График обратная пропорциональность: Построение графика обратной зависимости — гиперболы (ЕГЭ — 2021)

Содержание

График обратной пропорциональности | Алгебра

График обратной пропорциональности — функции 

   

— гипербола. При k>0 ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, при k<0 — во II и IV.

Как построить график обратной пропорциональности? Для этого достаточно определить несколько точек гиперболы. Удобно брать те значения x, на которые удобно делить k.

Рассмотрим построение графика обратной пропорциональности на конкретных примерах.

   

Эта функция — обратная пропорциональность. Её график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Для построения гиперболы выберем значения x, на которые удобно делить 8: -8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8. Подставляя их в формулу вместо x, находим соответствующие значения y:

   

   

   

Таким образом, нашли 8 точек с координатами

(-8;-1), (-4; -2), (-2; -4), (-1; -8), (1; 8), (2; 4), (4; 2) и (8; 1).

На практике эти вычисления оформляют в виде таблицы — в верхнюю строчку записывают выбранные значения x, в нижнюю — y, полученные при подстановке соответствующего значения x в формулу функции. Для функции y=8/x таблица выглядит так:

Полученные точки отмечаем на координатной плоскости:

 

Затем через эти точки проводим две ветви гиперболы:

Важно!

Оси Ox и Oy для гиперболы являются асимптотами. Это означает, что ветви гиперболы на бесконечности приближаются к осям, но никогда их не пересекут.

Для построения гиперболы можно брать только положительные значения x. Вторая ветвь гиперболы симметрична первой относительно точки O.

   

Эта функция — обратная пропорциональность. Её график — гипербола, ветви которой расположены во II и IV-й координатных четвертях. Для построения гиперболы составим таблицу:

Полученные точки отмечаем на координатной плоскости:

 

И строим график:

 

Обратная пропорциональность


Обратная пропорциональность-это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (аргумента) вызывает пропорциональное увеличение, либо уменьшение зависимой величины (функции).


или



где k-любое число,k≠0.


Допустим, мы пришли в магазин за тетрадями. Тетради на прилавке и ваши деньги в кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е. чем больше вы купите тетрадей, тем меньше денег у вас останется.


Графиком функции является гипербола.


График функции при k>0


Гипербола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения и Yположительные, а вторая часть – в III четверти, где значения и Yотрицательные.


y(x)>0, при x∈(0;+∞)


y(x)<0, при x∈(0;+∞)


Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция убывает. => Функция , где K>0, убывает.


График функции при k<0



Гипербола состоит из 2 частей: одна находится во 2 четверти, где значения Xотрицательные, а значения Yположительные, а вторая часть – в 4 четверти, где значения Xположительные, а значения Yотрицательные.


Функция принимает положительное значение на промежутке (-∞;0),


Функция принимает отрицательные значения на промежутке (0;+∞).


Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция возрастает. => Функция , где K<0, Возрастает.


Свойства функции:


1)Область определения функции:


D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞).


2)Область значения функции:


E(f)=(-∞;0)(0;+∞).


3)Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет.


4)   — нечетная функция (т.к. ).


График симметричен относительно начала координат (0;0).


5) Функция не ограничена.


6)Функция не пересекает координатные оси (oX и oY).


Перемещение гиперболы


Если добавить константу а (где любое число)в знаменатель, в качестве слагаемого к  X, то произойдет перемещение гиперболы по оси оX (вместе с вертикальной асимптотой).


В таком случае уравнением функции станет:



Если у а стоит знак «+» (), то график функции передвигается по оси oX влево.


Для примера возьмем уравнение 



Гипербола смещена на 2 влево.


Если у а стоит знак «–» (), то график функции передвигается по оси oX вправо.


Для примера возьмем уравнение 


Гипербола смещена на 2 вправо.


Если добавить константу (где любое число) к дроби в качестве слагаемого, то произойдет перемещение гиперболы по оси oY (вместе с горизонтальной асимптотой)


 


В таком случае уравнением функции станет: 


Если у стоит знак «+» (), то график функции передвигается по оси oY вверх.


Для примера возьмем уравнение 



 


Если у стоит знак «-» (), то график функции передвигается по оси oY вниз.


Для примера возьмем уравнение 



Гипербола смещена на 2 вниз.


 


Сужение и расширение графика относительно начала координат.


От коэффициента зависит, как будут вести себя ветви гиперболы, относительно начала координат.


Например, сравним  и .



Мы видим, что график функции  значительно уже графика функции   =>Чем больше коэффициент K , тем больше расстояние между ветвями гиперболы, относительно начала координат.


 


 


Сравним  и .


Мы видим, что график функции  значительно уже графика функции   =>Чем меньше коэффициент K , тем меньше расстояние между ветвями гиперболы, относительно начала координат.


Автор статьи: Мажаров Данила Михайлович


Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

График обратной пропорциональности

Предположим, что функция задана формулой у = 12/х. Область определения рассматриваемой функции представляет собой множество всех чисел, отличных от нуля. Построим график рассматриваемой функции. Для этого нам необходимо найти значения у, которые соответствуют некоторым положительным значениям х и противоположным им отрицательным значениям:

 

х -12 -8 -6 -5 -4 -3 -2 -1,5 -1 1 1,5 2 3 4 5 6 8 12
y -1 -1,5 -2 -2,4 -3 -4 -6 -8 -12 12 8 6 4 3 2,4 2 1,5 1

В координатной плоскости построим точки, координаты которых мы получили. Уменьшая шаг вычислений, можно найти новые точки графика, расположенные все более и более плотно.

Число 0 не входит в область определения функции, поэтому на графике не будет точек с абсциссой 0, т.е. график не пересекает ось у. Т.к. нет ни одного такого значения х, при котором у был бы равен 0, то график также не будет пересекать и ось х.

Положительным значениям х будут соответствовать положительные значение у. Чем больше положительное значение х, тем меньше соответствующее ему значение у: например, если х = 120, то у = 0,1; если х = 24000, то у = 0,0005. Следовательно, чем больше положительная абсцисса точки графика, тем ближе эта точка расположена к оси абсцисс. Чем ближе положительное значение х к нулю, тем больше соответствующее ему значение у: например, х = 0,03, то у = 400; х = 0,000001, то у = 12000000.

Противоположным значениям х соответствует противоположные значения у. Каждая точка графика с отрицательными координатами симметрична относительно начала координат точке графика с положительными координатами.

График функции, заданной формулой у = 12/х, будет состоять из двух ветвей, расположенных в первом и третьем координатных углах.

Если функция задана формулой вида у = k/х и k < 0, то положительным значениям х будут соответствовать отрицательные значения у, и наоборот, отрицательным значениям х будут соответствовать положительные значения у. Т.о., график функции, заданной формулой у = -12/х, будет представлять собой кривую, состоящую из двух ветвей, расположенных во втором и четвертом координатных углах.

В общем, график функции, заданной формулой у = k/х, где k ≠ 0, есть кривая, состоящая их двух ветвей; подобную кривую принято называть гиперболой.

Если область определения функции, заданной формулой у = k/х, состоит не из всех отличных от нуля чисел, то ее графиком служит подмножество точек гиперболы.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ

ПРЯМАЯ  И ОБРАТНАЯ 
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ.

 

I.   
Прямая пропорциональность.

 

О:  Функция вида  y = kx + b   называется линейной функцией.

k, b числа (параметры), xпеременная (аргумент)

О:  Линейная
функция вида  
y = kx   называется прямой пропорциональностью.

 

Свойства
функции 
y = kx                            График функции  y = kx

1.  



 




 

Dy = R

2.  
Корни: x = 0

3.  
При  k > 0  Þ  y > 0  при  x Î (0;+¥)                               

                            y < 0  при  x Î (-¥; 0)

     При  k < 0  Þ  y > 0  при  x Î (-¥; 0)

                            y < 0  при  x Î (0;+¥)

4.  
При  k > 0  Þ  функция возрастает                     

При  k < 0  Þ  функция убывает

5.  
Экстремумов нет.

6.  



Зная две точки (x1
,y1) и (x2
,y2) можно    найти:

1.  
Угол наклона прямой к оси ОХ:

            tga = k = (y2 -
y1)/(x2 — x1)

    
2.  Уравнение прямой:   y = y1 + k(x2x1)

 

 

Наибольшего и наименьшего значения нет.

7.  
Ey = R

8.  
Нечётная, непериодическая.

 

График -
прямая,
строим по двум точкам.

 

 

Замечание:  График  функции 
y = kx + b  получаем  перемещением  графика 
функции  
y = kx  по вертикали:

если  b > 0 , то  вверх  на  b

если  b < 0 , то  вниз  на  b

II. Обратная пропорциональность.

 

О:  Функция
вида 
y = k / x  называется обратной
пропорциональностью.

 

            Свойства функции  y = k / x                         График функции
y = k / x

1.  
Dy = (-¥; 0)È (0; +¥)

2.  



 




 

Корней нет

3.  
При  k > 0  Þ  y > 0  при  x Î (0;+¥)                               

                            y < 0  при  x Î (-¥; 0)

     При  k < 0  Þ  y > 0  при  x Î (-¥; 0)

                            y < 0  при  x Î (0;+¥)

4.  
При  k > 0  Þ  функция убывает              

При  k < 0  Þ  функция возрастает

5.  
Экстремумов нет.

6.  



      Зная координаты точки (x1
,y1),                 можно
найти k:

    k = x1 · y1

 

Наибольшего и наименьшего значения нет.

7.  
Ey = (-¥; 0)È (0; +¥)

8.  
Нечётная, непериодическая.

 

График -
гипербола,
строим заполняя таблицу.

 

Примеры таких зависимостей:

«Обратная пропорциональность и её график»

Конспект урока по алгебре для учащихся 8 класса Дылымской многопрофильной гимназии по теме

«Обратная пропорциональность и её график»

Цель урока:

Образовательная: познакомить учащихся с понятием функции обратной пропорциональности, её графиком; научить работать с функцией и её графиком в процессе решения задач.

Задачи:

  • повторить понятие функции;

  • познакомить с понятием функции обратной пропорциональности и ее графиком;

  • научить решать задачи по данной теме.

Развивающая: развивать логическое мышление, память, внимание, формировать умения анализировать, сопоставлять данные, выводить логические следствия из данных предпосылок, умение делать выводы.

Воспитательная: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Тип урока:урок усвоения новых знаний.

Требования к ЗУН:

учащиеся должны знать определение функции обратной пропорциональности, свойства функции при, при .

учащиеся должны уметь работать с формулой и графиком функции обратной пропорциональности, решать задачи с их использованием.

Методы обучения: индуктивно-эвристический, дедуктивно-репродуктивный.

Оборудование: компьютер, экран, проектор, мультимедиа презентация.

Литература:

  1. Алгебра: Учеб.для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И.Нешков и др. – 11-е изд. – М. : Просвещение, 2010.– 384 с.

  2. Дидактические материалы по алгебре 8класс: кн. для учителя/В.И. Жохов, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк.-М. Просвещение,2007,-144с.

План урока:

1. Организационный момент (2 минуты)

2. Актуализация знаний (5 минут)

3. Изучение нового материала (12 минут)

4. Закрепление изученного материала (21минута)

5. Домашнее задание (2 минуты)

6. Подведение итогов (3 минуты)

Ход урока

Организационный момент

Включает в себя приветствие учителем класса, проверку готовности кабинета к проведению урока, девиз урока. . (Слайд 3)

Актуализация знаний

Учитель: На сегодняшнем уроке мы приступаем к изучению новой темы «Обратная пропорциональность и её график». Мы познакомимся с понятием функции обратной пропорциональности, её графиком. Научимся решать задачи и узнаем где в жизни вам понадобиться обратно пропорциональный график (Слайд 4)

Учитель:Начнем урок с повторения материала, изученного на прошлом уроке. Когда мы говорим о графиках и функциях какие ассоциации у вас появляются ? Где мы встречаем координаты ? . (Слайд 5-8)

Я прошу вас обратить внимание на доску: на слайде кроссворд. Необходимо заполнить кроссворд. (Слайд 9)

Учащиеся по очереди отвечают на вопросы.

Учитель:Как называетсяфункция вида y = kx + b?

Ученик:Функция вида y = kx + b называется линейной.

Учитель:Как называется функция вида y=x2?

Ученик: квадратичная функция. Графиком является парабола

Учитель: Что является графиком функции ?

Проблема :Графиком функции является гипербола.

На слайде появляются ответы (Слайд 12).

Изучение нового материала

Учитель:Мы с вами немного повторили предыдущий материал, а теперь откройте свои тетради и запишите число, классную работу и тему урока «Обратная пропорциональность и её график».

Запись на доске (слайд 13) и в тетрадях:

Запись в тетради:

Число

Классная работа.

Тема урока: «Обратная пропорциональность и её график».

Учитель:Обратная пропорциональность находит широкое применение на практике.

Например:

  1. время, затраченное на прохождение одного и того же пути, обратно пропорционально скорости движения; (Слайд 14).

  1. количество товара обратно пропорционально цене этого товара при одной и той же сумме денег, затраченных на его покупку; (Слайд 15).

  1. количество товара обратно пропорционально цене этого товара при одной и той же сумме денег, затраченных на его покупку.Закон спроса. (Слайд16)

  1. зависимость между площадью прямоугольника и его сторонами

(Слайд 17)

Учитель:А теперь построим график функции . Запишите в свои тетради данное задание со слайда. (Слайд 18)

Запись в тетрадях: Построить график функции .

Учащиеся вместе с учителем разбирают пример построения графика функции, отвечают на наводящие вопросы и делают записи в тетради.

Учитель:Что необходимо сделать для построения этого графика?

Ученик:Для построения графика следует вычислить координаты нескольких точек графика, построить их и через них провести плавные линии.

Учитель:Чему равенk, в данной функции?

Ученик:k=12

Учитель:Верно, значит . Составим таблицу положительных значений аргумента. В своих тетрадях начертите таблицу.

Учитель:Если аргумент х примет значение 1, то чему будет равно значение функции у?

Ученик:Значение функции убудет равно .

Запись в тетради: у=

Учитель:Верно.Найдите для указанных значений аргумента соответствующие значения функции и постройте прямоугольную систему координат.

Запись в тетрадях:

Учитель:Мы получили пар точек. Назовите мне их.

Ученик: (1;12), (2;6), (3;4), (4; 3), (5;2,4), (6;2)…

Учитель:Правильно, а теперь назовите точки с противоположными координатами, для построения графика функции поскольку им является гипербола, а для её построения необходимы точки с противоположными координатами.

Ученик: (-1;-12), (-2;-6), (-3;-4), (-4; -3), (-5;-2,4), (-6;-2)…

Учитель:Все верно. Теперь давайте построим полученные пары точек. Первая точка имеет координаты (1;12). Находим эту точку и отмечаем. Проделайте эту операцию с остальными точками.

(Учащиеся строят точки на прямоугольной системе координат в своих тетрадях).

Учитель: Теперь последовательно соедините построенные вами точки плавной линией.У вас должна получиться кривая, состоящая из двух ветвей.

Запись в тетрадях:

Учитель:Итак, мы получили график функции .

Учитель: Сверьте график, который вы получили, с графиком, представленным в учебнике (рис. 67).

Учитель:Прочитайте определение обратной пропорциональности со слайда. (Слайд 23)

(Учитель просит одного из учеников озвучить определение вслух)

Ученик:Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой , где х – независимая переменная и k – не равное нулю число.

Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Учитель:Вы знаете, чтографик функции — гипербола. График функции также называют гиперболой. Следовательно, полученный нами график функции — гипербола.

Ребята а где вы ещу слышали слово ГИПЕРБОЛА.

«Гипербола вокруг нас» (Слайд 24-26 )

Закрепление изученного материала

Учитель:А теперь перейдем к выполнению заданий. (Слайд 27)

Учащиеся получают карточки с заданием по вариантам и строят график функции, делая записи в тетради.

Учитель: нужно построить график функции и .

Учитель:А теперь обратите внимание на доску и проверьте друг у друга, верно ли вы построили график. У вас должна получиться кривая, состоящая из двух ветвей.

На слайде появляется решение, с которым учащиеся сверяют свою запись. (Слайд 27)

Учитель:Какой вывод вы можете сделать.

Учитель: Чему равен коэффициент k?

Ученик: если , то 2 и 4 четверть. если , то 1 и 3 четверть.

Учитель:Следующее задание определите в каких четвертьях расположен график. (Слайд 29)

Учитель. Следуюющее задание найдите обратно пропорциональную функцию. (Слайд 30)

Учитель:Верно. Укажите среди графиков гиперболу. (Слайд 31)

Учитель:Все справились с заданием. Теперь решим уравнение графически. Работать будем группой по 4 ученика.

Учитель просит ученика вспомнить алгоритм решения уравнения графически

Ученик: в одной координатной плоскости построить графики левой и правой части уравнения. Найти точки пересечения этих графиков. Определить значения абсцисс . ( слайд 31)

Учитель:Все верно, вы успешно справились с заданием. Ребята, которые выполняли задания вперед, подойдите после урока на проверку решения задач. Я поставлю Вам дополнительные оценки.

Домашнее задание

Учитель:Открываем свои дневники и записываем домашнее задание. (Слайд 32)

Запись в дневниках: №179, №186, п.8.

Подведение итогов

Учитель:На сегодняшнем уроке мы познакомились с определением обратной пропорциональности, научились решать задачи по данной теме. А кто сможет повторить определение обратной пропорциональности?

(Ученики поднимают руки, учитель спрашивает одного из них)

Ученик:Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой , где х – независимая переменная и k – не равное нулю число.

Учитель: Молодцы! Я надеюсь, что вы освоили сегодняшний материал.

А что вы с собой в жизнь возьмёте из этой темы ?

Ученик: «Тише едешь , дальше будешь.», если продавать дешевле то спрос высше,чем меньше лени в учёбе тем высше оценка и т.д.

(В конце урока учитель выставляет оценки учащимся)

Ребята оцените пожалуйста наш урок с помощью мимики смайликов.

Функция обратной пропорциональности и её график

2. Задачи, приводящие к понятию обратной пропорциональности.

Площадь прямоугольника со сторонами
x и y равна S. Выразите у через S и х.
1) Если
S 24 , то
24
у
х

3. Задачи, приводящие к понятию обратной пропорциональности.

Площадь прямоугольника со сторонами
x и y равна S. Выразите у через S и х.
2) Если
S 6
, то
6
у
х
Как связаны между собой х и у?

4. Задачи, приводящие к понятию обратной пропорциональности.

Пешеход путь S проходит со скоростью v
за t часов. Выразите время пешехода
через путь и скорость.
1) Если
S 60 , то
60
t
v

5. Задачи, приводящие к понятию обратной пропорциональности.

Пешеход путь S проходит со скоростью v
за t часов. Выразите время пешехода
через путь и скорость.
2) Если
S 3
, то
3
t
v
Как связаны между собой
скорость и время?

6. О п р е д е л е н и е.

Обратной пропорциональностью
называется функция, которую
можно задавать формулой вида
где х – независимая переменная,
k – не равное нулю число.

7. Свойства функции

1
х 0
Областью определения функции является
множество всех чисел, отличных от нуля.
2
k 0 у 0
Областью значений функции является
множество всех чисел, отличных от нуля.

8. График функции

Построим по точкам график функции
гипербола

11. График функции

Построим по точкам график функции
гипербола

14. Особенности графиков.

Симметричность
ветвей графика
относительно (0; 0)
k>0
I, III четверти

15. Особенности графиков.

Симметричность
ветвей графика
относительно (0; 0)
k
II, IV четверти
Задание №1
Укажите, какую из функций
можно назвать
обратной пропорциональностью:
х
у
3
3
у
х
у 3х
у х 3
у х
3
1
у

Задание №2
Укажите среди графиков
гиперболу
Не верно
1
Подумай
Молодец!
2
3
Задание №3
Задайте функцию обратной
пропорциональности, если ее график
проходит через точку:
( 1; 3 )
х
у
k
3
1
k 3
Задание №3
Задайте функцию обратной
пропорциональности, если ее график
проходит через точку:
( 2; -6 )
( -12; 4 )
( 5; 0,5 )
Задание №4
Постройте график функции
Проверка
I, III четверти
Симметрично
Относительно
О (0; 0)
Задание №4
Постройте график функции
Найдите по графику:
1) Значение у, соответствующее
значению х, равному 2; 4; -1; -4; -5
Проверка
х=2
у=4
х=4
у=2
х = -1 у = -8
х = -4 у = -2
х = -5 у = -1,6
Задание №4
Постройте график функции
Найдите по графику
значение у, соответствующее
значению х, равному 2; 4; -1; -4; -5
Найдите по графику:
значение х, которому соответствует
значение у, равное -4; -2; 8
Проверка
у = -4 х = -2
у = -2 х = -4
у=8
х=1

График — обратная пропорциональность — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

График — обратная пропорциональность

Cтраница 1

График обратной пропорциональности у — называют гиперболой.
 [1]

Графиком обратной пропорциональности является гипербола.
 [2]

Графиком обратной пропорциональности у k / x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно координат.
 [3]

Таким образом, графиком обратной пропорциональности ( 1) является равнобочная гипербола.
 [4]

Таким образом, графиком обратной пропорциональности ( 1) является равнобочная гипербола.
 [6]

Таким образом, графиком обратной пропорциональности ( 1) является равнобочная гипербола.
 [7]

Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей.
 [8]

Номограмма представляет собой серию изолиний, каждая из которых является графиком обратной пропорциональности между h и t и соответствует определенной величине S, пропорциональной площади пика. Величина номограммы соответствует стандартной величине хроматограммы.
 [9]

Номограмма представляет собой серию изолиний, каждая из которых является графиком обратной пропорциональности между h и / и соответствует определенной величине 5, пропорциональной площади пика. Величина номограммы соответствует стандартной величине хроматограммы.
 [10]

Поэтому равносторонняя гипербола, если асимптоты ее принять за координатные оси, дает график обратной пропорциональности, что и требовалось доказать.
 [11]

Отсюда видим, что равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам, представляет собой график обратной пропорциональности.
 [12]

Известно, что графиком функции у1 / х является гипербола. График обратной пропорциональности также называется гиперболой.
 [13]

Мы знаем, что графиком функции у1 / х является гипербола. График обратной пропорциональности также называется гиперболой.
 [14]

Известно, что графиком функции у-1 / х является гипербола. График обратной пропорциональности также называется гиперболой.
 [15]

Страницы:  

   1

   2




физика — График обратно пропорциональных отношений

физика — График обратно пропорциональных отношений — Mathematics Stack Exchange

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

  1. 0

  2. +0

  3. Авторизоваться
    Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено
155 раз

$ \ begingroup $

Закрыто. Это вопрос не по теме. В настоящее время он не принимает ответы.


Хотите улучшить этот вопрос? Обновите вопрос, чтобы он соответствовал теме форума Mathematics Stack Exchange.

Закрыт 3 года назад.

Если y обратно пропорционален x, график зависимости y от 1 / x представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.Я не понимаю, когда линия проходит через начало координат, значение y равно 0, затем значение 1 / x также равно 0, тогда каково значение x?

Создан 17 сен.

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

Вы писали, что «график зависимости $ y $ от $ \ frac {1} {x} $ представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.»Это неверно. График зависимости $ y $ от $ \ frac {1} {x} $ действительно прямой, но он не включает исходную точку $ (0, 0) $. Итак, предпосылка вопроса неправильно, и проблемы, которая вас беспокоит, не возникает.

Создан 17 сен.

Джейсон Зимба, Джейсон Зимба

2,11399 серебряных знаков1313 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

2

$ \ begingroup $

Говорят, что

$ y $ обратно пропорционально $ x $, если каждый раз, когда $$ y = \ frac {k} {x} \ qquad \ text {для всех} x \ neq 0 $$, где $ k $ — константа.

Я думаю, что проблема, с которой вы столкнулись, заключается в том, что когда $ x = 0 $, указанное выше не определено. Например, когда $ k = 1 $, мы имеем

Создан 17 сен.

парсиада

22.2k 33 золотых знака2828 серебряных знаков6262 бронзовых знака

$ \ endgroup $

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie

Настроить параметры

Прямая и обратная пропорция — Графики — WJEC — Счисление по математике GCSE (WJEC), редакция

Когда две величины находятся в прямой пропорции, при увеличении одной увеличивается другая.

Мы можем отобразить эту взаимосвязь на графике. Две величины, которые находятся в прямой пропорции, всегда будут давать прямолинейный график, проходящий через начало координат.

Если коэффициент пропорциональности положительный, график будет иметь положительный градиент. Если константа отрицательная, график будет иметь отрицательный градиент.

Пример 1

Заработок няни прямо пропорционален количеству отработанных часов.

Если им платят 9 фунтов стерлингов за каждый час работы, мы можем записать это в виде формулы:

\ [\ text {Earnings = 9 фунтов стерлингов} \ times \ text {часы работы} \]

Для построения графика нам понадобится три точки, мы можем использовать таблицу значений, чтобы помочь нам:

Когда часы = 0, заработок = 9 фунтов стерлингов × 0 = 0 фунтов стерлингов

Когда часы = 1, прибыль = 9 фунтов стерлингов × 1 = 9 фунтов стерлингов

Когда часы = 2, заработок = 9 фунтов стерлингов × 2 = 18 фунтов стерлингов

начисление баллов (\ ({0} \ text {,} {~ 0} \)), (\ ({1} \ text {,} {~ 9 } \)) и (\ ({2} \ text {,} {~ 18} \)).

После того, как вы нанесете эти точки, проведите линию через все три, продлив ее как можно дальше.

Пример 2

Количество пакетов чипсов и их общая стоимость указаны в таблице.

При построении графика этих точек мы видим, что они могут быть соединены вместе в прямую линию:

Для каждой единицы на оси \ (\ text {x} \) ось \ (\ text {y} \) увеличивается на 30. Это означает, что градиент графика равен 30, и график можно записать как:

\ [\ text {y = 30 x} \]

Поиск взаимосвязей из графика

\ (\ text {y } \) прямо пропорционален \ (\ text {x} \).Из этого графика напишите уравнение, чтобы показать взаимосвязь между \ (\ text {x} \) и \ (\ text {y} \).

Когда \ (\ text {x} \) = 2, \ (\ text {y} \) = 30

\ [{30} \ text {~ ÷} {~ 2} = {15} \]

\ [\ text {y = 15 ~ \ times ~ x} \]

\ [\ text {y = 15 x} \]

Когда две величины находятся в обратной пропорции, когда одна увеличивается, другая уменьшается.

Когда мы строим график этой взаимосвязи, мы получаем изогнутый график.

Пример

\ (\ text {y} \) обратно пропорционален \ (\ text {x} \), а когда \ (\ text {x} \) = 2, \ (\ text {y} \) = 10

Постройте график, заполнив таблицу значений:

1.Поскольку \ (\ text {y} \) обратно пропорционально \ (\ text {x} \), мы можем написать:

\ [\ text {y = k / x} \]

2. Заменить известное values ​​и перестановка находит значение \ (\ text {k} \):

\ [\ text {10 = k / 2} \]

\ [\ text {10 \ times ~ 2 = k} \]

\ [\ text {k = 20} \]

3. Теперь мы можем заполнить таблицу значений:

Когда \ (\ text {x = 1} \), \ (\ text {y = 20/1 } = 20 \)

Когда \ (\ text {x = 4} \), \ (\ text {y = 20/4} = 5 \)

Когда \ (\ text {x = 5} \), \ (\ text {y = 20/5} = 4 \)

4.Теперь мы можем построить эти точки и объединить их в кривую.

Прямо пропорционально и обратно пропорционально

Прямо пропорционально: по мере увеличения одной суммы другая сумма увеличивается с той же скоростью.

Символ «прямо пропорциональный» —
∝ (не путайте его с символом бесконечности ∞)

Пример: вам платят 20 долларов в час

Сколько вы зарабатываете прямо пропорционально тому, сколько часов вы работаете

Работайте больше часов, получайте больше зарплаты; прямо пропорционально.

Это можно было бы написать:

Заработок ∝ Отработанное время

  • Если вы работаете 2 часа, вам платят 40 долларов США
  • Если вы работаете 3 часа, вам платят 60 долларов
  • и т.д …

Константа пропорциональности

«Константа пропорциональности» — это величина, которая связывает две суммы

Пример: вам платят 20 долларов в час (продолжение)

Константа пропорциональности равна 20 , потому что:

Заработок = 20 × Количество отработанных часов

Это можно записать:

y = kx

Где k — константа пропорциональности

Пример: y прямо пропорционально x, а когда x = 3, тогда y = 15.

Что такое постоянная пропорциональности?

Они прямо пропорциональны, поэтому:

y = kx

Добавьте то, что мы знаем (y = 15 и x = 3):

15 = к × 3

Решить (разделив обе стороны на 3):

15/3 = к × 3/3

5 = к × 1

к = 5

Константа пропорциональности равна 5:

.

y = 5x

Когда мы знаем коэффициент пропорциональности, мы можем ответить на другие вопросы

Пример: (продолжение)

Каково значение y при x = 9?

у = 5 × 9 = 45

Каково значение x, когда y = 2?

2 = 5x

х = 2/5 = 0.4

Обратно пропорциональный

Обратно Пропорционально: когда одно значение уменьшается, с той же скоростью, что и другое увеличивается.

Пример: скорость и время в пути

Скорость и время в пути обратно пропорциональны, потому что чем быстрее мы движемся, тем короче время.

  • С увеличением скорости время в пути уменьшается
  • И с уменьшением скорости время в пути увеличивается

Это: y обратно пропорционально x

То же, что: y прямо пропорционально 1 / x

Что можно написать:

г =
к x

Пример: 4 человека могут покрасить забор за 3 часа.

Сколько времени займет его покраска 6 человек?

(Предположим, что все работают с одинаковой скоростью)

Это обратная пропорция:

  • По мере увеличения количества людей время рисования сокращается.
  • По мере того, как количество людей уменьшается, время рисования увеличивается.

Мы можем использовать:

т = к / п

Где:

  • t = количество часов
  • k = коэффициент пропорциональности
  • n = количество человек

«4 человека могут покрасить забор за 3 часа» означает, что t = 3 при n = 4

3 = к / 4

3 × 4 = к × 4/4

12 = к

к = 12

Итак, теперь мы знаем:

т = 12 / п

А при n = 6:

t = 12/6 = 2 часа

Итак, 6 человек покрасят забор за 2 часа.

Сколько человек нужно, чтобы выполнить работу за полчаса?

½ = 12 / шт.

n = 12 / ½ = 24

Итак, для выполнения работы за полчаса требуется 24 человека.
(при условии, что они не все мешают друг другу!)

Пропорционально …

Также возможно быть пропорциональным квадрату, кубу, экспоненте или другой функции!

Пример: пропорционально x

2

Камень падает с вершины высокой башни.

Расстояние, на которое он падает, пропорционально квадрату времени падения.

Камень падает с высоты 19,6 м через 2 секунды, как далеко он упадет через 3 секунды?

Мы можем использовать:

d = узлы 2

Где:

  • d — пройденное расстояние и
  • т — время падения

Если d = 19,6, то t = 2

19,6 = k × 2 2

19.6 = 4 тыс.

к = 4,9

Итак, теперь мы знаем:

d = 4,9 т 2

А при t = 3:

d = 4,9 × 3 2

д = 44,1

Значит, он упал на 44,1 м за 3 секунды.

Обратный квадрат

Обратный квадрат : когда одно значение уменьшает как квадрат другого значения.

Пример: свет и расстояние

Чем дальше мы от источника света, тем он менее яркий.

На самом деле яркость уменьшается как квадрат расстояния. Потому что свет распространяется во всех направлениях.

Таким образом, яркость «1» на 1 метре составляет всего «0,25» на 2 метрах (удвоение расстояния приводит к четверти яркости) и так далее.

Обратная вариация

Пока

прямая вариация

описывает линейную связь между двумя

переменные

, обратная вариация описывает другой вид отношений.

Для двух величин с обратным изменением, когда одна величина увеличивается, другая величина уменьшается.

Например, когда вы путешествуете в определенное место, по мере увеличения вашей скорости время, необходимое для прибытия в это место, уменьшается. Когда вы уменьшаете скорость, время, необходимое для прибытия в это место, увеличивается. Итак, количества обратно пропорциональны.

Обратную вариацию можно представить уравнением

Икс

y

знак равно

k

или же

y

знак равно

k

Икс

.

Это,

y

изменяется обратно пропорционально

Икс

если есть некоторая ненулевая константа

k

такой, что,

Икс

y

знак равно

k

или же

y

знак равно

k

Икс

где

Икс

0

,

y

0

.

Предполагать

y

изменяется обратно пропорционально

Икс

такой, что

Икс

y

знак равно

3

или же

y

знак равно

3

Икс

.Этот график этого уравнения показан.

С

k

является положительным значением, так как значения

Икс

увеличиваются, значения

y

снижаться.

Примечание. Для уравнений прямой вариации вы говорите, что

y

изменяется прямо как

Икс

. Для обратных вариационных уравнений вы говорите, что

y

изменяется обратно пропорционально

Икс

.

Правило произведения для обратной вариации

Если

(

Икс

1

,

y

1

)

а также

(

Икс

2

,

y

2

)

являются решениями обратной вариации, то

Икс

1

y

1

знак равно

k

а также

Икс

2

y

2

знак равно

k

.

Заменять

Икс

1

y

1

для

k

.

Икс

1

y

1

знак равно

Икс

2

y

2

или же

Икс

1

Икс

2

знак равно

y

2

y

1

Уравнение

Икс

1

y

1

знак равно

Икс

2

y

2

называется правилом произведения для обратных вариаций.


Пример:

На фабрике,

10

мужчины могут делать работу в

30

дней. Сколько дней потребуется, если

20

мужчины делают ту же работу?

Здесь, когда численность персонала увеличится, им потребуется меньше, чем

30

дней на выполнение той же работы. Итак, это обратная вариация.

Позволять

Икс

будет количество рабочих мужчин и пусть

y

быть количеством дней на выполнение работы.

Так,

Икс

1

знак равно

10

,

Икс

2

знак равно

20

а также

y

1

знак равно

30

.

По правилу произведения обратной вариации

(

10

)

(

30

)

знак равно

(

20

)

(

y

2

)

300

знак равно

20

y

2

Решить для

y

2

.

y

2

знак равно

300

20

знак равно

15

Следовательно,

20

мужчины могут выполнять ту же работу в

15

дней.

Искусство решения проблем

Говорят, что два числа находятся в соотношении друг к другу, если между ними существует какое-то числовое отношение.Есть несколько типов пропорций, каждый из которых определяется отдельным классом функций.

Состав

  • 1 Прямая пропорция
  • 2 Обратная пропорция
  • 3 Экспоненциальная пропорция
  • 4 Проблемы
    • 4,1 Вводный
    • 4.2 Средний
    • 4,3 Олимпиада
  • 5 См. Также

Прямая пропорция

Прямая пропорция — это пропорция, в которой одно число кратно другому.Прямая пропорция между двумя числами и может быть выражена как:

где — некоторое действительное число.

График прямой пропорции всегда линейный.

Часто это записывается как.

Обратная пропорция

Обратная пропорция — это пропорция, в которой по мере увеличения абсолютного значения одного числа, другого уменьшается прямо пропорционально. Это можно выразить как:

где — некоторое действительное число, не равное нулю.

График обратной пропорции всегда представляет собой гиперболу с асимптотами по осям x и y.

Экспоненциальная пропорция

Пропорция, в которой одно число равно константе, возведенной в степень другого, или логарифму другого, называется экспоненциальной пропорцией. Это можно выразить как:

или

для некоторого действительного числа, где не равно нулю или единице.

Проблемы

Вводный

  • Предположим, что есть одна или в следующей системе:

Найдите возможные значения.(Источник)

Средний

  • прямо пропорционален сумме квадратов и обратно пропорционален и квадрату. Если когда и, найдите, когда и что? (Источник) (За это спасибо Bicameral форума AoPS)

Olympiad

См. Также

  • Коэффициент
  • Дробь

МОДУЛЬ ВРЕМЕНИ M35 — Пропорция

Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES)

вернуться к индексу

ПРИНУДИТЕЛЬНЫЕ ЗНАНИЯ

  • Свободное владение арифметикой целых чисел и дробей.
  • Знакомство с основными единицами измерения расстояния, времени, массы и объема.
  • Построение прямолинейных графиков.
  • Определение градиента прямолинейного графика.
  • Знакомство с коэффициентами и ставками.
  • Простые формулы и уравнения.

МОТИВАЦИЯ

Доктора и медсестры рассчитывают, сколько лекарства нужно принять, используя
идею пропорции. Например, предположим, что лекарство нужно вводить из расчета
20 мкг / кг в минуту.Если пациент весит 56 кг, сколько миллиграммов он должен получить за один час?

Люди, работающие в науке, финансах и во многих других областях, ищут взаимосвязи между различными интересами. Эти отношения часто оказываются либо линейными, либо гиперболическими. То есть график, связывающий эти величины, представляет собой либо прямую линию, либо гиперболу.

В этом модуле мы в основном занимаемся формулами (см. Модуль Формулы), для которых соответствующие графы являются прямыми линиями или прямоугольными гиперболами.В первом случае мы имеем прямую пропорцию, а во втором — обратную.

Рассмотрим очень простой пример: I = закон Ома, связывающий V с напряжением (разностью потенциалов), I с током и R с сопротивлением проводника.

Закон Ома лежит в основе изучения электричества. Если R — константа, I прямо пропорционален V. Если V — константа, I обратно пропорционален R. В модуле Rates and Ratios формула d = vt, соединяющая пройденное расстояние d, затраченное время t и скорость V был представлен и обсужден.Для постоянной скорости пройденное расстояние пропорционально пройденному времени, а для фиксированного расстояния затраченное время обратно пропорционально скорости.

Более сложные ситуации также рассматриваются с использованием пропорций. Известный пример из науки: для тела, движущегося с постоянным ускорением, пройденное расстояние
пропорционально квадрату путешествия во времени.

Существует огромное множество применений пропорции, и это станет очевидным из множества примеров, приведенных в разделе содержания модуля.

В этом модуле будет представлен ряд формул из физики, однако знание связанных с ними физических принципов не является необходимостью для читателя.

СОДЕРЖАНИЕ

В этом модуле мы будем использовать слова «переменная» и «константа» вместо одного
слова «местоимение».

Прямая пропорция

Определение

Говорят, что переменная y прямо пропорциональна x, если

y = kx для некоторой ненулевой константы k.

Константа k называется константой пропорциональности.

Выражение «y прямо пропорционально x» символически записывается как

у х.

Иногда в литературе вместо пропорции употребляется слово вариация.

График y = kx — это прямая линия, проходящая через начало координат. Его градиент k является константой пропорциональности. (Значения, которые может принимать x, часто являются положительными действительными числами, но это не всегда так.)

Вот простой пример прямой пропорции.

Дэвид выезжает из дома с постоянной скоростью 100 км / ч.

Формула для расстояния d км, пройденного за t часов:

д = 100т.

Дэвид уйдет вдвое дальше в два раза больше, в три раза больше в три раза и так далее.

График зависимости d от t представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. В этом примере d прямо пропорционально t, и мы пишем d t.Константа 100 — это константа пропорциональности, и это градиент линии.

Обратите внимание, что в этом примере константа пропорциональности — это скорость, то есть коэффициент. Ставки — один из самых распространенных примеров пропорции.

Ставки, соотношения и пропорции

Ставки и коэффициенты были учтены в модуле «Ставки и коэффициенты». Идеи
этого модуля получили дальнейшее развитие и рассмотрены с другой точки зрения.

Тарифы

Все ситуации с постоянной скоростью, аналогичные приведенному выше примеру автомобиля, движущегося с постоянной скоростью, являются примерами прямой пропорциональности.

Например, если вода течет в резервуар со скоростью 5 литров / мин, количество воды V литров, которое втекает в резервуар через t минут, определяется формулой V = 5t. Таким образом, объем воды прямо пропорционален времени, в течение которого вода втекает в него.

Вот таблица значений для этой ситуации.

Как видно из таблицы, это постоянная величина.

= = = = = 5.

Таким образом, отношение V: t постоянно.

В: t = 5: 1 = 10: 2 = 15: 3 = 20: 4.

Из этого примера видно, как связаны постоянные нормы, постоянные отношения и прямая пропорция.

Передаточные числа

Предположим, что размеры прямоугольника находятся в соотношении 3: 2. Пусть x — длина прямоугольника, а y — ширина. Тогда

y: x = 3: 2 или = или y =.

Ширина y прямоугольника прямо пропорциональна длине прямоугольника.
Константа пропорциональности равна.График зависимости y от x представляет собой прямую линию, проходящую через
начало координат с градиентом.

ПРИМЕР

Лента шириной 3 см и длиной 1 см обрезана. Площадь обрезанной ленты Acm2 определяется формулой A = 3l. Напишите формулировку пропорции словами и символами, укажите константу пропорциональности и нарисуйте график зависимости A от l.

Решение

Так как A = 3l, A прямо пропорционально
l, и мы можем написать A l.Константа пропорциональности
равна 3.

Прямо пропорциональная собственность

Ниже приведены три важных свойства пропорции.

Применение свойств

Есть много приложений, которые иллюстрируют второе и третье свойства
прямой пропорции.

Пример объекта 2

Если автомобиль движется со скоростью 60 км / ч, расстояние Skm, пройденное за t часов, равно

S = 60т.Здесь S t и коэффициент пропорциональности 60. Перестановка дает

t = S. Следовательно, t S и коэффициент пропорциональности равен.

Пример объекта недвижимости 3

Урожай риса требует 40 кг азотных удобрений на гектар, а стоимость 1 кг
составляет 50 центов. Пусть A гектаров — это площадь, n — количество необходимых килограммов удобрений, а
$ C — общая стоимость удобрений. У нас n = 40A и C = 0,5n. Это означает n A и
C n.Следовательно, C A. Мы видим, что C = 20A, поэтому C A.

Другие примеры прямой пропорции

Есть много примеров прямой пропорции. Вот несколько элементарных примеров, показывающих, насколько распространена эта идея.

Из торговли

  • Когда мы читаем цену на нефть в 72 доллара за баррель, мы предполагаем, что цена определенного количества нефти прямо пропорциональна количеству баррелей. Большинство проблем с удельной стоимостью связаны прямо пропорционально.
  • Размер налога на товары и услуги, подлежащий уплате за товар, прямо пропорционален его стоимости.Константа пропорциональности 10%.
  • Для заданной процентной ставки, например 6% годовых, сумма процентов, полученных за фиксированный период, прямо пропорциональна инвестированной сумме.
  • Курсы валют. Стоимость предмета в евро пропорциональна его стоимости в долларах.

Из измерения

  • Преобразование единиц измерения обычно включает прямую пропорцию. Например, преобразование сантиметров в метры или футов в метры.Есть примеры, когда преобразование единиц не связано с прямой пропорцией, например, преобразование Фаренгейта в Цельсия.
  • Глубина воды в контейнере, который представляет собой прямую призму с горизонтальным «основанием», прямо пропорциональна объему воды, а объем прямо пропорционален глубине воды
  • Периметр правильного многоугольника прямо пропорционален длине одной стороны.
  • Длина окружности прямо пропорциональна радиусу окружности с константой пропорциональности 2π.И наоборот, радиус круга прямо пропорционален длине окружности. (C = 2πr и r =)
  • На карте, нарисованной в масштабе, расстояние между любыми двумя точками на карте пропорционально расстоянию между двумя местоположениями, которые представляют точки,
    с константой пропорциональности, являющейся масштабом карты.

Из науки

  • Масса тела пропорциональна его объему. Константа пропорциональности равна
    плотности тела.Например, плотность воды составляет 1 грамм / см3. (Формула m = ρV)
  • Ускорение тела пропорционально действующей на него равнодействующей силе.
    Константа пропорциональности — это масса. (Формула a =)
  • Сила, действующая на определенный объект под действием силы тяжести, пропорциональна массе объекта. Константа пропорциональности между массой и силой известна как ускорение свободного падения.
  • При постоянной силе, действующей на тело, работа, совершаемая силой, пропорциональна расстоянию, на которое движется тело.(Формула W = Fd)
  • Гравитационная потенциальная энергия тела над поверхностью земли пропорциональна высоте тела над поверхностью земли. Константа пропорциональности является произведением массы и ускорения свободного падения.
  • Для тела, движущегося по окружности с постоянной угловой скоростью, линейная скорость (тангенциальная скорость) пропорциональна угловой скорости. Константа пропорциональности — это радиус круга. (Формула v = ωr)
  • Принцип Архимеда: Вес вытесненной жидкости прямо пропорционален объему вытесненной жидкости.Проще говоря, принцип гласит, что выталкивающая сила, действующая на объект, равна весу жидкости, вытесняемой объектом.
  • Закон Чарльза: при постоянном давлении объем V заданной массы идеального газа увеличивается или уменьшается в тот же раз, что и его температура T на шкале абсолютных температур (то есть газ расширяется с увеличением температуры).

Свойства прямой пропорции могут быть успешно применены в каждом из приведенных выше примеров.Вот еще два важных примера.

Обмен валюты (пример свойства 2): конвертировать австралийские доллары в доллары США и доллары США в австралийские доллары. (Обратное значение константы пропорциональности, использованной для первого преобразования, применяется для второго.)

Преобразование единиц (пример свойства 3): измените метры на миллиметры, сначала изменив метры на сантиметры, а затем изменив сантиметры на миллиметры.

УПРАЖНЕНИЕ 1

В медицинском примере, который начинается с раздела мотивации, также используется свойство 3.

Лекарство следует вводить пациенту в дозе 20 мкг / кг / мин. Если пациент весит 56 кг, сколько миллиграммов он должен получить за один час?

УПРАЖНЕНИЕ 2

В 2008 году во время мирового финансового кризиса один австралийский доллар стоил 0,618 доллара США. Сколько стоит один доллар США в австралийских долларах?
(Подумайте о золотом сечении после завершения этого.)

Нахождение константы пропорциональности

Если y пропорционален x, константа пропорциональности может быть найдена, если даны только одно значение x и соответствующее значение y.

ПРИМЕР

Переменная y пропорциональна переменной x. Когда x = 4, y = 11. Найдите константу пропорциональности и, следовательно, напишите формулу для y через x.

Решение

Поскольку y пропорционален x, существует постоянная k такая, что y = kx.

Если x = 4, y = 11, поэтому 11 = 4k и k =.

Следовательно, y = x.

Процедура решения этого вопроса была следующей.

  • Запишите формулировку пропорции в виде уравнения с константой k.
  • Используйте информацию в вопросе, чтобы найти значение k.
  • Перепишите формулу с вычисленным значением k.

Пропорциональность квадрату или кубу

Металлический шар падает с вершины высокого здания, и расстояние, с которого он падает, записывается каждую секунду.

Из физики формула для расстояния d m, на которое мяч упал за t секунд, равна

d = 4,9 т2.

В этом случае мы говорим, что d прямо пропорционально
квадрату t.Когда мы строим график зависимости d
от t, график представляет собой половину параболы.

Но что случилось с нашей прямой линией, проходящей через начало координат, которую мы ожидаем от прямой пропорции? Мы можем получить прямую линию, построив график d против t2, а не против t.


т 0 1 2 3

т 2 0 1 4 9

д 0 4.9 19,6 44,1

Наклон этой линии равен 4,9.

Теперь это прямая линия, проходящая через начало координат с градиентом 4.9.
Мы видим, что d пропорционально t2, и мы записываем это как d t2.

Это означает, что для любых двух значений t1 и t2 с соответствующими значениями d1 и d2,

= = 4,9.

Таким образом, еще раз соотношение является константой, а наклон линии — константой пропорциональности.

Есть много примеров, когда одна величина пропорциональна квадрату
или кубу другой. Вот еще несколько элементарных примеров:

Как мы видели выше, чтобы найти константу пропорциональности, нужна всего одна пара значений
.

ПРИМЕР

Масса, миллиграммы пластического материала, необходимого для формования твердого шара, прямо пропорциональна кубу радиуса r см шара. Если нужно 40 грамм пластика
, чтобы сделать шар радиусом 2.5 см, мяч какого размера можно сделать из 200 грамм однотипной пластмассы?

Решение

Мы знаем, что m = kr3, где k — постоянная величина, а

м = 40 при r = 2,5
Таким образом 40 = к × (2,5) 3
к = 2,56.

Итак, формула m = 2,56r3

При m = 200, 200 = 2,56r3
r3 = 78,125
г =
r ≈ 4,27 см

УПРАЖНЕНИЕ 3

Мощность p кВт, необходимая для управления лодкой, изменяется как куб ее скорости с м / с.Если 400 кВт будут управлять лодкой со скоростью 3 м / с, какая мощность потребуется для того, чтобы та же лодка могла двигаться со скоростью 5 м / с?

Увеличение и уменьшение

Если одно количество пропорционально другому, мы можем выяснить, что происходит с одним из количеств при изменении другого.

Пусть y = kx для положительной постоянной k.

Если значение x удваивается, то значение y удваивается. Лучший способ продемонстрировать это — подставить конкретное значение x.

Например, если мы подставим x = 7, тогда y = 7k, а когда x = 14 даст y = 14k.

Аналогично, если значение x утроится, то значение y утроится. Мы можем использовать это с любым вопросом о пропорциях.

Прямая пропорциональная сводка

  • y прямо пропорционально x, если существует положительная константа k такая, что y = kx.
  • Символ, используемый для «пропорционально», есть. Мы пишем y x.
  • Если y прямо пропорционально x, то график зависимости y от x представляет собой прямую линию, проходящую через
    начало координат.Наклон линии — это коэффициент пропорциональности.

Обратная пропорция

Определение

Говорят, что переменная y обратно пропорциональна x, если

г =

для постоянного k. Число k называется константой пропорциональности.

Утверждение, что «y обратно пропорционально x», символически записывается как y.
Обратите внимание, что это также можно читать как «y прямо пропорционально».

Полезные свойства обратной пропорции отличаются от свойств прямой пропорции. Мы перечисляем здесь три важных свойства.

Скорость и время являются хорошим примером обратной пропорции.

Мы знаем, что расстояние = скорость × время или d = vt
Перестановка дает время = или т =

Пусть теперь расстояние между двумя городами будет 72 км.Время t часов, необходимое для преодоления этого расстояния со скоростью v км / ч, определяется формулой

.

т =

Это пример обратной пропорции. Мы пишем t и говорим, что t обратно пропорционально v с константой пропорциональности 72.

График зависимости t от v является частью прямоугольной гиперболы, но график зависимости t от
представляет собой прямую линию с градиентом 72.

ПРИМЕР

Предположим, что два города A и B находятся на расстоянии 144 км друг от друга.

a Запишите формулу для времени t часов, затрачиваемого на поездку из пункта A в пункт B со скоростью v км / ч.

b Постройте график зависимости t от v.

c Если автомобиль движется со скоростью 24 км / ч, сколько времени потребуется, чтобы завершить поездку?

d Если поездка длится 90 минут, с какой постоянной скоростью автомобилю потребуется
, чтобы двигаться?

Решение

с

При v = 24, t

=

= 6 часов

д

Когда t = =

, =

So v

= 144 ×

= 96 км / ч

Есть много примеров обратной пропорции в темах, которые изучаются в школе.Например,

  • Лента длиной 100 м должна быть разделена между n людьми. Длина, которую получает каждый человек, обратно пропорциональна количеству людей.
  • Для цилиндров объемом 2 м3 высота цилиндра обратно пропорциональна площади основания.
  • Сила между двумя заряженными объектами обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами.
  • Освещенность от источника света обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.

УПРАЖНЕНИЕ 4

Объем V см3 газа, поддерживаемого при постоянной температуре, обратно пропорционален давлению P кПа. Если объем составляет 500 см3 при давлении 80 кПа, найдите объем при давлении 25 кПа. (Это пример закона Бойля)

УПРАЖНЕНИЕ 5

Если a обратно пропорционально кубу b и a = 2, когда b = 3, найдите

а

а при b = 2

б

b при a =

Как и в случае с прямой пропорцией, мы можем вычислить влияние изменения другой переменной на одну переменную.

Сводка обратной пропорции

х1 у1 = х2у2 = к.

ПЕРЕАДРЕСАЦИЯ ССЫЛКИ

Пропорциональность по нескольким переменным

Часто конкретная физическая величина зависит от нескольких других переменных. Например, расстояние d, которое проезжает автомобилист, зависит как от скорости v, с которой он едет, так и от времени t, которое он едет, d = vt.

В более общем смысле, если y = kxz для положительной константы k, мы говорим, что y прямо пропорционален x и z.Аналогично, если a = для положительной константы k, мы говорим, что a прямо пропорционально b3 и обратно пропорционально c2.

ПРИМЕР

Предположим, что a прямо пропорционально b и квадрату c. Если a = 36, когда b = 3 и
c = 2, найти a, когда b = 4 и c = 1

Решение

a до н.э.
т. a = kbc2 для некоторой константы k

Подставляя известные значения, чтобы найти k.

36 = к × 3 × 22
к = 3.
Отсюда = 3bc2

Когда b = 4 и c = 1, a = 3 × 4 × 12 = 12

УПРАЖНЕНИЕ 7

Электрическое сопротивление провода R Ом прямо пропорционально его длине L м и обратно пропорционально квадрату его диаметра d мм.Некий провод длиной 100 м с диаметром
0,4 мм имеет сопротивление 1,4 Ом.

a Найдите уравнение, связывающее R, L и D.

b Найдите сопротивление (с точностью до одного десятичного знака) провода из того же материала, если он имеет длину 150 м и диаметр 0,25 мм.

c Если длина и диаметр увеличиваются вдвое, как это повлияет на сопротивление?

d Если длина увеличена на 10%, а диаметр уменьшен на 5%, каково процентное изменение сопротивления? (Ответьте правильно с точностью до одного десятичного знака.)

Два очень важных случая прямой пропорциональности нескольким переменным — это два правила обратных квадратов.

Первый закон — основной закон гравитационной силы, второй — закон Кулона электростатической силы между двумя электрическими зарядами. Для основного закона гравитации R — это расстояние между массами m1 и m2, а для закона Кулона — это расстояние между зарядами q1 и q2.

Прочие применения пропорции

Важные примеры возникают в математике, где функция прямо пропорциональна функции.Одним из важных случаев является y 2 ax , который обеспечивает модель как экспоненциального роста, так и экспоненциального затухания.

Интересным случаем пропорции является закон Снеллиуса. Когда свет преломляется через прозрачное вещество, угол падения θ связан с углом Φ преломления
уравнением

sin θ = k sin Φ для некоторой постоянной k, называемой показателем преломления.

Таким образом, чтобы получить утверждение о пропорциональности, нужно взять синус обоих углов.

Функции и исчисления

Эта тема является началом понимания учащимися приложений функций и должна начать указывать на масштабы приложений математики во многих различных областях. Это ведет ко всем аспектам изучения функций и исчисления. Графическое введение в ставки обеспечивается идеями пропорции.

ИСТОРИЯ

История пропорции начинается с древних греков. Он был разработан в Книге V Евклида и использовался для геометрии в Книге VI.Многие из вопросов, поднятых в Евклиде, не были удовлетворительно решены до работ Вейерштрасса, Кантора и Дедекинда в 19 веке. Некоторые из них обсуждаются в модуле «Ставки и коэффициенты».

Пропорция — настолько фундаментальная идея, что она проявляется в более приземленных проявлениях.
Один из таких случаев:

Правило трех

Правило трех было сокращенной версией особой формы перекрестного умножения, которую ученики часто учили наизусть.Вот пример типа проблемы.

Если три банана будут стоить 60 центов, сколько будут стоить 7 бананов? Используя правило трех, вы умножите 60 на 7 и разделите на 3.

Метод эквивалентен решению уравнения =. Без современных алгебраических обозначений язык, объясняющий, почему правило трех произведений было трудно объяснить.

Правило трех возникло у индуистских математиков Брахмагупта (около 628 г.) и Бхаскара (около 1150 г.).Он появился в Европе с 15 века и пользовался огромной популярностью у купцов. Английский арифметик XVII века писал: «Правило трех обычно называют золотым правилом; и действительно, это можно было бы так назвать; ибо как золото превосходит все другие металлы, так это правило распространяется и на все остальные в арифметике ».

Конечно, мы можем переписать решение этого вопроса, используя формулировку пропорции: «Стоимость n бананов в центах = 20n».

Греческая наука

Идеи соотношений использовались также в греческой науке.Например, Архимед
(287 — 212 г. до н.э.) добился результатов о балансировке единого стержня. Проиллюстрируем
это на примере.

Груз весом 3 кг помещается в 120 см от точки опоры, на которой балансируется штанга. Уравновешивание может быть достигнуто, если груз массой m килограммов поместить на x см от точки опоры на другой стороне оси так, чтобы mx = 120 × 3. Следовательно, расстояние, на которое груз помещается от точки опоры, необходимое для балансировки, обратно пропорционально пропорционально весу.Современный термин для этого продукта — момент.

Трактат Архимеда «О плавающих телах» также содержит материал, в котором используются пропорции. Принцип Архимеда, упомянутый ранее в этом модуле, является примером его результатов в
этой области.

Пропорции, естественные науки и математика

Мы кратко обсудим развитие некоторых аспектов математики и естественных наук до начала 18 века. Мы не можем попытаться дать какую-либо полную картину этого, но отметим, что наука и математика развивались очень близко друг к другу вплоть до наших дней, и пропорция была центральной концепцией в этом развитии.

У истоков математики лежат физические науки.

Некоторый прогресс был достигнут в средневековье. Ученые Мертона в Оксфорде в середине четырнадцатого века изучали движение с постоянным ускорением, и им приписывали следующее.

Тело, движущееся с равномерно ускоренным движением в заданное время, точно на такое же расстояние, которое оно двигалось бы с постоянной скоростью, равной его мгновенной скорости в середине рассматриваемого периода времени.

Николь Оремская (1323–1382) разработала схематическое изображение движения. Он пришел к представлению пройденного расстояния в виде области, двумя измерениями которой (которые представлены перпендикулярными линиями) были время, а другим — скорость. Таким образом, он представил идею, очень похожую на прямоугольные координаты. Его выводы должны были быть подтверждены и развиты Галилеем. Эта работа была проделана задолго до того, как появилось четкое понятие координатной геометрии.

Пропорция была частью языка математики и физики со времен Галилея (1564 — 1642). Многие рукописи, происходящие от греков, пришли из Византийской империи и арабов, и многие думали, что эти рукописи стали катализатором возрождения научной мысли в Европе. Галилей добился того, что для тела, движущегося с постоянным ускорением, пройденное расстояние пропорционально квадрату времени путешествия.

Кеплер (1571 — 1630) также был знаком с творчеством древних греков.Он последовал за Коперником и развил свои теории дальше. Его законы движения планет используют язык пропорций.

Законы Кеплера:

  1. Орбита каждой планеты представляет собой эллипс с Солнцем в одном из двух фокусов.
  2. Линия, соединяющая планету и Солнце, охватывает равные области за равные промежутки времени. В терминах пропорции это можно записать так: «Площадь, выметаемая за данный промежуток времени линией, соединяющей Солнце с планетой, пропорциональна длине временного интервала».
  3. Квадрат периода обращения планеты прямо пропорционален кубу большой полуоси ее орбиты.

Гюйгенс (1629 — 95) получил дополнительные результаты и обнаружил, что для тела, движущегося по круговой траектории с постоянной скоростью, v имеет ускорение, направленное к центру окружности. Сила, действующая на частицу, пропорциональна квадрату скорости и обратно пропорциональна радиусу круга.

Работа сэра Исаака Ньютона (1642–1727) является продолжением работ более ранних ученых, о которых говорилось выше.Он родился в год смерти Галилея. Он математически объяснил результаты, полученные Галилеем и Кеплером. Для достижения этих результатов он использовал разработанный им расчет. Он получил фундаментальный закон для гравитационных сил F = G, который можно читать как: «Каждая точечная масса притягивает каждую другую точечную массу силой, направленной вдоль линии, пересекающей обе точки. Сила прямо пропорциональна произведению двух масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между точечными массами.’

Второй закон движения Ньютона также выражен в терминах пропорции.

«Изменение движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по прямой линии, на которой действует эта сила» (F = ma).

Пропорция оставалась ключевой идеей на протяжении XVIII и XIX веков, и ее значение, конечно же, сохраняется и по сей день.

ОТВЕТЫ НА УПРАЖНЕНИЯ

УПРАЖНЕНИЕ 1

67,2 миллиграмма

УПРАЖНЕНИЕ 2

1.618 (десятичное приближение золотого сечения)

УПРАЖНЕНИЕ 3

1852 кВт

УПРАЖНЕНИЕ 4

1600 см3

УПРАЖНЕНИЕ 5

6,75 б 4

УПРАЖНЕНИЕ 6

y увеличивается примерно на 23.5% б x уменьшился примерно на 4,7%

УПРАЖНЕНИЕ 7

Сопротивление

R = б 5,4 Ом
в сопротивление уменьшено вдвое д увеличено на 21.9%

Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES) на 2009–2011 годы финансировался Министерством образования, занятости и трудовых отношений правительства Австралии.

Мнения, выраженные здесь, принадлежат автору и не обязательно отражают точку зрения Департамента образования, занятости и трудовых отношений австралийского правительства.

© Мельбурнский университет от имени Международного центра передового опыта в области образования в области математики (ICE-EM), образовательного подразделения Австралийского института математических наук (AMSI), 2010 г. (если не указано иное).Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/

Обучение без закона: физика: пропорциональность

Абстрактные

Результаты обучения

  • Признать соразмерность.
  • Признать обратную пропорциональность.
  • Создайте уравнения из пропорциональных соотношений.

Ключевые слова

  • Пропорциональный
  • обратно пропорционально
  • Пропорциональность
  • Константа пропорциональности

Пропорциональность

В физике мы часто говорим о пропорциональности. Это соотношение между двумя величинами, при котором они увеличиваются или уменьшаются с одинаковой скоростью. Другими словами, когда количество A изменяется на определенный коэффициент, количество B изменится на тот же фактор.Возьмем, к примеру, плитку шоколада, которую можно купить за 1 евро. Если вы захотите купить две плитки шоколада, это будет стоить вам 2 евро. Точно так же десять плиток шоколада будут стоить 10 евро и т. Д. Хотя большинство магазинов не разрешают этого, вы также можете купить половину плитки шоколада за 0,50 евро. Отношение между деньгами, которые вы тратите, и количеством шоколада, которое вы получаете, называется пропорциональным соотношением, и то, что количество получаемого вами шоколада пропорционально (или иногда прямо пропорционально) сумме денег, которую вы тратите.Мы используем символ ∝, чтобы сказать, что количества пропорциональны, то есть:
\ [A \ propto B \]
, или использовать наш предыдущий пример:
\ [\ text {количество шоколада} \ propto \ text {заплаченная цена} \]

Вернуться к началу.

Обратная пропорциональность

Некоторые отношения не увеличиваются и не уменьшаются одновременно, но все же связаны пропорционально. Подумайте о долгом путешествии, чтобы увидеть семью. Скорость, с которой вы путешествуете, зависит от времени поездки, но не так, как указано выше.По мере увеличения скорости время в пути сокращается. Фактически, путешествие вдвое быстрее сократит время в пути вдвое. Мы называем этот тип отношений обратной пропорциональностью. Если одно количество увеличивается на определенный коэффициент, другое количество уменьшается на тот же коэффициент. Мы используем тот же символ, что и для пропорциональности, но представляем одну величину обратной величиной, поэтому:
\ [A \ propto \ frac {1} {B} \]
, или использовать наш предыдущий пример:
\ [\ text {скорость} \ propto \ frac {1} {\ text {время в пути}} \].

Вернуться к началу.

Уравнения пропорций

Все пропорциональные зависимости можно переписать в виде уравнения с константой пропорциональности. Итак, нашу пропорциональную зависимость можно переписать следующим образом:
\ [A \ propto B \]
к
\ [A = кБ \]

Эта константа по умолчанию обычно записывается как \ (k \), но в определенных случаях она может содержать другие символы (или комбинации символов). Если мы посмотрим на наши предыдущие два примера:
\ [\ text {количество шоколада} \ propto \ text {заплаченная цена} \] \ [\ Rightarrow \ text {количество шоколада} = \ text {цена за шоколад} \ times \ text {заплаченная цена} \]
а также
\ [\ text {скорость} \ propto \ frac {1} {\ text {время в пути}} \] \ [\ Rightarrow \ text {скорость} = \ text {расстояние} \ times \ frac {1} {\ text { время путешествий}}\]
, мы видим, что константа может иметь совершенно разные значения в зависимости от контекста.Мы будем использовать этот факт в нескольких частях курса.

Вернуться к началу.

Другие пропорциональные отношения

Пропорциональные отношения могут быть сложнее, чем просто прямо или обратно пропорциональные. Очень часто количество зависит от квадратного корня или куба из другой величины. 2} \]
Мы также увидим, что основная частота натянутой струны пропорциональна квадратному корню из ее натяжения, или:
\ [f \ propto \ sqrt {T} \]
Мы будем отмечать эти отношения по мере того, как будем сталкиваться с ними на курсе.

Вернуться к началу.

Определение пропорциональности

Как объяснялось во введении, физика и наука в целом связаны не только с теорией, но и с практикой. В рамках этого курса вы должны уметь распознавать, когда отношения пропорциональны, особенно в результате ваших экспериментов. Вы делаете это, рисуя график отношений. Следующие графики иллюстрируют различные типы пропорциональности:

Пропорциональные отношения показывают прямую линию через начало координат.Обратно пропорциональные отношения показывают характеристическую кривую.

Построение обратной связи приводит к правильному пропорциональному графику.

Другие пропорциональные отношения будут иметь свои собственные характеристические графики, но их всегда можно перестроить, чтобы построить пропорциональный график.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.