Формула расстояние от точки до точки на плоскости: Расстояние от точки до плоскости (ЕГЭ — 2021)

Содержание

определение и примеры нахождения, расстояние между точкой и плоскостью

Данная статья рассказывает об определении расстояния от точки до плоскости. произведем разбор методом координат, который позволит находить расстояние от заданной точки трехмерного пространства. Для закрепления рассмотрим примеры нескольких задач.

Расстояние от точки до плоскости – определение

Расстояние от точки до плоскости  находится посредством известного расстояния от точки до точки, где одна из них заданная, а другая – проекция на заданную плоскость.

Когда в пространстве задается точка М1 с плоскостью χ, то через точку можно провести перпендикулярную плоскости прямую. Н1 является общей точкой их пересечения. Отсюда получаем, что отрезок М1Н1 – это перпендикуляр, который провели из точки М1 к плоскости χ, где точка Н1 – основание перпендикуляра.

Определение 1

Расстоянием от точки до плоскости называют расстояние от заданной точки к основанию перпендикуляра, который провели из заданной точки к заданной плоскости.

Определение может быть записано разными формулировками.

Определение 2

Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, который провели из заданной точки к заданной плоскости.

Расстояние от точки М1 к плоскости χ определяется так: расстояние от точки М1 до плоскости χ будет являться наименьшим от заданной точки до любой точки плоскости. Если точка Н2 располагается в плоскости χ и не равна точке Н2, тогда получаем прямоугольный треугольник вида М2h2h3, который является прямоугольным, где имеется катет М2h2, М2h3 – гипотенуза. Значит, отсюда следует, что M1h2<M1h3. Тогда отрезок М2h2считается наклонной, которая проводится из точки М1 до плоскости χ. Мы имеем, что перпендикуляр, проведенный из заданной точки к плоскости, меньше наклонной, которую проводят из точки к заданной плоскости. Рассмотрим этот случай на рисунке, приведенном ниже.

Расстояние от точки до плоскости – теория, примеры, решения

Существует ряд геометрических задач, решения которых должны содержать расстояние от точки до плоскости. Способы выявления этого могут быть разными. Для разрешения применяют теорему Пифагора или подобия треугольников. Когда по условию необходимо рассчитать расстояние от точки до плоскости, заданные в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, решают методом координат. Данный пункт рассматривает этот метод.

По условию задачи имеем, что задана точка трехмерного пространства с координатами M1(x1, y1, z1) с плоскостью χ, необходимо определить расстояние от М1 к плоскости χ. Для решения применяется несколько способов решения.

Первый способ

Данный способ основывается на нахождении расстояния от точки до плоскости при помощи координат точки Н1, которые являются основанием перпендикуляра из точки М1к плоскости χ. Далее необходимо вычислить расстояние между М1 и Н1.

Для решения задачи вторым способом применяют нормальное уравнение заданной плоскости.

Второй способ

По условию имеем, что Н1 является основанием перпендикуляра, который опустили из точки М1 на плоскость χ.   Тогда определяем координаты (x2, y2, z2) точки Н1. Искомое расстояние от М1 к плоскости χ находится  по формуле M1h2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2, где M1(x1, y1, z1) и h2(x2, y2, z2). Для решения необходимо узнать координаты точки Н1.

Имеем, что Н1 является точкой пересечения плоскости χ с прямой a, которая проходит через точку М1, расположенную перпендикулярно плоскости χ. Отсюда следует, что необходимо составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости. Именно тогда сможем определить координаты точки Н1. Необходимо  произвести вычисление координат точки пересечения прямой и плоскости.

Алгоритм нахождения расстояния от точки с координатами M1(x1, y1, z1) к плоскости χ:

Определение 3

  • составить уравнение прямой а, проходящей через точку М1 и одновременно
  • перпендикулярной к плоскости χ;
  • найти и вычислить координаты (x2, y2, z2) точки Н1, являющимися точками
  • пересечения прямой a с плоскостью χ;
  • вычислить расстояние от М1 до χ, используя формулу M1h2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+z2-z12.

Третий способ

В заданной прямоугольной системе координат Охуz имеется плоскость χ, тогда получаем нормальное уравнение плоскости вида cos α· x+cos β·y+cos γ·z-p=0. Отсюда получаем, что расстояние M1h2 с точкой M1(x1, y1, z1) , проведенной на плоскость χ, вычисляемое по формуле M1h2=cos α· x+cos β·y+cos γ·z-p. Эта формула справедлива, так как это установлено благодаря теореме.

Теорема

Если задана точка M1(x1, y1, z1) в трехмерном пространстве, имеющая нормальное уравнение плоскости χ вида cos α· x+cos β·y+cos γ·z-p=0, тогда вычисление расстояния от точки до плоскости M1h2 производится из формулы M1h2=cos α· x+cos β·y+cos γ·z-p, так как x=x1, y=y1, z=z1.

Доказательство

Доказательство теоремы сводится к нахождению расстояния от точки до прямой. Отсюда получаем, что расстояние от M1 до плоскости χ — это и есть модуль разности числовой проекции радиус-вектора M1 с расстоянием от начала координат к плоскости χ. Тогда получаем выражение M1h2=npn→OM→-p. Нормальный вектор плоскости χ имеет вид n→=cos α, cos β, cos γ, а его длина равняется единице, npn→OM→ — числовая проекция вектора OM→=(x1, y1, z1) по направлению, определяемым вектором n→.

Применим формулу вычисления скалярных векторов. Тогда получаем выражение для нахождения вектора вида n→, OM→=n→·npn→OM→=1·npn→OM→=npn→OM→, так как n→=cos α, cos β, cos γ·z и OM→=(x1, y1, z1). Координатная форма записи примет вид n→, OM→=cos α· x1+cos β·y1+cos γ·z1, тогда M1h2=npn→OM→-p=cos α· x1+cos β·y1+cos γ·z1-p. Теорема доказана.

Отсюда получаем, что расстояние от точки M1(x1, y1, z1) к плоскости χ вычисляется при помощи подстановки в левую часть нормального уравнения плоскости cos α· x+cos β·y+cos γ·z-p=0 вместо х, у, z координаты x1, y1 и z1 ,относящиеся к точке М1, взяв абсолютную величину полученного значения.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Рассмотрим примеры нахождения расстояния от точки с координатами до заданной плоскости.

Пример 1

Вычислить расстояние от точки с координатами M1(5, -3, 10) к плоскости 2x-y+5z-3=0.

Решение

Решим задачу двумя способами.

Первый способ начнется с вычисления направляющего вектора прямой a. По условию имеем, что заданное уравнение 2x-y+5z-3=0 является уравнением плоскости общего вида, а n→=(2, -1, 5) является нормальным вектором заданной плоскости. Его применяют в качестве направляющего вектора прямой a, которая перпендикулярна относительно заданной плоскости. Следует записать каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящее через M1(5, -3, 10) с направляющим вектором с координатами 2, -1, 5.

Уравнение получит вид x-52=y-(-3)-1=z-105⇔x-52=y+3-1=z-105.

Следует определить точки пересечения. Для этого нежно объединить уравнения в систему для перехода от канонического  к уравнениям двух пересекающихся прямых. Данную точку примем за Н1.  Получим, что

x-52=y+3-1=z-105⇔-1·(x-5)=2·(y+3)5·(x-5)=2·(z-10)5·(y+3)=-1·(z-10)⇔⇔x+2y+1=05x-2z-5=05y+z+5=0⇔x+2y+1=05x-2z-5=0

После чего необходимо разрешить систему

x+2y+1=05x-2z-5=02x-y+5z-3=0⇔x+2y=15x-2z=52x-y+5z=3

Обратимся к правилу решения системы по Гауссу:

120-150-252-153~120-10-10-2100-555~120-10-10-2100060⇒⇒z=06=0, y=-110·10+2·z=-1, x=-1-2·y=1

Получаем, что h2(1, -1, 0).

Производим вычисления расстояния от заданной точки до плоскости. Берем точки M1(5, -3, 10) и h2(1, -1, 0) и получаем

M1h2=(1-5)2+(-1-(-3))2+(0-10)2=230

Второй способ решения заключается в том, чтобы для начала привести заданное уравнение 2x-y+5z-3=0 к нормальному виду. Определяем нормирующий множитель и получаем 122+(-1)2+52=130. Отсюда выводим уравнение плоскости 230·x-130·y+530·z-330=0. Вычисление левой части уравнения производится посредствам подстановки x=5, y=-3, z=10, причем нужно взять расстояние от M1(5, -3, 10)  до 2x-y+5z-3=0 по модулю. Получаем выражение:

M1h2=230·5-130·-3+530·10-330=6030=230

Ответ: 230.

Когда плоскость χ задается одним из способов раздела способы задания плоскости, тогда нужно для начала получить уравнение плоскости χ и вычислять искомое расстояние при помощи любого метода.

Пример 2

 В трехмерном пространстве задаются  точки с координатами M1(5, -3, 10), A(0, 2, 1), B(2, 6, 1), C(4, 0, -1). Вычислить расстяние от М1 к плоскости АВС.

Решение

Для начала необходимо записать уравнение плоскости, проходящее через заданные три точки с координатами M1(5, -3, 10), A(0, 2, 1), B(2, 6, 1), C(4, 0, -1).

Получим:

x-0y-2z-12-06-21-14-00-2-1-1=0⇔xy-2z-12404-2-2=0⇔⇔-8x+4y-20z+12=0⇔2x-y+5z-3=0

Отсюда следует, что задача имеет аналогичное предыдущему решение. Значит, расстояние от точки М1 к плоскости АВС имеет значение 230.

Ответ: 230.

Нахождение расстояния от заданной точки на плоскости или к плоскости, которым они параллельны, удобнее, применив формулу M1h2=cos α·x1+cos β·y1+cos γ·z1-p. Отсюда получим, что нормальные уравнения плоскостей получают в несколько действий.

Пример 3

Найти расстояние от заданной точки с координатами M1(-3, 2, -7) к координатной плоскости Охуz и плоскости, заданной уравнением 2y-5=0.

Решение

Координатная плоскость Оуz соответствует уравнению вида х=0. Для плоскости Оуz оно является нормальным. Поэтому необходимо подставить в левую часть выражения значения х=-3 и взять модуль значения расстояния от точки с координатами M1(-3, 2, -7) к плоскости. Получаем значение, равное -3=3.

После преобразования нормальное уравнение плоскости 2y-5=0 получит вид y-52=0. Тогда можно найти искомое расстояние от точки с координатами M1(-3, 2, -7) к плоскости2y-5=0. Подставив и вычислив, получаем 2-52=52-2.

Ответ: Искомое расстояние от M1(-3, 2, -7) до Оуz имеет значение 3, а до 2y-5=0 имеет значение 52-2.

Расстояние от точки до плоскости

Поиск расстояния от точки до плоскости — частая задача, возникающая при решении различных задач аналитической геометрии, например, к этой задаче можно свести нахождение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми или между прямой и параллельной ей плоскостью.

Рассмотрим плоскость $β$ и точку $M_0$ с координатами $(x_0;y_0; z_0)$, не принадлежащую плоскости $β$.

Определение 1

Кратчайшим расстоянием между точкой и плоскостью будет перпендикуляр, опущенный из точки $М_0$ на плоскость $β$.

Рисунок 1. Расстояние от точки, до плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Ниже рассмотрено как найти расстояние от точки до плоскости координатным методом.

Вывод формулы для координатного метода поиска расстояния от точки до плоскости в пространстве

Перпендикуляр из точки $M_0$, пересекающийся с плоскостью $β$ в точке $M_1$ с координатами $(x_1;y_1; z_1)$, лежит на прямой, направляющим вектором которой является нормальный вектор плоскости $β$. При этом длина единичного вектора $n$ равна единице. Соответственно этому, расстояние от $β$ до точки $M_0$ составит:

$ρ= |\vec{n} \cdot \vec{M_1M_0}|\left(1\right)$, где $\vec{M_1M_0}$ — нормальный вектор плоскости $β$, а $\vec{n}$ — единичный нормальный вектор рассматриваемой плоскости.

В случае, когда уравнение плоскости задано в общем виде $Ax+ By + Cz + D=0$, координаты нормального вектора плоскости представляют собой коэффициенты уравнения $\{A;B;C\}$, а единичный нормальный вектор в этом случае имеет координаты, вычисляемые по следующему уравнению:

$\vec{n}= \frac{\{A;B;C\}}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\left(2\right)$. 2}}\left(4\right)$

Равенство $(4)$ является формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости в пространстве.

Общий алгоритм для нахождения расстояния от точки $M_0$ до плоскости

  1. Если уравнение плоскости задано не в общей форме, для начала необходимо привести его к общей.
  2. После этого необходимо выразить из общего уравнения плоскости нормальный вектор данной плоскости через точку $M_0$ и точку, принадлежащую заданной плоскости, для этого нужно воспользоваться равенством $(3)$.
  3. Следующий этап — поиск координат единичного нормального вектора плоскости по формуле $(2)$.
  4. Наконец, можно приступить к поиску расстояния от точки до плоскости, это осуществляется с помощью вычисления скалярного произведения векторов $\vec{n}$ и $\vec{M_1M_0}$.

Пример 1

Найдите расстояние от точки $M_0$, заданной координатами $(1;2;3)$ до плоскости $β$, заданной уравнением $5x+2y-z+3=0$

Воспользуемся формулой $(4)$:

$ρ=\frac{|5 \cdot 1 + 2 \cdot 2 -3 \cdot1+3|}{\sqrt{5^2 + 2^2 + (-1)^2}}=\frac{9}{\sqrt{30}}$.

Расстояние от точки до прямой онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние от точки до прямой. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния от точки до прямой, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».


Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Расстояние от точки до прямой − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1.

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть в двухмерном пространстве задана точка M0(x0, y0) и прямая L:

где q=(m,p) направляющий вектор прямой L.

Найдем расстояние от точки M0 до прямой (1)(Рис.1).

Алгоритм нахождения расстояния от точки M0 до прямой L содержит следующие шаги:

  • построить прямую L1, проходящую через точку M0 и перпендикулярную прямой L,
  • найти пересечение прямых L и L1(точка M1)
  • найти найти расстояние между точками M0 и M1.

Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) имеет следующий вид:

где n=(A,B) нормальный вектор прямой L1.

Как видно из рисунка Рис. 1, для того, чтобы прямая L1 была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n прямой L1, поэтому в качестве нормального вектора прямой L1 достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение прямой L1, представленной уравнением (2) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения прямых L и L1, которая и будет проекцией точки M0 на прямую L, можно решить систему из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными x и y. Выражая неизвестную x из одного уравнения и подставляя в другое уравнение получим координаты точки M1(x1, y1).

Найдем точку пересечения прямых L и L1 другим методом.

Выведем параметрическое уравнение прямой (1):

Подставим значения x и y в (4):

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x и y точки на прямой L удовлетворяют уравнению прямой L1(4). Следовательно, подставляя значение t’ в (5) получим координаты проекции точки M0 на прямую L:

где x1=mt’+x’, y1=pt’+y’.

Далее находим расстояние между точками M0 и M1 используя формулу:

 

Пример 1. Найти расстояние от точки M0(−6, 2) до прямой

Решение.

Направляющий вектор прямой (8) имеет вид:

Т.е. m=2, p=−1. Из уравнения прямой (8) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’)=(1, 7)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (8) получим тождество 0=0), т.е. x’=1, y’=7. Подставим значения m, p, x0, y0, x’, y’ в (6):

Подставляя значение t в (5), получим:

Вычислим расстояние между точками M0(-6, 2) и M1

Упростим и решим:

Ответ:

Расстояние от точки M0(-6, 2) до прямой (8) :

 

2.

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Пусть в трехмерном пространстве задана точка M0(x0, y0, z0) и прямая L:

где q=(m, p, l) направляющий вектор прямой L.

Найдем расстояние от точки M0 до прямой (9)(Рис.2).

Алгоритм нахождения расстояния от точки до прямой L содержит следующие шаги:

  • построить плоскость α, проходящую через точку M0 и перпендикулярную прямой L,
  • найти пересечение плоскости α и прямой L(точка M1)
  • найти расстояние между точками M0 и M1.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) имеет следующий вид:

где n=(A,B,C) нормальный вектор плоскости α.

Как видно из рисунка Рис.2, для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n плоскости α, поэтому в качестве нормального вектора плоскости α достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение плоскости α, представленной уравнением (10) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения плоскости α и прямой L, которая и будет проекцией точки M0 на прямую L, выведем параметрическое уравнение прямой (9):

Подставим значения x и y в (11):

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x,y и z точки на прямой L удовлетворяют уравнению плоскости (11). Следовательно, подставляя значение t’ в (12) получим координаты проекции точки M0 на прямую L:

где x1=mt’+x’, y1=pt’+y’, z1=lt’+z’.

Далее вычисляем расстояние между точками M0 и M1 используя формулу

которое является расстоянием между точкой M0 и прямой (9).

Пример 2. Найти расстояние от точки M0(1, 2, 1) до прямой

Решение.

Направляющий вектор прямой (15) имеет вид:

Т.е. m=2, p=4, l=−6. Из уравнения прямой (15) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’, z’)=(4, 3, 1)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (15) получим тождество 0=0=0), т.е. x’=4, y’=3, z’=1. Подставим значения m, p, l x0, y0, z0 x’, y’, z’ в (13):

Подставляя значение t=t’ в (12), получим координаты точки M1:

Далее, используя формулу (14) вычисляем расстояние от точки M0 до прямой (15):

Упростим и решим:

Ответ:

Расстояние от точки M0(1, 2, 1) до прямой (15) :

03.

14. Нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости и от точки до плоскости

Нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости и от точки до плоскости

Эти две задачи аналогичны по своей постановке и решению. Ограничимся рассмотрением одной из них. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, проведенного к прямой из заданной точки. Глядя на различные типы уравнений прямой на плоскости, мы должны выбрать такое ее задание, при котором удается решить поставленную задачу более просто. Попробуем применить нормальное уравнение прямой (4.27), поскольку параметр р тоже характеризует расстояние от одной из точек – начала координат, до данной прямой. Итак, пусть дана точка и прямая (рис. 4.22).

Рис. 4.22. Нахождение расстояния от точки до прямой.

Длина отрезка M0K, перпендикулярного прямой, и есть искомое расстояние d. Рассмотрим радиусы-векторы , а также , связанный с произвольной точкой данной прямой. Тогда искомое расстояние d будет равно , где  – единичный вектор нормали к прямой. Проекцию приходится брать по модулю, потому что знак ее зависит от того, находятся ли точка M0 и начало координат по одну сторону от прямой или по разные. В нашем случае векторная проекция

Ориентирована в противоположную сторону по отношению к вектору , поэтому соответствующая скалярная проекция отрицательна. Проводим очевидные преобразования:

.

Итак, расстояние от точки до прямой, заданной нормальным уравнением, находится по формуле:

.

6. Формула вычисления расстояния от точки до плоскости

Имеет вид:

.

Докажите эту формулу. Продумайте, каким должен быть чертеж, отражающий наиболее выразительно постановку и решение задачи.

7. Какой будет формула вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости при использовании других типов уравнений прямой?

8. Найти уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку Под углом к прямой, заданной нормальным уравнением

.

9. Найти нормальное уравнение прямой, проходящей через точки .

10. Найти полярное уравнение прямой, проходящей через точки .

11. Найти точку пересечения непараллельных прямых на плоскости, когда их уравнения заданы:

А) в полярной системе координат;

Б) в отрезках;

В) в нормальном виде.

12. По двум заданным видам детали (рис. 4.23) постройте третий вид, применив необходимые разрезы. Выполните технический рисунок детали. Опишите аналитически линии на чертежах и плоскости на техническом рисунке, введя требуемые размеры.

Рис. 4.23. Заданные виды детали.

< Предыдущая   Следующая >

Нахождение расстояния от точки до плоскости. 11-й класс

Цели:

  • обобщение и систематизация знаний и умений
    учащихся;
  • развитие умений анализировать, сравнивать,
    делать выводы.

Оборудование:

  • мультимедийный проектор;
  • компьютер;
  • листы с текстами задач

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Организационный момент

II. Этап актуализации знаний (слайд 2)

Повторяем как определяется расстояние от точки
до плоскости

III. Лекция (cлайды 3-15)

На занятии мы рассмотрим различные способы
нахождения расстояния от точки до плоскости.

Первый метод: поэтапно-вычислительный

Расстояние от точки М до плоскости α:

– равно расстоянию до плоскости α от
произвольной точки Р, лежащей на прямой a,
которая проходит через точку М и параллельна
плоскости α;

– равно расстоянию до плоскости α от
произвольной точки Р, лежащей на плоскости β,
которая проходит через точку М и параллельна
плоскости α.

Решим следующие задачи:

№1. В кубе  А…D1  найти
расстояние от точки С1 до плоскости АВ1С.

Решение.

Осталось вычислить значение длины отрезка О1Н.

№2. В правильной шестиугольной призме
А…F1, все ребра которой равны 1, найдите
расстояние от точки А до плоскости DEA1.

Решение:

Следующий метод: метод объемов.

Если объем пирамиды АВСМ  равен V, то
расстояние от точки М до плоскости α, содержащей ∆АВС вычисляется по формуле ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =

При решении задач мы используем равенство
объемов одной фигуры, выраженные двумя
различными способами.

Решим следующую задачу:

№3. Ребро AD пирамиды DABC 
перпендикулярно плоскости основания АВС.
Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей
через середины ребер АВ, АС и АD, если .

Ответ: 2

При решении задач координатным методом
расстояние от точки М до плоскости α  можно
вычислить по формуле  ρ(М; α) = , где М(х0; у0; z0), а
плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0

Решим следующую задачу:

№4. В единичном кубе A…D1 найдите
расстояние от точки А1 до плоскости ВDC1.

Решение.

Введем систему координат с началом в точке А ,
ось у пройдет по ребру АВ, ось х – по ребру АD, ось z
– по ребру АА1. Тогда координаты  точек В
(0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C1(1; 1; 1)

Составим уравнение плоскости, проходящей через
точки  В, D, C1

 

Тогда – dx – dy + dz + d = 0     x + y – z – 1=
0.  Следовательно, ρ =

Ответ:

Следующий метод, который можно использовать
при решении задач данного типа – метод
опорных задач.

Применение данного метода состоит в применении
известных опорных задач, которые формулируются
как теоремы.

Решим следующую задачу:

№5. В единичном кубе   А…D1
 найдите расстояние от точки D1 до
плоскости АВ1С.

Рассмотрим применение векторного метода.

№6.  В единичном кубе   А…D1
 найдите расстояние от точки А1 до
плоскости ВDС1.

Итак, мы рассмотрели различные способы, которые
можно использовать при решении данного типа
задач. Выбор того или иного метода зависит от
конкретной задачи и ваших предпочтений.

IV. Работа в группах

Попробуйте решить задачу разными способами.

№1. Ребро куба  А…D1 равно . Найдите
расстояние от вершины С до плоскости BDC1.

№2. В правильном тетраэдре  АВСD с
ребром  найдите
расстояние от точки А до плоскости BDC

№3. В правильной треугольной призме
АВСА1В1С1  все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от  А до плоскости
ВСА1.

№4. В правильной четырехугольной
пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите
расстояние от  А  до плоскости SCD.

V. Итог урока, домашнее задание, рефлексия

Расстояние между двумя точками на поверхности Земли | by shemanovskiy

Представим, что для чего-то понадобилось измерить расстояние между двумя точками на поверхности Земли, например, расстояние между Красной площадью и Эрмитажем. Конечно, можно попробовать решить задачу в лоб и посчитать евклидово расстояние по формуле:

но этот подход не заработает по той простой причине, что евклидова метрика предназначена для вычисления расстояния на плоскости, а поверхность Земли — это всё-таки фигура, очень близкая к сфере.

Для решения такой задачи нужно обратиться к редко используемым тригонометрическим функциям.

Одна из таких функций, называется синус-верзус, или, по-другому, версинус. Он представляет собой расстояние от центральной точки дуги, измеряемой удвоенным данным углом, до центральной точки хорды, стягивающей дугу. Вычисляется версинус по формуле:

Гаверсинус — это просто половина версинуса, и именно эта функция поможет нам в решении задачи с поиском расстояния:

Для любых двух точек на сфере гаверсинус центрального угла между ними вычисляется по формуле:

В этой формуле:

  • d — это центральный угол между двумя точками, лежащими на большом круге
  • r — радиус сферы
  • φ₁ и φ₂ — широта первой и второй точек в радианах
  • λ₁ и λ₂ — долгота первой и второй точек в радианах

Обозначим временно гаверсинус отношения длины к радиусу как переменную h:

Тогда длину d можно вынести за знак равенства:

а для того, чтобы избавиться от дроби, выразим гаверсинус через арксинус:

затем раскроем переменную h:

подставим формулу гаверсинуса и получим формулу вычисления расстояния:

Теперь вернёмся к исходной задаче поиска расстояния между Красной площадью и Эрмитажем.

Для Красной площади Гугл подсказал координаты (55.7539° N, 37.6208° E), а для Эрмитажа — (59.9398° N, 30.3146° E).

Прежде, чем подставлять координаты в формулу, их нужно перевести в радианы.

Для того, чтобы вычислить длину, нужно полученное значение арксинуса умножить на два радиуса сферы. Подсчёты усложняет тот факт, что Земля не является идеальной сферой и её радиус немного варьируется. Воспользуемся усреднённым значением радиуса, которое, в соответствии со стандартом WGS84 приблизительно равно 6371 км:

Произведя умножение, получаем искомое значение, которое приблизительно равно 634.57 км.

Кстати, из-за того, что Земля — не идеальная сфера, погрешность расчётов с использованием этой формулы, составляет около 0,5%.

Плоскость в пространстве, всевозможные уравнения, расстояние от точки до плоскости.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

 

Существуют такие формы записи уравнения плоскости:

1) $Ax+By+Cz+D=0 -$ общее уравнение плоскости $P,$ где $\overline{N}=(A, B, C) -$ нормальный вектор плоскости $P.$

 

2) $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 -$  уравнение плоскости $P,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ перпендикулярно вектору $\overline{N}=(A, B, C).$ Вектор $\overline N$ называется нормальным вектором плоскости.

 

3) $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 -$  уравнение плоскости в отрезках на осях, где $a,$  $b$ и $c -$ величины отрезков, которые плоскость отсекает на осях координат.

 

4) $\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&x_2-x_1&x_3-x_1\end{vmatrix}=0 — $ уравнение плоскости, которая проходит через три точки $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$ и $C(x_3, y_3, z_3).$ 

 

 

5) $x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma-p=0 -$ нормальное уравнение плоскости, где $\cos\alpha, \cos\beta$ и $\cos\gamma -$ направляющие косинусы нормального вектора $\overline{N},$ направленного из начала координат в сторону плоскости, а $p>0 -$ расстояние от начала координат до плоскости.2}}\right|.$$

 {jumi[*3]}

Примеры:

2.180.

а) Заданы плоскость $P: -2x+y-z+1=0$ и точка $M(1, 1, 1).$ Написать уравнение плоскости $P’,$ проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $P$ и вычислить расстояние $\rho(P, P’).$ 

Решение.

Так как п.лоскости $P$ и $P’$ параллельны, то нормальный вектор для плоскости $P$ будет также нормальным вектором для плоскости $P’.$ Из уравнения плоскости получаем $\overline{N}=(-2, 1, -1).$

Далее запишем уравнение плоскости по формуле (2): $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 -$  уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ перпендикулярно вектору $\overline{N}=(A, B, C).$ 

$-2(x-1)+(y-1)-(z-1)=0\Rightarrow -2x+y-z+2=0.$

Ответ: $-2x+y-z+2=0.$

 

 

 

2.181. 

а) Написать уравнение плоскости $P’,$ проходящей через заданные точки $M_1(1, 2, 0)$ и $M_2(2, 1, 1)$ перпендикулярно заданной плоскости $P: -x+y-1=0.$

Решение.

Из уравнения плоскости $P,$ находим ее нормальный вектор $\overline{N}=(-1, 1, 0).$ Плоскость, перпендикулярная плоскости $P,$ параллельна ее нормальному вектору. Отсюда следует, что можно выбрать точку $M_3(x, y, z)\in P’$ такую, что что $\overline{M_1M_3}||\overline{N}.$

$\overline{M_1M_3}=(x-1, y-2, z).$

Условие коллинеарности векторов $\overline{M_1M_3}$ и $\overline{N}:$ $\frac{x_{M_1M_3}}{x_N}=\frac{y_{M_1M_3}}{y_N}=\frac{z_{M_1M_3}}{z_N}.$

Поскольку $z_N=0,$ то есть вектор $N\in XoY,$ то $z_{M_1M_3}=0.$

$\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}.$ Пусть $x=2,$ тогда $y=1.$

Мы нашли точку $M_3=(2, 1, 0).$

Так как точка $M_1\in P’,$ то и $M_3\in P’.$ Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три точки $M_1 (1, 2, 0), M_2(2, 1, 1)$ и $M_3(2, 1, 0).$

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\2-1&1-2&1\\2-1&1-2&0-0\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\1&-1&1\\1&-1&0\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$(x-1)(-1)0+(-1)z+(y-2)-(-1)z-(-1)(x-1)-(y-2)0=0\Rightarrow$ $\Rightarrow-z+y-2+z+x-1=0\Rightarrow x+y-3=0.$

Ответ: $x+y-3=0.$ 

 

2.182.

а) Написать уравнение плоскости $P,$ проходящей через точку $M(1, 1, 1)$ параллельно векторам $a_1(0, 1, 2)$ и $a_2(-1, 0, 1).$ 

Решение.

Поскольку вектор $[a_1, a_2]$ перпендикулярен плоскости векторов $a_1$ и $a_2$ (см. векторное произведение), то он будет также перпендикулярен искомой плоскости. То есть вектор $[a_1, a_2]$ является нормальным для плоскости $P.$ Найдем этот вектор:

$[a_1, a_2]=\begin{vmatrix}i&j&k\\0&1&2\\-1&0&1\end{vmatrix}=i(1-0)-j(0+2)+k(0+1)=i-2j+k.$

Таким образом $\overline{N}=[a_1, a_2]=(1, -2, 1).$

Теперь можно найти уравнение плоскости $P,$ по формуле (2), как плоскости, проходящей через точку $M(1, 1, 1)$ перпендикулярно  вектору $\overline N=(1, -2, 1):$

$1(x-1)-2(y-1)+1(z-1)=0\Rightarrow$

$x-2y+z=0.$

Ответ: $x-2y+z=0.$

 

 

2.183.

а) Написать уравнение плоскости $P,$ проходящей через точки $M_1(1, 2, 0)$ и $M_2(2, 1, 1)$ параллельно вектору $a=(3, 0, 1).$

Решение.

Поскольку вектор $a$ параллелен плоскости $P,$ то для всякого вектора $\overline{M_1M_3},$ параллельного вектору $a,$ точка $M_3\in P.$

Пусть $M_3=(x, y, z).$ Тогда $\overline{M_1M_3}=(x-1, y-2, z).$ Так как $\overline{M_1M_3}||a,$ то $\frac{x_{M_1M_3}}{x_а}=\frac{y_{M_1M_3}}{y_а}=\frac{z_{M_1M_3}}{z_а}.$ $y_a=0,$ то есть вектор $a\in XoZ$ и  всякий параллельный ему вектор так же будет принадлежать этой плоскости. Таким образом, $y_{M_1M_3}=y-2=0\Rightarrow y=2.$

Из условия параллельности векторов имеем $\frac{x-1}{3}=\frac{z}{1}.$ Пусть $x=4,$ тогда $z=1.$

Мы получили точку $M_3=(4, 2, 1).$

Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три точки $M_1 (1, 2, 0), M_2(2, 1, 1)$ и $M_3(4, 2, 1).$

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\2-1&1-2&1\\4-1&2-2&1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\1&-1&1\\3&0&1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$(x-1)(-1)1+1\cdot z\cdot 0+(y-2)3-3(-1)z-0\cdot 1\cdot(x-1)-1(y-2)1=0\Rightarrow$

$\Rightarrow -x+1+3y-6+3z-y+2=0\Rightarrow -x+2y+3z-3=0.$

Ответ: $-x+2y+3z-3=0.$ 

 

2.184.

а) Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $M_1(1, 2,0),$ $M_2(2, 1, 1)$ и $M_3(3, 0, 1).$ 

Решение.

Воспользуемся формулой (4):

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\2-1&1-2&1\\3-1&0-2&1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$\begin{vmatrix}x-1&y-2&z\\1&-1&1\\2&-2&1\end{vmatrix}=0 \Rightarrow $

$(x-1)(-1)1+z(-2)+2(y-2)1-2(-1)z-(-2)(x-1)-1(y-2)1=0\Rightarrow$

$\Rightarrow -x+1+-2z+2y-4+2z+2x-2-y+2=0\Rightarrow x+y-3=0.$

Ответ: $x+y-3=0.$ 

 

 {jumi[*4]} 

2}} $.

  • Доказательство: Пусть $ Q (x_1, y_1, z_1) $ — любая точка на плоскости $ \ Pi $ и пусть $ P_0 = (x_0, y_0, z_0) $ — наша точка интереса. Пусть $ \ vec {QP_0} = (x_0 — x_1, y_0 — y_1, z_0 — z_1) $. Напомним, что эту плоскость можно определить с помощью вектора, перпендикулярного плоскости, известной как нормаль. Пусть $ n = (a, b, c) $ — нормаль к нашей плоскости $ \ Pi $.
  • Ортогональная проекция $ \ vec {QP_0} $ на $ \ vec {n} $ равна расстоянию между плоскостью $ \ Pi $ и $ P_0 $, как показано ниже:
  • Отсюда следует, что $ D = \ | \ mathrm {proj} _ {\ vec {n}} \ vec {QP_ {0}} \ | $.2}} \\ D = \ frac {\ mid -8 +56 +36 + 5 \ mid} {\ sqrt {16 + 64 + 9}} \\ D = \ frac {\ mid 89 \ mid} {\ sqrt {89}} \\ D = \ frac {89} {\ sqrt {89}} \ end {align}

    Расстояние между точкой и плоскостью

    Расстояние между точкой и плоскостью

    В этом уроке мы увидим, как вычислить расстояние между точкой и плоскостью. Мы также увидим, как вычислить расстояние между двумя параллельными линиями и плоскостями.

    «Кратчайшее расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра , который начинается от точки и соединяется с плоскостью»

    Другими словами, мы можем сказать, что Кратчайшее расстояние между точкой и плоскостью — это длина перпендикулярной линии от точки до плоскости.

    Лучшие доступные репетиторы по математике

    Первый урок бесплатно

    Формула для расчета расстояния между точкой и плоскостью

    Предположим, что есть плоскость

    и точка P, как показано ниже:

    Расстояние между

    и P будет перпендикулярной линией, проведенной от точки P к плоскости. Это расстояние можно рассчитать по следующей формуле:

    Расстояние от точки P до плоскости π — это наименьшее расстояние от точки до одной из бесконечных точек на плоскости.Давайте воспользуемся этой формулой для вычисления расстояния между плоскостью и точкой в ​​следующих примерах.

    Пример

    Рассчитайте расстояние от точки P = (3, 1, 2) и плоскостей

    и

    Решение

    Деталь a

    Используйте следующую формулу для вычисления расстояния между точкой и плоскостью. Сначала мы вычислим расстояние между

    и P.

    Подставим A = 3, b = 4, C = 1 и D = 3 в приведенную выше формулу:

    Часть b

    Теперь мы вычислим расстояние между

    и точкой P.Используйте следующую формулу для вычисления расстояния между точкой и плоскостью.

    Замените A = 1, B = 2, C = 3 и D = 1 в приведенной выше формуле:

    Расстояние между параллельными линиями

    Один из важных элементов в трех -мерная геометрия — прямая линия. В декартовой плоскости соотношение между двумя прямыми линиями меняется, потому что они могут просто пересекать друг друга, быть перпендикулярными друг другу или могут быть параллельными линиями.Когда две линии пересекаются друг с другом, расстояние между ними составляет ноль . Расстояние между двумя параллельными линиями всегда одинаково . Наклон параллельных прямых всегда одинаковый.

    Вам может быть интересно, как вычислить расстояние между двумя параллельными линиями? Что ж, в этом разделе мы обсудим, как вычислить расстояние между двумя параллельными линиями.

    Кратчайшее расстояние между двумя параллельными линиями равно длине перпендикуляра между ними.Расположение точек значения не имеет. Единственное, что имеет значение, это то, что две точки должны быть на линиях. Предположим, есть две параллельные прямые

    и. Расстояние между этими двумя линиями можно рассчитать по следующей формуле:

    Пример

    Вычислите расстояние между следующими двумя параллельными линиями.

    a) 2x + 2y + 3 = 0 и 2x + 2y + 5 = 0

    b) x + 3y = — 6 и 3x + 9 y = -3

    Решение

    Часть a

    Здесь

    и .Подставьте эти значения в формулу ниже, чтобы получить расстояние:

    Часть b

    Сначала мы преобразуем указанные выше две строки в форму

    .

    Строка 1 =

    Строка 2 =

    Чтобы коэффициенты были равны, мы разделим уравнение строки 2 на константу 3. В результате получится следующее уравнение:

    Замените

    и в приведенной ниже формуле:

    Расстояние между двумя параллельными плоскостями

    Расстояние между двумя плоскостями, параллельными друг другу, можно понять, рассматривая кратчайшее расстояние между поверхностями двух плоскостей.Если плоскости не параллельны, то они будут пересекать друг друга. Если две плоскости пересекают друг друга, то расстояние между ними равно нулю. Прежде чем определять расстояние, сначала необходимо определить, параллельны ли две плоскости или нет.

    «Расстояние между двумя параллельными плоскостями — это расстояние от любой точки одной плоскости до другой точки на другой плоскости»

    Предположим, что две плоскости имеют следующие уравнения:

    Формула для вычисления расстояния между этими двумя плоскостями приведено ниже:

    Следующие пять шагов необходимо выполнить при вычислении расстояния между двумя параллельными плоскостями.

    Этапы вычисления расстояния между двумя параллельными плоскостями

    Шаг 1

    Убедитесь, что уравнения плоскостей записаны в стандартной форме. Уравнение плоскости в его стандартной форме приведено ниже:

    Шаг 2

    На этом шаге вы определяете, параллельны ли две плоскости или нет. Это потому, что если плоскости не параллельны, то в какой-то момент они обязательно пересекутся друг с другом.Расстояние между перпендикулярными плоскостями равно нулю.

    Чтобы определить, параллельны плоскости или нет, рассмотрите следующие отношения:

    Если линии параллельны, то эти отношения равны. Математически мы запишем это как:

    Шаг 3

    Определите значения коэффициентов A, B и C. Если две строки не имеют одинаковых коэффициентов, вы можете уравнять их, умножив или разделив любое уравнение на константу.

    Шаг 4

    На этом шаге вы получите значения

    и из двух уравнений.

    Шаг 5

    Подставьте эти значения в формулу для вычисления расстояния между двумя параллельными плоскостями. Эта формула приведена выше в этой статье.

    Пример

    Вычислите расстояние между следующими двумя параллельными плоскостями:

    Решение

    Выполните следующие действия, чтобы вычислить расстояние между двумя указанными выше плоскостями.

    Шаг 1

    Во-первых, нам нужно преобразовать уравнения в стандартную форму. В этом примере уравнения плоскостей уже приведены в стандартной форме, поэтому на этом шаге мы ничего делать не будем и перейдем ко второму шагу.

    Шаг 2

    На этом шаге мы увидим, параллельны ли две плоскости или нет. Чтобы определить это, нам нужно посмотреть на определенные соотношения.

    Коэффициенты равны, что означает, что плоскости параллельны.

    Шаг 3

    Теперь мы найдем значения коэффициентов A, B и C. Два уравнения:

    Мы разделим уравнение плоскости 2 на константу 2, чтобы получить те же коэффициенты. в обоих уравнениях:

    Шаг 4

    На этом шаге мы получим значения

    и из двух уравнений.

    В этом примере

    и

    Шаг 5

    Подставьте все значения в формулу ниже, чтобы вычислить расстояние между двумя параллельными плоскостями:

    Как найти расстояние между двумя плоскостями ( Видео и примеры)

    Стены вашего класса, школы или дома, вероятно, вертикальны полу и потолку.Это означает, что две стены в комнате, вероятно, параллельны друг другу. Если бы вы могли представить эти две стены, бесконечно расширяющиеся в двух направлениях (ширине и длине, а не высоте), у вас были бы две плоскости на заданном расстоянии друг от друга. Вы можете математически найти расстояние между этими двумя плоскостями.

    Содержание

    1. Расстояние между двумя параллельными плоскостями
    2. шагов для определения расстояния между двумя плоскостями
    3. Формула расстояния точка-плоскость
    4. Определение расстояния между двумя плоскостями

    Расстояние между двумя параллельными плоскостями

    Под расстоянием между двумя параллельными плоскостями понимается кратчайшее расстояние между их поверхностями.Подумай об этом; если плоскости не параллельны, в конечном итоге они должны пересекаться. Если они пересекаются, то на этой линии пересечения у них нет расстояния — 0 расстояния — между ними. Часть вашей детективной работы — выяснить, параллельны ли две плоскости.

    шагов для определения расстояния между двумя плоскостями

    Пять шагов следующие:

    1. Запишите уравнения в стандартном формате для обеих плоскостей
    2. Узнать, параллельны ли две плоскости
    3. Определите коэффициенты a, b, c и d из уравнения одной плоскости
    4. Найдите точку (x1, y1, z1) в другой плоскости
    5. Заменить a, b, c, d, x1, y1 и z1 в формуле расстояния

    Предварительно просмотрев шаги, давайте пройдемся по ним.

    Шаг 1: Напишите уравнения для плоскостей в стандартном формате, ax + by + cz + d = 0, с нижними индексами, обозначающими две плоскости, 1 и 2, в наших общих уравнениях:

    a1x + b1y + c1z + d1 = 0

    a2x + b2y + c2z + d2 = 0

    Шаг 2: Они пересекаются или параллельны? Помните, если они параллельны, ваша работа сделана! Расстояние равно 0. Сравните отношения трех идентифицированных точек каждой плоскости (a1a2, b1b2, c1c2). Две плоскости параллельны, если их отношения равны:

    a1a2 = b1b2 = c1c2

    Шаг 3: Определите коэффициенты a, b, c и d в одном из уравнений плоскости.Просто посмотрите на одно уравнение и вытащите эти коэффициенты, понимая, что a1 — это a (если вы используете первую плоскость), b1 — это b, и так далее.

    Шаг 4: Укажите точку (x1, y1, z1) на другой плоскости. В нашей общей задаче мы используем вторую плоскость. Использование точки с двумя значениями 0 упрощает вашу работу: x = 0 = y, что дает вам:

    a20 + b20 + c2z1 + d2 = 0

    Решить относительно z1 (неизвестная третья точка):

    c2z1 + d2 — d22 = 0 — d2 (вычесть d2 с обеих сторон)

    c2z1 = 0 — d2

    c2z1c2 = -d2c2 (разделить обе стороны на c2)

    z1 = -d2c2

    Наши три точки теперь ясны:

    х1 = 0

    у1 = 0

    z1 = -d2c2

    Не зацикливайтесь на переменных в нашем общем примере.У вас будут реальные числа в реальных уравнениях, что значительно упростит внешний вид этих уравнений.

    Шаг 5: Подставьте и подставьте обнаруженные значения в формулу расстояния. Вы нашли a, b, c и d на шаге 3 выше. Это коэффициенты уравнения одной плоскости. Вы нашли x1, y1 и z1 на шаге 4 выше. Это координаты точки на другой плоскости. Подставьте найденные значения в формулу расстояния точка-плоскость.

    Формула расстояния точка-плоскость

    D = ax1 + by1 + cz1 + da2 + b2 + c2

    Определение расстояния между двумя плоскостями

    Вот два уравнения для плоскостей:

    3x + 4y + 5z + 9 = 0

    9x + 12y + 15z — 27 = 0

    Выполните пять шагов:

    1. Напишите уравнения в стандартном формате для обеих плоскостей — мы уже сделали это за вас!
    2. Узнать, параллельны ли две плоскости:
    3. 39 = 412 = 515 = 13

      Две плоскости параллельны.

    4. Определите коэффициенты a, b, c и d из уравнения одной плоскости:
    5. Вместо того, чтобы повторять варианты из нашего общего примера, мы воспользуемся вторым уравнением, которое даст нам следующие значения:

      а = 9

      б = 12

      с = 15

      д = -27

    6. Найдите точку (x1, y1, z1) в другой плоскости, которая в данном случае является первой плоскостью:
    7. Попробуйте использовать x = y = 0 для двух координат точки и решите для z1:

      3x + 4y + 5z + 9 = 0

      3 (0) + 4 (0) + 5 (z1) + 9 = 0

      5 (z1) + 9 = 0

      5 (z1) + 9-9 = 0-9 (вычесть d1 с обеих сторон)

      5 (z1) = -9

      (5 (z1)) / 5 = -9/5 (разделите обе стороны на c1)

      z1 = -9/5 = -1.8

      Наши три точки на первом плане:

      х = 0

      у = 0

      г = -9/5 = -1,8

    8. Подставьте a, b, c, d, x1, y1 и z1 в формулу расстояния:

    Расстояние между нашими двумя плоскостями примерно 2,54.

    Следующий урок:

    Формула расстояния

    Расстояние точки от плоскости

    Предположим, что нам дана точка Q не на плоскости и точка P на плоскости, и наша цель в вопросе — найти кратчайшее возможное расстояние между точкой Q и плоскостью.Кратчайшее расстояние между любыми двумя точками находится в перпендикулярном состоянии. Расстояние между плоскостью и точкой Q, которая не находится на плоскости, можно найти, проецируя вектор $ \ overrightarrow {PQ} $ на вектор нормали n (вычисляя скалярную проекцию $ proj_ {n} \ overrightarrow {PQ} $ ), мы можем найти расстояние D, как показано ниже:

    $ D = \ frac {\ Vert \ overrightarrow {PQ} \ cdot \ overrightarrow {n} \ Vert} {\ Vert \ overrightarrow {n} \ Vert} $

    В этом случае P — точка на плоскости, а n — перпендикулярно плоскости.Если уравнение плоскости имеет вид $ r \ cdot {n} = d $, то $ d $ — кратчайшее расстояние между началом координат и точкой на плоскости.

    Пример: Найдите формулу для расстояния D от точки P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) до плоскости со стандартом уравнение ax + by + cz + d = 0.

    Рассмотрим точку P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) как любую точку на плоскости.Теперь пусть b будет вектором для отрезка $ \ overrightarrow {P_ {0} P_ {1}} $.

    Тогда b = < x 1 x 0 , y 1 y 0 , z 1 z 0 > . Обратите внимание, что расстояние D от P 1 до плоскости равно абсолютному значению скалярной проекции b на вектор нормали n = < a , b , c >.

    Таким образом, $ D = proj_ {n} \ overrightarrow {b} $

    Поскольку P 0 лежит в рассматриваемой плоскости, выведенные нами координаты удовлетворяют уравнению плоскости. Таким образом, мы имеем ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0, следовательно, формулу для D можно записать как:

    Пример: найти расстояние между параллельными плоскостями 10 x + 2 y — 2 z = 5 и 5 x + y z = 1

    Решение: Во-первых, отметим, что плоскости параллельны, потому что их векторы нормали <10, 2, –2> и <5, 1, –1> параллельны друг другу.Чтобы найти расстояние D между плоскостями, мы выводим любую точку на одной плоскости, а затем, используя эту точку, вычисляем ее расстояние до другой плоскости.

    В частности, если мы положим y = z = 0 в уравнение первой плоскости, мы получим 10x = 5. Итак, (½, 0, 0) — это точка, которая лежит на этой плоскости и удовлетворяет обоим условиям. Следовательно, расстояние между (½, 0, 0) и плоскостью 5 x + y z — 1 = 0 составляет:

    Итак, расстояние между плоскостями $ \ frac {\ sqrt {3}} {6} $.

    Точка, линия, плоскость


    Ниже приведены различные примечания и алгоритмы, относящиеся к точкам, линиям и плоскостям.

    Написано Полем Бурком
    Октябрь 1988 г.

    В этом примечании описывается методика и дается решение для поиска
    кратчайшее расстояние от точки до отрезка или отрезка.
    Уравнение прямой, определяемой через две точки P1 (x1, y1) и
    P2 (x2, y2) — это

    P = P1 + u ( P2 P1 )

    Точка P3 (x3, y3) находится ближе всего к прямой на касательной
    к линии, которая проходит через P3 , то есть скалярное произведение
    касательной и прямой равен 0, поэтому

    ( P3 P ) точка ( P2 P1 ) = 0

    Подстановка уравнения линии дает

    [ P3 P1 — u ( P2
    P1 )] точка ( P2 P1 ) = 0

    Решение дает значение u

    .
    Подставляя это в уравнение прямой, получаем точку пересечения
    (x, y) касательной как

    х = х1 + и (х2 — х1)
    у = у1 + и (у2 — у1)

    Следовательно, расстояние между точкой P3 и линией — это расстояние
    между (x, y) выше и P3 .

    Примечания

    • Единственное специальное тестирование программной реализации — убедиться, что
      P1 и P2 не совпадают (знаменатель в уравнении для u
      равно 0)
    • Если требуется расстояние от точки до отрезка, то это только
      необходимо для проверки того, что u лежит между 0 и 1.
    • Решение аналогично в более высоких габаритах.

    Добавлен исходный код
    Исходный код C от Дэмиана Ковентри: исходный код C
    VBA от Брэндона Кросби: исходный код VBA
    Dephi от Грэма О’Брайена: версия Delphi
    Версия R от Грегуара Томаса: pointline.r
    Версия JAVA от Питера Изербита: DistancePoint.java
    Реализация LabView от Криса Дэнсера: Pointlinesegment.vi.zip
    Расстояние справа от Ориона Элензила: правая сторона
    VBA VB6 Томас Людвиг: vbavb6.txt

    Написано Полем Бурком.
    Март 1996 г.

    Пусть P a =
    (x a , y a , z a )
    быть предметом спора.

    Самолет можно определить по нормали n = (A, B, C)
    и любая точка на плоскости
    P b = (x b , y b , z b )

    Любая точка P = (x, y, z) лежит на плоскости, если она удовлетворяет следующему

    А х + В у + С z + D = 0

    Минимальное расстояние между P a и плоскостью равно
    абсолютное значение

    (A x a + B y a + C z a + D) /
    sqrt (A 2 + B 2 + C 2 )

    .. . 1

    Чтобы получить этот результат, рассмотрим проекцию линии
    ( P a P b ) на нормаль
    самолет n , то есть просто || P a P b ||
    cos (theta), где theta — угол между
    ( P a P b ) и нормальный n . Этот
    проекция — это минимальное расстояние P a до плоскости.

    Это может быть записано в терминах скалярного произведения как

    минимальное расстояние = ( P a P b ) точка n
    / || n ||

    Это

    минимальное расстояние =
    (A (x a — x b ) +
    B (y a — y b ) +
    C (z a — z b )) /
    sqrt (A 2 + B 2 + C 2 )

    . . . 2

    Поскольку точка (x b , y b , z b )
    это точка на плоскости

    A x b + B y b + C z b + D = 0

    .. . 3

    Подстановка уравнения 3 в уравнение 2 дает результат, показанный в уравнении 1.

    Написано Полем Бурком
    Апрель 1989 г.

    В этой заметке описывается методика и алгоритм определения
    точка пересечения двух линий (или отрезков) в 2-х измерениях.

    Уравнения линий:

    P a = P1 + u a ( P2 P1 )

    P b = P3 + u b ( P4 P3 )

    Решение для точки, где
    P a = P b дает следующее
    два уравнения с двумя неизвестными (u a и u b )

    x1 + u a (x2 — x1) = x3 + u b (x4 — x3)

    и

    y1 + u a (y2 — y1) = y3 + u b (y4 — y3)

    Решение дает следующие выражения для u a и u b

    Подстановка любого из них в соответствующее уравнение для прямой дает точку пересечения.Например, точка пересечения (x, y) равна

    х = х1 + и а (х2 — х1)

    y = y1 + u a (y2 — y1)

    Примечания:

    • Знаменатели в уравнениях для u a и u b совпадают.
    • Если знаменатель уравнений для u a и u b
      равно 0, то две прямые параллельны.
    • Если знаменатель и числитель уравнений для u a и u b
      равны 0, то две линии совпадают.
    • Уравнения применяются к линиям, если пересечение сегментов линии
      требуется, то необходимо только проверить, лежат ли u a и u b между 0 и 1.
      Какой бы из них ни находился в этом диапазоне, тогда соответствующий отрезок линии
      содержит точку пересечения. Если оба лежат в диапазоне от 0 до 1, тогда
      точка пересечения находится внутри обоих отрезков линии.

    Добавлен исходный код
    Оригинальный код C Пола Бурка.
    Вклад C ++ Дэмиана Ковентри.
    Реализация LISP Полом Райнерсом. Версия
    C для прошивки Rockbox от Карла Курбьюна. Версия
    C # от Олафа Раббачина.
    Версия VB.net Олафа Раббачина.
    Реализация VBA Джузеппе Яриа.
    Версия Javascript от Лео Боттаро.

    Написано Полем Бурком
    Апрель 1998 г.

    Две линии в 3 измерениях обычно не пересекаются в одной точке, они могут
    быть параллельными (без пересечений) или они могут совпадать (бесконечное
    пересечения), но чаще всего пересекаются только их проекции на плоскость..
    Когда они точно не пересекаются в точке, их можно соединить линией.
    сегмент, самый короткий отрезок линии уникален и часто считается
    быть их пересечением в 3D.

    Ниже будет показано, как вычислить этот самый короткий отрезок линии, который
    соединяет две линии в 3D, он как побочный продукт идентифицирует параллельные линии.
    В дальнейшем прямая будет определяться двумя точками, лежащими на
    это точка на линии «а», определяемая точками P 1 и
    P 2 имеет уравнение.

    P a = P 1 + mu a (P 2 — P 1 )

    аналогично точка на второй линии «b», определяемая точками P 4 и
    P 4 запишется как

    P b = P 3 + mu b (P 4 — P 3 )

    Значения mu a и mu b варьируются от отрицательных до
    положительная бесконечность. Отрезки между P 1 P 2
    и P 3 P 4 имеют соответствующие значения mu от 0 до 1.

    Существует два подхода к поиску самого короткого отрезка между линиями.
    «а» и «б». Первый — записать длину отрезка линии.
    соединяя две линии, а затем найдите минимум.
    То есть минимизировать следующие

    || P b — P a || 2

    Подстановка уравнений линий дает

    || P 1 — P 3 + mu a (P 2
    P 1 ) — mu b (P 4 — P 3 ) || 2

    Вышеупомянутое затем может быть расширено до компонентов (x, y, z).Есть
    условия, которые должны выполняться как минимум, производная по
    mu a и mu b должны быть равны нулю. Примечание: легко
    убедить себя, что указанная выше функция имеет только один минимум и нет
    другие минимумы или максимумы.
    Эти два уравнения могут тогда
    решается для mu a и mu b , фактическое пересечение
    точки, найденные путем подстановки значений mu в исходные уравнения
    линии.

    Альтернативный подход, но тот, который дает те же самые уравнения, —
    чтобы понять, что самый короткий отрезок линии между двумя линиями будет
    перпендикулярно двум линиям.Это позволяет нам написать два уравнения
    для скалярного произведения как

    (P a — P b ) точка (P 2 — P 1 ) = 0

    (P a — P b ) точка (P 4 — P 3 ) = 0

    Расширяя их, получим уравнение строк

    (P 1 — P 3 + mu a (P 2
    P 1 ) — mu b (P 4 — P 3 ))
    точка (P 2 — P 1 ) = 0

    (P 1 — P 3 + mu a (P 2
    P 1 ) — mu b (P 4 — P 3 ))
    точка (P 4 — P 3 ) = 0

    Разложить их по координатам (x, y, z) — кошмар.
    но результат следующий

    d 1321 + mu a d 2121 — mu b
    г 4321 = 0

    d 1343 + mu a d 4321 — mu b
    г 4343 = 0

    где

    д мноп
    = (x м — x n ) (x o — x p )
    + (y m — y n ) (y o — y p )
    + (z m — z n ) (z o — z p )

    Обратите внимание, что d mnop = d opmn

    Наконец, решение для mu a дает

    mu a = (d 1343 d 4321 — d 1321
    d 4343 ) / (d 2121 d 4343 — d 4321
    д 4321 )

    и обратная подстановка дает mu b

    mu b = (d 1343 + mu a d 4321 ) /
    д 4343

    Вклад исходного кода
    Оригинальный исходный код на C от автора: lineline.c
    Вклад Дэна Уиллса в MEL (встроенный язык майя): source.mel.
    Версия Matlab от Кристиана Димы: linelineintersect.m.
    Функция Maxscript от Криса Джонсона: LineLineIntersect.ms
    Версия LISP для AutoCAD (и Intellicad) от Эндрю Беннета: int1.lsp и int2.lsp
    Вклад Брюса Вогана в форме сценария Python для проекта SDS / 2 программное обеспечение: L3D.py
    Версия C # от Рональда Холтуизена: calclineline.cs
    VBA Версия VB6 от Томаса Людвига: vbavb6.txt
    Реализация LabView Джона ван Шайка: V01_LineLine3D.vi.zip

    Написано Полем Бурком
    Август 1991

    Вклад Брайана Хэнсона: Реализация в R

    В этой заметке будет проиллюстрирован алгоритм поиска пересечения прямой.
    и самолет с использованием двух возможных формулировок самолета.

    Решение 1

    Уравнение плоскости (точки P лежат на плоскости с нормалью N
    и точка P3 на плоскости) можно записать как
    N точек ( P P3 ) = 0

    Уравнение прямой (точки P на прямой, проходящей через точки
    P1 и P2 ) можно записать как
    P = P1 + u ( P2 P1 )

    Пересечение этих двух происходит, когда
    N точка ( P1 + u ( P2 P1 )) = N точка P3

    Решение для тебя дает

    Примечание

    • Если
      знаменатель равен 0, то нормаль к плоскости перпендикулярна плоскости
      линия.Таким образом, прямая либо параллельна плоскости, и решений нет.
      или линия находится на плоскости, и в этом случае существует бесконечное количество
      решения
    • Если это
      необходимо для определения пересечения отрезка прямой между
      P1 и P2 , тогда просто проверьте, что u находится между 0 и 1.

    Решение 2

    Самолет также можно представить уравнением
    А х + В у + С z + D = 0
    где все точки (x, y, z) лежат на плоскости.

    Подставляя в уравнение прямой через точки P1 (x1, y1, z1)
    и P2 (x2, y2, z2)

    Р = Р1 + и (Р2 — Р1)
    дает
    А (x1 + u (x2 — x1)) + B (y1 + u (y2 — y1)) + C (z1 + u (z2 — z1)) + D = 0.

    Решение для u

    Примечание

    • знаменатель равен 0, тогда нормаль к плоскости перпендикулярна плоскости
      линия.Таким образом, прямая либо параллельна плоскости, и решений нет.
      или линия находится на плоскости, и в этом случае бесконечные решения
    • , если это
      необходимо для определения пересечения отрезка прямой между
      Затем P1 и P2 просто проверяют, что u находится между 0 и 1.

    Написано Полем Бурком,
    , март 1989 г.

    Стандартное уравнение плоскости в 3-м пространстве:
    Ах + By + Cz + D = 0

    Нормаль к плоскости — это вектор (A, B, C).

    Учитывая три точки в пространстве
    (x1, y1, z1),
    (x2, y2, z2),
    (x3, y3, z3) уравнение
    плоскость, проходящая через эти точки, задается следующими определителями.

    Расширение приведенного выше дает
    A = y1 (z2 — z3) + y2 (z3 — z1) + y3
    (z1 — z2)

    В = z1 (x2 — x3) + z2 (x3 — x1) + z3
    (х1 — х2)

    С = х1 (у2 — у3) + х2 (у3 — у1) + х3
    (y1 — y2)

    — D = x1
    (y2 z3 — y3 z2) +
    х2 (у3 z1 — y1 z3) +
    x3 (y1 z2 — y2 z1)

    Обратите внимание, что если точки коллинеарны, то нормаль (A, B, C), рассчитанная
    выше будет (0,0,0).

    Знак s = Ax + By + Cz + D определяет, с какой стороны лежит точка (x, y, z).
    по отношению к самолету.Если s> 0, то точка лежит с той же стороны, что и
    нормальный (A, B, C). Если s <0, то он лежит на противоположной стороне, если s = 0 тогда точка (x, y, z) лежит на плоскости.

    Альтернативно

    Если вектор N нормален к плоскости, то все точки p на плоскости
    самолет удовлетворяет следующим

    N . p = k

    где . — скалярное произведение двух векторов.

    то есть: . б =
    ( x , y , z ).(b x , b y , b z ) =
    a x b x + a y b y + a z
    б г

    Дана любая точка на плоскости

    N . ( p a ) = 0

    Написано Полем Бурком
    Февраль 2000 г.

    Пересечение двух плоскостей (если они не параллельны) есть
    линия.

    Определите две плоскости с нормалями N как

    N 1 . p = d 1

    N 2 . p = d 2

    Уравнение линии можно записать как

    p = c 1 N 1 +
    в 2 N 2 +
    u N 1 * N 2

    Где «*» — это перекрестное произведение, «.» это точечный продукт,
    а u — параметр линии.

    Взяв скалярное произведение приведенного выше на каждую нормаль, получаем два уравнения
    с неизвестными c 1 и c 2 .

    N 1 . p = d 1 =
    c 1 N 1 . 1 +
    c 2 N 1 . 2

    N 2 . p = d 2 =
    c 1 N 1 . 2 +
    c 2 N 2 . 2

    Решение для c 1 и c 2

    c 1 = (d 1 N 2 . 2
    — d 2 N 1 . N 2 )
    / определитель

    c 2 = (d 2 N 1 . N 1
    — d 1 N 1 . N 2 )
    / определитель

    определитель = ( N 1 . N 1 )
    ( N 2 . N 2 ) —
    ( N 1 . N 2 ) 2

    Обратите внимание, что сначала следует выполнить тест, чтобы убедиться, что самолеты не
    параллельный или совпадающий (также параллельный), это легче всего достигается с помощью
    проверка того, что векторное произведение двух нормалей не равно нулю. Самолеты
    параллельны, если

    N 1 * N 2 = 0

    Написано Полем Бурком
    Октябрь 2001

    Вклад Брюса Воана в виде скрипта Python
    для программы проектирования SDS / 2: P3D.ру.

    Пересечение трех плоскостей — это либо точка, либо линия, либо нет
    пересечение (любые две плоскости параллельны).

    Эти три плоскости можно записать как

    N 1 . p = d 1

    N 2 . p = d 2

    N 3 . p = d 3

    Выше и далее «.» означает скалярное произведение и «*»
    это перекрестное произведение.Точка пересечения P определяется по формуле:

    d 1 ( N 2 * N 3 ) +
    d 2 ( N 3 * N 1 ) +
    d 3 ( N 1 * N 2 )
    P = ————————————————— ————————
    N 1 .( N 2 * N 3 )

    Знаменатель равен нулю, если N 2 * N 3 = 0,
    другими словами, плоскости параллельны. Или, если N 1 является
    линейная комбинация N 2 и N 3 .

    Написано Полем Бурком,
    , март 2013 г.

    Как можно представить линию в полярных координатах?
    В декартовых координатах это можно представить как:

    Вывод довольно прост, если понять, что для точки
    (r, theta) ось x — это просто r cos (theta), а ось y — r sin (theta).Подстановка их в уравнение для линии дает следующий результат.

    Пример из графического калькулятора.

    Вопрос

    Дана линия, определяемая двумя точками L1 L2, точкой P1 и углом z (пеленг с севера)
    найти точку пересечения вектора направления от P1 к прямой.

    Краткий ответ: выберите вторую точку P2 вдоль вектора направления от P1, скажем
    P2 = (x P1 + sin (z), y P1 + cos (z)).Примените алгоритм здесь
    для пересечения двух отрезков. Выполните дополнительные
    проверьте, что u b должно быть больше 0, решение, где u b
    меньше 0 — решение в направлении z + 180 градусов.

    Формула расстояния

    Формула расстояния — это формула, которая определяет расстояние между двумя точками в системе координат.

    Формула расстояния для двухмерной координатной плоскости:

    Где (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ) — координаты двух задействованных точек.

    Пример:

    Найдите длину отрезка AB, учитывая, что точки A и B расположены в точках (3, -2) и (5, 4) соответственно.

    Формула расстояния для трехмерной координатной плоскости:

    Где (x 1 , y 1 , z 1 ) и (x 2 , y 2 , z 2 ) — трехмерные координаты двух задействованных точек.

    Существуют и другие системы координат, но в этой статье обсуждается расстояние между точками только в 2D и 3D плоскостях координат.

    Теорема Пифагора и формула расстояния

    Формула расстояния может быть получена из теоремы Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов прямоугольного треугольника. Ссылаясь на стороны прямоугольного треугольника ниже, теорему Пифагора можно записать как:

    c 2 = a 2 + b 2

    Для двух точек, A и B, с координатами (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ) соответственно на двухмерной координатной плоскости, можно соединить точки с помощью нарисуйте линии и нарисуйте вертикальные и горизонтальные продолжения, чтобы сформировать прямоугольный треугольник:

    Гипотенуза прямоугольного треугольника, обозначенного буквой c, — это расстояние между точками A и B.Горизонтальные и вертикальные расстояния между двумя точками образуют два катета треугольника и имеют длину | x 2 — x 1 | и | y 2 — y 1 |.

    Использование теоремы Пифагора:

    c 2 = | x 2 — x 1 | 2 + | y ​​ 2 — y 1 | 2

    Мы можем переписать это, используя букву d, чтобы обозначить расстояние между двумя точками как

    , который представляет собой формулу расстояния между двумя точками на координатной плоскости.

    В трехмерной координатной плоскости расстояние между двумя точками, A и B, с координатами (x 1 , y 1 , z 1 ) и (x 2 , y 2 , z 2 ), также можно вывести из теоремы Пифагора.

    Ссылаясь на рисунок выше и используя теорему Пифагора,
    AC 2 = (x 2 — x 1 ) 2 + (y 2 — y 1 ) 2 . Треугольник ACB также является прямоугольным, поэтому

    AB =
    =

    AB — это расстояние между двумя точками, поэтому

    Формулы расстояния и средней точки для точек, линий, углов и плоскостей

    Привязка координат к строке делает любую строку похожей на числовую.Точно так же эта система координат может сделать любую плоскость похожей на плоскость x-y из алгебры.

    Поскольку для линий требуется только одна координата, они одномерные. Самолетам нужно два, поэтому они двухмерные. Если мы поднимем его еще на одну ступеньку, мы сможем разместить точки в пространстве (трехмерное пространство, а не Final Frontier).

    Наконец, если мы уже знаем точную точку, о которой говорим, нет необходимости добавлять какие-либо координаты, чтобы что-то указать.Вот почему точки называются нульмерными.

    Возвращаясь к двум измерениям, мы можем использовать координаты, чтобы найти расстояние между точками, используя формулу расстояния :

    Пример задачи

    Если M = (3, 4) и N = (5, -2), найдите длину сегмента MN .

    Как всегда, рекомендуется сначала набросать проблему.

    Поскольку длина MN — это просто расстояние между конечными точками, мы можем использовать формулу расстояния.

    Подключив это к калькулятору, мы получаем примерно 6,32 единицы, что примерно соответствует рисунку.

    Вам может быть интересно, почему вычисление одномерного расстояния так отличается от более сложной формулы двумерного расстояния. Что ж, если мы будем следовать шаблону с квадратным корнем и всем, используя только одну координату, мы получим:

    d = | x 2 x 1 |

    Квадратный корень исключает экспоненту, но мы должны указать абсолютные значения, поскольку квадратные корни, как и расстояния, всегда положительны.По сути, это одни и те же концепции, распространенные на несколько измерений.

    Формула расстояния — это просто адаптация печально известной теоремы Пифагора: a 2 + b 2 = c 2 . Мы поговорим об этом подробнее, когда перейдем к прямоугольным треугольникам. Мы просто сказали это потому, что греческое влияние распространяется даже на работы Декарта. Геометрия действительно связана с греками, не так ли?

    Координаты также позволяют легко найти среднюю точку сегмента.Нахождение числа в середине двух других означает нахождение их среднего значения точно так же, как среднее значение a и b равно ( a + b ) ÷ 2. Среднее значение каждой из координат конечные точки, и у вас есть средняя точка. Вот формула, если вы предпочитаете ее запомнить:

    Пример задачи

    Отрезок линии PQ имеет длину 10 и M в качестве средней точки. Если P имеет координаты (2, 4), а M имеет координаты (5, 8), каковы координаты точки Q ?

    Заманчиво вставить (2, 4) и (5, 8) в формулу средней точки, но что это даст нам? Мы просто получили среднюю точку P и M , что вообще не отвечает на вопрос.

    Вместо этого нам дается средняя точка, и нам нужно найти конечную точку. Давайте пока просто назовем координаты Q ( x , y ). Мы все еще можем использовать формулу средней точки, но не так, как нам бы хотелось.

    Это выглядит как одно уравнение, но на самом деле это два уравнения, замаскированные под одно. Мы знаем, что первые координаты должны быть равны, а также что вторые координаты равны. Другими словами, у нас есть эти два уравнения:

    Решение для x и y (или просто угадывание и проверка) дает ( x , y ) = (8, 12), и были сделаны.

    Подождите. Мы никогда не использовали длину PQ . Означает ли это, что наш ответ неверен? Не обязательно. Часто в геометрии нам дают дополнительную информацию, чтобы попытаться сбить нас с толку. Иногда это совершенно не имеет значения («Если 1 + x = 83 и руки орангутана могут достигать 7 футов, найдите значение x »). Иногда это действительно имеет отношение к вопросу, но не обязательно для решения проблемы. Когда это произойдет, мы сможем использовать эту дополнительную информацию, чтобы проверить свой ответ.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.