График функции y x квадрат: Функция у = х в квадрате (Y =X2), 7 класс, урок по алгебре

2$

Внимательно посмотрим на формулу y = x2 и попытаемся описать словами примерный вид будущего графика.

1. Так как y ≥ 0, то весь график не может располагаться ниже оси OX.

2. График симметричен относительно оси OY. Нам достаточно построить график для положительных значений x, а затем зеркально отразить его для отрицательных значений x.

Найдем несколько значений y:

Построим эти точки (см. рис. 1).

Если мы попробуем соединить их пунктирной линией, как показано на рис. 1 , то некоторые значения функции не попадут на эти линии, например, точки A (x = 0,5; y = 0,25) и B (x=2,5; y=6,25). Даже если мы построим очень много точек и соединим их маленькими прямыми отрезками, всегда найдутся значения y, не попадающие на эти отрезки. Поэтому точки надо соединять плавной кривой линией (см. рис. 2).

Теперь осталось зеркально отразить график для отрицательных значений x (см. рис. 3). Такая кривая называется параболой. Точка О (0;0) называется вершиной параболы. Симметричные кривые называются ветвями параболы.

Содержание

Примеры

I. Дизайнеру надо покрасить часть стены дома в форме квадрата со сторонами 2,7 метра. Специальная краска для стен продается в фасовке из расчета одна банка на 1 м2. Не проводя вычисления, выясни, сколько банок краски надо купить, что бы после окрашивания не осталось лишних не распечатанных банок.

Решение:
1. Построим параболу.
2. Найдем на параболе точку А, у которой координата x=2,7 (см. рис. 4).
3. Мы видим, что в этой точке значение функции больше 7, но меньше 8. Значит, дизайнеру потребуется минимум 8 банок краски.

II. Построить график функции у= (х + 1)2.

Найдем несколько значений y.

Построим эти точки и прямую x= -1, параллельную оси OY. Очевидно, что построенные точки симметричны относительно этой прямой. В результате у нас получится такая же парабола, только смещенная влево по оси OX (см. рис.5).

график функции y=x в квадрате

Спростити вираз (sqrt{3}+2)^2-4sqrt{3

Виконайте множення: {{3p^3}/{m^9}}*{1/{18p^-2m^-9}}.2-ax+2}/{x-3}=0 має один корінь?

Как построить график функции y = f(x + l) + m. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.












1.

Вспомогательная система координат


Сложность:
лёгкое

1


2.

Параллельный перенос графика функции


Сложность:
лёгкое

2


3.

Направление сдвига графика функции


Сложность:
лёгкое

2


4.

Формула функции


Сложность:
среднее

2


5.

Уравнение параболы


Сложность:
среднее

2


6.

Значение функции


Сложность:
среднее

2


7.

Построение графика квадратичной функции вида y = (x + a)² + b


Сложность:
среднее

3


8.

Метод выделения полного квадрата


Сложность:
сложное

3


9.

Функции


Сложность:
сложное

3


10.

Графическое решение системы уравнений


Сложность:
сложное

3

Построение графика зависимости y = x2

y = x2. (1)

В такой зависимости находятся длина (x) стороны квадрата и его площадь (y).

Для построения графика мы будем поступать так же, как поступали раньше при построении графиков линейной зависимости (см. § 74 и 75) и обратной пропорциональности (§ 76).

Составим, например, такую таблицу значений x и соответствующих значений y:

Построим по таблице точки (черт. 50) на координатной плоскости. Если будем давать x значения, промежуточные между уже взятыми, то точки расположатся на плоскости плотнее. При всевозможных значениях x все точки расположатся на некоторой линии (кривой) называемой параболой (черт. 51).

Из чертежа 51 видно, что весь график расположится в верхней полуплоскости (т. е. выше оси абсцисс) и лишь одна его точка O (0, 0) лежит на оси абсцисс.

Это и понятно: y есть квадрат числа x, поэтому y не может иметь отрицательных значений; запишем это так: (читают: y – неотрицательное число).

Мы видим далее, что все точки графика расположены попарно симметрично относительно оси ординат. Это и понятно. Так как (–3)2 = 32; (–5)2 = 52 и вообще (–a)2 = a2, то точки, имеющие абсциссы, одинаковые по абсолютной величине, но противоположные по знаку, имеют одинаковые ординаты. Значит, каждой точке A (x; y) графика соответствует точка B (–x; y) того же графика, расположенная по другую сторону оси ординат на том же расстоянии от этой оси. Таким образом, ось ординат является осью симметрии графика зависимости y = x2.

Аккуратно построенный график (например, на миллиметровой бумаге) можно использовать для приближенного возведения чисел в квадрат, если не требуется большая точность вычислений.

Пусть, например, требуется найти квадрат числа 3,2. На оси абсцисс находим точку 3,2 (точка A) и из нее проводим перпендикуляр к оси абсцисс до пересечения с графиком в точке M. Ордината этой точки, приблизительно равная 10,2, и даст приближенное значение квадрата числа 3,2 (точное значение 10,24). Ординату можно найти или измерив длину перпендикуляра AM, или опустив из точки M перпендикуляр на ось ординат. Полученная точка на оси ординат покажет величину квадрата данного числа.

Примечание. Ввиду симметрии графика для практических вычислений достаточно начертить только ту его часть, которая расположена в первой четверти координатной плоскости. В самом деле, квадрат положительного числа находится непосредственно по графику; если же нужно найти квадрат отрицательного числа, например –3,6, то ищем по графику квадрат числа 3,6, противоположного данному.

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

В 2021 году казахстанские школьники будут сдавать по-новому Единое национальное тестирование. Помимо того, что главный школьный экзамен будет проходить электронно, выпускникам предоставят возможность испытать свою удачу дважды. Корреспондент zakon.kz побеседовал с вице-министром образования и науки Мирасом Дауленовым и узнал, к чему готовиться будущим абитуриентам.

— О переводе ЕНТ на электронный формат говорилось не раз. И вот, с 2021 года тестирование начнут проводить по-новому. Мирас Мухтарович, расскажите, как это будет?

— По содержанию все остается по-прежнему, но меняется формат. Если раньше школьник садился за парту и ему выдавали бумажный вариант книжки и лист ответа, то теперь тест будут сдавать за компьютером в электронном формате. У каждого выпускника будет свое место, огороженное оргстеклом.

Зарегистрироваться можно будет электронно на сайте Национального центра тестирования. Но, удобство в том, что школьник сам сможет выбрать дату, время и место сдачи тестирования.

Кроме того, в этом году ЕНТ для претендующих на грант будет длиться три месяца, и в течение 100 дней сдать его можно будет два раза.

— Расскажите поподробнее?

— В марте пройдет тестирование для желающих поступить на платной основе, а для претендующих на грант мы ввели новые правила. Школьник, чтобы поступить на грант, по желанию может сдать ЕНТ два раза в апреле, мае или в июне, а наилучший результат отправить на конкурс. Но есть ограничение — два раза в один день сдавать тест нельзя. К примеру, если ты сдал ЕНТ в апреле, то потом повторно можно пересдать его через несколько дней или в мае, июне. Мы рекомендуем все-таки брать небольшой перерыв, чтобы еще лучше подготовиться. Но в любом случае это выбор школьника.

— Система оценивания останется прежней?

— Количество предметов остается прежним — три обязательных предмета и два на выбор. Если в бумажном формате закрашенный вариант ответа уже нельзя было исправить, то в электронном формате школьник сможет вернуться к вопросу и поменять ответ, но до того, как завершил тест.

Самое главное — результаты теста можно будет получить сразу же после нажатия кнопки «завершить тестирование». Раньше уходило очень много времени на проверку ответов, дети и родители переживали, ждали вечера, чтобы узнать результат. Сейчас мы все автоматизировали и набранное количество баллов будет выведено на экран сразу же после завершения тестирования.
Максимальное количество баллов остается прежним — 140.

— А апелляция?

— Если сдающий не будет согласен с какими-то вопросами, посчитает их некорректными, то он сразу же на месте сможет подать заявку на апелляцию. Не нужно будет ждать следующего дня, идти в центр тестирования, вуз или школу, все это будет электронно.

— С учетом того, что школьникам не придется вручную закрашивать листы ответов, будет ли изменено время сдачи тестирования?

— Мы решили оставить прежнее время — 240 минут. Но теперь, как вы отметили, школьникам не нужно будет тратить час на то, чтобы правильно закрасить лист ответов, они спокойно смогут использовать это время на решение задач.

— Не секрет, что в некоторых селах и отдаленных населенных пунктах не хватает компьютеров. Как сельские школьники будут сдавать ЕНТ по новому формату?

— Задача в том, чтобы правильно выбрать время и дату тестирования. Центры тестирования есть во всех регионах, в Нур-Султане, Алматы и Шымкенте их несколько. Школьники, проживающие в отдаленных населенных пунктах, как и раньше смогут приехать в город, где есть эти центры, и сдать тестирование.

— На сколько процентов будет обновлена база вопросов?

— База вопросов ежегодно обновляется как минимум на 30%. В этом году мы добавили контекстные задания, то что школьники всегда просили. Мы уделили большое внимание истории Казахстана и всемирной истории — исключили практически все даты. Для нас главное не зазубривание дат, а понимание значения исторических событий. Но по каждому предмету будут контекстные вопросы.

— По вашему мнению система справится с возможными хакерскими атаками, взломами?

— Информационная безопасность — это первостепенный и приоритетный вопрос. Центральный аппарат всей системы находится в Нур-Султане. Связь с региональными центрами сдачи ЕНТ проводится по закрытому VPN-каналу. Коды правильных ответов только в Национальном центре тестирования.

Кроме того, дополнительно через ГТС КНБ (Государственная техническая служба) все тесты проходят проверку на предмет возможного вмешательства. Здесь все не просто, это специальные защищенные каналы связи.

— А что с санитарными требованиями? Нужно ли будет школьникам сдавать ПЦР-тест перед ЕНТ?

— ПЦР-тест сдавать не нужно будет. Требование по маскам будет. При необходимости Центр национального тестирования будет выдавать маски школьникам во время сдачи ЕНТ. И, конечно же, будем измерять температуру. Социальная дистанция будет соблюдаться в каждой аудитории.

— Сколько человек будет сидеть в одной аудитории?

— Участники ЕНТ не за семь дней будут сдавать тестирование, как это было раньше, а в течение трех месяцев. Поэтому по заполняемости аудитории вопросов не будет.

— Будут ли ужесточены требования по дисциплине, запрещенным предметам?

— Мы уделяем большое внимание академической честности. На входе в центры тестирования, как и в предыдущие годы, будут стоять металлоискатели. Перечень запрещенных предметов остается прежним — телефоны, шпаргалки и прочее. Но, помимо фронтальной камеры, которая будет транслировать происходящее в аудитории, над каждым столом будет установлена еще одна камера. Она же будет использоваться в качестве идентификации школьника — как Face ID. Сел, зарегистрировался и приступил к заданиям. Мы применеям систему прокторинга.

Понятно, что каждое движение абитуриента нам будет видно. Если во время сдачи ЕНТ обнаружим, что сдающий использовал телефон или шпаргалку, то тестирование автоматически будет прекращено, система отключится.

— А наблюдатели будут присутствовать во время сдачи тестирования?

— Когда в бумажном формате проводили ЕНТ, мы привлекали очень много дежурных. В одной аудитории было по 3-4 человека. При электронной сдаче такого не будет, максимум один наблюдатель, потому что все будет видно по камерам.

— По вашим наблюдениям школьники стали меньше использовать запрещенные предметы, к примеру, пользоваться телефонами?

— Практика показывает, что школьники стали ответственнее относиться к ЕНТ. Если в 2019 году на 120 тыс. школьников мы изъяли 120 тыс. запрещенных предметов, по сути у каждого сдающего был телефон. То в прошлом году мы на 120 тыс. школьников обнаружили всего 2,5 тыс. телефонов, и у всех были аннулированы результаты.

Напомню, что в 2020 году мы также начали использовать систему искусственного интеллекта. Это анализ видеозаписей, который проводится после тестирования. Так, в прошлом году 100 абитуриентов лишились грантов за то, что во время сдачи ЕНТ использовали запрещенные предметы.

— Сколько средств выделено на проведение ЕНТ в этом году?

Если раньше на ЕНТ требовалось 1,5 млрд тенге из-за распечатки книжек и листов ответов, то сейчас расходы значительно сокращены за счет перехода на электронный формат. Они будут, но несущественные.

— Все-таки почему именно в 2021 году было принято решение проводить ЕНТ в электронном формате. Это как-то связано с пандемией?

— Это не связано с пандемией. Просто нужно переходить на качественно новый уровень. Мы апробировали данный формат на педагогах школ, вы знаете, что они сдают квалификационный тест, на магистрантах, так почему бы не использовать этот же формат при сдаче ЕНТ. Тем более, что это удобно, и для школьников теперь будет много плюсов.

Функции y=x2 и y=x3 и их графики

Тема урока: Функции y=x2 и y=x3 и их графики

Цели урока:

  1. Образовательные:

  • Дать учащимся представление о том, что в математике, кроме линейных функций, встречаются и другие функции, познакомить учащихся со свойствами функций

  • Рассмотрение функций y=x2 и y=x3 позволяет продолжить работу по формированию умений строить графики и читать графики функций.

  1. Развивающие:

  • Развитие познавательного интереса к предмету

  • Развитие логического мышления

  • Формирование информационной культуры

  1. Воспитательные:

    • Воспитание самостоятельности в работе

    • Воспитание умения контролировать внимание на всех этапах урока.

    • Создание дружелюбной атмосферы на уроке

Тип урока: Усвоение новых знаний

Методы обучения:

Методы организации учебно — познавательной деятельности – беседа, объяснение, демонстрация

Методы стимулирования учебно — познавательной деятельности – поощрение

Методы контроля учебно — познавательной деятельности – фронтальный опрос, тестирование (закрытый тип) с применением компьютера.

Оборудование урока:

  • Компьютер

  • Демонстрационные файлы

  • Файл с тестом

  • Координатная плоскость – стенд

  • Координатная плоскость – раздаточный материал

Литература, использованная при подготовке к уроку:

  • Математика в школе №4, 1989 «О понятии функции в школьном курсе математики»

  • Окунев А.А. Спасибо дети за урок!: о развитии творч. способностей учащихся: Книга для учителя.

  • Я иду на урок математики. Алгебра: 7 класс: Книга для учителя

  • Алгебра: учебник для 7 класса для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова; Под ред. С.А. Теляковского.

План урока

  1. Вступительное слово учителя – 1 мин.

  2. Проверка самостоятельной работы прошлого урока– 3 мин.

  3. Устная работа: подготовка к новой теме – 5 мин.

  4. Новая тема – 12 мин.

  5. Закрепление – 10 мин

  6. Самостоятельная работа за компьютером. Тестирование -8 мин.

  7. Выставление оценок. – 2 мин.

  8. Подведение итогов – 2 мин.

Ход урока

  1. Вступительное слово учителя

Психологическая установка учащихся:

На уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться.

Понять и быть первым, который увидит правильное решение.

Озвучивание цели урока

  1. Устная работа, подготовка к новой теме (файл «Презентация1») , повторить правила.

Слайд №1

Слайд №2

Слайд №3 (подготовка к новой теме)

Вопросы к слайду №3

  1. График какой функции лишний? Почему?

  2. Какие функции вы знаете?

  3. Сколько точек достаточно для построения графика линейной функции?

  4. На каком рисунке изображен график прямой пропорциональности? Почему?

На рисунке 3 представлен график функции, который отличается от графиков линейной функции и прямой пропорциональности, следовательно, можно сделать вывод, что существуют и другие виды функций.

Озвучить цель урока: Познакомиться еще с двумя видами функций, с их свойствами, научиться строить их графики.

Записать на доске и в тетради тему урока.

  1. Новая тема

Рассмотрению функций, предшествует небольшое исследование, которое демонстрирует примеры этих функций в повседневной жизни.

Вы неоднократно сталкивались в повседневной жизни с примерами этих функций.

Слайд №4

Слайд № 5

Две формулы, записанные на экране представляют собой: Зависимость площади квадрата от его стороны и зависимость объема куба от его ребра, которые является примерами функций вида y=x2 и y=x3, а — независимая переменная, а S и V – зависимые переменные.

Все записи на уроке заносятся в таблицу, состоящую из двух столбцов: в первом столбце рассматривается функция y=x2, а во втором — y=x3.

Конспект урока:

y=x2

y=x3

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

9

4

1

0

1

4

9

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-27

-8

-1

0

1

8

27

Парабола

Кубическая парабола

Если x = 0, то и у=0

Если х≠0, то у>0

Если х>0, то у>0; если х<0, то у<0

Противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у

(-х)22

Противоположным значениям х соответствуют противоположные значения у

(-х)3=-х3

а) Если у=1 х= -1 или х=1

б) При х= -1 у=1

а) Если у=1 х=1

б) При х= -1 у=-1

Рассматривается этапы построения графика y=x2

Прежде чем построить график функции y=x2 нам нужно составить таблицу значений функции, а для этого нам нужно определить область определения функции (О.О. – вся числовая прямая).

Вопрос уч-ся: Посмотрите внимательно, какие значения может принимать х функции y=x2?

Теперь можно составить таблицу значений функции y=x2 на промежутке с шагом 1.

Построим точки, координаты которых указаны в таблице. (Один ученик строит на доске, остальные – на раздаточном материале)

Обратить внимание: График функции вблизи начала координат почти сливается с ось x. (В компьютере – графопостроитель «Парабола»)

Вопрос уч-ся: Как вы думаете почему так получается?

Получили график функции y=x2. Ясно, что график неограниченно продолжается вверх справа и слева от оси y. График функции y=x2 называют параболой.

Теперь построим график y=x3.

Вопрос уч-ся: Посмотрите внимательно, какие значения x принимает функция?

Составим таблицу значений функции y=x3 на промежутке с шагом 1.

Построим точки, координаты которых указаны в таблице. (Один ученик строит на доске, остальные – на раздаточном материале)

Получили график функции y=x3. Ясно, что график неограниченно продолжается справа от оси у вверх и слева от оси у вниз. График функции y=x3 называют кубической параболой.

Обратить внимание: График функции вблизи начала координат почти сливается с ось x. (В компьютере – графопостроитель «Кубическая парабола»)

Выясним, какими свойствами обладают обе функции (свойства занести в таблицу)

5. Закрепление

С помощью графика функции можно определить: по значению аргумента найти соответствующее значение функции, и наоборот.

Используя графики y=x2 и y=x3, найти:

а) Значение аргумента равное значению функции 1;

б) Значение функции равное значению аргумента -1.

Занести в таблицу

Работа по учебнику: рассмотреть на стр.90 и 91 графики функций y=x2 и y=x3.

Выполнить №501(а, б), №505

501(а, б)

а) При х=1,4 у=2

при х=-2,6 у=6,8

при х=3,1 у=9,6

б) если у=4 х=-2 или х=2

если у=6 х=-2,4 или х=2,4

  1. Самостоятельная работа за компьютером. Тестирование (Учащиеся пользуются конспектом урока)

  1. Как называется график функции y=x2?

    1. Прямая

    2. Луч

    3. Парабола

  2. С помощью графика функции y=x2 определите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному -2

    1. -2

    2. 2

    3. 4

    4. -4

  3. С помощью графика функции y=x3 , определите значение аргумента при котором значение функции равно -8.

    1. 8

    2. -2

    3. 2

    4. 4

  4. Какие значения принимает y функции y=x2 при отрицательных значениях x?

    1. Положительные

    2. Отрицательные

    3. Положительные и отрицательные

  5. Какие значения принимает x функции y=x3 при отрицательных значениях y?

      1. Положительные

      2. Отрицательные

      3. Положительные и отрицательные

  6. На каком графике расположен график функции y=x2? (Представлены 4 графика)

  7. На каком графике расположен график функции y=x3? (Представлены 4 графика)

  1. Выставление оценок.

  2. Подведение итогов

  1. С какими функциями вы сегодня познакомились?

  2. Как называются графики этих функций?

  3. Какими особенностями они обладают?

Учебная презентация к уроку алгебры в 7 классе «Функция х в квадрате и её график» | Методическая разработка по алгебре (7 класс) на тему:

Слайд 1

Функция y = x 2 и её график Алгебра 7 класс Яковлева Любовь Викторовна МБОУ «Самосдельская СОШ им. Шитова В.А.»

Слайд 2

Цели урока: рассмотреть свойства и график функции у = х 2 ; научиться строить и «читать» график данной функции; научиться решать уравнения графическим способом.

Слайд 3

Назовите координаты точек, симметричных данным точкам относительно оси y : (- 2; 6) (- 1; 4) (0; 0) (- 3; — 5) ( 2; 6) (1; 4) (0; 0) (3; — 5) y х

Слайд 4

Найдите значение функции y = 5x + 4, если: х = — 1 х = — 2 х = 3 х = 5 y = — 1 y = — 19 y = — 6 y = — 29

Слайд 5

Укажите область определения функции: y = 16 – 5 x х ≠ 0 х ≠ 7 х – любое число

Слайд 6

Зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Расшифруйте термины Функция Независимая переменная, значения которой выбирают произвольно. Аргумент Все значения, которые принимает независимая переменная. Область определения Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. Линейная функция График функции Функция, заданная формулой вида y = kx + b , где х – переменная, k и b некоторые числа, её графиком является прямая.

Слайд 7

Зависимость площади квадрата от длины его стороны квадратичная функция Зависимая переменная Независимая переменная y = x 2 y x

Слайд 8

Функция y = x 2 Математическое исследование

Слайд 9

х — 3 — 2 , 5 — 2 — 1,5 — 1 — 0,5 0 y Заполните таблицу значений функции y = x 2 : х 0 0, 5 1 1,5 2 2,5 3 y — 9 — 6,25 — 4 — 2,25 — 1 — 0,25 0 0 2,5 1 2,5 4 6,25 9

Слайд 10

Постройте график функции y = x 2 парабола

Слайд 11

Свойства функции y = x 2

Слайд 12

Область определения функции D(f): х – любое число. Область значений функции E(f): все значения у ≥ 0.

Слайд 13

Если х = 0, то у = 0. График функции проходит через начало координат .

Слайд 14

Если х ≠ 0, то у > 0. Все точки графика функции, кроме точки (0; 0), расположены выше оси х . I II

Слайд 15

Противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у. График функции симметричен относительно оси ординат. Функция чётная. (- х) 2 = х 2 при любом х

Слайд 16

Геометрические свойства параболы Обладает симметрией Ось разрезает параболу на две части: ветви параболы Точка (0; 0) – вершина параболы Парабола касается оси абсцисс Ось симметрии

Слайд 17

«Знание – орудие, а не цель» Л. Н. Толстой Найдите у, если: х ≈ -2,5 х = — 2 у ≈ 1,9 у ≈ 6,7 у ≈ 9,6 х = 1,4 х = — 2,6 х = 3,1 у = 6 у = 4 Найдите х, если: — 1,4 — 3 , 1 х ≈ 2,5 х = 2

Слайд 18

Найдите несколько значений х, при которых значения функции : меньше 4 больше 4

Слайд 19

При каких значениях а точка Р(а; 64) принадлежит графику функции у = х 2 . Принадлежит ли графику функции у = х 2 точка : Не выполняя вычислений, определите, какие из точек не принадлежат графику функции у = х 2 : P(-18; 324) R(-99; -9081) S(17; 279) (-1; 1) (0; 8) (-2; 4) (3; -9) (1,8; 3,24) (16; 0) а = 8; а = — 8 принадлежит не принадлежит не принадлежит

Слайд 20

Решите графически уравнение: х 2 = 5 х 2 = — 1 x 2 = х +1 y = — 1 y = x + 1 y = х 2 y = 5 нет решений х ≈ — 2,2; х ≈ 2,2 х ≈ — 0,6; х ≈ 1,6

Слайд 21

Домашнее задание Изучить п. 23. Выполнить упр. № 484, № 486, № 487, № 494(а).

Слайд 22

Удачи вам!

Графические квадратичные функции: больше примеров

Графики
Квадратичные функции: примеры
(стр.
4 из 4)

Разделы: Введение,
Значение старшего коэффициента / Вершина,
Примеры


  • Найдите перехваты x
    и вершина y
    = x 2 4 x + 2.

    Так как это так просто
    найти перехват и
    (и в любом случае это будет точка на моей Т-диаграмме), они всего лишь
    просят перехватить x
    этот раз. Чтобы найти перехват x ,
    Ставил у
    равно 0
    и решаем:

      0 = x 2
      4 х + 2

      х 2
      + 4 x 2 = 0

    Для построения графиков
    точки перехвата находятся примерно на (4.4,
    0) и (0,4,
    0). (Когда я пишу
    ниже, я, конечно, буду использовать «точную» форму с
    квадратные корни; десятичные приближения моего калькулятора предназначены только для
    Помогая мне график.)

    Чтобы найти вершину, я
    посмотрите на коэффициенты: a
    = 1 и b
    = 4. Тогда:

    Найти к ,
    Подключаю х
    = 2 дюйма для x
    через у
    = х 2
    4 x + 2, и
    упростить:

    Сейчас найду дополнительные
    точки на графике, чтобы помочь мне заполнить график:

    Обратите внимание, что я выбрал значения x .
    которые были сосредоточены вокруг координаты x
    вершины.Теперь построю параболу:

    Вершина
    в (2, 6),
    и перехваты на
    следующие точки:

      (0,
      2),,
      и

  • Найдите перехваты x
    и вершина y
    = x 2 + 2 x 4.

    Чтобы найти вершину, я
    посмотрите на коэффициенты: a
    = 1 и b
    = 2. Тогда:

    Найти к ,
    Подключу ч
    дюйм для x
    и упростить:

    Вершина находится ниже
    x — ось,
    и, поскольку это отрицательная квадратичная величина, я знаю, что парабола равна
    будет перевернутым.Так может ли моя линия пересечь ось x ?
    Могут ли быть какие-нибудь перехваты x ?
    Конечно нет! Поэтому я ожидаю получить «нет (реального) решения», когда
    Я пытаюсь найти перехваты x ,
    но мне все равно нужно показать свою работу. Чтобы найти перехват x ,
    Ставил у
    равно 0
    и решаем:

      0 = x 2
      + 2 х 4

      х 2
      2 х + 4 = 0

    Как только я получаю отрицательный
    внутри квадратного корня, я знаю, что не могу получить наглядное решение.Итак, как и ожидалось, нет никаких перехватов x .
    Теперь я найду несколько дополнительных точек, чтобы заполнить свой график:

    Обратите внимание, что я выбрал значения x .
    которые были сосредоточены вокруг координаты x
    вершины. Теперь построю параболу:
    Авторские права
    Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

    Вершина
    в (1, 3),
    и единственный
    перехват находится в (0,
    4).

Это последнее упражнение иллюстрирует
таким образом вы можете немного сократить свою работу. Если вы решите для вершины
сначала вы можете легко определить, нужно ли вам продолжить и искать
x -перехват,
или если вы можете сразу перейти к нанесению некоторых точек и построению графика.
Если вершина ниже оси x
(то есть, если y -значение
отрицательна), а квадратичная отрицательна (поэтому парабола открывается вниз),
тогда не будет х -перехватов.Аналогично, если вершина находится выше оси x
(то есть, если значение y
положительна), а квадратичная положительна (парабола открывается вверх),
тогда не будет х -перехватов.

На большинстве графиков
Я сделал (правда, не первый), так уж получилось, что баллы
на Т-диаграмме были симметричны относительно вершины; то есть, что точки
«совпадают» по обе стороны от вершины.Пока парабола
всегда симметрично относительно вертикальной линии, проходящей через вершину (параболы
«ось»), точки Т-диаграммы могут быть несимметричными. В частности,
точки Т-диаграммы не будут «совпадать», если координата x
вершины не является целым числом или половинным числом
(например, «3,5»).
Предупреждение: не ожидайте, что сюжетные точки всегда будут «совпадать» на
обе стороны от вершины; в частности, не делайте половину баллов на
ваш T-график, а затем «заполните» остальную часть вашего T-графика,
предполагая симметрию, которая может не существовать.

Другие советы по построению графиков:
Если парабола будет «тощей», то ожидайте, что вы
получат очень большие значения на вашем Т-графике. Вы либо закончите
с действительно высоким графиком или довольно коротким T-графиком. Если парабола
будет «толстым», тогда ожидайте, что у вас, вероятно, будет
для построения точек с дробями в качестве координат. В любом случае, когда вы
иди, чтобы соединить точки, чтобы нарисовать параболу, это может оказаться полезным
повернуть бумагу на бок и сначала прорисовать действительно изогнутую часть
вершину, убедившись, что она выглядит красивой и круглой.Затем переверните бумагу
спиной правой стороной вверх и нарисуйте «стороны» параболы.

Предупреждение: нарисуйте свои графики
достаточно большой, чтобы его хорошо видел ваш инструктор. Если вы подходите больше
чем два или, может быть, три графика на одной стороне стандартного листа бумаги,
тогда вы рисуете свои графики слишком маленькими.

<< Предыдущая Вверх | 1
| 2 | 3 | 4
|
Вернуться к индексу

Цитируйте эту статью
как:

Стапель, Елизавета.«Графики квадратичных функций: примеры». Пурпурная Математика .
Доступно по номеру
https://www.purplemath.com/modules/grphquad4.htm .
Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

Преобразования квадратичных функций | Колледж алгебры

Результаты обучения

  • График вертикальных и горизонтальных сдвигов квадратичных функций
  • График вертикального сжатия и растяжения квадратичных функций
  • Напишите уравнение преобразованной квадратичной функции, используя форму вершин
  • Определить вершину и ось симметрии для данной квадратичной функции в форме вершины

Стандартная форма квадратичной функции представляет функцию в форме

[латекс] f \ left (x \ right) = a {\ left (x-h \ right)} ^ {2} + k [/ latex]

где [латекс] \ left (h, \ text {} k \ right) [/ latex] — вершина.2 [/ латекс]

Величина [латекса] а [/ латекса] указывает на растяжение графика. Если [latex] | a |> 1 [/ latex], точка, связанная с определенным значением [latex] x [/ latex], смещается дальше от оси [latex] x [/ latex] , поэтому график кажется, становится уже, и появляется вертикальная растяжка. Но если [latex] | a | <1 [/ latex], точка, связанная с определенным значением [latex] x [/ latex], смещается ближе к оси [latex] x [/ latex] , поэтому график кажется шире, но на самом деле есть вертикальное сжатие.{2}} {4a} \ end {align} [/ latex]

На практике, однако, обычно легче запомнить, что [latex] h [/ latex] является выходным значением функции, когда входным значением является [latex] h [/ latex], поэтому [latex] f \ left (h \ right) = f \ left (- \ dfrac {b} {2a} \ right) = k [/ latex].

Попробуй

Сетка координат наложена на квадратную траекторию баскетбольного мяча на рисунке ниже. Найдите уравнение пути мяча. Стрелок забивает корзину?

(кредит: модификация работы Дэна Мейера)

Показать решение

Путь проходит через начало координат и имеет вершину в [latex] \ left (-4, \ text {} 7 \ ​​right) [/ latex], поэтому [latex] \ left (h \ right) x = — \ frac { 7} {16} {\ left (x + 4 \ right)} ^ {2} +7 [/ латекс].Чтобы сделать снимок, [latex] h \ left (-7,5 \ right) [/ latex] должно быть около 4, но [latex] h \ left (-7,5 \ right) \ приблизительно 1,64 [/ latex]; он не выживает.

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Квадратичная функция: изменения параболы

Вы можете использовать квадратичные функции, чтобы изучить, как уравнение влияет на форму параболы. Вот как сделать параболу шире или уже или как повернуть ее на бок.

Родительская функция

Марк Перри / Getty Images

Родительская функция — это шаблон домена и диапазона, который распространяется на других членов семейства функций.

Некоторые общие черты квадратичных функций

  • 1 вершина
  • 1 линия симметрии
  • Наивысшая степень (наибольшая экспонента) функции 2
  • График — парабола

Родители и дети

Уравнение для квадратичной родительской функции имеет вид


y =
х
2 , где
x ≠ 0.

Вот несколько квадратичных функций:

  • y = x 2 — 5
  • y = x 2 — 3 x + 13
  • y = — x 2 + 5 x + 3

Дети — это трансформации родителя. Некоторые функции будут сдвигаться вверх или вниз, открываться шире или более узко, смело поворачиваться на 180 градусов или сочетать вышеперечисленное.Узнайте, почему парабола открывается шире, открывается более узко или поворачивается на 180 градусов.

Изменить, изменить график

Другой вид квадратичной функции:


y =
топор
2 +
с, где
a ≠ 0

В родительской функции y = x 2 , a = 1 (поскольку коэффициент x равен 1).

Когда a больше не 1, парабола будет открываться шире, открываться более узко или переворачиваться на 180 градусов.

Примеры квадратичных функций, где a ≠ 1 :

  • y = — 1 x 2 ; ( a = -1)
  • y = 1/2 x 2 ( a = 1/2)
  • y = 4 x 2 ( a = 4)
  • y = 0,25 x 2 + 1 ( a = 0,25)

Изменить

на , Изменить график

  • Когда a отрицательно, парабола переворачивается на 180 °.
  • Когда | а | меньше единицы, парабола раскрывается шире.
  • Когда | а | больше 1, парабола открывается более узко.

Помните об этих изменениях при сравнении следующих примеров с родительской функцией.

Пример 1. Переворот по параболе

Сравните y = — x 2 до y = x 2 .

Поскольку коэффициент при — x 2 равен -1, тогда a = -1.Когда a отрицательно 1 или отрицательно, парабола перевернется на 180 градусов.

Пример 2: Парабола расширяется

Сравните y = (1/2) x 2 до y = x 2 .

  • y = (1/2) x 2 ; ( a = 1/2)
  • y = x 2 ; ( a = 1)

Поскольку абсолютное значение 1/2 или | 1/2 | меньше 1, график откроется шире, чем график родительской функции.

Пример 3: Парабола открывает более узкий угол

Сравните y = 4 x 2 до y = x 2 .

  • y = 4 x 2 ( a = 4)
  • y = x 2 ; ( a = 1)

Поскольку абсолютное значение 4 или | 4 | больше 1, график откроется более узко, чем график родительской функции.

Пример 4: Комбинация изменений

Сравните y = -.25 x 2 до y = x 2 .

  • y = -.25 x 2 ( a = -.25)
  • y = x 2 ; ( a = 1)

Поскольку абсолютное значение -.25 или | -.25 | меньше 1, график откроется шире, чем график родительской функции.

Координатные плоскости и графики, функции

Прямоугольная система координат
пара перпендикулярных координатных линий,
называемые координатными осями, которые размещаются
Так что они пересекаются в своих истоках.

Обозначение осей буквами x и y
это обычное соглашение, но любые буквы могут
использоваться. Если буквы x и y используются для обозначения
оси координат, затем получившаяся плоскость
называется xy-plane . В приложениях это обычное дело
использовать буквы, отличные от x и y, показано в
следующие цифры, как uv-plane и ts-plane .

Заказанная пара

Под упорядоченной парой действительных чисел мы понимаем два действительных числа в заданном порядке. Каждую точку P в координатной плоскости можно связать с уникальной упорядоченной парой действительных чисел, проведя через P две линии, одну перпендикулярную оси x, а другую — оси y.

Например, если мы возьмем (a, b) = (4,3), то на координатной плоскости

Построить точку P (a, b) означает разместить точку с координатами (a, b) в координатной плоскости. . Например, нанесены разные точки.

В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Они пронумерованы против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке

.

Определение графа

График уравнения с двумя переменными x и y — это набор точек в плоскости xy, координаты которых являются членами набора решений этого уравнения

Пример: начертите график y = x 2

Это аппроксимация графика y = x 2 .В общем, только с техникой

из расчета, что истинная форма графика может быть установлена.

Пример: начертите график y = 1 / x

Поскольку 1 / x не определено, когда x = 0, мы можем построить только точки, для которых x ≠ 0

Пример: найти все точки пересечения
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1 / x

Решение:

3x + 2y = 6 x-точек пересечения

Установите y = 0 и решите относительно x 3x = 6 или x = 2

— это требуемая точка пересечения по оси x.

— это требуемая точка пересечения по оси Y.

Аналогичным образом вы можете решить часть (b), здесь решается часть (c)

у = 1 / х

x-перехватчики

Установить y = 0

1 / x = 0 => x не определено. Тогда никаких пересечений по оси Y

Установить x = 0

y = 1/0 => y не определено => точка пересечения y отсутствует

На следующем рисунке точки (x, y), (-x, y), (x, -y) и (-x, -y) образуют углы прямоугольника.

• симметрично относительно оси x, если для каждой точки (x, y) на графике точка (x, -y) также находится на графике.

• симметрично относительно оси y, если для каждой точки (x, y) на графике точка (-x, y) также находится на графике.

• симметрично относительно начала координат, если для каждой точки (x, y) на графике точка (-x, -y) также находится на графике.

Определение:

График в плоскости xy функции f определяется как график уравнения y = f (x)

Пример: 1

Нарисуйте график f (x) = x + 2

у = х + 2

график f (x) = x + 2

Пример: 2 Нарисуйте график f (x) = | x |

y = | x |

х

y = x 2

(х, у)

0

0

(0,0)

1

1

(1,1)

2

4

(2,4)

3

9

(3,9)

-1

1

(-1,1)

–2

4

(-2,4)

-3

9

(-3,9)

х

у = 1 / х

(х, у)

1/3

3

(1 / 3,3)

1/2

2

(1 / 2,2)

1

1

(1, 1)

2

1/2

(2,1 / 2)

3

1/3

(3,1 / 3)

-1/3

-3

(-1/3, -3)

-1/2

–2

(-1/2, -2)

-1

-1

(-1, -1)

–2

-1/2

(-2, -1/2)

-3

-1/3

(-3, -1 / 3)

| x | знак равно

x, если x ≥ 0, т.е.е. x неотрицателен

-x, если x

График совпадает с линией y = x для x > 0 и с линией y = -x

для x <0.

график f (x) = -x

Объединяя эти два графика, получаем

график f (x) = | x |

Пример: 4 Нарисуйте график

t (x) = (x 2 — 4) / (x — 2) =

= ((х — 2) (х + 2) / (х — 2)) =

= (x + 2) x ≠ 2

Следовательно, эту функцию можно записать как

у = х + 2 х ≠ 2

График h (x) = x 2 — 4 или x — 2

график y = x + 2 x ≠ 2

Пример: 4 Нарисуйте график

г (х) =

1, если x ≤ 2

x + 2, если x> 2

Графические функции по переводам

— Предположим, что график f (x) известен

— Тогда мы можем найти графики

у = е (х) + с

у = f (х) — с

у = е (х + с)

у = f (х — с)

y = f (x) + c график f (x) переводит

UP на c единиц

y = f (x) — c график f (x) переводит

ВНИЗ по c единиц

y = f (x + c) график f (x) переводит

СЛЕВА по c единиц

y = f (x — c) график f (x) переводит

СПРАВА по c единиц

Пример: 5 Нарисуйте

график y = f (x) = | x — 3 | + 2

Перевести график y = | x | 3 единицы ВПРАВО, чтобы получить график

y = | x-3 |

Перевести график y = | x — 3 | 2 единицы к UP, чтобы получить график y = | x — 3 | + 2

Пример: 8

Нарисуйте график

y = x 2 — 4x + 5

— завершить квадрат

y + 4 = (x 2 — 4x + 5) + 4 y = (x 2 — 4x + 4) + 5 — 4

у = (х — 2) 2 + 1

В этой форме мы видим, что график может быть получен путем перевода графика y = x 2 вправо на 2 единицы из-за x — 2 и вверх на 1 из-за +1.

y = x 2 — 4x + 5

Отражения

(-x, y) — отражение (x, y) относительно оси y

(x, -y) — отражение (x, y) относительно оси x

Графики y = f (x) и y = f (-x) являются отражениями друг друга относительно оси y

Графики y = f (x) и y = -f (x) являются отражениями друг друга относительно оси x

График можно получить путем отражения и перевода:

— Нарисуйте график

— Отразите его вокруг оси Y, чтобы получить график

— Переведите этот график вправо на 2 единицы, чтобы получить график

Вот график

Если f (x) умножить на положительную константу c

График f (x) сжимается по вертикали, если 0

График f (x) растягивается по вертикали, если c> 1

Кривая не является графиком y = f (x) для любой функции f

Квадратичные

Квадраты — это многочлены степени 2.

Они бывают разных форм, но всегда имеют квадрат.

Примеры

Квадратичное выражение:

Квадратное уравнение:

Квадратичная функция:

Квадратичный график:

Квадратичное неравенство:

Квадратичное отображение:

Квадратичные графики

Квадратичные графики имеют отличительную U-образную форму
называется параболой.

Улыбка положительной параболы:

у = ах 2

Отрицательные параболы нахмурились!

у = — ах 2

Рисование парабол вида y = ax

2

Выберите значения для x и поместите их в таблицу.

Разработайте соответствующий для y.

Постройте эти точки и соедините их плавной кривой.

Пример

Заполните таблицу значений для
уравнение y = x 2

Построение этих точек и объединение их плавной кривой дает

Обратите внимание, насколько симметричен график!

Пример

Заполните таблицу значений для
уравнение y = -5x 2

Построение этих точек и объединение их плавной кривой дает

Снова обратите внимание на симметричность графика!

Работа назад

Пример

Найдите уравнение следующей параболы
вида y = ax 2

График имеет вид y = ax 2
Данная координата (2, 1)
Итак, x = 2 и y = 1 находятся на кривой

Подставить и решить

Параболы формы y = a (x-b)

2

Пример

Заполните таблицу значений для
уравнение y = (x-2) 2

Нанесение этих точек и объединение их плавной кривой дает

На этот раз график симметричен, когда x = 2

Точка поворота (2,0)

Ось симметрии b
в уравнении y = a (x-b) 2

Пример

Найдите уравнение следующей параболы
вида y = a (x-b) 2

График имеет вид y = a (x-b) 2
Данная координата (2, 3)
Итак, x = 2 и y = 3 находятся на кривой
.
Подставляем и решаем

Параболы формы y = a (x-b)

2 + c

Пример

Заполните таблицу значений уравнения
у = -2 (х + 3) 2 + 2

Обратите внимание, что ось симметрии x = — 3

Работа в обратном направлении

Пример

Найдите уравнение следующей параболы
вида y = a (x-b) 2 + c

График имеет вид y = a (x-b) 2 + c

Данная координата (-3, -2)
Итак, x = -3 и y = -2 находятся на кривой

На графике b = -2, поскольку это ось симметрии.

Заменить x = -3, y = -2 и b = -2

Точка (-2, -5) также находится на кривой.

Итак, c = -5

Заменить на -2 = a + c

Подставляем a, b и c в исходное уравнение
у = а (х-б) 2 + с

Ось симметрии

Это квадрат в законченной квадратной форме.

Завершение площади

Параболы формы y = ax

2 + bx + c

Пример

Заполнить таблицу значений
для уравнения y = 2x 2 + 3x — 2

Точки поворота

Положительные параболы имеют минимальную точку поворота.

Пример

Найдите точку поворота квадратичной

y = x 2 + 3x + 2

Точка поворота находится на оси симметрии.

Отрицательные параболы имеют максимальную точку поворота.

Корни

Корень уравнения — это значение, которое удовлетворяет условию
уравнение, когда его выражение установлено равным нулю.

Например, 0 = x 2 + 2x -3

Максимально возможное количество корней
совпадает со степенью многочлена,
поэтому у квадратичной может быть не более двух корней.
Не все квадраты имеют корни.

Чтобы найти корни квадратичной,
Нарисуйте график и посмотрите, где он пересекает ось x.

или

Установить y = 0 и разложить на множители (если возможно)

Пример

Из графика видно, что уравнение y = x 2 + 2x –3 имеет корни
х = -3 и х = 1

Это то же самое, что установить y на ноль и разложить на множители: —

Любая скобка может равняться 0, поэтому необходимо учитывать обе:

Таблица Excel

Построение парабол

Чтобы нарисовать график
y = ax 2 + bx + c

  • Определите форму как U (a> 0) или ∩ (a <0)
  • Найдите корни уравнения.

(ах 2 + bx + c = 0)

  • Отметьте корни на вашей оси.
  • Отметьте точку (0, c) на вашей оси.
  • Найдите ось симметрии.

(½ пути между корнями)

  • Используйте это значение x, чтобы найти точку поворота.
  • Соедините значения плавной кривой.

Пример

Эскиз y = x 2 — 2x — 3

Это будет U-образная форма, так как a = 1

Он обрежет ось Y в точке (0, -3)

Пример

Эскиз y = 3-2x-x 2

Это будет форма ∩, так как a = -1

Он обрежет ось Y в точке (0,3)

Квадратные уравнения

Стандартная форма Квадратные уравнения имеют вид

Чтобы найти решение квадратного уравнения:

Записать выражение в стандартной квадратичной форме

Факторизуйтесь, если можете:

{Не забудьте найти общие множители и разницу двух квадратов}

Используйте квадратные формулы

Примеры

Решить 3x — 6x 2 = 0

Решить 49 — 9x 2 = 0

Решить 15x 2 — x — 6 = 0

Решить 15x 2 — x + 1 = 7

Факторизация квадратичных расчетов

Квадратичная формула

Если квадратичная величина не факторизуется,

попробуйте квадратичную формулу:

Пример

Решить 2 + 4x -5x 2 = 0

Дайте свой ответ в виде сурда.

Пример

Найдите корни 2 + 4x -5x 2

Ответьте правильно с точностью до двух знаков после запятой.

Не все квадраты разложить на множители

Дискриминант

Примеры

Дискриминант
б 2 — 4ac
= 3 2 — 4x1x4
= 9–16
= — 7

b 2 — 4ac <0
Нет настоящих корней

б 2 — 4ac
= 3 2 — 4x1x (-2)
= 9 +8
= 17

b 2 — 4ac> 0
Два отличных настоящих корня

б 2 — 4ac
= 6 2 — 4x1x9
= 36–36
= 0

b 2 — 4ac = 0
Корни равные и настоящие

Работа назад

Пример

Корни (x — 1) (x + k) = -4 равны.
Найдите значения k.

Сначала разложить скобки

Касание

Касательная к кривой касается кривой только в одной точке.
Чтобы проверить касание, установите две функции равными друг другу
и найдем получившийся дискриминант.

Если b 2 — 4ac> 0, линия обрывается в двух разных точках.
Это не касательная.

Если b 2 — 4ac <0, линия не касается кривой.
Это не касательная.

Если b 2 — 4ac = 0, линия касается кривой только в одной точке.
Это касательная.

Примеры

© Александр Форрест
Аппроксимация кривой

— гипертекст по физике

Обсуждение

введение

Я украл это у «Triple A-S» (Американской ассоциации содействия развитию науки).Они знают, как это делать правильно, так зачем это менять.

Из-за своей абстрактности математика универсальна в том смысле, что другие области человеческой мысли — нет. Он находит полезные применения в бизнесе, промышленности, музыке, исторической науке, политике, спорте, медицине, сельском хозяйстве, инженерии, а также в социальных и естественных науках. Связь между математикой и другими областями фундаментальной и прикладной науки особенно сильна.

Я вижу одиннадцать различных полей, упомянутых в этом единственном предложении.Я имею дело только с одним из них ежедневно, но я согласен с тем, что все они обязаны математике. Если вы принимаете решения о том, чему вы посвятите свою жизнь (или, по крайней мере, чему будете учиться профессионально), основываясь на каком-то понятии «важности», тогда откажитесь от всего, кроме математики. Это одна из древнейших областей человеческого знания. Единственное, что старше, — это сельское хозяйство… ммм… да… а еще есть инструменты, огонь и… ну, язык очень важен, а математика — прямо там. Ага по математике!

Что это значит для вас прямо сейчас?

Работает как обычно.Предполагается, что между отображаемыми на графике величинами существует некоторая математическая связь. Данные стремятся к этому математическому идеалу, но из-за ограниченности людей и их инструментов они только приближаются к нему. Точки данных на графике образуют облако вокруг кривой функции. Если бы только у нас было лучшее «зрение». Если бы только наши устройства лучше записывали фактические значения. Если бы только мы действительно знали, в чем заключается сущность природы, чтобы мы могли назначить эти устройства их предназначенной задаче.Потом. Тогда мы увидим, что каждая точка данных попадает в точную аналитическую кривую. Ах, какой это был бы прекрасный мир. К сожалению, реальные данные никогда не выглядят в точности как идеальные кривые математики.

горизонтальная ось ( x ) вертикальная ось ( y )
независимая переменная зависимая переменная
объяснительная переменная переменная ответа
α
бесконечность пропорционально Греческая «альфа»

Также.

  • категориальные переменные — представлены разными символами в одной системе координат
  • скрытые переменные или скрытые переменные — источник некоторых экспериментальных ошибок

В поисках отношений.

Ваш друг — символ соразмерности.

независимый

Посмотрите на кривую справа. Независимо от того, какое значение принимает переменная x на кривой, переменная y остается неизменной.Это классический пример отношений под названием Независимость . Две величины независимы от , если одна не влияет на другую. Кривая представляет собой горизонтальную прямую линию, представленную уравнением общего вида…

y = к

, где k — постоянная.

Подходящим выводом из такой взаимосвязи будет то, что…

  • y не зависит от x .
  • y не зависит от x .
  • y постоянно для всех значений x .
  • y не зависит от x .
  • y и x независимы.

Например…

  • Ускорение свободного падения не зависит от массы. При отсутствии сопротивления воздуха тяжелые предметы падают так же быстро, как и легкие.
  • Период простого маятника не зависит от его массы. Простые маятники, которые идентичны во всех отношениях, за исключением веса груза на конце, будут качаться взад и вперед одинаковым образом.
  • Скорость света в вакууме c постоянна для всех значений v , скорости системы отсчета. Независимо от того, как я двигаюсь, скорость света в вакууме всегда остается неизменной.
  • На силу сухого трения не влияет площадь двух соприкасающихся поверхностей. Перетаскивание прямоугольника за его нижнюю или боковую часть приводит к той же силе трения.
  • Масса и местоположение не зависят. Если замороженная индейка имеет массу 10 кг в Нью-Йорке, она будет иметь массу 10 кг в Нью-Джерси, в Нью-Дели, на горе Эверест, в самолете, на орбите, на поверхности Луны, в Галактика Андромеды, в…Ну вы поняли.

Независимые отношения могут быть скучными и глубокими. Скучно, когда мы понимаем, что между двумя величинами нет связи. Глубоко, когда мы понимаем, что определили фундаментальный принцип или основополагающую концепцию, имеющую большое значение. Независимость скорости света и скорости системы отсчета — одно из этих утверждений. Скорость света — фундаментальная постоянная, одна из трех или четырех в физике.

прямой

А теперь взгляните на эту кривую.По мере увеличения переменной x увеличивается и переменная y . Но есть много кривых, которые это делают. Что делает его уникальным? Что отличает его от всех остальных кривых, которые, как говорят математики, монотонно увеличиваются на ? Ключ в форме — прямой негоризонтальной линии, проходящей через начало координат. С этой конкретной формой происходит нечто особенное.

Укажите точку на линии и запишите ее координаты. Удвойте значение переменной x и посмотрите, как отреагирует переменная y .Новое значение и также должно было увеличиться вдвое. Попробуйте снова. Только на этот раз сократите переменную x вдвое. Переменная y должна была отреагировать таким же образом; то есть его тоже нужно разрезать пополам. Что бы ни делал x , y делает то же самое. Это иллюстрирует простейшую, нетривиальную форму пропорциональности — прямая пропорциональность . Две величины прямо пропорциональны , если их соотношение является постоянным.

Преобразование этого определения дает нам уравнение в общем виде…

y = kx

, где k — постоянная пропорциональности, которую каждый должен понимать как наклон прямой в плоскости xy .

Подходящим выводом из такой взаимосвязи будет то, что…

  • y прямо пропорционально x .
  • y напрямую зависит от x
  • y и x прямо пропорциональны.
  • y x

Например,

  • Регулярная заработная плата прямо пропорциональна количеству отработанных часов. За сорок часов работы оплачивается в четыре раза больше, чем за десять часов работы.За один час работы оплачивается одна десятая десяти часов работы.
  • Вес напрямую зависит от массы. В три раза больше массы означает в три раза больше веса. Точно так же половина массы означает половину веса.
  • Расстояние и время прямо пропорциональны, когда скорость постоянна. За два часа езды вы уедете вдвое дальше, чем за час, но только на полчаса до четырех часов.

Внимание! Не думайте, что прямо пропорциональный означает «когда одно увеличивается, другое увеличивается» или «когда одно уменьшается, другое уменьшается».Это более специфические отношения, чем эти. Приведу противоположный пример. Рабочий, который работает 60 часов, работает в 1,5 раза больше, чем тот, кто затрачивает 40 часов.

Но рабочие, работающие более 40 часов в неделю в США, должны получать сверхурочную оплату, которая обычно в полтора раза превышает их обычную заработную плату. Таким образом, 60-часовой рабочий зарабатывает в 1,75 раза больше, чем 40-часовой рабочий.

1 × 40 обычных часов + 1,5 × 20 сверхурочных часов) = 1.75
1 × 40 в обычное время

Так как изменения не те…

1,75 ≠ 1,5

заработная плата в этом примере не прямо пропорциональна отработанному времени. Прямые отношения гораздо более специфичны, чем общее утверждение «когда одно увеличивается, другое увеличивается». Это больше похоже на то, что «когда один изменяется в определенном соотношении, другой изменяется в таком же соотношении».

обратный

Идем дальше.Взгляните на эту кривую. Эта форма называется прямоугольной гиперболой — гиперболой, поскольку она имеет асимптот (линии, к которым кривая приближается, но никогда не пересекает) и прямоугольной, поскольку асимптоты представляют собой оси x и y (которые расположены под прямым углом. для другого).

Некоторые говорят, что эта кривая показывает поведение, противоположное предыдущему; то есть при увеличении переменной x значение переменной y уменьшается, а при уменьшении переменной x увеличивается значение переменной y .Но, как и в случае с предыдущей кривой, происходит более конкретное изменение. Убедитесь сами. Выберите удобную точку на кривой. Обратите внимание на значения координат в этой точке. Теперь удвойте координату x и посмотрите, что произойдет с координатой y . Он разрезан пополам. Теперь попробуйте обратное. Укажите точку на кривой и разрежьте ее координату x пополам. Координата y теперь в два раза больше исходного значения. Трижды x , вы получите одну треть от y .Уменьшите x до одной четвертой и посмотрите, как y увеличится на четыре. Однако вы меняете одну из переменных, а другая изменяется на обратную величину. Это иллюстрирует другой простой вид пропорциональности — , обратная пропорциональность . Две величины называются обратно пропорциональными , если их произведение является константой.

xy = k

Преобразование этого определения дает нам уравнение общего вида…

, где k — константа пропорциональности.

Подходящим выводом из такой взаимосвязи будет то, что…

  • y обратно пропорционально x .
  • y изменяется обратно пропорционально x .
  • y и x обратно пропорциональны.
  • y ∝ 1/ x
  • y x −1

Например…

  • Время, необходимое для завершения работы, обратно пропорционально количеству рабочих.Больше рабочих означает меньше времени на выполнение работы. (В два раза больше означает половину времени.) Меньше рабочих означает больше времени. (Если появится только одна треть от нормального числа рабочих, работа займет в три раза больше.)
  • Объем массы газа обратно пропорционален действующему на него давлению. Поместите воздушный шар в барокамеру и увеличьте давление вдвое — воздушный шар сократится до половины своего первоначального объема. Поместите баллон в вакуумную камеру и уменьшите давление до одной десятой атмосферного — баллон расширится в десять раз в объеме (при условии, что он не сломается первым).

квадрат

Что у нас здесь? Почему это парабола с вершиной в начале координат. Вы получаете такую ​​кривую, когда одна величина пропорциональна квадрату другой. Поскольку эта парабола симметрична относительно оси y , это делает ее вертикальной параболой , и мы знаем, что квадрат получает горизонтальная переменная. Вот уравнение общего вида для такой кривой…

y = kx 2

Подходящим выводом из такой взаимосвязи будет то, что…

  • y пропорционально квадрату x .
  • y x 2

Например…

  • Расстояние, пройденное объектом, упавшим из состояния покоя, пропорционально квадрату времени. Сколько времени нужно, чтобы упасть на один метр? Удвойте это время, и вы упадете на 4 метра, утроите его, и вы упадете на 9 метров, и так далее.
  • Скорость, с которой электрическая цепь производит тепло, пропорциональна квадрату силы тока. Удвоение тока в тостере увеличивает ее тепловыделение в четыре раза.Уменьшите ток в процессоре компьютера до половины его предыдущего значения, и вы уменьшите тепловыделение до четверти от предыдущего значения.

корень квадратный

Вот еще одна парабола с вершиной в начале координат. Эта парабола наклонена на бок и симметрична относительно оси x . Для горизонтальной параболы , подобной этой, квадрат получает вертикальная переменная. Уравнение общего вида для такой кривой:…

y = k x

Подходящим выводом из такой взаимосвязи будет то, что…

  • y пропорционально квадратному корню из x .
  • y ∝ √ x
  • y x ½

Например…

  • Скорость пропорциональна квадратному корню из расстояния для свободно падающих объектов. Как быстро движется объект после падения на один метр? На четырёх метрах он будет иметь вдвое большую скорость; на девяти метрах — тройной; шестнадцать, четырехместные; и так далее.

Что нужно запомнить — квадратный корень не является явной функцией. Это не однозначно.Каждое число имеет два квадратных корня: положительный и отрицательный. Типичное программное обеспечение для построения кривой игнорирует отрицательный корень, поэтому я нарисовал только половину параболы на диаграмме выше. Еще кое-что нужно запомнить — область квадратного корня ограничена неотрицательными значениями. Это причудливый способ сказать, что вы не можете найти квадратный корень из отрицательного числа (то есть не без расширения вашего понятия «число»).

мощность

На данный момент у нас есть пять кривых и пять уравнений общего вида…

• независимый и = к
• прямой y = kx
• обратный y = k / x
• квадрат y = kx 2
• корень квадратный y = k x

У них есть три общих компонента…

x = независимая переменная (или независимая переменная)
y = зависимая переменная (или переменная ответа)
к = константа пропорциональности

и один изменяемый компонент…

n = степень независимой переменной

Мы могли бы переписать эти общие уравнения с двумя переменными, константой пропорциональности и такой степенью…

• независимый y = kx 0
• прямой y = kx 1
• обратный y = kx −1
• квадрат y = kx 2
• корень квадратный y = kx ½

Мы могли бы даже пойти дальше и написать уравнение общего вида для всего семейства уравнений…

y = kx n

Любые две переменные, которые связаны друг с другом уравнением этой формы, говорят, что между ними существует степень .

Обобщенные властные отношения
мощность общая форма описание внешний вид
0 и = к независимый горизонтальный, прямой
1 y = kx прямой негоризонтальная прямая, проходящая через начало координат
2 y = kx 2 квадрат вертикальная парабола с вершиной в начале координат
3 y = kx 3 куб
-1 y = k / x обратное прямоугольная гипербола
-2 y = k / x 2 обратный квадрат
−3 y = k / x 3 обратный куб
½ y = k x квадратный корень горизонтальная парабола с вершиной в начале координат
y = k x кубический корень

линейный

Описание: Комбинация постоянного и прямого.Фиксированная сумма добавляется (или вычитается) через равные промежутки времени.

Общий вид.

y = ax + b

Подходящим выводом из такой взаимосвязи будет то, что…

  • y линейно с x .
  • y изменяется линейно с x .
  • y является линейной функцией x .

Внешний вид: любая прямая линия, независимо от наклона или точки пересечения оси Y

Пример (ы): счета за коммунальные услуги (всегда есть плата за обслуживание)

квадратичный

Описание: Комбинация квадрата, прямого и постоянного.

Общая форма

y = ax 2 + bx + c

Подходящим выводом из такой взаимосвязи будет то, что…

  • y является квадратичным с x .
  • y изменяется квадратично с x .
  • y — квадратичная функция x .

Внешний вид: Вертикальная парабола на графике. Его вершина может быть где угодно.Его также можно было перевернуть вверх дном.

Пример (ы): расстояние при равномерном ускорении

полином

Описание: Комбинация постоянного, прямого, квадрата, куба,…. Продолжайте идти так далеко, как хотите.

Общий вид.

y = a + bx + cx 2 + dx 3 +…

Подходящим выводом из такой взаимосвязи будет то, что…

  • y может быть аппроксимируется полиномом n-го порядка x .
  • Полином n-го порядка x соответствовал y .

Внешний вид: любая непериодическая функция без асимптот

Пример (ы): Полиномиальные функции могут использоваться для аппроксимации многих непрерывных однозначных кривых

Обобщенные полиномиальные отношения
заказать общая форма название
0 и = а постоянная
1 y = a + bx линейный
2 y = a + bx + cx 2 квадратичный
3 y = a + bx + cx 2 + dx 3 куб.
4 y = a + bx + cx 2 + dx 3 + ex 4 квартика
5 y = a + bx + cx 2 + dx 3 + ex 4 + fx 5 квинтик
n y = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 06 03 a x 3 +… + a n x n Многочлен n-го порядка

экспоненциальный рост

Описание:

Общий вид.

y = an bx

Подходящим выводом из такой взаимосвязи будет то, что…

  • y увеличивается экспоненциально с x .
  • y экспоненциально растет с x .
  • y n x

Отношение последовательных итераций является постоянным. Количество умножается на фиксированное количество через равные промежутки времени.

Внешний вид: асимптотика с отрицательной осью x , за которой следует неконтролируемое расширение

Пример (ы): неограниченный рост населения, магия сложных процентов

экспоненциальный спад

Описание:

Общий вид.

y = an bx

Подходящим выводом из такой взаимосвязи будет то, что…

  • y уменьшается экспоненциально с x .
  • y экспоненциально затухает с x .
  • y n x

Отношение последовательных итераций является постоянным. Количество делится на фиксированное количество через равные промежутки времени.

Внешний вид: большое начальное значение, за которым следует резкий коллапс, асимптотически приближается к положительной оси x

Пример (ы): радиоактивный распад, разряд конденсатора, обесточивание катушки индуктивности

экспоненциальный подход

Описание:

Общий вид.

y = a (1 — n bx ) + c

Подходящим выводом из такой взаимосвязи будет то, что…

  • y приближается к окончательному значению экспоненциально .

Внешний вид: асимптотически приближается к горизонтальной прямой

Пример (ы): зарядка конденсатора, включение индуктора, обучение (половина студентов получает его, затем половина оставшихся студентов получает его, затем половина оставшихся студентов и так далее…)

периодический

Описание:

Общий вид.

y = a sin ( bx + c )

Подходящим выводом из такой взаимосвязи будет следующее:

  • y периодически меняется с x .
  • y является периодическим с x .

Внешний вид: Синусоидальная кривая — это типичный, а не единственный пример. Любая повторяющаяся кривая периодична.

Пример (ы): Любое ежедневное (суточное), ежемесячное (лунное), годовое (годовое, сезонное) или другое периодическое изменение.

9.1: Функция квадратного корня

В этом разделе мы обратим наше внимание на функцию квадратного корня, функцию, определяемую уравнением

\ [\ begin {массив} {c} {f (x) = \ sqrt {x}} \\ \ end {array} \]

Мы начинаем раздел с рисования графика функции, затем обращаемся к домену и диапазону. После этого мы исследуем ряд различных преобразований функции.

График функции квадратного корня

Давайте создадим таблицу точек, которая удовлетворяет уравнению функции, а затем нанесем точки из таблицы в декартовой системе координат на миллиметровую бумагу.Мы продолжим создавать и наносить точки, пока не убедимся в окончательной форме графика.

Мы знаем, что нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому мы не хотим помещать в нашу таблицу отрицательные значения x . Чтобы еще больше упростить наши вычисления, давайте использовать числа, квадратный корень которых легко вычисляется. Это напоминает идеальные квадраты, такие как 0, 1, 4, 9 и так далее. Мы поместили эти числа как значения x в таблицу на рис. 1 (рис. 1) (b), а затем вычислили квадратный корень из каждого значения.На рис. 1 (рис. 1) (a) каждая точка из таблицы изображена сплошной точкой. Если мы продолжим добавлять точки в таблицу, строить их, график в конечном итоге заполнится и примет форму сплошной кривой, показанной на рис. 1 (c).

Рис. 1.} \ text {Создание графика} f (x) = \ sqrt {x}} \\ \ nonumber \ end {array} \]

Подход точечного построения, используемый для построения графика \ (f (x ) = \ sqrt {x} \) в Рисунок 1 — это проверенная и знакомая процедура. Однако более сложный подход включает теорию инверсий, развитую в предыдущей главе.2 \), \ (x \ ge 0 \), что изображено на рис. 2 (c). Обратите внимание на точное совпадение с графиком функции квадратного корня на рис. 1 (рис. 1) (c).

Последовательность графиков на рис. 2 также помогает нам определить область определения и диапазон функции квадратного корня.

  • В рис. 2 (a) парабола открывается наружу неограниченно, как влево, так и вправо. Следовательно, доменом является \ (D_ {f} = (- \ infty, \ infty) \) или все действительные числа. Кроме того, граф имеет вершину в начале координат и неограниченно открывается вверх, поэтому диапазон равен \ (R_ {f} = [0, \ infty) \).{−1}} = [0, \ infty) \).

Конечно, мы также можем определить область и диапазон функции квадратного корня, спроецировав все точки на графике на оси x и y , как показано на Рисунках 3 (a) и ( б) соответственно.

Рис. 3.} \ text {Спроецируйте по осям, чтобы найти домен и диапазон}} \\ \ nonumber \ end {array} \]

Некоторые могут возразить против диапазона, спрашивая: «Откуда мы знаем, что график изображение функции квадратного корня в Рис. 3 (b) растет бесконечно? » Опять же, ответ кроется в последовательности графиков на рис. 2 .2 \), \ (x \ ge 0 \), открывается бесконечно вправо по мере того, как график уходит в бесконечность. Следовательно, после отражения этого графика через линию y = x результирующий график должен бесконечно подниматься вверх при движении вправо. Таким образом, диапазон функции квадратного корня равен \ ([0, \ infty) \).

Переводы

Если мы сдвинем график \ (y = \ sqrt {x} \) вправо и влево или вверх и вниз, это затронет домен и / или диапазон.

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Нарисуйте график \ (f (x) = \ sqrt {x − 2} \).Используйте свой график, чтобы определить домен и диапазон.

Мы знаем, что основное уравнение \ (y = \ sqrt {x} \) имеет график, показанный на Рисунках 1 (c). Если мы заменим x на x 2, основное уравнение \ (y = \ sqrt {x} \) станет \ (f (x) = \ sqrt {x − 2} \). Из нашей предыдущей работы с геометрическими преобразованиями мы знаем, что это сдвинет график на две единицы вправо, как показано на рис. 4 , (a) и (b).

Рисунок 4. Чтобы нарисовать график \ (f (x) = \ sqrt {x − 2} \), сдвиньте график \ (y = \ sqrt {x} \) на две единицы вправо.

Чтобы найти область, мы проецируем каждую точку графика f на ось x, как показано на рис. 4 (a). Обратите внимание, что все точки справа от 2 или включая 2 заштрихованы на оси абсцисс. Следовательно, область определения f равна

Домен = \ ([2, \ infty) \) = {x: \ (x \ ge 0 \)}

Поскольку сдвига в вертикальном направлении не произошло, диапазон остается прежним. Чтобы найти диапазон, мы проецируем каждую точку на графике на ось Y, как показано на рисунке Рисунок 4 (b).Обратите внимание, что все точки, равные нулю и выше, заштрихованы на оси ординат. Таким образом, диапазон f равен

Диапазон = \ ([0, \ infty) \) = {y: \ (y \ ge 0 \)}.

Мы можем найти область определения этой функции алгебраически, исследуя ее определяющее уравнение \ (f (x) = \ sqrt {x − 2} \). Мы понимаем, что нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, выражение под радикалом должно быть неотрицательным (положительным или нулевым). То есть

\ (х — 2 \ ge 0 \).

Решение этого неравенства для x ,

\ (х \ ge 2 \).

Таким образом, область определения f — это Domain = \ ([2, \ infty) \), что соответствует графическому решению, приведенному выше.

Давайте посмотрим на другой пример.

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Нарисуйте график \ (f (x) = \ sqrt {x + 4} + 2 \). Используйте свой график, чтобы определить домен и диапазон f.

Опять же, мы знаем, что основное уравнение \ (y = \ sqrt {x} \) имеет график, показанный на рис. 1 (c). Если мы заменим x на x +4, основное уравнение \ (y = \ sqrt {x} \) станет \ (y = \ sqrt {x + 4} \).Из нашей предыдущей работы с геометрическими преобразованиями мы знаем, что это сдвинет график \ (y = \ sqrt {x} \) на четыре единицы влево, как показано на рис. 5 (a).

Если мы знаем, что прибавляем 2 к уравнению \ (y = \ sqrt {x + 4} \), чтобы получить уравнение \ (y = \ sqrt {x + 4} + 2 \), это сдвинет график \ ( y = \ sqrt {x + 4} \) на две единицы вверх, как показано на рис. 5 (b).

Рис. 5. Перевод исходного уравнения \ (y = \ sqrt {x} \) для получения графика \ (y = \ sqrt {x + 4} + 2 \)

. Идентификация области \ (f (x ) = \ sqrt {x + 4} + 2 \), мы проецируем все точки на графике f на ось x, как показано на рис. 6 (a).Обратите внимание, что все точки справа от 4 или включая его заштрихованы на оси x . Таким образом, область определения \ (f (x) = \ sqrt {x + 4} + 2 \) равна

Домен = \ ([- 4, \ infty) \) = {x: \ (x \ ge −4 \)}

Рисунок 6. Спроецируйте точки f на оси, чтобы определить область и диапазон

. Аналогичным образом, чтобы найти диапазон f , спроецируйте все точки на графике f на ось y , как показано в Рисунок 6 (б). Обратите внимание, что все точки на оси y больше или включают 2 затенены.Следовательно, диапазон f равен

Диапазон = \ ([2, \ infty) \) = {y: \ (y \ ge 2 \)}

Мы также можем найти область определения f алгебраически, исследуя уравнение \ (f (x) = \ sqrt {x + 4} + 2 \). Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому выражение под корнем должно быть неотрицательным (нулевым или положительным). Следовательно,

\ (х + 4 \ ge 0 \).

Решение этого неравенства для x ,

\ (х \ ge −4 \).

Таким образом, область определения f — это Domain = \ ([- 4, \ infty) \), что соответствует графическому решению, представленному выше.

Отражения

Если мы начнем с основного уравнения \ (y = \ sqrt {x} \), а затем заменим x на −x, тогда график полученного уравнения \ (y = \ sqrt {−x} \) будет захвачен путем отражения график \ (y = \ sqrt {x} \) (см. рис. 1 (c)) по горизонтали поперек оси y. График \ (y = \ sqrt {−x} \) показан на рис. 7 (a).

Точно так же график \ (y = — \ sqrt {x} \) будет вертикальным отражением графика \ (y = \ sqrt {x} \) поперек оси x, как показано на Рис. 7 (б).

Рис. 7. Отражение графика \ (y = \ sqrt {x} \) по осям x и y.

Чаще всего вам будет предложено выполнить отражение и перевод.

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Нарисуйте график \ (f (x) = \ sqrt {4− x} \). Используйте полученный график, чтобы определить домен и диапазон f.

Сначала перепишите уравнение \ (f (x) = \ sqrt {4− x} \) следующим образом:

\ (f (x) = \ sqrt {- (x − 4)} \)

Определение

Первые отражения .Обычно более интуитивно понятно выполнять размышления перед переводом.

Помня об этом, мы сначала нарисуем график \ (f (x) = \ sqrt {−x} \), который является отражением графика \ (f (x) = \ sqrt {x} \ ) по оси y . Это показано на Рис. 8 (a).

Теперь в \ (f (x) = \ sqrt {−x} \) замените x на x 4, чтобы получить \ (f (x) = \ sqrt {- (x − 4)} \). Это сдвинет график \ (f (x) = \ sqrt {−x} \) на четыре единицы вправо, как показано на рис. 8 , (b).

Рисунок 8. Отражение с последующим переводом.

Чтобы найти область определения функции \ (f (x) = \ sqrt {- (x − 4)} \) или, что эквивалентно, \ (f (x) = \ sqrt {4 − x} \), спроецируйте каждый точку на графике f на оси x , как показано на рис. 9 (a). Обратите внимание, что все действительные числа, меньшие или равные 4, заштрихованы на оси x . Следовательно, домен f

Домен = \ ((- \ infty, 4] \) = {x: \ (x \ le 4 \)}.

Аналогичным образом, чтобы получить диапазон f, спроецируйте каждую точку на графике f на их ось, как показано на рис. 9 (b).Обратите внимание, что все действительные числа, большие или равные нулю, заштрихованы на оси ординат. Следовательно, диапазон f составляет

Диапазон = \ ([0, \ infty) \) = {x: \ (x \ ge 0 \)}.

Мы также можем найти область определения функции f , исследуя уравнение \ (f (x) = \ sqrt {4 − x} \). Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому выражение под корнем должно быть неотрицательным (нулевым или положительным). Следовательно,

\ (4 — х \ ge 0 \).

Рисунок 9. Определение области и диапазона \ (f (x) = \ sqrt {4 − x} \)

Решите это последнее неравенство для x .Сначала вычтите 4 из обеих частей неравенства, затем умножьте обе части полученного неравенства на 1. Конечно, умножение на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположное.

\ (- х \ ge −4 \)

\ (х \ ле 4 \)

Таким образом, область определения f равна {x: \ (x \ le 4 \)}. В обозначении интервалов Domain = \ ((- \ infty, 4] \). Это хорошо согласуется с приведенным выше графическим результатом.

Чаще всего требуется сочетание вашего графического калькулятора и небольших алгебраических манипуляций, чтобы определить область определения функции квадратного корня.

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Нарисуйте график \ (f (x) = \ sqrt {5−2x} \). Используйте график и алгебраическую технику, чтобы определить область определения функции.

Загрузите функцию в Y1 в меню Y = вашего калькулятора, как показано на рис. 10 (a). Выберите 6: ZStandard в меню ZOOM, чтобы получить график, показанный на Рис. 10 (b).

Рисунок 10. Построение графика f (x) = \ sqrt {5−2x} на графическом калькуляторе.

Внимательно посмотрите на график , рис. 10, (b) и обратите внимание, что трудно определить, идет ли график полностью вниз, чтобы «коснуться» оси x около \ (x \ приблизительно 2.5 \). Однако наш предыдущий опыт использования функции извлечения квадратного корня заставляет нас думать, что это всего лишь артефакт недостаточного разрешения калькулятора, который не позволяет графику «касаться» оси x в точке \ (x \ приблизительно 2,5 \).

Алгебраический подход разрешит проблему. Мы можем определить область определения f, исследуя уравнение \ (f (x) = \ sqrt {5 — 2x} \). Следовательно, Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому выражение под радикалом должно быть неотрицательным (нулевым или положительным).

\ (5 — 2x \ ge 0 \).

Решите это последнее неравенство для x . Сначала вычтем 5 из обеих частей неравенства.

\ (- 2x \ ge −5 \).

Затем разделите обе части этого последнего неравенства на −2. Помните, что мы должны обратить неравенство в тот момент, когда делим на отрицательное число.

\ (\ frac {−2x} {- 2} \ le \ frac {−5} {- 2} \).

\ (х \ le \ frac {5} {2} \).

Таким образом, область определения f равна {x: \ (x \ le \ frac {5} {2} \)}. В интервальной записи Домен = \ ((- \ infty, \ frac {5} {2}] \).Это хорошо согласуется с приведенным выше графическим результатом.

Дальнейшее самоанализ показывает, что этот аргумент также решает вопрос о том, касается ли граф оси x в точке \ (x = \ frac {5} {2} \). Если вас это не убедило, замените \ (x = \ frac {5} {2} \) на \ (f (x) = \ sqrt {5−2x} \) , чтобы увидеть

\ (f (\ frac {5} {2}) = \ sqrt {5-2 (\ frac {5} {2})} = \ sqrt {0} = 0 \).

Таким образом, график f «касается» оси x в точке \ ((\ frac {5} {2}, 0) \).

В упражнении Exercise 1-10 выполните все следующие задачи:

  1. Установите систему координат на миллиметровой бумаге. Обозначьте и масштабируйте каждую ось.
  2. Заполните таблицу баллов по данной функции. Постройте каждую точку в своей системе координат, а затем используйте их, чтобы нарисовать график данной функции.
  3. Используйте карандаши разных цветов, чтобы спроецировать все точки на оси x и y , чтобы определить область и диапазон.Используйте интервальную нотацию для описания области данной функции.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

\ (f (x) = — \ sqrt {x} \)

Ответ

х

0

1

4

9

ф (х)

0

1

2

3

Отметьте точки в таблице и используйте их для построения графика.

Спроецируйте все точки на графике на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([0, \ infty) \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ((- \ infty, 0] \).

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

\ (f (x) = \ sqrt {−x} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x + 2} \)

Ответ

x

2

1

2

7

f ( x )

0

1

2

3

Отметьте точки в таблице и используйте их для построения графика.

Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([ 2, \ infty) \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ([0, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

\ (f (x) = \ sqrt {5 − x} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x} +2 \)

Ответ

Нанесите точки в таблицу и используйте их для построения графика f .

Спроецируйте все точки на графике на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([0, \ infty) \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ([2, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x} −1 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x + 3} +2 \)

Ответ

х

3

2

1

6

ф (х)

2

3

4

5

Постройте точки в таблице и используйте их для построения графика f .

Спроецируйте все точки на графике на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([ 3, \ infty) \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ([2, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x − 1} +3 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

\ (f (x) = \ sqrt {3 − x} \)

Ответ

x

6

1

2

3

f ( x )

3

2

1

0

Постройте точки в таблице и используйте их для построения графика f .

Спроецируйте все точки на графике на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ (( \ infty, 3] \). Спроецируйте все точки на графике на ось y, чтобы определить диапазон: Диапазон = \ ([0, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

\ (f (x) = — \ sqrt {x + 3} \)

В Exercises 11 20 выполните каждую из следующих задач.

  1. Установите систему координат на миллиметровой бумаге.Обозначьте и масштабируйте каждую ось. Не забудьте нарисовать все линии линейкой.
  2. Используйте геометрические преобразования, чтобы нарисовать график данной функции в вашей системе координат без использования графического калькулятора. Примечание. Вы можете проверить свое решение с помощью калькулятора, но вы сможете построить график без использования калькулятора.
  3. Используйте карандаши разных цветов, чтобы спроецировать точки на графике функции на оси x и y .Используйте обозначение интервала для описания области и диапазона функции.

Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x} +3 \)

Ответ

Сначала постройте график \ (y = \ sqrt {x} \), как показано на (a). Затем добавьте 3, чтобы получить уравнение \ (y = \ sqrt {x} + 3 \). Это сдвинет график \ (y = \ sqrt {x} \) вверх на 3 единицы, как показано в (b).

Спроецируйте все точки на графике на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([0, \ infty) \).Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ([3, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x + 3} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x − 2} \)

Ответ

Сначала постройте график \ (y = \ sqrt {x} \), как показано на (a). Затем замените x на x — 2, чтобы получить уравнение \ (y = \ sqrt {x − 2} \). Это сдвинет график \ (y = \ sqrt {x} \) вправо на 2 единицы, как показано в (b).

Спроецируйте все точки на графике на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([2, \ infty) \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ([0, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {14} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x} −2 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {15} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x + 5} +1 \)

Ответ

Сначала постройте график \ (y = \ sqrt {x} \), как показано на (a).Затем замените x на x + 5, чтобы получить уравнение \ (y = \ sqrt {x + 5} \). Затем добавьте 1, чтобы получить уравнение \ (f (x) = \ sqrt {x + 5} +1 \). Это сдвинет график \ (y = \ sqrt {x} \) влево на 5 единиц, а затем вверх на 1 единицу, как показано в (b).

Спроецируйте все точки на графике на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([- 5, \ infty) \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ([1, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {16} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x − 2} −1 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {17} \)

\ (y = — \ sqrt {x + 4} \)

Ответ

Сначала постройте график \ (y = \ sqrt {x} \), как показано на (a).Затем инвертируйте, чтобы получить \ (y = — \ sqrt {x} \). Это отразит график \ (y = \ sqrt {x} \) по оси x, как показано в (b). Наконец, замените x на x + 4, чтобы получить уравнение \ (y = — \ sqrt {x + 4} \). Это сдвинет график \ (y = — \ sqrt {x} \) на четыре единицы влево, как показано в (c).

Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([- 4, \ infty) \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ((- \ infty, 0] \).

Упражнение \ (\ PageIndex {18} \)

\ (f (x) = — \ sqrt {x} +4 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {19} \)

\ (f (x) = — \ sqrt {x} +3 \)

Ответ

Сначала постройте график \ (y = \ sqrt {x} \), как показано на (a). Затем инвертируйте, чтобы получить \ (y = — \ sqrt {x} \). Это отразит график \ (y = \ sqrt {x} \) по оси x, как показано в (b). Наконец, добавьте 3, чтобы получить уравнение \ (y = — \ sqrt {x} +3 \).Это сдвинет график \ (y = — \ sqrt {x} \) на три единицы вверх, как показано в (c).

Спроецируйте все точки на графике на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ([0, \ infty) \). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ((- \ infty, 3] \).

Упражнение \ (\ PageIndex {20} \)

\ (f (x) = — \ sqrt {x + 3} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {21} \)

Чтобы построить график функции \ (f (x) = \ sqrt {3 − x} \), выполните последовательно каждый из следующих шагов без помощи калькулятора.

  1. Настройте систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {x} \). Обозначьте график соответствующим уравнением.
  2. Установите вторую систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {−x} \). Обозначьте график соответствующим уравнением.
  3. Установите третью систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {- (x — 3)} \). Обозначьте график соответствующим уравнением. Это график \ (y = \ sqrt {3 − x} \). Используйте обозначение интервала, чтобы указать домен и диапазон этой функции.
Ответ

Сначала постройте график \ (y = \ sqrt {x} \), как показано на (a).Затем замените x на x , чтобы получить уравнение \ (y = \ sqrt {−x} \). Это будет отражать график \ (y = \ sqrt {x} \) по оси y , как показано на (b). Наконец, замените x на x 3, чтобы получить уравнение \ ( y = \ sqrt { ( x 3)} \). Это сдвинет график \ (y = \ sqrt {−x} \) на три единицы вправо, как показано в (c).

Спроецируйте все точки на графике на ось x, чтобы определить домен: Domain = \ ((- \ infty, 3] \).Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \ ([0, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {22} \)

Чтобы построить график функции \ (f (x) = \ sqrt {−x − 3} \), последовательно выполните каждый из следующих шагов.

  1. Настройте систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {x} \). Обозначьте график соответствующим уравнением.
  2. Установите вторую систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {−x} \).Обозначьте график соответствующим уравнением.
  3. Установите третью систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {- (x + 3)} \). Обозначьте график соответствующим уравнением. Это график \ (y = \ sqrt {−x − 3} \). Используйте обозначение интервала, чтобы указать домен и диапазон этой функции.

Упражнение \ (\ PageIndex {23} \)

Чтобы построить график функции \ (f (x) = \ sqrt {−x − 3} \), выполните последовательно каждый из следующих шагов без помощи калькулятора.

  1. Настройте систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {x} \).Обозначьте график соответствующим уравнением.
  2. Установите вторую систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {−x} \). Обозначьте график соответствующим уравнением.
  3. Установите третью систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {- (x + 1)} \). Обозначьте график соответствующим уравнением. Это график \ (y = \ sqrt {−x − 1} \). Используйте обозначение интервала, чтобы указать домен и диапазон этой функции.
Ответ

Сначала постройте график \ (y = \ sqrt {x} \), как показано на (a).Затем замените x на −x, чтобы получить уравнение \ (y = \ sqrt {−x} \). Это будет отражать график \ (y = \ sqrt {x} \) по оси y, как показано в (b). Наконец, замените x на x + 1, чтобы получить уравнение \ (y = \ sqrt {- (x + 1)} \). Это сдвинет график \ (y = \ sqrt {−x} \) на одну единицу влево, как показано в (c).

Спроецируйте все точки на графике на ось x, чтобы определить область: Domain = \ ((- \ infty, −1] \). Спроецируйте все точки на графике на ось y, чтобы определить диапазон: Range = \ ([0, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {24} \)

Чтобы построить график функции \ (f (x) = \ sqrt {1 − x} \), последовательно выполните каждый из следующих шагов.

  1. Настройте систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {x} \). Обозначьте график соответствующим уравнением.
  2. Установите вторую систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {−x} \). Обозначьте график соответствующим уравнением.
  3. Установите третью систему координат и нарисуйте график \ (y = \ sqrt {- (x − 1)} \).Обозначьте график соответствующим уравнением. Это график \ (y = \ sqrt {1 − x} \). Используйте обозначение интервала, чтобы указать домен и диапазон этой функции.

В упражнениях 25 28 выполните каждую из следующих задач.

  1. Постройте график данной функции с помощью графического калькулятора. Скопируйте изображение из окна просмотра на свою домашнюю работу. Обозначьте и масштабируйте каждую ось с помощью xmin, xmax, ymin и ymax. Обозначьте свой график соответствующим уравнением.Используйте график, чтобы определить область определения функции и описать область с помощью интервальной записи.
  2. Используйте чисто алгебраический подход, чтобы определить область определения данной функции. Для описания результата используйте обозначение интервалов. Согласуется ли он с графическим результатом из части 1?

Упражнение \ (\ PageIndex {25} \)

\ (f (x) = \ sqrt {2x + 7} \)

Ответ

Мы используем графический калькулятор, чтобы построить следующий график \ (f (x) = \ sqrt {2x + 7} \)

По нашим оценкам, домен будет состоять из всех действительных чисел справа от примерно 3 . 5. Чтобы найти алгебраическое решение, обратите внимание, что вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, выражение под корнем в \ (f (x) = \ sqrt {2x + 7} \) должно быть больше или равно нулю.

\ (2x + 7 \ ge 0 \)

\ (2x \ ge −7 \)

\ (x \ ge — \ frac {7} {2} \)

Следовательно, домен равен \ ([- \ frac {7} {2}, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {26} \)

\ (f (x) = \ sqrt {7−2x} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {27} \)

\ (f (x) = \ sqrt {12−4x} \)

Ответ

Мы используем графический калькулятор, чтобы построить следующий график \ (f (x) = \ sqrt {12−4x} \).

По нашим оценкам, область будет состоять из всех действительных чисел справа от приблизительно 3. Чтобы найти алгебраическое решение, обратите внимание, что вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, выражение под корнем в \ (f (x) = \ sqrt {12−4x} \) должно быть больше или равно нулю.

\ (12−4x \ ge 0 \)

\ (- 4x \ ge −12 \)

\ (х \ ле 3 \)

Следовательно, домен равен \ ((- \ infty, 3] \).

Упражнение \ (\ PageIndex {28} \)

\ (f (x) = \ sqrt {12 + 2x} \)

В упражнениях 29 40 найдите область определения заданной функции алгебраически.

Упражнение \ (\ PageIndex {29} \)

\ (f (x) = \ sqrt {2x + 9} \)

Ответ

Четный корень отрицательного числа не считается действительным числом. Таким образом, 2x + 9 должно быть больше или равно нулю. Поскольку \ (2x + 9 \ ge 0 \) означает, что \ (x \ ge — \ frac {9} {2} \), область представляет собой интервал \ ([- \ frac {9} {2}, \ infty ) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {30} \)

\ (f (x) = \ sqrt {−3x + 3} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {31} \)

\ (f (x) = \ sqrt {−8x − 3} \)

Ответ

Четный корень отрицательного числа не считается действительным числом.Таким образом, −8x − 3 должно быть больше или равно нулю. Поскольку \ (- 8x − 3 \ ge 0 \) влечет, что \ (x \ le — \ frac {3} {8} \), область представляет собой интервал \ ((- \ infty, — \ frac {3} { 8}] \).

Упражнение \ (\ PageIndex {32} \)

\ (f (x) = \ sqrt {−3x + 6} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {33} \)

\ (f (x) = \ sqrt {−6x − 8} \)

Ответ

Четный корень отрицательного числа не считается действительным числом. Таким образом, −6x − 8 должно быть больше или равно нулю.Поскольку \ (- 6x − 8 \ ge 0 \) влечет, что \ (x \ le — \ frac {4} {3} \), область представляет собой интервал \ ((- \ infty, \ frac {4} {3 }] \).

Упражнение \ (\ PageIndex {34} \)

\ (f (x) = \ sqrt {8x − 6} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {35} \)

\ (f (x) = \ sqrt {−7x + 2} \)

Ответ

Четный корень отрицательного числа не считается действительным числом. Таким образом, −7x + 2 должно быть больше или равно нулю. Поскольку \ (- 7x + 2 \ ge 0 \) означает, что \ (x \ le \ frac {2} {7} \), область представляет собой интервал \ ((- \ infty, \ frac {2} {7} ] \).

Упражнение \ (\ PageIndex {36} \)

\ (f (x) = \ sqrt {8x − 3} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {37} \)

\ (f (x) = \ sqrt {6x + 3} \)

Ответ

Четный корень отрицательного числа не считается действительным числом. Таким образом, 6x + 3 должно быть больше или равно нулю. Поскольку \ (6x + 3 \ ge 0 \) означает, что \ (x \ ge — \ frac {1} {2} \), область представляет собой интервал \ ([- \ frac {1} {2}, \ infty ) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {38} \)

\ (f (x) = \ sqrt {x − 5} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {39} \)

\ (f (x) = \ sqrt {−7x − 8} \)

Ответ

Четный корень отрицательного числа не считается действительным числом.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.