Функция x 4 1: График функции y = x/4+1/x-2

2+1}.$$

3) $ y-x=\varepsilon\sin y $

Решение.

$$\frac{d}{dx}(y-x-\varepsilon\sin y)=0\Rightarrow\,\, y’-1-\varepsilon\cos y\cdot y’=0 \Rightarrow y’=\,\frac{1}{1-\varepsilon\cos y}.$$

Содержание

Найдите наибольшее значение функции

В прошлой статье мы рассмотрели задания на определение точек максимума (минимума) степенной функции. Здесь представлено 7 примеров со степенной функцией. Требуется определить наибольшее (или наименьшее) значение функции на интервале. На блоге уже рассматривались подобные примеры функций с числом е, логарифмические, тригонометрические, рациональные.

Стандартный алгоритм решения таких заданий предполагает после нахождения нулей функции, определение знаков производной на интервалах. Затем вычисление значений в найденных точках максимума (или минимума) и на границе интервала, в зависимости от того какой вопрос стоит в условии. 

Советую поступать немного по-другому. Почему? Писал об этом здесь.

Предлагаю решать такие задания следующим образом:

1. Находим производную.
2. Находим нули производной.
3. Определяем какие из них принадлежат данному интервалу.
4. Вычисляем значения функции на границах интервала и точках п.3.
5. Делаем вывод (отвечаем на поставленный вопрос).

В ходе решения представленных примеров подробно не рассмотрено решение квадратных уравнений, это вы должны уметь делать. Так же должны знать производные элементарных функций.

Рассмотрим примеры:

77422. Найдите наибольшее значение функции у=х3–3х+4 на отрезке [–2;0].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = –1.

Вычисляем значения функции в точках   –2, –1 и 0:

Наибольшее значение функции равно 6.

Ответ: 6

77425. Найдите наименьшее значение функции у = х3 – 3х2 + 2 на отрезке [1;4].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 2.

Вычисляем значения функции в точках  1, 2 и 4:

Наименьшее значение функции равно –2.

Ответ: –2

77426. Найдите наибольшее значение функции у = х3 – 6х2 на отрезке [–3;3].  

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 0.

Вычисляем значения функции в точках  –3, 0 и 3:

Наименьшее значение функции равно 0.

Ответ: 0

77429. Найдите наименьшее значение функции у = х3 – 2х2 + х +3 на отрезке [1;4] .

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:

2 – 4х + 1 = 0

Получим корни:  х1 = 1    х1 = 1/3.   

Указанному в условии интервалу принадлежит  только х = 1.

Найдём значения функции в точках  1 и 4:

Получили, что наименьшее значение функции равно 3.

Ответ: 3

77430. Найдите наибольшее значение функции у = х3 + 2х2 + х + 3 на отрезке [– 4; –1].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:

2 + 4х + 1 = 0

Получим корни:

Указанному в условии интервалу принадлежит  корень х = –1.

Находим значения функции в точках  –4, –1, –1/3 и 1:

Получили, что наибольшее значение функции равно 3.

Ответ: 3

77433. Найдите наименьшее значение функции у = х3 – х2 – 40х +3 на отрезке [0;4].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:

 3х2 – 2х – 40 = 0

Получим корни:

Указанному в условии интервалу принадлежит  корень х = 4.

Находим значения функции в точках  0 и 4:

Получили, что наименьшее значение функции равно   –109.

Ответ: –109

Рассмотрим способ определения наибольшего и наименьшего значения функций без производной. Этот подход можно использовать, если с определением производной у вас большие проблемы. Принцип простой – в функцию подставляем все целые значения из интервала (дело в том, что во всех подобных прототипах ответом является целое число).

77437. Найдите наименьшее значение функции у=7+12х–х3 на отрезке [–2;2].

Подставляем точки от  –2  до  2:

у(–2)=7+12 (–2) – (–2)3 = – 9

у(–1)=7+12 (–1) – (–1)3 = – 6

у(0)=7+12∙0 – 03 = 7

у(1)=7+12∙1 – 13 = 18

у(2)=7+12∙2 – 23 = 23

Наименьшее значение равно –9.

Ответ: –9

77441. Найдите наименьшее значение функции у=9х2–х3 на отрезке [–2;2].

Подставляем точки от  –2  до  2:

у(–2)=9 (–2)2 – (–2)3 = 44

у(–1)=9 (–1)2 – (–1)3 = 10

у(0)=9∙02 – 03 = 0

у(1)=9∙12 – 13 = 8

у(2)=9∙22 – 23 = 28

Наименьшее значение равно 0.

Ответ: 0

77442. Найдите наибольшее значение функции у=9х2–х3 на отрезке [2;10].

Подставляем точки от 2  до 10. В данном примере интервал большой и вычислений будет больше, но способ вполне применим.

Ответ: 108

*Чем меньше интервал, тем быстрее решите задачу.

 

77421. Найдите наименьшее значение функции у=х3 –27х на отрезке [0;4].

Посмотреть решение

77434. Найдите наибольшее значение функции у=х3 + 2х2 – 4х + 4 на отрезке  [–2;0].

Посмотреть решение

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

3 6 Решить для? cos (x) = 1/2 7 Решить относительно x sin (x) = — 1/2 8 Преобразование из градусов в радианы 225 9 Решить для? cos (x) = (квадратный корень из 2) / 2 10 Решить относительно x cos (x) = (квадратный корень из 3) / 2 11 Решить относительно x sin (x) = (квадратный корень из 3) / 2 12 График г (x) = 3/4 * корень пятой степени x 13 Найдите центр и радиус х ^ 2 + у ^ 2 = 9 14 Преобразование из градусов в радианы 120 градусов 15 Преобразование из градусов в радианы 180 16 Найдите точное значение коричневый (195) 17 Найдите степень е (х) = 2x ^ 2 (x-1) (x + 2) ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 2 18 Решить для? тангенс (x) = квадратный корень из 3 19 Решить для? sin (x) = (квадратный корень из 2) / 2 20 Найдите центр и радиус х ^ 2 + у ^ 2 = 25 21 Найдите центр и радиус х ^ 2 + у ^ 2 = 4 22 Решить относительно x 2cos (x) -1 = 0 23 Решить относительно x 6x ^ 2 + 12x + 7 = 0 24 Найдите домен х ^ 2 25 Найдите домен е (х) = х ^ 2 26 Преобразование из градусов в радианы 330 градусов 27 Расширьте логарифмическое выражение натуральный логарифм от (x ^ 4 (x-4) ^ 2) / (квадратный корень из x ^ 2 + 1) 28 Упростить ((3x ^ 2) ^ 2y ^ 4) / (3y ^ 2) 29 Упростить (csc (x) детская кроватка (x)) / (sec (x)) 30 Решить для? тангенс (х) = 0 31 Решить относительно x х ^ 4-3x ^ 3-х ^ 2 + 3x = 0 32 Решить относительно x cos (x) = sin (x) 33 Найдите точки пересечения по осям x и y х ^ 2 + у ^ 2 + 6х-6у-46 = 0 34 Решить относительно x квадратный корень из x + 30 = x 35 Упростить детская кроватка (x) коричневый (x) 36 Найдите домен у = х ^ 2 37 Найдите домен квадратный корень из x ^ 2-4 38 Найдите точное значение грех (255) 39 Оценить , основание журнала 27 из 36 40 преобразовать из радианов в градусы 2п 41 Упростить (F (x + h) -Fx) / час 42 Решить для? 2sin (x) ^ 2-3sin (x) + 1 = 0 43 Решить относительно x tan (x) + квадратный корень из 3 = 0 44 Решить относительно x sin (2x) + cos (x) = 0 45 Упростить (1-соз (х)) (1 + соз (х)) 46 Найдите домен х ^ 4 47 Решить для? 2sin (x) + 1 = 0 48 Решить относительно x х ^ 4-4x ^ 3-х ^ 2 + 4x = 0 49 Упростить 9 / (х ^ 2) + 9 / (х ^ 3) 50 Упростить (детская кроватка (x)) / (csc (x)) 51 Упростить 1 / (с ^ (3/5)) 52 Упростить квадратный корень из 9a ^ 3 + квадратный корень из 53 Найдите точное значение желто-коричневый (285) 54 Найдите точное значение cos (255) 55 Преобразовать в логарифмическую форму 12 ^ (x / 6) = 18 56 Разверните логарифмическое выражение (основание 27 из 36) (основание 36 из 49) (основание 49 из 81) 57 Недвижимость х ^ 2 = 12 лет 58 Недвижимость х ^ 2 + у ^ 2 = 25 59 График f (x) = — натуральный логарифм x-1 + 3 60 Найдите значение, используя единичную окружность арксин (-1/2) 61 Найдите домен корень квадратный из 36-4x ^ 2 62 Упростить (корень квадратный из x-5) ^ 2 + 3 63 Решить относительно x х ^ 4-2x ^ 3-х ^ 2 + 2x = 0 64 Решить относительно x у = (5-х) / (7х + 11) 65 Решить относительно x х ^ 5-5x ^ 2 = 0 66 Решить относительно x cos (2x) = (квадратный корень из 2) / 2 67 График г = 3 68 График f (x) = — логарифм по основанию 3 из x-1 + 3 69 Найдите корни (нули) f (x) = 3x ^ 3-12x ^ 2-15x 70 Найдите степень 2x ^ 2 (x-1) (x + 2) ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 2 71 Решить относительно x квадратный корень из x + 4 + квадратный корень из x-1 = 5 72 Решить для? cos (2x) = — 1/2 73 Решить относительно x логарифм по основанию x 16 = 4 74 Упростить е ^ х 75 Упростить (соз (х)) / (1-грех (х)) + (1-грех (х)) / (соз (х)) 76 Упростить сек (x) sin (x) 77 Упростить кубический корень из 24 кубический корень из 18 78 Найдите домен квадратный корень из 16-x ^ 2 79 Найдите домен квадратный корень из 1-x 80 Найдите домен у = грех (х) 81 Упростить корень квадратный из 25x ^ 2 + 25 82 Определить, нечетно ли, четно или нет е (х) = х ^ 3 83 Найдите домен и диапазон f (x) = квадратный корень из x + 3 84 Недвижимость х ^ 2 = 4г 85 Недвижимость (x ^ 2) / 25 + (y ^ 2) / 9 = 1 86 Найдите точное значение cos (-210) 87 Упростить кубический корень из 54x ^ 17 88 Упростить квадратный корень из квадратного корня 256x ^ 4 89 Найдите домен е (х) = 3 / (х ^ 2-2x-15) 90 Найдите домен квадратный корень из 4-x ^ 2 91 Найдите домен квадратный корень из x ^ 2-9 92 Найдите домен е (х) = х ^ 3 93 Решить относительно x е ^ х-6е ^ (- х) -1 = 0 94 Решить относительно x 6 ^ (5x) = 3000 95 Решить относительно x 4cos (x-1) ^ 2 = 0 96 Решить относительно x 3x + 2 = (5x-11) / (8лет) 97 Решить для? грех (2x) = — 1/2 98 Решить относительно x (2x-1) / (x + 2) = 4/5 99 Решить относительно x сек (4x) = 2 100 Решите для n (4n + 8) / (n ^ 2 + n-72) + 8 / (n ^ 2 + n-72) = 1 / (n + 9)

Решите множители биномов с использованием разности квадратов x ^ 4−1 = 0 Решатель алгебры тигра

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Попытка разложить на множители как разность квадратов:

1.1 Факторинг: x 4 -1

Теория: Разность двух полных квадратов, A 2 — B 2 может быть разложена на множители (A + B) • (AB)

Доказательство: (A + B ) • (AB) =
A 2 — AB + BA — B 2 =
A 2 — AB + AB — B 2 =
A 2 — B 2

Примечание: AB = BA — коммутативное свойство умножения.

Примечание: — AB + AB равно нулю и поэтому исключается из выражения.

Проверка: 1 — квадрат 1
Проверка: x 4 — квадрат x 2

Факторизация: (x 2 + 1) • (x 2 — 1)

Калькулятор полиномиальных корней:

1.2 Найдите корни (нули): F (x) = x 2 + 1
Калькулятор полиномиальных корней — это набор методов, направленных на поиск значений x, для которых F (x) = 0

Rational Roots Test — один из вышеупомянутых инструментов.Он мог бы найти только рациональные корни, то есть числа x, которые можно выразить как частное двух целых чисел

Теорема рационального корня утверждает, что если полином обнуляется для рационального числа P / Q, то P является множителем конечной константы и Q является фактором ведущего коэффициента

В этом случае ведущий коэффициент равен 1, а конечная константа — 1.

Факторы:

ведущего коэффициента: 1
конечной константы: 1

Давайте протестируем….

P Q P / Q F (P / Q) Делитель
0

1

-1,00 2,00
1 1 1.00 2.00

Калькулятор полиномиальных корней не нашел рациональных корней

Попытка разложить на множители как разность квадратов:

1,3 Факторинг: x 2 — 1

Проверить: 1 — квадрат 1
Проверить: x 2 — квадрат x 1

Факторизация: (x + 1) • (x — 1)

Уравнение в конце шага 1:
 (x  2  + 1 ) • (x + 1) • (x - 1) = 0
 

Шаг 2:

Теория — Корни продукта:

2.1 Произведение нескольких членов равно нулю.

Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы один из членов должен быть равен нулю.

Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно

Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в произведении

Любое решение для term = 0 также решает product = 0.

Решение уравнения с одной переменной:

2.2 Решите: x 2 +1 = 0

Вычтите 1 из обеих частей уравнения:
x 2 = -1

Когда две вещи равны, их квадрат корни равны.Извлекая квадратный корень из двух частей уравнения, мы получаем:
x = ± √ -1

В математике i называется мнимой единицей. Это удовлетворяет i 2 = -1. Оба i и -i являются квадратными корнями из -1
Уравнение не имеет реальных решений. У него есть 2 воображаемых или сложных решения.

x = 0,0000 + 1,0000 i
x = 0,0000 — 1,0000 i

Решение уравнения с одной переменной:

2.3 Решите: x + 1 = 0

Вычтите 1 из обеих частей уравнения:
x = -1

Решение уравнения с одной переменной:

2.4 Решите: x-1 = 0

Добавьте 1 к обеим сторонам уравнения:
x = 1

Было найдено четыре решения:

  1. x = 1
  2. x = -1
  3. x = 0.0000 — 1.0000 i
  4. x = 0.0000 + 1.0000 i

Функция Обозначение: Определения и оценка под номером

Purplemath

Вы уже некоторое время играете с уравнениями типа « y =».И вы видели, что «красивые» уравнения (скажем, прямые линии, а не эллипсы) — это те уравнения, которые вы можете решить для « y =», а затем подключить к графическому калькулятору. Эти уравнения « y =» являются функциями. Но в данный момент вы сталкиваетесь с вопросом: «Зачем мне нужна эта нотация функций, особенно когда у меня есть совершенно хорошее ‘ y =’, и как эта нотация работает?»

Вспомните, когда вы были в начальной школе. Ваш учитель дал вам рабочие листы, содержащие такие утверждения, как «[] + 2 = 4», и сказал вам заполнить поле.Когда вы стали старше, ваш учитель начал давать вам рабочие листы, содержащие такие утверждения, как « x + 2 = 4», и предлагал вам «решить для x ».

MathHelp.com

Почему ваши учителя перешли от ящиков к переменным? Что ж, подумайте: сколько форм вы бы использовали для формул, подобных формуле для площади A трапеции с верхним основанием a , нижним основанием b и высотой h ? Формула выглядит следующим образом:

Если вы попытаетесь выразить вышеупомянутое или что-то более сложное, используя прямоугольники различной формы, у вас быстро кончатся формы.Кроме того, по опыту вы знаете, что « A » обозначает «площадь», « h » обозначает «высоту», а « a » и « b » обозначают длину параллельной вершины и нижние стороны. Только небо знает, что может означать квадратная или треугольная коробка!

Другими словами, они перешли с ящиков на переменные, потому что, хотя прямоугольники и буквы означают одно и то же (а именно, слот, ожидающий заполнения значения), переменные лучше.Переменные более гибкие, их легче читать, и они могут дать вам больше информации.

То же самое верно в отношении « y » и « f ( x )» (произносится как «эфф-оф-экс»). Для функций два обозначения означают одно и то же, но « f ( x )» дает вам больше гибкости и больше информации. Раньше вы говорили: « y = 2 x + 3; найти y , когда x = –1». Теперь вы говорите « f ( x ) = 2 x + 3; найдите f (–1)» (произносится как « f -of- x равно 2 x плюс три; найти f -of-negative-one «).В любой форме вы делаете одно и то же: подставляете –1 для x , умножаете на 2, а затем складываете 3, упрощая, чтобы получить окончательное значение +1.

Но обозначение функций дает вам большую гибкость, чем использование просто « y » для каждой формулы. Например, ваш графический калькулятор будет перечислять различные функции, такие как y1, y2 и т. Д., Поэтому вы можете различать уравнения, когда, скажем, просматриваете их значения в «ТАБЛИЦЕ».

Таким же образом в учебниках и при написании вещей мы используем разные имена функций, например f ( x ), g ( x ), h ( x ), s ( t ) и т. Д., Чтобы отслеживать и работать с более чем одной формулой в любом контексте.С обозначением функций теперь мы можем использовать более одной функции одновременно, не запутывая себя и не путаясь в формулах, заставляя себя задаться вопросом: «Хорошо, что« y »- это , это ?» И обозначения могут быть полезными для пояснения.

Из геометрии вы знаете, что « A ( r ) = π r 2 » обозначает площадь круга, выраженную в виде значения радиуса r , а « C ( r ) = 2π r «обозначает длину окружности, выраженную в радиусе r .Обе функции имеют одинаковую переменную плагина (« r »), но « A » напоминает вам, что первая функция является формулой для «площади», а « C » напоминает вам, что вторая функция формула для «окружности».

Помните: обозначение « f ( x )» в точности то же самое, что и « y ». Вы даже можете пометить ось y на своих графиках как « f ( x )», если хотите.


Позвольте мне прояснить еще один момент. В то время как круглые скобки до сих пор всегда указывали на умножение, это не относится к обозначениям функций. Вопреки всему предыдущему опыту, круглые скобки для обозначения функции , а не указывают на умножение.

Выражение « f ( x )» означает «формула с именем f имеет x в качестве входной переменной».Это означает, что , а не , означает «умножить f и x »!

Не смущайте себя, произнося (или думая) « f ( x )» как « f умножить на x », и никогда не пытается «умножить» имя функции, заключенное в скобки. Вход.


В обозначении функций « x » в « f ( x )» называется «аргументом функции» или просто «аргументом».Поэтому, если они дадут вам выражение « f (2)» и попросят «аргумент», ответ будет просто «2».

В сторону: Почему ввод называется «аргументом»? Термин «аргумент» имеет давнюю историю. Первоначально это был логический термин, относящийся к утверждению, содержащему доказательство или, в менее формальном смысле, утверждению, которое использовалось, чтобы попытаться кого-то в чем-то убедить. В конце концов, этот термин стал обозначать в раннем научном контексте любое математическое значение, которое требовалось в качестве входных данных для других вычислений, или любое значение, от которого зависели последующие результаты.

В двадцатом веке, когда компьютерное кодирование стало обычным явлением, кодировщики приняли математическое значение для обозначения входных данных для своего кодирования. В нашем математическом контексте «аргумент» — это независимая переменная (та, для которой вы выбираете значение, обычно это значение x ), а вывод функции — это зависимая переменная (та, значение которой зависит от того, что было подключено. в, обычно это значение y ).


  • Учитывая

    h ( s ), каково имя функции и какой аргумент?

Сначала я сделаю вторую часть.Аргумент — это то, что находится в круглых скобках, поэтому здесь аргумент s .

Имя функции — это переменная, которая стоит перед круглыми скобками. В этом случае имя функции — h .

имя функции: h

аргумент: с


  • Каков аргумент

    f ( y )?

Аргумент — это то, что подключено.В этом частном (необычном) случае подключаемая переменная — « y ». (В конце концов, нет правила, согласно которому y не может быть независимой переменной.) Итак:


  • Учитывая

    г ( t ) = t 2 + t , как называется функция? В г (–1), каков аргумент?

Имя функции — это то, что стоит перед круглыми скобками, поэтому имя функции здесь g .

Во второй части вопроса меня просят аргументировать. В первой части, где они дали мне имя функции и аргумент (часть « g ( t )») и формулу (часть « t 2 + t »), аргумент был t . Но во второй части они ввели конкретное значение для т . Итак, во второй части аргументом является число –1.

название функции: g

аргумент г (–1): –1


Оценка по номеру

Вы оцениваете « f ( x )» точно так же, как вы всегда оценивали « y ».А именно, вы берете число, которое они дают вам, в качестве входной переменной, вы подключаете его к переменной, и вы упрощаете получение ответа. Например:

  • Учитывая

    f ( x ) = x 2 + 2 x — 1, найдите f (2).

Чтобы оценить f ( x ) при x = 2, я вставлю 2 для каждого экземпляра x в правиле функции:

f (2) = (2) 2 +2 (2) — 1

Чтобы держать все в голове (и яснее в своей работе), я заключил в круглые скобки каждый экземпляр аргумента 2 в формуле для f .Теперь я могу упростить:

Тогда мой ответ:


  • Учитывая

    f ( x ) = x 2 + 2 x — 1, найдите f (–3).

Для оценки делаю то, что делал всегда. Я подставлю данное значение (–3) для указанной переменной ( x ) в данную формулу:

f (–3) = (–3) 2 + 2 (–3) — 1

Я снова использовал круглые скобки, чтобы четко обозначить значение, вводимое в формулу.В данном случае круглые скобки помогают мне отслеживать знаки «минус». Теперь я могу упростить:

Тогда мой ответ:

Если вы испытываете трудности при работе с негативами, попробуйте использовать круглые скобки, как я сделал выше. Это помогает отслеживать такие вещи, как то, стоит ли показатель степени у знака «минус». И это просто хорошая привычка.


Важный тип функции называется «кусочной» функцией, потому что, ну, она разбита на части.Например, это кусочная функция:

Как видите, эта функция разделена на две половины: половину, которая идет перед x = 1, и половину, которая идет от x = 1 до бесконечности. Какую половину функции вы используете, зависит от значения x . Давайте рассмотрим это:

  • Учитывая функцию

    f ( x ), как определено выше, оцените функцию при следующих значениях: x = –1, x = 3 и x = 1.

Эта функция поставляется по частям; отсюда и название «кусочная» функция. Когда я оцениваю его при различных значениях x , я должен быть осторожен, чтобы вставить аргумент в правильный фрагмент функции.

Они сначала хотят, чтобы я оценил как x = –1. Поскольку это меньше 1, этот аргумент переходит в первую часть функции. Для обновления используется следующая функция:

Затем я вставлю –1 в правило 2 x 2 — 1:

f (–1) = 2 (–1) 2 — 1

= 2 (1) — 1

= 2 — 1 = 1

Затем они хотят, чтобы я нашел значение f (3).Поскольку 3 больше 1, мне нужно подключить вторую часть функции, поэтому:

Наконец, они хотят, чтобы я оценил f ( x ) как x = 1. Это единственное значение x , которое немного сложно. Какую половину использовать?

Внимательно глядя на правила для функций, я вижу, что первая часть — это правило для значений x , которые строго меньше единицы; правило не применяется, если x равно 1.С другой стороны, вторая часть применяется, когда x больше или равно 1. Поскольку здесь я имею дело с x = 1, то применяется правило второй части.

Тогда мой ответ:

f (–1) = 1

f (3) = 7

f (1) = 5


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в вычислении функций по заданному числовому значению.Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Оценить», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)



URL: https://www.purplemath.com/modules/fcnnot.htm

1.6 — Комбинации функций

1.6 — Комбинации функций

Арифметические комбинации функций

Можно легко найти сумму, разность, произведение или частное функций.

Сумма
(е + г) (х) = е (х) + г (х)
Разница
(е — г) (х) = е (х) — г (х)
Товар
(е · g) (x) = f (x) · g (x)
Частное
(f / g) (x) = f (x) / g (x), пока g (x) не равно нулю.

Область каждой из этих комбинаций является пересечением области f и области
г. Другими словами, обе функции должны быть определены в точке для определения комбинации.
Еще одно дополнительное требование для разделения функций — знаменатель не может быть равен нулю,
но мы знали это, потому что это часть подразумеваемой области.

В основном вышесказанное говорит о том, что для оценки комбинации функций вы можете комбинировать
функции, а затем оценить, или вы можете оценить каждую функцию, а затем объединить.

Примеры

В следующих примерах пусть f (x) = 5x + 2 и g (x) = x 2 -1. Мы
затем оценит каждую комбинацию в точке x = 4. f (4) = 5 (4) + 2 = 22 и g (4) = 4 2 -1 = 15

Выражение Объедините, затем оцените Оцените, затем объедините
(ж + ж) (х) (5x + 2) + (x 2 -1)
= x 2 + 5x + 1
(ж + ж) (4) 4 2 +5 (4) +1
= 16 + 20 + 1
= 37
f (4) + g (4) 22 + 15
= 37
(ф-г) (х) (5x + 2) — (x 2 -1)
= -x 2 + 5x + 3
(ф-г) (4) -4 2 +5 (4) +3
= -16 + 20 + 3
= 7
ф (4) -g (4) 22-15
= 7
(f · g) (x) (5x + 2) * (x 2 -1)
= 5x 3 + 2x 2 -5x-2
(ж · г) (4) 5 (4 3 ) +2 (4 2 ) -5 (4) -2
= 5 (64) +2 (16) -20-2
= 330
f (4) · г (4) 22 (15)
= 330
(ж / г) (4) (5x + 2) / (x 2 -1) (ф / г) (4) [5 (4) +2] / [4 2 -1]
= 22/15
ф (4) / г (4) 22/15

Как видно из примеров, не имеет значения, комбинируете ли вы, а затем оцениваете, или вы
оцените, а затем объедините.

В каждой из вышеперечисленных задач домен — это все действительные числа, за исключением деления.
Домен в комбинации деления — это все действительные числа, кроме 1 и -1.

Состав функций

Хотя арифметические комбинации функций просты и довольно легки, есть
другой тип сочетания называется композицией.

Композиция функций — это применение одной функции к другой.
Символ композиции функций — маленький кружок между функциями.
имена.Я не могу использовать этот символ в
текстовый режим в сети, поэтому я буду использовать строчные буквы ой «о» для представления композиции функций.

  • (туман) (x) = f [g (x)]
  • (gof) (x) = g [f (x)]

Они читаются как «f, составленная из g из x» и «g, составленная из f из x» соответственно.

Функция снаружи всегда записывается первой, а последующие функции
внутри. Порядок важен. Состав функций не коммутативен.

Примеры композиции функций

Звучит не так уж плохо.Давайте посмотрим на несколько примеров.

f (x) = 5x + 2 и g (x) = x 2 -1

  • (туман) (х)
    = f [g (x)] = f [x 2 -1] = 5 (x 2 -1) + 2 = 5x 2 — 5 + 2 = 5x 2 -3
  • (gof) (x) = g [f (x)] = g [5x + 2] = (5x + 2) 2 — 1 = 25x 2 + 20x + 4 — 1 = 25x 2 + 20x + 3

f (x) = sqrt (x) и g (x) = 4x 2

  • (туман) (х)
    = f [g (x)] = f [4×2] = sqrt (4x 2 ) = 2 | х |
  • (gof) (x) = g [f (x)] = g [sqrt (x)] = 4 (sqrt (x)) 2 = 4x, x ≥ 0

Вероятно, этот пример требует пояснений.Из главы, посвященной предварительным условиям, квадратный корень из (x 2 ) является абсолютным значением x. Площадь (
квадратный корень из x) равен x, но это предполагает, что x не отрицательный, потому что вы
не смог бы найти квадратный корень из x, если бы это было так. Это
случай, когда подразумеваемый домен (из-за квадратного корня) больше не
подразумевается (потому что квадратный корень пропал), поэтому вы должны явно указать
это (я сказал вам, что все подходит
все вместе).

f (x) = sqrt (x-4) и g (x) = 1 — x 2

  • (туман) (х)
    = f [g (x)] = f [1-x 2 ] = sqrt ([1-x 2 ] — 4) = sqrt (-x 2 — 3) = ø
  • (гоф) (х)
    = g [f (x)] = g [sqrt (x-4)] = 1 — [sqrt (x-4)] 2 = 1 — (x-4) = 5 — x, x ≥ 4

Если последний пример нуждался в пояснении, то этому определенно нужно
некоторые тоже.Давайте сначала возьмем более простой (gof) (x). Подразумеваемый домен
из
x ≥ 4 из-за квадратного корня, но после его возведения в квадрат он больше не подразумевался,
так что это нужно было указать явно.

Хорошо, теперь посложнее (туман) (x).
Я дам простое объяснение здесь, а более полное — позже.
После упрощения вы получили квадратный корень из (-x 2 — 3). -x 2 -3 всегда отрицательно, независимо от того, какое действительное число x, и вы не можете взять
квадратный корень из отрицательного числа, поэтому он всегда не определен (для набора
реалов).

Поиск областей по композиции функций

Когда вы находите композицию функций, это не
более длинный x, который подключается к внешнему
функция, это внутренняя функция, вычисляемая в x. Так
есть две области, о которых мы должны позаботиться
о. Если мы рассмотрим (fog) (x), мы увидим, что g вычисляется в x, поэтому x должен
быть в области g. Мы также видим, что f вычисляется в g (x), поэтому g (x) имеет
быть в области f.

  • Для (тумана) (x),
    x — это значение, которое может быть подключено к g и дает вам значение g (x), которое может
    быть подключенным к f, чтобы получить f (g (x))
  • Для (gof) (x) x — это значение, которое можно вставить в f и получить значение f (x), которое
    можно подключить к g, чтобы получить g (f (x)).

Но и все не так плохо, как кажется. Давайте снова рассмотрим последний пример.

Функция Домен Диапазон
f (x) = sqrt (x-4) х ≥ 4 y ≥ 0
g (x) = 1-x 2 все реалы y ≤ 1

Когда вы найдете (туман) (x), необходимо выполнить две вещи:

  1. x должен быть в домене g, что означает x
    это реальное число (довольно
    легко сделать)
  2. g (x) должен находиться в области f, что означает, что
    1-x 2 ^ 2 ≥ 4 (когда вы пытаетесь решить это, вы
    получить пустой набор)

Когда вы объединяете два домена, чтобы увидеть, что у них общего, вы обнаруживаете пересечение
всего и ничего есть ничто (пустой набор), поэтому функция нигде не определена и
undefined везде.

Когда вы находите (gof) (x), необходимо выполнить две вещи:

  1. x должен находиться в области f, что означает, что
    x ≥ 4 (неплохо)
  2. f (x) должен находиться в области g, что означает, что
    sqrt (x-4) должно быть действительным числом (которое
    происходит, когда x ≥ 4,
    о чем мы уже говорили из первой части)

Когда вы объединяете два домена, чтобы увидеть, что у них общего, вы обнаруживаете, что
пересечение
быть x ≥ 4, так что композиция определена именно здесь.

Разложение функций

Декомпозиция функций обратна композиции функций. Вместо объединения двух
функции, чтобы получить новую функцию, вы разбиваете комбинированную функцию на отдельные
составные части. Часто существует несколько способов разложить функцию, поэтому ваши ответы могут
отличаются от книг.

По сути, вы хотите посмотреть на функцию и найти «внешнюю функцию».
и «внутри
функция «. Еще одна вещь, которую следует искать — это повторяющиеся шаблоны и сделать так, чтобы
внутренняя функция.В
внешняя функция резюмируется как «общая картина», а внутренняя функция
это «то, что ты
делают большую картину для «.

Примеры

Запишите каждую функцию h как композицию двух функций f и g таких, что h (x) = (fog) (x)

ч (x) снаружи
f (x)
Внутри
г (x)
Банкноты
(1-x) 3 х 3 1-х Самое важное — это что-то кубическое, поэтому
Внешняя функция — это функция куба.1-х это то, что
вы занимаетесь кубом, так что это внутренняя функция.
sqrt (9-х) кв. (X) 9-х Самое важное — извлечение квадратного корня
(снаружи), 9-x — это то, что вы извлекаете из квадратного корня
(внутри)
4 / (5x 2 +2) 2 4 / х 2 5x 2 +2 Похоже на 4 над чем-то квадратным
4 / x (5x 2 +2) 2 Альтернатива,
но правильный ответ.
(x + 2) 2 +2 (x + 2) +1 х 2 + 2x + 1 х + 2 x + 2 повторяется, так что это хороший выбор для внутренней части
функция. Замените каждое вхождение шаблона на
x для внешней функции

Коэффициенты разницы

Коэффициенты разницы — это то, что они говорят. Они включают
разница и частное. Коэффициент разницы на самом деле является наклоном
секущая линия между двумя точками кривой.

Формула для коэффициента разности: [f (x + h) — f (x)] / h

Если вы перейдете к исчислению, вы познакомитесь с концепцией
пределы (Исчисление — это алгебра с ограничениями) и найдите, когда две точки на кривой приближаются
вместе секущая линия превращается в касательную, а наклон секущей линии становится
наклон касательной, которая называется производной функции, и есть
множество ярлыков для поиска производных. Тем не менее, вы все еще изучаете алгебру в колледже.
и не знали об ограничениях до главы 3, когда мы поговорим об асимптотах, поэтому у вас будет
чтобы найти коэффициенты разницы вручную.Коэффициент разницы очень важен в
Исчисление, так что, если вы продолжаете, убедитесь, что вы это поняли!

Для полиномиальных функций найти коэффициент разности не так уж и сложно. Куда ты идешь
столкнуться с проблемами — это с радикальными и рациональными функциями.

Полиномиальные функции

f (x) = 5x 2 -2

f (x + h) = 5 (x + h) 2 — 2 = 5 (x 2 + 2xh + h 2 ) — 2 = 5x 2 + 10xh + 5h 2 — 2

f (x + h) — f (x) = 5 (x 2 + 2xh + h 2 ) — 2 = 5x 2 + 10xh + 5h 2 -2 — (5x 2 — 2)

f (x + h) — f (x) = 5x 2 + 10xh + 5h 2 -2 — 5x 2 + 2 = 10xh + 5h 2

f (x + h) — f (x) = h (10x + 5h)

[f (x + h) — f (x)] / h = h (10x + 5h) / h = 10x + 5h

Рациональные функции

Уловка с рациональными функциями состоит в том, чтобы получить общий знаменатель, а затем упростить.

f (x) = 3 / x

f (x + h) = 3 / (x + h)

f (x + h) — f (x) = 3 / (x + h) — 3 / x

f (x + h) — f (x) = 3 x / [x (x + h)] — 3 (x + h) / [x (x + h)]

f (x + h) — f (x) = (3x — 3x — 3h) / [x (x + h)]

f (x + h) — f (x) = -3h / [x (x + h)]

[f (x + h) — f (x)] / h = -3h / [x (x + h)] / h = -3 / [x (x + h)]

Радикальные функции

Уловка с радикальной функцией состоит в том, чтобы рационализировать числитель путем умножения на сопряженную
числителя.

Не волнуйтесь, что у вас останется радикал в знаменателе, это нормально в
этот экземпляр. Это намного лучше, чем иметь в знаменателе множитель h
потому что в расчетах мы собираемся позволить h приближаться к 0, и мы хотим просто
вставьте ноль для h. При выборе радикала в знаменателе
или делением на 0, мы в любой момент выберем радикал в знаменателе.

Как найти f (x) — SAT Math

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
или несколько ваших авторских прав, сообщите нам об этом, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
то
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.4. Практические инструкции и шаги — стенограмма видео и урока

Использование альтернативного метода

Ради удовольствия, давайте проверим этот результат, используя определение предела производной, которое вы можете увидеть здесь, на экране:

У нас уже есть f ( x ), поэтому легко получить f ( x + h ). Везде, где есть x в f ( x ), замените x на x + h .Следовательно, f ( x ) = x 4 становится f ( x + h ) = ( x + h ) 4, как вы можете видеть:

Из определения предела давайте построим, а затем упростим f ( x + h ) — f ( x ) разделить на h , например:

В числителе ( x + h ) 4, которые можно расширить.Один из способов расширить это — умножить ( x + h ) 2 на ( x + h ) 2, где ( x + h ) 2 будет x 2 + 2 x h + h 2. Соблюдение общих терминов:

( x + h ) 4 = x 4 + 4 x 3 h + 6 x 2 h 2 + 4 x h 3 + h 4.

Подставляя, мы получаем следующее, которое вы можете видеть здесь:

Затем x 4 отменяется с помощью — x 4, оставляя следующее упрощенное выражение:

Мы можем разделить каждый член в числителе на h в знаменателе.Некоторые из условий h также отменяются, как вы можете видеть здесь:

А теперь, еще раз упрощая, получаем:

Возьмите предел, так как h стремится к нулю, заменив 0 на h в правой части, а затем упростив:

Итак, как мы видим, 4 x 3 согласуется с нашим предыдущим результатом.

Применение и пример

Φ — это количество мощности, излучаемой на единицу площади (ватт на квадратный метр) идеальным излучающим объектом. Φ зависит от температуры объекта. Очень хорошую оценку для Φ дает уравнение Стефана-Больцмана, которое гласит:

Звучит немного запутанно, правда? Давайте разберемся с этим. σ — постоянная Стефана-Больцмана, равная 5,67 * 10-8 Вт / (метр2 К). Температура T измеряется в Кельвинах.Это уравнение говорит, что если мы знаем температуру объекта, мы можем вычислить, сколько энергии излучается на квадратный метр.

Физика может показаться сложной, но уравнение так же просто, как f ( x ) = x 4. Вы понимаете, как Φ играет роль f ( x )? А T наша независимая переменная?

Для дифференцирования этой функции используются те же шаги, что и для дифференцирования f ( x ) = x 4. Кстати, мы могли бы захотеть дифференцировать это научное уравнение, если бы мы хотели знать, происходит ли изменение температуры, когда все уже горячий, имеет большее влияние, чем когда все холодно.На самом деле они это делают! Но все, что мы здесь делаем, это попрактикуемся в поиске производной.

Шаг 1. Сосредоточьтесь на экспоненте.

Показатель степени равен 4.

Шаг 2: Сделайте копию показателя степени и поместите ее впереди.

Коэффициент σ становится равным 4σ.

Шаг 3: Вычтите 1 из экспоненты.

4 — 1 = 3.

Шаг 4. Очистите выражение.

Средняя температура Земли составляет 288 К.Таким образом, Φ = 5,67 * 10-8 * 2884 390 Вт / м2. Если бы мы могли собирать эту энергию в единицу времени и преобразовывать ее все в электричество, то квадрат размером один метр на один мог бы питать почти четыре 100-ваттные лампочки. Это дает нам представление о том, сколько энергии излучает горячая Земля обратно в атмосферу.

Резюме урока

Хорошо, давайте на минутку вспомним, что мы узнали. На этом уроке мы узнали, что нахождение производной с использованием правила мощности означает для x n , производная равна n x n -1, и, на словах, это означает n перемещается перед x , а показатель степени уменьшается на 1 и становится n — 1.И, что более важно, мы узнали, что для решения этой проблемы поиска производной x 4 нам нужно выполнить всего четыре шага:

  • Шаг 1. Сосредоточьтесь на экспоненте.
  • Шаг 2: Сделайте копию экспоненты и поместите ее впереди.
  • Шаг 3: Вычтите 1 из экспоненты.
  • Шаг 4. Очистите выражение.

Это действительно так просто!

3.8 Неявное дифференцирование — Объем исчисления 1

Цели обучения

  • Найдите производную сложной функции, используя неявное дифференцирование.
  • Используйте неявное дифференцирование, чтобы определить уравнение касательной.

Мы уже изучили, как найти уравнения касательных к функциям и скорости изменения функции в определенной точке. Во всех этих случаях мы имели явное уравнение для функции и явно дифференцировали эти функции. Предположим вместо этого, что мы хотим определить уравнение касательной к произвольной кривой или скорость изменения произвольной кривой в точке.В этом разделе мы решаем эти проблемы, находя производные функций, которые неявно определяются в терминах.

В большинстве математических дискуссий, если зависимая переменная является функцией независимой переменной, мы выражаем через. Если это так, мы говорим, что это явная функция из. Например, когда мы пишем уравнение, мы определяем явно в терминах. С другой стороны, если связь между функцией и переменной выражается уравнением, где не выражается полностью через, мы говорим, что уравнение неявно определяет через.Например, уравнение неявно определяет функцию.

Неявное дифференцирование позволяет нам находить наклоны касательных к кривым, которые явно не являются функциями (они не проходят тест вертикальной линии). Мы используем идею, что части являются функциями, которые удовлетворяют данному уравнению, но на самом деле это не функция.

В общем, уравнение определяет функцию неявно, если функция удовлетворяет этому уравнению. Уравнение может неявно определять множество различных функций.Например, функции

, и, которые показаны на (Рисунок), — это всего лишь три из многих функций, неявно определяемых уравнением.

Рисунок 1. Уравнение неявно определяет многие функции.

Если мы хотим найти наклон прямой, касательной к графику в точке, мы можем вычислить производную функции в точке. С другой стороны, если нам нужен наклон касательной в точке, мы можем использовать производную от. Однако не всегда легко найти функцию, неявно определяемую уравнением.К счастью, метод неявного дифференцирования позволяет нам найти производную неявно определенной функции, даже не решая ее явно. Процесс поиска с использованием неявного дифференцирования описан в следующей стратегии решения проблем.

Использование неявной дифференциации

Предполагая, что это неявно определяется уравнением, найти.

Решение

Следуйте инструкциям стратегии решения проблем.

Использование неявной дифференциации и правила продукта

Предполагая, что это неявно определяется уравнением, найти.

Решение

Использование неявного дифференцирования для нахождения второй производной

Найдите, если.

Найти для, неявно определенного уравнением.

Решение

Ключевые понятия

  • Мы используем неявное дифференцирование, чтобы найти производные от неявно определенных функций (функций, определяемых уравнениями).
  • Используя неявное дифференцирование, мы можем найти уравнение касательной к графику кривой.

Глоссарий

неявное дифференцирование
— это метод вычисления функции, определяемой уравнением, который достигается путем дифференцирования обеих сторон уравнения (не забывая рассматривать переменную как функцию) и решения для

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.