Формула периметр основания пирамиды: Расчет площади, периметра и объема пирамиды

Содержание

Площадь боковой поверхности пирамиды — формула, пример расчета

Пирамида – это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной.

Если в основании лежит квадрат, то пирамиду называется четырехугольной, если треугольник – то треугольной. Высота пирамиды проводится из ее вершины перпендикулярно основанию. Также для расчета площади используется апофема – высота боковой грани, опущенная из ее вершины.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей ее боковых граней, которые равны между собой. Однако этот способ расчета применяется очень редко. В основном площадь пирамиды рассчитывается через периметр основания и апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида с основанием ABCDE и вершиной F. AB=BC=CD=DE=EA=3 см. Апофема a = 5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Найдем периметр. Так как все грани основания равны, то периметр пятиугольника будет равен:
Теперь можно найти боковую площадь пирамиды:

Площадь правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида состоит из основания, в котором лежит правильный треугольник и трех боковых граней, которые равны по площади.
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды может быть рассчитана разными способами. Можно применить обычную формулу расчета через периметр и апофему, а можно найти площадь одной грани и умножить ее на три. Так как грань пирамиды – это треугольник, то применим формулу площади треугольника. Для нее потребуется апофема и длина основания. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Площадь усеченной пирамиды

Усеченной пирамидой называется многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований на апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Дана правильная четырехугольная пирамида. Длины основания равны b = 5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Найдите площадь боковой поверхности фигуры.
Для начала найдем периметр оснований. В большем основании он будет равен:
В меньшем основании:
Посчитаем площадь:

Таким образом, применив несложные формулы, мы нашли площадь усеченной пирамиды.

Что такое боковая поверхность пирамиды. Площадь боковой поверхности пирамиды. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Площадь боковой поверхности произвольной пирамиды равна сумме площадей её боковых граней. Специальную формулу для выражения этой площади имеет смысл дать в случае правильной пирамиды. Так, пусть дана правильная пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник со стороной, равной а. Пусть h — высота боковой грани, называется также апофемой
пирамиды. Площадь одной боковой грани равна 1/2ah, а вся боковая поверхность пирамиды имеет площадь, равную n/2ha.Так как na — периметр основания пирамиды, то можно написать найденную формулу в виде:

Площадь боковой поверхности
правильной пирамиды равна произведению её апофемы на половину периметра основания.

Что касается площади полной поверхности
, то просто к боковой прибавляем площадь основания.

Вписанные и описанные сфера и шар
. Нужно отметить, что центр вписанной в пирамиду сферы лежит на пересечении биссекторных плоскостей внутренних двугранных углов пирамиды. Центр описанной около пирамиды сферы лежит на пересечении плоскостей, проходящих через середины ребер пирамиды и перпендикулярных им.

Усеченная пирамида.
Если пирамиду рассеч плоскостью, параллельной её основанию, то часть, заключенная между секущей плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой.
На рисунке показана пирамида, отбрасывая её часть, лежащую выше секущей плоскости, получаем усеченную пирамиду. Ясно, что малая отбрасываемая пирамида гомотетична большой пирамиде с центром гомотетии в вершине. Коэффициент подобия равен отношению высот: k=h 2 /h 1 , или боковых ребер, или других соответствующих линейных размеров обеих пирамид. Мы знаем, что площади подобных фигур относятся, как квадраты линейных размеров; так площади оснований обеих пирамид (т.е. пощади оснований усеченной пирамиды) относятся, как

Здесь S 1 — площадь нижнего основания, а S 2 — площадь верхнего основания усеченной пирамиды. В таком же отношении находятся и боковые поверхности пирамид. Сходное правило имеется и для объемов.

Объемы подобных тел
относятся, как кубы их линейных размеров; например, объемы пирамид относятся, как произведения их высот на площади оснований, откуда наше правило получается сразу. Оно имеет совершенно общий характер и прямо следует из того, что объем всегда имеет размерность третей степени длины. Пользуясь этим правилом, выведем формулу, выражающую объем усеченной пирамиды через высоту и площади оснований.

Пусть дана усеченная пирамида с высотой h и площадями оснований S 1 и S 2 . Если представить себе, что она продолжена до полной пирамиды, то коэффициент подобия полнорй пирамиды и малой пирамиды легко найти, как корень из отношения S 2 /S 1 . Высота усеченной пирамиды выражается как h = h 1 — h 2 = h 1 (1 — k). Теперь имеем для объема усеченной пирамиды (через V 1 и V 2 обозначены объемы полной и малой пирамид)

формула объема усеченной пирамиды

Выведем формулу площади S боковой поверхности правильной усеченной пирамиды через периметры Р 1 и Р 2 оснований и длину апофемы а. Рассуждаем точно так же, как и при выводе формулы для объема. Дополняем пирамиду верхней частью, имеем P 2 = kP 1 , S 2 =k 2 S 1 , где k — коэффициент подобия, P 1 и P 2 — периметры оснований, а S 1 и S 2 — лощади боковых поверхностей всей полученной пирамиды и её верхней части соответственно. Для боковой поверхности найдем (а 1 и а 2 — апофемы пирамид, а = а 1 — а 2 = а 1 (1-k))

формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

В этом уроке:

  • Задача 1. Найти площадь полной поверхности пирамиды
  • Задача 2. Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды

См. также материалы по теме:
.

Примечание

. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак «√»
.

Задача 1
. Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов.
Найти площадь полной поверхности пирамиды

Решение
.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник.
Поэтому для решения задачи воспользуемся свойствами правильного треугольника:

Нам известна высота треугольника, откуда можно найти его площадь.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Откуда площадь основания будет равна:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.
Таким образом:
OK / MK = cos 45
Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения.

OK / MK = √2/2

Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности. Тогда
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Тогда
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника.
Sбок = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды будет равна
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Ответ
: 3√3 + 18/√6

Задача 2
. Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды

В правильной треугольной пирамиде высота равна 10 см, а сторона основания 16 см. Найти площадь боковой поверхности

.

Решение
.

Поскольку основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, то AO является радиусом описанной вокруг основания окружности.
(Это следует из )

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника найдем из его свойств

Откуда длина ребер правильной треугольной пирамиды будет равна:
AM 2 = MO 2 + AO 2
высота пирамиды известна по условию (10 см), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Каждая из сторон пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник. Площадь равнобедренного треугольника найдем из первой формулы, представленной ниже

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) — 8))
S = 8 sqrt((556/3) — 64)
S = 8 sqrt(364/3)
S = 16 sqrt(91/3)

Поскольку все три грани у правильной пирамиды равны, то площадь боковой поверхности будет равна
3S = 48 √(91/3)

Ответ:
48 √(91/3)

Задача 3.

Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды

Сторона правильной треугольной пирамиды равна 3 см а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды
.

Решение
.
Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник. Поэтому площадь основания равна

So = 9 * √3/4

Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.
Таким образом:
OK / MK = cos 45
Воспользуемся

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

При подготовке к ЕГЭ по математике учащимся приходится систематизировать знания по алгебре и геометрии. Хочется объединить все известные сведения, например, о том, как вычислить площадь пирамиды. Причем начиная от основания и боковых граней до площади всей поверхности. Если с боковыми гранями ситуация ясна, так как они являются треугольниками, то основание всегда разное.

Как быть при нахождении площади основания пирамиды?

Оно может быть совершенно любой фигурой: от произвольного треугольника до n-угольника. И это основание, кроме различия в количестве углов, может являться правильной фигурой или неправильной. В интересующих школьников заданиях по ЕГЭ встречаются только задания с правильными фигурами в основании. Поэтому речь будет идти только о них.

Правильный треугольник

То есть равносторонний. Тот, у которого все стороны равны и обозначены буквой «а». В этом случае площадь основания пирамиды вычисляется по формуле:

S = (а 2 * √3) / 4.

Квадрат

Формула для вычисления его площади самая простая, здесь «а» — снова сторона:

Произвольный правильный n-угольник

У стороны многоугольника то же обозначение. Для количества углов используется латинская буква n.

S = (n * а 2) / (4 * tg (180º/n)).

Как поступить при вычислении площади боковой и полной поверхности?

Поскольку в основании лежит правильная фигура, то все грани пирамиды оказываются равными. Причем каждая из них является равнобедренным треугольником, поскольку боковые ребра равны. Тогда для того, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды, потребуется формула, состоящая из суммы одинаковых одночленов. Число слагаемых определяется количеством сторон основания.

Площадь равнобедренного треугольника вычисляется по формуле, в которой половина произведения основания умножается на высоту. Эта высота в пирамиде называется апофемой. Ее обозначение — «А». Общая формула для площади боковой поверхности выглядит так:

S = ½ Р*А, где Р — периметр основания пирамиды.

Бывают ситуации, когда не известны стороны основания, но даны боковые ребра (в) и плоский угол при ее вершине (α). Тогда полагается использовать такую формулу, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды:

S = n/2 * в 2 sin α.

Задача № 1

Условие.
Найти общую площадь пирамиды, если в его основании лежит со стороной 4 см, а апофема имеет значение √3 см.

Решение.
Его начинать нужно с расчета периметра основания. Поскольку это правильный треугольник, то Р = 3*4 = 12 см. Поскольку апофема известна, то можно сразу вычислить площадь всей боковой поверхности: ½*12*√3 = 6√3 см 2 .

Для треугольника в основании получится такое значение площади: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 см 2 .

Для определения всей площади потребуется сложить два получившихся значения: 6√3 + 4√3 = 10√3 см 2 .

Ответ.
10√3 см 2 .

Задача № 2

Условие
. Имеется правильная четырехугольная пирамида. Длина стороны основания равна 7 мм, боковое ребро — 16 мм. Необходимо узнать площадь ее поверхности.

Решение.
Поскольку многогранник — четырехугольный и правильный, то в его основании лежит квадрат. Узнав площади основания и боковых граней, удастся сосчитать площадь пирамиды. Формула для квадрата дана выше. А у боковых граней известны все стороны треугольника. Поэтому можно использовать формулу Герона для вычисления их площадей.

Первые расчеты просты и приводят к такому числу: 49 мм 2 . Для второго значения потребуется вычислить полупериметр: (7 + 16*2):2 = 19,5 мм. Теперь можно вычислять площадь равнобедренного треугольника: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 мм 2 . Таких треугольников всего четыре, поэтому при подсчете итогового числа потребуется его умножить на 4.

Получается: 49 + 4*54,644 = 267,576 мм 2 .

Ответ
. Искомое значение 267,576 мм 2 .

Задача № 3

Условие
. У правильной четырехугольной пирамиды необходимо вычислить площадь. В ней известна сторона квадрата — 6 см и высота — 4 см.

Решение.
Проще всего воспользоваться формулой с произведением периметра и апофемы. Первое значение найти просто. Второе немного сложнее.

Придется вспомнить теорему Пифагора и рассмотреть Он образован высотой пирамиды и апофемой, которая является гипотенузой. Второй катет равен половине стороны квадрата, поскольку высота многогранника падает в его середину.

Искомая апофема (гипотенуза прямоугольного треугольника) равна √(3 2 + 4 2) = 5 (см).

Теперь можно вычислять искомую величину: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2).

Ответ.
96 см 2 .

Задача № 4

Условие.
Дана правильная Стороны ее основания равны 22 мм, боковые ребра — 61 мм. Чему равна площадь боковой поверхности этого многогранника?

Решение.
Рассуждения в ней такие же, как были описаны в задаче №2. Только там была дана пирамида с квадратом в основании, а теперь это шестиугольник.

Первым делом вычисляется площадь основания по указанной выше формуле: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см 2 .

Теперь необходимо узнать полупериметр равнобедренного треугольника, который является боковой гранью. (22+61*2):2 = 72 см. Осталось по формуле Герона сосчитать площадь каждого такого треугольника, а потом умножить ее на шесть и сложить с той, что получилась для основания.

Расчеты по формуле Герона: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 см 2 . Вычисления, которые дадут площадь боковой поверхности: 660*6 = 3960 см 2 . Осталось их сложить, чтобы узнать всю поверхность: 5217,47≈5217 см 2 .

Ответ.
Основания — 726√3 см 2 , боковой поверхности — 3960 см 2 , вся площадь — 5217 см 2 .

Какую фигуру мы называем пирамидой? Во-первых, это многогранник. Во-вторых, в основании этого многогранника расположен произвольный многоугольник, а стороны пирамиды (боковые грани) обязательно имеют форму треугольников, сходящихся в одной общей вершине. Вот теперь, разобравшись с термином, выясним, как найти площадь поверхности пирамиды.

Понятно, что площадь поверхности такого геометрического тела составится из суммы площадей основания и всей его боковой поверхности.

Вычисление площади основания пирамиды

Выбор расчетной формулы зависит от формы лежащего в основании нашей пирамиды многоугольника. Он может быть правильным, то есть со сторонами одинаковой длины, или неправильным. Рассмотрим оба варианта.

В основании – правильный многоугольник

Из школьного курса известно:

  • площадь квадрата будет равна длине его стороны, возведенной в квадрат;
  • площадь равностороннего треугольника равна квадрату его стороны, деленному на 4 и умноженному на квадратный корень из трех.

Но существует и общая формула, для расчета площади любого правильного многоугольника (Sn): надо умножить значение периметра этого многоугольника (Р) на радиус вписанной в него окружности (r), а затем разделить полученный результат на два: Sn=1/2P*r.

В основании – неправильный многоугольник

Схема нахождения его площади заключается в том, чтобы сначала разбить весь многоугольник на треугольники, вычислить площадь каждого из них по формуле: 1/2a*h (где а – основание треугольника, h – опущенная на это основание высота), сложить все результаты.

Площадь боковой поверхности пирамиды

Теперь рассчитаем площадь боковой поверхности пирамиды, т.е. сумму площадей всех ее боковых сторон. Здесь также возможны 2 варианта.

  1. Пусть у нас имеется произвольная пирамида, т.е. такая, в основании которой – неправильный многоугольник. Тогда следует вычислить отдельно площадь каждой грани и сложить результаты. Так как боковыми сторонами пирамиды по определению могут быть только треугольники, то расчет идет по упомянутой выше формуле: S=1/2a*h.
  2. Пусть наша пирамида – правильная, т.е. в ее основании лежит правильный многоугольник, и проекция вершины пирамиды оказывается в его центре. Тогда для вычисления площади боковой поверхности (Sб) достаточно найти половину произведения периметра многоугольника-основания (Р) на высоту (h) боковой стороны (одинаковую для всех граней): Sб=1/2 Р*h. Периметр многоугольника определяется сложением длин всех его сторон.

Полная площадь поверхности правильной пирамиды найдется суммированием площади ее основания с площадью всей боковой поверхности.

Примеры

Для примера вычислим алгебраически площади поверхности нескольких пирамид.

Площадь поверхности треугольной пирамиды

В основании такой пирамиды – треугольник. По формуле Sо=1/2a*h находим площадь основания. Эту же формулу применяем для нахождения площади каждой грани пирамиды, также имеющей треугольную форму, и получаем 3 площади: S1, S2 и S3. Площадь боковой поверхности пирамиды является суммой всех площадей: Sб= S1+ S2+ S3. Сложив площади боковых сторон и основания, получим полную площадь поверхности искомой пирамиды: Sп= Sо+ Sб.

Площадь поверхности четырехугольной пирамиды

Площадь боковой поверхности — это сумма 4-ех слагаемых: Sб= S1+ S2+ S3+ S4, каждое из которых вычислено по формуле площади треугольника. А площадь основания придется искать, в зависимости от формы четырехугольника — правильного или неправильного. Площадь полной поверхности пирамиды снова получится путем сложения площади основания и полной площади поверхности заданной пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды | Мозган калькулятор онлайн

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь основания и апофему.

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Апофема – опущенный перпендикуляр из вершины на ребро основания.

Боковая поверхность через периметр и апофему




Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему:

p — периметр основания пирамиды; l — апофема пирамиды. 2)»/>
a — сторона основания.

формулы. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды, онлайн расчет

Фигура пирамида

Прежде чем приводить определение апофемы пирамиды, познакомимся с самой фигурой. Пирамида представляет собой многогранник, который образован одним n-угольным основанием и n треугольниками, составляющими боковую поверхность фигуры.

Всякая пирамида имеет вершину – точку соединения всех треугольников. Перпендикуляр, проведенный из этой вершины к основанию, называется высотой. Если высота пересекает в геометрическом центре основание, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая равностороннее основание, называется правильной. На рисунке показана пирамида с шестиугольным основанием, на которую смотрят со стороны грани и ребра.

Элементы правильной пирамиды

  • Высота боковой грани, проведенная из ее вершины называется апофема. На рисунке обозначена как отрезок ON
  • Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
  • Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми гранями (AOD, DOC, COB, AOB)
  • Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды (ОК)
  • Диагональное сечение пирамиды – это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
  • Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т. д. то она называется правильной треугольной, четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр.

Шестиугольная пирамида

В целом это одна из последних и самых сложных тем в стереометрии. Изучается где-то в 10-11 классах и рассматривается только вариант, когда в основании находится правильная фигура. Одно из труднейших заданий по ЕГЭ зачастую бывает связано с этим параграфом.

И-так, в основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Что это значит? У фигуры в основании все стороны равны. Боковые же части состоят из равнобедренных треугольников. Вершины их соприкасаются в одной точке. Данная фигура представлена на фото ниже.

Какая пирамида будет изучаться

Правильная шестиугольная пирамида представляет собой фигуру в пространстве, которая ограничена одним равносторонним и равноугольным шестиугольником, и шестью одинаковыми треугольниками равнобедренными. Эти треугольники могут быть также равносторонними при определенных условиях. Эта пирамида ниже показана.

Здесь изображена одна и та же фигура, только в одном случае она повернута боковой гранью к читателю, а в другом – боковым ребром.

Правильная шестиугольная пирамида имеет 7 граней, которые были названы выше. Также ей принадлежат 7 вершин и 12 ребер. В отличие от призм, у всех пирамид имеется одна особая вершина, которая образована пересечением боковых треугольников. Для правильной пирамиды она играет важную роль, поскольку опущенный с нее на основание фигуры перпендикуляр является высотой. Далее высоту будем обозначать буквой h.

Показанная пирамида называется правильной по двум причинам:

  • в ее основании находится шестиугольник с равными длинами сторон a и с одинаковыми углами по 120o>;
  • высота пирамиды h пересекает шестиугольник точно в его центре (точка пересечения лежит на одинаковом расстоянии от всех сторон и от всех вершин шестиугольника).

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Формулы для правильной пирамиды

Формулы для нахождения объема и площади боковой поверхности:

Обозначения:
V – объем пирамиды
S – площадь основания
h – высота пирамиды
Sb – площадь боковой поверхности
a – апофема (не путать с α)
P – периметр основания
n – число сторон основания
b – длина бокового ребра
α – плоский угол при вершине пирамиды

Данная формула нахождения объема может применяться только для правильной пирамиды:

, где

V – объем правильной пирамиды
h – высота правильной пирамиды
n – число сторон правильного многоугольника, который является основанием для правильной пирамиды
a – длина стороны правильного многоугольника

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Верно и обратное.

Найти площадь поверхности через:

Виды пирамид

Существуют 3 вида пирамид:

  1. Прямоугольная — та, у которой какое-либо ребро образует прямой угол с основанием.
  2. Правильная — у нее основание – правильная геометрическая фигура, а вершина самого многоугольника является проекцией центра основания.
  3. Тетраэдр — пирамида, составленная из треугольников. Причем каждый из них может быть принят за основание.

Объем пирамиды

Так же, как и площадь, объем шестиугольной правильной пирамиды является важным ее свойством. Этот объем рассчитывается по общей формуле для всех пирамид и конусов. Запишем ее:

V = 1/3*So*h.

Здесь символом So названа площадь шестиугольного основания, то есть So = S6.

Подставляя в формулу для V записанное выше выражение для S6, приходим к конечному равенству для определения объема пирамиды шестиугольной правильной:

V = √3/2*a2 *h.

Тетраэдры. Правильные тетраэдры

Определение 5. Произвольную треугольную пирамиду называют тетраэдром.

Утверждение. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.

Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC и пару ее противоположных ребер, например, AC и BS. Обозначим буквой D середину ребра AC. Поскольку отрезки BD и SD являются медианами в равнобедренных треугольниках ABC и ASC, то BD и SD перпендикулярны ребру AC (рис. 4).

Рис.4

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая AC перпендикулярна плоскости BSD. Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой BS, что и требовалось доказать.

Определение 6. Правильную треугольную пирамиду, у которой все ребра равны, называют правильным тетраэдром (рис. 5).

Рис.5

Задача. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром a .

Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр SABC. Пусть точка O – основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC. Поскольку SABC – правильная пирамида, то точка O является точкой пересечения медиан равностороннего треугольника ABC. Следовательно,

где буквой D обозначена середина ребра AC (рис. 6).

Рис.6

Так как

,

то

.

По теореме Пифагора из треугольника BSO находим

.

Ответ.

Площадь правильной треугольной пирамиды

Основание: равносторонний треугольник.

L (апофема) – перпендикулярная линия, опущенная из вершины пирамиды на ребро основания. Т.е. апофема пирамиды является высотой (h) ее боковой грани.

Правильная усеченная пирамида

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований.

Высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией), называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.

  • Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды
  • Все грани правильной усеченной пирамиды являются равнобокими (равнобедренными) трапециями

Как быть при нахождении площади основания пирамиды?

Оно может быть совершенно любой фигурой: от произвольного треугольника до n-угольника. И это основание, кроме различия в количестве углов, может являться правильной фигурой или неправильной. В интересующих школьников заданиях по ЕГЭ встречаются только задания с правильными фигурами в основании. Поэтому речь будет идти только о них.

Правильный треугольник

То есть равносторонний. Тот, у которого все стороны равны и обозначены буквой «а». В этом случае площадь основания пирамиды вычисляется по формуле:

S = (а2 * √3) / 4.

Квадрат

Формула для вычисления его площади самая простая, здесь «а» – снова сторона:

S = а2.

Произвольный правильный n-угольник

У стороны многоугольника то же обозначение. Для количества углов используется латинская буква n.

S = (n * а2) / (4 * tg (180º/n)).

Площадь правильной четырехугольной пирамиды

Основание: квадрат.

периметр, площадь и апофему стороны и высоту
Периметр основания (P):
Площадь основания (Sосн):
Апофема (L):
Сторона основания (a):
Число сторон основания (n):
Высота пирамиды (h):

Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

Площадь поверхности правильной пирамиды формула:
, где P – периметр основания, Sосн – площадь основания, L – апофема (перпендикуляр, из вершины на ребро основания)

Площадь поверхности правильной пирамиды формула:
, где a – сторона основания, n – число сторон основания, h – высота пирамиды

Площадь поверхности пирамиды

Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина  пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.

Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:

В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), можете посмотреть.

В типовых заданиях, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами пока не встречал.

Кстати, на проекте youclever неплохой визуальный гид по пирамиде: с красивыми картинками, основными формулами и свойствами. Подходит тем, кто лучше воспринимает информацию визуально. Там весь учебник по геометрии такой — мало задач, но много понятных рисунков.

Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:

Рассмотрим задачи:

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.

Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись формулой Герона:

Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:

Ответ: 28224

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.

Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:

Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:

Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

Ответ: 3240

*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.

27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды,  стороны основания которой равны 6 и высота равна 4. 

Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:

Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.

Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):

*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.

Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):

Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой  равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:

Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:

Ответ: 96

27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Посмотреть решение

27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Посмотреть решение

Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:

где φ — двугранный угол при основании

Отсюда площадь полной поверхности правильной пирамиды может быть найдена по формуле:

Еще одна формула боковой поверхности правильной пирамиды:

  P — периметр основания, l — апофема пирамиды

*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.

Если хотите узнать подробнее  как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Равно площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности пирамиды

Какую фигуру мы называем пирамидой? Во-первых, это многогранник. Во-вторых, в основании этого многогранника расположен произвольный многоугольник, а стороны пирамиды (боковые грани) обязательно имеют форму треугольников, сходящихся в одной общей вершине. Вот теперь, разобравшись с термином, выясним, как найти площадь поверхности пирамиды.

Понятно, что площадь поверхности такого геометрического тела составится из суммы площадей основания и всей его боковой поверхности.

Вычисление площади основания пирамиды

Выбор расчетной формулы зависит от формы лежащего в основании нашей пирамиды многоугольника. Он может быть правильным, то есть со сторонами одинаковой длины, или неправильным. Рассмотрим оба варианта.

В основании – правильный многоугольник

Из школьного курса известно:

  • площадь квадрата будет равна длине его стороны, возведенной в квадрат;
  • площадь равностороннего треугольника равна квадрату его стороны, деленному на 4 и умноженному на квадратный корень из трех.

Но существует и общая формула, для расчета площади любого правильного многоугольника (Sn): надо умножить значение периметра этого многоугольника (Р) на радиус вписанной в него окружности (r), а затем разделить полученный результат на два: Sn=1/2P*r.

В основании – неправильный многоугольник

Схема нахождения его площади заключается в том, чтобы сначала разбить весь многоугольник на треугольники, вычислить площадь каждого из них по формуле: 1/2a*h (где а – основание треугольника, h – опущенная на это основание высота), сложить все результаты.

Площадь боковой поверхности пирамиды

Теперь рассчитаем площадь боковой поверхности пирамиды, т. е. сумму площадей всех ее боковых сторон. Здесь также возможны 2 варианта.

  1. Пусть у нас имеется произвольная пирамида, т.е. такая, в основании которой – неправильный многоугольник. Тогда следует вычислить отдельно площадь каждой грани и сложить результаты. Так как боковыми сторонами пирамиды по определению могут быть только треугольники, то расчет идет по упомянутой выше формуле: S=1/2a*h.
  2. Пусть наша пирамида – правильная, т.е. в ее основании лежит правильный многоугольник, и проекция вершины пирамиды оказывается в его центре. Тогда для вычисления площади боковой поверхности (Sб) достаточно найти половину произведения периметра многоугольника-основания (Р) на высоту (h) боковой стороны (одинаковую для всех граней): Sб=1/2 Р*h. Периметр многоугольника определяется сложением длин всех его сторон.

Полная площадь поверхности правильной пирамиды найдется суммированием площади ее основания с площадью всей боковой поверхности.

Примеры

Для примера вычислим алгебраически площади поверхности нескольких пирамид.

Площадь поверхности треугольной пирамиды

В основании такой пирамиды – треугольник. По формуле Sо=1/2a*h находим площадь основания. Эту же формулу применяем для нахождения площади каждой грани пирамиды, также имеющей треугольную форму, и получаем 3 площади: S1, S2 и S3. Площадь боковой поверхности пирамиды является суммой всех площадей: Sб= S1+ S2+ S3. Сложив площади боковых сторон и основания, получим полную площадь поверхности искомой пирамиды: Sп= Sо+ Sб.

Площадь поверхности четырехугольной пирамиды

Площадь боковой поверхности — это сумма 4-ех слагаемых: Sб= S1+ S2+ S3+ S4, каждое из которых вычислено по формуле площади треугольника. А площадь основания придется искать, в зависимости от формы четырехугольника — правильного или неправильного. Площадь полной поверхности пирамиды снова получится путем сложения площади основания и полной площади поверхности заданной пирамиды.

Определение.
Боковая грань
— это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Определение.
Боковые ребра
— это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Определение.
Высота пирамиды
— это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Определение.
Апофема
— это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.

Определение.
Диагональное сечение
— это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение.
Правильная пирамида
— это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.

Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула.
Объём пирамиды
через площадь основы и высоту:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n
, где n
— это количество углов в основании пирамиды.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение.
Усеченная пирамида (пирамидальная призма)
— это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.

Определение.
Треугольная пирамида (четырехгранник)
— это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол
.

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника
(GM).

Бимедианой
называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Определение.
Наклонная пирамида
— это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.

Определение.
Прямоугольная пирамида
— это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение.
Остроугольная пирамида
— это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Определение.
Тупоугольная пирамида
— это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Определение.
Правильный тетраэдр
— четырехгранник у которого все четыре грани — равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение.
Прямоугольный тетраэдр
называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол
и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Определение.
Равногранный тетраэдр
называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание — правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Определение.
Ортоцентричный тетраэдр
называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.

Определение.
Звездная пирамида
называется многогранник у которого основой является звезда.

Определение.
Бипирамида
— многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

Пирамида
— одна из разновидностей многогранника, образованного из многоугольников и треугольников, которые лежат в основании и являются его гранями.

Причем на вершине пирамиды (т.е. в одной точке) все грани объединяются.

Для того чтобы вычислить площадь пирамиды, стоит определить, что ее боковая поверхность состоит из нескольких треугольников. А их площади мы сможем легко найти, применяя

различные формулы. В зависимости от того, какие данные треугольников нам известны, мы ищем их площадь.

Перечислим некоторые формулы, с помощью которых можно найти площадь треугольников:

  1. S = (a*h)/2


    . В данном случае нам известна высота треугольника h


    , которая опущена на сторону a


    .
  2. S = a*b*sinβ


    . Здесь стороны треугольника a


    , b


    , а угол между ними —
    β


    .
  3. S = (r*(a + b + c))/2


    . Здесь стороны треугольника a, b, c


    . Радиус окружности, которая вписана в треугольник — r


    .
  4. S = (a*b*c)/4*R


    . Радиус, описанной окружности вокруг треугольника —
    R


    .
  5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R


    . Данную формулу нужно применять только в том случае, когда треугольник является прямоугольным.
  6. S = (a²*√3)/4


    . Эту формулу применяем к равностороннему треугольнику.

Лишь после того, как рассчитаем площади всех треугольников, которые являются гранями нашей пирамиды, можно вычислить площадь ее боковой поверхности. Для этого будем использовать выше перечисленные формулы.

Для того чтобы вычислить площадь боковой поверхности пирамиды, никаких сложностей не возникает: нужно узнать сумму площадей всех треугольников. Выразим это формулой:

Sп = ΣSi

Здесь Si


является площадью первого треугольника, а S


п



площадь боковой поверхности пирамиды.

Рассмотрим на примере. Дана правильная пирамида, ее боковые грани образованы несколькими равносторонними треугольниками,

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей
».

Галилео Галилей.

а квадрат является основанием пирамиды. Причем ребро пирамиды имеет длину 17 см. Найдем площадь боковой поверхности данной пирамиды.

Рассуждаем так: нам известно, что гранями пирамиды являются треугольники, они равносторонние. Также нам известно, какова длина ребра у данной пирамиды. Отсюда выходит, что все треугольники имеют равные боковые стороны, их длина 17 см.

Для вычисления площади каждого из данных треугольников, можно использовать такую формулу:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 см²

Так, как мы знаем, что квадрат лежит в основании пирамиды, то выходит, что мы имеем четыре равносторонних треугольника. А это значит, что площадь боковой поверхности пирамиды легко рассчитать по следующей формуле: 125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Наш ответ следующий: 500.548 см² — такова площадь боковой поверхности данной пирамиды.

Цилиндр представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью. В статье поговорим о том, как найти площадь цилиндра и, применив формулу, решим для примера несколько задач.

У цилиндра есть три поверхности: вершина, основание, и боковая поверхность.

Вершина и основание цилиндра являются окружностями, их легко определить.

Известно, что площадь окружности равна πr 2 . Поэтому, формула площади двух окружностей (вершины и основания цилиндра) будет иметь вид πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Третья, боковая поверхность цилиндра, является изогнутой стенкой цилиндра. Для того чтобы лучше представить эту поверхность попробуем преобразовать её, чтобы получить узнаваемую форму. Представьте себе, что цилиндр, это обычная консервная банка, у которой нет верхней крышки и дна. Сделаем вертикальный надрез на боковой стенке от вершины до основания банки (Шаг 1 на рисунке) и попробуем максимально раскрыть (выпрямить) полученную фигуру (Шаг 2).

После полного раскрытия полученной банки мы увидим уже знакомую фигуру (Шаг 3), это прямоугольник. Площадь прямоугольника вычислить легко. Но перед этим вернемся на мгновение к первоначальному цилиндру. Вершина исходного цилиндра является окружностью, а мы знаем, что длина окружности вычисляется по формуле: L = 2πr. На рисунке она отмечена красным цветом.

Когда боковая стенка цилиндра полностью раскрыта, мы видим, что длина окружности становится длиной полученного прямоугольника. Сторонами этого прямоугольника будут длина окружности(L = 2πr) и высота цилиндра(h). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон – S = длина х ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результате мы получили формулу для расчета площади боковой поверхности цилиндра.

Формула площади боковой поверхности цилиндра

S бок. = 2πrh

Площадь полной поверхности цилиндра

Наконец, если мы сложим площадь всех трёх поверхностей, мы получим формулу площади полной поверхности цилиндра. Площади поверхности цилиндра равна площадь вершины цилиндра + площадь основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr (r + h).

Формула площади полной поверхности цилиндра

S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)

r – радиус цилиндра, h – высота цилиндра

Примеры расчета площади поверхности цилиндра

Для понимания приведенных формул попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.

1. Радиус ос­но­ва­ния цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S бок. = 2πrh

S бок. = 2 * 3,14 * 2 * 3

S бок. = 6,28 * 6

S бок. = 37,68

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 37,68.

2. Как найти площадь поверхности цилиндра, если высота равна 4, а радиус 6?

Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

Площадь боковой поверхности произвольной пирамиды равна сумме площадей её боковых граней. Специальную формулу для выражения этой площади имеет смысл дать в случае правильной пирамиды. Так, пусть дана правильная пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник со стороной, равной а. Пусть h — высота боковой грани, называется также апофемой
пирамиды. Площадь одной боковой грани равна 1/2ah, а вся боковая поверхность пирамиды имеет площадь, равную n/2ha. Так как na — периметр основания пирамиды, то можно написать найденную формулу в виде:

Площадь боковой поверхности
правильной пирамиды равна произведению её апофемы на половину периметра основания.

Что касается площади полной поверхности
, то просто к боковой прибавляем площадь основания.

Вписанные и описанные сфера и шар
. Нужно отметить, что центр вписанной в пирамиду сферы лежит на пересечении биссекторных плоскостей внутренних двугранных углов пирамиды. Центр описанной около пирамиды сферы лежит на пересечении плоскостей, проходящих через середины ребер пирамиды и перпендикулярных им.

Усеченная пирамида.
Если пирамиду рассеч плоскостью, параллельной её основанию, то часть, заключенная между секущей плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой.
На рисунке показана пирамида, отбрасывая её часть, лежащую выше секущей плоскости, получаем усеченную пирамиду. Ясно, что малая отбрасываемая пирамида гомотетична большой пирамиде с центром гомотетии в вершине. Коэффициент подобия равен отношению высот: k=h 2 /h 1 , или боковых ребер, или других соответствующих линейных размеров обеих пирамид. Мы знаем, что площади подобных фигур относятся, как квадраты линейных размеров; так площади оснований обеих пирамид (т.е. пощади оснований усеченной пирамиды) относятся, как

Здесь S 1 — площадь нижнего основания, а S 2 — площадь верхнего основания усеченной пирамиды. В таком же отношении находятся и боковые поверхности пирамид. Сходное правило имеется и для объемов.

Объемы подобных тел
относятся, как кубы их линейных размеров; например, объемы пирамид относятся, как произведения их высот на площади оснований, откуда наше правило получается сразу. Оно имеет совершенно общий характер и прямо следует из того, что объем всегда имеет размерность третей степени длины. Пользуясь этим правилом, выведем формулу, выражающую объем усеченной пирамиды через высоту и площади оснований.

Пусть дана усеченная пирамида с высотой h и площадями оснований S 1 и S 2 . Если представить себе, что она продолжена до полной пирамиды, то коэффициент подобия полнорй пирамиды и малой пирамиды легко найти, как корень из отношения S 2 /S 1 . Высота усеченной пирамиды выражается как h = h 1 — h 2 = h 1 (1 — k). Теперь имеем для объема усеченной пирамиды (через V 1 и V 2 обозначены объемы полной и малой пирамид)

формула объема усеченной пирамиды

Выведем формулу площади S боковой поверхности правильной усеченной пирамиды через периметры Р 1 и Р 2 оснований и длину апофемы а. Рассуждаем точно так же, как и при выводе формулы для объема. Дополняем пирамиду верхней частью, имеем P 2 = kP 1 , S 2 =k 2 S 1 , где k — коэффициент подобия, P 1 и P 2 — периметры оснований, а S 1 и S 2 — лощади боковых поверхностей всей полученной пирамиды и её верхней части соответственно. Для боковой поверхности найдем (а 1 и а 2 — апофемы пирамид, а = а 1 — а 2 = а 1 (1-k))

формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

Площадь поверхности треугольной пирамиды.

Вычислить площадь поверхности треугольной пирамиды.

Треугольная пирамида имеет треугольное основание, \(3\) треугольные грани и вершины. Для того чтобы найти площадь поверхности треугольной пирамида надо применить формулу:

\(S=\frac{1}{2}PL+S_{осн}\)

Апофема треугольной пирамиды выходит из вершины треугольной пирамиды к основанию боковой грани, на рисунке выше апофемой является  \(s\).

\(L-\)апофема  треугольной пирамиды;
\(P-\)периметр основания треугольной пирамиды;

\(S_{осн}-\)площадь основания треугольной пирамиды;

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!


Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку


Репетитор по математике


Белорусский государственный экономический университет


Проведенных занятий:


Форма обучения:


Дистанционно (Скайп)


Репетитор 5-11 классов. Правильно задаю вопросы, умею слушать и слышать учеников. Смотрю на все сквозь призму юмора и стремлюсь влюбить всех в свой предмет. Требовательная, но понимающая. Я люблю математику за то, что она развивает мышление и приводит в порядок ум.

Оставить заявку


Репетитор по математике


Национальный исследовательский Томский государственный университет


Проведенных занятий:


Форма обучения:


Дистанционно (Скайп)


Преподаватель в университете — 5 лет, Работа со школьниками 5-9 класса. Математика универсальна и является важнейшим инструментов в изучении всех точных наук. С удовольствием помогу любому ученику разобраться и понять сложные темы. На занятиях разложим все знания по полочкам, будем идти от простого к сложному.

Оставить заявку


Репетитор по математике


БГПУ им. М.Танка


Проведенных занятий:


Форма обучения:


Дистанционно (Скайп)


Репетитор 1-6 классов. Люблю математику за её красоту и элегантность. «Математика — это музыка в цифрах.» При обучении всегда провожу параллели с примерами из жизни.

Решение уравнений

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Математика по Skype

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Записаться на бесплатный урок

Видео с вопросом: Определение периметра основания пирамиды с учетом ее объема и высоты

Стенограмма видеозаписи

Учитывая, что квадратная пирамида имеет
объемом 372 кубических сантиметра и высотой 31 сантиметр определяют
периметр его основания.

Итак, давайте смоделируем нашу квадратную пирамиду.
объемом 372 кубических сантиметра. Рост 31 сантиметр относится к
к высоте перпендикуляра пирамиды.Нас просят разработать
периметр основания этой квадратной пирамиды. Это расстояние полностью
вокруг снаружи.

Давайте посмотрим, что мы знаем о
объем пирамиды. Напомним, что объем
пирамида равна одной трети, умноженной на площадь основания, умноженную на
высота. Это не поможет нам напрямую в работе
по периметру. Но если бы мы могли проработать область
базы, мы могли бы продолжить работу по периметру.Итак, начнем с заполнения поля
информация, которую мы знаем в этой формуле.

Это даст нам 372 — это
объем пирамиды — равен 1/3 площади основания, умноженной на 31, что
высота пирамиды. Мы можем упростить правую часть
записав треть, умноженную на 31, как 31 на три. Затем мы хотим изолировать область
основание, поэтому мы выполняем операцию, обратную умножению на 31 на три.И это разделить на 31 больше
три, то есть умножить на три больше 31. Итак, у нас 372 раза три больше 31
равна площади основания.

Затем мы можем оценить это без
калькулятор, заметив, что 31 переходит в 372 12 раз. Это означает, что площадь основания
равно 12 умноженным на три, что составляет 36 квадратных сантиметров. Итак, теперь, когда мы разработали
площадь квадрата на основании, мы можем использовать это, чтобы определить длину сторон
и, следовательно, рассчитать периметр.

Итак, если длина наших сторон составляет 𝑥 на
𝑥, это означает, что площадь 𝑥 в квадрате будет равна 36. Следовательно, длина 𝑥 равна
к квадратному корню из 36, что составляет шесть сантиметров. Итак, периметр, который
расстояние вокруг внешней стороны этого квадрата равно шести плюс шесть плюс шесть плюс
шесть, что составляет 24 сантиметра.

Пирамиды

Когда мы думаем о пирамидах, мы думаем о Великих пирамидах Египта .

На самом деле это Квадратные пирамиды , потому что их основание — Квадрат.

Части пирамиды

Пирамида создается путем соединения основания с вершиной

Основание — многоугольник (плоский с прямыми краями), а все остальные грани — треугольники. Никаких кривых!

Типы пирамид

Есть много типов пирамид, и они названы в честь формы их основания.

Пролетите здесь через пирамиды.

Правая и наклонная пирамида

Это говорит нам, где находится вершина (вершина) пирамиды. Когда вершина находится прямо над центром основания, это правая пирамида , в противном случае — наклонная пирамида .

Правая пирамида Наклонная пирамида

Обычная пирамида против неправильной

Это говорит нам о форме основания . Когда основание представляет собой правильный многоугольник, это правильная пирамида , в противном случае это неправильная пирамида .

Правильная пирамида Неправильная пирамида
База обычная База неправильная

Площадь и объем

Объем пирамиды

  • 1 / 3 × [Базовая площадь] × Высота

Площадь пирамиды

Когда все боковые грани одинаковы:

  • [Базовая область] +
    1 / 2 × периметр × [наклонная длина]

Если боковые грани разные:

  • [Базовая область] + [Боковая область]

Заметки о площади

Площадь поверхности состоит из двух частей: площади основания ( Базовая область ) и площади боковых граней (боковой поверхности ).

Для Базовая область :

Это зависит от формы, существуют разные формулы для треугольника, квадрата и т. Д. См. Формулы «Площадь» или наш Инструмент расчета площади

Для Боковая зона :

Когда все боковые грани одинаковые:

  • Умножьте периметр на «длину наклона» и разделите на 2. Это потому, что боковые грани всегда являются треугольниками, а формула треугольника: дюймов, умноженная на высоту, деленную на 2 »

Но когда боковые грани разные (например, «неправильная» пирамида), мы должны сложить площадь каждого треугольника, чтобы найти общую боковую площадь.

Треугольная пирамида | Найдите объем и площадь поверхности (формулы)

Треугольная пирамида

Треугольная пирамида представляет собой трехмерное тело — многогранник — с треугольным основанием и тремя треугольными гранями, пересекающимися в вершине пирамиды.

Основание пирамиды может быть любой двухмерной геометрической формы:

  • Треугольник
  • Прямоугольник
  • Квадрат
  • Шестигранник
  • восьмиугольник

Есть много типов пирамид, и все пирамиды названы по форме их оснований.

Так же, как у вас может быть треугольная пирамида, у вас также может быть прямоугольная пирамида, пятиугольная пирамида и т. Д.

Великие пирамиды Египта в Гизе, например, представляют собой квадратную пирамиду, потому что ее основание (основание) — квадрат. Треугольная пирамида — это пирамида с треугольным основанием.

Грани, ребра и вершины треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде:

  • Треугольное основание
  • 3 треугольных грани
  • 6 граней
  • 4 вершины

Правильная треугольная пирамида

Пирамида с основанием равностороннего треугольника — это правильная треугольная пирамида .Если в основе лежит разносторонний или равнобедренный треугольник, то пирамида представляет собой неправильную треугольную пирамиду .

Ни одно правило не требует, чтобы основание треугольной пирамиды было равносторонним, хотя построить разносторонние или равнобедренные треугольные пирамиды намного сложнее, чем построить равностороннюю треугольную пирамиду.

[вставить точный чертеж на основе этой ссылки на схему сети треугольной пирамиды]

Содержание

  1. Треугольная пирамида
  2. Площадь поверхности треугольной пирамиды
  3. Объем треугольной пирамиды

Площадь поверхности треугольной пирамиды

Для любого 3D-тела можно выполнить два разных измерения площади поверхности: площадь боковой поверхности и площадь поверхности .

Площадь боковой поверхности, LSA, не включает основание нашей пирамиды. Площадь поверхности пирамиды SA включает основание.

Площадь поверхности треугольной пирамиды с тремя совпадающими видимыми гранями — это площадь этих трех треугольных граней плюс площадь треугольного основания.

Формула для расчета площади поверхности включает площадь основания, периметр основания и высоту наклона любой стороны.

Площадь поверхности треугольной пирамиды по формуле

SA = площадь основания + 12 (периметр × высота наклона)

Эта формула работает, потому что вы добавляете базовую область к площади всех трех наклонных граней. Периметр дает вам сумму всех трех баз. Вы умножаете эту сумму на наклонную высоту треугольной пирамиды, как если бы у вас был один большой прямоугольник, а затем вы принимали половину этой суммы как площадь трех треугольников.

Как найти площадь поверхности треугольной пирамиды

Предположим, у вас есть треугольная пирамида:

Основание пирамиды — равносторонний треугольник, так как все три его стороны составляют 10 локтей. Чтобы найти площадь основного треугольника, используйте эту формулу для площади равностороннего треугольника со сторонами a:

Для этой конкретной треугольной пирамиды формула имеет вид:

А = 34 102 ≈ 43.3 квадратных локтя (локтей2)

Мы нашли территорию базы. Мы уже знаем, что периметр основания составляет 30 локтей (каждая из трех сторон — 10 локтей), и нам дана наклонная высота — 14 локтей.

SA = площадь основания + 12 периметр × высота наклона

SA = 43,3 локтя2 + 12 30 локтей × 14 локтей

SA = 43,3 локтя2 + 12 420 локтей2

SA = 43,3 локтя2 + 210 локтей2

SA = 253,3 локтя2

Площадь всегда измеряется в квадратных единицах, будь то см2, м2, фут2 или локти2.

Как рассчитать площадь боковой поверхности треугольной пирамиды

Возможно, вам нужно было потратить время на то, чтобы разобраться со всем этим, найти область базы, найти периметр, добавить все.

Чтобы найти площадь всего наклонных сторон — площадь боковой поверхности (LSA) — вам нужно сделать намного меньше работы:

LSA = 12 (периметр × наклонная высота)

Эти формулы работают только для обычных пирамид.Если у вас неправильная треугольная пирамида, вычислите площадь каждой из четырех граней по отдельности (три наклонные грани и основание) и сложите их вместе.

Объем треугольной пирамиды

Объем — это объем пространства, занимаемого трехмерным телом, поэтому с помощью треугольной пирамиды мы определяем, сколько места в ней есть. Он всегда измеряется в кубических единицах. Хотя пирамида быстро уменьшается до вершины, расчет не представляет трудностей.

Формула объема треугольной пирамиды

В объеме формулы треугольной пирамиды A — это площадь основания, а h — высота от основания до вершины.

Для нашей пирамиды с основанием 10 локтей и высотой наклона 14 локтей высота h составляет 13.0767 локтей. Мы уже знаем площадь из наших предыдущих расчетов, поэтому мы можем подставить известные числа, чтобы получить объем в кубических локтях:

В = 13 Ач

V = 13 (43,3 локтя2 × 13,0767 локтя)

V = 13 (566,2211 локтей3)

V ≈ 188,75 локтей3

Обратите внимание, что с дробью как множителем при умножении у нас нет точного десятичного ответа, поэтому у нас есть приблизительное значение.

Следующий урок:

Площадь поверхности прямоугольной призмы

Площадь поверхности пирамиды — объяснение и примеры

Прежде чем мы начнем, давайте рассмотрим, что такое пирамида.В геометрии пирамида — это трехмерное твердое тело, основание которого — любой многоугольник, а боковые грани — треугольники.

В пирамиде боковые грани (которые представляют собой треугольники) встречаются в общей точке, известной как вершина. Название пирамиды происходит от названия многоугольника, образующего ее основу. Например, квадратная пирамида, прямоугольная пирамида, треугольная пирамида, пятиугольная пирамида и т. Д.

Площадь поверхности пирамиды — это сумма площадей боковых граней.

В этой статье будет обсуждаться , как найти общую площадь поверхности и площадь боковой поверхности пирамиды .

Как найти площадь поверхности пирамиды?

Чтобы найти площадь поверхности пирамиды, вам нужно получить площадь основания, а затем добавить площадь боковых сторон, которая равна одной грани, умноженной на количество сторон.

Формула поверхности пирамиды

Общая формула для площади поверхности любой пирамиды (правильной или неправильной) задается как:

Площадь поверхности = площадь основания + боковая площадь

Площадь поверхности = B + LSA

Где TSA = общая площадь поверхности

B = площадь основания

LSA = площадь боковой поверхности.

Для правильной пирамиды формула имеет следующий вид:

Общая площадь поверхности правильной пирамиды = B + 1/2 ps

, где p = периметр основания и s = наклонная высота.

Примечание. Никогда не путайте наклонную высоту (ы) и высоту (h) пирамиды. Расстояние по перпендикуляру от вершины до основания пирамиды называется высотой (h), а расстояние по диагонали от вершины пирамиды до края основания называется наклонной высотой (ями).

Площадь поверхности квадратной пирамиды

Для квадратной пирамиды общая площадь поверхности = b (b + 2s)

Где b = длина основания и s = наклонная высота

Площадь поверхности треугольной пирамиды

Площадь поверхности треугольной пирамиды = ½ b (a + 3s)

Где a = длина апофемы пирамиды

b = длина основания

s = наклонная высота

Площадь поверхности пятиугольной пирамиды

Общая площадь правильной пятиугольной пирамиды равна;

Площадь поверхности пятиугольной пирамиды = 5⁄2 b (a + s)

Где a = длина апофемы основания

и b = длина стороны основания, s = наклонная высота пирамиды

Площадь поверхности шестиугольной пирамиды

Гексагональная пирамида — это пирамида с шестиугольником в основании.

Общая площадь поверхности шестиугольной пирамиды = 3b (a + s)

Площадь боковой поверхности пирамиды

Как указано ранее, площадь боковой поверхности пирамиды — это площадь боковых граней пирамиды. Поскольку все боковые грани пирамиды представляют собой треугольники, площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания пирамиды и высоты наклона.

Площадь боковой поверхности (LSA = 1/2 ps)

Где p = периметр основания и s = наклонная высота.

Давайте разберемся с площадью поверхности формулы пирамиды, решив несколько примеров задач.

Пример 1

Какова площадь поверхности квадратной пирамиды, длина основания которой составляет 4 см, а высота наклона — 5 см?

Решение

Дано:

Базовая длина, b = 4 см

Наклонная высота, s = 5 см

По формуле

Общая площадь квадратной пирамиды = b (b + 2s)

TSA = 4 (4 + 2 x 5)

= 4 (4 + 10)

= 4 x 14

= 56 см 2

Пример 2

Какова площадь поверхности квадратная пирамида с перпендикулярной высотой 8 м и длиной основания 12 м?

Решение

Дано;

Высота по перпендикуляру, h = 8 м

Длина основания, b = 12

Чтобы получить наклонную высоту s, применим теорему Пифагора.

с = √ [8 2 + (12/2) 2 ]

с = √ [8 2 + 6 2 ]

с = √ (64 + 36)

с = √100

= 10

Следовательно, наклонная высота пирамиды составляет 10 м

Теперь вычислите площадь поверхности пирамиды.

SA = b (b + 2s)

= 12 (12 + 2 x 10)

= 12 (12 + 20)

= 12 x 32

= 384 м 2 .

Пример 3

Вычислите площадь поверхности пирамиды, наклонная высота которой составляет 10 футов, а ее основание представляет собой равносторонний треугольник с длиной стороны 8 футов.

Решение

Дано:

Базовая длина = 8 футов

Наклонная высота = 10 футов

Примените теорему Пифагора, чтобы получить длину апофемы пирамиды.

a = √ [8 2 — (8/2) 2 ]

= √ (64 — 16)

= √48

a = 6,93 фута

Таким образом, длина апофемы пирамиды составляет 6,93 фута

Но площадь поверхности треугольной пирамиды = ½ b (a + 3s)

TSA = ½ x 8 (6. 93 + 3 x 10)

= 4 (6,93 + 30)

= 4 x 36,93

= 147,72 футов 2

Пример 4

Найдите площадь поверхности пятиугольной пирамиды, длина апофемы которой составляет 8 м, длина основания 6 м, высота уклона 20 м.

Решение

Дано;

Длина апофемы, a = 8 м

Длина основания, b = 6 м

Наклонная высота, s = 20 м

Площадь поверхности пятиугольной пирамиды = 5⁄2 b (a + s)

TSA = 5 / 2 x 6 (8 + 20)

= 15 x 28

= 420 м 2 .

Пример 5

Рассчитайте общую площадь поверхности и площадь боковой поверхности шестиугольной пирамиды с апофемой 20 м, длиной основания 18 м и наклонной высотой 35 м.

Решение

Дано;

апофема, a = 20 м

Длина основания, b = 18 м

Наклонная высота, s = 35 м

Площадь поверхности шестиугольной пирамиды = 3b (a + s)

= 3 x 18 ( 20 + 35)

= 54 x 55

= 2970 м 2 .

Площадь боковой поверхности пирамиды = 1/2 пс

Периметр, p = 6 x 18

= 108 м

LSA = ½ x 108 x 35

= 1890 м 2

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Прямоугольная пирамида | Математика ∞ Блог

Когда вы входите в мир трехмерных форм, математика приобретает совершенно новый уровень глубины. Некоторым может быть сложно найти объем простых, обычных форм, но когда вы начинаете строить их в направлении вверх и наружу, процесс становится еще более сложным.Пирамиды — одни из самых известных трехмерных фигур. Хотя вы найдете множество типов с любым количеством треугольных граней, мы пока сосредоточимся на прямоугольных пирамидах.

Определение объема прямоугольной пирамиды

Прямоугольные пирамиды имеют четырехсторонние основания и четыре треугольные стороны, соединяющиеся в вершине, или то, что мы называем более простым заостренным концом. Ваша общая формула для определения объема этих многогранных форм: V = (l x w x h) / 3.По сути, ваш первый шаг — найти площадь основания, умножив длину на ширину.

После определения площади основания умножьте ее на высоту. Высота — это расстояние от центральной точки основания до вершины. Умножив площадь основания на высоту, вы разделите свой ответ на три, чтобы получить объем. Вот пример прямоугольной пирамиды и некоторые примеры измерений:

Начните с основной формулы, введите данные измерения и действуйте осторожно.

V = (длина x ширина x высота) / 3

В = (9 х 7 х 15) / 3

В = (63 х 15) / 3

В = 945/3

V = 315 футов 3

Вы также можете увидеть формулу, записанную как: V = 1/3 Bh. Это просто означает, что вы умножаете основание на высоту и делите на три, что является одним и тем же процессом. Имейте в виду, что оба варианта работают и для квадратных пирамид, поскольку квадраты являются типами прямоугольников.

В некоторых случаях вам может потребоваться определить высоту пирамиды, прежде чем вы сможете рассчитать ее объем.Допустим, вам дана наклонная высота пирамиды, то есть расстояние от вершины до центра одной из треугольных граней. Это немного усложняет задачу, но отнюдь не делает невозможным. Вот пример:

Имейте в виду, что линия, представляющая высоту, проходит от вершины к центру основания и образует угол в 90 градусов у основания пирамиды. Это делает треугольник, созданный высотой, наклонной высотой и основанием, правильным, поэтому вы можете использовать теорему Пифагора (a 2 + b 2 = c 2 ), чтобы найти недостающее число.Ваша гипотенуза, или сторона «c», самая длинная, она всегда находится прямо напротив угла 90 градусов в прямоугольном треугольнике.

Мы еще не знаем высоту или сторону «а». Поскольку базовое измерение, которое будет использоваться здесь, составляет три фута, высота от центра до наклона будет равна 1,5. Это будет твоя сторона «б». Вот процесс определения недостающей высоты:

а 2 + б 2 = с 2

а 2 + 1,5 2 = 10 2

а 2 + 2.25 = 100

а 2 + 2,25 — 2,25 = 100 — 2,25

а 2 = 97,75

а ≈ 9,9

Зная, что высота вашей пирамиды почти равна 9,9, вы можете, как обычно, вычислить ее объем.

Учитывая размеры основания и высоту прямоугольной пирамиды, вы можете решить, чтобы найти ее объем. Если у вас есть наклонная высота, но не фактическая высота, позвольте Пифагору помочь вам, прежде чем вы попытаетесь решить для «V». Оттачиваете ли вы свои геометрические навыки или готовитесь к поездке в Гизу, вы будете готовы найти объем любой прямоугольной пирамиды на своем пути!

Правильные пирамиды

Правильная пирамида — это пирамида, основание которой представляет собой правильный многоугольник, а все боковые стороны равны по длине.Пирамида названа по ее основанию. На рисунке показаны некоторые примеры правильных пирамид.

Рисунок 1 Некоторые различные типы правильных пирамид.

Боковые грани правильной пирамиды — равнобедренные равнобедренные треугольники. Высота любого из этих треугольников равна наклонной высоте правильной пирамиды. Рисунок 2 представляет собой квадратную пирамиду.

Рисунок 2 Квадратная пирамида.

Пирамиды также имеют боковую площадь, общую площадь и объем.

Теорема 93 : Боковая площадь, LA , правильной пирамиды с наклонной высотой l и периметром основания p определяется следующим уравнением.

Пример 1: Найдите боковую площадь квадратной пирамиды, показанной на рисунке 3.

Рисунок 3 Определение боковой площади, общей площади и объема квадратной пирамиды.

Поскольку пирамида имеет только одно основание, ее общая площадь складывается из площади боковой поверхности и площади основания.

Теорема 94: Общая площадь TA правильной пирамиды с боковой площадью LA и площадью основания B определяется следующим уравнением.

Пример 2: Найдите общую площадь правильной пирамиды, показанной на рисунке.

Основание правильной пирамиды — квадрат . A квадрат = (сторона) 2 . Следовательно, B = 16 2 в 2 или B = 256 в 2 .

Из предыдущего примера

Теорема 95: Объем V правильной пирамиды с площадью основания B и высотой h определяется следующим уравнением.

Пример 3: Найдите объем правильной пирамиды, показанной на рисунке.

Из предыдущего примера B = 256 из 2 . На рисунке показано, что h = 6 дюймов.

Объем квадратной пирамиды с учетом стороны основания и высоты Калькулятор

[1] 2020/05/20 05:26 До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / — /

Цель использования
Что — объем квадратной пирамиды с учетом края основания и высоты наклона. Округлите ответ до ближайшей десятой, не используя в ответах никаких единиц измерения.

[2] 2019/05/11 01:24 До 20 лет / Начальная школа / Неполная средняя школа / Немного /

Комментарий / запрос
упростить чтение и понимание / не так устарело

[3] 2019/03/22 08:11 До 20 лет / Начальная школа / Неполная средняя школа / Немного /

Цель использования
Домашнее задание

[4] 2018/10 / 20 17:14 Младше 20 лет / Начальная школа / Младше средней школы / Не совсем /

Цель использования
домашнее задание

[5] 2018/03/01 22:46 Моложе 20 лет / Старшая школа / Вуз / Аспирант / Полезное /

Цель использования
основной класс

[6] 2017/03/07 13:39 Моложе 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / — /

Цель использования
Как решить квадратную пирамиду

[7 ] 2014/10/01 15:00 Моложе 20 лет / Средняя школа / Университет / Аспирант / Совсем нет /

Цель использования
Моя проблема заключалась в проблеме.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.