График функции а в степени х: Показательная функция, её график и свойства — урок. Алгебра, 11 класс.

Содержание

Урок 21. показательная функция — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №21. Показательная функция.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— какая функция называется показательной;

— какие свойства имеет показательная функция в зависимости от ее основания;

— какой вид имеет график показательной функции в зависимости от ее основания;

— примеры реальных процессов, описываемых показательной функцией.

Глоссарий по теме

Функция вида , a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Функция называется монотонно возрастающей на промежутке <a; b>, если (чем больше аргумент, тем больше значение функции).

Функция называется монотонно убывающей на промежутке <a; b>, если (чем больше аргумент, тем меньше значение функции).

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.310-314, сс. 210-216.

Открытые электронные ресурсы:

http://fcior.edu.ru/ — Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов

http://school-collection.edu.ru/ — Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Определение, свойства и график показательной функции

Определение:

Функция вида y=ах, a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Такое название она получила потому, что независимая переменная стоит в показателе. Основание а – заданное число.

Для положительного основания значение степени ах можно найти для любого значения показателя х – и целого, и рационального, и иррационального, то есть для любого действительного значения.

Сформулируем основные свойства показательной функции.

1. Область определения.

Как мы уже сказали, степень ах для a>0 определена для любого действительного значения переменной х, поэтому область определения показательной функции D(y)=R.

2. Множество значений.

Так как основание степени положительно, то очевидно, что функция может принимать только положительные значения.

Множество значений показательной функции Е(y)=R+, или Е(y)=(0; +∞).

3. Корни (нули) функции.

Так как основание a>0, то ни при каких значениях переменной х функция не обращается в 0 и корней не имеет.

4. Монотонность.

При a>1 функция монотонно возрастает.

При 0<a<1 функция монотонно убывает.

5. При любом значении а значение функции y (0) = а0 =1.

6. График функции.

При a>1

Рисунок 1 – График показательной функции при a>1

При 0<a<1

Рисунок 2 – График показательной функции при 0<a<1

Независимо от значения основания а график функции имеет горизонтальную асимптоту y=0. Для 0<a<1 при х стремящемся к плюс бесконечности, для a>1 при х стремящемся к минус бесконечности.

2. Рассмотрим пример исследования функции y=–3х+1.

Решение:

1) Область определения функции любое действительное число.

2) Найдем множество значений функции.

Так как 3х>0, то –3х<0, значит, –3х+1<1, то есть множество значений функции y=–3х+1 представляет собой промежуток (-∞; 1).

3) Так как функция y=3х монотонно возрастает, то функция y=–3х монотонно убывает. Значит, и функция y=–3х+1 также монотонно убывает.

4) Эта функция будет иметь корень: –3х+1=0, 3х=1, х=0.

5) График функции

Рисунок 3 – График функции y=–3х+1

6) Для этой функции горизонтальной асимптотой будет прямая y=1.

3. Примеры процессов, которые описываются показательной функцией.

1) Рост различных микроорганизмов, бактерий, дрожжей и ферментов описывает формула: N= N0·akt, N– число организмов в момент времени t, t – время размножения, a и k – некоторые постоянные, которые зависят от температуры размножения, видов бактерий. Вообще это закон размножения при благоприятных условиях (отсутствие врагов, наличие необходимого количества питательных веществ и т.п.). Очевидно, что в реальности такого не происходит.

2) Давление воздуха изменяется по закону: P=P0·a-kh, P– давление на высоте h, P0 – давление на уровне моря, h – высота над уровнем моря, a и k – некоторые постоянные.

3) Закон роста древесины: D=D0·akt, D– изменение количества древесины во времени, D0 – начальное количество древесины, t – время, a и k – некоторые постоянные.

4) Процесс изменения температуры чайника при кипении описывается формулой: T=T0+(100– T0)e-kt.

5) Закон поглощения света средой: I=I0·e-ks, s– толщина слоя, k – коэффициент, который характеризует степень замутнения среды.

6) Известно утверждение, что количество информации удваивается каждые 10 лет. Изобразим это наглядно.

Примем количество информации в момент времени t=0 за единицу. Тогда через 10 лет количество информации удвоится и будет равно 2. Еще через 10 лет количество информации удвоится еще раз и станет равно 4 и т.д.

Если предположить, что поток информации изменялся по тому же закону до того года, который принят за начальный, то будем двигаться по оси абсцисс влево от начала координат и над значениями аргумента -10, -20 и т.д. будем наносить на график значения функции уже в порядке убывания — уменьшая каждый раз вдвое.

Рисунок 4 – График функции y=2х – изменение количества информации

Закон изменения количества информации описывается показательной функцией y=2х.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Выберите показательные функции, которые являются монотонно убывающими.

  1. y=3x-1
  2. y=(0,4)x+1
  3. y=(0,7)
  4. y=
  5. y=3-2х
  6. y=102x +1

Решение:

Монотонно убывающими являются показательные функции, основание которых положительно и меньше единицы. Такими функциями являются: 2) и 4) (независимо от того, что коэффициент в показателе функции 4) равен 0,5), заметим, что функцию 4) можно переписать в виде: , используя свойство степеней.

Также монотонно убывающей будет функция 5). Воспользуемся свойством степеней и представим ее в виде:

2) 4) 5)

Пример 2.

Найдите множество значений функции y=3x+1– 3.

Решение:

Рассмотрим функцию.

Так как 3x+1>0, то 3x+1– 3>–3, то есть множество значений:

(– 3; +∞).

Пример 3.

Найдите множество значений функции y=|2x– 2|

Рассмотрим функцию.

2x–2>–2, но, так как мы рассматриваем модуль этого выражения, то получаем: |2x– 2|0.

3 в степени х функция

Вы искали 3 в степени х функция? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и y 3 в степени x, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «3 в степени х функция».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 3 в степени х функция,y 3 в степени x,y 3 в степени x график,y x в степени 3,график 3 в степени x,график 3 в степени х,график y 3 в степени x,график у 3 в степени х,график у х в 3 степени,график у х в степени 3,график функции y 1 3 в степени x,график функции х 3 в степени у,график х в 3 степени,график х в степени 3,графики степенных функций,построить график функции y 3 в степени x,построить график функции у 3 в степени х,степенная функция и ее график и график,у 3 в степени х,у 3 в х степени,у х в степени 3,функция 3 в степени х,х в степени 3 график. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 3 в степени х функция. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, y 3 в степени x график).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 3 в степени х функция Онлайн?

Решить задачу 3 в степени х функция вы можете на нашем сайте https://pocketteacher. ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Показательная функция


1.Показательная функция – это функция вида у(х) =ах  , зависящая от показателя степени х, при постоянном значении основания степени a , где а > 0, a ≠ 0, xϵR (R – множество действительных чисел).


Рассмотрим график функции, если основание не будет удовлетворять условию: а>0

a) a < 0

Если a < 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.

а = -2




х


-1


0


1


2


3


4


5


6


у


-0,5


1


-2


4


-8


16


-32


64


б) a = 0


Если а = 0 – функция у =  определена и имеет постоянное значение 0




x


-2


-1


0


1


2


3


4


5


6


y


0


0


0


0


0


0


0


0


0


 



в) а =1

Если а = 1 – функция у =  определена и имеет постоянное значение 1


2. Рассмотрим подробнее показательную функцию:


0 <a< 1


 

a > 1




x


-1


0


1


2


3


4


5


6


y


0,5


1


2


4


8


16


32


64


1. X ϵ R


Область определения функции (ООФ)


D(y) = R


2. y > 0


Область допустимых значений функции (ОДЗ)



3. Нули функции (у = 0)


Нет


4. Точки пересечения с осью ординат oy  (x = 0)


Y = 1


5. Возрастания, убывания функции


Если  , то функция f(x) возрастает

Если   , то функция f(x) убывает

Функция y= , при 0 <a< 1 монотонно убывает

Функция у = , при a> 1 монотонно возрастает

Это следует из свойств монотонности степени с действительным показателем.


6. Чётность, нечётность функции


Функция у =  не симметрична относительно оси 0у и относительно началу координат, следовательно не является ни чётной, ни нечётной. (Функция общего вида)


7. Функция у =  экстремумов не имеет


8. Свойства степени с действительным показателем:


Пусть а > 0; a≠1

b> 0; b≠1


Тогда для xϵR; yϵR:



Свойства монотонности степени:


если , то

Например:





Если a> 0,  , то .

Показательная функция непрерывна в любой точке  ϵ R.


9. Относительное расположение фунцкции


Чем больше основание а, тем ближе к осям ох и оу


a > 1, a = 20




x


-1


0


1


2


3


y


0,05


1


20


400


8000






Чем меньше основание а, тем дальше от осей ох и оу


0 <a< 1




х


-1


0


1


2


3


4


5


у


1,25


1


0,8


0,64


0,512


0,4096


0,32768


Если а 0, то показательная функция принимает вид близкий к y = 0.

Если а 1, то дальше от осей ох и оу и график принимает вид близкий к функции у = 1.


Пример 1.

Построить график у =


Решение:




x


-2


-1


0


1


2


y


0,111111


0,333333


1


3


9


Основание степени больше 1, следовательно, функция строго возрастает


Пример 2.

Решение:




x


-2


-1


0


1


2


y


9


3


1


0,333333


0,111111




Основание степени меньше 1, следовательно функция сторого убывает


Пример 3.

Используя график, найти корни уравнения:

Решение:

Построим на одной координатной плоскости графики функции    и у = х + 3





x


-2


-1


0


1


2



4


2


1


0,5


0,25



1


2


3


4


5


Пример 4.

Какие значения аргумента допустимы для функции:



Решение:


Условия существования корня:


Условие существования дроби:


Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич


Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна

График функции 2 в степени модуль х. График функции

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. 3$.
2. Найдем точку А, координата x, которой равна 1,5. Мы видим, что координата функции находится между значениями 3 и 4 (см. рис. 2). Значит надо заказать 4 куба.

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2
, изображен пунктиром).

2.
Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1
).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

(рис. 3)
.

Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4)
.

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y
0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6)
.

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7)
.

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8)
.

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9)
.

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11)
.

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Изучение свойств функций и их графиков занимает значительное место как в школьной математике, так и в последующих курсах. Причем не только в курсах математического и функционального анализа, и даже не только в других разделах высшей математики, но и в большинстве узко профессиональных предметов. Например, в экономике — функции полезности, издержек, функции спроса, предложения и потребления…, в радиотехнике — функции управления и функции отклика, в статистике — функции распределения… Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных функций, нужно научиться свободно оперировать графиками элементарных функций. Для этого после изучения следующей таблицы рекомендую пройти по ссылке «Преобразования графиков функций».

В школьном курсе математики изучаются следующие
элементарные функции.

Название функции Формула функции График функции Название графика Комментарий
Линейная y = kx
Прямая Cамый простой частный случай линейной зависимости — прямая пропорциональность у = kx
, где k
≠ 0 — коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k
= 1, т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента.
Линейная y
= kx
+ b
Прямая Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k
и b
— любые действительные числа. Здесь k
= 0.5, b
= -1.
Квадратичная y = x
2
Парабола Простейший случай квадратичной зависимости — симметричная парабола с вершиной в начале координат.
Квадратичная y = ax
2 + bx
+ c
Парабола Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a
— произвольное действительное число не равное нулю (a
принадлежит R, a
≠ 0), b
, c
— любые действительные числа.
Степенная y = x
3
Кубическая парабола Самый простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций».
Степенная y = x
1/2
График функции
y
= √x
Самый простой случай для дробной степени (x
1/2 = √x
). Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций».
Степенная y = k/x
Гипербола Самый простой случай для целой отрицательной степени (1/x = x
-1) — обратно-пропорциональная зависимость. Здесь k
= 1.
Показательная y
= e x
Экспонента Экспоненциальной зависимостью называют показательную функцию для основания e
— иррационального числа примерно равного 2,7182818284590…
Показательная y = a x
График показательной функции a
> 0 и a
a
. Здесь пример для y = 2 x
(a
= 2 > 1).
Показательная y = a x
График показательной функции Показательная функция определена для a
> 0 и a
≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a
. Здесь пример для y = 0,5 x
(a
= 1/2
Логарифмическая y
= lnx
График логарифмической функции для основания e
(натурального логарифма) иногда называют логарифмикой.
Логарифмическая y
= log a x
График логарифмической функции Логарифмы определены для a
> 0 и a
≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a
. Здесь пример для y
= log 2 x
(a
= 2 > 1).
Логарифмическая y = log a x
График логарифмической функции Логарифмы определены для a
> 0 и a
≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a
. Здесь пример для y
= log 0,5 x
(a
= 1/2
Синус y
= sinx
Синусоида Тригонометрическая функция синус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций».
Косинус y
= cosx
Косинусоида Тригонометрическая функция косинус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций».
Тангенс y
= tgx
Тангенсоида Тригонометрическая функция тангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций».
Котангенс y
= сtgx
Котангенсоида Тригонометрическая функция котангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций».
Обратные тригонометрические функции.

Название функции Формула функции График функции Название графика

Построение графиков элементарных функций.

Теперь рассмотрим схемы графиков многочленов четвёртой степени .
Заметим, что как при больших отрицательных, так и при больших положительных значениях аргумента x
значения функции будут большими числами, совпадающими по знаку с коэффициентом a . Пусть коэффициент
a >0.

1 случай.

Производная многочлена имеет три различных корня
x1 , x2 ,
x3.

В этом случае функция имеет три точки экстремума и график выглядит следующим образом.
Такого вида графики получаются, когда многочлен четвёртой степени имеет четыре различных действительных корня,
 
или когда два разных корня, а третий корень кратности два,
 
или два корня кратности два.

Пример 5.4.
Построить график функции .

2 случай.

Производная многочлена четвёртой степени имеет два корня,
один из которых имеет кратность два, и значит, в этой точке экстремума нет. График в этом случае выглядит так:

Такого вида случай получается, если многочлен четвёртой степени имеет один простой корень, а другой кратности три.

Пример 5.5.
Построить график функции .

Решение.
Отметим корни многочлена на оси абсцисс:
x1 = -1 , x2 = 3 .

Первый корень имеет кратность три, а значит, функция, переходя через корень,
будет менять свой знак, касаясь оси OX (смотри параграф 1 «Графики элементарных функций » график функции
). График будет выглядеть так:

3 случай.

Производная многочлена четвёртой степени имеет один действительный корень.
В этом случае многочлен имеет одну точку минимума и его график схож с графиком функции y=x4.

Например, эта парабола четвёртой степени является графиком функции

Аналогично строятся графики многочленов четвёртой степени с отрицательным старшим коэффициентом. В этом случае
ветви параболы четвёртой степени направлены вниз. Получаем следующую сводную таблицу.

страницы:1
2 3

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Степенные функции

      Определение 1. Степенной функцией называют функцию

y = x p ,

где   p   – любое действительное число, отличное от нуля.

     С понятиями степени с рациональным показателем и степени с иррациональным показателем можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Степень с рациональным показателем».

      Графики степенных функций при различных значениях   p   представлены в следующей таблице.

Графики степенных функций

Показательные функции

      Определение 2. Показательной функцией называют функцию

y = a x ,

где   a   – любое положительное число, отличное от   1 .

     С понятиями степени с рациональным показателем и степени с иррациональным показателем можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Степень с рациональным показателем».

      Графики показательных функций при различных значениях   a   представлены в следующей таблице.

Графики показательных функций

Логарифмические функции

      Определение 3. Логарифмической функцией называют функцию

y = log a x ,

где   a   – любое положительное число, отличное от   1 .

     С определением и свойствами логарифмов можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Логарифмы».

      Графики логарифмических функций при различных значениях   a   представлены в следующей таблице.

Графики логарифмических функций

y = ln x

y = lg x

y = log 2x

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Область определения функции | Онлайн калькулятор

Данный калькулятор позволит найти область определения функции онлайн.
Область определения функции y=f(x) – это множество всех значений аргумента x, на котором задана функция. Другими словами, это все x, для которых могут существовать значения y. На графике областью определения функции является промежуток, на котором есть график функции.
Область определения функции f(x), как правило, обозначается как D(f). Принадлежность к определенному множеству обозначается символом ∈, а X – область определения функции. Таким образом, формула x∈X означает, что множество всех значений x принадлежит к области определения функции f(x).
Приведем примеры определения основных элементарных функций. Областью определения постоянной функции y=f(x)=C является множество всех действительных чисел. Когда речь идет о степенной функции y=f(x)=xa, область определения зависит от показателя степени данной функции. При нахождении области определения функции y=f(x)= √(n&x) (корень n-ой степени) следует обращать внимание на четность или нечетность n.
Областью определения логарифмической функции являются все положительные действительные числа, и она не зависит от основания логарифма. 4)

Power Function — Свойства, графики и приложения

Когда-нибудь работали с функцией, содержащей один член? Скорее всего, вы работали с степенной функцией. Этот тип функции настолько разнообразен, что если вы изучаете функции, мы на 100% уверены, что вы уже встречались с типом степенной функции, даже не зная, что это именно он.

Почему бы нам не начать с определения степенных функций?

Степенная функция — это функция с одним членом, которая содержит переменную в своем основании и константу в качестве экспоненты.

Это означает, что существует множество родительских функций, которые также являются степенными функциями. В этой статье мы узнаем:

  • Что такое силовые функции.
  • Особые свойства, которые может проявлять степенная функция.
  • Примените эти свойства при построении графиков и идентификации степенных функций.

Обязательно держите под рукой блокнот, так как здесь подробно обсуждаются функции управления питанием. Мы даже научимся применять степенные функции в задачах со словом.

Почему бы нам не начать с его определения и некоторых примеров степенных функций?

Что такое степенная функция?

Прежде чем мы углубимся в важные свойства степенной функции, мы должны понять фундаментальное определение степенных функций. Вот общая форма степенных функций:

Давайте разберем эту общую форму и найдем примеры степенных функций, использующих это определение.

Обязательно ознакомьтесь с этой формой, поскольку мы будем использовать ее неоднократно на протяжении всей статьи.

Определение и примеры степенных функций

Как показано в предыдущем разделе, степенные функции представляют собой функции в форме f (x) = kx a или y = kx a , где k — ненулевой коэффициент, а a — действительное число.

Вот несколько примеров степенных функций:

  • y = -5x 2
  • y = 2 √x
  • f (x) = 3 / x 2
  • g (x) = 2x 3

Обратите внимание, что каждая функция содержит только один термин для каждого примера — важный идентификатор степенных функций.Показатели степенных функций также должны быть действительными числами, поэтому давайте проверим каждый показатель из примеров, чтобы подтвердить это.

  • Функция y = -5x 2 и g (x) = 2x 3 — это функции с целыми числами в качестве экспонентов, поэтому они являются степенными функциями.
  • Функция квадратного корня y = 2 √x может быть переписана как y = 2x 1/2 , поэтому ее показатель степени является действительным числом, поэтому это также степенная функция.
  • Мы применяем тот же процесс с f (x) = 3 / x 2 и получаем f (x) = 3x -2 , подтверждая, что это степенная функция, поскольку -2 — действительное число.

Ниже приведены лишь некоторые родительские функции, и давайте посмотрим, почему все они также считаются степенными функциями.

Родительская функция Форма функции
Постоянная функция y = a
Линейная функция y = x
Кубическая функция y = x 3
Взаимная функция y = 1 / x, y = 1 / x 2
Функция квадратного корня y = √x

Поскольку эти родительские функции содержат по одному члену и действительные числа для их показателей, все они являются степенными функциями.

Как построить график степенных функций?

При построении графиков степенных функций мы должны иметь в виду эти два важных свойства степенных функций: их симметрию и поведение конца .

Вот краткое руководство по построению графиков функций мощности, чтобы показать вам, почему эти две функции могут помочь вам сэкономить время:

  • Определите, является ли функция мощности нечетной или четной.
  • Применяйте преобразования всякий раз, когда можете.
  • Найдите точки, которые помогут построить график половины степенной функции.
  • Применить свойство симметрии данной степенной функции.
  • Еще раз проверьте их конечное поведение.

Почему бы нам не обновить свои знания о нечетных и четных функциях и не посмотреть, как они влияют на график степенной функции?

Симметрия и поведение конца четных степенных функций

Степенные функции бывают четными или нечетными, поэтому они также либо симметричны относительно оси y, либо относительно начала координат . Мы также можем предсказать конечное поведение степенных функций на основе их коэффициента и мощности .

Давайте посмотрим на график этих четных степенных функций: y = 2x 2 и y = -4x 4 . Чтобы построить график каждой функции, нарисуйте несколько точек справа и отразите эту кривую по оси ординат.

Для обоих графиков, поскольку показатели четные, функции также четные, и, следовательно, их графики симметричны по оси y.

Начнем с четных степенных функций с положительным коэффициентом , например y = 2x 2 .

  • Поскольку коэффициент 2 положительный, график открывается вверх на .
  • Мы видим, что когда x <0, функция убывает, а когда x> 0, функция убывает.
  • Следовательно, и левая, и правая стороны кривой будут расти (↑) .

Теперь давайте рассмотрим четных степенных функций с отрицательным коэффициентом , например y = -4x 4 .

  • Поскольку коэффициент -4 отрицательный, график открывается вниз на .
  • Здесь мы можем видеть, что когда x <0, функция увеличивается, а когда x> 0, функция убывает.
  • Это означает, что для с обеих сторон мы ожидаем, что кривая пойдет вниз (↓).

Симметрия и конечное поведение функций нечетной мощности

Как насчет функций нечетной мощности? Давайте продолжим и рассмотрим эти две функции: y = 3x 3 и y = -x 5 .

Чтобы построить график этих двух функций, мы можем нанести некоторые значения либо на левую, либо на правую сторону координатной плоскости.Отразите график над началом координат.

Из определения нечетных функций мы видим, что обе степенные функции симметричны относительно начала координат .

Вот некоторые вещи, которые мы можем наблюдать на графике y = 3x 3 , где коэффициент положительный :

  • Мы можем видеть, что когда x <0, функция увеличивается, и когда x> 0, функция увеличивается на .
  • Следовательно, левая сторона опускается (↓) , а правая сторона поднимается (↑) .

Теперь рассмотрим поведение нечетных функций при отрицательном коэффициенте .

  • Мы видим, что когда x <0 и x> 0, функция уменьшается
  • Следовательно, левая сторона поднимается (↑) , а правая сторона опускается (↓) .

Понимание эффекта экспоненты, a

Мы подробно обсудили влияние на график степенной функции на основе ее четности и значения k.Теперь давайте попробуем увидеть разницу, когда a — это дробь, а когда a — целое число.

Случай 1. Когда a = 0 и a = 1 , мы ожидаем, что график сведется к постоянной функции и линейной функции соответственно.

Графики y = 2 и y = 2x могут подтвердить это. Такое же поведение применяется ко всем значениям k.

Доменом для этого случая будут все действительные числа или в интервальной записи, то есть (-∞, ∞).

Случай 2: Когда a <0 .Давайте посмотрим на графики y = x -1 и y = x -2 :

Когда a отрицательно, а степенная функция возвращает рациональное выражение, мы можем видеть, что графики подходят, но никогда не равно 0 . Это означает, что область значений этих степенных функций будет любым действительным числом, кроме 0, , поэтому область значений будет (-∞, 0) U (0, ∞) .

Два графика также вогнуты вверх с обеих сторон .

Случай 3: Когда 1 .Давайте рассмотрим графики y = x 1/2 и y = x 1/3 :

Когда a — дробная часть, а степенная функция возвращает радикальное выражение. Мы видим, что область значений будет зависеть от того, является ли знаменатель четным или нечетным:

  • Если знаменатель четный, только положительные значения x будут частью области значений или [0, ∞).
  • Если знаменатель нечетный, все его области могут быть действительными числами или (-∞, ∞).

Два графика также вогнуты вниз с обеих сторон .

Случай 4. Когда a> 1 , давайте рассмотрим графики y = x 5 и y = x 6 .

Когда показатель степени положительный, , мы ожидаем, что графики будут вогнутыми вверх . Доменом для этого типа степенной функции будут все действительные числа или интервальные обозначения , (-∞, ∞) .

Как найти степенную функцию?

Иногда нам дают график степенной функции или несколько точек, проходящих через его график.Мы все еще можем найти выражение, представляющее степенную функцию, используя две точки.

  • Подставьте эти две точки в общую форму степенных функций: y = kx a .
  • Найдите способ сохранить либо k , либо a в одном из уравнений.
  • Определите значения для k и a и подставьте их обратно в общую форму степенных функций.

Допустим, мы хотим найти степенную функцию, проходящую через (2, 16) и (3, 54). Подставьте эти значения в общий вид:

(2, 16)

16 = k (2) a

16/2 a = k

(3, 54)

54 = k (3) a

54/3 a = k

Давайте приравняем оба выражения в правой части и получим:

16/2 a = 54 / 3 a

8/2 a = 27/3 a

2 3 /2 a = 3 3 /3 a

2 3 — a = 3 3 — a

Это уравнение будет верным, только если обе стороны равны 1.Это означает, что 3 — a должно быть равно 0. Следовательно, a = 3.

Подставим это обратно в любое из выражений k:

k = 16/2 3

= 16/8

= 2

Теперь, когда у нас есть a = 3 и k = 2, мы можем записать выражение степенной функции: y = 2x 3 .

Что, если мы хотим найти выражение степенной функции на основе ее графика? Просто обратите внимание на две точки, через которые проходит график функции, а затем примените тот же процесс.

Прежде чем мы попробуем еще несколько вопросов, связанных с степенными функциями, почему бы нам не подытожить все, что мы знаем о степенных функциях?

Сводка формул степенной функции и их свойств

Вот несколько полезных напоминаний при работе с степенными функциями и их приложениями:

  • При определении того, является ли функция степенной функцией, убедитесь, что выражение является единственным член , k — постоянная , а a — действительное число .
  • Графики степенных функций будут зависеть от значений k и a.
  • Применяйте свойства четных и нечетных функций, когда это применимо.
  • При нахождении выражения для степенной функции всегда используйте общую форму: y = kx a .
  • Используйте приведенную ниже таблицу, чтобы спрогнозировать конечное поведение степенных функций.
Условие для k Функции четной мощности Функции нечетной мощности
Когда k> 0

Функция уменьшается при x <0:

As x → ∞, y → ∞

Функция возрастает, когда x> 0:

При x → ∞, y → ∞

Функция возрастает в интервале x:

При x → — ∞, y → — ∞

При x → ∞, y → ∞

При k <0

Функция увеличивается при x <0:

При x → — ∞, y → — ∞

Функция уменьшается при x > 0:

При x → ∞, y → — ∞

Функция убывает на всем интервале x:

При x → — ∞, y → ∞

При x → ∞, y → — ∞

Убедитесь, что понимаете концепцию силовых функций и ознакомьтесь с различное конечное поведение. Когда будете готовы, давайте попробуем решить некоторые задачи!

Пример 1

Какие из следующих функций считаются степенными?

а. f (x) = -2x 2 · 3x
б. g (x) = 2√x + 5

в. h (x) = 0,5x π
d. m (x) = — (x + 1) 2
e. n (x) = 1 / x 3

Решение

Проверьте каждую из указанных функций и по возможности упростите выражения.

а. Функцию все еще можно упростить до f (x) = -6x 3 . Мы можем видеть, что он содержит только один член и имеет действительное число для его коэффициента и показателя степени, поэтому f (x) является степенной функцией .

Следующие два элемента (b и d) содержат более одного члена и не могут быть упрощены, поэтому функции g (x) и m (x) не рассматриваются как степенные функции .

г. Мы всегда возвращаемся к фундаментальному определению степенных функций: они содержат один член, а коэффициент и показатели являются действительными. И 0,5, и π являются действительными числами, поэтому h (x) также является степенной функцией .

эл. Поскольку 1 / x 3 = 1 · x -3 , мы можем видеть путем осмотра, что он удовлетворяет условиям степенных функций, поэтому n (x) также является степенной функцией .

Следовательно, функций в a, c и e являются степенными функциями .

Пример 2

Заполните пробелы всегда , иногда и никогда , чтобы следующие утверждения были верными.

а. Кубические функции — это ______________ степенные функции.
г. Постоянные функции — это _____________ степенные функции.
г. У степенных функций ___________ будут отрицательные показатели.

Решение

Давайте продолжим и проверим каждую выписку:

a. Некоторые примеры кубических функций: 2x 3 и x 3 — x 2 + x — 1. Мы видим, что первый пример является степенной функцией, а второй — нет. Это означает, что кубические функции могут быть , иногда степенными функциями.

г. Общий вид постоянных функций — y = c, где c — любая ненулевая константа. Из общей формы видно, что независимо от значения c, постоянные функции всегда будут иметь один член с действительными числами для их коэффициента и экспоненты. Следовательно, постоянные функции будут всегда степенными функциями.

г. Пока функция содержит один член и экспоненту действительного числа, она будет считаться степенной функцией. Это означает, что степенная функция может иметь положительные и отрицательные показатели.Таким образом, они могут иметь , иногда иметь отрицательные показатели.

Пример 3

Определите конечное поведение следующих степенных функций:

a. f (x) = x 3

б. g (x) = -4x 4

c. h (x) = (-3x) 3

Решение

При прогнозировании конечного поведения степенной функции проверьте знак коэффициента и значение показателя степени. Используйте таблицу, которую мы предоставили, чтобы помочь вам в прогнозировании конечного поведения.

а. Функция f (x) = x 3 имеет коэффициент 1 и положительный показатель степени 3. Поскольку степень нечетная, ожидается, что функция будет увеличиваться во всей области определения.

Это означает, что левая сторона кривой идет вниз, а правая — вверх: (↓ ↑).

г. Для второй функции g (x) = -4x 4 имеет отрицательный коэффициент и четный положительный показатель степени. Это означает, что график должен открываться вниз.Функция также будет увеличиваться, когда x <0, и уменьшаться, когда x> 0.

Это означает, что как левая, так и правая стороны кривой, как ожидается, будут идти вниз: (↓↓).

г. Давайте сначала упростим выражение для h (x): h (x) = -27x 3 . Мы видим, что h (x) имеет отрицательный коэффициент и нечетную экспоненту. Когда это происходит, функция уменьшается во всем своем домене.

Кривая графика: вверх с левой стороны и спуск с правой стороны: (↑ ↓).

Пример 4

Покажите, что произведение двух степенных функций всегда будет также возвращать степенную функцию.

Решение

Пусть две степенные функции имеют вид f (x) = mx p и g (x) = nx q , где m и n — действительные числовые коэффициенты. Показатели p и q также являются действительными числами.

Умножение двух функций приведет к:

f (x) · g (x) = (mx p ) · (nx q )

= mn x p + q

Пусть mn = k и p + q = a, следовательно, f (x) · g (x) = kx a .

Поскольку mn и p + q — действительные числа, k и a также будут действительными числами. Продукт по-прежнему возвращает степенную функцию, поэтому мы только что подтвердили, что произведение двух степенных функций также будет степенной функцией.

Пример 5

Изобразите степенную функцию f (x) = -3x 5 и ответьте на следующие вопросы.

а. Каков домен и диапазон функции?

г. Если график сдвинуть на 6 единиц вверх, будет ли полученная функция по-прежнему степенной?

Решение

Поскольку f (x) — нечетная функция, мы ожидаем, что график будет симметричным относительно начала координат.

Мы можем нанести эти точки на половину кривой и отразить ее по началу координат.

а. Поскольку показатель степени положительный и нечетный, область и диапазон f (x) будут все действительными числами или (-∞, ∞) . Это также можно подтвердить, просмотрев график.

г. Когда мы переводим f (x) на 6 единиц, мы добавляем 6 к выражению. Следовательно, выражение новой функции теперь будет -3x 5 + 6. Это выражение будет содержать два члена, и, таким образом, новая функция больше не будет степенной функцией .

Пример 6

Используйте показанный ниже график, чтобы найти выражение для h (x).

Решение

Поскольку график h (x) проходит через (-1, -2), (1, -2) и (1/2, -8), мы можем использовать любое из этих три точки в общем виде степенной функции: y = kx a .

Обратите внимание на график? Кривые приближаются, но никогда не могут быть равны 0, поэтому мы ожидаем, что показатель степени будет дробным.

Давайте сначала подставим (1, -2) в общий вид степенной функции. (Это будет лучший вариант, поскольку k1 a уменьшится до k .)

-2 = k (1) a

-2 = k

Примените тот же процесс для (1/2, -8), но на этот раз также будем использовать k = -2.

-8 = (-2) (- 1/2) a

4 = (-1/2) a

(-1/2) -2 = (-1/2) a

Чтобы это было правдой, a должно быть равно -2.Следовательно, мы имеем h (x) = -2x -2 .

Пример 7

Степенная функция g (x) проходит через точки (4, -6) и (9, -9).

а. Каково выражение для g (x)?

г. Постройте график функции g (x).

г. Найдите его домен и диапазон, затем опишите его конечное поведение.

Решение

Давайте подставим каждую пару значений в общую форму степенных функций: y = kx a и упростим полученное уравнение.

(4, -6)

-6 = k (4) a

-6 = k4 a

-6/4 a = k

( 9, -9)

-9 = k (9) a

-9 = k9 a

-9/9 a = k

Теперь, когда у нас есть k на обе правые части уравнений приравняем выражения в левой части. Решите относительно a из полученного уравнения.

-6/4 a = -9/9 a

-2/4 a = -3/9 a

-2 1 /2 2a = -3 1 /3 2a

-2 1 — 2a = -3 1 — 2a

Это уравнение будет верно только тогда, когда обе стороны равны 1, поэтому показатели степени должны быть равны 0

1 — 2a = 0

1 = 2a

a = ½

Подставьте значение a в одно из выражений для k.

k = -6/4 a

= -6 / 4 1/2

= -6 / 2

= -3

Подставьте эти два значения обратно в общую форму степенных функций, чтобы найти выражение для g (x).

g (x) = kx a

= -3x 1/2

= -3√x

a. Следовательно, мы имеем g (x) = -3√x .

Давайте используем две заданные точки для соединения кривой. Вспомните форму родительской функции функции извлечения квадратного корня, чтобы знать, чего ожидать от графика g (x).

г.

Мы можем найти домен и диапазон g (x), проверив график. Поскольку g (x) имеет рациональную экспоненту с четным знаменателем, мы ожидаем, что для x будут только положительные значения. График также может это подтвердить.

Поскольку график g (x) никогда не поднимается выше отрицательной оси Y, мы ожидаем, что его диапазон будет состоять только из отрицательных чисел.

г. Следовательно, область для g (x) равна [0, ∞) , а диапазон составляет (-∞, 0] . График показывает, что она непрерывно уменьшается, а кривая последовательно идет вниз на .

Пример 8

Площадь круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса r. Площадь круга радиусом 10 единиц составляет 314 единиц 2, и круга радиусом 20 единиц составляет 1256 единиц 2 .

а. Найдите степенную функцию A (r), представляющую площадь круга через r. Что представляет собой коэффициент при A (r)?

г. Без учета ограничений на r, будет ли A (r) четным или нечетным?

г.Каково конечное поведение A (r)?

г. Если мы примем во внимание тот факт, что r представляет радиус круга, изменится ли домен?

Решение

Поскольку площадь прямо пропорциональна r 2 , мы можем выразить A (r) как kr 2 , где k — ненулевая константа.

Давайте используем любую из двух заданных пар значений, чтобы найти k.

A (r) = 2

314 = k (10) 2

314 = 100k

k = 3.14

а. Подставляем обратно k в выражение, и получаем A (r) = 3,14r 2 . Напомним, что 3,14 — это приблизительное значение π, , поэтому коэффициент A (r) представляет π .

г. Поскольку A (r) — квадратичное выражение; это четная функция .

г. Коэффициент при A (r) положительный, а его показатель четный, поэтому мы ожидаем, что график будет уменьшаться, когда x <0, и увеличиваться, когда x> 0. Следовательно, ожидается, что оба конца кривой будут идти. вверх .

г. Первоначально, поскольку A (r) представляет собой квадратичное выражение, мы ожидаем, что оно будет иметь область (-∞, ∞). Но с учетом того факта, что измерения должны быть больше 0, область теперь становится (0, ∞).

Практические вопросы

1. Какие из следующих функций считаются степенными?

а. f (x) = -3x 2 · 2x + 2x · x
б. g (x) = 12√x

c. h (x) = πx √3
d.m (x) = x 2 — 3x + 4

e. n (x) = 1 / 2x

2. Заполните пропуски всегда , иногда и никогда не сделают следующие утверждения верными.

а. Взаимные функции — это ______________ степенные функции.
г. Радикальные функции — это _____________ степенные функции.
г. Степенные функции будут ___________ иметь область (-∞, ∞).

3. Определите конечное поведение следующих степенных функций:

a.f (x) = -2x 5

б. g (x) = 3x 6

c. h (x) = (-2x) 4

4. Верно или неверно? Сумма двух степенных функций также всегда будет возвращать степенную функцию. Обосновать ответ.

5. Степенная функция g (x) проходит через точки (1,4) и (2, 2).

а. Каково выражение для g (x)?
г. Постройте график функции g (x).
г. Найдите его домен и диапазон, затем опишите его конечное поведение.

6. Изобразите степенную функцию y = 2x 4 и ответьте на следующие вопросы.

а. Каков домен и диапазон функции?
г. Если график сдвинуть на 2 единицы вверх, будет ли полученная функция по-прежнему степенной?

7. Объем конуса прямо пропорционален кубу его радиуса r. Объем конуса с радиусом 10 единиц равен 100π / 3 единиц 3, и круга с радиусом 20 единиц составляет 400π / 3 единиц 3 .

а. Найдите степенную функцию V (r), представляющую объем конуса через r.
г. Без учета ограничений на r, будет ли V (r) четным или нечетным?
г. Каково конечное поведение V (r)?
г. Если мы примем во внимание тот факт, что r представляет радиус круга, изменится ли домен?

8. Мощность P (в ваттах), производимая гидроэлектростанцией, прямо пропорциональна квадрату скорости воды v (в милях в час). Если падающая вода со скоростью 24 мили в час генерирует 144 Вт мощности, сколько энергии вырабатывается при скорости воды 12 и 36 миль в час?

а. -4.-3, показанный зелеными линиями, имеет отрицательные координаты y . Это потому, что мощность в этой функции нечетная, что даст вам отрицательный результат.

Вы заметите, что функции с четной степенью симметричны по оси y , а функции с нечетной степенью симметричны относительно начала координат. Вы можете узнать больше о симметрии в главе «Графическая симметрия» этого курса.

Функции дробной мощности

Саванна сейчас изучает путь астероидов.-1/4, очень похожи.

Обратите внимание, что единственные различия на этих графиках — это положение кривых линий. Вы увидите, что все числа в степенях двух функций — нечетные числа.

Наконец, мы должны рассмотреть функции, которые имеют степени с неправильными дробями, такие как этот график. Обратите внимание, что этот график не содержит отрицательных координат x или y . 5/2.-1/4. Эти функции похожи, потому что они имеют отрицательную силу.

Кроме того, не забывайте, когда вы строите график степенных функций в виде кривой с кривой линией.

Результаты обучения

Просмотрите этот видео-урок по мере того, как вы преследуете эти цели:

  • Определение и использование степенных функций
  • Вспомните форму уравнения для степенной функции и запишите три основных типа
  • Точно определить, является ли график четной или нечетной функцией с питанием
  • График степенной функции

BioMath: функции мощности

В этом разделе мы узнаем о графиках степенных функций,

f ( x ) = ax p .

Чтобы изучить эти графики, мы начнем с рассмотрения как = 1 и p ≥ 0. Замечание
что когда
a
= 1 все такие степенные функции проходят через точку (1, 1), поскольку,

f (1) = (1) p = 1.

График функций мощности, где x > 0 и p ≥ 0

Во многих биологических приложениях нас интересуют положительные значения x , поэтому
рассмотрим

f ( x ) = x p с x > 0 и p ≥ 0

, рассмотрев несколько дел.

Случай 1: p = 0

График функции — прямая линия, постоянная функция f ( x ) = 1.

Случай 2 : 0 < p <1

График функции вогнут вниз и f ( x ) → ∞ при x → ∞.

Случай 3: p = 1

Если p = 1, степенная функция сводится к линейной функции f ( x ) = x .Этот случай разделяет поведение f ( x ) = x p для 0 < p <1 и p > 1.

Случай 4: p > 1

График функции вогнут вверх и f ( x ) → ∞ при x → ∞.

Одна важная особенность функций мощности — то, как они соотносятся друг с другом.
когда
0 < x <1 и x > 1.В частности, если 0 < x <1, p > q подразумевает x p < x q . Например, если 0 < x <1,
тогда
x 2 <√ x . С другой стороны, если x > 1, p > q подразумевает x p > x q . Например, если x > 1, то x 2 > √ x .Эту особенность силовых функций можно увидеть
на графике ниже.

График функций мощности, где p ≥ 0 и x <0

Что происходит с функцией f ( x ) = x p , когда p ≥ 0 и x <0, является более сложным. \

  • Если p = r / s — рациональное число, выраженное в наименьших значениях с s , даже если p — иррациональное число, f ( x ) = x p не определяется на реальной линии
    когда x <0.
  • Если p = r / s — рациональное число, выраженное в наименьших числах с нечетным s , f ( x ) = x p определяется для отрицательных значений x .

График f ( x ) при x <0 будет посмотрите одним из двух способов:

Случай 1. Если p = r / с (в наименьших значениях) с с нечетным и r четным , f ( x ) → ∞ как x → — ∞,
а график f ( x ) симметричен относительно оси y (т.е.е. f ( x ) четное). К
увидеть это, мы интерпретируем f ( x ) = x p как,

, и мы показываем f ( x ) четное (с r четным ) как,

На рисунке ниже изображены два таких графика.

Корпус 2. Если p = r / с (в наименьших значениях) с с нечетным и r нечетным, f ( x ) → −1 как x → −1,
а график f ( x ) симметричен относительно начала координат (т.е. f ( x ) нечетное). К
увидеть это, мы интерпретируем f ( x ) = x p как,

и мы показываем f ( x ) нечетное (с r нечетным) как,

На рисунке ниже изображены два таких графика.

Теперь рассмотрим более сложные степенные функции, где a ≠ 1 и p не обязательно
больше нуля. Случай a 1 может быть обработан, вызвав графическое
трансформации. В частности, | а | > 1 вертикально растягивает
график относительно базового графика y = x p , а | а | <1 по вертикали сжимает граф относительно базового графа.Если a <0, также есть отражение о оси x .

График функций мощности, где p <0.

Функция f ( x ) = x p с p <0 не определена, когда x = 0, поскольку определено деление на ноль. Таким образом, нам нужно удалить из домена точку x = 0, так как деление на
ноль не определен.Если отрицательные значения x находятся в области f ( x ) = x p (т.е. если
p = r / s в самых низких показателях с | s | odd) поведение f ( x ) около x = 0 увеличивается или
убывает неограниченно. В частности, прямая x = 0 является вертикальной асимптотой
график.График f ( x ), когда p <0 и f ( x ), определенный для x <0, будет выглядеть одним из двух способов:

Случай 1. Если p = r / s <0 (в самых низких значениях) с | s | нечетное и | r | четное, f ( x ) → ∞ как x → 0
(я.е. поскольку x приближается к нулю слева) и f ( x ) → ∞ при x → 0 + (т.е. как
x приближается к 0 справа). На рисунке ниже показано это поведение

Кейс 2 . Если p = r / s <0 (в самых низких значениях) с | s | нечетное и | r | нечетное, f ( x ) → — ∞ при
x → 0 и f ( x ) → ∞ как x → 0 + .На рисунке ниже показано это поведение.

Если отрицательные действительные числа не входят в область f ( x ) = x p при p <0 (т.е. если p = r / s в низшем члены с | с | четным или p — иррациональное число), тогда f ( x ) → ∞, как x → 0 + . График f ( x ) будет выглядеть на рисунке ниже .

*****

Теперь попробуйте несколько задач, чтобы проверить ваше понимание функций мощности.

Проблемы

Конечное поведение функций мощности

Результаты обучения

  • Определите функцию мощности.
  • Опишите конечное поведение степенной функции с учетом ее уравнения или графика.

Три птицы на скале на фоне восходящего солнца. Функции, обсуждаемые в этом модуле, можно использовать для моделирования популяций различных животных, включая птиц. (Источник: Джейсон Бэй, Flickr)

Предположим, что на небольшом острове процветает определенный вид птиц. Его население за последние несколько лет показано ниже.

Год 2009 2010 2011 2012 2013
Популяция птиц 800 897 992 1,083 1,169

Население можно оценить с помощью функции [латекс] P \ left (t \ right) = — 0.{3} + 97t + 800 [/ latex], где [latex] P \ left (t \ right) [/ latex] представляет популяцию птиц на острове t лет после 2009 года. Мы можем использовать эту модель для оценки максимальная популяция птиц и когда это произойдет. Мы также можем использовать эту модель, чтобы предсказать, когда популяция птиц исчезнет с острова.

Определение функций питания

Чтобы лучше понять проблему с птицами, нам нужно понять конкретный тип функции. {2}} \ hfill & \ text {Функция обратного квадрата} \ hfill \\ f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} \ hfill & \ text {Функция квадратного корня} \ hfill \\ f \ left (x \ right) = \ sqrt [3] {x} \ hfill & \ text {Функция корня куба} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Все перечисленные функции являются степенными.{10} [/ latex], которые являются степенными функциями с четными целочисленными степенями. Обратите внимание, что эти графики имеют похожую форму, очень похожую на квадратичную функцию. Однако по мере увеличения мощности графики несколько сглаживаются около начала координат и становятся круче при удалении от начала координат.

Чтобы описать поведение, когда числа становятся все больше и больше, мы используем идею бесконечности. Мы используем символ [latex] \ infty [/ latex] для положительной бесконечности и [latex] — \ infty [/ latex] для отрицательной бесконечности.Когда мы говорим, что « x приближается к бесконечности», что можно символически записать как [latex] x \ to \ infty [/ latex], мы описываем поведение; мы говорим, что x неограниченно увеличивается.

В функциях мощности с четным питанием, когда входной сигнал неограниченно увеличивается или уменьшается, выходные значения становятся очень большими положительными числами. Точно так же мы могли бы описать это поведение, сказав, что по мере приближения [latex] x [/ latex] к положительной или отрицательной бесконечности значения [latex] f \ left (x \ right) [/ latex] неограниченно увеличиваются.{n} \ text {,} n \ text {odd,} [/ latex] симметричны относительно начала координат.

Для этих функций нечетной мощности, когда x приближается к отрицательной бесконечности, [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] неограниченно уменьшается. Когда x приближается к положительной бесконечности, [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] неограниченно увеличивается. В символической форме пишем

[латекс] \ begin {array} {c} \ text {as} x \ to — \ infty, f \ left (x \ right) \ to — \ infty \\ \ text {as} x \ to \ infty, f \ left (x \ right) \ to \ infty \ end {array} [/ latex]

Поведение графика функции, когда входные значения становятся очень маленькими ([latex] x \ to — \ infty [/ latex]) и становятся очень большими ([latex] x \ to \ infty [/ latex]), является называется конечным поведением функции. {n} [/ latex], где [latex] n [/ latex] — неотрицательное целое число, определите конец поведения.{8} [/ латекс].

Показать решение

Коэффициент равен 1 (положительный), а показатель степени степенной функции равен 8 (четное число). Когда x (вход) приближается к бесконечности, [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] (выход) неограниченно увеличивается. Мы пишем как [latex] x \ to \ infty, f \ left (x \ right) \ to \ infty [/ latex]. Когда x приближается к отрицательной бесконечности, выход неограниченно увеличивается. В символической форме, как [latex] x \ to — \ infty, f \ left (x \ right) \ to \ infty [/ latex]. Мы можем графически представить функцию.{4} [/ латекс].

Показать решение

Когда x приближается к положительной или отрицательной бесконечности, [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] неограниченно уменьшается: as [latex] x \ to \ pm \ infty, f \ left (x \ right) \ to — \ infty [/ latex] из-за отрицательного коэффициента.

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

5.2 — Справка — Графики восьми основных типов функций

5.2 — Справка — Графики восьми основных типов функций

5.2 — Справочная информация — Графики восьми основных типов функций

Цель этого справочного раздела — показать вам графики различных типов функций
для того, чтобы вы могли ознакомиться с типами. Вы обнаружите, что каждый тип
имеет свой собственный отличительный граф. Показывая несколько графиков на одном графике, вы
увидеть их общие черты.
В этой галерее показаны примеры функций следующих типов:

В каждом случае аргумент (вход) функции называется x , а значение (выход)
функции называется y .


Линейные функции.

Это функции формы:

y = m x + b ,

где m и b — постоянные. Типичное использование для
линейные функции — это преобразование одной величины или набора единиц в другую.
Графики этих функций представляют собой прямых линий, .
м, — это уклон, а b — точка пересечения y .Если м, положительный, линия поднимается вправо, а если
м. отрицательная, тогда линия падает вправо.
Здесь подробно описаны линейные функции.


Квадратичные функции.

Это функции формы:

y = a x 2 + b x + c ,

где a , b и c — константы. Их графики называются
парабол .Это следующий по простоте тип функции после линейной функции.
Падающие предметы движутся по параболическим траекториям.
Если — положительное число, то парабола открывается вверх, и если
a — отрицательное число, тогда парабола открывается вниз.
Подробно квадратичные функции описаны здесь.


Силовые функции.

Это функции формы:

y = a x b ,

где a и b — константы.Они получили свое название от факта
что переменная x возведена в некоторую степень.
Многие физические законы (например, гравитационная сила как функция расстояния
между двумя объектами или изгиб балки в зависимости от нагрузки на нее)
представлены в виде степенных функций.
Предположим, что a = 1, и рассмотрим несколько случаев для b :
.

Степень b — положительное целое число. См. График справа.Когда x = 0, все эти функции равны нулю. Когда x большой и
позитивные они все большие и позитивные. Когда x большой и отрицательный
тогда те, у кого четные полномочия, большие и положительные, в то время как
с нечетной мощностью большие и отрицательные.

Степень b — отрицательное целое число. См. График справа.
Когда x = 0, эти функции страдают делением на ноль и, следовательно,
все бесконечны.Когда x большой и
положительные они маленькие и положительные. Когда x большой и отрицательный
тогда те, у кого четная степень, маленькие и положительные, а те, у кого
нечетные степени малы и отрицательны.

Степень b представляет собой дробную часть от 0 до 1. См. График справа.
Когда x = 0, все эти функции равны нулю. Кривые вертикальные на
origin и по мере увеличения x они увеличиваются, но изгибаются к оси x .

Здесь подробно обсуждается степенная функция.


Полиномиальные функции.

Это функции формы:

y = a n · x n +
a n −1 · x n −1
+… +
а 2 · x 2 +
a 1 · x + a 0 ,

где a n , a n −1 ,…,
a 2 , a 1 , a 0 — константы.Допускаются только целые числа x .
Наивысшая степень x , которая встречается, называется степенью полинома.
На графике показаны примеры полиномов 4-й и 5-й степени.
Степень дает максимальное количество « взлетов и падений, », которое
многочлен может иметь, а также максимальное количество пересечений x
ось, которую он может иметь.

Полиномы полезны для создания гладких кривых в компьютерной графике.
приложений и для аппроксимации других типов функций.Здесь подробно описаны полиномы.


Рациональные функции.

Эти функции представляют собой отношение двух многочленов. Одна область обучения, где
они важны при анализе устойчивости механических и электрических систем.
(который использует преобразования Лапласа).

Когда многочлен от
знаменатель равен нулю, то рациональная функция становится бесконечной, как указано
вертикальной пунктирной линией (называемой асимптотой ) на его графике.Для
пример справа
это происходит, когда x = −2 и когда x = 7.

Когда x становится очень большим, кривая может выровняться.
Кривая справа выравнивается на y = 5.

На графике справа показан еще один пример рациональной функции.
Здесь деление на ноль равно x = 0.
Он не выравнивается, но приближается к прямой y = x , когда
x большой, как показано пунктирной линией (еще одна асимптота).


Показательные функции.

Это функции формы:

y = a b x ,

где x — показатель степени
(не в основании, как это было для степенных функций)
и a и b — константы.
(Обратите внимание, что только b возводится в степень x , а не a .)
Если основание b больше 1, то результат будет
экспоненциальный рост.Многие физические величины растут экспоненциально (например, популяции животных и наличные деньги).
на процентном счете).

Если основание b меньше 1, то результат будет
экспоненциальный спад. Многие величины убывают экспоненциально
(например, солнечный свет достигает заданной глубины океана и
скорость замедления объекта из-за трения).

Здесь подробно описаны экспоненциальные функции.


Логарифмические функции.

Есть много эквивалентных способов определения логарифмических функций. Мы будем
определите их как имеющие форму:

y = a ln ( x ) + b ,

где x — натуральный логарифм, а a и b
константы. Они определены только для положительных x . Для маленьких x
они отрицательные, а для больших x положительные, но остаются маленькими.Логарифмические функции точно описывают реакцию человеческого уха на
звуки различной громкости и реакция человеческого глаза на свет различной
яркость. Здесь подробно описаны логарифмические функции.


Синусоидальные функции.

Это функции формы:

y = a sin ( b x + c ),

где a , b и c — константы.Синусоидальные функции
полезны для описания всего, что имеет форму волны относительно
положение или время.
Примеры: волны на воде, высота прилива во время
дневной и переменный ток в электричестве. Параметр a
(называется амплитудой) влияет на высоту волны, b (угловая скорость)
влияет на ширину волны и c (фазовый угол) сдвигает волну
влево или вправо.Здесь подробно описаны синусоидальные функции.



Если вы нашли эту страницу в веб-поиске, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

Логарифмические и экспоненциальные графики

Экспоненциальные функции

y = a x

Обычная экспоненциальная функция всегда имеет точки
(0, 1), (1, основание) и (-1, 1 / основание)
поскольку
a 0 = 1, a 1 = a и a -1 = 1 / a

Ось x — это асимптота, график никогда не пересекает ось x.

Когда база больше 1

А когда база меньше 1

Пример

Чтобы вычислить значения y, возведите x в степень основания.

y = 2 x

Таблица значений

Обычная функция журнала всегда имеет точки

(1, 0) и (основание, 1)
с
log a 1 = 0 и loga a = 1

Ось y — это асимптота, график никогда не пересекает ось y.

Пример

Для вычисления значений y,

Если y = a x
x = журнал a y

Сдвиг графиков журнала влево и вправо

Возьмите график y = logx

Здесь база равна 10.
Найдите точки (1,0) и (10,1)

Теперь возьмем графики y = log (x + 2) и y = log (x-2)

Обратите внимание, как они меняют направление!

Переключение вверх и вниз

Опять же, база равна 10.
Найдите точки (1,0) и (10,1)

(1,0) переместился в (1, 2), а (10,1) переместился в (10,3)

(1,0) переместился в (1, -2), а (10,1) переместился в (10, -1)

Собираем все вместе

График ниже имеет уравнение y = log (x + a) + b.
Найдите значения целых чисел a и b.
Запишите уравнение графика.

Во-первых, обратите внимание на асимптоту при x = -3.
График сместился на три места влево.
Это означает, что a должно быть 3.

, поэтому y = log (x + 3) + b.

База 10, так как в журнале нет нижнего индекса.
Это означает, что точка (10,1) обычно существует.

Однако это переместилось на три позиции влево, поэтому
ожидаем точку (7,1)

На графике, когда x = 7, y = -1.
Это означает, что график сдвинулся на два деления вниз.
b должно быть равно -2.

, поэтому a = 3, b = -2
и y = log (x + 3) –2

© Александр Форрест

Мощность в функции мощности

Значит, вся мощь силовых функций исходит от маленькой буквы «b».
Давайте посмотрим, какие значения b может принимать и как это меняет форму
функция. Для этого давайте снова рассмотрим упрощенную версию нашего
уравнение (на этот раз «а» равно 1):

Скорость метаболизма = 1 * Размер b = Размер b

Мы уже знаем, как выглядят отношения между нашими четырьмя млекопитающими:

Для этого мы собираемся исследовать форму степенной функции для трех различных диапазонов «b»:
когда b больше 1, от 0 до 1 и меньше нуля.Мы собираемся показать вам, как график функции
посмотрев, определите, что это говорит о соотношении размера и скорости обмена веществ. Мы будем использовать приведенный выше график в качестве руководства,
но пока мы это делаем, давайте помнить, что приведенный выше график представляет только четырех млекопитающих — и может быть нетипичным — поэтому
пока мы исследуем поведение функции при изменении значения «b», давайте посмотрим, какие
значения «b» кажутся биологически правдоподобными для зависимости скорости метаболизма от размера.

Ниже мы показываем для каждого из трех диапазонов «b» словесное описание того, что это означает для
«b», чтобы быть в пределах каждого диапазона, как выглядит функция, опишите, что она означает биологически, а затем решите,
Правдоподобно полагать, что «b» примет это значение. Помните, поскольку «b» — показатель степени
(Скорость метаболизма = Размер b ), мы действительно изучаем поведение экспонент!

b> 1

0

б ≤ 0

Что происходит, когда вы возводите число в значение
больше 1? Что произойдет, если возвести число в квадрат или возвести его в степень
5 или 10? Результирующее значение становится все больше и больше все быстрее и быстрее.

Когда вы возводите число в степень 1,
тогда он равен самому себе (и, следовательно, является линейным). Когда его меньше 1, вы
фактически извлекают «корень» из числа (таким образом, X 1/2 — это
то же, что и квадратный корень из X).

Когда вы возводите число в степень нуля,
результирующее число = 1. Когда вы возводите число в отрицательную степень, его эквивалент
к тому же числу, поднятому в знаменателе (так, X — b эквивалентно 1 / X b ).

Итак, если «b» больше 1, это означает, что при
размер увеличился, скорость метаболизма также увеличилась бы, но все быстрее и быстрее.
Например, если вы сравнили уровень метаболизма индийского слона с африканским
слона (который немного больше), что вы увидите значительное увеличение
в скорости метаболизма.В этом нет никакого смысла!

Когда b равно 1, размер увеличивается линейно с метаболизмом.
показатель. Когда b меньше 1, это означает, что по мере увеличения размера скорость метаболизма также увеличивается.
увеличивается, но увеличивается все медленнее и медленнее по мере того, как организмы становятся все больше и больше.
Привет! Это похоже на взаимосвязь для нашего графика млекопитающих (см. Выше).

Ни то, ни другое не имеет никакого смысла! Если
«b» равно 0, тогда скорость метаболизма всегда равна 1.Совершенно нелепо!
Если «b» отрицательно, то по мере увеличения организмов скорость их метаболизма
становится все ближе и ближе (но никогда не достигает) 0. Еще один нелепый узор!

ПРИГОВОР : НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ!

ПРИГОВОР : Это имеет биологический смысл!

ПРИГОВОР : НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ!

О, немного словарного запаса.Когда b = 1, отношение остается неизменным для всех классов размеров. Это называется
«изометрические» отношения. Если отношение меняется в разных классах размеров (так что b 1), оно называется
«аллометрический». Вот почему исследования скейлинга часто называют областью «аллометрии». Хотя
(по какой-либо причине), когда люди относятся к области аллометрии, они обычно имеют в виду исследования формы (т.е.
изменяются ли формы костей по мере того, как динозавры становятся крупнее?), а не исследования физиологии (т.э., как сердце или
скорость метаболизма меняется по мере того, как млекопитающие становятся крупнее?).

Итак, теперь мы знаем, что значение «b» находится между 0 и 1 для нашего примера с млекопитающим. Позже мы покажем
что это верно для всех организмов, и мы потратим много времени на изучение точного значения «b» и его
значит биологически. Но сначала, хотя мы только что потратили все это время на изучение поведения степенной функции,
это функция, которая почти всегда используется при изучении отношений масштабирования.Оказывается, есть небольшой поворот
история — данные для масштабных исследований почти всегда отображаются и анализируются после того, как данные были записаны в журнал.
преобразованный. Итак, мы собираемся потратить некоторое время на объяснение того, что это значит, почему это делается, и на то, чтобы вы
умеет интерпретировать графики и результаты.

Авторские права Мэрилендского университета, 2007 г.

Вы можете ссылаться на этот сайт в образовательных целях.

Пожалуйста, не копируйте без разрешения

запросов / вопросов / отзывов по электронной почте: mathbench @ umd.edu

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.