График функции 3 x 1: Mathway | Популярные задачи

2 — 2x — 3′)
plt.ylabel(‘Ось y’)
plt.xlabel(‘Ось x’)
plt.grid()
plt.axis([-10, 16, -10, 10])
plt.scatter(x1, y1, s = 1, c = ‘b’)
plt.scatter(x1, -y1, s = 1, c= ‘b’)
plt.plot(x2, y2, ‘r—‘)
plt.plot(x2, -y2, ‘r—‘)
plt.show()

Вывод:

Надеюсь, из кода всё понятно, но немного поясню.

Поскольку |y| может быть только больше нуля, нам нужно выделить значения функции, которые >= 0 и нарисовать в основной части графика только их. Для этого мы делаем булевую маску для всех значений f(x) (в моём коде это значение обозначено как y, но мой y это не y из вашей формулы).

ind = y >= 0

Более понятно можно записать так:

ind = (y >= 0)

В ind у нас теперь булева маска, содержащая True на тех позициях, где y >= 0 и False, где y < 0.

Далее, мы отбираем по этой маске значения из наших массивов x и y:

x1 = x[ind]
y1 = y[ind]

А также мы отбираем остальные значения x и y, для чего инвертируем маску с помощью булевой операции инверсии ~ (где было True станет False и наоборот:

x2 = x[~ind]
y2 = y[~ind]

После этого мы рисуем основной график, причём два раза — один раз используя f(x), а другой раз -f(x) (по формуле |y| = f(x) получается, что у нас есть два графика: y = f(x) и y = -f(x)). 2-2x-3) и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Функция состоит из трех квадратных трехчленов. разложим их на множители по формуле

ax2 + bx + c = a(x — x1)(x — x2), где х1 и х2 — корни квадратных уравнений.

Все три квадратных уравнения приведенные. Это значит, что можно найти их корни по теореме Виета. Именно поэтому я сразу напишу разложения этих трехчленов на множители. Конечно, решать через дискриминант никто не запрещал и ошибкой это не будет.

Итак, после разложения на множители функция примет такой вид:

Видно невооруженным глазом, что скобки из знаменателя сокращаются со скобками из числителя. Это просто супер-пупер! Но надо обязательно оговориться, что знаменатель не может быть равен нулю, а значит, что x ≠ -1 и x ≠ 3. Эти исключения подразумевают выколотые точки на нашем будущем графике.

После сокращения раскрываем оставшиеся скобки.

О, чудо! Это квадратичная функция! График — парабола!

Ищем ее вершину О (m; n).

Первая координата m, которую мы будем отмечать на оси Ох, находится по формуле.

А чтобы найти вторую координату надо m подставить в упрощенную ранее функцию и посчитать.

В общем, вершина параболы имеет координаты (-0,5; -2,25).

Чертим координатную плоскость и отмечаем вершину.

Мастера по рисованию парабол могут ее начертить, не прибегая к таблице по нахождению координат других точек. А вот тем, кто не в очень теплых отношениях с параболами, придется ее рисовать.

Поскольку я мастер — обойдусь без таблицы 🙂

Не забываем про выколотые точки!

В условии задачи сказано, что некоторая прямая y = m должна иметь одну общую точку с параболой. Эта прямая будет параллельна оси Ох и одну общую точку она будет иметь в выколотых точках и вершине параболы.

Ответ: 10; -2; -2,25.

 

P.S. Бывает так, что график нарисован очень криво. 3+ 1$.

1. Составим таблицу значений:

2. Построим точки. Мы видим, что эти точки симметричны относительно точки с координатами (0,1). В итоге получаем кубическую параболу, смещенную вверх по оси OY (см. рис. 3).

Содержание

11.3.1. Показательная функция, ее свойства и график.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 5 мин. Просмотров 8.5k. Опубликовано

data-ad-client=»ca-pub-8602906481123293″
data-ad-slot=»8834522701″
data-ad-format=»auto»>

  • Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
  • Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.
  • Область значений показательной функции: E (y)=R+ — множество всех положительных чисел.
  • Показательная функция  y=ax возрастает при a>1.
  • Показательная функция y=ax убывает при 0<a<1.

Справедливы все свойства степенной функции:

  • а0=1  Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
  •  а1=а  Любое число в первой степени равно самому себе.
  •  ax∙ay=ax+y   При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
  •  ax:ay=ax- y  При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
  • (ax)y=axy   При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
  •  (a∙b)x=ax∙by   При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
  • (a/b)x=ax/by  При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
  •   а=1/ax
  •  (a/b)-x=(b/a)x.

Примеры.

1) Построить график функции y=2xНайдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=20=1;                   Точка А.

x=1, y=21=2;                   Точка В.

x=2, y=22=4;                   Точка С.

x=3, y=23=8;                   Точка D.              

x=-1, y=2-1=1/2=0,5;       Точка K.

x=-2, y=2-2=1/4=0,25;     Точка M.

x=-3, y=2-3=1/8=0,125;   Точка N.

Большему  значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.

2) Построить график функции y=(1/2)x. Найдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=(½)0=1;                  Точка A.

x=1, y=(½)1=½=0,5;          Точка B.

x=2, y=(½)2=¼=0,25;        Точка C.

x=3, y=(½)3=1/8=0,125;    Точка D.

x=-1, y=(½)-1=21=2;          Точка K.

x=-2, y=(½)-2=22=4;          Точка M.

x=-3, y=(½)-3=23=8;          Точка N.

 

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=(1/2)убывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции  0<(1/2)<1.

3) В одной координатной плоскости построить графики функций: 

y=2x, y=3x, y=5x, y=10x. Сделать выводы.

График функции у=2х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля  (E (y)=R+).

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все  данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

 

4) В одной координатной плоскости построить графики функций:

y=(1/2)x, y=(1/3)x, y=(1/5)x, y=(1/10)x. Сделать выводы.

Смотрите построение графика функции y=(1/2)x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R+.

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.

Чем меньше основание а (при 0<a<1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все  эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Решить графически уравнения:

1) 3x=4-x.

В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3х и у=4-х.

 

Графики пересеклись в точке А(1; 3).

 

Ответ: 1.

 

 

 

 

2) 0,5х=х+3.

 

В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5х

(y=(1/2)x )

 и у=х+3.

Графики пересеклись в точке В(-1; 2).

Ответ: -1.

 

 

Найти область значений функции: 1) y=-2x; 2) y=(1/3)x+1; 3) y=3x+1-5.

Решение.

 1) y=-2

Область значений показательной функции y=2x – все положительные числа, т.е.

0<2x<+∞. Значит, умножая каждую часть двойного неравенства на (-1), получаем:

— ∞<-2x<0.

Ответ: Е(у)=(-∞; 0).

 2) y=(1/3)x+1;

0<(1/3)x<+∞, тогда, прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 1, получаем:

0+1<(1/3)x+1<+∞+1;

1<(1/3)x+1<+∞.

Ответ: Е(у)=(1; +∞).

 3) y=3x+1-5.

Запишем функцию в виде: у=3х∙3-5.

0<3x<+∞;   умножаем все части двойного неравенства на 3:

0∙3<3x3<(+∞)∙3;

0<3x∙3<+∞;  из всех частей двойного неравенства вычитаем 5:

0-5<3x∙3-5<+∞-5;

— 5<3x∙3-5<+∞.

Ответ: Е(у)=(-5; +∞).

Смотрите Карту сайта, и Вы найдете нужные Вам темы!

График показательной функции, область определения и область значений функции — Алгебра 11 класс — Osvita.name

 

1. Функция y=3x−1 образована от показательной функции y=3x (показательной функцией называется функция, которая записана в виде y=ax, где (a>0, a≠1). Чтобы построить график этой функции, необходимо составить следующую таблицу с произвольно выбранными значениями аргумента  x:

 

x −2 −1 0 1 2
y          

 

2. Чтобы вычислить соответствующие значения функции, необходимо подставить соответствующие значения аргумента x в формулу функции y=3x:

 

a) y=3−2=132=19

 

б) y=3−1=131=13

 

в) y=30=1

г) y=31=3

д) y=32=9

 

3. Вычисленные значения функции записываем в таблицу:

 

x

-2

-1

0

1

2

y

19

13

1

3

9

 

 

 

4. Используя таблицу, строим график функции y=3x:

 

5. Функцию y=3x−1 можно записать в виде y=f(x)+a, где a≠0.

 

* Если a>0, то график функции y=f(x) переместится вдоль оси Oy на  a единиц вверх.

 

* Если a<0, то график функции y=f(x) переместится вдоль оси Oy

Графические логарифмические функции

Функция

у

знак равно

бревно

б

Икс

является обратной функцией

экспоненциальная функция

у

знак равно

б

Икс

.

Рассмотрим функцию

у

знак равно

3

Икс

.

Это можно изобразить как:

График обратной функции любой функции — это отражение графика функции относительно линии

у

знак равно

Икс

.Итак, график логарифмической функции

у

знак равно

бревно

3

(

Икс

)

которая является обратной функцией

у

знак равно

3

Икс

является отражением приведенного выше графика относительно линии

у

знак равно

Икс

.

Икс

1

9

1

3

1

3

9

27

81 год

у

знак равно

бревно

3

Икс

2

1

0

1

2

3

4

Область определения функции — это набор всех положительных действительных чисел.

Если база не записана, предположим, что журнал является базовым.

10

.

Икс

1

1000

1

100

1

10

1

10

100

1000

у

знак равно

бревно

Икс

3

2

1

0

1

2

3

Логарифмическая функция,

у

знак равно

бревно

б

(

Икс

)

,

можно сдвинуть

k

единиц по вертикали и

час

единиц по горизонтали с уравнением

у

знак равно

бревно

б

(

Икс

+

час

)

+

k

.


Вертикальный сдвиг

Если

k

>

0

, график сдвинется вверх.

Если

k

< 0 , график сместится вниз.


Горизонтальный сдвиг

Если

час

>

0

, график сдвинется влево.

Если

час

< 0 , график сдвинется вправо.

Рассмотрим логарифмическую функцию

у

знак равно

[

бревно

2

(

Икс

+

1

)

3

]

.

Это можно получить, переведя родительский граф

у

знак равно

бревно

2

(

Икс

)

Пару раз.

Рассмотрим график функции

у

знак равно

бревно

2

(

Икс

)

.

С

час

знак равно

1

,

у

знак равно

[

бревно

2

(

Икс

+

1

)

]

перевод

у

знак равно

бревно

2

(

Икс

)

на одну единицу влево.

Сейчас,

k

знак равно

3

.График

у

знак равно

[

бревно

2

(

Икс

+

1

)

]

будет перемещен

3

единицы вниз, чтобы получить

у

знак равно

[

бревно

2

(

Икс

+

1

)

]

3

.

Вы можете вспомнить, что логарифмические функции определены только для положительных действительных чисел. Это связано с тем, что для отрицательных значений соответствующее экспоненциальное уравнение не имеет решения. Например,

3

Икс

знак равно

1

не имеет реального решения, поэтому

бревно

3

(

1

)

не определено.

Итак, как насчет такой функции, как

у

знак равно

бревно

4

(

Икс

)

?

Это определено только для отрицательных значений

Икс

.

Найдите значения функции для нескольких отрицательных значений

Икс

. Для упрощения расчета вы можете использовать экспоненциальную форму уравнения,

4

у

знак равно

Икс

.

Икс

1

2

4

8

16

32

у

знак равно

бревно

4

(

Икс

)

или же

4

у

знак равно

Икс

0

1

2

1

1

1

2

2

2

1

2

Постройте точки и соедините их плавной кривой.

Вы можете видеть, что график является отражением графика функции

у

знак равно

бревно

4

(

Икс

)

о

у

-ось.

1.4 Обратные функции — Объем исчисления 1

Цели обучения

  • Определите условия, при которых функция имеет инверсию.
  • Используйте тест горизонтальной линии, чтобы распознать однозначное соответствие функции.
  • Найдите обратное значение заданной функции.
  • Постройте график обратной функции.
  • Вычислить обратные тригонометрические функции.

Обратная функция отменяет операцию, выполняемую конкретной функцией. Другими словами, что бы ни делала функция, обратная функция отменяет это. В этом разделе мы формально определяем обратную функцию и формулируем необходимые условия для существования обратной функции. Мы исследуем, как найти обратную функцию, и изучаем взаимосвязь между графиком функции и графиком обратной. Затем мы применяем эти идеи для определения и обсуждения свойств обратных тригонометрических функций.

Начнем с примера. Учитывая функцию и результат, нас часто интересует, какое значение или значения были сопоставлены. Например, рассмотрим функцию. Поскольку любой выход, мы можем решить это уравнение, чтобы найти, что вход. Это уравнение определяется как функция от. Обозначив эту функцию как и написав, мы увидим, что для любого в домене. Таким образом, эта новая функция «отменила» то, что делала исходная функция.Функция с этим свойством называется функцией, обратной исходной функции.

Обратите внимание, что читается как «инверсия f». Здесь -1 не используется как показатель степени и. (Рисунок) показывает взаимосвязь между доменом и диапазоном и доменом и диапазоном.

Напомним, что функция имеет ровно один выход для каждого входа. Следовательно, чтобы определить обратную функцию, нам нужно сопоставить каждый вход ровно с одним выходом. Например, давайте попробуем найти обратную функцию для. Решая уравнение для, мы приходим к уравнению. Это уравнение не описывается как функция от, потому что для каждого существует два решения этого уравнения. Проблема с попыткой найти обратную функцию для состоит в том, что два входа отправляются на один и тот же выход для каждого выхода. Обсуждаемая ранее функция не имела этой проблемы. Для этой функции каждый вход был отправлен на другой выход. Функция, которая отправляет каждый вход на различных выходов , называется функцией «один-к-одному».

Определение

Мы говорим, что a является взаимно однозначной функцией if when.

Один из способов определить, является ли функция взаимно однозначной, — взглянуть на ее график. Если функция взаимно однозначна, то два входа не могут быть отправлены на один и тот же выход. Следовательно, если мы проведем горизонтальную линию в любом месте плоскости, согласно тесту горизонтальной линии , она не может пересекать график более одного раза. Отметим, что тест горизонтальной линии отличается от теста вертикальной линии.Тест вертикальной линии определяет, является ли график графиком функции. Тест горизонтальной линии определяет, является ли функция взаимно однозначной ((рисунок)).

Правило: Тест горизонтальной линии

Функция взаимно однозначна тогда и только тогда, когда каждая горизонтальная линия пересекает график не более одного раза.

Рис. 2. (a) Функция не является однозначной, потому что она не проходит тест горизонтальной линии. (b) Функция взаимно однозначна, потому что она проходит тест горизонтальной линии.

Определение того, является ли функция взаимно однозначной

Соответствует ли функция на следующем изображении однозначно?

Шесть основных тригонометрических функций периодичны, поэтому они не взаимно однозначны. Однако, если мы ограничим область определения тригонометрической функции интервалом, в котором она взаимно однозначна, мы можем определить ее обратную. Рассмотрим синусоидальную функцию ((рисунок)). Синусоидальная функция взаимно однозначна на бесконечном количестве интервалов, но стандартное соглашение заключается в ограничении области до интервала.Таким образом, мы определяем обратную синусоидальную функцию в области так, что для любого в интервале обратная синусоидальная функция сообщает нам, какой угол в интервале удовлетворяет. Точно так же мы можем ограничить области действия других тригонометрических функций, чтобы определить обратных тригонометрических функций , которые являются функциями, которые сообщают нам, какой угол в определенном интервале имеет указанное тригонометрическое значение.

Определение

Обратная функция синуса, обозначенная или arcsin, и функция обратного косинуса, обозначенная или arccos, определены в области следующим образом:

Функция обратного тангенса, обозначенная или arctan, и функция обратного котангенса, обозначенная или arccot, определены в области следующим образом:

Обратная функция косеканса, обозначенная или arccsc, и обратная функция секанса, обозначенная или arcsec, определены в области следующим образом:

Для построения графиков обратных тригонометрических функций мы используем графики тригонометрических функций, ограниченных областями, определенными ранее, и отображаем графики относительно линии ((Рисунок)).

Рис. 5. График каждой из обратных тригонометрических функций является отражением линии соответствующей ограниченной тригонометрической функции.

Перейдите на следующий сайт, чтобы получить больше сравнений функций и их обратных.

При оценке обратной тригонометрической функции выходным значением является угол. Например, чтобы оценить, нам нужно найти такой угол, чтобы. Ясно, что многие углы обладают этим свойством. Однако, учитывая определение, нам нужен угол, который не только решает это уравнение, но и лежит в интервале.Делаем вывод.

Теперь рассмотрим композицию тригонометрической функции и ее обратной. Например, рассмотрим два выражения и. Для первого упрощаем следующим образом:

.

Для второго у нас

.

Предполагается, что обратная функция «отменяет» исходную функцию, так почему же нет? Вспоминая наше определение обратных функций, функция и ее обратная функция удовлетворяют условиям для всех в области и для всех в области, так что же здесь произошло? Проблема в том, что обратная синусоидальная функция является обратной функцией синусоидальной функции , ограниченной , определенной в домене. Следовательно, для в интервале верно, что. Однако для значений вне этого интервала уравнение не выполняется, даже если оно определено для всех действительных чисел.

А что? Есть ли у этого похожая проблема? Ответ: нет . Поскольку область значений — это интервал, мы заключаем, что if и выражение не определено для других значений. Подводя итог,

и

.

Аналогично для функции косинуса

и

.

Подобные свойства сохраняются и для других тригонометрических функций и их обратных.

Вычисление выражений, включающих обратные тригонометрические функции

Оцените каждое из следующих выражений.

Максимальное значение функции

Во многих областях науки, техники и математики полезно знать максимальное значение, которое может получить функция, даже если мы не знаем ее точное значение в данный момент. Например, если у нас есть функция, описывающая прочность балки крыши, мы хотели бы знать максимальный вес, который балка может выдержать без разрушения. Если у нас есть функция, описывающая скорость поезда, мы бы хотели узнать его максимальную скорость, прежде чем он соскочит с рельсов. Безопасный дизайн часто зависит от знания максимальных значений.

Этот проект описывает простой пример функции с максимальным значением, которое зависит от двух коэффициентов уравнения. Мы увидим, что максимальные значения могут зависеть от нескольких факторов, помимо независимой переменной.

  1. Рассмотрим график функции (рисунок). Опишите его общую форму.Это периодически? Откуда вы знаете?

    Рисунок 6. График.

    С помощью графического калькулятора или другого графического устройства оцените — и — значения максимальной точки для графика (первая такая точка, где). Может быть полезно выразить -значение как кратное.

  2. Теперь рассмотрим другие графики вида для различных значений и. Нарисуйте график, когда и, и найдите — и -значения для максимальной точки. (Не забудьте, если возможно, выражать -значение как кратное. ) Переехала?
  3. Повторите для. Есть ли какое-либо отношение к тому, что вы нашли в части (2)?
  4. Заполните следующую таблицу, добавив несколько собственных вариантов для и:
  5. Попытайтесь выяснить формулу для -значений.
  6. Формула для значений немного сложнее. Самые полезные моменты из таблицы. ( Подсказка : Рассмотрим обратные тригонометрические функции.)
  7. Если вы нашли формулы для частей (5) и (6), покажите, что они работают вместе.То есть замените найденную формулу -значение и упростите ее, чтобы получить формулу -значение, которую вы нашли.

В следующих упражнениях используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, является ли каждый из данных графиков взаимно однозначным.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Для следующих упражнений: a. найти обратную функцию, и b. найти область определения и диапазон обратной функции.

7.

Решение

а. б. Домен:, Диапазон:

8.

9.

Решение

а. б. Домен: все действительные числа, Диапазон: все действительные числа

10.

11.

Решение

а. , б. Домен:, Диапазон:

12.

Для следующих упражнений используйте график, чтобы нарисовать график его обратной функции.

13.

Решение

14.

15.

Решение

16.

В следующих упражнениях используйте композицию, чтобы определить, какие пары функций являются обратными.

17.

Решение

Это обратное.

18.

19.

Решение

Это не наоборот.

20.

21.

Решение

Это обратное.

22.

23.

Решение

Это обратное.

24.

Оцените функции для следующих упражнений. Укажите точное значение.

25.

Решение

26.

27.

Решение

28.

29.

Решение

30.

31.

[раскрыть-ответ q = ”461959 ″] Показать ответ [/ раскрыть-ответ]
[hidden-answer a = ”461959 ″]

32.

33.

Решение

34. Функция конвертирует градусы Фаренгейта в градусы Цельсия.

  1. Найти обратную функцию
  2. Для чего используется обратная функция?
Решение

а. б. Обратная функция определяет расстояние от центра артерии, по которому кровь течет со скоростью. c. 0,1 см; 0,14 см; 0,17 см

36. Функция, которая преобразует размеры одежды в Соединенных Штатах Америки в размеры одежды в Европе, задается функцией.

  1. Найдите европейские размеры одежды, соответствующие размерам 6, 8, 10 и 12 в США.
  2. Найдите функцию, которая преобразует европейские размеры одежды в американские.
  3. Используйте деталь b. найти размеры платьев в США, соответствующие 46, 52, 62 и 70.

37. [T] Стоимость удаления токсина из озера моделируется функцией

, где — стоимость (в тысячах долларов), а — количество токсина в небольшом озере (измеряется в частях на миллиард [ppb]). Эта модель действительна только тогда, когда количество токсина меньше 85 частей на миллиард.

  1. Найдите стоимость удаления 25 частей на миллиард, 40 частей на миллиард и 50 частей на миллиард токсина из озера.
  2. Найдите обратную функцию. c. Используйте часть b. чтобы определить, сколько токсина удаляется за 50 000 долларов.
Решение

а. 31 250 долл. США, 66 667 долл. США, 107 143 долл. США b. c. 34 частей на миллиард

38. [T] Гоночный автомобиль ускоряется со скоростью, заданной значением

.

,

где — скорость (в футах в секунду) в момент времени.

  1. Найдите скорость автомобиля за 10 секунд.
  2. Найдите обратную функцию.
  3. Используйте деталь b. чтобы определить, сколько времени требуется автомобилю, чтобы достичь скорости 150 футов / сек.

42. [T] Глубина (в футах) воды в доке изменяется с приливом и отливом. Моделируется функцией

,

где — количество часов после полуночи. Определить первый раз после полуночи, когда глубина составляет 11,75 фута.

43. [T] Объект, движущийся простым гармоническим движением, моделируется функцией

,

где измеряется в дюймах и измеряется в секундах.Определите первый раз, когда пройденное расстояние составляет 4,5 фута.

Решение

44. [T] В местной картинной галерее есть портрет 3 фута высотой, который висит на 2,5 футах над уровнем глаз среднего человека. Угол обзора можно смоделировать с помощью функции

.

,

где — расстояние (в футах) от портрета. Найдите угол обзора, когда человек находится в 4 футах от портрета.

45. [T] Используйте калькулятор для вычисления и.Объясните результаты каждого.

46. [T] Используйте калькулятор для вычисления и. Объясните результаты каждого.

Нахождение обратной функции

Находка
Обратная функция
(стр.
3 из 7)

Разделы: Определение
/ Инвертирование графика, обратная функция — это функция ?,
Нахождение обратного, доказательство обратного


Обычный метод
поиск обратного — это вариант метода, который я собираюсь использовать ниже.Какой бы метод вы ни использовали, убедитесь, что вы выполняете точно такие же шаги в
один и тот же порядок каждый раз, поэтому вы запомните эти шаги, когда получите
к тесту.

  • Найти обратное
    из y
    = 3 x 2.
  • Вот как процесс
    работ:

      Вот
      моя первоначальная функция:

      Сейчас
      Я попробую решить для « x
      = «:

      Однажды
      У меня « x
      знак равно
      Я заменю x
      и y ;
      « y
      = «- это
      обратный.

    Если вам нужно найти
    домен и диапазон,
    посмотрите на исходную функцию и ее график. Домен оригинала
    функция — это набор всех допустимых значений x ;
    в этом случае функция была простым полиномом, поэтому область определения
    «все реальные числа». Диапазон исходной функции — все
    и -значения
    вы передадите график; в этом случае прямая линия продолжается
    всегда в любом направлении, поэтому диапазон также представляет собой «все действительные числа».Чтобы найти домен и диапазон обратного, просто поменяйте местами домен и
    диапазон от исходной функции.

      По графику,
      легко видеть, что эта функция не может иметь обратного,
      поскольку он нарушает тест горизонтальной линии:

    Обычно считается
    приемлемо для построения приведенного выше графика, проведите по нему горизонтальную линию
    дважды пересекает график, а затем произнесите что-то вроде «Обратный
    этой функции не является функцией из-за горизонтальной линии
    Контрольная работа». Но некоторые учителя все равно хотят изучать алгебру. Быть уверенным
    чтобы уточнить у учителя, какой ответ будет приемлемым
    — и сделайте это перед тестом ! Авторские права
    Элизабет Стапель 2000-2011 Все права защищены

      Как это будет выглядеть
      когда я пытаюсь найти обратное алгебраически? Вертикаль
      Line Test говорит
      что у меня не может быть двух и
      с общим значением x .То есть каждый x
      должен иметь УНИКАЛЬНЫЙ соответствующий
      y
      значение. Но посмотрите, что происходит, когда я пытаюсь найти « x
      = «:

        Мой
        исходная функция:

        Решение
        для « x
        = «:

      Ну я решил для « x
      знак равно
      но я не получил УНИКАЛЬНЫЙ « x
      знак равноВместо этого я показал, что любое заданное значение x
      фактически будет соответствовать двум различным значениям y ,
      один от плюса к квадратному корню, а другой от
      «минус».

    Каждый раз, когда вы придумываете
    знак «», вы можете быть уверены, что обратное не
    функция.

      Единственная разница
      между этой функцией и предыдущей заключается в том, что домен
      был ограничен только отрицательной половиной
      x — ось.Это ограничение делает график таким:

      Эта функция будет
      иметь обратное, что
      тоже функция. Практически каждый раз, когда они задают вам проблему, где
      они постарались ограничить домен, вы должны позаботиться
      с алгеброй и нарисуйте красивую картинку, потому что, вероятно, обратное
      — это функция, но, вероятно, потребуются дополнительные усилия, чтобы показать это. В данном случае, поскольку домен x
      < 0 и
      диапазон (из графика) равен 1
      < y ,
      то обратный будет иметь область 1
      < x и
      диапазон от до
      < 0. Вот
      как выглядит алгебра:

        The
        исходная функция:

        Решить
        для « x
        = «:

        Автор
        выясняя область и диапазон обратного, я знаю, что
        Я должен выбрать знак минуса для квадратного корня:

        Сейчас
        Я заменю x
        и y ;

        новый » г
        = «- это
        обратный:

      x
      >
      1 «ограничение
      исходит из того, что x
      находится внутри квадратного корня. )

      Так
      обратное — y
      = sqrt ( x 1), x > 1,
      и эта инверсия также является функцией.

      Вот график:

    << Предыдущая Вверх | 1
    | 2 | 3 | 4 |
    5 | 6 | 7
    | Вернуться к указателю Далее
    >>

    Цитируйте эту статью
    как:

    Стапель, Елизавета. «Нахождение обратной функции». Purplemath .
    Доступно по номеру
    https://www.purplemath.com/modules/invrsfcn3.htm .
    Доступ [Дата] [Месяц] 2016

Функции — Алгебра — Математика A-Level Revision

В этом разделе рассматриваются функции в рамках более широкой темы алгебры.

Функцию можно рассматривать как правило, которое берет каждый элемент x набора и присваивает ему то же самое значение y , известное на его изображении.

x → Функция → y

Буква, такая как f, g или h , часто используется для обозначения функции. Функция, которая возводит число в квадрат и добавляет 3, может быть записана как f (x) = x 2 + 5 . Это же понятие можно использовать, чтобы показать, как функция влияет на определенные значения.

Пример

f (4) = 4 2 + 5 = 21, f (-10) = (-10) 2 +5 = 105 или, альтернативно, f : x → x 2 + 5 .

Фраза «y является функцией x» означает, что значение y зависит от значения x, поэтому:

  • y можно записать через x (например, y = 3x).
  • Если f (x) = 3x и y является функцией x (т.е. y = f (x)), то значение y, когда x равно 4, равно f (4), которое находится путем замены x «s на 4. «с.

Пример

Если f (x) = 3x + 4, найти f (5) и f (x + 1).

f (5) = 3 (5) + 4 = 19
f (x + 1) = 3 (x + 1) + 4 = 3x + 7

Домен и диапазон

Область функции — это набор значений, которые вам разрешено вводить в функцию (то есть все значения, которые может принимать x). Диапазон функции — это набор всех значений, которые функция может принимать, другими словами, все возможные значения y, когда y = f (x).Итак, если y = x 2 , мы можем выбрать в качестве домена все действительные числа. Диапазон — это все действительные числа, большие (или равные) нулю, поскольку, если y = x 2 , y не может быть отрицательным.

Индивидуальные консультации

Мы говорим, что функция является взаимно однозначной , если для каждой точки y в диапазоне функции существует только одно значение x такое, что y = f (x). f (x) = x 2 не один к одному, потому что, например, есть два значения x, такие что f (x) = 4 (а именно –2 и 2).На графике функция взаимно однозначна, если любая горизонтальная линия разрезает график только один раз.

Составные функции

fg означает выполнение функции g, затем функции f. Иногда fg записывается как fog

.

Пример

Если f (x) = x 2 и g (x) = x — 1, то
gf (x) = g (x 2 ) = x 2 — 1
fg (x) = f (x — 1) = (х — 1) 2

Как видите, fg не обязательно равно gf

Обратная функция

Обратной функцией является функция, которая обращает эффект исходной функции.Например, y = 2x, обратное y = ½ x.
Чтобы найти обратную функцию, поменяйте местами x «s и y» s и сделайте y предметом формулы.

Пример

Найдите обратное к f (x) = 2x + 1
Пусть y = f (x), поэтому y = 2x + 1
поменять местами x «s и y» s:
x = 2y + 1
Сделайте y объектом формулы:
2y = x — 1, поэтому y = ½ (x — 1)
Следовательно, f -1 (x) = ½ (x — 1)

f -1 (x) — стандартное обозначение, обратное f (x).Обратное считается существующим тогда и только тогда, когда существует функция f -1 с ff -1 (x) = f -1 f (x) = x

.

Обратите внимание, что график f -1 будет отражением f на линии y = x.

Это видео объясняет больше об обратной функции

Графики

Функции можно изобразить. Функция является непрерывной , если на ее графике нет разрывов. Пример прерывистого графа — y = 1 / x, поскольку граф нельзя нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги:

Функция является периодической , если ее график повторяется через равные промежутки времени, этот интервал известен как период.

Функция равна , даже если она не изменяется при замене x на -x. График такой функции будет симметричным по оси ординат. Даже функции, которые являются полиномами, имеют четные степени (например, y = x²).
Функция является нечетной , если знак функции изменяется при замене x на -x. График функции будет иметь симметрию вращения относительно начала координат (например, y = x³).

Функция модуля

Модуль числа — это величина этого числа.Например, модуль -1 (| -1 |) равен 1. Модуль x, | x |, равен x для значений x, которые положительны, и -x для значений x, которые отрицательны. Итак, график y = | x | y = x для всех положительных значений x и y = -x для всех отрицательных значений x:

Преобразование графиков

Если y = f (x), график y = f (x) + c (где c — константа) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц вверх (в направлении y- ось).
Если y = f (x), график y = f (x + c) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц влево.
Если y = f (x), график y = f (x — c) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц вправо.
Если y = f (x), график y = af (x) представляет собой отрезок графика y = f (x), масштабный коэффициент (1 / a), параллельный оси x. [Масштабный коэффициент 1 / a означает, что «растяжение» фактически приводит к сжатию графика, если a — число больше 1]

Пример

График y = | x — 1 | будет таким же, как на приведенном выше графике, но со смещением на одну единицу вправо (так, чтобы точка V ударилась о ось x на 1, а не на 0).

1,7 — Обратные функции

1,7 — Обратные функции

Обозначение

Функция, обратная f, обозначается f -1 (если ваш браузер не поддерживает надстрочные индексы, это выглядит как f
с показателем -1) и произносится как «f инверсия». Хотя обратная функция функции выглядит как
вы возводите функцию в степень -1, это не так. Обратная функция не означает
обратная функция.

Обратные

Функция обычно сообщает вам, что такое y, если вы знаете, что такое x.Обратная функция скажет
вы, каким должен быть x, чтобы получить это значение y.

Функция f -1 является обратной функцией f, если

  • для каждого x в области f, f -1 [f (x)] = x и
  • для каждого x в области f -1 , f [f -1 (x)] = x

Область f — это диапазон f -1 , а диапазон f — это область f -1 .

График обратной функции

Функция, обратная функции, отличается от функции тем, что все координаты x и y
были переключены.То есть, если (4,6) — точка на графике функции, то (6,4) — точка
на графике обратной функции.

точек на функции идентичности (y = x) останутся в функции идентичности при переключении. Все
координаты других точек поменяются местами.

График функции и обратная ей функция являются зеркальным отображением друг друга. Они размышляют о
функция тождества y = x.

Существование обратной функции

Функция говорит, что для каждого x существует ровно один y.То есть значения y могут дублироваться, но x
значения не могут быть повторены.

Если функция имеет инверсию, которая также является функцией, тогда может быть только один y для каждого x.

Функция один-к-одному — это функция, в которой для каждого x есть ровно один y, а для каждого y,
есть ровно один x. У однозначной функции есть обратная функция, которая также является функцией.

Есть функции, у которых есть инверсии, которые не являются функциями. Есть также обратные для
связи.По большей части мы не обращаем на них внимания и имеем дело только с функциями, обратными к которым являются
также функции.

Если обратная функция функции также является функцией, то обратная зависимость должна проходить вертикальную линию.
контрольная работа. Поскольку все координаты x и y переключаются при нахождении обратного, говоря
что обратная функция должна пройти проверку вертикальной линии — это то же самое, что сказать, что исходная функция должна пройти
тест горизонтальной линии.

Если функция проходит как тест вертикальной линии (так что это в первую очередь функция), так и
Проверка горизонтальной линии (так что обратная ей функция является функцией), тогда функция взаимно однозначна и имеет
обратная функция.

Неформальный поиск инверсий

Инверсия некоторых функций, особенно тех, где есть только одно вхождение
независимая переменная, может быть решена путем отмены операций. Чтобы отменить операции, вы
должен не только изменить порядок, но и использовать обратную операцию.

Пример 1

Функция f (x) = 5x-2
  1. Начать с x: x
  2. Умножить на 5: 5x
  3. Вычесть 2: 5x-2
Обратное f

-1 (x) = (x + 2) / 5

  1. Начать с x: x
  2. Добавить 2: x + 2
  3. Разделить на 5: (x + 2) / 5

Пример 2

Функция f (x) = 2 (x-3)

2 -5, x≥3

Обратите внимание, что на x есть ограничение.

  1. Начать с x: x
  2. Вычесть 3: x-3
  3. Квадрат: (x-3) 2
  4. Умножить на 2: 2 (x-3) 2
  5. Вычесть 5: 2 (x-3) 2 -5
Обратное f

-1 (x) = 3 + sqrt [(x + 5) / 2]

  1. Начать с x: x
  2. Добавить 5: x + 5
  3. Разделить на 2: (x + 5) / 2
  4. Извлеките квадратный корень: ± sqrt [(x + 5) / 2]
  5. Добавить 3: 3 ± sqrt [(x + 5) / 2]
  6. Подождите! Эта инверсия не является функцией, потому что для каждого x есть два значения y. Это из-за ±, которое появилось, когда мы извлекли квадратный корень из обеих частей. Теперь вернемся к исходной области x≥3. Это означает, что для обратного диапазон y≥3. Поскольку y должно быть не меньше 3, нам нужен положительный квадратный корень, а не отрицательный. Без ограничения на x в
    исходная функция, у нее не было бы
    обратная функция: 3 + sqrt [(x + 5) / 2]

Пример 3

Функция f (x) = x

2 — 4x + 6, x≤2

Уххх ????

Что происходит, когда встречается более одного раза
независимая переменная в функции? Ты не
знаю, что вы сделали с x, потому что вы сделали это с двумя
разных x, и вы не сделали одно и то же с обоими
их.

Формальный поиск инверсий

Нельзя сказать, что последний пример не может быть выполнен, но он включает в себя завершение квадрата до
получить f (x) = (x-2) 2 +2, а затем инвертировать его, чтобы получить f -1 (x) = 2-sqrt (x-2).

Однако есть другой способ, который не слишком полагается на неформальность и будет работать независимо от того,
Вы не можете точно определить, что вы сделали с одним x.

  1. Начать с функции
  2. При необходимости заменить f (x) на y
  3. Поменяйте местами x и y.На данный момент вы имеете дело с обратным
  4. Решить для y
  5. Замените y на f -1 (x), если обратная функция также является функцией, в противном случае оставьте ее как y

Пример 4

Функция f (x) = x

2 / (x 2 +1), x≥0

Ограничение важно сделать 1-1.

  1. Начните с функции: f (x) = x 2 / (x 2 +1), x≥0
  2. Заменить f (x) на y: y = x 2 / (x 2 +1), x≥0
  3. Поменяйте местами x и y: x = y 2 / (y 2 +1), y ≥0
  4. Решить для y:
    1. Умножить на знаменатель: x (y 2 +1) = y 2
    2. Распределить: xy 2 + x = y 2
    3. Переместите y в одну сторону, а все остальное в другую: xy 2 -y 2 = -x
    4. Фактор: y 2 (x-1) = — x
    5. Разделить на коэффициент при y 2 : y 2 = -x / (x-1)
    6. Упростите правую часть: y 2 = x / (1-x)
    7. Извлеките квадратный корень: y = ± sqrt [x / (1-x)]
    8. Поскольку y≥0, нам нужен положительный квадратный корень: y = sqrt [x / (1-x)]
  5. Назовите это f -1 (x): f -1 (x) = sqrt [x / (1-x)]

Для этой последней функции подразумеваемая область обратного преобразования — [0,1). Это означает, что диапазон
исходная функция также должна была быть [0,1). Проверьте это на своем калькуляторе, и вы увидите, что это так.

Иногда в инструкциях говорится, что если функция не является взаимно однозначной, то не находите обратную
функция (потому что ее нет). Так что всегда проверяйте, прежде чем тратить время на поиск
обратная функция. Теперь, если вы должны найти обратное, независимо от того,
функция или нет, тогда вперед.

Хорошая вещь!

Индивидуальные функции — замечательные вещи.

При решении уравнений вы можете прибавить одно и то же к обеим сторонам, вычесть одно и то же из
обе стороны, умножьте обе стороны на одно и то же ненулевое значение и разделите обе стороны на одно и то же
отличная от нуля вещь, и вы все равно получите то же самое решение, не беспокоясь о необходимости проверять свой ответ.

Вы также можете применить взаимно однозначную функцию к обеим сторонам уравнения, не беспокоясь о введении посторонних решений (решений, которые работают после выполнения чего-то, что не работало раньше). Это не обязательно верно для функций, которые не являются взаимно однозначными, как функция возведения в квадрат, где вы всегда должны проверять ответы после возведения в квадрат обеих сторон уравнения. Например, уравнение sqrt (x) = -2 не имеет решения, но если вы возведете в квадрат обе стороны, вы получите x = 4, но оно не проверяется в исходной задаче. Благодаря индивидуальным функциям вы не будете предлагать никаких посторонних решений.

Вау! Говорить о
мощный. Вы не цените этого сейчас, и книга не справится с этим должным образом, пока вы не получите
к главе 4 и имеют дело с логарифмическими и экспоненциальными функциями, и даже тогда они не делают
как бы то ни было.

Хорошо, попробуем сейчас. Поверьте мне на слово, что exp (x) является взаимно однозначной функцией и является
инверсия ln (x).

ln (x) = 3
Решите относительно x.
ехр [ln (x)] = ехр [3]
«Погодите, мистер Джонс» — вот ваш ответ. Вы никогда не видели такого зверя. Это
хорошо. Возьмите обратную функцию и примените ее к обеим сторонам.
х = ехр (3)
Вернитесь к определению инверсии в верхней части этого документа.x и находится на ключе [2 nd ] [ln].

Вау — больше сплоченности. Обратную функцию можно найти, взяв функцию [2 nd ]. Посмотрите
у него для прочего на калькуляторе.

Квадратный корень — это величина, обратная квадрату. Если вы посмотрите на три тригонометрических ключа [sin],
[cos] и [tan], их инверсии находятся с помощью клавиши [2 nd ].

Режим мыльницы включен.

Я говорю вам — все сходится.Для тех, кто помнит строчку, которую Ганнибал Смит использовал в
A-Team: «Мне нравится, когда план слагается».

Математика — один из самых совместных предметов. Все дополняет
еще. Я надеюсь, что вы получите от этого курса гораздо больше, чем просто механику
математика, но понимание, понимание и оценка того, как работает система.
Имея такой прочный фундамент, математика может быть менее стрессовой и даже приятной. У тебя есть
перестать иметь дело с концепциями как с отдельными вещами, которые не связаны друг с другом и не связаны друг с другом.Все они связаны друг с другом и переплетены. Вы не можете их разделить и понять.

Режим мыльницы выключен.

Какая линейная функция представляет наклон

6 февраля 2010 г. · Для этого мы будем использовать наклон линии и точку, через которую она проходит. Если вам нужен обзор наклона линии, смело переходите к Урок 25: Уклон линии. Мы также рассмотрим концепции пересечений по осям x и y. После прохождения уроков 25–28 вы станете старым профессионалом в области линейных уравнений и построения графиков.

Он образует кривую, и если мы увеличиваем значение градуса, кривизна графика увеличивается. Общее представление линейного уравнения: у = мх + с. Где x и y — переменные, m — наклон линии, а c — постоянное значение. Общее представление нелинейных уравнений: ax2 + by2 = c.

Представление линейной функции в обозначении функций Другой подход к представлению линейных функций — использование обозначения функций. Одним из примеров обозначения функции является уравнение, записанное в форме, известной как форма пересечения наклона линии, где x — входное значение, м

3 ноября 2016 г. · Задачи линейной истории.Это ваши обычные задачи по алгебре: дерево было 4 фута высотой, когда оно было посажено, и оно растет со скоростью 1,5 фута в год. Студенты должны интерпретировать ключевые слова, которые указывают начальное значение или скорость изменения. Здесь мы используем y = mx + b, но не слова «slope» и «y-intercept». Вместо этого учащиеся используют свои собственные …

Форму пересечения уклона. Линейные функции графически представлены линиями и символически записываются в форме пересечения наклона как, y = mx + b, где m — наклон линии, а b — точка пересечения с y.Мы называем b точкой пересечения с y, потому что график y = mx + b пересекает ось y в точке (0, b).

Наклон — это постоянная скорость изменения линейной функции. Вы можете использовать уравнения, графики и таблицы для представления наклона линейной функции, а также вы можете использовать формулу наклона для вычисления наклона между двумя точками. В этом ресурсе вы изучите уравнения, таблицы и графики, которые представляют линейные функции.

Представление линейной функции в обозначении функций Другой подход к представлению линейных функций — использование обозначения функций.Одним из примеров обозначения функции является уравнение, записанное в форме, известной как форма пересечения наклона линии, где x — входное значение, м

Нахождение точек пересечения по оси x функции

Для графика любой функции пересечение по оси x — это просто точка или точки, в которых график пересекает ось x. Может быть только одна такая точка, может не быть такой точки или много, что означает, что функция может иметь несколько x-точек пересечения. Как вы увидите ниже, мы можем использовать график или простое правило алгебры, чтобы найти точки пересечения по x или x любой функции.Вы также можете прокрутить вниз до примера видео ниже.

Содержание

  1. Использование графика для поиска пересечений по оси x
  2. Использование алгебры для поиска пересечений по оси x
  3. Пример видео (в том числе при отсутствии x-перехватчиков)
  4. Дополнительная литература

реклама

Нахождение пересечений по оси x или x с помощью графика

Как упоминалось выше, функции могут иметь одно, ноль или даже множество x-точек пересечения. Их можно найти, посмотрев, где график функции пересекает ось x, которая является горизонтальной осью в плоскости координат xy.Вы можете увидеть это на графике ниже. Эта функция имеет единственную точку пересечения по оси x.

На графике ниже функция имеет два пересечения по оси x. Обратите внимание, что форма точки всегда \ ((c, 0) \) для некоторого числа \ (c \).

Наконец, на следующем графике показана функция без пересечений по оси x. Вы можете видеть это, потому что он ни в какой точке не пересекает ось абсцисс.

Более подробное обсуждение этих идей можно увидеть здесь: Нули многочлена.

Нахождение точки пересечения по оси x или точки пересечения с использованием алгебры

Общее правило для поиска точки пересечения по оси x или точки пересечения любой функции состоит в том, чтобы положить \ (y = 0 \) и решить относительно \ (x \). Это может быть несколько легко или действительно сложно, в зависимости от функции. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, почему это так.

Пример

Найдите точку пересечения x функции: \ (y = 3x — 9 \)

Решение

Пусть \ (y = 0 \) и решит относительно \ (x \).

\ (\ begin {align} 0 & = 3x — 9 \\ -3x & = -9 \\ x & = 3 \ end {align} \)

Ответ: Следовательно, пересечение по оси x равно 3.2 + 2x — 8 \\ 0 & = (x + 4) (x — 2) \\ x & = -4, 2 \ end {align} \)

Ответ: Эта функция имеет два пересечения по оси x: –4 и 2. Они расположены в \ ((- 4, 0) \) и \ ((2, 0) \).

Для более сложных уравнений часто бывает полезен графический калькулятор, по крайней мере, для оценки местоположения любых точек пересечения.

реклама

Примеры видео

В следующем видео вы можете увидеть, как найти точки пересечения по оси x трех различных функций.Это также включает в себя пример, в котором нет x-перехватов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.