Формула расстояние от отрезка до точки: Расстояние от точки до отрезка

Содержание

Расстояние от точки до отрезка

Расстоянием от точки до отрезка является либо перпендикуляр, опущенный из этой точки на отрезок, либо минимальное расстояние от точки до одного из концов отрезка.
Если треугольник, вершинами которого является данная точка и концы заданного отрезка, является тупоугольным (проверка на тупоугольность проводится рассмотрением знака скалярного произведения соответствующих векторов, построенных на сторонах треугольника (кос тупого угла отрицательный))(т. е. из данной точки невозможно опустить перпендикуляр на данный отрезок), то расстоянием от точки до отрезка считается минимальное расстояние от данной точки, до одного из концов отрезка. Оно определяется с помощью формулы:
((х1— х2)2 + (у1 — у2)2)-1/2.

Если все же перпендикуляр опустить возможно, то расстоянием от точки до отрезка считается длина этого перпендикуляра. Ее можно определить двумя способами:
1) посчитав площадь треугольника по двум формулам (полувысота на сторону и полупроизведение сторон на синус угла между ними) мы можем выразить высоту как:
h = (AC • AB • sin (AC, AB)) / BC ;

2) можем определить координаты точки пресечения отрезка с перепендикуляром, опущенным из данной точки на отрезок и посчитать расстояние между двумя точками. Для этого сначала нам надо найти уравнение перпендикуляра к данной прямой, проходящего через данную точку, затем решить систему уравнений (k и l — координаты вершины перпендикуляра, x1, y1, x2, y2 — координаты концов отрезка):
(1)(x — x1)(y2 — y1) = (y — y1)(x2 — x1)
(2) (x — k)(x2 — x1) = — (y — l)(y2 — y1)
Если (x2 — x1) = 0, то решение:
x = x1
y = l
.
Если (y2 — y1) = 0, то решение:
y = y1
x = k
.
В остальных случаях (пусть (x2 — x1) = α, (y2 — y1) = β):
x = (α / β) (y — y1) + x1
y = ((α2 / β)y1 + α (k — x1) + βl) / ((α2 / β) + β)
.

Каково уравнение для вычисления расстояния от конца отрезка прямой до края окружности?

У меня есть круг с двумя точками внутри него, которые составляют отрезок линии. Как я могу вычислить расстояние от одной конечной точки до края круга, где линия будет пересекать его?

algorithm

geometry

distance

Поделиться

Источник


Ed Marty    

24 февраля 2009 в 21:03

3 ответа


  • Вычислить среднее расстояние от точки до отрезка прямой и отрезка на отрезок

    Я ищу алгоритм для вычисления среднего расстояния между точкой и отрезком прямой в 3D. Итак, учитывая две точки A (x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2), представляющие отрезок прямой AB, и третью точку C(x3, y3, z3), каково среднее расстояние между каждой точкой на AB и точкой C? Меня также интересует…

  • Как я могу генерировать случайные точки на окружности окружности в javascript

    Я пытаюсь написать функцию, которая будет случайным образом возвращать (Х,Y)-координаты около данной окружности так что, если у меня есть точка в (0,0) (центр дел), как я могу написать функцию, которая случайным образом другими лицами, которые появляются у внешнего края окружности. 2 )

    Поделиться


    Beska    

    24 февраля 2009 в 21:11



    2

    Используйте центр круга в качестве точки отсчета. Получите расстояние от центральной точки до ваших двух точек, а затем радиус окружности. Теперь вы можете нарисовать треугольник между любыми тремя из этих точек (центр, Точка сегмента и край круга.) Пифагор может справиться с rest.

    Поделиться


    Dave Swersky    

    24 февраля 2009 в 21:13



    0

    Две точки определяют прямую L. решите для уравнения Cx + L = 0, где C-уравнение окружности. Если я правильно помню: P еще немного информации здесь .

    Поделиться


    dirkgently    

    24 февраля 2009 в 21:08


    • Формула для нахождения расстояния до отрезка прямой?

      Мне нужна помощь с формулой или битом кода для определения расстояния до ближайшей точки На отрезке прямой. Фактически, distance from the line segment будет использоваться как своего рода связующая коробка, так что пользователь может щелкнуть относительно близко к строке, и это будет считаться…

    • Как я могу представить векторное уравнение отрезка прямой в C++?

      Я работаю с компьютерной графикой. Я хотел бы представить линию с двумя конечными точками, а затем я хотел бы, чтобы мой класс Line2d имел метод, который возвращает объект Vector2d . Предположим, у меня есть следующие классы: struct Point2d { int x; int y; }; Тогда я могу легко представить отрезок…


    Похожие вопросы:

    Найти расстояние от точки 3d до отрезка прямой

    У меня есть точка 3d P и отрезок линии, определяемый A и B (A-начальная точка отрезка линии, B — конец). Я хочу вычислить кратчайшее расстояние между P и линией AB. Вычислить расстояние от точки до…

    Отображение окружности на касательную

    Предположим, что вам дана окружность с линией AB, содержащей ее центр O, так что A и B находятся на окружности (OA=OB=radius). Касательная t рисуется в точке A, и Я должен вычислить отображение…

    Определите функцию для окружности в конце отрезка прямой

    Мне нужна функция, которая возвращает точки на окружности в трех измерениях. Окружность должна быть отрезком прямой, определяемым точками А и В, и ее радиусом. каждый колпачок перпендикулярен…

    Вычислить среднее расстояние от точки до отрезка прямой и отрезка на отрезок

    Я ищу алгоритм для вычисления среднего расстояния между точкой и отрезком прямой в 3D. Итак, учитывая две точки A (x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2), представляющие отрезок прямой AB, и третью точку C(x3,…

    Как я могу генерировать случайные точки на окружности окружности в javascript

    Я пытаюсь написать функцию, которая будет случайным образом возвращать (Х,Y)-координаты около данной окружности так что, если у меня есть точка в (0,0) (центр дел), как я могу написать функцию,…

    Формула для нахождения расстояния до отрезка прямой?

    Мне нужна помощь с формулой или битом кода для определения расстояния до ближайшей точки На отрезке прямой. Фактически, distance from the line segment будет использоваться как своего рода связующая…

    Как я могу представить векторное уравнение отрезка прямой в C++?

    Я работаю с компьютерной графикой. Я хотел бы представить линию с двумя конечными точками, а затем я хотел бы, чтобы мой класс Line2d имел метод, который возвращает объект Vector2d . Предположим, у…

    Кратчайшее расстояние между 3 точками вдоль отрезка прямой

    В настоящее время я работаю над алгоритмом поиска пути для навигационных сеток. Пропуская детали, мне нужно найти алгоритм нахождения кратчайшего расстояния между тремя точками вдоль отрезка прямой….

    Расстояние от точки до отрезка прямой в 3d (Python)

    Я ищу функцию Python,которая вычисляла бы расстояние от точки в 3D (x_0,y_0,z_0) до отрезка линии, определяемого его конечными точками (x_1, y_1,z_1) и (x_2,y_2,z_2). Я нашел решение только для 2D…

    определение алгоритма вычисления точки, пересекающей окружность, где сегмент пересекает ее изнутри наружу

    У меня есть отрезок прямой между точками А и В. А находится внутри окружности с центром в 0,0 с радиусом R. Я в тупике, пытаясь придумать эффективный способ вычисления пересечения отрезка прямой AB…

    Расстояние между точками на координатной прямой

    Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат.

    Формула расстояния между точками на координатной прямой:

    AB = |ab|,

    где  A  и  B  — это произвольные точки, расстояние между которыми надо найти, то есть, найти длину отрезка  ABa  и  b  — координаты точек.

    Выражение  |ab|  можно заменить выражением  |b — a|,  так как  a — b  и  b — a  являются противоположными числами и их модули равны.

    Следовательно, чтобы найти расстояние между точками координатной прямой надо из координаты одной точки вычесть координату другой точки.

    Пример 1. Найти расстояние между точками  L(-3)  и  M(5),  отмеченными на координатной прямой.

    Решение. Чтобы найти расстояние между точками  L  и  M  надо из координаты точки  L  вычесть координату точки  M  или наоборот, а в качестве ответа взять модуль полученного результата:

    |-3 — 5| = |-8| = 8

    или

    |5 — (-3)| = |5 + 3| = 8.

    Ответ. Расстояние между точками  L  и  M  равно 8.

    Пример 2. Найдите координаты середины отрезка  AB,  если  A(-5)  и  B(5).

    Решение. Обозначим середину отрезка точкой  C.  Так как  C  — середина отрезка  AB,  то  |AC| = |CB|.  Значит, чтобы найти координату точки  C,  надо сначала вычислить длину отрезка  AB  и разделить её на 2, то есть, на две равные части  AC  и  CB:

    AB = |-5 — 5| = |-10| = 10;

    10 : 2 = 5,   значит   |AC| = |CB| = 5.

    Как видно из чертежа, чтобы найти координату середины отрезка, надо половину длины отрезка либо прибавить к точке с наименьшей координатой, либо отнять от точки с наибольшей координатой:

    -5 + 5 = 0

    или

    5 — 5 = 0.

    Ответ. Координата середины отрезка  C(0).

    Пример 3. Найдите координату точки  C,  которая является серединой отрезка с концами в точках  A(7)  и  B(25).

    Решение.

    AB = |7 — 25| = |-18| = 18;

    AC = CB = 18 : 2 = 9;

    7 + 9 = 16

    или

    25 — 9 = 16.

    Ответ. Координата точки  C  — 16.

    Урок 16. многогранники. методы решения — Геометрия — 11 класс

    1. Расстояние между двумя точками

    Расстояние между точками А и В можно вычислить:

    1) как длину отрезка АВ, если отрезок АВ удается включить в некоторый треугольник в качестве одной из его сторон;

    2) по формуле

    p(A;B)=$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ , где A( x1 ; y1 ; z1) , B (x2 ; y2 ; z2 );

    3) по формуле $|\vec A \vec B |$ = $\sqrt{\vec A \vec B^2 }$

    . 2. Расстояние от точки до прямой

    • Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
    • Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.
    • Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

    3. Расстояние от точки до плоскости

    •  Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
    •  Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.
    •  Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.
    • Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.
    • Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

    Методом объёмов мы называем приравнивание двух подходящих выражений для объёма, в результате чего удаётся вычислить искомую величину (расстояние или угол).

    Метод объёмов можно использовать, вычисляя:

     • расстояние от точки до плоскости;

     • угол между плоскостями;

     • расстояние между скрещивающимися прямыми.

    Нахождение расстояния от точки до прямой с помощью метода координат

    Долгое время я предпочитала решать задачи на нахождение расстояния от точки до прямой геометрическим способом, поскольку использование метода координат мне казалось очень нерациональным. Но наконец-то я поняла, как изящно, без построения перпендикулярной плоскости решать эту задачу.

    Поясню общий ход решения на примере вспомогательной задачи, а потом решим реальную задачу из ЕГЭ по математике.

    Вспомогательная задача:

    В произвольном треугольнике , заданном координатами своих вершин, найти расстояние от точки до прямой, содержащей сторону .

    Расстояние от точки до стороны   — это длина перпендикуляра, опущенного из точки   на прямую, содержащую сторону , то есть высоты .

    Пусть вершины треугольника имеют координаты:

    1. Найдем косинус угла между прямыми, содержащими стороны и . Напомню, что углом между двумя  пересекающимися прямыми называется меньший из двух углов, образованных этими прямыми.  

    Для этого найдем координаты векторов  и  по координатам их концов. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала.

    Зная координаты векторов, можно найти косинус угла между векторами.

    Косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения векторов к произведению длин векторов.

    Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами прямых.

    Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат:

    Длина вектора :

    Длина вектора :

    2. Зная , найдем :

    3. Теперь мы можем найти длину  из прямоугольного  треугольника :

    Если треугольник  имеет такой вид:

    то , но это ничего не меняет в наших планах. В этом случае мы будем искать длину  из треугольника . В этом случае угол и будет углом между прямыми и 

    Решим задачу:

    Основанием прямого параллелепипеда  является ромб , сторона которого равна  ,  а угол  равен . Найдите расстояние от точки  до прямой , если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.

    План наших действий:

    1. Введем систему координат.

    2. Найдем координаты направляющих векторов прямых  и .

    3. Найдем косинус угла между прямыми  и .

    4. Найдем синус угла между прямыми  и .

    5. Найдем расстояние от точки  до прямой .

    Вспомним свойства диагоналей ромба:

    Диагонали ромба

    • взаимно перпендикулярны,
    • точкой пересечения делятся пополам
    • являются биссектрисами углов ромба.

    Поместим начало система координат в точку пересечения диагоналей ромба, а оси  направим вдоль диагоналей:

    Найдем длины отрезков  ,  ,   :

    Рассмотрим треугольник  :

      — как катет, лежащий против угла

    1. Найдем координаты точек 

    2. Найдем координаты векторов  и :

    ;

    3. Найдем длины векторов   и :

    4. Найдем модуль косинуса угла . Нас интерсует абсолютное значение косинуса, поэтому направление направляющих векторов прямых   и не имеет значения. Найдем модуль косинуса угла между векторами  и :

    5. Найдем синус угла :

    6. Pасстояние от точки  до прямой  равно 

    Ответ: 10 

     

    И.В. Фельдман, репетитор по математике.

    Персональный сайт — Угол между прямыми, расстояие от точки до прямой

    Угол между прямыми на плоскости.

      Определение.

    • Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как. Две прямые параллельны, если k1 = k2.Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.  
    • Если две прямые заданы общими уравнениями (Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0), то угол между ними вычисляется как угол между нормальными векторами . Две прямые параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = lА, В1 = lВ. Если еще и С1 = lС, то прямые совпадают.

    Вывод формулы расстояния от точки до прямой

    Вариант 1 

    Пусть на плоскости дана прямая l : ax + by + c = 0 и точка M1(x1;y1), не принадлежащая этой прямой. Найдем расстояние от точки до прямой. Под расстоянием ρ от точки M1до прямой l понимают длину отрезка M0M1l.

    Для определения расстояния удобно использовать единичный вектор, коллинеарный нормальному вектору прямой.

     Пояснение: поскольку точка M0 лежит в на прямой l, то ее координаты должны удовлетворять уравнению данной прямой, т.е. ax0 + by0 + c = 0Вариант 2

    Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как .

      Доказательство. Пусть точка М11, у1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1:   (1) Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений: Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0 перпендикулярно заданной прямой.  Если преобразовать первое уравнение системы к виду: A(x – x0) + B(y – y0) + Ax0 + By0 + C = 0, то, решая, получим: Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим: . Теорема доказана.

    как найти расстояние от точки до отрезка

    Вы искали как найти расстояние от точки до отрезка? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
    решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и расстояние между отрезком и точкой, не
    исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
    в вуз.
    И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
    Например, «как найти расстояние от точки до отрезка».

    Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
    жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
    использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
    месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
    может решить задачи, такие, как как найти расстояние от точки до отрезка,расстояние между отрезком и точкой,расстояние между точкой и отрезком,расстояние от отрезка до точки,расстояние от отрезка до точки c,расстояние от отрезка до точки формула,расстояние от точки до отрезка c,формула расстояние от отрезка до точки. На этой странице вы найдёте калькулятор,
    который поможет решить любой вопрос, в том числе и как найти расстояние от точки до отрезка. Просто введите задачу в окошко и нажмите
    «решить» здесь (например, расстояние между точкой и отрезком).

    Где можно решить любую задачу по математике, а так же как найти расстояние от точки до отрезка Онлайн?

    Решить задачу как найти расстояние от точки до отрезка вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
    онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
    сделать — это просто
    ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
    вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
    калькулятора.

    Расстояние от точки до линии

    У нас есть общая линия ax + by + c = 0ax + by + c = 0ax + by + c = 0 с именем LLL. Эта прямая имеет наклон −ab- \ frac {a} {b} −ba. У нас также есть общая точка P = (x0, y0) P = (x_0, y_0) P = (x0, y0). Расстояние между линией LLL и точкой PPP можно представить другой линией, перпендикулярной L; L; L; назовем это ТТТ. TTT будет иметь уклон ba \ frac {b} {a} ab, поскольку он перпендикулярен LLL.
    Теперь, чтобы найти расстояние между точкой PPP и линией L, L, L, мы можем использовать небольшой геометрический трюк и получить другую линию, параллельную LLL, которая проходит через PPP; назовем это SSS.Точно так же у нас может быть другая линия, на этот раз параллельная TTT, которая проходит через начало координат (0,0) (0,0) (0,0); назовем это RRR.

    Теперь, когда время рисования закончилось, пора работать.

    Во-первых, поскольку SSS проходит через PPP и имеет тот же наклон, что и LLL, его уравнение составляет

    y − y0 = −ab (x − x0) ⟹ y = −ax + ax0 + by0b.y — y_0 = — \ dfrac {a} {b} (x — x_0) \ подразумевает y = \ dfrac {-ax + ax_0 + by_0} {b} .y − y0 = −ba (x − x0) ⟹y = b − ax + ax0 + by0.

    Линия RRR имеет уравнение

    y = bax.2}}.
    \ end {align} d = (- a2 + b2ac −a2 + b2a (ax0 + by0)) 2 + (- a2 + b2bc −a2 + b2b (ax0 + by0)) 2 = (a2 + b2) 2 [−a (ax0 + by0 + c)] 2 + [- b (ax0 + by0 + c) v] 2 = (a2 + b2) 2 (a2 + b2 ) (ax0 + by0 + c) 2 = a2 + b2 (ax0 + by0 + c) 2 = a2 + b2 ∣ax0 + by0 + c∣.

    Знак абсолютного значения необходим, так как расстояние должно быть положительным значением. □ _ \ квадрат □

    Здесь мы представляем геометрическое доказательство.

    Сначала мы рисуем линию, параллельную LLL, которая проходит через PPP, которая имеет уравнение ax + by- (ax0 + by0) = 0ax + by- (ax_0 + by_0) = 0ax + by- (ax0 + by0) = 0. 2`

    После доказательства приведено несколько примеров использования этой формулы.

    Доказательство формулы перпендикулярного расстояния

    Начнем с строки Ax + By + C = 0 и обозначим ее как DE. Имеет наклон «-A / B».

    У нас есть точка P с координатами ( м , n ). Мы хотим найти расстояние по перпендикуляру от точки P до линии DE (то есть расстояние «PQ»).

    Теперь мы делаем трюк, чтобы упростить себе жизнь (в противном случае алгебра действительно ужасна).Строим линию параллельно DE через ( м , n ). Эта линия также будет иметь наклон `-A / B`, поскольку она параллельна DE. Назовем эту линию FG.

    Теперь мы построим еще одну линию, параллельную PQ, проходящую через начало координат.

    Эта линия будет иметь наклон «B / A», потому что она перпендикулярна DE.

    Назовем это линией RS. Продолжим его до начала координат `(0, 0)`. 2))`

    Знак абсолютного значения необходим, поскольку расстояние должно быть положительным значением, и определенные комбинации A, m, B, n и C могут дать отрицательное число в числителе.2`

    `= (| (-2) (5) + (3) (6) +4 |) / (sqrt (4 + 9)`

    `= 3,328`

    Вот график ситуации. Мы видим, что наш ответ чуть более 3 единиц является разумным.

    Таким образом, требуемое расстояние составляет «3,3» единицы с точностью до 1 десятичного знака.

    Пример 2

    Найдите расстояние от точки `(-3, 7)` до линии

    `y = 6 / 5x + 2`

    Ответ

    Сначала нам нужно выразить данную строку в стандартной форме.2`

    `= (| (6) (- 3) + (- 5) (7) +10 |) / sqrt (36 + 25)`

    `= | -5,506 |`

    `= 5.506`

    Таким образом, требуемое расстояние составляет «5,506» единиц с точностью до 3 десятичных знаков.

    Найдите расстояние между точкой и линией

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
    или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
    то
    информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
    ан
    Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
    средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
    в виде
    ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
    искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
    на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
    Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
    Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
    достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
    а
    ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
    к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
    Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
    Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
    ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
    информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
    либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон
    Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Как найти расстояние от точки до прямой

    Обновлено 13 декабря 2020 г.

    Джон Папевски

    Хорошее владение алгеброй поможет вам решать геометрические задачи, например, найти расстояние от точки до линии.Решение включает в себя создание новой перпендикулярной линии, соединяющей точку с исходной линией, затем поиск точки пересечения двух линий и, наконец, вычисление длины новой линии до точки пересечения.

    TL; DR (слишком длинный; не читал)

    Чтобы найти расстояние от точки до линии, сначала найдите перпендикулярную линию, проходящую через точку. Затем, используя теорему Пифагора, найдите расстояние от исходной точки до точки пересечения двух прямых.

    Найдите перпендикулярную линию

    Новая линия будет перпендикулярна исходной, то есть две прямые пересекаются под прямым углом. Чтобы определить уравнение для новой линии, вы берете отрицательное значение, обратное наклону исходной линии. Две прямые, одна с наклоном A, а другая с наклоном -1 / A, будут пересекаться под прямым углом. Следующий шаг — подставить точку в уравнение формы пересечения наклона новой линии, чтобы определить ее точку пересечения по оси Y.

    В качестве примера возьмем прямую y = x + 10 и точку (1,1). Обратите внимание, что наклон линии равен 1. Отрицательное обратное значение 1 равно -1. Таким образом, наклон новой линии равен -1, поэтому форма пересечения наклона новой линии будет y = -x + B, где B — это число, которое вы еще не знаете. Чтобы найти B, подставьте значения x и y точки в уравнение линии:

    y = -x + B \\ 1 = -1 + B \\ 1 + 1 = -1 + 1 + B \\ 2 = B

    Теперь у вас есть значение B.

    Уравнение новой строки будет y = -x + 2.

    Определить точку пересечения

    Две прямые пересекаются, когда их значения y равны. Вы найдете это, приравняв уравнения друг другу, а затем решив относительно x. Когда вы нашли значение для x, подставьте значение в любое линейное уравнение (не имеет значения, какое из них), чтобы найти точку пересечения.

    Продолжая пример, у вас есть исходная строка, y = x + 10, и новая строка, y = -x + 2. Приравняйте два уравнения друг к другу, затем решите для x:

    x + 10 = -x + 2 // x + x + 10 = x-x + 2 // 2x + 10 = 2 // 2x = -8 // x = -4 //

    Подставьте значение x, чтобы найти y:

    Таким образом, точка пересечения равна (-4, 6)

    Найти длину новой линии

    Длина новой линии между данной точкой и вновь найденной точкой пересечения — это расстояние между этой точкой и исходная линия.Чтобы найти расстояние, вычтите значения x и y, чтобы получить смещения x и y. Это дает вам противоположные и смежные стороны прямоугольного треугольника; расстояние — это гипотенуза, которую вы найдете с помощью теоремы Пифагора. Сложите квадраты двух чисел и извлеките квадратный корень из результата.

    Расстояние от точки до линии

    Расстояние от точки до линии в пространстве формула

    Если M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) координаты точки, s = {m; n; p} направляющий вектор прямой l, M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) — координаты точки на прямой l, затем расстояние между точкой M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) и строку l можно найти по следующей формуле:

    Доказательство формулы расстояния от точки до линии для пространственной задачи

    Если l — линейное уравнение, то s = {m; n; p} — направляющий вектор линии, M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) — координаты точки на линии.Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах

    .

    A = | M 0 M 1 × с |.

    С другой стороны, площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную до этой стороны

    А = | s | d.

    Приравняв площади, несложно получить формулу расстояния от точки до линии.

    Примеры задач от точки до линии в пространстве

    Пример 1.

    Найти расстояние между точкой M (0, 2, 3) и линией

    х — 3 = г — 1 = г + 1
    2 1 2

    Решение.

    Из линейного уравнения найти:

    s = {2; 1; 2} — направляющий вектор линии;
    M 1 (3; 1; -1) — координаты точки на линии.

    Затем

    M 0 M 1 = {3 — 0; 1-2; -1 — 3} = {3; -1; -4}

    M 0 M 1 × s = и j к =
    3 -1 -4
    2 1 2

    = i ((-1) · 2 — (-4) · 1) — j (3 · 2 — (-4) · 2) + к (3 · 1 — (- 1) · 2) = {2; -14; 5}

    d = | M 0 M 1 × s | = √2 2 + (-14) 2 + 5 2 & nbsp = & nbsp √225 & nbsp = & nbsp 15 = 5
    | с | √2 2 + 1 2 + 2 2 √9 3

    Ответ: расстояние от точки до линии равно 5.2 $.

    Кратчайшее расстояние между $ A $ и $ L $ — это расстояние между A и его ортонормированной проекцией $ A ‘$. Вектор нормали к $ L $ (обозначается $ \ vec {n} $) и $ \ vec {A’A} $ сонаправлен, что означает, что скалярное произведение между этими двумя векторами является произведением их величины, где $ \ vec {n } (a; b) $, потому что $ (L): ax + by + c = 0 $: $$ \ left | \ vec {A’A} \ cdot \ vec {n} \ right | = || \ vec { A’A} || \ times || \ vec {n} || $$

    • ТЕОРЕМА 1

    Рассмотрим наклон $ (d): ax + by + c $.Вектор нормали характеризуется $ \ vec {u} (a; b) $.

    • ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2

    Скалярное произведение двух векторов: $$ \ vec {v} \ cdot \ vec {w} = || \ vec {v} || \ times || \ vec {w} || \ times cos \ left ( \ vec {v}, \ vec {w} \ right) $$
    Когда два вектора сонаправлены, угол поворота между этими двумя векторами равен $ 0rad $, где $ cos (0) = 1 $. Следовательно:

    $$ \ vec {v} \ cdot \ vec {w} = || \ vec {v} || \ times || \ vec {w} || \ times cos \ left (\ vec {v}, \ vec {w} \ right) = || \ vec {v} || \ times || \ vec {w} || \ times1 = || \ vec {v} || \ times || \ vec {w} ||

    $

    Длина вектора определяется $ \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} $, поэтому для $ \ vec {n} $ мы имеем: $ || \ vec {n} || = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} $.2}} $$

    Скалярное произведение $ \ left | \ vec {A’A} \ cdot \ vec {n} \ right | $ также может быть вычислено благодаря координатам этих двух векторов.

    • ТЕОРЕМА 2

    Скалярное произведение — это также сумма произведений координат $ x $ и $ y $. Если $ \ vec {u} (x_u; y_u) $ и $ \ vec {v} (x_v; y_v) $, то: $$ \ vec {u} \ cdot \ vec {v} = x_ux_v + y_uy_v $$

    Рассмотрим $ \ vec {A’A} (x_A-x_ {A ‘}; y_A-y_ {A’}) \ leadsto \ vec {A’A} (- 5-x_ {A ‘}; 10-y_ { A ‘}) $ и $ \ vec {n} (a; b) $, тогда имеем:

    $$ \ left | \ vec {A’A} \ cdot \ vec {n} \ right | = \ left | a (-5-x_ {A ‘}) + b (10-y_ {A’}) \ правильно | $$
    $$ \ left | \ vec {A’A} \ cdot \ vec {n} \ right | = \ left | -5a-ax_ {A ‘} + 10b-by_ {A’} \ right | $$

    Точка $ A ‘$, являющаяся ортогональной проекцией $ A $ на $ L $, принадлежит $ L $, тогда она соответствует уравнению наклона, тогда $ ax_ {A’} — by_ {A ‘} = c $.2}} $$
    $$ || \ vec {A’A} || = \ frac {31} {\ sqrt {5}} = \ dfrac {31 \ sqrt {5}} {5} $$
    $$ A’A \ около 13,86 $$

    Ближайшая точка круга тогда находится в $ A’AR = \ dfrac {31 \ sqrt {5}} {5} — \ sqrt {15} = \ dfrac {- \ sqrt {5} \ left (5 \ sqrt {3} -31 \ right)} {5} \ Approx10.0 $

    1. Линия имеет уравнение вида $ y = ax + c $. Мы рассматриваем $ (A’A): y ‘= a’x + c’ $ и $ (L): y = \ dfrac {1} {2} x-3 $. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда $ aa ‘= — 1 $.

    $$ \ frac {1} {2} a ‘= — 1 $$
    $$ a ‘= — 2 $$

    Тогда у нас есть $ (A’A): y = -2x + c ‘$.Зная, что $ A (-5; 10) $, тогда $ 10 = -2 \ times (-5) + c ‘$ означает, что $ c’ = 0 $, поэтому:

    $$ (A’A): y = -2x $$ — перпендикулярная линия (L), проходящая через центр $ \ mathcal {C} $.

    Расстояние от точки до линии

    Расстояние от точки до линии — Math Open Reference

    Расстояние от точки до линии — это кратчайшее расстояние между ними — длина
    отрезка перпендикулярной линии от прямой до точки.

    Попробуй это
    С помощью ползунков измените уравнение линии и перетащите точку C.Обратите внимание на расстояние от точки до линии.
    Вы также можете перетащить исходную точку на (0,0).

    Когда мы говорим о расстоянии от точки до линии, мы имеем в виду кратчайшее расстояние. Если вы рисуете отрезок линии
    который перпендикулярен линии и заканчивается в точке, длина этого сегмента — это расстояние, которое мы хотим.
    На рисунке выше это расстояние от C до линии.

    Есть много способов рассчитать это расстояние. В этом томе описаны четыре метода:

    Способ 1.Когда линия горизонтальная или вертикальная

    Если вам повезло и линия ровно горизонтальная или вертикальная (параллельна оси x или y),
    тогда расстояние вычислить очень просто.

    Метод 2. Использование двух линейных уравнений

    Из уравнения данной прямой находим уравнение перпендикулярной ей прямой, проходящей через данную точку.
    (Не работает для вертикальных линий.)

    Метод 3. Использование тригонометрии

    Расстояние определяется с помощью тригонометрии по образовавшимся углам.

    Метод 4. По формуле

    Учитывая уравнение прямой в форме наклона-пересечения и координаты точки,
    формула дает расстояние между ними. (Не работает для вертикальных линий.)

    Ограничения

    Для большей ясности в приведенном выше апплете координаты округлены до целых чисел, а длины округлены до одного десятичного знака.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.