Функции их свойства алгебра: Свойства основных функций. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

Содержание

1. Функции и их свойства (Алгебра, Макарычев)

1. Функции и их свойства (Алгебра, Макарычев)

admin

С О Д Е Р Ж А Н И Е Вернуться к списку тем учебника

Алгебра 9 класс. УМК Макарычев и др. Онлайн-учебник 2017. Глава 1. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. § 1. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА. (1. Функция. Область определения и область значений функции. 2. Свойства функций) Электронная версия.

§ 1. Функции и их свойства

1. Функция. Область определения и область значений функции.

2. Свойства функций

В курсе алгебры 7 и 8 классов вы уже многое узнали о функциях. В этой главе сведения о функциях будут расширены. Здесь вводятся новые понятия — область значений, возрастание и убывание функции. Основное внимание уделяется квадратичной функции. Вы узнаете о свойстве параболоида — тела, которое получается при вращении параболы вокруг её оси. Вас, вероятно, заинтересует легенда о том, как использовал это свойство древнегреческий учёный Архимед (III в. до н. э.) при защите Сиракуз. В заключительной части главы вы познакомитесь со свойствами степенной функции у = хn, где n — натуральное число, узнаете, что график этой функции при чётном п сходен с графиком функции у = х2, а при нечётном — с графиком функции у = х3. При получении свойств квадратичной и степенной функций рекомендуем использовать компьютер.

§ 1. Функции и их свойства

1. Функция. Область определения и область значений функции.


 

2. Свойства функций

OCR-версия параграфа (только текст)

Функция — одно из важнейших математических понятий. Напомним, что функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: у = f(х) (читают: «у равно / от х»). Символом f(х) обозначают также значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.

 

Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Функция у = f(x) считается заданной, если указана область определения функции и правило, согласно которому каждому значению независимой переменной поставлено в соответствие единственное значение зависимой переменной. Если функция у = f(х) задана формулой и её область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений переменной х, при которых выражение f(х) имеет смысл. Например, областью определения функции f(х) = 5х + х2 является множество всех чисел; областью определения функции g(x) = 2/(x + 3) служит множество всех чисел, кроме –3.

Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания.

Напомним, что графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

С О Д Е Р Ж А Н И Е Вернуться к списку тем учебника


Алгебра 9 Макарычев. Онлайн-учебник 2017. Глава 1. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. § 1. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА. (1. Функция. Область определения и область значений функции. 2. Свойства функций) Электронная версия.

Алгебра_Учебники

Свойства функции, для 9 класса по алгебре

Дата публикации: .

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.


Скачать:Свойства функции (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 9 класса
Интерактивное учебное пособие для 9 класса «Правила и упражнения по геометрии»
Электронное учебное пособие «Понятная геометрия» для 7-9 классов


Ребята, мы продолжаем изучать числовые функции. Сегодня мы остановимся на такой теме, как свойства функции. Функции обладают многими свойствами. Вспомните, какие свойства мы с вами совсем недавно изучили. Правильно, область определения и область значений, они являются одними из ключевых свойств. Никогда не забывайте про них и помните, что функция всегда обладает этими свойствами.

В этом разделе, мы с вами определим некоторые свойства функций. Порядок, в котором мы будем их определять, рекомендую соблюдать и при решении задач.

Возрастание и убывание функции

Первое свойство, которое мы определим, это возрастание и убывание функции.

Функция называется возрастающей на множестве Х⊂D(f), если для любых х1 и х2, таких, что х1 < x2 — выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей на множестве Х⊂D(f), если для любых х1 и х2, таких, что х1 < x2 — выполняется неравенство f(x1)>f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции.

Понятия «возрастание» и «убывание» функции очень легко понять, если внимательно посмотреть на графики функции. Для возрастающей функции: мы как бы поднимаемся в горку, для убывающей соответственно — спускаемся. Общий вид возрастающих и убывающих функции представлен на графиках ниже.

Возрастание и убывание функции в общем случае называется монотонностью. То есть, наша задача -это найти промежутки убывания и возрастания функции. В общем случае это формулируется так: найти промежутки монотонности или исследовать функцию на монотонность.

Пример

Исследовать на монотонность функцию $y=3x+2$.
Решение: Проверим функцию для любых х1 и х2 и пусть х1 < x2.
$f(x1)=3×1+2$
$f(x2)=3×2+2$
Поскольку, х1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Ограниченность функции

Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной снизу на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.

Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной сверху на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.

Если промежуток Х не указывается, то считают, что функция ограничена на всей области определения.
Функция ограниченная и сверху, и снизу называется ограниченной.

Ограниченность функции легко читается по графику. Можно провести некоторую прямую
$у=а$, и если функция выше этой прямой, то ограниченность снизу. Если ниже, то соответственно сверху. 2}≤4$, но это значит ограниченность сверху.
Ответ: наша функция ограниченна двумя прямыми $у=0$ и $у=4$.

Наибольшее и наименьшее значение

Наименьшим значение функции y= f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое, что:
a) Существует некоторое х0, что $f(x0)=m$.
б) Для любого хϵХ, выполняется $f(x)≥f(x0)$.

Наибольшим значение функции y=f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое что:
a) Существует некоторое х0, что $f(x0)=m$.
б) Для любого хϵХ, выполняется $f(x)≤f(x0)$.

Наибольшее и наименьшее значение принято обозначать yнаиб. и yнаим..

Понятия ограниченности и наибольшего с наименьшим значением функции тесно связаны. Выполняются следующие утверждения:
а) Если существует наименьшее значение у функции, то она ограничена снизу.
б) Если существует наибольшее значение у функции, то она ограничена сверху.
в) Если функция не ограничена сверху, то наибольшего значения не существует. 2+16x≥0$. Найдем корни квадратного трехчлена $(2х+1)(2х-9)≥0$. При $х=-0,5$ и $х=4,5$ функция обращается в ноль, во всех остальных точках она больше нуля. Тогда, по определению, наименьшее значению функции равно нулю.
Ответ: yнаиб.=5 и yнаим.=0.

Ребята мы с вами еще изучали понятия выпуклости функции. При решении некоторых задач, нам это свойство может понадобиться. Это свойство, также легко определяется с помощью графиков.

Функция выпукла вниз, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется ниже линии соединения точек.

Функция выпукла вверх, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется выше линии соединения точек.

Функция непрерывна, если график нашей функции не имеет разрывов, например, как график функции выше.

Если требуются найти свойства функции, то последовательность поиска свойств такова:
а) Область определения.
б) Монотонность. 2$,
в) $y=\frac{4}{x}$.

Функциональные свойства

Определение функции: Функция — это правило
или формула, которая связывает каждый элемент в наборе X (вход)
ровно одному и только одному элементу множества Y (выход).
Разные элементы в X могут иметь одинаковый вывод, и не каждый
элемент в Y должен быть выходом.

Определение домена функции: Набор
всех возможных входов функции определяется как домен .
Область определения действительнозначной функции, определяемой формулой для y в
термины x будут набором всех x входных значений, которые приводят к реальному
y выходное значение, если область определения функции не указана далее.
ограниченный.

Определение диапазона функции: Набор
всех возможных выходов функции определяется как диапазон .
Диапазон функции с действительным знаком, определяемый формулой для y в
термины x будут набором всех выходных значений y, которые являются результатом
x входных значений в домене.

Обозначение функции: Учитывая, что f(x) определяется выражением
некоторая формула, содержащая x, f(B) будет одной и той же формулой с каждым x
заменен на Б.

Определение линейной функции: Если функция может
записать в виде f(x) = mx + b, где x — независимая
переменные, а m и b — константы, то f(x) представляет собой линейную
функция. Переменная m определяется как наклон и точка (0, b)
представляет y-перехват. Известно, что уравнение в такой форме находится в
Форма пересечения уклонов .

Определение наклона линейной функции: Учитывая, что
f(x) = mx + b, тогда m определяется как наклон, где:
 
для любых двух точек (x 1 , y 1 ) и (x 2 ,
у 2 ) на линии. Графически наклон представляет
изменение у по отношению к х на графике линии.

Линейные функции параллельных прямых Если два
линейные функции задаются выражением f(x) = m 1 х + b и g(x) = m 2 х
+ b, и m 1 = m 2 , то графики f(x) и
g(x) будет состоять из двух прямых, параллельных друг другу.

Линейные функции перпендикулярных прямых Если два
линейные функции задаются как f(x) = m 1 x + b и g(x) = m 2 x
+ b, и m 1 = -1/m 2 , то графики f(x) и
g(x) будет состоять из двух прямых, параллельных друг другу.

Графики четных функций Дана функция f(x),
если f( c ) = f(- c ) для всех c в домене, то f(x)
является функцией даже , и ее график будет иметь симметрию с
относительно оси Y.

Графики нечетных функций Дана функция f(x),
если f( c ) = -f(- c ) для всех c в домене, то
f(x) называется нечетная функция и ее график будет иметь симметрию
относительно происхождения. Симметрия относительно начала координат
подразумевает, что поворот графика на 180 градусов вокруг (0,0) приводит к
идентичный график.

Функции со сдвигом влево Дана функция f(x)
и его график и значение c>0, график f(x + c) будет
сдвиг графика f(x) влево на «c» единиц. Это известно как
Функция смещения влево Правило
.

Функции со сдвигом вправо Дана функция f(x)
и его график и значение c>0, график f(x — c) будет
сдвиг графика f(x) вправо на «c» единиц. Это известно как
Правило функции переключения вправо .

Функции со сдвигом вверх Дана функция f(x) и
его график и значение c>0, график f(x) + c будет
сдвиг графика f(x) вверх на «с» единиц. Это известно как
Функция вертикального смещения Правило
.

Функции со сдвигом вниз Дана функция f(x)
и его график и значение c>0, график f(x) — c
будет сдвигом графика f(x) вниз на «c» единиц. это известно
как правило функции вертикального смещения .

Функция, отраженная по оси X Учитывая
функции f(x) и ее графика, то график g(x) = -f(x) будет
отражение графика f(x) поперек оси x. это известно
как Функция отражения по оси X Правило .

Функция, отраженная по оси Y Учитывая
функции f(x) и ее графика, то график g(x) = f(-x) будет
отражение графика f(x) поперек оси x. это известно
как правило
функции отражения по оси Y .

Функция Вертикально растянутая или сжатая Дано
функция f(x) и ее график и значение c >0, график
г (х) = c ●f(x) будет вертикальным растяжением графика f(x).
Это означает, что все y-значения g(x) будут равны c раз.
соответствующие y-значения f(x). Это известно как Вертикаль.
Правило функции растяжения
.

Определение полиномиальной функции Если f(x)
можно записать в виде а 1 x n + a 2 x n-1
+ а 3 х n-2 + . … + a n , то f(x) есть
полиномиальная функция степени n, где 1 , 2 ,
… a n — действительные коэффициенты. Линейные функции
Многочлены 1-й степени и квадратичные функции имеют 2-ю степень
многочлены.

Графики многочленов Дана функция f(x)
многочлен, его точки пересечения по оси x будут располагаться при значениях x x=c
такое, что f(c) = 0. Другими точками решения на графике будут
расположенный между каждыми двумя x-перехватами.

Стандартная форма квадратичных функций Квадратичная
функции вида f(x) = ax 2 + bx + c всегда могут быть
переписан в виде y = a(x — h) 2 + k.
Затем можно применить правила функционального сдвига, чтобы указать, что граф будет
будет вертикальным растяжением y = x 2 и будет сдвинуто вправо,
влево, вверх или вниз в соответствии со значениями h и k.

Графики квадратичных функций в форме f(x) = ax 2
+ bx + c
Учитывая f(x) = ax 2 + bx + c, график будет
сдвиг g(x) = ax 2 (это означает, что он имеет ту же форму), и
будет иметь вершину в точке x=-b/2a, y = f(-b/2a).

Свойство вершины квадратичной функции
Вершина f(x) = ax 2 + bx + c будет самой нижней точкой
графика, если a>0, и будет наивысшей точкой графика, если a<0. Вершина представляет собой минимальное значение функции для a>0 и
представляет собой максимальное значение функции, если a<0.

Функциональные операции Даны две функции f(x)
и g(x), операции (f+g)(x), (f-g)(x), (fg)(x) и (f/g)(x) являются
определяется следующим образом:

  • ( f + г) ( x ) = f ( x ) + г ( x )
    и иногда обозначается f+g
  • ( f — g ) ( x ) = f ( x ) — г ( x )
    и иногда обозначается ф — г
  • ( fg )( x ) = f ( x )● г ( x )
    и иногда обозначается фг
  • ( f / г ) ( x ) = f ( x )/ г ( x )
    при условии г(х) ≠0.
    Иногда это обозначается ф/г

Композиция функций Даны две функции f(x)
и g(x), состав функции (туман)(x), определяется в
следующим образом:

( г )( x ) = f [ г ( x )]  и
иногда обозначается как f o g

По сути, композиция подразумевает ввод всего
формула второй функции в для каждого значения x формулы
в первой функции, предполагая, что x является используемой переменной.

Определение обратных функций Учитывая два
функции f(x) и g(x), если (fo g)(x) = x и (g o f)(x) = x, то
f(x) является инверсией g(x), а g(x) является инверсией f(x). Каждый из
эти функции обращают операции другой функции в
обратный порядок. В этом смысле обратная функция f(x) будет состоять
той же формулы с заменой x и y — решение для
y приводит к «обращению» всех операций над x и, таким образом, приводит к
формула обратной функции.

Мы обозначаем обратную функцию f(x) как f -1 (x) и мы
обозначим обратную функцию g(x) как g -1 (x).

Домен и диапазон функций, обратных
друг друга
Даны две функции f(x) и g(x), обратные каждой из них.
другой, затем

Область определения f(x) будет состоять из того же интервала, что и
Диапазон g(x).

Диапазон f(x) будет состоять из того же интервала, что и
Область определения g(x).

Один к одному Требование для f(x) иметь обратное значение
Функция
Для заданной функции f(x) она будет иметь обратную, только если
и только если каждое значение y в его диапазоне соответствует только 1 значению x
в указанном домене. Когда дело обстоит так, что каждый y
полученный только из 1 значения x, мы говорим, что f (x) является взаимно однозначной функцией.

Обратите внимание, что графический способ определить, что f(x) не
один к одному — показать, что горизонтальная линия проходит более чем через
1 балл. Это часто называют тестом горизонтальной линии .

 

Четные и нечетные функции — определение, свойства, графики, примеры

В математике мы изучаем различные типы функций. Мы можем определить, является ли функция четной или нечетной, алгебраически или графически. Четные и нечетные функции можно проверить, подставив отрицательные входные данные (-x) вместо x в функцию f(x) и рассмотрев соответствующее выходное значение. Четные и нечетные функции классифицируются на основе их отношений симметрии. Четные и нечетные функции названы на основании того, что степенная функция f(x) = x n — четная функция, если n четное, и f(x) — нечетная функция, если n нечетное.

Давайте изучим другие четные и нечетные функции и поймем их свойства, графики и использование четных и нечетных функций в интегрировании. Функция может быть четной или нечетной, или одновременно четной и нечетной, или ни четной, ни нечетной. Давайте рассмотрим различные примеры, чтобы понять концепцию.

1. Что такое четные и нечетные функции?
2. Четные и нечетные функции в тригонометрии
3. Интегральные свойства четных и нечетных функций
4. График четных и нечетных функций
5. Свойства четных и нечетных функций
6. Часто задаваемые вопросы о четных и нечетных функциях

Что такое четные и нечетные функции?

Обычно мы считаем вещественную функцию четной или нечетной. Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, мы подставляем -x вместо x в функцию f(x), то есть мы проверяем выходное значение f(-x), чтобы определить тип функции. Четные и нечетные функции симметричны. Давайте сначала разберемся с их определениями.

Четные и нечетные функции Определение

  • Четная функция — Для функции f(x) с действительным знаком, когда выходное значение f(-x) совпадает с f(x), для всех значений x в области f функция называется четной функцией. Четная функция должна содержать следующее уравнение: f(-x) = f(x) для всех значений x в D(f), где D(f) обозначает область определения функции f. Другими словами, мы можем сказать, что уравнение f (-x) — f (x) = 0 выполняется для четной функции для всех x. Рассмотрим пример, f(x) = x 2 .
    f(-x) = (-x) 2 = x 2 для всех значений x, поскольку квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного значения числа. Отсюда следует f(-x) = f(x) для всех x. Следовательно, f(x) = x 2 — четная функция. Точно так же такие функции, как x 4 , x 6 , x 8 и т. д., являются четными функциями.
  • Нечетная функция —  Для функции f(x) с действительным знаком, когда выходное значение f(-x) совпадает с отрицательным значением f(x), для всех значений x в области определения f, функция называется нечетной. Нечетная функция должна содержать следующее уравнение: f(-x) = -f(x) для всех значений x в D(f), где D(f) обозначает область определения функции f. Другими словами, мы можем сказать, что уравнение f (-x) + f (x) = 0 выполняется для нечетной функции для всех x. Рассмотрим пример, f(x) = x 3 .
    f(-x) = (-x) 3 = -(x 3 ) для всех значений x, поскольку куб отрицательного числа совпадает с отрицательным значением куба положительного значения числа . Отсюда следует f(-x) = -f(x) для всех x. Следовательно, f(x) = x 3 — нечетная функция. Точно так же такие функции, как x 5 , x 7 , x 9 и т. д., являются нечетными функциями.
  • И четные, и нечетные функции    Вещественнозначная функция f(x) называется одновременно четной и нечетной, если она удовлетворяет условию f(-x) = f(x) и f(-x) = -f (x) для всех значений x в области определения функции f(x). Существует только одна функция, которая одновременно является четной и нечетной, и это нулевая функция, f(x) = 0 для всех x. Мы знаем, что для нулевой функции f(-x) = -f(x) = f(x) = 0 для всех значений x. Следовательно, f(x) = 0 — четная и нечетная функция.
  • Ни четная, ни нечетная функция —  Говорят, что функция f(x) с действительным знаком не является ни четной, ни нечетной, если она не удовлетворяет условию f(-x) = f(x) и f(-x) = -f (x) хотя бы для одного значения x в области определения функции f(x). Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять определение. Рассмотрим f(x) = 2x 5 + 3x 2 + 1, f(-x) = 2(-x) 5 + 3(-x) 2 + 1 = -2x 5 + 3x 2 + 1, что не равно ни f(x), ни -f(x). Следовательно, f(x) = 2x 5 + 3x 2 + 1 не является ни четной, ни нечетной функцией.

Четные и нечетные функции в тригонометрии

В этом разделе мы разделим тригонометрические функции на четные и нечетные. У нас есть шесть тригонометрических отношений (синус, косинус, тангенс, котангенс, косеканс и секанс). Эти тригонометрические отношения дают положительные значения в разных квадрантах для различных мер углов.

В первом квадранте (где все координаты x и y положительны) все шесть тригонометрических отношений имеют положительные значения. Во втором квадранте положительны только синус и косеканс. В третьем квадранте положительны только тангенс и котангенс. В четвертом квадранте положительны только косинус и секанс. На основании этих признаков мы разделим их на четные и нечетные функции.

Если тригонометрическое соотношение четное или нечетное, можно проверить через единичный круг. Угол, измеренный в направлении против часовой стрелки, является положительным углом, тогда как угол, измеренный в направлении по часовой стрелке, является отрицательным углом.

  • sinθ = y, sin(-θ) = -y; Следовательно, sin(-θ) = -sinθ. Следовательно, sinθ — нечетная функция.
  • cosθ = y, cos(-θ) = y; Следовательно, cos(-θ) = cosθ. Следовательно, cosθ — четная функция.
  • тангенс θ = у, тангенс (-θ) = -у; Следовательно, tan(-θ) = -tanθ. Следовательно, tanθ — нечетная функция.
  • cosecθ = y, cosec(-θ) = -y; Следовательно, cosec(-θ) = -cosecθ. Следовательно, cosecθ — нечетная функция.
  • секθ = у, сек(-θ) = у; Следовательно, sec(-θ) = secθ. Следовательно, secθ — четная функция.
  • кроватка θ = у, кроватка (-θ) = -у; Следовательно, cot(-θ) = -cotθ. Следовательно, cotθ — нечетная функция.

Интегральные свойства четных и нечетных функций

Интеграл функции дает площадь под кривой. Мы используем свойства четных и нечетных функций при решении определенных интегралов. Для этого нам нужно знать пределы интеграла и характер функции. Если функция четная или нечетная, а интервал равен [-a, a], мы можем применить следующие два правила: 9{а}\) f(x)dx = 0

График четных и нечетных функций

Теперь посмотрим, как графически ведут себя четные и нечетные функции. График четной функции симметричен относительно оси Y . Другими словами, график четной функции остается прежним после отражения относительно оси у. Для любых двух противоположных входных значений x значение функции будет оставаться одинаковым на протяжении всей кривой.

Принимая во внимание, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат . Другими словами, график нечетной функции находится на одном и том же расстоянии от начала координат, но в противоположных направлениях. Для любых двух противоположных входных значений x функция имеет противоположные значения y. Вот несколько примеров четных и нечетных функций.

Свойства четных и нечетных функций

  • Сумма двух четных функций четна, а сумма двух нечетных функций нечетна.
  • Разница между двумя четными функциями четна, а разница между двумя нечетными функциями нечетна.
  • Сумма четной и нечетной функций не является ни четной, ни нечетной, если только одна из них не является нулевой функцией.
  • Произведение двух четных функций является четным, и произведение двух нечетных функций также является четной функцией.
  • Произведение четной и нечетной функции нечетно.
  • Частное двух четных функций четно, и частное двух нечетных функций также является четной функцией.
  • Частное четной и нечетной функций нечетно.
  • Композиция двух четных функций четна, а композиция двух нечетных функций нечетна.
  • Композиция четной и нечетной функций четна.

Важные замечания о четных и нечетных функциях

  • Функция f(x) четна, если f(-x) = f(x), для всех значений x в D(f), и нечетна, если f (-x) = -f(x) для всех значений x.
  • В тригонометрии cosθ и secθ — четные функции, а sinθ, cosecθ, tanθ, cotθ — нечетные функции.
  • График четной функции симметричен относительно оси Y, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
  • f(x) = 0 — единственная функция, которая является четной и нечетной.

Темы, связанные с четными и нечетными функциями

  • Функция четности
  • Нечетная функция
  • Типы функций

Часто задаваемые вопросы о четных и нечетных функциях

Что такое четные и нечетные функции в математике?

Функция f(x) является четной, если f(-x) = f(x), для всех значений x в D(f), и нечетной, если f(-x) = -f(x), для все значения х. График четной функции симметричен относительно оси y, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Вещественная функция f(x) называется одновременно четной и нечетной, если она удовлетворяет f(-x) = f(x) и f(-x) = -f(x) для всех значений x в области функции f(x).

Как определить четные и нечетные функции алгебраически?

Чтобы проверить, является ли функция четной или нечетной алгебраически, мы проверяем, является ли f(-x) = f(x) или f(-x) = -f(x) для всех значений x соответственно. Если мы заменяем x на -x в функции и значение функции становится отрицательным, то функция называется нечетной функцией. Если мы заменим x на -x в функции и значение функции не изменится, то функция будет известна даже как функция.

Если функция f четная, то какой тип симметрии имеет график f?

Четные и нечетные функции показывают разные типы симметрии. Даже функции имеют линейную симметрию. Линия симметрии является осью Y. Даже функции — это функции, в которых, когда мы заменяем x на -x, значение функции для этого конкретного x не меняется. График четной функции ведет себя одинаково для всех точек на оси X, которые находятся как слева от начала координат, так и справа от него.

Какие тригонометрические функции являются четными и нечетными функциями?

В тригонометрии cosθ и secθ — четные функции, а sinθ, cosecθ, tanθ, cotθ — нечетные функции. Различные тригонометрические отношения имеют положительные и отрицательные значения в разных квадрантах. Следовательно, используя единичный круг, мы можем видеть, что cosθ и secθ — четные функции, а остальные четыре тригонометрических отношения — нечетные.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *