График функции 2x 1: y=2x+1 Построить график функции — Школьные Знания.com

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Преобразование   y = f (x + c),  где c   – число

Описание:

В случае   c > 0   график функции   y = f (x)   переносится влево на расстояние | c |

Рисунок:

Описание:

В случае   c < 0   график функции   y = f (x)   переносится вправо на расстояние | c |

Рисунок:

Преобразование   y = f (x) + c,  где c   – число

Описание:

В случае   c > 0   график функции   y = f (x)   переносится вверх на расстояние | c |

Рисунок:

Описание:

В случае   c < 0   график функции   y = f (x)   переносится вниз на расстояние | c |

Рисунок:

Преобразование   y = – f (x)

Описание:

График функции   y = f (x)   симметрично отражается относительно оси Ox.

Рисунок:

Преобразование   y = f ( – x)

Описание:

График функции   y = f (x)   симметрично отражается относительно оси Oy.

Рисунок:

Преобразование   y = f (kx), где  k   – число

Описание:

В случае   k > 1   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в   k   раз к оси   Oy.

Рисунок:

Описание:

В случае   0 < k < 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в раз от оси   Oy.

Рисунок:

Описание:

В случае   – 1 < k < 0   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в     раз от оси   Oy   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.

Рисунок:

Описание:

В случае   k < – 1   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в   | k |   раз к оси   Oy   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.

Рисунок:

Преобразование   y = k f (x), где  k   – число

Описание:

В случае   k > 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в   k   раз от оси   Ox.

Рисунок:

Описание:

В случае   0 < k < 1   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в     раз к оси   Ox.

Рисунок:

Описание:

В случае   – 1 < k < 0   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в     раз к оси   Ox   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.

Рисунок:

Описание:

В случае   k < – 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в   | k |   раз от оси   Ox   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.

Рисунок:

Преобразование   y = | f (x)|

Описание:

Часть графика функции y = f (x),   расположенная в области , остаётся на месте. Часть графика функции   y = f (x),   расположенная в области   y < 0,   симметрично отражается относительно оси Ox.

Рисунок:

Преобразование   y = f (| x|)

Описание:

Ось   Oy   является осью симметрии графика функции   y = f (| x|).

Часть графика функции   y = f (x), расположенная в области остаётся на месте. Часть графика функции   y = f (| x|),   расположенная в области   x < 0,   получается из части графика, расположенной в области при помощи симметричного отражения относительно оси Oy.

Рисунок:

Функции и Графики — сайт по математике и не только!!! ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Всё о Математических функциях и их графиках…



ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ


y = kx + b, где k,b — действительные числа

График линейной функции — прямая. k — угловой коэффициент k = tg a, b — ордината точки пересечения с осью y



Частные случаи линейной функции:

Прямая пропорциональность: Постоянная функция:


Взаимное расположение графиков линейных функций:

Если k1k2, графики функций

y = k1 + b1 и y = k2x + b2
пересекаються в одной точке:
Если k1 = k2,b1b2 графики

функций y = k1 + b1 и
y = k2x + b2
являются параллельными прямыми:


СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ y = kx + b

  • ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: R
  • ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ:

    при k 0 R

    при k = 0 {b}
  • ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ:

    если k 0, b 0, то функция ни четная и ни нечетная

    если k 0, b = 0, то функция нечетная

    если k = 0, b = 0, то функция четная

    если k = 0, b = 0, то функция равна нулю

  • НУЛИ:

    если k 0, то y = 0 при x = -b/k

    если k = 0, b 0, то нулей нет

    если k = 0, b = 0, то y = 0 при x R

  • ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:


    если k = 0, b > 0, то y > 0 при x R


    если k = 0, b y x R


    если k = 0, b = 0, то y = 0 при x R

  • ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:

    если k = 0, b > 0, то функция возрастает при x R

    если k = 0, b x R

    если k = 0, b = 0, то функция постоянна при x R

  • ЭКСТРЕМУМОВ НЕТ



  • СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ПО ДВУМ ТОЧКАМ


    Рассмотрим построение графика линейной функции по двум точкам:

    Функция y = 3x + 2 строиться по двум точкам (x1;b) и (x2;b+k), при x1=0, а x2=1.

    Теперь проведем через данные точки прямую:


    Если k 0, b 0, можно выбрать точки (0;b) и (-b/k;0) на осях координат:
    Например: y = 2x + 2
    Если x1 = 0, то y1 = 2;

    Через точки (0,2) и (-1;0) проведем прямую:


    Если коэффициент перед х дробный, удобно выбирать х1 и х2 так, чтобы у1 и у2 были целыми.

    y = — 1/3x + 2

    Если x1 = 3, то y1 = 1;

    Если x1 = -3, то y2 = 3;

    Через точки (3;1) и (-3;3) провести прямую.



    ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ y = kx + b
    С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКА ФУНКЦИИ y = x


    График функции y = kx + b можно получить из графика y = x в три этапа:

    1. Построить график функции y = x 2.Произвести растяжение (при |k| > 1) или сжатие (при |k| у (если k 3.Произвести параллельный перенос графика вдоль оси у на |b| (вверх при b>0, вниз при b


    Примеры:
    1: y = 2x — 1

    2: y = —x/3 + 2


    Сдвиги графиков функций

    Изменение значения k влияет на вид графика (степень крутизны в случае параболы), расположение ветвей в координатных четвертях и др. Однако точкой, через которую можно провести ось симметрии графиков, является точка O с координатами (0; 0).

    Если же рассматривать функций, подобные перечисленным выше, у которых к переменной x или ко всей исходной функции прибавляется (или вычитается) какое-либо число, то графики этих функций остаются такими же как у исходных, однако смещаются относительно точки (0; 0).

    Если обозначить исходные функции как y = f(x), то прибавление к x числа дает функции вида y = f(x+l), а прибавление ко всей исходной функции значения дает вид y = f(x) + m.

    Например, если исходная функция y = 2x2, то примером первого типа будет функция y = 2(x+5)2, а второго — y = 2x2 + 5.

    Для функций вида y = f(x+l) график смещается влево на l единиц, если l прибавляется. Если же l вычитается, то график смещается вправо. Действительно, представим параболу функции y = x2 и сравним ее с функцией y = (x+1)2. Когда x = 1, то для первой функции y = 1, а для второй — y = 4. Когда x = 0, для первой y = 0, для второй y = 1. Когда x = –1, для первой y = 1, для второй y = 0.

    То есть график второй функции касается оси x в точке (–1; 0). Это значит, что график смещен влево по сравнению с исходным на 1.

    Для функций вида y = f(x) + m график соответствующей функции y = f(x) смещается на m единиц, но уже по вертикальной оси (ось y). Здесь если m прибавляется, то график сдвигается вверх. Если m вычитается, то график сдвигается вниз.

    Рассмотрим ту же параболу y = x2 и функцию y = x2 + 1. Когда x = 0, первая принимает значение 0, а у второй y = 1. Получить у второй функции значение y, которое равно 0, вообще невозможно. Это значит, что парабола имеет точку симметрии с координатами (0; 1), т. е. сдвинута от исходной вверх на 1.

    «Смешанные» функции вида y = f(x + l) + m сдвигаются вдоль оси x и y. Вдоль оси x они сдвигаются на l, а вдоль y — на значение m.

    Построить график функции у=-x²+2x+8 (парабола) – решение и ответ

    Формулировка задания: Построить график функции у = -x² + 2x + 8.

    Решение:

    Для построения графика параболы нужно построить таблицу значений x и y.

    Для удобства начнем с точек, находящихся на осях Ox и Oy. Если точка лежит на оси Oy (x = 0), тогда:

    x = 0 ⇒

    y = -0² + 2 ⋅ 0 + 8 = 8

    Если точка лежит на оси Ox (y = 0), нужно решить квадратное уравнение:

    y = 0 ⇒

    -x² + 2x + 8 = 0

    a = -1, b = 2, c = 8

    D = 2² – 4 ⋅ (-1) ⋅ 8 = 36

    x1 = (-2 + 6) / (-2) = -2

    x2 = (-2 – 6) / (-2) = 4

    Таким образом, мы получили 3 точки пересечения с осями. Заполняем ими таблицу:

    Возьмем еще пару точек, которые будет просто посчитать, например, x = 1 и x = -1:

    x = 1 ⇒

    y = -1² + 2 ⋅ 1 + 8 = 9

    x = -1

    y = -(-1)² + 2 ⋅ (-1) + 8 = 5

    Таблица значений теперь выглядит следующим образом:

    Отметим полученные точки на координатной плоскости:

    Координату x вершины параболы можно определить по любым 2 точкам параболы, у которых равно значение y: она лежит точно между ними. Например, найдем координату x вершины параболы по точкам (-2;0) и (4;0):

    (4 – (-2)) / 2 = 6 / 2 = 3

    xв = -2 + 3 = 1

    Точка с таким значением x уже есть в таблице значений. Осталось построить график:

    Поделитесь статьей с одноклассниками «Построить график функции у=-x²+2x+8 (парабола) – решение и ответ».

    При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
    Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.

    Графики прямой, параболы, гиперболы, с модулем

    Пошаговое построение графиков.

    «Навешивание» модулей на прямые, параболы, гиперболы.


    Графики — самая наглядная тема по алгебре. Рисуя графики, можно творить, а если еще и сможешь задать уравнения своего творчества, то и учитель достойно это оценит.

    Для понимания друг друга введу немного «обзываний» системы координат:

    Для начала построим график прямой y = 2x − 1.

    Не сомневаюсь, что ты помнишь. Я напомню себе, что через 2 точки можно провести одну прямую. 

    Возьмем значение X = 0 и Х = 1 и подставим в выражение y = 2x − 1, тогда соответственно Y = − 1 и Y = 1

    Через данные две точки А = (0; −1) и B = (1; 1) проводим единственную прямую:

    А если теперь добавить модуль y = |2x − 1|.

    Модуль — это всегда положительное значение, получается, что «y» должен быть всегда положительным.

    Значит, если модуль «надет» на весь график, то, что было в нижней части «−y», отразится в верхнюю (как будто сворачиваете лист по оси х и то, что было снизу, отпечатываете сверху).

    Получается такая зеленая «галочка».

    Красота! А как же будет выглядеть график, если надеть модуль только на «х»: y = 2|x| − 1?

    Одна строчка рассуждений и рисуем:

    Модуль на «x», тогда в этом случае x = −x, то есть все, что было в правой части, отражаем в левую. А то, что было в плоскости «−x», убираем.

    Здесь отражаем относительно оси «y».  Такая же галочка, только теперь через другую ось.

    Смертельный номер: y = |2|x| − 1|.

    Черную прямую y = 2x − 1 отражаем относительно оси Х, получим y = |2x − 1|. Но мы выяснили, что модуль на х влияет только на левую часть. 

    В правой части: y = |2x − 1| и y = |2|x| − 1| идентичны! 

    А после этого отражаем относительно оси «y» то, что мы получили справа налево:

    Если ты человек амбициозный, то прямых тебе будет мало! Но то, что описано выше, работает на всех остальных графиках, значит делаем по аналогии.

    Разберем по винтикам параболу y = x² + x − 2. Точки пересечения с осью «x» получим с помощью дискриминанта: x₁ = 1 и x₂ = -2.

    Можно найти вершину у параболы и взять пару точек для точного построения.

    А как будет выглядеть график: y = |x²| + x − 2? Слышу: «Такого мы еще не проходили», а если подумаем? Модуль на x², он же и так всегда положителен, от модуля тут толку, как от стоп-сигнала зайцу − никакого.

    При y = x² + |x| − 2 все так же стираем всю левую часть, и отражаем справа налево:

    А дальше что мелочиться: рассмотри сразу остальные графики с модулем!

    Следующий смертельный номер: |y| = x² + x − 2, подумай хорошенько, а еще лучше попробуй нарисовать сам.

    При положительных значениях «y» от модуля нет смысла − уравнения y = x² + x − 2, а при «−y» ничего не меняется, будет так же y = x² + x − 2! 

    Рисуем параболу в верхней части системы координат (где у > 0), а затем отражаем вниз.

    А теперь сразу комбо:

    Cиний: похож на y = x² + |x| − 2, только поднят вверх. Строим график в правой части, а затем отражаем через ось Y влево.

    Оранжевый: строим в правой части и отражаем относительно оси Х. Доходим до оси Y и отражаем все что было справа налево. Двойка в знаменателе показывает, что график будет «шире», расходится в бока он быстрее остальных.

    Зеленый: Так же начинаем с правой части и отражаем относительно оси оси Y. Получается график y = |x² + x − 2|, но еще есть −2, поэтому опустим график на 2 вниз. Теперь параболы как бы отражается относительно Y = − 2.

    Легкий и средний уровень позади, и настала пора выжать концентрацию на максимум, потому что дальше тебя ждут гиперболы, которые частенько встречаются во второй части ЕГЭ и ОГЭ.

    y = 1/x — простая гипербола, которую проще всего построить по точкам, 6-8 точек должно быть достаточно:

    А что будет, если мы добавим в знаменателе «+1»? График сдвинется влево на единицу:

    А что будет, если мы добавим в знаменателе «−1»? График сдвинется вправо на единицу.

    А если добавить отдельно «+1» y = (1/x) + 1? Конечно, график поднимется вверх на единицу!

    Глупый вопрос: а если добавить отдельно «−1» y = (1/x) − 1? Вниз на единицу!

    Теперь начнем «накручивать» модули: y = |1/x + 1| — отражаем все из нижней части в верхнюю.

    Возьмем другой модуль, мой амбициозный друг, раз ты дошел до этогог места: y = |1/(x + 1)|. Как и выше, когда модуль надет на всю функцию, мы отражаем снизу вверх.

    Можно придумывать массу вариантов, но общий принцип остается для любого графика. Принципы повторим в выводах в конце статьи.

    Фиолетовый: Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. Ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

    Оранжевый: Ставим +1 в знаменателе и график смещается влево на единицу. Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. А после этого ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

    Зеленый: Сначала получим фиолетовый график. После этого ставим «−» и отражаем график по горизонтали. Сгибаем лист по оси Х и переводим его вниз. Остается добавить +1, это значит, что его нужно поднять вверх на единицу.

    Модули не так уж страшны, если еще вспомнить, что их можно раскрыть по определению:

    И построить график, разбив его на кусочно-заданные функции.

    Например для прямой:

    Для параболы с одним модулем будет два кусочно-заданных графика: 

    C двумя модулями кусочно-заданных графиков будет четыре:

    Таким способом, медленно и кропотливо можно построить любой график!

    Выводы:

    1. Модуль — это не просто две палочки, а жизнерадостное, всегда положительное значение!
    2. Модулю без разницы находится он в прямой, параболе или еще где-то. Отражения происходят одни и те же.
    3. Любой нестандартный модуль можно разбить на кусочно-заданные функции, условия только вводятся на каждый модуль.
    4. Существует большое количество модулей, но парочку вариантов стоит запомнить, чтобы не строить по точкам:
    • Если модуль «надет» на все выражение (например, y = |x² + x − 2|), то нижняя часть отражается наверх.
    • Если модуль «надет» только на х (например, y = x² + |x| − 2), то правая часть графика отражается на левую часть. А «старая» левая часть стирается.
    • Если модуль «надет» и на х, и на все выражение (например, y = |x² + |x| − 2|), то сначала отражаем график снизу вверх, после этого стираем полностью левую часть и отражаем справа налево.
    • Если модуль «надет» на y (например, |y| = x² + x − 2), то мы оставляем верхнюю часть графика, нижнюю стираем. А после отражаем сверху вниз.
    Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.

    Асимптоты графика функций: их виды, примеры решений

    Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно
    посмотреть ответы.

    Если предварительно построить асимптоты кривой, то многих случаях построение графика
    функции облегчается.

    Судьба асимптоты полна трагизма. Представьте себе, каково это: всю жизнь двигаться
    по прямой к заветной цели, подойти к ней максимально близко, но так и не достигнуть её. Например, стремиться
    соединить свой жизненный путь с путём желанного человека, в какой-то момент приблизиться к нему почти
    вплотную, но даже не коснуться его. Или стремиться заработать миллиард, но до достижения этой цели
    и записи в книгу рекордов Гиннеса для своего случая не достаёт сотых долей цента. И тому подобное. Так
    и с асимптотой: она постоянно стремится достигнуть кривой графика функции, приближается к нему на минимальное
    возможное расстояние, но так и не касается его.

    Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно
    близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус
    бесконечности.

    Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние
    от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении
    точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.

    Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

    Первое, что нужно узнать о вертикальных асимптотах: они параллельны
    оси Oy.

    Определение. Прямая x = a
    является вертикальной асимптотой графика функции, если точка x = a
    является точкой разрыва второго рода для этой функции.

    Из определения следует, что прямая x = a
    является вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполняется хотя бы одно
    из условий:


    • (предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a слева, равен плюс или минус бесконечности)

    • (предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a справа, равен плюс или минус бесконечности).

    При этом функция f(x) может быть вообще не определена соответственно при
    x ≥ a и
    x ≤ a.

    Замечание:

    • символом

      обозначается стремление x к a справа, причём x остаётся
      больше a;
    • символом

      обозначается стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.

    Пример 1. График функции y=lnx
    имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy) на границе
    области определения, так как предел функции при стремлении икса к нулю справа равен минус бесконечности:

    (рис. сверху).

    Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения

    Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

    Пример 3. Найти асимптоты графика функции

    Первое, что нужно узнать о горизонтальных асимптотах: они параллельны
    оси Ox.

    Если

    (предел функции при стремлении аргумента к плюс или минус бесконечности равен некоторому значению b),
    то y = bгоризонтальная асимптота кривой y = f(x)
    (правая при иксе, стремящимся к плюс бесконечности, левая при иксе, стремящимся к минус бесконечности,
    и двусторонняя, если пределы при стремлении икса к плюс или минус бесконечности равны).


    Пример 5. График функции

    при a > 1 имеет левую горизонтальную
    асимпототу y = 0 (т.е.
    совпадающую с осью Ox), так как предел функции при стремлении «икса»
    к минус бесконечности равен нулю:

    Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку предел функции при стремлении
    «икса» к плюс бесконечности равен бесконечности:

    Вертикальные и горизонтальные асимптоты, которые мы рассмотрели выше, параллельны
    осям координат, поэтому для их построения нам требовалось лишь определённое число — точка на оси
    абсцисс или ординат, через которую проходит асимптота. Для наклонной асимптоты необходимо больше —
    угловой коэффициент k, который показывает угол наклона прямой, и свободный член b, который показывает,
    насколько прямая находится выше или ниже начала координат. Не успевшие забыть аналитическую геометрию,
    а из неё — уравнения прямой, заметят, что для наклонной асимптоты находят уравнение
    прямой с угловым коэффициентом
    . Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой,
    на основании которой и находят названные только что коэффициенты.


    Теорема. Для того, чтобы кривая y = f(x) имела
    асимптоту y = kx + b, необходимо и
    достаточно, чтобы существовали конечные пределы k и b рассматриваемой функции
    при стремлении переменной x к плюс бесконечности и минус бесконечности:

              (1)

    и

          (2)

    Найденные таким образом числа k и b и являются коэффициентами
    наклонной асимптоты.


    В первом случае (при стремлении икса к плюс бесконечности) получается правая
    наклонная асимптота, во втором (при стремлении икса к минус бесконечности) – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.

    При нахождении уравнения наклонной асимптоты необходимо учитывать стремление икса
    и к плюс бесконечности, и к минус бесконечности. У некоторых функций, например, у дробно-рациональных,
    эти пределы совпадают, однако у многих функций эти пределы различны а также может существовать только
    один из них.

    При совпадении пределов при иксе, стремящемся к плюс бесконечности и к минус
    бесконечности прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.

    Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b, не существует, то
    график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

    Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b
    является частным случаем наклонной y = kx + b
    при k = 0.

    Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в
    этом направлении нет наклонной, и наоборот.


    Пример 6. Найти асимптоты графика функции

    Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0, т.е.

    Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную
    асимптоту. Действительно, предел функции при стремлении икса к нулю слева равен плюс бесконечности:

    Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота
    графика данной функции.

    Горизонтальной асимптоты график данной функции не имеет, так как предел функции при
    стремлении икса к плюс бесконечности равен плюс бесконечности:

    Выясним наличие наклонной асимптоты:

    Получили конечные пределы k = 2 и
    b = 0.
    Прямая y = 2x является двусторонней
    наклонной асимптотой графика данной функции (рис. внутри примера).

    Пример 7. Найти асимптоты графика функции

    Решение. Функция имеет одну точку разрыва x = −1.
    Вычислим односторонние пределы и определим вид разрыва:

    ,

    .

    Заключение: x = −1 — точка разрыва второго рода,
    поэтому прямая x = −1 является вертикальной асимптотой
    графика данной функции.

    Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция — дробно-рациональная, пределы при
    и при
    будут совпадать. Таким
    образом, находим коэффициенты для подстановки в уравнение прямой — наклонной асимптоты:

    Подставляя найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем
    уравнение наклонной асимптоты:

    y = −3x + 5.

    На рисунке график функции обозначен бордовым цветом, а асимптоты — чёрным.

    Пример 8. Найти асимптоты графика функции

    .

    Решение. Так как данная функция непрерывна, её график не имеет вертикальных асимптот.
    Ищем наклонные асимптоты:

    .

    Таким образом, график данной функции имеет асимптоту y = 0 при
    и не имеет асиптоты при
    .

    Пример 10. Найти асимптоты графика функции

    Решение. Функция имеет область определения .
    Так как вертикальная асимптота графика этой функции может быть только на границе области определения,
    найдём односторонние пределы функции при :

    ,

    .

    Оба предела нашли, используя первый замечательный предел. Заключение: x = 0 — точка
    устранимого разрыва, поэтому у графика функции нет вертикальных асимптот.

    Ищем наклонные асимптоты:

    Таким образом, при
    наклонной асимптотой графика данной функции является прямая y = x.
    Но при найденные пределы
    не изменяются. Поэтому при
    наклонной асимптотой графика данной функции также является y = x.

    Пример 11. Найти асимптоты графика функции

    .

    Решение. Сначала найдём вертикальные асимптоты. Для этого найдём точки разрыва функции
    и их виды. Знаменатель не может быть равным нулю, поэтому должно соблюдаться условие
    .
    Функция имеет две точки разрыва: ,
    . Чтобы установить вид
    разрыва, найдём односторонние пределы:

    Так как все пределы равны бесконечности, обе точки разрыва — второго рода. Поэтому
    график данной функции имеет две вертикальные асимптоты: x = 2 и
    x = −2.

    Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция является дробно-рациональной,
    пределы при и при
    совпадают. Поэтому,
    определяя коэффициенты прямой, ищем просто пределы:

    Подставляем найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом,
    получаем уравнение наклонной асимптоты y = 2x.
    Таким образом, график данной функции имеет три асимптоты: x = 2,
    x = −2 и y = 2x.

    Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения

    Поделиться с друзьями

    Весь блок «Производная»

    Как построить график функции


    В этой статье разобран самый простой метод получения графика функции.


    Суть метода: найти несколько точек принадлежащих графику, расставить их на координатной плоскости и соединить. Этот способ не лучший (лучший – построение графиков с помощью элементарных преобразований), но если вы все забыли или ничего не учили, то знайте, что у вас всегда есть план Б – возможность построить график по точкам.


    Итак, алгоритм по шагам:


    1. Представьте, как выглядит ваш график.


    Строить гораздо легче, если вы понимаете, что примерно должны получить в итоге. Поэтому сначала посмотрите на функцию и представьте, как примерно должен выглядеть ее график. Все виды графиков элементарных функций вы можете найти здесь. Этот пункт желательный, но не обязательный.


    Пример: Построить график функции \(y=-\)\(\frac{2}{x}\)


    Данная функция — гипербола с ветвями расположенными во второй и четвертой четверти. Её график выглядит как-то так:


    2. Составьте таблицу точек, принадлежащих графику:


    Теперь подставим разные значения «иксов» в функцию, и для каждого икса посчитаем значение «игрека».


    Пример: \(y=-\)\(\frac{2}{x}\)








    при \(x=-1\)


    \(y=-\)\(\frac{2}{-1}\)\(=2\)


    при \(x=0\)


    \(y\) — не существует (делить на ноль нельзя)


    при \(x=1\)


    \(y=-\)\(\frac{2}{1}\)\(=-2\)


    при \(x=2\)


    \(y=-\)\(\frac{2}{2}\)\(=-1\)


    при \(x=3\)


    \(y=-\)\(\frac{2}{3}\)


    при \(x=4\)



    \(y=-\)\(\frac{2}{4}\)\(=-\)\(\frac{1}{2}\)


    Результат вычислений удобно представлять в виде таблицы, примерно такой:




    \(x\)


    \(-1\)


    \(0\)


    \(1\)


    \(2\)


    \(3\)


    \(4\)


    \(y\)


    \(2\)


    \(-\)


    \(-2\)


    \(-1\)


    \(-\)\(\frac{2}{3}\)


    \(-\)\(\frac{1}{2}\)


    Как вы могли догадаться, полученные пары «икс» и «игрек» — это точки, лежащие на нашем графике.


    4. Постройте координатную плоскость и отметьте на ней точки из таблицы.


    Пример:



    5. Если нужно, найдите еще несколько точек и нанесите их на координатную плоскость.


    Пример:  Чтобы построить график мне не хватает нескольких точек из отрицательной части, а также рядом с осью игрек, поэтому я добавлю столбцы с   \(x=-2\), \(x=-4\), \(x=\)\(\frac{1}{2}\) и \(x=-\)\(\frac{1}{2}\)






    при \(x=-2\)


    \(y=-\)\(\frac{2}{-2}\)\(=1\)


    при \(x=-4\)


    \(y=-\)\(\frac{2}{-4}\)\(=\)\(\frac{1}{2}\)


    при \(x=\)\(\frac{1}{2}\)


    \(y=-\)\(\frac{2}{\frac{1}{2}}\)\(=-2:\)\(\frac{1}{2}\)\(=-2 \cdot 2=-4\)


    при \(x=-\)\(\frac{1}{2}\)


    \(y=-\)\(\frac{2}{-\frac{1}{2}}\)\(=-2:(-\)\(\frac{1}{2}\)\()\)\(=-2 \cdot (-2)=4\)




    \(x\)


    \(-1\)


    \(0\)


    \(1\)


    \(2\)


    \(3\)


    \(4\)


    \(-2\)


    \(-4\)


    \(\frac{1}{2}\)


    \(-\)\(\frac{1}{2}\)


    \(y\)


    \(2\)


    \(-\)


    \(-2\)


    \(-1\)


    \(-\)\(\frac{2}{3}\)


    \(-\)\(\frac{1}{2}\)


    \(1\)


    \(\frac{1}{2}\)


    \(-4\)


    \(4\)


    6. Постройте график


    Теперь аккуратно и плавно соединяем точки.


    Готово!

    Скачать статью

    Преобразования функций: сжатие и растяжение

    Purplemath

    Есть еще два преобразования, но их труднее «увидеть» с какой-либо степенью точности.

    Первое из этих преобразований — умножение всей функции. Чтобы увидеть, как это выглядит, сравните графики 2 × f ( x ) = 2 x 2 , f ( x ) = x 2 и ½ × . f ( x ) = (½) x 2 , ниже:

    график 2 × f ( x ) = 2 x 2 :

    (Это более тонкий график, чем график обычной функции в поле ниже. )

    MathHelp.com

    график f ( x ) = x 2 :

    (Это график обычной функции.)

    график ½ × f ( x ) = (½) x 2 :

    (Это толще, чем график обычной функции, который был показан в предыдущем поле.)

    Первая парабола, парабола 2 x 2 , растет вдвое быстрее, чем x 2 (средний график), поэтому ее график получается высоким и тонким. С другой стороны, третья парабола, парабола для функции (½) x 2 , растет вдвое медленнее, чем x 2 , поэтому ее график короткий и толстый.

    Грубо говоря, вы можете сказать, что первый график, будучи более тонким, умножается на что-то большее, чем 1, поэтому он растет быстрее, чем стандартный, и что третий график, будучи скватером, умножается на что-то меньшее, чем 1, поэтому он растет медленнее стандартного.Но, как правило, довольно сложно точно сказать, на что был умножен график, просто взглянув на картинку.

    Например, можете ли вы сказать, что на графике ниже показано 1,4 × f ( x ) = 1,4 x 2 ?

    Вряд ли.


    Другой более сложный тип преобразования — это умножение аргумента функции.Часто это очень похоже на умножение всей функции. Например, рассмотрим графики f (2 x ) = (2 x ) 2 , f ( x ) = x 2 и f x ) = (½ x) 2 , ниже:

    график f (2 x ) = (2 x ) 2 :

    (Этот график растет вдвое быстрее, чем график обычной функции, показанный в следующем поле.)

    график f ( x ) = x 2 :

    (Это график обычной функции.)

    график f x ) = (½ x ) 2 :

    (Этот график растет вдвое медленнее, чем график обычной функции, показанный в предыдущем поле.)

    Как видите, умножение внутри функции (внутри аргумента функции) приводит к тому, что график становится тоньше или толще. Это очень похоже на другое преобразование умножения, но это преобразование — это умножение вне или на всей функции. И обычно это преобразование практически невозможно идентифицировать на графике или отличить от другого мультипликативного преобразования.

    Иногда, однако, полезно взглянуть на нули графика (если на нем более одного) или поворотные точки, поскольку они будут расширяться (если аргумент умножается на что-то большее, чем 1) или сгруппироваться в сторону ось y (если аргумент умножается на значение, меньшее 1).

    Например, если посмотреть на y = x 2 -4, вы увидите, что умножение вне функции не меняет расположение нулей, но умножение внутри функции меняет:

    график x 2 — 4:

    (Это график f ( x ) с нулями при x = –2, 2)

    график 2 × f ( x ) = 2 ( x 2 -4):

    (Этот график выше, но нули соответствуют нулю исходной функции, показанной в предыдущем поле. )

    график (2 x ) 2 — 4:

    (Этот график не только стал выше, но и нули переместились внутрь, до x = –1, 1.)


    Напомним, что преобразования «влево», «вправо», «вверх», «вниз», «переворот» и «зеркало» довольно просты, но преобразования «умножение», также называемые «растягиванием» и «сжатием» , может получиться немного беспорядочно.Просто надейтесь, что они от вас не часто требуются.


    Типичные домашние задания по этой теме просят вас построить график преобразования функции с учетом исходной функции или же просят вас вычислить преобразование с учетом сравнительных графиков.

    • Думая о графике

      f ( x ) = x 4 , график f ( x — 2) + 1

    График f ( x ) = x 4 выглядит так:

    Глядя на выражение для этого перевода, «+1» за пределами функции говорит мне, что график будет перемещен на вверх на на одну единицу. И «–2» внутри аргумента говорит мне, что график будет сдвинут на две единицы ВПРАВО. (Помните, что переключение влево-вправо происходит в обратном направлении от ожидаемого.)

    Вообще лучше работать изнутри. Итак, я сначала сдвину график вправо на две единицы. Затем я подниму результат на одну единицу.

    Тогда мой переведенный график выглядит так:


    Когда они заставляют вас строить график, перемещая другие графики, они не могут серьезно критиковать ваш рисунок, так как вы не должны делать Т-диаграмму и вычислять точные точки.Но постарайтесь, чтобы ваш график выглядел разумно.

    Кстати, вы всегда можете «схитрить», особенно если у вас есть графический калькулятор, быстро построив график y = ( x — 2) 4 + 1 и убедившись, что он соответствует тому, что вы нарисовали. Но вам нужно знать, как выполнять преобразования функций, потому что есть способы задавать вопросы, которые не позволяют обмануть, как мы увидим в следующем разделе.


    URL: https: // www.purplemath.com/modules/fcntrans3.htm

    Функции — Алгебра — Математика A-Level Revision

    В этом разделе рассматриваются функции в рамках более широкой темы алгебры.

    Функцию можно рассматривать как правило, которое берет каждый элемент x набора и присваивает ему то же самое значение y , известное на его изображении.

    x → Функция → y

    Буква f, g или h часто используется для обозначения функции.Функция, которая возводит число в квадрат и добавляет 3, может быть записана как f (x) = x 2 + 5 . То же понятие можно использовать, чтобы показать, как функция влияет на определенные значения.

    Пример

    f (4) = 4 2 + 5 = 21, f (-10) = (-10) 2 +5 = 105 или альтернативно f : x → x 2 + 5 .

    Фраза «y является функцией x» означает, что значение y зависит от значения x, поэтому:

    • y можно записать через x (например,грамм. у = 3х).
    • Если f (x) = 3x, а y является функцией x (т. Е. Y = f (x)), то значение y, когда x равно 4, равно f (4), которое находится путем замены x «s на 4. «с.

    Пример

    Если f (x) = 3x + 4, найти f (5) и f (x + 1).

    f (5) = 3 (5) + 4 = 19
    f (x + 1) = 3 (x + 1) + 4 = 3x + 7

    Домен и диапазон

    Область функции — это набор значений, которые вам разрешено вводить в функцию (то есть все значения, которые может принимать x).Диапазон функции — это набор всех значений, которые функция может принимать, другими словами, все возможные значения y, когда y = f (x). Итак, если y = x 2 , мы можем выбрать в качестве домена все действительные числа. Диапазон — это все действительные числа, большие (или равные) нулю, поскольку, если y = x 2 , y не может быть отрицательным.

    Один к одному

    Мы говорим, что функция является взаимно однозначной , если для каждой точки y в диапазоне функции существует только одно значение x такое, что y = f (x).f (x) = x 2 не один к одному, потому что, например, есть два значения x, такие что f (x) = 4 (а именно –2 и 2). На графике функция взаимно однозначна, если любая горизонтальная линия разрезает график только один раз.

    Составные функции

    fg означает выполнение функции g, затем функции f. Иногда fg записывается как fog

    .

    Пример

    Если f (x) = x 2 и g (x) = x — 1, то
    gf (x) = g (x 2 ) = x 2 — 1
    fg (x) = f (x — 1) = (х — 1) 2

    Как видите, fg не обязательно равно gf

    Обратная функция

    Обратной функцией функции является функция, которая обращает эффект исходной функции. Например, y = 2x, обратное y = ½ x.
    Чтобы найти обратную функцию, поменяйте местами x «s и y» s и сделайте y объектом формулы.

    Пример

    Найдите обратное к f (x) = 2x + 1
    Пусть y = f (x), поэтому y = 2x + 1
    поменяет местами x «s и y» s:
    x = 2y + 1
    Сделайте y объектом формулы:
    2y = x — 1, поэтому y = ½ (x — 1)
    Следовательно, f -1 (x) = ½ (x — 1)

    f -1 (x) — стандартное обозначение, обратное f (x).Говорят, что обратное существует тогда и только тогда, когда существует функция f -1 с ff -1 (x) = f -1 f (x) = x

    .

    Обратите внимание, что график f -1 будет отражением f в линии y = x.

    Это видео объясняет больше об обратной функции

    Графики

    Функции можно изобразить в виде графиков. Функция является непрерывной , если ее график не имеет разрывов. Примером прерывистого графа является y = 1 / x, поскольку граф нельзя нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги:

    Функция является периодической , если ее график повторяется через равные промежутки времени, этот интервал называется периодом.

    Функция равна даже , если она не изменяется при замене x на -x. График такой функции будет симметричным по оси ординат. Даже функции, которые являются полиномами, имеют четные степени (например, y = x²).
    Функция является нечетной , если знак функции изменяется при замене x на -x. График функции будет иметь симметрию вращения относительно начала координат (например, y = x³).

    Функция модуля

    Модуль числа — это величина этого числа.Например, модуль -1 (| -1 |) равен 1. Модуль x, | x |, равен x для значений x, которые положительны, и -x для значений x, которые отрицательны. Итак, график y = | x | y = x для всех положительных значений x и y = -x для всех отрицательных значений x:

    Преобразование графиков

    Если y = f (x), график y = f (x) + c (где c — константа) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц вверх (в направлении y- ось).
    Если y = f (x), график y = f (x + c) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц влево.
    Если y = f (x), график y = f (x — c) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц вправо.
    Если y = f (x), график y = af (x) представляет собой отрезок графика y = f (x), масштабный коэффициент (1 / a), параллельный оси x. [Масштабный коэффициент 1 / a означает, что «растяжение» фактически приводит к сжатию графика, если a — число больше 1]

    Пример

    График y = | x — 1 | будет таким же, как на приведенном выше графике, но со смещением на одну единицу вправо (так, чтобы точка V ударилась о ось x на 1, а не на 0).

    Графики функций квадратного корня

    Родительская функция функций формы

    ж

    Икс

    знак равно

    Икс

    а

    +

    б

    является

    ж

    Икс

    знак равно

    Икс

    .

    Обратите внимание, что

    домен

    из

    ж

    Икс

    знак равно

    Икс

    является

    Икс

    0

    и

    диапазон

    является

    y

    0

    .

    График

    ж

    Икс

    знак равно

    Икс

    а

    +

    б

    можно получить, переведя график

    ж

    Икс

    знак равно

    Икс

    к

    а

    единиц вправо, а затем

    б

    единиц вверх.


    Пример:

    Нарисуйте график

    y

    знак равно

    Икс

    1

    +

    2

    из родительского графа

    y

    знак равно

    Икс

    .


    Решение:

    Шаг 1. Нарисуйте график

    y

    знак равно

    Икс

    .

    Шаг 2. Переместите график

    y

    знак равно

    Икс

    от

    1

    единицы справа, чтобы получить график

    y

    знак равно

    Икс

    1

    .

    Шаг 3. Переместите график

    y

    знак равно

    Икс

    1

    от

    2

    единиц до получения графика

    y

    знак равно

    Икс

    1

    +

    2

    .

    Область определения функции

    y

    знак равно

    Икс

    1

    +

    2

    является

    Икс

    1

    .

    Диапазон функции

    y

    знак равно

    Икс

    1

    +

    2

    является

    y

    2

    .

    Линейные функции. Уравнение прямой

    9

    Набросок графика

    Форма откоса-пересечения

    Доказательство

    МЫ НАЧИНАЕМ ИЗУЧЕНИЕ ГРАФИКОВ полиномиальных функций.
    Мы обнаружим, что график каждой степени оставляет свою характерную подпись на плоскости x y .

    График полинома первой степени всегда представляет собой прямую линию. График многочлена второй степени — это кривая, известная как парабола. Полином третьей степени имеет вид, показанный справа. Навык координатной геометрии состоит в распознавании этой связи между уравнениями и их графиками. Следовательно, ученик должен знать, что график любого полинома первой степени y = ax + b является прямой линией, и, наоборот, любая прямая линия имеет в своем уравнении y = ax + б .

    Рисование графика уравнения первой степени должно быть базовым навыком. См. Урок 33 алгебры.

    Пример. Отметьте точки пересечения x и y и нарисуйте график

    .

    y = 2 x + 6.

    Решение .

    Перехват x — это корень. Это решение 2 x + 6 = 0. Перехват
    x равен −3.

    Перехват y — постоянный член, 6.

    Итак, что означает утверждение, что y = 2 x + 6 является «уравнением» этой линии?

    Это означает, что каждая пара координат ( x , y ), которая есть на графике, решает это уравнение. (Это означает, что координирующая пара находится на графике любого уравнения.) Каждая координированная пара ( x , y ) на этой линии равна
    ( x , 2 x + 6).

    Таким образом, эта линия называется графиком уравнения y = 2 x + 6. А y = 2 x + 6 называется уравнением этой линии.

    Каждое уравнение первой степени имеет график прямой. (Мы докажем это ниже.) По этой причине функции или уравнения первой степени, где 1 — старший показатель степени, называются линейными функциями или линейными уравнениями.

    Проблема 1.Отметьте точки пересечения x и y и нарисуйте график

    .

    y = −3 x -3

    Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).

    Перехват x — это решение для −3 x — 3 = 0. Это x = −1. Перехват y — постоянный член −3.

    Задача 2. Нарисуйте график y = −4.

    Уравнение вида y = Число, представляет собой горизонтальную линию.

    См. Урок алгебры 33, раздел «Вертикальные и горизонтальные линии».

    Форма откоса-пересечения

    Эта линейная форма

    y = ось + b

    называется формой с пересечением наклона уравнения прямой.Потому что, как мы сейчас докажем, a — это наклон прямой (Тема 8), а b — постоянный член — это интервал y .

    Эта форма первой степени

    Топор + По + C = 0

    , где A , B , C — целые числа, называется общей формой уравнения прямой.

    Теорема. Уравнение

    y = ось + b

    — это уравнение прямой с наклоном a и y — пересечение b .

    Для, прямая линия может быть указана с указанием ее наклона и
    координаты одной точки на нем. (Теорема 8.3.)

    Следовательно, пусть наклон прямой будет a , и пусть одна точка на ней будет ее пересечением y , (0, b ).

    Тогда, если ( x , y ) являются координатами любой точки на этой линии, ее
    уклон

    y b
    x — 0
    = y b
    x
    = a .

    На решение для y ,

    y = ax + b .

    Следовательно, поскольку переменные x и y являются координатами любой точки на этой прямой, это уравнение является уравнением прямой с наклоном a и y с интервалом b . Что мы и хотели доказать.

    Наклон прямой линии — это число — указывает скорость, с которой значение y изменяется по отношению к значению x .(Тема 8.)

    Задача 3. Назовите наклон каждой линии и укажите значение каждого наклона.

    а) y = 2 x + 6

    Наклон равен 2. Это означает, что y увеличивается на 2 единицы на каждую 1 единицу x .

    б) л = — 2
    3
    x + 4
    Уклон — 2
    3
    .Это означает, что y уменьшается на 2 единицы на каждые
    3 шт. Размером x .

    c) y = x

    Наклон равен 1. Это означает, что y увеличивает на 1 единицу на каждую 1 единицу x . Это функция идентичности.

    См. Урок 5.

    г) 3 x + 3 y = 1

    Только тогда, когда y = ax + b , наклон будет a .Следовательно, при решении для y : y = — x + 1/3. Наклон равен -1. Это означает, что y уменьшается на 1 единицу за каждую единицу, которая увеличивается на x .

    Следующая тема: Квадраты: многочлены 2-й степени

    Содержание | Дом


    Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
    Даже 1 доллар поможет.


    Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

    Вопросы или комментарии?

    Электронная почта: themathpage @ яндекс.com

    Как определить, является ли функция четной, нечетной или нет

    Я подготовил восемь (8) рабочих примеров, чтобы проиллюстрировать процедуру или шаги, как выяснить, является ли данная функция четной, нечетной или ни одной из них. Математика, участвующая в расчетах, проста, если вы внимательно относитесь к каждому шагу своего решения.

    Чтобы вникнуть в «суть» этой темы, изучите иллюстрацию ниже.


    Как определить, является ли функция четной, нечетной или ни той, ни другой

    Давайте поговорим о каждом случае.

    ВАРИАНТ 1: Четная функция

    Дана некоторая «стартовая» функция f \ left (x \ right):

    • Если мы вычислим или заменим \ color {red} -x на f \ left (x \ right) и снова получим исходную или «начальную» функцию, это означает, что f \ left (x \ right) является четной функцией .

    ВАРИАНТ 2: Нечетная функция

    Дана некоторая «стартовая» функция f \ left (x \ right):

    • Однако, если мы вычисляем или заменяем \ color {red} -x на f \ left (x \ right) и получаем отрицательное или противоположное значение «начальной» функции, это означает, что f \ left (x \ right) равно нечетная функция .

    ВАРИАНТ 3: ни четная, ни нечетная функция

    Дана некоторая «стартовая» функция f \ left (x \ right):

    • Если мы вычислим или заменим \ color {red} -x на f \ left (x \ right) и мы не получим ни одного, ни второго случая, это означает, что f \ left (x \ right) равно ни даже ни нечетный . Другими словами, он не подпадает под классификацию четных или нечетных.

    Примеры того, как алгебраически определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них

    Пример 1 : Определите алгебраически, является ли данная функция четной, нечетной или ни одной из них.2} — 3, вставьте значение \ color {red} -x и затем упростите. Что я получу? Давайте разберемся алгебраически.

    Поскольку f \ left ({{\ color {red} — x}} \ right) = f \ left (x \ right), это означает, что f \ left (x \ right) является четной функцией !

    График четной функции симметричен относительно оси y или вдоль вертикальной линии x = 0. Обратите внимание, что график функции равномерно срезан по оси y, и каждая половина является точным зеркалом другой. . Другой способ описания состоит в том, что каждая половина функции является отражением по оси y.3} + 2x, а затем упростить.

    Как определить нечетную функцию

    Важные советы, которые следует запомнить:

    • Если вы когда-нибудь придете к другой функции после вычисления \ color {red} –x в заданном f \ left (x \ right), немедленно попробуйте вынести из него -1 и посмотреть, появляется ли исходная функция. Если это так, то у нас есть нечетная функция .
    • Эффект вычитания −1 приводит к изменению знаков членов внутри скобок.Это ключевой шаг для выявления нечетной функции.

    Теперь, поскольку f \ left ({{\ color {red} — x}} \ right) = — f \ left (x \ right), это означает, что исходная функция f \ left (x \ right) является нечетная функция !

    График нечетной функции имеет симметрию вращения относительно начала координат или в точке \ left ({0,0} \ right). 3} + 6x

    В отличие от примера 3, где функция имеет четные степени, эта функция имеет нечетные степени, которые равны 7, 5, 3 и 1.К настоящему времени, я надеюсь, вы уже видите закономерность. Скорее всего, это странная функция, но мы проверим.

    Подставляя \ color {red} -x в заданное f \ left (x \ right) и упрощая, получаем:

    После вычитания −1 многочлен в скобках равен начальной функции. Он показывает, что это нечетная функция !


    Пример 5 : Определить, является ли данная функция четной, нечетной или ни одной:

    На этот раз я покажу вам пример функции, которая не является ни четной, ни нечетной.Вы готовы?

    • Сначала проверьте, четный ли он. У нас есть случай f \ left ({\ color {red} {- x}} \ right) = f \ left (x \ right)?

    Определенно не является четной функцией , поскольку f \ left ({\ color {red} {- x}} \ right) \ ne f \ left (x \ right).

    • Во-вторых, проверьте, не является ли он нечетным, указав f \ left ({\ color {red} {- x}} \ right) = — f \ left (x \ right).

    Даже после вычитания −1 я все еще не могу получить исходную функцию.

    Это , не нечетная функция , так как f \ left ({\ color {red} {- x}} \ right) \ ne — f \ left (x \ right).

    • Заключение: Поскольку мы достигли случая, когда f \ left ({\ color {red} {- x}} \ right) \ ne f \ left (x \ right) и f \ left ({\ color {red} { — x}} \ right) \ ne — f \ left (x \ right), эта функция не является ни четным, ни нечетным !

    Пример 6 : Определите, является ли данная функция четной, нечетной или ни одной:

    Решение:

    Следовательно, функция g \ left (x \ right) является нечетной функцией !


    Пример 7 : Определить, является ли данная функция четной, нечетной или ни одной:

    Решение:

    Следовательно, функция h \ left (x \ right) равна ни !


    Пример 8 : Определить, является ли данная функция четной, нечетной или ни одной:

    Решение:

    Следовательно, функция k \ left (x \ right) является четной функцией !


    Практика с рабочими листами

    Нарисуйте график функции y = 1 + sin 2 x без использования калькулятора.

    Построение линии на плоскости В упражнениях 35-42 нарисуйте график уравнения. x + 2y + 6 = 0

    Исчисление: ранние трансцендентальные функции

    Изобразите функцию вручную, не путем нанесения точек, а начав с графика одной из стандартных функций …

    Исчисление: ранние трансцендентальные

    Составные дроби Упростите составное дробное выражение. 66. x + yxy + xy

    Precalculus: математика для расчетов (автономная книга)

    Доходы и прибыль Доходы и прибыль Walt Disney Company за 2011 и 2013 годы показаны в таблице.(a …

    Исчисление: прикладной подход (список курсов MindTap)

    Преобразуйте каждое выражение в упражнениях 25-50 в его технологический эквивалент формулы, как в таблице в тексте. …

    Конечная математика и прикладное исчисление (Список курсов MindTap)

    Упростите выражения в упражнениях 97106. x3 / 2×5 / 2

    Прикладное исчисление

    Покажите, что последовательность, определенная как a1 = 2an + 1 = 13an, удовлетворяет 0 и 2 и убывает. Выведите, что последовательность …

    Многопараметрическое исчисление

    Исследователя интересуют привычки отправлять текстовые сообщения старшеклассникам в США.Исследователь …

    Основы статистики для поведенческих наук (список курсов MindTap)

    SOC Большой выборке респондентов была введена шкала для измерения предубеждений. Распределение sco …

    Essentials Of Statistics

    Найдите все точки на графике функции f (x) = 2sinx + sin2x, в которых касательная линия горизонтальна.

    Исчисление (Список курсов MindTap)

    Опишите разницу во внешнем виде между гистограммой и гистограммой и опишите обстоятельства, при которых…

    Статистика для поведенческих наук (список курсов MindTap)

    Используйте определение непрерывности и свойства пределов, чтобы показать, что функция непрерывна на …

    Исчисление одной переменной

    В упражнениях 47- 52, найдите и упростите f (a + h) f (a) h (h0) для каждой функции. 52. f (x) = x

    Прикладное исчисление для управленческих, жизненных и социальных наук: краткий подход

    Для задач 19–24 предоставьте следующую информацию.а) Каков уровень значимости? Укажите …

    Понимание базовой статистики

    Не существует хорошей формулы для стандартного нормального cdf (z), но было опубликовано несколько хороших приближений i …

    Вероятность и статистика для инженерии и науки

    Перерыв -Даже анализ OHaganBooks.com также получает доход через свою службу электронных книг oBooks. Гонорары авторов …

    Конечная математика

    Обратитесь к пирамидам упражнений 3 и 4.Какие из них обладают симметрией относительно линии?

    Элементарная геометрия для студентов колледжа, 7e

    Для задач 5-54 выполните следующие операции с действительными числами. Задачи 3-6 2.738.14

    Intermediate Algebra

    32. Напишите общее выражение для.

    Математические приложения для управления, жизни и социальных наук

    Выполните указанные операции и упростите: 536 + 1172 + 56

    Элементарная техническая математика

    ЭКСКУРСИИ Решите каждую из следующих головоломок.Примечание: авторы этого учебника не связаны …

    Математические экскурсии (список курсов MindTap)

    Нарисуйте область и найдите ее область (если область конечна). 42. S = {(x, y) | x0,0yex}

    Исчисление одной переменной: ранние трансцендентальные методы

    Определение вогнутости В упражнениях 5-16 определите открытые интервалы, на которых строится график функции …

    Вычисление одной переменной

    Предположим, что алфавит состоит из букв от a до z в естественном порядке, за которыми следует пробел, а затем цифры от 0 до…

    Элементы современной алгебры

    Решите уравнение. При необходимости проверьте свои решения x + 42 = 43

    Тригонометрия (список курсов MindTap)

    Решите следующие задачи, используя 6,2%, до 117 000 долларов США, для налога на социальное обеспечение и 1,45%, без ограничения заработной платы, для …

    Современная математика для бизнеса и потребителей

    Верно ли:
    Если f ′ (x) = g ′ (x), то f (x) = g (x).

    Учебное пособие по исчислению одной переменной Стюарта: ранние трансцендентальные числа, 8-е

    Площадь боковой поверхности В упражнениях 43 и 44 найдите площадь боковой поверхности над кривой C в xy-pla…

    Исчисление: ранние трансцендентные функции (список курсов MindTap)

    Полярное уравнение коники с эксцентриситетом 3 и директрисой x = −7 имеет следующий вид:

    Учебное пособие по многомерному исчислению Стюарта, 8-е

    Найдите такие условия a, b и d, что 22 верхняя треугольная матрица A = [ab0d] имеет обратную. Квадратная матрица i …

    Конечная математика для управленческих, жизненных и социальных наук

    В упражнениях с 1 по 4 используйте деление, чтобы написать уравнение в форме Ax + By = C, которое эквивалентно одному провайдеру…

    Элементарная геометрия для студентов колледжа

    Движение пружины В упражнении 55-58 сопоставьте дифференциальное уравнение с графиком конкретного решения. …

    Многопараметрическое исчисление

    Использование интегрирования по частям В упражнениях 11-14 найдите неопределенный интеграл, используя интегрирование по частям с …

    Исчисление (список курсов MindTap)

    Верно или неверно? В упражнениях 87–92 определите, истинно это утверждение или нет. Если это неверно, объясните, почему…

    Исчисление

    Является ли следующая гипотеза проверяемой, опровергаемой и положительной? Поясните свой ответ. Гипотеза: Люди, которые молятся …

    Методы исследования поведенческих наук (список курсов MindTap)

    Снижают ли перерывы во время работы вашу продуктивность? По данным Калифорнийского университета Ирвайн …

    Статистика для бизнеса и экономики, пересмотренная (Список курсов MindTap)

    Открытие и написание Докажите, что уравнение линии с пересечением по оси x, 0 и пересечением по оси 0, б может быть…

    Колледж по алгебре (Список курсов MindTap)

    Выполните следующие упражнения для механического цеха. На показанной пластине нужно высверлить три круга. Диаметр 4.000 дюймов …

    Математика для машинной технологии

    Объясните общие преимущества и недостатки внутрипредметного дизайна по сравнению с межпредметным дизайном …

    Методы исследования поведенческих наук (список курсов MindTap)

    Выборка из 16 элементов дает стандартное отклонение выборки, равное 9.5. Проверьте следующие гипотезы, используя = .05. W …

    СТАТИСТИКА F / БИЗНЕС + ЭКОНОМИКА-ТЕКСТ

    Инженерно-строительная фирма в настоящее время работает над электростанциями на трех разных площадках. Определите события E …

    Введение в статистику и анализ данных

    Анализ удовлетворенности работой. Напомним, что в упражнении 50 директор по персоналу Electronics Associates разработал …

    Основы статистики для бизнеса и экономики

    Немногим ученикам удается завершить учебу, не пройдя стандартизированный вступительный тест, такой как Schol…

    Математика: практическая одиссея

    2. Десять человек приняли участие в вкусовом тесте с участием двух марок продукта. Примеры результатов показывают, что 7 предпочитают …

    Современная бизнес-статистика с Microsoft Office Excel (с печатной картой доступа XLSTAT Education Edition) (Список курсов MindTap)

    Нарисуйте картинку, чтобы проиллюстрировать лемму 10.1.1 (c): Если график G соединен и G содержит схему, затем ребро …

    Дискретная математика с приложениями

    Заполните квадрат для x2 + 8x и запишите результат в виде полного квадрата.

    Функции и изменения: подход к моделированию алгебры колледжа (список курсов MindTap)

    Средняя рабочая неделя для инженеров В начинающей компании считается около 60 часов. Недавно нанятый инженер …

    Вводная статистика

    В следующих упражнениях оцените интеграл с помощью формул площади. 83. 23 (3 | x |) dx

    Calculus Volume 2

    Верно или неверно? В упражнениях 91–93 определите, истинно это утверждение или нет. Обосновать ответ.Гип …

    College Algebra

    В задачах 39 и 40 используйте метод исключения Гаусса-Джордана, чтобы продемонстрировать, что данная система уравнений не имеет решения …

    Первый курс по дифференциальным уравнениям с приложениями для моделирования (список курсов MindTap )

    Для следующих упражнений каждый график имеет вид y = AsinBxory = AcosBx, где B> 0.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.