График параболы функции: Построение графика квадратичной функции — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Квадратичная функция и ее график

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида , где  называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

aстарший коэффициент

bвторой коэффициент

с  — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции  имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции  при любых значениях остальных коэффициентов.

График  функции  имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

 

Обратите внимание, что график функции  симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции — значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции  — это точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции  нужно решить квадратное уравнение .

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение  не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола  не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то уравнение  имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:

3.  Если ,то уравнение  имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет две точки пересечения с осью ОХ:

,  

Если ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:

 

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции — точка пересечения параболы  с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы  с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции 

1. Направление ветвей параболы.

Так как ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 

 

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: 

,  

3.   Координаты  вершины параболы:

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

Ближайшие к вершине точки, расположенные  слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы  соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их  в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2.  Уравнение квадратичной функции имеет вид  — в этом уравнении — координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции  , и второй коэффициент — четное число.

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

  • сначала построить график функции ,
  • затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
  • затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
  • а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение  графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент — четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат: 

Следовательно,  координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда 

2. Координаты вершины параболы:

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на  координатную плоскость и построим график:

 

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
— ширины графика функции от значения коэффициента ,
— сдвига графика функции вдоль оси от значения  ,

— сдвига графика функции вдоль оси от значения  
— направления ветвей параболы от знака коэффициента
— координат вершины параболы от значений и :

Скачать таблицу квадратичная функция

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Построение графика квадратичной функции. Визуальный гид (ЕГЭ — 2021)

Напомню, что мы можем представить функцию \( y=a{{x}^{2}}+bx+c\) в таком виде:

\( y=a{{\left( x-p \right)}^{2}}+q\). {2}}-4x+2\)

И не забывай стирать ластиком старые оси!

Я в качестве ответов для проверки напишу тебе ординаты вершин этих парабол:

  1. 1

    \( \displaystyle -5\)

  2. 2

    \( \displaystyle 6\)

Все сошлось?

Если да, то ты молодец! Уметь обращаться с параболой – очень важно и полезно, и здесь мы выяснили, что это совсем не трудно.

Квадратичная функция (ЕГЭ — 2021)

Решения:

1. Первое: куда «смотрят» ветви параболы? Вниз. А что это значит? Правильно, \( \displaystyle a<0\). То есть вариант b) сразу не подходит.

Дальше посмотрим на точку пересечения с осью \( \displaystyle Oy:y=4\). Что нам дает эта точка? Вспоминай.

Это – свободный член c. Значит, \( \displaystyle c=4\) – отбросим вариант a).

Ну что же, \( \displaystyle a=-1,c=4,\) осталось определить b. Тут нам поможет вершина. Напоминаю, что ее координата вычисляется по формуле: \( \displaystyle {{x}_{в}}=\frac{-b}{2a}\). 2+bx_в+с\)

Ось симметрии проходит через вершину параболы и параллельна оси \(y\) (ординат). \(x_1\) и \(x_2\) – нули функции. Их можно найти, приравняв формулу функции к нулю и решив соответствующее квадратное уравнение.

3 параметра позволяющих сопоставить формулу квадратичной функции и график:





1.


\(a>0\) — ветви параболы направлены вверх


\(a<0\) — ветви параболы направлены вниз


2.


\(c\) равна ординате точки пересечения

графика с осью \(y\)


3. 2+5x+1\)      \(x_в= \frac{-5}{2}=-2,5\) так же как на графике 3


Ответ:  

Как построить график квадратичной функции (параболу)?


Квадратичную функцию можно строить, как и все остальные, выбирая точки наугад (подробнее можно прочитать здесь). Но есть способ позволяющий строить параболу быстрее, выбирая точки осмысленно.

  1. Найдите координаты вершины параболы. Поставьте точку вершины на координатной плоскости и проведите через неё ось симметрии параболы.
  2. Найдите точку пересечения графика с осью \(y\): \(x=0;y=c\). Постройте точку симметричную точке \((0;c)\) относительно оси параболы.
  3. Найдите координату целой точки, лежащей вблизи оси параболы.  Отметьте  симметричную ей точку на плоскости.

  4. Соедините точки плавной линией.



\(a=2\), \(b=8\), \(c=2\)

1. 2-4x+5=0\) нет корней, т.к. нету \(x\) при которых y будет равен нулю (функция не пересекает ось \(x\))


Смотрите также:
Линейная функция
Виды графиков функций
Квадратные неравенства

Скачать статью

Квадратичная функция, парабола, график, свойства: нули, вершина, ось симметрии, промежутки возрастания, убывания. Тесты

Тестирование онлайн

  • Квадратичная функция

Определение. График

Квадратичной (квадратной) функцией называется функция вида

где a, b, с — числа.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется точка

Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a, то ветви параболы направлены вниз.

Свойства квадратичной функции y=x

2

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е.

2) Множеством значений функции является промежуток

3) Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.

4) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

5) Функция непериодическая.

6)Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) — начало координат.

7) Значение аргумента x=0 является нулем функции.

8) На промежутке функция убывающая, а на промежутке — возрастающая.

9) Функция принимает положительные значения на множестве , т.е. все точки параболы, кроме начала координат.

Преобразование параболы

Функция y=x2 — частный случай квадратичной функции.

Квадратичную функцию всегда можно привести у виду , а затем построить параболу с помощью ее геометрических преобразований. 2+q $$

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные. 2 \)

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.

Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Пошаговое руководство построение графика квадратичной функции

Для того, чтобы начертить график функции в Прямоугольной системе координат, нам необходимы две перпендикулярные прямые xOy (где O это точка пресечения x и y), которые называются «координатными осями», и нужна единица измерения.

У точки в этой системе есть две координаты.
M(x, y): M это название точки, x это абсцисса и она измеряется по Ox, а y это ордината и мерится по Oy.
Две координаты отображают расстояние от точки до двух осей.

Если мы рассмотрим функцию f: A -> B (где A — область определения, B — область значений функции), тогда точку на графике данной функции можно представить в форме P(x, f(x)).

Пример
f:A -> B, f(x) = 3x — 1
If x = 2 => f(2) = 3×2 — 1 = 5 => P(2, 5) &in; Gf (где Gf это график данной функции). 2-\frac{\Delta}{4a}$
где Δ = b2 — 4ac

Если a > 0, то минимальным значением f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$ , которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$.
Графиком будет выпуклая парабола, вершина которой (точка, в которой она меняет направление) это $V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

Если a < 0, то минимальное значение f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$
, которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$.
Графиком будет вогнутая парабола, вершина которой это$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

Парабола симметрична относительно прямой, которую она пересекает $x=-\frac{b}{2a}$ и которая называется «осью симметрии».
Именно поэтому, когда мы присваиваем знаячения x, то вибираем их симметричными относительно $-\frac{b}{2a}$.
При построении графика, точки пересечения с осями координат очень важны.

|. Точка, расположенная на оси Ox имеет форму P(x, 0), потому что расстояние от неё до Ox равно 0. Если точка находиться и на Ox и на графике функции,то она также имеет вид P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0.

Таким образом, для того чтобы найти координаты точки пересечения с осью Ox, мы должны решить уравнение f(x)=0.
Мы получаем уравнение a2 + bx + c = 0.

Решение уравнения зависит от знака Δ = b2 — 4ac.

Иммем следующие варианты:

1) Δ < 0,
тогда у уравнения нет решений в R (множестве действительных чисел) и график не пересекает Ox. Форма графика будет:

или

2) Δ = 0,
тогда у уравнения два решения $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

График касается оси Ox в вершине параболы. Форма графика будет:

или

3) Δ > 0,
тогда у уравнения два разных решения.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ и
$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

График функции будет пересекать ось Ox в точках M(x1 и Ox. Форма графика будет:

или

||. Точка, находящаяся на оси Oy имеет форму R(0, y), потому что расстояние от Oy равно 0. Если точка находиться и на Oy и на графике функции, то она также имеет форму R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)).

В случае квадратичной функции,
f(0) = a×02 + b×0 + c ⇒ R(0, c).

Необходимые шаги для построения графика квадратичной функции

f: R → R
f(x) = ax2 + bx + c

1. Составляем таблицу переменных, куда заносим некоторые важные значения x.

2. Вычисляем координаты вершины$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

3. Также записываем 0 в таблицу и нулевые значения симметричные $-\frac{b}{2a}$.

или

4. Мы определяем точку пересечения с осью Ox,решая уравнение f(x)=0 и записываем корни x1 и x2 в таблице.
Δ > 0 ⇒

Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, которые симметричны $-\frac{b}{2a}$

Δ = 0 ⇒ график касается Ox прямо в вершине параболы. Мы снова выберем два удобных значения, симметричных $-\frac{b}{2a}$.
Для лучшего определения формы графика мы может выбрать другие пары значений для x, но они должны быть симметричны $-\frac{b}{2a}$.

5. Мы наносим эти значения на систему координат и строим график, соединяя эти точки.

Пример 1
f: R → R
f(x) = x2 — 2x — 3
a = 1, b = -2, c = -3
Δ = b2 — 4×a×c = (-2)2 — 4×1×(-3) = 16
$-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$
⇒ V(1; -4)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{16}{4}=-4$

2. f(0) = -3
Симметричное 0 значение относительно 1 равно 2.
f(2) = -3

3. f(x) = 0 ⇒ x2 — 2x — 3 = 0
Δ = 16 > 0
$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-4}{2}=-1$

$x_1=\frac{2+4}{2}=3$

Мы нашли точки:
A(-1; 0)
B(0; -3)
V(1; -4)
C(2; -3)
D(3; 0)

График будет иметь вид:

Пример 2
f: R → R
f(x) = -x2 — 2x + 8
a = -1, b = -2, c = 8
Δ = b2 — 4×a×c = (-2)2 — 4×(-1)×8 = 36
$-\frac{b}{2a}=\frac{2}{-2}=-1$
⇒ V(-1; 9)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-36}{-4}=9$

2. f(0) = 8
f(-2) = 8 (симметричное 0 значение относительно -1 равно -2)

3. f(x) = 0 ⇒ -x2 — 2x + 8 = 0
Δ = 36
x1 = 2 и x2 = -4

A(-4; 0)
B(-2; 8)
V(-1; 9)
C(0; 8)
D(2; 0)

Пример 3
f: R → R
f(x) = x2 — 4x + 4
a = 1, b = -4, c = 4
Δ = b2 — 4×a×c = (-4)2 — 4×1×4 = 0
$-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$
⇒ V(2; 0)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=0$

2. f(0) = 4
f(4) = 4 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)

3. f(x) = 0 ⇒ x2 — 4x + 4 = 0
Δ = 0
x1 = x2 = $-\frac{b}{2a}$ = 2

A(-2; 9)
B(0; 4)
V(2; 0)
C(4; 4)
D(5; 9)

Пример 4
f: R → R
f(x) = -x2 + 4x — 5
a = -1, b = 4, c = -5
Δ = b2 — 4×a×c = 42 — 4×(-1)×(-5) = 16 — 20 = -4
$-\frac{b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$
⇒ V(2; -1)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-4}{-4}=-1$

2. f(0) = -5
f(4) = -5 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)

3. f(x) = 0 ⇒ -x2 + 4x — 5 = 0,
Δ < 0
У этого уравнения нет решений.
Мы выбрали симметричные значения вокруг 2

A(-1; -10)
B(0; 5)
V(2; -1)
C(4; -5)
D(5; -10)

Если область определения не R (множество действительных чисел), а какой-то интервал, то мы стираем часть графика, которая соответствует тем значениям x, которые не находятся в данном интервале. Необходимо записать конечные точки интервала в таблице.

Пример 5
f: [0; +∞) → R
f(x) = x2 — 2x — 3
a = 1, b = -2, c = -3
Δ = b2 — 4×a×c = (-2)2 — 4×1×(-3) = 16
$-\frac{b}{2a}=1$
⇒ V(1; -4)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-4$

2. f(0) = -3
f(2) = -3 симметричное 0 значение относительно 1 равно 2)

3. f(x) = 0 ⇒ x2 — 2x — 3 = 0,
Δ = 16
x1 = -1 ∉ [0; ∞)
x2 = 3

A(0; -3)
V(1; -4)
B(2; -3)
C(3; 0)

графиков квадратичных функций | Безграничная алгебра

Части параболы

График квадратичной функции представляет собой параболу, и его части предоставляют ценную информацию о функции.

Цели обучения

Опишите части и особенности парабол

Основные выводы

Ключевые моменты
  • График квадратичной функции представляет собой U-образную кривую, называемую параболой.
  • Знак коэффициента [латекс] а [/ латекс] квадратичной функции влияет на то, открывается ли график вверх или вниз.Если [latex] a <0 [/ latex], график хмурится (открывается), а если [latex] a> 0 [/ latex], то график улыбается (открывается).
  • Крайняя точка (максимум или минимум) параболы называется вершиной, а ось симметрии — это вертикальная линия, проходящая через вершину.
  • Пересечения x — это точки, в которых парабола пересекает ось x . Если они существуют, точки пересечения x представляют нули или корни квадратичной функции.
Ключевые термины
  • вершина : точка, в которой парабола меняет направление, соответствующее минимальному или максимальному значению квадратичной функции. {2} + bx + c [/ latex].

    , где [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс] — константы, а [латекс] a \ neq 0 [/ латекс].

    График квадратичной функции представляет собой U-образную кривую, называемую параболой. Эта форма показана ниже.

    Парабола: График квадратичной функции — это парабола.

    В графиках квадратичных функций знак коэффициента [латекс] а [/ латекс] влияет на то, открывается ли график вверх или вниз. Если [latex] a <0 [/ latex], график хмурится (открывается), а если [latex] a> 0 [/ latex], то график улыбается (открывается).Это показано ниже.

    Направление параболы: Знак коэффициента [латекс] а [/ латекс] определяет направление параболы.

    Характеристики парабол

    Параболы имеют несколько узнаваемых особенностей, которые характеризуют их форму и расположение на декартовой плоскости.

    Вершина

    Одной из важных особенностей параболы является то, что у нее есть крайняя точка, называемая вершиной. Если парабола раскрывается, вершина представляет собой самую низкую точку на графике или минимальное значение квадратичной функции.Если парабола раскрывается вниз, вершина представляет собой наивысшую точку на графике или максимальное значение. В любом случае вершина является поворотной точкой на графике.

    Ось симметрии

    Параболы также имеют ось симметрии, параллельную оси y. Ось симметрии — это вертикальная линия, проведенная через вершину.

    [латекс] y [/ латекс] -intercept

    Пересечение y — это точка, в которой парабола пересекает ось y .Для графика квадратичной функции не может быть более одной такой точки. Если бы это было так, кривая не была бы функцией, так как было бы два значения [latex] y [/ latex] для одного значения [latex] x [/ latex], равного нулю.

    [латекс] х [/ латекс] -перехват

    Перемычки x — это точки, в которых парабола пересекает ось x . Если они существуют, то точки пересечения x представляют нули или корни квадратичной функции, значения [latex] x [/ latex], при которых [latex] y = 0 [/ latex]. Может быть ноль, один или два [latex] x [/ latex] -перехватчика. Количество перехватов [latex] x [/ latex] варьируется в зависимости от расположения графика (см. Диаграмму ниже).

    Возможные точки пересечения [latex] x [/ latex]: Парабола не может иметь точек пересечения по оси x, одной точки пересечения по оси x или двух точек пересечения по оси x

    Напомним, что если квадратичная функция установлена ​​равной нулю, то результатом будет квадратное уравнение. Решения уравнения называются корнями функции. Это те же корни, которые наблюдаются как [латекс] х [/ латекс] -перехваты параболы.

    Обратите внимание, что для парабол с двумя перехватами [latex] x [/ latex] вершина всегда попадает между корнями. Из-за того, что параболы симметричны, координата [latex] x [/ latex] вершины находится точно посередине координат [latex] x [/ latex] двух корней.

    Графическая интерпретация квадратичных решений

    Корни квадратичной функции можно найти алгебраически или графически. 2 + k [/ latex]

  • Когда записано в форме вершины, легко увидеть вершину параболы в [latex] (h, k) [/ latex].
  • Легко преобразовать форму вершины в стандартную форму.
  • Сложнее, но все же возможно преобразовать стандартную форму в форму вершины. В этом процессе используется техника, называемая завершением квадрата.
Ключевые термины
  • константа : идентификатор, связанный с неизменным значением.
  • вершина : точка на кривой с локальным минимумом или максимумом кривизны.
  • квадратичный : многочлен второй степени.2-4x + 4. [/ Latex]: Ось симметрии — это вертикальная линия, параллельная оси y при [latex] x = 1 [/ latex].

    [латекс] и [/ латекс] -перехват параболы

    Коэффициент [латекс] c [/ латекс] управляет высотой параболы. В частности, это точка, в которой парабола пересекает ось y. Точка [latex] (0, c) [/ latex] является точкой пересечения [latex] y [/ latex] параболы. Обратите внимание, что парабола выше имеет [latex] c = 4 [/ latex] и пересекает ось [latex] y [/ latex] в точке [latex] (0,4).[/ латекс]

    Парабол

    Квадратичная функция — это функция, которую можно записать в форме f (x) = ax2 + bx + c, где a, b и c — действительные числа и a 0. Эта форма называется стандартной формой квадратичной функции.

    График квадратичной функции U-образной кривой называется параболой .

    График уравнения y = x2, показанный ниже, представляет собой параболу. (Обратите внимание, что это квадратичная функция в стандартной форме с a = 1 и b = c = 0.)

    На графике высшая или низшая точка параболы — это вершина. Вершиной графика y = x2 является (0,0).

    Если a> 0 в f (x) = ax2 + bx + c,
    парабола открывается вверх на . В этом случае вершина является минимальной или самой низкой точкой параболы. Большое положительное значение a дает узкую параболу; положительное значение a, близкое к 0, делает параболу широкой.

    Если a <0 в f (x) = ax2 + bx + c, парабола открывается вниз на .В этом случае вершина — это максимальная или самая высокая точка параболы. Опять же, большое отрицательное значение a сужает параболу; значение, близкое к нулю, делает его широким.

    Для уравнения в стандартной форме значение c дает пересечение графика y .

    Линия, проходящая через вершину и разделяющая параболу на две симметричные части, называется осью симметрии.

    Уравнение оси симметрии для графика y = ax2 + bx + c, где a ≠ 0, равно x = −b2a

    На всех вышеприведенных графиках ось симметрии — это ось y, x = 0.На графиках ниже ось симметрии другая (отмечена красным). Обратите внимание, что c по-прежнему дает точку пересечения с y.

    Если вы напишете квадратичную функцию типа x = f (y) = ay2 + by + c, где x является функцией y (а не ay как функцией x), вы получите параболу, в которой ось симметрии горизонтальна. .

    Обратите внимание, что в этом случае c является точкой пересечения с координатой x. Если а положительно, график открывается вправо; если a отрицательно, график открывается слева.

    Пример:

    Напишите уравнение оси симметрии и найдите координаты вершины параболы y = −3×2−6x + 4.

    Уравнение оси симметрии для графика y = ax2 + bx + c.

    х = −b2a

    Заменим −3 вместо a и −5 вместо b в уравнении оси симметрии.

    х = −− 62 (−3) = −1

    Итак, уравнение оси симметрии x = −1.

    Поскольку уравнение оси симметрии имеет вид x = −1, а вершина лежит на оси, координата x вершины равна −1.

    Чтобы найти координату y вершины, сначала подставьте −1 вместо x в данном уравнении.

    у = −3 (−1) 2−6 (−1) +4

    Упростить.

    у = −3 + 6 + 4 = 7

    Следовательно, координаты вершины параболы равны (−1,7).

    См. Также

    Ось симметрии параболы

    Вершина параболы

    Построение квадратных уравнений с использованием оси симметрии

    Графические квадратные уравнения

    Квадратное уравнение в стандартной форме
    ( a , b и c может иметь любое значение, за исключением того, что a не может быть 0.)

    Вот пример:

    Графики

    Вы можете построить квадратное уравнение с помощью функции Grapher, но чтобы действительно понять, что происходит, , вы можете построить график самостоятельно. Читать дальше!

    Простейший квадратичный

    Простейшее квадратное уравнение:

    f (x) = x 2

    И график у него тоже простой:

    Это кривая f (x) = x 2
    Это парабола.

    Теперь давайте посмотрим, что произойдет, когда мы введем значение «а»:

    f (x) = ах 2

    • Большие значения сгибают кривую внутрь
    • Меньшие значения a расширяют его наружу
    • И отрицательные значения a переворачивают вверх дном

    «Генерал» квадратичный

    Перед построением графика мы переставляем уравнение, из этого:

    f (x) = ах 2 + bx + c

    К этому:

    f (x) = a (x-h) 2 + k

    Где:

    Другими словами, вычислите h (= −b / 2a), затем найдите k , вычислив все уравнение для x = h

    Но почему?

    В этой новой форме замечательно то, что h и k показывают нам самую низкую (или очень высокую) точку, называемую вершиной :

    А также кривая симметрична (зеркальное отображение) относительно оси , которая проходит через x = h , что упрощает построение графика

    Итак.

    ..

    • h показывает, насколько далеко влево (или вправо) кривая сместилась от x = 0
    • k показывает, насколько далеко вверх (или вниз) кривая сместилась от y = 0

    Давайте посмотрим, как это сделать:

    Пример: График f (x) = 2x

    2 — 12x + 16

    Во-первых, отметим:

    • а = 2,
    • b = −12, и
    • с = 16

    Что мы знаем?

    • a положительный, значит, это «восходящий» график (U-образный)
    • a равно 2, поэтому он немного «раздавлен» по сравнению с графиком x 2

    Далее посчитаем h:

    h = −b / 2a = — (- 12) / (2×2) = 3

    И теперь мы можем вычислить k (используя h = 3):

    k = f ( 3 ) = 2 (3) 2 — 12 · 3 + 16 = 18−36 + 16 = −2

    Итак, теперь мы можем построить график (с настоящим пониманием!):

    Мы также знаем: вершина равна (3, −2), а ось равна x = 3

    От графика к уравнению

    Что делать, если у нас есть график и мы хотим найти уравнение?

    Пример: вы только что построили некоторые интересные данные, и они выглядят квадратично:

    Просто зная эти два момента, мы можем придумать уравнение.

    Во-первых, мы знаем h и k (в вершине):

    (ч, к) = (1, 1)

    Итак, давайте представим это в следующей форме уравнения:

    f (x) = a (x-h) 2 + k

    f (x) = a (x − 1) 2 + 1

    Затем вычисляем «а»:

    Мы знаем точку (0, 1.5) , поэтому: f (0) = 1.5

    И a (x − 1) 2 + 1 при x = 0 это: f (0) = a (0−1) 2 + 1

    Они оба равны f (0) , поэтому сделайте их равными: a (0−1) 2 + 1 = 1.5

    Упростить: a + 1 = 1,5

    а = 0,5

    Итак, вот результирующее квадратное уравнение:

    f (x) = 0,5 (x − 1) 2 + 1

    Примечание. Возможно, это не правильное уравнение для данных, но это хорошая модель и лучшее, что мы можем придумать.

    Графические параболы в вершинной форме

    Графические параболы в вершинной форме
    Вот шаги, необходимые для построения парабол в форме y = a (x — h) 2 + k:

    Шаг 1 : Найдите вершину.Поскольку уравнение имеет форму вершины, вершина будет в точке (h, k).
    Шаг 2 : Найдите точку пересечения оси Y. Чтобы найти точку пересечения оси y, положите x = 0 и решите относительно y.
    Шаг 3 : Найдите точку пересечения по оси X. Чтобы найти точку пересечения с x, положите y = 0 и решите относительно x. Вы можете решить для x, используя принцип квадратного корня или квадратную формулу (если вы упростите задачу до правильной формы).
    Шаг 4 : Постройте параболу, используя точки, найденные на этапах 1–3.

    Пример 1 — График:

    Шаг 1 : Найдите вершину. Поскольку уравнение имеет форму вершины, вершина будет в точке (h, k).
    Шаг 2 : Найдите точку пересечения по оси Y. Чтобы найти точку пересечения по оси y, положите x = 0 и решите относительно y.
    Шаг 3 : Найдите точку пересечения по оси x. Чтобы найти точку пересечения с x, положите y = 0 и решите относительно x. Вы можете решить для x, используя принцип квадратного корня или квадратную формулу (если вы упростите задачу до правильной формы).
    Шаг 4 : Постройте параболу, используя точки, найденные на шагах 1-3.

    Пример 2 — График:

    Шаг 1 : Найдите вершину.Поскольку уравнение имеет форму вершины, вершина будет в точке (h, k).
    Шаг 2 : Найдите точку пересечения по оси Y. Чтобы найти точку пересечения по оси y, положите x = 0 и решите относительно y.
    Шаг 3 : Найдите точку пересечения по оси x. Чтобы найти точку пересечения с x, положите y = 0 и решите относительно x. Вы можете решить для x, используя принцип квадратного корня или квадратную формулу (если вы упростите задачу до правильной формы).
    Шаг 4 : Постройте параболу, используя точки, найденные на шагах 1-3.

    Щелкните здесь для практических задач

    Пример 3 — График:

    Шаг 1 : Найдите вершину. Поскольку уравнение имеет форму вершины, вершина будет в точке (h, k).
    Шаг 2 : Найдите точку пересечения по оси Y.Чтобы найти точку пересечения по оси y, положите x = 0 и решите относительно y.
    Шаг 3 : Найдите точку пересечения по оси x. Чтобы найти точку пересечения с x, положите y = 0 и решите относительно x. Вы можете решить для x, используя принцип квадратного корня или квадратную формулу (если вы упростите задачу до правильной формы).
    Шаг 4 : Постройте параболу, используя точки, найденные на шагах 1-3.

    Щелкните здесь для практических задач

    Пример 4 — График:

    Шаг 1 : Найдите вершину.Поскольку уравнение имеет форму вершины, вершина будет в точке (h, k).
    Шаг 2 : Найдите точку пересечения по оси Y. Чтобы найти точку пересечения по оси y, положите x = 0 и решите относительно y.
    Шаг 3 : Найдите точку пересечения по оси x. Чтобы найти точку пересечения с x, положите y = 0 и решите относительно x. Вы можете решить для x, используя принцип квадратного корня или квадратную формулу (если вы упростите задачу до правильной формы).В этом случае мы получаем квадратный корень из отрицательного числа, поэтому пересечений по оси x нет.
    Шаг 4 : Постройте параболу, используя точки, найденные на шагах 1-3.

    Щелкните здесь для практических задач

    квадратичных функций

    квадратичных функций


    Содержание : Эта страница соответствует § 3.1 (стр.
    244)
    текста.

    Предлагаемые задачи из текста:

    с. 251 # 1-8, 10, 11, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 30, 33, 37, 38, 75

    Графики

    Стандартная форма

    Приложения


    Графики

    Квадратичная функция имеет вид f (x) = ax 2 + bx + c , где a ,
    b
    и c — числа, при этом a не равны нулю.

    График квадратичной функции — это кривая, называемая параболой . Параболы могут открываться вверх или вниз
    и различаются по «ширине» или «крутизне», но все они имеют одинаковую базовую U-образную форму. В
    На рисунке ниже показаны три графика, и все они являются параболами.

    Все параболы симметричны относительно линии, называемой осью симметрии . Парабола пересекает
    его ось симметрии находится в точке, называемой вершиной параболы.

    Вы знаете, что две точки определяют линию. Это означает, что если вам даны любые две точки на плоскости, то
    есть одна и только одна линия, содержащая обе точки. Аналогичное утверждение можно сделать относительно точек и квадратичных
    функции.

    Учитывая три точки на плоскости, которые имеют разные первые координаты и не лежат на одной прямой, существует ровно
    одна квадратичная функция f, график которой содержит все три точки. Апплет ниже иллюстрирует этот факт.График
    содержит три точки и параболу, проходящую через все три. 2-5.Начнем с графика y = x 2 , сдвинем на 4 единицы вправо, затем
    На 5 единиц меньше.

    Упражнение 1 :

    (a) Нарисуйте график y = (x + 2) 2 — 3. Ответ

    (b) Нарисуйте график y = — (x — 5) 2 + 3. Ответ

    Вернуться к содержанию

    Стандартная форма

    Функции в частях (a) и (b) упражнения 1 являются примерами квадратичных функций в стандартной форме .Когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее график легко построить, отражая, сдвигая и
    растяжение / сжатие параболы y = x 2 .

    Квадратичная функция f (x) = a (x — h) 2 + k, не равная нулю, называется стандартной формой .
    Если а положительно, график открывается вверх, а если отрицательно, то открывается вниз. Линия симметрии
    — это вертикальная линия x = h, а вершина — это точка (h, k).

    Любую квадратичную функцию можно переписать в стандартной форме, завершив квадратом . (См. Раздел о
    решая уравнения алгебраически, чтобы просмотреть завершение квадрата.)
    Шаги, которые мы используем в этом разделе для завершения квадрата, будут выглядеть немного иначе, потому что наш главный
    цель здесь не в решении уравнения.

    Обратите внимание, что когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее нули также легко найти с помощью квадратного корня.
    принцип.

    Пример 3 .

    Запишите функцию f (x) = x 2 — 6x + 7 в стандартной форме. Нарисуйте график функции f и найдите его нули
    и вершина.

    f (x) = x 2 — 6x + 7.

    = (x 2 — 6x) + 7. Сгруппируйте члены x 2 и x и
    затем заполните квадрат на этих условиях.

    = (x 2 — 6x + 9 — 9) + 7.

    Нам нужно добавить 9, потому что это квадрат половины коэффициента при x, (-6/2) 2 = 9. Когда мы
    решая уравнение, мы просто добавляли 9 к обеим частям уравнения. В этой настройке мы добавляем и вычитаем 9
    так что мы не меняем функцию.

    = (x 2 — 6x + 9) — 9 + 7. Мы видим, что x 2 — 6x + 9 — это полный квадрат, а именно (x — 3) 2 .

    f (x) = (x — 3) 2 — 2.Это стандартная форма .

    Из этого результата легко найти, что вершина графа f равна (3, -2).

    Чтобы найти нули f, мы устанавливаем f равным 0 и решаем относительно x.

    (x — 3) 2 — 2 = 0.

    (x — 3) 2 = 2.

    (x — 3) = ± sqrt (2).

    х = 3 ± sqrt (2).

    Чтобы набросать график f, сдвинем график y = x 2 на три единицы вправо и на две единицы вниз.

    Если коэффициент при x 2 не равен 1, то мы должны вынести этот коэффициент из x 2 и
    x, прежде чем продолжить.

    Пример 4 .

    Запишите f (x) = -2x 2 + 2x + 3 в стандартной форме и найдите вершину графика f.

    f (x) = -2x 2 + 2x + 3.

    = (-2x 2 + 2x) + 3.

    = -2 (х 2 — х) + 3.

    = -2 (x 2 — x + 1/4 — 1/4) + 3.

    Мы складываем и вычитаем 1/4, потому что (-1/2) 2 = 1/4, а -1 — коэффициент при x.

    = -2 (x 2 — x + 1/4) -2 (-1/4) + 3.

    Обратите внимание, что все в круглых скобках умножается на -2, поэтому, когда мы убираем -1/4 из круглых скобок, мы
    необходимо умножить на -2.

    = -2 (x — 1/2) 2 + 1/2 + 3.

    = -2 (х — 1/2) 2 + 7/2.

    Вершина — это точка (1/2, 7/2). Поскольку граф открывается вниз (-2 <0), вершина является высшей точкой на графике.

    Упражнение 2 :

    Запишите f (x) = 3x 2 + 12x + 8 в стандартной форме.Нарисуйте график функции f, найдите его вершину и найдите
    нули f. Ответ

    Альтернативный метод поиска вершины

    В некоторых случаях завершение квадрата — не самый простой способ найти вершину параболы. Если график
    квадратичная функция имеет два пересечения по оси x, тогда линия симметрии — это вертикальная линия, проходящая через среднюю точку
    х-перехватчиков.

    Х-точки пересечения на графике выше находятся в точках -5 и 3.Линия симметрии проходит через -1, что является средним
    -5 и 3. (-5 + 3) / 2 = -2/2 = -1. Как только мы узнаем, что линия симметрии x = -1, мы узнаем первую координату
    вершины -1. Вторую координату вершины можно найти, вычислив функцию при x = -1.

    Пример 5 .

    Найдите вершину графика функции f (x) = (x + 9) (x — 5).

    Поскольку формула для f разложена на множители, легко найти нули: -9 и 5.

    Среднее значение нулей (-9 + 5) / 2 = -4/2 = -2. Итак, линия симметрии x = -2, а первая координата
    вершины -2.

    Вторая координата вершины: f (-2) = (-2 + 9) (- 2-5) = 7 * (- 7) = -49.

    Следовательно, вершина графика f равна (-2, -49).

    Вернуться к содержанию

    Приложения

    Пример 6 .

    У владельца ранчо есть 600 метров забора, чтобы ограждать прямоугольный загон с другим забором, разделяющим его посередине.
    как на схеме ниже.

    Как показано на схеме, каждая из четырех горизонтальных секций забора будет иметь длину х метров, а три
    каждая вертикальная секция будет иметь длину y метров.

    Цель владельца ранчо — использовать весь забор, а оградить как можно большую площадь .

    Каждый из двух прямоугольников имеет площадь xy, поэтому мы имеем

    Общая площадь: A = 2xy.

    Мы мало что можем сделать с величиной A, если она выражается как произведение двух переменных. Тем не мение,
    Тот факт, что у нас есть только 1200 метров забора, приводит к уравнению, которому должны удовлетворять x и y.

    3г + 4х = 1200.

    3y = 1200 — 4x.

    y = 400 — 4x / 3.

    Теперь у нас есть y, выраженный как функция от x, и мы можем заменить это выражение на y в формуле для общего
    площадь А.

    A = 2xy = 2x (400 -4x / 3).

    Нам нужно найти значение x, которое делает A как можно большим. A — квадратичная функция от x, а график
    открывается вниз, поэтому наивысшая точка на графике A — вершина. Поскольку A разложено на множители, самый простой способ найти
    вершина — найти пересечения по оси x и усреднить.

    2x (400 -4x / 3) = 0,

    2x = 0 или 400 -4x / 3 = 0.

    x = 0 или 400 = 4x / 3.

    x = 0 или 1200 = 4x.

    х = 0 или 300 = х.

    Следовательно, линия симметрии графика A равна x = 150, среднему от 0 до 300.

    Теперь, когда мы знаем значение x, соответствующее наибольшей площади, мы можем найти значение y, вернувшись назад.
    уравнению, связывающему x и y.

    y = 400 — 4x / 3 = 400-4 (150) / 3 = 200.

    Вернуться к содержанию


    College Algebra
    Урок 34: Графики квадратичных функций


    Цели обучения


    По завершении этого руководства вы сможете:

    1. Найдите вершину квадратичной функции.
    2. Определите, является ли вершина максимальной или минимальной точкой квадратичного
      функция.
    3. Постройте квадратичную функцию.

    Введение


    В этом уроке мы рассмотрим графики квадратичных функций.
    График квадратичной функции называется параболой и имеет искривленную форму.
    форма. Одна из основных точек параболы — ее вершина.
    Это самая высокая или самая низкая точка на графике. Ты можешь думать
    как конечная точка параболы. Я покажу вам, как найти
    вершина, а также ось симметрии, проходящая через эту точку.
    Я также освежу вашу память о том, как найти x
    и y — перехватывает. Если вам нужен обзор
    Чтобы узнать, что такое перехват на графике, см. Учебное пособие по .
    26: Уравнения линий.
    При нахождении x -перехватов,
    вам придется решать квадратное уравнение.если ты
    нужен обзор решения квадратных уравнений, см. Учебное пособие
    17: Квадратичные уравнения.
    Если вы изучаете алгебру в колледже
    класса, работа с квадратичными функциями неизбежна, даже если это против
    твоя религия. Так что, думаю, тебе лучше начать.

    Учебник


    Квадратичная функция

    Квадратичная функция — это функция, которую
    можно записать в форме

    где a , b ,
    и c
    являются константами и

    Обратите внимание, что в квадратичной функции на вашей независимой
    переменная, и это наивысшая степень.

    Стандартная форма
    Квадратичная функция

    Иногда квадратичная функция записывается в стандартной форме.
    Можно оставить его в этой форме при работе с вашей проблемой.
    Я покажу вам, как построить параболу, используя любую форму.

    График квадратичной функции

    График квадратичной функции называется параболой . Это
    это в основном изогнутая форма, открывающаяся вверх или вниз.

    Если у вас есть квадратичная функция в любой форме, ИЛИ,

    , если a > 0, , то парабола открывается с на ,

    если a <0, , то парабола открывается на вниз на .

    Вершина — самая низкая или самая высокая точка (в зависимости от направления)
    на графике квадратичной функции.

    Нахождение вершины с помощью формы
    ,:

    Если ваша квадратичная функция имеет вид
    ,,
    затем

    вершина = .

    В основном вы найдете значение x
    сначала вершина, а затем просто вставьте это значение в функцию, чтобы получить y или функциональное значение вершины.

    Нахождение вершины по форме:

    Если ваша квадратичная функция имеет вид,
    затем

    вершина = ( h , k ).

    Каждая парабола симметрична относительно вертикальной линии, называемой осью.
    симметрии.
    Эта вертикальная линия проходит через вершину.

    Думайте об этом как о зеркальном изображении этой вертикальной линии.

    Следующие три графика иллюстрируют различные аспекты графика.
    квадратичной функции или параболы.

    График функции:

    Я хочу, чтобы вы отметили несколько моментов по этому поводу
    график:

    Прежде всего, посмотрите, как вершина является
    самая низкая точка на графике.Он будет либо самым низким, либо
    высшая точка на графике квадратичной функции.

    Во-вторых, посмотрите на ось симметрии . На самом деле это не так
    часть самого графика, но важна тем, что парабола создает
    зеркальное изображение об этом. Обратите внимание, как он симметричен относительно оси
    симметрии. Также обратите внимание, как он проходит через вершину.

    В-третьих, обратите внимание, что есть один y -intercept
    но нет x — перехват
    . Квадратичный
    функция может не иметь, одного или двух x -перехватов.

    График функции:

    Я хочу, чтобы вы отметили несколько моментов по этому поводу
    график:

    Прежде всего, посмотрите, как вершина является
    самая низкая точка на графике.Он будет либо самым низким, либо
    высшая точка на графике квадратичной функции.

    Во-вторых, посмотрите на ось симметрии . На самом деле это не так
    часть самого графика, но важна тем, что парабола создает
    зеркальное изображение об этом. Обратите внимание, как он симметричен относительно оси
    симметрии. Также обратите внимание, как он проходит через вершину.

    В-третьих, обратите внимание, как есть один y -intercept
    и один x — перехват
    . Квадратичный
    функция может не иметь, одного или двух x -перехватов.

    График функции:

    Я хочу, чтобы вы отметили несколько моментов по этому поводу
    график:

    Прежде всего, посмотрите, как вершина является
    высшая точка на графике.Он будет либо самым низким, либо
    высшая точка на графике квадратичной функции.

    Во-вторых, посмотрите на ось симметрии . На самом деле это не так
    часть самого графика, но важна тем, что парабола создает
    зеркальное изображение об этом. Обратите внимание, как он симметричен относительно оси
    симметрии. Также обратите внимание, как он проходит через вершину.

    В-третьих, обратите внимание, что есть один y -intercept
    и два x -перехват
    . Квадратичный
    функция может не иметь, одного или двух x -перехватов.

    Пример
    1
    : Найдите координаты вершины.
    Без построения графиков определите, является ли вершина точкой максимума или минимума
    квадратичной функции.

    * Стандартная форма квад. функция

    Начиная с ( h , k )
    это вершина в стандартной форме, как вы думаете, что наша вершина для этого
    проблема?

    Если вы сказали (1, -3), вы правы.

    Будьте осторожны со своими признаками этой проблемы. Это действительно заманчиво
    сказать, что вершина равна (1, 3). Однако внимательно посмотрите на
    стандартная форма. Обратите внимание, что знак перед h — минус, а знак перед k — положительный.
    Итак, h — это число, которое мы вычитаем из x ,
    который в нашем случае равен 1. k — это число
    мы добавляем в конце, в нашем случае мы добавляем отрицательное число 3.

    Максимум или минимум?
    Затем мы хотим определить, является ли вершина,
    мы обнаружили, что (1, -3) является точкой максимума или минимума, без построения графиков.

    Если мы знаем, в каком направлении открывается кривая, то
    может помочь нам ответить на этот вопрос.

    Так как = 4 и 4
    больше 0, эта парабола раскрылась бы.

    Означает ли это, что вершина является максимальной или минимальной?
    точка?

    Если вы сказали минимум, вы правы.

    Итак, наша вершина (1, -3) является точкой минимума.

    Пример
    2
    : Найдите координаты вершины.
    Без построения графиков определите, является ли вершина точкой максимума или минимума
    квадратичной функции.

    * Определить a , b ,
    и c

    * Вставить значения в форму вершины. для a , b ,
    и c

    * Вставьте -5/4 для x , чтобы найти значение y вершины

    Вершина будет.

    Максимум или минимум?
    Затем мы хотим определить, является ли вершина,
    мы нашли« является максимумом
    или точка минимума, без построения графика.

    Если мы знаем, в каком направлении открывается кривая, то
    может помочь нам ответить на этот вопрос.

    Так как = -2, и
    -2 меньше 0, эта парабола раскрылась бы вниз.

    Означает ли это, что вершина является максимальной или минимальной?
    точка?

    Если вы сказали максимальное значение, вы правы.

    Итак, наша вершина — это точка максимума.

    Построение квадратичной функции

    Шаг 3: Найдите точки перехвата.

    Шаг 4: Постройте параболу.

    Постройте точки, найденные на шагах 2 и 3, и проведите изогнутую линию через
    их.

    Пример
    3
    : Используйте вершину и точки пересечения, чтобы нарисовать график
    квадратичная функция.
    Найдите уравнение для оси симметрии этой функции.

    Поскольку a = -1 и -1 <0, то это выглядит как и , он будет изгибаться вниз.

    Это хороший ориентир, позволяющий понять, что мы идем в правильном направлении.

    * Стандартная форма квад.функция

    Начиная с ( h , k )
    это вершина в стандартной форме, как вы думаете, что это за вершина?

    Если вы сказали (-1, 4), вы правы.

    Будьте осторожны со своими признаками этой проблемы. Обратите внимание, как
    знак перед h — минус, но
    один перед k положительный.Так что это
    число, которое мы вычитаем из x , что
    в нашем случае -1. k — это номер, который мы
    добавляем в конце, в нашем случае мы добавляем 4.

    y — перехват
    Напоминаем, что перехват y всегда
    где график пересекает ось y , что означает x = 0:

    * Заменить x на
    0

    Перехват y равен (0, 3).

    x — перехват
    Напоминаем, что перехват x всегда
    где график пересекает ось x , что означает y = 0:

    x -перехваты: (-3, 0) и (1,
    0).

    Ось симметрии
    Как показано на графике, ось симметрии составляет x = -1.

    Пример
    4
    : Используйте вершину и точки пересечения, чтобы нарисовать график
    квадратичная функция.
    Найдите уравнение для оси симметрии этой функции.

    Поскольку a = 1 и 1> 0, то это выглядит как it
    собирается изогнуться.

    Это хороший ориентир, позволяющий понять, что мы идем в правильном направлении.

    * Определить a , b ,
    и c

    * Вставить значения в форму вершины. для a , b ,
    и c

    * Подключите -1 для x , чтобы найти значение y вершины

    Итак, вершина равна (-1, 1).

    y — перехват
    Напоминаем, что перехват y всегда
    где график пересекает ось y , что означает x = 0:

    * Заменить x на
    0

    Перехват y равен (0, 2).

    x — перехват
    Напоминаем, что перехват x всегда
    где график пересекает ось x , что означает y = 0:

    * Заменить y (или
    f (x)) с 0

    Обратите внимание, что это не фактор. Попробуем решить, используя
    квадратная формула:

    Обратите внимание, как мы получили отрицательное число под квадратным корнем.
    Это означает, что вещественных чисел не существует. Это также означает, что
    НЕТ x -перехватов.

    Ось симметрии
    Как показано на графике, ось симметрии составляет x = -1.

    Практические задачи


    Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень.
    Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти
    типы проблем. Математика работает как и все
    в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это.
    Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много
    практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы хорошо освоить свой вид спорта или инструмент.

    На самом деле не бывает слишком много практики.

    Чтобы получить от них максимальную отдачу, вам следует решить проблему
    свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения
    для этой проблемы
    . По ссылке вы найдете ответ
    а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

    Практика
    Задачи 1a — 1b: найти координаты вершины заданного
    квадратичная функция.Без построения графиков определите, является ли вершина
    точка максимума или минимума квадратичной функции.

    Практика
    Задачи 2a — 2b: Используйте вершину и пересечения, чтобы нарисовать
    график данной квадратичной функции. Найдите уравнение для этого
    ось симметрии функции.

    Нужна дополнительная помощь по этим темам?




    Последнее изменение 10 июля 2010 г. Ким Сьюард.
    Авторские права на все содержимое (C) 2002 — 2010, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

    График параболы — Темы в предварительном исчислении

    5

    Постоянная функция

    Функция идентичности

    Функция абсолютного значения

    y = x 2 : парабола

    Функция квадратного корня

    Кубическая функция

    Обратная функция

    СЛЕДУЮЩИЕ ГРАФИКИ встречаются во всей аналитической геометрии и математическом анализе.Учащийся должен уметь рисовать их и узнавать их исключительно по форме. Наносить точки не обязательно.

    Постоянная функция

    Вот график y = f ( x ) = 3. Это прямая линия, параллельная оси x . Она называется постоянной функцией, потому что каждому значению x соответствует одно и то же значение y : 3.

    Является ли постоянная функция однозначной? Да, это так, потому что каждому значению x соответствует одно и только одно значение y . 3.

    Постоянная функция имеет вид

    y = c ,

    , где c — константа, то есть число.

    Функция идентичности и функция абсолютного значения

    y = x называется функцией идентичности, потому что значение y идентично значению x .Координатные пары равны ( x , x ).

    В функции абсолютного значения отрицательных значений из y в функции идентичности отражаются в положительную сторону.
    Для, | — x | = | x | = х . Координатные пары равны ( x , | x |).

    Пример.

    а) Какова область действия функции идентичности?

    Нет естественного ограничения на значения x .Следовательно, область, в которой «живет» функция, включает каждое действительное число.

    −x

    Прежде всего обратите внимание, что бесконечность «» — это не число и не место. Это слово вместе с символом мы используем для обозначения: не существует ограничений на значения x , которые мы могли бы назвать.

    Обратите внимание, что мы пишем « x меньше ». Равно до бесконечности не имеет смысла.

    б) Каков диапазон функции идентичности?

    Диапазон — это те значения от до , которые соответствуют значениям в домене.Изучение графика покажет, что и также будут принимать все действительные значения.

    −y

    Парабола и функция квадратного корня

    В параболе y = x 2 , координаты пары ( x , x 2 ). Мы видим, что на графике есть следующие точки: (1, 1), (−1, 1), (2, 4), (−2, 4) и так далее.

    График функции квадратного корня связан с y = x 2 .Это его обратное. Координатные пары равны ( x ,). Например, (1, 1), (4, 2), (9, 3) и так далее.

    Обратите внимание, что функция извлечения квадратного корня определена только для неотрицательных значений x . Ибо квадратный корень отрицательного числа не является действительным.

    Кроме того, символ относится к одному неотрицательному числу, называемому главным квадратным корнем. (См. Урок 26 Алгебры, Пример 2.) y =, следовательно, функция.

    Проблема 1.Какова область определения функции y = x 2 и каков ее диапазон?

    Эта функция определена для всех значений x : −∞ x

    Что касается диапазона, то самое низкое значение y равно 0. И нет ограничения на самое высокое значение. 0 ≤ ярдов ∞.

    Проблема 2. Какова область определения функции квадратного корня и каков ее диапазон?

    Функция квадратного корня определена только для неотрицательных значений x .Домен: x ≥ 0.

    Что касается диапазона, то самое низкое значение y равно 0. И нет ограничения на самое высокое значение. 0 ≤ ярдов

    Кубическая функция

    Кубическая функция: y = x 3 . Когда x отрицательно, y отрицательно: Нечетные степени отрицательного числа отрицательны.

    Проблема 3.Какова область определения кубической функции и каков ее диапазон?

    Домен: −∞ x

    Диапазон: −∞ y

    Обратная функция

    Когда x — очень большое положительное число — в крайнем правом углу оси x — его обратное число является очень маленьким положительным числом.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.