Формула периметр основания пирамиды: Периметр и апофема правильной пирамиды

2 ))

Содержание

Пирамида. Формулы и свойства

Определение.

Пирамида — это многогранная объемная фигура, ограниченная плоским многоугольником (основой) и треугольниками, имеющих общую вершину, не лежащую в плоскости основания.



Рис.1

Определение. Боковая грань — это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).


Определение. Боковые ребра — это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.


Определение. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.


Определение. Апофема — это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.


Определение. Диагональное сечение — это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.


Определение. Правильная пирамида — это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.


Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:

Определение. Боковая поверхность пирамиды — это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды.

Определение. Полная поверхность пирамиды — это совокупность площадей боковой поверхности и площади основания пирамиды.

Формула. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n, где n — это количество углов в основании пирамиды.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) — это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.


Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) — это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол.

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).

Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.



Определение. Наклонная пирамида — это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.

Определение. Прямоугольная пирамида — это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение. Остроугольная пирамида — это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.


Определение. Тупоугольная пирамида — это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.


Определение. Правильный тетраэдр — четырехгранник у которого все четыре грани — равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.


Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.


Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание — правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.


Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.


Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.



Определение. Бипирамида — многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

Как найти периметр основания правильной треугольной пирамиды

Правильная пирамида обладает следующими свойствами:

  • боковые рёбра правильной пирамиды имеют равную величину;
  • в правильной пирамиде каждая боковая грань — конгруэнтный равнобедренный треугольник;
  • во все правильные пирамиды можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
  • когда центры вписанной и описанной сферы совпадают, значит, сумма плоских углов у вершины пирамиды равняется , а всякий из них соответственно , где n — число сторон многоугольника основания;
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равняется ½ произведения периметра основания на апофему.

Формулы для правильной пирамиды.

V — объем пирамиды,

S — площадь основания пирамиды,

h — высота пирамиды,

Sb — площадь боковой поверхности пирамиды,

a — апофема (не путать с α) пирамиды,

P — периметр основания пирамиды,

n — число сторон основания пирамиды,

b — длина бокового ребра пирамиды,

α — плоский угол при вершине пирамиды.

Ниже указанная формула определения объема используется лишь для правильной пирамиды:

V — объем правильной пирамиды,

h — высота правильной пирамиды,

n — количество сторон правильного многоугольника, основания правильной пирамиды,

a — длина стороны правильного многоугольника.

Боковое ребро правильной пирамиды находят по формуле:

где b — боковое ребро правильной пирамиды (SA, SB, SC, SD либо SE),

n — количество сторон правильного многоугольника (основание правильной пирамиды),

a — сторона правильного многоугольника (AB, BC, CD, DE либо EA) — основания правильной пирамиды,

h — высота правильной пирамиды (OS).

Указания к решению задач. Свойства, которые мы перечислили выше, помогают при практическом решении. Когда нужно определить углы наклона граней, их поверхность и так далее, значит общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для определения отдельных элементов пирамиды, так как большинство элементов оказываются общими для нескольких фигур.

Нужно разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы — треугольники, квадраты, отрезки. Дальше, к отдельным элементам применяем знания из курса планиметрии, что очень упрощает определение ответа.

Правильная треугольная пирамида.

Правильная треугольная пирамида — это пирамида, у которой основанием оказывается правильный треугольник, а вершина опускается в центр основания.

Формулы для правильной треугольной пирамиды.

Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:

V — объем правильной пирамиды, которая имеет в основании правильный (равносторонний) треугольник,

h — высота правильной пирамиды,

a — длина стороны основания правильной пирамиды.

Так как правильная треугольная пирамида — это частный случай правильной пирамиды, значит, формулы, верные для правильной пирамиды, оказываются верными и для правильной треугольной.

Еще одним частным случаем правильно пирамиды является тетраэдр.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Пирамида, основные понятия и элементы

Вспомним понятие n-угольной пирамиды. Она получается следующим образом: в плоскости

Определение.

Многогранник

Читайте также:  Как заменить дисплей на планшете самому

Площадь поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания:

Площадь основания пирамиды, площади основных правильных многоугольников

Рассмотрим нахождение площади основания правильной n-угольной пирамиды. Правильный n-угольник, как нам известно, имеет равные стороны и равные внутренние углы. Решим следующую задачу: для n-угольника с заданной длиной стороны () и количеством углов (n) найти площадь (рисунок 2).

Рис. 2. Нахождение площади n-угольника

Рассмотрим треугольник

Половина этого угла, угол .

Треугольник Чтобы найти площадь n-угольника, нужно сложить n площадей треугольников вида

Площадь треугольника определяется по формуле:

Теперь получим площадь всего n-угольника:

Рассмотрим наиболее распространенные частные случаи:

Площадь правильного треугольника:

Площадь правильного шестиугольника:

Чтобы нарисовать правильный шестиугольник, удобно пользоваться следующим алгоритмом (рисунок 3):

Построить окружность (зеленая пунктирная линия) Провести диаметр (синяя пунктирная линия) Отметить середины радиусов построенного диаметра Провести через середины перпендикуляры (красные пунктирные линии) Получены вершины шестиугольника – построить шестиугольник.

Рис. 3. Правильный шестиугольник

Чтобы найти площадь правильного шестиугольника действуем стандартным методом. Рассматриваем треугольник АОС, в нем находим угол ∠АОВ, таких углов шесть, имеем:

Поскольку отрезки ОА и ОВ равны, то углы ∠ОАВ и ∠ОВА также составляют по . Так, рассматриваемый треугольник правильный. Его площадь нам известна:

Площадь шестиугольника состоит из шести таких площадей:

Площадь боковой поверхности пирамиды

Рассмотрим нахождение площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Где

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 1

Задана правильная пирамида с вершиной Р и основанием АВС. РН – высота пирамиды, РО – апофема. Сторона основания равняется По вышеприведенной формуле для того, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, необходимо найти ее апофему и полупериметр основания. Периметр основания нам известен, так как задана сторона основания. Найдем апофему из прямоугольного треугольника РНО. Один из катетов задан по условию – . Найдем второй катет ОН, он соответствует радиусу вписанной в треугольник окружности, формула нам известна:

Найдем апофему по теореме Пифагора:

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды:

Связь площади треугольника с площадью его проекции

Площадь боковой поверхности и площадь основания пирамиды связаны через величину двугранного угла при основании.

Решение задач

Задача 2

РН – перпендикуляр к плоскости треугольника АВН. Из точки Н опущен перпендикуляр НМ к прямой АВ. . Доказать:

Решение. Проиллюстрируем условие:

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2

Треугольник АВН – это проекция треугольника АВР. Нужно доказать, что площадь проекции есть площадь исходного треугольника на косинус двугранного угла между ними. Поскольку НМ – перпендикуляр к АВ, то и РМ – перпендикуляр к АВ по теореме о трех перпендикулярах. Значит, угол – это линейный угол двугранного угла с ребром АВ. АВР – часть боковой поверхности, АВН – часть основания.

Найдем отношение площадей интересующих нас треугольников:

Рассмотрим прямоугольный треугольник РНМ. В нем РМ – гипотенуза, НМ – катет, прилежащий к заданному углу . Отсюда заключаем:

Что и требовалось доказать.

Задача 3

Доказать для правильной треугольной пирамиды:

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3

Задана правильная треугольная пирамида РАВС с основанием АВС и вершиной Р. – линейный угол двугранного угла с ребром АВ, точкой Р в одной плоскости и точкой С в другой плоскости.

Очевидно, что угол наклона В задаче 2 мы доказали: .

Выполним сложение полученных выражений.

Что и требовалось доказать.

Задача 4

Боковые грани пирамиды РАВС наклонены к основанию под одним и тем же углом

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 4

Пусть РО – высота пирамиды. Найдем место расположения точки О. Из точки О опустим перпендикуляры к сторонам треугольника АВС – .

Поскольку

Выполним сложение полученных выражений.

Что и требовалось доказать.

Итак, мы рассмотрели площадь поверхности пирамиды, в частности, площадь основания и площадь боковой поверхности, следующий урок будет посвящен задачам.

Список литературы

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. Задача 1: основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

    Оценка статьи:

    Загрузка…

    Поделиться с друзьями:

Площадь боковой поверхности пирамиды — формула, пример расчета

Пирамида – это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной.

Если в основании лежит квадрат, то пирамиду называется четырехугольной, если треугольник – то треугольной. Высота пирамиды проводится из ее вершины перпендикулярно основанию. Также для расчета площади используется апофема – высота боковой грани, опущенная из ее вершины.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей ее боковых граней, которые равны между собой. Однако этот способ расчета применяется очень редко. В основном площадь пирамиды рассчитывается через периметр основания и апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида с основанием ABCDE и вершиной F. AB=BC=CD=DE=EA=3 см. Апофема a = 5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Найдем периметр. Так как все грани основания равны, то периметр пятиугольника будет равен:
Теперь можно найти боковую площадь пирамиды:

Площадь правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида состоит из основания, в котором лежит правильный треугольник и трех боковых граней, которые равны по площади.
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды может быть рассчитана разными способами. Можно применить обычную формулу расчета через периметр и апофему, а можно найти площадь одной грани и умножить ее на три. Так как грань пирамиды – это треугольник, то применим формулу площади треугольника. Для нее потребуется апофема и длина основания. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Площадь усеченной пирамиды

Усеченной пирамидой называется многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований на апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Дана правильная четырехугольная пирамида. Длины основания равны b = 5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Найдите площадь боковой поверхности фигуры.
Для начала найдем периметр оснований. В большем основании он будет равен:
В меньшем основании:
Посчитаем площадь:

Таким образом, применив несложные формулы, мы нашли площадь усеченной пирамиды.

Площадь треугольной пирамиды — формула, пример расчета

Треугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник.

В такой пирамиде грани основания и ребра боковых сторон равны между собой. Соответственно площадь боковых граней находится из суммы площадей трех одинаковых треугольников. Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно по формуле площади равностороннего треугольника. А можно произвести расчет в несколько раз быстрее. Для этого необходимо применить формулу площади боковой поверхности треугольной пирамиды:

где p – периметр основания, у которого все стороны равны b, a – апофема, опущенная из вершины к этому основанию. Рассмотрим пример расчета площади треугольной пирамиды.

Задача: Пусть дана правильная пирамида. Сторона треугольника, лежащего в основании равна b = 4 см. Апофема пирамиды равна a = 7 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Так как по условиям задачи мы знаем длины всех необходимых элементов, найдем периметр. Помним, что в правильном треугольнике все стороны равны, а, следовательно, периметр рассчитывается по формуле:

Подставим данные и найдем значение:

Теперь, зная периметр, можем рассчитывать площадь боковой поверхности:

Чтобы применить формулу площади треугольной пирамиды для вычисления полного значения, необходимо найти площадь основания многогранника. Для этого используется формула площади правильного треугольника:

Формула площади основания треугольной пирамиды может быть и другой. Допускается применение любого расчета параметров для заданной фигуры, но чаще всего это не требуется. Рассмотрим пример расчета площади основания треугольной пирамиды.

Задача: В правильной пирамиде сторона лежащего в основании треугольника равняется a = 6 см. Рассчитайте площадь основания.
Для вычисления нам требуется только длина стороны правильного треугольника, располагающегося в основании пирамиды. Подставим данные в формулу:

Довольно часто требуется найти полную площадь многогранника. Для этого потребуется сложить площадь боковой поверхности и основания.

Рассмотрим пример расчета площади треугольной пирамиды.

При расчете площади правильной пирамиды стоит не забывать о том, что в основании лежит правильный треугольник и многие элементы этого многогранника равны между собой.

Периметр основания правильной пирамиды формула. Пирамида

Треугольной пирамидой
называется многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник.

В такой пирамиде грани основания и ребра боковых сторон равны между собой. Соответственно площадь боковых граней находится из суммы площадей трех одинаковых треугольников. Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно по формуле . А можно произвести расчет в несколько раз быстрее. Для этого необходимо применить формулу площади боковой поверхности треугольной пирамиды:

где p
– периметр основания, у которого все стороны равны b, a
– апофема, опущенная из вершины к этому основанию. Рассмотрим пример расчета площади треугольной пирамиды.

Задача: Пусть дана правильная пирамида. Сторона треугольника, лежащего в основании равна b
= 4 см. Апофема пирамиды равна a
= 7 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Так как по условиям задачи мы знаем длины всех необходимых элементов, найдем периметр. Помним, что в правильном треугольнике все стороны равны, а, следовательно, периметр рассчитывается по формуле:

Подставим данные и найдем значение:

Теперь, зная периметр, можем рассчитывать площадь боковой поверхности:

Чтобы применить формулу площади треугольной пирамиды для вычисления полного значения, необходимо найти площадь основания многогранника. Для этого используется формула :

Формула площади основания треугольной пирамиды может быть и другой. Допускается применение любого расчета параметров для заданной фигуры, но чаще всего это не требуется. Рассмотрим пример расчета площади основания треугольной пирамиды.

Задача: В правильной пирамиде сторона лежащего в основании треугольника равняется a
= 6 см. Рассчитайте площадь основания.
Для вычисления нам требуется только длина стороны правильного треугольника, располагающегося в основании пирамиды. Подставим данные в формулу:

Довольно часто требуется найти полную площадь многогранника. Для этого потребуется сложить площадь боковой поверхности и основания.

Рассмотрим пример расчета площади треугольной пирамиды.

Задача: пусть дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания равна b
= 4 см, апофема a
= 6 см. Найдите полную площадь пирамиды.
Для начала найдем площадь боковой поверхности по уже известной формуле. Рассчитаем периметр:

Подставляем данные в формулу:
Теперь найдем площадь основания:
Зная площадь основания и боковой поверхности, найдем полную площадь пирамиды:

При расчете площади правильной пирамиды стоит не забывать о том, что в основании лежит правильный треугольник и многие элементы этого многогранника равны между собой.

При подготовке к ЕГЭ по математике учащимся приходится систематизировать знания по алгебре и геометрии. Хочется объединить все известные сведения, например, о том, как вычислить площадь пирамиды. Причем начиная от основания и боковых граней до площади всей поверхности. Если с боковыми гранями ситуация ясна, так как они являются треугольниками, то основание всегда разное.

Как быть при нахождении площади основания пирамиды?

Оно может быть совершенно любой фигурой: от произвольного треугольника до n-угольника. И это основание, кроме различия в количестве углов, может являться правильной фигурой или неправильной. В интересующих школьников заданиях по ЕГЭ встречаются только задания с правильными фигурами в основании. Поэтому речь будет идти только о них.

Правильный треугольник

То есть равносторонний. Тот, у которого все стороны равны и обозначены буквой «а». В этом случае площадь основания пирамиды вычисляется по формуле:

S = (а 2 * √3) / 4.

Квадрат

Формула для вычисления его площади самая простая, здесь «а» — снова сторона:

Произвольный правильный n-угольник

У стороны многоугольника то же обозначение. Для количества углов используется латинская буква n.

S = (n * а 2) / (4 * tg (180º/n)).

Как поступить при вычислении площади боковой и полной поверхности?

Поскольку в основании лежит правильная фигура, то все грани пирамиды оказываются равными. Причем каждая из них является равнобедренным треугольником, поскольку боковые ребра равны. Тогда для того, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды, потребуется формула, состоящая из суммы одинаковых одночленов. Число слагаемых определяется количеством сторон основания.

Площадь равнобедренного треугольника вычисляется по формуле, в которой половина произведения основания умножается на высоту. Эта высота в пирамиде называется апофемой. Ее обозначение — «А». Общая формула для площади боковой поверхности выглядит так:

S = ½ Р*А, где Р — периметр основания пирамиды.

Бывают ситуации, когда не известны стороны основания, но даны боковые ребра (в) и плоский угол при ее вершине (α). Тогда полагается использовать такую формулу, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды:

S = n/2 * в 2 sin α.

Задача № 1

Условие.
Найти общую площадь пирамиды, если в его основании лежит со стороной 4 см, а апофема имеет значение √3 см.

Решение.
Его начинать нужно с расчета периметра основания. Поскольку это правильный треугольник, то Р = 3*4 = 12 см. Поскольку апофема известна, то можно сразу вычислить площадь всей боковой поверхности: ½*12*√3 = 6√3 см 2 .

Для треугольника в основании получится такое значение площади: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 см 2 .

Для определения всей площади потребуется сложить два получившихся значения: 6√3 + 4√3 = 10√3 см 2 .

Ответ.
10√3 см 2 .

Задача № 2

Условие
. Имеется правильная четырехугольная пирамида. Длина стороны основания равна 7 мм, боковое ребро — 16 мм. Необходимо узнать площадь ее поверхности.

Решение.
Поскольку многогранник — четырехугольный и правильный, то в его основании лежит квадрат. Узнав площади основания и боковых граней, удастся сосчитать площадь пирамиды. Формула для квадрата дана выше. А у боковых граней известны все стороны треугольника. Поэтому можно использовать формулу Герона для вычисления их площадей.

Первые расчеты просты и приводят к такому числу: 49 мм 2 . Для второго значения потребуется вычислить полупериметр: (7 + 16*2):2 = 19,5 мм. Теперь можно вычислять площадь равнобедренного треугольника: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 мм 2 . Таких треугольников всего четыре, поэтому при подсчете итогового числа потребуется его умножить на 4.

Получается: 49 + 4*54,644 = 267,576 мм 2 .

Ответ
. Искомое значение 267,576 мм 2 .

Задача № 3

Условие
. У правильной четырехугольной пирамиды необходимо вычислить площадь. В ней известна сторона квадрата — 6 см и высота — 4 см.

Решение.
Проще всего воспользоваться формулой с произведением периметра и апофемы. Первое значение найти просто. Второе немного сложнее.

Придется вспомнить теорему Пифагора и рассмотреть Он образован высотой пирамиды и апофемой, которая является гипотенузой. Второй катет равен половине стороны квадрата, поскольку высота многогранника падает в его середину.

Искомая апофема (гипотенуза прямоугольного треугольника) равна √(3 2 + 4 2) = 5 (см).

Теперь можно вычислять искомую величину: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2).

Ответ.
96 см 2 .

Задача № 4

Условие.
Дана правильная Стороны ее основания равны 22 мм, боковые ребра — 61 мм. Чему равна площадь боковой поверхности этого многогранника?

Решение.
Рассуждения в ней такие же, как были описаны в задаче №2. Только там была дана пирамида с квадратом в основании, а теперь это шестиугольник.

Первым делом вычисляется площадь основания по указанной выше формуле: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см 2 .

Теперь необходимо узнать полупериметр равнобедренного треугольника, который является боковой гранью. (22+61*2):2 = 72 см. Осталось по формуле Герона сосчитать площадь каждого такого треугольника, а потом умножить ее на шесть и сложить с той, что получилась для основания.

Расчеты по формуле Герона: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 см 2 . Вычисления, которые дадут площадь боковой поверхности: 660*6 = 3960 см 2 . Осталось их сложить, чтобы узнать всю поверхность: 5217,47≈5217 см 2 .

Ответ.
Основания — 726√3 см 2 , боковой поверхности — 3960 см 2 , вся площадь — 5217 см 2 .

Пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник, а боковые стороны образуются правильными треугольниками, называется шестиугольной
.

Этот многогранник отличается множеством свойств:

  • Все стороны и углы основания равны между собой;
  • Все ребра и двугранные угля пирамиды также равны между собой;
  • Треугольники, образующие боковые стороны одинаковы, соответственно, у них одинаковые площади, стороны и высоты.

Для расчета площади правильной шестиугольной пирамиды применяется стандартная формула площади боковой поверхности шестиугольной пирамиды:

где P
– периметр основания, a
– длина апофемы пирамиды. В большинстве случаев можно рассчитать боковую площадь по этой формуле, однако иногда можно воспользоваться и другим методом. Так как боковые грани пирамиды образованы равными треугольниками, можно найти площадь одного треугольника, а потом умножить его на количество боковых сторон. В шестиугольной пирамиде их 6. Но этот способ можно применять и при расчете .Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности шестиугольной пирамиды.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида, в которой апофема равна a
= 7 см, сторона основания b
= 3 см. Рассчитайте площадь боковой поверхности многогранника.
Для начала найдем периметр основания. Так как пирамида правильная – в ее основании лежит правильный шестиугольник. Значит, все его стороны равны, а периметр рассчитывается по формуле:
Подставляем данные в формулу:
Теперь можем легко найти площадь боковой поверхности, подставив найденное значение в основную формулу:

Также немаловажным моментом является поиск площади основания. Формула площади основания шестиугольной пирамиды выводится из свойств правильного шестиугольника:

Рассмотрим пример расчета площади основания шестиугольной пирамиды, взяв за основу условия из прошлого примера.Из них мы знаем, что сторона основания b
= 3 см. Подставим данные в формулу:

Формула площади шестиугольной пирамиды представляет собой сумму площади основания и боковой развертки:

Рассмотрим пример расчета площади шестиугольной пирамиды.

Пусть дана пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной b
= 4 см. Апофема заданного многогранника равна a
= 6 см. Найдите полную площадь.
Мы знаем, что полная площадь состоит из площадей основания и боковой развертки. Поэтому для начала найдем их. Рассчитаем периметр:

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

Далее рассчитываем площадь основания, в котором лежит правильный шестиугольник:

Теперь можем сложить получившиеся результаты:

Определение.
Боковая грань
— это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Определение.
Боковые ребра
— это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Определение.
Высота пирамиды
— это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Определение.
Апофема
— это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.

Определение.
Диагональное сечение
— это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение.
Правильная пирамида
— это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.

Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула.
Объём пирамиды
через площадь основы и высоту:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n
, где n
— это количество углов в основании пирамиды.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение.
Усеченная пирамида (пирамидальная призма)
— это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.

Определение.
Треугольная пирамида (четырехгранник)
— это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол
.

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника
(GM).

Бимедианой
называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Определение.
Наклонная пирамида
— это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.

Определение.
Прямоугольная пирамида
— это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение.
Остроугольная пирамида
— это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Определение.
Тупоугольная пирамида
— это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Определение.
Правильный тетраэдр
— четырехгранник у которого все четыре грани — равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение.
Прямоугольный тетраэдр
называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол
и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Определение.
Равногранный тетраэдр
называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание — правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Определение.
Ортоцентричный тетраэдр
называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.

Определение.
Звездная пирамида
называется многогранник у которого основой является звезда.

Определение.
Бипирамида
— многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

Вычисление площади боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды: формулы и примеры задач

– это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной.

Если в основании лежит квадрат, то пирамиду называется четырехугольной
, если треугольник – то треугольной
. Высота пирамиды проводится из ее вершины перпендикулярно основанию. Также для расчета площади используется апофема
– высота боковой грани, опущенная из ее вершины.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей ее боковых граней, которые равны между собой. Однако этот способ расчета применяется очень редко. В основном площадь пирамиды рассчитывается через периметр основания и апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида с основанием ABCDE
и вершиной F
. AB
=BC
=CD
=DE
=EA
=3 см. Апофема a
= 5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Найдем периметр. Так как все грани основания равны, то периметр пятиугольника будет равен:
Теперь можно найти боковую площадь пирамиды:

Площадь правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида состоит из основания, в котором лежит правильный треугольник и трех боковых граней, которые равны по площади.
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды может быть рассчитана разными способами. Можно применить обычную формулу расчета через периметр и апофему, а можно найти площадь одной грани и умножить ее на три. Так как грань пирамиды – это треугольник, то применим формулу площади треугольника. Для нее потребуется апофема и длина основания. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Дана пирамида с апофемой a
= 4 см и гранью основания b
= 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Для начала находим площадь одной из боковых граней. В данном случае она будет:
Подставляем значения в формулу:
Так как в правильной пирамиде все боковые стороны одинаковы, то площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей трех граней. Соответственно:

Площадь усеченной пирамиды

Усеченной
пирамидой называется многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований на апофему:

Пирамида
— одна из разновидностей многогранника, образованного из многоугольников и треугольников, которые лежат в основании и являются его гранями.

Причем на вершине пирамиды (т.е. в одной точке) все грани объединяются.

Для того чтобы вычислить площадь пирамиды, стоит определить, что ее боковая поверхность состоит из нескольких треугольников. А их площади мы сможем легко найти, применяя

различные формулы. В зависимости от того, какие данные треугольников нам известны, мы ищем их площадь.

Перечислим некоторые формулы, с помощью которых можно найти площадь треугольников:

  1. S = (a*h)/2


    . В данном случае нам известна высота треугольника h


    , которая опущена на сторону a


    .
  2. S = a*b*sinβ


    . Здесь стороны треугольника a


    , b


    , а угол между ними —
    β


    .
  3. S = (r*(a + b + c))/2


    . Здесь стороны треугольника a, b, c


    . Радиус окружности, которая вписана в треугольник — r


    .
  4. S = (a*b*c)/4*R


    . Радиус, описанной окружности вокруг треугольника —
    R


    .
  5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R


    . Данную формулу нужно применять только в том случае, когда треугольник является прямоугольным.
  6. S = (a²*√3)/4


    . Эту формулу применяем к равностороннему треугольнику.

Лишь после того, как рассчитаем площади всех треугольников, которые являются гранями нашей пирамиды, можно вычислить площадь ее боковой поверхности. Для этого будем использовать выше перечисленные формулы.

Для того чтобы вычислить площадь боковой поверхности пирамиды, никаких сложностей не возникает: нужно узнать сумму площадей всех треугольников. Выразим это формулой:

Sп = ΣSi

Здесь Si


является площадью первого треугольника, а S


п



площадь боковой поверхности пирамиды.

Рассмотрим на примере. Дана правильная пирамида, ее боковые грани образованы несколькими равносторонними треугольниками,

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей
».

Галилео Галилей.

а квадрат является основанием пирамиды. Причем ребро пирамиды имеет длину 17 см. Найдем площадь боковой поверхности данной пирамиды.

Рассуждаем так: нам известно, что гранями пирамиды являются треугольники, они равносторонние. Также нам известно, какова длина ребра у данной пирамиды. Отсюда выходит, что все треугольники имеют равные боковые стороны, их длина 17 см.

Для вычисления площади каждого из данных треугольников, можно использовать такую формулу:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 см²

Так, как мы знаем, что квадрат лежит в основании пирамиды, то выходит, что мы имеем четыре равносторонних треугольника. А это значит, что площадь боковой поверхности пирамиды легко рассчитать по следующей формуле: 125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Наш ответ следующий: 500.548 см² — такова площадь боковой поверхности данной пирамиды.

– это фигура, в основании которой лежит произвольный многоугольник, а боковые грани представлены треугольниками. Их вершины лежат в одной точке и соответствуют вершине пирамиды.

Пирамида может быть разнообразной – треугольной, четырехугольной, шестиугольной и т.д. Ее название можно определить в зависимости от количества углов, прилегающих к основанию.
Правильной пирамидой
называется пирамида, в которой равны стороны основания, углы, и ребра. Также в такой пирамиде будет равна площадь боковых граней.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей всех ее граней:
То есть, чтобы рассчитать площадь боковой поверхности произвольной пирамиды, необходимо найти площадь каждого отдельного треугольника и сложить их между собой. Если пирамида усеченная, то ее грани представлены трапециями. Для правильной пирамиды существует другая формула. В ней площадь боковой поверхности рассчитывается через полупериметр основания и длину апофемы:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.
Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания b
= 6 см, а апофема a
= 8 см. Найдите площадь боковой поверхности.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Для начала найдем его периметр:

Теперь можем просчитать площадь боковой поверхности нашей пирамиды:

Для того чтобы найти полную площадь многогранника, потребуется найти площадь его основания. Формула площади основания пирамиды может отличаться, в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании. Для этого используются формулы площади треугольника, площади параллелограмма
и т.д.

Рассмотри пример расчета площади основания пирамиды, заданной нашими условиями. Так как пирамида правильная, в ее основании лежит квадрат.
Площадь квадрата
рассчитывается по формуле: ,
где a – сторона квадрата. У нас она равна 6 см. Значит площадь основания пирамиды:

Теперь остается только найти полную площадь многогранника. Формула площади пирамиды состоит из суммы площади ее основания и боковой поверхности.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Перед изучением вопросов о данной геометрической фигуре и её свойствах, следует разобраться в некоторых терминах. Когда человек слышит о пирамиде, ему представляются большущие постройки в Египте. Так выглядят самые простые из них. Но они бывают разных видов и форм, а значит и формула вычисления для геометрических фигур будет разной.

Виды фигуры

Пирамида – геометрическая фигура
, обозначающая и представляющая собой несколько граней. По сути – это тот же многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а по бокам расположены треугольники, соединяющиеся в одной точке – вершине. Фигура бывает двух основных видов:

  • правильная;
  • усечённая.

В первом случае, в основании лежит правильный многоугольник. Тут все боковые поверхности равны
между собой и сама фигура порадует глаз перфекциониста.

Во втором случае, оснований два — большое в самом низу и малое между вершиной, повторяющее форму основного. Иными словами – усечённая пирамида представляет собой многогранник с сечением, образованным параллельно основанию.

Термины и обозначения

Основные термины:

  • Правильный (равносторонний) треугольник
    – фигура с тремя одинаковыми углами и равными сторонами. В этом случае все углы имеют 60 градусов. Фигура является простейшей из правильных многогранников. Если эта фигура лежит в основании, то такой многогранник будет называться правильной треугольной. Если в основании лежит квадрат, пирамида будет называться правильной четырёхугольной пирамидой.
  • Вершина
    – самая верхняя точка, где сходятся грани. Высота вершины образуется прямой линией, исходящей от вершины к основанию пирамиды.
  • Грань
    – одна из плоскостей многоугольника. Она может быть в виде треугольника в случае с треугольной пирамидой либо в виде трапеции для усечённой пирамиды.
  • Сечение
    – плоская фигура, образующаяся в результате рассечения. Не стоит путать с разрезом, так как разрез показывает и то, что находится за сечением.
  • Апофема
    – отрезок, проведённый из вершины пирамиды к её основанию. Он также является высотой той грани, где находится вторая точка высоты. Данное определение справедливо лишь по отношению к правильному многограннику. К примеру – если это не усечённая пирамида, то грань будет представлять собой треугольник. В данном случае высота этого треугольника и станет апофемой.

Формулы площади

Находить площадь боковой поверхности пирамиды
любого типа можно несколькими способами. Если фигура не симметричная и представляет собой многоугольник с разными сторонами, то в данном случае легче вычислить общую площадь поверхности через совокупность всех поверхностей. Иными словами – надо посчитать площадь каждой грани и сложить их вместе.

В зависимости от того, какие параметры известны, могут потребоваться формулы вычисления квадрата, трапеции, произвольного четырёхугольника и т.д. Сами формулы в разных случаях
тоже будут иметь отличия.

В случае с правильной фигурой находить площадь намного проще. Достаточно знать всего несколько ключевых параметров. В большинстве случаев требуются вычисления именно для таких фигур. Поэтому далее будут приведены соответствующие формулы. В противном случае пришлось бы расписать всё на несколько страниц, что только запутает и собьёт с толку.

Основная формула для вычисления
площади боковой поверхности правильной пирамиды будет иметь следующий вид:

S=½ Pa (P – периметр основания, а – апофема)

Рассмотрим один из примеров. Многогранник имеет основание с отрезками A1, А2, А3, А4, А5, и все они равны 10 см. Апофема пусть будет равна 5 см. Для начала надо найти периметр. Так как все пять граней основания одинаковые, можно находить так: Р=5*10=50 см. Далее применяем основную формулу: S =½*50*5=125 см в квадрате.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды
вычислить легче всего. Формула имеет следующий вид:

S =½* ab *3, где а – апофема, b – грань основания. Множитель тройки здесь означает количество граней основания, а первая часть – площадь боковой поверхности. Рассмотрим пример. Дана фигура с апофемой 5 см и гранью основания 8 см. Вычисляем: S =1/2*5*8*3=60 см в квадрате.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды
вычислять немного сложнее. Формула выглядит так: S =1/2*(p _01+ p _02)*a , где р_01 и р_02 являются периметрами оснований, а – апофема. Рассмотрим пример. Допустим, для четырёхугольной фигуры даны размеры сторон оснований 3 и 6 см, апофема равна 4 см.

Тут для начала следует найти периметры оснований: р_01 =3*4=12 см; р_02=6*4=24 см. Осталось подставить значения в основную формулу и получим: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 см в квадрате.

Таким образом, можно найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды любой сложности. Следует быть внимательным и не путать
эти вычисления с полной площадью всего многогранника. А если это всё же понадобится сделать – достаточно вычислить площадь самого большого основания многогранника и прибавить её к площади боковой поверхности многогранника.

Видео

Закрепить информацию о том, как найти площадь боковой поверхности разных пирамид, вам поможет это видео.

Площадь пирамиды

В

боковой

площадь поверхности


регулярного

пирамида

— сумма площадей его боковых граней.

В

общая площадь правильной пирамиды

— сумма площадей его боковых граней и основания.

Общая формула для

площадь боковой поверхности

правильной пирамиды

L

.S

.

А

.

знак равно

1

2

п

л

куда

п

представляет периметр основания и

л

наклонная высота.


Пример 1:

Найдите площадь боковой поверхности правильной пирамиды с треугольным основанием, если каждое ребро основания имеет размер

8

дюймов и наклонная высота

5

дюймы.

Периметр основания складывается из сторон.

п

знак равно

3

(

8

)

знак равно

24

дюймы

L

.

S

.

знак равно

1

2

(

24

)

(

5

)

знак равно

60

дюймы

2

Общая формула для

общая площадь поверхности

правильной пирамиды

Т

.S

.

А

.

знак равно

1

2

п

л

+

B

куда

п

представляет периметр основания,

л

наклонная высота и

B

площадь основания.


Пример 2:

Найдите общую площадь поверхности правильной пирамиды с квадратным основанием, если каждое ребро основания имеет размер

16

дюймов, наклонная высота стороны составляет

17

дюймов и высота

15

дюймы.

Периметр основания равен

4

s

так как это квадрат.

п

знак равно

4

(

16

)

знак равно

64

дюймы

Площадь базы составляет

s

2

.

B

знак равно

16

2

знак равно

256

дюймы

2

Т

.

S

.

А

.знак равно

1

2

(

64

)

(

17

)

+

256

знак равно

544

+

256

знак равно

800

дюймы

2

Не существует формулы для площади поверхности неправильной пирамиды, поскольку не определена наклонная высота.Чтобы найти
области, найдите площадь каждой грани и площадь основания и сложите их.

Видео с вопросом: Определение периметра основания пирамиды с учетом ее объема и высоты

Стенограмма видео

Учитывая, что квадратная пирамида имеет
объемом 372 кубических сантиметра и высотой 31 сантиметр определяют
периметр его основания.

Итак, давайте смоделируем нашу квадратную пирамиду.
объемом 372 кубических сантиметра. Рост 31 сантиметр относится к
к высоте перпендикуляра пирамиды. Нас просят разработать
периметр основания этой квадратной пирамиды. Это расстояние на всем пути
вокруг снаружи.

Давайте посмотрим, что мы знаем о
объем пирамиды. Напомним, что объем
пирамида равна одной трети, умноженной на площадь основания, умноженную на
высота.Это не поможет нам напрямую в работе
по периметру. Но если бы мы могли проработать область
базы, мы могли бы продолжить работу по периметру. Итак, начнем с заполнения поля
информация, которую мы знаем в этой формуле.

Это даст нам 372 — это
объем пирамиды — равен 1/3 площади основания, умноженной на 31, что
высота пирамиды. Мы можем упростить правую часть
записав треть, умноженную на 31, как 31 на три.Затем мы хотим изолировать область
основание, поэтому мы выполняем операцию, обратную умножению на 31 на три. И это разделить на 31 больше
три, то есть умножить на три больше 31. Итак, у нас 372 раза три больше 31
равна площади основания.

Затем мы можем оценить это без
калькулятор, заметив, что 31 переходит в 372 12 раз. Это означает, что площадь основания
равно 12 умноженным на три, что составляет 36 квадратных сантиметров.Итак, теперь, когда мы разработали
площадь квадрата на основании, мы можем использовать это, чтобы определить длину сторон
и, следовательно, рассчитать периметр.

Итак, если длина наших сторон составляет на
𝑥, это означает, что площадь 𝑥 в квадрате будет равна 36. Следовательно, длина 𝑥 равна
к квадратному корню из 36, что составляет шесть сантиметров. Итак, периметр, который
расстояние вокруг внешней стороны этого квадрата равно шести плюс шесть плюс шесть плюс
шесть, что составляет 24 сантиметра.

Пирамиды

Когда мы думаем о пирамидах, мы думаем о Великих пирамидах Египта .

На самом деле это Квадратные пирамиды , потому что их основание — Квадрат.

Части пирамиды

Пирамида создается путем соединения основания с вершиной

Основание — многоугольник (плоский с прямыми краями), а все остальные грани — треугольники.Никаких кривых!

Типы пирамид

Есть много типов пирамид, и они названы в честь формы их основания.

Пролетите здесь через пирамиды.

Правая и наклонная пирамида

Это говорит нам, где находится вершина (вершина) пирамиды. Когда вершина находится прямо над центром основания, это правая пирамида , в противном случае — наклонная пирамида .

Правая пирамида Наклонная пирамида

Обычная пирамида и неправильная пирамида

Это говорит нам о форме основания .Когда основание представляет собой правильный многоугольник, это правильная пирамида , в противном случае это неправильная пирамида .

Правильная пирамида Неправильная пирамида
База стандартная База нестандартная

Площадь и объем

Объем пирамиды

  • 1 / 3 × [Базовая площадь] × Высота

Площадь пирамиды

Если все боковые грани одинаковые:

  • [Базовая область] +
    1 / 2 × периметр × [наклонная длина]

Если боковые грани разные:

  • [Базовая область] + [Боковая область]

Примечания к площади поверхности

Площадь поверхности состоит из двух частей: площади основания ( Базовая область ) и площади боковых граней ( Боковая область ).

Для Базовая область :

Это зависит от формы, существуют разные формулы для треугольника, квадрата и т. Д. См. Формулы «Площадь» или наш Инструмент расчета площади

Для Боковая зона :

Когда все боковые грани одинаковые:

  • Умножьте периметр на «длину наклона» и разделите на 2. Это потому, что боковые грани всегда являются треугольниками, а формула треугольника: дюймов на высоту, деленную на 2 »

Но когда боковые грани разные (например, «неправильная» пирамида), мы должны сложить площадь каждого треугольника, чтобы найти общую боковую площадь.

Площадь треугольной пирамиды

Площадь поверхности треугольной пирамиды — это общая площадь всех сторон и граней треугольной пирамиды. По сути, треугольная пирамида имеет треугольное основание и ограничена тремя боковыми треугольными гранями, которые встречаются в одной вершине. У треугольной пирамиды все грани как треугольники. У этой пирамиды 4 грани, 6 ребер и 4 угла или вершины. Ниже приведены несколько типов треугольной пирамиды:

  • Правильная треугольная пирамида все грани представляют собой равносторонние треугольники и известны как тетраэдры.
  • Правотреугольная пирамида основание — равносторонний треугольник, а остальные грани — равнобедренные треугольники.
  • Неправильная треугольная пирамида В основе лежит разносторонний или равнобедренный треугольник.

Какова площадь поверхности треугольной пирамиды?

Площадь поверхности любой трехмерной геометрической формы — это сумма площадей всех граней или поверхностей этого замкнутого твердого тела.У треугольной пирамиды четыре треугольных грани. Таким образом, формула для расчета площади поверхности треугольной пирамиды включает площадь основания, периметр основания и высоту наклона любой стороны пирамиды. Площадь поверхности всегда измеряется в квадратных единицах, таких как см2, м2, фут2 или кубит2. Площадь поверхности треугольной пирамиды равна \ (\ begin {align} \ text {Base Area} + \! \ Frac {1} {2} \ text {(Perimeter} \! \ Times \! \ Text {Slant Height} ) \ end {align} \).

Площадь поверхности формулы треугольной пирамиды

Формула площади поверхности треугольной пирамиды вычисляется путем сложения площадей всех треугольных граней пирамиды.Площадь поверхности формулы прямоугольной пирамиды равна \ (\ begin {align} \ text {Base Area} + \! \ Frac {1} {2} \ text {(Perimeter} \! \ Times \! \ Text {Slant Высота}) \ end {align} \).

После выставления значений получаем выражение площади поверхности формулы треугольной пирамиды как 1⁄2 (a × b) + 3⁄2 (b × s)

Где,

  • b — сторона треугольной пирамиды.
  • a — высота базового треугольника
  • с — наклонная высота треугольной пирамиды.
  • 1⁄2 (a × b) — площадь основания треугольных граней.
  • 3⁄2 (b × s) — произведение периметра и высоты наклона пирамиды.

Как рассчитать площадь поверхности треугольных пирамид?

Площадь поверхности треугольной пирамиды может быть вычислена путем представления трехмерной формы в двумерную сеть, чтобы формы было легче увидеть. После расширения трехмерной формы до двухмерной формы мы получим четыре треугольника.
Для вычисления площади поверхности треугольной пирамиды используются следующие шаги:

  • Чтобы найти площадь базовых треугольников: Площадь базовых треугольников равна (1/2 × основание треугольника × высота треугольника), которая становится основанием × высотой.
  • Чтобы найти периметр треугольных граней: Периметр треугольника равен сумме всех сторон треугольника, который равен \ ((сторона) _ {1} \) + \ ((сторона) _ {2} \) + \ ((сторона) _ {3} \).
  • Чтобы найти наклонную высоту треугольных граней: Наклонная высота треугольной пирамиды обычно обозначается буквой «s».
  • Сложите все области вместе.
  • Таким образом, площадь поверхности формулы треугольной пирамиды равна 1⁄2 (a × b) + 3⁄2 (b × s) в квадратах.

Площадь боковой поверхности треугольной пирамиды

Площадь боковой поверхности — это площадь неосновных граней, или мы можем сказать, что только площадь боковой поверхности любого объекта вычисляется путем удаления базовой площади.Боковую площадь треугольной пирамиды можно рассчитать, удалив площадь основания треугольника с произведением периметра основания и высоты наклона пирамиды.

Таким образом, площадь боковой поверхности прямоугольной треугольной пирамиды равна 1⁄2 (периметр основания × наклонная высота), которая в дальнейшем становится 3⁄2 (сторона × наклонная высота).

Где,

  • b — сторона пирамиды.
  • с — наклонная высота основания.

Прямоугольная пирамида | Блог по математике ∞

Когда вы входите в мир трехмерных форм, математика приобретает совершенно новый уровень глубины.Некоторым может быть сложно найти объем простых, обычных форм, но когда вы начинаете строить их в направлении вверх и наружу, процесс становится еще более сложным. Пирамиды — одни из самых известных трехмерных фигур. Хотя вы найдете множество типов с любым количеством треугольных граней, мы пока сосредоточимся на прямоугольных пирамидах.

Определение объема прямоугольной пирамиды

Прямоугольные пирамиды имеют четырехсторонние основания и четыре треугольные стороны, соединяющиеся в вершине, или то, что мы называем более простым заостренным концом.Ваша общая формула для определения объема этих многогранных форм: V = (l x w x h) / 3. По сути, ваш первый шаг — найти площадь основания, умножив длину на ширину.

После определения площади основания умножьте ее на высоту. Высота — это расстояние от центральной точки основания до вершины. Умножив площадь основания на высоту, вы разделите свой ответ на три, чтобы получить объем. Вот пример прямоугольной пирамиды и некоторые примеры измерений:

Начните с основной формулы, введите данные измерения и действуйте осторожно.

V = (длина x ширина x высота) / 3

В = (9 х 7 х 15) / 3

В = (63 х 15) / 3

В = 945/3

V = 315 футов 3

Вы также можете увидеть формулу, записанную как: V = 1/3 Bh. Это просто означает, что вы умножаете основание на высоту и делите на три, что является одним и тем же процессом. Имейте в виду, что оба варианта работают и для квадратных пирамид, поскольку квадраты являются типами прямоугольников.

В некоторых случаях вам может потребоваться определить высоту пирамиды, прежде чем вы сможете рассчитать ее объем.Допустим, вам дана наклонная высота пирамиды, то есть расстояние от вершины до центра одной из треугольных граней. Это немного усложняет задачу, но отнюдь не делает невозможным. Вот пример:

Имейте в виду, что линия, представляющая высоту, проходит от вершины к центру основания и образует угол 90 градусов у основания пирамиды. Это делает треугольник, образованный высотой, наклонной высотой и основанием, правильным, поэтому вы можете использовать теорему Пифагора (a 2 + b 2 = c 2 ), чтобы найти недостающее число.Ваша гипотенуза, или сторона «c», самая длинная, она всегда находится прямо напротив угла 90 градусов в прямоугольном треугольнике.

Мы еще не знаем высоту или сторону «А». Поскольку базовое измерение, которое будет использоваться здесь, составляет три фута, высота от центра до наклона будет равна 1,5. Это будет твоя сторона «б». Вот процесс определения недостающей высоты:

a 2 + b 2 = c 2

а 2 + 1,5 2 = 10 2

а 2 + 2.25 = 100

а 2 + 2,25 — 2,25 = 100 — 2,25

а 2 = 97,75

а ≈ 9,9

Зная, что высота вашей пирамиды почти равна 9,9, вы можете, как обычно, вычислить ее объем.

Учитывая размеры основания и высоту прямоугольной пирамиды, вы можете решить, чтобы найти ее объем. Если у вас есть наклонная высота, но не фактическая высота, позвольте Пифагору помочь вам, прежде чем вы попытаетесь решить для «V». Оттачиваете ли вы свои геометрические навыки или готовитесь к поездке в Гизу, вы будете готовы найти объем любой прямоугольной пирамиды на своем пути!

Правильные пирамиды

Правильная пирамида — это пирамида, основание которой представляет собой правильный многоугольник, а все боковые стороны равны по длине.Пирамида названа по ее основанию. На рисунке показаны некоторые примеры правильных пирамид.

Рисунок 1 Некоторые различные типы правильных пирамид.

Боковые грани правильной пирамиды — равнобедренные равнобедренные треугольники. Высота любого из этих треугольников равна наклонной высоте правильной пирамиды. Рисунок 2 представляет собой квадратную пирамиду.

Рисунок 2 Квадратная пирамида.

Пирамиды также имеют боковую площадь, общую площадь и объем.

Теорема 93 : Боковая площадь, LA , правильной пирамиды с наклонной высотой l и периметром основания p определяется следующим уравнением.

Пример 1: Найдите боковую площадь квадратной пирамиды, показанной на рисунке 3.

Рисунок 3 Определение боковой площади, общей площади и объема квадратной пирамиды.

Поскольку пирамида имеет только одно основание, ее общая площадь складывается из площади боковой поверхности и площади основания.

Теорема 94: Общая площадь, TA , правильной пирамиды с боковой площадью LA и площадью основания B определяется следующим уравнением.

Пример 2: Найдите общую площадь правильной пирамиды, показанной на рисунке.

Основание правильной пирамиды — квадрат . A квадрат = (сторона) 2 . Следовательно, B = 16 2 дюйм 2 или B = 256 дюйм 2 .

Из предыдущего примера

Теорема 95: Объем V правильной пирамиды с площадью основания B и высотой h определяется следующим уравнением.

Пример 3: Найдите объем правильной пирамиды, показанной на рисунке.

Из предыдущего примера B = 256 из 2 . На рисунке показано, что h = 6 дюймов.

Калькулятор площади поверхности треугольной пирамиды

Калькулятор площади поверхности треугольной пирамиды

Калькулятор площади поверхности треугольной пирамиды выполняет все вычисления, связанные с пирамидой, как профессионал. Не имеет значения, хотите ли вы найти площадь поверхности, объем, площадь основания, ширину основания или длину основания. Он предлагает универсальное решение для всех расчетов пирамиды.

Что такое пирамида?

Пирамида — это твердый объект, имеющий многоугольное основание, треугольные стороны которого пересекаются наверху.Пирамида — это трехмерная структура и многогранник.

Формула

Калькулятор площади пирамиды автоматически использует соответствующую формулу и рассчитывает площадь, объем, основание и другие термины соответственно.

Он составляет требуемую формулу во время выполнения после сбора значений, и поэтому можно с уверенностью сказать, что это также площадь поверхности калькулятора формул треугольной пирамиды.

Треугольная пирамида
Площадь основания (A) = ½ * a * s
Площадь поверхности пирамиды = A + ((3/2) sl)
Объем пирамиды = (1/6) abh
Где ,
a = длина апофемы
s = длина стороны
sl = наклонная высота пирамиды
abh площадь основания * высота

Если вы не хотите запутаться в уравнениях, калькулятор объема пирамиды может облегчить вам задачу. расчеты пирамиды.

Квадрат пирамида на основе
Площадь основания (A) [с²]
Поверхность Площадь квадратной пирамиды = [с² + 2sl]
Объем квадратной пирамиды = [(1/3) b²h]

Вышеуказанное уравнение можно использовать для расчета объема квадратной пирамиды.
Где,
s = длина стороны
sl = наклонная высота
b = основание
h = высота

Пятиугольник
Площадь основания: [(5/2) as]
Площадь поверхности пирамиды: [(5 / 2) as + (5/2) sl]
Объем пирамиды: [(5/6) abh]
Где
As = площадь длины стороны
sl = наклонная высота
abh площадь основания * высота

Шестиугольная Пирамида на основе
Площадь основания: [(6/2) as]
Площадь поверхности пирамиды: [3as + 3sl]
Объем пирамиды: [abh]
Где,
As = площадь длина стороны
sl = наклонная высота
abh площадь основания * высота

Пирамида — это многогранник с одной гранью в качестве основания, многоугольник, а все остальные грани треугольников встречаются в общей вершине многоугольника в качестве вершины.Это конструкция, в которой верхние поверхности имеют треугольную форму и сходятся в одной точке.

Калькулятор площади треугольной пирамиды

Хотите знать, как найти площадь поверхности пирамиды? Давайте найдем это шаг за шагом в этом разделе.

Найдите площадь, площадь поверхности и объем треугольной пирамиды с заданной длиной апофемы 2, стороной 3, высотой 4 и наклонной высотой 5.

Шаг 1: Найдите площадь основания.
Площадь основания (A) = ½ * a * s = 0.5 * 2 * 3 = 3 .

Шаг 2: Найдите площадь поверхности пирамиды.
Площадь поверхности пирамиды = A + ((3/2) sl) = 3 + ((3/2) * 3 * 5) = 3 + (1,5 * 15) = 3 + 22,5 = 25,5 .

Шаг 3: Найдите объем пирамиды.
Объем пирамиды = (1/6) abh = (1/6) * 2 * 3 * 4 = 0,17 * 24 = 4,08 .

Найдите площадь, площадь поверхности и объем правой квадратной (прямоугольной) пирамиды с заданной длиной стороны 3, высотой 4 и высотой наклона 5.

Шаг 1: Найдите площадь основания. (Вычисление правой квадратной пирамиды: найти a)
Площадь основания (A) [s²] = 32 = 9
Шаг 2: Найдите площадь поверхности пирамиды.
Площадь поверхности пирамиды = [s² + 2sl] = 32 + 2 * 5 = 9 + 10 = 9 + 2 * 5 * 3 = 9 + 30 = 39

Шаг 3: Найдите объем пирамиды. (Вычисление правой прямоугольной пирамиды: найти v)
Объем пирамиды = [(1/3) b²h] = [(1/3) * 92 * 4] = (1/3) * 9 * 4 = 36/3 = 12

Шаг 4: Найдите боковую площадь пирамиды.2) A_L = 3√ (73/4) + 3√ (73/4)
AL = 12,82 + 12,82 = 25,64

Найдите площадь, площадь поверхности и объем пятиугольной пирамиды с заданной длиной стороны апофемы 2, сторона 3, высота наклона 4 и высота 5.

Шаг 1: Найдите площадь основания.
Площадь основания: [(5/2) как] = [(5/2) 2 * 3] = 5/2 * 6 = 2,5 * 6 = 15

Найдите площадь поверхности пирамиды.
Площадь поверхности пирамиды: [(5/2) as + (5/2) sl] = 15+ (2,5 * 3 * 4) = 15+ (2,5 * 12) = 15 + 30 = 45

Найти объем пирамиды.
Объем пирамиды: [(5/6) abh] = (5/6) 2 * 3 * 5 = (5/6) * 30 = 0,833 * 30 = 25 \

Найдите площадь, площадь поверхности и объем Шестиугольная пирамида с заданной длиной апофемы стороны 2, стороной 3, высотой наклона 4 и высотой 5.

Шаг 1: Найдите площадь основания. Площадь основания: [(6/2) как] = [(6/2) 2 * 3 = (6/2) * 6 = 3 * 6 = 18

Найдите площадь поверхности пирамиды.
Площадь поверхности пирамиды: [3as + 3sl] = [(3 * 2 * 3) + (3 * 3 * 4)] = 18 + 36 = 54

Найдите объем пирамиды.
Объем пирамиды: [abh] = 2 * 3 * 5 = 30

FAQs

Как найти площадь поверхности квадратной пирамиды?

Площадь поверхности квадратной пирамиды может быть найдена с помощью следующего уравнения:

A = a (a + √ (a 2 + 4h 2 ))

Где a представляет длину стороны, и h — высота пирамиды.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.