Гомология групп: Введение в алгебраическую топологию | Механико-математический факультет

Содержание

Введение в алгебраическую топологию | Механико-математический факультет

Программа курса:

1. Теория гомотопий.

Гомотопные отображения, гомотопические класы отображений, гомотопическая эквивалентность. Гомотопические группы топологических пространств. Коммутативность гомотопических групп для больших размерностей. Точная гомотопическая последовательность пары. Фундаментальная группа топологического пространства. Пердставление фундаментальной группы для полиэдров. Вычисление фундаментальной группы двумерных поверхностей. Группа кос как фундаментальная группа конфигурационного пространства системы точек. Вычисление k-мерных гомотопических групп n-мерной сферы для k<=n. Слабая гомотопическая эквивалентность. H-пространства и группа гомотопических классов отображений в H-пространство. Коммутативность фундаментальной группы H-пространств.

2. Теория гомологий.

Группы сингулярных гомологий и когомологий. Симплициальные и клеточные разбиения пространств. Симплициальные и клеточные гомологии и когомологии, из связь с сингулярными. Гомотопическая инвариантность групп гомологий. Эйлерова характеристика. Умножение в когомологиях. Точные гомологическая и когомологическая последовательности пары. Надстройки и теорема Фрейденталя. Гомоморфизм Гуревича. Связь фундаментальной группы и группы одномерных гомологий. Теорема Гуревича. Гомологии и когомологии с коэффициентами. Формула универсальных уоэффициентов. Двойственность Пуанкаре для многообразий.

Теории гомологий и когомологий. Теорема единственности для гомологий и когомологий. Обобщенные теории гомологий и когомологий. Пространства Эйленберга-Маклейна. Группы когомологий как группы классов отображений в пространства Эйленберга-Маклейна.

Кольцо когомологий H-пространства как алгебра Хопфа. Классификация градуированных алгебр Хопфа над полем рациональных чисел. Гомологии и кольца когомологий проективных пространств. Клетки Шуберта и гомологии многообразий Грассмана.

3. Теория расслоенных пространств.

Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Регулярные накрытия. Универсальное накрытие. Накрытие и фундаментальная группа.

Аксиома о накрывающей гомотопии и расслоение в смысле Серра. Пространство путей и петель, лемма о накрывающей гомотопии для расслоения путей. Локально тривиальные расслоения. Сечения. Точная гомотопическая последовательность расслоения.

Векторные расслоения. Прямая сумма и тензорное произведение векторных расслоений. Многообразие Грассмана как база универсального векторного расслоения. Пространства Тома и изоморфизм Тома в гомологиях и когомологиях. Характеристические классы векторных расслоений. Понятие группы K(X).

4. Вычислительные методы.

Основные понятия теории препятствий (препятствующий коцикл и первое препятствие к сечению расслоения). Спектральная последовательность в (ко)гомологиях расслоения. Формула Кюннета.

Когомологические операции. Оператор Бокштейна. Квадраты Стинрода. Алгебра Стинрода. Спектральная последовательность Адамса.

5. Обобщенные теории (ко)гомологий.

Бордизмы и кобордизмы. Операции Новикова-Ландвебера. Спектральная последовательность Адамса-Новикова. Формальные группы в кобордизмах и K-теории.

Среда, 16.45-18.20, 2 ГУМ, ауд.414

ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА • Большая российская энциклопедия

  • В книжной версии

    Том 7. Москва, 2007, стр. 387-388

  • Скопировать библиографическую ссылку:


Авторы: Е. С. Голод, Д. И. Пионтковский

ГОМОЛОГИ́ЧЕСКАЯ А́ЛГЕБРА, раз­дел ал­геб­ры, осн. объ­ек­том изу­че­ния ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся про­из­вод­ные функ­то­ры на разл. ка­те­го­ри­ях ал­геб­ра­ич. объ­ек­тов (см. Ка­те­го­рий тео­рия). В раз­ных раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки час­то воз­ни­ка­ют по­сле­до­ва­тель­но­сти го­мо­мор­физ­мов абе­ле­вых групп (или, бо­лее об­що, мо­ду­лей над коль­цом) $\require{AMScd}$ \begin{CD} C:\ldots C_{n+1} @>{d_{n+1}}>> C_n @>{d_n}>>C_{n-1} @>>> \ldots, \end{CD}в ко­то­рых по­сле­до­ва­тель­ное вы­пол­не­ние двух го­мо­мор­физ­мов да­ёт ну­ле­вой го­мо­мор­физм, т. е. для вся­ко­го $n$ об­раз $\text{im}\,d_{n+1}$ со­дер­жит­ся в яд­ре $\text{ker}\,d_n$. Та­кие по­сле­до­ва­тель­но­сти на­зы­ва­ют­ся ком­плек­са­ми.

При­ме­ра­ми по­сле­до­ва­тель­но­стей $C$ яв­ля­ют­ся по­сле­до­ва­тель­но­сти, в ко­то­рых группы $C_n$ по­рож­да­ют­ся про­стей­ши­ми гео­мет­рич. объ­ек­та­ми (сим­плек­са­ми, клет­ка­ми кле­точ­но­го ком­плек­са, син­гу­ляр­ны­ми сим­плек­са­ми то­по­ло­гич. про­стран­ст­ва), а го­мо­мор­физ­мы $d_n$ за­да­ют­ся пе­ре­хо­дом к гра­ни­цам со­от­вет­ст­вую­щих объ­ек­тов (см. n\text{rank}\,C_n$, где $\text{rank}\,C_n$ – ранг груп­пы $C_n$. Про­стей­шим, но не­три­ви­аль­ным ча­ст­ным слу­ча­ем это­го об­щего фак­та яв­ля­ет­ся тео­ре­ма Эй­ле­ра, со­стоя­щая в том, что в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве чис­ло вер­шин вы­пук­ло­го мно­го­гран­ни­ка ми­нус чис­ло его рё­бер плюс чис­ло гра­ней рав­но двум.

По­ня­тие ком­плек­са воз­ник­ло в 1920-е гг. как обоб­ще­ние важ­ных ин­ва­ри­ан­тов то­по­ло­гич. мно­го­об­ра­зий – чи­сел Бет­ти и ко­эф­фи­ци­ен­тов кру­че­ния, вве­дён­ных в кон. 19 в. в ра­бо­тах итал. ма­те­ма­ти­ка Э. Бет­ти и А. Пу­ан­ка­ре и яв­ляю­щих­ся од­ним из пер­вых ис­точ­ни­ков идей Г. а. Др. ис­точ­ни­ком ме­то­дов Г. а. яви­лась тео­рия рас­ши­ре­ний групп (раз­ви­тая в ра­бо­тах нем. ма­те­ма­ти­ка О. Шрай­е­ра в 1920-х гг.). Она при­ве­ла к по­строе­нию групп го­мо­ло­гий для групп, ас­со­циа­тив­ных ал­гебр, ал­гебр Ли и др. ал­геб­ра­ич. струк­тур (в наи­бо­лее об­щем ви­де – го­мо­ло­гий ал­гебр над опе­ра­да­ми). В ос­но­ве их по­строе­ния ле­жат спец. n=0$. Ана­ло­гич­ное ут­вер­жде­ние вер­но, ес­ли счи­тать $f_1,\ldots, f_m$ эле­мен­та­ми лю­бо­го мо­ду­ля над коль­цом мно­го­чле­нов от $n$ пе­ре­мен­ных, толь­ко по­сле­до­ва­тель­ность обор­вёт­ся на $(n+1)$-м ша­ге. На язы­ке точ­ных по­сле­до­ва­тель­но­стей эта тео­ре­ма оз­на­ча­ет, что у про­из­воль­но­го мо­ду­ля $M$ над коль­цом мно­го­чле­нов от $n$ пе­ре­мен­ных име­ет­ся ко­неч­ная сво­бод­ная ре­золь­вен­та т. е. точ­ная по­сле­до­ва­тель­ность сво­бод­ных мо­ду­лей $F_1, F_2,\ldots,$ в ко­то­рой мо­дуль $F_{n+1}$ мож­но вы­брать ну­ле­вым.

О мно­гих свой­ст­вах мо­ду­лей и ко­лец мож­но су­дить, зная толь­ко дли­ны со­от­вет­ст­вую­щих ре­золь­вент. Так, про­ек­тив­ная раз­мер­ность мо­ду­ля оп­ре­де­ля­ет­ся как дли­на его наи­мень­шей про­ек­тив­ной ре­золь­вен­ты. Гло­баль­ной раз­мер­но­стью коль­ца $R$ на­зы­ва­ет­ся точ­ная верх­няя грань про­ек­тив­ных раз­мер­но­стей $R$-мо­ду­лей. Гло­баль­ная раз­мер­ность рав­на ну­лю в точ­но­сти для клас­сич. по­лу­про­стых ко­лец. Ко­неч­ность гло­баль­ной раз­мер­но­сти ком­му­та­тив­но­го коль­ца в при­ме­не­нии к коль­цам функ­ций на ал­геб­ра­ич. мно­го­об­ра­зи­ях по­зво­ля­ет ха­ракте­ри­зо­вать те мно­го­об­ра­зия, все точ­ки ко­то­рых не­осо­бы.

Во мно­гих об­лас­тях совр. ма­те­ма­ти­ки ис­поль­зу­ет­ся на­гляд­ный язык Г. а., важ­ней­шим ин­ст­ру­мен­том ко­то­ро­го на­ря­ду с ком­плек­са­ми и точ­ны­ми по­сле­до­ва­тель­но­стя­ми слу­жат ком­му­та­тив­ные диа­грам­мы – ори­ен­ти­ро­ван­ные гра­фы, в ко­то­рых вер­ши­ны обо­зна­ча­ют рас­смат­ри­вае­мые объ­ек­ты, стрел­ки – их ото­бра­же­ния, при­чём ком­по­зи­ции ото­бра­же­ний, со­от­вет­ст­вую­щих двум пу­тям в гра­фе с об­щим на­ча­лом и кон­цом, сов­па­да­ют. Напр., диа­грам­ма $\require{AMScd}$ $$\begin{CD} F’_{\bullet} @>f_{\bullet}>> F_{\bullet}\\ @V V V @VV V\\ M’ @>f>> M \end{CD}$$ ил­лю­ст­ри­ру­ет тот факт, что лю­бое ото­бра­же­ние мо­ду­лей $f\!:M′\rightarrow M$ про­дол­жа­ет­ся до мор­физ­ма их сво­бод­ных ре­золь­вент $f_{\bullet}: F’_{\bullet}\rightarrow F_{\bullet}. $.

Пе­ре­ход от мо­ду­лей к ре­золь­вен­там яв­ля­ет­ся не­об­хо­ди­мым эта­пом об­щей опе­ра­ции пе­ре­хо­да от к.-л. ис­ход­но­го функ­то­ра к его про­из­вод­но­му функ­то­ру. Тео­рия про­из­вод­ных функ­то­ров бы­ла раз­ви­та в мо­но­гра­фии А. Кар­та­на и франц. ма­те­ма­ти­ка С. Эй­лен­бер­га «Ho­mo­logical Algebra» (1956). Ча­ст­ны­ми слу­чая­ми в об­щей тео­рии про­из­вод­ных функ­то­ров яв­ля­ют­ся как упо­мя­ну­тые вы­ше груп­пы го­мо­ло­гий в то­по­ло­гии и в ал­геб­ре, так и мн. кон­ст­рук­ции, воз­ни­каю­щие в ком­плекс­ном ана­ли­зе, ал­геб­ра­ической гео­мет­рии, тео­рии пред­став­ле­ний. Тео­рия про­из­вод­ных функ­то­ров по­зво­ли­ла уни­фи­ци­ро­вать под­ход к этим кон­ст­рук­ци­ям и при­ве­ла к соз­да­нию современного ап­па­ра­та про­из­вод­ных ка­те­го­рий.

Г. а. име­ет мно­го­числ. при­ме­не­ния в та­ких об­лас­тях ма­те­ма­ти­ки, как ал­геб­ра­ич. тео­рия чи­сел, ал­геб­раи­че­ская и диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия, то­по­ло­гия, тео­рия функ­ций мно­гих ком­плекс­ных пе­ре­мен­ных, тео­рия диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний в ча­ст­ных про­из­вод­ных, функ­цио­наль­ный ана­лиз, а так­же в тео­ре­тич. фи­зи­ке.

Гомологи. Гомологический ряд

Гомологи – это вещества близкие по строению и свойствам, которые
отличаются на одну или несколько групп – СН2.

Каждый класс органических соединений имеет свою общую формулу и для
каждого класса органических соединений можно составить их гомологический ряд.

Например, алканы имеют общую
формулу CnH2n+2, где n –
число атомов углерода, причём каждый член гомологического ряда будет отличаться
от предыдущего на группу – СН2. Такая последовательность соединений
называется гомологическим рядом (от греческого homolog – «сходный»), отдельные
члены этого ряда называются гомологами, а группа атомов, на которую
отличаются соседние гомологи (группа – СН2) – гомологической
разностью
.

Гомологический ряд легко построить, для этого нужно к каждому последующему
представителю добавить один атом углерода и 2 атома водорода, то есть группу –
СН2. Так, первым представителем алканов
является метан – СН4 содержит один атом углерода (Н – СН2
– Н). Второй член гомологического ряда, у которого 2 атома углерода – этан – С2Н6
(Н – СН2 – СН2 – Н). Третий член гомологического – С3Н8,  у него 3 атома углерода и он отличается
от предыдущего на группу – СН2 (Н – СН2 – СН2
– СН2 – Н). Четвёртый представитель гомологического ряда алканов также отличается от предыдущего на группу – СН2,
у него уже четыре атома углерода (Н – СН2 – СН2 – СН2
– СН2 – Н).

Понятно, что гомологи отличаются молярной массой, а значит физическими
свойствами. Как правило, с увеличение числа атомов углерода в молекуле
увеличиваются температуры кипения и плавления, увеличивается плотность.

Для алкенов характерна общая формула СnH2n. Первый член
гомологического ряда имеет формулу С2Н4 и называется этен, второй представитель алкенов
– пропен – С3Н6, третий –
бутен-1,четвёртый – пентен-1. И так далее, то есть в
данном гомологическом ряду также каждый последующий член гомологического ряда
отличается от предыдущего на группу – СН2.

Для алкинов также можно составить
гомологический ряд. Общая формула алкинов – СnH2n-2, поэтому первым
представителем этого ряда будет этин, али ацетилен –
С2Н2, вторым членом ряда является пропин
– С3Н4, третим – бутин-1 – С4Н6,
четвёртым – пентин-1 – С5Н8.

Общая формула спиртовСnH2n+1OH. Первым членом
гомологического ряда спиртов является метанол – СН3ОН, или метиловый
спирт, затем С2Н5ОН – этанол, или этиловый спирт, третьим
представителем ряда спиртов является пропанол-1, или пропиловый
спирт – С3Н7ОН, четвёртым – бутанол-1, или бутиловый
спирт – С4Н9ОН, пятым – пентанол-1, или амиловый спирт –
С5Н11ОН. Таким образом, в этом гомологическом ряду каждый
последующий представитель отличается от предыдущего на группу -СН2.

Составим гомологический ряд альдегидов. Учитывая, что общая формула альдегидов
С
nH2n+1CHO, то первым
представителем данного гомологического ряда будет метаналь,
или муравьиный альдегид – НСОН, вторым членом ряда – этаналь,
или уксусный альдегид – СН3СНО, третьим – пропаналь,
или пропионовый альдегид – СН3СН2СНО,
четвёртым – бутаналь, или масляный альдегид – СН3СН2СН2СНО
и так далее.

Аналогично и для карбоновых кислот. Так, общая формула насыщенных
одноосновных карбоновых кислот
CnH2n+1COOH. Поэтому первым
представителем данного гомологического ряда является метановая кислота, или
муравьиная – НСООН, вторым – этановая кислота, или
уксусная – СН3СООН, третьим – пропановая,
или пропионовая кислота – СН3СН2СООН,
четвёртым – бутановая, или масляная кислота – СН3СН2СН2СООН,
пятым – пентановая, или валериановая кислота – СН3СН2СН2СН2СООН.

Таким образом, для каждого класса органических соединений можно составить
гомологический ряд, учитывая общую формулу данного класса. Каждый последующий
член гомологического ряда отличается от предыдущего на группу – СН2,
которую называют гомологической разность. А сами вещества этого ряда называются
гомологами. Как правило, с увеличением числа атомов углерода в гомологическом
ряду увеличиваются температуры плавления и кипения, увеличивается плотность.

Алгоритм сегментации изображений на основе персистентной гомологии для решения задач поиска дефектов | Еремеев

1. Илющенко А. В. Анализ методов обработки изображений пиломатериалов, имеющих пороки и дефекты // Известия Санкт-Петербургской лесотехнической академии. 2017. № 218. С. 153–163.

2. Цапаев А. П., Кретинин О. В. Методы сегментации изображений в задачах обнаружения дефектов поверхности // Компьютерная оптика. 2012. № 36(3). С. 448–452.

3. Badrinarayanan V., Kendall A., Cipolla R. A Deep Convolutional Encoder-Decoder Architecture for Image Segmentation // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 2017. Vol. 39. P. 2481–2495.

4. Learning Video Object Segmentation from Static Images / F. Perazzi, A. Khoreva, R. Benenson, B. Schiele, A. Sorkine-Hornung // IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR). 2017. P. 2663–2672.

5. Panoptic Segmentation / A. Kirillov, K. He, R. Girshick, C. Rother, P. Dollar // The IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR). 2019. P. 94049413.

6. A multi-scale 3D Otsu thresholding algorithm for medical image segmentation / Y. Feng, H. Zhao, X. Li, X. Zhang, H. Li // Digital Signal Processing. 2017. Vol. 60. P. 186–199.

7. Head and neck target delineation using a novel PET automatic segmentation algorithm / B. Berthon, M. Evans, C. Marshall, N. Palaniappan, N. Cole, V. Jayaprakasam, T. Rackley, E. Spezi // Radiotherapy and Oncology. 2017. Vol. 122. P. 242–247.

8. Real-Time Superpixel Segmentation by DBSCAN Clustering Algorithm / J. Shen, X. Hao, Z. Liang, Y. Liu, W. Wang, L. Shao // IEEE Transactions on Image Processing. 2016. Vol. 25. P. 5933–5942.

9. Еремеев С.В., Андрианов Д.Е., Титов В.С. Алгоритм совмещения пространственных объектов разномасштабных карт на основе топологического анализа данных // Компьютерная оптика. 2019. № 43(6). С. 1021–1029.

10. Андрианов Д. Е., Еремеев С. В., Купцов К. В. Алгоритм семантической классификации пространственных объектов и сцен с использованием топологических признаков и классификатора random forest на многомасштабных картах // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии. 2018. № 4. С. 8–18.

11. Eremeev S., Seltsova E. Algorithms for Topological Analysis of Spatial Data // Advances in Intelligent Systems and Computing. 2020. Vol. 902. P. 81 – 92.

12. Еремеев С.В., Сельцова Е.А. Алгоритм топологического анализа пространственных структур в геоинформационных системах // Алгоритмы, методы и системы обработки данных. 2017. № 1. С. 16–27.

13. Edelsbrunner H. , Harer J. Computational topology. An introduction. AMS, Providence. 2010.

14. Kurlin V. A fast persistence-based segmentation of noisy 2d clouds with provable guarantees // Pattern Recognition Letters. 2016. Vol. 83. P. 3–12.

15. Распознавание текстур на цифровых изображениях методами вычислительной топологии / Н.Г. Макаренко, Ф.А. Уртьев, И.С. Князева, Д.Б. Малкова, И.Т. Пак, Л.М. Каримова // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса. 2015. № 12(1). С. 131-144.

16. Eremeev S., Kuptsov K., Romanov S. An approach to establishing the correspondence of spatial objects on heterogeneous maps based on methods of computational topology // Lecture Notes in Computer Science. 2018. Vol. 10716. P. 172–182.

17. Алгоритм идентификации пространственных объектов растровой карты на основе топологического анализа данных / С.В. Еремеев, Д.Е. Андрианов, К.В. Купцов, Ю.А. Ковалев // Телекоммуникации. 2017. № 7. С. 39–44.

18. Room segmentation: Survey, implementation, and analysis / R. Bormann, F. Jordan, W. Li, J. Hampp, M Hägele // IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA). 2016. P. 1018–1026.

19. El-Khatib S., Skobtsov Y., Rodzin S. Theoretical and Experimental Evaluation of Hybrid ACO-k-means Image Segmentation Algorithm for MRI Images Using Drift-analysis // Procedia Computer Science. 2019. Vol. 150. P. 324–332.

20. Kavzoglu T., Tonbul H. A comparative study of segmentation quality for multiresolution segmentation and watershed transform // 8th International Conference on Recent Advances in Space Technologies (RAST). 2017. P. 113–117.

Таблица Сравнение понятий изомер и гомолог. Функциональные группы классов органических веществ (вини

Цена

Артикул:

Текст:

Выберите категорию:
Все
ДОСКИ АУДИТОРНЫЕ, МОЛЬБЕРТЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

» Доски аудиторные

»» Одноэлементные

»» Трехэлементные

»» Пятиэлементные

»» Напольно — поворотные доски

»» Мольберты

»»» Односторонние

»»» Двухсторонние

»» Доски для объявлений (пробковые)

» Классные инструменты

УЧЕНИЧЕСКАЯ МЕБЕЛЬ

» Мебель для учебных классов и аудиторий

»» Столы ученические

»»» Столы двухместные нерегулируемые

»»» Столы двухместные регулируемые

»»» Столы одноместные нерегулируемые

»»» Столы одноместные регулируемые

»» Столы преподавателей, руководителей

»»» Столы преподователя

»»» Столы руководителя

»» Стулья

»»» Стулья нерегулируемые

»»» Стулья регулируемые

»» Шкафы

»»» Шкаф для журналов

»»» Шкаф с выдвижными полками

»»» Шкаф стеллаж

»»» Шкаф тумба

»»» Шкафы для одежды

»»» Шкафы для учебных пособий

» Мебель для специализиованных классов

»» Мебель для кабинета трудового обучения

»»» Верстаки слесарные

»»» Верстаки столярные

»»» Верстаки комбинированные

»»» Табуреты

»»» Защитные перегородки

»» Мебель для кабинета физики

»»» Столы демонстрационные

»»» Столы лабораторные

»»» Зоны демонстрационные

»» Мебель для кабинета химии

»»» Вытяжные шкафы

»»» Зоны демонстрационные

»»» Столы демонстрационные

»»» Столы лабораторные

»»» Столы лаборантские

»»» Тумбы-мойки

»» Мебель для кабинета черчения и рисования

»»» Столы для черчения

»» Мебель для компьютерного класса

»»» Столы компьютерные

»» Мебель для лингафонного кабинета

»»» Столы для лингафонного кабинета

»» Мебель для логопеда

»»» Столы для логопеда

»» Мебель для спортивного зала

»»» Теннисные столы

» Мебель для столовой

»» Столы обеденные для столовой

»» Табуреты для столовой

» Мебель для библиотеки

»» Стол аудиторный

»» Стол-барьер

»» Шкафы

» Мебель для актового зала

»» Блоки стульев

»»» Неоткидные

»»» Откидные

»»» С пюпитрами

»» Подставка-кафедра для актовых залов

» Мебель для гардеробов и холлов

»» Банкетки для гардеробных

»» Вешалки напольные для гардеробных

»» Настенные вешалки для гардеробных

» Кровати и прикроватные тумбы

»» Кровати

»» Тумбы прикроватные

ДЕТСКАЯ МЕБЕЛЬ

» Столы

» Стульчики

» Дидактические столы и стеллажи

» Детские стенки

» Игровая мебель

» В кабинет естествознания

» Для приема пищи

» Для спален

» Для ИЗО, мольберты

» Для туалетной комнаты

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

» ФИЗИКА

»» Электричество. Электродинамика и оптика

»» Механика

»» Механические колебания и волны

»» Модели

»» Молекулярная физика и термодинамика

»» Приборы и принадлежности общего назначения

»» Приборы лабораторные

»» Технические средства обучения

»» Комплекты ГИА по физике

»» ГИА лаборатории по физике

» ХИМИЯ

»» Демонстрационные приборы

»» Коллекции

»» Модели

»» Приборы для лабораторных и практических работ

»» Приборы общего назначения

»» Специализированные приборы

»» Технические средства обучения

» БИОЛОГИЯ

»» Гербарии

»» Коллекции

»» Микропрепараты

»» Модели объемные

»» Модели остеологические (скелеты)

»» Муляжи

»» Приборы лабораторные

Производитель:
ВсеСветочтестовый произодительШкольный мир

Новинка:
Вседанет

Спецпредложение:
Вседанет

Результатов на странице:
5203550658095

Найти

ХиМиК.

ru — ГОМОЛОГИЧЕСКИЙ РЯД — Химическая энциклопедия

ГОМОЛОГИЧЕСКИЙ РЯД, последовательность орг. соед. с одинаковыми
функц. группами и однотипным строением, каждый член к-рой отличается от
соседнего на постоянную структурную единицу (гомологич. разность), чаще
всего метиленовую группу —СН2—. Члены гомологического ряда наз. гомологами.
Примеры гомологического ряда: ряд алканов (общая ф-ла СnН2n+2)-метан
СН4, этан С2Н6, пропан С3Н8
и т.д.; алкенов (СnН2n)-этилен С2Н4,
пропилен С3Н8 и т.д.; одноосновных насыщ. спиртов
nН2n+1ОН)-метанол СН3ОН, этанол С2Н5ОН,
пропанол С3Н7ОН и т.д.

В полимергомологич. рядах различие между однотипными макромолекулами
определяется кол-вом слагающих их мономерных звеньев, напр. групп —CF2
в политетрафторэтилене, —СНС1СН2— в поливинилхлориде. Последовательность
соед. с сопряженными двойными связями, каждый член к-рой отличается от
соседнего на группу —СН=СН—, образует т. наз. винилогич. ряд (см. Виниюгия).

В гомологических рядах многие физ. св-ва закономерно изменяются. Напр., г-ры кипения
в середине ряда соед. с неразветвленной цепью (С514)
различаются у соседних гомологов на 20-30°С; гомологич. разности —СН2
соответствует возрастание теплоты сгорания на 630-640 кДж/моль и молекулярной
рефракции на 4,6 для D-линии натрия. У высших членов гемологического ряда
эти различия постепенно сглаживаются.

При общности для членов одного гомологического ряда многих хим. св-в и способов получения
им иногда присущи различия. Особенно заметны отклонения от типичных св-в
у первых членов гомологического ряда. Так, малоновая к-та НООССН2СООН легко
декарбоксилируется при нагр. , тогда как соседний с ней член ряда-янтарная
к-та НООССН2СН2СООН в аналогичных условиях образует
циклич. ангидрид. Константа диссоциации муравьиной к-ты НСООН примерно
в 12 раз больше, чем уксусной СН3СООН и др. ее гомологов. Метанол
СН3ОН по токсичности резко отличается от остальных спиртов своего
гомологического ряда. Формальдегид СН2О при действии щелочи претерпевает р-цию
Канниццаро, остальные альдегиды жирного ряда в этих условиях осмоляются.

К понятию гомологического ряда близко примыкают понятия об изологич. и генетич. рядах.
Изологич. р я д — последовательность соед. с одинаковыми функц. группами,
но с возрастающей ненасыщенностью (изологич. разность — 2Н). Примеры: этан-
этилен-ацетилен; циклогексан-циклогексен-циклогексадиен-бензол. Генетич.
ряд содержит соед. с одинаковым числом атомов углерода, но разными функц.
группами, напр. этан -этилхлорид- этанол — ацетальдегид — уксусная к-та.

===
Исп. литература для статьи «ГОМОЛОГИЧЕСКИЙ РЯД»: Жданов Ю. А., Гомология в органической химии, [М.],

1950.

Страница «ГОМОЛОГИЧЕСКИЙ РЯД» подготовлена по материалам химической энциклопедии.

46 — норма?. Считаем хромосомы: сколько человеку для счастья нужно

Прожиточный оптимум

Сначала договоримся о терминологии. Окончательно человеческие хромосомы посчитали чуть больше полувека назад — в 1956 году. С тех пор мы знаем, что в соматических, то есть не половых клетках, их обычно 46 штук — 23 пары.

Хромосомы в паре (одна получена от отца, другая — от матери) называют гомологичными. На них расположены гены, выполняющие одинаковые функции, однако нередко различающиеся по строению. Исключение составляют половые хромосомы — Х и Y, генный состав которых совпадает не полностью. Все остальные хромосомы, кроме половых, называют аутосомами.

Количество наборов гомологичных хромосом — плоидность — в половых клетках равно одному, а в соматических, как правило, двум.

Интересно, что не у всех видов млекопитающих число хромосом постоянно. Например, у некоторых представителей грызунов, собак и оленей обнаружили так называемые В-хромосомы. Это небольшие дополнительные хромосомы, в которых практически нет участков, кодирующих белки, а делятся и наследуются они вместе с основным набором и, как правило, не влияют на работу организма. Полагают, что В-хромосомы — это просто удвоенные фрагменты ДНК, «паразитирующие» на основном геноме.

У человека до сих пор В-хромосомы обнаружены не были. Зато иногда в клетках возникает дополнительный набор хромосом — тогда говорят о полиплоидии, а если их число не кратно 23 — об анеуплоидии. Полиплоидия встречается у отдельных типов клеток и способствует их усиленной работе, в то время как анеуплоидия обычно свидетельствует о нарушениях в работе клетки и нередко приводит к ее гибели.

Делиться надо честно

Чаще всего неправильное количество хромосом является следствием неудачного деления клеток. В соматических клетках после удвоения ДНК материнская хромосома и ее копия оказываются сцеплены вместе белками когезинами. Потом на их центральные части садятся белковые комплексы кинетохоры, к которым позже прикрепляются микротрубочки. При делении по микротрубочкам кинетохоры разъезжаются к разным полюсам клетки и тянут за собой хромосомы. Если сшивки между копиями хромосомы разрушатся раньше времени, то к ним могут прикрепиться микротрубочки от одного и того же полюса, и тогда одна из дочерних клеток получит лишнюю хромосому, а вторая останется обделенной.

Деление при образовании половых клеток (мейоз) устроено более сложно. После удвоения ДНК каждая хромосома и ее копия, как обычно, сшиты когезинами. Затем гомологичные хромосомы (полученные от отца и матери), а точнее их пары, тоже сцепляются друг с другом, и получается так называемая тетрада, или четверка. А дальше клетке предстоит поделиться два раза. В ходе первого деления расходятся гомологичные хромосомы, то есть дочерние клетки содержат пары одинаковых хромосом. А во втором делении эти пары расходятся, и в результате половые клетки несут одинарный набор хромосом.

Мейоз тоже нередко проходит с ошибками. Проблема в том, что конструкция из сцепленных двух пар гомологичных хромосом может перекручиваться в пространстве или разделяться в неположенных местах. Результатом снова будет неравномерное распределение хромосом. Иногда половой клетке удается это отследить, чтобы не передавать дефект по наследству. Лишние хромосомы часто неправильно уложены или разорваны, что запускает программу гибели. Например, среди сперматозоидов действует такой отбор по качеству. А вот яйцеклеткам повезло меньше. Все они у человека образуются еще до рождения, готовятся к делению, а потом замирают. Хромосомы уже удвоены, тетрады образованы, а деление отложено. В таком виде они живут до репродуктивного периода. Дальше яйцеклетки по очереди созревают, делятся первый раз и снова замирают. Второе деление происходит уже сразу после оплодотворения. И на этом этапе проконтролировать качество деления уже сложно. А риски больше, ведь четыре хромосомы в яйцеклетке остаются сшитыми в течение десятков лет. За это время в когезинах накапливаются поломки, и хромосомы могут спонтанно разделяться. Поэтому чем старше женщина, тем больше вероятность неправильного расхождения хромосом в яйцеклетке.

Анеуплоидия в половых клетках неизбежно ведет к анеуплоидии зародыша. При оплодотворении здоровой яйцеклетки с 23 хромосомами сперматозоидом с лишней или недостающей хромосомами (или наоборот) число хромосом у зиготы, очевидно, будет отлично от 46. Но даже если половые клетки здоровы, это не дает гарантий здорового развития. В первые дни после оплодотворения клетки зародыша активно делятся, чтобы быстро набрать клеточную массу. Судя по всему, в ходе быстрых делений нет времени проверять корректность расхождения хромосом, поэтому могут возникнуть анеуплоидные клетки. И если произойдет ошибка, то дальнейшая судьба зародыша зависит от того, в каком делении это случилось. Если равновесие нарушено уже в первом делении зиготы, то весь организм вырастет анеуплоидным. Если же проблема возникла позже, то исход определяется соотношением здоровых и аномальных клеток.

Часть последних может дальше погибнуть, и мы никогда не узнаем об их существовании. А может принять участие в развитии организма, и тогда он получится мозаичным — разные клетки будут нести разный генетический материал. Мозаицизм доставляет немало хлопот пренатальным диагностам. Например, при риске рождения ребенка с синдромом Дауна иногда извлекают одну или несколько клеток зародыша (на той стадии, когда это не должно представлять опасности) и считают в них хромосомы. Но если зародыш мозаичен, то такой метод становится не особенно эффективным.

Третий лишний

Все случаи анеуплоидии логично делятся на две группы: недостаток и избыток хромосом. Проблемы, возникающие при недостатке, вполне ожидаемы: минус одна хромосома означает минус сотни генов.

Расположение хромосом в ядре клетки человека (хромосомные территории). Изображение: Bolzer et al., 2005 / Wikimedia Commons / CC BY 2.5

Если гомологичная хромосома работает нормально, то клетка может отделаться только недостаточным количеством закодированных там белков. Но если среди оставшихся на гомологичной хромосоме генов какие-то не работают, то соответствующих белков в клетке не появится совсем.

В случае избытка хромосом все не так очевидно. Генов становится больше, но здесь — увы — больше не значит лучше.

Во-первых, лишний генетический материал увеличивает нагрузку на ядро: дополнительную нить ДНК нужно разместить в ядре и обслужить системами считывания информации.

Ученые обнаружили, что у людей с синдромом Дауна, чьи клетки несут дополнительную 21-ю хромосому, в основном нарушается работа генов, находящихся на других хромосомах. Видимо, избыток ДНК в ядре приводит к тому, что белков, поддерживающих работу хромосом, не хватает на всех.

Во-вторых, нарушается баланс в количестве клеточных белков. Например, если за какой-то процесс в клетке отвечают белки-активаторы и белки-ингибиторы и их соотношение обычно зависит от внешних сигналов, то дополнительная доза одних или других приведет к тому, что клетка перестанет адекватно реагировать на внешний сигнал. И наконец, у анеуплоидной клетки растут шансы погибнуть. При удвоении ДНК перед делением неизбежно возникают ошибки, и клеточные белки системы репарации их распознают, чинят и запускают удвоение снова. Если хромосом слишком много, то белков не хватает, ошибки накапливаются и запускается апоптоз — программируемая гибель клетки. Но даже если клетка не погибает и делится, то результатом такого деления тоже, скорее всего, станут анеуплоиды.

Жить будете

Если даже в пределах одной клетки анеуплоидия чревата нарушениями работы и гибелью, то неудивительно, что целому анеуплоидному организму выжить непросто. На данный момент известно только три аутосомы — 13, 18 и 21-я, трисомия по которым (то есть лишняя, третья хромосома в клетках) как-то совместима с жизнью. Вероятно, это связано с тем, что они самые маленькие и несут меньше всего генов. При этом дети с трисомией по 13-й (синдром Патау) и 18-й (синдром Эдвардса) хромосомам доживают в лучшем случае до 10 лет, а чаще живут меньше года. И только трисомия по самой маленькой в геноме, 21-й хромосоме, известная как синдром Дауна, позволяет жить до 60 лет.

Совсем редко встречаются люди с общей полиплоидией. В норме полиплоидные клетки (несущие не две, а от четырех до 128 наборов хромосом) можно обнаружить в организме человека, например в печени или красном костном мозге. Это, как правило, большие клетки с усиленным синтезом белка, которым не требуется активное деление.

Дополнительный набор хромосом усложняет задачу их распределения по дочерним клеткам, поэтому полиплоидные зародыши, как правило, не выживают. Тем не менее описано около 10 случаев, когда дети с 92 хромосомами (тетраплоиды) появлялись на свет и жили от нескольких часов до нескольких лет. Впрочем, как и в случае других хромосомных аномалий, они отставали в развитии, в том числе и умственном. Однако многим людям с генетическими аномалиями приходит на помощь мозаицизм. Если аномалия развилась уже в ходе дробления зародыша, то некоторое количество клеток могут остаться здоровыми. В таких случаях тяжесть симптомов снижается, а продолжительность жизни растет.

Гендерные несправедливости

Однако есть и такие хромосомы, увеличение числа которых совместимо с жизнью человека или даже проходит незаметно. И это, как ни удивительно, половые хромосомы. Причиной тому — гендерная несправедливость: примерно у половины людей в нашей популяции (девочек) Х-хромосом в два раза больше, чем у других (мальчиков). При этом Х-хромосомы служат не только для определения пола, но и несут более 800 генов (то есть в два раза больше, чем лишняя 21-я хромосома, доставляющая немало хлопот организму). Но девочкам приходит на помощь естественный механизм устранения неравенства: одна из Х-хромосом инактивируется, скручивается и превращается в тельце Барра. В большинстве случаев выбор происходит случайно, и в ряде клеток в результате активна материнская Х-хромосома, а в других — отцовская. Таким образом, все девочки оказываются мозаичными, потому что в разных клетках работают разные копии генов. Классическим примером такой мозаичности являются черепаховые кошки: на их Х-хромосоме находится ген, отвечающий за меланин (пигмент, определяющий, среди прочего, цвет шерсти). В разных клетках работают разные копии, поэтому окраска получается пятнистой и не передается по наследству, так как инактивация происходит случайным образом.

Кошка черепахового окраса. Фото: Lisa Ann Yount / Flickr / Public domain

В результате инактивации в клетках человека всегда работает только одна Х-хромосома. Этот механизм позволяет избежать серьезных неприятностей при Х-трисомии (девочки ХХХ) и синдромах Шерешевского — Тернера (девочки ХО) или Клайнфельтера (мальчики ХХY). Таким рождается примерно один из 400 детей, но жизненные функции в этих случаях обычно не нарушены существенно, и даже бесплодие возникает не всегда. Сложнее бывает тем, у кого хромосом больше трех. Обычно это значит, что хромосомы не разошлись дважды при образовании половых клеток. Случаи тетрасомии (ХХХХ, ХХYY, ХХХY, XYYY) и пентасомии (XXXXX, XXXXY, XXXYY, XXYYY, XYYYY) встречаются редко, некоторые из них описаны всего несколько раз за всю историю медицины. Все эти варианты совместимы с жизнью, и люди часто доживают до преклонных лет, при этом отклонения проявляются в аномальном развитии скелета, дефектах половых органов и снижении умственных способностей. Что характерно, дополнительная Y-хромосома сама по себе влияет на работу организма несильно. Многие мужчины c генотипом XYY даже не узнают о своей особенности. Это связано с тем, что Y-хромосома сильно меньше Х и почти не несет генов, влияющих на жизнеспособность.

У половых хромосом есть и еще одна интересная особенность. Многие мутации генов, расположенных на аутосомах, приводят к отклонениям в работе многих тканей и органов. В то же время большинство мутаций генов на половых хромосомах проявляется только в нарушении умственной деятельности. Получается, что в существенной степени половые хромосомы контролируют развитие мозга. На основании этого некоторые ученые высказывают гипотезу, что именно на них лежит ответственность за различия (впрочем, не до конца подтвержденные) между умственными способностями мужчин и женщин.

Кому выгодно быть неправильным

Несмотря на то что медицина знакома с хромосомными аномалиями давно, в последнее время анеуплоидия продолжает привлекать внимание ученых. Оказалось, что более 80% клеток опухолей содержат необычное количество хромосом. С одной стороны, причиной этому может служить тот факт, что белки, контролирующие качество деления, способны его затормозить. В опухолевых клетках часто мутируют эти самые белки-контролеры, поэтому снимаются ограничения на деление и не работает проверка хромосом. С другой стороны, ученые полагают, что это может служить фактором отбора опухолей на выживаемость. Согласно такой модели, клетки опухоли сначала становятся полиплоидными, а дальше в результате ошибок деления теряют разные хромосомы или их части. Получается целая популяция клеток с большим разнообразием хромосомных аномалий. Большинство из них нежизнеспособны, но некоторые могут случайно оказаться успешными, например если случайно получат дополнительные копии генов, запускающих деление, или потеряют гены, его подавляющие. Однако если дополнительно стимулировать накопление ошибок при делении, то клетки выживать не будут. На этом принципе основано действие таксола — распространенного лекарства от рака: он вызывает системное нерасхождение хромосом в клетках опухоли, которое должно запускать их программируемую гибель.

Получается, что каждый из нас может оказаться носителем лишних хромосом, по крайней мере в отдельных клетках. Однако современная наука продолжает разрабатывать стратегии борьбы с этими нежеланными пассажирами. Одна из них предлагает использовать белки, отвечающие за Х-хромосому, и натравить, например, на лишнюю 21-ю хромосому людей с синдромом Дауна. Сообщается, что на клеточных культурах этот механизм удалось привести в действие. Так что, возможно, в обозримом будущем опасные лишние хромосомы окажутся укрощены и обезврежены.

 Полина Лосева

гр. Теория групп — Понимание функториальности гомологии групп

РЕДАКТИРОВАТЬ: Я решил перефразировать свой вопрос, чтобы он был более кратким и конкретным. \ # F_ \ bullet ‘$ — морфизм комплексов $ G $ -модулей, расширяющий тождество на $ \ mathbb {Z} $.\ # M ‘$?

Я пытался убедить себя в эквивалентности, с которой у меня был небольшой успех, хотя я был бы признателен, если бы эксперты могли набросать, как они увидят, что эти два определения эквивалентны (разные точки зрения всегда важны) , или, возможно, объясните, почему это очевидно из некоторых стандартных фактов, которые мне не хватает. Ссылки, которые объясняют это, также будут оценены.

НАЧАТЬ СТАРЫЙ ВОПРОС

Я пытаюсь понять описание Вейбелем действия сопряжения на гомологии групп (это p190 в его «Введение в гомологическую алгебру»).{-1}]} A \ qquad x \ otimes a \ mapsto gx \ otimes ga $$

Почему это вычисляет морфизм $ \ zeta _ * \ circ (\ mu_g) _ * $?

Моя модель происходящего следующая. Предположим, у вас есть точный справа функтор $ F: \ mathcal {A} \ rightarrow \ mathcal {B} $, где $ \ mathcal {A} $ имеет достаточно проективов. Тогда для морфизма $ f: X \ rightarrow Y $ в $ \ mathcal {A} $ можно вычислить $ L_iF (f) $, выбрав проективные разрешения $ P_ \ bullet \ rightarrow X $ и $ Q_ \ bullet \ rightarrow Y $, расширяя $ f $ до морфизма комплексов $ f_ \ bullet: P_ \ bullet \ rightarrow Q_ \ bullet $ (единственный с точностью до гомотопии), применяя $ F $ к $ f_ \ bullet $ и принимая индуцированные отображения на гомологиях .(Грубо говоря, это работает, потому что в производной категории вычисляется все, заменяя то, что нас интересует, проективными разрешениями.)

Однако, похоже, это не имеет прямого отношения к ситуации Вейбеля, поскольку у нас работает несколько $ \ delta $ -функций. Я был бы очень признателен, если бы эксперт мог более четко описать мне ситуацию.

гр. Теория групп — Гомологии первой группы с общими коэффициентами

В тривиальном случае абелианизация происходит от короткой точной последовательности

$ 0 \ to J \ to \ mathbb {Z} G \ to \ mathbb {Z} \ to 0 $

, где $ J $ — идеал увеличения.Гомологии $ H _ * (G, -) $ являются производными функторами и дают длинную точную последовательность в гомологиях, которая, поскольку $ H_1 (\ mathbb {Z} G, \ mathbb {Z}) $ всегда тривиальна, дает четыре термин точная последовательность, которая выглядит как

$ 0 \ to H_1 (G, \ mathbb {Z}) \ to J_G \ to (\ mathbb {Z} G) _G \ to \ mathbb {Z} \ to 0 $

Здесь нижний индекс $ -_ G $ просто означает коинвариантный функтор, из которого получена гомология: $ M_G $ — это фактор $ M $ по подмодулю, порожденному $ gm — m $ для всех $ m \ in M ​​$. Нетрудно проверить, что $ (\ mathbb {Z} G) _G \ to \ mathbb {Z} $ — изоморфизм, так что $ H_1 (G, \ mathbb {Z}) $ изорморфен $ J_G $, что это, в свою очередь, абелианизация.Все это классическое и написано на языке Brown, Weibel или, возможно, даже Mac Lane, с которым вы можете ознакомиться для более подробной информации.

С другой стороны, топологически нетрудно доказать, что $ H_1 (G, \ mathbb {Z}) $ — это просто гомология топологического классифицирующего пространства с $ G $ в качестве его фундаментальной группы и высшие гомотопические группы которого тривиальны, и из алгебраической топологии мы знаем, что $ H_1 $ этого пространства есть $ G / [G, G] $.

Если $ M $ не является тривиальным модулем $ G $, то вы, вероятно, не получите такого хорошего описания, как для когомологий, потому что тензорное произведение не так хорошо, как в этом случае, как множество Hom.Комментарий Энди по поводу выводов / основных выводов исходит из (или, по крайней мере, морально) из резольвенты стержня, которая для любой группы $ G $ является свободной $ \ mathbb {Z} G $ резольвентой $ \ mathbb {Z} $. Это замечательно, потому что гомологии — это просто производный функтор $ \ mathbb {Z} \ otimes _ {\ mathbb {Z} G} — $, что имеет смысл, потому что $ -_ G $ точен справа и коммутирует с произвольными прямыми суммами.

Так что вы все еще можете разработать своего рода аналог описания для когомологий. Если вы действительно используете линейное разрешение, вы получите, что $ H_1 (G, M) $ для произвольного правого $ G $ -модуля $ M $ — это просто гомология $ \ mathrm {ker} (d) / \ mathrm {im} (d) $ (злоупотребление обозначениями, использование того же $ d $) комплекса

$ M \ otimes B_2 \ xrightarrow {1 \ otimes d} M \ otimes B_1 \ xrightarrow {1 \ otimes d} M \ otimes \ mathbb {Z} G $

, где тензор берется по $ \ mathbb {Z} G $.Модуль $ B_1 $ — это свободный модуль $ G $ на символах $ [g_1] $ для $ g_1 \ in G $ и $ g_1 \ not = 1 $. Если мы допустим тождество $ [] \ in \ mathbb {Z} G $, то $ d ([g_1]) = g_1 [] — [] $. Аналогично, $ B_2 $ — это бесплатный модуль $ G $ на $ [g_1 | g_2] $, где ни один из них не является тождественным, и $ d ([g_1 | g_2]) = g_1 [g_2] — [g_1g_2] + [g_1] $ . Здесь $ [g_1g_2] = 0 $, если $ g_1g_2 = 1 $ в группе. То же самое можно сделать для левых $ G $ -модулей, сформировав аналогичное правое свободное разрешение $ G $ -модуля для $ \ mathbb {Z} $.

Мы также могли использовать ненормализованное разрешение полосы; несмотря на это, теперь верно, что это просто комплекс, каждый член которого представляет собой прямую сумму копий $ M $, но трудность состоит в том, чтобы определить, какими именно граничные формулы оказываются.{i} \ partial_i $, здесь $ \ partial ((g_0, g_1, \ ldots, g_n)) = (g_0, g_1, \ ldots, g_ {i-1}, g_ {i + 1}, \ ldots, g_n $ Теперь определим группы относительных гомологий $ H _ {*} (G, H; \ mathbb {Z}) $ как группы гомологий цепного комплекса $ (D _ {*}, \ tilde \ partial) $, где

$ D_n: = C_ {n-1} (H) \ oplus C_ {n} (G) $
а также
$ \ tilde \ partial = \ begin {bmatrix} \ partial & 0 \\ i_ * & — \ partial \ end {bmatrix}. $

В статье Объем и инвариант Черна – Саймонса представления доказывается в теореме $ 2.{\ infty} $ выглядит следующим образом:
Возьмите $ F_i = D_ {i + 1} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} [G] $ для $ i \ geq 1 $ и $ F_0 = \ ker (D_1 \ to D_0) \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} [G].

долл. США

Чтобы доказать, что $ (F ​​_ {*}, \ delta) $ является свободной резольвентой $ K $, достаточно доказать, что коядро отображения $ F_1 \ to F_0 $ изоморфно $ K $. Они пишут, что образ $ F_1 \ to F_0 $ является ядром отображения $ F_0 \ cong C_1 (G) \ xrightarrow {\ partial} C_0 (G) \ xrightarrow {\ pi} C_0 (G / H) $ и вот где я застрял в .

Ниже приведены расчеты, которые я проделал, чтобы найти образ $ F_1 \ to F_0 $ (на протяжении всего обсуждения все $ G $ -модули являются правильными $ G $ -модулями):

\ begin {align}
& \ delta \ big ((n (h, 1) \ otimes 1, m (g_1, g_2,1) \ otimes 1) \ otimes g \ big) \\
& = \ delta \ big ((n (h, 1) \ otimes 1, m (g_1, g_2,1) \ otimes 1) \ big) \ otimes g \\
& = \ big (n (1-h) \ otimes 1, n (h, 1) \ otimes 1 -m (g_2,1) \ otimes 1 + m (g_1,1) \ otimes 1 -m (g_1, g_2 ) \ временами 1) \ большими) \ временами g \\
& = (0, n (h, 1) \ otimes 1 -m (g_2,1) \ otimes 1 + m (g_1,1) \ otimes 1 -m (g_1g_2 ^ {- 1}, 1) \ otimes 1) \ otimes g.{-1} g, g) ~ | ~ h \ in H, g_1, g_2, g \ in G, n, m \ in \ mathbb {Z} \} $.

Теперь я не вижу причин, по которым множество $ S $ отображается в $ 0 $ при отображении $ \ pi \ circ \ partial: C_1 (G) \ to C_0 (G / H) $.

Чтобы понять это, я уже задавал вопросы 1 и 2 по математике на StackExchange.

Я не вижу, где делаю ошибки. Пожалуйста, помогите мне разобраться.

По сути, я должен доказать, что последовательность $ F_1 \ to F_0 \ cong C_1 (G) \ to K $ точна в $ C_1 (G) $

Теорема об универсальных коэффициентах для групповых гомологий и когомологий

В литературе вы найдете UCT только для тривиальных групповых действий, потому что не существует общего UCT для нетривиальных групповых действий :

Общая формула Куннета не верна для произвольных групп и действий.Но это справедливо довольно часто, и я подробно остановился на этом здесь: формула Кеннета для групповых когомологий с нетривиальным действием на коэффициент.

Теперь UCT, который связывает $ H _ * (G, M) $ с $ H _ * (G, \ mathbb {Z}) $, следует только из формулы Куннета для тривиальных групповых действий . Теорема Куннета рассматривает тензорное произведение $ C _ * \ otimes D _ * $ двух цепных комплексов, а частным случаем UCT является $ D _ * = M $ для некоторого $ R $ -модуля. Чтобы гарантировать, что изображения граничных карт являются $ R $ -проективными, необходимы некоторые дополнительные предположения (например, $ R $ — это PID).Для групповых гомологий мы работаем с $ F _ * \ otimes _ {\ mathbb {Z} G} M $, где $ F _ * $ — свободное разрешение $ \ mathbb {Z} $ как $ \ mathbb {Z} G $ — модуль. Мы не можем взять $ R = \ mathbb {Z} G $ (иначе предположение о границах означало бы, что все группы гомологий тривиальны), поэтому мы берем $ R = \ mathbb {Z} $. Но тогда $ M $ должен быть тривиальным как $ \ mathbb {Z} G $ -модуль, чтобы выразить $ F _ * \ otimes _ {\ mathbb {Z} G} M $ как $ C _ * \ otimes_ \ mathbb {Z} M $. 1 (\ mathbb {Z} _2, M_ \ text {triv}) = M $.

Annals of K-Theory Vol. 3, № 3, 2018

Последние выпуски

Том 5, Выпуск 4
Том 5, Выпуск 3
Том 5, Выпуск 2
Том 5, Выпуск 1
Том 4, Выпуск 4
Том 4, Выпуск 3
Том 4, Выпуск 2
Том 4, Выпуск 1
Том 3, Выпуск 4
Том 3, Выпуск 3
Том 3, Выпуск 2
Том 3, Выпуск 1
Том 2, Выпуск 4
Том 2, Выпуск 3
Том 2, Выпуск 2
Том 2, Выпуск 1
Том 1, Выпуск 4
Том 1, Выпуск 3
Том 1, Выпуск 2
Том 1, Выпуск 1
Аннотация

Пусть
Γ
дискретная группа.Предполагая рациональную приемистость сборки Баума – Конна
map, мы даем новые нижние оценки ранга положительной скалярной кривизны
группа бордизмов и относительная группа в последовательности положительной скалярной кривизны Штольца для

BΓ.
Нижние оценки сформулированы через часть степени до

2 в групповых гомологиях
из
Γ с коэффициентами
в
ℂΓ-модуль
порожденные элементами конечного порядка. Наши результаты используют и расширяют работу Ботвинника и
Гилки, который рассмотрел случай конечных групп.Другие важные ингредиенты
являются действительным аналогом делокализованного эквивариантного характера Черна и
Работа Матти по явному обращению этого характера Черна в низко гомологических
градусов.

Ключевые слова

положительная скалярная кривизна, теория вторичного индекса,
$ \ rho $ -инвариантный, эквивариантный характер Черна, группа
гомология

Классификация математических предметов 2010

Первичный: 58D27, 58J22

Средние: 19К33, 19Л10, 19Л47, 55Н91

Вехи

Поступило: 3 октября 2017 г.

Исправление: 21 декабря 2017 г.

Принята в печать: 6 января 2018 г.

Опубликовано: 16 июля 2018 г.

Гомология больших и малых групп | Журнал топологии

Абстрактные

Для нескольких примеров метрической крупности, таких как расширяемость или наличие гиперсферических универсальных покрытий, мы строим небольшие векторные подпространства в рациональных гомологиях конечно порожденных групп.Из функториальных свойств этой конструкции следует, что соответствующие свойства крупности замкнутых многообразий зависят только от образа их фундаментальных классов при классифицирующем отображении. Это применяется для построения примеров существенных многообразий, универсальные покрытия которых не являются гиперсферическими, что отвечает на вопрос Громова (1986), и, в более общем смысле, существенных многообразий, которые не являются расширяемыми.

Этот контент доступен только в формате PDF.

Заметки автора

2000 Классификация предметов по математике 53C23 (начальная), 20J06 (средняя).

Авторы выражают признательность за финансовую поддержку со стороны Deutsche Forschungsgemeinschaft .

Опубликовано Oxford University Press от имени Лондонского математического общества. Все права защищены.

Онлайн-версия этой статьи опубликована в рамках модели открытого доступа.Пользователи имеют право использовать, воспроизводить, распространять или демонстрировать версию этой статьи в открытом доступе в некоммерческих целях при условии, что: исходное авторство правильно и полностью указано; журнал, Лондонское математическое общество и Издательство Оксфордского университета указываются как исходное место публикации с указанием исправленных данных цитирования; если статья впоследствии воспроизводится или распространяется не полностью, а только частично или как производная работа, это должно быть четко указано.По вопросам коммерческого повторного использования обращайтесь по адресу [email protected]

Группы гомологий и гомологии персистентности

Презентация на тему: «Группы гомологий и гомологии персистентности» — стенограмма презентации:

ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}}
@media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}}
@media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}}
@media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}}
]]>

1

Группы гомологий и гомологии персистентности

2

Схема Введение Симплициальные комплексные граничные операторные гомологии
Триангуляционные стойкие гомологии

3

Введение Зачем нужна гомология? Подключенные компоненты = 2 отверстия = 20
туннелей = 1059, полостей = 0

4

Симплексы 0-симплексная точка ∆0 1-симплексный отрезок линии ∆1 2-симплекс
Треугольник ∆2 3-симплексный тетраэдр ∆3 Гомология персистентности

5

Симплициальный комплекс Симплициальный комплекс К — это конечный набор множества симплексов, удовлетворяющий следующим условиям: Каждая грань симплекса К также лежит в К.Пересечение любых двух симплексов К является гранью каждого из них. . Вершины — 0 граней, ребро — 1 грань и т. Д. Сложите уравнения К = {(1,2,3) (1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4 ) (1), (2), (3), (4)} Недопустимые симплициальные комплексные симплициальные комплексные гомологии персистентности Дж. Р. Мункрес, Элементы алгебраической топологии, с. 7,

6

Цепной комплекс. Пусть К = {σik} — симплициальный комплекс с симплексами σik, где k обозначает размерность симплекса.Симплициальная k-цепь — это формальная сумма k-мерных симплексов C0 = A + B C1 = a + b + c Гомологии персистентности

7

Граничный оператор Граничный оператор ∂, действующий на симплексы, является следующим отображением Границы не имеют границ Гомологии персистентности Алгебраическая топология, Хэтчер

8

Циклы и границы Цепь — это цикл, когда ее граница равна нулю
Циклы образуют подгруппу Zk (К) группы цепей Ck (К), которая является ядром граничного оператора (Z из-за немецкого слова цикла) Zk (К) = ker (∂k) Элементы в Im (∂k + 1) называются границами. K-граничная группа K — это множество границ (k + 1) -цепей в K, i.е. Это образ группы (k + 1) -цепей Bk (К) = ∂ (Ck + 1 (К)) Гомологии персистентности

9

Наконец-то гомология !! Группа гомологий — это фактор-векторное пространство циклов над границами Hk (К) = Zk (К) / Bk (К). Предположим, что V = {(x1, x2, x3)} и W = {(x1,0,0) }, то факторное векторное пространство V / W (читается как «mod») изоморфно {(x2, x3)} = R2 Persistence Homology Intelligent Perception, Computer Vision Primer

10

Циклы и границы 0-симплекс = {A, B, C} 0-симплекс = {A, B, C}
2-симплекс = пустой 0-симплекс = {A, B, C} 1-симплекс = {a , b, c} 2-симплекс = {f} ∂2f = a + b + c h2 = Z1 / B1 = 0 Гомологии персистентности

11

Гомологии окружности (S1)
Вершины v Ребра e Граница (∂1) ∂e = v-v ∆0 (S1) ∆1 (S1) H0 h2 Гомологии персистентности

12

Вычисление гомологических циклов, которые генерируют n-мерные дыры, называются генераторами гомологий Алгоритм Агостона (1976) Построение матриц инцидентности Приведение к нормальной форме Смита Вычисление генераторов гомологий Вычисление групповых генераторов гомологий изображений с использованием пирамид нерегулярных графов, S.Гомология персистентности Пельтье

13

Вычислительная гомология Для больших нет. вершин Алгоритм Агостона становится очень затратным в вычислительном отношении. Решение: Построить пирамиду. ячеек Примените алгоритм Агостона на верхнем уровне. Генераторы хорошо вписываются в границы. Вычисление групп гомологий, генераторы изображений с использованием пирамид нерегулярных графов, гомологии персистентности С. Пельтье.

14

Задача отнесения симплексов к облаку точек
Гомология персистентности

15

Триангуляция Делоне
Для набора P точек на плоскости, триангуляция DT (P) такая, что никакая точка в P не находится внутри описанной окружности любого треугольника в DT (P).DT (P) уникален, если все точки находятся в общем положении, например, в 2-мерном пространстве Нет трех точек на одной прямой Нет четырех точек на одной окружности Сохранение гомологии

16

Приложение (модель местности)
Набор точек данных A  R2 Высота ƒ (p), определенных в каждой точке p в A Как мы можем наиболее естественным образом определить высоту точек, не входящих в A? Гомология персистентности * Триангуляции Делоне, Гленн Эгучи

17

Альфа-формы Учитывая конечный набор точек S и реальный параметр альфа: набор всех действительных чисел альфа приводит к семейству форм, улавливающих интуитивное понятие «грубая» и «тонкая» форма набора точек.

18

Альфа-формы Продолжение…..
Для достаточно большой альфа-формы, альфа-форма идентична выпуклой оболочке S. Для α = 0 она сводится к трехмерным альфа-формам, гомологии персистентности облака точек, Герберт Эдельсбруннер

19

Фильтрация. Комплекс персистентности C — это семейство цепных комплексов C * i вместе с цепным отображением. Гомологии персистентности. Вычисление стойких гомологий. Афра Зомородян.

20

Стойкость Стойкость — это мера важности n-цикла, определяемая как разница между , для которого цикл создается, и , которые заполняются путем добавления (n + 1) -симплекса.Персистентные гомологии Постоянные гомологии сложных сетей, Д. Хорак

21 год

Устойчивость сложных сетей
Новый подход к изучению сильно взаимосвязанных динамических систем, таких как сети без масштабирования (например, маршруты воздушного движения). Устойчивость комплекса дает важную информацию об устойчивости сети к добавлению или удалению узлов. Сети, Д.Горак

22

Постоянство продолжение
Циклы с низким постоянством могут рассматриваться как топологический шум Штрих-коды гомологии стойкости: постоянная топология данных, Роберт Грист

23

Стойкие гомологии p-персистентная k-ая группа гомологии Kl — это
Штрих-коды персистентных гомологий: постоянная топология данных, Роберт Грист, Топологическая стойкость и упрощение, Эдельсбруннер, Зомородиан

24

Структура белка Функция белка частично определяется его формой.
Эта форма позволяет ему связываться с молекулой-мишенью. Одной из важных и сложных задач протеомики, изучения белков, является идентификация и характеристика сайтов связывания белков.Веб-сайт банка данных о белках содержит 34 303 структуры. Гомология персистентности. Приложения вычислительной гомологии, магистерская диссертация, Университет Маршалла.

25

Структура белка Формы, такие как буква «C», могут быть почти похожи на круг, но не совсем, поэтому мы хотим зафиксировать и такие структуры. Структуры, похожие на руки (TAQ-полимераза), не могут быть восприняты, просто глядя на числа Бетти структуры. Время, в течение которого циклы создаются и разрушаются, может дать важные характеристики. Гомология стойкости.

26 год

Другое приложение !!! Астрономы измерили местоположение около галактик, каждая из которых представлена ​​точкой в ​​трехмерном пространстве.Похоже, что большое количество галактик расположено на пластинчатых и плачущих структурах или близко к ним. Другими словами, большие подмножества точек распределены преимущественно двумерным или одномерным образом. Топология гомологии персистентности для вычислений, Afra Zomorodian, p-228 M D Dyksterhouse. Вид нашей Вселенной в форме альфа.

27

Резюме Гомология классифицирует объекты на основе их связности и n-мерных отверстий. Вычисление гомологии с использованием пирамид дает хорошие генераторы и требует меньших вычислительных затрат, чем предыдущие методы. Альфа-формы предоставляют новый инструмент для анализа топологических свойств объектов. по молекулярной биологии, но его применение в других областях быстро растет.Гомология персистентности

28 год

Ссылки Элементы алгебраической топологии, Джеймс Р. Манкрес, Массачусетский технологический институт, Массачусетс 1984 Алгебраическая топология, Аллен Хэтчер, Cambridge University Press, 2002 А. Зомородян, Гуннар Карлссон, Вычисление устойчивых гомологий, Афра Зомородян, Архив дискретной и вычислительной геометрии, страница, февраль 2005 г. H Эдельсбруннер, Эрнст Мюке, Трехмерные альфа-формы, ACM Transactions on Graphics, январь 1994 г.Триангуляции Делоне, представленные Гленном Эгучи, Computational Geometry, 11 октября 2001 г. Учебник по компьютерному зрению: руководство для начинающих по методам анализа изображений, анализу данных, связанной математике (особенно топологии), программному обеспечению для анализа изображений и приложениям в науке и технике. Гомология персистентности

29

Ссылки Даниела Горак, Слободан Малетич и Милан Райкович, Постоянная гомология сложных сетей, Институт ядерных наук Винча, Белград 11001, Сербия Институт математики в естественных науках им. Макса Планка, Лейпциг, Германия, Журнал статистической механики: теория и эксперимент, Том 2009, март 2009 г.Эдельсбруннер, Д. Летчер А. Зомородян, Топологическая устойчивость и упрощение, Труды 41-го ежегодного симпозиума по основам компьютерных наук, 2000 Штрих-коды: постоянная топология данных, Роберт Грист, Департамент математики, Университет Иллинойса, Урбана Шампейн, 2007 Топология для вычислений, Афра Зомородян, Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике, 2005 г.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.