График функции это: 404 — HTTP not found —

Содержание

График функции — это… Что такое График функции?

График функции

Wikimedia Foundation.
2010.

Смотреть что такое «График функции» в других словарях:

  • график функции — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] график функции 1. Один из основных (наряду с таблицей, формулой, алгоритмом) способов задания функции: множество точек (x,y) плоскости с прямоугольными координатами, где x… …   Справочник технического переводчика

  • График функции — [ graph of a function ] — 1. Один из основных (наряду с таблицей,  формулой, алгоритмом) способов задания функции: множество точек (x,y) плоскости  с прямоугольными координатами. , где x — любая точка области определения этой функции,… …   Экономико-математический словарь

  • график функции — ▲ изображение ↑ графический, функция (математическая) график изображение функции при помощи линии на плоскости. … грамма. номограмма. кардиограмма. эхограмма. диаграмма наглядное графическое изображение соотношения каких л. величин. круговая… …   Идеографический словарь русского языка

  • график — 1. ГРАФИК, а; м. [от греч. graphikos начерченный] 1. Чертёж, диаграмма и т.п., изображающие с помощью линий количественные показатели развития, состояния и т.п. чего л. Г. изменения атмосферного давления. Г. заболеваемости гриппом. Г. проведённых …   Энциклопедический словарь

  • Функции Бесселя — в математике  семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где   произвольное вещественное число, называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя  функции целых… …   Википедия

  • ГРАФИК — (от греч. graphikos начертанный) 1) чертеж, применяемый для наглядного изображения зависимости какой либо величины (напр., пути) от другой (напр., времени), т. е. линия, дающая наглядное представление о характере изменения функции. График функции …   Большой Энциклопедический словарь

  • График —         геометрическое изображение функциональной зависимости при помощи линии на плоскости. Например, на рис. 1 изображен Г. изменения атмосферного давления со временем. Г. применяют как для наглядного изображения функциональных зависимостей и… …   Большая советская энциклопедия

  • График — График: График функции  множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты соответствующими значениями функции . График  деятель искусств, занимающийся графикой. График базальной… …   Википедия

  • График (значения) — График График функции График Деятель искусств, занимающийся графикой График базальной температуры График ганта он же Диаграмма Ганта График Найквиста АФЧХ Сетевой график График движения поездов …   Википедия

  • График (знач. ) — График График функции График Деятель искусств, занимающийся графикой График базальной температуры График ганта он же Диаграмма Ганта График Найквиста АФЧХ Сетевой график График движения поездов …   Википедия

«Джоконда» как график функции, или Построение функции со всюду плотным графиком

Л. Штейнгарц,
доктор педагогики из Иерусалима (Израиль)
«Квант» №3, 2012

В математике давно известны функции с удивительным свойством: их график всюду плотен на плоскости. Такие функции часто называют «странными», «экзотическими», «дикими» и т. п. Они хорошо известны специалистам-математикам, но почти не знакомы «широкой публике», например школьникам. Ведь те построения, которые приводятся в литературе (см., например, список в конце статьи), обычно громоздки и требуют серьезной математической подготовки.

Мне удалось найти совершенно элементарное доказательство существования таких функций, с которым я хочу вас познакомить.

Напомню вначале, что множество на плоскости называется всюду плотным, если в любом круге (даже очень маленьком) обязательно найдется хотя бы одна точка из этого множества. Например, множество всех точек плоскости, у которых обе координаты рациональны, — это множество обозначается  — как нетрудно понять, является всюду плотным. Но это множество не является графиком функции. Ведь для функции необходимо, чтобы каждому значению переменной х соответствовало единственное значение переменной у.

Обещанное доказательство довольно абстрактно, и, чтобы оно было более прозрачным для читателей, рассмотрим сначала такую картинку (рис. 1).

Перед нами самая известная картина великого Леонардо да Винчи — «Джоконда». Правда, изображенная при помощи старой вычислительной машины. Такие картинки было очень модно изготавливать в конце прошлого века. Впрочем, и сейчас любая картинка на компьютере примерно так и составляется — из точек.

Портрет Джоконды состоит из громадного количества точек. Сколько этих точек — мы не знаем. Может, миллион. Может, намного больше. Не важно. Главное, что их конечное количество. Рассмотрим множество всех этих точек как некую геометрическую фигуру. Вспомните школьное определение, что геометрическая фигура — это любое множество точек. И зададим следующий вопрос:

является ли эта фигура графиком некоторой (однозначной) функции?

Разумеется, мы предполагаем, что точки тут математические — они не имеют размера (в отличие от компьютерных пикселей, которые имеют хоть и очень маленький, но все же ненулевой размер).

Для начала ответьте на другой вопрос (ответ не такой уж тривиальный):

является ли полуокружность графиком функции?

А это — как посмотреть! Если так, как показано на рисунке 2, то это график функции (почему?).

А если так, как изображено на рисунке 3, то нет (опять-таки, почему?).

И снова я задаю свой предыдущий вопрос:

является ли «Джоконда» графиком некоторой функции?

Отвечаю. Оказывается, можно так подобрать систему координат (т. е. так выбрать оси x и у), что множество всех точек, образующих портрет Джоконды, окажется графиком некоторой функции. Докажем это.

Обозначим наше множество буквой G — в честь Джоконды. Будем считать, что оно расположено на некоторой числовой плоскости с числовыми осями x и у.

Проведем все прямые, соединяющие попарно все точки нашего множества G. Обозначим множество всех полученных прямых через . Так как множество G конечно, то ясно, что и множество также конечно (объясните, почему).

Каждая прямая из этого множества будет образовывать некоторый угол с осью х (для определенности, можно брать меньший угол, хотя это и не принципиально). Таких углов будет тоже конечное множество. Следовательно, на плоскости непременно найдется некоторая прямая, которая не будет совпадать ни с одной из прямых множества  и не будет параллельна ни одной из этих прямых (почему?).

Примем эту прямую за новую ось ординат. А любую прямую, ей перпендикулярную, за новую ось абсцисс. Можно сказать и так: посмотрим на портрет Джоконды под другим углом. Но не под каким угодно углом, а так, как было выбрано. Или, что то же самое, просто повернем картинку на нужный угол. Мы увидим примерно то, что изображено на рисунке 4.

При этом на каждой прямой, которая параллельна новой оси ординат, будет лежать не более одной точки из множества G, т. е. не более одной точки из портрета Джоконды. А это и означает, что множество точек, образующих портрет Джоконды, превратилось в график некоторой (однозначной!) функции. Ведь каждому значению х (из соответствующей области определения) соответствует единственное значение у. Это следует из нашего построения. И хотя мы не можем указать, какому числу что именно соответствует, это всё же не мешает тому, что будет получен график функции.

Впрочем, при необходимости можно найти формулу даже непрерывной функции, график которой проходит через все точки, принадлежащие портрету Джоконды. Для этого достаточно воспользоваться формулой Лагранжа:

Здесь (x1; у1), (x2; у2), (x3; у3), … — это и есть точки «Джоконды», занумерованные в каком-то порядке. Несмотря на довольно пугающий вид, понять эту формулу совсем несложно (попробуйте!). Но об этом как-нибудь в другой раз. Тем более что, нарисовав график такой функции, мы уже вряд ли разглядим в нем Джоконду. Слишком много будет «лишних» линий, соединяющих точки Джоконды в непрерывный график. Так что обойдемся лучше без непрерывных функций и двинемся дальше.

Я надеюсь, что портрет Джоконды поможет более четко представить построение функции, график которой всюду плотен на плоскости. Ведь при этом работает практически та же идея.

Итак, построим теперь нашу «странную» функцию.

Первый способ. Проведем какую-нибудь прямую вида у = mx + n, которая образует с положительным направлением оси абсцисс угол величиной 60°. Тогда m = tg60° = √3. Докажем, что на такой прямой может лежать не более одной точки с рациональными координатами.

Действительно, предположим, что этой прямой принадлежат две различные точки с рациональными координатами:

A = (x1, у1) и В = (x2, у2).

Тогда

Вычитая второе уравнение из первого, получим

у1 – у2 = m(x1 – x2).

Значит (учитывая, что (x1 ≠ x2),

Но это невозможно, так как √3 — число иррациональное. Поэтому на каждой прямой вида у = x√3 + n лежит не более одной точки с рациональными координатами.

А теперь — главная идея (взгляд «с другой стороны»). Оставим множество  «неподвижным» и повернем оси x и у вокруг начала координат на 60° (например, против часовой стрелки). Тогда рассматриваемое нами множество , как по волшебству, тут же превратится в график некоторой функции.

Если мы хотим, чтобы полученная нами функция была определена для всех действительных чисел, достаточно для остальных точек принять ее значение равным, например, нулю.

Таким образом, получим функцию, определенную на всей числовой прямой, график которой, очевидно, всюду плотен на плоскости.

Второй способ. Этот способ еще короче. Но он будет понятен лишь тем, кто знаком с начальными понятиями теории множеств. Он доступен, например, математикам-первокурсникам или ученикам математических классов.

Рассмотрим снова множество всех точек плоскости, у которых обе координаты рациональны. Проведем все прямые, которые соединяют попарно точки множества . Как известно, множество  (как и множество ) является счетным. Поэтому и множество P всех таких прямых также будет счетным (как счетное объединение счетных множеств). Но так как множество вообще всех прямых является несчетным (рассмотрите хотя бы все прямые вида у = mx, где m — действительное число), то существует прямая, не параллельная и не совпадающая ни с одной прямой из множества P. Примем эту прямую за новую ось ординат, а любую прямую, ей перпендикулярную, — за ось абсцисс. Дальнейшее почти очевидно.

В заключение предлагаем решить головоломку, которую я придумал для младших школьников, но которая, как мне кажется, хорошо иллюстрирует главную идею изложенного построения «странной» функции.

Головоломка с двумя бокалами. Перед вами два бокала, построенные при помощи спичек (рис. 5). Переставьте две спички так, чтобы у полученной конфигурации была ось симметрии. Найдите два различных способа решения.

Литература:
1. А. Лопшиц Функциональные уравнения. — «Квант» №1 за 1975 год.
2. Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. Контрпримеры в анализе. — М.: Мир, 1967.
3. В. М. Шибинский. Примеры и контрпримеры в математическом анализе.

Открытая Математика. Функции и Графики. Параллельный перенос

Пусть имеется график функции y = f (x). Зададимся целью построить график функции y = f1 (x), где f1 (x) = f (x) + B. Ясно, что области определения этих функций совпадают. Пусть A (x0; y0) – точка на графике функции y = f (x). Соответствующая ей точка A′ (x0; y1) с той же абсциссой имеет координаты A′ (x0; y0 + B). Точка A′ получается из точки A сдвигом на B вертикально вверх, если B > 0, и на |B| вниз, если B < 0. Обобщая это рассуждение на все точки, приходим к выводу, что график функции y = f (x) + B получается из графика функции y = f (x) параллельным переносом вдоль оси OY на B вверх, если B > 0, и на |B| вниз, если B < 0.

Алгебраически для каждой точки графика это можно записать системой

{x′=x,y′=y+B,

где x и y – координаты какой-либо точки старого графика, x′ и y′ – соответствующей ей точки нового.

Аналогичным образом можно построить график функции y = f (x – b). Точка A′ (x′; y′) нового графика имеет такую же ординату, как и точка A (x; y), если x′ = x + b. Таким образом, чтобы построить точку A′, нужно сместить точку A вправо, если b > 0, и влево, если b < 0.

Параллельный перенос графиков

График функции y = f (x – b) получается из графика функции y = f (x) параллельным переносом вдоль оси OX на b вправо, если b > 0, и на |b| влево, если b < 0.

Алгебраически это записывается системой:

{x′=x+by′=y

Область определения функции, соответствующей новому графику, также смещается на a по отношению к области определения функции, задающей старый график.

В общем случае график функции y = f (x – b) + B получается из графика функции y = f (x) параллельным переносом, при котором начало координат O (0, 0) переходит в точку O′ (b, B). Обычно находят точку O′ и проводят через нее вспомогательные координатные оси, относительно которых строят график функции y = f (x).

Линейная функция 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Линейная функция и ее график

Линейная функция – это функция вида y = kx+b, где х – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

Нетрудно заметить, что прямая пропорциональность – частный случай линейной функции. При b = 0 линейная функция принимает вид y = kx, а это и есть прямая пропорциональность.

Рассмотрим две функции: y=4x+3 и y=4x и построим их графики.




х

-2

-1

0

1

2

у=4х

-8

-4

0

4

8

у=4х+3

-5

-1

3

7

11

 

 

Мы видим, что график функции y = 4x+3 представляет собой прямую, параллельную графику функции у = 4х. Прямая смещена на 3 единицы вверх.

Таким образом, график функции у = kx+b, где k ≠ 0 – это прямая, параллельная прямой у = kx.

Для построения прямой нам достаточно знать координаты двух точек. Пусть это будут точки пересечения графика с осями координат.

То есть таблица для построения графика функции y=4x+3 будет иметь вид:

Так же, как и в случае с прямой пропорциональностью, при k>0 функция возрастает, а при k<0 – функция убывает.

Число b, как мы отметили выше, обозначает, на сколько график функции смещен вверх или вниз относительно начала координат.

Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками линейных функций, одинаковые, то прямые параллельны.

Если k = 0, то линейная функция приобретает вид y = b. Это прямая, параллельная оси х и проходящая через точку (0, b).

Например, построим график прямой у=5.

 

 

Область определения линейной функции такая же, как и у прямой пропорциональности – вся числовая прямая D(y) = (- ∞;∞). Область значений Е(у) = (- ∞;∞).

График функции. — Алгебра — 7 класс

7 класс.

График функции.

Для того, чтобы ввести понятие графического задания функции, определим сначала, что есть график функции.

Графиком функции называется множество точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. (Напомним, что абсцисса – это координата х, ордината – координата у).

Поскольку, по определению функции, каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции, то для графика соблюдается такое же правило: каждой абсциссе графика соответствует только одно значение ординаты.

Например,

На графиках показано, что абсциссе соответствует только одно значение ; абсциссе – только одно значение . И так далее.

Итак, теперь рассмотрим графический способ задания функции.

Например, дан график функции .

По графику функции можно узнать значение функции по выбранным значениям аргумента. Пусть . Находим на оси Ох координату, равную 1 и из этой точки проводим перпендикуляр до пересечения с графиком. Из точки пересечения проводим перпендикуляр к оси Оу и находим . Аналогично, при таким же способом находим . При . Точно также мы можем найти значение функции при любом выбранном значении аргумента.

При всей наглядности графического способа, у него есть существенные недостатки. На этом же графике видно, что если мы захотим выбрать не целое значение аргумента, а, например, , то точно найти это число на координатной оси проблематично, как также найти соответствующее значение . Значит, главным недостатком этого способа является сложность получения точных значений.

Рассмотрим теперь табличный способ задания функции и определим его преимущества и недостатки.

Этот способ задания функции чаще всего используется в практических целях, например, при замерах температуры наружного воздуха через определённые промежутки времени. Эта функция будет отображать зависимость температуры от времени .

ч

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

10

10

9,5

9

8,5

8

8,5

8,5

9

9

10

11

11,5

Однако, при таком задании функции, область определения всегда ограничена. Здесь мы можем судить об изменении температуры только при изменении времени от 0 часов до 12 часов. Тем более, что невозможно точно сказать, какая была температура, например, в .

Преимущество табличного способа в том, что не нужно ничего находить и считать, всё наглядно отображено в таблице.

А недостатком, конечно, является невозможность определить промежуточные значения функции.

Таким образом, самый точный способ задания функции – это аналитический, т.е. с помощью формулы.

Разберёмся теперь, как построить график функции, которая задана с помощью формулы.

Например, построить график функции , если с шагом 1.

Решение. Условие означает, что выбирать значения х можно только от до , а шаг, равный 1 означает, что эти значения должны отличаться на 1. Другими словами, будем выбирать следующие значения х: . Каждое из этих значений подставляем в формулу вместо х и считаем, чему равен у.

Для удобства занесём эти значения в таблицу:

х

-2

-1

0

1

2

у

11

4

1

2

7

Теперь строим координатную плоскость, отмечаем на ней точки с координатами: , а затем плавно соединяем эти точки.

Таким образом, мы получили график функции при .

Если значения аргумента не заданы, то мы их выбираем самостоятельно, причём эти значения должны принадлежать области определения функции, захватывать положительные и отрицательные числа и шаг должен быть не слишком большой.

  1. На рисунке изображён график некоторой функции.

Пользуясь графиком, найдите:

  1. значение , если

  2. значения , которым соответствует

  3. значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

  1. На рисунке изображён график некоторой функции.

Пользуясь графиком, найдите:

  1. значение , если

  2. значения , которым соответствует

  3. значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

  1. На рисунке изображён график функции.

Пользуясь графиком, найдите:

  1. значение , если

  2. значения , которым соответствует

  3. значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

  1. Функция задана формулой , где .

  1. Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

  2. Постройте график функции, используя составленную таблицу.

  3. Используя график, найдите, при каких значениях аргумента значения функции отрицательны.

  1. Функция задана формулой , где .

  1. Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

  2. Постройте график функции, используя составленную таблицу.

  3. Используя график, найдите, при каких значениях аргумента значения функции положительны.

  1. Функция задана формулой , где .

  1. Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

  2. Постройте график функции, используя составленную таблицу.

  3. Используя график, найдите, при каких значениях аргумента значения функции отрицательны.

  1. Принадлежат ли графику функции, заданной формулой , точки ; ?

  2. Принадлежат ли графику функции, заданной формулой , точки ; ?

  3. Принадлежат ли графику функции, заданной формулой , точки ; ?

  4. Найдите координаты точки пересечения графика функции с осью ординат.

  5. Укажите координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

  6. Найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

  7. Выясните, пересекает ли график функции оси координат. Ответ объясните.

  8. Найдите координаты точки пересечения графика функции с осью ординат.

  9. Укажите координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

  10. Найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

  11. Выясните, пересекает ли график функции оси координат. Ответ объясните.

  12. Какие из точек принадлежат графику функции ?

  13. Какие из точек принадлежат графику функции ?

  14. Найдите координаты точки пересечения графика функции , если , с осью ординат.

  15. Укажите координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

  16. Найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

  17. Выясните, пересекает ли график функции оси координат. Ответ объясните.

  18. Найдите координаты точки пересечения графика функции , если , с осью ординат.

  19. Укажите координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

  20. Найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

  21. Выясните, пересекает ли график функции оси координат. Ответ объясните.

  22. На отрезке задана функция .

Используя этот график, найдите:

  1. нули этой функции;

  2. число решений уравнения в зависимости от ;

  3. наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке ;

  4. промежутки, на которых значения функции положительны и отрицательны.

  1. На отрезке задана функция .

Используя этот график, найдите:

  1. нули этой функции;

  2. число решений уравнения в зависимости от ;

  3. наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке ;

  4. промежутки, на которых значения функции положительны и отрицательны.

  1. На отрезке задана функция .

Используя этот график, найдите:

  1. все решения уравнения ;

  2. число решений уравнения в зависимости от ;

  3. наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке ;

  4. промежутки, на которых и .

  1. На отрезке задана функция .

Используя этот график, найдите:

  1. все решения уравнения ;

  2. число решений уравнения в зависимости от ;

  3. наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке ;

  4. промежутки, на которых и .

  1. Постройте график функции

Какие из точек принадлежат графику этой функции?

  1. Постройте график функции

Какие из точек принадлежат графику этой функции?

  1. Постройте график функции

Укажите область определения и область значений данной функции.

  1. Постройте график функции

Укажите область определения и область значений данной функции.

  1. Найдите область определения функции , где , и постройте её график.

  2. Найдите область определения функции , где , и постройте её график.

  3. Найдите область определения функции , где , и постройте её график.

  4. Найдите область определения функции , где , и постройте её график.

  5. Постройте графики функций , если

  1. Заполните таблицу значений для функции и постройте её график.

  1. График функции – ломаная , где

.

  1. Постройте график этой функции.

  2. С помощью графика найдите .

  3. Определите, при каких значениях х значение равно .

  4. Назовите целые значения х, при которых принимает положительные значения; отрицательные значения.

  1. График функции – ломаная , где

.

  1. Постройте график этой функции.

  2. С помощью графика найдите .

  3. Определите, при каких значениях х значение равно .

  4. Назовите целые значения х, при которых принимает положительные значения; отрицательные значения.

  1. На рисунке изображён график движения туристов по холмистой местности. На оси абсцисс откладывается время движения от момента выхода из палаточного лагеря, на оси ординат – пройденное расстояние.

По графику определите:

  1. сколько километров прошли туристы до второго привала?

  2. сколько времени длился первый привал?

  3. на каком расстоянии от лагеря были туристы в 2 ч 30 мин. ?

  4. за сколько времени прошли туристы первые два километра?

  5. сколько всего километров прошли туристы?

  6. сколько времени шли туристы от первого до второго привала?

  7. сколько километров прошли туристы за промежуток времени от 1,5 часов до 3,5 часов (считая от начала движения)?

4

«Чтение свойств функции по графику функции»



Конденко
Любовь Николаевна


Учитель высшей квалификационной категории


Средней школы № 1 г. Елабуга

ТЕМА: «ЧТЕНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ ПО ГРАФИКУ ФУНКЦИИ»




“График – это говорящая линия,

которая может о многом рассказать”


М.Б. Балк




Цели:


  • Образовательные

Продолжить формирование у учащихся понятия, что функция- математическая модель, позволяющая описывать изучать разнообразные зависимости между реальными величинами. Обобщить и систематизировать систему функциональных понятий (функция, значение функции, график, аргумент, область определения и область значений функции, возрастание, убывание, монотонность, сохранение знака). Формирование свободного чтения графиков, формирование умений отражать свойства функций на графике.



Развитие всех познавательных процессов, в частности функционального стиля мышления. Развитие графической культуры.


  • Воспитательные

Вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке. Воспитывать гордость за учёных, инженеров, конструкторов, создавших теорию графиков, применивших теорию к практической деятельности .Осуществлять профессиональную ориентацию учащихся.


1.Актуализация знаний

 


2. Формирование умений , навыков.


Функция – одно из основных математических общенаучных понятий, зависимость между переменными величинами. Математика рассматривает абстрактные переменные величины, изучает различные законы их взаимосвязи, не углубляясь в природу задачи. Например, в соотношении у = х2 геодезист или геометр увидит зависимость площади квадрата от его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы у сопротивления воздуха или воды от скорости х движения. Математика же изучает эту зависимость в отвлеченном виде, и она устанавливает, например, что увеличение х в 2 раза приведет к увеличению у в 4 раза, и это заключение может применяться в любой конкретной ситуации. В школьном курсе изучается немало функций.


Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их предметы взаимосвязаны. Они еще не умели считать , но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя не будет голодать; чем сильнее натянуть тетиву лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костер, тем теплее в пещере.


Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира .Идея функциональной зависимости присутствует уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами.


Функция является одним из основных понятий математики, в частности математического анализа, так как математические модели реальных ситуаций, изучаемые на протяжении всего курса алгебра, напрямую связаны с функциями.


В технике и физике часто пользуются именно графическим способом задания функции. Более того , по- мере развития математики все активнее проникает графический метод в самые различные области жизни человека. В частности, использование функциональных зависимостей и построение графиков широко применяется в экономике.


 

Задание № 1.


 


Само слово «функция» (от латинского functio — совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673 году в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати он его ввел с1694 года. Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа». В восемнадцатом веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли), который в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».


Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во «Введении в анализ бесконечного»): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего восемнадцатого века.


Как видно из представленных определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.


 


Графиком функции — называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты- соответствующим значениям функции.


График функции у =f(x)) строиться по точкам; чем больше точек вида (х;f(Х)) мы возьмем, тем более точное представление о графике получим. Если этих точек взять достаточно много, то и представление о графике сложится более полное. Именно в этом случае интуиция и подсказывает нам, что график нужно изобразить в виде сплошной линии.


Находясь на выставке картин, мы рассматриваем произведения искусств и обращаем внимание на то, сумел ли художник предать глубину, завершенность образного содержания. Картина является итогом длительных наблюдений и размышлений художника над жизнью. График функции это своего рода «портрет» функции. Чтобы научиться видеть и создавать такие картины необходимо знать основные математические функции и их свойства.


Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством их решения.


По графику можно прочитать многие свойства функции, можно решать неравенства и уравнения.


 


Читая ,график функции мы можем делать выводы об :


  • Области определения

  • Области значений

  • Нулях функции

  • Знакопостоянстве

  • Монотонности

  • Четности

  • Периодичности

  • Экстремумах

  • Ограниченности

  • Непрерывности



Выполним задание:

 


 


Множество всех значений независимой переменной, которые она может принимать называют областью определения функции.


Если известен график функции, то область ее определения найти нетрудно. Для этого достаточно спроецировать график на ось абсцисс. То числовое множество, геометрическая модель которого получится на оси абсцисс в результате указанного проецирования, и будет представлять собой область определения функции.


Ответ: (-9;9]




Выполним задание:

 


 


Множество всех значений зависимой переменной называют областью значений функции.


Если известен график функции, то область значений найти сравнительно нетрудно. Для этого достаточно спроецировать график на ось ординат. То числовое множество, геометрическая модель которого получится на оси ординат в результате указанного проецирования, и будет представлять собой область значений функции.


Ответ: [-4;6).





Выполним задание:

 


 


Функция у равное f(х) достигает на промежутке Х своего наибольшего значения, если существует такая точка х0 Î Х, что для всех х Î Х выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0).


Из рисунка видим, что при х =-3, f(-3)=3 и это значение больше других значений функции.


Ответ: 3.

 

 

 





На практике удобнее пользоваться следующей формулировкой: функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Или используя геометрическое истолкование понятий возрастания: двигаясь по графику возрастающей функции слева направо, мы как бы поднимаемся в гору.


Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Или используя геометрическое истолкование понятий убывания: двигаясь по графику убывающей функции слева направо, мы как бы спускаемся в горы.

Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность.




Выполним задание:


Найти промежутки монотонности функции у=f (x), заданной графиком.


Для определения промежутков монотонности будем использовать геометрическое истолкование : двигаясь по графику убывающей функции слева направо, мы как бы спускаемся в горы ,а двигаясь по графику возрастающей функции слева направо, мы как бы поднимаемся в гору.


 


Функция возрастает на промежутках [-5;-2) и на (-2; 1]


Функция у=f(x ) убывает на промежутках (-9;- 5] и на [1; 9].


На слайде 13 представлено задание из единого государственного экзамена: На каком из следующих рисунков изображен график функции, возрастающей на промежутке [-1;2].


 


Функцию y=f(x) называют периодической с периодом Т, Т≠0, если для любого х из области определения функции выполняются равенства f(x-T) = f(x)= =f(x+T).


Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называется периодом функции y= f (x).


Если функция у=f(x) имеет период Т, то для построения графика функции нужно сначала построить часть графика на любом промежутке длины Т, а затем сдвинуть эту часть по оси Ох вправо и влево на Т, 2Т, 3Т и так далее.


Обычно стараются, если это возможно, выделить наименьший положительный период, его и называют основным периодом.


Задание 1.


Функция у =f (x), имеющая период Т = 4 задана графиком на промежутке [-1; 3]. Найдите значение этой функции при х = 10.


Задание2.


Функция у=f(x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 4. На рисунке изображен график этой функции при -3≤х≤1. Найдите значение выражения f(-6)∙f(-3)∙f(13).


Выполнить эти задания можно двумя способами.




1 способ:


Используя определение периодической функции достраиваем график функции с учетом периода вдоль оси абсцисс. Затем по графику находим значение функции для указанных значений аргументов.




2 способ:


Используя равенство f(x-T)= f(x)= f(x+T).


Решение можно посмотреть в презентации на слайдах 15, 16.






Определение четной и нечетной функции.




Функция y= f(x) называется четной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения х, из области определения верно равенство f(-х)=f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.


На слайде приведены примеры четных функций и примеры симметрии относительно прямой.


Функция y=f(x) называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого значения х из области определения верно равенство f(-х)=-f(x).


График нечетной функции симметричен относительно начала координат.


На слайде приведен пример симметрии относительно точки и на следующем слайде примеры графиков нечетных функций, изучаемых в школьном курсе алгебры. На графиках показана симметрия точек графика относительно начала координат. (Слайды 17-19).


На 20 слайде предложено задание:


Укажите график четной функции. (Решение можно посмотреть на слайде 20).


Определение промежутков знакопостоянства.




Решите неравенство f(x)≥0, если на рисунке изображен график функции у=f(x).


Решите неравенство f(x)≤0, если на рисунке изображен график функции у=f(x).

 


Другими словами нужно найти промежутки знакопостоянства функции у равное f(x).Функция принимает значение, равное нулю в тех точках, в которых график функции пересекает ось абсцисс. Функция принимает отрицательные значения на множестве тех значений аргумента, которым соответствуют части графика, расположенные ниже оси абсцисс, то есть f(x) меньше или равно нулю. Функция принимает положительные значения на множестве тех значений аргумента, которым соответствуют части графика, расположенные выше оси абсцисс, те есть f(x) больше или равно нуля.


f(x) ≥0 на промежутках хÎ (-9;-7,2]U(-1,8;5,8]


f(x)≤0 на промежутках хÎ [7,2;-1,8)U[5,8;9,2].


область определения, нули функции, четность функции и все остальные.

Функция — это одно из важнейших математических понятий.
Функция — зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению
х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом.
Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции.
Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Графиком функции называют множество всех точек
координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по
оси ординат откладываются значения переменной y. Для
построения графика функции необходимо знать свойства функции.
Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

Для построения графика функции советуем использовать нашу программу —
Построение графиков функций онлайн.
Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем
форуме. Также на форуме Вам помогут
решить задачи по математике, химии,
геометрии,
теории вероятности
и многим другим предметам!

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при
которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции — это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых
значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему
значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению
аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно
начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен
относительно оси ординат.

Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала
координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен
относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число
M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

7) Периодическость функции.

Функция f(x) — периодическая, если существует такое отличное от нуля число T,
что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции.
Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Изучив данные свойства функции Вы без проблем сможете исследовать функцию и по
свойствам функции сможете построить график функции. Также посмотрите материал про
таблицу истинности,
таблицу умножения,
таблицу Менделеева,
таблицу производных и
таблицу интегралов.

Слишком сложно?

Свойства функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

отношений и определение того, является ли отношение функцией — проблема 3

Используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию. Если вертикальная линия перемещается по графику и в любой момент касается графика только в одной точке, то график является функцией. Если вертикальная линия касается графика более чем в одной точке, то график не является функцией.

Одна из замечательных особенностей функций заключается в том, что мы знаем, что что-то является функцией, если каждый x имеет ровно один y, но иногда вам не дают баллов, вам не дают числа, все, что вам дают, — это забавный график.Итак, я хочу поговорить здесь о том, как вы можете определить, что что-то является функцией, просто на основе графика, и вы увидите, что на самом деле это довольно просто. Он использует так называемый тест вертикальной линии.

Итак, что я собираюсь сделать, это просмотреть эти графики и нарисовать вертикальные линии, и если они попадают, если моя вертикальная линия попадает на график более одного раза в каждой строке, то это не функция, потому что это место, где Значение x имеет два значения y.

Давайте проверим. Думайте об этом как о своем карандаше, это большой карандаш.Что бы вы сделали с графиком на бумаге, это возьмите карандаш, положите его туда, а затем переместите по графику, посмотрите, не попали ли вы в какие-либо места на этом графике, где карандаш пересекает волнистую линию более чем в одном месте. И вы увидите, что на этом графике есть масса мест, проверьте это.

Я просто ударил свой график как раз, два, три, четыре, например, 10 раз, что бы это ни было, я ударил его более одного раза, так что это не функция. Это значение x прямо здесь, что бы оно ни было, имеет тонны значений y, есть значение y, есть другое, нет никого, это не функция.Каждый x получает только одно значение y.

Давайте попробуем следующий график, используя карандаш и убедитесь, что он вертикальный, а не горизонтальный. Вертикальный ой-ой! Вы можете видеть, как ваш карандаш ударяет по местам, где ваша вертикальная линия пересекает график более чем в одном месте. Это снова означает, что x имеет два значения y, а не функцию.

Вот пара, которые немного отличаются, когда вы используете здесь тест вертикальной линии. Проверяйте это везде, где я перемещаю ручку, она пересекает график только один раз, я никогда не нажимаю на эту линию графика более одного раза.Итак, в этом случае да, это функция, потому что это значение x имеет только одно значение y.

Здесь очень похоже, когда я использую перо и перемещаю его вертикально по графику, нет места, где я ударяю по фигуре дважды, я ударяю по ней только один раз, поэтому d, да, также является функцией.

Если вы ничего не помните из этого видео, надеюсь, вы помните тест вертикальной линии. Если график проходит проверку вертикальной линии, значит, это функция. Я имею в виду, что если вы перемещаете перо, и оно ударяется только один раз, тогда да, это функция, если оно ударяет более одного раза, нет, это не функция.

Мне лично нравятся эти задачи, я думаю, что они не слишком сложные и в них нет никаких цифр, так что это круто.

предварительное вычисление алгебры — Почему важно, является ли график функцией?

Функции и графики

Функция (действительного значения) (действительной переменной) — это правило, которое присваивает каждому действительному входу (который является действительным числом) один и только один выход (который также является действительным числом).

Есть много способов указать функцию.2 = 4 $. И т. Д.

Другой способ указать функцию, когда имеется только конечное число допустимых входных данных, — через таблицу: вы перечисляете все возможные входы и то, каков будет соответствующий выход. Примером этого может быть таблица оценок, где входными данными является идентификационный номер учащегося, а выходными данными — соответствующий средний балл успеваемости учащегося.

Когда у вас бесконечно много входов, вы не можете составить список. Но есть способ сделать это, который очень похож, и это график . Если у вас есть график (набор точек на плоскости), каждая точка на графике связана с парой координат, $ \ mathbf {p} = (a, b) $.Вы интерпретируете точку на графике как указание на то, что вход $ a $ дает выход $ b $.

Не каждый график соответствует функции, потому что, если у вас есть две разные точки с одной и той же первой координатой, вы не будете знать, каков результат (помните, что для каждого данного ввода может быть только один вывод; если у вас есть точки $ ( 4,2) $ и $ (4, -2) $ на вашем графике, вы не знаете, будет ли выход для $ 4 $ 2 $ или -2 $). Это так называемый «тест вертикальной линии» . Чтобы график можно было использовать для определения функции, он должен удовлетворять тому, что каждая вертикальная линия пересекает график не более одного раза; то есть на графике есть не более одной точки с любой заданной первой координатой.

Аналогично, каждая (действительная) функция (действительной переменной) определяет «график», который похож на всю таблицу значений функции: а именно, график функции $ y = f (x) $ имеет вид совокупность всех точек $ \ mathbf {p} = (a, b) $, для которых $ b $ является выходом входа $ a $,

Итак, каждая функция дает вам график, но не каждый график дает вам функцию; некоторые делают, а некоторые нет.

Уравнения и графики

Уравнение — это просто выражение со знаком равенства, утверждающее, что две вещи равны (отсюда и происходит «эква» слова «уравнение»; уравнение должно иметь знак равенства ).2 $ ”, что неверно.

Итак, каждое уравнение двух переменных определяет график, точно так же, как каждая функция определяет график.

Но помните, что хотя некоторые графики определяют функцию, не каждый график определяет функцию. Точно так же некоторые графики могут быть заданы уравнениями, но не каждый график может быть задан уравнением (включающим определенный тип операций).

Соединение

Если у вас есть уравнение, оно определяет график.Этот график может быть или не быть графиком функции (этот график может использоваться или не использоваться для определения функции) в зависимости от того, проходит ли он тест горизонтальной линии или нет. Возможно, уравнение будет определять функцию, которая не очевидна из уравнения.

Каждая функция дает вам график, и этот график всегда дает вам уравнение; а именно, если функция $ f (x) $, то уравнение $ y = f (x) $ определяет тот же график, что и функция, с которой вы начали.

Но не каждое уравнение дает вам функцию.

Итак, соединение есть, но нет соединения perfect :

  1. Каждая функция отображает график.
  2. Не каждый график дает вам функцию.
  3. Каждое уравнение дает вам график.
  4. Не каждый график дает уравнение.
  5. Каждая функция дает вам график, который дает вам уравнение.
  6. Не каждое уравнение дает вам график, который дает вам функцию.

Когда уравнение дает вам график, который дает вам функцию, иногда мы говорим, что уравнение «определяет функцию», либо явно , а иногда неявно .2 = 9 $, что сразу дает вам ответ. В других случаях после замены вам нужно поработать, чтобы вычислить значение вывода; тогда мы говорим, что определение неявно . Например, $ yx-y = 3-yx $ неявно определяет функцию. Учитывая, например, $ x = 3 $, вы получаете $ 3yy = 3-3y $, поэтому затем вы «решаете для $ y $», чтобы получить $ 5y = 3 $ или $ y = \ frac {3} {5} $. . Как это часто бывает, это уравнение может быть показано, чтобы дать график, что действительно определяет функцию, поэтому уравнение определенно также определяет функцию.2 $ — это уравнение, которое определяет график, в котором действительно определяет функцию (фактически, определяет ее явно).

Исчисление I — Форма графа, часть I

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 4-5: Форма графа, часть I

В предыдущем разделе мы увидели, как использовать производную для определения абсолютного минимального и максимального значений функции.Однако существует гораздо больше информации о графике, который можно определить по первой производной функции. Мы начнем изучать эту информацию в этом разделе. Основная идея, которую мы рассмотрим в этом разделе, будет заключаться в выявлении всех относительных экстремумов функции.

Давайте начнем этот раздел с повторения знакомой темы из предыдущей главы. Предположим, что у нас есть функция \ (f \ left (x \ right) \). Из нашей работы в предыдущей главе мы знаем, что первая производная \ (f ‘\ left (x \ right) \) — это скорость изменения функции.Мы использовали эту идею, чтобы определить, где функция увеличивалась, уменьшалась или не менялась.

Прежде чем рассматривать эту идею, давайте сначала запишем математическое определение увеличения и уменьшения. Все мы знаем, как выглядит график возрастающей / убывающей функции, но иногда полезно иметь и математическое определение. Вот.

Определение
  1. Для любых \ ({x_1} \) и \ ({x_2} \) из интервала \ (I \) с \ ({x_1} <{x_2} \), если \ (f \ left ({{x_1} } \ right) , увеличивая на \ (I \).
  2. Для любых \ ({x_1} \) и \ ({x_2} \) из интервала \ (I \) с \ ({x_1} <{x_2} \), если \ (f \ left ({{x_1}} \ right)> f \ left ({{x_2}} \ right) \), то \ (f \ left (x \ right) \) равно с уменьшением на \ (I \).

Это определение будет фактически использовано при доказательстве следующего факта в этом разделе.

Теперь напомним, что в предыдущей главе мы постоянно использовали идею о том, что если производная функции была положительной в какой-то точке, тогда функция возрастала в этой точке, а если производная была отрицательной в какой-то точке, то функция в этой точке убывала. точка.Мы также использовали тот факт, что если производная функции была равна нулю в какой-то точке, тогда функция не менялась в этой точке. Мы использовали эти идеи для определения интервалов увеличения и уменьшения функции.

Следующий факт резюмирует то, что мы делали в предыдущей главе.

Факт
  1. Если \ (f ‘\ left (x \ right)> 0 \) для каждого \ (x \) на некотором интервале \ (I \), то \ (f \ left (x \ right) \) увеличивается на интервал.
  2. Если \ (f ‘\ left (x \ right) <0 \) для каждого \ (x \) на некотором интервале \ (I \), то \ (f \ left (x \ right) \) убывает на интервал.
  3. Если \ (f ‘\ left (x \ right) = 0 \) для каждого \ (x \) на некотором интервале \ (I \), то \ (f \ left (x \ right) \) постоянно на интервал.

Доказательство этого факта можно найти в разделе «Доказательства на основе производных приложений» главы «Дополнительно».

Рассмотрим пример.Этот пример преследует две цели. Во-первых, это напомнит нам об увеличивающемся / уменьшающемся типе проблем, которые мы делали в предыдущей главе. Во-вторых, что, возможно, более важно, теперь в решение будут включены критические точки. Мы не знали о критических точках в предыдущей главе, но если вы вернетесь и посмотрите на эти примеры, первый шаг почти в каждой проблеме увеличения / уменьшения — найти критические точки функции, и поэтому процесс мы использовать в следующем примере должно быть знакомо.2} \ left ({x — 4} \ right) \ left ({x + 2} \ right) \ end {align *} \]

Обратите внимание, что когда мы разложили на множители производную, мы сначала разложили на множители «-1», чтобы немного упростить остальную часть факторинга.

Из факторизованной формы производной мы видим, что у нас есть три критических точки: \ (x = — 2 \), \ (x = 0 \) и \ (x = 4 \). Они нам понадобятся немного позже.

Теперь нам нужно определить, где производная положительна, а где отрицательна.Мы делали это несколько раз как в главе «Обзор», так и в предыдущей главе. Поскольку производная является полиномом, она непрерывна, и поэтому мы знаем, что единственный способ изменить знак — сначала пройти через нуль.

Другими словами, единственное место, где производная может изменить знак , — это критические точки функции. Теперь у нас есть другое применение для критических точек. Итак, мы построим числовую линию, нанесем на график критические точки и выберем контрольные точки из каждого региона, чтобы увидеть, является ли производная положительной или отрицательной в каждом регионе.

Вот числовая линия и контрольные точки для производной.

Убедитесь, что вы проверяете свои позиции в производной. Одна из наиболее распространенных ошибок — вместо этого проверять точки в функции! Напомним, что мы знаем, что производная будет одного знака в каждом регионе. Единственное место, где производная может менять знак, — это критические точки, и мы отметили единственные критические точки на числовой прямой.

Итак, похоже, у нас есть следующие интервалы увеличения и уменьшения.

\ [\ begin {align *} {\ mbox {Increase:}} & — 2

В этом примере мы использовали тот факт, что единственное место, где производная может изменить знак, — это критические точки. Кроме того, критическими точками для этой функции были те, для которых производная была равна нулю. Однако то же самое можно сказать и о критических точках, в которых не существует производной.Это приятно знать. Функция может менять знак, если он равен нулю или не существует. В предыдущей главе все наши примеры этого типа имели только критические точки, в которых производная была равна нулю. Теперь, когда мы знаем больше о критических точках, позже мы также увидим один или два примера с критическими точками, в которых не существует производной.

Если вы не уверены, что считаете, что функции (они, конечно, не обязательно должны быть производными) могут менять знак там, где их нет, рассмотрите \ (f \ left (x \ right) = \ frac {1} { Икс}\) .2}}} \) например. Опять же, этого явно не существует в \ (x = 0 \) и
все же положительно по обе стороны от \ (x = 0 \).

Итак, повторим еще раз. Функции, независимо от того, являются ли они производными или нет, могут (но не обязательно) менять знак, если они либо равны нулю, либо не существуют.

Теперь, когда у нас есть предыдущий пример «напоминания», давайте перейдем к новому материалу. Когда у нас есть интервалы увеличения и уменьшения для функции, мы можем использовать эту информацию, чтобы получить набросок графика.3} + 5 \]

Показать решение

В этом примере действительно не так много. Каждый раз, когда мы рисуем график, хорошо иметь несколько точек на графике, которые могут служить нам отправной точкой. Итак, мы начнем с функции в критических точках. Это даст нам некоторые отправные точки, когда мы перейдем к наброску графика. Эти точки равны,

\ [f \ left ({- 2} \ right) = — \ frac {89} {3} = — 29,67 \ hspace {0,25 дюйма} f \ left (0 \ right) = 5 \ hspace {0,5 дюйма} f \ слева (4 \ справа) = \ frac {1423} {3} = 474.33 \]

После того, как эти точки нанесены на график, мы переходим к увеличению и уменьшению информации и начинаем рисовать. Для справки это информация о возрастании / убывании.

\ [\ begin {align *} {\ mbox {Increase:}} & — 2

Обратите внимание, что нам нужен только набросок графика. Как уже отмечалось, прежде чем мы начали этот пример, мы не сможем точно предсказать кривизну графика в этой точке. Однако даже без этой информации мы все равно сможем получить общее представление о том, как должен выглядеть график.

Чтобы получить этот набросок, мы начинаем с самого левого края графика и знаем, что график должен уменьшаться и будет продолжать уменьшаться, пока мы не дойдем до \ (x = — 2 \). В этот момент функция будет продолжать увеличиваться, пока не достигнет \ (x = 4 \). Однако обратите внимание, что во время фазы роста ему действительно нужно пройти через точку в \ (x = 0 \), и в этой точке мы также знаем, что производная здесь равна нулю, и поэтому график проходит через \ (x = 0 \) по горизонтали. Наконец, как только мы достигаем \ (x = 4 \), график начинает и продолжает уменьшаться.Также обратите внимание, что, как и в случае \ (x = 0 \), график должен быть горизонтальным, когда он проходит через две другие критические точки.

Вот график функции. Мы, конечно, использовали графическую программу для создания этого графика, однако, помимо некоторых потенциальных проблем с кривизной, если вы следовали информации об увеличении / уменьшении и сначала нанесли все критические точки, у вас должно быть что-то похожее на это.

Давайте воспользуемся наброском из этого примера, чтобы дать нам очень хороший тест для классификации критических точек как относительных максимумов, относительных минимумов или ни минимумов, ни максимумов.

Вспомните из раздела «Минимальные и максимальные значения», что все относительные экстремумы функции берутся из списка критических точек. График в предыдущем примере имеет два относительных экстремума, и оба возникают в критических точках, как мы и предсказывали в этом разделе. Также обратите внимание, что у нас есть критическая точка, которая не является относительными экстремумами (\ (x = 0 \)). Это нормально, поскольку нет оснований полагать, что все критические точки будут относительными экстремумами. Известно только, что относительные экстремумы будут исходить из списка критических точек.

На эскизе графика из предыдущего примера мы видим, что слева от \ (x = — 2 \) график убывает, а справа от \ (x = — 2 \) график увеличивается и \ (x = — 2 \) — относительный минимум. Другими словами, график ведет себя около минимума точно так же, как он должен быть для того, чтобы \ (x = — 2 \) было минимумом. То же самое можно сказать и об относительном максимуме при \ (x = 4 \) . График увеличивается слева и уменьшается справа точно так, как должно быть, чтобы \ (x = 4 \) было максимальным.Наконец, график возрастает по обе стороны от \ (x = 0 \), поэтому эта критическая точка не может быть минимумом или максимумом.

Эти идеи можно обобщить, чтобы получить хороший способ проверить, является ли критическая точка относительным минимумом, относительным максимумом или ни одним из них. Если \ (x = c \) является критической точкой и функция убывает слева от \ (x = c \) и увеличивается вправо, то \ (x = c \) должен быть относительным минимумом функции . Аналогично, если функция увеличивается слева от \ (x = c \) и уменьшается вправо, то \ (x = c \) должен быть относительным максимумом функции.Наконец, если функция возрастает с обеих сторон от \ (x = c \) или убывает с обеих сторон
для \ (x = c \), то \ (x = c \) не может быть ни относительным минимумом, ни относительным максимумом.

Эти идеи можно обобщить в следующем тесте.

Первый производный тест

Предположим, что \ (x = c \) является критической точкой \ (f \ left (x \ right) \), тогда

  1. Если \ (f ‘\ left (x \ right)> 0 \) слева от \ (x = c \) и \ (f’ \ left (x \ right) <0 \) справа от \ (x = c \), тогда \ (x = c \) является относительным максимумом.
  2. Если \ (f ‘\ left (x \ right) <0 \) слева от \ (x = c \) и \ (f' \ left (x \ right)> 0 \) справа от \ ( x = c \), то \ (x = c \) является относительным минимумом.
  3. Если \ (f ‘\ left (x \ right) \) — один и тот же знак по обе стороны от \ (x = c \), то \ (x = c \) не является ни относительным максимумом, ни относительным минимумом.

Здесь важно отметить, что тест первой производной классифицирует критические точки только как относительные экстремумы, а не как абсолютные экстремумы.Как мы помним из раздела «Поиск абсолютных экстремумов», абсолютные экстремумы — это наибольшие и наименьшие значения функции, которые могут даже не существовать или быть критическими точками, если они существуют.

Первый тест на производную — это именно такой тест, использующий первую производную. Он никогда не использует значение функции, и поэтому из теста нельзя сделать никаких выводов об относительном «размере» функции в критических точках (который может потребоваться для определения абсолютных экстремумов) и даже не может начать чтобы обратить внимание на тот факт, что абсолютные экстремумы не могут возникать в критических точках.{\ frac {2} {3}}}}} \ end {align *} \]

Итак, похоже, у нас здесь четыре критических точки. Их,

\ [\ begin {align *} t & = \ pm \, 2 & \ hspace {1.0in} & {\ mbox {Здесь не существует производной}} {\ mbox {.}} \\ t & = \ pm \ sqrt {\ frac {{12}} {5}} = \ pm 1.549 & \ hspace {1.0in} & {\ mbox {Здесь производная равна нулю}} {\ mbox {.}} \ end {align * } \]

Определение интервалов увеличения и уменьшения также даст классификацию критических точек, так что давайте сначала разберемся с ними.Вот числовая линия с нанесенными на график критическими и контрольными точками.

Итак, похоже, у нас есть следующие интервалы увеличения и уменьшения.

\ [\ begin {align *} {\ mbox {Increase:}} & — \ infty

Отсюда похоже, что \ (t = — 2 \) и \ (t = 2 \) не являются ни относительным минимумом, ни относительным максимумом, поскольку функция возрастает с обеих сторон от них. С другой стороны, \ (t = — \ sqrt {\ frac {12} {5}} \) — относительный максимум, а \ (t = \ sqrt {\ frac {12} {5}} \) — относительный минимум.

Вот график функции. Обратите внимание, что этот график немного сложнее нарисовать, основываясь только на увеличивающейся и уменьшающейся информации. Он представлен здесь только для справки, чтобы вы могли увидеть, как он выглядит.

В предыдущем примере две критические точки, где производная не существовала, не оказались относительными экстремумами. Не читайте в этом ничего. Часто они будут относительными экстремумами.Посмотрите пример 5 в разделе «Абсолютные экстремумы», чтобы увидеть пример одной такой критической точки.

Давайте поработаем еще пару примеров.

Пример 4 Предположим, что высота дороги над уровнем моря задается следующей функцией.

\ [E \ left (x \ right) = 500 + \ cos \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) + \ sqrt 3 \ sin \ left ({\ frac {x} {4}} \верно)\]

, где \ (x \) в милях. Предположим, что если \ (x \) положительно, мы находимся к востоку от начальной точки измерения, а если \ (x \) отрицательно, мы находимся к западу от начальной точки измерения.

Если мы начнем в 25 милях к западу от начальной точки измерения и проедем до тех пор, пока не окажемся в 25 милях к востоку от начальной точки, сколько миль мы прошли по склону?

Показать решение

Хорошо, это просто отличный способ спросить, каковы интервалы увеличения и уменьшения для функции на интервале \ (\ left [{- 25,25} \ right] \). Итак, нам сначала нужна производная функции.

\ [E ‘\ left (x \ right) = — \ frac {1} {4} \ sin \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) + \ frac {{\ sqrt 3}} { 4} \ cos \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) \]

Установка этого значения равным нулю дает

\ [\ begin {align *} — \ frac {1} {4} \ sin \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) + \ frac {{\ sqrt 3}} {4} \ cos \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) & = 0 \\ \ tan \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) & = \ sqrt 3 \ end {align *} \]

Решения для этой и, следовательно, критических точек:

\ [\ begin {array} {* {20} {c}} {\ displaystyle \ frac {x} {4} = 1.0472 + 2 \ pi n, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots} \\ {\ displaystyle \ frac {x} {4} = 4,1888 + 2 \ pi n, \, \ , n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots} \ end {array} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ begin {array} {* {20} {c}} { x = 4,1888 + 8 \ pi n, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \, \,} \\ {x = 16,7552 + 8 \ pi n, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots} \ end {array} \]

Я предоставляю вам проверить, что критические точки, попадающие в интервал, который мы ищем, это

\ [- 20.9439, \, \, \, — 8.3775, \, \, \, 4.1888, \, \, \, 16.7552 \]

Вот числовая линия с критическими точками и контрольными точками.

Итак, интервалы увеличения и уменьшения, похоже,

\ [\ begin {align *} {\ mbox {Increase:}} & — 25

Обратите внимание, что нам пришлось закончить интервалы на -25 и 25, поскольку мы не выполняли никакой работы за пределами этих точек, и поэтому мы не можем действительно сказать что-нибудь о функции вне интервала \ (\ left [{- 25,25} \ right] \).

По интервалам мы действительно можем ответить на вопрос. Мы ехали по склону во время интервалов подъема, поэтому общее количество миль составляет

км.

\ [\ begin {align *} {\ mbox {Distance}} & = \ left ({- 20.9439 — \ left ({- 25} \ right)} \ right) + \ left ({4.1888 — \ left ({- 8.3775} \ right)} \ right) + \ left ({25 — 16.7552} \ right) \\ & = 24.8652 {\ mbox {miles}} \ end {align *} \]

Несмотря на то, что проблема не требовала этого, мы также можем классифицировать критические точки, которые находятся в интервале \ (\ left [{- 25,25} \ right] \).2} \ ln \ left ({3t} \ right) + 6 \]

Определите, уменьшится ли население в первые два года.

Показать решение

Итак, мы снова действительно находимся после интервалов и увеличиваемся и уменьшаемся в интервале [0,2].

Мы обнаружили, что единственной критической точкой для этой функции в разделе «Критические точки» является

.

\ [x = \ frac {1} {{3 \ sqrt {\ bf {e}}}} = 0,202 \]

Вот числовая линия для интервалов увеличения и уменьшения.

Итак, похоже, что численность населения на короткий период уменьшится, а затем продолжит расти бесконечно.

Кроме того, хотя проблема не требовала этого, мы видим, что единственная критическая точка является относительным минимумом.

В этом разделе мы увидели, как мы можем использовать первую производную функции, чтобы дать нам некоторую информацию о форме графика и как мы можем использовать эту информацию в некоторых приложениях.

Использование первой производной для получения информации о том, увеличивается или уменьшается функция, является очень важным применением производных и возникает довольно регулярно во многих областях.

Введение в графики и tf.функции | TensorFlow Core

Обзор

В этом руководстве подробно рассказывается о TensorFlow и Keras, чтобы увидеть, как работает TensorFlow. Если вместо этого вы хотите немедленно приступить к работе с Keras, просмотрите нашу коллекцию руководств по Keras.

В этом руководстве вы увидите суть того, как TensorFlow позволяет вам вносить простые изменения в ваш код для получения графиков, как графики хранятся и представляются, и как вы можете использовать их для ускорения ваших моделей.

Примечание: Для тех из вас, кто знаком только с TensorFlow 1.x, это руководство демонстрирует совершенно другой вид графиков.

Это общий обзор, который показывает, как tf.function позволяет переключаться с активного выполнения на выполнение графа. Более полную спецификацию tf.function см. В руководстве tf.function .

Что такое графики?

В трех предыдущих руководствах вы видели, как TensorFlow с нетерпением запускает и . Это означает, что операции TensorFlow выполняются Python, операция за операцией, и возвращают результаты обратно в Python.

Несмотря на то, что активное выполнение имеет несколько уникальных преимуществ, выполнение графа обеспечивает переносимость вне Python и, как правило, обеспечивает лучшую производительность. Выполнение графа означает, что тензорные вычисления выполняются как граф TensorFlow , иногда называемый tf.Graph или просто «граф».

Графики — это структуры данных, которые содержат набор из tf.Operation объектов, которые представляют единицы вычисления; и tf.Tensor объекты, которые представляют единицы данных, которые передаются между операциями. Они определены в контексте tf.Graph . Поскольку эти графики представляют собой структуры данных, их можно сохранять, запускать и восстанавливать без использования исходного кода Python.

Так выглядит граф TensorFlow, представляющий двухслойную нейронную сеть, при визуализации в TensorBoard.

Преимущества графиков

График дает большую гибкость. Вы можете использовать свой граф TensorFlow в средах, в которых нет интерпретатора Python, например в мобильных приложениях, встроенных устройствах и внутренних серверах. TensorFlow использует графики в качестве формата для сохраненных моделей при их экспорте из Python.

Графики также легко оптимизируются, что позволяет компилятору выполнять такие преобразования, как:

  • Статически вывести значение тензоров путем сворачивания узлов констант в ваших вычислениях («сворачивание констант») .
  • Отдельные части вычисления, которые являются независимыми и разделяют их между потоками или устройствами.
  • Упростите арифметические операции, исключив общие подвыражения.

Существует целая система оптимизации, Grappler, для выполнения этого и других ускорений.

Короче говоря, графики чрезвычайно полезны и позволяют вашему TensorFlow работать быстро , запускать параллельно и эффективно работать на нескольких устройствах .

Однако вы по-прежнему хотите определять наши модели машинного обучения (или другие вычисления) в Python для удобства, а затем автоматически строить графики, когда они вам нужны.

Использование графиков

Вы создаете и запускаете график в TensorFlow, используя tf.function , либо как прямой вызов, либо как декоратор. tf.function принимает в качестве входных данных обычную функцию и возвращает функцию Function . A Функция — это вызываемый Python, который строит графики TensorFlow из функции Python. Вы используете функцию так же, как ее эквивалент в Python.

  импортировать тензорный поток как tf
время импорта
from datetime import datetime
  
  # Определите функцию Python.def a_regular_function (x, y, b):
  х = tf.matmul (х, у)
  х = х + Ь
  вернуть х

# `a_function_that_uses_a_graph` - это функция TensorFlow.
a_function_that_uses_a_graph = tf.function (a_regular_function)

# Сделайте несколько тензоров.
x1 = tf.constant ([[1.0, 2.0]])
y1 = tf.constant ([[2.0], [3.0]])
b1 = tf.constant (4.0)

orig_value = a_regular_function (x1, y1, b1) .numpy ()
# Вызов функции как функции Python.
tf_function_value = a_function_that_uses_a_graph (x1, y1, b1) .numpy ()
assert (orig_value == tf_function_value)
  

Снаружи функция выглядит как обычная функция, которую вы пишете с помощью операций TensorFlow.Однако под ним сильно отличается от . Функция инкапсулирует несколько tf.Graph за одним API. Таким образом, функция Function может дать вам преимущества выполнения графа, такие как скорость и возможность развертывания.

tf.function применяется к функции и всем остальным функциям, которые она вызывает :

  def inner_function (x, y, b):
  х = tf.matmul (х, у)
  х = х + Ь
  вернуть х

# Используйте декоратор, чтобы сделать external_function функцией [email protected] tf.function
def external_function (x):
  y = tf.constant ([[2.0], [3.0]])
  b = tf.constant (4.0)

  вернуть inner_function (x, y, b)

# Обратите внимание, что вызываемый объект создаст граф, который
# включает `inner_function`, а также` external_function`.
внешняя_функция (tf.constant ([[1.0, 2.0]])). numpy ()
  
массив ([[12.]], dtype = float32)
 

Если вы использовали TensorFlow 1.x, вы заметите, что вам никогда не приходилось определять Placeholder или tf.Session .

Преобразование функций Python в графики

Любая функция, которую вы пишете с помощью TensorFlow, будет содержать смесь встроенных операций TF и ​​логики Python, например, предложения if-then , циклы, break , return , continue и другие.Хотя операции TensorFlow легко захватываются с помощью tf.Graph , специфическая для Python логика должна пройти дополнительный шаг, чтобы стать частью графа. tf.function использует библиотеку AutoGraph ( tf.autograph ) для преобразования кода Python в код, генерирующий граф.

  def simple_relu (x):
  если tf.greater (x, 0):
    вернуть х
  еще:
    возврат 0

# tf_simple_relu - это функция TensorFlow, которая обертывает simple_relu.
tf_simple_relu = tf.function (simple_relu)

print ("Первая ветвь с графиком:", tf_simple_relu (tf.константа (1)). numpy ())
print ("Вторая ветвь с графиком:", tf_simple_relu (tf.constant (-1)). numpy ())
  
Первая ветвь с графиком & двоеточием; 1
Вторая ветвь, с графиком & двоеточием; 0
 

Хотя маловероятно, что вам понадобится напрямую просматривать графики, вы можете проверить выходные данные, чтобы увидеть точные результаты. Их нелегко прочитать, поэтому не нужно смотреть слишком внимательно!

  # Это вывод AutoGraph для создания графиков.
печать (tf.autograph.to_code (simple_relu))
  
def tf__simple_relu (x) & двоеточие;
    с ag__.FunctionScope ('simple_relu', 'fscope', ag __. ConversionOptions (recursive = True, user_requested = True, optional_features = (), internal_convert_user_code = True)) как fscope и двоеточие;
        do_return = Ложь
        retval_ = ag __. UndefinedReturnValue ()

        def get_state () & двоеточие;
            возврат (do_return, retval_)

        def set_state (переменные _) & двоеточие;
            нелокальный do_return, retval_
            (do_return, retval_) = vars_

        def if_body () & двоеточие;
            нелокальный do_return, retval_
            попробуйте & двоеточие;
                do_return = Верно
                retval_ = ag__.ld (x)
            кроме & двоеточия;
                do_return = Ложь
                поднимать

        def else_body () & двоеточие;
            нелокальный do_return, retval_
            попробуйте & двоеточие;
                do_return = Верно
                retval_ = 0
            кроме & двоеточия;
                do_return = Ложь
                поднимать
        ag __. if_stmt (ag __. convert_call (ag __. ld (tf) .greater, (ag __. ld (x), 0), None, fscope), if_body, else_body, get_state, set_state, ('do_return', 'retval_') , 2)
        вернуть fscope.ret (retval_, do_return)
 
  # Это сам график.
print (tf_simple_relu.get_concrete_function (tf.constant (1)). graph.as_graph_def ())
  
node {
  имя и двоеточие; "Икс"
  op & двоеточие; "Заполнитель"
  attr {
    ключ и двоеточие; "_user_specified_name"
    значение {
      s & двоеточие; "Икс"
    }
  }
  attr {
    ключ и двоеточие; "dtype"
    значение {
      введите & двоеточие; DT_INT32
    }
  }
  attr {
    ключ и двоеточие; "форма"
    значение {
      форма {
      }
    }
  }
}
node {
  имя и двоеточие; "Большой / у"
  op & двоеточие; "Конст"
  attr {
    ключ и двоеточие; "dtype"
    значение {
      введите & двоеточие; DT_INT32
    }
  }
  attr {
    ключ и двоеточие; "значение"
    значение {
      тензор {
        dtype & двоеточие; DT_INT32
        tensor_shape {
        }
        int_val & двоеточие; 0
      }
    }
  }
}
node {
  имя и двоеточие; "Большой"
  op & двоеточие; "Большой"
  ввод & двоеточие; "Икс"
  ввод & двоеточие; "Большой / у"
  attr {
    ключ и двоеточие; "Т"
    значение {
      введите & двоеточие; DT_INT32
    }
  }
}
node {
  имя и двоеточие; "конд"
  op & двоеточие; "StatelessIf"
  ввод & двоеточие; "Большой"
  ввод & двоеточие; "Икс"
  attr {
    ключ и двоеточие; "Второй"
    значение {
      введите & двоеточие; DT_BOOL
    }
  }
  attr {
    ключ и двоеточие; "Банка"
    значение {
      список {
        введите & двоеточие; DT_INT32
      }
    }
  }
  attr {
    ключ и двоеточие; "Все"
    значение {
      список {
        введите & двоеточие; DT_BOOL
        введите & двоеточие; DT_INT32
      }
    }
  }
  attr {
    ключ и двоеточие; "_lower_using_switch_merge"
    значение {
      b & двоеточие; правда
    }
  }
  attr {
    ключ и двоеточие; "_read_only_resource_inputs"
    значение {
      список {
      }
    }
  }
  attr {
    ключ и двоеточие; "else_branch"
    значение {
      func {
        имя и двоеточие; "cond_false_34"
      }
    }
  }
  attr {
    ключ и двоеточие; "output_shapes"
    значение {
      список {
        форма {
        }
        форма {
        }
      }
    }
  }
  attr {
    ключ и двоеточие; "then_branch"
    значение {
      func {
        имя и двоеточие; "cond_true_33"
      }
    }
  }
}
node {
  имя и двоеточие; "cond / Identity"
  op & двоеточие; "Личность"
  ввод & двоеточие; "конд"
  attr {
    ключ и двоеточие; "Т"
    значение {
      введите & двоеточие; DT_BOOL
    }
  }
}
node {
  имя и двоеточие; "cond / Identity_1"
  op & двоеточие; "Личность"
  ввод & двоеточие; "cond & col; 1"
  attr {
    ключ и двоеточие; "Т"
    значение {
      введите & двоеточие; DT_INT32
    }
  }
}
node {
  имя и двоеточие; "Личность"
  op & двоеточие; "Личность"
  ввод & двоеточие; "cond / Identity_1"
  attr {
    ключ и двоеточие; "Т"
    значение {
      введите & двоеточие; DT_INT32
    }
  }
}
library {
  function {
    подпись {
      имя и двоеточие; "cond_false_34"
      input_arg {
        имя и двоеточие; "cond_placeholder"
        введите & двоеточие; DT_INT32
      }
      output_arg {
        имя и двоеточие; "cond_identity"
        введите & двоеточие; DT_BOOL
      }
      output_arg {
        имя и двоеточие; "cond_identity_1"
        введите & двоеточие; DT_INT32
      }
    }
    node_def {
      имя и двоеточие; "cond / Const"
      op & двоеточие; "Конст"
      attr {
        ключ и двоеточие; "dtype"
        значение {
          введите & двоеточие; DT_BOOL
        }
      }
      attr {
        ключ и двоеточие; "значение"
        значение {
          тензор {
            dtype & двоеточие; DT_BOOL
            tensor_shape {
            }
            bool_val & двоеточие; правда
          }
        }
      }
      экспериментальный_debug_info {
        исходное_имя_узла и двоеточие; "cond / Const"
      }
    }
    node_def {
      имя и двоеточие; "cond / Const_1"
      op & двоеточие; "Конст"
      attr {
        ключ и двоеточие; "dtype"
        значение {
          введите & двоеточие; DT_BOOL
        }
      }
      attr {
        ключ и двоеточие; "значение"
        значение {
          тензор {
            dtype & двоеточие; DT_BOOL
            tensor_shape {
            }
            bool_val и двоеточие; правда
          }
        }
      }
      экспериментальный_debug_info {
        исходные_узлы и двоеточие; "cond / Const_1"
      }
    }
    node_def {
      имя и двоеточие; "cond / Const_2"
      op & двоеточие; "Конст"
      attr {
        ключ и двоеточие; "dtype"
        значение {
          введите & двоеточие; DT_INT32
        }
      }
      attr {
        ключ и двоеточие; "значение"
        значение {
          тензор {
            dtype & двоеточие; DT_INT32
            tensor_shape {
            }
            int_val & двоеточие; 0
          }
        }
      }
      экспериментальный_debug_info {
        исходное_имя_узла и двоеточие; "cond / Const_2"
      }
    }
    node_def {
      имя и двоеточие; "cond / Const_3"
      op & двоеточие; "Конст"
      attr {
        ключ и двоеточие; "dtype"
        значение {
          введите & двоеточие; DT_BOOL
        }
      }
      attr {
        ключ и двоеточие; "значение"
        значение {
          тензор {
            dtype & двоеточие; DT_BOOL
            tensor_shape {
            }
            bool_val & двоеточие; правда
          }
        }
      }
      экспериментальный_debug_info {
        исходные_узлы и двоеточие; "cond / Const_3"
      }
    }
    node_def {
      имя и двоеточие; "cond / Identity"
      op & двоеточие; "Личность"
      ввод & двоеточие; "cond / Const_3 & col; output & col; 0"
      attr {
        ключ и двоеточие; "Т"
        значение {
          введите & двоеточие; DT_BOOL
        }
      }
      экспериментальный_debug_info {
        исходное_имя_узла и двоеточие; "cond / Identity"
      }
    }
    node_def {
      имя и двоеточие; "cond / Const_4"
      op & двоеточие; "Конст"
      attr {
        ключ и двоеточие; "dtype"
        значение {
          введите & двоеточие; DT_INT32
        }
      }
      attr {
        ключ и двоеточие; "значение"
        значение {
          тензор {
            dtype & двоеточие; DT_INT32
            tensor_shape {
            }
            int_val & двоеточие; 0
          }
        }
      }
      экспериментальный_debug_info {
        исходные_узлы и двоеточие; "cond / Const_4"
      }
    }
    node_def {
      имя и двоеточие; "cond / Identity_1"
      op & двоеточие; "Личность"
      ввод & двоеточие; "cond / Const_4 & col; output & col; 0"
      attr {
        ключ и двоеточие; "Т"
        значение {
          введите & двоеточие; DT_INT32
        }
      }
      экспериментальный_debug_info {
        исходные_узлы и двоеточие; "cond / Identity_1"
      }
    }
    ret {
      ключ и двоеточие; "cond_identity"
      значение & двоеточие; "cond / Identity & двоеточие; вывод & двоеточие; 0"
    }
    ret {
      ключ и двоеточие; "cond_identity_1"
      значение & двоеточие; "cond / Identity_1 & двоеточие; вывод & двоеточие; 0"
    }
    arg_attr {
      ключ и двоеточие; 0
      значение {
        attr {
          ключ и двоеточие; "_output_shapes"
          значение {
            список {
              форма {
              }
            }
          }
        }
      }
    }
  }
  function {
    подпись {
      имя и двоеточие; "cond_true_33"
      input_arg {
        имя и двоеточие; "cond_identity_1_x"
        введите & двоеточие; DT_INT32
      }
      output_arg {
        имя и двоеточие; "cond_identity"
        введите & двоеточие; DT_BOOL
      }
      output_arg {
        имя и двоеточие; "cond_identity_1"
        введите & двоеточие; DT_INT32
      }
    }
    node_def {
      имя и двоеточие; "cond / Const"
      op & двоеточие; "Конст"
      attr {
        ключ и двоеточие; "dtype"
        значение {
          введите & двоеточие; DT_BOOL
        }
      }
      attr {
        ключ и двоеточие; "значение"
        значение {
          тензор {
            dtype & двоеточие; DT_BOOL
            tensor_shape {
            }
            bool_val и двоеточие; правда
          }
        }
      }
      экспериментальный_debug_info {
        исходное_имя_узла и двоеточие; "cond / Const"
      }
    }
    node_def {
      имя и двоеточие; "cond / Identity"
      op & двоеточие; "Личность"
      ввод & двоеточие; "cond / Const & двоеточие; вывод & двоеточие; 0"
      attr {
        ключ и двоеточие; "Т"
        значение {
          введите & двоеточие; DT_BOOL
        }
      }
      экспериментальный_debug_info {
        исходные_узлы и двоеточие; "cond / Identity"
      }
    }
    node_def {
      имя и двоеточие; "cond / Identity_1"
      op & двоеточие; "Личность"
      ввод & двоеточие; "cond_identity_1_x"
      attr {
        ключ и двоеточие; "Т"
        значение {
          введите & двоеточие; DT_INT32
        }
      }
      экспериментальный_debug_info {
        исходные_узлы и двоеточие; "cond / Identity_1"
      }
    }
    ret {
      ключ и двоеточие; "cond_identity"
      значение & двоеточие; "cond / Identity & двоеточие; вывод & двоеточие; 0"
    }
    ret {
      ключ и двоеточие; "cond_identity_1"
      значение & двоеточие; "cond / Identity_1 & двоеточие; вывод & двоеточие; 0"
    }
    arg_attr {
      ключ и двоеточие; 0
      значение {
        attr {
          ключ и двоеточие; "_output_shapes"
          значение {
            список {
              форма {
              }
            }
          }
        }
      }
    }
  }
}
versions {
  производитель & двоеточие; 561
  min_consumer & двоеточие; 12
}
 

Чаще всего тс.функция будет работать без особых соображений. Однако есть некоторые предостережения, и здесь может помочь руководство tf.function, а также полный справочник AutoGraph

.

Полиморфизм: одна

Функция , много графиков

A tf.Graph специализируется на определенном типе входных данных (например, тензоры с определенным dtype или объекты с тем же id () ).

Каждый раз, когда вы вызываете Function с новыми dtypes и фигурами в своих аргументах, Function создает новый tf.График для новых аргументов. d, тип и форма tf.Graph , входные данные известны как входная подпись или просто подпись .

Функция сохраняет tf.Graph , соответствующий этой сигнатуре, в функции ConcreteFunction . A ConcreteFunction представляет собой обертку вокруг тс. Graph .

  @ tf.function
def my_relu (x):
  вернуть tf.maximum (0., x)

# `my_relu` создает новые графики, поскольку видит больше сигнатур.печать (my_relu (tf.constant (5.5)))
печать (my_relu ([1, -1]))
print (my_relu (tf.constant ([3., -3.])))
  
tf.Tensor (5.5, shape = (), dtype = float32)
tf.Tensor ([1. 0.], shape = (2,), dtype = float32)
tf.Tensor ([3. 0.], shape = (2,), dtype = float32)
 

Если функция Function уже вызывалась с этой сигнатурой, функция Function не создает новый tf.Graph .

  # Эти два вызова * не * создают новые графики.
print (my_relu (tf.constant (-2.5))) # Подпись соответствует `tf.constant (5.5)`.
print (my_relu (tf.constant ([- 1., 1.]))) # Подпись соответствует `tf.constant ([3., -3.])`.
  
tf.Tensor (0.0, shape = (), dtype = float32)
tf.Tensor ([0. 1.], shape = (2,), dtype = float32)
 

Поскольку она поддерживается несколькими графиками, функция является полиморфной . Это позволяет ему поддерживать больше типов ввода, чем может представлять один tf.Graph , а также оптимизировать каждый tf.Graph для повышения производительности.

  # В my_relu есть три `ConcreteFunction '(по одной для каждого графа).
# ConcreteFunction также знает тип и форму возвращаемого значения!
печать (my_relu.pretty_printed_concrete_signatures ())
  
my_relu (х)
  Аргументы и двоеточие;
    x & двоеточие; float32 Тензор, shape = ()
  Возвращает & двоеточие;
    float32 Тензор, shape = ()

my_relu (х)
  Аргументы и двоеточие;
    x & двоеточие; float32 Тензор, shape = (2,)
  Возвращает & двоеточие;
    float32 Тензор, shape = (2,)

my_relu (x = [1, -1])
  Возвращает & двоеточие;
    float32 Тензор, shape = (2,)
 

До сих пор вы видели, как можно преобразовать функцию Python в график, просто используя tf.функция как декоратор или обертка. Но на практике заставить tf.function работать правильно может быть непросто! В следующих разделах вы узнаете, как заставить ваш код работать должным образом с помощью tf.function .

Выполнение графика и нетерпеливое исполнение

Код в Функция может выполняться как быстро, так и в виде графика. По умолчанию Функция выполняет свой код в виде графика:

  @ tf.function
def get_MSE (y_true, y_pred):
  sq_diff = tf.pow (y_true - y_pred, 2)
  вернуть tf.reduce_mean (sq_diff)
  
  y_true = tf.random.uniform ([5], maxval = 10, dtype = tf.int32)
y_pred = tf.random.uniform ([5], maxval = 10, dtype = tf.int32)
печать (y_true)
печать (y_pred)
  
tf.Tensor ([1 2 3 6 8], shape = (5,), dtype = int32)
tf.Tensor ([0 1 8 7 5], shape = (5,), dtype = int32)
 
  get_MSE (y_true, y_pred)
  

 

Чтобы убедиться, что ваш график Function выполняет те же вычисления, что и его эквивалентная функция Python, вы можете заставить его быстро выполняться с помощью tf.config.run_functions_eagerly (Истина) . Это переключатель, который отключает возможность Function создавать и запускать графики , вместо того, чтобы выполнять код в обычном режиме.

  tf.config.run_functions_eagerly (Истина)
  
  get_MSE (y_true, y_pred)
  

 
  # Не забудьте вернуть его, когда закончите.
tf.config.run_functions_eagerly (Ложь)
  

Однако Функция может вести себя по-разному при графическом и активном выполнении.Функция Python print является одним из примеров того, как эти два режима различаются. Давайте посмотрим, что произойдет, если вы вставите в нашу функцию инструкцию print и вызовете ее несколько раз.

  @ tf.function
def get_MSE (y_true, y_pred):
  print ("Расчет MSE!")
  sq_diff = tf.pow (y_true - y_pred, 2)
  вернуть tf.reduce_mean (sq_diff)
  

Посмотрите, что напечатано:

  ошибка = get_MSE (y_true, y_pred)
error = get_MSE (y_true, y_pred)
error = get_MSE (y_true, y_pred)
  
Расчет MSE!
 

Удивительный результат? get_MSE напечатан только один раз, хотя он был вызван три раз.

Для пояснения, оператор print выполняется, когда функция Function запускает исходный код для создания графика в процессе, известном как «трассировка». Tracing фиксирует операции TensorFlow в графике, а print не фиксируется на графике. Затем этот график выполняется для всех трех вызовов без повторного запуска кода Python .

В качестве проверки, давайте отключим выполнение графа для сравнения:

  # Теперь глобально установите все, чтобы он запускался с нетерпением, чтобы принудительно выполнить нетерпеливое выполнение.tf.config.run_functions_eagerly (Истина)
  
  # Обратите внимание на то, что напечатано ниже.
error = get_MSE (y_true, y_pred)
error = get_MSE (y_true, y_pred)
error = get_MSE (y_true, y_pred)
  
Расчет MSE!
Расчет MSE!
Расчет MSE!
 
  tf.config.run_functions_eagerly (Ложь)
  

print — это побочный эффект Python , и есть другие отличия, о которых следует знать при преобразовании функции в функцию .

Примечание: Если вы хотите печатать значения как в режиме ожидания, так и в графическом исполнении, используйте вместо этого tf.print .

tf.function лучшие практики

Может потребоваться некоторое время, чтобы привыкнуть к поведению , Функция . Чтобы быстро начать работу, начинающие пользователи должны поиграть с украшением игрушечных функций с помощью @ tf.function , чтобы получить опыт перехода от стремления к выполнению графа.

Проектирование на тс.Функция может быть вашим лучшим выбором для написания программ TensorFlow, совместимых с графами. Вот несколько советов:

  • Переключайтесь между нетерпеливым и графическим выполнением раньше и часто с помощью tf.config.run_functions_eagerly , чтобы точно определить, расходятся ли два режима или когда они расходятся.
  • Создать тс Переменная с
    вне функции Python и измените их внутри. То же самое касается объектов, которые используют tf.Variable , например keras.layers , keras.Модель s и tf. Оптимизаторы .
  • Избегайте написания функций, которые зависят от внешних переменных Python, за исключением tf.Variables и объектов Keras.
  • Предпочитайте писать функции, которые принимают на вход тензоры и другие типы TensorFlow. Вы можете передать другие типы объектов, но будьте осторожны!
  • Включите как можно больше вычислений в функцию tf. , чтобы максимизировать прирост производительности. Например, украсить весь тренировочный шаг или весь тренировочный цикл.

Наблюдая за ускорением

tf.function обычно улучшает производительность вашего кода, но степень ускорения зависит от типа вычислений, которые вы выполняете. В небольших вычислениях могут преобладать накладные расходы на вызов графа. Вы можете измерить разницу в производительности так:

  x = tf.random.uniform (shape = [10, 10], minval = -1, maxval = 2, dtype = tf.dtypes.int32)

def power (x, y):
  результат = tf.eye (10, dtype = tf.dtypes.int32)
  для _ в диапазоне (y):
    результат = tf.matmul (x, результат)
  вернуть результат
  
  print («Нетерпеливое исполнение:», timeit.timeit (lambda: power (x, 100), number = 1000))
  
Нетерпеливое исполнение и двоеточие; 1.777665522999996
 
  power_as_graph = tf.function (мощность)
print ("Выполнение графика:", timeit.timeit (lambda: power_as_graph (x, 100), number = 1000))
  
Выполнение графика и двоеточие; 0,5308018169999968
 

tf.function обычно используется для ускорения циклов обучения, как вы можете видеть здесь с Keras.

Примечание: Вы также можете попробовать tf.function (jit_compile = True) для более значительного повышения производительности, особенно если ваш код сильно загружен потоком управления TF и ​​использует много небольших тензоров.

Производительность и компромиссы

Графики могут ускорить ваш код, но процесс их создания имеет некоторые накладные расходы. Для некоторых функций создание графика занимает больше времени, чем его выполнение. Эти вложения обычно быстро окупаются за счет повышения производительности при последующих выполнениях, но важно знать, что первые несколько шагов обучения любой большой модели могут быть медленнее из-за трассировки.

Не важно, насколько велика ваша модель, вам следует избегать частого отслеживания. В руководстве tf.function обсуждается, как задать входные спецификации и использовать тензорные аргументы, чтобы избежать повторной трассировки. Если вы обнаружите, что у вас необычно низкая производительность, рекомендуется проверить, не выполняете ли вы повторное отслеживание случайно.

Когда выполняется трассировка функции

?

Чтобы узнать, когда выполняется трассировка функции Function , добавьте в ее код инструкцию print .Как показывает практика, функция Function будет выполнять оператор print при каждой трассировке.

  @ tf.function
def a_function_with_python_side_effect (x):
  print ("Отслеживание!") # Побочный эффект только для нетерпения.
  вернуть x * x + tf.constant (2)

# Это отслеживается впервые.
печать (a_function_with_python_side_effect (tf.constant (2)))
# Во второй раз побочного эффекта не будет.
печать (a_function_with_python_side_effect (tf.constant (3)))
  
Отслеживание!
tf.Тензор (6, shape = (), dtype = int32)
tf.Tensor (11, shape = (), dtype = int32)
 
  # Это повторяется каждый раз, когда изменяется аргумент Python,
# в качестве аргумента Python может быть счетчик эпох или другой
# гиперпараметр.
печать (a_function_with_python_side_effect (2))
печать (a_function_with_python_side_effect (3))
  
Отслеживание!
tf.Tensor (6, shape = (), dtype = int32)
Отслеживание!
tf.Tensor (11, shape = (), dtype = int32)
 

Здесь вы видите дополнительную трассировку, потому что новые аргументы Python всегда запускают создание нового графа.

Следующие шаги

Вы можете прочитать более подробное обсуждение как на справочной странице tf.function API, так и в руководстве.

Преобразование графиков функций | Блестящая вики по математике и науке

Теперь, когда мы знаем, как переводить и растягивать графики, сложнее всего объединить все это вместе, чтобы мы знали, как график y = 2f (3x + 4) +5 y = 2 f (3x + 4) + 5 y = 2f (3x + 4) +5 выглядит так.

Для решения таких вопросов мы предпринимаем следующие шаги:

  1. Запишите функцию в виде y = cf (1a (x − b)) + d.y = c f \ left (\ frac {1} {a} (x — b) \ right) + d. y = cf (a1 (x − b)) + d.
  2. Растяните график по горизонтали на aaa.
  3. Сдвинуть график вправо на bbb.
  4. Растяните график по вертикали на c cc.
  5. Сдвинуть график вверх на dd d.

Эта процедура объясняет, почему мы выбрали переменные a, b, c, da, b, c, da, b, c, d именно в таком порядке.

Примечание: есть много разных порядков преобразования, которые мы могли бы использовать. Я выбрал эту последовательность, потому что ее обычно легче растянуть, чем сдвинуть, и она имеет дело с горизонтальным и вертикальным направлениями отдельно.В конце этого раздела мы рассмотрим, как разные заказы влияют на процесс.

Почему это работает? Как график y = cf (1a (x − b)) + dy = cf \ left (\ frac {1} {a} (x — b) \ right) + dy = cf (a1 (x − b )) + d, связанный с графиком y = f (x) y = f (x) y = f (x)?

Когда мы растягиваем график y = f (x) y = f (x) y = f (x) по горизонтали на aaa, мы получаем график y = f (1ax) y = f \ left (\ frac {1 } {a} x \ right) y = f (a1 x).
Когда мы сдвигаем график y = f (1ax) y = f \ left (\ frac {1} {a} x \ right) y = f (a1 x) вправо на bbb, мы получаем график y = f (1a (x − b)) y = f \ left (\ frac {1} {a} (x — b) \ right) y = f (a1 (x − b)).
Когда мы растягиваем график y = f (1a (x − b)) y = f \ left (\ frac {1} {a} (x — b) \ right) y = f (a1 (x − b )) вертикально с помощью ccc, мы получаем график y = cf (1a (x − b)) y = cf \ left (\ frac {1} {a} (x — b) \ right) y = cf (a1 (x − b)).
Когда мы сдвигаем график y = cf (1a (x − b)) y = cf \ left (\ frac {1} {a} (x — b) \ right) y = cf (a1 (x − b )) вверх на ddd, мы получаем график y = cf (1a (x − b)) + dy = cf \ left (\ frac {1} {a} (x — b) \ right) + dy = cf ( a1 (x − b)) + d.

Как нарисовать график y = −2f (x) +4 y = -2f (x) +4 y = −2f (x) +4, когда нам дан график f (x) f (x) f (x)?


Записав это в приведенной выше форме, мы имеем −2f (x) +4 -2f (x) + 4 −2f (x) +4 с a = 1, b = 0, c = −2, d = 4 a = 1, b = 0, c = -2, d = 4 a = 1, b = 0, c = −2, d = 4.

Следовательно, мы хотим растянуть график по вертикали на −2-2 −2, а затем сдвинуть график вверх на 4. □ _ \ square □

Как нарисовать график y = f (2x + 3) y = f (2x + 3) y = f (2x + 3), когда нам дан график f (x) f (x) f (x )?


Записав это в приведенной выше форме, мы имеем f (2x + 3) = f (112 (x — (- 32))) f (2x + 3) = f \ left (\ dfrac {1} {\ frac { 1} {2}} \ Big (x — \ big (- \ frac {3} {2} \ big) \ Big) \ right) f (2x + 3) = f (21 1 (x — (- 23))).

Следовательно, мы хотим растянуть график по горизонтали на a = 12 a = \ frac {1} {2} a = 21, а затем сдвинуть график вправо на b = −32 b = — \ frac {3} { 2} b = −23.□ _ \ квадрат □

Начиная с графика y = f (x) y = f (x) y = f (x), если мы сдвинем его влево на 3, а затем растянем по горизонтали на 2, какой график мы получим?


Очень заманчиво сказать, что, поскольку a = 2 a = 2 a = 2 и b = −3 b = -3 b = −3, мы получим график y = f (12 (x − 3)) y = f \ left (\ frac {1} {2} (x — 3) \ right) y = f (21 (x − 3)). Однако, поскольку последовательность шагов теперь другая, мы не можем применить приведенную выше формулу. Нам нужно выяснить, что происходит в каждый момент времени.

Когда мы сдвигаем график y = f (x) y = f (x) y = f (x) влево на 3, мы получаем график y = f (x + 3) y = f (x + 3) y = f (x + 3).
Когда мы растягиваем график y = f (x + 3) y = f (x + 3) y = f (x + 3) по горизонтали на 2, мы получаем график y = f (x2 + 3) y = f \ left (\ frac {x} {2} + 3 \ right) y = f (2x +3). □ _ \ квадрат □

Если мы сдвинем график вверх на 4, а затем растянем его по вертикали на 2, это то же самое, что и какое из следующих преобразований?

A) \ quad \ text {A)} A) Растяните его по вертикали на 2, а затем сдвиньте вверх на 4.
B) \ quad \ text {B)} B) Растяните его по вертикали на 4, а затем сдвиньте вверх на 4.
C) \ quad \ text {C)} C) Растяните его по вертикали на 2, а затем сдвиньте вверх на 2.
D) \ quad \ text {D)} D) Растяните его по вертикали на 2, а затем сдвиньте вверх на 8.


Изменение порядка преобразования может не привести к тому же графику. Мы должны проверить каждый из них, чтобы быть уверенным.

Во-первых, давайте разберемся с преобразованием в вопросе.
Если мы сдвинем график y = f (x) y = f (x) y = f (x) вверх на 4, мы получим график y = f (x) +4 y = f (x) + 4 y = е (х) +4.
Если растянуть график y = f (x) +4 y = f (x) + 4 y = f (x) +4 по вертикали на 2, мы получим график y = 2 [f (x) +4 ] = 2f (x) +8 y = 2 [f (x) + 4] = 2f (x) + 8 y = 2 [f (x) +4] = 2f (x) +8.

Следовательно, это эквивалентно a = 1, b = 0, c = 2, d = 8 a = 1, b = 0, c = 2, d = 8 a = 1, b = 0, c = 2, d = 8, или мы хотим растянуть его по вертикали на 2, а затем сдвинуть вверх на 8. Таким образом, ответ будет D. □ _ \ square □

Если мы возьмем график y = f (x) y = f (x) y = f (x), сдвинем его вправо на 2, растянем по горизонтали на 3, сдвинем вниз на 4, а затем растянем по вертикали на 5, какой график мы получим?


Еще раз очень соблазнительно сказать, что, поскольку a = 3, b = 2, c = 5, d = −4 a = 3, b = 2, c = 5, d = -4 a = 3, b = 2, c = 5, d = −4, мы получим график y = 5f (13 (x − 2)) — 4 y = 5 f \ left (\ frac {1} {3} (x -2 ) \ справа) — 4 y = 5f (31 (x − 2)) — 4.Однако проблема в том, что эти шаги не выполняются в последовательности a, b, c, d a, b, c, da, b, c, d. Таким образом, нам нужно выяснить, что происходит в каждый момент времени.

Когда мы сдвигаем график y = f (x) y = f (x) y = f (x) вправо на 222, мы получаем график y = f (x − 2) y = f (x — 2) y = f (x − 2).
Когда мы растягиваем график y = f (x − 2) y = f (x-2) y = f (x − 2) по горизонтали на 333, мы получаем график y = f (x3−2) y = f \ left (\ frac {x} {3} — 2 \ right) y = f (3x −2).
Когда мы сдвигаем график y = f (x3−2) y = f \ left (\ frac {x} {3} -2 \ right) y = f (3x −2) вниз на 4, мы получаем график y = f (x3−2) −4 y = f \ left (\ frac {x} {3} -2 \ right) — 4 y = f (3x −2) −4.
Когда мы растягиваем график y = f (x3−2) −4 y = f \ left (\ frac {x} {3} -2 \ right) — 4 y = f (3x −2) −4 по вертикали на 5 мы получаем график 5 [f (x3−2) −4] 5 \ left [f \ left (\ frac {x} {3} -2 \ right) — 4 \ right] 5 [f (3x −2) −4].

Следовательно, мы получаем график y = 5f (x − 63) −20 y = 5 f \ left (\ frac {x — 6} {3} \ right) — 20 y = 5f (3x − 6) — 20. □ _ \ квадрат □

Почему график линейной функции представляет собой прямую линию?

Уильям МакКаллум

В моем последнем посте я написал о следующем стандарте и упомянул, что могу написать целый пост в блоге о первой запятой.2 $, дающая площадь квадрата как функцию длины его стороны, не является линейным, потому что его график содержит точки $ (1,1) $, $ (2,4) $ и $ (3,9) $, которые не на прямой .

Запятая указывает на то, что предложение «чей график представляет собой прямую линию» не является существенным для определения словосочетания «линейная функция». Это превращает предложение в дополнительную информацию: «Кстати, знаете ли вы, что график линейной функции представляет собой прямую линию?» Этот факт часто представляется очевидным; в конце концов, если вы начертите график или построите его с помощью графической утилиты, он определенно будет выглядеть как прямая линия.

Когда я спросил будущих учителей, почему это так, я получил примерно такие ответы:

Мы знаем, что линейная функция имеет постоянную скорость изменения, $ m $. Если вы перейдете на 1 на графике, вы всегда подниметесь на $ m $, например:

Итак, график похож на лестницу. Он всегда идет вверх ступенями одинакового размера, так что это прямая линия.

Это нормально. Он определяет определяющее свойство линейной функции — то, что она имеет постоянную скорость изменения — и связывает это свойство с геометрической особенностью графика.Но это «Вот, смотри!» доказательство. В конце концов, он показывает , что что-то верно, а не показывает , почему это правда. То есть это не доказательство.

Тем не менее, переход к геометрическому свойству линейных функций — это шаг в правильном направлении, потому что он фокусирует наши умы на основной концепции. Все мы знаем, что любые две точки лежат на одной линии, а три точки могут не лежать. Что такого особенного в трех точках на графике линейной функции, из которого следует, что они должны лежать на прямой линии?

Линия от $ A $ до $ B $ до $ C $ пунктирна, потому что мы еще не знаем, что это линия

Поскольку линейная функция имеет постоянную скорость изменения, наклон между любыми двумя из трех точек $ A $, $ B $ и $ C $ одинаков.Итак, $ | BP | / | AP | = | CQ | / | AQ | $, что означает наличие масштабного фактора $ k = | AQ | / | AP | = | CQ | / | BP | $, так что расширение с центром $ A $ и масштабным фактором $ k $ переводит $ P $ в $ Q $, а вертикальный отрезок $ BP $ переводит в вертикальный отрезок на основе $ Q $ той же длины, что и $ CQ $. Это означает, что это должно занять от $ B $ до $ C $.

Но (барабанная дробь) это означает, что есть расширение с центром $ A $, которое переводит $ B $ в $ C $. Расширения всегда принимают точки на луче от центра к другим точкам того же луча.Итак, $ A $, $ B $ и $ C $ лежат на одной линии.

Я действительно не ожидаю, что студенты получат все это, по крайней мере, не сразу. Я был бы счастлив, если бы они поняли, что здесь играет роль геометрический факт; что видеть не всегда означает верить.

Уильям МакКаллум

Билл МакКаллум, основатель «Иллюстративной математики», является заслуженным профессором математики Университета Аризоны.Он работал как в области математических исследований, в области теории чисел и арифметической алгебраической геометрии, так и в области математического образования, писал учебники и консультировал исследователей и политиков. Он является одним из основателей Гарвардского консорциума по исчислению и ведущим автором его учебников по алгебре и многомерному исчислению. В 2009–2010 годах он был одним из ведущих авторов Общих государственных стандартов по математике. Он имеет докторскую степень по математике Гарвардского университета и степень бакалавра наук. из Университета Нового Южного Уэльса.

Как определить, является ли график функцией

Важно знать, как определить, является ли график функцией. Когда вы имеете дело с функцией, правило состоит в том, что на каждый вход приходится ровно один выход. Это правило упрощает идентификацию функций. Вам нужно будет уметь читать график, но есть несколько способов проверить график и быстро узнать, представляет ли он функцию или нет.

Используйте тест вертикальной линии

Большинство графиков имеют две оси: ось x и ось y.Ось X проходит слева направо, а ось Y — вверх и вниз. Обычно значение x является входом, а значение y — выходом функции. График представляет собой набор всех точек, которые работают для графика y = f (x).

Тест вертикальной линии — это когда вы можете выбрать любое место на графике и нарисовать линию. Вертикальная линия параллельна оси Y и проходит вверх и вниз. Линия не должна пересекать более одной точки на графике. Если он пересекает более одной точки, это не функция.Если он пересекает только одну точку, это функция.

Составьте таблицу значений X и Y

Когда вы посмотрите на график, вы заметите, что центр графика, где ось x пересекает ось y, является точкой (0,0). Значения вверху и справа положительны; значения ниже и слева отрицательны. Вы можете создать диаграмму с X с одной стороны и Y с другой. Для каждой точки на графике запишите значения X и Y. Значение x — это точка, попадающая на ось x, а значение y — это место, где точки попадают на ось y.

Когда у вас есть диаграмма, убедитесь, что есть только одно значение y для каждого значения x. Если любое значение x имеет более одного значения y, это не функция, потому что по определению каждое значение x может иметь только одно значение y.

Список упорядоченных пар, которые являются решениями

Точки на графике — это упорядоченные пары, которые решают функцию. Например, если у вас есть график f (x) = x + 1, вы должны придумать упорядоченные пары для его решения. Вы можете начать со значением x, равным 0.0 + 1 = 1, поэтому значение y равно 1. Эта упорядоченная пара равна (0,1). Вы можете выбрать все значения x на графике и проверить их, чтобы увидеть, имеют ли они разные значения y.

Возьмите следующий список упорядоченных пар (1,2), (2,3), (1,4) и (3,2). У вас нет функции, потому что значение x, равное 1, имеет два разных выхода: 2 и 4.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.