Графики у х 2: Mathway | Популярные задачи

Содержание

Постройте график функции y х2 3х 2. Квадратичная и кубическая функции

Разделы:

Математика

Тема:
“Построение графика квадратной
функции, содержащей модуль”.
(На примере графика функции у = х 2 — 6x + 3.)

Цель.

  • Исследовать расположение графика функции на
    координатной плоскости в зависимости от модуля.
  • Развить навыки построения графика функции,
    содержащей модуль.

Ход урока.

1. Этап актуализации знаний.

а) Проверка домашнего задания.

Пример 1.

Построить график
функции у = х 2 — 6х + 3. Найти нули функции.

Решение.

2. Координаты вершины параболы: х= — b/2а = — (-6)/2=3,
у(3) = 9 – 18 + 3 = — 6, А(3; -6).

4. Нули функции: у(х) = 0, х 2 — 6х + 3 = 0, D = 36 — 4·3 =
36 – 12 = 24, D>0,

x 1,2 = (6 ± )/2
= 3 ± ; В(3 — ;0), С(3 + ;0).

График на рис.1.

Алгоритм построения графика квадратной
функции.

1. Определить направление “ветвей” параболы.

2. Вычислить координаты вершины параболы.

3. Записать уравнение оси симметрии.

4. Вычислить несколько точек.

б) Рассмотрим построение графиков линейных
функций, содержащих модуль:

1. у = |х|. График функции на рисунке 2.

2.у = |х| + 1. График функции на рисунке 3.

3. у = |х + 1|. График функции рисунке 4.

Вывод.

1. График функции у = |х| + 1 получается из графика
функции у = |х| параллельным переносом на вектор
{0;1}.

2. График функции у = |х + 1| получается из графика
функции у = |х| параллельным переносом на вектор
{-1;0}.

2.Опирационно-исполнительная часть.

Этап исследовательской работы. Работа в
группах.

Группа 1. Построить графики функций:

а) у = х 2 — 6|x| + 3,

б) у = |х 2 — 6х + 3|.

Решение.

1.Построить график функции у = х 2 -6х+3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси
Оу.

График на рисунке 5.

б) 1. Построить график функции у = х 2 — 6х + 3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси
Ох.

График функции на рисунке 6.

Вывод.

1. График функции у = f(|x|) получается из графика
функции у = f(x), отображением относительно оси Оу.

2. График функции у = |f(x)| получается из графика
функции у = f(x), отображением относительно оси Ох.

Группа 2.Построить графики функций:

а) у = |x 2 — 6|x| + 3|;

б) y = |x 2 — 6x + 3| — 3.

Решение.

1. График функции у = х 2 + 6x + 3 отображаем
относительно оси Оу, получается график функции у
= х 2 — 6|x| + 3.

2. Полученный график отображаем симметрично
относительно оси Ох.

График функции на рисунке 7.

Вывод.

График функции y = |f (|x|)| получается из графика
функции у = f(х), последовательным отображением
относительно осей координат.

1. График функции у = х 2 — 6х + 3 отображаем
относительно оси Ох.

2. Полученный график переносим на вектор {0;-3}.

График функции на рисунке 8.

Вывод.

График функции у = |f(x)| + a
получается из графика функции у = |f(x)|
параллельным переносом на вектор {0,a}.

Группа 3.Построить график функции:

а) у = |x|(х — 6) + 3; б) у = х|x — 6| + 3.

Решение.

а) у = |x| (x — 6) + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = -х 2 + 6x + 3 при х

График функции на рисунке 9.

б) у = х |х — 6| + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = — х 2 + 6х + 3 при х 6.

2. Координаты вершины параболы: х = — b/2a = 3, у(3) =1 2,
А(3;12).

3. Уравнение оси симметрии: х = 3.

4. Несколько точек: у(2) = 11, у(1) = 3; у(-1) = — 4.

Строим график функции у = х 2 — 6х + 3 при х = 7
у(7) = 10.

График на рис.10.

Вывод.

При решении данной группы
уравнений необходимо рассматривать нули
модулей, содержащихся в каждом из уравнений.
Затем строить график функции на каждом из
полученных промежутков.

(При построении графиков данных функций каждая
группа исследовала влияние модуля на вид графика
функции и сделала соответствующие заключения.)

Получили сводную таблицу для графиков функций,
содержащих модуль.

Таблица построения графиков
функций, содержащих модуль.

Группа 4.

Построить график функции:

а) у = х 2 — 5x + |x — 3|;

б) у = |x 2 — 5x| + x — 3.

Решение.

а) у = х 2 — 5х + |х — 3|, переходим к
совокупности систем:

Строим график функции у = х 2 -6х + 3 при х 3,
затем график функции у = х 2 — 4х — 3 при х > 3 по
точкам у(4) = -3, у(5) = 2, у(6) = 9.

График функции на рисунке 11.

б) у = |х 2 — 5х| + х — 3, переходим к
совокупности систем:

Строим каждый график на соответствующем
интервале.

График функции на рисунке 12.

Вывод.

Выяснили влияние модуля в каждом слагаемом на
вид графика.

Самостоятельная работа.

Построить график функции:

а) у = |х 2 — 5х + |x — 3||,

б) у= ||x 2 — 5x| + х — 3|.

Решение.

Предыдущие графики отображаем относительно
оси Ох.

Группа.5

Построить график функции: у =| х — 2| (|x| — 3) — 3.

Решение.

Рассмотрим нули двух модулей: x = 0, х – 2 = 0.
Получим интервалы постоянного знака.

Имеем совокупность систем уравнений:

Строим график на каждом из интервалов.

График на рисунке 15.

Вывод.

Два модуля в предложенных
уравнениях существенно усложнили построение
общего графика, состоящего из трех отдельных
графиков.

Учащиеся записывали выступления каждой из
групп, записывали выводы, участвовали в
самостоятельной работе.

3. Задание на дом.

Построить графики функций с различным
расположением модуля:

1. у = х 2 + 4х + 2;

2. у = — х 2 + 6х — 4.

4. Рефлексивно – оценочный этап.

1.Оценки за урок складываются из отметок:

а) за работу в группе;

б) за самостоятельную работу.

2. Какой момент был наиболее интересен на уроке?

3. Трудное ли домашнее задание?

Построить функцию

Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos
. Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.

Преимущества построения графиков онлайн
  • Визуальное отображение вводимых функций
  • Построение очень сложных графиков
  • Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
  • Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
  • Управление масштабом, цветом линий
  • Возможность построения графиков по точкам, использование констант
  • Построение одновременно нескольких графиков функций
  • Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности.2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.3 называется кубической функцией. Графиком кубической функции называется кубическая парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.  

Если график квадратичной функции был симметричен оси Оу, то график кубической параболы симметричен относительно начала координат, то есть точки (0;0).

Свойства кубической функции

Перечислим основные свойства кубической функции

  • При х =0, у=0. у>0 при х>0 и y
  • У кубической функции не существует не максимального ни минимального значения.
  • Кубическая функция возрастает на всей числовой оси (-∞;+∞).
  • Противоположным значениям х, соответствуют противоположные значения y.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Умножение одночленов и возведение одночлена в степень + примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspАбсолютная погрешность: понятие, как вычислить + примеры

2.Квадратичная функция y=x² — Функции и их графики

В уравнении квадратичной функции:

aстарший коэффициент

bвторой коэффициент

с  — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции  имеет вид:

 Точки, обозначенные зелеными кружками – это, так
называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для
функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции  при любых значениях остальных коэффициентов.

График  функции  имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

 

Обратите внимание, что график функции  симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции  — это точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции  нужно решить квадратное уравнение .

В процессе решения квадратного уравнения находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение  не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола  не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то уравнение  имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:

3.  Если ,то уравнение  имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет две точки пересечения с осью ОХ:

,  

Если ,то график функции выглядит примерно так:

Следующий важный параметр графика квадратичной функции – координаты вершины параболы:

 

Прямая, прохдящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии паработы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции – точка пересечения параболы  с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы  с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

2 х 4 график

Вы искали 2 х 4 график? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 4 x 2 функция, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «2 х 4 график».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 2 х 4 график,4 x 2 функция,x 2 4x y график,y 2 х 4,y 4x 2 2x,y 4x x2 график,y x 2 2x 4,y x 2 4x построить график,y x 4 x 2,y x 4x 2,y x2 4x график,график 2x 4,график y x 2 4x,график функции 2 x 4,график функции 4x x 2,график функции y 2x 4,график функции y x 2 4,график функции y x2 4,график функции у 4х2,график функции х 2 4,график х 2 4,постройте график x 2 y 4,постройте график функции y x 2 4 x 2,у 2 4х,у 2 х 4,у 2х 4,у х2 4х,функция 4 x 2,функция 4 х 2. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 х 4 график. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, x 2 4x y график).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 х 4 график Онлайн?

Решить задачу 2 х 4 график вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Функции у = х2 и у = х3 и их графики. Алгебра 7 класс.

Конспект урока алгебры в 7 классе.

/Учебник «Алгебра 7 класс». Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др./

Тема урока: Функции у = х2 и у = х3 и их графики.

Тип урока по дидактическим целям: урок получения новых знаний

Цели урока:

образовательная – формирование знаний учащихся функций у = х2 и у = х3,

их графиков, свойств и умений использовать знания при

решении упражнений;

развивающая – развитие устной и письменной математической речи,

логического мышления, памяти учащихся;

воспитательная — воспитание дисциплины, трудолюбия и организованности.

Задачи урока :

1. Уметь построить графики рассматриваемых функций на базе ранее

полученных знаний по построению графиков;

2. Совместно с учителем определить свойства рассматриваемых функций и

записать их;

3. Закрепить полученные знания решением упражнений.

4. В работе задействовать как можно больше детей.

К ведению урока:

1. Организация начала урока

Тема урока, цель урока

2. Проверка домашней работы ( № 477, № 480 )

Правильность выполнения домашней работы проверяем фронтальным опросом

учащихся. Неверно выполненные задания рассмотреть на доске.

3. Актуализация знаний по теме

1) Какая функция называется линейной?

2) Что является графиком линейной функции и сколько точек достаточно для

ее построения?

3) Какая функция называется прямой пропорциональностью?

4) Что является графиком прямой пропорциональности и сколько точек

достаточно для ее построения?

5) Как определить принадлежит ли точка М (-2; 6) графику функции у = 4х – 2?

6) Это были вопросы, ответы на которые мы знаем. А что делать, если мне

нужно построить график функции, ранее мне не встречавшейся.

4. Изложение нового материала

1) Рассмотрим зависимость площади квадрата от его стороны: S = a2.

Как будет выглядеть соответствующая этой формуле функция? у = х2.

2) Рассмотрим зависимость объема куба от его ребра: V = a3.

Как будет выглядеть соответствующая этой формуле функция? у = х3.

3) Построим теперь графики данных функций и запишем их свойства.

(Для построения страницу тетради разделим на две равные части. Слева построим график у = х2, а справа у = х3 )

у = х2

у = х3

Предложить детям заполнить таблицу от -3 до 3 с шагом 1 / необходим контроль со стороны учителя /

По точкам учащиеся самостоятельно строят график.

Для построения второго графика ученикам предлагается самостоятельно подобрать значения независимой переменной для заполнения таблицы / контроль со стороны учителя /

По точкам учащиеся самостоятельно строят график.

Квадратичная функция. Графиком является парабола.

Кубическая функция. Графиком является кубическая парабола.

Свойства функции у = х2:

1. Если х = 0, то у = ?

2. Если х 0, то у — ?

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Свойства функции у = х3:

1. Если х = 0, то у = ?

2. Если х 0, то у — ?

3. Если х 0, то у — ?

4. Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.

5. Первичное закрепление знаний учащихся по теме

№ 484, № 488 (из учебника)

6. Задание на дом: № 485, № 489, № 490 (б).

Параграф 6

§ 6. ГРАФИКИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Таблица 12

1. Построение графиков функции вида y = f (x) + g (x)

Если нам известны графики функций y = f (x) и y = g (x), то эскиз графика функции y = f (x) + g (x) можно построить так: изобразить в одной системе координат графики функций f (x) и g (x), а потом построить искомый график по точкам, выполняя для каждого значения х (из области определения функции f (x) + g (x)) необходимые операции с отрезками, изображающими соответствующие ординаты f (x) и g (x).

Аналогично можно построить и схематические графики функций

y = f (x)-g (x) и y = -1-.

f (x)

 

86 Раздел 1. ФУНКЦИИ, УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА

Продолж. табл. 12

Пример

Комментарий

Постройте график функции

2 1

у = х2 + -.

X

 

Построим в одной системе коор-динат графики функций-слагаемых: у = х2 и у = — (на рисунке они

X

показаны штриховыми линиями). Для каждого значения х (кроме х = 0, которое не принадлежит области определения заданной функции) справа от оси Оу прибавляем соответствующие отрезки — значения функций f (х) и g (х) (обе функции имеют одинаковые знаки), слева от оси Оу — вычитаем (функции имеют противоположные знаки). На рисунке синей линией изобра-

2 —

жен график функции у = х +—.

2. Графики уравнений и неравенств с двумя переменными

Определение. Графиком уравнения (неравенства) с двумя переменными х и у называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (х; у), где пара чисел (х; у) является решением соответствующего уравнения (неравенства).

Графики некоторых уравнений и неравенств

У1 y>f(x) К&/ л/ y<f(x) У1 3 II * х>а У’ х<а в II н

0 X 0 а X 0 а х

 

у’ х2 + у2 > R2 \

1

1

\

\

\

\ о ; х t t *

-Д.’

х2 + у2 < R2

\R

 

§ 6. Графики уравнений и неравенств с двумя переменными 87

Продолж. — на с. 92 (в последнем случае

f (x)

удобно строить графики функций y = f (x) и у = не в одной системе

f (x)

координат, а в разных, расположенных так, чтобы их оси ординат находились на одной прямой).

Заметим, что такой способ построения графика функции не всегда дает возможность определить все характерные особенности поведения графика (часто это можно сделать только в результате специального исследования функции, которое будет рассмотрено в учебнике для 11 класса), но во многих случаях приведенный способ позволяет получить определенное представление о виде графика заданной функции.

2. Графики уравнений и неравенств с двумя переменными. С понятием графика уравнения с двумя переменными вы ознакомились в курсе алгебры. Аналогично вводится и понятие графика неравенства с двумя переменными. Поэтому можно дать общее определение этих графиков:

Графиком уравнения (неравенства) с двумя переменными х и у называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (х; у), где пара чисел (х; у) является решением соответствующего уравнения (неравенства).

9 Для построения графика неравенства y > f (x) (или y < f (x)) достаточно иметь график функции y = f (x). Действительно, по определению график функции y = f (x) состоит из всех точек M координатной плоскости с координатами (x; y) = (x; f (x)). Тогда для каждого значения x точки, координаты которых удовлетворяют неравенству y > f (x), будут находиться выше точки M (рис. 42, а), а точки, координаты которых удовлетворяют неравенству y < f (x), будут находиться ниже точки M (рис. 42, б). Таким образом,

график неравенства y > f (x) состоит из всех точек координатной плоскости, находящихся выше графика функции y = f (я), а график неравенства y < f (я) состоит из всех точек координатной плоскости, находящихся ниже графика функции y = f (я). О

Например, на рисунке 43 изображен график неравенства y > x2, а на рисунке 44 — график неравенства y < x2. Поскольку точки графика y = x2 не принадлежат графику неравенства y > x2, то на первом графике парабола y = x2 изображена штриховой линией; а так как точки графика y = x2 принадлежат графику неравенства y < x2, то на втором графике парабола y = x2 изображена сплошной линией.

Аналогично, если на координатной плоскости есть прямая x = а, то графиком неравенства x > а будут все точки координатной плоскости, находящиеся справа от этой прямой, а графиком неравенства x < а будут все точки координатной плоскости, находящиеся слева от этой прямой.

§ 6. Графики уравнений и неравенств с двумя переменными 89

у\ 1

/(*)

*

*

* V>f(x) , А?’

1 0 х х

У f(x) У $ М%» y<f{x)

 

/

/

# 0 X

У1

1

1

1

1

t

1

1

V

V \

1

\

\

\ У > х21 1 1 1 1 1 1 1 / i / /

0 ж

Рис. 42

Рис. 43

 

 

 

Рис. 45

Например, на рисунке 45 изображен график неравенства x> 2, а на рисунке 46 — график неравенства x < —1.

Отметим, что в том случае, когда на координатной плоскости есть изо-бражение окружности x2 + y2 = R2, то

графиком неравенства x2 + y2 < R2 будут все точки координатной плоскости, находящиеся внутри окружности, а графиком неравенства x2 + y2 > R2 будут все точки координатной плоскости, находящиеся вне окружности.

0 Действительно, если на координатной плоскости рассмотреть точку M (x, y), то OM2 = x2 + y2 (O — начало координат). Если x2 + y2 = R2 (где R > 0), то OM2 = R2, таким образом, OM = R — точка M лежит на окружности радиуса R с центром в начале координат (рис. 47, а).

Если x2 + y2 < R2, то OM2 < R2, таким образом, OM< R. То есть неравенству x2 + y2 < R2 удовлетворяют координаты всех точек (и только этих точек), которые находятся внутри круга, ограниченного окружностью радиуса R с центром в начале координат (рис. 47, б).

Если x2 + y2 > R2, то OM2 >R2, таким образом, OM> R. То есть неравенству x2 + y2 > R2 удовлетворяют координаты всех точек (и только этих точек), которые находятся вне круга, ограниченного окружностью радиуса R (рис. 47, в).

Аналогично, если на плоскости есть изображение окружности (x — а)2 + + (y — b)2 = R2, то графиком неравенства (x — а)2 + (y — b)2 < R2 будут все точ

б

а

 

90 Раздел 1. !Я 1 t * / ✓ и

Рис. 47

У’ * * / / / 1 1 х2 + у2>9 ч ч ч \ \ 1 1

1

1

\

\

\

ч

ч о з: х t / / / г *

Рис. 48

 

3. Геометрические преобразования графика уравнения F (я; у) = 0.

О По определению график уравнения

F (х; у) = 0 (1)

состоит из всех точек М (х0; у0) координатной плоскости, координаты (х0; у0) которых являются решениями этого уравнения. Это означает, что при подстановке пары чисел (х0; у0) в данное уравнение оно обращается в верное числовое равенство, таким образом, F (х0; у0) = 0 — верное равенство.

Рассмотрим точку М1 (х0 + а; у0 + b). Если координаты этой точки подставить в уравнение

F (х — а; у — b) = 0, (2)

то получим верное равенство F (х0; у0) = 0. Поэтому координаты точки М1 являются решениями уравнения (2), значит, точка M1 принадлежит графику уравнения F (х — а; у — b) = 0.

Точку М1 (х0 + а; у0 + b) можно получить из точки М (х0; у0) параллельным переносом ее на вектор n (a; b). Поскольку каждая точка М1 графика

уравнения F (х — а; у — b) = 0 получается из точки М графика уравнения F (х; у) = 0 параллельным переносом ее на вектор n (a; b) (рис. 50), то и весь

I

график уравнения F (я — a; у — b) = 0 можно получить из графика уравнения F (х; у) = 0 параллельным переносом его на вектор

n (a; b). О

• Для обоснования связи между графиками F (х; у) = 0 и F (| х |; у) = 0 до-статочно заметить, что при х 1 0 уравнение F (| х |; у) = 0 совпадает с урав-нением F (х; у) = 0, таким образом, совпадают и их графики справа от оси Оу и на самой оси. Пусть точка M (х0; у0) (где х0 1 0) — одна из общих точек этих графиков. Тогда F (х0; у0) = 0 — верное равенство.

 

 

Рассмотрим точку М1 (-х0; у0 ). Если координаты этой точки подставить в уравнение F (| х |; у) = 0 и учесть, что х0 1 0, то получим равенство F (х0; у0) = 0. Поэтому координаты точки М1 являются решениями уравнения F (| х |; у) = 0, значит, точка M1 принадлежит графику этого уравнения. Учитывая, что точки М и М1 симметричны относительно оси Оу (рис. 51) , получаем:

I

график уравнения F (| х |; у) = 0 можно получить из графика урав-нения F (х; у) = 0 следующим образом: часть графика уравнения F (х; у) = 0 справа от оси Оу (и на самой оси) остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси Оу. О

Аналогично обосновывается, что

1

для построения графика уравнения F (х; | у |) = 0 часть графика уравнения F (х; у) = 0 выше оси Ох (и на самой оси) остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси Ох.

В таблице 12 приведены простейшие примеры использования геометрических преобразований графиков уравнений. Указанные соотношения приходится применять в заданиях типа: построить график уравнения или неравенства или изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению (неравенству).

 

92 Раздел 1. ФУНКЦИИ, УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА

Задача 1*

Примеры решения задач

Постройте график функции у =

2

х — 9

Решение

► х2 — 9 = 0 при х = ±3. = ~2——. Поэтому

проведем через эти точки вертикаль- ные прямые, которые не пересекают

график функции у =

f (х)

Затем для

каждого значения х разделим 1 на соответствующее значение ординаты f (х) (используя то, что ординаты f (х) отмечены на верхнем графике). На рисунке синей линией изображен результат — график функции

у = ~2——. (Для построения этого гра-

х2 — 9

фика масштаб по осям Ох и Оу выбран разный.)

Задача 2

Покажите штриховкой на координатной плоскости множество

х2 + у m о, х — у < 2.

Комментарий

точек, координаты которых удовлетворяют системе

Решение ► Заданная система равносильна си-

\у m -х2,

стеме

у > х — 2.

Перепишем заданную систему так, чтобы было удобно изображать графики данных неравенств (то есть запишем неравенства в виде у > f (х)

 

§ 6. Графики уравнений и неравенств с двумя переменными 93

Изобразим штриховкой графики неравенств системы (первого — вер-тикальной штриховкой, второго — горизонтальной):

 

наты которых удовлетворяют системе, будет таким:

 

Задача 3*

или у < f (х)). Множество точек, ко-ординаты которых удовлетворяют неравенству у < -х2, является объ-единением точек параболы у = -х2 и точек координатной плоскости, находящихся ниже параболы (на ри-сунке это множество обозначено вер-тикальной штриховкой). Множество точек, координаты которых удовлет-воряют неравенству у > х — 2, состоит из точек координатной плоскости, находящихся выше прямой у = х — 2 (на рисунке это множество обозначено горизонтальной штриховкой).

Системе неравенств удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат пересечению множеств точек, заданных каждым из неравенств данной системы (на рисунке пересечению множеств соответствует та область, где штриховки наложились друг на друга).

Заметим, что в подобных заданиях можно не выполнять промежуточных рисунков, а сразу штриховать искомое множество точек координатной плоскости (выше прямой у = х — 2 и ниже параболы у = -х2 вместе с той частью параболы, которая лежит выше прямой).

Постройте график уравнения | х — у | + 2 | х+у | = х + 6. Ориентир

Для упрощения выражения с несколькими модулями с двумя переменными можно найти нули подмодульных выражений (то есть приравнять их к нулю) и разбить область определения рассматриваемого выражения на несколько частей, в каждой из которых знак каждого модуля раскрывается однозначно.

Используя этот ориентир, получаем план решения примера.

Приравняем к нулю подмодульные выражения х — у = 0 (отсюда у = х) и х + у = 0 (отсюда у = -х). Прямые у = х и у = -х разбивают координатную плоскость на четыре области. В каждой из этих областей знак каж

94 Раздел 1. ФУНКЦИИ, УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА

дого модуля раскрывается однозначно, после преобразования полученного равенства строим соответствующую часть графика заданного уравнения.

Решение

► 1. Область определения: х — любое действительное число, у — любое действительное число.

2. х — у = 0 при у = х; х + у = 0 при у = -х.

3. Прямые у = х и у = -х разбивают координатную плоскость на четыре части, в каждой из которых обозначены знаки первого и второго под- модульных выражений (рис.

Вопросы для контроля

1. Объясните на примерах, как можно, имея графики функций y = f (х) и y = g (х), построить эскиз графика функции y = f (х) + g (х) и функции

_ 1 у _ f (х).

2. Что называется графиком уравнения с двумя переменными? Что называ-ется графиком неравенства с двумя переменными? Приведите примеры.

3. Как, зная график функции y = f (х), построить график неравенства y > f (х) и неравенства y < f (х)? Приведите примеры.

4. Как, зная график уравнения F (х; y) = 0, можно построить график урав-нения F (х — a; y — b) = 0 и уравнений F (| х| ; y) = 0 и F (х; | y |) = 0? При-ведите примеры.

5*. Обоснуйте правила геометрических преобразований графика уравнения F (х; y) = 0 для получения графиков уравнений F (х — a; y — b) = 0, F (| х |; y) = 0, F (х; | y |) = 0.

6. Объясните на примере, как можно найти на координатной плоскости мно-жество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств с двумя переменными.

Упражнения

1. Постройте эскиз графика функции:

1) у _ х + —; 2) у _ х — —; 3*) у _ х3 + —; 4*) у _ х2 — —.

х х х х

2. Постройте график уравнения:

1) | y | = х — 2; 2) | y | = х2- х; 3) | х | = -y2;

4) | х | +| y | = 2; 5) | х | — | y | = 2.

3. Постройте график неравенства:

1) y > х2 — 3; 2) у < —; 3) х2 + y2 m 25;

х

4) (х — 2)2 + (y + 3 )2 > 4.

4. Покажите штриховкой на координатной плоскости множество точек, ко-ординаты которых удовлетворяют системе:

у m 5 — х,

у 1 х,

у m 2х + 4.

5*. Постройте график уравнения:

1) | х — у | — | х + у | = y + 3; 2) | х — 2у | + | 2х — у | = 2 — y;

3) | 3х + у | + | х — у | = 4.

Графики прямой, параболы, гиперболы, с модулем

Пошаговое построение графиков.

«Навешивание» модулей на прямые, параболы, гиперболы.


Графики — самая наглядная тема по алгебре. Рисуя графики, можно творить, а если еще и сможешь задать уравнения своего творчества, то и учитель достойно это оценит.

Для понимания друг друга введу немного «обзываний» системы координат:

Для начала построим график прямой y = 2x − 1.

Не сомневаюсь, что ты помнишь. Я напомню себе, что через 2 точки можно провести одну прямую. 

Возьмем значение X = 0 и Х = 1 и подставим в выражение y = 2x − 1, тогда соответственно Y = − 1 и Y = 1

Через данные две точки А = (0; −1) и B = (1; 1) проводим единственную прямую:

А если теперь добавить модуль y = |2x − 1|.

Модуль — это всегда положительное значение, получается, что «y» должен быть всегда положительным.

Значит, если модуль «надет» на весь график, то, что было в нижней части «−y», отразится в верхнюю (как будто сворачиваете лист по оси х и то, что было снизу, отпечатываете сверху).

Получается такая зеленая «галочка».

Красота! А как же будет выглядеть график, если надеть модуль только на «х»: y = 2|x| − 1?

Одна строчка рассуждений и рисуем:

Модуль на «x», тогда в этом случае x = −x, то есть все, что было в правой части, отражаем в левую. А то, что было в плоскости «−x», убираем.

Здесь отражаем относительно оси «y».  Такая же галочка, только теперь через другую ось.

Смертельный номер: y = |2|x| − 1|.

Черную прямую y = 2x − 1 отражаем относительно оси Х, получим y = |2x − 1|. Но мы выяснили, что модуль на х влияет только на левую часть. 

В правой части: y = |2x − 1| и y = |2|x| − 1| идентичны! 

А после этого отражаем относительно оси «y» то, что мы получили справа налево:

Если ты человек амбициозный, то прямых тебе будет мало! Но то, что описано выше, работает на всех остальных графиках, значит делаем по аналогии.

Разберем по винтикам параболу y = x² + x − 2. Точки пересечения с осью «x» получим с помощью дискриминанта: x₁ = 1 и x₂ = -2.

Можно найти вершину у параболы и взять пару точек для точного построения.

А как будет выглядеть график: y = |x²| + x − 2? Слышу: «Такого мы еще не проходили», а если подумаем? Модуль на x², он же и так всегда положителен, от модуля тут толку, как от стоп-сигнала зайцу − никакого.

При y = x² + |x| − 2 все так же стираем всю левую часть, и отражаем справа налево:

А дальше что мелочиться: рассмотри сразу остальные графики с модулем!

Следующий смертельный номер: |y| = x² + x − 2, подумай хорошенько, а еще лучше попробуй нарисовать сам.

При положительных значениях «y» от модуля нет смысла − уравнения y = x² + x − 2, а при «−y» ничего не меняется, будет так же y = x² + x − 2! 

Рисуем параболу в верхней части системы координат (где у > 0), а затем отражаем вниз.

А теперь сразу комбо:

Cиний: похож на y = x² + |x| − 2, только поднят вверх. Строим график в правой части, а затем отражаем через ось Y влево.

Оранжевый: строим в правой части и отражаем относительно оси Х. Доходим до оси Y и отражаем все что было справа налево. Двойка в знаменателе показывает, что график будет «шире», расходится в бока он быстрее остальных.

Зеленый: Так же начинаем с правой части и отражаем относительно оси оси Y. Получается график y = |x² + x − 2|, но еще есть −2, поэтому опустим график на 2 вниз. Теперь параболы как бы отражается относительно Y = − 2.

Легкий и средний уровень позади, и настала пора выжать концентрацию на максимум, потому что дальше тебя ждут гиперболы, которые частенько встречаются во второй части ЕГЭ и ОГЭ.

y = 1/x — простая гипербола, которую проще всего построить по точкам, 6-8 точек должно быть достаточно:

А что будет, если мы добавим в знаменателе «+1»? График сдвинется влево на единицу:

А что будет, если мы добавим в знаменателе «−1»? График сдвинется вправо на единицу.

А если добавить отдельно «+1» y = (1/x) + 1? Конечно, график поднимется вверх на единицу!

Глупый вопрос: а если добавить отдельно «−1» y = (1/x) − 1? Вниз на единицу!

Теперь начнем «накручивать» модули: y = |1/x + 1| — отражаем все из нижней части в верхнюю.

Возьмем другой модуль, мой амбициозный друг, раз ты дошел до этогог места: y = |1/(x + 1)|. Как и выше, когда модуль надет на всю функцию, мы отражаем снизу вверх.

Можно придумывать массу вариантов, но общий принцип остается для любого графика. Принципы повторим в выводах в конце статьи.

Фиолетовый: Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. Ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

Оранжевый: Ставим +1 в знаменателе и график смещается влево на единицу. Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. А после этого ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

Зеленый: Сначала получим фиолетовый график. После этого ставим «−» и отражаем график по горизонтали. Сгибаем лист по оси Х и переводим его вниз. Остается добавить +1, это значит, что его нужно поднять вверх на единицу.

Модули не так уж страшны, если еще вспомнить, что их можно раскрыть по определению:

И построить график, разбив его на кусочно-заданные функции.

Например для прямой:

Для параболы с одним модулем будет два кусочно-заданных графика: 

C двумя модулями кусочно-заданных графиков будет четыре:

Таким способом, медленно и кропотливо можно построить любой график!

Выводы:

  1. Модуль — это не просто две палочки, а жизнерадостное, всегда положительное значение!
  2. Модулю без разницы находится он в прямой, параболе или еще где-то. Отражения происходят одни и те же.
  3. Любой нестандартный модуль можно разбить на кусочно-заданные функции, условия только вводятся на каждый модуль.
  4. Существует большое количество модулей, но парочку вариантов стоит запомнить, чтобы не строить по точкам:
  • Если модуль «надет» на все выражение (например, y = |x² + x − 2|), то нижняя часть отражается наверх.
  • Если модуль «надет» только на х (например, y = x² + |x| − 2), то правая часть графика отражается на левую часть. А «старая» левая часть стирается.
  • Если модуль «надет» и на х, и на все выражение (например, y = |x² + |x| − 2|), то сначала отражаем график снизу вверх, после этого стираем полностью левую часть и отражаем справа налево.
  • Если модуль «надет» на y (например, |y| = x² + x − 2), то мы оставляем верхнюю часть графика, нижнюю стираем. А после отражаем сверху вниз.
Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.

Парабола (дни 4 и 5)

Учебный блок: Парабола (дни 4 и 5)

Учебное пособие
Парабола: графический подход
День 4 и 5

Учебные заметки:

На этом уроке учащиеся изучают график параболы. Студенты, вероятно, больше всего знакомы с
глядя на параболу таким образом. В этом уроке обсуждаются изменения параметров эталона параболы.
полиномиальная форма: y = ax 2 + bx + c.Программа Graphing Calculator будет использоваться в помощь студентам.
визуализировать изменения параметров. Очень полезным аспектом графического калькулятора является «n-анимация».
характерная черта. Подставив «n» для одного из параметров, который нужно изменить, а затем выберите диапазон
значения для него, студенты могут очень легко увидеть эффект от изменения переменной. Студенты должны изобразить каждый
данных уравнений вместе с y = x 2 и определить влияние каждого из параметров на
график параболы.


Введение:

Мы начнем с построения графика y = x 2 в качестве ориентира. Во всех будущих графиках этот график будет представлен
в сером.

График: y = x 2


Замена «а»:

Теперь изменим параметр «а». Посмотрим на графики y = ax 2 .

График: y = 2x 2 и y = x 2

График: y = 5x 2 и y = x 2

Увеличение значения «a» больше 1, похоже, сужает график.


График: y = (1/2) x 2 и y = x 2

График: y = (1/5) x 2 и y = x 2

Уменьшение значения «а» меньше 1, но больше нуля, кажется, расширяет график.


График: y = -x 2 и y = x 2

График: y = — (1/5) x 2 и y = x 2

График: y = -2x 2 и y = x 2

Отрицательные значения «a» ведут себя таким же образом, но отражаются поперек оси x.


Общая информация:
В общем, отрицание значения «а» отразит существующий график по оси x. В виде
«a» увеличивается (положительные значения) или уменьшается (отрицательные значения) от нуля, парабола будет
узкий.


Замена «b»:

Теперь изменим параметр «b». Посмотрим на графики y = x 2 + bx.

Дополнительные примечания для учителей:
Студентам часто трудно увидеть эффект параметра «b».В этом случае Graphing
Функция n-анимации калькулятора будет очень полезна. Студенты должны составить уравнение
y = x 2 + nx, а затем установите диапазон для n, используя достаточное количество шагов. Две анимации
приведены здесь в качестве примера. Акцент на этих анимациях — путь, по которому вершина
следует анимированная парабола.

График: y = x 2 + nx (красный / n изменяется от 0 до -10) и y = -x 2 (фиолетовый) и y = x 2

График: y = x 2 + nx (красный / n изменяется от 0 до 10) и y = -x 2 (фиолетовый) и y = x 2

Резюме:
Как правило, изменение значения «b» вызывает перемещение по параболической траектории.Вершина
переводится по параболическому пути, который является отражением исходного графика поперек оси x.

Дополнительные примечания для учителей:
Учащимся может быть трудно представить себе «параболический путь», по которому движется парабола. Большинство
студенты, вероятно, скажут, что он переводится по диагонали. Может потребоваться некоторая помощь учителя, чтобы
студенты, чтобы найти правильный путь.


Замена «c»:

Теперь изменим параметр «c».Посмотрим на графики y = x 2 + c.

График: y = x 2 + 3 и y = x 2

График: y = x 2 — 4 и y = x 2

Резюме:
Как правило, изменение значения «c» вызывает вертикальный сдвиг. По мере увеличения «c»
парабола переводится вверх. По мере уменьшения «c» парабола перемещается вниз.


Взаимодействие параметров:

Конечно, все эти параметры могут изменяться одновременно, что приводит к сужению, расширению и множеству
переводы. Студенты должны изобразить несколько парабол, которые имеют разные значения для a, b и c. потом
они должны попытаться визуализировать каждое из изменений параметров, последствия которых им теперь известны.


Домашние задания:

Изобразите следующие параболы:

  1. y = x 2 (раствор серого цвета)
  2. y = -x 2 + 4 (решение красным)
  3. y = — (1/2) x 2 + 2x (решение фиолетового цвета)
  4. y = 4x 2 + x — 3 (решение синего цвета)
  5. y = (1/3) x 2 + 4x + 2 (решение зеленого цвета)

Решения для домашних заданий:


Вернуться на главную страницу

Графические квадратичные функции: больше примеров

Графики
Квадратичные функции: примеры
(стр.
4 из 4)

Разделы: Введение,
Значение старшего коэффициента / Вершина,
Примеры


  • Найдите перехваты x
    и вершина y
    = x 2 4 x + 2.

    Так как это так просто
    найти перехват y
    (и в любом случае это будет точка на моей Т-диаграмме), они всего лишь
    запрос x -перехватов
    этот раз. Чтобы найти перехват x ,
    Ставил у
    равно 0
    и решаем:

      0 = x 2
      4 х + 2

      х 2
      + 4 x 2 = 0

    Для построения графиков
    точки перехвата находятся примерно на (4.4,
    0) и (0,4,
    0). (Когда я пишу
    ниже, я, конечно, буду использовать «точную» форму с
    квадратные корни; десятичные приближения моего калькулятора предназначены только для
    Помогая мне граф.)

    Чтобы найти вершину, я
    посмотрите на коэффициенты:
    = 1 и b
    = 4. Тогда:

    Найти k ,
    Вилка х
    = 2 дюйма для x
    через y
    = х 2
    4 x + 2 и
    упростить:

    Сейчас найду дополнительные
    точек на графике, которые помогут мне заполнить график:

    Обратите внимание, что я выбрал значения x
    которые были сосредоточены вокруг координаты x
    вершины.Теперь построю параболу:

    Вершина
    в (2, 6),
    и перехваты на
    следующие точки:

      (0,
      2),,
      и

  • Найдите x -перехваты
    и вершина y
    = x 2 + 2 x 4.

    Чтобы найти вершину, я
    посмотрите на коэффициенты:
    = 1 и b
    = 2. Тогда:

    Найти k ,
    Воткну х
    дюйм для x
    и упростить:

    Вершина ниже
    x — ось,
    и, поскольку это отрицательная квадратичная величина, я знаю, что парабола равна
    будет перевернутым.Так может ли моя линия пересечь ось x ?
    Могут ли быть какие-нибудь перехваты x ?
    Конечно нет! Поэтому я ожидаю получить «нет (реального) решения», когда
    Я пытаюсь найти x -перехваты,
    но мне все равно нужно показать свою работу. Чтобы найти перехват x ,
    Ставил у
    равно 0
    и решаем:

      0 = x 2
      + 2 x 4

      х 2
      2 х + 4 = 0

    Как только я получаю отрицательный
    внутри квадратного корня, я знаю, что не могу получить наглядное решение.Итак, как и ожидалось, нет никаких перехватов x .
    Теперь я найду несколько дополнительных точек на графике, чтобы заполнить свой график:

    Обратите внимание, что я выбрал значения x
    которые были сосредоточены вокруг координаты x
    вершины. Теперь построю параболу:
    Авторские права
    Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

    Вершина
    в (1, 3),
    и единственный
    перехват находится в (0,
    4).

Это последнее упражнение иллюстрирует
один из способов, которым вы можете немного сократить свою работу. Если вы решите для вершины
сначала вы можете легко определить, нужно ли вам продолжить и искать
x -перехват,
или если вы можете сразу перейти к нанесению некоторых точек и построению графика.
Если вершина ниже оси x
(то есть, если значение y
отрицательна), а квадратичная отрицательна (поэтому парабола открывается вниз),
тогда не будет x -перехватов.Аналогично, если вершина находится выше оси x
(то есть, если значение y
положительна), а квадратичная положительна (так что парабола открывается вверх),
тогда не будет x -перехватов.

На большинстве графиков
Я сделал (правда, не первый), так уж получилось, что баллы
на Т-диаграмме были симметричны относительно вершины; то есть, что точки
«совпадают» по обе стороны от вершины.Пока парабола
всегда симметрично относительно вертикальной линии, проходящей через вершину (параболы
«ось»), точки Т-диаграммы могут быть несимметричными. В частности,
точки Т-диаграммы не будут «совпадать», если координата x
вершины не является целым числом или половинным числом
(например, «3,5»).
Предупреждение: не ожидайте, что сюжетные точки всегда будут «совпадать» на
обе стороны от вершины; в частности, не делайте половину баллов на
ваш T-график, а затем «заполните» остальную часть вашего T-графика,
предполагая симметрию, которая может не существовать.

Другие советы по построению графиков:
Если парабола будет «тощей», то ожидайте, что вы
получат очень большие значения на вашем Т-графике. Вы либо закончите
с действительно высоким графиком или довольно коротким T-графиком. Если парабола
будет «толстым», тогда ожидайте, что у вас, вероятно, будет
для построения точек с дробями в качестве координат. В любом случае, когда вы
иди, чтобы соединить точки, чтобы нарисовать параболу, это может оказаться полезным
повернуть бумагу на бок и сначала прорисовать действительно изогнутую часть
вершину, убедившись, что она выглядит красивой и круглой.Затем переверните бумагу
спиной правой стороной вверх и нарисуйте «стороны» параболы.

Предупреждение: нарисуйте свои графики
достаточно большой, чтобы его хорошо видел ваш инструктор. Если вы подходите больше
чем два или, может быть, три графика на одной стороне стандартного листа бумаги,
тогда вы рисуете свои графики слишком маленькими.

<< Предыдущая Вверх | 1
| 2 | 3 | 4
|
Вернуться к индексу

Цитируйте эту статью
как:

Стапель, Елизавета.«Графические квадратичные функции: примеры». Purplemath .
Доступно по номеру
https://www.purplemath.com/modules/grphquad4.htm .
Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

Графическое отображение линейных неравенств

Это график линейного неравенства:

Неравенство y ≤ x + 2

Вы можете увидеть линию y = x + 2, а заштрихованная область — это место, где y меньше или равен x + 2

Линейное неравенство

Линейное неравенство похоже на линейное уравнение (например, y = 2x + 1 )…

… но у него будет Неравенство вроде <,>, ≤ или ≥ вместо = .

Как построить график линейного неравенства

Сначала нарисуйте линию «равно», затем заштрихуйте нужную область.

Есть три шага:

  • Измените уравнение так, чтобы «y» находилось слева, а все остальное — справа.
  • Постройте линию « y = » (сделайте ее сплошной линией для y≤ или y≥ и пунктирной линией для y < или y> )
  • Затенение над линией для «больше чем» ( y> или y≥ )
    или ниже линии для «меньше чем» ( y < или y≤ ).

Давайте попробуем примеры:

Пример: y≤2x-1

1. Неравенство уже имеет «y» слева и все остальное справа, поэтому нет необходимости переставлять

2. График y = 2x-1 (сплошная линия, потому что y≤ включает , равное )

3. Заштрихуйте область ниже (поскольку y на меньше или равно)

Пример: 2y — x ≤ 6

1.Нам нужно будет переставить это так, чтобы «y» находилось слева само по себе:

Начать с: 2y — x ≤ 6

Прибавить x к обеим сторонам: 2y ≤ x + 6

Разделить все на 2: y ≤ x / 2 + 3

2. Теперь постройте y = x / 2 + 3 (сплошная линия, потому что y≤ включает , равное )

3. Заштрихуйте область ниже (поскольку y на меньше или равно)

Пример: y / 2 + 2> x

1.Нам нужно будет переставить это так, чтобы «y» находилось слева само по себе:

Начать с: y / 2 + 2> x

Вычтем 2 с обеих сторон: y / 2> x — 2

Умножить все на 2: y> 2x — 4

2. Теперь постройте график y = 2x — 4 (пунктирная линия, потому что y> не включает равное)

3. Закрасьте область выше (поскольку y на больше )

Пунктирная линия показывает, что неравенство не включает линию y = 2x-4 .

Два особых случая

У вас также может быть горизонтальная или вертикальная линия:

Здесь показано, где y меньше 4
(от линии y = 4 вниз, но не включая ее)
Обратите внимание, что у нас есть пунктирная линия, чтобы показать, что она не включает где y = 4
В этом даже нет y!
Он имеет линию x = 1 и закрашен для всех значений x, превышающих (или равных) 1

Графические уравнения с программой «Пошаговое решение математических задач»

Язык математики особенно эффективен для представления отношений
между двумя или более переменными.В качестве примера рассмотрим пройденное расстояние
через определенный промежуток времени автомобилем, движущимся с постоянной скоростью 40 миль в час.
Мы можем представить эту взаимосвязь как

  1. 1. Словесное предложение:
    Пройденное расстояние в милях равно сороккратному количеству пройденных часов.
  2. 2. Уравнение:
    d = 40r.
  3. 3. Таблица значений.
  4. 4. График, показывающий зависимость между временем и расстоянием.

Мы уже использовали словесные предложения и уравнения для описания таких отношений;
В этой главе мы будем иметь дело с табличным и графическим представлениями.

7.1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

ЗАКАЗАННЫЕ ПАРЫ

Уравнение d = 40f объединяет расстояние d для каждого момента времени t. Например,

, если t = 1, то d = 40
, если t = 2, то d = 80
, если t = 3, то d = 120

и так далее.

Пара чисел 1 и 40, рассматриваемая вместе, называется решением
уравнение d = 40r, потому что, когда мы подставляем 1 вместо t и 40 вместо d в уравнении,
мы получаем верное утверждение. Если мы согласны ссылаться на парные номера в указанном
порядок, в котором первое число относится ко времени, а второе число относится к
расстояния, мы можем сократить приведенные выше решения как (1, 40), (2, 80), (3, 120) и
скоро.Мы называем такие пары чисел упорядоченными парами и ссылаемся на первую и
вторые числа в парах как компоненты. В соответствии с этим соглашением решения
Уравнение d — 40t — это упорядоченные пары (t, d), компоненты которых удовлетворяют уравнению.
Некоторые упорядоченные пары для t, равного 0, 1, 2, 3, 4 и 5, равны

(0,0), (1,40), (2,80), (3,120), (4,160) и (5,200)

Такие пары иногда показаны в одной из следующих табличных форм.

В любом конкретном уравнении, включающем две переменные, когда мы присваиваем значение одной
переменных определяется значение другой переменной и, следовательно,
зависит от первого.Удобно говорить о переменной, связанной с
первый компонент упорядоченной пары как независимая переменная и переменная
связанный со вторым компонентом упорядоченной пары в качестве зависимой переменной. Если переменные x и y используются в уравнении, подразумевается, что заменить —
элементы для x являются первыми компонентами и, следовательно, x — независимая переменная и
замены y являются вторыми компонентами и, следовательно, y является зависимой переменной.
Например, мы можем получить пары для уравнения

, подставив конкретное значение одной переменной в уравнение (1) и решив для
другая переменная.

Пример 1

Найдите недостающий компонент, чтобы заказанная пара была решением для

2x + y = 4

а. (0 ,?)

г. (1 ,?)

г. (2 ,?)

Решение

если x = 0, то 2 (0) + y = 4
y = 4

если x = 1, то 2 (1) + y = 4
y = 2

если x = 2, то 2 (2) + y = 4
y = 0

Три пары теперь могут отображаться как три упорядоченные пары

(0,4), (1,2) и (2,0)

или в табличной форме

ЯВНО ВЫРАЖАЮЩИЙ ПЕРЕМЕННУЮ

Мы можем добавить -2x к обоим членам 2x + y = 4, чтобы получить

-2x + 2x + y = -2x + 4
y = -2x + 4

В уравнении (2), где y есть само по себе, мы говорим, что y явно выражается через
из х.Часто бывает проще получить решения, если сначала выразить уравнения в такой форме
потому что зависимая переменная явно выражается через независимые
Переменная.

Например, в уравнении (2) выше

, если x = 0, то y = -2 (0) + 4 = 4
, если x = 1, то y = -2 (1) + 4 = 2
, если x = 2, то y = -2 (2) + 4 = 0

Мы получаем те же пары, что и с помощью уравнения (1)

(0,4), (1,2) и (2,0)

Мы получили уравнение (2) добавлением одинаковой величины -2x к каждому члену
уравнения (1), получая таким образом y само по себе.В общем, мы можем написать эквивалент
уравнения с двумя переменными, используя свойства, которые мы ввели в главе 3,
где мы решали уравнения первой степени с одной переменной.

Уравнения эквивалентны, если:

  1. Одно и то же количество прибавляется к равным количествам или вычитается из них.
  2. Равные количества умножаются или делятся на одинаковое ненулевое количество.

Пример 2

Решите 2y — 3x = 4 явно для y через x и получите решения для x = 0,
х = 1 и х = 2.

Решение
Во-первых, добавляя 3x к каждому члену, получаем

2y — 3x + 3x = 4 + 3x
2y = 4 + 3x (продолжение)

Теперь, разделив каждый член на 2, получим

В этой форме мы получаем значения y для заданных значений x следующим образом:

В этом случае три решения: (0, 2), (1, 7/2) и (2, 5).

ОБОЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Иногда мы используем специальные обозначения для наименования второго компонента упорядоченного
пара, которая связана с указанным первым компонентом.Символ f (x), который часто
используется для обозначения алгебраического выражения в переменной x, также может использоваться для обозначения
значение выражения для конкретных значений x. Например, если

f (x) = -2x + 4

, где f (x) играет ту же роль, что и y в уравнении (2) на странице 285, тогда f (1)
представляет значение выражения -2x + 4, когда x заменяется на 1

f (l) = -2 (1) + 4 = 2

Аналогично

f (0) = -2 (0) + 4 = 4

и

f (2) = -2 (2) + 4 = 0

Символ f (x) обычно называют обозначением функции.

Пример 3

Если f (x) = -3x + 2, найти f (-2) и f (2).

Решение

Замените x на -2, чтобы получить
f (-2) = -3 (-2) + 2 = 8

Замените x на 2, чтобы получить
f (2) = -3 (2) + 2 = -4

7.2 ГРАФИКИ ЗАКАЗАННЫХ ПАР

В разделе 1.1 мы видели, что каждое число соответствует точке на линии. Simi-
Как правило, каждая упорядоченная пара чисел (x, y) соответствует точке на плоскости. К
граф упорядоченной пары чисел, мы начинаем с построения пары перпендикулярных
числовые линии, называемые осями.Горизонтальная ось называется осью x, вертикальная ось
называется осью Y, а точка их пересечения называется началом координат. Эти топоры
разделите плоскость на четыре квадранта, как показано на рисунке 7.1.

Теперь мы можем присвоить упорядоченную пару чисел точке на плоскости, указав
на перпендикулярное расстояние точки от каждой из осей. Если первый
составляющая положительная, точка лежит правее вертикальной оси; если отрицательный, это
лежит слева.Если второй компонент положительный, точка находится выше
Горизонтальная ось; если отрицательный, он находится внизу.

Пример 1

График (3, 2), (-3, 2), (-3, -2) и (3, -2) в прямоугольной системе координат.

Решение
График (3, 2) находится на 3 единицы правее
ось y и на 2 единицы выше оси x;
график (-3,2) лежит на 3 единицы слева от
ось y и на 2 единицы выше оси x;
график (-3, -2) лежит на 3 единицы слева от
ось y и на 2 единицы ниже оси x;
график (3, -2) лежит на 3 единицы правее
ось y и на 2 единицы ниже оси x.

Расстояние y, на котором точка расположена от оси x, называется ординатой.
точки, а расстояние x, на котором точка расположена от оси y, называется
абсцисса точки. Абсцисса и ордината вместе называются прямоугольником.
Гулярные или декартовы координаты точки (см. рисунок 7.2).

7.3 ИЗОБРАЖЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО УРОВНЯ

В разделе 7.1 мы увидели, что решение уравнения с двумя переменными является упорядоченным
пара.В разделе 7.2 мы видели, что компонентами упорядоченной пары являются
координаты точки на плоскости. Таким образом, чтобы построить график уравнения с двумя переменными, мы
Изобразите набор упорядоченных пар, которые являются решениями уравнения. Например, мы
может найти некоторые решения уравнения первой степени

у = х + 2

, положив x равным 0, -3, -2 и 3. Затем

для x = 0, y = 0 + 2 = 2
для x = 0, y = -3 + 2 = -1
для x = -2, y = -2 + 2-0
для x = 3, y = 3 + 2 = 5

и получаем решения

(0,2), (-3, -1), (-2,0) и (3,5)

, который может отображаться в табличной форме, как показано ниже.

Если мы изобразим точки, определенные этими
упорядоченные пары и проведите прямую линию через
их, мы получаем график всех решений
y = x + 2, как показано на рисунке 7.3. Это,
каждое решение y = x + 2 лежит на прямой,
и каждая точка на линии является решением
у = х + 2.

Графики уравнений первой степени в двух
переменные всегда прямые; следовательно,
такие уравнения также называются линейными
уравнения.

В приведенном выше примере значения, которые мы использовали для
x были выбраны случайным образом; мы могли бы использовать
любые значения x, чтобы найти решения уравнения.Графики любых других упорядоченных пар, которые являются решениями уравнения, также будут
быть на линии, показанной на рисунке 7.3. Фактически, каждое линейное уравнение с двумя переменными
имеет бесконечное количество решений, график которых лежит на прямой. Однако мы только
нужно найти два решения, потому что для определения
прямая линия. Третий балл можно получить как проверку.

Чтобы построить уравнение первой степени:

  1. Постройте набор прямоугольных осей, показывающих масштаб, а переменная представляет
    отправляется каждой осью.
  2. Найдите две упорядоченные пары, которые являются решениями уравнения, которое нужно построить на графике.
    присвоение любого удобного значения одной переменной и определение соответствующего
    соответствующее значение другой переменной.
  3. Изобразите эти упорядоченные пары.
  4. Проведите прямую линию через точки.
  5. Проверьте, построив третью упорядоченную пару, которая является решением уравнения и
    убедитесь, что он лежит на линии.

Пример 1

Постройте уравнение y = 2x — 6.

Решение
Сначала мы выбираем любые два значения x, чтобы найти соответствующие значения y.
Мы будем использовать 1 и 4 для x.
Если x = 1, y = 2 (1) — 6 = -4
, если x = 4, y = 2 (4) — 6 = 2
Таким образом, два решения уравнения:
(1, -4) и (4, 2).
Затем мы строим график этих упорядоченных пар и проводим прямую линию через точки, как показано
на рисунке. Мы используем стрелки, чтобы показать, что
линия тянется бесконечно далеко в обоих направлениях.
Любая третья упорядоченная пара, удовлетворяющая
уравнение можно использовать в качестве проверки:
, если x = 5, y = 2 (5) -6 = 4
Затем отметим, что график (5, 4) также лежит на линии
. Чтобы найти решения уравнения, как мы уже отмечали, часто проще всего сначала решить
явно для y через x.

Пример 2

График x + 2y = 4.

Решение
Сначала решаем y через x, чтобы получить

Теперь мы выбираем любые два значения x, чтобы найти соответствующие значения y. Мы будем использовать
2 и 0 для x.

Таким образом, двумя решениями уравнения являются (2, 1) и (0, 2).

Затем мы графически отображаем эти упорядоченные пары и
проведите через точки прямую, как
показано на рисунке.

Любая третья упорядоченная пара, удовлетворяющая
уравнение можно использовать в качестве проверки:

Заметим, что график (-2, 3) также
лежит на линии.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Уравнение y = 2 можно записать как

0x + y = 2

и может рассматриваться как линейное уравнение в двух
переменные, у которых коэффициент при x равен 0. Некоторые
решения 0x + y = 2 равны

(1,2), (-1,2) и (4,2)

Фактически, любая упорядоченная пара вида (x, 2) является
решение (1). Графическое изображение решений
дает горизонтальную линию, как показано на рисунке
7.4.

Точно так же уравнение, такое как x = -3, может
быть записано как

х + 0у = -3

и может рассматриваться как линейное уравнение в двух
переменные, у которых коэффициент при y равен 0.

Некоторые решения x + 0y = -3 являются
(-3, 5), (-3, 1) и (-3, -2). Фактически любой
упорядоченная пара вида (-3, y) является решением
из (2). Графическое изображение решений дает вертикальную
линии, как показано на рисунке 7.5.

Пример 3

График

а. у = 3
б. х = 2

Решение
а. Мы можем записать y = 3 как Ox + y = 3.
Некоторые решения: (1, 3), (2,3) и (5, 3).

б. Мы можем записать x = 2 как x + Oy = 2.
Некоторые решения: (2, 4), (2, 1) и (2, -2).

7.4 МЕТОД ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКА

В разделе 7.3 мы присвоили значения x в уравнениях с двумя переменными, чтобы найти
соответствующие значения y. Решения уравнения с двумя переменными, которые
как правило, легче всего найти те, в которых первый или второй компонент
0. Например, если мы заменим 0 на x в уравнении

3x + 4y = 12

у нас есть

3 (0) + 4y = 12
y = 3

Таким образом, решением уравнения (1) является (0, 3).Мы также можем найти упорядоченные пары, которые
решения уравнений с двумя переменными путем присвоения значений y и определения
соответствующие значения x. В частности, если мы подставим 0 вместо y в уравнение (1), мы
получить

3x + 4 (0) = 12
x = 4

и второе решение уравнения (4, 0). Теперь мы можем использовать упорядоченные пары
(0, 3) и (4, 0) для построения графика уравнения (1). График представлен на рисунке 7.6. Уведомление
что линия пересекает ось x в точке 4 и ось y в точке 3. По этой причине число
4 называется пересечением по оси x графа, а число 3 — точкой пересечения по оси y.

Такой способ построения графика линейного уравнения называется пересечением.
метод построения графиков. Обратите внимание, что когда мы используем этот метод построения графиков линейного
уравнение, нет никакого преимущества в том, чтобы сначала явно выразить y через x.

Пример 1

График 2x — y = 6 методом пересечения.

Решение
Мы находим точку пересечения с x, подставляя 0 вместо y в уравнение, чтобы получить

2x — (0) = 6
2x = 6
x = 3

Теперь мы находим точку пересечения по оси Y, подставляя
для x в уравнении, чтобы получить

2 (0) — y = 6
-y = 6
y = -6

Упорядоченные пары (3, 0) и (0, -6) являются решениями 2x — y = 6.Графическое изображение этих
точки и соединив их прямой линией, получим график 2x — y = 6.
Если график пересекает оси в или около начала координат, метод перехвата не работает.
удовлетворительно. Затем мы должны построить график упорядоченной пары, которая является решением уравнения
и чей график не является началом координат или не слишком близок к началу координат.

Пример 2

График y = 3x.

Решение
Мы можем заменить 0 на x и найти
y = 3 (0) = 0
Аналогичным образом, заменив 0 на y, мы получим
0 = 3.x, x = 0
Таким образом, 0 является одновременно точкой пересечения по оси x и точкой пересечения с y.

Так как одного балла недостаточно, чтобы получить = 3x, мы прибегаем к методам, описанным в
Раздел 7.3. Выбирая любое другое значение для x, скажем 2, мы получаем

у = 3 (2) = 6

Таким образом, (0, 0) и (2, 6) являются решениями
уравнение. График y = 3x показан на
верно.

7,5 НАКЛОН ЛИНИИ

ФОРМУЛА НАКЛОНА

В этом разделе мы изучим важное свойство линии.Мы назначим
число к линии, которую мы называем уклоном, что даст нам меру «крутизны»
или «направление» линии.

Часто бывает удобно использовать специальные обозначения для различения прямоугольников.
Гулярные координаты двух разных точек. Мы можем обозначить одну пару координат
на (x 1 , y 1 (читается «x sub one, y sub one»), связанный с точкой P 1 , и второй
пара координат по (x 2 , y 2 ), связанная со второй точкой P 2 , как показано на рисунке
7.7. Обратите внимание на рис. 7.7, что при переходе от P 1 к P 2 вертикальное изменение (или
расстояние по вертикали) между двумя точками составляет y 2 — y 1 , а горизонтальное изменение (или
расстояние по горизонтали) составляет x 2 — x 1 .

Отношение вертикального изменения к горизонтальному называется крутизной
линия, содержащая точки P 1 и P 2 . Это соотношение обычно обозначают m. Таким образом,

Пример 1

Найдите наклон прямой, содержащей два
точки с координатами (-4, 2) и (3, 5) как
показано на рисунке справа.

Решение
Обозначим (3, 5) как (x 2 , y 2 ) и (-4, 2)
как (x 1 , y 1 ). Подставляя в уравнение (1)
дает

Обратите внимание, что мы получим тот же результат, если подставим -4 и 2 вместо x 2 и y 2 и 3 и
5 для x 1 и y 1

Линии с различным уклоном показаны на Рисунке 7.8 ниже. Наклоны линий, которые
вверх вправо положительны (рисунок 7.8а) и наклоны спускающихся вниз
справа отрицательны (рис. 7.8b). Обратите внимание (рис. 7.8c), что, поскольку все
точки на горизонтальной линии имеют одинаковое значение y, y 2 — y 1 равно нулю для любых двух
точек, а наклон линии просто

Также обратите внимание (рисунок 7.8c), что, поскольку все точки на вертикали имеют одинаковое значение x,
x 2 — x 1 равняется нулю для любых двух точек. Однако

не определено, поэтому вертикальная линия не имеет наклона.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ЛИНИИ

Рассмотрим линии, показанные на рисунке 7.9. Линия l 1 имеет наклон m 1 = 3, а линия l 2 имеет
уклон м 2 = 3. В данном случае

Эти линии никогда не пересекаются и называются параллельными линиями. Теперь рассмотрим линии
показано на рисунке 7.10. Линия l 1 имеет наклон m 1 = 1/2, а линия l 2 имеет наклон m 2 = -2.
В этом случае

Эти линии пересекаются, образуя прямой угол, и называются перпендикулярными линиями.

В общем, если две линии имеют уклон и м2:

    а. Линии параллельны, если они имеют одинаковый наклон, т. Е.
    если m 1 = m 2 .
    г. Линии перпендикулярны, если произведение их уклонов
    равно -1, то есть если m 1 * m 2 = -1.

7.6 УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

ОПОРНО-СКЛОННАЯ ФОРМА

В разделе 7.5 мы нашли наклон прямой по формуле

Допустим, мы знаем, что линия проходит через точку (2, 3) и имеет наклон 2.Если мы обозначим любую другую точку на прямой как P (x, y) (см. Рис. 7.1а), наклоном
формула

Таким образом, уравнение (1) — это уравнение прямой, проходящей через точку (2, 3), и
имеет уклон 2.

В общем, допустим, мы знаем, что линия проходит через точку P 1 (x 1 , y 1 и имеет
уклон м. Если мы обозначим любую другую точку на прямой как P (x, y) (см. Рис. 7.11 b), то через
формула наклона

Уравнение (2) называется формой точечного уклона для линейного уравнения.В уравнении (2),
m, x 1 и y 1 известны, а x и y — переменные, которые представляют координаты
любая точка на линии. Таким образом, всякий раз, когда мы знаем наклон линии и точку на
линии, мы можем найти уравнение линии, используя уравнение (2).

Пример 1

Линия имеет наклон -2 и проходит через точку (2, 4). Найдите уравнение прямой.

Решение
Замените -2 вместо m и (2, 4) вместо (x 1 , y 1 ) в уравнении (2)

Таким образом, прямая с наклоном -2, проходящая через точку (2, 4), имеет уравнение
у = -2х + 8.Мы могли бы также записать уравнение в эквивалентной форме y + 2x = 8,
2x + y = 8 или 2x + y — 8 = 0.

ФОРМА НАКЛОНА

Теперь рассмотрим уравнение прямой с наклоном m и точкой пересечения оси y b, как показано на
Рисунок 7.12. Подставив 0 вместо x 1 и b вместо y 1 в форме точечного наклона линейного
уравнение, имеем

y — b = m (x — 0)
y — b = mx

или

y = mx + b

Уравнение (3) называется формой пересечения наклона
для линейного уравнения.Наклон и пересечение по оси Y
можно получить непосредственно из уравнения в
эта форма.

Пример 2 Если линия имеет уравнение

, то наклон линии должен быть -2, а точка пересечения оси Y — 8. Аналогично,
график

г = -3x + 4

имеет наклон -3 и точку пересечения по оси Y 4; и график

имеет наклон 1/4 и точку пересечения по оси Y -2.

Если уравнение не записано в форме x = mx + b, и мы хотим знать наклон
и / или точку пересечения с y, мы переписываем уравнение, решая относительно y через x.

Пример 3

Найдите наклон и точку пересечения оси Y 2x — 3y = 6.

Решение
Сначала мы решаем y в терминах x, добавляя -2x к каждому члену.

2x — 3y — 2x = 6 — 2x
— 3y = 6 — 2x

Теперь, разделив каждого члена на -3, мы получим

Сравнивая это уравнение с формой y = mx + b, отметим, что наклон m (величина
коэффициент при x) равен 2/3, а точка пересечения оси y равна -2.

7.7 ПРЯМОЕ ИЗМЕНЕНИЕ

Частный случай уравнения первой степени с двумя переменными дается формулой

y = kx (k — постоянная)

Такая связь называется прямой вариацией.Мы говорим, что переменная y изменяется
прямо как x.

Пример 1

Мы знаем, что давление P в жидкости прямо пропорционально глубине d ниже
поверхность жидкости. Мы можем обозначить эту взаимосвязь в символах как

P =

кД

В прямом варианте, если мы знаем набор условий для двух переменных, и если
мы также знаем другое значение для одной из переменных, мы можем найти значение
вторая переменная для этого нового набора условий.

В приведенном выше примере мы можем решить для константы k, чтобы получить

Поскольку отношение P / d постоянно для каждого набора условий, мы можем использовать соотношение
для решения задач, связанных с прямым изменением.

Пример 2

Если давление P напрямую зависит от глубины d и P = 40, когда d = 10, найдите P, когда
d = 15.

Решение
Поскольку отношение P / d является постоянным, мы можем подставить значения для P и d и получить
пропорция

Таким образом, P = 60 при d = 15.

7.8 НЕРАВЕНСТВА В ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

В разделах 7.3 и 7.4 мы построили уравнения с двумя переменными. В этом разделе мы
построит график неравенств по двум переменным. Например, рассмотрим неравенство

у ≤ -x + 6

Решения — это упорядоченные пары чисел, которые «удовлетворяют» неравенству.Это,
(a, b) является решением неравенства, если неравенство является истинным утверждением после того, как мы
заменим a на x и b на y.

Пример 1

Определите, является ли данная упорядоченная пара решением y = -x + 6.

а. (1, 1)
г. (2, 5)

Решение
Упорядоченная пара (1, 1) является решением, потому что, когда 1 заменяется на x, а 1
подставляем вместо y, получаем

(1) = — (1) + 6, или 1 = 5

, что является правдой. С другой стороны, (2, 5) не является решением, потому что когда
2 заменяется на x и 5 заменяется на y, мы получаем

(5) = — (2) + 6, или 5 = 4

, что является ложным заявлением.

Чтобы изобразить неравенство y = -x + 6, сначала построим уравнение y = -x + 6
показано на рисунке 7.13. Обратите внимание, что (3, 3), (3, 2), (3, 1), (3, 0) и т. Д., Связанные
с точками, находящимися на линии или под ней, являются решениями неравенства
y = -x + 6, тогда как (3,4), (3, 5) и (3,6), связанные с точками над
линии не являются решениями неравенства. Фактически, все упорядоченные пары, связанные с
точки на линии или ниже являются решениями y = — x + 6. Таким образом, каждая точка на или
под линией находится на графике.Мы представляем это, закрашивая область под
линия (см. рисунок 7.14).

В общем, чтобы построить график неравенства первой степени с двумя переменными в виде
Ax + By = C или Ax + By = C, сначала строим график уравнения Ax + By = C и
затем определите, какая полуплоскость (область выше или ниже линии) содержит
решения. Затем закрашиваем эту полуплоскость. Мы всегда можем определить, какая половина
плоскость заштриховать, выбрав точку (не на линии уравнения Ax + By = C)
и тестирование, чтобы увидеть, является ли упорядоченная пара, связанная с точкой, решением
учитывая неравенство.Если да, то закрашиваем полуплоскость, содержащую контрольную точку; иначе,
заштриховываем вторую полуплоскость. Часто (0, 0) — удобная контрольная точка.

Пример 2

График 2x + 3y = 6

Решение
Сначала построим линию 2x + 3y = 6 (см. График a). Используя начало координат как контрольную точку,
мы определяем, является ли (0, 0) решением 2x + 3y ≥ 6. Поскольку утверждение

2 (0) + 3 (0) = 6

ложно, (0, 0) не является решением и мы закрашиваем полуплоскость, не содержащую
начало координат (см. график b).

Когда линия Ax + By = C проходит через начало координат, (0, 0) не является допустимым тестом
точка, так как она находится на линии.

Пример 3

График y = 2x.

Решение
Начнем с построения линии y = 2x (см. График a). Поскольку линия проходит через
начало координат, мы должны выбрать другую точку не на линии в качестве нашей тестовой точки. Мы будем
используйте (0, 1). Поскольку выписка

(1) = 2 (0)

верно, (0, 1) — решение, и мы закрашиваем полуплоскость, содержащую (0, 1) (см.
график б).

Если символ неравенства — ‘, точки на графике Ax + By = C
не являются решениями неравенства. Затем мы используем пунктирную линию для графика
Ax + By = C.

РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ

  1. Решение уравнения с двумя переменными — это упорядоченная пара чисел. в
    упорядоченная пара (x, y), x называется первым компонентом, а y называется вторым
    составная часть. Для уравнения с двумя переменными переменная, связанная с первой
    компонент решения называется независимой переменной, а переменная
    связанный со вторым компонентом, называется зависимой переменной.Обозначение функции f (x) используется для обозначения алгебраического выражения в x. Когда х в
    символ f (x) заменяется определенным значением, символ представляет значение
    выражения для этого значения x.

  2. Пересечение двух перпендикулярных осей в системе координат называется
    происхождение системы, и каждая из четырех областей, на которые делится плоскость
    называется квадрантом. Компоненты упорядоченной пары (x, y), связанной с
    точки на плоскости называются координатами точки; x называется абсциссой
    точки, а y называется ординатой точки.

  3. График уравнения первой степени с двумя переменными представляет собой прямую линию. То есть каждый
    упорядоченная пара, которая является решением уравнения, имеет график, лежащий на линии, и
    каждая точка в строке связана с упорядоченной парой, которая является решением
    уравнение.

    Графики любых двух решений уравнения с двумя переменными могут быть использованы для
    получить график уравнения. Однако два решения уравнения в двух
    переменные, которые обычно легче всего найти, — это те, в которых либо первая, либо
    второй компонент равен 0.Координата x точки, в которой линия пересекает ось x.
    называется пересечением по оси x линии, а координата y точки, в которой линия
    пересекает ось ординат и называется пересечением линии. Использование точек пересечения для построения графика
    уравнение называется методом построения графика с пересечением.

  4. Наклон линии, содержащей точки P 1 (x 1 , y 1 ) и P 2 (x 2 , y 2 ), определяется как

    Две прямые параллельны, если они имеют одинаковый наклон (м 1 = м 2 ).

    Две прямые перпендикулярны, если произведение их наклонов равно — l (m 1 * m 2 = -1).

  5. Форма точки-наклона прямой с наклоном m, проходящей через точку (x 1 , y 1 )
    это

    y — y 1 — m (x — x 1 )

    Форма пересечения наклона линии с наклоном m и точкой пересечения оси y b равна

    y = mx + b

  6. Взаимосвязь, определяемая уравнением вида

    y = kx (k постоянная)

    называется прямой вариацией.

  7. Решением неравенства с двумя переменными является упорядоченная пара чисел, которая,
    при подстановке в неравенство делает неравенство истинным утверждением. В
    График линейного неравенства от двух переменных представляет собой полуплоскость.
    Символы, представленные в этой главе, появляются на внутренней стороне передней обложки.

Графические системы линейных неравенств

Чтобы построить линейный

неравенство

в двух переменных (скажем,

Икс

а также

у

), сначала получите

у

один на одной стороне.Затем рассмотрим соответствующее уравнение, полученное заменой знака неравенства на знак равенства. График этого уравнения представляет собой линию.

Если неравенство строгое (

< или же >

), начертите штриховой линией. Если неравенство не строгое
(

или же

), начертите сплошной линией.

Наконец, выберите одну точку, которая не находится ни на одной строке (

(

0

,

0

)

обычно самый простой) и решите, удовлетворяют ли эти координаты неравенству или нет.Если это так, заштрихуйте полуплоскость, содержащую эту точку. Если нет, закройте другую полуплоскость.

Аналогичным образом изобразите каждое из неравенств в системе. Решение

система неравенств

— область пересечения всех решений в системе.


Пример 1:

Решите систему неравенств, построив графики:

у

Икс

2

у

>

3

Икс

+

5

Сначала изобразим неравенство

у

Икс

2

.Связанное уравнение

у

знак равно

Икс

2

.

Поскольку неравенство

, не строгий, граница сплошная.

Постройте прямую линию.

Рассмотрим точку, которая не находится на линии — скажем,

(

0

,

0

)

— и подставляем в неравенство

у

Икс

2

.

0

0

2

0

2

Это неправда.Итак, решение не содержит точки

(

0

,

0

)

. Заштрихуйте нижнюю половину линии.

Аналогичным образом нарисуйте пунктирную линию для соответствующего уравнения второго неравенства

у

>

3

Икс

+

5

которое имеет строгое неравенство. Точка

(

0

,

0

)

не удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, не содержащую точки

(

0

,

0

)

.

Решение системы неравенств — это область пересечения решений двух неравенств.


Пример 2:

Решите систему неравенств, построив графики:

2

Икс

+

3

у

12

8

Икс

4

у

>

1

Икс

< 4

Перепишем первые два неравенства с

у

один на одной стороне.

3

у

2

Икс

+

12

у

2

3

Икс

+

4

4

у

>

8

Икс

+

1

у

< 2 Икс - 1 4

Теперь изобразим неравенство

у

2

3

Икс

+

4

.Связанное уравнение

у

знак равно

2

3

Икс

+

4

.

Поскольку неравенство

, не строгий, граница сплошная.

Постройте прямую линию.

Рассмотрим точку, которая не находится на линии — скажем,

(

0

,

0

)

— и подставляем в неравенство.

0

2

3

(

0

)

+

4

0

4

Это неправда.Итак, решение не содержит точки

(

0

,

0

)

. Заштрихуйте верхнюю половину линии.

Аналогично нарисуйте пунктирную линию соответствующего уравнения второго неравенства

у

< 2 Икс - 1 4 которое имеет строгое неравенство. Точка ( 0 , 0 ) не удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, не содержащую точки ( 0 , 0 ) .

Нарисуйте пунктирную вертикальную линию

Икс

знак равно

4

которое является родственным уравнением третьего неравенства.

Здесь точка

(

0

,

0

)

удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, содержащую точку.

Решение системы неравенств — это область пересечения решений трех неравенств.

1.4 смены и расширения

Многие функции в приложениях построены из простых функций с помощью
вставка констант в разные места. Важно понимать
влияние таких констант на внешний вид графика.

Горизонтальные смещения. Если мы везде заменим $ x $ на $ x-C $
входит в формулу для $ f (x) $, то график сдвигается по $ C $ в
верно.
(Если значение $ C $ отрицательное, это означает, что график сдвигается на
$ | C | $ слева.2 $. Это $ y = x-4 $, линия с наклоном 1, а не
смещенная парабола.

Вертикальные смещения. Если заменить $ y $ на $ y-D $, то график
поднимается на $ D $ единиц.
(Если значение $ D $ отрицательное, это означает, что график
перемещается вниз на $ | D | $ единиц.) Если формула записана в виде
$ y = f (x) $, и если $ y $ заменить на $ y-D $, чтобы получить $ y-D = f (x) $, мы можем
эквивалентно переместите $ D $ на другую часть уравнения и напишите
$ y = f (x) + D $. Таким образом, можно сформулировать такой принцип: , чтобы получить
график $ y = f (x) + D $, возьмите график $ y = f (x) $ и переместите его на $ D $ единиц вверх.2 $ — круг перемещает его на $ C $ в
вправо и $ D $ вверх, получая окружность радиуса $ r $
с центром в точке $ (C, D) $. Это говорит нам, как писать
уравнение любой окружности, не обязательно с центром в начале координат.
$ \ квадрат $

Позже мы захотим использовать еще два принципа, касающихся эффектов
константы внешнего вида графика функции.

Горизонтальное расширение. Если $ x $ заменяется на
$ x / A $ в формуле и $ A> 1 $, то влияние на график будет следующим:
расширить его в $ A $ раз в направлении $ x $ (от
$ y $ -ось).
Если $ A $ находится в диапазоне от 0 до
1, то влияние на график будет сокращаться в 1 доллар / австралийский доллар.
(по направлению к оси $ y $).
Мы используем слово «расширяться» для обозначения расширения или сжатия.

Например, заменив $ x $ на
$ x / 0.5 = x / (1/2) = 2x $ имеет эффект сужения к оси $ y $ в несколько раз.
из 2. Если значение $ A $ отрицательное, мы расширяемся в $ | A | $ раз, а затем
переверните ось $ y $. Таким образом, замена $ x $ на $ -x $ имеет эффект
получение зеркального отображения графа относительно оси $ y $.Для
Например, функция $ y = \ sqrt {-x} $, имеющая домен
$ \ {x \ in \ R \ mid x \ le 0 \} $, получается
взяв график $ \ sqrt {x} $ и перевернув его вокруг оси $ y $ в
второй квадрант.

Вертикальное расширение. Если $ y $ заменяется в формуле на $ y / B $ и
$ B> 0 $, тогда граф расширится в $ B $ раз в
вертикальное направление. 2 = 1 $ — и увеличивается в раз
$ a $ по горизонтали и в $ b $ по вертикали.2} = 1.
$$
$ \ квадрат $

Наконец, если мы хотим проанализировать функцию, которая включает в себя оба
сдвигов и дилатаций, обычно проще всего работать с
сначала дилатации, а затем сдвиги. Например, если мы хотим
расширить функцию в $ A $ раз в направлении $ x $, а затем
сдвинем $ C $ вправо, мы сделаем это, заменив сначала $ x $ на $ x / A $
а затем на $ (x-C) $ в формуле. В качестве примера предположим, что
после расширения нашей единичной окружности на $ a $ в направлении $ x $ и на $ b $
в направлении $ y $, чтобы получить эллипс в последнем абзаце, мы затем
хотел сместить его на расстояние $ h $ вправо и на расстояние $ k $
вверх так, чтобы его центр находился в точке $ (h, k) $.2} + 2 $

График $ f (x) $ показан ниже.
Нарисуйте графики следующих функций.

Пример 1.4.13
$ \ ds y = f (x-1) $

Пример 1.4.14
$ \ ds y = 1 + f (x + 2) $

Пример 1.4.15
$ \ ds y = 1 + 2f (x) $

Пример 1.4.16
$ \ ds y = 2f (3x) $

Пример 1.4.17
$ \ ds y = 2f (3 (x-2)) + 1 $

Пример 1.4.18
$ \ ds y = (1/2) f (3x-3) $

Пример 1.4.19
$ \ ds y = f (1 + x / 3) + 2 $

switch x and y — Справочные видео по домашнему заданию

Отражения
Геометрия


Трансформации

Как описать эффект отражения, как описать эффект упорядоченных парных правил (x, y) -> (-x, y), (x, y) -> (x, -y), (x , у) -> (у, х).

трансформация

изометрия

ориентация

изображение

равноудаленный

упорядоченные парные правила

карта

ось x

ось y

линия y = x

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.