Формула sinx: Арксинус и уравнение sin x = a — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

Уравнение sinx=a

Напомним,
что уравнение, которое содержит переменную под знаком тригонометрических
функций, называется тригонометрическим уравнением. Уравнения вида
, ,  и , где  –
переменная, а число , называются простейшими
тригонометрическими уравнениями
. На этом уроке мы с вами подробно
рассмотрим решение уравнений вида .

Вы
уже знаете, что синусом угла  называется ордината
точки , полученной
поворотом точки  вокруг начала
координат на угол . При этом не
забудем отметить, что так как координаты  и  точек единичной
окружности удовлетворяют неравенствам  и , то для  справедливо
неравенство . Из этого
следует, что уравнение  имеет корни
только при .

Так
как же решают такие уравнения? Давайте рассмотрим два уравнения:  и .

Чтобы
найти х в первом уравнении, нам нужно ответить на вопрос, чему равен
синус точки . Для этого нам
достаточно вспомнить таблицу значений синуса.

Тогда
. Давайте покажем
это на единичной окружности. Отметим точку . У этой точки,
как и у любой другой, есть свои координаты. Если мы опустим перпендикуляр из
точки  на ось ординат,
то попадём в .

А
теперь вернёмся ко второму уравнению . Чтобы найти х
в этом уравнении, нам нужно ответить на вопрос, синус каких точек равен .

Давайте
ненадолго отвлечёмся от тригонометрии. Начертим координатную плоскость. А
теперь найдём все те точки, у которых ордината равна . Несложно
догадаться, что таких точек будет бесконечное множество и все они будут лежать
на горизонтальной прямой, проходящей через точки с ординатой, равной .

А
теперь вернёмся к тригонометрии. Нас будут интересовать все точки, которые
лежат на единичной окружности и пересекаются горизонтальной прямой, проходящей
через точки, имеющие ординату, равную . Заметим, что
наша прямая пересекает единичную окружность в двух точках –  и . Исходя из
таблицы значений синуса, точка  получается из
начальной точки  поворотом на угол
, а точка  – поворотом на
угол . Тогда решением нашего
уравнения будут два корня  и . Но ведь в эти точки
мы можем попасть не по одному разу. Если мы сделаем полный оборот по единичной
окружности, то снова попадём в эти точки. Сделав ещё полный оборот, снова
попадём в эти точки и так далее. Тогда окончательным решением нашего уравнения
будет серия корней:

Второй корень мы можем переписать как . Как правило, эти
два корня совмещают и записывают как .

Заметим,
что если , то из последней
формулы получаем: , а если , то из последней
формулы получаем: .

Вообще,
при решении уравнений вида  возможны четыре
случая.

Первый
случай:
. Раскрывая
модуль, имеем . В этом случае на
единичной окружности будут располагаться две точки –  и , ординаты которых
равны а. Эти точки получаются путём поворота начальной точки на угол  и  соответственно.
Тогда решения уравнения  можно записать в
виде: , и . Заметим, что эти
точки симметричны относительно оси ординат. Следовательно, . Чаще всего эти
серии решений объединяют в одну формулу: .

Например,
решим следующие уравнения  и . Ординату, равную
, имеют две точки
единичной окружности. Так как , то угол , а тогда угол . Следовательно,
все корни уравнения  можно найти по
формуле . При чётном n
получим первую серию решений, при нечётном – вторую.

Перейдём
ко второму уравнению . Ординату, равную
, имеют две точки
единичной окружности. Так как , то угол , а тогда угол . Следовательно,
все решения уравнения  можно найти по
формуле .

Обратите
внимание, каждое из уравнений  и  имеет бесконечное
множество корней. Однако на отрезке  каждое из этих
уравнений имеет только один корень. Так, , – это корень
уравнения , а , – это корень
уравнения . Число  называют
арксинусом числа . Записывают так: . Число  называют
арксинусом числа . Записывают так: .

Кстати,
«арксинус» в переводе с латинского означает «дуга» и «синус». Это обратная
функция.

Вообще,
уравнение , где , на отрезке  имеет только один
корень. Если , то этот корень
заключён в промежутке ;

если
же , то корень
располагается в промежутке .

Этот
корень называют арксинусом числа а и обозначают так .

Запомните! Арксинусом
числа а
, , называется такое
число , синус которого
равен а.

, если  и

Например,
, так как , . , так как , .

Возвращаясь
к нашему уравнению , где , можно
утверждать, что все корни уравнения можно найти по формуле: .

Запомните!
Для любого  справедлива
формула . Эта формула
позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения
арксинусов положительных чисел.

Например,
.

Второй
случай:
. Раскрывая модуль,
имеем  и . Поскольку для  справедливо
неравенство , то понятно, что
в этом случае уравнение  не будет иметь
корней.

Например,
уравнения  и  не имеют корней.

Третий
случай (частный):
. В этом случае
есть две точки тригонометрической окружности, которые имеют ординату, равную 0.
Точка  представляет
все числа вида , а точка  – все числа вида . Заметим, что две
записанные серии решений уравнения  можно выразить
одной формулой: . Так как при  получится первая
серия решений , а при  – .

И
последний, четвёртый случай (тоже частный):
. Раскрывая
модуль, имеем , и . В этом случае горизонтальные
прямые, проходящие через точки, имеющие ординаты, равные –1 и 1, будут касаться
единичной окружности в точках с координатами (0;1) и (0;–1). Эти точки
получаются путём поворота начальной точки на угол  и . Тогда уравнение  имеет серию
решений: . А решением
уравнения  будет следующее: .

А
теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание. Решите
уравнение .

Решение. Для
начала преобразуем уравнение. Единицу перенесём в правую часть, затем разделим
обе части равенства на –2. Получим . По формуле
нахождения корней уравнения , имеем . . Отсюда . Перенесём
4 в правую часть равенства. Затем разделим обе части равенства на 3. Отсюда х
равен: .

Все формулы (уравнения) тригонометрии : sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)

Все формулы (уравнения) тригонометрии : sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)

Квадрат синуса, косинуса, тангенса, котангенса (альфа)

Уравнения разложения тригонометрических функций:квадрат синус альфа, косинус альфа, тангенс альфа, котангенс альфа.

 

 

 

 

 

Синус, косинус в кубе

 

 

 

 

 

 

Синус, косинус, тангенс, котангенс половинного угла

 

 

 

 

 

 

Формулы тригонометрических функций двойного угла

Формулы преобразования функций двойного угла (2α) в выражение через одинарный угол (α)

 

sin(2α)- через sin и cos:

 

sin(2α)- через tg и ctg:

 

cos(2α)- через sin и cos:

 

cos(2α)- через tg и ctg:

 

 

tg(2α) и сtg(2α):

 

 

Формулы тригонометрических функций тройного угла

Формулы преобразования функций (синус, косинус, тангенс, котангенс), тройного угла (3α) в выражение через одинарный угол (α):

 

 

 

 

Формулы суммы тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

Формулы разницы тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

Формулы тригонометрических функций суммы углов

 

 

 

 

 

 

Формулы тригонометрических функций разницы углов

Тригонометрические формулы преобразования разности аргументов

 

 

 

 

 

 

Формулы произведения тригонометрических функций, (sin cos tg ctg)

 

 

 

 

 

 

 

 

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса

sin(α)=OA

cos(α)=OC

tg(α)=DE

ctg(α)=MK

R=OB=1

 

Значения функций для некоторых углов, α

 

Тригонометрические формулы приведения

В таблице показаны формулы приведения для тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg).

 

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Уравнение cos (x) = a

Объяснение и обоснование

 

  1. Корни уравнения cosx = а. При | a | > 1 уравнение не имеет корней, по­скольку | cosx | < 1 для любого x (прямая y = а при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Пусть | а | < 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

у = cos х. На промежутке [0; п] функция y = cos x убы­вает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение cos x = а имеет на этом промежутке только один корень, который по опреде­лению арккосинуса равен: x1 = arccos а (и для этого корня cos x = а).

Косинус — четная функция, поэтому на промежутке [-п; 0] уравнение cos x = а также имеет только один корень — число, противоположное x1, то есть

x2 = -arccos а.

Таким образом, на промежутке [-п; п] (длиной 2п) уравнение cos x = а при | а | < 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Функция y = cos x периодическая с периодом 2п, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2пп (n € Z). Получаем следующую фор­мулу корней уравнения cos x = а при

| а | < 1:

x = ±arccos а + 2пп, n £ Z.

  1. Частные случаи решения уравнения cosx = а.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения cos x = а при

а = 0, а = -1, а = 1, которые можно легко получить, используя как ори­ентир единичную окружность.

Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, получаем, что cos x = 0 тогда и только тогда, когда соответ­ствующей точкой единичной окружности является точка A или точка B.

Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C, следовательно,

x = 2πп, k € Z.

Также cos х = —1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, таким образом, х = п + 2пn,

k € Z.

Примеры

Уравнение sin (x) = a

Объяснение и обоснование

  1. Корни уравнения sinx = а. При | а | > 1 уравнение не имеет корней, по­скольку | sinx | < 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функции y = sinx).

SIN (функция SIN) — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции SIN в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает синус заданного угла.

Синтаксис

SIN(число)

Аргументы функции SIN описаны ниже.

Замечание

Если аргумент задан в градусах, умножьте его на ПИ()/180 или преобразуйте в радианы с помощью функции РАДИАНЫ.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.







Формула


Описание


Результат

=SIN(ПИ())

Синус пи радиан (0, приблизительно).

0,0

=SIN(ПИ()/2)

Синус пи/2 радиан.

1,0

=SIN(30*ПИ()/180)

Синус угла 30 градусов.

0,5

=SIN(РАДИАНЫ(30))

Синус 30 градусов.

0,5

Калейдоскоп формул для пи

Калейдоскоп формул для пи

«…я считал, что есть две математики — алгебраическая и геометрическая, и что геометрическая математика принципиально “трансцендентна” для алгебраической. 2$ (последнее равенство — это, по сути, основная теорема арифметики).
Более серьезное обсуждение вопроса можно найти, например, в книге «Введение в теорию чисел» Харди и Райта.

4. Формула Валлиса

Если подставить $x=\pi/2$ в разложение Эйлера синуса в бесконечное произведение, то получается равенство
$$
\frac\pi2=
\frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot\ldots}{1\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot\ldots}
$$
Впрочем, Джон Валлис нашел эту формулу уже в середине XVII века, почти за 100 лет до формулы Эйлера, вычисляя некоторые интегралы.

В упоминавшейся выше статье Ягломов при помощи элементарной тригонометрии доказывается и формула Валлиса. А J. Wästlund нашел и доказательство (в духе «геометрического суммирования»), непосредственно связывающее произведение Валлиса с площадью круга — см. его статью (AMM, 2007) или лекцию Д. Кнута.

При помощи формулы Валлиса можно доказать, что если подкинуть монету $2n$ раз, то вероятность того, что орлов и решек выпадет в точности поровну, приблизительно равна $1/\sqrt{\pi n}$. n arcsin a+pi n, n in Z`.

Отметим, что последнюю формулу иногда удобнее расписать отдельно для чётных `(n=2k, k in Z)` и нечётных  `(n=2k+1, k in Z)n`.  А именно 

$$ x=\left[\begin{array}{l}\mathrm{arc}\mathrm{sin}a+2\pi k,\\ \pi -\mathrm{arc}\mathrm{sin}a+2\pi k, k\in Z.\end{array}\right.$$

2. `cosx=a`. Если `|a|>1`, решений нет. Если `|a|<=1`, то          

 `x=+- arccosa+2pin, n in Z`.          

3. `»tg»x=a`. При любом `a` `x=»arctg»a+pin, n in Z`.

4. `»ctg»x=a`. При любом `a` `x=»arcctg»a+pin, n in Z`. 

Отметим несколько частных случаев простейших тригонометрических уравнений, в которых ответ можно записать более просто, чем по общим формулам.

а)  `sinx=1`. Тогда `x=pi/2+2pin,n in Z`.

б)  `sinx=-1`. Тогда `x=-pi/2+2pin, n in Z`.

в)  `cosx=0`. Тогда `x=pi/2+pin, n in Z`.

г)  `cosx=-1`. Тогда `x=pi+2pin, n in Z`.

Рассмотрим несколько типовых способов решения тригонометрических уравнений.

I. 2 4x-1)-2cos4x=0`, `2cos4x(cos4x-1)=0 iff` $$ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{cos}4x=1.\\ \mathrm{cos}4x=0.\end{array}\right.$$

Если  `cos4x=1`, то `4x=2pin,x=(pin)/2,ninZ`.

1. Изображаем точки

`x=(pin)/2,ninZ`,                                                           (3)

на тригонометрическом круге  (рис. 4а). Геометрически их `4` штуки (для `n=0,1,2,3` – далее они повторяются).

2. Изображаем точки

`x=(pim)/3,m inZ`                                                         (4)

которые не удовлетворяют ОДЗ на тригонометрическом круге (4б). Их `6` штук (для `m=0,1,2,3,4,5` – далее они повторяются).

   

Видно, что совпадения точек в `(3)` и `(4)` будут при `x=pin,ninZ`. Эти значения надо исключить из решения, т. е. в ответ пойдут точки       

`x=pi/2+pin,ninZ`.

С решениями уравнения

`cos4x=0`, `4x=pi/2+pin,ninZ`,

или `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, можно поступить аналогично, сделав отбор на тригонометрическом круге. Но когда точек–решений на тригонометрическом круге много, и много точек, не входящих в ОДЗ, то удобнее воспользоваться аналитическим способом отбора решений. В данном случае точек — решений на тригонометрическом круге в серии `x=pi/8+(pin)/4,ninZ`, будет `8` штук (различные при `n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7` –  далее они повторяются), а точек, не входящих в ОДЗ на тригонометрическом круге `6`. Посмотрим, есть ли совпадения, т. е. существуют ли целые `m`  и  `n` такие, что

`pi/8+(pin)/4=(pim)/3 iff 1/8+n/4=m/3 iff`

`iff 3+6n=8m iff 3=2(4m-3n)`.

Последнее равенство невозможно, т. к. слева стоит нечётное число, а справа чётное.

Отметим, что и для решений уравнения `cos4x=1` отбор можно было сделать аналитически. А именно смотрим, существуют ли целые `m`  и  `n` такие, что `(pin)/2=(pim)/3 iff 3n=2m`.  Видим, что  `n` делится на `2`. Тогда `n=2k` и `m=3k,kinZ`. Т.  е. из решения уравнения `cos4x=1` надо исключить `x=(pin)/2`, где `n=2k`, т. е. оставить `x=(pin)/2` с `n=2k+1,kinZ`. 2-t-3=0`.  Его решение `t_1=-1` и `t_2=3/2`.

1) `»tg»x=-1`.  Следовательно, `x=-pi/4+pin,ninZ`.

2)  `»tg»x=2/3`. Тогда `x=»arctg»2/3+pin,ninZ`.

б) Сделаем отбор корней, принадлежащих отрезку `[-(3pi)/2; -pi/2]`.

1) Решаем неравенство `-(3pi)/2<=-pi/4+pin<=-pi/2`. Оно равносильно неравенству `-5/4<=n<=-1/4`. Т. к. `ninZ`, то последнему неравенству удовлетворяет только `n=-1`. Итак, из серии решений `x=-pi/4+pin,ninZ`, только корень `x=-(5pi)/4 in [-(3pi)/2; -pi/2]`.

2) Аналогично решаем неравенство

`-(3pi)/2<=»arctg»2/3+pin<=-pi/2`.                                                              (5)

Т. к. `ninZ`,  то в силу правого неравенства `n<0`. Число `n=-1` подходит, т. к. неравенство (5) в этом случае преобразуется в неравенство `-pi/2<=»arctg»2/3<=pi/2`,  что верно, `n=-2`  не удовлетворяет  (5), т. к. в этом случае получим `pi/2<=»arctg»2/3`, что неверно. Аналогично не подходит `n< -2`. Итак, из серии решений `x=»arctg»2/3+pin,ninZ`, только корень `(«arctg»2/3-pi)in[-(3pi)/2; -pi/2]`.

а)   `x=-pi/4+pin,ninZ`;  `x=»arctg»2/3+pin,ninZ`.

б)   `x=-(5pi)/4` и `x=»arctg»2/3-pi`.

Найти наименьший корень уравнения `»ctg»6x-«tg»5x=1/(cos5x)`,

принадлежащий отрезку `[(8pi)/17; (40pi)/17]`.

Преобразуем данное уравнение

`(cos6x)/(sin6x)-(sin5x)/(cos5x)=1/(cos5x)`, 

`(cos6x*cos5x-sin6x*sin5x)/(sin6x*cos5x)=1/(cos5x)`,

`(cos11x)/(sin6x*cos5x)=1/(cos5x)`.

Последнее уравнение равносильно `cos11x=sin6x` при условии  `sin6x*cos5x!=0`.

Решаем  уравнение  `cos11x-sin6x=0`. Преобразуем его:

`cos11x-cos(6x-pi/2)=0`   или  `-2sin((17x)/2-pi/4)sin((5x)/2+pi/4)=0`.

1) Если `sin((5x)/2+pi/4)=0` то `(5x)/2+pi/4=pin,ninZ`, откуда `5x=-pi/2+2pin,ninZ`.

Эти числа не являются корнями исходного уравнения, т. к. нарушается условие `cos5x!=0`.

2) Если `sin((17x)/2-pi/4)=0`, то `x=(pi(1+4n))/(34),ninZ`. Находим, при каких `ninZ`, эти числа лежат на отрезке  `[(8pi)/17;(40pi)/17]`. Решаем неравенства

`(8pi)/(17)<=(pi(1+4n))/34<=(40pi)/17 iff 15/4<=n<=79/4`. 2x)=0`  или  `sin2x+cos2x=0`.

Это однородное уравнение 1-го порядка. Оно эквивалентно уравнению   `»tg»2x=-1`.

Отсюда `2x=-pi/4+pin,ninZ`, или `x=-pi/8+(pin)/2,ninZ`.

Изобразим решения на тригонометрическом круге (рис. 6). Это `4` точки (`n=0,1,2,3` — далее они повторяются).

Для этих точек надо проверить неравенство `cosx-3sinx>=0`. Ясно, что точка `x_1` удовлетворяет этому неравенству, т. к. `cosx_1>0` и `sinx_1<0`. Для точки `x_3`, диаметрально противоположной точке `x_1`, `sinx` и `cosx` меняют знак, меняет знак и выражение `(cosx-3sinx)`, и, следовательно, для `x_3` неравенство не выполняется. Точка `x_2` не удовлетворяет неравенству, т. к. `sinx_2>0`, `cosx_2>0`, но `sinx_2>cosx_2` в виду того, что `pi/4<x_2<pi/2`, так что выражение `cosx_2-3sinx_2<0`. Точка `x_4` диаметрально противоположна `x_2`. Следовательно, 

`cosx_4-3sinx_4=-(cosx_2-3sinx_2)>0`,

и, значит, это решение. Учитывая, что решения имеют период `2pi`, получаем

`x=-pi/8+2pin,ninZ`;  `x=11/8pi+2pin,ninZ`.

VII. Уравнения с модулем

Решить уравнение `sin3x+|sinx|=sin2x`.

Решение уравнения сводится к объединению решений двух систем.

1) $$ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sin}x\ge 0,\\ \mathrm{sin}3x+\mathrm{sin}x=\mathrm{sin}2x.\end{array}\right.$$

2) sinx0,sin3x-sinx=sin2x.\left\{\begin{array}{l}\sin x

Решаем первую систему. Уравнение  `sin3x+sinx=sin2x` преобразуем:

`2sin2xcosx=sin2x` или `sin2x(2cosx-1)=0`. 

Значит,

$$ \left[\begin{array}{l}\mathrm{sin}2x=0,\\ \mathrm{cos}x=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$$

Изображаем решения уравнения `sin2x=0` на тригонометрическом круге: `x=(pin)/2,ninZ`, (рис. 7). В силу неравенства `sinx>=0` не подходит нижняя точка, т. е. в решения системы входят

`x=pin,ninZ`, и `x=pi/2+2pin,ninZ`.   

   

Аналогично, изображаем на тригонометрическом круге (рис. 8)  решения уравнения `cosx=1/2`. Нижняя точка не удовлетворяет неравенству `sinx>=0`. 2x-cosx-1=0`.

Отсюда `cosx=1` или `cosx=-1/2`. На тригонометрическом круге этим уравнениям удовлетворяют соответственно точки (рис. 9 и рис. 10). Неравенству `sinx<0` удовлетворяет только одна из этих трёх точек, находящаяся в нижней полуплоскости, а именно       

`x=pi/3+pi+2pin,ninZ`.

   

В ответе две серии решений

  `x=pi/3+2pin,ninZ`  и  `x=pi/3+pi+2pin,ninZ`,   

соответствующие двум диаметрально противоположным точкам тригонометрического круга, можно задать одной формулой:

`x=pi/3+pin,ninZ` (но это не обязательно).

`x=pin`;  `x=pi/2+2pin`;  `x=pi/3+pin,ninZ`.

Формулы понижения степени в тригонометрии

Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.

Определение 1

Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до nα.

Формулы понижения степени, их доказательство

Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.

sin2α=1-cos 2α2cos2α=1+cos 2α2sin3=3·sin α-sin 3α4sin4=3-4·cos 2α+cos 4α8cos4 α=3+4·cos 2α+cos 4α8

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos2α=1-2·sin2α и cos2α=2·cos2α-1. Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin2α=1-cos2α2 и cos2α=1+cos2α2.

Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.

Имеет место применение формулы тройного угла  sin3α=3·sinα-4·sin3αи cos3α=-3·cosα+4·cos3α.

Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:

sin3α=3-4·cos2α+cos4α8 и cos3α=3·cosα+cos3α4.

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin4α=3-4·cos2α+cos4α8 и cos4α=3+4·cos2α+cos4α8.

Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:

sin4α =(sin2α)2=(1-cos2α2)2=1-2·cos2α+cos22α4==1-2·cos2α+1+cos4α24=3-4·cos2α+cos4α8;cos4α=(cos2α)2=(1+cos2α2)2=1+2·cos2α+cos22α4===1+2·cos2α+1+cos4α24=3+4·cos2α+cos4α8

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n=2, 4, 6…, выражение имеет вид sinnα=Cn2n2n+12n-1·∑(-1)n2-kk=0n2-1·Ckn·cos((n-2·k)α) и cosnα=Cn2n2n+12n-1∑(-1)n2-kk=0n2-1·Ckn·cos((n-2·k)α).

Нечетные показатели, где n=3, 5, 7…, выражение имеет вид

sinnα=12n-1·∑(-1)n-12-kk=0n-12·Ckn·cos((n-2·k)α) и cosnα=12n-1∑(-1)n-12-kk=0n-12·Ckn·cos((n-2·k)α).

Cpq=p!q!·(p-q)! — это число сочетаний из p элементов по q.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sinnα=12n-1·∑(-1)n-22-kk=0n-12-k·Ckn·sin((n-2·k)α) где значение n присвоим 3. Подставляя n=3 в выражение, получим

sin3α=123-1·∑(-1)3-12-kk=03-12-k·Ck3·sin((3-2·k)α)==14·∑(-1)1-kk=01·Ck3·sin((3-2·k)α)==14·((-1)1-0·C03·sin((3-2·0)α) +(1)1-1·C13·sin((3-2·1)α))==14·((-1)1·3!0!·3!·sin3α+(-1)0·3!1!·(3-1)!·sinα)==14·(-sin3α+3·sinα)=3·sinα-sin3α4

Примеры применения формул понижения степени

Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.

Пример 1

Справедлива ли формула вида cos4α=3+4·cos2α+cos4α8 при α=α6.

Решение

 Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α, необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α=π6, тогда 2α=π3, следовательно 4α=2π3.

По таблице тригонометрических функций имеем, что cosα=cosπ6=32, тогда cos2α=cosπ3=12.

Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos4α=(cosπ6)4=(32)4=916 и 3+4cos2α+cos4α8=3+4cosπ3+cos2π38=3+4·12+(-12)8=916

Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α=π6, значит, выражение  справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α, формула понижения степени одинаково применима.

Пример 2

При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin32β5.

Решение

 Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin3α=3·sinα-sin3α4. В данном случае необходимо выполнить замену α на 2β5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin32β5=3·sin2β5-sin(3·2β5)4.

Это выражение равно равенству sin32β5=3·sin2β5-sin6β54.

Ответ: sin32β5=3·sin2β5-sin6β54.

Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений. 

Тригонометрические тождества и формулы

Ниже приведены некоторые из наиболее важных определений, тождеств и формул в тригонометрии.

  1. Тригонометрические функции острых углов

    грех X = opp / hyp = a / c, csc X = hyp / opp = c / a

    загар X = opp / adj = a / b, детская кроватка X = adj / opp = b / a

    cos X = adj / hyp = b / c, сек X = hyp / adj = c / b,

  2. Тригонометрические функции произвольных углов

    грех X = b / r, csc X = r / b

    tan X = b / a, детская кроватка X = a / b

    cos X = a / r, сек X = r / a

  3. Особые треугольники

    С помощью специальных треугольников можно найти тригонометрические функции специальных углов: 30, 45 и 60 градусов.

  4. Синус и косинус в треугольниках

    В любом треугольнике мы имеем:

    1 — Синус-закон

    грех A / a = sin B / b = sin C / c

    2 — Законы косинусов

    a 2 = b 2 + c 2 — 2 b c cos A

    b 2 = a 2 + c 2 — 2 a c cos B

    c 2 = a 2 + b 2 — 2 a b cos C

  5. Отношения между тригонометрическими функциями

    cscX = 1 / sinX

    sinX = 1 / cscX

    сек X = 1 / cos X

    cosX = 1 / секX

    tanX = 1 / cotX

    cotX = 1 / tanX

    tanX = sinX / cosX

    cotX = cosX / sinX

  6. Пифагорейские тождества

    sin 2 X + cos 2 X = 1

    1 + загар 2 X = сек 2 X

    1 + детская кроватка 2 X = csc 2 X

  7. Идентификаторы с отрицательным углом

    sin (-X) = — sinX, нечетная функция

    csc (-X) = — cscX, нечетная функция

    cos (-X) = cosX, четная функция

    сек (-X) = секX, четная функция

    tan (-X) = — tanX, нечетная функция

    cot (-X) = — cotX, нечетная функция

  8. Cofunctions Identities

    sin (π / 2 — X) = cosX

    cos (π / 2 — X) = sinX

    загар (π / 2 — X) = cotX

    детская кроватка (π / 2 — X) = tanX

    сек (π / 2 — X) = cscX

    csc (π / 2 — X) = secX

  9. Формулы сложения

    cos (X + Y) = cosX cosy — sinX sinY

    cos (X — Y) = cosX cosy + sinX sinY

    sin (X + Y) = sinX cosy + cosX sinY

    sin (X — Y) = sinX уютно — cosX sinY

    tan (X + Y) = [tanX + tanY] / [1 — tanX tanY]

    tan (X — Y) = [tanX — tanY] / [1 + tanX tanY]

    детская кроватка (X + Y) = [cotX cotY — 1] / [cotX + cotY]

    детская кроватка (X — Y) = [cotX cotY + 1] / [cotY — cotX]

  10. Формулы суммы к произведению

    cosX + cosy = 2cos [(X + Y) / 2] cos [(X — Y) / 2]

    sinX + sinY = 2sin [(X + Y) / 2] cos [(X — Y) / 2]

  11. Отличие от формул продукта

    cosX — cosy = — 2sin [(X + Y) / 2] sin [(X — Y) / 2]

    sinX — sinY = 2cos [(X + Y) / 2] sin [(X — Y) / 2]

  12. Формулы произведения суммы / разности

    cosX cosy = (1/2) [cos (X — Y) + cos (X + Y)]

    sinX cosy = (1/2) [sin (X + Y) + sin (X — Y)]

    cosX sinY = (1/2) [sin (X + Y) — sin [(X — Y)]

    sinX sinY = (1/2) [cos (X — Y) — cos (X + Y)]

  13. Формулы разности квадратов

    sin 2 X — грех 2 Y = sin (X + Y) sin (X — Y)

    cos 2 X — cos 2 Y = — sin (X + Y) sin (X — Y)

    cos 2 X — sin 2 Y = cos (X + Y) cos (X — Y)

  14. Формулы двойных углов

    грех (2X) = 2 sinX cosX

    cos (2X) = 1-2sin 2 X = 2cos 2 X — 1

    загар (2X) = 2tanX / [1 — загар 2 X]

  15. Формулы множественных углов

    sin (3X) = 3sinX — 4sin 3 X

    cos (3X) = 4cos 3 X — 3cosX

    sin (4X) = 4sinXcosX — 8sin 3 XcosX

    cos (4X) = 8cos 4 X — 8cos 2 X + 1

  16. Формулы полууглов

    sin (X / 2) = + или — √ ((1 — cosX) / 2)

    cos (X / 2) = + или — √ ((1 + cosX) / 2)

    tan (X / 2) = + или — √ ((1 — cosX) / (1 + cosX))

    = sinX / (1 + cosX) = (1 — cosX) / sinX

  17. Формулы снижения мощности

    sin 2 X = 1/2 — (1/2) cos (2X))

    cos 2 X = 1/2 + (1/2) cos (2X))

    sin 3 X = (3/4) sinX — (1/4) sin (3X)

    cos 3 X = (3/4) cosX + (1/4) cos (3X)

    sin 4 X = (3/8) — (1/2) cos (2X) + (1/8) cos (4X)

    cos 4 X = (3/8) + (1/2) cos (2X) + (1/8) cos (4X)

    sin 5 X = (5/8) sinX — (5/16) sin (3X) + (1/16) sin (5X)

    cos 5 X = (5/8) cosX + (5/16) cos (3X) + (1/16) cos (5X)

    sin 6 X = 5/16 — (15/32) cos (2X) + (6/32) cos (4X) — (1/32) cos (6X)

    cos 6 X = 5/16 + (15/32) cos (2X) + (6/32) cos (4X) + (1/32) cos (6X)

  18. Периодичность тригонометрических функций

    sin (X + 2π) = sin X, период 2π

    cos (X + 2π) = cos X, период 2π

    сек (X + 2π) = сек X, период 2π

    csc (X + 2π) = csc X, период 2π

    tan (X + π) = tan X, период π

    детская кроватка (X + π) = детская кроватка X, период π

  19. Тригонометрические таблицы.
  20. Свойства шести тригонометрических функций. График, область, диапазон, асимптоты (если есть), симметрия, пересечения по осям x и y, а также точки максимума и минимума каждой из 6 тригонометрических функций.

Дополнительные ссылки и ссылки по тригонометрии

Тригонометрия.

Решите задачи тригонометрии.

Бесплатные вопросы по тригонометрии с ответами.
пожаловаться на это объявление

тригонометрических идентичностей | Purplemath

Purplemath

В математике «идентичность» — это всегда истинное уравнение.Они могут быть «тривиально» истинными, например « x = x », или полезными, например, « a 2 + b 2 = c 2 » теоремы Пифагора для прямоугольные треугольники. Существует множество тригонометрических отождествлений, но следующие из них вы, скорее всего, увидите и используете.

Базовый и пифагорейский, сумма углов и разность, двойной угол, полуугол, сумма, произведение

MathHelp.com

Нужен индивидуальный курс математики?
K12 | Колледж | Подготовка к экзамену


Основные и пифагорейские тождества

Обратите внимание на то, что триггерное отношение «со (что-то)» всегда является обратной величиной некоторого «несоциального» отношения.Вы можете использовать этот факт, чтобы понять, что косеканс идет с синусом, а секанс — с косинусом.

Следующие ниже тождества (в частности, первая из трех ниже) называются «пифагорейскими» идентичностями.

sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = 1

желто-коричневый 2 ( т ) + 1 = сек 2 ( т )

1 + детская кроватка 2 ( т ) = csc 2 ( т )

Обратите внимание, что все три тождества включают в себя возведение в квадрат и число 1.Вы можете ясно увидеть отношение Пифагора-Тэома, если вы рассмотрите единичную окружность, где угол составляет t , «противоположная» сторона — sin ( t ) = y , «смежная» сторона — cos ( t ) = x , а гипотенуза равна 1.

У нас есть дополнительные идентификаторы, связанные с функциональным статусом триггерных соотношений:

sin ( –t ) = sin ( t )

cos ( –t ) = cos ( t )

tan ( –t ) = tan ( t )

Обратите внимание, в частности, что синус и тангенс являются нечетными функциями, симметричными относительно начала координат, а косинус — четной функцией, симметричной относительно оси y .Тот факт, что вы можете вынести знак «минус» аргумента за пределы (для синуса и тангенса) или полностью исключить его (для косинуса), может быть полезным при работе со сложными выражениями.


Тождества суммы углов и разности

sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β)

sin (α — β) = sin (α) cos (β) — cos (α) sin (β)

cos (α + β) = cos (α) cos (β) — sin (α) sin (β)

cos (α — β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β)

Кстати, в приведенных выше тождествах углы обозначаются греческими буквами.Буква типа «а» называется «альфа», что произносится как «аль-фу». Буква b-типа, «β», называется «бета», что произносится как «BAY-tuh».


Двойные углы

sin (2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x )

cos (2 x ) = cos 2 ( x ) — sin 2 ( x ) = 1-2 sin 2 ( x ) = 2 cos 2 ( x ) — 1


Полугловые идентичности

Приведенные выше тождества можно переформулировать, возведя каждую сторону в квадрат и удвоив все угловые меры.Результаты следующие:

sin 2 ( x ) = ½ [1 — cos (2 x )]

cos 2 ( x ) = ½ [1 + cos (2 x )]


Партнер


Сумма идентификаторов


Обозначения продукта

Вы будете использовать все эти тождества или почти все эти тождества для доказательства других триггерных тождеств и для решения тригонометрических уравнений.Однако, если вы собираетесь изучать исчисление, обратите особое внимание на пересчитанные тождества синуса и косинуса половинного угла, потому что вы будете использовать их в интегральном исчислении с лотом и .


URL: https://www.purplemath.com/modules/idents.htm

Производная sin x — подход к исчислению

12

Производная sin x

Производная от cos x

Производная от tan x

Производная от детской кроватки х

Производная sec x

Производная от csc x

ПРОИЗВОДНАЯ sin x — это cos x .Чтобы доказать это, мы будем использовать следующий идентификатор:

sin A — sin B = 2 cos ½ ( A + B ) sin ½ ( A B ).

(Тема 20 Тригонометрии.)

Проблема 1. Используйте это удостоверение, чтобы показать:

sin ( x + h ) — sin x =

Чтобы увидеть доказательство, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

sin ( x + h ) — sin x = 2 cos ½ ( x + h + x ) sin ½ ( x + h x )
= 2 cos ½ (2 x + h ) sin ½ h
=

Однако, прежде чем перейти к производной sin x , мы должны доказать лемму; что является предварительной вспомогательной теоремой, необходимой для доказательства основной теоремы.Эта лемма требует следующего тождества:

Задача 2. Докажите, что tan θ, разделенный на sin θ, равен.

tan θ
sin θ
= 1
cos θ
.

(См. Раздел 20 Тригонометрии.)

tan θ
sin θ
= тан θ · 1
sin θ
= sin θ
cos θ
· 1
sin θ
= 1
cos θ

Лемма, которую мы должны доказать, обсуждается в теме 14 Тригонометрии.(Взгляните на это.) Вот он:

ЛЕММА.
Когда θ измеряется в радианах, тогда

Доказательство. Это невозможно доказать, применяя обычные теоремы о пределах (Урок 2). Мы должны перейти к геометрии и к значениям sin θ и радианной меры.

Пусть O будет центром единичной окружности, то есть окружности радиуса 1;

, и пусть θ будет центральным углом первого квадранта BOA , измеренным в радианах.

Тогда, поскольку длина дуги с = r θ и r = 1, дуга BA равна θ. (Тема 14 Тригонометрии.)

Угол натяжения B’OA равен углу θ, в результате дуга AB ‘ равна дуге BA ;

начертите прямую BB ‘, разрезая AO на P ;

и нарисуйте прямые BC, B’C , касательные к окружности.

Затем

BB ‘ BAB’ BC + CB ‘.

Теперь, в этом единичном круге, BP = PB ‘ = sin θ, (Тема 17 Тригонометрии),

, так что BB ‘ = 2 sin θ;

и BC = CB ‘ = tan θ. (Для tg θ = BC
OB
= BC
1
= до н.э. .)

Таким образом, продолжающееся неравенство, приведенное выше, становится:

2 грех θ θ θ.

При делении каждого члена на 2 sin θ:

1 θ
sin θ
1
cos θ
.

(Задача 2.) И, взяв обратные, изменив тем самым смысл:

1> sin θ
θ
> cos θ.

(Урок 11 по алгебре, теорема 5.)

При смене знаков снова меняется смысл:

-1 sin θ
θ
−cos θ,

(Урок 11 алгебры, теорема 4),

и если мы добавим 1 к каждому члену:

0 1– sin θ
θ
1 — cos θ.

Теперь, когда θ становится очень близким к 0 (θ 0), cos θ становится очень близким к 1; следовательно, 1 — cos θ становится очень близким к 0. Выражение в середине, будучи на меньше , чем 1 — cos θ, становится еще ближе к 0 (а слева ограничено 0), поэтому выражение в середине точно приблизится к нулю. Это означает:

Что мы и хотели доказать.

Учащийся должен помнить, что для «приближения» переменной к нулю или любому пределу (определение 2.1), не означает, что переменная когда-либо равна этому пределу.

Производная sin x

d
dx
грех x = cos x

Чтобы доказать это, мы применим определение производной (Урок 5). Сначала мы рассчитаем коэффициент разницы.

= , проблема 1,
= , при делении числителя
и знаменателя на 2,
=

Теперь возьмем предел как h 0.Но предел продукта равен произведению пределов. (Урок 2.) Множитель справа имеет вид sin θ / θ. Следовательно, согласно лемме при h 0 его предел равен 1. Следовательно,

d
dx
грех x = cos x .

Мы разработали формулу.

Производная от cos x

d
dx
cos x = −sin x

Для этого мы будем использовать следующий идентификатор:

cos x = sin ( π
2
х ).

Функция любого угла равна совместной функции его дополнения.

(Тема 3 тригонометрии).

Следовательно, при применении цепного правила:

Мы установили формулу.

Производная от tan x

Теперь загар x = sin x
cos x
. (Тема 20 тригонометрии.)

Следовательно, согласно правилу частного:

d
dx
желто-коричневый x = d
dx
sin x
cos x
= cos x · cos x — sin x (−sin x )
cos 2 x
= cos 2 x + sin 2 x
cos 2 x
= 1
cos 2 x
= сек 2 x .

Мы разработали формулу.

Задача 3. Производная от детской кроватки х . Доказательство:

d
dx
детская кроватка x = −csc 2 x
d
dx
детская кроватка x = d
dx
cos x
sin x
= sin x (−sin x ) — cos x · cos x
sin 2 x
= — (sin 2 x + cos 2 x )
sin 2 x
= 1
sin 2 x
= −csc 2 x .

Производная sec x

d
dx
сек x = сек x желто-коричневый x
Так как sec x = 1
cos x
= (cos x ) -1 ,

, затем об использовании цепного правила и общего правила мощности:

Мы установили формулу.

Проблема 4. Производная от csc x . Доказательство:

d
dx
csc x = −csc x детская кроватка x

Пример. Вычислить производную sin ax 2 .

Решение . При применении цепного правила,

d
dx
грех топор 2 = cos ax 2 · d
dx
топор 2 = cos ax 2 · 2 топор = 2 ax cos ax 2 .

Задача 5. Вычислить эти производные.

а) d
dx
грех 5 x = 5 cos 5 x
б) d
dx
½ sin 2 x = sin x cos x
в) d
dx
2 cos 3 x = −6 sin 3 x
г) d
dx
x cos x = cos x x sin x
e) d
dx
sin 2 x cos x = 2 cos 2 x cos x — sin 2 x sin x
е) d
dx
желто-коричневый (3 x ) 2 = 18 x сек 2 (3 x ) 2
г) d
dx
2 детская кроватка x
2
= — csc 2 x
2
h) d
dx
сек 4 x = 4 секунды 4 x желто-коричневый 4 x
i) d
dx
a csc bx = ab csc bx детская кроватка bx
к) =

Проблема 6.ABC — прямой угол, а прямая AD вращается на
, так что угол θ увеличивается в

положительное направление. С какой скоростью — сколько радиан в секунду — он увеличивается, если BC постоянен на уровне 3 см, а AB (назовем его x ) уменьшается со скоростью −3 см / с, а его длина составляет 6 см. ?

Следующий урок: Производные обратных тригонометрических функций

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Функции синуса и косинуса

Синус и косинус: свойства

Синусоидальная функция имеет ряд свойств, которые
результат из периодических и нечетных .
Функция косинуса имеет ряд свойств, которые
результат из периодических и даже .Читателю не следует запоминать большинство следующих уравнений; еще,
читатель должен иметь возможность мгновенно получить их
от понимания характеристик функции.

Функции синуса и косинуса периодические
с периодом 2р. Это означает, что

sin (q) = sin (q + 2p)

cos (q) = cos (q + 2p)

или, в более общем смысле,

sin (q) = sin (q + 2pk)

cos (q) = cos (q + 2pk),

где k Î целые числа.

Функция синуса — , нечетное ; следовательно,

sin (-q) = -sin (q)

Функция косинуса равна даже ; следовательно,

cos (-q) = cos (q)

Формула:

sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y)

Тогда легко выводится из , что

sin (x — y) = sin (x) cos (y) — cos (x) sin (y)

Или, в более общем смысле,

sin (x y) = sin (x) cos (y) cos (x) sin (y)

cos (x + y) = cos (x) cos (y) — sin (x) sin (y)

.
Тогда легко выводится из , что

cos (x — y) = cos (x) cos (y) + sin (x) sin (y)

Или, в более общем смысле,

cos (x y) = cos (x) cos (y) (- / +) sin (x) sin (y)

Из приведенного выше синусоидального уравнения мы можем вывести, что

sin (2x) = 2sin (x) cos (x)

Из приведенного выше уравнения косинуса мы можем вывести, что

cos (2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x)

(Обозначение sin 2 (x) эквивалентно (sin (x)) 2 .Предупреждение: sin -1 (x) означает arcsin (x), а не мультипликативный обратный
греха (х).)

Наблюдая за графиками синуса и косинуса, мы можем выразить
функция синуса через косинус и наоборот:

sin (x) = cos (90 ° — x)

и функция косинуса через синус:

cos (x) = sin (90 ° — x)

Такая триггерная функция (f), обладающая свойством

f (q) = g (дополнение (q))

называется кофункцией функции g,
отсюда и названия «синус» и « совпадает с синусом».»

Пифагорейская идентичность,
sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1,
дает альтернативное выражение
для синуса через косинус и наоборот

sin 2 (x) = 1 — cos 2 (x)

cos 2 (x) = 1 — sin 2 (x)

Закон синусов связывает различные стороны и углы
произвольного (не обязательно прямого) треугольника:

sin (A) / a = sin (B) / b = sin (C) / c = 2r.

где A, B и C — углы, противоположные сторонам a, b и
c соответственно. Кроме того, r — радиус
круг, описанный в этом треугольнике.

Закон косинусов связывает все три стороны и один из углов.
произвольного (не обязательно прямого) треугольника:

c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos (C).

где A, B и C — углы, противоположные сторонам a, b и
c соответственно. Его можно рассматривать как обобщенную форму
теоремы Пифагора. Предупреждение : будьте осторожны
при решении для одной из сторон, примыкающих к интересующему углу,
поскольку часто будет два треугольника, которые удовлетворяют данным условиям.
Это можно понять из геометрии. Треугольник, определяемый
SAS (сторона-угол-сторона) уникален, поэтому любой треугольник с
ему должны соответствовать те же параметры SAS. Определенный треугольник
by SSA, однако, не всегда уникален, и два треугольника с
одни и те же параметры SSA могут совпадать, а могут и не совпадать.

4.Формулы полуугловых

М. Борн

Мы разработаем формулы для синуса, косинуса и тангенса половинного угла. 2 (α / 2) = (1 — cos α) / 2`

Решение дает нам следующий синус для тождества полуугла :

`sin (альфа / 2) = + — sqrt ((1-cos alpha) / 2`

Знак (положительный или отрицательный) для `sin (alpha / 2)` зависит от квадранта
в котором лежит `α / 2`.

Если α / 2 находится в первом или втором квадранте , в формуле используется положительный регистр:

`sin (alpha / 2) = sqrt (1-cos alpha) / 2`

Если α / 2 находится в третьем или четвертом квадранте , в формуле используется отрицательный регистр:

`sin (alpha / 2) = — sqrt (1-cos alpha) / 2`

Формула полуугла — косинус

Используя аналогичный процесс, с той же заменой theta = alpha / 2 (таким образом, 2 θ = α ) мы подставляем в
личность

cos 2 θ = 2cos 2 θ — 1 (см. 2 (альфа / 2) = (1 + cos alpha) / 2`

Решая относительно cos (α / 2), получаем:

`cos (альфа / 2) = + — sqrt ((1 + cos alpha) / 2`

Как и раньше, нужный нам знак зависит от квадранта.

Если α / 2 находится в первом или четвертом квадранте , формула использует положительный случай:

`cos (альфа / 2) = sqrt ((1 + cos alpha) / 2`

Если α / 2 находится во втором или третьем квадранте , в формуле используется отрицательный регистр:

`cos (альфа / 2) = — sqrt ((1 + cos alpha) / 2`

Формула полуугла — касательная

Тангенс половины угла определяется по формуле:

`tan (alpha / 2) = (1-cos alpha) / (sin alpha)`

Проба

Сначала напомним `tan x = (sin x) / (cos x)`.2а)) `

Затем находим квадратный корень:

`= (1-cos a) / (sin a)`

Конечно, нам нужно будет делать поправку на положительные и отрицательные знаки, в зависимости от рассматриваемого квадранта. @`, используя приведенное выше соотношение половинного угла синуса.(текст (o))) / 2) `

`= + — sqrt (((1 + 0.866)) / 2)`

`= 0,9659`

Первый квадрант, значит положительный.

2. Найдите значение sin (alpha / 2), если cos alpha = 12/13, где 0 ° < α <90 °.

Ответ

`sin (альфа / 2) = + — sqrt ((1-cos alpha) / 2)`

`= sqrt ((1-12 / 13) / 2)`

`= sqrt ((1/13) / 2)`

`= sqrt (1/26)`

`= 0,1961`

Мы выбираем позитив, потому что находимся в первом квадранте.п / (п!) + … #

Мы сразу видим, что члены в синусоидальном ряду очень похожи на члены в экспоненциальном ряду — они того же размера, что и существуют, но часто имеют противоположный знак, и половина из них отсутствует.

Вспоминая, что степени # i # изменяются в периодическом четырехэтапном шаблоне, который имеет два последовательных знака плюс и два последовательных знака минус, мы задаемся вопросом, может ли изменение # x # на # ix # в экспоненциальном ряду помочь нашей проблеме знаков. 3 / (3!) +.(-x)) #

Гиперболические функции — это набор функций, тесно связанных с этими формулами с тригонометрическими функциями. По мере того, как вы продвигаетесь к дифференциальным уравнениям, вы столкнетесь с ситуациями, когда простая смена знака на коэффициент делает разницу между поиском решений триггерной и гиперболической функций. Связь между двумя наборами функций очень важна.

Дополнительные идентификаторы

Фундаментальные (базовые) идентификаторы, обсуждаемые в предыдущем разделе, включают только одну переменную.Следующие тождества, включающие две переменные, называются тождествами с тригонометрическим сложением .

Эти четыре тождества иногда называют тождеством суммы для синуса , тождеством разности для синуса , тождеством суммы для косинуса и тождеством разности для косинуса , соответственно. Проверка этих четырех тождеств следует из основных тождеств и формулы расстояния между точками в прямоугольной системе координат.Пояснения к каждому этапу доказательства будут даны только для первых нескольких следующих примеров.

Пример 1 : преобразовать sin 80 ° cos 130 ° + cos 80 ° sin 130 ° в тригонометрическую функцию в одной переменной (рисунок 1).

Рисунок 1
Рисунок для примера 1.

Дополнительные тождества могут быть получены из тождеств суммы и разности для косинуса и синуса.

Пример 2: Убедитесь, что cos (180 ° — x ) = — cos x

Пример 3: Убедитесь, что cos (180 ° + x ) = — cos x

Пример 4: Убедитесь, что cos (360 ° — x ) = cos x

Предыдущие три примера проверяют три формулы, известные как формулы редукции для косинуса . Эти формулы сокращения полезны при переписывании косинусов углов, превышающих 90 °, как функций острых углов.

Пример 5: Убедитесь, что sin (180 ° — x ) = sin x

Пример 6: Убедитесь, что sin (180 ° + x ) = — sin x

Пример 7: Убедитесь, что sin (360 ° — x ) = — sin x

Предыдущие три примера проверяют три формулы, известные как формулы редукции для синуса . Эти формулы сокращения полезны при переписывании синусов углов, превышающих 90 °, в зависимости от острых углов.

Напомним, что ниже приведены формулы сокращения (тождества) для синуса и косинуса. Они действительны как для градуса, так и для радиана.

Пример 8: Убедитесь, что sin 2 x = 2 sin x cos x .

Пример 9: Запишите cosβcos (α — β) — sinβsin (α — β) как функцию одной переменной.

Пример 10: Запишите cos 303 ° в форме sinβ, где 0 <β <90 °.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.