График функции а в степени х: Показательная функция, её график и свойства — урок. Алгебра, 11 класс.

Когда a — дробная часть, а степенная функция возвращает радикальное выражение. Мы видим, что область значений будет зависеть от того, является ли знаменатель четным или нечетным:

• Если знаменатель четный, только положительные значения x будут частью области значений или [0, ∞).
• Если знаменатель нечетный, все его области могут быть действительными числами или (-∞, ∞).

Два графика также вогнуты вниз с обеих сторон .

Случай 4. Когда a> 1 , давайте рассмотрим графики y = x ⁵ и y = x ⁶ .

Когда показатель степени положительный, , мы ожидаем, что графики будут вогнутыми вверх . Доменом для этого типа степенной функции будут все действительные числа или интервальные обозначения , (-∞, ∞) .

Как найти степенную функцию?

Иногда нам дают график степенной функции или несколько точек, проходящих через его график.Мы все еще можем найти выражение, представляющее степенную функцию, используя две точки.

• Подставьте эти две точки в общую форму степенных функций: y = kx ^a .
• Найдите способ сохранить либо k , либо a в одном из уравнений.
• Определите значения для k и a и подставьте их обратно в общую форму степенных функций.

Допустим, мы хотим найти степенную функцию, проходящую через (2, 16) и (3, 54). Подставьте эти значения в общий вид:

Давайте приравняем оба выражения в правой части и получим:

16/2 ^a = 54 / 3 ^a

8/2 ^a = 27/3 ^a

2 ³ /2 ^a = 3 ³ /3 ^a

2 ^{3 — a} = 3 ^{3 — a}

Это уравнение будет верным, только если обе стороны равны 1.Это означает, что 3 — a должно быть равно 0. Следовательно, a = 3.

Подставим это обратно в любое из выражений k:

k = 16/2 ³

= 16/8

= 2

Теперь, когда у нас есть a = 3 и k = 2, мы можем записать выражение степенной функции: y = 2x ³ .

Что, если мы хотим найти выражение степенной функции на основе ее графика? Просто обратите внимание на две точки, через которые проходит график функции, а затем примените тот же процесс.

Прежде чем мы попробуем еще несколько вопросов, связанных с степенными функциями, почему бы нам не подытожить все, что мы знаем о степенных функциях?

Сводка формул степенной функции и их свойств

Вот несколько полезных напоминаний при работе с степенными функциями и их приложениями:

• При определении того, является ли функция степенной функцией, убедитесь, что выражение является единственным член , k — постоянная , а a — действительное число .
• Графики степенных функций будут зависеть от значений k и a.
• Применяйте свойства четных и нечетных функций, когда это применимо.
• При нахождении выражения для степенной функции всегда используйте общую форму: y = kx ^a .
• Используйте приведенную ниже таблицу, чтобы спрогнозировать конечное поведение степенных функций.

Убедитесь, что понимаете концепцию силовых функций и ознакомьтесь с различное конечное поведение. Когда будете готовы, давайте попробуем решить некоторые задачи!

Пример 1

Какие из следующих функций считаются степенными?

а. f (x) = -2x ² · 3x
б. g (x) = 2√x + 5

в. h (x) = 0,5x ^π
d. m (x) = — (x + 1) ²
e. n (x) = 1 / x ³

Решение

Проверьте каждую из указанных функций и по возможности упростите выражения.

а. Функцию все еще можно упростить до f (x) = -6x ³ . Мы можем видеть, что он содержит только один член и имеет действительное число для его коэффициента и показателя степени, поэтому f (x) является степенной функцией .

Следующие два элемента (b и d) содержат более одного члена и не могут быть упрощены, поэтому функции g (x) и m (x) не рассматриваются как степенные функции .

г. Мы всегда возвращаемся к фундаментальному определению степенных функций: они содержат один член, а коэффициент и показатели являются действительными. И 0,5, и π являются действительными числами, поэтому h (x) также является степенной функцией .

эл. Поскольку 1 / x ³ = 1 · x ^-3 , мы можем видеть путем осмотра, что он удовлетворяет условиям степенных функций, поэтому n (x) также является степенной функцией .

Следовательно, функций в a, c и e являются степенными функциями .

Пример 2

Заполните пробелы всегда , иногда и никогда , чтобы следующие утверждения были верными.

а. Кубические функции — это ______________ степенные функции.
г. Постоянные функции — это _____________ степенные функции.
г. У степенных функций ___________ будут отрицательные показатели.

Решение

Давайте продолжим и проверим каждую выписку:

a. Некоторые примеры кубических функций: 2x ³ и x ³ — x ² + x — 1. Мы видим, что первый пример является степенной функцией, а второй — нет. Это означает, что кубические функции могут быть , иногда степенными функциями.

г. Общий вид постоянных функций — y = c, где c — любая ненулевая константа. Из общей формы видно, что независимо от значения c, постоянные функции всегда будут иметь один член с действительными числами для их коэффициента и экспоненты. Следовательно, постоянные функции будут всегда степенными функциями.

г. Пока функция содержит один член и экспоненту действительного числа, она будет считаться степенной функцией. Это означает, что степенная функция может иметь положительные и отрицательные показатели.Таким образом, они могут иметь , иногда иметь отрицательные показатели.

Пример 3

Определите конечное поведение следующих степенных функций:

a. f (x) = x ³

б. g (x) = -4x ⁴

c. h (x) = (-3x) ³

Решение

При прогнозировании конечного поведения степенной функции проверьте знак коэффициента и значение показателя степени. Используйте таблицу, которую мы предоставили, чтобы помочь вам в прогнозировании конечного поведения.

а. Функция f (x) = x ³ имеет коэффициент 1 и положительный показатель степени 3. Поскольку степень нечетная, ожидается, что функция будет увеличиваться во всей области определения.

Это означает, что левая сторона кривой идет вниз, а правая — вверх: (↓ ↑).

г. Для второй функции g (x) = -4x ⁴ имеет отрицательный коэффициент и четный положительный показатель степени. Это означает, что график должен открываться вниз.Функция также будет увеличиваться, когда x <0, и уменьшаться, когда x> 0.

Это означает, что как левая, так и правая стороны кривой, как ожидается, будут идти вниз: (↓↓).

г. Давайте сначала упростим выражение для h (x): h (x) = -27x ³ . Мы видим, что h (x) имеет отрицательный коэффициент и нечетную экспоненту. Когда это происходит, функция уменьшается во всем своем домене.

Кривая графика: вверх с левой стороны и спуск с правой стороны: (↑ ↓).

Пример 4

Покажите, что произведение двух степенных функций всегда будет также возвращать степенную функцию.

Решение

Пусть две степенные функции имеют вид f (x) = mx ^p и g (x) = nx ^q , где m и n — действительные числовые коэффициенты. Показатели p и q также являются действительными числами.

Умножение двух функций приведет к:

f (x) · g (x) = (mx ^p ) · (nx ^q )

= mn x ^{p + q}

Пусть mn = k и p + q = a, следовательно, f (x) · g (x) = kx ^a .

Поскольку mn и p + q — действительные числа, k и a также будут действительными числами. Продукт по-прежнему возвращает степенную функцию, поэтому мы только что подтвердили, что произведение двух степенных функций также будет степенной функцией.

Пример 5

Изобразите степенную функцию f (x) = -3x ⁵ и ответьте на следующие вопросы.

а. Каков домен и диапазон функции?

г. Если график сдвинуть на 6 единиц вверх, будет ли полученная функция по-прежнему степенной?

Решение

Поскольку f (x) — нечетная функция, мы ожидаем, что график будет симметричным относительно начала координат.

Мы можем нанести эти точки на половину кривой и отразить ее по началу координат.

а. Поскольку показатель степени положительный и нечетный, область и диапазон f (x) будут все действительными числами или (-∞, ∞) . Это также можно подтвердить, просмотрев график.

г. Когда мы переводим f (x) на 6 единиц, мы добавляем 6 к выражению. Следовательно, выражение новой функции теперь будет -3x ⁵ + 6. Это выражение будет содержать два члена, и, таким образом, новая функция больше не будет степенной функцией .

Пример 6

Используйте показанный ниже график, чтобы найти выражение для h (x).

Решение

Поскольку график h (x) проходит через (-1, -2), (1, -2) и (1/2, -8), мы можем использовать любое из этих три точки в общем виде степенной функции: y = kx ^a .

Обратите внимание на график? Кривые приближаются, но никогда не могут быть равны 0, поэтому мы ожидаем, что показатель степени будет дробным.

Давайте сначала подставим (1, -2) в общий вид степенной функции. (Это будет лучший вариант, поскольку k1 ^a уменьшится до k .)

-2 = k (1) ^a

-2 = k

Примените тот же процесс для (1/2, -8), но на этот раз также будем использовать k = -2.

-8 = (-2) (- 1/2) ^a

4 = (-1/2) ^a

(-1/2) ^-2 = (-1/2) ^a

Чтобы это было правдой, a должно быть равно -2.Следовательно, мы имеем h (x) = -2x ^-2 .

Пример 7

Степенная функция g (x) проходит через точки (4, -6) и (9, -9).

а. Каково выражение для g (x)?

г. Постройте график функции g (x).

г. Найдите его домен и диапазон, затем опишите его конечное поведение.

Решение

Давайте подставим каждую пару значений в общую форму степенных функций: y = kx ^a и упростим полученное уравнение.

Теперь, когда у нас есть k на обе правые части уравнений приравняем выражения в левой части. Решите относительно a из полученного уравнения.

-6/4 ^a = -9/9 ^a

-2/4 ^a = -3/9 ^a

-2 ¹ /2 ^2a = -3 ¹ /3 ^2a

-2 ^{1 — 2a} = -3 ^{1 — 2a}

Это уравнение будет верно только тогда, когда обе стороны равны 1, поэтому показатели степени должны быть равны 0

1 — 2a = 0

1 = 2a

a = ½

Подставьте значение a в одно из выражений для k.

k = -6/4 ^a

= -6 / 4 ^1/2

= -6 / 2

= -3

Подставьте эти два значения обратно в общую форму степенных функций, чтобы найти выражение для g (x).

g (x) = kx ^a

= -3x ^1/2

= -3√x

a. Следовательно, мы имеем g (x) = -3√x .

Давайте используем две заданные точки для соединения кривой. Вспомните форму родительской функции функции извлечения квадратного корня, чтобы знать, чего ожидать от графика g (x).

г.

Мы можем найти домен и диапазон g (x), проверив график. Поскольку g (x) имеет рациональную экспоненту с четным знаменателем, мы ожидаем, что для x будут только положительные значения. График также может это подтвердить.

Поскольку график g (x) никогда не поднимается выше отрицательной оси Y, мы ожидаем, что его диапазон будет состоять только из отрицательных чисел.

г. Следовательно, область для g (x) равна [0, ∞) , а диапазон составляет (-∞, 0] . График показывает, что она непрерывно уменьшается, а кривая последовательно идет вниз на .

Пример 8

Площадь круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса r. Площадь круга радиусом 10 единиц составляет 314 единиц ^2, и круга радиусом 20 единиц составляет 1256 единиц ² .

а. Найдите степенную функцию A (r), представляющую площадь круга через r. Что представляет собой коэффициент при A (r)?

г. Без учета ограничений на r, будет ли A (r) четным или нечетным?

г.Каково конечное поведение A (r)?

г. Если мы примем во внимание тот факт, что r представляет радиус круга, изменится ли домен?

Решение

Поскольку площадь прямо пропорциональна r ² , мы можем выразить A (r) как kr ² , где k — ненулевая константа.

Давайте используем любую из двух заданных пар значений, чтобы найти k.

A (r) = ²

314 = k (10) ²

314 = 100k

k = 3.14

а. Подставляем обратно k в выражение, и получаем A (r) = 3,14r ² . Напомним, что 3,14 — это приблизительное значение π, , поэтому коэффициент A (r) представляет π .

г. Поскольку A (r) — квадратичное выражение; это четная функция .

г. Коэффициент при A (r) положительный, а его показатель четный, поэтому мы ожидаем, что график будет уменьшаться, когда x <0, и увеличиваться, когда x> 0. Следовательно, ожидается, что оба конца кривой будут идти. вверх .

г. Первоначально, поскольку A (r) представляет собой квадратичное выражение, мы ожидаем, что оно будет иметь область (-∞, ∞). Но с учетом того факта, что измерения должны быть больше 0, область теперь становится (0, ∞).

Практические вопросы

1. Какие из следующих функций считаются степенными?

а. f (x) = -3x ² · 2x + 2x · x
б. g (x) = 12√x

c. h (x) = πx ^√3
d.m (x) = x ² — 3x + 4

e. n (x) = 1 / 2x

2. Заполните пропуски всегда , иногда и никогда не сделают следующие утверждения верными.

а. Взаимные функции — это ______________ степенные функции.
г. Радикальные функции — это _____________ степенные функции.
г. Степенные функции будут ___________ иметь область (-∞, ∞).

3. Определите конечное поведение следующих степенных функций:

a.f (x) = -2x ⁵

б. g (x) = 3x ⁶

c. h (x) = (-2x) ⁴

4. Верно или неверно? Сумма двух степенных функций также всегда будет возвращать степенную функцию. Обосновать ответ.

5. Степенная функция g (x) проходит через точки (1,4) и (2, 2).

а. Каково выражение для g (x)?
г. Постройте график функции g (x).
г. Найдите его домен и диапазон, затем опишите его конечное поведение.

6. Изобразите степенную функцию y = 2x ⁴ и ответьте на следующие вопросы.

а. Каков домен и диапазон функции?
г. Если график сдвинуть на 2 единицы вверх, будет ли полученная функция по-прежнему степенной?

7. Объем конуса прямо пропорционален кубу его радиуса r. Объем конуса с радиусом 10 единиц равен 100π / 3 единиц ^3, и круга с радиусом 20 единиц составляет 400π / 3 единиц ³ .

а. Найдите степенную функцию V (r), представляющую объем конуса через r.
г. Без учета ограничений на r, будет ли V (r) четным или нечетным?
г. Каково конечное поведение V (r)?
г. Если мы примем во внимание тот факт, что r представляет радиус круга, изменится ли домен?

8. Мощность P (в ваттах), производимая гидроэлектростанцией, прямо пропорциональна квадрату скорости воды v (в милях в час). Если падающая вода со скоростью 24 мили в час генерирует 144 Вт мощности, сколько энергии вырабатывается при скорости воды 12 и 36 миль в час?

а. -4.-3, показанный зелеными линиями, имеет отрицательные координаты y . Это потому, что мощность в этой функции нечетная, что даст вам отрицательный результат.

Вы заметите, что функции с четной степенью симметричны по оси y , а функции с нечетной степенью симметричны относительно начала координат. Вы можете узнать больше о симметрии в главе «Графическая симметрия» этого курса.

Функции дробной мощности

Саванна сейчас изучает путь астероидов.-1/4, очень похожи.

Обратите внимание, что единственные различия на этих графиках — это положение кривых линий. Вы увидите, что все числа в степенях двух функций — нечетные числа.

Наконец, мы должны рассмотреть функции, которые имеют степени с неправильными дробями, такие как этот график. Обратите внимание, что этот график не содержит отрицательных координат x или y . 5/2.-1/4. Эти функции похожи, потому что они имеют отрицательную силу.

Кроме того, не забывайте, когда вы строите график степенных функций в виде кривой с кривой линией.

Результаты обучения

Просмотрите этот видео-урок по мере того, как вы преследуете эти цели:

• Определение и использование степенных функций
• Вспомните форму уравнения для степенной функции и запишите три основных типа
• Точно определить, является ли график четной или нечетной функцией с питанием
• График степенной функции

BioMath: функции мощности

В этом разделе мы узнаем о графиках степенных функций,

f ( x ) = ax ^p .

Чтобы изучить эти графики, мы начнем с рассмотрения как = 1 и p ≥ 0. Замечание
что когда
a = 1 все такие степенные функции проходят через точку (1, 1), поскольку,

f (1) = (1) ^p = 1.

График функций мощности, где x > 0 и p ≥ 0

Во многих биологических приложениях нас интересуют положительные значения x , поэтому
рассмотрим

f ( x ) = x ^p с x > 0 и p ≥ 0

, рассмотрев несколько дел.

Одна важная особенность функций мощности — то, как они соотносятся друг с другом.
когда
0 < x <1 и x > 1.В частности, если 0 < x <1, p > q подразумевает x ^p < x ^q . Например, если 0 < x <1,
тогда
x ² <√ x . С другой стороны, если x > 1, p > q подразумевает x ^p > x ^q . Например, если x > 1, то x ² > √ x .Эту особенность силовых функций можно увидеть
на графике ниже.

График функций мощности, где p ≥ 0 и x <0

Что происходит с функцией f ( x ) = x ^p , когда p ≥ 0 и x <0, является более сложным. \

• Если p = r / s — рациональное число, выраженное в наименьших значениях с s , даже если p — иррациональное число, f ( x ) = x ^p не определяется на реальной линии
  когда x <0.
• Если p = r / s — рациональное число, выраженное в наименьших числах с нечетным s , f ( x ) = x ^p определяется для отрицательных значений x .

График f ( x ) при x <0 будет посмотрите одним из двух способов:

Случай 1. Если p = r / с (в наименьших значениях) с с нечетным и r четным , f ( x ) → ∞ как x → — ∞,
а график f ( x ) симметричен относительно оси y (т.е.е. f ( x ) четное). К
увидеть это, мы интерпретируем f ( x ) = x ^p как,

, и мы показываем f ( x ) четное (с r четным ) как,

На рисунке ниже изображены два таких графика.

Корпус 2. Если p = r / с (в наименьших значениях) с с нечетным и r нечетным, f ( x ) → −1 как x → −1,
а график f ( x ) симметричен относительно начала координат (т.е. f ( x ) нечетное). К
увидеть это, мы интерпретируем f ( x ) = x ^p как,

и мы показываем f ( x ) нечетное (с r нечетным) как,

На рисунке ниже изображены два таких графика.

Теперь рассмотрим более сложные степенные функции, где a ≠ 1 и p не обязательно
больше нуля. Случай a 1 может быть обработан, вызвав графическое
трансформации. В частности, | а | > 1 вертикально растягивает
график относительно базового графика y = x ^p , а | а | <1 по вертикали сжимает граф относительно базового графа.Если a <0, также есть отражение о оси x .

График функций мощности, где p <0.

Функция f ( x ) = x ^p с p <0 не определена, когда x = 0, поскольку определено деление на ноль. Таким образом, нам нужно удалить из домена точку x = 0, так как деление на
ноль не определен.Если отрицательные значения x находятся в области f ( x ) = x ^p (т.е. если
p = r / s в самых низких показателях с | s | odd) поведение f ( x ) около x = 0 увеличивается или
убывает неограниченно. В частности, прямая x = 0 является вертикальной асимптотой
график.График f ( x ), когда p <0 и f ( x ), определенный для x <0, будет выглядеть одним из двух способов:

Случай 1. Если p = r / s <0 (в самых низких значениях) с | s | нечетное и | r | четное, f ( x ) → ∞ как x → 0 ^—
(я.е. поскольку x приближается к нулю слева) и f ( x ) → ∞ при x → 0 ⁺ (т.е. как
x приближается к 0 справа). На рисунке ниже показано это поведение

Кейс 2 . Если p = r / s <0 (в самых низких значениях) с | s | нечетное и | r | нечетное, f ( x ) → — ∞ при
x → 0 ^— и f ( x ) → ∞ как x → 0 ⁺ .На рисунке ниже показано это поведение.

Если отрицательные действительные числа не входят в область f ( x ) = x ^p при p <0 (т.е. если p = r / s в низшем члены с | с | четным или p — иррациональное число), тогда f ( x ) → ∞, как x → 0 ⁺ . График f ( x ) будет выглядеть на рисунке ниже .

*****

Теперь попробуйте несколько задач, чтобы проверить ваше понимание функций мощности.

Проблемы

Конечное поведение функций мощности

Результаты обучения

• Определите функцию мощности.
• Опишите конечное поведение степенной функции с учетом ее уравнения или графика.

Три птицы на скале на фоне восходящего солнца. Функции, обсуждаемые в этом модуле, можно использовать для моделирования популяций различных животных, включая птиц. (Источник: Джейсон Бэй, Flickr)

Предположим, что на небольшом острове процветает определенный вид птиц. Его население за последние несколько лет показано ниже.

Население можно оценить с помощью функции [латекс] P \ left (t \ right) = — 0.{3} + 97t + 800 [/ latex], где [latex] P \ left (t \ right) [/ latex] представляет популяцию птиц на острове t лет после 2009 года. Мы можем использовать эту модель для оценки максимальная популяция птиц и когда это произойдет. Мы также можем использовать эту модель, чтобы предсказать, когда популяция птиц исчезнет с острова.

Определение функций питания

Чтобы лучше понять проблему с птицами, нам нужно понять конкретный тип функции. {2}} \ hfill & \ text {Функция обратного квадрата} \ hfill \\ f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} \ hfill & \ text {Функция квадратного корня} \ hfill \\ f \ left (x \ right) = \ sqrt [3] {x} \ hfill & \ text {Функция корня куба} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Все перечисленные функции являются степенными.{10} [/ latex], которые являются степенными функциями с четными целочисленными степенями. Обратите внимание, что эти графики имеют похожую форму, очень похожую на квадратичную функцию. Однако по мере увеличения мощности графики несколько сглаживаются около начала координат и становятся круче при удалении от начала координат.

Чтобы описать поведение, когда числа становятся все больше и больше, мы используем идею бесконечности. Мы используем символ [latex] \ infty [/ latex] для положительной бесконечности и [latex] — \ infty [/ latex] для отрицательной бесконечности.Когда мы говорим, что « x приближается к бесконечности», что можно символически записать как [latex] x \ to \ infty [/ latex], мы описываем поведение; мы говорим, что x неограниченно увеличивается.

В функциях мощности с четным питанием, когда входной сигнал неограниченно увеличивается или уменьшается, выходные значения становятся очень большими положительными числами. Точно так же мы могли бы описать это поведение, сказав, что по мере приближения [latex] x [/ latex] к положительной или отрицательной бесконечности значения [latex] f \ left (x \ right) [/ latex] неограниченно увеличиваются.{n} \ text {,} n \ text {odd,} [/ latex] симметричны относительно начала координат.

Для этих функций нечетной мощности, когда x приближается к отрицательной бесконечности, [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] неограниченно уменьшается. Когда x приближается к положительной бесконечности, [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] неограниченно увеличивается. В символической форме пишем

[латекс] \ begin {array} {c} \ text {as} x \ to — \ infty, f \ left (x \ right) \ to — \ infty \\ \ text {as} x \ to \ infty, f \ left (x \ right) \ to \ infty \ end {array} [/ latex]

Поведение графика функции, когда входные значения становятся очень маленькими ([latex] x \ to — \ infty [/ latex]) и становятся очень большими ([latex] x \ to \ infty [/ latex]), является называется конечным поведением функции. {n} [/ latex], где [latex] n [/ latex] — неотрицательное целое число, определите конец поведения.{8} [/ латекс].

Показать решение

Коэффициент равен 1 (положительный), а показатель степени степенной функции равен 8 (четное число). Когда x (вход) приближается к бесконечности, [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] (выход) неограниченно увеличивается. Мы пишем как [latex] x \ to \ infty, f \ left (x \ right) \ to \ infty [/ latex]. Когда x приближается к отрицательной бесконечности, выход неограниченно увеличивается. В символической форме, как [latex] x \ to — \ infty, f \ left (x \ right) \ to \ infty [/ latex]. Мы можем графически представить функцию.{4} [/ латекс].

Показать решение

Когда x приближается к положительной или отрицательной бесконечности, [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] неограниченно уменьшается: as [latex] x \ to \ pm \ infty, f \ left (x \ right) \ to — \ infty [/ latex] из-за отрицательного коэффициента.

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

5.2 — Справка — Графики восьми основных типов функций

5.2 — Справка — Графики восьми основных типов функций

5.2 — Справочная информация — Графики восьми основных типов функций

Цель этого справочного раздела — показать вам графики различных типов функций
для того, чтобы вы могли ознакомиться с типами. Вы обнаружите, что каждый тип
имеет свой собственный отличительный граф. Показывая несколько графиков на одном графике, вы
увидеть их общие черты.
В этой галерее показаны примеры функций следующих типов:

В каждом случае аргумент (вход) функции называется x , а значение (выход)
функции называется y .

Линейные функции.

Это функции формы:

y = m x + b ,

где m и b — постоянные. Типичное использование для
линейные функции — это преобразование одной величины или набора единиц в другую.
Графики этих функций представляют собой прямых линий, .
м, — это уклон, а b — точка пересечения y .Если м, положительный, линия поднимается вправо, а если
м. отрицательная, тогда линия падает вправо.
Здесь подробно описаны линейные функции.

Квадратичные функции.

Это функции формы:

y = a x ² + b x + c ,

где a , b и c — константы. Их графики называются
парабол .Это следующий по простоте тип функции после линейной функции.
Падающие предметы движутся по параболическим траекториям.
Если — положительное число, то парабола открывается вверх, и если
a — отрицательное число, тогда парабола открывается вниз.
Подробно квадратичные функции описаны здесь.

Силовые функции.

Это функции формы:

y = a x ^b ,

где a и b — константы.Они получили свое название от факта
что переменная x возведена в некоторую степень.
Многие физические законы (например, гравитационная сила как функция расстояния
между двумя объектами или изгиб балки в зависимости от нагрузки на нее)
представлены в виде степенных функций.
Предположим, что a = 1, и рассмотрим несколько случаев для b :
.

Степень b — положительное целое число. См. График справа.Когда x = 0, все эти функции равны нулю. Когда x большой и
позитивные они все большие и позитивные. Когда x большой и отрицательный
тогда те, у кого четные полномочия, большие и положительные, в то время как
с нечетной мощностью большие и отрицательные.

Степень b — отрицательное целое число. См. График справа.
Когда x = 0, эти функции страдают делением на ноль и, следовательно,
все бесконечны.Когда x большой и
положительные они маленькие и положительные. Когда x большой и отрицательный
тогда те, у кого четная степень, маленькие и положительные, а те, у кого
нечетные степени малы и отрицательны.

Степень b представляет собой дробную часть от 0 до 1. См. График справа.
Когда x = 0, все эти функции равны нулю. Кривые вертикальные на
origin и по мере увеличения x они увеличиваются, но изгибаются к оси x .

Здесь подробно обсуждается степенная функция.

Полиномиальные функции.

Это функции формы:

y = a _n · x ⁿ +
a _{n −1} · x ^{n −1}
+… +
а ₂ · x ² +
a ₁ · x + a ₀ ,

где a _n , a _{n −1} ,…,
a ₂ , a ₁ , a ₀ — константы.Допускаются только целые числа x .
Наивысшая степень x , которая встречается, называется степенью полинома.
На графике показаны примеры полиномов 4-й и 5-й степени.
Степень дает максимальное количество « взлетов и падений, », которое
многочлен может иметь, а также максимальное количество пересечений x
ось, которую он может иметь.

Полиномы полезны для создания гладких кривых в компьютерной графике.
приложений и для аппроксимации других типов функций.Здесь подробно описаны полиномы.

Рациональные функции.

Эти функции представляют собой отношение двух многочленов. Одна область обучения, где
они важны при анализе устойчивости механических и электрических систем.
(который использует преобразования Лапласа).

Когда многочлен от
знаменатель равен нулю, то рациональная функция становится бесконечной, как указано
вертикальной пунктирной линией (называемой асимптотой ) на его графике.Для
пример справа
это происходит, когда x = −2 и когда x = 7.

Когда x становится очень большим, кривая может выровняться.
Кривая справа выравнивается на y = 5.

На графике справа показан еще один пример рациональной функции.
Здесь деление на ноль равно x = 0.
Он не выравнивается, но приближается к прямой y = x , когда
x большой, как показано пунктирной линией (еще одна асимптота).

Показательные функции.

Это функции формы:

y = a b ^x ,

где x — показатель степени
(не в основании, как это было для степенных функций)
и a и b — константы.
(Обратите внимание, что только b возводится в степень x , а не a .)
Если основание b больше 1, то результат будет
экспоненциальный рост.Многие физические величины растут экспоненциально (например, популяции животных и наличные деньги).
на процентном счете).

Если основание b меньше 1, то результат будет
экспоненциальный спад. Многие величины убывают экспоненциально
(например, солнечный свет достигает заданной глубины океана и
скорость замедления объекта из-за трения).

Здесь подробно описаны экспоненциальные функции.

Логарифмические функции.

Есть много эквивалентных способов определения логарифмических функций. Мы будем
определите их как имеющие форму:

y = a ln ( x ) + b ,

где x — натуральный логарифм, а a и b —
константы. Они определены только для положительных x . Для маленьких x
они отрицательные, а для больших x положительные, но остаются маленькими.Логарифмические функции точно описывают реакцию человеческого уха на
звуки различной громкости и реакция человеческого глаза на свет различной
яркость. Здесь подробно описаны логарифмические функции.

Синусоидальные функции.

Это функции формы:

y = a sin ( b x + c ),

где a , b и c — константы.Синусоидальные функции
полезны для описания всего, что имеет форму волны относительно
положение или время.
Примеры: волны на воде, высота прилива во время
дневной и переменный ток в электричестве. Параметр a
(называется амплитудой) влияет на высоту волны, b (угловая скорость)
влияет на ширину волны и c (фазовый угол) сдвигает волну
влево или вправо.Здесь подробно описаны синусоидальные функции.

Если вы нашли эту страницу в веб-поиске, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

Логарифмические и экспоненциальные графики

Экспоненциальные функции

y = a ^x

Обычная экспоненциальная функция всегда имеет точки
(0, 1), (1, основание) и (-1, 1 / основание)
поскольку
a ⁰ = 1, a ¹ = a и a ^-1 = 1 / a

Ось x — это асимптота, график никогда не пересекает ось x.

Когда база больше 1

А когда база меньше 1

Пример

Чтобы вычислить значения y, возведите x в степень основания.

y = 2 ^x

Таблица значений

Обычная функция журнала всегда имеет точки

(1, 0) и (основание, 1)
с
log _a 1 = 0 и loga _a = 1

Ось y — это асимптота, график никогда не пересекает ось y.

Пример

Для вычисления значений y,

Если y = a ^x
x = журнал _a y

Сдвиг графиков журнала влево и вправо

Возьмите график y = logx

Здесь база равна 10.
Найдите точки (1,0) и (10,1)

Теперь возьмем графики y = log (x + 2) и y = log (x-2)

Обратите внимание, как они меняют направление!

Переключение вверх и вниз

Опять же, база равна 10.
Найдите точки (1,0) и (10,1)

(1,0) переместился в (1, 2), а (10,1) переместился в (10,3)

(1,0) переместился в (1, -2), а (10,1) переместился в (10, -1)

Собираем все вместе

График ниже имеет уравнение y = log (x + a) + b.
Найдите значения целых чисел a и b.
Запишите уравнение графика.

Во-первых, обратите внимание на асимптоту при x = -3.
График сместился на три места влево.
Это означает, что a должно быть 3.

, поэтому y = log (x + 3) + b.

База 10, так как в журнале нет нижнего индекса.
Это означает, что точка (10,1) обычно существует.

Однако это переместилось на три позиции влево, поэтому
ожидаем точку (7,1)

На графике, когда x = 7, y = -1.
Это означает, что график сдвинулся на два деления вниз.
b должно быть равно -2.

, поэтому a = 3, b = -2
и y = log (x + 3) –2

© Александр Форрест

Мощность в функции мощности

Значит, вся мощь силовых функций исходит от маленькой буквы «b».
Давайте посмотрим, какие значения b может принимать и как это меняет форму
функция. Для этого давайте снова рассмотрим упрощенную версию нашего
уравнение (на этот раз «а» равно 1):

Скорость метаболизма = 1 * Размер ^b = Размер ^b

Мы уже знаем, как выглядят отношения между нашими четырьмя млекопитающими:

Для этого мы собираемся исследовать форму степенной функции для трех различных диапазонов «b»:
когда b больше 1, от 0 до 1 и меньше нуля.Мы собираемся показать вам, как график функции
посмотрев, определите, что это говорит о соотношении размера и скорости обмена веществ. Мы будем использовать приведенный выше график в качестве руководства,
но пока мы это делаем, давайте помнить, что приведенный выше график представляет только четырех млекопитающих — и может быть нетипичным — поэтому
пока мы исследуем поведение функции при изменении значения «b», давайте посмотрим, какие
значения «b» кажутся биологически правдоподобными для зависимости скорости метаболизма от размера.

Ниже мы показываем для каждого из трех диапазонов «b» словесное описание того, что это означает для
«b», чтобы быть в пределах каждого диапазона, как выглядит функция, опишите, что она означает биологически, а затем решите,
Правдоподобно полагать, что «b» примет это значение. Помните, поскольку «b» — показатель степени
(Скорость метаболизма = Размер ^b ), мы действительно изучаем поведение экспонент!

О, немного словарного запаса.Когда b = 1, отношение остается неизменным для всех классов размеров. Это называется
«изометрические» отношения. Если отношение меняется в разных классах размеров (так что b 1), оно называется
«аллометрический». Вот почему исследования скейлинга часто называют областью «аллометрии». Хотя
(по какой-либо причине), когда люди относятся к области аллометрии, они обычно имеют в виду исследования формы (т.е.
изменяются ли формы костей по мере того, как динозавры становятся крупнее?), а не исследования физиологии (т.э., как сердце или
скорость метаболизма меняется по мере того, как млекопитающие становятся крупнее?).

Итак, теперь мы знаем, что значение «b» находится между 0 и 1 для нашего примера с млекопитающим. Позже мы покажем
что это верно для всех организмов, и мы потратим много времени на изучение точного значения «b» и его
значит биологически. Но сначала, хотя мы только что потратили все это время на изучение поведения степенной функции,
это функция, которая почти всегда используется при изучении отношений масштабирования.Оказывается, есть небольшой поворот
история — данные для масштабных исследований почти всегда отображаются и анализируются после того, как данные были записаны в журнал.
преобразованный. Итак, мы собираемся потратить некоторое время на объяснение того, что это значит, почему это делается, и на то, чтобы вы
умеет интерпретировать графики и результаты.

Авторские права Мэрилендского университета, 2007 г.

Вы можете ссылаться на этот сайт в образовательных целях.

Пожалуйста, не копируйте без разрешения

запросов / вопросов / отзывов по электронной почте: mathbench @ umd.edu

.