Градусная мера угла 90 градусов какой это угол: Угол. Градусная мера угла.

Содержание

Градусная мера угла / Начальные геометрические сведения / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Начальные геометрические сведения
  5. Градусная мера угла

Нам известно, что при измерении отрезков, мы сравниваем измеряемый отрезок с отрезком, который принят за единицу измерения. Аналогично происходит измерение углов: чтобы измерить угол его сравнивают с углом, который принят за единицу измерения —  с  градусом.


Градус — это угол, который равен части развернутого угла,обозначается знаком

часть градуса называется минутой, обозначается знаком

часть минуты называется секундой, обозначается знаком

Пример: (двадцать градусов пятнадцать минут сорок семь секунд)

Градусная мера угла — это положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Пример:

Градусная мера угла ABC равна . Говорят: «Угол ABC равен 120 градусам». Пишут: .


Транспортир — это измерительный инструмент, который используется для измерения и построения углов. Состоит из линейки (прямолинейной шкалы) и полукруга (угломерной шкалы: внутренней и внешней), который разделен на градусы от 0 до .

Для того чтобы измерить угол, необходимо совместить вершину угла с центром транспортира, при этом одна из сторон угла должна пройти через нулевое деление шкалы, тогда вторая сторона угла укажет градусную меру угла.

Пример: Измерим угол ABC, для этого совместим точку B с центром транспортира, и расположим транспортир так, чтобы сторона BC прошла через нулевое деление шкалы (обратите внимание отсчёт угла ведётся по той шкале, через нулевое деление которой пройдет одна из сторон угла: в нашем случае по внутренней шкале).

Вторая сторона при этом, как мы видим, проходит через деление шкалы 120, значит: .


Свойства:

  • Равные углы имеют равные градусные меры.
  • Меньший угол имеет меньшую градусную меру.
  • Развернутый угол равен .
  • Неразвернутый угол меньше .
  • Если луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Основные типы углов:

  1. Острый угол — угол, градусная мера которого меньше 90°.
  1. Прямой угол — угол, градусная мера которого равна 90°.
  1. Тупой угол — угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.
  1. Развернутый угол — угол, градусная мера которого равна 180°.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Точки, прямые, отрезки

Провешивание прямой на местности

Луч

Угол

Равенство геометрических фигур

Сравнение отрезков

Сравнение углов

Длина отрезка

Единицы измерения длины, расстояний

Измерение углов на местности

Смежные углы

Вертикальные углы

Перпендикулярные прямые

Построение прямых углов на местности

Начальные геометрические сведения



Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс


Задание 45,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 59,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 60,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 67,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 151,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 238,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 299,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 17,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 15,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 896,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5. com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright







Градусная мера углов

Наверное, при изучении курса геометрии вы не раз задавались вопросом, что же такое эти градусы, радианы и с чем их едят? Попробуем разобраться.

Само понятие «градус» появилось еще в Древнем Вавилоне около 40 веков назад. Придумали его очень просто – взяли и разбили окружность на 360 частей, поэтому так и вышло, что 1/360 окружности и есть 1 градус. В это же время в Древнем Египте пытались измерить, во сколько же раз окружность больше, чем диаметр этой самой окружности. Установить это смогли лишь через 35 веков, и то, получили неровное число, а 3,141592, в общем, бесконечное иррациональное. Для удобства его округлили до 3,14 и получили не что иное, как всем известное число Пи.

Однако вернемся к градусам. Градусная мера угла, конечно же, хорошо, но для высшей математики не подходит. Поэтому и придумали радиан.

Что же это за зверь такой? На самом деле ничего сложного, просто чуть-чуть запутанно на первый взгляд. В основе определения радиана лежит все та же старая и добрая окружность, с которой так долго мучились египтяне. Угол величиной в 1 радиан – это угол, который вырезает в окружности такую дугу, длина которой равна радиусу окружности. Не вдаваясь в подробности, скажем лишь одно – радиан в несколько раз больше градуса. Но давайте определим все-таки приблизительное соотношение градуса и радиана. На самом-то деле доказано, что в 180 градусов вмещается 3 радиана с хвостиком. А что же за хвостик? Его величина составляет 0,141592, то есть в 180 градусов вмещается 3,141592 радиан (число Пи). Не зря в начале статьи мы заговорили о древних египтянах, которые так долго с ним мучились.

Но все же самым главным в теме градусов и радиан остается умение переводить их друг в друга, то есть радианы в градусы и наоборот, градусы в радианы.

Градусная и радианная мера углов

π ≈ 3,1415926535897932384626433832795
1 радиан = 180°
π
≈ 57°17’45»
1° =  π 
180
радиана ≈ 0,017453292519943295769236907684886радиана
1′ =       π      
180 * 60
радиана ≈ 0,00029088820866572159615394846141477радиана
1» =          π         
180 * 60 * 60
радиана ≈ 0,0000048481368110953599358991410235795радиана
30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
0 π
6
π
4
π
3
π
2

3

4

6
π
6

4

3

2

3

4
11π
6

Градусная ⚠️ мера угла: прямого, развернутого, тупого, обозначение

Градусная мера угла — формулировка

Градусная мера, в первую очередь, делает возможным измерение углов в геометрии.

Это число – показатель того, сколько градусов, минут и секунд содержится в данном угле. 

Примечание

Оно всегда больше нуля.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Что отражает величина

Количество градусов, минут и секунд, которые находятся между сторонами угла.

Обозначение

С помощью символов градусов \((º)\), минут \((′)\) и секунд \((″)\).

В одном градусе содержится шестьдесят минут, в одной минуте — шестьдесят секунд.

Пример

\(125º\) \(22′\) \(15″\) (сто двадцать пять градусов, двадцать две минуты, пятнадцать секунд).

Примечание

Если настолько точно, как показано выше определить меру невозможно, пользуются дробной мерой градуса. Например, \(123,5º\).

Пример

Обозначение на чертеже:



Источник: https://www.budu5. com/

Мера прямого угла

 Прямой всегда равен \(90º\). В него входит \(5400′\) или \(324000″\). Является половиной развернутого.



Источник: webmath.ru

Мера развернутого угла

Развернутый всегда равен \(180º\). Представляет собой прямую.



Источник: syl.ru

Мера тупого угла

Тупой всегда больше \(90º\), но меньше \(180º\).



Источник: ru.solverbook.com

Мера острого угла

Острый всегда меньше \(90º\).

Примечание

Выглядит как нечто с острым концом, способным «уколоть».



Источник: impariamoninsieme.com

Как найти градусную меру

С помощью специального измерительного инструмента – транспортира. Он может быть сделан из разного материала (пластик, дерево, тонкий металл) и выглядеть по-разному. 



Источник: infourok. ru

Разница только во внешнем виде. Устроены инструменты одинаково. Состоят из:

  • основания (часто со шкалой-линейкой),
  • дуги (полукруга) с двумя шкалами с градусной сеткой.

Примечание

Круглый транспортир имеет отличие в строении сетки: на нем указан полный круг в \(360°\).

Описание

Как производить измерения:

  • найти в середине транспортира специальную метку (это может быть отверстие\штрих\точка и т.п.), она проходит через «0º» на сетке дуги;
  • приложить инструмент этой отметкой к вершине угла, т.е. совместить «0º» с точкой вершины;
  • повернуть так, чтобы основание инструмента совпадало с одной из сторон угла;
  • следить, чтобы при повороте транспортира отметка «0º» не сходила с вершины;
  • проводим мысленно дугу справа налево (снизу, от основания, вверх по дуге) до второй стороны угла;
  • вторая сторона угла покажет на отметку с цифрой на шкале инструмента;
  • это и будет градусная мера данного угла.

Примечание

Если после того, как вы приложили центральную метку транспортира к вершине угла, одна из его сторон прошла через отметку «0º» на внешней шкале полукруга, то дальше измерение проводите только по внешней шкале. Если же сторона прошла через внутренний «0º», то пользуйтесь внутренней шкалой, на внешнюю уже смотреть не нужно.

Чтобы не сделать ошибку при измерении, воспользуйтесь образцом: https://yadi.sk/i/LVbtcivDBPzimw

Свойства углов

 

Градусная мера меньшего всегда меньше.

Если углы равны, то их градусные меры тоже равны (и наоборот: равные меры говорят о равенстве углов).

Ниже представлены основные свойства.

Мера больше нуля

Градусная мера любого угла всегда больше \(0º\).

Мера соответствует сумме градусных мер углов, разбиваемых лучом

Если угол разделен лучом на несколько углов, то его градусная мера  будет равна сумме всех этих углов.

Отложение угла от луча

От любого луча можно построить только один угол с градусной мерой меньше \(180º\).

Примеры нахождения меры угла

Задача №1

Луч ОС лежит внутри \(∠АОВ\). При этом \(∠АОС = 36º\), а \(∠ВОС = 18º\). Чему равен \(∠АОВ\)?

Решение

  1. Луч  делит исходный угол на два.
  2. Значит, чтобы найти \(∠АОВ\), нужно сложить меры углов, полученных при проведении луча.
  3. \(36º+18º=54º.\)

Задача №2

Луч \(ОК\) делит \(∠АОВ\) на два угла. Один из них больше другого в два раза и равен \(60º\). Чему равен \(∠АОВ\)?

Здесь, как и в задаче выше, решение будет простое. Специальная формула не требуется.

Решение:

  1. \(∠AOK = 60º,\)
  2. Известно также, что второй — вдвое меньше него, значит, \(∠KOB = 60º:2 = 30º,\)
  3. Мы знаем что \(∠АОВ = ∠АОК+∠КОВ,\)
  4. Нам остается только выполнить сложение:\( 60º+30°= 90º\). Это и есть величина \(∠AOB.\)

Величина угла градусная мера. Градусная мера угла. Определение. Радианная мера угла

Основные понятия

В рамках вопроса измерения углов, в данном разделе рассмотрим несколько понятий, относящихся к начальным геометрическим сведениям:

  • угол;
  • развёрнутый и неразвёрнутый угол;
  • градус, минута и секунда;
  • градусная мера угла;
  • прямой, острый и тупой углы.

Углом называют такую геометрическую фигуру, которая представляет собой точку (вершину) и исходящие из неё два луча (стороны). Угол называют развёрнутым, если оба луча лежат на одной прямой.

Благодаря градусной мере угла можно произвести измерение углов. Измерение углов проводится аналогично измерению отрезков. Так же, как и при измерении отрезков, при измерении углов используется специальная единица измерения. Чаще всего это градус.

Определение 1

Градус — это единица измерения. {\circ}$

В данной статье мы раскрыли полностью вопрос о градусной мере угла и как измерять углы.

Лекция:
Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности

Мерой угла
называют величину, на которую отклоняется некоторый луч относительно первоначального положения.

Мера угла может измеряться двумя величинами: градусами и радианами, отсюда и название единиц – градусная и радианная мера угла.

Градусная мера угла

Градусная мера дает возможность оценить, какое количество градусов, минут или секунд помещается в тот или иной угол.

Расчет углов в градусах производится с точки зрения того, что полный поворот луча – это 360°. Половина поворота 180° — развернутый угол, четверть – 90° — прямой угол и т.д.

Радианная мера угла

А теперь давайте же разберемся, что такое радианная мера угла. Как известно из физики, существуют дополнительные единицы. Например, для измерения температуры основной единицей являются Кельвины, а дополнительной градусы Цельсия. Для измерения длины мы используем метры, а англичане используют футы. Данный список можно продолжать и далее. Смысл в том, чтобы Вы поняли, что, кроме градусной меры измерения угла, существует радианная мера, которая так же имеет право на существование.

Для определения радианной меры угла используют окружность. Считается, что радианная мера – это длина дуги окружности, описанная центральным углом.

Напомним, что центральный угол – это угол, вершина которого находится в центре окружности, а лучи опираются на некоторую дугу.

Итак, угол в 1 рад имеет градусную меру в 57,3°. Радианная мера угла описывается либо натуральными числами, или же с использованием числа π ≈ 3,14.

Для геометрии удобнее использовать градусную меру угла, однако для тригонометрии используют радианную меру.

Градусная мера угла
– это положительное число, показывающее сколько раз градус и его части укладываются в угле.

У слова «угол» есть разные толкования. В геометрии углом называют часть плоскости, ограниченную двумя лучами, которые выходят из одной точки, так называемой вершины. Когда рассматриваются прямые, острые и развёрнутые углы, имеются ввиду именно геометрические углы.

Как и любые геометрические фигуры, углы можно сравнивать. В области геометрии описать, что один угол большего или меньшего размера по сравнению с другим, сегодня несложно.

За единицу измерения углов взят градус – 1/180 часть развернутого угла.

У каждого угла есть градусная мера, больше нуля. Развёрнутый угол соответствует 180 градусам. Градусная мера угла ровна сумме всех градусных мер углов, на которые можно разбить исходный угол лучами.

От любого луча к заданной плоскости можно отложить угол с градусной мерой не более 180 градусов. Мера плоского угла, являющаяся частью полуплоскости – это градусная мера угла, имеющая аналогичные стороны. Меру плоскости угла, в составе которого находится полуплоскость, обозначают числом 360 – ?, где? является градусной мерой дополнительного плоского угла.

Прямой угол всегда равен 90 градусам, тупой – менее 180 градусам, но более 90, острый – не превышает 90 градусов.

Кроме градусной меры угла существует радианная. В планиметрии длину дуги окружности обозначают как L, радиус – r, а соответствующему центральному углу досталось обозначение – ?.. Соотношение этих параметров выглядит так: ? = L/r.

Как найти градусную меру угла?

Для многих в школе геометрия — это настоящее испытание. Одной из базовых геометрических фигур является угол. Под этим понятием подразумевают два луча, которые берут начало в одной точке. Для измерения значения (величины) угла используют градусы или радианы. Как найти градусную меру угла, вы узнаете из нашей статьи.

Виды углов

Допустим, у нас есть угол. Если мы его разложим в прямую, тогда его величина будет равняться 180 градусам. Такой угол называют развернутым, а одним градусом считают 1/180 его часть.

Кроме развернутого угла различают еще острые (меньше 90 градусов), тупые (больше 90 градусов) и прямые (равные 90 градусам) углы. Эти термины используют для характеристики величины градусной меры угла.

Измерение угла

Величину угла измеряют с помощью транспортира. Это специальный прибор, на котором полукруг уже разбит на 180 частей. Приложите транспортир к углу так, чтобы одна из сторон угла совпадала с нижней частью транспортира. Второй луч должен пересекать дугу транспортира. Если этого не происходит, уберите транспортир и с помощью линейки удлините луч. Если угол «открывается» вправо от вершины, считывают его значение по верхней шкале, если влево — по нижней.

В системе СИ принято измерять величину угла в радианах, а не в градусах. В развернутом угле помещается всего 3,14 радиана, поэтому эта величина неудобна и на практике почти не применяется. Именно поэтому необходимо знать, как перевести радианы в градусы. Для этого существует формула:

  • Градусы = радианы/π х 180

Например, величина угла равняется 1,6 радиана. Переводим в градусы: 1,6/3,14 * 180 = 92

Свойства углов

Теперь вы знаете, как измерять и пересчитывать градусные меры углов. Но для решения задач необходимо еще знать свойства углов. На сегодняшний день сформулированы следующие аксиомы:

  • Любой угол можно выразить в градусной мере, большей нуля. Величина развернутого угла — 360.
  • Если угол состоит из нескольких углов, то его градусная мера равняется сумме всех углов.
  • В заданную полуплоскость от любого луча можно построить угол заданной величины, меньший 180 градусов, причем только один.
  • Величины равных углов одинаковы.
  • Чтобы сложить два угла, надо сложить их величины.

Понимание этих правил и умение измерять углы — ключ к успешному изучению геометрии.

Градусная мера угла. Определение

Основные понятия

В рамках вопроса измерения углов, в данном разделе рассмотрим несколько понятий, относящихся к начальным геометрическим сведениям:

  • угол;
  • развёрнутый и неразвёрнутый угол;
  • градус, минута и секунда;
  • градусная мера угла;
  • прямой, острый и тупой углы.

Углом называют такую геометрическую фигуру, которая представляет собой точку (вершину) и исходящие из неё два луча (стороны). Угол называют развёрнутым, если оба луча лежат на одной прямой.

Рисунок 1. Угол. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Благодаря градусной мере угла можно произвести измерение углов. Измерение углов проводится аналогично измерению отрезков. Так же, как и при измерении отрезков, при измерении углов используется специальная единица измерения. Чаще всего это градус.

Определение 1

Градус — это единица измерения. В геометрии он представляет собой угол, с которым сравнивают другие углы. Градус равен $\frac{1}{180}$ от развёрнутого угла.

Теперь можно дать определение градусной мере угла.

Определение 2

Градусная мера угла — это такое положительное число, которое обозначает, сколько раз градус помещается в данном угле.

Для измерения углов используют транспортир. {\circ}$.

Рисунок 4. Прямой, острый и тупой углы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В повседневной жизни есть примеры необходимости и важности умения измерять углы и понимать градусную меру. Измерение углов необходимо в различных исследованиях, в том числе в астрономии при определении положения небесных тел.

Для практики, попробуйте начертить хотя бы три неразвёрнутых угла и один развёрнутый разными способами, измерьте с помощью транспортира углы и запишите эти результаты. Можно задать случайные числа и попрактиковаться в точности черчения углов с помощью транспортира, деления их с помощью биссектрисы (биссектриса — это луч, исходящий из вершины данного угла и делящий угол пополам).

Примеры задач

Пример 1

Задача. Есть рисунок:

Рисунок 5. Задача. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Лучи $DE$ и $DF$ — биссектрисы соответствующих углов $ADB$ и $BDC$. {\circ}$

В данной статье мы раскрыли полностью вопрос о градусной мере угла и как измерять углы.

Урок 27. углы. измерение углов — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 27

Углы. Измерение углов

Перечень рассматриваемых вопросов:

— понятие «угол», «величина угла»;

— виды углов;

— построение углов;

— измерение величины угла.

Тезаурус

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки, которая называется вершиной угла.

Градус – единица измерения углов, составляющая часть развёрнутого угла.

Градусная мера угла – число, которое показывает, сколько единиц измерения (градусов) содержится между сторонами этого угла.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия», – сказал в своё время французский архитектор Ле Корбюзье, и трудно с ним не согласиться. Геометрические фигуры постоянно встречаются в творениях природы и человека.

Сегодня мы рассмотрим ещё одну геометрическую фигуру – угол, разберём его виды и опишем процесс построения и измерения углов.

Для начала определим, что называют углом.

Углом называют геометрическую фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки.

Построим угол. Для этого отметим на плоскости точку О и проведём два луча – ОК и ОМ. Получим геометрическую фигуру, образованную точкой О и двумя лучами, исходящими из этой точки. Такую геометрическую фигуру и называют углом.

Лучи ОК и ОМ называют сторонами угла, точку О – общее начало этих лучей – называют вершиной угла.

Обозначается угол чаще всего тремя буквами. Например, ∠КОМ или ∠МОК. В середине пишется буква, которой обозначена вершина угла. Также угол можно обозначать и одной буквой, поставленной у вершины угла. Например, ∠О.

Начертим два луча, исходящих из точки О и принадлежащих одной прямой.

Лучи ОС и OК вместе с точкой О дополняют друг друга до прямой – это дополнительные лучи. Угол называют развёрнутым, если его стороны являются дополнительными лучами.

Угол СОК – развёрнутый.

Построим развёрнутый угол АОВ и полуокружность с центром в точке О. Полуокружность разделим на 180 равных частей. Если построим углы с вершиной в точке О, стороны которых проходят через точки деления полуокружности, то таких углов будет 180. Один такой угол будет составлять часть развёрнутого угла.

рисунок

Меру угла, составляющего часть развёрнутого угла, принимают за единицу измерения углов и называют градусом. Обозначают: 1º.

Градусной мерой угла называют число, которое показывает, сколько единиц измерения (градусов) содержится между сторонами этого угла.

Например, градусная мера угла КOВ равна 25 градусам, так как в нём единица измерения градус содержится двадцать пять раз. Записывают: ∠КОВ = 25º.

рисунок

Стоит отметить, что для более точного измерения угла используют доли градуса:

– минуты, которые обозначают одной чёрточкой сверху над цифрой справа,

– секунды, которые обозначаются двумя чёрточками над цифрой справа.

В одном градусе содержится 60 минут, а в одной минуте – 60 секунд.

Например, если угол А равен 10 градусам 5 минутам, записывают: ∠А = 10º5′.

Градусная мера развёрнутого угла равна 180º.

Для измерения углов в градусах пользуются прибором, который называется транспортиром. На транспортире имеется шкала – полуокружность, разделённая на 180 равных частей. На линейке транспортира чёрточкой отмечен центр полуокружности транспортира.

Чтобы найти градусную меру угла, например, угла АВС, нужно совместить центр транспортира с вершиной угла, в данном случае точкой В; расположить линейку транспортира так, чтобы одна из сторон угла прошла через начало отсчёта шкалы транспортира – ноль градусов(в данном случае сторона АВ), и найти на шкале транспортира деление, через которое проходит другая сторона угла – в данном случае сторона ВС.

Это деление шкалы покажет градусную меру угла. В нашем случае – это 120º.

Транспортир применяется также для построения угла, мера которого известна. Построим, например, угол KNM, равный 60º. Для этого:

— проведём луч NM;

— совместим центр транспортира с точкой N;

— расположим линейку транспортира так, чтобы луч NM прошёл через начало отсчёта шкалы транспортира;

— найдём на шкале транспортира деление, соответствующее шестидесяти градусам, и отметим напротив него точку К;

— проведём луч NK. Мы построили угол KNM, равный 60º.

Ответить на вопрос, равны ли углы, и, если не равны, то какой из них больше или меньше, можно, сравнивая их градусные меры. Углы с равными градусными мерами равны. Из двух углов больше тот, который имеет большую градусную меру; а меньше тот, который имеет меньшую градусную меру.

Углы можно сравнить также наложением. Если при этом они совпадают, то равны.

Помимо развёрнутого, углы можно разделить на следующие виды: прямой, острый и тупой.

Угол называют прямым, если его градусная мера равна 90º.

Острым – если его градусная мера меньше 90º.

Тупым – если его градусная мера больше 90ºи меньше 180º.

Рассмотрим ещё два вида углов, которые встречаются в геометрических задачах: это вертикальные углы, то есть пара углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Например, угол один и два.

И смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.

Например, угол САВ и угол САD.

Вместе смежные углы составляют развёрнутый угол. Следовательно, сумма величин смежных углов составляет 180º.

Итак, сегодня мы познакомились с разными видами углов и научились строить их с помощью транспортира.

Для определения величины углов используется прибор, который называют транспортир. Но существуют и более высокоточные приборы.

Так, гониометр использовался для определения положения судна в море или океане.

Теодолит – прибор для измерения горизонтальных и вертикальных углов при геодезических работах, в строительстве и т. п.

Секстант применялся для измерения высоты Солнца над горизонтом с целью определения географических координат той местности, в которой производится измерение, и на судах.

Посох Якова, служащий для измерения углов, один из первых инструментов для астрономических наблюдений.

Мерзляк 5 класс — § 12. Виды углов. Измерение углов

Вопросы к параграфу

1. Какой угол называют развёрнутым? Развёрнутый угол — это угол, лучи которого образуют прямую и их начала совпадают.

2. В каких единицах измеряют углы? Углы измеряют в градусах (например ∠45° — это угол величиной 45 градусов).

3. Какова градусная мера развёрнутого угла? 180°

4. Что означает измерить угол? Измерить угол — это значит посчитать сколько единичных углов в нём помещаются. 

5. Как называется прибор, который используют для измерения углов? Транспортир.

6. Расскажите, как пользоваться транспортиром. Для того, чтобы измерить угол транспортиром надо:

  • приложить линейку транспортира к одной из сторон угла;
  • совместить центр транспортира с вершиной угла;
  • определить, какой из штрихов шкалы транспортира пересекает вторая сторона угла;
  • определить градусную величину, которой соответствует пересекаемый штрих шкалы транспортира.

Важно:

  • Одна из сторон транспортира должна точно лежать на линейке прибора.
  • Центр транспортира должен точно совпадать с вершиной угла.
  • Если вторая сторона угла не доходит до шкалы транспортира, то надо мысленно продолжить луч до пересечения с прибором, либо начертить продолжение луча до нужной длины.

7. Какие градусные меры имеют равные углы? Равные углы имеют равные градусные меры.

8. Какой из двух неравных углов считают большим? Большим считается угол, градусная мера которого больше.

9. Каким свойством обладает величина угла? Если между сторонами угла АОС провести луч ОВ, то градусная мера угла АОС равна сумме градусных мер углов АОВ и ВОС:

∠АОС = ∠АОВ +∠ВОС, если луч ОВ лежит между сторонами угла АОС.

10. Какой угол называют острым? Острым углом называют угол, градусная мера которого меньше 90°.

11. Какой угол называют прямым? Прямым углом называют угол, градусная мера которого равна 90°.

12. Какой угол называют тупым? Тупым углом называют угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.

13. На какие углы делит развёрнутый угол его биссектриса? Биссектриса делит угол на два прямых угла, то есть градусная мера каждого из этих углов равна 90°.

14. В каких случаях говорят, что от данного луча отложен данный угол? Говорят, что от данного луча отложен данный угол в том случае, если дан определённый луч, например ОА, и от него построен заданный угол, например ∠АОС = 63°, причём вершиной угла является вершина заданного луча.

Решаем устно

1. Назовите два числа, одно из которых:

  1. на 27 больше другого — 1 и 28 — число 28 на 27 больше числа 1.
  2. на 15 меньше другого — 2 и 17 — число 2 на 15 меньше числа 17.
  3. в 7 раз меньше другого — 3 и 21 — число 3 в 7 раз меньше исла 21.
  4. в 3 раза больше другого — 4 и 12 — число 12 в 3 раза больше 4.

2. Часы спешат на 10 мин и сейчас показывают время 10 ч 8 мин. Который час на самом деле?

10 ч 8 мин — 10 мин = 9 ч 58 мин

Ответ: сейчас 9 ч 58 мин.

3. Часы отстают на 7 мин и сейчас показывают время 16 ч 55 мин. Который час на самом деле?

16 ч 55 мин + 7 мин = 17 ч 2 мин.

Ответ: сейчас 17 ч. 2 мин.

4. Какие из следующих уравнений не имеют корней:

  1. 2х = х. Это равенство будет верным только при х = 0, значит у этого уравнения есть единственный корень — 0.
  2. 0х = 0. Это равенство будет верным при любом значении х, значит у этого уравнение бесконечное множество корней.
  3. 3 — х = 3. Это равенство будет верным только при х = 0, значит у этого уравнения есть единственный корень — 0.
  4. 0х = 6. Это равенство не будет верным ни при каких значениях х, значит это уравнение не имеет корней.
  5. х • х = х. Это равенство будет верным только при х = 0 и  х = 1, значит у этого уравнения 2 корня: 0 и 1.
  6. х + 6 = х + 7. Это равенство не будет верным ни при каких значениях х, значит это уравнение не имеет корней.
  7. 8х = 0. Это равенство будет верным только при х = 0, значит у этого уравнения есть единственный корень — 0.
  8. 3 — х = 2. Это равенство будет верным только при х = 1, значит у этого уравнения есть единственный корень — 1.
  9. 1 • х = 5. Это равенство будет верным только при х = 5, значит у этого уравнения есть единственный корень — 5.

Ответ: не имеют корней уравнения под номером 4 и 6.

5. Для озеленения улицы длиной 3 км на одной из её сторон посадили деревья на расстоянии 20 м друг от друга. Первое дерево было посажено в начале улицы, а последнее — в её конце. Сколько деревьев было посажено? Чему равно расстояние между первым и пятым деревьями?

3 км = 3 000 м.

1) 3 000 : 20 + 1 = 151 (дерево) — было посажено.

2) 20 • (5 — 1) = 20 • 4 = 80 (метров) — расстояние между 1-м и 5-м деревом.

Ответ: Было посажено 151 дерево. Между первым и пятым деревом 80 метров.

Упражнения

296. Начертите:

  1. острый угол EFC
  2. прямой угол ORT
  3. тупой угол D
  4. развёрнутый угол КАР

297. Найдите на рисунке 93 острые, тупые и прямые углы.

  • Острые углы: ∠C, ∠M, ∠P
  • Тупые углы: ∠K, ∠Q, ∠T
  • Прямые углы: ∠A, ∠O

298. Какие из данных углов острые, тупые, прямые, развёрнутые: ∠А = 96°, ∠B = 84°, ∠S= 180°, ∠D=90°, ∠R = 162°, ∠E= 60°, ∠Q = 100°, ∠M= 72°?

  • Острые углы: ∠B = 84°, ∠E= 60°, ∠M= 72°
  • Тупые углы: ∠А = 96°, ∠R = 162°, ∠Q = 100°
  • Прямые углы: ∠D=90°
  • Развёрнутые углы: ∠S= 180°

299. Найдите, пользуясь транспортиром, градусные меры углов, изображённых на рисунке 94. Определите вид каждого угла.

  • ∠AMK = 28º — острый угол
  • ∠CTF = 33º — острый угол
  • ∠POB = 120º — тупой угол
  • ∠SNE = 125º — тупой угол

300. Найдите, пользуясь транспортиром, градусные меры углов, изображённых на рисунке 95. Определите вид каждого угла.

  • ∠PRT = 133º — тупой угол
  • ∠EFM = 40º — острый угол
  • ∠BCQ = 110º — тупой угол
  • ∠AKS = 67º — острый угол

301. Начертите угол, градусная мера которого равна: 1) 38°; 2) 124°; 3) 92°; 4) 90°; 5) 87°; 6) 54°; 7) 170°; 8) 65°. Определите вид каждого угла.

  1. ∠A = 38º — острый угол
  2. ∠B = 124º — тупой угол
  3. ∠C = 92º — тупой угол
  4. ∠D = 90º — прямой угол
  5. ∠E = 87º — острый угол
  6. ∠F = 54º — острый угол
  7. ∠K = 170º — тупой угол
  8. ∠R = 65º — острый угол

302. Проведите луч. Отложите от этого луча угол, градусная мера которого равна: 1) 40°; 2) 130°; 3) 68°; 4) 164°. Определите вид каждого из построенных углов.

Луч RE

  1. ∠ERD = 40º — острый угол
  2. ∠ERB = 130º — тупой угол
  3. ∠ERC = 68º — острый угол
  4. ∠ERA = 164º — тупой угол

303. На рисунке 96 ∠CMK = 132°, а угол АМК — развёрнутый. Вычислите величину угла АМС.

∠АМК = 180° — развёрнутый

∠АМС = ∠АМК — ∠CMK = 180° — 132° = 48°

Ответ: ∠АМС = 48°.

304. На рисунке 97 угол АОК — прямой, ∠POC — 54°, а угол СОК — развёрнутый. Вычислите величину угла АОР.

∠AOK = 90° — прямой

∠COК = 180° — развёрнутый

∠АOP = ∠COK — ∠POC — ∠AOK = 180° — 54° — 90° = 36°

Ответ: ∠АOP = 36°

305. Какой из углов, изображённых на рисунке 98, наибольший? Наименьший?

  • ∠D — наименьший угол
  • ∠C — наибольший угол

306. Начертите угол CDE, равный 152°. Лучом DA разделите этот угол на два угла так, чтобы ∠CDA = 98°. Вычислите величину угла ADE.

∠CDE = 152°

∠CDA = 98°

∠ADE = ∠CDE — ∠CDA = 152° — 34° = 54°

Ответ: ∠ADE = 54°.

307. Начертите угол ABC, равный 106°. Лучом BD разделите этот угол на два угла так, чтобы ∠ABD = 34°. Вычислите величину угла DBC.

∠ABC = 106°

∠ABD = 34°

∠DBC = ∠ABC — ∠ABD = 106° — 34° = 72°

Ответ: ∠DBC = 54°.

308. Из вершины прямого угла ВОМ (рис. 99) проведены два луча ОА и ОС так, что ∠BOC = 74°, ∠AOM = 62°. Вычислите величину угла АОС.

∠ВОМ = 90° — прямой

∠BOC = 74°

∠AOM = 62°

∠MOC = ∠BOM — ∠BOC = 90° — 74° = 16°

∠AOC = ∠AOM — ∠MOC = 62° — 16° = 46°

Ответ: ∠AOC = 46°.

309. Из вершины развёрнутого угла АСР (рис. 100) проведены два луча СТ и CF так, что ∠ACF = 158°, ∠TCP = 134°. Вычислите величину угла TCF.

∠ACP = 180° -развёрнутый

∠ACF = 158°

∠TCP = 134°

∠PCF = ∠ACP — ∠ACF = 180° — 158° = 22°

∠TCF = ∠TCP — ∠PCF = 134° — 22° = 112°

Ответ: ∠TCF = 112°.

310. Верно ли утверждение:

1) угол, который меньше тупого, — острый. Неверно, так как меньше тупого не только острые углы, но и прямой угол.

2) угол, который меньше развёрнутого, — тупой. Неверно, так как меньше развёрнутого угла все тупые углы, все острые углы и прямой угол.

3) половина тупого угла — острый угол. Верно, так как половина даже самого большого тупого угла будет меньше 90º.

4) сумма градусных мер двух острых углов больше 90°. Неверно, так как сумма двух острых углов может быть и меньше 90°.

5) угол, который больше прямого, — тупой. Неверно, так как больше прямого могут быть как тупые углы, так и развёрнутый угол.

311. Найдите градусную меру утла между стрелками часов, если они показывают:

  1. 3 ч — это угол между минутной стрелкой, указывающей на 12 часов (чёрная стрелка) и часовой стрелкой, указывающей на 3 часа (красная стрелка) — прямой угол. Градусная мера этого угла — 90º.
  2. 6 ч — это угол между минутной стрелкой, указывающей на 12 часов (чёрная стрелка) и часовой стрелкой, указывающей на 6 часов (синяя стрелка) — развёрнутый угол. Градусная мера этого угла — 180º.
  3. 4 ч — это угол между минутной стрелкой, указывающей на 12 часов (чёрная стрелка) и часовой стрелкой, указывающей на 4 часа (зелёная стрелка) — 4/6 от развёрнутого угла. Градусная мера этого угла — 180 : 6 • 4 = 30 • 4 = 120º.
  4. 11 ч — это угол между минутной стрелкой, указывающей на 12 часов (чёрная стрелка) и часовой стрелкой, указывающей на 11 часов (фиолетовая стрелка) — 1/6 от развёрнутого угла. Градусная мера этого угла — 180 : 6 • 1 = 30 • 1 = 30º.
  5. 7 ч — это угол между минутной стрелкой, указывающей на 12 часов (чёрная стрелка) и часовой стрелкой, указывающей на 7 часов (розовая стрелка) — 5/6 от развёрнутого угла. Градусная мера этого угла — 180 : 6 • 5 = 30 • 5 = 150º.

Ответ: 1) 90º, 2) 180º, 3) 120º, 4) 30º, 5) 150º.

312. Луч BK является биссектрисой угла CBD, ∠ABK = 146° (рис. 101, a). Вычислите градусную меру угла CBD.

∠ABC = 180º — развёрнутый

∠ABK = 146º

∠KBC = ∠ABC — ∠ABK = 180º — 146º = 34º

так как луч BK — это биссектриса ∠CBD, значит луч BK делит тот угол пополам. Мы заем, что ∠KBC = 34º. Значит:

∠CBD = ∠KBC • 2 = 34º • 2 = 68º

Ответ: ∠CBD = 68º.

313. Луч ОА является биссектрисой угла СОМ, ∠СОМ = 54° (рис. 101, б). Вычислите градусную меру угла ВОА.

∠COM = 54º

так как луч OA — это биссектриса ∠COM, значит луч OA делит тот угол пополам. Мы заем, что ∠COM = 54º. Значит:

∠COA = ∠COM : 2 = 54º : 2 = 27º

∠BOC = 180º — развёрнутый

∠BOA = ∠BOC — ∠COA = 180º — 27º = 153º

Ответ: ∠BOA = 153º.

314. Проведите три прямые, пересекающиеся в одной точке. Запишите все развёрнутые углы, образовавшиеся при этом.

Каждая прямая образует по 2 развёрнутых угла. Значит образовались следующие развёрнутые углы: AOD, BOE, COF, DOA, EOB, FOC.

315. Проведите шесть прямых, пересекающихся в одной точке. Верно ли, что среди образовавшихся при этом углов есть угол, градусная мера которого меньше 31°?

Каждая прямая образует по 2 развёрнутых угла. Например, прямая MH образует развёрнутые углы MOH и HOM. Каждый из этих углов равен 180º. Значит сумма углов между соседними лучами на рисунке равна 180º • 2 = 360º.

Всего образовалось 12 углов, расположенных между соседними лучами. 360º : 12 = 30º. Значит как минимум один (а на самом деле два) угла будут иметь градусную меру менее 31º.

Ответ: верно.

Упражнения для повторениях

316. Заполните цепочку вычислений:

  1. 4 см • 300 = 1 200 см
  2. 1 200 см = 120 дм; 120 дм — 12 дм = 108 дм
  3. 108 дм : 9 = 12 дм
  4. 12 дм = 1 м 2 дм; 1 м 2 дм + 3 м = 4 м 2 дм
  1. 8 мин • 15 = 120 мин
  2. 120 мин = 2 ч; 2 ч + 2 ч = 4 ч
  3. 4 ч = 240 мин; 240 мин : 6 = 40 мин
  4. 40 мин — 54 сек = 39 мин 6 сек

317. Верно ли неравенство (а + 253) • 7 < (9 864 — а) : 4 при а = 124?

Ответ: при а = 124 неравенство неверно, так как 2 639 > 2 435.

318. В четыре стакана помещается столько же молока, сколько и в банку. В стакан и банку помещается 1 кг 200 г молока. Сколько граммов молока помещается в стакан?

Так как в одной банке помещается столько же молока, сколько и в 4 стаканах, то в банке и стакане будет содержаться столько же молока сколько в 5 стаканах (4 + 1 = 5).

1 кг 200 г = 1 200 г

1 200 : 5 = 240 (г) — молока помещается в стакан.

Ответ: 240 г.

319. Длина границы России с Китаем, Монголией и Казахстаном составляет 15 293 км. Найдите длину границы России с каждым из этих государств, если длина границы с Китаем и Монголией равна 7 694 км, а с Китаем и Казахстаном — 11 808 км.

1) 15 293 — 11 808 = 3 485 (км) — граница России с Монголией.

2) 7 694 — 3 485 = 4 209 (км) — граница России с Китаем.

3) 11 808 — 4 209 = 7 599 (км) — граница России с Казахстаном.

Ответ: граница России с Китаем — 4 209 км, с Монголией — 3 485 км, с Казахстаном — 7 599 км.

Задача от мудрой совы

320. Улитка за день поднимается вверх по столбу на 3 м, а за ночь съезжает по нему на 2 м вниз. На какой день она доберётся до вершины столба, высота которого равна 20 м?

Каждые сутки улитка способна подняться по столбу на 1 м:

1) 3 метра днём — 2 метра ночью = 1 метр за сутки

Но в последний день она как обычно поднимется на 3 метра, а спускаться уже не будет. Значит, за все дни, кроме последнего, улитка поднимется на 17 м:

2) 20 — 3 = 17 (метров) — преодолеет улитка за все дни, кроме последнего.

То есть ей потребуется 17 дней для преодоления 17 метров и ещё 1 день для преодоления последних 3 метров:

3) 17 : 1 + 1 = 17 + 1 = 18 (дней) — нужно улитке для того, чтобы подняться на столб.

Ответ: улитка доберётся до вершины на 18-й день.

Как найти угол в прямоугольном треугольнике

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
или несколько ваших авторских прав, сообщите нам об этом, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
то
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Что такое угол 90 градусов и почему он важен?

Вам дают транспортир и приказывают отмерить 90 градусов. Но что такое градус и что такое угол в 90 градусов? Ну, градус — это то, как мы измеряем углы — 360 градусов обозначают полный круг вращения.Угол в 90 градусов также известен как прямой угол.

Различные типы углов

В тригонометрии разные типы углов определяются и называются по их размерам. Прямой угол — 90 градусов. Острый угол — это угол менее 90 градусов. Тупой угол — это угол более 90 градусов.

Эти углы также помогают идентифицировать различные типы треугольников. Прямоугольный треугольник — это любой треугольник, который содержит угол 90 градусов или прямой угол.Тупой треугольник — это любой треугольник, который содержит тупой угол (больше 90 градусов).

Острый треугольник — это треугольник с ровно тремя острыми углами (менее 90 градусов). Почему именно три? Потому что прямоугольный и тупой треугольники также содержат по крайней мере еще один острый угол.

Почему имеют значение 90-градусные углы?

Многоугольники, особенно треугольники, которые содержат угол 90 градусов, обладают некоторыми особыми свойствами.

Рассмотрим прямоугольные треугольники.Теорема Пифагора, например, говорит нам, что сумма квадратов длин сторон прямоугольного треугольника всегда равна квадрату гипотенузы. Это неверно для равнобедренного, равностороннего или любого другого треугольника, который не имеет угла 90 градусов.

Две прямые, пересекающиеся под углом 90 градусов, также называются перпендикулярными. Перпендикулярные линии находят множество применений, когда дело доходит до геометрических доказательств и анализа различных вершин и углов. Они также полезны для обеспечения правильной прямолинейности и выравнивания в таких областях, как строительство или покраска.

Что такое прямой угол в радианах?

Когда мы говорим об угловых мерах в геометрии, мы можем использовать градусы или радианы. Радианы измеряются в единицах пи. Два радиана пи эквивалентны 360 градусам. Следовательно, угол в 90 градусов или прямой угол равен пи / 2 радиана.

Что такое угол 90 градусов?

Градусы — наиболее распространенная единица измерения геометрических углов, хотя для измерения углов треугольника можно использовать и радианы, и градусы.Если вы работаете с тригонометрическими функциями, такими как синус или косинус, работать с радианами проще.

Однако, когда речь заходит о практических приложениях, вы чаще слышите «угол 90 градусов» или «прямой угол». Вы найдете прямые углы, используемые во всех сферах жизни, от строительства до организации, искусства, вождения и не только.

Дополнительные домашние задания по математике

Три типа геометрических доказательств, которые вам необходимо знать

Понимание двухусловного оператора

Как найти сумму конечной геометрической последовательности

Дополнительные углы — объяснение и примеры

Что такое дополнительный угол?

Дополнительные углы — это парные углы с суммой 90 градусов. Говоря о дополнительных углах, всегда помните, что углы появляются парами. Один угол является дополнением другого угла.

Хотя прямой угол равен 90 градусам, его нельзя назвать дополнительным, потому что он не попадает в пары. Это просто полный угол. Три или более углов, сумма которых равна 90 градусам, также нельзя назвать дополнительными углами.

Дополнительные углы всегда имеют положительную величину. Он состоит из двух острых углов размером менее 90 градусов.

Типичные примеры дополнительных углов:

  • Два угла по 45 градусов каждый.
  • Углы размером 30 и 60 градусов.
  • Углы измерения 1 градус и 89 градусов.

Дополнительным углом могут быть смежные углы.

Например, ,

∠ STA = 65 градусов и ∠ATR = 25 градусов являются смежными дополнительными углами.

У нас также могут быть дополнительные углы, которые не примыкают друг к другу.

Например, ,

∠ DGO = 20 градусов и ∠ ODG = 70 градусов — это пары дополнительных углов, которые не примыкают друг к другу.

Еще одно важное свойство , которое следует отметить в отношении дополнительных углов , заключается в том, что два дополнительных угла не обязательно должны быть на одной и той же фигуре.

Пока углы складываются в 90 градусов, они дополняют друг друга.
Например:

Два угла на разных рисунках выше дополняют друг друга.

∠ABC + ∠ XYZ = 90 градусов

Как найти дополнительный угол?

Поскольку мы знаем, что дополнительные углы складываются в 90 градусов, мы можем легко вычислить значение любого угла, вычтя данные углы из 90 градусов.

Пример 1

Рассчитайте дополнительный угол 33 °.

Решение

Вычтите заданный угол из 90 °.

90 ° — 33 °

= 57 °

Следовательно, дополнение до 33 ° составляет 57 °

Пример 2

Определите недостающий угол на следующем рисунке

Решение

∠ABC + ∠ACB + 90 ° = 180 °

Следовательно, BAC + ∠ACB = 90 ° (дополнительные углы)

∠BAC + 43 ° = 90 °

∠BAC = 90 ° — 43 °

∠ BAC = 47 °

Пример 3

Найдите дополнение 27 ° 20 ′

Решение

90 ° — 27 ° 20 ′

= 89 ° 60 ′ — 27 ° 20 ′

= 62 ° 40 ′

Следовательно, дополнение к 27 ° 20 ′ равно 62 ° 40 ′

Пример 4

Найдите угол, который на 46 ° меньше его дополнения.

Решение

Пусть x будет неизвестным углом.

(90 — x) — x = 46 °

90 — x — x = 46 °

90 — 2x = 46 °

90 — 90 — 2x = 46 ° — 90

-2x = 46 ° — 90

-2x = 46 ° — 90

-2x = -44 °

2x = 44 °

x = 44/2

x = 22 °

Следовательно, 90-22 = 68 °

Пример 5

Если разница между двумя дополнительными составляет 18 градусов, найдите углы.

Решение

Пусть меньший угол будет x градусов, а больший угол будет (90 — x) °.

(90 ° — x) — x = 18 °

90 ° — 2x = 18 °

x = 72 ° / 2

x = 36 °

90 ° — x

= 90 ° — 36 °

= 54 °.

Таким образом, два дополнительных угла равны 36 ° и 54 °.

Пример 6

Вычислите значение x на следующем рисунке:

Решение

⟹ (2x — 7) ° + (x + 4) ° = 90 °

⟹2x + x — 7 ° + 4 ° = 90 °

⟹ 3x — 3 ° = 90 °

⟹ 3x — 3 ° + 3 ° = 90 ° + 3 °

⟹ 3x = 93 °

⟹ x = 93 ° / 3

⟹ x = 31 °

Пример 7

Найдите дополнительный угол 2/3 от 90 градусов.

Решение

⟹ 90 ° x 2/3 = 60 °

⟹ 90 ° — 60 ° = 30 °

Следовательно, угол дополнения равен 30 °

Пример 8

Определить дополнительный угол (x + 10) °.

Раствор

⟹ (x + 10) ° = 90 ° — (x + 10) °

= 90 ° — 10 ° — y °

= (80 — x) °

Пример 9

Два дополнительных угла таковы, что один из углов в два раза больше суммы другого угла плюс 3 градуса.Найдите два дополнительных угла.

Решение

Пусть два угла равны x и y градусам.

⟹ x + y = 90 °

Один из углов равен удвоенной сумме другого угла плюс 3 градуса.

⟹ x = 2 (y + 3)

⟹ x = 2y + 6

Теперь решим два одновременных уравнения подстановкой.

⟹ 2y + 6 + y = 90

⟹ 3y + 6 = 90

⟹ 3y = 84

⟹ y = 28

⟹ x = 2 (28) + 6

⟹ x = 56 + 6

⟹ x = 62

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Геометрия: угол

Угол — это объединение двух лучей, имеющих общую конечную точку.Два луча — это сторон угла, а общая конечная точка называется вершиной . Углы пригодятся в строительстве зданий и мостов. В телекоммуникациях для хорошего распределения сигнала важны углы. На рисунке 1 показан угол.


Запоминание терминов

Преобразовать — менять.
градус — угловая мера, эквивалентная 1/360 полного оборота.
Радиан — угловая мера, эквивалентная 1 / полного оборота.
Вращение — круговое движение объекта вокруг центра.
Союз — состояние присоединения.

Присвоение имени углу

Обозначение угла — `\ angle`. Ставится перед этикеткой уголка.

Угол может быть назван тремя разными способами:

1. Использование метки вершины — заглавной буквы.

2. Использование строчной буквы или цифры внутри угла.

3. Использование трех заглавных букв, в которых средняя буква — вершина, а две другие — метки точек двух лучей, образующих угол.

Пример 1:

4

Пояснение:

Используя вершину, угол может быть назван как `\ angle`B.

Используя число внутри угла, его также можно назвать `\ angle`1.

Используя три заглавные буквы угла, его также можно назвать `\ angle`ABC или` \ angle`CBA.

Следовательно, угол может быть назван четырьмя способами.

Пример 2:

`\ angle`E,` \ angle`FEG или `\ angle`GEF

Пояснение:

Rays и имеет общую конечную точку E.E также является вершиной, поэтому угол можно назвать `\ angle`E.

Используя три заглавные буквы, в которых средняя буква — вершина, а две другие — точки двух лучей, угол также можно назвать `\ angle`FEG или` \ angle`GEF.

Пример 3:
Пояснение:

Средняя буква имени — вершина угла.Следовательно, K — вершина угла, а две другие буквы — точки двух сторон угла.

Пример 4:

3

Пояснение:

Углы:

`\ angle`MON или` \ angle`NOM

`\ angle`NOP или` \ angle`PON

`\ angle`MOP или` \ angle`POM


Измерение угла

Измерение угла определяет, насколько широко открывается угол.circ` или 2`pi` радиан.

Градусы также могут быть преобразованы в радианы и наоборот. Чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте градус на / 180. Умножьте радиан на 180 /, чтобы преобразовать радианы в градусы.

Пример 5:
Пример 6:

Она вегетарианка

Пояснение:
Пример 7:

Угол B

Пояснение:

Преобразование радианов в градусы;

/4 * 180 / = 135

Угол B больше в градусах.


Классификация углов

Углы классифицируются в соответствии с их размерами. Они подразделяются на острый, правый, тупой, прямой и рефлекторный. На рисунке 2 показаны классификации углов.

Острый угол — это угол, размер которого больше 0 градусов, но меньше 90 градусов.

Прямой угол — это угол, размер которого равен точно 90 градусам.

Тупой угол — это угол, размер которого больше 90 градусов, но меньше 180 градусов.

Прямой угол — это угол, размер которого составляет точно 180 градусов.

Угол отражения — это угол, размер которого больше 180 градусов, но меньше 360 градусов.

Пример 8:

Тупой угол

Пояснение:

«100 ^ circ» находится под тупым углом, поскольку больше «90 ^ circ», но меньше «180 ^ circ». circ».

Преобразование градусов в радианы;

90 * / 180 = / 2


Общие сведения об углах и их типах — MathsTips.com

Угол — это основная фигура в геометрии, которая выглядит следующим образом.

Угол — это фигура, образованная двумя лучами, встречающимися в общей точке.Символ угла — ∠. Общая точка называется его вершиной угла. Каждый из двух лучей, образующих угол, называется плечами или сторонами угла. Таким образом, угол состоит из трех частей, одной вершины и двух сторон.

Угол обычно обозначается тремя последовательными алфавитами, такими как A, B и C или X, Y и Z. Угол, образованный лучами AB и BC в вершине B, обозначается ∠ABC.

Посмотрите на рисунок выше. Угол, образованный в вершине B двумя лучами AB и BC, называется ∠ABC.Его также можно просто назвать углом B и кратко записать как B. Мы можем заметить, что B появляется в середине ABC, чтобы обозначить, что это угол при вершине B.

Представьте себе две стрелки часов в положении «12 часов». Обе руки находятся в одной и той же точке на рисунке 1.

Теперь минутная стрелка начинает двигаться, и между двумя стрелками образуется угол. Со временем это количество увеличивается. За один полный оборот образуется круг и максимальный угол. Угол измеряет величину поворота.

Угол можно также представить как фигуру, образованную вращением одного луча вокруг своей вершины. Размер угла зависит от степени вращения. Это дает меру угла. Величина угла — это величина поворота одной руки вокруг вершины, чтобы достичь положения второй руки.

Угол измеряет угол поворота между двумя плечами два и обычно измеряется в градусах или радианах. Греческие буквы, такие как α (альфа), β (бета) или θ (тета), обычно используются в качестве символов для измеренного значения угла.Обозначается он θ.

Стандартной единицей измерения угла является градус. Обозначается он °. Таким образом, 30 градусов и 60 градусов записываются как 30 ° и 60 ° соответственно.

В приведенном выше примере часов две стрелки первоначально образуют наименьший угол 0 °, а при одном полном обороте минутной стрелки обе стрелки образуют максимальный угол, который называется углом 360 градусов или 360 °. Углы при полном повороте в сумме составляют 360 градусов. Если один полный оборот разделен на 360 равных частей, размер каждой такой части составляет один градус или 1 °.В разделе «Геометрия» мы узнаем больше об углах с величинами от 0 до 360 °.

Типы углов

Углы можно классифицировать по их величине угла.

1. Прямой угол:

Угол, размер которого равен 90 °, называется прямым углом. Прямой угол образуется, когда две стороны составляют 900. Полный поворот состоит из четырех прямых углов.

2. Острый угол:

Угол меньше 90 градусов называется острым углом.

3. Тупой угол

Угол между 90 и 180 градусами называется тупым углом.

4. Угол отражения

Угол, превышающий 180 градусов, называется углом отражения.

5. Прямоугольник

Прямой угол — это внутренний угол, равный 180 °

6. Уголок полный

Сумма углов при полном повороте составляет 360 градусов.

Измерительные углы

Транспортир используется для измерения угла. Его еще называют полукруглым транспортиром. На схеме ниже показан транспортир.

Транспортир имеет двойную шкалу. Каждая шкала размечена в градусах от 0 до 180. Внешняя шкала размечена в градусах от 0 до 180 слева направо. Внутренняя шкала также обозначена в градусах от 0 до 180, но справа налево. У него есть базовая линия внизу. Источник находится в центре.

Измерим угол с помощью транспортира.

При измерении угла центр транспортира помещается над вершиной (углом) B угла, а базовая линия транспортира размещается вдоль одной из линий угла BC. Смотрим положение второй линии угла BA. Теперь считываем значение на внутренней шкале положения линии BA. Это 50 °. Это измерение ∠ABC. Таким образом, ABC = 50 °.

Парные углы

1. Соседние углы

Два угла, которые имеют одну и ту же вершину и одну сторону, называются смежным углом.Смежные углы — это два угла, которые расположены бок о бок и имеют общий луч. У них общая вершина. Любой угол может иметь смежные углы с обеих сторон.

2. Вертикально противоположные углы

Два угла, которые имеют общую вершину и противоположны друг другу, образованные одними и теми же двумя линиями, называются вертикально противоположными углами. Два вертикально противоположных угла всегда равны. На диаграмме ниже два угла α (альфа) и β (бета) являются вертикальными углами и α = β

.

Дополнительные и дополнительные уголки

1.Дополнительные уголки

Два угла, сумма которых составляет 90 градусов, называются дополнительными углами.

Два дополнительных угла не обязательно должны быть смежными. Следующие углы также дополняют друг друга, так как сумма их измерений равна 90 градусам

.

2. Дополнительные уголки

Два угла, сумма которых составляет 180 градусов, называются дополнительными углами. На рисунке ниже α + β = 180 градусов, углы α и β являются дополнительными углами

.

Два дополнительных угла не обязательно должны быть смежными.Следующие углы также являются дополнительными, так как сумма их измерений равна 180 градусам.

Внутренний угол и внешний угол

На рисунке ниже ABC — это геометрическая форма, называемая Треугольником (мы узнаем больше о треугольнике в другой статье). Линия BC была расширена как линия CD. Внутренний угол — это угол внутри фигуры ABC. Внешний угол — это угол между стороной фигуры AC и удлиненной линией CD.

Сумма внутреннего и внешнего углов составляет 180 °.Два угла являются дополнительными. Вот они и соседние углы.

Что следует помнить

  1. Прямой угол 90 °
  2. Стандартная единица измерения угла — градус. Обозначается он °.
  3. Острый угол менее 90 градусов.
  4. Тупой угол больше 90, но меньше 180 градусов.
  5. Угол отражения больше 180 градусов.
  6. Прямой угол равен 180 °
  7. Полный круговой оборот составляет 360 градусов.
  8. Транспортир — инструмент для измерения углов
  9. Два угла, которые имеют одну и ту же вершину и одну сторону, называются смежным углом.
  10. Два угла, которые имеют общую вершину и противоположны друг другу, образованные одними и теми же двумя линиями, называются вертикально противоположными углами.
  11. Два вертикально противоположных угла равны.
  12. Два угла, сумма которых составляет 90 градусов, называются дополнительными углами
  13. Два угла, сумма которых составляет 180 градусов, называются дополнительными углами
  14. Внутренний угол — это угол, образованный внутри геометрической формы.
  15. Внешний угол — это угол, образованный вне геометрической формы между стороной фигуры и продолженной линией другой стороны.

Вопросы и ответы

Вопрос 1: Определить ∠ACB

Раствор: Угол прямой и имеет размер 90 °

Вопрос 2: Посмотрите на рисунок ниже и найдите ∠ACD

Раствор:

∠ACB — прямой угол
Следовательно, ACD и ∠DCB — дополнительные углы.
∠ACD + ∠DCB = 90 °
∠ACD + 30 ° = 90 °
Следовательно, ∠ACD = 60 °

Вопрос 3: Посмотрите на рисунок ниже. Если ∠β = 120 °, найти значение ∠α.

Раствор:

Углы α и β являются дополнительными углами.
Следовательно, α + β = 180 градусов,
Поскольку ∠β = 120 °, ∠ α = 180-120 = 60 °

Вопрос 4: Посмотрите на рисунок ниже. Если ∠α = 30 °, найти значение ∠β.

Раствор:

Два угла α (альфа) и β (бета) являются вертикально противоположными углами, поэтому α = β

Так как α равно 30 °, значит, β также равно 30 °

Вопрос 5: Найти дополнение угла 45 °

Раствор:

Сумма двух дополнительных углов составляет 90 °.Так как один угол равен 45 °, другой угол = 90-45 = 45 °

упражнение:

1. ABC равно 225 °. Это а / ан

  1. Острый угол
  2. Тупой угол
  3. Угол рефлекса

2. Измерение прямого угла

.

  1. 90 °
  2. 180 °
  3. 360 °

2. Какое значение имеет дополнительный угол 75 °?

  1. 15 °
  2. 75 °
  3. 105 °

4.Найдите значение дополнительного угла к углу, равному 30 °

  1. 30 °
  2. 60 °
  3. 150 °

5. Каков размер прямого угла?

  1. 0 °
  2. 90 °
  3. 180 °

Верно или неверно

6. Два вертикально противоположных угла всегда равны.

  1. Истинно
  2. Ложь

7. Сумма внутреннего и внешнего углов равна 360 °.

  1. Истинно
  2. Ложь

Заполните бланк

8.Мера …………. это 360 °

  1. Прямой угол
  2. Тупой угол
  3. Уголок полный

9. Один полный оборот минутной стрелки за один час составляет угол ……. степень

  1. 90 °
  2. 180 °
  3. 360 °

10. Какое из следующих утверждений НЕ правильно?

  1. Два дополнительных угла не обязательно являются смежными углами
  2. Два соседних угла всегда являются дополнительными
  3. Два вертикально противоположных угла не могут быть смежными углами

Как найти меру угла

Два луча с одной и той же конечной точкой создают угол.Точка, в которой они пересекаются, называется вершиной. Угол образует часть воображаемого круга. А поскольку круги измеряют 360 градусов, вы можете найти угол, образованный лучами. Вот несколько вещей, которые вы должны знать о том, как найти величину угла.

Четыре типа углов

Есть четыре типа углов. Знание разницы поможет вам оценить размер угла. Вот четыре типа углов и размеров, которые помогут вам классифицировать каждый из них.

  • Прямой угол (180 градусов)
  • Острый угол (менее 90 градусов)
  • Прямой угол (90 градусов)
  • Тупой угол (более 90 градусов, но менее 180 градусов)
  • Использование транспортира

    Лучший способ измерить угол — использовать транспортир. Для этого вы начнете с выстраивания одного луча вдоль 0-градусной линии транспортира. Затем совместите вершину с серединой транспортира. Следуйте по второму лучу, чтобы определить угол с точностью до градуса.

    Углы в треугольниках

    Треугольники получили свое название от трех углов, которыми они обладают. Эти три угла в сумме должны составлять 180 градусов. Часто у вас есть измерения двух углов. Однако вам придется вычислить размер третьего угла. Используемое уравнение:

    угол A + угол B + угол C = 180 градусов.

    Например, у вас есть следующий треугольник. Что такое измерение угла C?

    Если вы подставите эти числа в уравнение, вы получите следующее уравнение:

    Углы в четырехугольниках

    Квадраты и прямоугольники имеют четыре прямых угла.Если сложить углы, получится 90 + 90 + 90 + 90 = 360. Четырехугольник также имеет четыре угла. Следовательно, углы формы составляют в сумме 360 градусов, даже если нет прямых углов. Чтобы определить недостающий угол четырехугольника, вы можете использовать следующее уравнение:

    угол A + угол B + угол C + угол D = 360 градусов.

    Посмотрите следующий пример. Сможете ли вы определить недостающий угол в этом четырехугольнике?

    Чтобы найти недостающий угол, подставьте измерения угла в уравнение:

    Независимо от того, работаете ли вы с лучом, треугольником или четырехугольником, есть методы, которые вы можете использовать для обнаружения недостающего измерения угла. .Если вам интересно, как найти угол на луче, треугольнике или четырехугольнике, попробуйте использовать транспортир или уравнения, которые мы обсуждали. Они должны работать и помочь вам немного облегчить жизнь!

    О Джейми Гудвине

    Джейми окончил Университет Бригама Янга в Айдахо со степенью в области английского образования. Она провела несколько лет, обучая и обучая учеников начальной, средней школы и колледжа. В настоящее время она работает писателем по контракту и разработчиком учебных программ для онлайн-курсов.В свободное время она любит бегать и проводить время со своими мальчиками!

    Почему геометрия не подвергалась метрике? Почему 360 градусов вместо 1, 10, 100 или даже 1000? | Примечания и запросы

    СПЕКУЛЯТИВНАЯ НАУКА

    Почему геометрия не подвергалась «метрике»? Почему 360 градусов вместо 1, 10, 100 или даже 1000?

    Дэвид Хьюз, Торонто, Канада

    • На самом деле градусы были «метрическими», в инженерии углы часто измеряются в радианах, при этом длина окружности выражается как 2Π радиана.

      Угловые измерения в градусах или радианах приводятся по отношению к окружности, 360 градусов или 2 радиана Пи составляют один полный оборот.
      Если бы мы разделили круг на что-либо, кроме 360 градусов, нам пришлось бы изменить и наши календари — древние греки пришли к выводу, что в году 360 дней, и поэтому мы продвигаемся по Солнцу на один градус за день — они были достаточно близки, учитывая, что работали только над наблюдением!

      Питер Кларк, Кембридж, Великобритания

    • Мы унаследовали 360 градусов от вавилонян, но многие древние общества очень интересовались астрономией, а в некоторых (мегалитическая Британия?) Было 366 градусов в круге.Это логично, поскольку Земля вращается вокруг своей оси 366 раз в год. Их измерения кажутся взаимосвязанными, а не произвольными, как метрически разделенный круг. Вавилоняне, вероятно, сократили это число до 360, поскольку оно намного легче делится на множество факторов.

      Вивьен, Лондон, Великобритания

    • И вавилоняне, и китайцы использовали шестидесятеричную систему счисления, что означает, что у них было 59 цифр, а не 9 (ноль был изобретен намного позже). Хотя у них была цифра 10, поэтому их число 11 по-прежнему записывалось как цифра 10 рядом с цифрой 1.Происхождение этого точно не известно, хотя очевидно, что на них повлияла астрономия и тот факт, что в году (почти) 360 дней. Они также придумали шестьдесят минут в час, 24 часа в сутки. Это всего лишь еще один пример снижения школьных стандартов: мы ожидаем, что школьники будут знать только 9 цифр (и ноль)

      Камьяр, Самос Греция

    • 360 имеет намного больше делителей, чем 10, 100, 1000 и т. Д. Таким образом, круг легче разделить на множество различных равных частей — 2,3,4,5,6,8,9,10…… Попробуйте сделать это с помощью 100 или 1000.

      Льюис, Лондон, Великобритания

    • Использование 400 угольников вместо 360 градусов также можно найти при землеустройстве. Некоторые теодолиты могут иметь градусы или углы, и многие теодолиты, которые были изготовлены в бывшем восточном блоке, использовали эту систему.

      Hamish, Ипсвич, Великобритания

    Добавьте свой ответ

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.