Формула уравнений: Формулы. Уравнения. Упрощение выражений. Математика, 5 класс: уроки, тесты, задания.

Формула решения уравнения 4 степени / Хабр

Существует несколько методов нахождения корней полиномиального уравнения 4-ой степени.

Однако они не очень удобны при решении уравнений с коэффициентами, которые представляют собой выражения с параметрами.

Инстаграм

1. Формула решения уравнения 4 степени


Рассмотрим уравнение 4-ой степени, сумма корней которого равна нулю. Коэффициенты могут быть вещественными или комплексными.

Произведение следующих двух квадратов тождественно рассматриваемому уравнению 4-ой степени.

Значение R является решением следующего кубического уравнения.

Почти такое же уравнение появляется при решении уравнения 4-ой степени путем разложения на разность полных квадратов. Будем называть данное кубическое уравнение вспомогательным.

Вычислим произведение двух квадратов new.

То же самое, но в форме коэффициентов при степенях x (в порядке убывания степеней). 3 заменяется на

Получается выражение

В общем описанные в п.2 преобразования не являются тождественными. Но если считать интересными только значения x, которые являются корнями исходного уравнения, то данные преобразования можно считать квазитождественными. И тогда y представляется выражением, соответствующим корням исходного уравнения.

3. Для кубического уравнения операция в п.2 производится еще один раз. В итоге получается система из 3 уравнений по x, которая имеет три ненулевых решения, соответствующих корням исходного уравнения. Из коэффициентов x формируем матрицу

4. Находим определитель матрицы, который представляется кубическим выражением по y.

Вычисляем значения, обеспечивающие равенство определителя нулю.

5. В уравнении по y имеются два параметра P и Q. Вычислим их так, чтобы нулю равнялись коэффициенты при второй и первой степени y.

Любое P

, где

6. В итоге имеем уравнение c тремя кратными корнями для y

7. Остается решить квадратное уравнение с известными y, P, Q

Одно из решений будет решением исходного уравнения.

3. Параметры решения вспомогательного кубического уравнения


Для конкретных значений коэффициентов все выглядит не таким страшным образом.

Отметим, что для формулы решения уравнения 4-ой степени требуется только один корень R вспомогательного кубического уравнения.

Для конкретных коэффициентов вспомогательного уравнения имеем

При использовании формулы решения уравнения 4-ой степени необходимо ссылаться — «Метод ftvmetrics».

Интересные задачи присылайте в Direct Инстаграмм.

Уравнения и задачи на подбор параметра в Excel

Часто нам нужно предварительно спрогнозировать, какие будут результаты вычислений при определенных входящих параметрах. Например, если получить кредит на закупку товара в банке с более низкой процентной ставкой, а цену товара немного повысить – существенно ли возрастет прибыль при таких условиях?

При разных поставленных подобных задачах, результаты вычислений могут завесить от одного или нескольких изменяемых условий. В зависимости от типа прогноза в Excel следует использовать соответствующий инструмент для анализа данных.

Подбор параметра и решение уравнений в Excel

Данный инструмент следует применять для анализа данных с одним неизвестным (или изменяемым) условием. Например:

2x+1=7

  • y=7 является функцией x;
  • нам известно значение y, следует узнать при каком значении x мы получим y вычисляемый формулой.

Решим данную задачу встроенными вычислительными инструментами Excel для анализа данных:

  1. Заполните ячейки листа, так как показано на рисунке:
  2. Перейдите в ячейку B2 и выберите инструмент, где находится подбор параметра в Excel: «Данные»-«Работа с данными»-«Анализ что если»-«Подбор параметра».
  3. В появившемся окне заполните поля значениями как показано на рисунке, и нажмите ОК:

В результате мы получили правильное значение 3.

Получили максимально точный результат: 2*3+1=7



Второй пример использования подбора параметра для уравнений

Немного усложним задачу. На этот раз формула выглядит следующим образом:

x2=4

Решение:

  1. Заполните ячейку B2 формулой как показано на рисунке:
  2. Выберите встроенный инструмент: «Данные»-«Работа с данными»-«Анализ что если»-«Подбор параметра» и снова заполните его параметрами как на рисунке (в этот раз значение 4):
  3. Сравните 2 результата вычисления:

Обратите внимание! В первом примере мы получили максимально точный результат, а во втором – максимально приближенный.

Это простые примеры быстрого поиска решений формул с помощью Excel. Сегодня каждый школьник знает, как найти значение x. Например:

x=(7-1)/2

Excel в своих алгоритмах инструментов анализа данных использует более простой метод – подстановки. Он подставляет вместо x разные значения и анализирует, насколько результат вычислений отклоняется от условий указанных в параметрах инструмента. Как только будет, достигнут результат вычисления с максимальной точностью, процесс подстановки прекращается.

По умолчанию инструмент выполняет 100 повторений (итераций) с точностью 0.001. Если нужно увеличить количество повторений или повысить точность вычисления измените настройки: «Файл»-«Параметры»-«Формулы»-«Параметры вычислений»:

Таким образом, если нас не устраивает результат вычислений, можно:

  1. Увеличить в настройках параметр предельного числа итераций.
  2. Изменить относительную погрешность.
  3. В ячейке переменной (как во втором примере, A3) ввести приблизительное значение для быстрого поиска решения. Если же ячейка будет пуста, то Excel начнет с любого числа (рандомно).

Используя эти способы настроек можно существенно облегчить и ускорить процесс поиска максимально точного решения.

О подборе нескольких параметров в Excel узнаем из примеров следующего урока.

все уроки

Уравнения и формулы

Что такое уравнение?

Уравнение говорит, что две вещи равны. Он будет иметь знак равенства «=», например:

x + 2 = 6

Это уравнение говорит: то, что слева (x + 2), равно тому, что справа (6)

Итак, уравнение похоже на утверждение » это равно что »

(Примечание: это уравнение имеет решение x=4 , читайте как решать уравнения. Формула

Формула — это факт или правило, использующее математические символы

Обычно она имеет:

  • знак равенства (=)
  • две или более переменных (x, y и т. д.), которые заменяют неизвестные нам значения

Он показывает нам, как вещи связаны друг с другом.

Пример:
Формула для нахождения объема ящика:

V = lwh

V обозначает объем, l длину, w ширину и h высоту.

Когда l=10, w=4 и h=5, тогда:

V = 10 × 4 × 5 = 200

Все это уравнения, но лишь некоторые из них являются формулами:

х = 2 у — 7 Формула (относительно x и y )
а 2 + б 2 = в 2 Формула (связанная с a , b и c )
х /2 + 7 = 0 Не формула (просто уравнение)

Без равных

Иногда формула пишется без «=»:

Пример: Формула для объема ящика:

lwh

все еще там, потому что мы можем написать V = lwh , если захотим.

Субъект формулы

«Субъект» формулы — это единственная переменная (обычно слева от «=»), которой равны все остальные.

Пример: в формуле

s = ut + ½ at 2

«s» является предметом формулы формула так, чтобы другая переменная была субъектом.

Пример: Преобразуйте формулу объема коробки (

V = lwh ) так, чтобы ширина была

Начните с: V = lwh

разделите обе стороны на h: V/h = lw

разделить обе стороны на l: V/(hl) = w

поменять местами стороны: w = V/(hl)

Итак, если нам нужна коробка объемом 12, длина 2 , а высота равна 2, мы можем вычислить его ширину: В чем разница между уравнением и формулой?

спросил

Изменено
21 день назад

Просмотрено
134 тыс. раз

$\begingroup$

Иногда уравнение и формула взаимозаменяемы, но мне интересно, есть ли разница.

Например, предположим, что мы можем рассчитать топливную экономичность автомобиля как:

 миль на галлон = пройденное расстояние в милях / расход топлива в галлонах
 

Это уравнение или формула?

  • терминология
  • определение

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Уравнение — это любое выражение со знаком равенства, поэтому ваш пример по определению является уравнением. Уравнения часто появляются в математике, потому что математики любят использовать знаки равенства.

А формула представляет собой набор инструкций для создания желаемого результата. К нематематическим примерам относятся такие вещи, как химические формулы (два Н и один О составляют Н3О) или формула кока-колы (которая представляет собой просто список ингредиентов). 2$ можно рассматривать как формула для нахождения длины стороны прямоугольного треугольника, но оказывается, что такая длина всегда равна комбинации двух других длин, поэтому мы можем выразить формулу в виде уравнения. Основная идея заключается в том, что уравнение отражает не только ингредиенты формулы, но и взаимосвязь между различными ингредиентами.

В вашем случае «миль на галлон = расстояние/галлоны» лучше всего понимать как «формулу в виде уравнения», что означает, что в данном случае эти два слова взаимозаменяемы.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Уравнение нужно решить, то есть есть неизвестные. Формула предназначена для вычисления, то есть вы заменяете в ней все переменные значениями и получаете значение формулы.

Ваш пример — формула для миль на галлон . Но это может стать уравнением, если дано миль на галлон и одно из других значений, а оставшееся значение ищется.

$\endgroup$

9

$\begingroup$

Я бы сказал, что уравнение — это что угодно, в котором есть знак равенства; формула — это уравнение вида $A={\rm\stuff}$, где $A$ не входит в число веществ в правой части.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Пожалуйста, проголосуйте против меня, если хотите, но я бы сказал, что эти слова на самом деле являются синонимами друг друга. Оба они выражают, что между некоторыми математическими выражениями существует некоторая основная связь.

$\endgroup$

6

$\begingroup$

Формула — это уравнение, показывающее взаимосвязь между двумя или более величинами. Это будут правила или инструкции, которые используются для демонстрации взаимосвязи между двумя или более величинами.

Уравнение — это задача, отображаемая с помощью цифр или символов, где где-то присутствует знак равенства (=); обычно ближе к концу уравнения. Если только это не отношение или деление.

$\endgroup$

$\begingroup$

Вы решаете уравнение, пока вычисляете формулу.

Кстати, уравнение, которое содержит любые значения переменных, является тождеством.

$\endgroup$

$\begingroup$
92$ и $f=ma$ являются «уравнениями», обычно не называемыми «формулами». Вы бы сказали не «формула силы», а «уравнение силы». Они могут иметь бесконечное количество решений. так что я бы сказал, что термины также взаимозаменяемы.

http://en.wikipedia.org/wiki/Force

$\endgroup$

$\begingroup$

Простой ответ исходит от https://www. bbc.co.uk/bitesize/guides/zwbq6yc/revision/1

Для вашего удобства краткое объяснение по ссылке: 9{\ circ} F $)

  • — расчет для определенной цели (например, преобразование градусов Цельсия в градусы Фаренгейта)
  • всегда верно, при соблюдении определенных условий, независимо от входных данных.
  • Уравнение :

    1. обычно имеет только одну переменную, хотя может встречаться более одного раза
    2. будет правильным только для определенных значений (например, $2x = 10$ верно только для $x = 5$)
    3. не всегда верно.

    Хотя я предлагаю вам посмотреть на 92 $

    $\endgroup$

    $\begingroup$

    В формуле все переменные могут быть выбраны произвольно.
    Уравнение допускает только частные значения непостоянной переменной/s.

    $\endgroup$

    $\begingroup$

    TL;DR Я бы сказал, что это действительно зависит от контекста.


    Что я помню в старшей/средней школе:

    Нам давали задачи типа

    Зная длину и площадь прямоугольника, найдите его ширину.

    (Не совсем прямоугольник. Это, конечно, больше подходит для начальной школы. Может быть прямоугольной призмой или чем-то еще.)

    ‘Формула’ $A =wl$.

    «Уравнение» — это то, что вы получите, если подставите заданные значения для $A$ и $l$. Итак, если у вас есть $A=10$ и $l=7$, тогда уравнение равно $10=7w$.

    В то время я думал, что это очень придирчиво/субъективно/традиционно/контекстуально. Теперь я все еще делаю это, но у меня есть 10 000+ репутации и степени бакалавра и магистра, чтобы жаловаться на это.

    По словам моих учителей средней школы, то, что вы предоставили, является формулой, но это в контексте заполнения пробелов уравнения и формулы в школе.

    Заключение : Я бы сказал, что это действительно зависит от контекста. Если определить уравнение как утверждение со знаком равенства, то каждая формула со знаком равенства является уравнением. .. Кстати, в Википедии вроде бы нет неравенств, которые были бы формулами.

    $\endgroup$

    $\begingroup$

    Один из способов ответить на этот вопрос был разработан на первом и втором курсах алгебры средней школы США.

    В первом курсе в глоссарии официально изложены следующие определения.

    уравнение : Оператор, образованный размещением знака равенства между двумя числовыми или переменными выражениями.

    Например, $11-7=4$, $5x-1=9$ и $y+2=2+y$ являются уравнениями, поскольку все они удовлетворяют данному определению.

    Следующее определение формулы также официально указано в глоссарии:

    формула : Уравнение, устанавливающее правило отношения.

    Вот две полезные формулы: $A=lw$, формула площади прямоугольника; $P=2l+2w$, формула периметра прямоугольника.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *