Формулы нахождения площадей фигур: Формулы площади. Площадь треугольника, квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограмма, трапеции, круга, эллипса.

Содержание

Формулы геометрии. Площади фигур — материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по Математике

Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!


Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.

1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: .

2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: .

3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в  раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в  раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

Читайте также о задачах на тему «Координаты и векторы». Для их решения вспомните, что такое абсцисса точки (это ее координата по ) и что такое ордината (координата по ). Пригодятся также такие понятия, как координаты вектора и длина вектора (она находится по теореме Пифагора), синус и косинус угла, угловой коэффициент прямой, уравнение прямой, а также сумма, разность и скалярное произведение векторов, угол между векторами.

Как найти площадь фигуры? Ответ на webmath.ru

Содержание:

Определения

Площадь является одним из основных математических понятий. Она характеризует как плоские, так и поверхностные геометрические объекты.

Определение

Площадью плоской замкнутой фигуры называется величина части плоскости, которая находится внутри указанной фигуры.

Единицей измерения площади плоской фигуры является квадрат со стороной, равной единице. Число, соответствующее
площади некоторой фигуры, состоящей из частей, равно сумме чисел, соответствующих площадям этих частей. Измерение
площадей треугольников и многоугольников основано на возможности построения равновеликих им прямоугольников.

Площадь произвольной ограниченной плоской фигуры определяется как общий предел площадей описанных и
вписанных в нее многоугольников, наибольшие стороны которых по длине стремятся к нулю.

Если фигура имеет площадь, то она называется квадрируемой.

Формулы площади основных геометрических фигур

Площадь треугольника

Чтобы найти площадь треугольника, надо найти полупроизведение двух его сторон на синус угла между ними.{2}$$

Читать дальше: формула площади круга и примеры решений →

Площадь квадрата

Чтобы найти площадь квадрата, надо длину его стороны возвести в квадрат, то есть

Читать дальше: формула площади квадрата и примеры решений →

Площадь прямоугольника

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо его длину умножить на ширину, то есть

Читать дальше: формула площади прямоугольника и примеры решений →

Площадь параллелограмма

Чтобы найти площадь параллелограмма, нужно найти произведение стороны
$a$ параллелограмма на высоту
, проведенную к этой стороне, то есть

Читать дальше: формулы площади параллелограмма и примеры решений →

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно длину средней линии
умножить на длину высоты
, опущенной к основанию:

Читать дальше: формулы площади трапеции и примеры решений →

Площадь ромба

Чтобы найти площадь ромба, надо длину стороны умножить на длину высоты, проведенной к этой стороне:

Читать дальше: формулы площади ромба и примеры решений →

Площадь эллипса

Чтобы найти площадь эллипса, нужно найти произведение длин большой и малой полуосей этого эллипса на число
$\pi$, то есть

Читать дальше: формула площади эллипса и примеры решений →

Площади геометрических фигур / math5school.ru





































 

 


Треугольник

 

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

 

 


Треугольник

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. 

 

 


Треугольник

 

 

 

 

Площадь треугольника равна корню квадратному из произведения полупериметра этого треугольника и разностей полупериметра и всех его сторон. 

 

 


Треугольник 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна отношению произведения квадрата его стороны на синусы прилежащих углов к удвоенному синусу противолежащего угла. 


 

 

 

 


Треугольник

 

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна отношению произведения квадрата его высоты на синус угла, из вершины которого проведена эта высота, к удвоенному произведению синусов двух других углов.


 

 

 

 


Треугольник 

 

 

 

 

 


Площадь треугольника равна произведению квадрата его полупериметра на тангенсы половин всех углов треугольника. 

 

 


Прямоугольный треугольник

 

 

 

 

 

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 

 

 


Равнобедренный треугольник

 

 

 

 

 

 

Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения его основания на корень квадратный из разности квадратов боковой стороны и половины основания. 

 

 


Равносторонний треугольник 

 

 

 

 

 

Площадь равностороннего треугольника равна четверти произведения квадрата стороны этого треугольника и квадратного корня из трёх. 

 

 


Равносторонний треугольник  

 

 

 

 

Площадь равностороннего треугольника равна отношению квадрата его высоты к квадратному корню из трёх. 


 

 

 


Треугольник

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна отношению произведения всех его сторон к четырём радиусам, описанной около него окружности. 

 

 


Треугольник 

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна удвоенному произведению квадрата радиуса, описанной около него окружности, и синусов всех его углов.


 

 

 


Треугольник

 

 

 

 

 

Площадь треугольника (многоугольника) равна произведению его полупериметра и радиуса окружности, вписанной в этот треугольник (многоугольник). 

  

 

 


Треугольник 

 

 

 

 

 

 

Площадь треугольника равна произведению квадрата радиуса вписанной окружности на котангенсы половин всех углов треугольника.

 

 


Прямоугольник

 

 

 

 

 

Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних его сторон. 

 

 


Квадрат

 

 

 

 

Площадь квадрата равна квадрату его стороны. 

 

 


Квадрат

 

 

 

 

 

Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали. 

 

 


Параллелограмм

 

 

 

 

 

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. 

 

 


Параллелограмм

 

 

 

 

 

Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон на синус угла между ними.  

 


Ромб

 

 

 

 

 

 

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус одного из его углов.  


 

 

 


Ромб (дельтоид)

 

 

 

 

 

Площадь ромба (как и дельтоида) равна половине произведения его диагоналей. 

 

 


Трапеция

 

 

 

 

 

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. 

 

 


Трапеция

 

 

 

 

 

 

Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту. 


 

 

 


Выпуклый четырёхугольник

 

 

 

 

 

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.  

 

 


Вписанный четырёхугольник

 

 

 

 

Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, равна корню квадратному из произведения разностей полупериметра этого четырёхугольника и всех его сторон. 

 

 


Круг

 

 

 

 

 

Площадь круга равна произведению числа «пи» на квадрат радиуса. 

 

 


Круг 

 

 

 

  

Площадь круга равна четверти произведения числа «пи» на квадрат диаметра. 

 

 


Круговой сектор

формулы для случаев градусной и радианной мер центральных углов

Площадь кругового сектора равна произведению площади единичного сектора (сектор, соответствующий центральному углу с мерой равной единице) на меру центрального угла, соответствующего данному сектору.

 

 


Круговое кольцо

 

 

 

  

  

Площадь кругового кольца равна произведению числа «пи» на разность квадратов внешнего и внутреннего радиусов. 

 

 


Круговое кольцо

 

 

  

  

Площадь кругового кольца равна четверти произведения числа «пи» на разность квадратов внешнего и внутреннего диаметров. 

 

 


Круговое кольцо

 

 

 

  

Площадь кругового кольца равна удвоенному произведению числа «пи», среднего радиуса кольца и его ширины. 

Формула вычисления площади для всех геометрических фигур

Стандартное обозначение площади — S

Площадь

Пусть длина стороны квадрата равна a, тогда формул квадрата:

S = a ⋅ a = a2

Прямоугльник

Пусть длины сторон прямоугольника равны a и b

S = a ⋅ b

Параллелограмм

Пусть длины сторон параллелограмма равны a и b и
ha это высота на сторону a,
и hb это высота на сторону b
Формула площади параллелограмма:

S = a ⋅ ha = b ⋅ hb

Трапеция

Допустим, что длины параллельных сторон трапеции имеют длину a и b и расстояние между двумя основами s h(the trapezoid altitude).2\cdot \text{ctg}(\frac{\pi}{n})$

n — число ребер(вершин).
$\pi=3,14159265359$

Какие три формулы площадей фигур, нужно обязательно знать? | Математика в школе

Приветствую Вас, уважаемые читатели!

В школьном курсе геометрии 7-9 класс, очень много формул площадей различных фигур, которые необходимо знать, для успешного прохождения итоговой аттестации и при обучении в 8-9 классе.

После прочтения, Вы поймете, как эти формулы зависят друг от друга, и какие нужно знать, а какие можно просто вывести из других.

В 8 классе учащиеся начинают знакомится с четырехугольниками (параллелограммом, ромбом, прямоугольником, квадратом, трапецией). Все формулы для этих фигур схожие. Нужно знать только три основные формулы, с помощью которые находят площадь параллелограмма.

Формулы нахождения площади параллелограмма

Формулы нахождения площади параллелограмма

Третья формула дается в курсе геометрии 9 класса, а вот вторая формула практически не используется в учебнике геометрии, хотя на нее есть задания в ОГЭ.

От всех формул, которые приведены выше, выводятся все остальные формулы, и легко понять, почему у той или иной фигуры такая формула, а не другая.

Рассмотрим фигуры подробней.

1) Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Значит, все формулы, что есть в параллелограмме, используются для ромба.

Формулы нахождения площади ромба

Формулы нахождения площади ромба

Формула нахождения ромба через диагонали, в учебнике не выделена, ее нужно доказать из задачи. Но как вы видите. все формулы, которые есть в ромбе, это формулы параллелограмма.

2) Прямоугольник. Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы равны. Именно поэтому прямоугольник, с которым дети знакомятся еще в младших классах, имеет формулу нахождения площади S=ab.

В 8 классе, учащиеся узнают, что Sin90=1 (синус 90 градусов равен 1), поэтому, взяв третью формулу, мы получаем, что площадь прямоугольника равна S=ab (площадь прямоугольника равна, произведению длин его смежных сторон).

Формулы нахождения площади прямоугольника.

Формулы нахождения площади прямоугольника.

Вторая формула для параллелограмма используется так же и для прямоугольника. Но в прямоугольнике, диагонали равны, поэтому формула упрощается, и мы получаем, что площадь прямоугольника равна половине произведения квадрата диагонали. Эту формулу покажу в квадрате.

3) Квадрат — это параллелограмм у которого все стороны и углы равны.

Формулы нахождения площади квадрата

Формулы нахождения площади квадрата

Если мы проведем диагональ в параллелограмме, прямоугольнике или ромбе, то получим два равных треугольника. Площадь любого треугольника будет равна половине площади параллелограмма, но мы сможем использовать только первую и третью формулу, поскольку диагоналей в треугольнике нет.

Формулы для нахождения площади треугольника выведенные через параллелограмм

Формулы для нахождения площади треугольника выведенные через параллелограмм

Следующая фигура — это трапеция. Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (называются основания), а две другие не параллельны (боковые стороны).

Формулы нахождения площади для трапеции, состоит из двух формул площади треугольника, которые в свою очередь вывели из параллелограмма.

Вывод формулы площади трапеции.

Вывод формулы площади трапеции.

Так же площадь трапеции, можно найти с помощью второй формулы параллелограмма, через диагонали.

Площадь трапеции через диагонали

Площадь трапеции через диагонали

Эта формула, универсальная, для любого выпуклого четырехугольника (четырехугольник, все стороны которого лежат по одну сторону от прямой, соединяющий две его соседние вершины)

Формула нахождения площади выпуклого четырехугольника.

Формула нахождения площади выпуклого четырехугольника.

Это основные формулы, которые могут вам встретить на ОГЭ по математике в 17 и 18 задании.

Видео объяснение этого материала, можешь посмотреть ниже:

Спасибо, что прочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите класс и подпишитесь на мой блог.

Необычные формулы для нахождения площадей. Как вычислить площадь фигуры

Площади геометрических фигур — численные значения, характеризующие их размер в двумерном пространстве. Эта величина может измеряться в системных и внесистемных единицах. Так, например, внесистемная единица площади — сотка, гектар. Это в том случае, если измеряемой поверхностью является участок земли. Системная же единица площади — квадрат длины. В системе СИ принято считать, что единица площади плоской поверхности — это квадратный метр. В СГС единица площади выражается через квадратный сантиметр.

Геометрия и формулы площадей неразрывно связаны. Эта связь заключается в том, что вычисление площадей плоских фигур основывается именно на их применении. Для многих фигур выведены несколько вариантов, по которым вычисляются их квадратные размеры. Опираясь на данные из условия задачи, мы можем определить максимально простой способ для решения. Тем самым облегчить расчет и свести вероятность ошибки вычисления к минимуму. Для этого рассмотрим основные площади фигур в геометрии.

Формулы для нахождения площади любого треугольника представлены несколькими вариантами:

1) Площадь треугольника рассчитывается по основанию a и высоте h. Основанием считают сторону фигуры, на которую опущена высота. Тогда площадь треугольника:

2) Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается точно также, если гипотенузу считать основанием. Если же за основание принять катет, то площадь прямоугольного треугольника будет равна уменьшенному вдвое произведению катетов.

На этом формулы для вычисления площади любого треугольника не заканчиваются. Другое выражение содержит стороны a,b и синусоидальную функцию угла γ, заключенного между a и b. Значение синуса находится по таблицам. Также его можно узнать с помощью калькулятора. Тогда площадь треугольника:

По данному равенству тоже можно убедиться в том, что площадь прямоугольного треугольника определяется через длины катетов. Т.к. угол γ — прямой, поэтому площадь прямоугольного треугольника рассчитывается без умножения на функцию синуса.

3) Рассмотрим частный случай — правильный треугольник, у которого сторона a известна по условию или ее длина найдется при решении. О фигуре в задаче по геометрии больше ничего не известно. Тогда площадь как найти при этом условии? В этом случае применяется формула для площади правильного треугольника:

Прямоугольник

Как найти площадь прямоугольника и использовать при этом размеры сторон, имеющих общую вершину? Выражение для вычисления такое:

Если для вычисления площади прямоугольника требуется использовать длины диагоналей, то тогда понадобится функция синуса угла, образованного при их пересечении. Такая формула площади прямоугольника имеет вид:

Квадрат

Площадь квадрата определяют как вторую степень длины стороны:

Доказательство вытекает из определения, согласно которому квадратом называют прямоугольник. У всех сторон, образующих квадрат, одинаковые размеры. Поэтому вычисление площади такого прямоугольника сводится к перемножению одной на другую, т. е. ко второй степени стороны. И формула для вычисления площади квадрата примет искомый вид.

Площадь квадрата можно найти другим способом, например, если использовать диагональ:

Как вычислить площадь фигуры, которая образована частью плоскости, ограниченной окружностью? Для расчета площади формулы такие:

Параллелограмм

Для параллелограмма формула содержит линейные размеры стороны, высоты и математическое действие — умножение. Если же высота неизвестна, то тогда как найти площадь параллелограмма? Есть еще один способ вычисления. Потребуется определенное значение, которое примет тригонометрическая функция угла, образованного смежными сторонами, а также их длины.

Формулы площади параллелограмма таковы:

Ромб

Как найти площадь четырехугольника, называемого ромбом? Площадь ромба определяется с помощью простых математических действий с диагоналями. Доказательство опирается на тот факт, что отрезки диагоналей в d1 и d2 пересекаются под прямым углом. По таблице синусов видно, что для прямого угла данная функция равна единице. Поэтому площадь ромба рассчитывается так:

Еще площадь ромба может быть найдена другим способом. Доказать это тоже нетрудно, если учесть, что стороны его одинаковы по длине. Затем подставить их произведение в похожее выражение для параллелограмма. Ведь частным случаем именно этой фигуры является ромб. Здесь γ — внутренний угол ромба. Площадь ромба определяют так:

Трапеция

Как найти площадь трапеции через основания (a и b), если в задаче указаны их длины? Здесь без известного значения длины высоты h вычислить площадь такой трапеции не удастся. Т.к. эту величину содержит выражение для вычисления:

Квадратный размер прямоугольной трапеции тоже можно вычислить таким же способом. При этом учитывают, что в прямоугольной трапеции понятия высоты и боковой стороны объединены. Поэтому для прямоугольной трапеции нужно указывать вместо высоты длину боковой стороны.

Цилиндр и параллелепипед

Рассмотрим что нужно, чтобы рассчитать поверхность всего цилиндра. Площадь данной фигуры составляет пара кругов, называемых основаниями, и боковая поверхность. Окружности, образующие круги имеют длины радиусов, равные r. Для площади цилиндра имеет место такое вычисление:

Как найти площадь параллелепипеда, который состоит из трех пар граней? Его измерения совпадают с конкретной парой. Грани, находящиеся противоположно, имеют одинаковые параметры. Сначала находят S(1), S(2), S(3) — квадратные размеры неравных граней. Затем уже площадь поверхности параллелепипеда:

Кольцо

Две окружности с общим центром образуют кольцо. Они же ограничивают площадь кольца. При этом обе расчетные формулы учитывают размеры каждой окружности. Первая из них, вычисляющая площадь кольца, содержит больший R и меньший r радиусы. Чаще их называют внешним и внутренним. Во втором выражении площадь кольца рассчитывается через больший D и меньший d диаметры. Таким образом, площадь кольца по известным радиусам рассчитывают так:

Площадь кольца, с использованием длин диаметров, определяют следующим образом:

Многоугольник

Как найти площадь многоугольника, форма которого не является правильной? Общей формулы для площади таких фигур нет. Но если она изображена на координатной плоскости, например, это может быть клетчатая бумага, тогда как найти площадь поверхности в этом случае? Тут применяют способ, который не требует приблизительно измерить фигуру. Поступают так: если нашли точки, которые попадают в уголок клетки или имеют целые координаты, то учитывают только их. Чтобы затем выяснить, чему равна площадь, используют формулу, доказанную Пиком. Необходимо сложить количество точек, расположенных внутри ломаной линии с половиной точек, лежащих на ней, и вычесть единицу, т. е. вычисляется это таким образом:

где В,Г — количество точек, расположенных внутри и на всей ломаной линии соответственно.

Все формулы площади плоских фигур

Площадь равнобедренной трапеции

1. Формула площади равнобедренной
трапеции через стороны и угол

а — нижнее основание

b — верхнее основание

с — равные боковые стороны

α — угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции
через стороны, (S):

Формула площади равнобедренной трапеции
через стороны и угол, (S):

2. Формула площади равнобедренной
трапеции через радиус вписанной
окружности

R- радиус вписанной
окружности

D- диаметр вписанной
окружности

O- центр вписанной
окружности

H- высота трапеции

α,
β — углы трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции
через радиус вписанной окружности, (S):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности
в равнобедренную трапецию:

3. Формула площади равнобедренной
трапеции через диагонали и угол между
ними

d- диагональ трапеции

α,β- углы
между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции
через диагонали и угол между ними, (S):

4. Формула площади равнобедренной
трапеции через среднюю линию, боковую
сторону и угол при основании

c- боковая сторона

m- средняя линия трапеции

α, β — углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции
через среднюю линию, боковую сторону и
угол при основании,

(S):

5. Формула площади равнобедренной
трапеции через основания и высоту

a — нижнее основание

b — верхнее основание

h — высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции
через основания и высоту, (S):

Площадь треугольника по стороне и двум
углам, формула.

a, b, c- стороны треугольника

α, β, γ- противолежащие углы

Площадь треугольника через сторону и
два угла (S):

Формула площади правильного многоугольника

a — сторона многоугольника

n — количество сторон

Площадь правильного многоугольника,
(S):

Формула (Герона) площади треугольника
через полупериметр (S):

Площадь равностороннего треугольника
равна:

Формулы расчета, площади равностороннего
треугольника.

a — сторона треугольника

h – высота

Как вычислить площадь равнобедренного
треугольника?

b — основание треугольника

a — равные стороны

h – высота

3. Формула площади трапеции через четыре
стороны

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

Радиус описанной окружности трапеции
по сторонам и диагонали

a — боковые стороны трапеции

c — нижнее основание

b — верхнее основание

d — диагональ

h — высота

Формула радиуса описанной окружности
трапеции, (R)

найти радиус описанной окружности
равнобедренного треугольника по сторонам

Зная стороны равнобедренного треугольника,
можно по формуле, найти, радиус описанной
окружности около этого треугольника.

a, b — стороны треугольника

Радиус описанной окружности
равнобедренного треугольника (R):

Радиус вписанной окружности в шестиугольник

a — сторона шестиугольника

Радиус вписанной окружности в
шестиугольник, (r):

Радиус вписанной окружности в ромб

r — радиус вписанной окружности

a — сторона ромба

D, d — диагонали

h — высота ромба

Радиус вписанной окружности в равнобочную
трапецию

с — нижнее основание

b — верхнее основание

a — боковые стороны

h — высота

Радиус вписанной окружности в прямоугольный
треугольник

a, b — катеты треугольника

с — гипотенуза

Радиус вписанной окружности в
равнобедренный треугольник

a, b — стороны треугольника

Доказать, что площадь вписанного
четырёхугольника равна

\/(р — а)(р — b) (р — с) (р — d),

где р — полупериметр и а, b, с и d —
стороны четырёхугольника.

Доказать, что площадь вписанного в круг
четырёхугольника равна

1/2 (ab + cb) · sin α , где а, b, с и d — стороны
четырёхугольника и α — угол между
сторонами а и b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). — Читайте
подробнее на FB.ru:

Площадь произвольного четырёхугольника
(рис. 1.13) можно выразить через его стороны
а, b, c и сумму
пары противоположных углов:

где р – полупериметр четырёхугольника.

Площадь вписанного в окружность
четырёхугольника ()
(рис. 1.14, а) вычисляется по формуле
Брахмагупты

а описанного (рис. 1.14, б) () – по формуле

Если же четырёхугольник вписан и описан
одновременно (рис. 1.14, в), то формула
становится совсем простой:

Формула Пика

Чтобы оценить площадь многоугольника
на клетчатой бумаге, достаточно
подсчитать, сколько клеток покрывает
этот многоугольник (площадь клетки мы
принимаем за единицу). Точнее, если S –
площадь многоугольника, — число клеток,
которые целиком лежат внутри многоугольника,
и — число клеток, которые имеют с
внутренностью многоугольника хоть одну
общую точку.

Будем рассматривать ниже только такие
многоугольники, все вершины которых
лежат в узлах клетчатой бумаги – в
таких, где пересекаются линии сетки.
Оказывается, что для таких многоугольников
можно указать такую формулу:

где — площадь, r – число узлов, которые
лежат строго внутри многоугольника.

Эту формулу называют «формула Пика» —
по имени математика, открывшего её в
1899 году.

Что такое площадь?

Площадь – характеристика замкнутой геометрической фигуры (круг, квадрат, треугольник и т.д.), которая показывает ее размер. Площадь измеряется в квадратных сантиметрах, метрах и т.д. Обозначается буквой S
(square).

Как найти площадь треугольника?

S =


a ·
h

где a
– длина основания, h
– высота треугольника, проведенная к основанию.

Причем, основание не обязательно должно находиться снизу. Так тоже сойдет.

Если треугольник тупоугольный
, то высота опускается на продолжение основания:

Если треугольник прямоугольный
, то основанием и высотой являются его катеты:

2. Другая формула, которая является не менее полезной, но которую почему-то всегда забывают:

S =


a · b · sinα

где a
и b
– две стороны треугольника, sinα
– синус угла между этими сторонами.

Главное условие – угол берется между двумя известными сторонами.

3. Формула площади по трем сторонам (формула Герона):

S =

где a
, b
и с
– стороны треугольника, а р –
полупериметр. p
= (a + b + c
)/2.

4. Формула площади треугольника через радиус описанной окружности:

S =

где a
, b
и с
– стороны треугольника, а R –
радиус описанной окружности.

5. Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности:

S =

p · r

где р –
полупериметр треугольника, а r –
радиус вписанной окружности.

Как найти площадь прямоугольника?

1. Площадь прямоугольника находится довольно-таки просто:

S =
a ·
b

Никаких подвохов.

Как найти площадь квадрата?

1. Так как квадрат является прямоугольником, у которого все стороны равны, то к нему применяется такая же формула:

S =
a ·
a = a 2

2. Также площадь квадрата можно найти через его диагональ:

S =


d

2

Как найти площадь параллелограмма?

1. Площадь параллелограмма находится по формуле:

S =
a ·
h

Это связано с тем, что если от него отрезать прямоугольный треугольник справа и приставить его слева, получится прямоугольник:

2. Также площадь параллелограмма можно найти через угол между двумя сторонами:

S =
a ·
b ·
sinα

Как найти площадь ромба?

Ромб по своей сути является параллелограммом, у которого все стороны равны. Поэтому для него применяются те же формулы площади.

1. Площадь ромба через высоту:

S =
a ·
h

Формулы площадей 📐 всех фигур

Площадь треугольника

Прямоугольного

Равностороннего треугольника

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника


S = a2/2

Площадь треугольника через синус

Площадь треугольника через косинус

Для нахождения площади треугольника нужно знать все стороны.  По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны равен:

Следовательно:

Далее используем формулу Герона:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности

Произвольного треугольника

Формула Герона

Площадь треугольника через высоту

Площадь треугольника через полупериметр

Формула Герона

является полупериметром.

Площадь тупоугольного треугольника


S = ah/2

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности


S = p×r

где p — полупериметр:

Площадь параллелограмма

Через синус

Через стороны и углы


S = a×b×sin(α) =  a×b×sin(β)

Через диагонали и угол между ними

Формула площади прямоугольника


S = a×b

Площадь квадрата


S = a2

Площадь четырехугольника

Выпуклого четырехугольника

где

Площадь многоугольника


S = S1 + S2 + S3 + S4

Правильного многоугольника

где n — количество сторон многоугольника.

Площадь ромба

Площадь многогранника

Площадь пятиугольника

Площадь закрашенного сектора

Площадь круга


S = πr2

Площадь трапеции

Через основания и высоту

Через высоту и среднюю линию


S = hm

Через четыре стороны

Через диагонали и угол между ними

Через основания и два угла

Периметр, площадь и объем

1. В

периметр

из
многоугольник (или любая другая замкнутая кривая, например окружность) — это расстояние вокруг внешней стороны.

2. В

область

из
простая замкнутая плоская кривая — это количество внутреннего пространства.

3. В

объем

из
твердый

3

D

shape — это количество перемещаемого им пространства.

Некоторые формулы для общих

2

-мерные плоские фигуры и

3

-мерные тела приведены ниже.Ответов один, два,
или три измерения;

периметр

измеряется в

линейные единицы

,

область

измеряется в

квадратные единицы

, а также

объем

измеряется в

кубические единицы

.


Таблица

1

. Формулы периметра


Форма


Формула


Переменные

Квадратный

п

знак равно

4

s

s

длина стороны квадрата.

Прямоугольник

п

знак равно

2

L

+

2

W

L

а также

W

— длины сторон прямоугольника (длина и ширина).

Треугольник

а

+

б

+

c

а

,

б

, а также

c

— длины сторон.

п

знак равно

а

+

б

+

а

2

+

б

2

а

а также

б

длины двух катетов треугольника

Круг

р

это радиус и

d

это диаметр.


Таблица 2. Формулы площади


Форма


Формула


Переменные

Квадратный

s

длина стороны квадрата.

Прямоугольник

L

а также

W

— длины сторон прямоугольника (длина и ширина).

Треугольник

А

знак равно

1

2

б

час

б

а также

час

основание и высота

Треугольник

А

знак равно

s

(

s

а

)

(

s

б

)

(

s

c

)

где

s

знак равно

а

+

б

+

c

2

а

,

б

, а также

c

длины сторон и

s

полупериметр

Параллелограмм

б

длина основания и

час

это высота.

Трапеция

А

знак равно

б

1

+

б

2

2

час

б

1

а также

б

2

— длины параллельных сторон и

час

расстояние (высота) между параллелями.

Круг

А

знак равно

π

р

2

р

это радиус.


Таблица 3. Формулы объема


Форма


Формула


Переменные

Куб

s

длина стороны.

Правая прямоугольная призма

L

это длина,

W

ширина и

ЧАС

это высота.

Призма или цилиндр

А

площадь основания,

час

это высота.

Пирамида или конус

А

площадь основания,

час

это высота.

Сфера

р

это радиус.

Нахождение неправильных фигур

Результаты обучения

  • Объедините области правильных форм, чтобы найти области неправильных форм.

Итак, мы нашли область для прямоугольников, треугольников, трапеций и кругов.Неправильная фигура — это фигура, не имеющая стандартной геометрической формы. Его площадь не может быть рассчитана ни по одной из стандартных формул площади. Но некоторые неправильные фигуры состоят из двух или более стандартных геометрических фигур. Чтобы найти площадь одной из этих неправильных фигур, мы можем разбить ее на фигуры, формулы которых нам известны, а затем сложить площади фигур.

пример

Найдите площадь заштрихованной области.

Решение
Данный рисунок неправильный, но мы можем разбить его на два прямоугольника.Площадь заштрихованной области будет суммой площадей обоих прямоугольников.

Синий прямоугольник имеет ширину [латекс] 12 [/ латекс] и длину [латекс] 4 [/ латекс]. Красный прямоугольник имеет ширину [латекс] 2 [/ латекс], но его длина не указана. Правая часть рисунка — это длина красного прямоугольника плюс длина синего прямоугольника. Поскольку правая сторона синего прямоугольника имеет длину [латекс] 4 [/ латекс] единиц, длина красного прямоугольника должна быть [латекс] 6 [/ латекс] единиц.

Площадь рисунка [латекс] 60 [/ латекс] квадратных единиц.
Есть ли другой способ разделить эту фигуру на два прямоугольника? Попробуйте и убедитесь, что у вас такая же площадь.

пример

Найдите площадь заштрихованной области.

Показать решение

Решение
Мы можем разбить эту неправильную фигуру на треугольник и прямоугольник. Площадь фигуры будет суммой площадей треугольника и прямоугольника.
Прямоугольник имеет длину [латекс] 8 [/ латекс] единиц и ширину [латекс] 4 [/ латекс] единиц.
Нам нужно найти основание и высоту треугольника.
Поскольку обе стороны прямоугольника [латекс] 4 [/ латекс], вертикальная сторона треугольника — [латекс] 3 [/ латекс], то есть [латекс] 7 — 4 [/ латекс].
Длина прямоугольника составляет [латекс] 8 [/ латекс], поэтому основание треугольника будет [латекс] 3 [/ латекс], то есть [латекс] 8 — 4 [/ латекс].

Теперь мы можем добавить области, чтобы найти площадь неправильной фигуры.

Площадь рисунка [латекс] 36,5 [/ латекс] квадратных единиц.

пример

Трасса средней школы имеет форму прямоугольника с полукругом (полукругом) на каждом конце. Прямоугольник имеет длину [латекс] 105 [/ латекс] метров и ширину [латекс] 68 [/ латекс] метров. Найдите область, ограниченную дорожкой. Округлите ответ до ближайшей сотой.

Показать решение

Решение
Разобьем фигуру на прямоугольник и два полукруга.Площадь фигуры будет суммой площадей прямоугольника и полукругов.

Прямоугольник имеет длину [латекс] 105 [/ латекс] м и ширину [латекс] 68 [/ латекс] м. Полукруги имеют диаметр [латекс] 68 [/ латекс] м, поэтому каждый имеет радиус [латекс] 34 [/ латекс] м.

математических формул для основных фигур и трехмерных фигур

В математике (особенно в геометрии) и естественных науках вам часто нужно вычислять площадь поверхности, объем или периметр различных форм.Будь то сфера или круг, прямоугольник или куб, пирамида или треугольник, каждая форма имеет определенные формулы, которым вы должны следовать, чтобы получить правильные измерения.

Мы собираемся изучить формулы, которые понадобятся вам для определения площади поверхности и объема трехмерных фигур, а также площади и периметра двухмерных фигур. Вы можете изучить этот урок, чтобы изучить каждую формулу, а затем сохранить ее для быстрого ознакомления в следующий раз, когда она вам понадобится. Хорошая новость заключается в том, что в каждой формуле используются одни и те же базовые измерения, поэтому изучение каждого нового становится немного проще.

Площадь поверхности и объем сферы

Д. Рассел

Трехмерный круг известен как сфера. Чтобы вычислить площадь поверхности или объем сферы, вам необходимо знать радиус ( r ). Радиус — это расстояние от центра сферы до края, и оно всегда одинаково, независимо от того, от каких точек на краю сферы вы измеряете.

Когда у вас есть радиус, формулы довольно просто запомнить. Как и в случае с окружностью круга, вам нужно будет использовать число пи ( π ).Как правило, это бесконечное число можно округлить до 3,14 или 3,14159 (принятая дробь — 22/7).

  • Площадь поверхности = 4πr 2
  • Объем = 4/3 πr 3

Площадь поверхности и объем конуса

Д. Рассел

Конус — это пирамида с круглым основанием, имеющая наклонные стороны, которые сходятся в центральной точке. Чтобы рассчитать его площадь поверхности или объем, необходимо знать радиус основания и длину стороны.

Если вы этого не знаете, вы можете найти длину стороны ( s ), используя радиус ( r ) и высоту конуса ( h ).

После этого вы можете найти общую площадь поверхности, которая является суммой площади основания и площади стороны.

  • Площадь основания: πr 2
  • Площадь стороны: πrs
  • Общая площадь поверхности = πr 2 + πrs

Чтобы найти объем сферы, вам нужны только радиус и высота.

Площадь и объем цилиндра

Д. Рассел

Вы обнаружите, что с цилиндром намного легче работать, чем с конусом. Эта форма имеет круглое основание и прямые параллельные стороны. Это означает, что для определения его площади поверхности или объема вам понадобятся только радиус ( r ) и высота ( h ).

Тем не менее, вы также должны учитывать то, что есть как верх, так и низ, поэтому радиус необходимо умножить на два для площади поверхности.

  • Площадь поверхности = 2πr 2 + 2πrh
  • Объем = πr 2 ч

Площадь поверхности и объем прямоугольной призмы

Д. Рассел

Прямоугольник в трех измерениях становится прямоугольной призмой (или коробкой). Когда все стороны равны, он становится кубом. В любом случае для определения площади поверхности и объема требуются одни и те же формулы.

Для них вам нужно знать длину ( l ), высоту ( h ) и ширину ( w ).С кубом все три будут одинаковыми.

  • Площадь поверхности = 2 (левый) + 2 (левый) + 2 (белый)
  • Объем = л. С.

Площадь и объем пирамиды

Д. Рассел

С пирамидой с квадратным основанием и гранями из равносторонних треугольников работать сравнительно легко.

Вам нужно будет знать размер одной длины основания ( b ). Высота ( х ) — это расстояние от основания до центральной точки пирамиды.Сторона ( s ) — это длина одной грани пирамиды от основания до верхней точки.

  • Площадь поверхности = 2bs + b 2
  • Объем = 1/3 b 2 h

Другой способ вычислить это — использовать периметр ( P ) и площадь ( A ) базовой формы. Это можно использовать для пирамиды с прямоугольным, а не квадратным основанием.

  • Площадь поверхности = (½ x P x s) + A
  • Объем = 1/3 Ач

Площадь поверхности и объем призмы

Д.Рассел

При переходе от пирамиды к равнобедренной треугольной призме необходимо также учитывать длину формы ( l ). Запомните сокращения для основания ( b ), высоты ( h ) и стороны ( s ), потому что они необходимы для этих вычислений.

  • Площадь поверхности = bh + 2ls + lb
  • Объем = 1/2 (бч) л

Тем не менее, призма может быть любой формы. Если вам нужно определить площадь или объем нечетной призмы, вы можете полагаться на площадь ( A ) и периметр ( P ) базовой формы.Часто в этой формуле будет использоваться высота призмы или глубина ( d ), а не длина ( l ), хотя вы можете увидеть любое сокращение.

  • Площадь поверхности = 2A + Pd
  • Объем = объявления

Площадь сектора круга

Д. Рассел

Площадь сектора круга может быть вычислена в градусах (или радианах, как это чаще всего используется в расчетах). Для этого вам понадобятся радиус ( r ), пи ( π ) и центральный угол ( θ ).

  • Площадь = θ / 2 r 2 (в радианах)
  • Площадь = θ / 360 πr 2 (в градусах)

Площадь эллипса

Д. Рассел

Эллипс также называют овалом и по сути представляет собой удлиненный круг. Расстояния от центральной точки до стороны непостоянны, что делает формулу для определения ее площади немного сложной.

Чтобы использовать эту формулу, вы должны знать:

  • Semiminor Axis ( a ): кратчайшее расстояние между центральной точкой и краем.
  • Большая полуось ( b ): наибольшее расстояние между центральной точкой и краем.

Сумма этих двух точек остается постоянной. Вот почему мы можем использовать следующую формулу для вычисления площади любого эллипса.

Иногда вы можете увидеть эту формулу, записанную с r 1 (радиус 1 или малая полуось) и r 2 (радиус 2 или большая полуось), а не a и b .

Площадь и периметр треугольника

Треугольник — одна из самых простых фигур, и вычислить периметр этой трехсторонней формы довольно просто. Вам необходимо знать длины всех трех сторон ( a, b, c ), чтобы измерить полный периметр.

Чтобы узнать площадь треугольника, вам понадобится только длина основания ( b ) и высота ( h ), которая измеряется от основания до вершины треугольника. Эта формула работает для любого треугольника, независимо от того, равны ли стороны или нет.

Площадь и окружность круга

Подобно сфере, вам нужно знать радиус ( r ) круга, чтобы узнать его диаметр ( d ) и длину окружности ( c ). Имейте в виду, что круг — это эллипс, который имеет одинаковое расстояние от центральной точки до каждой стороны (радиуса), поэтому не имеет значения, где на краю вы измеряете.

  • Диаметр (d) = 2r
  • Окружность (c) = πd или 2πr

Эти два измерения используются в формуле для вычисления площади круга.Также важно помнить, что отношение длины окружности к ее диаметру равно пи ( π ).

Площадь и периметр параллелограмма

Параллелограмм имеет два набора противоположных сторон, идущих параллельно друг другу. Форма четырехугольная, поэтому у нее четыре стороны: две стороны одной длины ( a ) и две стороны другой длины ( b ).

Чтобы узнать периметр любого параллелограмма, используйте эту простую формулу:

Когда вам нужно найти площадь параллелограмма, вам понадобится высота ( х ).Это расстояние между двумя параллельными сторонами. Также требуется основание ( b ) — это длина одной из сторон.

Имейте в виду, что b в формуле площади не то же самое, что b в формуле периметра. Вы можете использовать любую из сторон, которые были объединены в пары как a и b при вычислении периметра, хотя чаще всего мы используем сторону, перпендикулярную высоте.

Площадь и периметр прямоугольника

Прямоугольник — это тоже четырехугольник.В отличие от параллелограмма, внутренние углы всегда равны 90 градусам. Кроме того, стороны, противоположные друг другу, всегда будут иметь одинаковую длину.

Чтобы использовать формулы для периметра и площади, вам необходимо измерить длину прямоугольника ( l ) и его ширину ( w ).

  • Периметр = 2h + 2w
  • Площадь = в x ш

Площадь и периметр квадрата

Квадрат даже проще, чем прямоугольник, потому что это прямоугольник с четырьмя равными сторонами.Это означает, что вам нужно знать длину только одной стороны ( s ), чтобы найти ее периметр и площадь.

Площадь и периметр трапеции

Трапеция — это четырехугольник, который может показаться сложной задачей, но на самом деле это довольно просто. У этой формы только две стороны параллельны друг другу, хотя все четыре стороны могут иметь разную длину. Это означает, что вам нужно знать длину каждой стороны ( a, b 1 , b 2 , c ), чтобы найти периметр трапеции.

  • Периметр = a + b 1 + b 2 + c

Чтобы найти площадь трапеции, вам также понадобится высота ( х ). Это расстояние между двумя параллельными сторонами.

Площадь и периметр шестиугольника

Шестигранный многоугольник с равными сторонами — это правильный шестиугольник. Длина каждой стороны равна радиусу ( r ). Хотя это может показаться сложной формой, вычисление периметра — это простой вопрос умножения радиуса на шесть сторон.

Определить площадь шестиугольника немного сложнее, и вам придется запомнить эту формулу:

Площадь и периметр восьмиугольника

Правильный восьмиугольник похож на шестиугольник, но у этого многоугольника восемь равных сторон. Чтобы найти периметр и площадь этой формы, вам понадобится длина одной стороны ( a ).

  • Периметр = 8a
  • Площадь = (2 + 2√2) a 2

Что такое область 2D-форм?

Что такое площадь 2D-фигур?

Площадь любой 2D-формы — это размер области, заключенной в нее.Есть несколько 2D-форм, таких как квадрат, прямоугольник, круг, ромб и треугольник. Цветная область в каждой форме представляет область соответствующей формы.

Единица площади называется квадратными. У разных форм есть разные формулы для расчета площади.

Площадь квадрата и прямоугольника :

Площадь квадрата и прямоугольника равна произведению двух смежных сторон.

2D Форма Формула площади Пример
Квадрат

Площадь квадрата = Сторона × Сторона

Площадь = S × S

Площадь = 4 × 4 = 16 кв.размеры в см

Прямоугольник

Площадь прямоугольника = длина × ширина

= длина × ширина

Площадь = 8 × 3 = 24 кв. См

Площадь треугольника :

Треугольники могут быть разных типов, например равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник и прямоугольный треугольник, но формула для площади всех видов треугольников одинакова.

Площадь треугольника определяется по формуле: 1 2 × b × h, где основание (b) — длина одной из сторон треугольника, а высота (h) — перпендикулярное расстояние между основанием. и верхняя вершина треугольника.

Пример:

В треугольнике ABC основание составляет 6 единиц, а высота — 4 единицы.

Итак, площадь треугольника ABC = 1 2 × b × h

= 1 2 × 6 × 4

= 12 кв. Единиц

Круг :

Площадь круга вычисляется по формуле π × r 2 , где r — радиус круга, а π — константа, значение которой равно 227 или 3.14

Пример: Площадь вышеуказанного круга = π × r 2

= 3,14 × 4 2

= 3,14 × 16

= 50,24 кв. См

Ромб :

Формула для определения площади ромба: pq / 2, где p и q — две диагонали ромба.

В ромбе ABCD площадь можно вычислить следующим образом:

Площадь ромба = 1 2 pq

= 1 2 × 3 × 5

= 7,5 кв. См

Параллелограмм :

Чтобы найти площадь параллелограмма, мы используем формулу b × h, где b обозначает основание, а h обозначает высоту. Высота — это расстояние по вертикали между основанием и верхом.

Пример:

На приведенном выше рисунке площадь параллелограмма равна b × h. Следовательно, это 6 × 4 = 24 кв. См

Интересные факты

Что такое площадь неправильной формы?

Участок неправильной формы

Неправильные формы — это многоугольники с пятью или более сторонами различной длины. Эти формы или фигуры можно разложить на треугольники, квадраты и четырехугольники для оценки площади.

Вот некоторые примеры неправильной формы:

Предметы повседневного быта неправильной формы

Расчет площади неправильной формы:

Подходы к оценке площади неправильной формы:

Оценка площади с использованием единичных квадратов

Примените эту технику для фигур с кривыми, кроме идеального круга или полукругов и неправильных четырехугольников. В этом методе разделите фигуру на единичные квадраты.Общее количество единичных квадратов, попадающих в форму, определяет общую площадь.

Рисунок: Некоторые примеры неправильной формы

Считайте квадрат как «1», если заштрихованная область покрывает более половины, при вычислении площади для более точной оценки.

Рис.: Для фигур неправильной формы считайте квадраты с оранжевой и желтой кодировкой как 1.

На следующем рисунке рассчитайте площадь, подсчитав единичные квадраты, что составляет 6.Если обозначить каждую единицу квадрата в сантиметрах, то площадь будет 6 см2.

Рис.: Расчет площади неправильной формы с изогнутыми краями

  • Разделение неправильной формы на две или более правильных формы

Используйте этот метод для неправильных форм, которые представляют собой комбинацию треугольников и многоугольников. Используйте предопределенные формулы, чтобы вычислить площадь таких фигур и сложить их вместе, чтобы получить общую площадь.

Например, неправильной формы мы разделяем несколько ребер на треугольник и три многоугольника.

Общая площадь фигуры определяется как:

⇒ Площадь = Площадь (ABIM) + Площадь (BCGH) + Площадь (CDEF) + Площадь (JKL)

⇒ Площадь = (AB × BI) + (BC × CG) + (CD × DE) + ( 1 2 × LJ × KO)

⇒ Площадь = (10 × 5) + (3 × 3) + (2 × 2) + ( 1 2 × 4 × 4)

⇒ Площадь = 50 + 9 + 4 + 8

⇒ Площадь = 71 см2

  • Разделение неправильной формы кривыми на две или более правильных формы

В этом методе разложите неправильную форму на несколько квадратов, треугольников или других четырехугольников.В зависимости от формы и кривых, часть фигуры может быть кругом, полукругом или квадрантом.

На следующем рисунке изображена неправильная форма с 8 сторонами, включая одну кривую. Определите неизвестные величины по заданным размерам сторон. Разложите фигуру на два прямоугольника и полукруг.

Площадь фигуры ABCDEF составляет:

Площадь (ABCDEF) = Площадь (ABCG) + Площадь (GDEF) + Площадь (aob)

Площадь = (AB × AG) + (GD × DE) + ( 1 2 × π × ob2)

Площадь = (3 × 4) + (10 × 4) + ( 1 2 × 3.14 × 12)

Площадь = 12 + 40 + 1,57

Площадь = 53,57 см2

Приложение

Оценка площади неправильных фигур — важный метод для рисования карт, построения архитектуры и разметки сельскохозяйственных полей. Применяем концепцию кроя тканей по заданному дизайну. В старших классах эта техника закладывает основу для таких сложных тем, как вычисление объема, рисование конических сечений и фигур эллиптической формы.

Интересный факт

Связанный математический словарь

  • Квадрат
  • Прямоугольник
  • Треугольник
  • Круг
  • Площадь
  • Неправильные и правильные формы

Калькулятор площади — Расчет площади различной формы

Рассчитайте площадь, выбрав форму и введя свои измерения в любых метрических или обычных единицах США.См. Формулы для расчета площади каждой формы ниже.

Как рассчитать площадь

Площадь — это пространство внутри периметра / границы пространства, его символ — (A). Это размер двухмерной поверхности и измеряется в квадратных единицах, например квадратных футах.

Квадратные футы также могут быть выражены как футы 2 или квадратные футы. Используйте наши формулы, чтобы найти площадь многих форм.

Перед вычислением площади важно измерить все длины в одной и той же единице измерения или преобразовать все длины в одну и ту же единицу измерения.Воспользуйтесь нашими калькуляторами преобразования единиц длины или калькуляторами преобразования единиц площади для перевода между британскими и метрическими измерениями.

Используйте приведенные ниже формулы, чтобы вычислить площадь многих популярных фигур.


Формула площади

А = а 2
А = а × а

a = длина кромки


Формула площади прямоугольника

A = длина × ширина

l = длина
w = ширина


Формула приграничной площади

А = (l1 × w1) — (l2 × l2)

l1 = внешняя длина
w1 = внешняя ширина
l2 = внутренняя длина
w2 = внутренняя ширина


Формула площади трапеции

A = 1 / 2 (a + b) h

a = основание a
b = основание b
h = высота


Формула площади параллелограмма

A = b × h

b = основание
h = высота


Формула площади треугольника

s = 1 / 2 (a + b + c)
A = s (s — a) (s — b) (s — c))

a = край a
b = край b
c = край c

Эта формула известна как формула Герона.Вы также можете использовать упрощенную формулу, если известна высота треугольника.

A = 1 / 2 bh

b = край b
h = высота


Формула площади круга

A = πr 2

r = радиус

Если вам известен диаметр окружности, вы можете найти радиус, разделив диаметр пополам.

Знаете ли вы, что у нас также есть калькулятор для определения площади круга?


Формула площади эллипса

А = πab

a = ось a
b = ось b


Формула площади сектора

А = (θ ÷ 360) πr 2

r = радиус
θ = угол

Узнайте больше о секторах и посмотрите более подробные примеры в нашем калькуляторе площади секторов.


Формула площади правильного многоугольника

A = (a 2 × n) ÷ (4 × tan (π ÷ n))

a = длина кромки
n = количество сторон


Неправильные многоугольники и сложные формы

Уловка для определения площади неправильного многоугольника или сложной формы состоит в том, чтобы сначала разбить форму на правильные многоугольники, такие как треугольники и квадраты, затем найти площадь этих фигур и сложить их вместе, чтобы найти общую сумму.


Разница между площадью и площадью

Вам может быть интересно, чем площадь отличается от площади поверхности.В то время как площадь — это размер двумерной плоскости, площадь поверхности — это размер поверхности трехмерной твердой формы.

Разница между площадью и периметром

Так в чем же разница между периметром и площадью? Периметр — это расстояние вокруг двухмерной фигуры, а площадь — это размер самой фигуры.

Конечно, у нас есть калькулятор периметра, который поможет решить эту проблему с измерением длины.

9,5: Площадь и объем геометрических фигур и предметов

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  1. Значение и обозначение площади
  2. Формулы площади
  3. Поиск областей некоторых общих геометрических фигур
  4. Значение и обозначение объема
  5. Формулы объема
  6. Определение объемов некоторых общих геометрических объектов
  7. Упражнения
      90 Обзор

Цели обучения

  • знать значение и обозначения для области
  • знать формулы площади некоторых распространенных геометрических фигур
  • уметь найти площади некоторых общих геометрических фигур
  • знать значение и обозначения для тома
  • знать формулы объема для некоторых распространенных геометрических объектов
  • уметь находить объем некоторых обычных геометрических объектов

Нередко необходимо умножить одно номинальное число на другое.2 \), или квадрат длины (квадрат длины), физически можно интерпретировать как площадь поверхности.

Площадь
Площадь поверхности — это количество квадратных единиц длины, содержащихся в поверхности.

Например, 3 кв. Дюйма означает, что 3 квадрата по 1 дюйм с каждой стороны можно точно разместить на некоторой поверхности. (Квадраты, возможно, придется разрезать и переставить так, чтобы они соответствовали форме поверхности.)

Рассмотрим площадь следующих геометрических фигур.

Формулы площади

Мы можем определить площади этих геометрических фигур, используя следующие формулы.

Нахождение областей некоторых общих геометрических фигур

Образец набора A

Найдите площадь треугольника.

Решение

\ (\ begin {array} {rcl} {A_T} & = & {\ dfrac {1} {2} \ cdot b \ cdot h} \\ {} & = & {\ dfrac {1} {2} \ cdot 20 \ cdot 5 \ text {sq ft}} \\ {} & = & {10 \ cdot 6 \ text {sq ft}} \\ {} & = & {60 \ text {sq ft}} \\ { } & = & {60 \ text {ft} ^ 2} \ end {array} \)

Площадь этого треугольника составляет 60 квадратных футов, что часто записывается как 60 \ (\ text {ft} ^ 2 \).

Образец набора A

Найдите площадь прямоугольника.

Решение

Давайте сначала преобразуем 4 фута 2 дюйма в дюймы. Поскольку мы хотим преобразовать в дюймы, мы будем использовать дробную единицу \ (\ dfrac {\ text {12 дюймов}} {\ text {1 ft}} \), поскольку у нее в числителе есть дюймы. Затем

\ (\ begin {array} {rcl} {\ text {4 ft}} & = & {\ dfrac {\ text {4 ft}} {1} \ cdot \ dfrac {\ text {12 дюймов}} { \ text {1 ft}}} \\ {} & = & {\ dfrac {4 \ cancel {\ text {ft}}} {1} \ cdot \ dfrac {\ text {12 дюймов.}} {1 \ cancel {\ text {ft}}}} \\ {} & = & {\ text {48 дюймов}} \ end {array} \)

Таким образом, \ (\ text {4 фута 2 дюйма = 48 дюймов + 2 дюйма = 50 дюймов} \)

\ (\ begin {array} {rcl} {A_R} & = & {l \ cdot w} \\ {} & = & {\ text {50 дюймов} \ cdot \ text {8 дюймов}} \\ {} & = & {400 \ text {sq in.}} \ End {array} \)

Площадь этого прямоугольника 400 кв. Дюймов.

Образец набора A

Найдите площадь параллелограмма.

Решение

\ (\ begin {array} {rcl} {A_P} & = & {b \ cdot h} \\ {} & = & {\ text {10.3 см} \ cdot \ text {6,2 см}} \\ {} & = & {63,86 \ text {sq cm}} \ end {array} \)

Площадь параллелограмма 63,86 см2.

Образец набора A

Найдите площадь трапеции.

Решение

\ (\ begin {array} {rcl} {A_ {Trap}} & = & {\ dfrac {1} {2} \ cdot (b_1 + b_2) \ cdot h} \\ {} & = & {\ dfrac {1} {2} \ cdot (\ text {14,5 мм + 20,4 мм}) \ cdot (4,1 \ text {мм})} \\ {} & = & {\ dfrac {1} {2} \ cdot (\ текст {34.2} \\ {} & \ приблизительно & {(3.14) \ cdot (\ text {282,24 кв. Фута})} \\ {} & \ приблизительно & {888.23 \ text {sq ft}} \ end {array} \)

Площадь этого круга составляет примерно 886,23 кв. Фута.

Практический набор A

Найдите площадь каждой из следующих геометрических фигур.

Ответ

36 кв. См

Практический набор A

Ответ

37.503 кв. Мм

Практический набор A

Ответ

13,26 кв. Дюйма

Практический набор A

Ответ

367.5 кв. Миль

Практический набор A

Ответ

452,16 кв.футов

Практический набор A

Ответ

44.3 \), или кубическая единица длины (единица длины у.е.), физически можно интерпретировать как объем трехмерного объекта.

Объем
Объем объекта — это количество кубических единиц длины, содержащихся в объекте.

Например, 4 куб. Мм означает, что 4 куба, по 1 мм с каждой стороны, точно заполнят какой-нибудь трехмерный объект. (Кубики, возможно, придется разрезать и переставить так, чтобы они соответствовали форме объекта.)

Формулы объема

Заявление

Рисунок Формула объема
Прямоугольный цельный \ (\ begin {array} {rcl} {V_R} & = & {l \ cdot w \ cdot h} \\ {} & = & {\ text {(область основания)} \ cdot \ text {(высота )}} \ end {array} \) Объем прямоугольного твердого тела равен длине, умноженной на ширину, умноженной на высоту.2 \ cdot h} \\ {} & = & {\ text {(область основания)} \ cdot \ text {(высота)}} \ end {array} \) Объем конуса равен \ (\ dfrac {1} {3} \) умноженным на \ (\ pi \) квадрату радиуса, умноженному на высоту.

Поиск объемов некоторых общих геометрических объектов

Образец набора B

Найдите объем прямоугольного твердого тела. 2 \ cdot h} \\ {} & \ приблизительно & {(\ dfrac {1} {3}) \ cdot (3.2 \ cdot \ text {(5 мм)}} \\ {} & \ приблизительно & {(\ dfrac {1} {3}) \ cdot (3.14) \ cdot (\ text {4 кв. Мм}) \ cdot \ текст {(5 мм)}} \\ {} & \ приблизительно & {(\ dfrac {1} {3}) \ cdot (3.14) \ cdot \ text {(20 у.е. мм)}} \\ {} & \ приблизительно & {20.9 \ overline {3} \ text {cu mm}} \\ {} & \ приблизительно & {\ text {20.93 cu mm}} \ end {array} \)

Объем этого конуса примерно 20,93 куб. Мм. Объем является приблизительным, потому что мы аппроксимировали \ (\ pi \) с 3,14.

Практический набор B

Найдите объем каждого геометрического объекта.Если требуется \ (\ pi \), округлите его до 3,14 и найдите приблизительный объем.

Ответ

21 куб. Дюйм

Практический набор B

Сфера

Ответ

904.32 куб. Футов

Практический набор B

Ответ

157 куб. М

Практический набор B

Ответ

0.00942 у.е. дюйм

Упражнения

Найдите каждое указанное измерение.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Площадь

Ответ

16 кв.м

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Площадь

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Площадь

Ответ

1.21 кв. Мм

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Площадь

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Площадь

Ответ

18 кв. Дюймов

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Площадь

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Точная площадь

Ответ

\ ((60.5 \ pi + 132) \ text {sq ft} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Примерная площадь

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

Площадь

Ответ

40,8 кв. Дюйма

Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

Площадь

Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

Примерная площадь

Ответ

31.0132 кв. Дюйм

Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

Точная площадь

Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)

Примерная площадь

Ответ

158,2874 кв. Мм

Упражнение \ (\ PageIndex {14} \)

Точная площадь

Упражнение \ (\ PageIndex {15} \)

Примерная площадь

Ответ

64.2668 кв. Дюймов

Упражнение \ (\ PageIndex {16} \)

Площадь

Упражнение \ (\ PageIndex {17} \)

Примерная площадь

Ответ

43.96 кв.футов

Упражнение \ (\ PageIndex {18} \)

Объем

Упражнение \ (\ PageIndex {19} \)

Объем

Ответ

512 куб. См

Упражнение \ (\ PageIndex {20} \)

Точный объем

Упражнение \ (\ PageIndex {21} \)

Примерный объем

Ответ

11.49 куб.см

Упражнение \ (\ PageIndex {22} \)

Примерный объем

Упражнение \ (\ PageIndex {23} \)

Точный объем

Ответ

\ (\ dfrac {1024} {3} \ pi \ text {cu ft} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {24} \)

Примерный объем

Упражнение \ (\ PageIndex {25} \)

Примерный объем

Ответ

22.08 куб. Дюймов

Упражнение \ (\ PageIndex {26} \)

Примерный объем

Упражнения для обзора

Упражнение \ (\ PageIndex {27} \)

Сколько сотен в числе 23 426?

Ответ

4

Упражнение \ (\ PageIndex {28} \)

Перечислите все множители 32.

Упражнение \ (\ PageIndex {29} \)

Найдите значение \ (4 \ dfrac {3} {4} — 3 \ dfrac {5} {6} + 1 \ dfrac {2} {3} \).

Ответ

\ (\ dfrac {31} {12} = 2 \ dfrac {7} {12} = 2,58 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {30} \)

Найдите значение \ (\ dfrac {5 + \ dfrac {1} {3}} {2 + \ dfrac {2} {15}} \).

Упражнение \ (\ PageIndex {31} \)

Найдите периметр.

Ответ

27,9 кв.м

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.