Графики элементарных функций: Графики элементарных функций. Построение графиков онлайн

Содержание

Тема 10 «Графики элементарных функций».

Тема 9 «Функция. Свойства функций»

Тема 9 «Функция. Свойства функций» Пусть X некоторое непустое множество действительных чисел. И пусть указан закон f, по которому каждому числу х ϵ X ставится в соответствие единственное число y ϵ Y, обозначаемое

Подробнее

Функция y = cos x. Ее свойства и график

Функция y = cos x Ее свойства и график 1 Сегодня мы рассмотрим Построение графика функции y = cos x; Свойства функции y = cos x; Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и

Подробнее

Степенная функция. Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия.

Степенная функция Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия. Если k=2, то y=x 2 квадратичная функция, ее график парабола.

Подробнее

Математическая индустрия моды

Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» прикладные вопросы математики Математическая индустрия

Подробнее

Урок на тему: Построение графиков.

Урок на тему: Построение графиков. Ребята, мы с вами строили уже не мало графиков функций, например параболы, гиперболы, тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали? Мы выбирали

Подробнее

Задание 18. Задачи с параметром

Линейное уравнение a x = b имеет: единственное решение, при a 0; бесконечное множество решений, при a = 0, b = 0; не имеет решений, при a = 0, b 0. Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет: два различных

Подробнее

Квадратичная функция

Квадратичная функция Функция вида y=ax +bx+c, где а 0, называется квадратичной. Значения х, при которых функция принимает значение, равное 0, называют нулями функции. Если b=c=0, то функция принимает вид

Подробнее

Алгоритм решения квадратных неравенств

Алгоритм решения квадратных неравенств 1) Привести неравенство к стандартному виду : 2) Решить квадратное уравнение (т.е. найти точки пересечения параболы с осью Ох):,, если D > 0, то (две точки пересечения

Подробнее

Тема 1.4 Функции, их свойства и графики

Тема.4 Функции, их свойства и графики Автор: Переверзьева Н.С. Преподаватель математики Лицей 6 Цели урока: Ознакомиться с понятием «функция», закрепить его на примерах Усвоить новые термины Узнать методы

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ 02.03.2013 Элементарные функции. Преобразование графиков функций Математический анализ (лекция 3) 02.03.2013 2 / 50 Тригонометрические функции Математический анализ (лекция 3) 02.03.2013

Подробнее

11.1. Функции Базовый уровень.

111 Функции Базовый уровень Оглавление 11101 Системы координат 1110 Понятие функции 7 1110 Область определения функции 10 11104 Область (множество) значений функции 1 11105 Возрастание и убывание функции

Подробнее

Глава 11 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Глава ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Т-0 Исследование функции по графику Т-0 Соответствие между графиком рациональной функции и формулой Т-0 Построение графика по свойствам Т-04 Параллельный перенос графика Т-05 Симметричное

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ

М- 8 класс Рабочая тетрадь 8 глава стр. 1 Глава 8 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Т-801 Установление вида зависимостей в физических формулах и законах Т-80 Выражение одной переменной через другие Т-803 Вычисление

Подробнее

Элементы высшей математики

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

Математический анализ

Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ…10 Основные свойства функций…11 Четность и нечетность…11 Периодичность…12 Нули функции…12 Монотонность (возрастание, убывание)…13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Понятие функции. Основные свойства функций Математический анализ (лекция 2) 28 / 64 Понятие функции. Основные свойства функций Если каждому элементу (значению) x множества X поставлен

Подробнее

Домашняя работа по алгебре за 9 класс

ВЕ Бачурин Домашняя работа по алгебре за 9 класс к учебнику «Алгебра: Учеб для 9 кл общеобразоват учреждений / ЮН Макарычев, НГ Миндюк, КИ Нешков, СБ Суворова; Под ред СА Теляковского 0-е изд М: Просвещение,

Подробнее

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y=f(x) и касательную в точке P 0 (x 0 ; f(x 0 )). Найдем угловой коэффициент касательной к графику в этой точке. Угол наклона касательной Р 0

Подробнее

Чтение графиков функций

Материалы для выполнения внеаудиторной (домашней самостоятельной работы) нацеленные на устранение пробелов знаний и умений по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка В настоящее время к числу наиболее актуальных вопросов математического образования относится осуществление функциональной подготовки школьников. Элективный курс Функции. Графики функций

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

РАЗДЕЛ 14. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

РАЗДЕЛ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Комментарий Задачи с параметрами традиционно являются сложными заданиями в структуре ЕГЭ, требующими от абитуриента не только владения всеми методами и приемам решения различных

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть

Стакун Н.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА II часть Пределы, функции, графики. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Учебное пособие для факультета технологии и предпринимательства Москва Введение Настоящее

Подробнее

Критерии оценки заданий 18

Задание 18 Критерии оценки заданий 18 Содержание критерия Балл ы Обоснованно получен правильный ответ. 4 С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом

Подробнее

Определение 1. Функция y = ax + bx + c, где a, b, c — действительные числа, причем a 0, называется квадратичной. 1) Область определения. ( f ) R.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК Определение. Функция, где,, — действительные числа, причем 0, называется квадратичной. Область определения. ( f R, так как выражение определено для любых. Область значений.

Подробнее

Способы решения задач по математике

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ» А. Н. Рурукин, Е. В. Бровкова, Т. Н. Виссонова Способы решения задач по математике Часть

Подробнее

1) y=-x 2 +7x-14 2) y=x 2-7x+14 3) y=x 2 +7x+14 4) y=-x 2-7x-14

5.1: Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру. ФОРМУЛЫ Графики 1) y=-x 2 +7x-14 2)

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

Презентация «Графики элементарных функций» — математика, презентации

Презентация «Графики элементарных функций». Данная презентация подойдет для Алгебры 9 класса.


Просмотр содержимого документа

«Презентация «Графики элементарных функций»»

Функция

Графики функций

Функциязависимость одной переменной от другой, причем для любых значений х соответствует единственное значение функции

Х – независимая (аргумент)

У – зависимая (значение функции)

D(y) – область определения

Е(у) – область значения

График функции – множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты соответствующим значениям функции

Виды функций

  • Линейная
  • Прямая пропорциональность
  • Обратная пропорциональность
  • Квадратичная
  • Кубическая
  • Квадратный корень
  • Модуль
  • Преобразование графиков

У=2х+1

Линейная функция

у = k х + b график – прямая

у

у = 2х +1

х

1

0

у

1

3

х

0

У=3х

Прямая пропорциональность

у = k х график – прямая, проходящая

через (0;0)

у

у = 3х

х

0

1

у

0

3

х

0

У=

4

x

Обратная пропорциональность

k

График — гипербола

x =0

у =

x

у

4

у =

x

х

2

-4

-1

1

-2

4

у

-4

-1

4

1

-2

2

х

0

у = х 2

Квадратичная функция

у = ах 2 а = 0 график – парабола

у

у = х 2

х

-2

-1

2

1

0

у

4

4

1

0

1

х

0

у = х 3

Кубическая функция

у = ах 3 а = 0 график – кубическая

парабола

у

у = х 3

х

-1

1

-2

2

0

у

-8

0

-1

1

8

0

х

У= х

Квадратный корень

у = х график – ветвь параболы

в первой четверти

у

х

4

0

9

у

0

2

3

х

0


0 у = х х = -x , если х у х -3 3 0 у -3 3 0 х 0 «

у = х

Модуль

{

x , если х 0

у = х

х =

-x , если х

у

х

-3

3

0

у

-3

3

0

х

0

у = х 2

у = — (х – 7) 2 +6

у = х 2 — 8

у = (х + 6) 2

Преобразование графиков

Графики простейших функций — линейная, параболы, гиперболы, экспоненты, показательные, степенные, логарифмическая, синус, косинус, тангенс, котангенс изучаемых в школе Справочная таблица. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)



















Название функции Формула функции График функции Название графика Комментарий
Линейная, прямая пропорциональность y = kx Прямая Cамый простой частный случай линейной зависимости — прямая пропорциональность у = kx, где k ≠ 0 — коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k = 1, т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента.
Линейная, прямая пропорциональность со сдвигом y = kx + b Прямая Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b — любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = -1.
Квадратичная функция y = x2 Парабола Простейший случай квадратичной зависимости — симметричная парабола с вершиной в начале координат.
Квадратичная функция y = ax2 + bx + c Парабола Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a — произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b, c — любые действительные числа
Степенная функция y = x3 Кубическая парабола Самый простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Степенная — корень квадратный y = x1/2 График функции
y = √x
Самый простой случай для дробной степени (x1/2 = √x). Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Степенная — обратная пропорциональность y = k/x Гипербола Самый простой случай для целой отрицательной степени (1/x = x-1) — обратно-пропорциональная зависимость. Здесь k = 1.
Показательная функция y = ex Экспонента Экспоненциальной зависимостью называют показательную функцию для основания e — иррационального числа примерно равного 2,7182818284590…
Показательная функция y = ax График показательной функции а>1 Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 2x (a = 2 > 1).
Показательная функция y = ax График показательной функции 0<a<1 Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5x (a = 1/2 < 1).
Логарифмическая функция y = ln(x) График логарифмической функции — натуральный логарифм График логарифмической функции для основания e (натурального логарифма) иногда называют логарифмикой.
Логарифмическая функция y = logax График логарифмической функции — логарифм по основанию а>1 Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log2x (a = 2 > 1).
Логарифмическая функция y = logax График логарифмической функции 0<a<1 Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log0,5x (a = 1/2 < 1).
Синус y = sinx Синусоида Тригонометрическая функция синус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Косинус y = cosx Косинусоида Тригонометрическая функция косинус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Тангенс y = tgx Тангенсоида Тригонометрическая функция тангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Котангенс y = сtgx Котангенсоида Тригонометрическая функция котангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».

§ 06. Основные элементарные функции


В этом параграфе мы рассмотрим основные элементарные функции. Для каждой функции запишем ее свойства и начертим график.

Степенные функции , где . Рассмотрим несколько частных случаев степенной функции.

Функции (). Функции определены на всей числовой прямой, . Они принимают только неотрицательные значения, . Функции являются четными, их графики симметричны относительно оси ординат. Эти функции ограничены снизу. В точке они имеют минимум и принимают наименьшее значение, равное 0, сверху функции не ограничены (рис. 5).

Функции (). Функции определены на всей числовой прямой, . Множества их изменения – также вся числовая ось , то есть эти функции не ограничены ни сверху, ни снизу. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат (рис. 6).

Функции (). Функции определены для всех значений Х, отличных от 0, то есть . Они принимают только положительные значения . Эти функции ограничены снизу, но они не принимают свое наименьшее значение. Функции являются четными, их графики симметричны относительно оси ординат. При функции убывают, при функции возрастают. Графики функций не пересекают оси координат (рис. 7).

Функции (). Функции определены для всех значений Х, отличных от 0, то есть . Множества их изменения также все значения У, отличные от 0, то есть . Эти функции не ограничены ни сверху, ни снизу. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат. Функции убывают при и при . Точка – точка разрыва функции. Графики функций не пересекают оси координат (рис. 8).

Функции (). Функции определены для всех неотрицательных значений Х, то есть . Множества их изменения также все неотрицательные значения У, то есть . Эти функции ограничены снизу и не ограничены сверху. Наименьшее значение У = 0 функции принимают при Х = 0. Функции возрастают на всей области своего определения. Графики функций расположены в первой четверти (рис. 9).

Функции и взаимнообратны при , а значит, их графики симметричны относительно биссектрисы первой четверти.

Функции (). Функции определены для всех значений Х, то есть . Множества их изменения – также все значения У, то есть . Эти функции не ограничены ни сверху, ни снизу. Функции возрастают на всей области своего определения. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат (рис. 10).

Функции и взаимнообратны. Их графики симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четвертей.

Функции (). Функции определены для всех положительных значений Х, то есть . Множества их изменения – также все положительные значения У, то есть . Эти функции ограничены снизу и не ограничены сверху, но они ни в одной точке не принимают свое наименьшее значение. Функции убывают на всей области своего определения. Графики функций расположены в первой четверти (рис. 11).

Функции и взаимнообратны при , и их графики симметричны относительно биссектрисы первой четверти.

Функции ().Функции определены для всех значений Х, отличных от 0, то есть . Множества их изменения – также все значения У, отличные от 0, то есть . Эти функции не ограничены ни сверху, ни снизу. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат. Функции убывают при и при . Точка – точка разрыва функции. Графики функций не пересекают оси координат (рис. 12).

Функции и взаимнообратны. Их графики симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четвертей.

Тригонометрические функции.

Функция . Область определения функции – вся числовая прямая, . Она принимает значения, удовлетворяющие условию , то есть . Функция ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значение функция принимает в точках  (), и эти точки являются точками минимума. Наибольшее значение функция принимает в точках  (), и эти точки являются точками максимума. График функции пересекает ось абсцисс в точках (). Функция является периодиЧеской, ее период . Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Функция не является монотонной на всей области определения, но она возрастает на каждом промежутке () и убывает на каждом промежутке (). График этой функции называется Синусоидой. Учитывая периодичность, достаточно построить график на отрезке длиной , например , а затем копировать его (рис. 13).

Функция . Область определения функции вся числовая прямая: . Она принимает значения, удовлетворяющие условию , то есть . Функция ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значение функция принимает в точках (), и эти точки являются точками минимума. Наибольшее значение функция принимает в точках (), и эти точки являются точками максимума. График функции пересекает ось абсцисс в точках (). Функция является периодической, ее период . Функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат. Функция не является монотонной на всей области определения, но она возрастает на каждом промежутке () и убывает на каждом промежутке (). График этой функции называется Косинусоидой. Учитывая периодичность, достаточно построить график на отрезке длиной , например , а затем копировать его (рис. 14).

Функция . Область определения функции все действительные значения Х, кроме (): . Множество ее изменения – вся числовая прямая, . Функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Она не имеет точек экстремума и не принимает ни наименьшее, ни наибольшее значения. График функции пересекает ось абсцисс в точках (). Функция является периодической, ее период . Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Функция не является монотонной на всей области определения, но она возрастает на каждом промежутке (), в точках () функция имеет разрывы. График этой функции называется Тангенсоидой. Учитывая периодичность, достаточно построить график на отрезке длиной , например , а затем копировать его (рис. 15).

Функция . Область определения функции все действительные значения Х, кроме (): . Множество ее изменения – вся числовая прямая, . Функция не ограничена ни сверху, ни снизу. Она не имеет точек экстремума и не принимает ни наименьшее, ни наибольшее значения. График функции пересекает ось абсцисс в точках (). Функция является периодической, ее период . Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Функция не является монотонной на всей области определения, но она убывает на каждом промежутке (), в точках () функция имеет разрывы. График этой функции называется Котангенсоидой. Учитывая периодичность, достаточно построить график на отрезке длиной , например , а затем копировать его (рис. 16).

Обратные тригонометрические функции.

Напомним определения обратных тригонометрических выражений. Арксинусом числа А называется угол a такой, что и . Арккосинусом числа А называется угол a такой, что и . Арктангенсом числа А называется угол a такой, что и . Арккотангенсом числа А называется угол a, такой, что и .

Функция является обратной к функции . Используя свойства прямой функции, получим свойства обратной. Для этого рассмотрим часть графика функции , на которой синус каждое свое значение принимает только один раз (промежуток монотонности функции) – отрезок . Функция каждому значению синуса ставит в соответствие его аргумент. Таким образом, область определения функции – отрезок [–1; 1], множество изменения – отрезок . Функция ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значение функция принимает в точке , наибольшее значение функция принимает в точке . Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Функция является монотонно возрастающей на всей области определения. График функции симметричен рассмотренной выше части графика функции относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей (рис. 17).

Функция является обратной к функции . Используя свойства прямой функции, получим свойства обратной. Для этого рассмотрим часть графика функции , на которой косинус каждое свое значение принимает только один раз (промежуток монотонности функции) – отрезок . Функция каждому значению косинуса ставит в соответствие его аргумент. Таким образом, область определения функции – отрезок [–1; 1], множество изменения – отрезок . Функция ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значение функция принимает в точке , наибольшее значение функция принимает в точке . Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция является монотонно убывающей на всей области определения. График функции симметричен рассмотренной выше части графика функции относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей (рис. 18).

Функция является обратной к функции . Используя свойства прямой функции, получим свойства обратной. Для этого рассмотрим одну ветвь графика функции , на которой тангенс каждое свое значение принимает только один раз (промежуток монотонности функции) – интервал . Функция каждому значению тангенса ставит в соответствие его аргумент. Таким образом, область определения функции – вся числовая прямая, , множество изменения – интервал . Функция ограничена и сверху и снизу, но она не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значений. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат. Функция является монотонно возрастающей на всей области определения. График функции симметричен ветви графика функции относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей (рис. 19).

Функция является обратной к функции . Используя свойства прямой функции, получим свойства обратной. Для этого рассмотрим одну ветвь графика функции , на которой котангенс каждое свое значение принимает только один раз (промежуток монотонности функции) – интервал . Функция каждому значению котангенса ставит в соответствие его аргумент. Таким образом, область определения функции – вся числовая прямая, , множество изменения – интервал . Функция ограничена и сверху и снизу, но она не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значений. Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция является монотонно убывающей на всей области определения. График функции симметричен ветви графика функции относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей (рис. 20).

Показательная функция , где и . Область определения функции – вся числовая прямая, . Функция принимает только положительные значения: . Функция ограничена снизу и не ограничена сверху. Она не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значений, не имеет точек экстремума. Показательная функция не является ни четной, ни нечетной. График функции пересекает ось ординат в точке , ось абсцисс он не пересекает. При функция является возрастающей (рис. 21), а при – убывающей (рис. 22) на всей области определения.

Логарифмическая функция , где и . Логарифмическая функция является обратной к показательной. Поэтому ее область определения – множество положительных чисел, , область изменения – множество действительных чисел, . Функция не Ограничена ни сверху, ни снизу. Она не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значений, не имеет точек экстремума. Логарифмическая функция не является ни четНой, ни нечетной. График функции пересекает ось абсцисс в точке , ось ординат график не пересекает. При функция является возрастающей (рис. 23), а при – убывающей (рис. 24) на всей области определения. График функции симметричен графику функции относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей.

Упражнения

1. Найдите области определения функций:

А) ; б) ;

В) ; г) ;

Д) ; е) ;

Ж) ; з) ;

И) ; к) .

2. Найдите множества изменения функций:

А) ; б) ;

В) ; г) ;

Д) ; е) .

3. Докажите, что функции и являются взаимно обратными.

4. Какие из данных функций будут четными, какие нечетными:

А) ; б) ;

В) ; г) ;

Д) ; е) .

5. Определите, какие функции будут периодическими и найдите их периоды:

А) ; б) ;

В) ; г) .

6. Представьте сложную функцию в виде цепочки элементарных функций:

А) ; б) ;

В) ; г) ;

Д) ; е) .

7. Составьте суперпозиции и , если:

А) , ; б) , ;

В) , ;

Г) , .

< Предыдущая   Следующая >

График формулы y x. Основные элементарные функции, их свойства и графики

Национальный научно-исследовательский университет

Кафедра прикладной геологии

Реферат по высшей математике

На тему: «Основные элементарные функции,

их свойства и графики»

Выполнил:

Проверил:

преподаватель


Определение. Функция, заданная формулой у=а х (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а.

Сформулируем основные свойства показательной функции:

1. Область определения — множество (R) всех действительных чисел.

2. Область значений — множество (R+) всех положительных действительных чисел.

3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0

4. Является функцией общего вида.

, на интервале xÎ [-3;3] , на интервале xÎ [-3;3]

Функция вида у(х)=х n , где n – число ÎR, называется степенной функцией. Число n может принимать раличные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=х² (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция у=х³ (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола).

Степенная функция у=х²

1. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;

2. E(y)= и возрастает на промежутке

Степенная функция у=х³

1. График функции у=х³ называется кубической параболой. Степенная функция у=х³ обладает следующими свойствами:

2. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;

3. E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения;

4. При х=0 у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0).

5. Функция возрастает на всей области определения.

6. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).

, на интервале xÎ [-3;3]

В зависимости от числового множителя, стоящего перед х³, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать.

Степенная функция с целым отрицательным показателем:

Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число;

3. Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число.

4. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число.

5. Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.

, на интервале xÎ [-3;3]

Степенная функция с дробным показателем

Степенная функция с дробным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами: (картинка)

1. D(x) ÎR, если n – нечетное число и D(x)= , на интервале xÎ , на интервале xÎ [-3;3]

Логарифмическая функция у = log a x обладает следующими свойствами:

1. Область определения D(x)Î (0; + ∞).

2. Область значений E(y) Î (- ∞; + ∞)

3. Функция ни четная, ни нечетная (общего вида).

4. Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0

График функции у = log a x может быть получен из графика функции у = а х с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке 9 построен график логарифмической функции для а > 1, а на рисунке 10 — для 0 ; на интервале xÎ ; на интервале xÎ

Функции y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х называют тригонометрическими функциями.

Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х нечетные, а функция у = соs х четная.

Функция y = sin (х).

1. Область определения D(x) ÎR.

2. Область значений E(y) Î [ — 1; 1].

3. Функция периодическая; основной период равен 2π.

4. Функция нечетная.

5. Функция возрастает на промежутках [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на промежутках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Î Z.2/16=1)

  • Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
  • Управление масштабом, цветом линий
  • Возможность построения графиков по точкам, использование констант
  • Построение одновременно нескольких графиков функций
  • Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))
  • С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.

    После того, как вы действительно поймете, что такое функция
    (возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

    В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

    Как получить значение функции

    Рассмотрим задание.
    Функция задана формулой «y = 2x − 1
    »

    1. Вычислить «y
      » при «x = 15
      »
    2. Найти значение «x
      », при котором
      значение «y
      » равно «−19
      ».

    Для того, чтобы вычислить «y
    » при
    «x = 15
    » достаточно подставить в функцию вместо «x
    »
    необходимое числовое значение.

    Запись решения выглядит следующим образом.

    y(15) = 2 · 15 − 1 = 30 − 1 = 29

    Для того, чтобы найти «x
    »
    по известному «y
    », необходимо подставить вместо
    «y
    » в формулу функции числовое значение.

    То есть теперь наоборот, для поиска «x
    »
    мы подставляем в функцию «y = 2x − 1
    » вместо
    «y
    » число «−19
    » .

    −19 = 2x − 1

    Мы получили линейное уравнение с неизвестным «x
    »,
    которое решается по правилам решения линейных уравнений.

    Запомните!

    Не забывайте про правило переноса в уравнениях.

    При переносе из левой части уравнения в правую (и наоборот) буква или число меняет знак на
    противоположный
    .

    −19 = 2x − 1
    0 = 2x − 1 + 19
    −2x = −1 + 19
    −2x = 18

    Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас
    требуется умножить и левую, и правую часть
    на «−1
    » для смены знака.

    −2x = 18 | · (−1)
    2x = −18

    Теперь разделим и левую, и правую часть на «2
    », чтобы найти «x
    » .

    2x = 18 | (: 2)
    x = 9

    Как проверить верно ли равенство для функции

    Рассмотрим задание.
    Функция задана формулой «f(x) = 2 − 5x
    ».

    Верно ли равенство
    «f(−2) = −18
    »?

    Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию «f(x) = 2 − 5x
    »
    числовое значение «x = −2
    » и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

    Важно!

    Когда подставляете отрицательное число вместо «x
    », обязательно заключайте его в скобки.

    Неправильно

    Правильно

    С помощью расчетов мы получили
    «f(−2) = 12
    ».

    Это означает, что «f(−2) = −18
    »
    для функции «f(x) = 2 − 5x
    » не является
    верным равенством.

    Как проверить, что точка принадлежит графику функции

    Рассмотрим функцию «y = x 2 −5x + 6
    »

    Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами
    (1; 2)
    .

    Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

    Запомните!

    Чтобы определить, принадлежит ли точка функции,
    достаточно подставить её координаты в функцию (координату по оси
    «Ox
    » вместо
    «x
    » и координату по оси «Oy
    »
    вместо «y
    »).

    Если получится верное равенство
    , значит, точка принадлежит функции.

    Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию «y = x 2 − 5x + 6
    »
    координаты точки (1; 2)
    .

    Вместо «x
    » подставим «1
    ».
    Вместо «y
    » подставим «2
    ».

    2 = 1 2 − 5 · 1 + 6
    2 = 1 − 5 + 6
    2 = −4 + 6
    2 = 2 (верно)

    У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами
    (1; 2)
    принадлежит заданной функции.

    Теперь проверим точку с координатами (0; 1)
    .
    Принадлежит ли она
    функции «y = x 2 − 5x + 6
    »?

    Вместо «x
    » подставим «0
    ».
    Вместо «y
    » подставим «1
    ».

    1 = 0 2 − 5 · 0 + 6
    1 = 0 − 0 + 6
    1 = 6 (неверно)

    В этом случае мы не получили верное равенство.
    Это означает, что точка с координатами (0; 1)
    не принадлежит функции
    «y = x 2 − 5x + 6
    »

    Как получить координаты точки функции

    С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат
    в формулу функции получается верное равенство.

    Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1
    ». Её график
    мы уже
    строили
    в предыдущем уроке .

    Найдем на графике функции «y(x) = −2x + 1
    », чему равен «y
    »
    при x = 2
    .

    Для этого из значения «2
    » на оси «Ox
    » проведем перпендикуляр к графику функции.
    Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси «Oy
    ».

    Полученное значение «−3
    » на оси «Oy
    » и будет искомым значением «y
    ».

    Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2

    в функции «y(x) = −2x + 1
    ».

    Для этого мы подставим x = 2
    в формулу функции
    «y(x) = −2x + 1
    ». Если мы правильно
    провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3
    .

    y(2) = −2 · 2 + 1 = −4 + 1 = −3

    При расчетах мы также получили y = −3
    .

    Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

    Важно!

    Все полученные координаты точки с графика функции обязательно проверяйте
    подстановкой значений «x
    » в функцию.

    При подстановке числового значения «x
    » в функцию в результате должно получиться
    то же значение «y
    », которое вы получили на графике.

    При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

    Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.

    Функции и их графики — одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Жаль только, что проходит она… мимо уроков и мимо учеников. На нее вечно не хватает времени в старших классах. А те функции, которые проходят в 7-м классе, — линейная функция и парабола — слишком просты и незамысловаты, чтобы показать все разнообразие интересных задач.

    Умение строить графики функций необходимо для решения задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Это настолько важная тема, что мы в ЕГЭ-Студии проводим по ней специальные интенсивы для старшеклассников и учителей, в Москве и онлайн. И часто участники говорят: «Жаль, что мы не знали этого раньше».

    Но это не все. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции — это все-таки арифметика. Преобразования выражений — это алгебра. А математика — наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту. И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики»
    .

    Точнее, Галилео Галилей сказал так:«Математика есть алфавит, посредством которого Господь начертал Вселенную».

    Темы для повторения:

    1. Построим график функции

    Знакомая задача! Такие встречались в вариантах ОГЭ по математике. Там они считались сложными. Но сложного ничего здесь нет.

    Упростим формулу функции:

    График функции — прямая с выколотой точкой

    2. Построим график функции

    Выделим в формуле функции целую часть:

    График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

    Выделение целой части — полезный прием, применяемый в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин в задачах на числа и их свойства. Он встретится вам также на первом курсе, когда придется брать интегралы.

    3. Построим график функции

    Он получается из графика функции растяжением в 2 раза, отражением по вертикали и сдвигом на 1 вверх по вертикали

    4. Построим график функции

    Главное — правильная последовательность действий. Запишем формулу функции в более удобном виде:

    Действуем по порядку:

    1) График функции y=sinx сдвинем на влево;

    2) сожмем в 2 раза по горизонтали,

    3) растянем в 3 раза по вертикали,

    4) сдвинем на 1 вверх

    Сейчас мы построим несколько графиков дробно-рациональных функций. Чтобы лучше понять, как мы это делаем, читайте статью «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты».

    5. Построим график функции

    Область определения функции:

    Нули функции: и

    Прямая x = 0 (ось Y) — вертикальная асимптота функции. Асимптота
    — прямая, к которой бесконечно близко подходит график функции, но не пересекает ее и не сливается с ней (смотри тему «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты»)

    Есть ли другие асимптоты у нашей функции? Чтобы выяснить это, посмотрим, как ведет себя функция, когда x стремится к бесконечности.

    Раскроем скобки в формуле функции:

    Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю. Прямая является наклонной асимптотой к графику функции.

    6. Построим график функции

    Это дробно-рациональная функция.

    Область определения функции

    Нули функции: точки — 3, 2, 6.

    Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

    Вертикальные асимптоты:

    Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, — горизонтальная асимптота.

    Вот эскиз графика:

    Еще один интересный прием — сложение графиков.

    7. Построим график функции

    Если x стремится к бесконечности, то и график функции будет бесконечно близко подходить к наклонной асимптоте

    Если x стремится к нулю, то функция ведет себя как Это мы и видим на графике:

    Вот мы и построили график суммы функций. Теперь график произведения!

    8. Построим график функции

    Область определения этой функции — положительные числа, поскольку только для положительных x определен

    Значения функции равны нулю при (когда логарифм равен нулю), а также в точках, где то есть при

    При , значение {cos x} равно единице. Значение функции в этих точках будет равно

    9. Построим график функции

    Функция определена при Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций и График симметричен относительно оси ординат.

    Нули функции — в точках, где то есть при

    Если x стремится к бесконечности, стремится к нулю. Но что же будет, если x стремится к нулю? Ведь и x, и sin x будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное ?

    Оказывается, что если x стремится к нулю, то стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».

    А как же производная? Да, наконец-то мы до нее добрались. Производная помогает более точно строить графики функций. Находить точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.

    10. Построим график функции

    Область определения функции — все действительные числа, поскольку

    Функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.

    При x=0 значение функции равно нулю. При значения функции положительны, при отрицательны.

    Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю.

    Найдем производную функции
    По формуле производной частного,

    Если или

    В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс», — точка минимума функции.

    В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус», — точка максимума функции.

    Найдем значения функции при x=2 и при x=-2.

    Графики функций удобно строить по определенному алгоритму, или схеме. Помните, вы изучали ее в школе?

    Общая схема построения графика функции:

    1. Область определения функции

    2. Область значений функции

    3. Четность — нечетность (если есть)

    4. Периодичность (если есть)

    5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат)

    6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).

    7. Асимптоты (если есть).

    8. Поведение функции в бесконечности

    9. Производная функции

    10. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.

    Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
    Графиком линейной функции является прямая.

    1.

    Чтобы постороить график функции,
    нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

    Например, чтобы построить график функции y= &frac13;
    x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3.
    Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= &frac13;
    x+2:

    2.

    В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
    если k>0, то функция y=kx+b возрастает
    если k
    Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
    если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
    если b
    На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y= ½
    x+3; y=x+3

    Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля,
    и функции являются возрастающими.
    Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.

    Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

    Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½
    x+3; y=-x+3

    На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля,
    и функции убывают.
    Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

    Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3

    Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.

    Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
    График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)

    График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) — начале координат.

    График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)

    Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
    Если k 0

    Если k>0 и b>0

    , то график функции y=kx+b имеет вид:

    Если k>0 и b

    , то график функции y=kx+b имеет вид:

    Если k, то график функции y=kx+b имеет вид:

    Если k=0

    , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:

    Ординаты всех точек графика функции y=b равны b
    Если b=0

    , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:

    3.

    Отдельно отметим график уравнения x=a.
    График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.

    Например, график уравнения x=3 выглядит так:
    Внимание!

    Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.

    4.

    Условие параллельности двух прямых:

    График функции y=k 1 x+b 1 параллелен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 =k 2

    5.

    Условие перепендикулярности двух прямых:

    График функции y=k 1 x+b 1 перепендикулярен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2

    6.

    Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.

    С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

    С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):

    Семь элементарных функций и их графики — Концепция

    В математике мы часто сталкиваемся с некоторыми элементарными функциями. Эти элементарных функций включают рациональные функции, экспоненциальные функции, основные полиномы, абсолютные значения и функцию квадратного корня. Важно распознавать графики элементарных функций и уметь строить их сами. Это будет особенно полезно при преобразовании.

    Я хочу поговорить о семи действительно важных функциях, которые я называю родительскими функциями.Я их здесь нарисовал. Первый f из x равен x. Это функция идентичности. Это своего рода родитель всех линейных функций. Во-вторых, функция абсолютного значения f от x равна абсолютному значению x.
    Третий, f x равняется x в квадрате, функция возведения в квадрат, ее график представляет собой параболу, и это родитель всех квадратичных функций. f of x равно x в кубе, кубической функции.
    Номер пять, функция извлечения квадратного корня. f из x равно квадратному корню x. Типичная экспоненциальная функция f от x равна 2 x.Обратите внимание на разницу между 2 и x и x в квадрате, очень разными формами, разными классами функций и f для x равняется 1 по x, обратной функции. Это родительские функции, и по мере того, как мы узнаем, как графически отображать функции в их преобразованиях, мы будем использовать их в качестве своих главных подопытных кроликов. Мы будем преобразовывать их и создавать из них новые функции, поэтому мы называем их родительскими функциями. Но вам важно знать эти функции. Вы, вероятно, уже узнали о большинстве из них, если не обо всех, и просто запомните их графики и узнайте их с первого взгляда, а также знаете ключевые моменты, которые есть на графиках, эти ключевые точки, которые на графике являются функцией.
    Вот и все. Это семь функций. Время от времени я буду добавлять к этому списку по ходу курса.

    1 2 Графики элементарных функций и преобразования в

    1. 2 основных функции; Графики и преобразования • В этой презентации вам дадут уравнение функции и попросят нарисовать ее график. Вы должны уметь указать, как график связан со «стандартной» функцией. Неважно, что вы наносите большое количество точек на каждый график.ОБЯЗАТЕЛЬНО важно распознать общую форму графика. Вы можете проверить свои ответы с помощью графического калькулятора, но только после того, как попытаетесь построить график вручную.

    Задача 1 • Постройте график

    Решение

    Задача 2 • Теперь нарисуйте связанный график, представленный приведенным ниже уравнением, и объясните словами, как он связан с первой построенной вами функцией.

    Решение: Проблема 2 • График имеет ту же форму, что и исходная функция.Разница в том, что исходный график был перенесен на две единицы вправо по оси абсцисс. Вывод: График функции f (x-2) — это график f (x), сдвинутый по горизонтали на две единицы вправо по оси x. • Обратите внимание, что замена x на x-2 сдвигает график по горизонтали вправо, а не влево.

    Задача 3 • Теперь изобразите следующую «стандартную» функцию: Заполните таблицу: -3 -2 -1 0 1 2 3

    Решение проблемы 3

    Задача 4 • Теперь изобразите график следующей связанной функции:

    Решение проблемы 4

    Решение задачи 4 • График • получается из графика • путем переноса графика исходной функции на одну единицу вертикально вверх по положительной оси y.

    Задача 5 • График: • Какова область действия этой функции?

    Решение проблемы 5 • Домен — это все неотрицательные действительные числа. Вот график:

    Задача 6 • График: • Объясните словами, как это соотносится с задачей 5.

    Решение задачи 6 (обратите внимание, что график полностью лежит в четвертом квадранте)

    График –f (x) • График функции –f (x) является отражением графика f (x) по оси x.То есть, если графики f (x) и –f (x) сложить по оси x, эти два графика совпадают.

    Функция кубического корня • Нарисуйте график функции кубического корня. Заполните таблицу заказанных пар: x y -27-8-1 0 1 8 27

    Вариант функции кубического корня • Нарисуйте следующий вариант функции кубического корня:

    Тот же график, что и график функции корня куба. Сдвинул по горизонтали влево на одну единицу.

    График f (x + c) по сравнению с графиком f (x): • График f (x + c) имеет ту же форму, что и график f (x), за исключением того, что график f (x + c) переводится горизонтально влево c единиц, когда c> 0 и горизонтально перемещается вправо c единиц, когда c

    Функция абсолютного значения • Теперь изобразите график функции абсолютного значения.Убедитесь, что вы выбрали как положительные, так и отрицательные значения x, а также нулевые значения.

    График функции абсолютного значения Обратите внимание на симметрию графика.

    Вариация функции абсолютного значения

    Сдвинуть график абсолютных значений на одну единицу влево и на две единицы вниз по вертикальной оси.

    % PDF-1.6
    %
    1 0 obj
    > поток
    2012-10-18T17: 36: 56-04: 002008-03-06T18: 44: 19Z2012-10-18T17: 36: 56-04: 00uuid: 9b9b3417-1dd1-11b2-0a00-50bbffff10bcuuid: 9c39f23a-1dd1-11b2- 0a00-70bdffffb063application / pdf Библиотека Adobe PDF 7.0

    конечный поток
    эндобдж
    2 0 obj
    > / PageLabels> 1> 2> 3> 4> 5> 6> 7> 8> 9> 10> 11> 12> 13> 14> 15> 16> 17> 18> 19> 20> 21> 22> 23> 24> 25> 26> 27> 28> 29> 30> 31> 32> 33> 34> 35> 36> 37> 38> 39> 40> 41> 42> 43> 44> 45> 46> 47> 48> 49> 50> 51> 52> 53> 54> 55> 56> 57> 58> 59> 60> 61> 62> 63> 64>] >> / Тип / Каталог / StructTreeRoot 3 0 R / Контуры 4 0 R / Язык (en) / Метаданные 1 0 R / Страницы 5 0 R >>
    эндобдж
    89 0 объект
    > поток
    x} [Y6 ~ _яk7C |, 7> ,, ݜ iRGR * UeXu | U, r {tw ޽ ew> ~ f7wwNwҝHw @ kvN p’uz | w {yj7 ML @ 2 %%, Jax {@ * U &
    * [o0u 8 — «)] $ + ~ q DT & ҂DU2 @ bT» zRU, 3
    -Q} WI / د *) 5 E [\ LD ٍ K; ofM = K? Zwkha8_Y.(
    C1ns $ ivFrQxa \ -trU-Qԇ0fvQmT 2M {\ @ N% C3 ~ e * 2 #d! F \ (SL9] i 1r 䞮 $ z
    ! s4 | ʬ
    IӐ7B 䰄

    Преобразование функции

    Если вы начнете с простой родительской функции

    y

    знак равно

    ж

    (

    Икс

    )

    и его графика, некоторые модификации функции приведут к легко предсказуемым изменениям на графике.

    Например:


    Горизонтальный сдвиг

    • Замена

      ж

      (

      Икс

      )

      с участием

      ж

      (

      Икс

      б

      )

      приводит к смещению графика

      б

      единиц вправо.

    \

    • Замена

      ж

      (

      Икс

      )

      с участием

      ж

      (

      Икс

      +

      б

      )

      приводит к смещению графика

      б

      единиц слева.


    Вертикальный сдвиг

    • Замена

      ж

      (

      Икс

      )

      с участием

      ж

      (

      Икс

      )

      +

      c

      приводит к смещению графика

      c

      единиц вверх.

    • Замена

      ж

      (

      Икс

      )

      с участием

      ж

      (

      Икс

      )

      c

      приводит к смещению графика

      c

      единиц вниз.


    Отражение

    • Замена

      Икс

      с участием

      Икс

      приводит к тому, что график отображается на

      y

      -ось.

    • Замена

      ж

      (

      Икс

      )

      с участием

      ж

      (

      Икс

      )

      приводит к тому, что график отображается на

      Икс

      -ось.


    Горизонтальное растяжение / сжатие

    • Замена

      Икс

      с участием

      п

      Икс

      приводит к горизонтальному сжатию с коэффициентом

      п

      .

    • Замена

      Икс

      с участием

      Икс

      п

      приводит к горизонтальному растяжению с коэффициентом

      п

      .


    Вертикальное растяжение / сжатие

    • Замена

      ж

      (

      Икс

      )

      с участием

      п

      ж

      (

      Икс

      )

      приводит к вертикальному растяжению с коэффициентом

      п

      .

    • Замена

      ж

      (

      Икс

      )

      с участием

      ж

      (

      Икс

      )

      п

      приводит к вертикальному сжатию с коэффициентом

      п

      .

    Определение и графики тригонометрических функций

    Углы (аргументы функций): \ (\ alpha \), \ (x \)
    Тригонометрические функции: \ (\ sin \ alpha \), \ (\ cos \ alpha \), \ (\ tan \ alpha \), \ (\ cot \ alpha \), \ (\ sec \ alpha \), \ (\ csc \ alpha \)
    Набор действительных чисел: \ (\ mathbb {R} \)
    Координаты точек на окружности: \ (х \), \ (у \)

    Радиус круга: \ (r \)
    Целые числа: \ (k \)

    1. Тригонометрические функции — это элементарные функции, аргументом которых является угол.Тригонометрические функции описывают соотношение сторон и углов прямоугольного треугольника. Приложения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (рядов Фурье). Эти функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.
    2. Тригонометрические функции включают следующие функции \ (6 \): синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс.Для каждой из этих функций существует обратная тригонометрическая функция.
    3. Тригонометрические функции можно определить с помощью единичной окружности. На рисунке ниже показан круг радиуса \ (r = 1 \). На окружности есть точка \ (M \ left ({x, y} \ right) \). Угол между радиус-вектором \ (OM \) и положительным направлением оси \ (x \) — равен \ (\ alpha \).
    4. Синус угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (y \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к радиусу \ (r: \)
      \ (\ грех \ альфа = у / г \).
      Поскольку \ (r = 1 \), синус равен \ (y \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \).
    5. Косинус угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (x \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к радиусу \ (r: \)
      \ (\ соз \ альфа = х / г \)
    6. Тангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (y \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к \ (x \) -координата:
      \ (\ tan \ alpha = y / x, \; \) \ (x \ ne 0 \)
    7. Котангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (x \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к \ (y \) -координата:
      \ (\ cot \ alpha = x / y, \; \) \ (y \ ne 0 \)
    8. Секущая угла \ (\ alpha \) — это отношение радиуса \ (r \) к \ (x \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \ ):
      \ (\ sec \ alpha = r / x = 1 / x, \; \) \ (x \ ne 0 \)
    9. Косеканс угла \ (\ alpha \) — это отношение радиуса \ (r \) к \ (y \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \ ):
      \ (\ csc \ alpha = r / y = 1 / y, \; \) \ (y \ ne 0 \)
    10. Соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике
      В единичном круге проекции \ (x \), \ (y \) точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) и радиус \ (r \) образуют прямоугольный треугольник, в котором \ (x, y \) — катеты, а \ (r \) — гипотенуза.Поэтому приведенные выше определения сформулированы следующим образом:
      Синус угла \ (\ alpha \) — это отношение противоположного катета к гипотенузе.
      Косинус угла \ (\ alpha \) — это отношение соседнего катета к гипотенузе.
      Тангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение противоположного отрезка к соседнему отрезку.
      Котангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение соседнего отрезка к противоположному отрезку.
      Секанс угла \ (\ alpha \) — это отношение гипотенузы к соседнему катету.
      Косеканс угла \ (\ alpha \) — это отношение гипотенузы к противоположному катету.
    11. График функции синуса
      \ (y = \ sin x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R} \), диапазон: \ (- 1 \ le \ sin x \ le 1 \)
    12. График функции косинуса
      \ (y = \ cos x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R} \), диапазон: \ (- 1 \ le \ cos x \ le 1 \)
    13. График касательной функции
      \ (y = \ tan x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne \ left ({2k + 1} \ right) \ pi / 2 \), диапазон: \ (- \ infty \ lt \ tan x \ lt \ infty \)
    14. График функции котангенса
      \ (y = \ cot x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne k \ pi \), диапазон: \ (- \ infty \ lt \ cot x \ lt \ infty \)
    15. График функции секанса
      \ (y = \ sec x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne \ left ({2k + 1} \ right) \ pi / 2 \), диапазон: \ (\ sec x \ in \) \ (\ left ({- \ infty, -1} \ right] \ cup \ left [{1, \ infty} \ right) \)
    16. График функции косеканса
      \ (y = \ csc x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne k \ pi \), диапазон: \ (\ csc x \ in \) \ (\ left ({- \ infty, -1} \ right] \ cup \ left [{1, \ infty} \ right) \)

    Функции и взаимосвязи — стало проще

    Введение

    Упорядоченная пара — это набор входов и выходов, представляющий взаимосвязь между двумя значениями.Отношение — это набор входов и выходов, а функция — это отношение с одним выходом для каждого входа.

    Что такое функция?

    Некоторые отношения имеют смысл, а другие — нет. Функции — это отношения, которые имеют смысл. Все функции являются отношениями , но не все отношения являются функциями.

    Функция — это отношение, в котором для каждого входа существует только один выход.

    Вот отображение функций.Домен — это вход или x-значение , а диапазон — это выход или y-значение .

    Каждое значение x связано только с одним значением y.

    Хотя входы, равные -1 и 1, имеют одинаковый выход, это отношение по-прежнему является функцией, потому что каждый вход имеет только один выход.

    Это отображение не является функцией. Вход для -2 имеет более одного выхода.

    Графические функции

    Использование входов и выходов, перечисленных в таблицах, картах и ​​списках, позволяет легко нанести точек на координатную сетку .Используя график точек данных, вы можете определить, является ли отношение функцией, используя тест вертикальной линии . Если вы можете провести вертикальную линию через график и коснуться только одной точки, отношение является функцией.

    Взгляните на график этой карты отношений. Если бы вы провели вертикальную линию через каждую точку на графике, каждая линия касалась бы только одной точки, так что это отношение является функцией.

    Специальные функции

    Специальные функции и их уравнения имеют узнаваемые характеристики.

    Постоянная функция

    $ f (x) = c $

    Значение c может быть любым числом, поэтому график постоянной функции представляет собой горизонтальную линию. Вот график $ f (x) = 4 $

    .

    Функция идентификации

    долл. США f (x) = x

    долл. США

    Для функции идентичности значение x совпадает с значением y. График представляет собой диагональную линию, проходящую через начало координат.

    Линейная функция

    долл. США f (x) = mx + b

    долл. США

    Уравнение, записанное в форме пересечения наклона , является уравнением линейной функции , а график функции представляет собой прямую линию.

    Вот график $ f (x) = 3x + 4 $

    Функция абсолютного значения

    долл. США f (x) = | x |

    долл. США

    Функцию абсолютного значения легко распознать по V-образному графику. График состоит из двух частей и представляет собой одну из кусочных функций.

    Это лишь некоторые из наиболее часто используемых специальных функций.

    Обратные функции

    Инверсная функция меняет местами входы и выходы.{-1} (x) = \ frac {x + 4} {3} $.

    Не каждая инверсия функции является функцией, поэтому для проверки используйте тест вертикальной линии.

    Функциональные операции

    Вы можете функций сложения, вычитания, умножения и деления .

    • $ f (x) + g (x) = (f + g) (x)
    • долларов США

    • $ f (x) — g (x) = (f — g) (x) $
    • $ f (x) \ times g (x) = (f \ times g) (x) $
    • $ \ frac {f (x)} {g (x)} = \ frac {f} {g} (x)
    • долларов США

    Посмотрите на два примера операций функции:

    Какова сумма этих двух функций? Просто добавьте выражения.{2} + 11x + 28
    \ end {align}

    долларов США

    Математический факультет Ожидаемые результаты обучения

    Math2010, Промежуточная алгебра

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь
    к:

    1. Работа с функциями, представленными в таблицах, графиках, с алгебраическими
      выражением или словами. Определите, представлены ли отношения в каком-либо из
      эти форматы являются функциями. В этом курсе рассматриваются следующие функции:
      линейный, экспоненциальный, логарифмический, квадратичный, квадратный корень и степень.
    2. Найдите домен, точки пересечения по оси x, точки пересечения по оси Y, вывод с учетом
      вход, а вход задан выходом для всех функций, представленных в
      таблицы, графики или с алгеброй. Найдите спектр представленных функций
      графически.
    3. Определите, является ли данная функция линейной, квадратичной, экспоненциальной или
      ничего из вышеперечисленного для функций, представленных алгебраически, графически,
      или в таблицах.
    4. Знать формы графиков всех вышеперечисленных функций. Быть способным
      чтобы распознать, когда достаточная часть графика нарисована в
      для обозначения формы графика.
    5. Методы построения графиков различаются в зависимости от функции:
      • Графические линейные функции с использованием двух точек или одной точки и
        наклон.
      • Изобразите квадратичные функции, используя оба этих подхода:
        • пересечение по оси x и вершина (или линия симметрии).
        • вершина и эффективный стол (уметь использовать симметрию
          и, возможно, точка пересечения по оси Y).
      • График логарифмических функций без преобразований по
        переключение значений x и y соответствующего экспоненциального графика.
      • График экспоненциальной функции и функции квадратного корня, если они указаны в
        форма трансформации, используя эффективные таблицы.
      • График степенных функций без преобразований с использованием
        столы.
    6. Решение линейных, квадратичных, экспоненциальных, логарифмических и квадратных корней
      уравнения. Это включает решение квадратных уравнений с использованием
      свойство нулевого произведения, завершение квадрата, и формула квадратичного уравнения.
    7. Решите линейные неравенства и дайте ответы в неравенствах, интервал
      и графический (числовая линия) формат.
    8. Определить наклон прямой; найти уравнения заданных прямых
      информация о них. Решите, параллельны ли линии, перпендикулярны,
      или ни то, ни другое.
    9. Решите 2×2 системы линейных уравнений и функций, используя
      графический и подстановочный методы.
    10. Уметь множить квадратичные выражения или решать, не могут ли они
      учитываться; завершить квадрат.
    11. Выполнение композиции функций, представленных в таблицах, графиках или
      с алгеброй.
    12. Определите, является ли функция, представленная таблицей или графиком, обратимой
      и дадим обратное в том же формате.
    13. Найдите алгебраический обратный к линейной функции, представленной алгебраически.
    14. Разберитесь с правилами экспонент, отрицательными показателями и рациональными
      экспоненты. Используйте правила экспоненты, чтобы упростить экспоненциальные выражения.
    15. Создавайте алгебраические модели для описания реальных жизненных ситуаций. Быть
      может решить, какой тип модели лучше всего подходит для ситуации:

      • Используйте линейные функции для моделирования постоянных темпов роста.
      • Используйте экспоненциальные функции для моделирования постоянного процентного изменения.
      • Используйте квадратичные функции для моделирования постоянного ускорения.
    16. Анализируйте и используйте линейные, экспоненциальные и квадратичные модели для
      отвечать на вопросы о ситуациях, которые они представляют. В частности,
      соотносят графические функции (например, точки пересечения по осям x и y и
      вершина параболы) к конкретным аспектам ситуации
      смоделирован. Для квадратиков уметь переписать функцию
      надлежащим образом, чтобы найти желаемую информацию.

    Math2030, Введение в количественное мышление

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь
    to:

    1. Используйте диаграммы Венна, чтобы изучить взаимосвязи между наборами и допустимость простых
      дедуктивные аргументы.
    2. Используйте подходящее предложение, чтобы описать как абсолютное, так и процентное изменение
      заданное количество и интерпретируйте такие заявления об изменении.
    3. Используйте простые и составные единицы, при необходимости выполняя преобразования, и развивайте
      точные сравнения между единицами.
    4. Оцените влияние сложных процентов на простые финансовые решения.
    5. Используйте план сбережений и формулы ссуды для расчета суммы платежа в плане сбережений
      когда необходимо достичь определенной финансовой цели, для расчета выплаты по ипотеке или
      проценты, выплачиваемые в течение срока кредита, и обсудите, реалистичны ли эти результаты (или нет),
      сравните несколько кредитов с разными процентными ставками для принятия финансовых решений.
    6. Сравните и проиллюстрируйте особенности линейного и экспоненциального роста, используя практические
      Примеры.
    7. Определите простые площади, объемы и объясните дифференциальное влияние масштабирования на
      периметр, площадь, объем, а также некоторые практические аспекты масштабирования.

    Math2040, Введение в статистику и вероятность

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь
    к:

    1. Узнайте о различных способах сбора данных и решите, какой метод лучше всего подходит для
      в данной ситуации.
    2. Проведите различие между различными методами отбора проб и решите, какой отбор проб
      техника сработает лучше всего в данной ситуации.
    3. Используйте различные таблицы и графики для организации и анализа данных.
    4. Вычислить среднее значение, медианное значение, режим, диапазон, квартили, межквартильный размах, выброс (ы), найти
      процентиль, который соответствует значению и интерпретирует результаты различными способами.
    5. Найдите z-оценку (стандартную оценку) и сравните z-оценки из разных наборов данных.
    6. Найдите среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение; интерпретировать стандартное отклонение с помощью
      Эмпирическое правило (правило 68-95-99.7) для колоколообразного распределения; интерпретировать стандарт
      отклонение в связи с распределением, которое не является колоколообразным или неизвестно с использованием
      Теорема Чебычева; найти стандартное отклонение для сгруппированных данных (используя классы и
      средние точки).
    7. Определите вероятность события, используя фундаментальный принцип подсчета,
      условная вероятность, правило умножения и правило сложения.
    8. Создайте и используйте распределение вероятностей.
    9. Распознать биномиальный эксперимент и вычислить биномиальное распределение, используя
      Формула биномиальной вероятности.
    10. Распознавать нормальное (колоколообразное) распределение и стандартное нормальное распределение; вычислить
      площади / вероятности с использованием стандартной таблицы нормального распределения.
    11. Объясните значение различных значений коэффициента корреляции и соотнесите
      концепция силы / слабости линейной зависимости между двумя переменными, когда
      глядя на разные графики рассеяния.
    12. Найдите уравнение линии регрессии (линия наилучшего соответствия) и спрогнозируйте значения, используя
      уравнение линии регрессии.

    Math2050, Алгебра колледжа

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь:

    1. Нарисовать график основных многочленов (второго и третьего порядка),
      рациональные, радикальные, экспоненциальные, логарифмические и кусочные функции
      с преобразованиями или без них. Уметь определять важные
      точки, такие как точки пересечения по осям x и y, максимальные или минимальные значения; домен
      и ассортимент; и любая симметрия.
    2. Для рациональных функций определите точки пересечения по осям x и y, по вертикали,
      горизонтальные и наклонные асимптоты (конечное поведение) и область значений. Использовать
      информация для набросков графиков функций.
    3. Для полиномиальных функций укажите все нули (действительные и
      комплекс), факторы, точки пересечения по осям x и y, конечное поведение и где
      функция положительная или отрицательная. Используйте информацию для рисования графиков.
    4. Поймите связь между графическим, алгебраическим и
      словесные описания функций.
    5. Учитывая график функции, уметь идентифицировать домен,
      диапазон, любые асимптоты и / или симметрии, пересечения по осям x и y, а также
      как найти правило для функции, если она получена из стандарта
      функционируют через преобразования.
    6. Определите i как квадратный корень из -1 и узнайте комплекс
      арифметика, необходимая для решения квадратных уравнений с комплексными
      корнеплоды.
    7. Решить абсолютное значение, линейное, полиномиальное, рациональное, радикальное,
      экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства.
    8. Найдите функцию, обратную функции, алгебраически и графически.
    9. Выполнять композицию функций и операции над функциями.
    10. Понимать последовательности и уметь различать
      геометрические, арифметические и другие, такие как последовательности типа Фибоначчи
      предоставление прямых формул, если таковые имеются.
    11. Понимать обозначения рядов и знать, как вычислять суммы
      конечный или бесконечный арифметический или геометрический ряд.
    12. Решите системы уравнений (3×3 линейных) и нелинейных
      уравнения с двумя переменными.
    13. Разберись в алгебраических выражениях и объясни отношения
      среди алгебраических величин, включая квадратичные, экспоненциальные,
      логарифмические, рациональные, радикальные и полиномиальные выражения, уравнения и функции.
    14. Представляйте и интерпретируйте ситуации «реального мира» с помощью квадратичной
      экспоненциальный, логарифмический, рациональный, радикальный и полиномиальный
      выражения, уравнения и функции.

    Math2060, Тригонометрия

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь:

    1. Понимать определения тригонометрических функций в контексте
      прямоугольных треугольников и единичной окружности.
    2. График основных тригонометрических функций и функций с основными
      трансформации. Уметь написать уравнение с учетом
      график. Определите амплитуду, периоды, фазовые сдвиги по графику и
      алгебраические представления функций.
    3. Решайте прикладные задачи, используя принципы тригонометрии.
    4. Представлять и интерпретировать контекстные ситуации «реального мира», используя
      радианные тригонометрические функции.
    5. Правильно используйте тригонометрические инверсии, понимая
      ограничения домена / диапазона.
    6. Подтвердите тригонометрическую идентичность, используя правильную логику и использование
      тригонометрические тождества для оценки выражений.
    7. Решите тригонометрические уравнения.
    8. Решите все измерения в любом треугольнике, используя
      Теорема Пифагора, тригонометрические функции, закон синусов и
      Закон косинусов в различных контекстах и ​​приложениях.
    9. Уметь преобразовывать в и из прямоугольных и
      координаты в тригонометрической форме (полярные координаты).
    10. Построение комплексных чисел на плоскости, выполнение операций с такими числами и использование теоремы ДеМуавра для нахождения корней и степеней комплексных чисел.
    11. Понимать геометрию и арифметические операции с векторами и
      использовать векторы в прикладных задачах.
    12. Используйте параметрические уравнения в прикладных задачах и уметь
      преобразование между параметрическим и непараметрическим представлением
      функции.
    13. Понимать и объяснять арифметику с комплексными числами, используя
      тригонометрия.
    14. Распознавать формулы парабол, гипербол и эллипсов (включая круги). Уметь манипулировать этими основными кониками, чтобы находить фокусы, любые асимптоты и важные точки и строить графики этих коник.Используйте коники в реальной ситуации.

    Math2070, Введение в статистический вывод

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь:

    1. Уметь суммировать данные с помощью диаграмм, графиков, гистограмм и вычислять базовую описательную статистику, такую ​​как среднее значение, стандартное отклонение, медиана и квартили.
    2. Работайте с нормальным распределением и используйте таблицу для поиска вероятностей.
    3. Поймите разницу между корреляцией и причинно-следственной связью.
    4. Выполните регрессионный анализ и вычислите корреляцию.
    5. Поймите центральную предельную теорему и предположение о нормальности.
    6. Изучите основы тестов значимости и доверительных интервалов, включая z-тесты, t-тесты, пропорциональные тесты, тесты хи-квадрат, ANOVA и непараметрические тесты.
    7. Уметь выполнять простой статистический анализ больших наборов данных с использованием электронных таблиц (на протяжении всего курса).

    Math2080, Precalculus

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь:

    1. Решать абсолютные линейные неравенства и полиномиальные / рациональные неравенства.
    2. Граф полиномиальный, рациональный, радикальный, экспоненциальный, логарифмический,
      тригонометрические и кусочные функции, используя преобразования как
      а также информацию об области, асимптотах, симметрии и / или
      перехватывает.
    3. Учитывая график функции, уметь идентифицировать домен, диапазон,
      асимптоты, симметрии и нули, а также найти правило для
      функция, если она получена из стандартной функции через
      трансформации.
    4. Найдите функцию, обратную функции, алгебраически и графически.
    5. Понимать и уметь находить предметную область функций. Выполнять
      композиция функций и операции над функциями.
    6. Найдите коэффициент разности функции и используйте его, чтобы найти
      линии, относящиеся к кривым функций.
    7. Поймите связь между графическим, алгебраическим и
      словесные описания функций, в частности многочленов.
    8. Найти все нули, включая комплексные, полиномиальной функции.
    9. Решите экспоненциальные, логарифмические, рациональные, радикальные, тригонометрические и полиномиальные уравнения.
    10. Используйте биномиальную теорему и треугольник Паскаля, чтобы развернуть биномиальное выражение.
    11. Решите системы линейных уравнений с матрицами, используя метод исключения Гаусса-Жордана и обратные матрицы.
    12. Выполнение матричной арифметики и вычисление обратных матриц.
    13. Распознавать формулы и строить графики парабол, гипербол и эллипсов (включая круги).
    14. Поймите определения тригонометрических функций в контексте прямоугольного треугольника и единичной окружности.
    15. Уметь преобразовывать в прямоугольную и тригонометрическую форму и обратно
      координаты (полярные координаты явно не указаны).
    16. Правильно используйте тригонометрические инверсии, понимая ограничения домена / диапазона.
    17. Подтвердите тригонометрическую идентичность, используя правильную логику и использование
      тригонометрические тождества для оценки выражений.
    18. Решите для всех измерений в любом треугольнике, используя Пифагора.
      Теорема, тригонометрические функции углов, закон синусов и закон косинусов, а также приложения.
    19. Построить комплексные числа на плоскости, выполнить операции над такими
      чисел и используйте теорему ДеМуавра, чтобы найти корни и степени сложных
      числа.
    20. Понимать последовательности и уметь различать геометрические, арифметические и последовательности типа Фибоначчи, давая прямые формулы, если они доступны.
    21. Понимать обозначения рядов и знать, как вычислять сумму конечных арифметических и геометрических рядов.

    Math2090, Колледж алгебры для бизнеса и социальных наук

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь:

    1. Рисовать и анализировать квадратичные, экспоненциальные и логарифмические
      функции; решать квадратные, экспоненциальные и логарифмические уравнения.
    2. Поймите, что такое математическая функция, и научитесь использовать линейные, квадратичные, логарифмические и экспоненциальные функции для моделирования реальных примеров.
    3. Знать, как решить систему линейных или квадратных уравнений, возникающих в
      бизнес-приложения.
    4. Найдите решения задач линейного программирования, чтобы максимизировать
      функция над геометрической областью.
    5. Выполнение простых вычислений матричной алгебры.
    6. Используйте матрицы для решения систем линейных уравнений.
    7. Поймите, что такое обратная функция, и сможете найти
      обратная функция, если она существует.
    8. Различайте простые и сложные процентные ставки.
    9. Рассчитайте будущую и текущую стоимость аннуитетов и знайте, когда использовать какую формулу для применения в страховании жизни.
    10. Рассчитайте график погашения и выплаты по ссуде, например, оплату автомобиля или ипотеки.

    Math2100, Количественный анализ

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь:

    1. Иметь базовое концептуальное понимание ограничений.
    2. Знайте, как различать и интегрировать полиномиальные, рациональные, логарифмические и экспоненциальные функции.
    3. Используйте производные для сбора информации о форме кривой и используйте эту информацию для построения графика кривой y = f (x) для полиномиальных, логарифмических, экспоненциальных и простых рациональных функций.
    4. Узнайте, как использовать дифференциацию для оптимизации функций бизнес-приложений, например, для увеличения прибыли.
    5. Используйте интеграцию, чтобы найти площадь под кривыми и для бизнес-примеров, таких как среднее значение.
    6. Возьмите частные производные основных функций двух переменных.

    Math2170, Расчет для биологов I

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь:

    1. Переводить с языка современных влажных лабораторий на математические задачи и переводить ответ обратно в биологический контекст.
    2. Получение и анализ динамических систем с дискретным временем, включая поиск
      равновесия, паутина и анализ стабильности.
    3. Понимать математическое и научное значение пределов и
      непрерывные функции.
    4. Вычислить производные функций, построенных на основе полинома, экспоненты
      и тригонометрические компоненты.
    5. Используйте производные для построения графиков функций и понимайте их ведущие
      поведение в нуле и бесконечности.
    6. Примените дифференциацию к задачам оптимизации и связанным с ней ставкам.
    7. Приближенные функции с рядом Тейлора и применить это к Ньютону
      метод поиска корней.
    8. Поймите фундаментальную теорему исчисления и ее связь с
      дифференциальные уравнения.
    9. Вычислить определенные и неопределенные интегралы от многочленов и специальных
      функции и применять их для поиска областей и объемов.
    10. Используйте современное программное обеспечение для практического применения полученных математических понятий в вычислительных проектах.

    Math2180, Расчет для биологов II

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь:

    1. Вывести и графически проанализировать одномерный автономный дифференциал
      уравнения, и найти их равновесие и устойчивость.
    2. Используйте разделение переменных для решения одномерного дифференциала
      уравнения.
    3. Используйте фазовую плоскость для анализа двумерных систем автономных
      дифференциальные уравнения.
    4. Поймите и примените аксиомы вероятности, включая
      определение и интерпретация условной вероятности и
      независимость.
    5. Графическое отображение распределения вероятностей и плотности вероятности
      функции случайных величин, а также вычислить среднее, медиану, дисперсию
      и другая описательная статистика.
    6. Используйте совместные распределения для описания отношений между случайными
      переменных и суммируйте их с помощью ковариации и корреляции.
    7. Поймите предположения, лежащие в основе случайных величин, которые следуют
      биномиальное, геометрическое, пуассоновское, экспоненциальное и нормальное распределения,
      и применить их для вычисления вероятностей событий.
    8. Знать, как использовать максимальное правдоподобие для оценки параметров и
      сравнить модели.
    9. Понимание проверки гипотез, значений p и доверительных интервалов, а также
      правильно интерпретировать результаты в научных статьях.
    10. Знать основные статистические методы t-критерия,
      критерий хи-квадрат и линейная регрессия.
    11. Используйте современное программное обеспечение для практического применения полученных математических понятий в вычислительных проектах.
    12. Используйте современное статистическое программное обеспечение для анализа и отображения научных данных.

    Math2210, Calculus I

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь:

    1. Принимать пределы алгебраических и тригонометрических выражений вида 0/0 (которые упрощают), ненулевое число больше 0, включая пределы, которые идут (положительные или отрицательная) бесконечность, несуществующие пределы и конечные пределы.
    2. Используйте и поймите определения пределов производного инструмента для
      полиномиальные, рациональные и некоторые тригонометрические функции; понимать
      определение преемственности и последствий.
    3. Дифференцировать все полиномиальные, рациональные, радикальные и тригонометрические функции и композиции этих функций; выполнять неявное дифференцирование и вычислять производные более высокого порядка.
    4. Используйте дифференциацию, чтобы найти критические точки и перегибы
      точек, знаков первой и второй производных и области
      и ограничить информацию для определения вертикального и горизонтального
      асимптоты.Затем используйте всю эту информацию, чтобы нарисовать график y = f (x).
    5. Применение дифференциации к оптимизации, связанных ставок, линейных
      приближение и задачи с дифференциалами.
    6. Вычислить неопределенные интегралы и найти первообразные, включая
      нахождение констант интегрирования по начальным условиям.
    7. Вычислить определенные интегралы, используя определение простого
      полиномиальные функции. Вычисляйте определенные интегралы, используя правило степеней, базовую u-подстановку и фундаментальные теоремы исчисления.
    8. Примените определенный интеграл для вычисления площади между двумя кривыми,
      объемы тел вращения, длина дуги, площадь поверхности для
      поверхности вращения и рабочие проблемы.

    Math2220, Calculus II

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь:

    1. Вычислять производные и интегралы для экспоненциальных, логарифмических, гиперболических функций и обратных тригонометрических функций.
    2. Интегрируйте интегрируемые функции, используя интегрирование по частям, u-замену, тригонометрические замены, рационализирующие замены, частичное разложение на дроби и тригонометрические тождества.Это включает в себя знание того, какие методы применить к заданному интегралу.
    3. Используйте правило L’Hopital, чтобы вычислить пределы неопределенного типа, а также узнать, какие пределы являются неопределенными формами и как вычислить эти пределы.
    4. Вычислить несобственные интегралы.
    5. Поймите разницу между бесконечной последовательностью и бесконечным рядом и определите, сходится ли последовательность или расходится.
    6. Определите, сходится или расходится бесконечный ряд чисел, используя различные тесты.
    7. Поймите, что означает схождение Power Series или
      расходятся и смогут найти ряды Тейлора для заданного
      функция. Определите, насколько близко многочлен Тейлора приближается к
      функция с использованием теоремы Тейлора об остатках.
    8. Дифференцировать и интегрировать функции в полярных координатах.

    Math3210, Calculus III

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь:

    1. Выполнять базовые векторные вычисления, а также вычислять точки и крестики.
      произведения двух векторов и проекции одного вектора на другой вектор.
    2. Преобразование цилиндрической, прямоугольной и сферической формы
      координаты. Поймите, когда целесообразно перейти на один
      система координат над другой при вычислении интеграла.
    3. Определите уравнение плоскости в 3-м измерении, включая касательную плоскость к поверхности в 3-м измерении.
    4. Найдите параметрические уравнения трехмерной прямой.
    5. Выполнять операции вычисления над функциями нескольких переменных, включая пределы, частные производные, производные по направлениям и градиенты; понять, что означает градиент геометрически.
    6. Найти максимум и минимум функции двух переменных; используйте множители Лагранжа для задач оптимизации с ограничениями.
    7. Понять расхождение и ротор векторного поля.
    8. Вычисление двойных и тройных интегралов в прямоугольных, сферических и цилиндрических координатах; правильное использование двойных или тройных интегралов для определения площади поверхности или объема трехмерной области.
    9. Вычислить линейные и поверхностные интегралы.
    10. Определите, является ли векторное поле консервативным, и если да, найдите
      соответствующая потенциальная функция.
    11. Используйте и поймите, когда применять теорему Грина, Гаусса
      Теорема о расходимости и теорема Стокса.

    Math2250, Вычисление для студентов AP I

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь:

    1. Вычислять производные полиномиальных, рациональных и степенных функций по определению.
    2. Разграничить все элементарные функции; выполнять неявное дифференцирование и вычислять производные более высокого порядка. (Под элементарными функциями мы понимаем рациональные, степенные, экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, а также функции, полученные с их помощью сложением, умножением и сложением, другими словами: все функции, которые могут быть определены с помощью формул.)
    3. Используйте дифференцирование, чтобы найти стационарные, особые точки и точки перегиба, а также информацию об области и ограничениях для определения вертикальных и горизонтальных асимптот, а затем используйте всю эту информацию для построения графика кривой y = f (x).
    4. Примените дифференциацию к задачам оптимизации и связанным с ней ставкам.
    5. Разберитесь в концепции параметрической кривой в контексте проблем связанных ставок.
    6. Вычислить, когда это возможно, неопределенные и определенные интегралы от элементарных функций, используя формулы, интегрирование путем подстановки, а также по частям и методам частичных дробей.
    7. Понимание основных теорем исчисления.
    8. Понимать и уметь доказывать тригонометрические тождества.
    9. Примените определенный интеграл для вычисления площади между двумя кривыми, объемов тел вращения, длины дуги, площади поверхности для поверхностей вращения и центра масс.
    10. Используйте правило L’Hopital, чтобы вычислить пределы неопределенного типа, а также узнать, какие пределы являются неопределенными формами и как вычислить эти пределы.
    11. Вычислить несобственные интегралы.
    12. Вычислить с использованием комплексных чисел; понять связь между тригонометрическими и экспоненциальными функциями.
    13. Поймите разницу между бесконечной последовательностью и бесконечным рядом и определите, сходится ли последовательность или расходится.
    14. Определите, сходится или расходится бесконечный ряд чисел, используя различные тесты.
    15. Понять, что означает сходиться или расходиться степенной ряд, и уметь найти ряд Тейлора для заданной функции.
    16. Используйте теорему Тейлора для приближения функций полиномами.
    17. Дифференцировать и интегрировать функции в полярных координатах.
    18. Уметь понимать доказательства теорем, продемонстрированные в классе.
    19. Решайте сложные задачи, используя идеи из всего вышеперечисленного.

    Math2260, Вычисление для студентов AP II

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь:

    1. Иметь полное представление о следующих темах двумерной и трехмерной линейной алгебры:
      • Векторы в плоскости и пространстве
      • Точечное произведение и проекция векторов
      • Матрицы и определители размера 2 и 3;
      • Перекрестные продукты
      • Уравнения прямых в плоскостях в 3-х переменных; Формулы расстояний
    2. Дифференцируйте и интегрируйте функции от 2-х и 3-х переменных.
    3. Найдите уравнение касательных плоскостей к поверхностям.
    4. Разберитесь в геометрическом значении градиента.
    5. Найти максимум и минимум функции двух переменных; используйте множители Лагранжа для задач оптимизации с ограничениями.
    6. Тщательное понимание параметрических кривых, скорости, ускорения и кривизны.
    7. Иметь хорошее понимание следующих тем векторного анализа:
      • Линейные и поверхностные интегралы
      • Локон и расхождение
      • Теоремы Грина, Стокса и Гаусса.
    8. Примените эти теоремы к конкретным задачам физики.
    9. Уметь понимать доказательства теорем, продемонстрированные в классе.
    10. Решайте сложные задачи, используя идеи из всего вышеперечисленного.

    Math2310, Engineering Calculus I

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь
    к:

    1. Узнайте, как преобразовывать функции в другие функции
      с помощью x- и y-трансляций и изменения масштаба, перенастройки параметров,
      и функциональный состав.
    2. Знать свойства специальных классов функций, включая
      логарифмы, экспоненциальные функции, многочлены и рациональные
      функции и знать, как получить обратные функции, если они существуют.
    3. Освоить понятие предельного значения функции f (x) = y
      когда x приближается к значению c, знать, когда существуют ограничения, использовать предел
      законы, знать, как свойство непрерывности функции в c соотносится
      до его предельного значения, знаю, как можно описать асимптотическое поведение
      ограничениями, и как можно указать предельные значения, даже если
      функция не определена в c.
    4. Понять, как использовать пределы для вычисления производной
      функция, описывающая скорость изменения функции.
    5. Используйте производные для моделирования того, как два связаны
      величины изменяются относительно друг друга, в том числе движение
      объекты с точки зрения скорости и ускорения.
    6. Знать методы дифференциации для разных классов
      функции, включая экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические, обратные
      тригонометрические, степенные функции и композиции, суммы, произведения,
      коэффициенты функций, а также умение различать
      функции, которые неявно определяются уравнением.
    7. Использование производной в прикладных контекстах,
      включая аппроксимацию функции, и как средний наклон
      функция связана с производной через теорему о среднем значении.
    8. Получить производную одной величины, зная производную
      другой, если две величины связаны уравнением.
    9. Используйте линейные аппроксимации для численного / алгоритмического
      решение уравнений методом Ньютона.
    10. Используйте производную, чтобы найти максимум, минимум или иначе
      «оптимальная» входная ценность для уравнений, важных в науке, бизнесе
      и инженерия.
    11. Понимать определение интеграла функции как
      предельное значение все более большого среднего значений функций.
    12. Связать интеграл с площадью под кривой функции, знать
      как приблизить интеграл конечной суммой и как интегрировать
      над областями бесконечной длины.
    13. Освойте специальные методы интеграции, включая замену,
      интегрирование по частям и частичным дробям.
    14. Поймите ключевую концепцию, лежащую в основе определенной интеграции, а именно:
      вычисляет чистое накопление количества путем суммирования
      изменение количества на единицу времени или пространства в течение
      указанный интервал времени или пространства.
    15. Прочтите и поймите описания проблем, а затем сможете
      формулируют уравнения, моделирующие проблему, обычно применяя геометрические
      или физические принципы.
    16. Выберите соответствующие операции исчисления для применения к заданному
      проблема, выполните их точно и интерпретируйте результаты, используя
      числовые и графические вычислительные средства.
    17. Приобрести опыт решения проблем в группах, уметь
      эффективно сообщать о целях проблемы и использовании
      методы решения с коллегами и решение проблем в команде.Студенты также узнают, как эффективно формулировать вопросы с помощью
      как инструктор, так и ТА, и уметь эффективно общаться
      решения проблем.

    Math2320, Engineering Calculus II

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь
    к:

    1. Использовать методы интеграции для вычисления объемов объектов
      с аспектами круглой формы и вычислить длины кривых. Эти
      приложения представляют концепцию интеграции более высокого уровня,
      с суммированием сегментов малого объема dV или малой длины
      сегментов ds, которые вычисляются путем выполнения соответствующих
      параметризация в виде вещественного интеграла по прямой в терминах dx.
    2. Используйте интеграцию для решения задач, важных в физике и
      инженерное дело.
    3. Знать, как вычислить среднее значение функции, используя
      теорема о среднем значении для интегралов, центр масс для объектов,
      и вычисление энергии как силы, проинтегрированной по
      расстояние.
    4. Используйте физические законы, чтобы сформулировать дифференциальные уравнения, которые
      решать о движении масс силами гравитации, трения,
      электростатика, чтобы назвать несколько.
    5. Ознакомьтесь с феноменом экспоненциального роста и
      упадок науки и техники.
    6. Получите навыки вычислений и приложений бесконечного
      последовательности и суммы.
    7. Ознакомьтесь со свойствами бесконечных сумм для любого
      сходятся к конечному значению или расходятся к бесконечному значению, и
      узнайте о методах определения сходимости.
    8. Представляйте функции в виде ряда Тейлора и используйте теорему Тейлора
      для аппроксимации функций и оценки ошибки от использования конечного числа
      термины ряда Тейлора.
    9. Ознакомьтесь с 2- и 3-мерными системами координат,
      векторы и векторные операции, включая точечные и перекрестные произведения,
      уравнения трехмерных линий, плоскостей и других поверхностей.
    10. Представьте движение объектов в 3-х мерном пространстве с помощью векторных функций;
      представляют скорость и ускорение с помощью векторных проекций на
      тангенциальные и центростремительные координаты ускорения, и
      характеризовать кривые в пространстве, вычисляя длину и кривизну дуги.
    11. Характеризуйте аспекты поверхностей и объемов для функций в
      3-d, используя частные производные и вектор градиента.
    12. Опишите аппроксимацию касательных плоскостей к точкам на поверхностях, используя
      частные производные.
    13. Вычисление производных многомерных функциональных композиций
      с использованием многомерных версий цепного правила.
    14. Используйте инструменты интеграции многомерных функций по областям и
      объемов и использовать многократную многократную интеграцию
    15. Используйте метод многомерной замены переменных для преобразования
      координаты, по которым происходит интегрирование с использованием
      Якобиан. В частности, студенты узнают, как трансформироваться между
      интеграл по площади или объему в декартовых координатах, чтобы
      цилиндрические или сферические координаты.
    16. Прочтите и поймите описания проблем, а затем сможете
      формулируют уравнения, моделирующие проблему, обычно применяя геометрические
      или физические принципы.
    17. Выберите соответствующие операции исчисления для применения к заданному
      проблема, выполните их точно и интерпретируйте результаты, используя
      числовые и графические вычислительные средства.
    18. Приобрести опыт решения проблем в группах, уметь
      эффективно сообщать о целях проблемы и использовании
      методы решения с коллегами и решение проблем в команде.Студенты также узнают, как эффективно формулировать вопросы с помощью
      как инструктор, так и ТА, и уметь эффективно общаться
      решения проблем.

    Math2311, Ускоренное инженерное исчисление I

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь
    к:

    1. Узнайте, как преобразовывать функции в другие функции
      с помощью x- и y-трансляций и изменения масштаба, перенастройки параметров,
      и функциональный состав.
    2. Знать свойства специальных классов функций, включая
      логарифмы, экспоненциальные функции, многочлены и рациональные
      функции и знать, как получить обратные функции, если они существуют.
    3. Освоить понятие предельного значения функции f (x) = y
      когда x приближается к значению c, знать, когда существуют ограничения, использовать предел
      законы, знать, как свойство непрерывности функции в c соотносится
      до его предельного значения, знаю, как можно описать асимптотическое поведение
      ограничениями, и как можно указать предельные значения, даже если
      функция не определена в c.
    4. Понять, как использовать пределы для вычисления производной
      функция, описывающая скорость изменения функции.
    5. Используйте производные для моделирования того, как два связаны
      величины изменяются относительно друг друга, в том числе движение
      объекты с точки зрения скорости и ускорения.
    6. Знать методы дифференциации для разных классов
      функции, включая экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические, обратные
      тригонометрические, степенные функции и композиции, суммы, произведения,
      коэффициенты функций, а также умение различать
      функции, которые неявно определяются уравнением.
    7. Использование производной в прикладных контекстах,
      включая аппроксимацию функции, и как средний наклон
      функция связана с производной через теорему о среднем значении.
    8. Получить производную одной величины, зная производную
      другой, если две величины связаны уравнением.
    9. Используйте линейные аппроксимации для численного / алгоритмического
      решение уравнений методом Ньютона.
    10. Используйте производную, чтобы найти максимум, минимум или иначе
      «оптимальная» входная ценность для уравнений, важных в науке, бизнесе
      и инженерия.
    11. Понимать определение интеграла функции как
      предельное значение все более большого среднего значений функций.
    12. Связать интеграл с площадью под кривой функции, знать
      как приблизить интеграл конечной суммой и как интегрировать
      над областями бесконечной длины.
    13. Освойте специальные методы интеграции, включая замену,
      интегрирование по частям и частичным дробям.
    14. Поймите ключевую концепцию, лежащую в основе определенной интеграции, а именно:
      вычисляет чистое накопление количества путем суммирования
      изменение количества на единицу времени или пространства в течение
      указанный интервал времени или пространства.
    15. Прочтите и поймите описания проблем, а затем сможете
      формулируют уравнения, моделирующие проблему, обычно применяя геометрические
      или физические принципы.
    16. Выберите соответствующие операции исчисления для применения к заданному
      проблема, выполните их точно и интерпретируйте результаты, используя
      числовые и графические вычислительные средства.
    17. Приобрести опыт решения проблем в группах, уметь
      эффективно сообщать о целях проблемы и использовании
      методы решения с коллегами и решение проблем в команде.Студенты также узнают, как эффективно формулировать вопросы с помощью
      как инструктор, так и ТА, и уметь эффективно общаться
      решения проблем.
    18. Использовать методы интеграции для вычисления объемов объектов
      с аспектами круглой формы и вычислить длины кривых. Эти
      приложения представляют концепцию интеграции более высокого уровня,
      с суммированием сегментов малого объема dV или малой длины
      сегментов ds, которые вычисляются путем выполнения соответствующих
      параметризация в виде вещественного интеграла по прямой в терминах dx.

    Math2321, Ускоренное инженерное исчисление II

    После успешного завершения этого курса студент должен уметь
    к:

    1. Используйте интеграцию для решения задач, важных в физике и
      инженерное дело.
    2. Знать, как вычислить среднее значение функции, используя
      теорема о среднем значении для интегралов, центр масс для объектов,
      и вычисление энергии как силы, проинтегрированной по
      расстояние.
    3. Используйте физические законы, чтобы сформулировать дифференциальные уравнения, которые
      решать о движении масс силами гравитации, трения,
      электростатика, чтобы назвать несколько.
    4. Ознакомьтесь с феноменом экспоненциального роста и
      упадок науки и техники.
    5. Получите навыки вычислений и приложений бесконечного
      последовательности и суммы.
    6. Ознакомьтесь со свойствами бесконечных сумм для любого
      сходятся к конечному значению или расходятся к бесконечному значению, и
      узнайте о методах определения сходимости.
    7. Представляйте функции в виде ряда Тейлора и используйте теорему Тейлора
      для аппроксимации функций и оценки ошибки от использования конечного числа
      термины ряда Тейлора.
    8. Ознакомьтесь с 2- и 3-мерными системами координат,
      векторы и векторные операции, включая точечные и перекрестные произведения,
      уравнения трехмерных линий, плоскостей и других поверхностей.
    9. Представьте движение объектов в 3-х мерном пространстве с помощью векторных функций;
      представляют скорость и ускорение с помощью векторных проекций на
      тангенциальные и центростремительные координаты ускорения, и
      характеризовать кривые в пространстве, вычисляя длину и кривизну дуги.
    10. Характеризуйте аспекты поверхностей и объемов для функций в
      3-d, используя частные производные и вектор градиента.
    11. Опишите аппроксимацию касательных плоскостей к точкам на поверхностях, используя
      частные производные.
    12. Вычисление производных многомерных функциональных композиций
      с использованием многомерных версий цепного правила.
    13. Используйте инструменты интеграции многомерных функций по областям и
      объемов и использовать многократную многократную интеграцию
    14. Используйте метод многомерной замены переменных для преобразования
      координаты, по которым происходит интегрирование с использованием
      Якобиан.В частности, студенты узнают, как преобразовывать
      интеграл по площади или объему в декартовых координатах, чтобы
      цилиндрические или сферические координаты.
    15. Ознакомьтесь с векторными функциями, которые определяют векторные поля
      в плоском и трехмерном пространстве, особенно консервативные векторные поля,
      представлен градиентом скалярной функции, которые важны
      для гравитации и электростатики. Когда массы или заряженные частицы
      проталкиваются через такие поля, по изогнутым дорожкам, работа
      done можно вычислить как линейный интеграл.
    16. Узнайте, как основная теорема для линейных интегралов для
      консервативные векторные поля сводят интеграл к оценке
      потенциал в конечных точках пути.
    17. Изучите фундаментальные интегральные теоремы Грина по векторному исчислению,
      Стокса и Дивергенция. Представление о том, что одномерные интегралы от
      функции могут быть вычислены из оценки связанной функции
      (например, первообразная или потенциальная функция) на конечных точках
      интервал интеграции обобщается на интеграцию по областям,
      поверхности и трехмерные области.Интеграция по этим доменам может быть
      вычисляется путем оценки на границе области, поверхности или объема
      соответствующей функции.
    18. Вычислить и понять значение изгиба и расхождения
      векторное поле и использовать их для вычисления интегралов площади и объема
      используя теоремы Грина и Стокса и теоремы о расходимости соответственно.
      Студенты также узнают, как эти теоремы представляют сохранение.
      принципы для физических векторных полей, важных в гравитации и
      электрические поля.
    19. Прочтите и поймите описания проблем, а затем сможете
      формулируют уравнения, моделирующие проблему, обычно применяя геометрические
      или физические принципы.
    20. Выберите соответствующие операции исчисления для применения к заданному
      проблема, выполните их точно и интерпретируйте результаты, используя
      числовые и графические вычислительные средства.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.