График функции 3 x 1: Mathway | Популярные задачи

Содержание

x 1 3 функция

Вы искали x 1 3 функция? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и y 1 3 x, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «x 1 3 функция».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как x 1 3 функция,y 1 3 x,y 1 3 x график,y 1 3 в степени x,y 1 3x,y 1 3x 1,y 1 3x график,y 1 x3,y 3 x 1 построить график функции,y 3 в степени x 1,y 3x 1 построить график функции,y x 1 3,y x 1 3 график,y x 1 3x 1,y x 3 1 график,y x 3 x 1,y x 3 x 1 построить график функции,y x в степени 1 3,график 1 3 в степени х,график y 1 3 x,график y 3 x 1,график y 3x 1,график y x 1 3,график y x 3 1,график функции y 1 3 x,график функции y 1 3x,график функции y 3 x 1,график функции y 3x 1,график функции y x 3 1,построить график y 1 3 x,построить график функции 1 y 3 x,построить график функции y 1 3 x,построить график функции y 3 x 1,построить график функции y 3x 1,построить график функции y x 1 3,постройте график функции y 3 x 1,постройте график функции y x 1 3,постройте график функции y x 1 3 x,у x 1 3,функция 1 3 x,функция x 3 1,функция y 1 3 x,функция y x 1 3,функция y x 3 1,функция y x 3 x 1. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и x 1 3 функция. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, y 1 3 x график).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же x 1 3 функция Онлайн?

Решить задачу x 1 3 функция вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Построить график y 3x 1. Постройте график функции y=

Составим таблицу значений функции

Мы видим, что при (куб положительного числа положителен), а при (куб отрицательного числа отрицателен). Следовательно, график расположится на координатной плоскости в I и III четвертях. Заменим значение аргумента х противоположным значением тогда и функция примет противоположное значение; так как если , то

Значит, каждой точке графика соответствует точка того же графика, расположенная симметрично относительно начала координат.

Таким образом, начало координат является центром симметрии графика.

График функции изображён на чертеже 81. Эта линия называется кубической параболой.

В I четверти кубическая парабола (при ) «круто» поднимается

вверх (значения у «быстро» возрастают при возрастания х. см. таблицу), при малых значениях х линия «тесно» подходит к оси абсцисс (при «малых» значение у «весьма мало», см. таблицу). Левая часть кубической параболы (в III четверти) симметрична правой относительно начала координат.

Аккуратно вычерченный график может служить средством приближённого возведения чисел в куб. Так, например, положив найдём по графику

Для приближённого вычисления кубов составлены специальные таблицы.

Такая таблица имеется и в пособии В. М. Брадиса «Четырёхзначные математические таблицы».

Эта таблица содержит приближённые значения кубов чисел от 1 до 10, округлённые до 4-х значащих цифр.

Устройство таблицы кубов и правила пользования ею такие же, как и таблицы квадратов. Однако при увеличении (или уменьшении) числа в 10, 100 и т. д. раз его куб увеличивается (или уменьшается) в 1000, 1000 000 и т. д. раз. Значит, при пользовании таблицей кубов надо иметь в виду следующее правило переноса запятой:

Если в числе перенести запятую на несколько цифр, то в кубе этого числа надо перенести запятую в ту же сторону на утроенное количество цифр.

Поясним сказанное примерами:

1) Вычислить 2,2353. По таблице находим: ; прибавляем к последней цифре поправку 8 на последний знак:

2) Вычислить . Так как то находим

По таблице найдем перенеся запятую, получим

Приближённые формулы. Если в тождестве

число а мало по сравнению с единицей, то, отбросив члены с получим приближённые формулы:

По этим формулам легко найти приближённые кубы чисел, близких к единице, например: точный куб: 1,061208;

Функция y=x^2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.

3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке , потому что прямая y=kx будет совпадать с графиком y=|x-3|-|x+3| на данном участке.2-2x-3) и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Функция состоит из трех квадратных трехчленов. разложим их на множители по формуле

ax2 + bx + c = a(x — x1)(x — x2), где х1 и х2 — корни квадратных уравнений.

Все три квадратных уравнения приведенные. Это значит, что можно найти их корни по теореме Виета. Именно поэтому я сразу напишу разложения этих трехчленов на множители. Конечно, решать через дискриминант никто не запрещал и ошибкой это не будет.

Итак, после разложения на множители функция примет такой вид:

Видно невооруженным глазом, что скобки из знаменателя сокращаются со скобками из числителя. Это просто супер-пупер! Но надо обязательно оговориться, что знаменатель не может быть равен нулю, а значит, что x ≠ -1 и x ≠ 3. Эти исключения подразумевают выколотые точки на нашем будущем графике.

После сокращения раскрываем оставшиеся скобки.

О, чудо! Это квадратичная функция! График — парабола!

Ищем ее вершину О (m; n).

Первая координата m, которую мы будем отмечать на оси Ох, находится по формуле.

А чтобы найти вторую координату надо m подставить в упрощенную ранее функцию и посчитать.

В общем, вершина параболы имеет координаты (-0,5; -2,25).

Чертим координатную плоскость и отмечаем вершину.

Мастера по рисованию парабол могут ее начертить, не прибегая к таблице по нахождению координат других точек. А вот тем, кто не в очень теплых отношениях с параболами, придется ее рисовать.

Поскольку я мастер — обойдусь без таблицы 🙂

Не забываем про выколотые точки!

В условии задачи сказано, что некоторая прямая y = m должна иметь одну общую точку с параболой. Эта прямая будет параллельна оси Ох и одну общую точку она будет иметь в выколотых точках и вершине параболы.

Ответ: 10; -2; -2,25.

 

P.S. Бывает так, что график нарисован очень криво.2 или y=1/x. А как строить графики со знаком модуля?

Задача 1. Построить графики функций y=|x| y=|x-1|.
Решение. Сравним его с графиком функции y=|x|.При положительных x имеем |x|=x. Значит, для положительных значений аргумента график y=|x| совпадает с графиком y=x, то есть эта часть графика является лучём, выходящим из начала координат под углом 45 градусов к оси абсцисс. При x< 0 имеем |x|= -x; значит, для отрицательных x график y=|x| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.

Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y=|x| — чётная, так как |-a|=|a|. Значит, график функции y=|x| симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:

y=|x|


Для построения берём точки (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2).


Теперь график y=|x-1|. Если А — точка графика у=|x| с координатами (a;|a|), то точкой графика y=|x-1| с тем же значением ординаты Y будет точка A1(a+1;|a|). (Почему?) Эту точку второго графика можно получить из точки А(a;|a|) первого графика сдвигом параллельно оси Ox вправо. Значит, и весь график функции y=|x-1|получается из графика функции y=|x| сдвигом параллельно оси Ox вправо на 1.

Построим графики:

y=|x-1|


Для построения берём точки (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1).

Это была простенькая задачка. Теперь то, что многих приводит в ужас.

Задача 2. Постройте график функции y=3*|x-4| — x + |x+1|.
Решение. Найдем точки, в которых подмодульные выражения обращаются в нуль, т.е. так называемые «критические» точки функции. Такими точками будут х=-1 и х=4. В этих точках подмодульные выражения могут изменить знак.

Пусть x<-1. Тогда х+1<0, |x+1|=-x-1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(-х-1)= -5х+11.
Пусть -1< = x < = 4.3$.
2. Найдем точку А, координата x, которой равна 1,5. Мы видим, что координата функции находится между значениями 3 и 4 (см. рис. 2). Значит надо заказать 4 куба.

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2
, изображен пунктиром).

2.
Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1
).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

(рис. 3)
.

Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4)
.

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y
0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6)
.

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7)
.

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8)
.

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9)
.

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11)
.

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х
, а на оси ординат — значения функции у = f (х)
.

Графиком функции y = f(x)
называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) — это множество всех точек плоскости, координаты х,
у
которых удовлетворяют соотношению y = f(x)
.

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1
и у = х 2 — 2х
.

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а
принадлежит области определения функции y = f(x)
, то для нахождения числа f(а)
(т. е. значения функции в точке х = а
) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а
провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x)
в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а)
(рис. 47).

Например, для функции f(х) = х 2 — 2x
с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 — 2х
принимает положительные значения при х и при х > 2
, отрицательные — при 0 у = х 2 — 2х
принимает при х = 1
.

Для построения графика функции f(x)
нужно найти все точки плоскости, координаты х
, у
которых удовлетворяют уравнению y = f(x)
. В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно — с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х
придают конечное число значений — скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,…, х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:

Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x)
. Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1
. Для построения графика функции y = f(x)
некто составил таблицу значений аргумента и функции:

Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

.

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx;
ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x)
|, где f(х) —
заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)|
можно получить из графика, функции y = f(x)
следующим образом: все точки графика функции у = f(х)
, у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x)
, имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x)
(т. е. часть графика функции
y = f(x)
, которая лежит ниже оси х,
следует симметрично отразить относительно оси х
).

Пример 2.
Построить график функции у = |х|.

Берем график функции у = х
(рис. 50, а) и часть этого графика при х (лежащую под осью х
) симметрично отражаем относительно оси х
. В результате мы и получаем график функции у = |х|
(рис. 50, б).

Пример 3
. Построить график функции y = |x 2 — 2x|.

Сначала построим график функции y = x 2 — 2x.
График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х|
, исходя из графика функции у = х 2 — 2x

График функции y = f(x) + g(x)

Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x).
если заданы графики функций y = f(x)
и y = g(x)
.

Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

Пусть точки (х 0 , y 1
) и (х 0 , у 2
) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x)
и y = g(х)
, т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0).
Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х)
(ибо f(х 0) + g(x 0
) = y1 +y2
),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x)
может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x)
можно получить из графиков функций y = f(x)
. и y = g(х)
заменой каждой точки (х n , у
1) графика функции y = f(x)
точкой (х n , y 1 + y 2),
где у 2 = g(x n
), т. е. сдвигом каждой точки (х n , у 1
) графика функции y = f(x)
вдоль оси у
на величину y 1 = g(х n
). При этом рассматриваются только такие точки х
n для которых определены обе функции y = f(x)
и y = g(x)
.

Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х
) называется сложением графиков функций y = f(x)
и y = g(x)

Пример 4
. На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx
.

При построении графика функции y = x + sinx
мы полагали, что f(x) = x,
а g(x) = sinx.
Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx
вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.

График показательной функции, область определения и область значений функции — Алгебра 11 класс — Osvita.name

 

1. Функция y=3x−1 образована от показательной функции y=3x (показательной функцией называется функция, которая записана в виде y=ax, где (a>0, a≠1). Чтобы построить график этой функции, необходимо составить следующую таблицу с произвольно выбранными значениями аргумента  x:

 

x −2 −1 0 1 2
y          

 

2. Чтобы вычислить соответствующие значения функции, необходимо подставить соответствующие значения аргумента x в формулу функции y=3x:

 

a) y=3−2=132=19

 

б) y=3−1=131=13

 

в) y=30=1

г) y=31=3

д) y=32=9

 

3. Вычисленные значения функции записываем в таблицу:

 

x

-2

-1

0

1

2

y

19

13

1

3

9

 

 

 

4. Используя таблицу, строим график функции y=3x:

 

5. Функцию y=3x−1 можно записать в виде y=f(x)+a, где a≠0.

 

* Если a>0, то график функции y=f(x) переместится вдоль оси Oy на  a единиц вверх.

 

* Если a<0, то график функции y=f(x) переместится вдоль оси Oy

Wolfram | Примеры альфа: построение и графика


Функции

Изобразите функцию одной переменной в виде кривой на плоскости.

Постройте функцию одной переменной:

Укажите явный диапазон для переменной:

Постройте функцию с действительным знаком:

Постройте функцию в логарифмическом масштабе:

График в логарифмическом масштабе:

Другие примеры


3D графики

Постройте функцию двух переменных как поверхность в трехмерном пространстве.

Постройте функцию от двух переменных:

Укажите явные диапазоны для переменных:

Другие примеры


Уравнения

Постройте набор решений уравнения с двумя или тремя переменными.

Постройте решение уравнения с двумя переменными:

Другие примеры


Неравенства

Постройте набор решений неравенства или системы неравенств.

Постройте область, удовлетворяющую неравенству двух переменных:

Постройте область, удовлетворяющую множеству неравенств:

Другие примеры


Полярные графики

Нарисуйте график точек или кривых в полярной системе координат.

Укажите диапазон для переменной theta:

Другие примеры


Параметрические графики

Графические параметрические уравнения в двух или трех измерениях.

Укажите диапазон для параметра:

Нарисуйте параметрическую кривую в трех измерениях:

Нарисуйте параметрическую поверхность в трех измерениях:

Другие примеры


Другие примеры

Числовые строки

Нанесите набор чисел или значений на числовую линию.

Визуализируйте набор действительных чисел на числовой строке:

Показать несколько наборов в числовой строке:

Другие примеры

Нахождение обратной функции

Находка
Обратная функция
(стр.
3 из 7)

Разделы: Определение
/ Инвертирование графика, обратная функция — это функция ?,
Нахождение обратного, доказательство обратного


Обычный метод
поиск обратного — это вариант метода, который я собираюсь использовать ниже.Какой бы метод вы ни использовали, убедитесь, что вы выполняете точно такие же шаги в
один и тот же порядок каждый раз, поэтому вы запомните эти шаги, когда получите
к тесту.

  • Найти обратное
    из y
    = 3 x 2.
  • Вот как процесс
    работ:

      Вот
      моя первоначальная функция:

      Сейчас
      Я попробую решить для « x
      = «:

      Один раз
      У меня « x
      знак равно
      Я переключусь на x
      и y ;
      « y
      = «- это
      обратный.

    Если вам нужно найти
    домен и диапазон,
    посмотрите на исходную функцию и ее график. Домен оригинала
    функция — это набор всех допустимых значений x ;
    в этом случае функция была простым полиномом, поэтому область определения
    «все реальные числа». Диапазон исходной функции — все
    y -значения
    вы передадите график; в этом случае прямая линия продолжается
    всегда в любом направлении, поэтому диапазон также представляет собой «все действительные числа».Чтобы найти домен и диапазон обратного, просто поменяйте местами домен и
    диапазон от исходной функции.

      По графику,
      легко увидеть, что эта функция не может иметь обратного,
      поскольку он нарушает тест горизонтальной линии:

    Обычно считается
    приемлемо для построения приведенного выше графика, проведите по нему горизонтальную линию,
    дважды пересекает график, а затем произносит что-то вроде «Обратный
    этой функции не является функцией из-за горизонтальной линии
    Контрольная работа».Но некоторые учителя все равно хотят изучать алгебру. Быть уверенным
    чтобы уточнить у учителя, какой ответ будет приемлемым
    — и сделайте это перед тестом ! Авторские права
    Элизабет Стапель 2000-2011 Все права защищены

      Как это будет выглядеть
      когда я пытаюсь найти обратное алгебраически? Вертикаль
      Line Test говорит
      что у меня не может быть двух и
      с общим значением x .То есть каждый x
      должен иметь УНИКАЛЬНЫЙ соответствующий
      y
      стоимость. Но посмотрите, что происходит, когда я пытаюсь найти « x
      = «:

        Мой
        исходная функция:

        Решение
        для « x
        = «:

      Ну я решил для « x
      знак равно
      но я не получил УНИКАЛЬНЫЙ « x
      знак равноВместо этого я показал, что любое заданное значение x
      фактически будет соответствовать двум различным значениям и ,
      один от плюса к квадратному корню, а другой от
      «минус».

    Каждый раз, когда вы придумываете
    знак «», вы можете быть уверены, что обратное не
    функция.

      Единственная разница
      между этой функцией и предыдущей состоит в том, что домен
      был ограничен только отрицательной половиной
      x — ось.Это ограничение делает график таким:

      Эта функция будет
      иметь обратное, что
      тоже функция. Практически каждый раз, когда они задают вам проблему, где
      они постарались ограничить домен, вы должны позаботиться
      с алгеброй и нарисуйте красивую картинку, потому что, вероятно, обратное
      — это функция, но, вероятно, потребуются дополнительные усилия, чтобы показать это.В этом случае, поскольку домен x
      < 0 и
      диапазон (из графика) равен 1
      < y ,
      то обратный будет иметь область 1
      < x и
      диапазон y
      < 0. Вот
      как выглядит алгебра:

        The
        исходная функция:

        Решить
        для « x
        = «:

        По
        выясняя область и диапазон обратного, я знаю, что
        Я должен выбрать знак минуса для квадратного корня:

        Сейчас
        Я переключусь на x
        и y ;

        новый « г. г.
        = «- это
        обратный:

      x
      >
      1 «ограничение
      исходит из того, что x
      находится внутри квадратного корня.)

      Так
      обратный — y
      = sqrt ( x 1), x > 1,
      и эта инверсия также является функцией.

      Вот график:

    << Предыдущая Вверх | 1
    | 2 | 3 | 4 |
    5 | 6 | 7
    | Вернуться к указателю Далее
    >>

    Цитируйте эту статью
    как:

    Стапель, Елизавета.«Нахождение обратной функции». Пурпурная математика .
    Доступно по номеру
    https://www.purplemath.com/modules/invrsfcn3.htm .
    Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

1,7 — Обратные функции

1,7 — Обратные функции

Обозначение

Функция, обратная f, обозначается f -1 (если ваш браузер не поддерживает надстрочные символы, это выглядит как f
с показателем -1) и произносится как «f инверсия».Хотя обратная функция функции выглядит как
вы возводите функцию в степень -1, это не так. Обратная функция не означает
обратная функция.

Обратные

Функция обычно сообщает вам, что такое y, если вы знаете, что такое x. Обратная функция скажет
вы, каким должен быть x, чтобы получить это значение y.

Функция f -1 является обратной функцией f, если

  • для каждого x в области f, f -1 [f (x)] = x и
  • для каждого x в области f -1 , f [f -1 (x)] = x

Область f — это диапазон f -1 , а диапазон f — это область f -1 .

График обратной функции

Функция, обратная функции, отличается от функции тем, что все координаты x и y
были переключены. То есть, если (4,6) — точка на графике функции, то (6,4) — точка
на графике обратной функции.

Точки в функции идентичности (y = x) останутся в функции идентичности при переключении. Все
координаты других точек поменяются местами.

График функции и обратный ей график являются зеркальным отображением друг друга.Они размышляют о
функция тождества y = x.

Существование обратной функции

Функция говорит, что для каждого x существует ровно один y. То есть значения y могут дублироваться, но x
значения не могут быть повторены.

Если функция имеет инверсию, которая также является функцией, тогда может быть только один y для каждого x.

Однозначная функция — это функция, в которой для каждого x существует ровно один y и для каждого y,
есть ровно один x.У однозначной функции есть обратная функция, которая также является функцией.

Есть функции, у которых есть инверсии, которые не являются функциями. Есть также обратные для
связи. По большей части мы не обращаем на них внимания и имеем дело только с функциями, обратными к которым являются
также функции.

Если обратная функция также является функцией, то обратная зависимость должна проходить вертикальную черту.
контрольная работа. Поскольку все координаты x и y переключаются при нахождении обратного, говоря
что обратная функция должна пройти проверку вертикальной линии — это то же самое, что сказать, что исходная функция должна пройти
тест горизонтальной линии.

Если функция проходит как тест вертикальной линии (так что это в первую очередь функция), так и
проверка горизонтальной линии (так что обратная ей функция является функцией), тогда функция взаимно однозначна и имеет
обратная функция.

Неформальный поиск инверсий

Инверсия некоторых функций, особенно тех, где есть только одно вхождение
независимая переменная, может быть решена отменой операций. Чтобы отменить операции, вы
должен не только изменить порядок, но и использовать обратную операцию.

Пример 1

Функция f (x) = 5x-2
  1. Начать с x: x
  2. Умножить на 5: 5x
  3. Вычесть 2: 5x-2
Обратное f

-1 (x) = (x + 2) / 5

  1. Начать с x: x
  2. Добавить 2: x + 2
  3. Разделить на 5: (x + 2) / 5

Пример 2

Функция f (x) = 2 (x-3)

2 -5, x≥3

Обратите внимание, что на x есть ограничение.

  1. Начать с x: x
  2. Вычесть 3: x-3
  3. Квадрат: (x-3) 2
  4. Умножить на 2: 2 (x-3) 2
  5. Вычесть 5: 2 (x-3) 2 -5
Обратное f

-1 (x) = 3 + sqrt [(x + 5) / 2]

  1. Начать с x: x
  2. Добавить 5: x + 5
  3. Разделить на 2: (x + 5) / 2
  4. Извлеките квадратный корень: ± sqrt [(x + 5) / 2]
  5. Добавить 3: 3 ± sqrt [(x + 5) / 2]
  6. Подождите! Эта инверсия не является функцией, потому что для каждого x есть два значения y.Это из-за ±, которое появилось, когда мы извлекли квадратный корень из обеих частей. Теперь вернемся к исходной области x≥3. Это означает, что для обратного диапазон y≥3. Поскольку y должно быть не меньше 3, нам нужен положительный квадратный корень, а не отрицательный. Без ограничения на x в
    исходная функция, у нее не было бы
    обратная функция: 3 + sqrt [(x + 5) / 2]

Пример 3

Функция f (x) = x

2 — 4x + 6, x≤2

Уххх ????

Что происходит, когда встречается более одного раза
независимая переменная в функции? Ты не
знаю, что вы сделали с x, потому что вы сделали это с двумя
разных x, и вы не сделали одно и то же с обоими
их.

Формальный поиск инверсий

Нельзя сказать, что последний пример не может быть выполнен, но он включает в себя завершение квадрата до
получить f (x) = (x-2) 2 +2, а затем инвертировать его, чтобы получить f -1 (x) = 2-sqrt (x-2).

Однако есть другой способ, который не слишком полагается на неформальность и будет работать независимо от того,
Вы не можете точно определить, что вы сделали с одним x.

  1. Начать с функции
  2. При необходимости заменить f (x) на y
  3. Поменяйте местами x и y.На данный момент вы имеете дело с инверсией
  4. Решить для y
  5. Замените y на f -1 (x), если обратная функция также является функцией, в противном случае оставьте ее как y

Пример 4

Функция f (x) = x

2 / (x 2 +1), x≥0

Ограничение важно сделать 1-1.

  1. Начните с функции: f (x) = x 2 / (x 2 +1), x≥0
  2. Заменить f (x) на y: y = x 2 / (x 2 +1), x≥0
  3. Поменяйте местами x и y: x = y 2 / (y 2 +1), y ≥0
  4. Решить для y:
    1. Умножить на знаменатель: x (y 2 +1) = y 2
    2. Распределить: xy 2 + x = y 2
    3. Переместите y в одну сторону, а все остальное в другую: xy 2 -y 2 = -x
    4. Фактор: y 2 (x-1) = — x
    5. Разделить на коэффициент при y 2 : y 2 = -x / (x-1)
    6. Упростить правую часть: y 2 = x / (1-x)
    7. Извлеките квадратный корень: y = ± sqrt [x / (1-x)]
    8. Поскольку y≥0, нам нужен положительный квадратный корень: y = sqrt [x / (1-x)]
  5. Назовите это f -1 (x): f -1 (x) = sqrt [x / (1-x)]

Для этой последней функции подразумеваемая область обратного преобразования — [0,1).Это означает, что диапазон
исходная функция также должна быть [0,1). Проверьте это на своем калькуляторе, и вы увидите, что это так.

Иногда в инструкциях говорится, что если функция не является взаимно однозначной, то не находите обратную
функция (потому что ее нет). Так что всегда проверяйте, прежде чем тратить время на поиск
обратная функция. Теперь, если вы должны найти обратное, независимо от того,
функция или нет, тогда вперед.

Хорошая вещь!

Индивидуальные функции — замечательные вещи.

При решении уравнений вы можете прибавить одно и то же к обеим сторонам, вычесть одно и то же из
обе стороны, умножьте обе стороны на одно и то же ненулевое значение и разделите обе стороны на одно и то же
отличное от нуля, и все равно получите то же самое решение, не беспокоясь о необходимости проверять свой ответ.

Вы также можете применить взаимно-однозначную функцию к обеим сторонам уравнения, не беспокоясь о введении посторонних решений (решений, которые работают после выполнения чего-то, что не работало раньше).Это не обязательно верно для функций, которые не являются взаимно однозначными, как функция возведения в квадрат, где вы всегда должны проверять ответы после возведения в квадрат обеих сторон уравнения. Например, уравнение sqrt (x) = -2 не имеет решения, но если вы возведете в квадрат обе стороны, вы получите x = 4, но оно не проверяется в исходной задаче. Благодаря индивидуальным функциям вы не будете предлагать никаких посторонних решений.

Вау! Говорить о
мощный. Вы не цените этого сейчас, и книга не может решить это должным образом, пока вы не получите
к главе 4 и имеют дело с логарифмическими и экспоненциальными функциями, и даже тогда они не делают
как бы то ни было.

Ладно, попробуем сейчас. Поверьте мне на слово, что exp (x) является взаимно однозначной функцией и является
инверсия ln (x).

ln (x) = 3
Решите относительно x.
ехр [ln (x)] = ехр [3]
«Погодите, мистер Джонс» — ваш ответ. Вы никогда не видели такого зверя. Это
хорошо. Возьмите обратную функцию и примените ее к обеим сторонам.
х = ехр (3)
Вернитесь к определению инверсии в верхней части этого документа.x и находится на клавише [2 nd ] [ln].

Вау — больше сплоченности. Обратную функцию можно найти, взяв функцию [2 nd ]. Посмотрите
у него для прочего на калькуляторе.

Квадратный корень — это величина, обратная квадрату. Если вы посмотрите на три тригонометрических ключа [sin],
[cos] и [tan], их инверсии находятся с помощью клавиши [2 nd ].

Режим мыльницы включен.

Я говорю вам — все сходится.Для тех, кто помнит строчку, которую Ганнибал Смит использовал в
A-Team: «Мне нравится, когда план слагается».

Математика — один из самых совместных предметов. Все дополняет
еще. Я надеюсь, что вы получите от этого курса гораздо больше, чем просто механику
математика, но понимание, понимание и оценка того, как работает система.
Имея такой прочный фундамент, математика может быть менее стрессовой и даже приятной. У тебя есть
перестать иметь дело с концепциями как с отдельными вещами, которые не связаны друг с другом и не связаны друг с другом.Все они связаны друг с другом и переплетены. Вы не можете их разделить и понять.

Режим мыльницы выключен.

Графики основных функций

Основные функции

В этом разделе мы графически изображаем семь основных функций, которые будут использоваться на протяжении всего курса. Каждая функция отображается в виде точек. Помните, что f (x) = y и, следовательно, f (x) и y могут использоваться как взаимозаменяемые.

Любая функция вида f (x) = c, где c — любое действительное число, называется постоянной функцией Любая функция вида f (x) = c, где c — действительное число.. Постоянные функции линейны и могут быть записаны как f (x) = 0x + c. В этой форме ясно, что наклон равен 0, а точка пересечения y равна (0, c). Оценка любого значения для x , например x = 2, приведет к c .

График постоянной функции представляет собой горизонтальную линию. Домен состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из одного значения { c }.

Далее мы определяем функцию идентичности Линейную функцию, определяемую формулой f (x) = x.е (х) = х. Оценка любого значения для x приведет к тому же значению. Например, f (0) = 0 и f (2) = 2. Идентификационная функция является линейной, f (x) = 1x + 0, с наклоном m = 1 и y -пересечение (0, 0).

И домен, и диапазон состоят из действительных чисел.

Функция возведения в квадрат Квадратичная функция, определяемая формулой f (x) = x2., Определяемая формулой f (x) = x2, является функцией, полученной возведением в квадрат значений в области определения. Например, f (2) = (2) 2 = 4 и f (−2) = (- 2) 2 = 4.Результат возведения в квадрат ненулевых значений в домене всегда будет положительным.

Результирующий изогнутый график называется параболой. Изогнутый график, образованный функцией возведения в квадрат. Область состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).

Кубическая функция Кубическая функция, определяемая как f (x) = x3., Определяемая как f (x) = x3, возводит все значения в области в третью степень.Результаты могут быть положительными, нулевыми или отрицательными. Например, f (1) = (1) 3 = 1, f (0) = (0) 3 = 0 и f (−1) = (- 1) 3 = −1.

И домен, и диапазон состоят из всех действительных чисел ℝ.

Обратите внимание, что функции константы, тождества, возведения в квадрат и куба являются примерами основных полиномиальных функций. Следующие три основные функции не являются полиномами.

Функция абсолютного значения Функция, определенная как f (x) = | x |., Определенная как f (x) = | x |, является функцией, где выходные данные представляют расстояние до начала координат на числовой прямой.Результат вычисления функции абсолютного значения для любого ненулевого значения x всегда будет положительным. Например, f (−2) = | −2 | = 2 и f (2) = | 2 | = 2.

Область функции абсолютного значения состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).

Функция квадратного корня Функция, определяемая как f (x) = x., Определяемая как f (x) = x, не определяется как действительное число, если значения x отрицательны.Следовательно, наименьшее значение в домене равно нулю. Например, f (0) = 0 = 0 и f (4) = 4 = 2.

И домен, и диапазон состоят из действительных чисел, больших или равных нулю [0, ∞).

Обратная функция Функция, определенная как f (x) = 1x., Определенная как f (x) = 1x, является рациональной функцией с одним ограничением на область определения, а именно x ≠ 0. Обратное значение x , очень близкое к нулю, очень велико. Например,

f (1/10) = 1 (110) = 1⋅101 = 10f (1/100) = 1 (1100) = 1⋅1001 = 100f (1/1000) = 1 (11000) = 1⋅10001 = 1000

Другими словами, когда значения x приближаются к нулю, их обратные значения будут стремиться либо к положительной, либо к отрицательной бесконечности.Это описывает вертикальную асимптоту — вертикальную линию, к которой график становится бесконечно близким. по оси y . Кроме того, там, где значения x очень велики, результат обратной функции очень мал.

f (10) = 110 = 0,1 f (100) = 1100 = 0,01 f (1000) = 11000 = 0,001

Другими словами, когда значения x становятся очень большими, результирующие значения y стремятся к нулю. Это описывает горизонтальную асимптоту — горизонтальную линию, к которой график становится бесконечно близким, где значения x стремятся к ± ∞.по оси x . После нанесения ряда точек можно определить общий вид обратной функции.

И область, и диапазон обратной функции состоят из всех действительных чисел, кроме 0, который может быть выражен с использованием обозначения интервала следующим образом: (−∞, 0) ∪ (0, ∞).

Таким образом, основными полиномиальными функциями являются:

Основные неполиномиальные функции:

Кусочно определенные функции

Кусочная функция Функция, определение которой изменяется в зависимости от значений в домене., или функция разделения Термин, используемый при ссылке на кусочную функцию., — это функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене. Например, мы можем написать функцию абсолютного значения f (x) = | x | как кусочная функция:

f (x) = | x | = {x, если x≥0 − x, если x <0

В этом случае используемое определение зависит от знака значения x . Если значение x положительно, x≥0, тогда функция определяется как f (x) = x. И если значение x отрицательное, x <0, тогда функция определяется как f (x) = - x.

Ниже приведен график двух частей на одной прямоугольной координатной плоскости:

Пример 1

График: g (x) = {x2, если x <0x, если x≥0.

Решение:

В этом случае мы строим график функции возведения в квадрат по отрицательным значениям x и функцию квадратного корня по положительным значениям x .

Обратите внимание на открытую точку, используемую в начале координат для функции возведения в квадрат, и на закрытую точку, используемую для функции извлечения квадратного корня.Это было определено неравенством, которое определяет область определения каждой части функции. Вся функция состоит из каждой части, нанесенной на одну и ту же координатную плоскость.

Ответ:

При оценке значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Пример 2

Для функции h найти h (−5), h (0) и h (3).

ч (t) = {7t + 3ift <0−16t2 + 32tift≥0

Решение:

Используйте h (t) = 7t + 3, где t отрицательно, что обозначено t <0.

h (t) = 7t + 5h (−5) = 7 (−5) + 3 = −35 + 3 = −32

Если t больше или равно нулю, используйте h (t) = — 16t2 + 32t.

h (0) = — 16 (0) +32 (0) h (3) = 16 (3) 2 + 32 (3) = 0 + 0 = −144 + 96 = 0 = −48

Ответ: h (−5) = — 32, h (0) = 0 и h (3) = — 48

Попробуй! График: f (x) = {23x + 1, если x <0x2, если x≥0.

Ответ:

Определение функции может отличаться в разных интервалах домена.

Пример 3

График: f (x) = {x3, если x <0x, если 0≤x≤46, если x> 4.

Решение:

В этом случае постройте график кубической функции на интервале (−∞, 0). Изобразите тождественную функцию на интервале [0,4]. Наконец, постройте график постоянной функции f (x) = 6 на интервале (4, ∞). И поскольку f (x) = 6, где x> 4, мы используем открытую точку в точке (4,6). Если x = 4, мы используем f (x) = x и, таким образом, (4,4) — это точка на графике, обозначенная закрытой точкой.

Ответ:

Функция наибольшего целого числа Функция, которая присваивает любое действительное число x наибольшему целому числу, меньшему или равному x , обозначается f (x) = [[x]]., Обозначается f (x) = [[x]] , присваивает наибольшее целое число, меньшее или равное любому действительному числу в своем домене. Например,

f (2,7) = [[2,7]] = 2f (π) = [[π]] = 3f (0,23) = [[0,23]] = 0f (−3,5) = [[- 3,5]] = — 4

Эта функция связывает любое действительное число с наибольшим целым числом, меньшим или равным ему, и ее не следует путать с округлением.

Пример 4

График: f (x) = [[x]].

Решение:

Если x — любое действительное число, тогда y = [[x]] — наибольшее целое число, меньшее или равное x .

⋮ −1≤x <0⇒y = [[x]] = - 10≤x <1⇒y = [[x]] = 01≤x <2⇒y = [[x]]] = 1 ⋮

Используя это, мы получаем следующий график.

Ответ:

Область определения наибольшей целочисленной функции состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из набора целых чисел.Эту функцию часто называют минимальной функцией — термин, используемый для обозначения наибольшей целочисленной функции. и имеет множество приложений в информатике.

Основные выводы

  • Точки на графике определяют общую форму основных функций. Следует запомнить форму, а также домен и диапазон каждого из них.
  • Основные полиномиальные функции: f (x) = c, f (x) = x, f (x) = x2 и f (x) = x3.
  • Основные неполиномиальные функции: f (x) = | x |, f (x) = x и f (x) = 1x.
  • Функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене, называется кусочной функцией. Значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Тематические упражнения

    Часть A: Основные функции

      Сопоставьте график с определением функции.

      Оценить.

    1. f (x) = x; найти f (−10), f (0) и f (a).

    2. f (x) = x2; найти f (−10), f (0) и f (a).

    3. f (x) = x3; найти f (−10), f (0) и f (a).

    4. f (x) = | x |; найти f (−10), f (0) и f (a).

    5. f (x) = x; найти f (25), f (0) и f (a), где a≥0.

    6. f (x) = 1x; найти f (−10), f (15) и f (a), где a ≠ 0.

    7. f (x) = 5; найти f (−10), f (0) и f (a).

    8. f (x) = — 12; найти f (−12), f (0) и f (a).

    9. График f (x) = 5 и укажите его область определения и диапазон.

    10. График f (x) = — 9 и укажите область определения и диапазон.

      Функция кубического корня.

    1. Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−8, −1, 0, 1, 8}.

    2. Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−3, −2, 1, 2, 3}. Воспользуйтесь калькулятором и округлите до ближайшей десятой.

    3. Постройте график функции корня куба, определяемый как f (x) = x3, путем нанесения точек, найденных в предыдущих двух упражнениях.

    4. Определите область и диапазон функции кубического корня.

      Найдите упорядоченную пару, которая задает точку P .

    Часть B: кусочные функции

      Постройте график кусочных функций.

    1. g (x) = {2, если x <0x, если x≥0

    2. g (x) = {x2, если x <03, если x≥0

    3. h (x) = {xifx <0xifx≥0

    4. h (x) = {| x |, если x <0x3ifx≥0

    5. f (x) = {| x |, если x <24ifx≥2

    6. f (x) = {xifx <1xifx≥1

    7. g (x) = {x2ifx≤ − 1xifx> −1

    8. g (x) = {- 3ifx≤ − 1x3ifx> −1

    9. h (x) = {0ifx≤01xifx> 0

    10. h (x) = {1xifx <0x2ifx≥0

    11. f (x) = {x2ifx <0xif0≤x <2−2ifx≥2

    12. f (x) = {xifx <−1x3if − 1≤x <13ifx≥1

    13. g (x) = {5ifx <−2x2if − 2≤x <2xifx≥2

    14. g (x) = {xifx <−3 | x | если − 3≤x <1xifx≥1

    15. h (x) = {1xifx <0x2if0≤x <24ifx≥2

    16. h (x) = {0ifx <0x3if0 2

      Оценить.

    1. f (x) = {x2ifx≤0x + 2ifx> 0

      Найдите f (−5), f (0) и f (3).

    2. f (x) = {x3ifx <02x − 1ifx≥0

      Найдите f (−3), f (0) и f (2).

    3. g (x) = {5x − 2ifx <1xifx≥1

      Найдите g (−1), g (1) и g (4).

    4. g (x) = {x3ifx≤ − 2 | x | ifx> −2

      Найдите g (−3), g (−2) и g (−1).

    5. h (x) = {- 5ifx <02x − 3if0≤x <2x2ifx≥2

      Найдите h (−2), h (0) и h (4).

    6. h (x) = {- 3xifx≤0x3if0 4

      Найдите h (−5), h (4) и h (25).

    7. f (x) = [[x − 0,5]]

      Найдите f (−2), f (0) и f (3).

    8. f (x) = [[2x]] + 1

      Найдите f (−1.2), f (0.4) и f (2.6).

      Оцените по графику f .

    1. Найдите f (−4), f (−2) и f (0).

    2. Найдите f (−3), f (0) и f (1).

    3. Найдите f (0), f (2) и f (4).

    4. Найдите f (−5), f (−2) и f (2).

    5. Найдите f (−3), f (−2) и f (2).

    6. Найдите f (−3), f (0) и f (4).

    7. Найдите f (−2), f (0) и f (2).

    8. Найдите f (−3), f (1) и f (2).

    9. Стоимость автомобиля в долларах выражается через количество лет, прошедших с момента приобретения нового автомобиля в 1975 году:

      1. Определите стоимость автомобиля в 1980 году.
      2. В каком году автомобиль оценивается в 9 000 долларов?
    10. Стоимость единицы нестандартных ламп в долларах зависит от количества произведенных единиц в соответствии со следующим графиком:

      1. Какова стоимость единицы, если производится 250 нестандартных ламп?
      2. Какой уровень производства минимизирует удельные затраты?
    11. Продавец автомобилей получает комиссию на основе общего объема продаж каждый месяц x в соответствии с функцией:
      г (х) = {0.03x, если 0≤x <20,0000,05x, если 20,000≤x <50,0000,07x, если x≥50,000

      1. Если общий объем продаж продавца за месяц составляет 35 500 долларов, какова его комиссия в соответствии с функцией?
      2. Сколько еще ей потребуется продаж, чтобы перейти на следующий уровень в структуре комиссионных?
    12. Аренда лодки стоит 32 доллара за час, а каждый дополнительный час или неполный час стоит 8 долларов.Постройте график стоимости аренды лодки и определите стоимость аренды лодки на 412 часов.

    Часть C: Обсуждение

    1. Объясните начинающему изучающему алгебру, что такое асимптота.

    2. Изучите и обсудите разницу между функциями пола и потолка.Какие приложения вы можете найти, которые используют эти функции?

ответы

  1. f (−10) = — 10, f (0) = 0, f (a) = a

  2. f (−10) = — 1000, f (0) = 0, f (a) = a3

  3. f (−10) = 5, f (0) = 5, f (a) = 5

  4. Домен: ℝ; диапазон: {5}

  5. {(−8, −2), (−1, −1), (0,0), (1,1), (8,2)}

  1. f (−5) = 25, f (0) = 0 и f (3) = 5

  2. г (-1) = — 7, г (1) = 1 и г (4) = 2

  3. ч (-2) = — 5, ч (0) = — 3 и ч (4) = 16

  4. f (−2) = — 3, f (0) = — 1 и f (3) = 2

  5. f (−4) = 1, f (−2) = 1 и f (0) = 0

  6. f (0) = 0, f (2) = 8 и f (4) = 0

  7. f (−3) = 5, f (−2) = 4 и f (2) = 2

  8. f (−2) = — 1, f (0) = 0 и f (2) = 1

Исчисление

— Как определить, является ли функция взаимно однозначной?

Чтобы показать, что $ f $ равно 1-1, вы можете показать, что $$ f (x) = f (y) \ Longrightarrow x = y.$$
Так, например, для $ f (x) = {x-3 \ over x + 2} $:

Предположим, что $ {x-3 \ over x + 2} = {y-3 \ over y + 2} $. Затем:
\ begin {align *}
& {x-3 \ над x + 2} = {y-3 \ над y + 2} \\
\ Longrightarrow & (y + 2) (x-3) = (y-3) (x + 2) \\
\ iff & yx + 2x-3y-6 = yx-3x + 2y-6 \\
\ iff & 2x-3y = -3x + 2y \\
\ iff & 2x + 3x = 2y + 3y \\
\ iff & 5x = 5y \\
\ iff & x = y
\ end {выровнять *}
Итак, $ f (x) = {x-3 \ over x + 2} $ равно 1-1.

Я уйду, показывая, что $ f (x) = {{x-3} \ over 3} $ для вас — это 1-1.

В качестве альтернативы, чтобы показать, что $ f $ равно 1-1, вы можете показать, что $$ x \ ne y \ Longrightarrow f (x) \ ne f (y).2 $ — это не 1-1.

Конечно, чтобы показать, что $ g $ не 1-1, вам нужно найти только два различных значения входного значения $ x $, которые дают $ g $ одинаковое выходное значение.


Хотя вы справедливо указываете, что графический метод ненадежен; все еще поучительно рассмотреть используемые методы и почему они работают:

Графически можно использовать одно из следующих значений:

  1. Используйте «Тест горизонтальной линии»:

    $ f $ равно 1-1 тогда и только тогда, когда каждая горизонтальная линия пересекает график.
    $ f $ не более чем в одной точке.Обратите внимание, что это просто графический
    интерпретация «если $ x \ ne y $, то $ f (x) \ ne f (y) $»; так как
    точки пересечения горизонтальной прямой с графиком $ f $ дают
    $ x $ значения, для которых $ f (x) $ имеет то же значение (а именно, $ y $ -перехват строки).

  2. Используйте тот факт, что непрерывный $ f $ равен 1-1 тогда и только тогда, когда $ f $ либо
    строго возрастающие или строго убывающие. Это, конечно,
    эквивалентно производной, всегда положительной или всегда
    отрицательная в случае дифференцируемости $ f $.(Обратите внимание, что этот метод применим только к зеленой функции ниже.)

3.7: Производные обратных функций

В этом разделе мы исследуем взаимосвязь между производной функции и производной ее обратной. Для функций, производные которых мы уже знаем, мы можем использовать это соотношение для поиска производных от обратных без необходимости использовать предельное определение производной. В частности, мы применим формулу для производных обратных функций к тригонометрическим функциям.{−1} (x) \ big)}. \ Label {inverse1} \]

В качестве альтернативы, если \ (y = g (x) \) является обратным \ (f (x) \), то

\ [g ‘(x) = \ dfrac {1} {f ′ \ big (g (x) \ big)}. \ label {inverse2} \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \): применение теоремы об обратной функции

Используйте теорему об обратной функции, чтобы найти производную от \ (g (x) = \ dfrac {x + 2} {x} \). Сравните полученную производную с производной, полученной прямым дифференцированием функции.

Решение

Обратным к \ (g (x) = \ dfrac {x + 2} {x} \) является \ (f (x) = \ dfrac {2} {x − 1} \).{−1/3} \ nonumber \]

и

\ [\ dfrac {dy} {dx} \ Bigg | _ {x = 8} = \ frac {1} {3} \ nonumber \]

наклон касательной к графику в точке \ (x = 8 \) равен \ (\ frac {1} {3} \).

Подставляя \ (x = 8 \) в исходную функцию, мы получаем \ (y = 4 \). Таким образом, касательная проходит через точку \ ((8,4) \). Подставляя в формулу угла наклона прямой, получаем касательную

\ [y = \ tfrac {1} {3} x + \ tfrac {4} {3}. \ nonumber \]

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Найдите производную от \ (s (t) = \ sqrt {2t + 1} \).{−1/2} \)

Производные обратных тригонометрических функций

Теперь обратим наше внимание на поиск производных от обратных тригонометрических функций. Эти производные окажутся неоценимыми при изучении интеграции далее в этом тексте. Производные обратных тригонометрических функций весьма удивительны тем, что их производные на самом деле являются алгебраическими функциями. Ранее было доказано, что производные алгебраических функций являются алгебраическими функциями, а производные тригонометрических функций — тригонометрическими функциями.2−1}} \)

Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3

Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3 — Квадратные уравнения

2008 Rasmus ehf и Jhann sak

Уравнения III

Урок
3
Пересечение
точек графиков


Как приступить к поиску точек, в которых два графика
y = f (x) и y = g (x) пересекаются?

Мы уже знаем, где найти график
f (x) пересекает ось x.Здесь y = 0. Мы вычисляем его, решая
уравнение f (x) = 0.
Когда графики y = f (x) и y =
g (x) пересекаются, оба графа имеют
точно такие же значения x и y. Итак, мы можем найти точку или точки
пересечения путем решения уравнения f (x)
= g (x). Решение этого уравнения даст нам значение (я) x
точка (и) пересечения. Затем мы можем найти значение y, поместив значение для
x, который мы нашли в одном из исходных уравнений.То есть путем расчета
либо f (x), либо g (x).

Пример 1

Рассчитать точку
пересечение двух прямых f (x) = 2x — 1 и g (x) = x + 1. Сначала
давайте посмотрим на график двух функций. Мы видим смысл
пересечение есть (2, 3).

Рассчитываем точку пересечения по
решение уравнения f (x) = g (x). То есть:

2х — 1 = х + 1

2х — х = 1 + 1

х = 2

Координата Y теперь может быть найдена
вычисление f (2):

f (2) = 2 × 2 — 1 =
3

Точка пересечения — (2,
3)
.

Пример показывает, что мы можем найти точку
пересечения двумя способами.
Либо графически, нарисовав два графика в одной системе координат, либо
алгебраически, решив уравнение, подобное тому, которое приведено в приведенном выше примере.

Решить уравнение графически легко с помощью
графический калькулятор или компьютерная программа, например Excel.
Некоторые уравнения нельзя решить алгебраически, но мы можем найти решения, которые
исправляем до любого количества значащих цифр, используя компьютеры и
калькуляторы.

Пример 2

Решите уравнение x 2 — 2x — 3 = 2x — 3 сначала графически, затем алгебраически.

Рисуем графики f (x) = x 2
2x — 3 и g (x) = 2x — 3, составив таблицу значений и построив график
точки. Как из графика, так и из таблицы значений видно, что
графики пересекаются при x = 0 и x = 4 .

Решает алгебраически:

x 2 — 2x — 3 = 2x — 3

x 2 — 4x = 0

х (х — 4) = 0

Получение решений x = 0 и x = 4 .

Пример 3

Решите уравнение x 2 — 1 = 2x — 3

Сначала переместите все термины
перейдите к левой части уравнения и упростите.

Это дает x 2 — 2x + 2 = 0

Используем квадратичную формулу с a = 1, b =
−2 и c = 2.

Число под знаком квадратного корня:
отрицательный, что означает, что это уравнение не имеет решения.
Чтобы понять, почему это так, мы рисуем графики левой части оригинала.
уравнение

f (x) = x 2 — 1 и правая часть g (x) = 2x — 3.

Мы видим, что парабола
f (x) и прямая g (x) не пересекаются.Легко видеть, что мы
не может вычислить точку пересечения просто потому, что такой точки нет.

Пример 4

Решите уравнение x 3 — 3x + 2 = x 2
2x + 1

Как и в предыдущем примере, мы перемещаем все
слагаемые в левую часть уравнения.

х 3 — 3х + 2 = х 2 — 2х + 1

x 3 — x 2 — x + 1 = 0

(x 3 — x 2 ) — (x — 1) = 0

x 2 (x — 1) — (x — 1) = 0

(х — 1) (х 2
1) = 0

(х — 1) (х — 1) (х
+ 1) = 0

Расчеты показывают, что их всего два
решений, x = 1 и x = −1, но кубическое уравнение может иметь три
решения.График показывает нам, что происходит.

Графики f (x) =
x 2 — 2x + 1 и g (x)
= x 3 — 3x + 2 пересекаются
только в двух местах, где x = −1 и x = 1, которые были решениями
уравнение.

Пример 5

Решите уравнение x 2 = x

Легко видеть, что x = 0 и x = 1 являются
решения уравнения, но есть ли еще решения? Это не очень
вероятно, но давайте посмотрим на графики.

Назовите левую часть f (x) = x 2 и правую часть g (x) = x.
Помните, что g (x) не может принимать отрицательные значения x, поэтому не может быть никаких
отрицательные точки пересечения.

На графике видно, что точек всего две
пересечения и, следовательно, только два решения уравнения. х = 0 и х =
1.
Вот как решить уравнение расчетом:

x 2 = x

х 4 = х

х 4 — х = 0

х (х 3 — 1) = 0

Квадрат
обе стороны уравнения, чтобы избавиться от квадратного корня
.

Это дает решение x = 0 и x = 1 .

Пример 6

Решите уравнение ln x = x 2 — 1

Это уравнение не так-то просто решить. Если мы
вспомните определение логарифма, мы видим, что x = 1 делает обе стороны
уравнение равно 0 и, следовательно, является одним решением уравнения. Мы рисуем
графики, чтобы увидеть, есть ли другие решения.

График показывает нам, что есть два
решения. Одно решение — ровно x
= 1, поскольку e 0 = 1.

Обратите внимание, что мы выбираем значения x так, чтобы значения y
становятся все ближе и ближе друг к другу в таблице значений. Таким образом мы
можем выбрать значение x, чтобы получить желаемую точность.

Пример 7

EXCEL

Если мы воспользуемся графическим калькулятором, то сможем найти
решение уравнения ln x = x 2 — 1 намного проще.

Рисуем графики обеих сторон
уравнение и используйте Zoom (сдвиг F2), а затем Trace (сдвиг F1), чтобы найти
точка пересечения.

Еще проще использовать G-Solve (F5) и
затем функция пересечения ISCT (F5). Это дает нам первую точку зрения
пересечение. Затем нажимаем стрелку вправо, и калькулятор переходит к
вторая точка пересечения. 2-ln (B2)

Теперь выберите Инструменты
а затем «Поиск цели» в строке меню.В
на экране появляется следующее:

Пишем D2,
1 и B2 в промежутках, как показано. Мы просим Excel сделать значение ячейки D2 равным
к значению 1, изменив значение в B2.

Когда
нажимаем ОК, появляется следующая информация.

Это говорит нам о том, что
аппроксимация x ≈ 0,45, которую мы нашли графически в примере 6, довольно
хорошо, решение x ≈ 0.4500289, найденный с помощью EXCEL, не намного лучше.


Попробуйте пройти тест 3 по уравнениям III.

Не забудьте использовать контрольный список для
следите за своей работой.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.