График х в 10 степени: График функции y = x^10

n$, тогда график нашей функции $y=\sqrt[n]{x}$ будет симметричен относительно прямой $y=x$. Не забываем, что мы рассматриваем случай неотрицательного значения аргумента, то есть $х≥0$.

Содержание

Свойства функции

Свойства функции $y=\sqrt[n]{x}$ при $x≥0$:
1. $D(f)=[0;+∞)$.
2. Функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на $[0;+∞)$.
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Наименьшее значение равно нулю, наибольшего значения нет.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=[0;+∞)$.
8. Выпукла вверх на луче $[0;+∞)$.
9. Внимательно посмотрев на наш график функции мы можем сказать, что в любой точке к нему можно провести касательную (точку $х=0$ не рассматриваем). А это значит, что наша функция дифференцируема в любой точке. Производной в точке $х=0$ не существует, так как касательная в этой точке совпадает с осью ординат.

Примеры построения графиков функции и решения уравнений

Пример. Построить график функции $y=\sqrt[4]{(x+2)}-2$.
Решение. График нашей функции получается из графика $y=\sqrt[4]{x}$ смещением на две единицы влево и на две единицы вниз относительно начала координат.

Пример. Решить уравнение $\sqrt[8]{x}=2x-1$.
Решение. Решим наше уравнение графическим способом. Построим два графика функции $\sqrt[8]{x}$ и $y=2x-1$. Найдем точку их пересечения.

Наши графики пересекаются в одной точке (1;1). Подставив $x=1$ в исходное уравнение, получаем верное тождество $1=1$, значит точка $х=1$ — решение нашего уравнения.

Теперь давайте рассмотрим исходную функцию для нечетного показателя корня. На прошлом уроке мы с вами узнали, что $\sqrt[n]{x}$, если n нечетное существует и при $х
$f(-x)=\sqrt[n]{(-x)}=-\sqrt[n]{x}=-f(x)$,где $n=3,5,7,9…$.
Вспомнив свойство графика нечетной функции – симметричность относительно начала координат, давайте построим график функции $y=\sqrt[n]{x}$ для $n=3,5,7,9…$.
Отразим график функции, которой мы получили вначале, относительно начала координат.

Заметим, что ось ординат является касательной к графику нашей функции в точке $х=0$.

Пример.
Построить и прочитать график функции $y=f(x)$, где $f(x)$:
$f(x)=\begin{cases}\sqrt[5]{x}, x≤1\\ \frac{1}{x}, x>1\end{cases}$.
Решение. Последовательно построим два графика функции на разных координатных плоскостях, после полученные графики объединим в один.
Построим график функции $y=\sqrt[5]{x}$, $x≤1$.
Таблица значений:

График функции $y=\frac{1}{x}$ нам хорошо известен, это гипербола, давайте построим график при $x>1$.
Объединим оба графика:
Ребята, давайте опишем свойства, которыми обладает наша функция:
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2.Ни четная, ни нечетная.
3. Убывает на $[1; +∞)$ и возрастает на $(-∞;1]$.
4. Неограниченна снизу, ограничена сверху.
5. Наименьшего значения нет, наибольшее значение равно 1.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=( -∞;1]$.
8. Функция дифференцируема всюду, кроме точек $х=0$ и $х=1$.
9. $\lim_{x \rightarrow +∞} f(x)=0$.

Пример. Найти область определения функций:

а) $y=\sqrt[6]{2x-10}$.2}$.

Функция корень n — степени из x, свойства и график

Вопросы
занятия:

·    
рассмотреть
свойства функции корень n-ой степени из x;

·    
рассмотреть
график функции корень n-ой степени из x;

·    
рассмотреть
примеры на построение и нахождение свойств функций этого вида.

Материал
урока

Прежде чем перейти к изучению нового
материала, давайте повторим основные понятия, с которыми мы познакомились на
предыдущих уроках.

Корнем n-ой степени из
неотрицательного числа
a
называют
такое неотрицательное число, при возведении которого в степень n
получается число а.

Корнем нечётной степени n-ой из
отрицательного числа а
называют такое
отрицательное число, при возведении которого в степень n получается а.

Обозначают:

Число а – это подкоренное
число
, число nпоказатель корня.

Обобщая
эти понятия, можно сказать, что из любого неотрицательного числа можно извлечь
корень любой степени (второй, третьей, четвертой и так далее), а из
отрицательного числа можно извлечь только корень нечётной степени.

То
есть на [0; +∞) каждому числу x
можно поставить в соответствие единственное число корень n-ой
степени из x при любом значении n.

Другими
словами, на множестве [0; +∞) можно говорить о функции:

Давайте
попробуем найти свойства этой функции и построить её график.

Основные
свойства:

Областью
определения
будет являться промежуток [0;
+∞).

Поскольку
корнем n-ой степени из неотрицательного числа является неотрицательное
число, то областью значений функции будет промежуток [0; +∞).

Поскольку
область определения функции не является симметричным множеством, то функция не
является ни чётной, ни нечётной
.

Операцию
извлечения корня мы вводили как операцию обратную возведению в соответствующую
степень.

Тогда
можно сказать, что:

Зная
это, нетрудно построить график функции.

Используя построенный график, мы можем записать
оставшиеся свойства функции.

Функция возрастает на промежутке
[0; +∞).

Функция не ограничена сверху, но ограничена
снизу
, например, прямой y = -0,5.

Наименьшим
значением функции будет 0, наибольшего значения функция не имеет.

Функция непрерывна на всей
области определения.

Функция выпукла вверх на всей
области определения.

При изучении темы дифференцирование
функций, мы говорили, что если функция дифференцируема в каждой точке
некоторого промежутка, то она непрерывна на данном промежутке. Из курса базовой
школы мы знаем:

Тогда:

Эта производная существует в любой точке
промежутка [0; +∞) за исключением точки 0.

Таким образом, функция имеет производную
в любой точке промежутка (0; +∞), то есть функция дифференцируема
на промежутке (0; +∞).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Пример.

Мы с вами говорили о функции y
равно корень nой
степени из x только для
неотрицательных значений аргумента.

Но если эн нечётное число, то выражение
корень nой
степени из x
имеет
смысл и для отрицательных x.
Значит, можно говорить о функции:

Теперь давайте запишем свойства этой
функции.

Областью определения
будет промежуток (– ∞; + ∞).

Областью значений
будет промежуток (– ∞; + ∞).

Поскольку область определения является
симметричным множеством, то можно исследовать данную функцию на чётность:

Получаем, что функция при нечётном n
будет нечётной.

Давайте построим график функции.

Воспользуемся свойством нечётности
функции и добавим к этой ветви ветвь, симметричную ей относительно начала
координат.

По графику легко записать оставшиеся
свойства функции.

Функция возрастает на всей
области определения.

Функция не ограничена ни сверху ни
снизу
.

Функция не имеет ни наименьшего, ни
наибольшего значений
.

Функция непрерывна на всей
области определения.

Функция выпукла вниз на
промежутке (– ∞; 0) и выпукла вверх на промежутке (0; +
∞)
.

Функция дифференцируема на всей
области определения за исключением точки 0.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Пример.

Пример.

Отрицательная степень чисел и дробей

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение: 

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, an= a · a · a · a… · a

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2, то она решается довольно просто:

  • 23 = 2 · 2 · 2, где
  • 2 — основание степени
  • 3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и на калькуляторе. Их выбор велик, а доступность иногда на расстоянии одного клика в онлайн. Всё это безусловно можно использовать, но сейчас нам важно подробно разобрать принцип работы, чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике.

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

Число

Вторая степень

Третья степень

1

1

1

2

4

8

3

9

27

4

16

64

5

25

125

6

36

216

7

49

343

8

64

512

9

81

729

10

100

1000

 

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук — ниже мы их рассмотрим.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, то основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

  •  

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень возведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

Степень с показателем 0

Любое целое a ≠ 0 в степени 0 равно 1.

Выражение 0 в степени 0 многие математики считают лишенным смысла, так график функции f (x, у) = xy прерывается в точке (0;0).

Степень с отрицательным показателем 

Число в минусовой степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем:

К примеру, 4 в минус 2 степени — это 1/42, 2 в минус 3 степени — это 1/23, 3 в минус 1 степени — это 1/3, 10 в минус первой степени — это 1/10 (0,1).

Примеры

Степени с отрицательным показателям помогают компактно записывать крайне малые или постоянно уменьшающиеся величины. Например, одну миллиардную долю (0, 000 000 001) можно записать как 10 в минус 9 степени (10-9). В школьной программе такие величины редкость: чаще всего используют 10 в минус 1 степени или 2 в минус 1 степени.

Чтобы разобраться, как возводить число в отрицательную степень, вспомним правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

Деление степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Поэтому если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:

a3 a6=a3 — 6 = a-3

Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:

Действия с отрицательными степенями

Умножение отрицательных степеней

При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

am · an = am + n

Примеры

 

Деление отрицательных степеней

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:

Примеры



Возведение дроби в отрицательную степень

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

Возведение произведения в отрицательную степень

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель произведения отдельно:

У нас есть отличная статья на тему — формулы сокращенного умножения, тебе стоит повторить ее!

 

Линейная функция (ЕГЭ 2022) | ЮКлэва

Коэффициенты линейной функции

Для начала выясним, что делает коэффициент \( \displaystyle b\). Рассмотрим функцию \( \displaystyle y=x+b\), то есть \( \displaystyle k=1\).

Меняя \( \displaystyle b\) будем следить, что происходит с графиком.

Итак, начертим графики для разных значений \( \displaystyle b:b=-2,\text{ -}1,\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2\):

Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики?

Это сразу видно: чем больше \( \displaystyle b\), тем выше располагается прямая.

Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось \( \displaystyle \mathbf{y}\) в точке с координатой, равной \( \displaystyle \mathbf{b}\)!

И правда. Как найти точку пересечения графика с осью \( \displaystyle y\)? Чему равен \( \displaystyle x\) в такой точке?

В любой точке оси ординат (это название оси \( \displaystyle y\), если ты забыл) \( \displaystyle x=0\).

Значит достаточно подставить \( \displaystyle x=0\) в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью \( \displaystyle y\):

\( \displaystyle y=k\cdot 0+b=b\)

Теперь по поводу \( \displaystyle k\). Рассмотрим функцию \( \displaystyle \left( b=0 \right).\) Будем менять \( \displaystyle k\) и смотреть, что происходит с графиком.

Построим графики для \( \displaystyle k=-3,\text{ -}1,\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2:\)

Так, теперь ясно: \( \displaystyle k\) влияет на наклон графика.

Чем больше \( \displaystyle k\) по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – \( \displaystyle Ox\)) расположена прямая.

Если \( \displaystyle k>0\), график наклонен «вправо», при \( \displaystyle k<0\) – «влево». А когда \( \displaystyle k=0\), прямая располагается вдоль оси абсциссс.

Давай разбираться. Начертим новый график \( \displaystyle y=kx+b\):

Выберем на графике две точки \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\). Для простоты выберем точку \( \displaystyle A\) на пересечении графика с осью ординат. Точка \( \displaystyle B\) – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны \( \displaystyle \left( x;y \right)\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \displaystyle ABC\), построенный на отрезке \( \displaystyle AB\) как на гипотенузе.

Из рисунка видно, что \( \displaystyle AC=x\), \( \displaystyle BC=y-b\).

Подставим \( \displaystyle y=kx+b\) в \( \displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx\).

Получается, что \( BC = k \cdot AC{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}k = \frac{{BC}}{{AC}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \).

Итак, коэффициент \( \displaystyle k\) равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс.

Именно поэтому его (коэффициент \( \displaystyle k\)) обычно называют угловым коэффициентом.

В случае, когда \( k < 0,{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha < 0,\) что соответствует тупому углу:

Если же \( \displaystyle k=0\), тогда и \( {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha = 0,\) следовательно \( \displaystyle \alpha =0\), то есть прямая параллельна оси абсцисс.

Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.

Степенная функция, ее свойства и график

Вы знакомы с функциями y=x, y=x2, y=x3, y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y=xp, где p — заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень xp. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.

  1. Показатель p=2n -четное натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x2n, где n — натуральное число, обладает следующими

свойствами:

  • область определения — все действительные числа, т. е. множество R;
  • множество значений — неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
  • функция y=x2n  четная, так как x2n=(-x)2n
  • функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.

График функции y=x2n имеет такой же вид, как например график функции y=x4.

        2. Показатель p=2n-1— нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция  y=x2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

  • область определения — множество R;
  • множество значений — множество R;
  • функция y=x2n-1 нечетная, так как (-x)2n-1=x2n-1;
  • функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y=x2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y=x3.

       3.Показатель p=-2n, где n — натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x-2n=1/x2nобладает следующими свойствами:

  • область определения — множество R, кроме x=0;
  • множество значений — положительные числа y>0;
  • функция  y=1/x2n четная, так как 1/(-x)2n=1/x2n;
  • функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.

График функции y=1/x2n имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x2.
       4.Показатель p=-(2n-1), где n — натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x-(2n-1) обладает следующими свойствами:

  • область определения — множество R, кроме x=0;
  • множество значений — множество R, кроме y=0;
  • функция y=x-(2n-1) нечетная, так как (-x)-(2n-1) =-x-(2n-1);
  • функция является убывающей на промежутках x<0 и x>0.

График функции y=x-(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x3.

Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики

Понятие обратной функции

Допустим, что у нас есть некая функция y=f(x), которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения x∈a; b; область ее значений y∈c; d, а на интервале c; d при этом у нас будет определена функция x=g(y) с областью значений a; b. Вторая функция также будет непрерывной и строго монотонной. По отношению к y=f(x) она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции x=g(y) тогда, когда y=f(x) на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.

Две этих функции, f и g, будут взаимно обратными.

Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?

Это нужно нам для решения уравнений y=f(x), которые записываются как раз с помощью этих выражений.

Нахождение взаимно обратных функций

Допустим, нам нужно найти решение уравнения cos(x)=13. Его решениями будут все точки: x=±arсcos13+2π·k, k∈Z 

Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.

Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным.

Пример 1

Условие: какая функция будет обратной для y=3x+2?

Решение

Область определений и область значений функции, заданной в условии, – это множество всех действительных чисел. Попробуем решить данное уравнение через x, то есть выразив  x через y.

Мы получим x=13y-23. Это и есть нужная нам обратная функция, но y здесь будет аргументом, а x — функцией. Переставим их, чтобы получить более привычную форму записи:

y=13x-23 

Ответ: функция y=13x-23 будет обратной для y=3x+2.

Обе взаимно обратные функции можно отобразить на графике следующим образом:

Мы видим симметричность обоих графиков относительно y=x. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.

Возьмем пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.

Пример 2

Условие: определите, какая функция будет обратной для y=2x.

Решение

Для заданной функции областью определения являются все действительные числа. Область значений лежит в интервале 0; +∞. Теперь нам нужно выразить x через y, то есть решить указанное уравнение через x. Мы получаем x=log2y. Переставим переменные и получим y=log2x.

В итоге у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.

Ответ: y=log2x.

На графике обе функции будут выглядеть так:

Основные свойства взаимно обратных функций

В этом пункте мы перечислим основные свойства функций y=f(x) и x=g(y), являющихся взаимно обратными.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Определение 1

  1. Первое свойство мы уже вывели ранее: y=f(g(y)) и x=g(f(x)).
  2. Второе свойство вытекает из первого: область определения y=f(x) будет совпадать с областью значений обратной функции x=g(y), и наоборот.
  3. Графики функций, являющихся обратными, будут симметричными относительно y=x.
  4. Если y=f(x) является возрастающей, то и x=g(y) будет возрастать, а если y=f(x) убывает, то убывает и x=g(y).

Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции y=f(x)=ax и x=g(y)=logay. Согласно первому свойству, y=f(g(y))=alogay. Данное равенство будет верным только в случае положительных значений y, а для отрицательных логарифм не определен, поэтому не спешите записывать, что alogay=y. Обязательно проверьте и добавьте, что это верно только при положительном y.

А вот равенство x=f(g(x))=logaax=x будет верным при любых действительных значениях x.

Не забывайте про этот момент, особенно если приходится работать с  тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями.  Так, arcsinsin7π3≠7π3, потому что область значений арксинуса -π2; π2 и 7π3 в нее не входит. Верной будет запись

arcsinsin7π3=arcsinsin2π+π3==по формулепривидения=arcsinsinπ3=π3

А вот sinarcsin13=13 – верное равенство, т.е. sin(arcsin x)=x при x∈-1; 1 и arcsin(sin x)=x при x∈-π2; π2. Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!

Графики взаимно обратных функций

  • Основные взаимно обратные функции: степенные

Если у нас есть степенная функция y=xa, то при x>0 степенная функция x=y1a также будет обратной ей. Заменим буквы и получим соответственно y=xa и x=y1a.

На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):

  • Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические

Возьмем a,которое будет положительным числом, не равным 1.

Графики для функций с a>1 и a<1 будут выглядеть так:

  • Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические

Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):

График главной ветви косинуса и арккосинуса выглядит так:

График главной ветви арктангенса и тангенса:

График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:

Если же вам требуется построить обратные ветви, отличные от главных, то обратную тригонометрическую функцию при этом мы сдвигаем вдоль оси Oy на нужное число периодов. Так, если требуется обратная функция для ветви тангенса на π2; 3π2, то мы можем сдвинуть ее на величину π вдоль оси абсцисс. График будет представлять собой ветвь арктангенса, которая сдвинута на π вдоль оси ординат.

Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.

первые признаки болезни в легкой, распространенной и тяжелых формах

ВАЖНО!


Информацию из данного раздела нельзя использовать для самодиагностики и самолечения. В случае боли или иного обострения заболевания диагностические исследования должен назначать только лечащий врач. Для постановки диагноза и правильного назначения лечения следует обращаться к Вашему лечащему врачу.


Определение


Вирус SARS-CoV-2 распространяется в микроскопических частицах жидкости, выделяемых больным человеком во время кашля, чихания, разговора, пения или тяжелого дыхания и попадает на слизистые носа, рта, либо глаз другого человека.

Кроме того, вирус может также распространяться контактно-бытовым путем, когда частицы с вирусом, находящиеся на поверхностях или предметах, через руки попадают на слизистые респираторного тракта.


Передача инфекции аэрозольным путем происходит в закрытых, переполненных и плохо вентилируемых помещениях.


Воздушно-пылевой (аэрозольный) путь передачи реализуется за счет распространения взвешенных в воздухе аэрозолей (ядер капель), размер которых <5 мкм. Аэрозоли за счет своего малого размера могут переноситься на бОльшие расстояния и оставаться в воздухе в течение нескольких часов. Необходимо помнить, что аэрозоль-продуцирующие аппараты (небулайзеры, галокамера и т.д.) запрещены к применению в учреждениях здравоохранения в период пандемии COVID-19.

Симптомы COVID-19 легкой формы

Наиболее распространенные симптомы

  • Основной симптом (80-90%) — любое (даже субфебрильное — 37-37,5°С) повышение температуры тела.
  • Кашель сухой или с небольшим количеством мокроты (60-80%).
  • Повышенная утомляемость (40-50%).

Менее распространенные симптомы

  • Внезапная потеря обоняния и/или вкуса (60-80%).
  • Заложенность носа или умеренная ринорея (5%).
  • Конъюнктивит или покраснение глаз (1-2%).
  • Боль в горле (14%).
  • Головные боли, головокружение (8-14%). Сразу по окончании инкубационного периода могут проявляться мигрени различной степени выраженности.
  • Боли в суставах и мышцах (11-15%).
  • Высыпания на коже (8%).
  • Диарея, тошнота, рвота (до 20%).
  • Озноб (11-13%).


Те, кто перенес заражение COVID-19 в легкой форме, сравнивают ощущения с протеканием обычного респираторного заболевания.

Симптомы COVID-19 при тяжелой и средней тяжести форме заболевания

Наиболее распространенные симптомы

  • Одышка, учащенное дыхание (55%).
  • Усиление кашля, появление мокроты (30-35%).
  • Кровохарканье (5%).
  • Потеря аппетита (20%).
  • Спутанность сознания (9%).
  • Ощущение сдавления и заложенности в грудной клетке (> 20%).
  • Температура тела выше 38°С (80%) более 5 дней.
  • Насыщение крови кислородом по данным пульсоксиметрии (SpO2) ≤ 95% (до 20%).

Менее распространенные симптомы

  • тахикардия,
  • дефицит витамина D,
  • раздражительность,
  • судороги,
  • тревожность,
  • угнетенное состояние,
  • нарушения сна.


Важно! Симптомы могут не обнаруживаться во время инкубационного периода COVID-19 или проявляться в любой комбинации (например, без температуры). Точный диагноз устанавливает врач по результатам обследований.


У пациентов старше 65 лет может наблюдаться атипичная картина заболевания, которая включают делирий (помутнение сознания), нарушения речи, двигательные расстройства, а также более тяжелые и редкие неврологические осложнения – инсульт, воспалительное поражение мозга и другие.


Большинство (около 80%) пациентов, у которых появляются симптомы заболевания, выздоравливают без госпитализации. Примерно у 15% пациентов развивается серьезная форма заболевания, при которой необходима кислородотерапия, а у 5% – крайне тяжелая форма, требующая лечения в условиях отделения интенсивной терапии.

Отличия новой коронавирусной болезни COVID-19 от ОРВИ и гриппа

COVID-19 тоже относится к ОРВИ – острым респираторным вирусным инфекциям, характеризующимся сходными симптомами: кашель, насморк, повышение температуры, головная боль, першение и боли в горле. Наиболее четко выраженную клиническую картину вызывают вирусы гриппа, парагриппа, аденовирусы. Коронавирус может протекать в более тяжелой форме, нежели другие ОРВИ, приводя к осложнениям и даже летальному исходу. Именно поэтому крайне важно отличать новый тип коронавируса от относительно безобидной простуды.

В чем отличие коронавируса от ОРВИ

  • Более длительный инкубационный период. Для ОРВИ хватает 2-3 дней, чтобы перейти в острую фазу, коронавирусу же требуется до 2 недель.
  • В отличие от других острых респираторных заболеваний при коронавирусе наблюдается невысокая 37-37,5°С температура тела, которая может держаться относительно долго (до 7 дней).
  • Кашель при заражении коронавирусом часто бывает длительным, сухим, мучительным и может сопровождаться болью в груди.
  • Коронавирусная инфекция может вызывать расстройство пищеварения (диарею, тошноту, рвоту), при ОРВИ у взрослых такие явления встречается редко.
  • ОРВИ обычно вылечивается за 7-10 дней, а COVID-19 на 7-8-й день у определенного процента людей может переходить на следующую стадию, когда появляется одышка и дыхательная недостаточность.


Точно назвать тип возбудителя и установить заболевание (коронавирус, ОРВИ, грипп) поможет только лабораторный тест.

В чем отличие коронавируса от гриппа


Надо отметить, что COVID-19 и грипп имеют много общего:

  • передаются воздушно-капельным и контактным путем;
  • могут проявляться ломотой в суставах, головной болью, сильной слабостью и общим ощущением разбитости;
  • могут возникать кишечные расстройства.


Основные различия:

  • Грипп начинается остро с повышения температуры сразу до фебрильных значений (39-40⁰С). На первый план выступают симптомы общей интоксикации: головная боль, слабость, боли в мышцах и суставах, слезотечение, боль в глазах.
  • Коронавирус развивается постепенно — от общего недомогания в первые дни до выраженных симптомов, включая значимое повышение температуры тела через неделю.


Важно, чтобы отличие коронавируса от гриппа устанавливал врач, так как оба заболевания могут приводить к опасным осложнениям – в том числе, пневмонии. Если у человека грипп, а не коронавирус, ему тоже нужна медицинская помощь и лечение под контролем терапевта.

Другие заболевания со схожими симптомами

Пневмонии, в том числе атипичные.

Аллергии. Одышка, проблемы с обонянием и другие симптомы могут возникать в результате воздействия аллергенов. Проблему решают антигистаминные препараты, которые при вирусной инфекции неэффективны.

Бронхиальная астма, которая также дает о себе знать затрудненным дыханием и мучительным кашлем, но имеет неинфекционную природу.

Отличаются ли симптомы у детей и у взрослых?


Дети составляют лишь около 2% от числа всех заболевших COVID-19. При этом они легче переносят коронавирусную инфекцию и часто являются ее бессимптомными носителями.

Протекание COVID-19 у детей разного возраста:

От 1 года до 3 лет

Инфекция обычно проявляется как легкое недомогание. Характерные симптомы COVID-19 не наблюдаются. Иногда присутствует потеря аппетита, которая проходит через 2-3 дня и никак не сказывается на общем самочувствие малыша.

От 3 до 7 лет

Дети в этом возрасте болеют около семи дней и выздоравливают без осложнений. У них может появиться осиплость голоса и легкая заложенность носа. Кашля нет, не исключены редкие чихания.

С 7 до 17 лет

У младших школьников и подростков может наблюдаться незначительное повышение температуры тела и легкое недомогание. Возможен сухой кашель, еще реже — головная боль.


По данным Роспотребнадзора, легкая форма заболевания, как правило, обусловлена сильным иммунитетом пациента.


Иммунная система детей и подростков, как правило, хорошо подготовлена к борьбе с вирусами. Они могут заразиться, но заболевание у них протекает в более мягкой форме или вообще бессимптомно.

Этапы развития заболевания с учетом симптомов

Симптомы коронавируса у взрослого человека по дням


1-3-й день. Заболевание начинается с легкого недомогания, незначительного повышения температуры, заложенности носа и боли в мышцах, как при ОРВИ или гриппе.

3-5-й день. Повышается температура тела, возможен несильный, поверхностный кашель. Может пропасть обоняние, а вкусовые ощущения сильно измениться. Возникают пищеварительные расстройства, выражающиеся, в том числе, диареей. Этот период считается кульминацией легкой формы течения COVID-19.

5-10-й день. Важный период для определения тяжести заболевания коронавирусной инфекцией. У 80% заболевших COVID-19 наблюдаются улучшения, которые через несколько дней могут привести к полному выздоровлению. Второй сценарий подразумевает ухудшение состояния, которое проявляется увеличением количества и тяжести симптомов. При таком развитии событий у пациента появляются сильный насморк, изнуряющий кашель, озноб, боль в теле, одышка.

10-12-й день. Этот период характеризуется сильной одышкой, болью в груди, прогрессированием слабости, бледностью, что свидетельствует о развитии пневмонии. Повреждение легких приводит к кислородному голоданию. Требуется госпитализация. Это состояние считается среднетяжелым.

12-14-й день. При COVID-19 75% пациентов с вирусной пневмонией начинают идти на поправку в среднем через 2 недели от начала заболевания. Однако тем, у кого развивается тяжелая форма заболевания, может потребоваться искусственная вентиляция легких.

14-30-й день. На излечение от тяжелой формы пневмонии, вызванной коронавирусом, требуется в среднем до двух недель с момента наступления серьезного осложнения.


Но даже после полного выздоровления может сохраняться одышка в легкой форме, проявляться слабость и недомогание в течение длительного времени (до нескольких месяцев).



Клинические варианты и проявления COVID-19

  • Поражение только верхних отделов дыхательных путей.
  • Пневмония без дыхательной недостаточности.
  • Острый респираторный дистресс-синдром (пневмония с острой дыхательной недостаточностью).
  • Сепсис, септический (инфекционно-токсический) шок.
  • Синдром диссеминированного внутрисосудистого свертывания, тромбозы и тромбоэмболии.
  • Насыщение крови кислородом менее 88%.


У пациентов с критическим течением COVID-19 развивается сосудистая эндотелиальная дисфункция, нарушение свертываемости крови, тромбозы и тромботическая микроангиопатия.

Цитокиновый шторм при COVID-19 — реакция организма на воспалительный процесс, приводящая к тому, что иммунные клетки атакуют не только вирус, но и ткани собственного организма. Следствием этого может стать разрушение тканей и органов, и, как следствие, гибель организма.

Очень важно, что иногда COVID-19 опасен не только пневмонией и ее осложнениями, но и негативным влиянием на сосуды, мозг и сердце, что повышает риск развития инсульта. В таких случаях у пациента наблюдается головокружение, могут случаться обмороки, синеет лицо и немеют мышцы.

Симптомы, свидетельствующие о процессе выздоровления


Внимание! Временные интервалы течения болезни условны, они зависят от индивидуальных особенностей организма. COVID-19 в легкой форме, как правило, протекает не более 14 дней. Но подтвердить окончательное выздоровление может только тест на антитела.


Учитывая тяжесть заболевания, процесс выздоровления может проходить по-разному. Критерий выздоровления – если два последовательно сделанных теста на коронавирус методом ПЦР дали отрицательный результат.

Логарифмические и экспоненциальные графики

Экспоненциальные функции

y = a x

Обычная экспоненциальная функция всегда имеет точки
(0, 1), (1, основание) и (-1, 1 / основание)
поскольку
a 0 = 1, a 1 = a и a -1 = 1 / a

Ось x — это асимптота, график никогда не пересекает ось x.

Когда база больше 1

А когда база меньше 1

Пример

Чтобы вычислить значения y, возведите x в степень основания.

y = 2 x

Таблица значений

Обычная функция журнала всегда имеет точки

(1, 0) и (основание, 1)
с
log a 1 = 0 и loga a = 1

Ось y — это асимптота, график никогда не пересекает ось y.

Пример

Для вычисления значений y,

Если y = a x
x = журнал a y

Сдвиг графиков журнала влево и вправо

Возьмите график y = logx

Здесь база равна 10.
Найдите точки (1,0) и (10,1)

Теперь возьмем графики y = log (x + 2) и y = log (x-2)

Обратите внимание, как они меняют направление!

Переключение вверх и вниз

Опять же, база 10.
Найдите точки (1,0) и (10,1)

(1,0) переместился в (1, 2), а (10,1) переместился в (10,3)

(1,0) переместился в (1, -2), а (10,1) переместился в (10, -1)

Собираем все вместе

График ниже имеет уравнение y = log (x + a) + b.
Найдите значения целых чисел a и b.
Запишите уравнение графика.

Во-первых, обратите внимание на асимптоту при x = -3.
График сместился на три места влево.
Это означает, что a должно быть 3.

, поэтому y = log (x + 3) + b.

База 10, так как в журнале нет нижнего индекса.
Это означает, что точка (10,1) обычно существует.

Однако это переместилось на три позиции влево, поэтому
ожидаем точку (7,1)

На графике, когда x = 7, y = -1.x [/ latex], где [latex] b> 0 [/ latex] — это функция, которая будет оставаться пропорциональной своему исходному значению при увеличении или уменьшении.

Задачи обучения

Описать свойства графиков экспоненциальных функций

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Если основа, [латекс] b [/ латекс], больше, чем [латекс] 1 [/ латекс], то функция возрастает экспоненциально со скоростью роста [латекс] b [/ латекс]. Это известно как экспоненциальный рост.
  • Если основа [латекс] b [/ латекс] меньше [латекс] 1 [/ латекс] (но больше [латекс] 0 [/ латекс]), функция экспоненциально уменьшается со скоростью [латекс] b [/латекс].x [/ latex] принимает только положительные значения и имеет ось [latex] x [/ latex] в качестве горизонтальной асимптоты.
Ключевые термины
  • экспоненциальный рост : рост стоимости количества, скорость роста которого пропорциональна мгновенному значению количества; например, когда стоимость увеличилась вдвое, скорость увеличения также увеличится вдвое. Ставка может быть положительной или отрицательной. Если отрицательный, он также известен как экспоненциальный спад.
  • асимптота : линия, к которой кривая приближается произвольно близко.Асимптота может быть вертикальной, наклонной или горизонтальной. Горизонтальные асимптоты соответствуют значению, к которому кривая приближается, когда [latex] x [/ latex] становится очень большим или очень маленьким.
  • экспоненциальная функция : любая функция, в которой независимая переменная представлена ​​в форме экспоненты; они являются обратными функциями логарифмов.

Определения

На самом базовом уровне экспоненциальная функция — это функция, в которой переменная появляется в экспоненте.x [/ latex], когда [latex] b> 1 [/ latex]. Один из способов построить график этой функции — выбрать значения для [latex] x [/ latex] и подставить их в уравнение для генерации значений для [latex] y [/ latex]. Таким образом мы можем получить следующие баллы:

[латекс] (- 2, \ frac {1} {4}) [/ латекс], [латекс] (- 1, \ frac {1} {2}) [/ латекс], [латекс] (0,1 ) [/ латекс], [латекс] (1,2) [/ латекс] и [латекс] (2,4) [/ латекс]

При соединении точек вы заметите плавную кривую, которая пересекает ось [latex] y [/ latex] в точке [latex] (0,1) [/ latex] и увеличивается как [latex] x [ / latex] принимает все большие и большие значения.x [/ latex], когда [latex] 0

[латекс] (- 2,4) [/ латекс], [латекс] (- 1,2) [/ латекс], [латекс] (0,1) [/ латекс], [латекс] (1, \ frac {1} {2}) [/ latex] и [latex] (2, \ frac {1} {4}) [/ latex]

При соединении точек вы заметите плавную кривую, которая пересекает ось Y в точке [latex] (0,1) [/ latex] и уменьшается по мере того, как [latex] x [/ latex] принимает все больше и больше значения.х [/ латекс]. Поскольку [latex] 1 [/ latex] к любой мощности дает [latex] 1 [/ latex], функция эквивалентна [latex] y = 1 [/ latex], которая представляет собой горизонтальную линию, а не экспоненциальное уравнение.

Если [latex] b [/ latex] отрицательно, то увеличение [latex] b [/ latex] до четной степени приводит к положительному значению для [latex] y [/ latex] при увеличении [latex] b [/ latex] ] в нечетную степень приводит к отрицательному значению [latex] y [/ latex], что делает невозможным соединение полученных точек каким-либо осмысленным способом и, конечно, не таким образом, который генерирует кривую, как в примерах выше.x [/ latex] имеет ось [latex] x [/ latex] в качестве горизонтальной асимптоты, потому что кривая всегда будет приближаться к оси [latex] x [/ latex], когда [latex] x [/ latex] приближается к положительному или отрицательная бесконечность, но никогда не пересечет ось, так как никогда не будет равна нулю.

Графики логарифмических функций

Логарифмические функции могут быть построены вручную или в электронном виде с точками, обычно определяемыми с помощью калькулятора или таблицы.

Задачи обучения

Описать свойства графиков логарифмических функций

Основные выводы

Ключевые моменты
  • На графике логарифмическая функция похожа по форме на функцию квадратного корня, но с вертикальной асимптотой, поскольку [латекс] x [/ латекс] приближается к [латексу] 0 [/ латексу] справа.
  • Точка [latex] (1,0) [/ latex] находится на графике всех логарифмических функций вида [latex] y = log {_b} x [/ latex], где [latex] b [/ latex] положительное действительное число.
  • Область логарифмической функции [latex] y = log {_b} x [/ latex], где [latex] b [/ latex] — все положительные действительные числа, представляет собой набор всех положительных действительных чисел, тогда как диапазон эта функция — все действительные числа.
  • График логарифмической функции вида [латекс] y = log {_b} x [/ latex] можно сдвинуть по горизонтали и / или вертикали, добавив константу к переменной [latex] x [/ latex] или к [ латекс] и [/ латекс] соответственно.
  • Логарифмическая функция вида [латекс] y = log {_b} x [/ latex], где [latex] b [/ latex] — положительное действительное число, может быть построена с помощью калькулятора для определения точек на графике или можно изобразить без калькулятора, используя тот факт, что обратная ему функция является экспоненциальной.
Ключевые термины
  • логарифмическая функция : Любая функция, в которой независимая переменная представлена ​​в виде логарифма. Обратный к логарифмической функции является экспоненциальной функцией и наоборот.
  • логарифм : Логарифм числа — это показатель степени, на который нужно возвести другое фиксированное значение, основание, чтобы получить это число.
  • асимптота : линия, к которой кривая приближается произвольно близко. Асимптоты могут быть горизонтальными, вертикальными или наклонными.

Ниже приведены графики логарифмических функций с основаниями 2, [latex] e [/ latex] и 10.

Логарифмические графики: После [latex] x = 1 [/ latex], где графики пересекают ось [latex] x [/ latex], [latex] \ log_2 (x) [/ latex] отображается выше [latex] \ log_e (x) [/ latex] зеленого цвета, который выше [latex] \ log_ {10} (x) [/ latex] синего цвета.До этого момента порядок обратный. Все три логарифма имеют ось [latex] y [/ latex] в качестве вертикальной асимптоты и всегда увеличиваются.

Все три логарифмических графика начинаются с крутого подъема после [latex] x = 0 [/ latex], но растягиваются все больше и больше по горизонтали, их наклон уменьшается по мере увеличения [latex] x [/ latex]. Все они пересекают ось [latex] x [/ latex] в [latex] x = 1 [/ latex].

Свойства графов логарифмических функций

Особые очки

График пересекает ось [latex] x [/ latex] в точке [latex] 1 [/ latex].у = 1 [/ латекс]. Поскольку [latex] b> 0 [/ latex], искомый показатель степени равен [latex] 1 [/ latex] независимо от значения [latex] b [/ latex]. Это означает, что точка [latex] (x, y) = (1,0) [/ latex] всегда будет на логарифмической функции этого типа.

Асимптоты

Ось [latex] y [/ latex] — это вертикальная асимптота графа. Это означает, что кривая приближается к оси [латекс] y [/ латекс], но не пересекает ее.

Давайте посмотрим, что происходит, когда значение [latex] x [/ latex] приближается к нулю справа для уравнения, график которого показан выше.А именно [латекс] y = бревно {_b} x [/ латекс]. Мы можем сделать это, выбрав значения для [latex] x [/ latex], подставив их в уравнение и сгенерировав значения для [latex] y [/ latex].

Предположим, что [latex] b [/ latex] является положительным числом, большим, чем [latex] 1 [/ latex], и исследуем значения [latex] x [/ latex] между [latex] 0 [/ latex] ] и [латекс] 1 [/ латекс]. В этих условиях, если мы допустим [latex] x = \ frac {1} {b} [/ latex], уравнение станет [latex] y = log \ frac {1} {b} [/ latex].

Таким образом, мы ищем такой показатель степени, что [latex] b [/ latex], возведенный к этому показателю, дает [latex] \ frac {1} {b} [/ latex].{1000}}, — 1000) [/ латекс]

Как видно, чем ближе значение [latex] x [/ latex] к [latex] 0 [/ latex], тем более отрицательным становится график. То есть, когда [latex] x [/ latex] приближается к нулю, график приближается к отрицательной бесконечности. Это означает, что ось [latex] y [/ latex] является вертикальной асимптотой функции.

Домен и диапазон

Область определения функции — все положительные числа. Это означает, что значение функции [latex] x [/ latex] всегда будет положительным.Давайте начнем с рассмотрения, почему значение кривой [latex] x [/ latex] никогда не равно [latex] 0 [/ latex].

Если бы значение [latex] x [/ latex] было равно нулю, функция считала бы [latex] y = log {_b} 0 [/ latex].

Здесь мы ищем такой показатель степени, что [latex] b [/ latex], возведенный в эту экспоненту, равен [latex] 0 [/ latex]. Поскольку [latex] b [/ latex] является положительным числом, не существует показателя степени, в который мы можем возвести [latex] b [/ latex], чтобы получить [latex] 0 [/ latex]. Фактически, поскольку [latex] b [/ latex] положительное значение, возведение его в степень всегда будет давать положительное число.

Диапазон функции — все действительные числа. То есть график может принимать любое действительное число.

Сравнение [latex] y = log {_x} [/ latex] и [latex] y = \ sqrt {x} [/ latex]

На первый взгляд график логарифмической функции легко принять за график функции квадратного корня.

График [latex] y = \ sqrt {x} [/ latex] : График функции квадратного корня напоминает график логарифмической функции, но не имеет вертикальной асимптоты.

Как квадратный корень, так и логарифмические функции имеют домен, ограниченный значениями [latex] x [/ latex] больше, чем [latex] 0 [/ latex]. Однако у логарифмической функции есть вертикальная асимптота, убывающая в сторону [латекс] — \ infty [/ latex], когда [latex] x [/ latex] приближается к [latex] 0 [/ latex], тогда как квадратный корень достигает минимума [латекс] y [/ latex] -значение [latex] 0 [/ latex]. Диапазон функции квадратного корня — это все неотрицательные действительные числа, тогда как диапазон логарифмической функции — все действительные числа.

Графические логарифмические функции

Графические логарифмические функции могут быть выполнены путем определения точек на кривой вручную или с помощью калькулятора.

При построении графиков без калькулятора мы используем тот факт, что обратная логарифмическая функция является экспоненциальной функцией.

При построении графиков с помощью калькулятора мы используем тот факт, что калькулятор может вычислять только десятичные логарифмы (основание [латекс] 10 [/ latex]), натуральные логарифмы (основание [латекс] e [/ latex]) или двоичные логарифмы ( основа [латекс] 2 [/ латекс]). y = x [/ латекс]

Теперь рассмотрим инверсию этой функции.х = у [/ латекс]. Однако, если мы поменяем местами координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] каждой точки, мы фактически получим список точек исходной функции.

Это: [латекс] (\ frac {1} {9}, — 2), (\ frac {1} {3}, — 1), (1,0), (3,1), (9, 2) [/ латекс] и [латекс] (27,3) [/ латекс].

Мы строим и соединяем эти точки, чтобы получить график функции [latex] y = log {_3} x [/ latex] ниже.

График [latex] y = log {_3} x [/ latex]: График логарифмической функции с основанием [latex] 3 [/ latex] можно сгенерировать, используя обратную функцию.Его форма такая же, как и у других логарифмических функций, только в другом масштабе.

Графические логарифмические функции с основаниями между [latex] 0 [/ latex] и [latex] 1 [/ latex]

Итак, мы построили график логарифмических функций, основания которых больше [latex] 1 [/ latex]. Если вместо этого мы рассмотрим логарифмические функции с основанием [latex] b [/ latex], таким, что [latex] 0

Фактически, если [latex] b> 0 [/ latex], график [latex] y = log {_b} x [/ latex] и график [latex] y = log {_ \ frac {1} { b}} x [/ latex] симметричны по оси [latex] x [/ latex].Таким образом, если мы идентифицируем точку [latex] (x, y) [/ latex] на графике [latex] y = log {_b} x [/ latex], мы можем найти соответствующую точку на [latex] y = log {_ \ frac {1} {b}} x [/ latex], изменив знак координаты [latex] y [/ latex]. Соответствующая точка — [латекс] (x, -y) [/ latex].

Вот пример для [latex] b = 2 [/ latex].

Графики [latex] log {_2} x [/ latex] и [latex] log {_ \ frac {1} {2}} x [/ latex] : Графики [latex] log_2 x [/ latex ] И [latex] log {_ \ frac {1} {2}} x [/ latex] симметричны по оси x

Решение задач с логарифмическими графами

Некоторые функции с быстро меняющейся формой лучше всего отображать в масштабе, который экспоненциально возрастает, например, на логарифмическом графике.

Задачи обучения

Преобразуйте задачи в логарифмические масштабы и обсудите преимущества этого

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Логарифмические графики используют логарифмическую шкалу, в которой значения различаются экспоненциально. Например, вместо отметок [латекс] 0,1,2 [/ латекс] и [латекс] 3 [/ латекс], логарифмическая шкала может включать отметки [латекс] 0,1, 1, 10 [/ латекс] и [латекс] 100 [/ латекс], каждый на одинаковом расстоянии от предыдущего и следующего.5 [/ latex] масштабируется для отображения очень широкого диапазона значений [latex] y [/ latex], кривизна около начала координат может быть неразличима на линейных осях. На логарифмических осях это намного яснее.
Ключевые термины
  • логарифм : Логарифм числа — это показатель степени, на который нужно увеличить другое фиксированное значение, основание, чтобы получить это число.
  • интерполировать : для оценки значения функции между двумя точками, между которыми она табулирована.

Зачем нужна логарифмическая шкала?

Многие математические и физические зависимости функционально зависят от переменных высокого порядка. Это означает, что при небольших изменениях в независимой переменной происходят очень большие изменения в зависимой переменной. Таким образом, становится трудно построить график таких функций на стандартной оси.

Рассмотрим в качестве примера закон Стефана-Больцмана, который связывает мощность (j * ), излучаемую черным телом, с температурой (T).4 [/ латекс]

На стандартном графике это уравнение может быть довольно громоздким. Зависимость четвертой степени от температуры означает, что мощность увеличивается чрезвычайно быстро. Тот факт, что скорость постоянно увеличивается (и очень круто), означает, что изменение масштаба (масштабирование осей на [латекс] 5 [/ латекс], [латекс] 10 [/ латекс] или даже [латекс] 100 [/ латекс]) ) мало помогает облегчить интерпретацию графика.

Для очень крутых функций можно строить точки более плавно, сохраняя при этом целостность данных: можно использовать график с логарифмической шкалой, где вместо каждого пробела на графике, представляющего постоянное увеличение, он представляет экспоненциальное увеличение .Если нормальный (линейный) график может иметь равные интервалы, идущие от 1, 2, 3, 4, то в логарифмической шкале те же равные интервалы будут представлять 1, 10, 100, 1000. x, f (x) = x [/ latex] и [latex] f (x) = \ log x [/ latex] на четырех разные координатные участки.Вверху слева — линейная шкала, вверху справа и внизу слева — полулогарифмические шкалы, а внизу справа — логарифмическая шкала.

Как вы можете видеть, когда обе оси использовали логарифмическую шкалу (внизу справа), график сохранил свойства исходного графика (вверху слева), где обе оси были масштабированы с использованием линейной шкалы. Это означает, что если мы хотим построить график функции, которая является громоздкой в ​​линейном масштабе, мы можем использовать логарифмическую шкалу на каждой оси и сохранить свойства графика, в то же время облегчая построение графика.

В полулогарифмических масштабах функции имеют формы, которые искажены относительно оригинала. Когда только ось [латекс] x [/ латекс] имеет логарифмический масштаб, логарифмическая кривая отображается в виде линии, а линейная и экспоненциальная кривые выглядят экспоненциально. Когда только ось [латекс] y [/ латекс] имеет логарифмический масштаб, экспоненциальная кривая отображается как линия, а линейная и логарифмическая кривые выглядят как логарифмические. Следует отметить, что примеры на графиках предназначены для иллюстрации точки и что изображенные на графике функции не обязательно были громоздкими на линейно масштабируемом наборе осей.

Преобразование линейной шкалы в логарифмическую

Основное различие между логарифмической и линейной шкалами состоит в том, что, хотя разница в значениях между линейными точками равного расстояния остается постоянной (то есть, если расстояние от [latex] 0 [/ latex] до [latex] 1 [/ latex] ] по шкале [латекс] 1 [/ латекс] см на странице, расстояние от [латекса] 1 [/ латекса] до [латекса] 2 [/ латекса], от [латекса] 2 [/ латекса] до [латекса ] 3 [/ latex] и т. Д. Будут одинаковыми) разница значений между точками по логарифмической шкале будет меняться экспоненциально.Логарифмическая шкала начинается с определенной степени [латекс] 10 [/ латекс], и с каждой единицей увеличивается на степень [латекс] 10 [/ латекс].

Таким образом, если кто-то хочет преобразовать линейную шкалу (со значениями [latex] 0-5 [/ latex] в логарифмическую шкалу, одним вариантом будет замена [latex] 1,2,3,4 [/ latex] и 5 с [латексом] 0,001,0,01,0,1,1,1,10 [/ латекс] и [латекс] 100 [/ латекс], соответственно. Между каждым основным значением на логарифмической шкале хеш-метки становятся все ближе друг к другу с увеличением значения.Например, в пространстве между [latex] 1 [/ latex] и [latex] 10 [/ latex], [latex] 8 [/ latex] и [latex] 9 [/ latex] расположены гораздо ближе друг к другу, чем [ латекс] 2 [/ латекс] и [латекс] 3 [/ латекс].

Использование логарифмической шкалы имеет двоякие преимущества. Во-первых, это позволяет построить очень большой диапазон данных без потери формы графика. Во-вторых, он позволяет выполнять интерполяцию в любой точке графика, независимо от диапазона графика. Подобные данные в линейном масштабе менее ясны.b = (b) \ log (a) [/ latex]

Используя вышеизложенное, наше уравнение принимает следующий вид:

[латекс] \ begin {align} \ log j & = 4 \ log {(\ sigma \ tau)} \\ & = 4 \ log {(\ sigma)} + 4 \ log {(\ tau)} \\ & = 4 \ log {(\ tau)} +4 \ log {(\ sigma)} \ end {align} [/ latex]

Power Function — Свойства, графики и приложения

Вы когда-нибудь работали с функцией, содержащей один термин? Скорее всего, вы работали с степенной функцией. Этот тип функции настолько разнообразен, что если вы изучаете функции, мы на 100% уверены, что вы уже встречались с типом степенной функции, даже не зная, что это так.

Почему бы нам не начать с определения степенных функций?

Степенная функция — это функция, состоящая из одного члена, которая содержит переменную в основе и константу в качестве экспоненты.

Это означает, что существует множество родительских функций, которые также являются степенными функциями. В этой статье мы узнаем:

  • Что такое силовые функции.
  • Специальные свойства, которые может проявлять степенная функция.
  • Примените эти свойства при построении графиков и идентификации степенных функций.

Обязательно держите под рукой блокнот, так как здесь подробно обсуждаются функции управления питанием. Мы даже научимся применять степенные функции в текстовых задачах.

Почему бы нам не начать с его определения и некоторых примеров степенных функций?

Что такое степенная функция?

Прежде чем мы углубимся в важные свойства степенной функции, мы должны понять фундаментальное определение степенных функций. Вот общая форма степенных функций:

Давайте разберем эту общую форму и найдем примеры степенных функций, использующих это определение.

Обязательно ознакомьтесь с этой формой, поскольку мы будем использовать ее неоднократно на протяжении всей статьи.

Определение и примеры степенных функций

Как показано в предыдущем разделе, степенные функции — это функции в форме f (x) = kx a или y = kx a , где k — ненулевой коэффициент, а a — действительное число.

Вот несколько примеров степенных функций:

  • y = -5x 2
  • y = 2 √x
  • f (x) = 3 / x 2
  • g (x) = 2x 3

Обратите внимание, что каждая функция содержит только один член для каждого примера — важный идентификатор степенных функций. Показатели степенных функций также должны быть действительными числами, поэтому давайте проверим каждый показатель из примеров, чтобы подтвердить это.

  • Функция y = -5x 2 и g (x) = 2x 3 — это функции с целыми числами в качестве экспонентов, поэтому они являются степенными функциями.
  • Функция квадратного корня y = 2 √x может быть переписана как y = 2x 1/2 , так что ее показатель степени является действительным числом, так что это также степенная функция.
  • Мы применяем тот же процесс с f (x) = 3 / x 2 и получаем f (x) = 3x -2 , что подтверждает, что это степенная функция, поскольку -2 — действительное число.

Ниже приведены лишь некоторые родительские функции, и давайте посмотрим, почему все они также считаются степенными функциями.

Функция

90√

Родительская функция Функция Форма
Постоянная функция y = a
Линейная функция y = x
Кубическая функция y = x 3
Взаимная функция y = 1 / x, y = 1 / x 2
Функция квадратного корня y =

Поскольку эти родительские функции содержат по одному члену и действительные числа для их показателей, все они являются степенными функциями.

Как построить график степенных функций?

При построении графиков степенных функций мы должны иметь в виду эти два важных свойства степенных функций: их симметрию и поведение конца .

Вот краткое руководство по построению графиков степенных функций, чтобы показать вам, почему эти две функции могут помочь вам сэкономить время:

  • Определите, является ли степенная функция нечетной или четной.
  • Применяйте преобразования всякий раз, когда можете.
  • Найдите точки, которые помогут построить график половины функции мощности.
  • Примените свойство симметрии данной степенной функции.
  • Еще раз проверьте их конечное поведение.

Почему бы нам не обновить свои знания о нечетных и четных функциях и не посмотреть, как они влияют на график степенной функции?

Симметрия и поведение конца четных степенных функций

Степенные функции бывают четными или нечетными, поэтому они также либо симметричны относительно оси y, либо относительно начала координат . Мы также можем предсказать конечное поведение степенных функций на основе их коэффициента и мощности .

Давайте посмотрим на график этих четных степенных функций: y = 2x 2 и y = -4x 4 . Чтобы построить график каждой функции, нарисуйте несколько точек справа и отразите эту кривую по оси ординат.

Для обоих графиков, поскольку показатели четные, функции также четные, и, следовательно, их графики симметричны по оси y.

Начнем с четных степенных функций с положительным коэффициентом , например y = 2x 2 .

  • Поскольку коэффициент 2 положительный, график открывается вверх на .
  • Мы можем видеть, что когда x <0, функция убывает, а когда x> 0, функция убывает.
  • Следовательно, и левая, и правая стороны кривой будут идти вверх (↑) .

Теперь давайте рассмотрим четных степенных функции с отрицательным коэффициентом , например y = -4x 4 .

  • Поскольку коэффициент -4 отрицательный, график открывается вниз на .
  • Здесь мы можем видеть, что когда x <0, функция увеличивается, а когда x> 0, функция убывает.
  • Это означает, что для обе стороны, мы ожидаем, что кривая пойдет вниз (↓).

Симметрия и конечное поведение функций нечетной мощности

Как насчет функций нечетной мощности? Давайте продолжим и рассмотрим эти две функции: y = 3x 3 и y = -x 5 .

Чтобы построить график этих двух функций, мы можем нанести некоторые значения либо на левую, либо на правую сторону координатной плоскости.Отразите график над началом координат.

Из определения нечетных функций мы видим, что обе степенные функции симметричны относительно начала координат .

Вот некоторые вещи, которые мы можем наблюдать на графике y = 3x 3 , где коэффициент положителен :

  • Мы можем видеть, что когда x <0, функция увеличивается, и когда x> 0, функция увеличивается на .
  • Следовательно, левая сторона опускается (↓) , а правая сторона поднимается (↑) .

Давайте теперь посмотрим на поведение нечетных функций при отрицательном коэффициенте .

  • Мы видим, что когда x <0 и x> 0, функция уменьшается
  • Следовательно, левая сторона поднимается (↑) , а правая сторона опускается (↓) .

Понимание влияния показателя степени, a

Мы подробно обсудили влияние на график степенной функции на основе ее четности и значения k.Теперь давайте попробуем увидеть разницу, когда a — это дробь, а когда a — целое число.

Случай 1. Когда a = 0 и a = 1 , мы ожидаем, что график сведется к постоянной функции и линейной функции соответственно.

Графики y = 2 и y = 2x могут подтвердить это. Такое же поведение применяется ко всем значениям k.

Доменом для этого случая будут все действительные числа или в интервальной записи, то есть (-∞, ∞).

Случай 2: Когда a <0 .Давайте рассмотрим графики y = x -1 и y = x -2 :

Когда a отрицательно, а степенная функция возвращает рациональное выражение, мы можем видеть, что графики подходят, но никогда не равно 0 . Это означает, что область значений этих степенных функций будет любым действительным числом, кроме 0, , поэтому область значений будет (-∞, 0) U (0, ∞) .

Два графика также вогнуты вверх с обеих сторон .

Случай 3: Когда 1 .Давайте посмотрим на графики y = x 1/2 и y = x 1/3 :

Когда a — дробная часть, а степенная функция возвращает радикальное выражение. Мы можем видеть, что область значений будет зависеть от того, является ли знаменатель четным или нечетным:

  • Если знаменатель четный, только положительные значения x будут частью области значений или [0, ∞).
  • Если знаменатель нечетный, все его области могут быть действительными числами или (-∞, ∞).

Два графика также вогнуты вниз с обеих сторон .

Случай 4. Когда a> 1 , давайте рассмотрим графики y = x 5 и y = x 6 .

Когда показатель степени положительный, , мы ожидаем, что графики будут вогнутыми вверх . Доменом для этого типа степенной функции будут все действительные числа или обозначения интервала , (-∞, ∞) .

Как найти степенную функцию?

Иногда нам дается график степенной функции или несколько точек, проходящих через его график.Мы все еще можем найти выражение, представляющее степенную функцию, используя две точки.

  • Подставим эти две точки в общую форму степенных функций: y = kx a .
  • Найдите способ сохранить либо k , либо a в одном из уравнений.
  • Определите значения для k и a и подставьте их обратно в общую форму степенных функций.

Допустим, мы хотим найти степенную функцию, проходящую через (2, 16) и (3, 54). Подставьте эти значения в общую форму:

(2, 16)

16 = k (2) a

16/2 a = k

(3, 54)

54 = k (3) a

54/3 a = k

Давайте приравняем оба выражения в правой части и получим:

16/2 a = 54 / 3 a

8/2 a = 27/3 a

2 3 /2 a = 3 3 /3 a

2 3 — a = 3 3 — a

Это уравнение будет верным, только если обе стороны равны 1.Это означает, что 3 — a должно быть равно 0. Следовательно, a = 3.

Подставим это обратно в любое из выражений k:

k = 16/2 3

= 16/8

= 2

Теперь, когда у нас есть a = 3 и k = 2, мы можем записать выражение степенной функции: y = 2x 3 .

Что, если мы хотим найти выражение степенной функции на основе ее графика? Просто обратите внимание на две точки, через которые проходит график функции, а затем примените тот же процесс.

Прежде чем мы попробуем еще несколько вопросов, связанных с степенными функциями, почему бы нам не подытожить все, что мы знаем о степенных функциях?

Сводка формул степенной функции и их свойств

Вот несколько полезных напоминаний при работе с степенными функциями и их приложениями:

  • При определении того, является ли функция степенной функцией, убедитесь, что выражение является единственным терм , k — константа , а a — действительное число .
  • Графики степенных функций будут зависеть от значений k и a.
  • Применяйте свойства четных и нечетных функций, когда это применимо.
  • При нахождении выражения для степенной функции всегда используйте общую форму: y = kx a .
  • Используйте приведенную ниже таблицу, чтобы спрогнозировать конечное поведение степенных функций.
Условие для k Функции четной мощности Функции нечетной мощности
Когда k> 0

Функция уменьшается, когда x <0:

— 9 ∞, y → ∞

Функция возрастает, когда x> 0:

При x → ∞, y → ∞

Функция возрастает в интервале x:

При x → — ∞, y → — ∞

При x → ∞, y → ∞

При k <0

Функция увеличивается при x <0:

При x → — ∞, y → — ∞

Функция уменьшается при x > 0:

При x → ∞, y → — ∞

Функция убывает на всем интервале x:

При x → — ∞, y → ∞

При x → ∞, y → — ∞

Убедитесь, что понимаете концепцию силовых функций и ознакомьтесь с различное конечное поведение.Когда будете готовы, давайте попробуем решить несколько задач!

Пример 1

Какие из следующих функций считаются степенными?

а. f (x) = -2x 2 · 3x
б. g (x) = 2√x + 5

с. h (x) = 0,5x π
d. m (x) = — (x + 1) 2
e. n (x) = 1 / x 3

Решение

Проверьте каждую из заданных функций и по возможности упростите выражения.

а. Функцию можно упростить до f (x) = -6x 3 . Мы видим, что он содержит только один член и имеет действительное число для его коэффициента и показателя степени, поэтому f (x) является степенной функцией .

Следующие два элемента (b и d) содержат более одного члена и не могут быть упрощены, поэтому функции g (x) и m (x) не рассматриваются как степенные функции .

г. Мы всегда возвращаемся к фундаментальному определению степенных функций: они содержат один член, а коэффициент и показатели являются действительными.И 0,5, и π являются действительными числами, поэтому h (x) также является степенной функцией .

эл. Поскольку 1 / x 3 = 1 · x -3 , мы можем видеть путем осмотра, что он удовлетворяет условиям степенных функций, поэтому n (x) также является степенной функцией .

Следовательно, функции в a, c и e являются степенными функциями .

Пример 2

Заполните пробелы всегда , иногда и никогда , чтобы следующие утверждения были верными.

а. Кубические функции — это ______________ степенные функции.
г. Постоянные функции — это _____________ степенные функции.
г. У степенных функций ___________ будут отрицательные показатели.

Решение

Давайте продолжим и проверим каждую выписку:

a. Некоторые примеры кубических функций: 2x 3 и x 3 — x 2 + x — 1. Мы видим, что первый пример является степенной функцией, а второй — нет. Это означает, что кубические функции могут быть , иногда степенными функциями.

г. Общий вид постоянных функций — y = c, где c — любая ненулевая константа. Из общей формы видно, что независимо от значения c, постоянные функции всегда будут иметь один член с действительными числами для их коэффициента и экспоненты. Следовательно, постоянные функции будут всегда степенными функциями.

г. Пока функция содержит один член и экспоненту действительного числа, она будет считаться степенной функцией. Это означает, что степенная функция может иметь положительные и отрицательные показатели.Таким образом, они могут , иногда иметь отрицательные показатели.

Пример 3

Определите конечное поведение следующих степенных функций:

a. f (x) = x 3

б. g (x) = -4x 4

c. h (x) = (-3x) 3

Решение

При прогнозировании конечного поведения степенной функции проверьте знак коэффициента и значение показателя. Используйте таблицу, которую мы предоставили, чтобы помочь вам предсказать конечное поведение.

а. Функция f (x) = x 3 имеет коэффициент 1 и положительный показатель степени 3. Поскольку степень нечетная, ожидается, что функция будет увеличиваться во всей области определения.

Это означает, что левая сторона кривой идет вниз, а правая — вверх: (↓ ↑).

г. Для второй функции g (x) = -4x 4 , имеет отрицательный коэффициент и четный положительный показатель степени. Это означает, что график должен открываться вниз.Функция также будет увеличиваться, когда x <0, и уменьшаться, когда x> 0.

Это означает, что ожидается, что левая и правая стороны кривой будут идти вниз: (↓↓).

г. Давайте сначала упростим выражение для h (x): h (x) = -27x 3 . Мы видим, что h (x) имеет отрицательный коэффициент и нечетную экспоненту. Когда это происходит, функция уменьшается во всем своем домене.

Кривая графика: вверх с левой стороны и опускание с правой стороны: (↑ ↓).

Пример 4

Покажите, что произведение двух степенных функций всегда будет также возвращать степенную функцию.

Решение

Пусть две степенные функции будут f (x) = mx p и g (x) = nx q , где m и n — коэффициенты действительных чисел. Показатели p и q также являются действительными числами.

Умножение двух функций приведет к:

f (x) · g (x) = (mx p ) · (nx q )

= mn x p + q

Пусть mn = k и p + q = a, следовательно, имеем f (x) · g (x) = kx a .

Поскольку mn и p + q — действительные числа, k и a также будут действительными числами. Продукт по-прежнему возвращает степенную функцию, поэтому мы только что подтвердили, что произведение двух степенных функций также будет степенной функцией.

Пример 5

Изобразите степенную функцию f (x) = -3x 5 и ответьте на следующие вопросы.

а. Каков домен и диапазон функции?

г. Если график сдвинуть на 6 единиц вверх, будет ли полученная функция по-прежнему степенной?

Решение

Поскольку f (x) — нечетная функция, мы ожидаем, что график будет симметричным относительно начала координат.

Мы можем нанести эти точки на половину кривой и отразить ее по началу координат.

а. Поскольку показатель степени положительный и нечетный, область определения и диапазон f (x) будут все действительными числами или (-∞, ∞) . Это также можно подтвердить, просмотрев график.

г. Когда мы переводим f (x) на 6 единиц, мы добавляем 6 к выражению. Следовательно, выражение новой функции теперь будет -3x 5 + 6. Это выражение будет содержать два члена, и, таким образом, новая функция больше не будет степенной функцией .

Пример 6

Используйте показанный ниже график, чтобы найти выражение для h (x).

Решение

Поскольку график h (x) проходит через (-1, -2), (1, -2) и (1/2, -8), мы можем использовать любое из этих три точки в общем виде степенной функции: y = kx a .

Обратите внимание на график? Кривые приближаются, но никогда не могут быть равны 0, поэтому мы ожидаем, что показатель степени будет дробным.

Давайте сначала подставим (1, -2) в общий вид степенной функции. (Это будет лучший вариант, поскольку k1 a уменьшится до k .)

-2 = k (1) a

-2 = k

Примените тот же процесс для (1/2, -8), но на этот раз также будем использовать k = -2.

-8 = (-2) (- 1/2) a

4 = (-1/2) a

(-1/2) -2 = (-1/2) a

Чтобы это было правдой, a должно быть равно -2.Следовательно, имеем h (x) = -2x -2 .

Пример 7

Степенная функция g (x) проходит через точки (4, -6) и (9, -9).

а. Каково выражение для g (x)?

г. Постройте график функции g (x).

г. Найдите его домен и диапазон, затем опишите его конечное поведение.

Решение

Давайте подставим каждую пару значений в общую форму степенных функций: y = kx a и упростим полученное уравнение.

(4, -6)

-6 = k (4) a

-6 = k4 a

-6/4 a = k

9, -9)

-9 = k (9) a

-9 = k9 a

-9/9 a = k

Теперь у нас есть k на обе правые части уравнений приравняем выражения в левой части. Решите относительно a из полученного уравнения.

-6/4 a = -9/9 a

-2/4 a = -3/9 a

-2 1 /2 2a = -3 1 /3 2a

-2 1-2a = -3 1-2a

Это уравнение будет верно только тогда, когда обе стороны равны 1, поэтому показатели степени должны быть равны 0

1 — 2a = 0

1 = 2a

a = ½

Подставьте значение a в одно из выражений для k.

k = -6/4 a

= -6 / 4 1/2

= -6 / 2

= -3

Замените эти два значения обратно в общую форму степенных функций на найти выражение для g (x).

г (x) = kx a

= -3x 1/2

= -3√x

a. Следовательно, мы имеем g (x) = -3√x .

Давайте используем две заданные точки для соединения кривой. Вспомните форму родительской функции функции извлечения квадратного корня, чтобы знать, чего ожидать от графика g (x).

г.

Мы можем найти домен и диапазон g (x), проверив график. Поскольку g (x) имеет рациональную экспоненту с четным знаменателем, мы ожидаем, что для x будут только положительные значения. График также может это подтвердить.

Поскольку график g (x) никогда не поднимается выше отрицательной оси Y, мы ожидаем, что его диапазон будет состоять только из отрицательных чисел.

г. Следовательно, область для g (x) равна [0, ∞) , а диапазон — (-∞, 0] . График показывает, что она непрерывно уменьшается, а кривая последовательно идет вниз на .

Пример 8

Площадь круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса r. Площадь круга с радиусом 10 единиц составляет 314 единиц 2, и круга с радиусом 20 единиц составляет 1256 единиц 2 .

а. Найдите степенную функцию A (r), представляющую площадь круга через r. Что представляет собой коэффициент при A (r)?

г. Без учета ограничений на r, будет ли A (r) четным или нечетным?

г.Каково конечное поведение A (r)?

г. Если мы примем во внимание тот факт, что r представляет радиус круга, изменится ли домен?

Решение

Поскольку площадь прямо пропорциональна r 2 , мы можем выразить A (r) как 2 крон, где k — ненулевая константа.

Давайте используем любую из двух заданных пар значений, чтобы найти k.

A (r) = 2 кроны

314 = k (10) 2

314 = 100 тыс.

k = 3.14

а. Подставим обратно k в выражение, и мы получим A (r) = 3,14r 2 . Напомним, что 3,14 — это приблизительное значение π, , поэтому коэффициент A (r) представляет π .

г. Поскольку A (r) — квадратичное выражение; это четная функция .

г. Коэффициент при A (r) положительный, а его показатель четный, поэтому мы ожидаем, что график будет уменьшаться, когда x <0, и увеличиваться, когда x> 0. Следовательно, ожидается, что оба конца кривой будут двигаться. вверх .

г. Первоначально, поскольку A (r) представляет собой квадратичное выражение, мы ожидаем, что оно будет иметь область определения (-∞, ∞). Но с учетом того факта, что измерения должны быть больше 0, домен теперь становится (0, ∞).

Практические вопросы

1. Какие из следующих функций считаются степенными?

а. f (x) = -3x 2 · 2x + 2x · x
b. g (x) = 12√x

c. h (x) = πx √3
г.m (x) = x 2 — 3x + 4

e. n (x) = 1 / 2x

2. Заполните пробелы , всегда , иногда и никогда, не сделают следующие утверждения верными.

а. Взаимные функции — это ______________ степенные функции.
г. Радикальные функции — это _____________ степенные функции.
г. Степенные функции будут ___________ иметь область (-∞, ∞).

3. Определите конечное поведение следующих степенных функций:

a.f (x) = -2x 5

б. g (x) = 3x 6

c. h (x) = (-2x) 4

4. Верно или неверно? Сумма двух степенных функций также всегда будет возвращать степенную функцию. Обосновать ответ.

5. Степенная функция g (x) проходит через точки (1,4) и (2, 2).

а. Каково выражение для g (x)?
г. Постройте график функции g (x).
г. Найдите его домен и диапазон, затем опишите его конечное поведение.

6. Изобразите степенную функцию y = 2x 4 и ответьте на следующие вопросы.

а. Каков домен и диапазон функции?
г. Если график сдвинуть на 2 единицы вверх, будет ли полученная функция по-прежнему степенной?

7. Объем конуса прямо пропорционален кубу его радиуса r. Объем конуса с радиусом 10 единиц равен 100π / 3 единиц 3, и круга с радиусом 20 единиц составляет 400π / 3 единиц 3 .

а. Найдите степенную функцию V (r), представляющую объем конуса через r.
г. Без учета ограничений на r, будет ли V (r) четным или нечетным?
г. Каково конечное поведение V (r)?
г. Если мы примем во внимание тот факт, что r представляет радиус круга, изменится ли домен?

8. Мощность P (в ваттах), производимая гидроэлектростанцией, прямо пропорциональна квадрату скорости воды v (в милях в час). Если падающая вода со скоростью 24 мили в час генерирует 144 Вт мощности, сколько энергии вырабатывается при скорости воды 12 и 36 миль в час?

а. Используйте эти значения для построения графика P (v).
г. Каково выражение для P (v)?
г. Определите конечное поведение P (v).

Изображения / математические рисунки создаются с помощью GeoGebra.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Экспоненциальные функции: Введение

Экспоненциальная
Функции: Введение
(стр.
1 из 5)

Разделы: Введение,
Оценка, построение графиков,
Сложный процент,
натуральная экспонента


Экспоненциальные функции выглядят
несколько похожи на функции, которые вы видели раньше, поскольку они включают
экспоненты, но есть большая разница в том, что теперь переменная
власть, а не база.Раньше вы сталкивались с такими
функционирует как
f ( x ) = x 2 ,
где переменная x
была база и номер 2
была сила. Однако в случае экспонент вы будете иметь
с такими функциями, как г ( x )
= 2 x ,
где основание — фиксированное число, а степень — переменная.

Посмотрим повнимательнее
у функции г ( x )
= 2 x .
Чтобы оценить эту функцию, мы действуем как обычно, выбирая значения x ,
подключая их и упрощая ответы. Но для оценки 2 x ,
нам нужно помнить, как работают экспоненты. В частности, нам нужно помнить
этот отрицательный
экспоненты означают
«поставить основание по другую сторону линии дроби».

Итак, пока положительный
x -значения
дайте нам такие значения:

…отрицательные x -значения
дайте нам такие значения:

авторское право
Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

Собираем вместе
«разумные» (хорошо наглядные) точки, это наша
Т-диаграмма:

…и это наш
график:

Вы должны ожидать экспонент
чтобы выглядеть вот так. То есть они начинаются с малого очень маленького, настолько маленького, что
они практически неотличимы от « y
= 0 «, что является
ось x
а затем, как только они начнут расти, они растут все быстрее и быстрее, так быстро
что они проникают прямо в верхнюю часть вашего графика.

Вам также следует ожидать
что на вашей Т-образной диаграмме не будет много полезных сюжетных точек. Например,
для x
= 4 и x
= 5, значения y
были слишком большими, и почти для всех отрицательных значений x
значения y
были слишком малы, чтобы их можно было разглядеть, поэтому нужно просто провести линию прямо вдоль
верхняя часть оси x .

Обратите внимание, что моя ось
шкалы не совпадают.Масштаб по оси x
значительно шире шкалы по оси y ;
шкала по оси y
сжат, по сравнению с осью x .
Вы, вероятно, найдете этот метод полезным при построении графиков экспонент,
из-за того, что они так быстро растут. Вы найдете несколько T-диаграмм
точек, а затем, зная общий вид экспонент,
вы будете делать свой график, обычно с левой частью графика
идущий прямо по оси x .


Возможно, вы слышали о
термин «экспоненциальный рост». Это «начинается медленно, но потом
растет все быстрее и быстрее «рост — это то, что они имеют в виду
к. Конкретно наша функция г ( x )
выше удваивается каждый раз, когда мы увеличиваем x .
То есть, когда x
был увеличен на 1
над тем, что было, y
увеличился вдвое по сравнению с прежним.Это определение экспоненциальной
рост: существует постоянный фиксированный период, в течение которого функция
увеличится вдвое (или втрое, или в четыре раза и т. д.). Дело в том, что изменение
всегда фиксированная пропорция). Итак, если вы слышите, как кто-то утверждает, что
население мира удваивается каждые тридцать лет, вы знаете, он утверждает
экспоненциальный рост.

Экспоненциальный рост «больше»
и «быстрее», чем полиномиальный рост.Это означает, что неважно
какова степень данного полинома, данной экспоненциальной функции
в конечном итоге будет больше полинома. Хотя экспоненциальный
функция может начаться очень, очень маленькой, со временем она превзойдет
рост полинома, так как он все время удваивается.

Например, x 10
кажется намного «больше», чем 10 x ,
и изначально это:

Но в итоге
10 х
(внизу синим цветом) догоняет и обгоняет x 10
(в красном кружке ниже, где x
десять и лет
составляет десять миллиардов), и это «больше», чем x 10
навсегда после:


Экспоненциальные функции всегда
иметь положительное число, отличное от 1
в качестве основы.Если задуматься, наличие отрицательного числа (например,
2)
так как база не будет очень полезной, так как четные полномочия дадут
положительные ответы (например, «(2) 2
= 4 «) и
нечетные степени дадут вам отрицательный ответ (например, «(2) 3
= 8 «), а что
вы бы даже использовали полномочия, которые не являются целыми числами? Кроме того, имея
0
или 1
как база была бы тупой, так как 0
и 1
к любой мощности просто 0
и 1,
соответственно; какой бы смысл? Вот почему экспоненты всегда
есть что-то положительное, кроме 1
в качестве основы.

Вверх
| 1 | 2 | 3
| 4 | 5
|
Вернуться к указателю Далее
>>

Цитируйте эту статью
как:

Стапель, Елизавета.
«Экспоненциальные функции: Введение». Purplemath .
Доступно по номеру
https://www.purplemath.com / modules / expofcns.htm .
Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

Мощность в функции мощности

Значит, вся мощь в силовых функциях исходит от маленькой буквы «b».
Давайте посмотрим, какие значения b может принимать и как это меняет форму
функция. Для этого давайте снова рассмотрим упрощенную версию нашего
уравнение (на этот раз «а» равно 1):

Скорость метаболизма = 1 * Размер b = Размер b

Мы уже знаем, как выглядят отношения между нашими четырьмя млекопитающими:

Для этого мы собираемся исследовать форму степенной функции для трех различных диапазонов «b»:
когда b больше 1, от 0 до 1 и меньше нуля.Мы покажем вам, как график функции
посмотрев, определите, что это говорит о взаимосвязи размера и скорости обмена веществ. Мы будем использовать приведенный выше график в качестве руководства,
но пока мы это делаем, давайте помнить, что приведенный выше график представляет только четырех млекопитающих — и может быть нетипичным — поэтому
пока мы исследуем поведение функции при изменении значения «b», давайте посмотрим, какие
значения «b» кажутся биологически правдоподобными для связи между скоростью метаболизма и размером.

Ниже мы показываем для каждого из трех диапазонов «b» словесное описание того, что это означает для
«b», чтобы быть в пределах каждого диапазона, как выглядит функция, опишите, что она означает биологически, а затем решите,
Правдоподобно полагать, что «b» примет это значение. Помните, поскольку «b» — показатель степени
(Скорость метаболизма = Размер b ), мы действительно изучаем поведение экспонент!

б> 1

0

б ≤ 0

Что происходит, когда вы возводите число в значение
больше 1? Что произойдет, если возвести число в квадрат или возвести его в степень
5 или 10? Результирующее значение становится все больше и больше все быстрее и быстрее.

Когда вы возводите число в степень 1,
тогда он равен самому себе (и, следовательно, является линейным). Когда его меньше 1, вы
фактически извлекают «корень» из числа (таким образом, X 1/2 — это
то же, что и квадратный корень из X).

Когда вы возводите число в степень нуля,
результирующее число = 1. Когда вы возводите число в отрицательную степень, его эквивалент
к тому же числу, поднятому в знаменателе (так, X — b эквивалентно 1 / X b ).

Итак, если «b» больше 1, это означает, что при
размер увеличился, скорость метаболизма также увеличилась бы, но все быстрее и быстрее.
Например, если вы сравнили уровень метаболизма индийского слона с африканским
слона (который немного больше), что вы увидите значительное увеличение
в скорости метаболизма.В этом нет никакого смысла!

Когда b равно 1, размер увеличивается линейно с метаболизмом.
показатель. Когда b меньше 1, это означает, что по мере увеличения размера скорость метаболизма также увеличивается.
увеличивается, но увеличивается все медленнее и медленнее по мере того, как организмы становятся все больше и больше.
Привет! Это похоже на взаимосвязь для нашего графика млекопитающих (см. Выше).

Ни то, ни другое не имеет никакого смысла! Если
«b» равно 0, тогда скорость метаболизма всегда равна 1.Совершенно абсурдно!
Если «b» отрицательно, то по мере увеличения организмов скорость их метаболизма
становится все ближе и ближе (но никогда не достигает) 0. Еще один нелепый узор!

ПРИГОВОР : НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ!

ПРИГОВОР : Это имеет биологический смысл!

ПРИГОВОР : НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ!

О, немного словарного запаса.Когда b = 1, отношение остается неизменным для всех классов размеров. Это называется
«изометрические» отношения. Если отношение меняется в разных классах размеров (так что b 1), оно называется
«аллометрический». Вот почему исследования скейлинга часто называют областью «аллометрии». Хотя
(по какой-либо причине), когда люди обращаются к области аллометрии, они обычно имеют в виду исследования формы (т.е.
изменяются ли формы костей по мере того, как динозавры становятся крупнее?), а не исследования физиологии (т.э., как сердце или
скорость метаболизма меняется по мере того, как млекопитающие становятся крупнее?).

Итак, теперь мы знаем, что значение «b» находится между 0 и 1 для нашего примера с млекопитающим. Позже мы покажем
что это верно для всех организмов, и мы потратим много времени на изучение точного значения «b» и его
значит биологически. Но сначала, хотя мы только что потратили все это время на изучение поведения степенной функции,
это функция, которая почти всегда используется при изучении соотношений масштабирования.Оказывается, есть небольшая хитрость
история — данные для масштабных исследований почти всегда отображаются и анализируются после того, как данные были записаны в журнал.
преобразованный. Итак, мы собираемся потратить некоторое время на объяснение того, что это значит, почему это делается, и на то, чтобы вы
умеет интерпретировать графики и результаты.

Авторские права Мэрилендского университета, 2007 г.

Вы можете ссылаться на этот сайт в образовательных целях.

Пожалуйста, не копируйте без разрешения

запросов / вопросов / отзывов по электронной почте: mathbench @ umd.edu

Сила положительных десяти диаграмм

5

905 905 9 905 9905

0

07

9

9

07 1,000

Один 10 0 1
Десятки 10 1 10

10

100
Тысяч 10 3 1,000
Десять тысяч 10 4 55 10,000 4 55 10,000 905 100,000
Миллионы 10 6 1,000,000
Миллиарды 10 9 10 9 1,000,000,000,000
Quadri Иллионы 10 15 1,000,000,000,000,000
Квинтиллионы 10 18 1,000,000,000,000,000,000
167 ,000 905 10 24 1,000,000,000,000,000,000,000,000
Octillions 10 27 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000
Nonillions 10 30 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
Decillions 10 33 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
Undecillions 10 36 1,000,000,000,000, 000,000,000,000,000,000,000,000
Duodecillions 10 39 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
Tredecillions 10 42 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
Quattuordecillions 10 45 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
Quindecillions 10 48 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

3.1 Некоторые U-образные графики | G’Day Math

Руководство по содержанию

для учителей PDF

РАЗДАЧИ СТУДЕНТОВ

Dexter_Course on Quadratics

Один из первых — обычно первый — непрямолинейный график, с которым сталкиваются в школе, — это график квадратного уравнения. Сначала нужно нарисовать график, связанный с квадратным уравнением, чтобы увидеть красивую симметричную U-образную кривую.

Для ясности: график уравнения — это график всех точек данных, которые делают данное уравнение истинным предложением о числах.2 \) когда-нибудь вертикально?

(Все ответы на практические вопросы приведены в конце РУКОВОДСТВА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ по этому опыту.)

Я буду продолжать использовать фразу U-образная кривая или U-образная кривая , даже если это технически неверно. Давайте просто поймем, что я имею в виду форму графика квадратного уравнения.

Эти U-образные графики полны сюрпризов. 2 \) (ну, на самом деле, вращаем его) против часовой стрелки относительно начала координат просто \ (0.01 \) градусов. Перехватывает ли ось \ (y \) этот наклонный график при некотором большом ненулевом значении?

Опять же, решения всех этих практических проблем можно найти в УЧИТЕЛЕ. Но позвольте мне помочь вам с этим вопросом прямо сейчас, поскольку на него чрезвычайно сложно ответить.

Математики тоже люди и тоже боятся вопросов и математических задач. Но один прием, который они часто используют, когда сталкиваются с вопросом, на который не знают сначала, как ответить, — это изменить вопрос!

Что самое страшное в этом вопросе? Это наклоняет U-образный график.Как на самом деле это сделать? Я лично не знаю! Итак, давайте вместо этого наклоним что-нибудь другое. Что, если мы сохраним график таким же и вместо этого наклоним вертикальную ось на \ (0,01 \) градуса по часовой стрелке? Эта наклонная линия пересекает U-образный график?

Ой! Подожди! Это эквивалентно ответу на исходную проблему?

Вот самый большой сюрприз из всех этих U-образных графиков. Многие люди упускают этот шок, когда впервые изучают квадратные уравнения.2 \) представляет собой симметричную U-образную кривую. С другой стороны, график \ (y = 2x \) — нет! Это прямая линия, проходящая через начало координат с антисимметрией, если хотите — график данных поднимается вправо, а уменьшается влево.

Теперь о странном вопросе: какая картина была бы получена, если бы мы «сложили» эти два графика?

Что мы могли иметь в виду под этим?

Давайте посмотрим на каждое значение \ (x \) и сложим соответствующие им значения \ (y \).2 \), а линейное выражение \ (y = bx + c \) обязательно даст выражение, график которого представляет собой тот же симметричный U-образный график, возможно, сглаженный или немного скрученный, и, возможно, смещенный в новое положение на плоскости. .

Это просто поразительно!

Эта U-образная форма удивительно прочна, и нельзя не восхищаться ее надежностью.

Конечно, можно объяснить, почему это явление построения графиков имеет место, анализируя алгебру квадратных уравнений.Но, надеюсь, вы были не менее шокированы этим явлением, когда впервые начали учиться квадратичному графу.

Комментарий: Если вы ищете обзор квадратиков, их алгебры и их графиков, полный всех сюрпризов и потрясений, посетите www.gdaymath.com/courses.

Теперь о проблеме, которую мы рассмотрим в этих заметках.

Насколько распространены эти U-образные кривые из квадратиков?

Являются ли U-образные кривые, которые мы видим во всех контекстах, в основном одной и той же U-образной (возможно, как я уже сказал, они просто стали немного круче или сглажены и, возможно, переместились или даже перевернулись)? Являются ли эти кривые настолько устойчивыми, чтобы иметь универсальный характер?

Например, школьная физика говорит нам, что путь брошенного объекта следует по дуге квадратичного графа.Это правда? Откуда нам знать?

Знаменитый итальянский математик и физик Галилео Галилей (1564–1642) интересовался формой цепи, висящей между двумя полюсами. (Мы видим эту форму в свисающих линиях электропередач, в форме веревок, опоясывающих скульптуры в художественных музеях и т. Д.) Это та же самая квадратная U-образная форма? Откуда мы могли знать?

Греческие ученые древности использовали геометрию для описания всевозможных особых кривых. Они назвали одну из своих кривых параболой , и она тоже имеет U-образную форму.

Алгебру не изобрели еще около 800 лет, поэтому эти ученые не задавались вопросом: Дана ли эта кривая квадратным уравнением? Но мы можем! Итак, это так? Откуда мы могли знать?

Имеет ли знаменитая арка ворот Сент-Луис в штате Миссури, США, форму квадратичной кривой?

Является ли график уравнения, в котором записано мое прозвище, JIM, квадратичным? Эта кривая проходит через точки

\ (x = 1 \), \ (y = 10 \) и 1 -я буква моего имени — это 10-я -я буква алфавита, J;

\ (x = 2 \), \ (y = 9 \) и 2 буква моего имени — это 9 буква алфавита, I;

\ (x = 3 \), \ (y = 13 \) и 3 -я буква моего имени — это 13-я буква алфавита, М.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.