Функция и ее производная: Производная функции — геометрический смысл и правила дифференцирования

Содержание

Производная функции. Геометрический смысл производной.

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку A с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке  равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

.

Величина  в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке  функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол  с положительным направлением оси . Значит, в точке  производная положительна.

В точке  наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол  с положительным направлением оси .  Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке  производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках  (точка максимума) и  (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка  — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке  с «плюса» на «минус».

В точке  — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
+ 0 0 +

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке  касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки  функция возрастала — и после точки  продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных.

22.Производная и ее свойства.

Определение: Пусть
функция определена
в точкеи
в некоторой ее окрестности. Дадим
аргументуприращение,
такое, чтобы не выйти из указанной
окрестности. Найдем соответствующее
приращение функциии
составим отношение. Если существует
предел этого отношения пристремящемся
к нулю, то указанный предел называют
производной функциив
точкеи
обозначают.
Иначе говоря:

(—
приращение функции,—
приращение аргумента).

Если
в каждой точке из
множествау
функциисуществует
производная, то такая функция называется
дифференцируемой на множестве.

Геометрический
смысл производной
: —
угловой коэффициент касательной к
графику функциив
точкеуравнение
касательной
 в
этой точке .

Правила дифференцирования

Пусть
функции иопределены
и дифференцируемы на некотором
множестве,и—
любые действительные числа. Тогда на
множествесправедливы
соотношения:

Основные формулы дифференцирования.

23. Производная сложной и обратной функции.

Пусть у
= f(и)
 и u
= φ(х)

тогда у
= f(φ{x))
 —
сложная функция с промежуточным
аргументом и н независимым аргументом х.

По
условию Отсюда,
по теореме о связи функции, ее предела
и бесконечно малой функции, имеем

 илигде.
Функцияu
= φ(х)
 имеет
производную в точке х: ,
поэтомуПодставив
значение Δи в
равенство (20.6), получим
т.е.Разделив
полученное равенство на Δх и
перейдя к пределу при Δх→0,
получим Итак,
для нахождения производной сложной
функции надопроизводную
данной функции по промежуточному
аргументу умножить на производную
промежуточного аргумента по независимому
аргументу
.
Это
правило остается в силе, если промежуточных
аргументов несколько. Так, если у
= f(u), u = φ(v)
v
= g{х)
,
то Пустьу
= f(x)
 и х
= φ(y)

взаимно обратные функции.
Рассмотрим
обратную функциюх
= φ(y)
.
Дадим аргументу у приращение
Δу ≠
0. Ему соответствует приращение Δх обратной
функции, причем Δх
 0
в силу строгой монотонности функции у
= f(x)
.
Поэтому можно записать   Если
Δy→0,
то в силу непрерывности обратной функции
приращение Δх→0.
И так как ,
то из (20.7) следуют равенства

Таким
образом, производная
обратной функции равна обратной величине
производной данной функции
.
Правило
дифференцирования обратной функции
записывают так:
Пример
1
.
Найти производную функции Решение:
Данная функция является сложной. Ее
можно представить в виде цепочки
«простых» функций: ,
где,
гдеz
= tg q,
 где
q =..
По правилу дифференцирования сложной
функции ()получаем:Пример
2
.
Пользуясь правилом дифференцирования
обратной функции, найти производную для
функцииРешение:
Обратная функция имеет
производную.
Следовательно,

24.Геометрический смысл производной.

Геометрический
смысл производной.
 Производная
в точке x 0 равна
угловому коэффициенту касательной к
графику функции yf(x)
в этой точке.

Рассмотрим
график функции y f ( x ):

Из
рис.1 видно, что для любых двух
точек A и B графика
функции: xf(x0+x)−f(x0)=tg,
где —
угол наклона секущей AB
Таким
образом, разностное отношение равно
угловому коэффициенту секущей. 
Если
зафиксировать точку A и
двигать по направлению к ней точку B,
то x неограниченно
уменьшается и приближается к 0, а
секущая АВ приближается
к касательной АС
Следовательно,
предел разностного отношения равен
угловому коэффициенту касательной в
точке A.
Отсюда
следует:

производная
функции в точке есть угловой коэффициент
касательной к графику этой функции в
этой точке.

Производная функции. Понятие производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Достаточное условие монотонности функции. Необходимое и достаточное условия экстремума.

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Производная функции. Понятие производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Достаточное условие монотонности функции. Необходимое и достаточное условия экстремума.

Поделиться:   




Производная функции. Понятие производной. Геометрический смысл производной.


Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции.

Достаточное условие монотонности функции. Необходимое условие экстремума.

Достаточное условие экстремума.





















Производная функции. Понятие производной, определение производной:

  • Производной (первой производной)  f ‘ (x) функции f  (x) в точке xo называется предел отношения
    • приращения функции Δ f (x) = f (x0 + Δx) — f (x0)
    • к приращению аргумента Δx при Δx→0,
  • если этот предел существует:

  • Второй производной  f » (x) функции f  (x) в точке xo называется производная от производной f ‘ (x) в точке xo
  • Дифференцирование — это операция нахождения производной f ‘ (x)

Производная функции.

Геометрический смысл производной:

  • Производная функции f  (x) в точке xo равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной прямой  к графику функции y = f  (x)  в точке M0(x0,y0), то есть:
    • f ‘ (x0) = k, где k = tg α
  • Уравнение касательной к кривой y = f (x) в точке x0 имеет вид:
    • y = f ‘ (x)(x-x0) + f(x0)

Производная функции. Физический смысл производной:

  • Если точка движется вдоль оси x и ее координата изменяется по закону x (t), то мгновенная скорость точки:

  • а укорение (мгновенное ускорение):

Производная функции.

Правила дифференцирования:

Производная функции. Производная сложной функции:

  • Если у функции y= f (g (x))  существуют производные f’gи g’x, то :
  • где индексы g и x указывают, по какому аргументу вычисляются производные функции.

Производная функции. Достаточное условие монотонности функции:

  • Если для функции f (x) в каждой точке  интервала (a;b)
  • то функция f (x) возрастает на этом интервале

  • Если для функции f (x) в каждой точке  интервала (a;b)
  • то функция f (x) убывает на этом интервале

Производная функции.

Необходимое условие экстремума:

  • Если  x0— точка экстремума некоторой функции f (x), то эта точка является критической точкой данной функции, т.е. в данной точке производная либо  равна нулю, любо не существет.

Производная функции. Достаточное условие экстремума:

  • Если функция y = f (x)  непрерывна в точке x0  и производная f ‘ (x) меняет знак в этой точке, то x0 — точка экстремума функции y = f (x)
  • ! В самой точке  x0  производной у функции  y = f (x) может не существовать.

  • Если f ‘ (x) > 0 при x < x0,
  • f ‘ (x) < 0 при x > x0,
  • то x0 — точка максимума

  • Если f ‘ (x) < 0 при x < x0,
  • f ‘ (x) > 0 при x > x0,
  • то x0 — точка минимума

Производные элементарных функций:

Справочно: Таблица производных. Табличные производные. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.


Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:


Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.

Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator

Что такое производная

Производная — главнейшее понятие математического анализа. Она характеризует изменение функции аргумента x в некоторой точке. При этом и сама производная является функцией от аргумента x

Производной функции в точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

То есть,

         (1)

Наиболее употребительны следующие обозначения производной:

Пример 1. Пользуясь определением производной, найти производную функции

.

Решение. Из определения производной вытекает следующая схема её вычисления.

Дадим аргументу приращение (дельта) и найдём приращение функции:

.

Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

Вычислим предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю,
то есть требуемую в условии задачи производную:

К понятию производной привело изучение Галилео Галилеем закона свободного падения тел, а в
более широком смысле — задачи о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения точки.

Однако движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения
постоянно возрастает. И средней скорости уже недостаточно для характеристики быстроты движения на различных участках пути.
Такая характеристика тем точнее, чем меньше промежуток времени .
Поэтому вводится следующее понятие: мгновенной скоростью прямолинейного движения (или скоростью в данный момент времени t)
называется предел средней скорости при :

(при условии, что этот предел существует и конечен).

Так выясняется, что мгновенная скорость есть предел отношения приращения функции s(t)
к приращению аргумента t при
Это и есть производная, которая в общем виде записывается так:.

.

Решение обозначенной задачи представляет собой физический смысл производной. Итак, производной функции y=f(x)
в точке x называется предел (если он существует и конечен) приращения функции к приращению аргумента
при условии, что последнее стремится к нулю.

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Из определения производной вытекает следующая схема для её вычисления.

Шаг 1. Дадим аргументу приращение и найдём

Шаг 2. Найдём приращение функции:

Шаг 3. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

Шаг 4. Вычислим предел этого отношения при , то есть производную:

Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей МР при , или, что то же при .

Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел

,

причём предел равен углу наклона касательной к оси .

Теперь дадим точное определение касательной.

Из этого определения следует, что производная функции равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x. В этом состоит геометрический смысл производной:

где — угол наклона касательной к оси абсцисс, т.е. угловой коэффициент касательной.

Пример 3. Найти производную функции и значение этой производной при .

Решение. Воспользуемся схемой, приведённой в примере 1.

Шаг 1.

Шаг 2.

Шаг 3.

Шаг 4.

Выражение под знаком предела не определено при (неопределённость вида 0/0), поэтому преобразуем его, избавившись от иррациональности в числителе и затем сократив дробь:

Найдём значение производной при :

Весь блок «Производная»

Производная функции, её геометрический и физический смысл | Высшая математика | Студенту | Статьи и обсуждение вопросов образования в Казахстане | Образовательный сайт Казахстана

Производная функции, её геометрический и физический смысл

Приращением функции y=f(x) называется разность y=f(x+x)-f(x),
где x — приращение аргумента x.

Если существует конечный предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x при произвольном стремлении x к нулю, то этот предел называется производной функции y=f(x) в точке x и обозначается одним из следующих символов: y’,f'(x), . Таким образом, по определению:

Если указанный предел существует, то функция f(x) является дифференцируемой в точке x; операция нахождения производной y’ называется дифференцированием функции y=f(x).
Из равенства y/x=tgβ и определения производной следует, что производная в точке x равна тангенсу угла α наклона касательной, проведенной в точке M(x,y) к графику функции y=f(x). С физической точки зрения производная y’=f'(x) определяет скорость изменения функции в точке x относительно аргумента x, т.е. скорость есть производная пути по времени.

Если С – постоянное число и u=u(x), v=v(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
1) (C)’=0
2) (x)’=1
3) (u±v)’=u’±v’
4) (Cu)’=Cu’
5) (uv)’=u’v+uv’
6)
7)
8) если y=f(u), u=φ(x) , т. е. y=f(φ(x)) — сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то y’x=y’uu’x или ; То есть производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменой.
9) если для функции y=f(x) существует обратная дифференцируемая функция x=p(y) и , то f'(x)=1/p'(y)

На основании определения производной и правил дифференцирования можно составить таблицу производных основных элементарных функций:

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке M0(x0,f(x0)) имеет вид:

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)

Уравнение нормали (перпендикуляра) к кривой y=f(x) в точке M0(x0,f(x0)):

При f'(x0)=0 уравнение нормали имеет вид x=x0.

Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым в этой точке.

Пример 13. Найти производную функции

Здесь y =u3, u = x2+1/x . Значит .

Пример 14. Найти производную функции

Здесь y=√t , t=sinu, u=lnx. Применив правило дифференцирования сложной функции, получим

Пример 15. Найти значение производной функции y=|x| в точке x=0.

При любом приращении независимой переменной x равном x, приращение функции в точке x=0.

Из определения производной следует, что

Это означает, что в точке x=0 функция y=|x| не имеет производной, хотя она и непрерывна в этой точке, поскольку .

Таким образом, не всякая функция, непрерывная в некоторой точке x, дифференцируема в этой точке. Но легко показать, что любая функция непрерывна во всех точках x, в которых она дифференцируема.

Урок 10. определение производной. физический смысл производной — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №10. Определение производной. Физический смысл производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Определение производной;

2) Физический смысл производной;

2) Приращение функции;

3) Скорость материальной точки в заданный момент времени по данному закону движения.

Глоссарий по теме

Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1−x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)-f(x0) называют приращением функции.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Изучая поведение функции y=f(x) около конкретной точки x0, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращений аргумента и функции.

Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1−x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)-f(x0) называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита «дельта»; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf.

Итак, x1-x0=Δx, значит, x1=x0+Δx.

f(x1)-f(x0)=Δy, значит, 

Δy=f(x0+Δx)-f(x0). (1)

Нельзя истолковывать термин «приращение» как «прирост».

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=1,9

Решение:

Δx= x1−x0=1,9-2=-0,1

Δf= f(1,9) –f(2)=1,92-22=-0,39

Ответ: Δx=-0,1; Δf =-0,39

Пример 2.

Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=2,1

Решение:

Δx= x1−x0=2,1-2=0,1

Δf= f(1,9) –f(2)=2,12-22=0,41

Ответ: Δx=0,1; Δf =0,41

Пример 3.

Найдем приращение Δf функции в точке x0,если приращение аргумента равно x0.

Решение:

по формуле (1) находим:

.

Ответ: .

С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t0; t0+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата x(t), то

Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t0+∆t; t0]).

Аналогично выражение называют средней скорость изменения функции на промежутке с концами х0 и х0+∆х.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение: y’ или f’(x)

Если функция f(x) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Схема вычисления производной функции

  1. Найти приращение функции на отрезке [x; x+Δx]:

∆y=y(x+∆x)-y(x)

  1. Разделить приращение функции на приращение аргумента:
  1. Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Пример 4.

Вычислить производную функции y=x2

Решение: Используем схему вычисления производной по действиям:

  1. ∆y=y(x+∆x)-y(x)= (х+∆х)²-х²= х²+2х·∆х+ ∆х²-х²= 2х·∆х+ ∆х²

Ответ: y’=2x.

Физический смысл производной: если положение точки при её движении задаётся функцией пути S(t), где t – время движения, то производная функции S есть мгновенная скорость движения в момент времени t: v(t)=S’(t).

Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени.

Пример 5.

Точка движется по закону s(t)=1-2t. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от t=0,8 до t=1.

Решение:

найдем ∆t= 1-0,8=0,2

S(0,8)= 1-2·0,8= -0,6=S(t)

S(1)= 1-2·1= -1=S(t+∆t)

.

Ответ: .

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е. dx ≡ Δx.

Найдите пару функция и ее производная 1 2



Найдите пару (функция и ее производная) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)



Ответ



Укажите номера верных равенств – правил вычисления производных 1) 2) 3)



Укажите номера верных равенств – правил вычисления производных 4) 5) 6)



Производные каких функций знаем? 1) 5) 2) 6) 3) 7) 4) 8)



Простые (элементарные) функции Сложные функции



ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Сложная функция: Примеры: Правило нахождения производной сложной функции (производная сложной функции равна производной основной функции на производную внутренней функции)



ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Сложная функция: Правило нахождения производной сложной функции (производная сложной функции равна производной основной функции на производную внутренней функции) Простая функция Производная простой функции Сложная функция Производная сложной функции



ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Сложная функция: Правило нахождения производной сложной функции (производная сложной функции равна производной основной функции на производную внутренней функции) Простая функция Пример: Производная простой функции Сложная функция Производная сложной функции



ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Сложная функция: Правило нахождения производной сложной функции (производная сложной функции равна производной основной функции на производную внутренней функции) Простая Производная функция простой функции Пример: Сложная функция Производная сложной функции



ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Сложная функция: Правило нахождения производной сложной функции (производная сложной функции равна производной основной функции на производную внутренней функции) Простая Производная функция простой функции Пример: Сложная функция Производная сложной функции



ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Простая Производная функция простой функции Сложная функция Производная сложной функции

3.2: Производная как функция

Цели обучения

  • Определите производную функцию заданной функции.
  • Постройте производную функцию от графика заданной функции.
  • Укажите связь между производными и непрерывностью.
  • Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
  • Объясните значение производной высшего порядка.

Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке.Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

Производные функции

Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная.Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

Определение: производная функция

Пусть \ (f \) — функция. Производная функция , обозначаемая \ (f ‘\), является функцией, область определения которой состоит из таких значений \ (x \), что существует следующий предел:

\ [f ‘(x) = \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h}. \ label {derdef} \]

Функция \ (f (x) \) называется дифференцируемой в точке \ (a \), если существует \ (f ‘(a) \). В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на на \ (S \), если она дифференцируема в каждой точке открытого множества \ (S \), а дифференцируемая функция — это функция, в которой \ (f ‘( x) \) существует в своем домене.

В следующих нескольких примерах мы используем уравнение \ ref {derdef}, чтобы найти производную функции.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): поиск производной функции квадратного корня

Найдите производную от \ (f (x) = \ sqrt {x} \).

Решение

Начните непосредственно с определения производной функции.

Заменить \ (f (x + h) = \ sqrt {x + h} \) и \ (f (x) = \ sqrt {x} \) в \ (f ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \).

\ (f ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {\ sqrt {x + h} — \ sqrt {x}} {h} \)
\ (= \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {\ sqrt {x + h} — \ sqrt {x}} {h} ⋅ \ frac {\ sqrt {x + h} + \ sqrt { x}} {\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x}} \) Умножьте числитель и знаменатель на \ (\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x} \) без распределения в знаменателе.
\ (= \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {h} {h \ left (\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x} \ right)} \) Умножьте числители и упростите.2} {h} \) Упростить
\ (= \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {h (2x − 2 + h)} {h} \) Выносим за скобки \ (h \) из числителя
\ (= \ displaystyle \ lim_ {h → 0} (2x − 2 + h) \) Сократить общий множитель \ (h \)
\ (= 2x − 2 \) Оценить предел

Упражнение: \ (\ PageIndex {1} \)

Найдите производную от \ (f (x) = x ^ 2 \).2−2x \ справа) = 2x − 2 \). Таким образом, для функции \ (y = f (x) \) каждое из следующих обозначений представляет производную от \ (f (x) \):

\ (f ‘(x), \ quad \ dfrac {dy} {dx}, \ quad y’, \ quad \ dfrac {d} {dx} \ big (f (x) \ big) \).

Вместо \ (f ‘(a) \) мы также можем использовать \ (\ dfrac {dy} {dx} \ Big | _ {x = a} \). Нотация \ (\ dfrac {dy} {dx} \) (называемая нотацией Лейбница) довольно распространена в технике и физике. Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной.Наклоны этих секущих часто выражаются в виде \ (\ dfrac {Δy} {Δx} \), где \ (Δy \) — разность значений \ (y \), соответствующая разнице в \ (x \) значения, которые выражаются как \ (Δx \) (Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения \ (y \) по отношению к \ (x \), выражается как

\ (\ Displaystyle \ frac {dy} {dx} = \ lim_ {Δx → 0} \ frac {Δy} {Δx} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): производная выражается как \ (\ dfrac {dy} {dx} = \ displaystyle \ lim_ {Δx → 0} \ frac {Δy} {Δx} \).

Построение графика производной

Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку \ (f ‘(x) \) дает скорость изменения функции \ (f (x) \) (или наклон касательной линия к \ (f (x) \)).

В примере \ (\ PageIndex {1} \) мы обнаружили, что для \ (f (x) = \ sqrt {x} \), \ (f ‘(x) = \ frac {1} {2 \ sqrt { Икс}}\).Если мы построим график этих функций на тех же осях, как на рисунке \ (\ PageIndex {2} \), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что \ (f (x) \) увеличивается по всей своей области, а это означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем \ (f ‘(x)> 0 \) для всех значений x в его области определения. Кроме того, по мере увеличения \ (x \) наклон касательных к \ (f (x) \) уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение \ (f ‘(x) \).2−2x, \; f ‘(x) = 2x − 2 \). Графики этих функций показаны на рисунке \ (\ PageIndex {3} \). Обратите внимание, что \ (f (x) \) убывает при \ (x <1 \). Для тех же значений \ (x \), \ (f '(x) <0 \). Для значений \ (x> 1 \), \ (f (x) \) увеличивается и \ (f ‘(x)> 0 \). Кроме того, \ (f (x) \) имеет горизонтальную касательную в точках \ (x = 1 \) и \ (f ‘(1) = 0 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): производная \ (f ‘(x) <0 \), где функция \ (f (x) \) убывает, и \ (f' (x)> 0 \), где \ (f (x) \) возрастает. Производная равна нулю, если функция имеет горизонтальную касательную.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): эскиз производной с использованием функции

Используйте следующий график \ (f (x) \), чтобы нарисовать график \ (f ‘(x) \).2−4 \). На каком интервале находится график \ (f ‘(x) \) над осью \ (x \)?

Подсказка

График \ (f ‘(x) \) положительный, где \ (f (x) \) возрастает.

Ответ

\ ((0, + ∞) \)

Деривативы и непрерывность

Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков. Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью.Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть там непрерывной; однако функция, непрерывная в какой-то точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

Дифференцируемость предполагает непрерывность

Пусть \ (f (x) \) — функция и \ (a \) находится в ее области определения. Если \ (f (x) \) дифференцируема в \ (a \), то \ (f \) непрерывна в \ (a \).

Проба

Если \ (f (x) \) дифференцируемо в \ (a \), то \ (f ‘(a) \) существует и, если мы положим \ (h = x — a \), имеем \ (x = a + h \), и поскольку \ (h = xa \ to 0 \), мы можем видеть, что \ (x \ to a \).

Затем

\ [f ‘(a) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ nonumber \]

можно переписать как

\ (F ‘(a) = \ displaystyle \ lim_ {x → a} \ frac {f (x) −f (a)} {x − a} \).

Мы хотим показать, что \ (f (x) \) непрерывно в \ (a \), показав, что \ (\ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) = f (a). \) Таким образом,

\ (\ begin {align *} \ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) & = \ lim_ {x → a} \; \ big (f (x) −f (a) + f (a)) \ big) \\ [4pt]
& = \ lim_ {x → a} \ left (\ frac {f (x) −f (a)} {x − a} ⋅ (x − a) + f (a) \ right) & & \ text {Умножить и разделить} (f (x) −f (a)) \ text {by} x − a.\\ [4pt]
& = \ left (\ lim_ {x → a} \ frac {f (x) −f (a)} {x − a} \ right) ⋅ \ left (\ lim_ {x → a} \; (x − a) \ right) + \ lim_ {x → a} f (a) \\ [4pt]
& = f ‘(a) ⋅0 + f (a) \\ [4pt]
& = f (а). \ end {align *} \)

Следовательно, поскольку \ (f (a) \) определено и \ (\ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) = f (a) \), мы заключаем, что \ (f \) непрерывно в \ (а \).

Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию \ (f (x) = | x | \).2}} = + ∞ \).

Таким образом, \ (f ‘(0) \) не существует. Быстрый взгляд на график \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \) проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке \ (0 \) (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): функция \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \) имеет вертикальную касательную в точке \ (x = 0 \). Он непрерывен в \ (0 \), но не дифференцируем в \ (0 \).

Функция \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {cases} \) также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение в \ (0 \).

Мы видим, что

\ (е ‘(0) = \ displaystyle \ lim_ {x → 0} \ frac {x \ sin \ left (1 / x \ right) −0} {x − 0} = \ lim_ {x → 0} \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right) \).

Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю (Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): функция \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {ases} \) не дифференцируем в \ (0 \).

Итого:

  1. Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно не может быть дифференцируемой.
  2. Мы видели, что \ (f (x) = | x | \) не может быть дифференцируемым в \ (0 \), потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в точке \ (0.\) Отсюда заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
  3. Как мы видели в примере с \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \), функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
  4. Как мы видели с \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {cases} \) функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.2 + bx + c, & & \ text {if} x <−10 \\ - \ frac {1} {4} x + \ frac {5} {2}, & & \ text {if} x≥ − 10 \ end {case} \), где \ (x \) и \ (f (x) \) указаны в дюймах. Чтобы машина могла плавно двигаться по рельсам, функция \ (f (x) \) должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой в точке \ (- 10 \). Найдите значения \ (b \) и \ (c \), которые делают \ (f (x) \) одновременно непрерывным и дифференцируемым.

    Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Чтобы автомобиль плавно двигался по рельсам, функция должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой.

    Решение

    Чтобы функция была непрерывной в точке \ (x = −10 \), \ (\ displaystyle \ lim_ {x → 10 ^ -} f (x) = f (−10) \). 2 + bx + (10b − 5) −5} {x + 10} & & \ text {Substitute} c = 10b − 5.2, & & \ text {if} x≥3 \ end {cases} \) как непрерывные, так и дифференцируемые в точке \ (3 \).

    Подсказка

    Используйте пример \ (\ PageIndex {4} \) в качестве руководства.

    Ответ

    \ (a = 6 \) и \ (b = −9 \)

    Производные инструменты высшего порядка

    Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорости.Производная скорости — это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее. В совокупности они называются производными более высокого порядка . n}.2−3h} {h} \) Упростим числитель. \ (= \ Displaystyle \ lim_ {h → 0} (4x + h − 3) \) Выносим за скобки \ (h \) в числителе и сокращаем, добавляя \ (h \) в знаменатель. \ (= 4x − 3 \) Возьми предел.

    Затем найдите \ (f » (x) \), взяв производную от \ (f ‘(x) = 4x − 3. \)

    \ (f » (x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f ‘(x + h) −f’ (x)} {h} \) Используйте \ (f ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \) с \ (f’ (x) \) в место \ (f (x).3 \), найти \ (a (t). \)

    Подсказка

    Используйте пример \ (\ PageIndex {6} \) в качестве руководства.

    Ответ

    \ (а (т) = 6т \)

    Ключевые понятия

    • Производная функции \ (f (x) \) — это функция, значение которой в \ (x \) равно \ (f ‘(x) \). {\ text {th}} \).

    Ключевые уравнения

    \ (е ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \)

    Глоссарий

    производная функция
    дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная
    с дифференциацией \ (a \)
    функция, для которой существует \ (f ‘(a) \), дифференцируема в \ (a \)
    дифференцируемые на \ (S \)
    функция, для которой \ (f ‘(x) \) существует для каждого \ (x \) в открытом множестве \ (S \), дифференцируема на \ (S \)
    дифференцируемая функция
    функция, для которой существует \ (f ‘(x) \), является дифференцируемой функцией
    производная высшего порядка
    производная производной, от второй производной до производной \ (n ^ {\ text {th}} \), называется производной более высокого порядка

    Авторы и авторство

    • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

    • Пол Сибургер (Колледж Монро) добавил объяснение альтернативного определения производной, используемого в доказательстве того, что дифференцируемость подразумевает непрерывность.

    Исчисление

    — поиск функции на основе ее производной без интегрирования

    Мой вопрос вращается вокруг поиска функции на основе ее производной следующего типа:


    Проблема :
    Предел ниже представляет собой производную некоторой действительной функции $ f $ при некотором действительном числе $ a $.В этом случае укажите такие $ f $ и $ a $.

    $$ \ lim_ {h \ \ to \ 0} \ frac {\ sqrt {9 + h} -3} {h} $$


    Теперь этот тип проблемы немного уникален. В общем, мы всегда можем найти функцию, основанную на ее производной, взяв неопределенный интеграл от производной, однако в этом случае у нас нет производной в общем виде, у нас есть только значение для производной функции в некоторой точке $ a $, и существует большое количество $ f $, которые могут дать значение для производной в этой точке. {+}} $)


    Как видите, это очень опасное решение, и я хотел бы найти лучший способ решения проблем такого типа, но он ускользает от меня.

    Есть ли более методичный подход (или формальный подход) к решению проблем этого типа, когда нам дается предел, представляющий производную некоторой действительной функции $ f $ при некотором действительном числе $ a $, и просят найти $ f $ и $ a $?

    Если у вас есть другие предложения по решению подобных проблем, оставьте комментарий ниже.

    Концептуальное понимание студентами функции и ее производной в курсе экспериментального исчисления

    Одна из основных целей анализа, одной из основных областей обучения в математике, состоит в понимании, интерпретации и прогнозировании изменяющихся величин и явлений (Четинкая , Erbaş & Alacacı, 2013).Одним из важных строительных блоков, используемых для достижения целей, поставленных курсом анализа, является производная, которая является одной из основных динамических характеристик анализа. Производный инструмент — это концепция, которая богата множеством представлений, с множеством доступных определений и интерпретаций. В обучении понятию производной используются три разных подхода. Эти подходы можно рассматривать как численный / физический, графический и алгебраический подходы. В алгебраическом подходе понятие производной определяется как формальное.Во многих исследованиях сообщалось, что студенты испытывали трудности с пониманием формального определения производной, несмотря на то, что в основном подчеркивали алгебраический аспект производной на уровне бакалавриата (Açıkyıldız, 2013; Akkaya, 2009; Bingölbali, 2013; Duru, 2006; Habre & Abbloud, 2006). В этих исследованиях было установлено, что студенты не могли понять концепцию «предел разностного фактора», интуитивный смысл, лежащий в основе формального определения производной по отношению к алгебраическому представлению (Hähkiöniemi, 2005 извлечено из Bingölbali, 2013) .Также было обнаружено, что студенты не понимают определения производной функции (Akkaya, 2009; Bingölbali, 2013; Duran, 2018; Habre & Abbloud, 2006; Zandieh, 1997) и не рассматривают явно взаимосвязь между производной функцией и точечная производная в большинстве случаев (Park, 2011) и не знала определения (Desfitri, 2008 извлечено из Desfitri, 2016; Duru, 2006), а также не могла полностью усвоить содержание определений (Açıkyıldız, 2013; Doruk, 2016; Duran, 2018; Duran & Kaplan, 2016).Это показало, что студенты не полностью усвоили роли определений с точки зрения математических знаний (Viholainen, 2006). Студентам также было трудно понять символы, найденные в производной (Santos & Thomas, 2001; White & Mitchelmore, 1996). При изучении литературы выяснилось, что было проведено ограниченное количество исследований о том, как студенты интерпретируют определение производной и какие ошибки допускают студенты при интерпретации определения производной, хотя было установлено, что студенты испытывали трудности с пониманием определение происхождения (Asiala, Cotrill & Dubinsky, 1997; Teuscher & Reys, 2012).Цель этого исследования — подробно объяснить трудности, сосредоточив внимание на этих трудностях, с которыми сталкиваются учащиеся. В исследовании также была предпринята попытка выявить значения, которые студенты приписывают понятию производного определения. Учитель обязан знать о недостатках обучения студентов по определенному математическому предмету и принимать меры для их устранения (Açıkyıldız, 2013). Виннер и Дрейфус (1989) заявили, что следует понимать, почему они совершали ошибки, чтобы улучшить общение со студентами.Исследования в этом отношении показали, что учителям не удавалось предугадывать предметы, с которыми ученики сталкивались с трудностями, и что это отрицательно сказывалось на преподавании математики (Even, 1993; Hadjidemetriou & Williams, 2002). В этом исследовании мы сосредоточились на формальном определении концепции производной, ведущей в сложных темах в аналитической области, чтобы помочь учителям, ответственным за преподавание производных. В рамках исследования был произведен поиск ответов на следующие вопросы исследования.1. Как студенты интерпретируют алгебраическое обозначение производной?
    2. Какие значения студенты приписывают понятию производной?
    3. Каковы различия между второклассниками и четвероклассниками с точки зрения толкования определения производного инструмента и значения, приписываемого производному инструменту?
    За основу был взят качественный исследовательский подход. Был сделан вывод, что наиболее подходящим шаблоном исследования для использования в рамках исследуемой собственности является Case Study.В исследовании приняли участие 60 учеников, 31 из которых учатся во втором классе, а 29 — в четвертом, которые учатся на факультете учителя математики начальной школы государственного университета в регионе Восточной Анатолии в начале учебного года. весенний семестр 2014-2015 учебного года. Данные исследования были собраны с помощью формы понимания производных (DUF), разработанной исследователями. В DUF есть формальное определение производной и пять открытых вопросов, связанных с этим определением.Первые два вопроса были направлены на выявление того, как ученики интерпретировали формальное определение производной и математические выражения в определении. Третий вопрос использовался, чтобы выяснить, как студенты применяют определение вывода. Последние два вопроса были направлены на раскрытие смысла, приписываемого учениками производному. Контент-анализ использовался при анализе данных, полученных из мнений кандидатов в учителя. Сначала ответы студентов проверялись первым автором и были созданы черновые категории.Позже авторы собрались вместе, повторно изучили категории с данными и придали категориям окончательную форму. Были проведены консультации с двумя экспертами для проверки достоверности полученных категорий. В соответствии с заключениями экспертов, были приняты меры для математической интерпретации результатов, полученных по категориям. В то время как большинство студентов ответили только в одной категории, некоторые студенты использовали выражения, которые могли входить в несколько категорий. Часто пытались сделать презентацию без изменения письменных заявлений студентов.Студентов попросили объяснить как определение производной, так и выражение «предел коэффициента разности» в определении, чтобы детально определить способность студентов интерпретировать определение производной. Было установлено, что высказывания совпадают друг с другом. Когда утверждения были сочтены общими, выяснилось, что студенты интерпретировали определение производной пятью разными способами. Эти интерпретации были сведены в категории поверхностного объяснения, предела, частного, предела частного и непрерывности.Было обнаружено, что интерпретации, сделанные студентами для выражения «предел коэффициента разности» в определении, были аналогичны интерпретациям, сделанным для определения производной. Соответственно, можно сказать, что это выражение занимает важное место в интерпретации определения производной. Соответственно, можно предположить, что причина трудностей, с которыми сталкиваются студенты при интерпретации определения вывода, связана с их неспособностью правильно интерпретировать это математическое выражение.Было определено, что наиболее важным значением концепции производной для студентов является тот факт, что функция была определена в этой точке, ограничена, непрерывна и что производная функции может быть взята оперативно. Решение задач студентов показало, что большинство этих идей несовместимы с математическими фактами. Тот факт, что студенты считают равными предел и непрерывность и концепцию производной, или тот факт, что студенты не понимают идею предела в концепции производной, представляет собой ситуацию, которая существует в литературе (Artigue, 1991; Bezuindenhout , 1998; Дуру, 2006; Виверос и Сакристан, 2002).Тот факт, что учащиеся приравнивают концепцию быть определенным в какой-то момент к концепции производной, возник как новая ситуация. Эти студенты думали, что не только точка, в которой ищется ее производная, но и значение производной должно быть включено в набор определений функции. При рассмотрении выступлений учеников второго и четвертого классов были замечены некоторые очевидные различия. Когда были исследованы интерпретации учениками производных определений, было замечено, что второклассники пытались объяснить определение производной, в основном, используя термины предела и предела частного.С другой стороны, ученики четвертого класса в основном утверждали, что это определение означает непрерывность функции. В то время как второклассники в основном подчеркивали предел и определенные значения в отношении концепции производной, ученики четвертых классов в основном связывали концепцию производной с концепцией непрерывности.

    Найти область определения производной функции

    Поиск инструмента

    Область производной функции

    Инструмент для вычисления области определения функции f (x), т.е.набор значений x, который существует через производную f ‘(x).

    Результаты

    Область производной функции — dCode

    Тег (и): Функции

    Поделиться

    dCode и другие

    dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
    Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

    Рекламные объявления

    Калькулятор производных доменов

    Ответы на вопросы (FAQ)

    Как вычислить область определения производной функции?

    Вычисление области вывода функции, отмеченной $ D_ {f ‘} $, предназначено для вычисления набора определений ее производной функции.Проверить в $ \ mathbb {R} =] — \ infty; + \ infty [$, значения, для которых производная функция не определена. То есть значения $ x $ такие, что $ f ‘(x) $ не существует. {* +} =] 0; + \ infty [$, его производная равна $ f ‘(x) = \ frac {1} {x} $.* =] — \ infty; 0 [\ чашка] 0; + \ infty [$

    Какова область выводимости рациональной функции?

    Какая связь между областью выводимости и областью определения?

    Функция дифференцируема только на множестве значений, где она непрерывна, и, следовательно, она непрерывна только на тех значениях, где она определена.

    Таким образом, область выводимости функции является подмножеством области ее определения.

    Задайте новый вопрос

    Исходный код

    dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Домен производной функции».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент «Домена производной функции» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любая функция «Домен производной функции» (вычисление, преобразование, решение, расшифровка / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанная на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.) .), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Домена производной функции» не будет бесплатным, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

    Нужна помощь?

    Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
    NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

    Вопросы / комментарии

    Сводка

    Похожие страницы

    Поддержка

    Форум / Справка

    Ключевые слова

    область, производная, определение, функция

    Ссылки

    Источник: https://www.dcode.fr/domain-derivative-function

    © 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

    Бизнес-исчисление

    Вторая производная и вогнутость

    Графически функция представляет собой вогнутую вверх , если ее график изогнут с раскрытием вверх (Рисунок 1a). Аналогично, функция вогнута вниз, , если ее график открывается вниз (рис. 1b).

    Рисунок 1

    На этом рисунке показана вогнутость функции в нескольких точках. Обратите внимание, что функция может быть вогнутой независимо от того, увеличивается она или уменьшается.

    Например, эпидемия : Предположим, началась эпидемия, и вы, как член конгресса, должны решить, эффективно ли существующие методы борются с распространением болезни или нужны более решительные меры и больше денег.На рисунке 2 ниже \ (f (x) \) — это количество людей, у которых есть болезнь в момент \ (x \), и показаны две разные ситуации. На рисунках 2a и 2b показано количество людей с заболеванием \ (f (\ text {now}) \) и частота, с которой новые люди заболевают, \ (f ‘(\ text {now} )\), одинаковы. Разница в этих двух ситуациях — это вогнутость \ (f \), и эта разница в вогнутости может сильно повлиять на ваше решение.

    Рис. 2

    На рис. 2a, \ (f \) вогнутая вниз в «сейчас», наклоны уменьшаются, и это выглядит так, как будто оно сокращается.Мы можем сказать: «\ (f \) увеличивается с убывающей скоростью». Похоже, что нынешние методы начинают контролировать эпидемию.

    На рис. 2b, \ (f \) вогнутая, наклоны увеличиваются, и похоже, что она будет увеличиваться все быстрее и быстрее. Похоже, что эпидемия все еще выходит из-под контроля.

    Различия между графиками зависят от того, увеличивается или уменьшается производная

    Производная функции f — это функция, которая дает информацию о наклоне \ (f \). Производная сообщает нам, увеличивается или уменьшается исходная функция .

    Поскольку \ (f ‘\) — функция, мы можем взять ее производную. Эта вторая производная также дает нам информацию о нашей исходной функции \ (f \). Вторая производная дает нам математический способ определить, как график функции искривлен. Вторая производная сообщает нам, является ли исходная функция вогнутой вверх или вниз. .

    Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, который поддерживает видео HTML5

    Вторая производная

    Пусть \ (y = f (x) \).2} \). Это читается вслух как «вторая производная от y (или f)».

    Если \ (f » (x) \) положительно на интервале, график \ (y = f (x) \) будет на вогнутым вверх на на этом интервале. Можно сказать, что \ (f \) увеличивается (или уменьшается) на с возрастающей скоростью .

    Если \ (f » (x) \) отрицательно на интервале, график \ (y = f (x) \) будет на вогнутым вниз на на этом интервале. Можно сказать, что \ (f \) увеличивается (или уменьшается) на с уменьшающейся скоростью .5. \]

    Если \ (f (x) \) представляет положение частицы в момент времени \ (x \), то \ (v (x) = f ‘(x) \) будет представлять скорость (скорость изменения положения ) частицы, а \ (a (x) = v ‘(x) = f’ ‘(x) \) будет представлять ускорение (скорость изменения скорости) частицы.

    Вы, вероятно, знакомы с ускорением от вождения или езды на автомобиле. Спидометр показывает вашу скорость (скорость). Когда вы выходите с остановки и нажимаете педаль акселератора, вы ускоряетесь — увеличивая скорость.2 \)} \).

    В момент времени 0 и 1 ускорение отрицательное, поэтому скорость частицы будет уменьшаться в этих точках — частица замедлялась. В момент времени 2 скорость положительна, значит, скорость частицы увеличивалась.

    Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, который поддерживает видео HTML5

    Точки перегиба

    Определение (точка перегиба)

    Точка перегиба — это точка на графике функции, в которой вогнутость функции изменяется от вогнутой вверх к нижней или от вогнутой вниз к верхней.

    Пример 3

    Какие из отмеченных точек на графике ниже являются точками перегиба?

    Вогнутость изменяется в точках b и g. В точках a и h график имеет вогнутость с обеих сторон, поэтому вогнутость не меняется. В точках c и f график вогнут вниз с обеих сторон. В точке е, хотя график там выглядит странно, график вогнут вниз с обеих сторон — вогнутость не меняется.

    Точки перегиба возникают при изменении вогнутости.Поскольку мы знаем связь между вогнутостью функции и знаком ее второй производной, мы можем использовать это для поиска точек перегиба.

    Рабочее определение

    Точка перегиба — это точка на графике, где вторая производная меняет знак.

    Чтобы вторая производная сменила знак, она должна быть либо равна нулю, либо быть неопределенной. Таким образом, чтобы найти точки перегиба функции, нам нужно только проверить точки, где \ (f » (x) \) равно 0 или не определено.{-5/3} \). \ (h » \) не определено, если \ (x = 0 \), но \ (h » (\ text {отрицательное число}) \ gt 0 \) и \ (h » (\ text {положительное число }) \ lt 0 \), поэтому \ (h \) меняет вогнутость в точке (0,0), а (0,0) является точкой перегиба \ (h \).

    Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, который поддерживает видео HTML5

    Пример 5

    Нарисуйте график функции с \ (f (2) = 3 \), \ (f ‘(2) = 1 \) и точкой перегиба в (2,3).

    Здесь показаны два возможных решения.

    Значение производной

    5

    Скорость изменения функции
    при определенном значении x

    Уклон прямой

    Наклон касательной к кривой

    Секунда кривой

    Коэффициент разницы

    Определение производной

    Производная от f ( x ) = x 2

    Дифференцируемая при x

    Обозначения для производной

    Коэффициент простой разности

    Раздел 2: Проблемы

    Производная от f ( x ) = 2 x — 5

    Уравнение касательной к кривой

    Производная от f ( x ) = x 3

    РАСЧЕТ ПРИМЕНЯЕТСЯ К ВЕЩАМ, которые не изменяются с постоянной скоростью.Скорость из-за силы тяжести, рождений и смертей в популяции, единицы y для каждой единицы x . Значения функции, называемой производной, будут иметь переменную скорость изменения.

    Теперь, поскольку мы считаем x независимой переменной, а y зависимой, то любое изменение Δ x в значении x приведет к изменению Δ y в значении . y . В прямой линии скорость изменения — такое количество единиц x для каждой единицы x — постоянна и называется наклоном линии.

    Наклон прямой — это число:

    Δ y
    Δ x
    = = Изменение и -клад
    Изменение x -кординат
    .

    (Тема 8 Precalculus.)

    Прямая линия имеет один и только один наклон; одна и только одна скорость изменения.

    Если, например, x представляет время, а y представляет расстояние, тогда

    прямолинейный график, который их связывает, указывает на постоянную скорость. Скажем, 45 миль в час — в каждый момент времени.

    Наклон касательной к кривой

    Исчисление, однако, связано со скоростью изменения, которая не является постоянной.

    Если эта кривая представляет расстояние Y в зависимости от времени X , то скорость изменения — скорость — в каждый момент времени непостоянна.Вопрос, который задает расчет: «Какова скорость изменения точно в точке P ?» Ответом будет наклон касательной к кривой в этой точке. И метод определения этого наклона — этого числа — был замечательным открытием Исаака Ньютона (1642-1727) и Готфрида Лейбница (1646-1716). Это метод нахождения того, что называется производной.

    Секунда кривой

    Касательная — это прямая линия, которая касается кривой.Секущая — это прямая линия, пересекающая кривую. Следовательно, рассмотрим секущую линию, которая пересекает кривую в точках P и Q . Тогда наклон секущей равен

    .

    Δ y
    Δ x
    =

    Но еще раз вопрос, который задает исчисление: как функция изменяется точно при x 1 ?

    Каков наклон касательной к кривой в точке P ?

    Однако мы не можем оценить точно при P — потому что Δ y и Δ x тогда оба будут равны 0, а значение будет совершенно неоднозначным.

    Поэтому мы будем рассматривать более короткие и более короткие расстояния Δ x , что приведет к последовательности секущих —

    — череда спусков. И мы определим касательную на точке P как предел этой последовательности наклонов.

    Этот наклон, этот предел будет значением того, что мы будем называть производной.

    Коэффициент разницы

    Пусть y = f ( x ) будет непрерывной функцией, и пусть координаты фиксированной точки P на графике будут ( x , f ( x )). (Тема 4 Precalculus.) Пусть теперь x изменится на величину Δ x . Тогда новая координата x будет равна x + Δ x .
    Это сословие x Q на графике.

    Но при изменении значения x возникает результирующее изменение Δ y
    в значении y , то есть в значении f ( x ). Его новое значение — f ( x + Δ x ). Координаты Q следующие: ( x + Δ x , f ( x + Δ x )).

    Затем

    Итак, это определение наклона касательной в точке P :

    Наклон касательной в точке P
    — это предел изменения функции (числитель)
    , деленный на изменение независимой переменной
    , когда это изменение приближается к 0.

    Поскольку Δ x , а не x — это переменная, которая приближается к 0, x остается постоянной, и этот предел будет функцией x . Поскольку она будет производной от f ( x ), мы называем ее производной функцией или производной от f ( x ). Чтобы напомнить нам, что он был производным от f ( x ), мы обозначим его как f ‘ ( x ) — « f-prime из x

    Это частное —

    — называется частным Ньютона, или разностным коэффициентом. Его вычисление и упрощение — фундаментальная задача дифференциального исчисления.

    Опять же, коэффициент разности является функцией Δ x . Но для упрощения записываемых вычислений вместо Δ x будем писать h .

    Δ x = ч
    Δ y = f ( x + h ) — f ( x )

    Тогда коэффициент разницы будет:

    Теперь выразим определение производной следующим образом.

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Под производной функции f ( x ) мы подразумеваем следующий предел, если он существует:

    Мы называем это ограничение функцией f ‘ ( x ) — « f -prime x » — и когда этот предел существует, мы говорим, что f само по себе является дифференцируемым при x . , и что f имеет производную.

    Итак, мы берем предел отношения разницы, равный h , который приближается к 0.Когда этот предел существует, это означает, что коэффициент разницы можно сделать как можно ближе к этому пределу — « f ‘ ( x )» — по нашему усмотрению. (Урок 2.)

    Что касается x , мы должны считать его фиксированным. Это конкретное значение, при котором мы оцениваем f ‘ ( x ).

    На практике мы должны упростить коэффициент разности, прежде чем позволить h приблизиться к нулю. Мы должны выразить числитель —

    f ( x + h ) — f ( x )

    — таким образом, чтобы мы могли разделить его на х .

    Подводя итог: производная — это функция — правило, которое присваивает каждому значению x наклон касательной в точке ( x , f ( x )) на график f ( x ). Это скорость изменения f ( x ) в этот момент.

    В качестве примера мы применим определение, чтобы доказать, что наклон касательной к функции f ( x ) = x 2 , в точке ( x , x 2 ), это 2 x .

    ТЕОРЕМА. f ( x ) = x 2
    подразумевает
    f ‘ ( x ) = 2 х .

    Доказательство. Вот коэффициент разницы, который мы продолжим для упрощения:

    1) ( x + h ) 2 x 2
    h
    2) = x 2 + 2 xh + h 2 x 2
    h
    3) = 2 xh + h 2
    h
    4) = 2 x + h .

    При переходе от строки 1) к строке 2) мы возводим в квадрат бином x + h . (Урок 18 алгебры.)

    В строке 3) мы вычли x 2 с. То есть мы вычли f ( x ).

    В строке 4) мы разделили числитель на h . (Урок 20 из
    Алгебра.)

    Мы можем это сделать, потому что h никогда не равно равным 0, даже если мы берем предел (Урок 2).

    Завершим определение производной и возьмем предел:

    f ‘ ( x ) = (2 x + h )
    = 2 x .

    Это то, что мы хотели доказать.

    Всякий раз, когда мы применяем определение, мы должны алгебраически манипулировать коэффициентом разности, чтобы мы могли просто заменить h на 0. Фактически, вся теория пределов со всеми ее сложностями и тонкостями была изобретена, чтобы оправдать именно это. (Бедного Ньютона и Лейбница критиковали за то, что они предлагали оправдания, которые не нравились изобретателям ограничений в XIX веке.) Мы можем положить здесь h = 0, потому что коэффициент разности уменьшается до 2 x + h и, следовательно, многочлен от h .

    Проблема. Пусть f ( x ) = x 2 , и вычислим наклон касательной к графику —

    а) при x = 5.

    Поскольку f ‘ ( x ) = 2 x , то при x = 5 наклон касательной составляет 10.

    б) при x = −3. −6.

    c) при x = 0.0.

    Дифференцируемая при x

    Согласно определению, функция будет дифференцируемой при x , если там существует определенный предел. Графически это означает, что график при этом значении x будет иметь касательную линию. Тогда при каких значениях функция , а не будет дифференцируемой?

    Без касательной

    Выше представлены два примера.Функция слева не имеет производной при x = 0, потому что там функция является разрывной. При x = 0 тангенса, очевидно, нет.

    Что касается графика справа, это функция абсолютного значения, y = | x |. (Тема 5 Precalculus.) И невозможно определить касательную линию при x = 0, потому что график образует там острый угол. Фактически, наклон касательной линии , когда x приближается к 0 слева, равен -1.Однако наклон, приближающийся справа, равен +1. Наклон касательной в точке 0 — которая была бы производной при x = 0 — поэтому не существует. (Определение 2.2.)

    Функция абсолютного значения, тем не менее, является непрерывной при x = 0. Так, левый предел самой функции, когда x приближается к 0 , равен , равному правому пределу, а именно 0. Это иллюстрирует эту непрерывность в точке не является гарантией дифференцируемости — существования касательной — в этой точке.

    (И наоборот, если функция дифференцируема в точке — если есть касательная — она ​​также будет непрерывной там. График будет гладким и без изломов.)

    Поскольку дифференциальное исчисление — это изучение производных, оно в основном занимается функциями, которые дифференцируемы при всех значениях их областей определения. Такие функции называются дифференцируемыми.

    Можете ли вы назвать элементарный класс дифференцируемых функций?

    Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
    Сначала подумайте об этом сами!

    Полиномы.

    Обозначения для производной

    Поскольку производной является этот предел: тогда символ самого лимита (читается: «dee- y , dee- x .»)

    Например, если

    y = х 2 ,
    тогда, как мы видели,
    = 2 х .

    «Dee- y , dee- x — производная от y по отношению к x — это 2 x

    Так же пишем

    y ‘ ( x ) = 2 x .

    « y — простое число x равно 2 x

    Сам по себе символ: d
    dx
    («dee, dee- x «) , называется

    дифференцирующий оператор .Мы должны взять производную от того, что следует за ним.

    Например,

    d
    dx
    f ( x ) означает производную по отношению к x от f ( x ).
    д
    дт
    (4 т 3 -5) означает производную по отношению к т
    из (4 т 3 -5).

    И так далее.

    Коэффициент простой разности

    Коэффициент разницы является версией. И иногда мы будем использовать последнее. То есть изменение значения функции y = f ( x ) равно y + Δ y . Следовательно, коэффициент разницы составляет

    .

    Иногда бывает удобно выразить коэффициент разницы как

    .

    Примечание : Когда Δ x приближается к 0 — когда точка Q перемещается ближе к P по кривой — тогда Δ y или, что эквивалентно, Δ f также приближается к 0.То есть

    Теперь ученик должен выполнить Задачи, требующие определения производной.

    Содержание | Дом


    Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
    Даже 1 доллар поможет.


    Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

    Вопросы или комментарии?

    Эл. Почта: [email protected]

    Нежное введение в производные функции

    Концепция производной является строительным блоком многих вопросов математического анализа.Это важно для понимания интегралов, градиентов, гессианов и многого другого.

    В этом руководстве вы познакомитесь с определением производной, ее обозначениями и тем, как вы можете вычислить производную на основе этого определения. Вы также узнаете, почему производная функции является самой функцией.

    После прохождения этого руководства вы будете знать:

    • Определение производной функции
    • Как вычислить производную функции на основе определения
    • Почему у некоторых функций нет производной в точке

    Приступим.

    Нежное введение в производные функции Фото Мехрин Саид, некоторые права защищены.

    Обзор учебного пособия

    Это руководство разделено на три части; их:

    1. Определение и обозначение производных функций
    2. Как вычислить производную функции с помощью определения
    3. Почему у некоторых функций нет производной в точке

    Какая производная от функции

    Проще говоря, производная функции f (x) представляет скорость ее изменения и обозначается либо f ‘(x), либо df / dx.Давайте сначала посмотрим на его определение и наглядную иллюстрацию производной.

    Иллюстрация определения производной функции

    На рисунке Δx представляет изменение значения x. Мы продолжаем делать интервал между x и (x + Δx) все меньше и меньше, пока он не станет бесконечно малым. Следовательно, мы имеем предел (Δ𝑥 → 0). Числитель f (x + Δx) -f (x) представляет соответствующее изменение значения функции f на интервале Δx. Это делает производной функции f в точке x скорость изменения f в этой точке.

    Важно отметить, что Δx, изменение x может быть отрицательным или положительным. Отсюда:

    0 <| Δx | <𝜖,

    , где 𝜖 — бесконечно малое значение.

    Об обозначениях

    Производная функции может быть обозначена как f ‘(x), так и df / dx. Математический гигант Ньютон использовал f ‘(x) для обозначения производной функции. Другой математический герой Лейбниц использовал df / dx. Таким образом, df / dx — это единый термин, который не следует путать с дробью.Он читается как производная функции f по x, а также указывает, что x является независимой переменной.

    Соединение со скоростью

    Один из наиболее часто цитируемых примеров производных от скорости. Скорость — это скорость изменения расстояния относительно время. Следовательно, если f (t) представляет собой расстояние, пройденное в момент времени t, то f ‘(t) — это скорость в момент времени t. В следующих разделах показаны различные примеры вычисления производной.

    Примеры дифференциации

    Метод нахождения производной функции называется дифференцированием.В этом разделе мы увидим, как определение производной можно использовать для нахождения производной различных функций. Позже, когда вы освоитесь с определением, вы сможете использовать определенные правила для различения функции.

    Пример 1: m (x) = 2x + 5

    Начнем с простого примера линейной функции m (x) = 2x + 5. Мы видим, что m (x) изменяется с постоянной скоростью. Мы можем дифференцировать эту функцию следующим образом.

    Производная m (x) = 2x + 5

    На приведенном выше рисунке показано, как изменяется функция m (x), а также показано, что независимо от того, какое значение x мы выбираем, скорость изменения m (x) всегда остается равной 2.2

    Поскольку g ‘(x) = 2x, следовательно, g’ (0) = 0, g ‘(1) = 2, g’ (2) = 4 и g ‘(- 1) = -2, g’ (- 2 ) = -4

    Из рисунка видно, что значение g (x) очень велико для больших отрицательных значений x. Когда x <0, увеличение x уменьшает g (x) и, следовательно, g '(x) <0 при x <0. График выравнивается для x = 0, где производная или скорость изменения g (x) становится равной нулю. Когда x> 0, g (x) увеличивается квадратично с увеличением x, и, следовательно, производная также положительна.

    Пример 3: h (x) = 1 / x

    Предположим, что у нас есть функция h (x) = 1 / x.2) также не определен при x = 0. Если функция не является непрерывной в какой-либо точке, то в этой точке у нее нет производной. Ниже приведены несколько сценариев, в которых функция не дифференцируема:

    1. Если функция не определена в точке
    2. Функция не имеет ограничения в этой точке
    3. Если функция не является непрерывной в точке
    4. Функция имеет внезапный скачок в точке

    Ниже приведены несколько примеров:

    Примеры точек, в которых нет производной

    Расширения

    В этом разделе перечислены некоторые идеи по расширению учебника, которые вы, возможно, захотите изучить.

    • Скорость и мгновенные скорости изменения
    • Правила для деривативов
    • Интеграция

    Если вы изучите какое-либо из этих расширений, я хотел бы знать. Публикуйте свои выводы в комментариях ниже.

    Дополнительная литература

    Этот раздел предоставляет дополнительные ресурсы по теме, если вы хотите углубиться.

    Учебники

    ресурсов

    Книги

    • Исчисление Томаса, 14-е издание, 2017 г.(на основе оригинальных работ Джорджа Б. Томаса, переработанных Джоэлем Хассом, Кристофером Хайлем, Морисом Вейром)
    • Исчисление, 3-е издание, 2017 г. (Гилберт Стрэнг)
    • Исчисление, 8-е издание, 2015 г. (Джеймс Стюарт)

    Сводка

    В этом руководстве вы открыли для себя производные функций и основы дифференцирования функций.

    В частности, вы выучили:

    • Определение и обозначение производной функции
    • Как отличить функцию с помощью определения
    • Когда функция не дифференцируема

    Есть вопросы? Задайте свои вопросы в комментариях ниже, и я постараюсь ответить.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.