Функция 2 x: Постройте график функции у=2/х.Найдите точки пересечения этого графика с прямой у=2х.

Содержание

2 x функция

Вы искали 2 x функция? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 y x 3 и y x, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «2 x функция».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 2 x функция,2 y x 3 и y x,2 х в квадрате график,2x функция,2х2 график,3 x функция,3 в степени x график,4 x функция,e x график функции,f x 1 x график,x 2 2x функция,x 2 функция,x в квадрате график функции,x у 2,y 2 x какой график,y 2 х,y 2x,y 2×2 функция,y x 2,y x 2 2x,y x 2 и y 2x 2,y x 2 парабола,y x 2 при x 2,y x 5 функция,y x 7 функция,y x в 2 степени график,y x в 5 степени график,y x в квадрате график,y x2,y x2 1 функция y,y x2 график функций,y x2 парабола,y x3 x,y х 2,y х в квадрате,y2 x,график 2х2,график f x 1 x,график x в 3 степени,график x в квадрате,график y 6 x,график y a x,график y x 2 2x,график y x в квадрате,график параболы y x2,график функции 2 х,график функции f x 1 x,график функции f x y построить,график функции x в квадрате,график функции x квадрат y квадрат,график функции y,график функции y 2 x в квадрате,график функции y 2 х,график функции y 2x x 2,график функции y 3 2x x 2,график функции y x 2,график функции y x 2 2x,график функции y x a,график функции y x в квадрате,график функции y x2 2x,график функции y х 2,график функции найти,график функции х 2,график функции х в квадрате,график функции х2,график функций y x2,график х квадрат у квадрат,икс в квадрате функция,исследование и построение графика функции онлайн калькулятор,калькулятор для функций онлайн,калькулятор онлайн функции,онлайн решение функции,парабола y 2 x,парабола y 2x 2,парабола y x 2,парабола y x2,парабола график функции y x2,построить график y x в квадрате,построить график функции f x,построить график функции y 2 x,построить график функции y 2x,построить график функции y 2x в квадрате,построить график функции y x в квадрате,построить график функции у х 2,построить графики функций f x и g x,постройте график функции y 2 х,постройте график функции y x 2 2x,постройте график функции y x 2 2x 2,постройте график функции y x в квадрате,у 2 x,у 2х 2 график,у x 2,у х 2 2х,у х2 2 х,у х2 2х,формула y x в квадрате,функции x 2 x 3,функция 1 x 3,функция 2x x 2,функция x 2,функция x 2 y 4,функция x y 2,функция y 2 x,функция y 2 x 2,функция y 2 x2,функция y 2x 2,функция y 2×2,функция y 2×2 и ее график,функция y 3 2x,функция y 3x 2,функция y x 1 x 2,функция y x 2,функция график,функция калькулятор,функция х 1 х 2 1,функция х в квадрате,х 2 y,х y 2,х в квадрате 2 график,х в квадрате график,х в квадрате функция,х у в квадрате график,что за функция y 2 x 2. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 x функция. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 2 х в квадрате график).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 x функция Онлайн?

Решить задачу 2 x функция вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Логарифмическая функция

Основные сведения

Логарифмической функцией называется функция вида y = logax, где a > 0 и a ≠ 1.

График функции имеет следующий вид:

Рассмотрим свойства функции:

  1. Областью определения функции является множество всех положительных чисел D(y) = (0; +∞).
  2. Множеством значений функции являются все действительные числа R.
  3. Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.
  4. Функция не является ни нечетной, ни четной. Имеет общий вид.
  5. Функция непереодическая.
  6. Нули функции: функция пересекает координатную ось Ox в точке (1; 0).
  7. При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 функция убывает.

Примеры решения задач

Задание 1.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

  1. y = log2x
  2. y = log3x
  3. y = log5x
  4. y = log10x

Решение.

Для начала построим график функции y = log2x. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.



x 1 2 4 8
y(x) -3 -2 -1 0 1 2 3

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y = log2x возрастает на всей области определения D(y)=R+, так как основание функции 2 > 1.

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. C осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

Чем больше основание a (если a > 1) логарифмической функции y = logax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.

Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

Задание 2.

В одной координатной плоскости построить графики функций:

Решение.

Для начала построим график функции. Для этого найдем значения функции при x = , , , 1, 2, 4, 8.



x 1 2 4 8
y(x) 3 2 1 0 -1 -2 -3

Отметим полученные точки на координатной плоскости, соединив их плавной линией.

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция  убывает на всей своей области определения: D(y) = R, так как основание функции 0  <  < 1.

Подобным образом построим графики остальных функций.

Переменная х может принимать только положительные значения (D(y) = R+), при этом значение у может быть любым (E(y) = R).

Графики всех данных функций пересекают ось Оx в точке (0; 1), так как логарифм по любому основанию от единицы равен нулю. С осью Оy графики не пересекаются, так как логарифм по положительному основанию не может быть равен нулю.

Чем меньше основание a (если 0 < a < 1) логарифмической функции y = logax, тем ближе расположена кривая к оси Оx.

Все данные функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Задание 3.

Найти обасть определеления функции:

  1. y = logπ(2x-4)
  2. y = log2((x-1)(x+5))

Решение

1. y = logπ(2x-4).

Область определения данной функции задается следующим неравенством:

2x-4 > 0

Решим это линейное неравенство:

2x > 4 → x > 2

Ответ: D(y): (2; +∞).


 2. y = log2((x-1)(x+5)).

Логарифм определен, если подлогарифмическая функция является положительной, то есть искомая область определения: D(y): (x-1)(x+5) > 0.

Решим полученное уравнение методом интервалов. Для этого найдем нули каждого из сомножителей:

x-1 = 0 → x = 1

x+5 = 0 → x = -5

Наносим их на координатную прямую и определяем знак неравенства на каждом из полученных промежутков.

Поскольку решаем неравенство со знаком «>», то оставляем промежутки со знаком «+», т. е D(y): (-∞; -5)U(1; +∞).

Ответ: D(y): (-∞; -5)U(1; +∞).

Функции и Графики — сайт по математике и не только!!! СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Всё о Математических функциях и их графиках…






ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

ПЕРИОДИЧНОСТЬ


Функция f(x) называется периодической с периодом T > 0 , если для любого x из области определения
значения x + T и x — T также принадлежат области определения и f(x) = f(x + T) = f(x — T).
При этом любое
число вида Tn, где n N, также является периодом этой функции.


График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов. Чтобы построить график периодической функции нужно построить фрагмент графика на любом отрезке, длинной T (например [0;T]), а затем произвести последовательные параллельные переносы фрагмента графика
на T, 2T, 3T и т.д. вдоль оси x (вправо и влево)



НУЛИ ФУНКЦИИ


Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента x0, при котором функция обращается в нуль:
f(x0) = 0.


В нуле функции её график имеет общую точку с осью x.

x1,x2,x3 — нули функции y = f(x)

МОНОТОННОСТЬ (ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ)



Функция y = f(x) называется возрастающей
на интервале (a; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1x2, справедливо неравенство f(x1) f(x2).


Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1x2, справедливо неравенство f(x1) > f(x2).


ЭКСТРЕМУМЫ (МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ)



Внутренняя точка xmax области определения называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство: f(x1) f(xmax) называется максимумом этой функции.

xmax — точка максимума
ymax — максимум


Внутренняя точка xmin области определения называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство: f(x1) > f(xmin) называется максимумом этой функции.

xmax — точка минимума
ymax — минимума

АСИМПТОТЫ


Если график функции y = f(x) имеет бесконечную ветвь (ветви), у графика могут быть асимптоты.

Асимптотой графика называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика при удалении этой точки по бесконечной ветви.

Вертикальная асимптота x = a Горизонтальная асимптота y = b Наклонная асимптота y = kx + b


Прямая x = a является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов
(предел справа) или (предел слева) равен бесконечности.

Прямая y = b является горизонтальной асимптотой, если существуют конечные пределы .

Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой,
если существуют конечные пределы
либо при x -> , либо при x -> — .




ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ


Понятие обратной функции применимо к функциям, обладающим следующим свойством: каждому значению y из области определения соответствует единственное значение x из области определения этой функции. Для многих функций это свойство выполняется лишь на части области определения, в частности (для функции y = x2 таким промежутком является, например, луч [0; ), для функции y =sin x — отрезок [- /2;/2]).


Функция g называется обратной для функции f, если каждому y из области значений функции f функция g ставит в соответствие такое x из области определения функции f, что y = f(x). Таким образом, если y = f(x), то x = g(y).


Функции f и g являются взаимно обратными.

  • Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений
    функции f является областью определения функции g.
  • Графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой y = x
    (построение графика обратной функции)

НАХОЖДЕНИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИИ, ОБРАТНОЙ ДАННОЙ


  • Пользуясь формулой y = f(x), следует выразить x через y, а в полученной формуле x = g(y)
    заменить x на y, а y на x.


Пример:
Найти формулу для функции, обратной функции: .

Выразить x через y: x = 2y — 2.

Заменить x на y: y = 2x — 2.

Результат: функция y = 2x — 2 является обратной для функции .


Внеклассный урок — Функции y = ax2 + n, y = a(x – m)2, y = a(x – m)2 + n. Функция y = ax2 + n. Функция y = a(x – m)2. График функций y = ax2 + n и y = a(x – m)2. Ф

Функции  y = ax2 + n,  y = a(xm)2,  y = a(xm)2 + n

 

График функции  y = ax2 + n.

Графиком функции y = ax2 + n является парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси y на n единиц вверх, если n > 0, или на –n единиц вниз, если n < 0.

 Пояснение.

Например, надо построить график функции y = 2x2 + 4.
Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x2, перемещается на четыре единицы вверх по оси y. Разумеется, при этом все значения y закономерно увеличиваются на 4.

Вот таблица значений функции y = 2x2:

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

32

18

8

2

0

2

8

18

32

 А вот таблица значений y = 2x2 + 4:

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

36

22

12

6

4

6

12

22

36

 Мы видим по таблице, что вершина параболы второй функции на 4 единицы выше вершины  параболы первой (ее координаты 0;4). А значения y второй функции на 4 больше значений y первой функции.

 

График функции  y = a(xm)2.

Графиком функции y = a(xm)2 является парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси x на m единиц вправо, если m>0, или на –m, если m<0.

 Пояснение.

Например, надо построить график функции y = 2(x – 6)2.
Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x2, перемещается на шесть единиц вправо вдоль оси (на графике – красная парабола).

 
 

График функции y = a(xm)2 + n.

Две функции приводят нас к третьей функции: y = a(xm)2 + n.

Графиком функции y = a(xm)2 + n является парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси x на m единиц вправо или влево и сдвига вдоль оси y на n единиц вверх или вниз.

 Пояснение:

Например, надо построить график функции y = 2(x – 6)2 + 2.
Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x2, перемещается на 6 единиц вправо (значение m) и на 2 единицы вверх (значение n). Красная парабола на графике – результат этих перемещений.

 
 
 

Свойства функции y 2x. Основные свойства функций

Для понимая данной темы, рассмотрим функцию, изображенную на графике // Покажем, как график функции позволяет определить ее свойства.

Разбираем свойства функции на примере

Областью определения функции явл. промежуток [ 3,5; 5,5].

Областью значений функции явл. промежуток [ 1; 3].

1. При x = -3, x =- 1, x = 1,5, х=4,5 значение функции равно нулю.

Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулем функции.

//т.е. для данной функции числа -3;-1;1,5; 4,5 являются нулями.

2. На промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] график функции f расположен над осью абсцисс, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) под осью абсцисс, это объясняется так -на промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] функция принимает положительные значения, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) отрицательные.

Каждый из указанных промежутков (там где функция принимает значения одного и того же знака) называют промежутком знакопостоянства функции f.//т.е. например, если взять промежуток (0; 3), то он не является промежутком знакопостоянства данной функции.

В математике принято при поиске промежутков знакопостоянства функции указывать промежутки максимальной длины. //Т.е. промежуток (2; 3) является промежутком знакопостоянства
функции f, но в ответ следует включить промежуток [ 4,5; 3), содержащий промежуток (2; 3).

3. Если перемещаться по оси абсцисс от 4,5 до 2, то можно заметить, что график функции идет вниз, то есть значения функции уменьшаются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 4,5; 2] функция убывает.

С увеличением x от 2 до 0 график функции идет вверх, т.е. значения функции увеличиваются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 2; 0] функция возрастает.

Функцию f называют , если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f (x2) > f (x1). // или Функцию называют возрастающей на некотором промежутке
, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.//т.е. чем больше х, тем больше у.

Функцию f называют убывающей на некотором промежутке
, если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f(x2)убывающей на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. //т.е. чем больше х, тем меньше у.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей
.

Если функция убывает на всей области определения, то ее называют убывающей
.

Пример 1.
график возрастающей и убывающей функций соотвественно.

Пример 2.

Определить явл. ли линейная функция f (x) = 3x + 5 возрастающей или убывающей?

Доказательство. Воспрользуемся определениями. Пусть х1 и x2 произвольные значения аргумента, причем x1

Раздел содержит справочный материал по основным элементарным функциям и их свойствам. Приводится классификация элементарных функций. Ниже даны ссылки на подразделы, в которых рассматриваются свойства конкретных функций — графики, формулы, производные, первообразные (интегралы), разложения в ряды, выражения через комплексные переменные.

Страницы со справочным материалом по элементарным функциям

Классификация элементарных функций

Алгебраическая функция
— это функция, которая удовлетворяет уравнению:
,

где — многочлен от зависимой переменной y
и независимой переменной x
.
Его можно записать в виде:
,

где — многочлены.

Алгебраические функции делятся на многочлены (целые рациональные функции), рациональные функции и иррациональные функции.

Целая рациональная функция
, которая также называется многочленом
или полиномом
, получается из переменной x
и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания) и умножения. После раскрытия скобок, многочлен приводится к каноническому виду:
.

Дробно-рациональная функция
, или просто рациональная функция
, получается из переменной x
и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания), умножения и деления. Рациональную функцию можно привести к виду
,

где и — многочлены.

Иррациональная функция
— это алгебраическая функция, не являющаяся рациональной. Как правило, под иррациональной функцией понимают корни и их композиции с рациональными функциями. Корень степени n
определяется как решение уравнения
.

Он обозначается так:
.

Трансцендентными функциями
называются неалгебраические функции. Это показательные, тригонометрические, гиперболические и обратные к ним функции.

Обзор основных элементарных функций

Все элементарные функции можно представить в виде конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления, произведенных над выражением вида:
z t
.

Обратные функции могут выражаться также через логарифмы. Ниже перечислены основные элементарные функции.

Степенная функция :
y(x) = x p
,

где p
— показатель степени. Она зависит от основания степени x
.

Обратной к степенной функции является также степенная функция:
.

При целом неотрицательном значении показателя p
она является многочленом. При целом значении p
— рациональной функцией. При рациональном значении — иррациональной функцией.

Трансцендентные функции

Показательная функция :
y(x) = a x
,

где a
— основание степени. Она зависит от показателя степени x
.

Обратная функция — логарифм по основанию a
:

x = log
a y
.

Экспонента, е в степени х :
y(x) = e x
,

Это показательная функция, производная которой равна самой функции:
.

Основанием степени экспоненты является число e
:

≈ 2,718281828459045…

.

Обратная функция — натуральный логарифм — логарифм по основанию числа e
:

x = ln
y ≡ log
e y
.

Тригонометрические функции :
Синус : ;

Косинус : ;

Тангенс : ;

Котангенс : ;

Здесь i
— мнимая единица, i 2 = -1
.

Обратные тригонометрические функции :
Арксинус: x = arcsin
y
,
;

Арккосинус: x = arccos
y
,
;

Арктангенс: x = arctg
y
,
;

Арккотангенс: x = arcctg
y
,
.

Русская гимназия

КОНСПЕКТ

Выполнил

ученик 10“Ф” класса Бурмистров Сергей

Руководитель

учитель Математики

Юлина О.А.

Нижний Новгород

Функция и её свойства

Функция-

зависимость переменной у

от переменной x

,

если каждому значению х

соответствует единственное значение у

.

Переменная х-

независимая переменная или аргумент.

Переменная у-

зависимая переменная

Значение функции-

значение у

, соответствующее заданному значению х

.

Область определения функции-

все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)-

все значения, которые принимает функция.

Функция является четной-

если для любого х
f(x)=f(-x)

Функция является нечетной-

если для любого х

из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция-

если для любых х 1

и х 2
,

таких, что х 1


х 2

, выполняется неравенство f(
х 1

)х 2

)

Убывающая функция-

если для любых х 1

и х 2
,

таких, что х 1


х 2

, выполняется неравенство f(
х 1

)>f(
х 2

)

Способы задания функции

¨ Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у

=f(x)

, где f(x)-

íåêîòîðîå âыðàæåíèå с переменной х

. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

¨ На практике часто используется табличный

способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Виды функций и их свойства

1) Постоянная функция-

функция, заданная формулой у=

b

,

где b-

некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность-

функция, заданная формулой у=

kx

,

где к¹0. Число k

называется коэффициентом пропорциональности

.

Cвойства функции y=kx

:

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx

— нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k

3)Линейная функция-

функция, которая задана формулой y=kx+b

, где k

иb



действительные числа. Если в частности, k=0

, то получаем постоянную функцию y=b

; если b=0

, то получаем прямую пропорциональность y=kx

.

Свойства функции y=kx+b

:

1. Область определения- множество всех действительных чисел

2. Функция y=kx+b

общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0функция возрастает, а при k

Графиком функции является прямая

.

4)Обратная пропорциональность-

функция, заданная формулой y=k

/х,

где k¹0 Число k

называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k

/

x:

1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k

/

x



нечетная функция

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k

Графиком функции является гипербола

.

5)Функция

y=x 2

Свойства функции y=x 2:

2. y=x 2



четная функция

3. На промежутке функция убывает

Графиком функции является парабола

.

6)Функция

y=x 3

Свойства функции y=x 3:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x 3



нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем-

функция, заданная формулой y=x n

, где n

— натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x 2
; y=x 3
. Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8… В этом случае функция y=x n

обладает теми же свойствами, что и функция y=x 2
. График функции напоминает параболу y=x 2
, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9… В этом случае функция y=x n

обладает теми же свойствами, что и функция y=x 3
. График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем-

функция, заданная формулой y=x -n

,

где n

— натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7… В этом случае функция y=x -n

обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x -2

:

1. Функция определена при всех x¹0

2. y=x -2


четная функция

3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция

y=

Ö

х

Свойства функции y=

Ö

х

:

1. Область определения — луч }

Квадратичная функция


 


Квадратичная функция
— функция вида:


f(x)=ax2+bx+c


или


y(x)=ax2+bx+c


Где  a≠0.


В уравнении квадратичной функции:


a –старший коэффициент


b – второй коэффициент


с  свободный член.


Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции


y(x)=x2


или


f(x)=x2


.


Имеет вид и строится по «базовым точкам»:


a>0




x


-3


-2


-1


0


1


2


3


y


9


4


1


0


1


4


9


Парабола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения X и Y положительные, а вторая часть – во II четверти, где значения X отрицательные, а значения Y  положительные.


y(x)>0, при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)


Если двигаться по одной ветви параболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы замечаем, что функция возрастает.


Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как y(x)=x2
при любых значениях остальных коэффициентов
.


График функции


y(x)=-x2 


Имеет вид и строится по «базовым точкам»:




x


-3


-2


-1


0


1


2


3


y


-9


-4


-1


0


-1


-4


-9


 


Парабола состоит из 2 частей: одна находится в III четверти, где значения X и Y  отрицательные, а вторая часть – в IV четверти, где значения X  положительные, а значения Y отрицательные.


y(x)<0, при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)


Если двигаться по одной ветви параболы от  -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до  +∞, то мы замечаем, что функция убывает.


 


Свойства функции y(x)=x2:


 


1)    Область определения функции:


D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞). 


2)Область значения функции:


Если a<0


E(f)=(-∞;0].


Если a>0


E(f)=[0;+∞).


3)Наибольшее и наименьшее значение функции:


Если a<0, то Yнаиб=0,Yнаим нет.


Если a>0, тоYнаим=0, Yнаиб нет.


4)Y(x)=x2— четная функция(т.к.f(-x)=x2=(-x)2=f(x) ).


График симметричен относительно оси oY  .


5) Ограниченность функции:


Если a>0, функция ограничена снизу.


Если a<0, функция ограничена сверху.


6) Функция пересекает оси oX и oY в точке (0;0)


Перемещение параболы y(x)=x2


Если добавить константу (где любое число), в качестве слагаемого к X, то произойдет перемещение параболыпо оси  (вместе с вертикальной асимптотой).


В таком случае уравнением функции станет:


y(x)=(x±d)2


Если d>0 (y(x)=(x+d)2), то график функции передвигается по оси oX  влево.


Для примера возьмем уравнение y=(x+2)2




Если d<0 (y(x)=(x-d)2), то график функции передвигается по оси oX  вправо.


Для примера возьмем уравнение y=(x-2)2




Если добавить константу c(где cлюбое число) к X2 в качестве слагаемого, то произойдет перемещение параболы по оси oY (вместе с горизонтальной асимптотой)


 


В таком случае уравнением функции станет:


 y(x)=(x)2±c


 Если  c>0 (y(x)=(x)2+c), то график функции передвигается по оси oY вверх.


Для примера возьмем уравнение y=(x)2+2



Если  c<0 (y(x)=(x)2-c), то график функции передвигается по оси oY вниз.


Для примера возьмем уравнение y=(x)2-3


 


 


Дискриминант и нахождение корней


y=ax2+bx+c


ax2+bx+c=0


D=(b)2-4ac


1) 1) Если D>0 то уравнение ax2+bx+c=0 имеет 2 решения,  уравнение y=ax2+bx+c имеет 2 точки пересечения с осью oX:



Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:



2) Если D=0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет 1 решение,=> уравнениеy=ax2+bx+c имеет 1 точку пересечения с осью oX.


Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:



3) Если  D<0, то уравнение ax2+bx+c=0 не имеет решения, => уравнениеy=ax2+bx+c не имеет общих точек пересечения с осью oX.


Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:


 


Координаты вершины параболы


Координаты вершины параболы находятся через данные формулы:



Прямая, проходящая через вершину параболы является осью симметрии параболы.


   Точка пересечения с осью oY


Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси oY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax2+bx+c с осью oY, нужно в уравнение параболы вместо Xподставить 0, тогда y(0)=c. 


Алгоритм построения квадратичной параболы


1) Направление ветвей.


2) Координаты вершины параболы.


3) Корни дискриминанта.


4) Дополнительные точки.


5) Построение графика.


Разложениеквадратного трехчлена


Пример №1


Построим функцию y=x2-6x+15


В квадратичном трехчлене x2-6x+15, чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.


Базовая формула: (a±b)2=x2±2ab+b2,


Выразим квадрат разности: x2-6x+15=(x2-6x+9)+6,


Соберем формулу: (x2-6x+9)+6=(x-3)2+6,


У нас получилась функция y=(x-3)2+6,


Мы замечаем, что график функции смещен на 3 по оси oX вправо и на 6 по оси oY вверх.


Следовательно, график функции y=(x-3)2+6 будет выглядеть таким образом:


 


Пример №2


Построим функцию y=x2+8x+17


В квадратичном трехчлене x2+8x+17,чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.


Базовая формула: (a±b)2=x2±2ab+b2,


Выразим квадрат разности: x2+8x+17=(x2+8x+16)+1,


Соберем формулу: (x2+8x+16)+1=(x+4)2+1,


У нас получилась функция y=(x+4)2+1,


Мы замечаем, что график функции смещен на 4 oX влево и на 1 по оси oY вверх.


Следовательно, график функции y=(x+4)2+1 будет выглядеть таким образом:



Итог:


Чтобы разложить квадратный трехчлен, использую такой алгоритм:


1) Выразим квадрат разности из данного трехчлена, с помощью формул сокращенного умножения;


2) Соберем, получившуюся формулу;


3) «Прочитаем» график, на смещение, относительно осей координат;


4) Построим график.


Автор статьи: Мажаров Данила Михайлович


Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Первообразная.2\)  равна \( у=2х.\)

Теперь рассмотрим функцию \(y = 2x \):

Рассмотрим площади треугольников под графиком \(y = 2x.\)

Площадь треугольника равна площади  \(\frac{1}{2}\) основания на высоту. Таким образом, ясно, что области под графиком:

\(S_{1} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1\)

\(S_{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4\)

\(S_{3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6= 9\)

Итого, можно сказать, что первообразная эквивалентна площади под функцией.

Функция может иметь несколько первообразных. 

\(F(x)+C;\)

Докажем что функция может иметь несколько первообразных:

\((F(x)+C) ′ =F ′ (x)+(C) ′ =f(x)+0=f(x).\)

\((F(x)+C) ′ =f(x).\)

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!


Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

{x} [/ latex], b — постоянное соотношение функции. {x} [/ latex] построить график функции

  1. Создайте таблицу точек.{x} [/ латекс]. Укажите домен, диапазон и асимптоту.

    Показать решение

    Перед построением графика определите поведение и создайте таблицу точек для графика.

    • Поскольку b = 0,25 находится между нулем и единицей, мы знаем, что функция убывает. Левый хвост графика будет неограниченно увеличиваться, а правый хвост приблизится к асимптоте y = 0.
    • Создайте таблицу баллов.

      x –3 –2 –1 0 1 2 3
      [латекс] f \ left (x \ right) = {0.{x} [/ латекс] 64 16 4 1 0,25 0,0625 0,015625
    • Постройте точку пересечения и [латекс] \ влево (0,1 \ вправо) [/ латекс] вместе с двумя другими точками. Мы можем использовать [latex] \ left (-1,4 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (1,0.25 \ right) [/ latex].

    Нарисуйте плавную кривую, соединяющую точки.

    Домен [latex] \ left (- \ infty, \ infty \ right) [/ latex], диапазон — [latex] \ left (0, \ infty \ right) [/ latex], а горизонтальная асимптота [латекс] y = 0 [/ латекс].{x} [/ латекс]. Укажите домен, диапазон и асимптоту.

    Показать решение

    Домен [latex] \ left (- \ infty, \ infty \ right) [/ latex], диапазон — [latex] \ left (0, \ infty \ right) [/ latex], а горизонтальная асимптота [латекс] y = 0 [/ латекс].

    Внесите свой вклад!

    У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

    Улучшить эту страницуПодробнее

    Обратная экспоненциальная функция — ChiliMath

    Я рассмотрю трех примеров в этом руководстве, показывающих, как алгебраически определить обратную экспоненциальную функцию.Но прежде чем вы взглянете на отработанные примеры, я предлагаю вам сначала просмотреть предложенные ниже шаги, чтобы иметь хорошее представление об общей процедуре.


    Шаги, чтобы найти инверсию экспоненциальной функции

    ШАГ 1: Измените f \ left (x \ right) на y.

    \ large {f \ left (x \ right) \ to y}

    ШАГ 2: Поменяйте местами \ color {blue} x и \ color {red} y в уравнении.

    \ large {x \ to y}

    \ large {y \ to x}

    ШАГ 3: Выделите экспоненциальное выражение на одной стороне (левой или правой) уравнения.

    Показанное ниже экспоненциальное выражение является общей формой, где b — основание, а N — показатель степени.

    ШАГ 4: Удалите основание b экспоненциального выражения, взяв логарифмы с обеих сторон уравнения.

    • Чтобы упростить упрощение, возьмите обе части логарифма, используя основание самого экспоненциального выражения.
    • Используя правило журнала,

    ШАГ 5: Решите экспоненциальное уравнение для \ color {red} y, чтобы получить обратное.{- 1}} \ left (x \ right)

    Давайте применим предложенные выше шаги для решения некоторых проблем.


    Примеры того, как найти инверсию экспоненциальной функции

    Пример 1: Найдите значение, обратное показанной ниже экспоненциальной функции.

    Это должно быть простой задачей, потому что экспоненциальное выражение в правой части уравнения уже изолировано для нас.

    Начните с замены обозначения функции f \ left (x \ right) на y.

    Следующим шагом является переключение переменных \ color {red} x и \ color {red} y в уравнении.{- 1}} \ left (x \ right). Это означает, что мы нашли обратную функцию.

    Если мы построим график исходной экспоненциальной функции и ее обратной на одной плоскости XY, они должны быть симметричными вдоль линии \ large {\ color {blue} y = x}. Какие они есть!


    Пример 2: Найдите значение, обратное экспоненциальной функции, приведенной ниже.

    Единственное отличие этой задачи от предыдущей состоит в том, что экспоненциальное выражение имеет знаменатель 2. В остальном шаги будут такими же.

    Мы меняем обозначение функции f \ left (x \ right) на y, а затем меняем ролями переменных \ color {red} x и \ color {red} y.

    На данный момент мы еще не можем выполнить шаг логарифмирования обеих сторон. Причина в том, что экспоненциальное выражение справа не полностью само по себе. Сначала нам нужно избавиться от знаменателя 2.

    Мы можем добиться этого, умножив обе части уравнения на 2. Левая часть станет 2x, а знаменатель в правой части исчезнет!

    Выделив экспоненциальное выражение с одной стороны, теперь можно получать журналы с обеих сторон.{- 1}} \ left (x \ right), чтобы обозначить, что мы получили обратную функцию.

    Как видите, графики экспоненциальной функции и ее обратной симметричны относительно линии \ large {\ color {green} y = x}.


    Пример 3: Найдите значение, обратное экспоненциальной функции, приведенной ниже.

    Я вижу, что одно экспоненциальное выражение делится на другое. Хорошо то, что экспоненциальные выражения имеют одинаковое основание 3. Мы должны иметь возможность упростить это, используя правило деления экспоненты.Чтобы разделить экспоненциальные выражения с равным основанием, скопируйте общее основание, а затем вычтите их показатели. Ниже приведено правило. Предполагается, что b \ ne 0.

    Обратите внимание, как исходная задача была значительно упрощена после применения правила деления экспоненты.

    На этом этапе мы можем продолжить, как обычно, решение обратной задачи. Перепишите f \ left (x \ right) как y, а затем поменяйте местами переменные \ color {red} x и \ color {red} y.

    Прежде чем мы сможем получить логарифмы обеих сторон, выделите экспоненциальную часть уравнения, сложив обе части на 4.

    Поскольку в экспоненциальном выражении используется основание 3, мы также берем логарифмы обеих частей уравнения с основанием 3! При этом показатель \ color {blue} 2y-1 с правой стороны упадет, так что мы можем продолжить решение для y, которое является необходимой обратной функцией.

    Это подтверждает, что наш ответ правильный, потому что график данной экспоненциальной функции и ее обратная (логарифмическая функция) симметричны вдоль линии \ large {y = x}.


    Возможно, вас заинтересует:

    Инверсия матрицы 2 × 2

    Функция, обратная абсолютному значению

    Функция, обратная постоянной

    Функция, обратная линейной функции

    Обратная логарифмическая функция

    Обратная квадратичная функция

    Обращение рациональной функции

    Функция, обратная квадратному корню

    Экспоненциальных функций — Бесплатная справка по математике

    Показательная функция — это математическое выражение, в котором переменная представляет показатель степени выражения.4 $$
    $$ B (4) = 100 * 1,12 * 1,12 * 1,12 * 1,12 $$
    $$ B (4) = 157,35 … $$

    На самом деле число состоит из большого количества цифр после десятичной точки. В реальной проблеме обычно указывается, где следует округлить ответ, но в этом случае имеет смысл округление до ближайшего ВСЕГО числа. Почему? Потому что здесь мы имеем дело с бактериями. Бактерий может быть только целое количество, поэтому ответ лучше всего выразить как 157 после 4 часов роста.

    Найти функцию, обратную экспоненциальной

    Пример 1

    Найдите обратную функцию, ее область определения и диапазон функции, заданной формулой

    f (x) = e x-3
    Решение для примера 1

    • Обратите внимание, что данная функция является экспоненциальной функцией с областью определения (-∞, + ∞) и диапазоном (0, + ∞).Сначала запишем функцию в виде уравнения следующим образом

      y = e x-3
    • Пройдите по обеим сторонам, чтобы получить

      x-3 = ln y или x = ln y + 3
    • Измените x на y и y на x, чтобы получить обратную функцию.

      f -1 (x) = y = ln x + 3

      Область определения и диапазон обратной функции являются соответственно диапазоном и областью заданной функции f. Следовательно

      и диапазон f -1 задаются как: домен: (0, + ∞) диапазон: (-∞, + ∞)

    Пример 2

    Найдите обратное, его область определения и диапазон функции, заданной формулой

    е (х) = 2 е (2 х + 3) + 4

    Решение для примера 2

    Пример 3

    Найдите обратное, его область определения и диапазон функции, заданной формулой

    f (x) = 2 e (x 2 -1) + 2, для x ≥ 0

    Решение для примера 3

    • Легко показать, что функция f, заданная приведенной выше формулой, является четной функцией и, следовательно, не взаимно однозначной, если область определения равна R.Однако область в нашем случае задается x ≥ 0, что делает данную функцию взаимно однозначной функцией и, следовательно, имеет обратную.

      Область f: [0, + ∞), учитывая

      Диапазон: для x в области [0, + ∞) диапазон x 2 задается как [0, + ∞), который можно записать как

      х 2 ≥ 0

      вычтите -1 в обе стороны, чтобы получить: x 2 — 1≥ — 1

      возьмите экспоненту с обеих сторон, чтобы получить: e x 2 — 1 ≥ e -1 (экспоненциальная функция является возрастающей функцией)

      умножьте на +2 обе части неравенства, чтобы получить: 2 e x 2 — 1 ≥ 2 e -1
      прибавьте +2 к обеим сторонам неравенства, чтобы получить: 2 e x 2 — 1 + 2≥ 2 e -1 + 2

      левая часть приведенного выше неравенства является заданной функцией, следовательно, диапазон данной функции определяется как: [2 e -1 + 2, + ∞)
    • Найдите обратное к f, запишите f в виде уравнения и решите относительно x.

      y = 2 e (x 2 — 1) + 2

      2 e (x 2 -1) = y — 2

      e (x 2 — 1) = (y — 2) / 2

      Возьмите перемычки с обеих сторон, чтобы получить

      x 2 — 1 = ln ((1/2) (y — 2))

      и, наконец, x = + или — sqrt [ln ((1/2) (y — 2)) + 1]

      Так как x ≥ 0 (заданная область), имеем x = sqrt [ln ((1/2) (y — 2)) + 1]

    • Измените x на y и y на x, чтобы получить обратную функцию.

      f -1 (x) = y = sqrt [ln ((1/2) (x — 2)) + 1]

      Домен и диапазон f -1 соответственно задаются диапазоном и доменом f, указанными выше.

      домен f -1 задается как: [2 e -1 + 2, + ∞), а его диапазон определяется как: [0, + ∞)

    Упражнения

    Найдите обратное, его область определения и диапазон функций, приведенных ниже.

    1.f (x) = -e x + 4
    2. g (x) = 2 — e (4x — 2) / 3
    3. h (x) = — e (2 x 2 — 5) + 3, для x ≤ 0


    Ответы на вышеуказанные упражнения

    1. f -1 (x) = ln (-x) — 4; домен: (-∞, 0) Диапазон: (-∞, + ∞)

    2. g -1 (x) = (3/4) ln (2 — y) +1/2; домен: (-∞, 2) Диапазон: (-∞, + ∞)

    3. h -1 (x) = — sqrt [(1/2) ln (3 — y) + 5/2]; домен: (-∞, — e (-5) + 3) Диапазон: (-∞, + ∞)

    Дополнительные ссылки и справочные материалы, относящиеся к обратным функциям.

    Дополнительные ссылки и ссылки на обратные функции

    Найти обратную рациональную функцию — пошаговый рабочий лист Найти обратные функции — калькулятор
    Приложения и использование обратных функций
    Найти обратную функцию — вопросы
    Найти обратную функцию (1) — Руководство.

    Определение обратной функции — Интерактивное учебное пособие
    Поиск функций, обратных корню куба.

    Найдите функции, обратные функциям квадратного корня.

    Найдите обратные логарифмические функции.
    Найдите функции, обратные экспоненциальным функциям.

    Что такое экспоненциальная функция? — Видео и стенограмма урока

    Пример функции

    Всякий раз, когда появляется новая технология, люди не спешат получить ее сразу. Он начинается с нескольких человек, затем постепенно набирает популярность все больше и больше, а затем все его используют.

    Эй, это похоже на экспоненциальную функцию!

    Для примера возьмем сотовые телефоны.Во времена пещерного человека, также известные как 1980-е, сотовые телефоны были довольно редкостью. Не вдаваясь в точные цифры, предположим, что в 1980 году у пяти человек в вашем городе были мобильные телефоны.

    В течение того года каждый из этих людей уговорил одного друга купить телефон, так что через год у вас было десять человек с телефонами. Затем каждый из этих людей уговорил друга купить телефон, так что через два года их стало 20 человек.

    Если бы вы удваивали число каждый год, вы бы очень быстро получили действительно огромное число — в этом весь смысл экспоненциальной функции.С каждым годом количество увеличивается на все большую величину.

    Теперь вернемся к нашему уравнению для экспоненциальной функции: y = ab x .

    Y — количество людей с телефонами, потому что это наша зависимая переменная. X — это количество лет, прошедших с 1980 года, потому что это наша независимая переменная.

    Мы начали с пяти человек с мобильными телефонами, поэтому 5 — это наше начальное значение , начальное значение функции, представленное константой a .В первый год мы умножили это число на 2.

    Во второй год мы взяли наше число из первого года и умножили , что на 2. Это дает нам 5 x 2 x 2, что равно 5 умноженным на 2 в квадрате. Получилось 20 человек. На третий год каждый из этих 20 человек убедил друга купить телефон, поэтому нам просто пришлось снова умножить на 2. Это дало нам 5 x 2 x 2 x 2, или 5 умножить на 2 в третьей степени, которая равна 40. Здесь вы можете увидеть схему: мы добавляем 1 к показателю степени каждый год, что означает, что мы умножаем 2 на себя. один раз в год.В этом примере 2 представляет , число, многократно умножаемое на каждом шаге , значение, возведенное в степень x , представленное константой b .

    Вот почему нам нужны две константы в уравнении: одна для исходного значения и одна для значения, возведенного в степень x . Это может немного сбивать с толку, потому что многие экспоненциальные функции начинаются с одного, поэтому a = 1. 1 умноженное на любое число — это то же самое число, поэтому похоже, что функция просто y = b x .Но не путайте: все еще там! Оно просто равно 1.

    Другой пример

    Обычный способ, которым вы увидите экспоненциальные функции, описанные словами, — это фраза типа «увеличивается или уменьшается на _____% в год». Например, стоимость инвестиции увеличивается на один процент в год. Если вы рассчитываете проценты по ссуде, вы должны использовать такое уравнение.

    Давайте рассмотрим пример задачи, чтобы увидеть, как она работает.

    Инвестор покупает недвижимость в перспективном районе города.По мере того, как территория становится лучше, стоимость недвижимости увеличивается. Стоимость недвижимости увеличивается на два процента в год. Если инвестор изначально купил его за 500 000 долларов, то сколько он будет стоить через пять лет?

    Давайте подставим это в нашу формулу экспоненциальной функции, y = ab x .

    X — количество лет после первоначальной покупки. Y — стоимость собственности. Это наши входные и выходные переменные.

    представляет начальное значение функции. Начальное значение этого свойства — 500 000, поэтому мы подставим его для и . Теперь самая сложная часть — вычислить b .

    В первой задаче b было 2, потому что у нас в два раза больше пользователей сотовых телефонов каждый год. В этом случае недвижимость стоит всего два процента, или на 0,02 доллара больше, поэтому ее стоимость растет медленнее. У вас может возникнуть соблазн вставить 0,02 для b , но просто посмотрите и посмотрите, что произойдет, когда вы построите график.

    Сразу видно, что это не рост стоимости! Это дает нам функцию, показывающую, сколько будет стоить недвижимость, если бы каждый год ее оценивали в два процента от ее стоимости годом ранее. Но мы не хотим двух процентов от его стоимости годом ранее; мы хотим, чтобы на процента больше, чем на год назад. Чтобы получить это, нам нужно умножить на 1,02.

    y = 500,000 * 1,02 x

    Если мы определим некоторые из значений этой функции, мы получим:

    Вот как это выглядит на графике.

    А, вот и лучше! Вы не можете увидеть, что наклон становится все круче, потому что числа такие большие, но обратите внимание, как y увеличивается каждый раз немного больше — сначала он увеличивается на 10 000, затем на 10 200, затем на 10 404 и т. Д. .

    Вы можете видеть, что если вы выполняете математические вычисления вручную, это приводит к тем же значениям, которые вы получаете от функции; умножив значение каждого года на 1,02, чтобы найти увеличение на два процента, вы получите одинаковые значения для каждого года.Итак, для пятого года, о котором изначально был задан вопрос, стоимость будет 552 020,40 долларов. Наш сообразительный инвестор заработал 52 000 долларов!

    Резюме урока

    На этом уроке вы узнали об экспоненциальных функциях. Показательная функция записывается в виде y = ab x .

    • y представляет выход
    • a представляет начальное значение функции
    • b представляет собой темп роста
    • x представляет вход

    В экспоненциальной функции a умножается на b x раз, чтобы получить y .График экспоненциальной функции выглядит как кривая, которая начинается с очень пологого наклона, но со временем становится все круче и круче.

    Вы можете использовать эти функции для решения любых проблем, от роста бактерий до процентов, которые вы зарабатываете на своем банковском счете — попробуйте ответить на некоторые вопросы викторины и посмотрите, как вы это сделаете!

    Результаты обучения

    Этот урок по экспоненциальным функциям может подготовить вас к достижению следующих целей:

    • Проиллюстрируйте экспоненциальную функцию
    • Определить график экспоненциальной функции
    • Разделите экспоненциальную функцию на реальном примере

    Производные от экспоненциальных функций

    На этой странице мы рассмотрим, как различать экспоненциальные функции.2}}} \ ln 4.} \]

    Исчисление I — Обратные функции

    Показать мобильное уведомление

    Показать все заметки Скрыть все заметки

    Кажется, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, то есть , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 1-2: Обратные функции

    В последнем примере из предыдущего раздела мы рассмотрели две функции \ (f \ left (x \ right) = 3x — 2 \) и \ (g \ left (x \ right) = \ frac {x} {3 } + \ frac {2} {3} \) и увидел, что

    \ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) = \ left ({g \ circ f} \ right) \ left (x \ right) = x \]

    и, как отмечено в этом разделе, это означает, что между этими двумя функциями существует хорошая взаимосвязь.Посмотрим, что это за отношения. Рассмотрим следующие оценки.

    \ [\ require {color} \ begin {align *} f \ left ({\ color {PineGreen} — 1} \ right) & = 3 \ left ({- 1} \ right) — 2 = {\ color {Красный } — 5} \ hspace {0,5 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & g \ left ({\ color {Red} — 5} \ right) & = \ frac {{- 5}} {3} + \ frac {2} {3} = \ frac {{- 3}} {3} = {\ color {PineGreen} — 1} \\ & & & \\ g \ left ({\ color {PineGreen} 2} \ right ) & = \ frac {2} {3} + \ frac {2} {3} = {\ color {Red} \ frac {4} {3}} \ hspace {0.5 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & f \ left ({\ color {Red} \ frac {4} {3}} \ right) & = 3 \ left ({\ frac {4} {3}} \ справа) — 2 = 4 — 2 = {\ color {PineGreen} 2} \ end {align *} \]

    В первом случае мы подключили \ (x = — 1 \) к \ (f \ left (x \ right) \) и получили значение \ (- 5 \). Затем мы развернулись и подключили \ (x = — 5 \) к \ (g \ left (x \ right) \) и получили значение -1, число, с которого мы начали.

    Во втором случае мы сделали нечто подобное. Здесь мы подключили \ (x = 2 \) к \ (g \ left (x \ right) \) и получили значение \ (\ frac {4} {3} \), мы развернулись и вставили это в \ ( f \ left (x \ right) \) и получил значение 2, которое снова является числом, с которого мы начали.

    Обратите внимание, что здесь мы действительно выполняем некоторую композицию функций. Первый корпус действительно,

    \ [\ left ({g \ circ f} \ right) \ left ({- 1} \ right) = g \ left [{f \ left ({- 1} \ right)} \ right] = g \ left [ {- 5} \ right] = — 1 \]

    а второй корпус действительно

    \ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (2 \ right) = f \ left [{g \ left (2 \ right)} \ right] = f \ left [{\ frac {4} {3}} \ right] = 2 \]

    Также обратите внимание, что оба они согласуются с формулой композиций, которые мы нашли в предыдущем разделе.Мы возвращаем из оценки функции число, которое мы изначально вставили в композицию.

    Итак, что здесь происходит? В некотором смысле мы можем думать об этих двух функциях как об отмене того, что другой сделал с числом. В первом случае мы вставили \ (x = — 1 \) в \ (f \ left (x \ right) \), а затем вставили результат этой оценки функции обратно в \ (g \ left (x \ right) \) и каким-то образом \ (g \ left (x \ right) \) отменил то, что \ (f \ left (x \ right) \) сделал с \ (x = — 1 \), и вернул нам оригинал \ (x \), с которой мы начали.

    Пары функций

    , которые демонстрируют такое поведение, называются обратными функциями . Прежде чем формально определять обратные функции и обозначения, которые мы собираемся использовать для них, нам нужно получить определение.

    Функция называется взаимно однозначной , если никакие два значения \ (x \) не дают одинаковых \ (y \). Математически это то же самое, что сказать

    \ [f \ left ({{x_1}} \ right) \ ne f \ left ({{x_2}} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} {\ rm {when}} \ hspace { 0.2} \) во взаимно однозначную функцию, если мы ограничимся \ (0 \ le x <\ infty \). Иногда это можно сделать с помощью функций.

    Показать, что функция является индивидуальной, часто бывает утомительно и / или сложно. По большей части мы будем предполагать, что функции, с которыми мы будем иметь дело в этом курсе, либо взаимно однозначны, либо мы ограничили область определения функции, чтобы сделать ее взаимно однозначной. одна функция.

    Теперь давайте формально определим, что такое обратные функции.Даны две взаимно однозначные функции \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \), если

    \ [\ left ({f \ circ g} \ right) \ left (x \ right) = x \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} {\ rm {AND}} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({g \ circ f} \ right) \ left (x \ right) = x \]

    , то мы говорим, что \ (f \ left (x \ right) \) и \ (g \ left (x \ right) \) — это , обратные друг другу. Более конкретно, мы скажем, что \ (g \ left (x \ right) \) — это , обратный к \ (f \ left (x \ right) \), и обозначим его как

    \ [g \ left (x \ right) = {f ^ {- 1}} \ left (x \ right) \]

    Аналогичным образом, мы могли бы также сказать, что \ (f \ left (x \ right) \) — это , обратный к \ (g \ left (x \ right) \), и обозначить его как

    \ [е \ влево (х \ вправо) = {д ^ {- 1}} \ влево (х \ вправо) \]

    Обозначения, которые мы используем, действительно зависят от проблемы. {- 1}} \ left (x \ right) \).Показать решение

    Теперь мы уже знаем, что является обратным к этой функции, поскольку мы уже поработали с ней. Однако было бы неплохо начать именно с этого, поскольку мы знаем, что должны получить. Это будет хорошей проверкой процесса.

    Итак, приступим. Сначала заменим \ (f \ left (x \ right) \) на \ (y \).

    \ [y = 3x — 2 \]

    Затем замените все \ (x \) на \ (y \) и все \ (y \) на \ (x \).{- 1}} \ left (x \ right) \).

    Показать решение

    Тот факт, что мы используем \ (g \ left (x \ right) \) вместо \ (f \ left (x \ right) \), не меняет принцип работы процесса. Вот несколько первых шагов.

    \ [y = \ sqrt {x — 3} \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, \, \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, \, \ , \, \, x = \ sqrt {y — 3} \]

    Теперь, чтобы найти \ (y \), нам нужно сначала возвести в квадрат обе стороны, а затем действовать как обычно. {- 1}} \ left (x \ right) = \ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}} \]

    Наконец, нам нужно провести проверку.{- 1}}} \ right) \ left (x \ right) & = \ frac {{2x — 1}} {{2x — 1}} \, \, \ frac {{\ frac {{4 + 5x} } {{2x — 1}} + 4}} {{2 \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}}} \ right) — 5}} \\ & = \ frac { {\ left ({2x — 1} \ right) \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}} + 4} \ right)}} {{\ left ({2x — 1} \ right) \ left ({2 \ left ({\ frac {{4 + 5x}} {{2x — 1}}} \ right) — 5} \ right)}} \\ & = \ frac {{4 + 5x + 4 \ left ({2x — 1} \ right)}} {{2 \ left ({4 + 5x} \ right) — 5 \ left ({2x — 1} \ right)}} \\ & = \ гидроразрыв {{4 + 5x + 8x — 4}} {{8 + 10x — 10x + 5}} \\ & = \ frac {{13x}} {{13}} = x \ end {align *} \]

    Вау.Это было много работы, но в конце концов все получилось. Мы сделали всю нашу работу правильно, и у нас действительно есть обратное.

    Есть еще одна последняя тема, которую нам нужно быстро обсудить, прежде чем мы закончим этот раздел.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.