножение и деление являются обратными
      операции каждого
      Другие.Например, если у вас есть число, которое умножается
      что вам нужно перейти к другой стороне уравнения, тогда вы бы
      разделите его с обеих сторон этого уравнения.

      Обратите внимание, что для умножения и деления это не
      гарантировал, что если
      вы умножаете на переменную, которую вы решаете, чтобы две стороны
      будет равным. Но гарантировано, что обе стороны пойдут
      быть равным, если вы умножаете или делите на константу или другое
      переменная, для которой вы не решаете.Мы поговорим подробнее о
      это
      в более позднем руководстве. Для этого урока просто обратите внимание, что вы можете использовать это
      свойство с константами и переменными, для которых вы не ищите.

      Пример
      4
      : Найдите переменную. х /2
      = 5.

      * Обратно дел.на 2 это
      мульт. по 2

      Если вы вернете 10 для x дюймов
      оригинал
      проблема, вы увидите, что 10 — это решение, которое мы ищем.

      Пример
      5
      : Найдите переменную.5 x = 7.

      * Инверсная по отношению к мульт. на 5 дел.
      по 5

      Если вы вставите 7/5 обратно для x в оригинале
      проблема, вы увидите, что 7/5 — это решение, которое мы ищем.

      В приведенных выше примерах использовались
      только одно свойство
      за раз, чтобы помочь вам понять различные свойства, которые мы используем
      к
      решать уравнения.Однако в большинстве случаев нам приходится использовать несколько
      характеристики
      чтобы выполнить свою работу. Ниже приводится стратегия, которую вы можете использовать.
      чтобы помочь вам решить более сложные линейные уравнения.

      Стратегия решения линейного
      Уравнение

      Обратите внимание, что ваш учитель или
      книга ты
      Возможно, using сформулировал эти шаги немного иначе, чем я, но
      Это
      все сводится к одной и той же концепции — включите свою переменную
      один
      сторона и все остальное с другой, используя обратные операции.

      Шаг 1. При необходимости упростите каждую сторону.

      Это может включать в себя такие вещи, как удаление (),
      удаление дробей, добавление
      как термины и т. д.

      Чтобы удалить (): Просто используйте дистрибутив
      свойство, найденное в Уроке 5: Свойства действительных чисел.

      Для удаления дробей : Поскольку дроби
      другой способ написать
      деление, а обратное деление — умножение, вы удаляете
      фракции
      умножив обе части на ЖК-дисплей всех ваших дробей.

      Шаг 2: Используйте Добавить./ Sub. Свойства для
      переместить переменную
      срок в одну сторону и все остальные условия в другую сторону.

      Шаг 3: Используйте Mult./Div. Свойства для
      удалить любые значения
      которые находятся перед переменной.

      Шаг 4. Проверьте свой ответ.

      Я считаю, что это самый быстрый и
      Самый простой способ
      приблизиться к линейным уравнениям.

      Пример
      6
      : Найдите переменную. 10 — 3 x = 7.

      * Инверсия доп. 10 является суб. 10

      * инверсия мульт.на -3 — это div.
      по -3

      Будьте осторожны, начиная со строки 4
      к строке 5.
      Да, есть отрицательный знак. Но операция между -3 и x — это умножение, а не вычитание.
      Итак, если бы вы
      Добавлять
      3 в обе стороны, вы бы получили -3 x + 3 вместо желаемых x .

      Если вы вернете 1 вместо x в исходной задаче, вы
      увидим, что 1
      это решение, которое мы ищем.

      Пример
      7
      : Найдите переменную. 2 ( x + 5) — 7 = 3 ( x — 2).

      * Удалить () с помощью dist.опора

      * Получить все условия x
      с одной стороны

      * Инверсия доп. 3 является суб. 3

      * инверсия мульт. на -1 — это div.
      по -1

      Если вы вернете 9 вместо x в исходной задаче, вы
      увидим, что 9 — это решение, которое мы ищем.

      Пример
      8
      : Найдите переменную:.

      * Чтобы избавиться от
      дроби,

      мульт. с обеих сторон ЖК-дисплеем 4

      * Получить все термины x на одной стороне

      * Инверсия доп.2 является суб. 2

      * инверсия мульт. на -3 — это div.
      по -3

      Если вы вернете 4/3 вместо x в исходной задаче
      вы увидите, что 4/3
      это решение, которое мы ищем.

      Противоречие

      Противоречие — это уравнение с одной переменной, которая
      не имеет решения.

      Пример
      9
      : Найдите переменную. 4 x — 1 = 4 ( x + 3).

      * Удалить () с помощью dist. опора

      * Получить все термины x на одной стороне

      Куда делась наша переменная, x, ???
      Он исчез на нас.Также обратите внимание, как мы получили ЛОЖЬ
      утверждение,
      -1 не равно 12. Это не означает, что x = 12 или x = -1.

      Когда ваша переменная падает
      из И вы закончите
      с ложным утверждением, то после всей вашей тяжелой работы есть
      НЕТ
      РЕШЕНИЕ.

      Итак, ответ — нет решения.

      Личность

      Тождество — это уравнение с одной переменной
      который имеет
      все действительные числа как
      решение.

      Пример
      10
      : Найдите переменную. 5 x + 10 = 5 ( x + 2).

      * Удалить () с помощью dist. опора

      * Получить все термины x на одной стороне

      На этот раз, когда наша переменная
      выпал, мы
      закончил с ИСТИННЫМ заявлением.Когда бы это ни случилось, твой ответ
      ВСЕ РЕАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

      Итак, ответ — все действительные числа .

      Практические задачи


      Это практические задачи, которые помогут вам
      следующий уровень.
      Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы
      эти
      типы проблем. Math работает так же, как
      что-нибудь
      иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться
      Это.
      Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много
      практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте.

      На самом деле не бывает слишком много практики.

      Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны работать
      проблема на
      свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для
      ответ / обсуждение
      для этой проблемы
      .По ссылке вы найдете ответ
      а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

      Практика
      Задачи 1a — 1e: Решите для переменной.

      Нужна дополнительная помощь по этим темам?



      Последняя редакция 1 июля 2011 г. Ким Сьюард.
      Авторские права на все содержимое (C) 2002 — 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

      Уравнений абсолютных значений

      Уравнений абсолютных значений

      Уравнения абсолютных значений

      Выполните следующие действия, чтобы найти абсолютное значение равенства
      который содержит одно абсолютное значение:

      1. Выделите абсолютное значение на одной стороне уравнения.
      2. Число на другой стороне уравнения отрицательное?
        Если вы ответили утвердительно, то уравнение не имеет решения.Если вы ответили
        нет, переходите к шагу 3.
      3. Напишите два уравнения без абсолютных значений. Первое уравнение
        установит количество внутри столбцов, равное количеству на другом
        сторона знака равенства; второе уравнение установит количество внутри
        столбцы равны противоположному числу на другой стороне.
      4. Решите два уравнения.

      Выполните следующие действия, чтобы найти равенство абсолютного значения
      который содержит два абсолютных значения (по одному с каждой стороны уравнения):

      1. Напишите два уравнения без абсолютных значений.Первое
        уравнение установит количество внутри столбцов с левой стороны равным
        количество внутри полос с правой стороны. Второе уравнение
        установит количество внутри столбцов с левой стороны равным противоположному
        количества внутри полос с правой стороны.
      2. Решите два уравнения.

      Давайте рассмотрим несколько примеров.

      Пример 1: Решить | 2x — 1 | + 3 = 6

      Шаг 1: Изолировать
      абсолютное значение
      | 2x — 1 | + 3 = 6

      | 2x — 1 | = 3

      Шаг 2: Is
      число на другой стороне уравнения отрицательное?
      Нет, это положительное число, 3, так что продолжайте
      шаг 3
      Шаг 3: Запись
      два уравнения без столбцов абсолютного значения
      2x — 1 = 3 2х — 1 = -3
      Шаг 4: Решить
      оба уравнения
      2x — 1 = 3

      2x = 4

      х = 2

      2х — 1 = -3

      2x = -2

      х = -1

      Пример 2: Решить | 3x — 6 | — 9 = -3

      Шаг 1: Изолировать
      абсолютное значение
      | 3х — 6 | — 9 = -3

      | 3x — 6 | = 6

      Шаг 2: Is
      число на другой стороне уравнения отрицательное?
      Нет, это положительное число, 6, так что продолжайте
      шаг 3
      Шаг 3: Запись
      два уравнения без столбцов абсолютного значения
      3x — 6 = 6 3х — 6 = -6
      Шаг 4: Решить
      оба уравнения
      3x — 6 = 6

      3x = 12

      х = 4

      3х — 6 = -6

      3x = 0

      х = 0

      Пример 3: Решить | 5x + 4 | + 10 = 2

      Шаг 1: Изолировать
      абсолютное значение
      | 5x + 4 | + 10 = 2

      | 5x + 4 | = -8

      Шаг 2: Is
      число на другой стороне уравнения отрицательное?
      Да, это отрицательное число, -8.Нет решения
      к этой проблеме.

      Пример 4: Решить | x — 7 | = | 2x — 2 |

      Шаг 1: Запись
      два уравнения без столбцов абсолютного значения
      х — 7 = 2х — 2 х — 7 = — (2х — 2)
      Шаг 4: Решить
      оба уравнения
      х — 7 = 2х — 2

      -x — 7 = -2

      -x = 5

      х = -5

      х — 7 = -2x + 2

      3x — 7 = 2

      3x = 9

      х = 3

      Пример 5: Решить | x — 3 | = | x + 2 |

      Шаг 1: Запись
      два уравнения без столбцов абсолютного значения
      х — 3 = х + 2 х — 3 = — (х + 2)
      Шаг 4: Решить
      оба уравнения
      х — 3 = х + 2

      — 3 = -2

      ложное заявление

      Нет решения из этого уравнения

      х — 3 = -x — 2

      2x — 3 = -2

      2x = 1

      х = 1/2

      Итак, единственное решение этой проблемы — x = 1/2

      Пример 6: Решить | x — 3 | = | 3 — x |

      Шаг 1: Запись
      два уравнения без столбцов абсолютного значения
      х — 3 = 3 — х х — 3 = — (3 — х)
      Шаг 4: Решить
      оба уравнения
      х — 3 = 3 — х

      2x — 3 = 3

      2x = 6

      х = 3

      х — 3 = — (3 — х)

      х — 3 = -3 + х

      -3 = -3

      Все действительные числа являются решениями этого уравнения

      Поскольку 3 входит в набор действительных чисел,
      мы просто скажем, что решение этого уравнения — все действительные числа

      Математическая сцена — Уравнения III — Урок 2

      Математическая сцена — Уравнения III — Урок 2 — Квадратные уравнения

      2008 Rasmus ehf и Jhann sak Ptursson

      Уравнения III

      Урок 2 Уравнения кубической и четвертой степени


      Как мы можем решить такие уравнения, как кубическое уравнение
      показано здесь?

      x 3 — x 2 4x + 4 = 0

      Существует чрезвычайно сложная формула решения
      кубические уравнения.Некоторые калькуляторы имеют встроенную формулу и поэтому могут
      использоваться для решения кубических уравнений.

      Мы собираемся узнать, как эти уравнения могут быть решены с помощью
      факторизация. Если уравнение имеет решения, которые являются целыми числами a,
      b и c, то мы можем разложить уравнение на множители следующим образом:

      x 3 — x 2 4x + 4 = (x
      — а) (х — б) (х — в) = 0

      Умножая скобки, видим, что константа
      член 4 должен быть числом, которое мы получаем, когда мы умножаем a, b и c вместе.

      abc = 4

      Все решения a, b и c должны быть множителями 4, поэтому
      не так много целых чисел, которые нам нужно учитывать.

      У нас есть только следующие возможности:

      1, 2 и 4

      Хорошо изучите каждое из этих чисел, чтобы найти, какие из них
      являются решениями уравнения.

      f (1) = 1 3 — 1 2 4 × 1 +
      4 = 0 1 — решение

      f (-1) = (-1) 3 — (-1) 2
      4 × (-1) + 4 = 6

      f (2) = 2 3 -2 2 4 × 2 +
      4 = 0 2 — решение

      f (−2) = (−2) 3 — (−2) 2
      4 × (−2) + 4 = 0 −2 — решение

      Мы нашли три решения, поэтому нам не нужно
      попробуйте 4 и −4 как кубический
      уравнение имеет максимум три решения.

      Эти три числа дают нам значения a, b и c и
      мы можем факторизовать уравнение.

      x 3 — x 2 4x + 4 = (x
      — 1) (х — 2) (х + 2) = 0

      Этот метод включает поиск целых чисел, которые являются множителями
      (можно разделить на) постоянный член, а затем проверить, действительно ли эти
      целые числа являются решениями уравнения.
      К сожалению, мы не можем предполагать, что решения уравнения третьей степени являются
      все целые числа.
      Однако, если мы можем найти одно целочисленное решение, допустим, что это x = a, тогда
      Теорема остатка, мы знаем, что (x — a) является фактором уравнения. Мы
      можно найти другой множитель, квадратичный множитель, путем деления. Затем мы можем решить квадратное уравнение, используя
      формула решения квадратиков.

      Пример 1

      Решите уравнение x 3 — 3x 2 2x + 4 = 0

      Ставим числа, кратные 4
      в уравнение, чтобы увидеть, верны ли какие-либо из них.

      f (1) = 1 3 — 3 × 1 2
      2 × 1 + 4 = 0 1 — решение

      f (−1) = (−1) 3 — 3 × (−1) 2
      2 × (-1) + 4 = 2

      f (2) = 2 3 — 3 × 2 2
      2 × 2 + 4 = −4

      f (−2) = (−2) 3 — 3 × (−2) 2
      2 × (−2) + 4 = −12

      f (4) = 4 3 — 3 × 4 2
      2 × 4 + 4 = 12

      f (−4) = (−4) 3 — 3 × (−4) 2
      2 × (−4) + 4 = −100

      Единственное целочисленное решение — x = 1.Когда мы
      нашли одно решение, нам действительно не нужно проверять другие числа, потому что
      теперь мы можем решить уравнение, разделив на (x — 1) и попытавшись решить
      квадратичный получаем из деления.

      Теперь мы можем разложить наши
      выражение следующим образом:

      x 3 — 3x 2 2x + 4 =
      (х — 1) (х 2
      2х — 4) = 0

      Теперь нам остается решить квадратичную
      уравнение.

      x 2 — 2x — 4 = 0

      Воспользуемся формулой квадратичных с a = 1, b =
      −2 и c = −4.

      Мы нашли все три решения
      уравнение x 3 — 3x 2 2x + 4 =
      0. Это: эфтирфаранди:

      .

      х = 1

      х = 1 + 5

      x = 1 — 5

      Пример 2

      Мы можем легко использовать тот же метод для решения
      уравнение четвертой степени или уравнения еще более высокой степени.Решите уравнение f (x) = x 4 — x 3 — 5x 2 + 3x + 2 = 0.

      Сначала мы находим целые множители
      постоянный член, 2. Целочисленные множители 2 равны 1
      и 2.

      f (1) = 1 4 — 1 3 — 5 × 1 2 + 3 × 1 + 2 = 0
      1 — решение

      f (−1) = (−1) 4 — (−1) 3 — 5 × (−1) 2 + 3 × (−1) + 2 = −4

      f (2) = 2 4 — 2 3 — 5 × 2 2 + 3 × 2 + 2 = −4

      f (−2) = (−2) 4 — (−2) 3 — 5 × (−2) 2 + 3 × (−2) + 2 = 0 ср. нашли вторую
      решение.

      Два найденных нами решения 1 и −2 означают, что мы можем разделить на x —
      1 и x + 2 и остатка не будет. Сделайте это в два этапа.
      Сначала разделим на x + 2

      Теперь разделите полученное
      кубический коэффициент по x — 1.

      Теперь мы разложили на множители
      f (x) = x 4 — x 3 — 5x 2 + 3x + 2 в
      f (x) = (x + 2) (x — 1) (x 2 — 2x — 1) и только
      Осталось решить квадратное уравнение

      x 2 — 2x — 1 = 0.Мы используем
      формула с a = 1, b = −2 и c = −1.

      Всего найдено четыре решения.
      Их:

      х = 1

      х = -2

      х = 1 +

      х = 1-

      Иногда мы можем решить
      уравнение третьей степени, заключив в скобки члены два на два и найдя множитель
      что у них общего.Давайте посмотрим на это на примере.

      Пример 3.

      Решите уравнение x 3 — 2x 2 — 4x + 8 = 0

      x 3 — 2x 2 — 4x + 8 = 0

      (x 3 — 2x 2 )
      — (4x — 8) = 0

      [x 2 (x — 2) — 4 (x — 2)] = 0

      (x — 2) [x 2 — 4] = 0

      (х — 2) (х
      — 2) (х + 2) = 0

      Здесь скобка (x — 2) является общим множителем и может быть вынесена за пределы
      общая скобка.

      Обратите внимание, что скоба (x
      — 2) происходит дважды, когда мы закончили факторизацию. x = 2 — это
      поэтому двойное решение, и у нас есть только два разных. Это:

      х = 2 и х = -2 .

      Лауснир: x = 2 og x = −2 .

      Примеры, которые мы рассмотрели до сих пор, являются
      уравнения, в которых член с наибольшей степенью имеет коэффициент 1.

      Как мы
      иметь дело с уравнениями, где этот коэффициент — какое-то другое число?

      Общая форма — f (x)
      = ax 3 + bx 2 + cx + d, где a, b, c и d — целые числа.

      Мы можем искать целочисленные решения в том же
      как и раньше, проверяя множители постоянного члена d. Если мы найдем
      целочисленное решение, тогда мы можем разделить и найти другие решения, как и раньше.

      Если ни один из факторов d не дает нам решения
      затем мы ищем решения, которые являются дробями.
      Предположим, есть дробное решение, и назовем его
      решение x = t / n.

      Это означает, что x — t / n является фактором
      f (x), или, если мы умножаем на n, то xn — t является множителем.

      Теперь предположим, что мы разделили f (x) на xn.
      — t и нашли квадратичный множитель, мы можем назвать его
      Ax 2 + Bx + C.

      Теперь у нас есть результат

      ax 3 + bx 2 + cx + d = (xn
      — t) (Ax 2 + Bx + C)

      сравнивая коэффициенты х 3 на
      обе стороны уравнения мы видим, что a = nA и, следовательно, n должно быть множителем
      а.
      Аналогично, сравнивая постоянные члены, мы видим, что
      d = −tC и, следовательно, t является множителем d.

      Мы заключаем, что любая дробь является решением
      кубическое уравнение ax 3 +
      bx 2 + cx + d должен иметь вид t / n, где t — множитель числа d, а n —
      фактор числа a.

      Обобщение для функции степени n:

      ф (х)
      = a n x n + a n − 1 x n − 1 +
      × × × × + а 1 х
      + 0

      с коэффициентами a 0 ,
      a 1 , a 2 , × × × × × a n − 2 ,
      n − 1 и n .

      Если эта функция имеет рациональное решение,
      скажем, t / n, тогда t — коэффициент 0 , а n — коэффициент n .

      Пример 4

      Решите уравнение f (x) = 2x 3 — 7x 2 + 4x + 3 = 0.

      Возможные целые корни f (x) — это
      делители 3, они равны 1
      и 3.
      Дроби, которые могут быть корнями, — это эти четыре числа, разделенные на множители
      2.Итак, полный список рациональных чисел, которые нам необходимо рассмотреть: , 1, 3 / 2 и 3.

      Сразу видно, что нам не нужно
      рассмотрите любые отрицательные значения, поскольку все они будут давать отрицательные значения для f (x), а не
      0.

      Теперь попробуем другие возможности

      f () = 2 () 3 — 7 () 2 + 4 × + 3 = 3

      f (1) = 2 × 1 3 — 7 × 2 + 4 × 1 + 3 = 2

      ф ( 3 / 2 )
      = 2 ( 3 / 2 ) 3 — 7 ( 3 / 2 ) 2 + 4 × 3 / 2 + 3 = 0, поэтому мы нашли решение.

      x = 3 / 2 — решение, поэтому (x — 3 / 2 ) — фактор.
      Разделение на (x — 3 / 2 ) может быть затруднено. Поэтому мы умножаем на 2 и вместо этого делим на (2x — 3). Если (x
      3 / 2 ) является
      фактор

      , то (2x — 3).

      Теперь нам нужно решить уравнение x 2 — 2x — 1 = 0.Мы уже решили это уравнение в примере 2.
      Решения: 1 + 2 og 1 — 2.

      Итак, мы нашли три решения. Их:

      х = 3 / 2 = 1

      х = 1 + 2

      х = 1 — 2


      Попробуйте пройти тест 2 по уравнениям III.

      Не забудьте использовать контрольный список для
      следите за своей работой.

      .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.