Формула ньютона лейбница вычисления определенного интеграла: Формула Ньютона-Лейбница

Содержание

Курс по математическому анализу

Вашему вниманию предлагается курс по математическому анализу.

 

 

Наверх

1. Предел числовой последовательности.

Последовательность  — это функция, заданная на множестве натуральных чисел . Число  называется пределом последовательности , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такой номер, что для всех  c номерами  справедливо неравенство . Неравенство , эквивалентное неравенству , означает, что для любого существует такой номер , что все  c номерами расположены между и . Последовательность, предел которой — конечное число , называется сходящейся, и ее предел обозначают. Если изобразить элементы последовательности на плоскости точками с координатами  , то неравенства означают, что все точки  с номерами расположены между параллельными оси абсцисс прямыми и .

 

Бесконечно малая последовательность. Последовательность  , предел которой равен нулю , называется бесконечно малой.   

Бесконечно большая последовательность. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа  , как бы велико оно ни было, существует такой номер  , что для всех с номерамисправедливо неравенство  , записываем .

 

 

Наверх

2. Методы вычисления пределов последовательностей.

Пусть заданы две последовательности  и . Если существуют  и , то существуют и пределы суммы и произведения последовательностей, а при и предел частного, причем   ,        ,  . Для правильного применения этих теорем очень важно существование пределов каждой последовательности.

Неопределенности и их раскрытие.

Если    и  , то может существовать  . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа  . Также может существовать   , в этом случае имеем неопределенность типа  . Если   и  , то может существовать . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа   . Поскольку в перечисленных случаях не применимы теоремы о пределе суммы, произведения и частного, используют другие способы вычисления, которые называют методами раскрытия неопределенностей. Это, как правило, алгебраические преобразования, приводящие выражения к виду, при котором можно пользоваться упомянутыми теоремами.

 

 

Наверх

3. Предел функции в точке.

 

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки  , , , за исключением, быть может, самой точки  . Число  называется пределом функции  при , стремящемся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число  , что для всех   , удовлетворяющих неравенству  , справедливо неравенство . Говорят “предел функции  в точке  ” и обозначают  . Неравенство  для всех , эквивалентное неравенствам , , означают, что для любого существует такое , что для  график функции   расположен на плоскости в прямоугольнике . При вычислениях на компьютере мы имеем дело с дискретными значениями переменных. Поэтому удобнее пользоваться другим, эквивалентным приведенному, определением предела. А именно:  , если для любой, сходящейся к  последовательности значений аргумента , соответствующая последовательность значений функции  сходится к числу . Отсюда следует, в частности, что для любого существует такое , что для любой последовательности , сходящейся к , точки с координатами  находятся на плоскости внутри прямоугольника   . 

Бесконечно большие функции.

Если для любой последовательности  значений аргумента соответствующая последовательность значений функции бесконечно большая, то функция называется бесконечно большой в точке . Если  бесконечно большая в точке , то для любого положительного числа , как бы велико оно ни было, существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство ; обозначают  .

 

 

Наверх

4. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций.

Рассмотрим функцию, определенную в некоторой окрестности точки , ,  за исключением, быть может, самой точки . Функция  называется бесконечно малой при , стремящемся к , если . Если — бесконечно малая в точке , то для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число  , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство . Неравенства  для всех , эквивалентные неравенствам , , означают, что для любого существует такое , что для график функции расположен на плоскости в прямоугольнике . Важно, что слова “за исключением, быть может, самой точки ” означают, что нас не интересует сама эта точка. Это можно понять, если рассмотреть функцию.  При x, стремящемся к нулю, функция-таки стремится к нулю, независимо от того, какое значение она принимает в точке x=0. Следовательно, предел равен нулю и функция является бесконечно малой.   

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть и  — две функции, бесконечно малые в точке . Если , то говорят, что  более высокого порядка малости, чем и обозначают . Если же , то  более высокого порядка малости, чем ; обозначают . Бесконечно малые функции  и называются бесконечно малыми одного порядка малости, если  , обозначают  .  И, наконец, если   не существует, то бесконечно малые функции и  несравнимы.   

Эквивалентные бесконечно малые функции.

Если , то бесконечно малые функции и  называются эквивалентными, обозначают ~ .

 

 

Наверх

5. Методы вычисления пределов функций.

Пусть заданы две функции и . Если существуют  и  , то существуют и пределы суммы и произведения этих функций, а при и предел частного, причем        

,

,      

 .

Для правильного применения этих теорем очень важно существование пределов каждой функции. Не трудно доказать, что предел постоянной функции равен этой постоянной, то есть   . Из приведенных формул следует полезное утверждение: 

 , то есть постоянный множитель можно выносить за знак предела. Если сделать замену переменной , то вычисление предела при  всегда можно свести к вычислению предела при . Из определения непрерывной функции следует, что ее предел совпадает со значением функции в этой точке. Доказывают, что все элементарные функции непрерывны в области определения, поэтому, если функция определена, то вычисление предела сводится к применению указанных теорем и подстановке  в выражение для функции. 

 

Неопределенности и их раскрытие.

Существуют случаи, когда не применимы теоремы о пределах суммы, произведения, частного, но предел существует и может быть вычислен. Если  и   , то может существовать . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа . Также может существовать   , в этом случае имеем неопределенность типа   . Если   и   , то может существовать  .   В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа . Если     и   , то может существовать  — неопределенность типа  . Рассматривают также неопределенности типа , и т. д. Основным признаком неопределенности является невозможность корректного вычисления функции простой подстановкой в выражение для функции. Полезно запомнить замечательные пределы: 

      (е = 2.71828… — основание натуральных логарифмов) — неопределенность типа .

       — неопределенность типа .

Использование эквивалентных бесконечно малых.

Если мы имеем неопределенность типа    , то это означает, что мы вычисляем предел отношения двух бесконечно малых функций. Напомним, что функция называется бесконечно малой, если ее предел в точке  равен нулю. Пусть, , ,  — бесконечно малые функции при  , причем эквивалентна  , т.е. ~ , ~ (напомним, что две бесконечно малых называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1). Тогда, т.е. при вычислении пределов отношений бесконечно малых любую из них можно заменять на эквивалентную. 

Правило Лопиталя.

Неопределенности типа  или удобно раскрывать с помощью правила Лопиталя. Пусть  и  две бесконечно малые или бесконечно большие функции при  и существует предел отношения их производных при . Тогда  . Если в результате применения правила Лопиталя снова получится неопределенность, то его можно применить еще раз. 

 

Формула Тейлора.

Пусть функция имеет в точке  производные всех порядков до -го включительно. Тогда для    справедлива формула Тейлора:

где  называется остаточным членом формулы Тейлора.

 

 

Наверх

6. Непрерывность функции в точке, на отрезке.

Рассмотрим функцию , определенную на некотором промежутке . Функция  непрерывна в точке , если предел функции в точке  равен значению функции в этой точке,. 

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной на промежутке. Для функции, непрерывной на отрезке , справедливы следующие утверждения. 

Функция, непрерывная на отрезке  , достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. на отрезке  существуют точки  такие, что

Если функция  непрерывна на отрезке  и принимает на концах значения разных знаков, то на интервале  существует точка   , в которой функция обращается в нуль, т.е.   . Это утверждение применяют для отделения корней уравнений  с непрерывной левой частью — если найден отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков, то можно утверждать, что на этом отрезке есть хотя бы один корень уравнения.

Если функция   непрерывна на отрезке    , дифференцируема хотя бы на интервале  , то на интервале  существует точка , такая, что  . Это свойство называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

 

 

Наверх

7. Классификация точек разрыва

Рассмотрим функцию  , определенную на некотором промежутке . Функция непрерывна в точке , если предел функции в точке  равен значению функции в этой точке, . 

Односторонние пределы функции в точке.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной на промежутке. Если функция определена на промежутке , , то при исследовании поведения функции в окрестности точки  имеет смысл говорить о пределе функции  в точке  справа, а при исследовании в окрестности точки — о пределе функции в точке  слева. Число называется пределом справа функции при , стремящемся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число  , что для всех  , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство  . Говорят “предел справа функции в точке ” и обозначают . Аналогично говорят “предел слева функции в точке ” и обозначают , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство  . Для существования предела функции в точке, необходимо и достаточно, чтобы существовали и совпадали односторонние пределы функции в этой точке. По той же схеме вводится понятие непрерывности слева и непрерывности справа. Функция, определенная на отрезке , , непрерывна справа в точке , если и непрерывна слева в точке  , если. Для того чтобы функция была непрерывна в точке  необходимо и достаточно, чтобы односторонние пределы функции в точке совпадали со значением функции в этой точке:. Если хотя бы одно из равенств нарушается, говорят о разрыве в точке . 

Классификация разрывов.

Если хотя бы одно из равенств  нарушается, говорят о разрыве в точке . Если  и односторонние пределы конечны, то разрыв в точке называется устранимым. Если и оба односторонние пределы конечны, то говорят о скачке функции в точке . Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода. Так же, как для предела и непрерывности, говорят о разрыве слева и разрыве справа.

 

 

Наверх

8. Производная, ее вычисление, геометрический смысл.

Производная функции в точке — Пусть функция  определена на промежутке . Точка — произвольная точка из области определения функции,   — приращение функции в точке , вызванное приращением независимой переменной .  Производной функции по независимой переменной  в точке ,  называется предел отношения приращения функции к приращению  при стремлении  к нулю, т.е.   

,  

— производная функции в точке . 

Односторонние производные — Если определена при , то можно определить правую производную функции в точке :

Аналогично, если  определена при , определяется левая производная функции в точке :

 Функция  имеет в точке  производную тогда и только тогда, когда в точкесовпадают ее левая и правая производные:  . 

Секущая графика функции — Пусть — функция, определенная на промежутке . Прямая, проходящая через точки , , ,  называется секущей графика функции  . Угловой коэффициент  секущей равен   и ее уравнение имеет вид  . 

Касательная и нормаль к графику функции — Касательной к графику функции  в точке  называется предельное положение секущей, проходящей через точки  , , когда . Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке и ее уравнение имеет вид . Нормалью к графику функции  в точке называется прямая , проходящая через эту точку перпендикулярно касательной. Угловой коэффициент нормали равен    и ее уравнение имеет вид  .

 

 

Наверх

9. Производные сложных, обратных функций.

Пусть    — функция, дифференцируемая в точке  ,   — функция, дифференцируемая в точке   , причем  . Тогда   — сложная функция независимого переменного , дифференцируема в точке    и ее производная в этой точке вычисляется по формуле   .

Обычно    называют внешней функцией, а — внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.  

Производная обратной функции.

Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на . Пусть также в точке производная . Тогда в точке   определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к  , а ее производная вычисляется по формуле .

 

 

Наверх

10. Дифференцируемость, дифференциал.

Дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки  . Рассмотрим приращение функции в этой точке:  . Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно записать в виде , где — приращение независимой переменной, А – постоянная, не зависящая от , — бесконечно малая функция при . 

Дифференциал функции.

Дифференциалом функции  в точке называется линейная по  часть приращения . Дифференциал обозначается   , то есть  . Рассматривая функцию , нетрудно убедиться, что  , если  — независимая переменная. 

Связь дифференциала и производной.

Воспользуемся определением производной для дифференцируемой функции в точке : . Таким образом, дифференциал функции выражается формулой  , то есть для вычисления дифференциала необходимо лишь вычислить производную и умножить ее на  . Поэтому часто слова “вычисление производной” и “дифференцирование” считают синонимами. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная. 

 

 

Наверх

11. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производные высших порядков.

Рассмотрим функцию  , определенную на некотором промежутке   . Вычислим производную , которая также является функцией на . Производной второго порядка от функции  называется производная от ее производной:   . Аналогично определяют производную любого порядка:  . 

Дифференциалы высших порядков.

Рассмотрим дифференциал функции  в произвольной точке промежутка : . Здесь  — приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от . Сам же дифференциал есть функция от , и можно вычислить дифференциал от этой функции:   При  этот дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка и вычисляется по формуле Аналогично вычисляется дифференциал любого порядка .

Понятие инвариантности формы дифференциала.

Рассмотрим дифференциал функции  в произвольной точке промежутка : . Здесь — приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от . Пусть теперь   — функция независимого переменного , определенная на промежутке  . Тогда  — сложная функция переменного . Вычислим ее дифференциал, используя формулу для производной сложной функции: . Заметим, что и выражение для дифференциала принимает ту же форму , хотя здесь  уже функция переменного  . Это свойство дифференциала первого порядка называется инвариантностью (т.е. неизменностью) его формы. При вычислении дифференциала второго порядка придется учитывать, что  — функция переменного  . Поэтому и форма второго (а также и всех следующих) дифференциала неинвариантна.

 

 

Наверх

12. Исследование функций и построение графиков.

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке (возможно,  ) . Характер поведения функции в области определения можно исследовать, опираясь на следующие утверждения.  

Если , то график функции пересекает ось абсцисс в точке  . 

Если , то график функции пересекает ось ординат в точке  .

Если в точке  функция имеет бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальную асимптоту  (Если расстояние от точки кривой до некоторой определенной прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой. В случае бесконечного разрыва расстояние от кривой до вертикальной асимптоты стремится к нулю при справа, слева или с обеих сторон). 

Если , или , существуют и конечны пределы и , то прямая — асимптота графика функции. 

Если , то график функции имеет на левой границе области сходимости вертикальную асимптоту  ; аналогично, если , то график функции имеет на правой границе области сходимости вертикальную асимптоту . 

Если и существует такое число , что для любого , то исследуемая функция периодична с периодом ; в этом случае достаточно построить график функции на промежутке  и доопределить его по периодичности на всю числовую ось.

Если , то исследуемая функция четная; этом случае график симметричен относительно оси ординат; достаточно построить график функции на промежутке и отобразить его симметрично относительно оси ординат на . 

Если  , то исследуемая функция нечетная; этом случае график симметричен относительно начала координат; достаточно построить график функции на промежутке  и отобразить его симметрично относительно начала координат на . 

Исследование функций с помощью производной.

Если функция дифференцируема на промежутке , за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то можно дополнить изучение поведения функции исследованием на экстремум (точки максимума и точки минимума функции имеют общее название — точки экстремума), используя следующие утверждения. 

Для того, чтобы дифференцируемая на функция не убывала (не возрастала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы () на . 

Пусть в точке  производная  или не существует. Если существует окрестность точки , такая, что для  из этой окрестности при  и при , то функция имеет в точке максимум. Если же при  и  при  , то функция имеет в точке  минимум (в этом случае говорят, что “производная меняет знак при переходе через точку ”).

Если непрерывная в точке функция дифференцируема на , при этом на  и на , то функция имеет в точке максимум; если же при  и  при , то функция имеет в точке  минимум.   

Исследование функций с помощью второй производной.

Если функция дважды дифференцируема на промежутке , за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то исследование поведения функции можно дополнить исследованием выпуклости и вогнутости.

График функции называется выпуклым (выпуклым вниз) на промежутке , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке , . Если же график функции лежит ниже касательной, — то он называется вогнутым (выпуклым вверх). 

Если дважды дифференцируемая на промежутке  функция имеет на нем положительную вторую производную, то функция выпуклая на . Если же вторая производная отрицательна на промежутке , то функция на нем вогнута.  

Если вторая производная равна нулю в точке , а слева и справа от нее имеет значения разных знаков, точка  — точка перегиба.

 

 

Наверх

13. Кривые на плоскости.

Кривые на плоскости в декартовых координатах.

Кривая на плоскости в прямоугольных (декартовых) координатах — это множество точек, координаты которых связаны соотношениями , , , или ; первые два соотношения задают кривую явно, последнее — неявно. Кривая, заданная уравнением  , , называется гладкой, если функция дифференцируема на промежутке . В каждой точкегладкой кривой можно провести касательную , уравнение которой . Уравнение нормали в той же точке имеет вид  или  . Кривая, заданная неявно уравнением , называется гладкой, если на ней нет особых точек (точка линии называется особой, если в ней одновременно обращаются в нуль обе частные производные функции : ). Уравнения касательной и нормали к такой кривой, проходящих через точку , , имеют соответственно вид   и

Кривые, заданные параметрически.

Уравнения , , устанавливающие зависимость декартовых координат точки плоскости от значения параметра , определяют на плоскости кривую, заданную в параметрической форме (говорят еще — заданную параметрически). Поскольку производная функции , заданной параметрически уравнениями , в точке, которая не является особой точкой кривой, вычисляется по формуле , то уравнения касательной и нормали к кривой, проходящих через точку , имеют соответственно вид: .   

Кривые в полярных координатах.

Декартовы координаты точки  на плоскости связаны с полярными координатамисоотношениями . Многие кривые на плоскости удобно описывать как функции радиуса-вектора и полярного угла — в полярных координатах. Так, уравнение единичной окружности в полярных координатах имеет вид  . Уравнение кривой в полярных координатахобычно имеет вид . Угловой коэффициент касательной к графику функции, заданной уравнением , в точке   равен   , а декартовы координаты точки равны соответственно  и   .

 

 

Наверх

14.

Формула Тейлора.

Остаточный член формулы Тейлора — Пусть функция имеет в точке  производные всех порядков до -го включительно. Тогда для справедлива формула Тейлора:

 ,

где ,  называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Пеано; — бесконечно малая более высокого порядка малости, чем . Если отбросить остаточный член, то получится приближенная формула Тейлора

 

,

правая часть которой называется многочленом Тейлора функции ; его обозначают . Приближенная формула позволяет заменять в различных математических расчетах (аналитических и численных) произвольную функцию ее многочленом Тейлора. 

Из формулы Тейлора видно, что чем точка  ближе к точке , тем выше точность такой аппроксимации и эта точность растет с ростом степени многочлена. Это означает, в свою очередь, что чем больше производных имеет функция в некоторой окрестности точки , тем выше точность, с которой многочлен Тейлора аппроксимирует функцию в этой окрестности. 

Разложение основных элементарных функций — Положив  и вычислив соответствующие производные в нуле, получим формулы Тейлора для основных элементарных функций: 

Разложение функций с использованием стандартных разложений — Для разложения по формуле Тейлора функции в окрестности произвольной точки необходимо сделать замену переменной , то есть  , и воспользоваться одним из приведенных выше разложений основных функций в окрестности точки  .

 

 

Наверх

15. Неопределенный интеграл, простейшие методы интегрирования.

Первообразная и неопределенный интеграл — Рассмотрим функцию , определенную на промежутке (здесь возможно ). Дифференцируемая на промежутке     функция , производная которой в каждой точке равна , называется первообразной функции  : . Поскольку  , то можно говорить о семействе первообразных — множестве функций вида  , . Семейство первообразных   функции называется неопределенным интегралом функции  и обозначается символом : для всех . Здесь    — знак интеграла, — подынтегральное выражение,  — подынтегральная функция,  — переменная интегрирования, — значение неопределенного интеграла, семейство первообразных функции , . То есть производнаянеопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Наоборот,    , следовательно, дифференцирование и вычисление неопределенного интеграла, – взаимно обратные операции. Не представляет труда с помощью таблицы производных составить таблицу неопределенных интегралов. Важным свойством неопределенного интеграла является линейность: , здесь    — постоянные. Вычисление неопределенного интеграла обычно сводится к преобразованию подынтегрального выражения так, чтобы можно было воспользоваться таблицей интегралов. 

Интегрирование заменой переменной — Если — непрерывно дифференцируемая функция, то, полагая   , получим формулу интегрирования заменой переменной    . Если замена переменной выбрана правильно, то интеграл в правой части должен легко вычисляться. Для некоторых классов функций существуют стандартные замены, сводящие интеграл к табличному. 

Интегрирование по частям — Пусть   — непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям . Название “по частям” связано с тем, что для записи интеграла в правой части нужно проинтегрировать “часть”     подынтегрального выражения в левой части. Метод интегрирования по частям используется для интегралов вида   ,  ,  ,  и некоторых других.

 

 

Наверх

16.

Интегрирование некоторых классов функций.

Интегрирование рациональных функций — Функция называется рациональной, если она вычисляется с помощью четырех арифметических действий, то есть в общем случае является частным от деления двух многочленов: . Если , рациональная дробь называется правильной. Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно вычислить. Для этого: 

Если , выделяем целую часть рациональной дроби с помощью деления многочлена на многочлен. Правильную рациональную дробь (или правильный остаток от деления) раскладываем на простейшие дроби. Вид разложения определяется корнями многочлена   , а именно: 

Каждому действительному корню кратности 1 в разложении соответствует член   . 

Каждому действительному корню  кратности  в разложении соответствует набор из  членов     . 

Каждой паре комплексно сопряженных корней   кратности 1 в разложении соответствует член    ( — корни уравнения ).

Каждой паре комплексно сопряженных корней кратности  в разложении соответствует набор из членов       .  

В приведенных выражениях — неопределенные коэффициенты, которые можно найти, приводя разложение обратно к общему знаменателю , приравнивая полученные коэффициенты при степенях   к соответствующим коэффициентам  и решая систему относительно  . 

Наконец, полученное разложение интегрируем почленно. 

Интегрирование тригонометрических функций — Интегралы вида , где  — рациональная функция своих аргументов, вычисляются с помощью универсальной замены переменной  . При этом . Однако универсальная замена обычно связана с большими вычислениями, поэтому в некоторых случаях можно ее избежать. 

Интегралы вида   вычисляются с помощью замены  . Интегралы вида  вычисляются с помощью замены  . Интегралы вида  , если , то есть четная рациональная функция своих аргументов вычисляются с помощью замены    . 

Интегралы вида  вычисляются с помощью формул понижения степени  . 

Интегрирование иррациональных функций — Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен. 

Интегралы вида , где  — рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой . 

Интегралы вида   вычисляются заменой или . 

Интегралы вида   вычисляются заменой   или . Интегралы вида вычисляются заменой или .

 

 

Наверх

17. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл, его геометрический смысл.

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке . Разобьем промежуток на  произвольных частей точками   и обозначим , , . На каждом промежутке    возьмем произвольную точку  и вычислим в ней значение функции. Выражение   называется интегральной суммой функции на  .Если при  существует и конечен предел последовательности частичных сумм  , не зависящий ни от способа разбиения промежутка  точками  , ни от выбора , то этот предел называют определенным интегралом от функции по промежутку , а саму функцию — интегрируемой на . Обозначают    . 

Из приведенного определения естественно следует геометрический смысл определенного интеграла: если , то   равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми . 

Формула Ньютона-Лейбница.

Значение определенного интеграла может быть вычислено по формуле Ньютона-Лейбница =, здесь символ  означает, что из значения  при верхнем пределе b нужно вычесть значение при нижнем пределе a , — первообразная функция для . Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению первообразной, то есть неопределенного интеграла. 

Методы вычисления определенного интеграла.

Если — непрерывно дифференцируемая на отрезке  функция, , и , когда  изменяется на  , то, положив  , получим формулу замены переменной в определенном интеграле  .

Пусть  — непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям   . Эта формула применяется для тех же классов функций, что и при вычислении неопределенного интеграла.

 

 

Наверх

18. Применение определенного интеграла для площадей и длин дуг.

Вычисление площадей и длин дуг кривых в декартовых координатах.

Пусть на плоскости задана область, ограниченная снизу кривой  , заданной в декартовых координатах, сверху – кривой  , слева – прямой   (ее может и не быть, если  ), справа – прямой  . Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь этой области можно вычислить по формуле   . Здесь не нужно заботиться, какая из функций и где положительная, а какая отрицательная. Если, например, , то формула сама прибавит нужную площадь. Более сложные области всегда можно разбить так, чтобы выполнялись указанные условия. 

Пусть на отрезке  уравнением  задана плоская кривая. Ее длина вычисляется по формуле  

Вычисление площадей и длин дуг при параметрическом задании кривых.

Если область на плоскости снизу ограничена кривой, заданной параметрически, то есть   , при этом  , а сверху – кривой   . Тогда площадь такой плоской фигуры вычисляем по формуле . Эта формула совпадает с формулой вычисления площади в декартовых координатах, если учесть, что  . 

Пусть кривая на плоскости задана параметрически   . Тогда длина этой кривой вычисляется по формуле  .

Вычисление площадей и длин дуг кривых в полярных координатах.

Когда кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах , то площадь этой области вычисляем по формуле  . Основная трудность в использовании этой формулы заключается в определении пределов интегрирования  . Здесь нужно понимать, что кривая  определена только, если . Поскольку в формуле присутствует , то она учтет и не существующую площадь, когда  . Решив уравнение , найдем пределы интегрирования. 

Если кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах  , то ее длина вычисляется по формуле . Пределы интегрирования определяются из тех же соображений, что и при вычислении площади.

 

 

Наверх

19.

Несобственные интегралы.

Интеграл как функция верхнего предела.

Для функции , интегрируемой для всех  , значение интеграла  зависит от значения верхнего предела ; можно рассмотреть функцию переменной : каждому значению ставится в соответствие число, равное значению интеграла  . Таким образом, можно рассматривать определенный интеграл как функцию верхнего предела: ; функция определена в области интегрируемости подынтегральной функции . Если — первообразная для , то значение можно вычислить по формуле Ньютона—Лейбница: . Функцию можно исследовать, не вычисляя первообразной. Для интегрируемой при функции справедливы следующие утверждения:   непрерывна на промежутке , причем ; если при , то     монотонно возрастает на промежутке ; если непрерывна при , то дифференцируема на промежутке , причем . 

Несобственные интегралы по неограниченному промежутку.

Пусть функция  интегрируема для всех  и   . Если существует предел , то этот предел называют несобственным интегралом по неограниченному промежутку и обозначают его  . Если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится и его значение вычисляют по формуле . Аналогично определен интеграл для интегрируемой при  функции  и интеграл для функции , интегрируемой на . Если рассмотренные пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится. 

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция  интегрируема на любом отрезке, целиком содержащемся в промежутке, и бесконечно большая в точке . Если существует предел , то этот предел называют несобственным интегралом от неограниченной функции по и обозначают его . Если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится и его значение вычисляют по формуле . Аналогично определен интеграл от интегрируемой на любом конечном отрезке, содержащемся в , бесконечно большой в точке  функции . Если пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится. 

Исследование несобственных интегралов на сходимость.

Вычисление несобственных интегралов сводится к вычислению первообразной, использованию формулы Ньютона-Лейбница и вычислению предела. Каждый из этапов сам по себе достаточно сложен, и разумно приступать к ним, если есть уверенность, что интеграл сходится, то есть предел конечен. Поэтому, в конечном счете, самым важным в теории несобственных интегралов является исследование их на сходимость: если интеграл расходится, то его и вычислять не надо. Одним из главных инструментов исследования несобственных интегралов на сходимость являются теоремы сравнения.

Рассмотрим две неотрицательные функции  и , определенные при . Пусть  для всех  , начиная с некоторого числа . Тогда, если сходится интеграл от большей функции , то сходится и интеграл от меньшей, то есть. Если расходится интеграл от меньшей функции  ,то расходится и интеграл от большей — . 

Если   , то несобственные интегралы от этих функций или оба сходятся или оба расходятся. 

Аналогичные утверждения, которые называют признаками сравнения, имеют место и для интегралов по конечному промежутку от неограниченных функций.

 

 

Наверх

20. Числовые ряды.

Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательность и формально составим сумму ее членов    Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности называют членами ряда. Конечно, невозможно вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, но легко вычислить сумму первых n членов ряда . Эта сумма называется n-ой частичной суммой. 

 

Сходимость числового ряда. Ряд    называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательности     частичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают   , . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится. Разность  называется остатком ряда. Очевидно, что для сходящегося ряда    . Это означает, что сумму сходящегося ряда можно вычислить с любой точностью, заменяя ее частичной суммой соответствующего порядка. Для расходящегося ряда это не так. Поэтому сходимость или расходимость конкретного ряда является основным вопросом для исследования. Если ряд сходится, то  (необходимое условие сходимости ряда). Обратное, вообще говоря, неверно. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд при этом может расходиться. 

 

 

Суммирование числовых рядов. Если возможно найти общий член последовательности    , то по определению можно найти и сумму ряда, вычисляя предел этой последовательности.

 

 

Наверх

21. Сходимость знакоположительных рядов.

Теоремы сравнения.

1. Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами   и  , . Если при всех n, начиная с некоторого номера,  , то из сходимости ряда  следует сходимость ряда. Наоборот, из расходимости ряда следует расходимость ряда. 

2. Если для таких же двух рядов   , то оба ряда или сходятся или расходятся одновременно. При использовании теорем сравнения нужно иметь ряд-эталон, с которым сравнивать и про сходимость которого известно заранее. В качестве таких рядов чаще всего берут обобщенный гармонический ряд   , который сходится при и расходится при , или геометрический ряд , который сходится при  и расходится при  .  

Признаки сходимости. Признаки сходимости Даламбера. Для ряда с положительными членами , вычислим   . Если , то ряд сходится, — расходится. При признак Даламбера ответа не дает: ряд может как сходиться, так и расходиться. 

Признак сходимости Коши. Для ряда с неотрицательными членами   , вычислим . Если   , то ряд сходится, — расходится. При    признак Коши ответа не дает: ряд может как сходиться, так и расходиться.

 

 

Наверх

22. Сходимость знакопеременных рядов.

Абсолютная и условная сходимость. Если в последовательности  бесконечно много положительных и отрицательных членов, то ряд называется знакопеременным. Ряд   называется знакочередующимся. Знакопеременный ряд   называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд   . Если ряд из модулей расходится, а сам ряд сходится, то его называют условно сходящимся. Исследование знакопеременного ряда   начинают с исследования на сходимость ряда из модулей  методами для рядов с неотрицательными членами. Если такой ряд сходится, то получен ответ: ряд сходится абсолютно. 

 

Исследование знакочередующихся рядов. Если ряд из модулей расходится, то для знакочередующегося ряда можно применить признак Лейбница: если последовательность   стремится к нулю, монотонно убывая,   , то ряд    сходится, по крайней мере, условно. Для знакочередующегося ряда очень просто оценивается остаток ряда: .

 

 

Наверх

23. Функциональные ряды, равномерная сходимость.

Функциональный ряд, его сходимость. Рассмотрим ряд,   , членами которого являются функции, определенные на промежутке   . При каждом фиксированном   имеем числовой ряд, сходимость которого может быть исследована рассмотренными ранее методами. Сумма функционального ряда   также является функцией от х:   . По определению предела последовательности: если для   можно указать номер  ( что интересно, для каждого фиксированного   — свой номер, т.е.  ), такой, что для    выполняется неравенство  , то это и означает, что функциональный ряд сходится к функции. Множество , для которого это выполняется, называется областью сходимости функционального ряда. 

 

Равномерная сходимость функционального ряда. Пусть   , т.е. функциональный ряд сходится. Если для   можно указать номер  независимо от  , такой, что для выполняется неравенство  , то говорят, что функциональный ряд сходится равномерно на множестве .   

  

Исследование на равномерную сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: если существует сходящийся числовой ряд   с положительными членами, такой, что для всех  , начиная с некоторого номера и всех  выполняется неравенство , то функциональный ряд   сходится на равномерно. Числовой ряд   в этом случае называют мажорантой для функционального ряда.

 

 

Наверх

24. Ряд Тейлора.

Степенные ряды. Функциональный ряд     , где — числовая последовательность, называется степенным рядом. Степенной ряд сходится на интервале   с центром в точке   . Число  — радиус сходимости степенного ряда может быть вычислено по формулам , или     . Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости. Сходимость степенного ряда на границах интервала сходимости необходимо исследовать специально для конкретного ряда. 

 

Разложение функций в ряд Тейлора. При исследовании свойств бесконечно дифференцируемых функций изучают их степенные ряды ряды Тейлора. Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки   и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд 

называется рядом Тейлора для функции    в точке . При такой ряд называют также рядом Маклорена:    . Функция  может быть разложена в степенной ряд на интервале , если существует степенной ряд, сходящийся к  на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки , то это ряд Тейлора. Пусть функция   бесконечно дифференцируема на интервале и все ее производные ограничены в совокупности на этом интервале, то есть существует число   , такое, что для всех    и для всех   справедливо неравенство . Тогда ряд Тейлора сходится к   для всех   . Приведем разложения в ряд Тейлора для основных элементарных функций. 

 

 

Наверх

25. Ряд Фурье.

Ряд Фурье, его сходимость. Пусть функция  абсолютно интегрируема на отрезке  , то есть существует   . Тогда ей можно поставить в соответствие ее тригонометрический ряд Фурье: . Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье называют коэффициентами Фурье и вычисляют по формулам Эйлера-Фурье: . Если функция  кусочно-гладкая на отрезке , то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если   — сумма ряда Фурье, то для любого        . То есть, если   непрерывна в точке  , то   . Если в точке   у   разрыв первого рода, то ряд Фурье сходится к среднеарифметическому левого и правого пределов функции в точке . 

  

Разложение в ряд Фурье на произвольном отрезке. Для кусочно-гладкой на отрезке  функции задача о разложении в ряд Фурье на этом отрезке линейной заменой сводится к задаче о разложении функции на отрезке  :   , .

 

 

Наверх

26. Сходимость ряда Фурье.

Сходимость ряда Фурье, явление Гиббса. Если функция  кусочно-гладкая на отрезке , то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если — сумма ряда Фурье, то для любого  . То есть, если  непрерывна в точке  , то  . Если в точке  у     разрыв первого рода, то ряд Фурье сходится к среднеарифметическому левого и правого пределов функции в точке  . В окрестности точек непрерывности функции   разность между значением функции в точке и значением частичной суммы ряда в этой точке стремится к нулю при  , что полностью соответствует теории, поскольку в этом случае   . В окрестности точек разрыва   частичные суммы ряда Фурье ведут себя иначе. Эта особенность поведения частичных сумм Фурье в окрестности точек разрыва называется явлением Гиббса. Оно состоит в том, что для некоторых функций в точке ее скачка      существуют такие значения    , что

Это не противоречит теории, поскольку у Гиббса рассмотрен предел  , а в теории v     .  

Приближение функций, минимальное свойство коэффициентов Фурье. Функция , где    — произвольные числа, называется тригонометрическим многочленом. Тригонометрическим многочленом наилучшего приближения n-ой степени для функции     на отрезке   называется такой многочлен , среднеквадратичное отклонение  которого от функции  минимально:    . Для любой ограниченной интегрируемой на    функции частичная сумма   ее ряда Фурье является тригонометрическим многочленом наилучшего приближения n-ой степени. 

 

Зависимость скорости сходимости от гладкости функций. Скорость сходимости ряда Фурье функции зависит от ее гладкости (количества непрерывных производных). Если   непрерывно дифференцируема r раз на отрезке   , то справедливо неравенство , где  . Для среднеквадратичного отклонения справедлива оценка   , где  .

 

 

Наверх

27. Функции многих переменных.

Функция двух переменных. Переменная  (с областью изменения  ) называется функцией независимых переменных  в множестве  , если каждой паре их значений из   по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение   из множества . Множество v область определения функции, множество   v область ее значений. Функциональная зависимость   от обозначается так:  и т.п. Выберем в пространстве систему координат  , изобразим на плоскости   множество  ; в каждой точке этого множества восстановим перпендикуляр к плоскости и отложим на нем значение . Геометрическое место полученных таким образом точек и является пространственным графиком функции двух переменных. 

Линии и поверхности уровня. Линией уровня функции двух переменных   называется геометрическое место точек на плоскости   , в которых функция    принимает одно и то же значение. Линии уровня функции определяются уравнением  , где . Изучая линии уровня функции, можно исследовать характер ее изменения, не прибегая к пространственному графику. Поверхностью уровня функции трех переменных    называется геометрическое место точек в пространстве, в которых функция  принимает одно и то же значение. Уравнение поверхностей уровня имеет вид:  . Поскольку график функции трех переменных нам недоступен, поверхности уровня являются единственным средством изучения таких функций. 

  

Локальные экстремумы. Точка называется точкой локального минимума (максимума) функции , определенной в области , если существует окрестность этой точки, такая, что  для всех точек этой окрестности, отличных от . Такие экстремумы (максимумы и минимумы) называются нестрогими. Строгие экстремумы имеют место в случае, когда выполнены строгие неравенства.

 

 

Наверх

28. Частные производные, градиент.

Частные производные. Пусть  — функция двух переменных, определенная в некоторой окрестности точки . Если существует конечный предел   , то говорят, что функция   имеет в точке частную производную по переменной   . Аналогично определяется частная производная по    . Обозначают:

 . 

Пусть — функция n переменных, определенная в области   n-мерного пространства. Частной производной функции по переменной  называется предел 

Из определения частной производной следует правило: при вычислении производной по одной из переменных все остальные переменные считаем постоянными, учитывая, что производная постоянной равна нулю и постоянную можно выносить за знак производной.  

Производная по направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный вектор , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению: . В частности, для функции трех переменных   ,  — направляющие косинусы вектора  . 

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора   и вектора с координатами   , который называется градиентом функции    и обозначается    . Поскольку   , где   — угол между   и   , то вектор указывает направление скорейшего возрастания функции   , а его модуль равен производной по этому направлению. 

Полный дифференцал. Для приращения дифференцируемой функции   справедливо равенство    . Линейная по приращениям аргументов часть приращения функции называется полным дифференциалом функции и обозначается    . 

Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцируя частную производную как функцию нескольких переменных по одной из переменных, получим производные второго порядка. Например, для функции двух переменных: . Если смешанные производные     и     непрерывны, то они равны, то есть не зависят от порядка дифференцирования. Аналогично определяются, например,     . Если при вычислении полного дифференциала от дифференциала первого порядка учесть, что приращения аргументов есть числа и оставить их неизменными, то получим дифференциал второго порядка. Например, для функции двух переменных:    . Здесь учтено равенство смешанных производных второго порядка и принято    . При этих допущениях формулу дифференциала любого порядка можно получить из символического выражения:   .

 

 

Наверх

29. Неявные функции.

Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области   плоскости задана функция , и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением   , является графиком некоторой функции   , определяемой уравнением    . В этом случае говорят, что функция    задана неявно уравнением   . Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция   и ее частная производная по    непрерывны в     , . Тогда в некоторой окрестности точки   существует единственная непрерывная функция     , задаваемая уравнением   , так, что в этой окрестности   . 

  

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение     задает неявно функцию   . Это же уравнение может задавать неявно функцию или      . 

 

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение  : . Отсюда получим формулу для производной функции    , заданной неявно:   . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением   : , .

 

 

Наверх

30. Формула Тейлора для многих переменных.

Формулы Тейлора и Маклорена. Если функция   имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любой точки из этой окрестности справедлива формула Тейлора n-го порядка:  , где ,

 ,

 

и т.д. Формула Тейлора, записанная в окрестности точки (0,0) называется формулой Маклорена. Например, для функции двух переменных при n=2: . 

 

Аппроксимация функции многочленом. Выражение

называется многочленом Тейлора n-го порядка. Поскольку , то в окрестности точки функцию можно приближенно заменить, или, как говорят, аппроксимировать, ее многочленом Тейлора, т.е.  . Чем ближе точка  к точке , тем выше точность такой аппроксимации; кроме того, точность возрастает с ростом n. Это означает, что, чем больше непрерывных производных имеет функция  , тем точнее представляет ее многочлен Тейлора.

 

 

Наверх

31. Исследование на экстремум.

Локальные экстремумы. Точка   называется точкой локального минимума (максимума) функции , определенной в области , если существует окрестность этой точки, такая, что   для всех точек этой окрестности, отличных от . Такие экстремумы (максимумы и минимумы) называются нестрогими. Строгие экстремумы имеют место в случае, когда выполнены строгие неравенства. 

 

Исследование на экстремум функции двух переменных. Обозначим через приращение функции   в точке  . Если — точка локального минимума функции  , то существует окрестность   , в которой   (обратное неравенство в случае максимума). Из формулы Тейлора первого порядка   следует, что приращение   дважды непрерывно дифференцируемой функции   может сохранять знак, если главная линейная часть приращения функции в точке экстремума (максимума или минимума) равна нулю, т.е. выполнено необходимое условие экстремума: если точка   — точка экстремума, то   . Такая точка называется стационарной точкой функции. Приращение функции в стационарной точке имеет вид . Обозначим . Справедливо следующее достаточное условие экстремума. Пусть функция    дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки   и  . Если   , то в точке  функция достигает экстремума. Если при этом , то этот экстремум v минимум, при — максимум. Если же    , то в точке   экстремума нет. Геометрически достаточное условие означает, что в окрестности экстремума график функции   близок к поверхности . Если    , то для определения знака приращения   необходимо изучить члены формулы Тейлора более высокого порядка.

 

 

Наверх

32. Условный экстремум.

Условные экстремумы. Пусть функция  определена в некоторой области  и в этой области задана кривая уравнением . Условным экстремумом функции двух переменных  называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить , то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной . 

 

Метод множителей Лагранжа. Если уравнение  не разрешимо ни относительно  , ни относительно , то рассматривают функцию Лагранжа. Необходимым условием существования условного экстремума функции  при условии  является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа:   . 

  

Наибольшее и наименьшее значение функции в области. Поскольку функция  , непрерывная в ограниченной замкнутой области достигает в ней своего наибольшего и наименьшего значений, задача об их нахождении разделяется на две части: найти экстремумы функции двух переменных внутри области, найти ее условные экстремумы на границе области, при условии, что граница задана уравнением .

 

 

Наверх

33. Двойной и тройной интегралы.

Двойной интеграл в декартовых координатах. Пусть   ограниченная замкнутая область плоскости с кусочно-гладкой границей и пусть функция определена и ограничена на  . Посредством сетки кусочно-гладких кривых разобьем на конечное число элементарных областей с площадями  (разбиение ). Пусть — наибольший из диаметров областей , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число    называется интегральной суммой и ставится в соответствие каждому разбиению и каждому выбору точек . Если существует    и он не зависит от выбора разбиения  и точек , то функция называется интегрируемой по Риману в области , а сам предел называется двойным интегралом от функции  по области и обозначается    или   . Двойной интеграл существует, если  непрерывна на . Допустимы точки разрыва первого рода, лежащие на конечном числе гладких кривых в . 

 

Свойства двойного интеграла. Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла: 

Линейность:  

. Аддитивность: 

, если S1 и S2 две области без общих внутренних точек. 

Если для каждой точки  выполнено неравенство  , то . 

Если  интегрируема на , то функция   также интегрируема, причем . 

Если  и  наименьшее и наибольшее значения функции в области, а ее  площадь, то . 

Теорема о среднем значении: если  непрерывна в связной области , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что   . 

Вычисление двойного интеграла. 

Если  , где —    непрерывные на функции, то двойной интеграл может быть вычислен двумя последовательными интегрированиями: . Аналогично, если , то     . 

Тройной интеграл и его свойства. Пусть — ограниченная замкнутая пространственная область, границей которой является кусочно-гладкая поверхность, и пусть функция  определена и ограничена в  . Посредством сетки кусочно-гладких поверхностей разобьем на конечное число элементарных областей   с объемами  (разбиение). Пусть . наибольший из диаметров областей  , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число ставится в соответствие каждому разбиению  и каждому выбору точек и называется интегральной суммой. Если существует   и он не зависит от выбора разбиения и точек,  то функция называется интегрируемой по Риману в области  , а сам предел называется тройным интегралом от функции   по области  и обозначается  . Свойства тройных интегралов такие же, как и у двойных интегралов. 

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Пусть  является цилиндрическим телом, проекция которого на плоскость  есть область  и которое ограничено снизу поверхностью , а сверху v поверхностью , где   — непрерывные функции в . Тогда , то есть интегрированием по z тройной интеграл сводится к двойному интегралу по области . Для областей более сложной формы вычисление двойных и тройных интегралов производится разбиением областей на конечное число простых областей с уже рассмотренными свойствами.

 

 

Наверх

34. Замена переменных в кратных интегралах.

Замена переменных в двойном интеграле. Пусть функции взаимно однозначно отображают открытое множество, содержащее область плоскости на открытое множество, содержащее область , и пусть является образом . Если и их частные производные непрерывны, а определитель   , то . Выражение  называется элементом площади в криволинейных координатах, функциональный определитель — якобианом. 

 

Вычисление площади.

Замена переменных в тройном интеграле. Пусть посредством функций производится взаимно однозначное отображение открытого множества, содержащего область пространства на открытое множество, содержащее область пространства и  есть образ . Если эти три функции непрерывны вместе со своими первыми частными производными в области и якобиан, то . Выражение  называется элементом объема в криволинейных координатах . 

 

Вычисление объема.

Двойной интеграл в полярных координатах. Введем на плоскости полярные координаты. Пусть — область, полученная взаимно однозначным отображением области плоскости , определяемым функциями . Тогда , а двойной интеграл в полярных координатах вычисляется по формуле: .Элемент площади в полярных координатах есть .

 

 

Наверх

35. Сферические и цилиндрические координаты.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Введем в пространстве цилиндрические координаты. Для этого на плоскости используем полярные координаты, а третья координата произвольной точки остается . Учитывая связь полярных координат с декартовыми, получим выражение декартовых координат через цилиндрические:  . Тогда  и тройной интеграл в цилиндрических координатах вычисляется по формуле: . Элемент объема в цилиндрической системе координат есть  . 

  

Тройной интеграл в сферических координатах. Введем в пространстве сферическую систему координат. Для этого рассмотрим произвольную точку  в декартовой системе координат. Спроектируем ее на плоскость , получив точку  . Положение точки в пространстве будем характеризовать ее расстоянием от начала координат , углом между отрезком и положительной полуосью , углом между отрезком и положительной полуосью . Декартовы координаты точки выражаются через сферические по формулам: . В этом случае    . Тогда тройной интеграл в сферических координатах вычисляется по формуле: 

.

Элемент объема в сферической системе координат есть  .

 

 

Наверх

36. Поверхностный интеграл по площади поверхности.

Площадь гладкой поверхности. Рассмотрим кусок поверхности  , заданной уравнением . Пусть выполняется условие , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором . Разобьем поверхность сеткой гладких кривых на элементарные области ( разбиение ). Пусть   — наибольший из диаметров элементарных областей. Если независимо от разбиения  существует , то он и называется площадью данной поверхности. Пусть    однозначно проектируется на плоскость и  — эта проекция. Элементу площади области на плоскости  соответствует элемент площади поверхности , равный , где — угол между нормалью к поверхности и осью . Поэтому вычисление площади поверхности сводится к вычислению двойного интеграла  по проекции поверхности на плоскость. Если поверхность задана уравнением , то     и площадь поверхности вычисляется по формуле   , здесь — проекция поверхности на плоскость . Если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости, то соответственно изменится формула вычисления площади поверхности. 

 

Поверхностный интеграл 1-го рода. Пусть некоторая функция определена и ограничена на гладкой поверхности . Выберем разбиение поверхности и точки на каждой элементарной области   и составим интегральную сумму . Если независимо от выбора разбиения и точек существует , то он называется поверхностным интегралом по площади поверхности (1-го рода) от функции и обозначается    . 

 

Свойства и вычисление поверхностного интеграла по площади поверхности. Если поверхность задана уравнением  и однозначно проектируется на плоскость , то поверхностный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле . Нетрудно получить аналогичные формулы, если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости. Поскольку вычисление поверхностного интеграла сводится к двойному интегралу, то, естественно, все свойства поверхностного интеграла 1-го рода такие же, как и у двойного.

 

 

Наверх

37. Криволинейный интеграл по длине дуги.

Криволинейный интеграл 1-го рода. Пусть — отрезок кусочно-гладкой кривой с началом в точке и концом в точке и — ограниченная функция, определенная в некоторой области, содержащей кривую . Выберем на кривой произвольные точки , разбивая ее на элементарные отрезки (разбиение ), длина каждого  . Обозначим . Пусть  — произвольная точка на элементарном отрезке . Составим интегральную сумму . Если независимо от разбиения и выбора точек существует    , то он называется криволинейным интегралом по длине кривой (1-го рода) и обозначается  . Аналогично определяется криволинейный интеграл 1-го рода      от функции трех переменных   по отрезку пространственной кривой. 

 

Свойства и вычисление криволинейного интеграла по длине дуги. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой , то есть. Это единственное свойство, которое не совпадает с обычными свойствами интегралов, определеямых через предел интегральной суммы. Если — отрезок кусочно-гладкой кривой, заданной параметрически:

 , то криволинейный интеграл вычисляется по формуле:

. Если плоская кривая задана в явном виде, то криволинейный интеграл вычисляется по формуле: .

 

 

Наверх

38. Скалярное поле.

Скалярное поле. Если каждой точке пространства ставится в соответствие скалярная величина , то возникает скалярное поле (например, поле температуры, поле электрического потенциала). Если введены декартовы координаты, то обозначают также

 или      . Поле может быть плоским, если   , центральным (сферическим), если   , цилиндрическим, если .

 

Поверхности и линии уровня. Свойства скалярных полей можно наглядно изучать с помощью поверхностей уровня. Это поверхности в пространстве, на которых   принимает постоянное значение. Их уравнение:  . В плоском скалярном поле линиями уровня называют кривые, на которых поле принимает постоянное значение:   . В отдельных случаях линии уровня могут вырождаться в точки, а поверхности уровня в точки и кривые. 

 

Производная по направлению и градиент скалярного поля. Пусть   — единичный вектор с координатами  ,  — скалярное поле. Производная по направлению характеризует изменение поля в данном направлении и вычисляется по формуле  . Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора   и вектора с координатами  , который называется градиентом функции  и обозначается  . Поскольку  , где  — угол между   и  , то вектор  указывает   направление скорейшего возрастания поля , а его модуль равен производной по этому направлению. Так как компоненты градиента являются частными производными, нетрудно получить следующие свойства градиента: 

 

 

Наверх

39. Векторное поле.

Векторное поле. Если каждой точке пространства ставится в соответствие вектор , то говорят, что задано векторное поле (поле скоростей частиц движущейся жидкости, силовое поле, поле электрической напряженности). В декартовой системе координат векторное поле можно записать в виде: . Скалярные функции однозначно определяют векторное поле. Векторное поле может быть плоским, если , сферическим, когда , , цилиндрическим, когда , . 

 Векторные линии (линии тока). Для наглядного представления векторных полей используют векторные линии (линии тока). Это кривые, в каждой точке которых вектор является касательным вектором. Через каждую точку проходит одна линия тока. За исключением точек, где поле не определено или , линии тока никогда не пересекаются. В декартовых координатах дифференциальные уравнения линий тока имеют вид:

 

 

Наверх

40. Поток векторного поля.

Поток векторного поля. Рассмотрим кусок поверхности , заданной уравнением . Пусть выполняется условие  , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором . Выберем одну из сторон поверхности следующим образом: построим на поверхности достаточно малый замкнутый контур, на котором задано направление обхода. Построим вектор нормали в точке поверхности, лежащей внутри контура. Если из конца вектора нормали обход контура кажется происходящим против часовой стрелки, то будем называть сторону поверхности, обращенную к вектору нормали положительной стороной. Таким образом, будем рассматривать ориентированную двухстороннюю поверхность, а односторонние поверхности лист Мебиуса, бутылку Клейна оставим в покое. Потоком векторного поля   через ориентированную поверхность называется поверхностный интеграл по площади поверхности (1-го рода)  , где —     единичный вектор нормали, направленный в положительную сторону. Выбор положительной стороны обычно диктуется физическими условиями задачи. 

 

Непосредственное вычисление потока. Поскольку поток векторного поля определен с помощью поверхностного интеграла, вычисление потока сводится к вычислению такого интеграла от функции , где  — компоненты векторного поля,  — направляющие косинусы вектора нормали.

 

 

Наверх

41. Формула Остроградского.

Поток векторного поля через замкнутую поверхность. Рассмотрим кусочно-гладкую двухстороннюю замкнутую ориентированную поверхность  . Поток векторного поля   через замкнутую поверхность является важной характеристикой поля и позволяет судить о наличии источников и стоков поля. При непосредственном вычислении потока через замкнутую поверхность приходится разбивать ее на части, однозначно проектируемые на координатные плоскости. 

Формула Остроградского. Пусть замкнутая поверхность ограничивает некоторый объем  . Тогда в декартовых координатах справедлива формула Остроградского: , где  — компоненты векторного поля. 

 

 

Дивергенция векторного поля. Дивергенцией   векторного поля  называется . Точка  находится внутри замкнутой поверхности , ограничивающей объем   , который при вычислении предела стягивается в эту точку.  является скалярной величиной и служит мерой источников поля. Если в некоторой области поля  , то источников поля в этой области нет. Такое поле называют соленоидальным. Используя формулу Остроградского, нетрудно получить выражение для вычисления дивергенции в декартовых координатах: . Из свойств частных производных следуют свойства дивергенции векторного поля: 

 

 

Наверх

42. Криволинейный интеграл в векторном поле.

Криволинейный интеграл в векторном поле. Пусть заданы некоторое векторное поле  и кривая АВ (А — начальная точка, В — конечная). Криволинейный интеграл в векторном поле     есть скаляр, полученный следующим образом: 

Разобьем кривую точками А=А0, А1, А2-Аn=В на n частей, приближенно изображаемых векторами  (разбиение ). 

Обозначим  . 

На границе или внутри каждой элементарной дуги Аi-1Ai выберем точку, которой соответствует радиус-вектор   и составим интегральную сумму   . 

Если существует     и он не зависит от разбиения  и выбора точек, то этот предел называется криволинейным интегралом в векторном поле. В декартовой системе координат:, где — компоненты векторного поля.

Если кривая задана в параметрической форме:

, то вычисление криволинейного интеграла сводится к определенному интегралу: 

. Используя определение и формулу для вычисления нетрудно получить свойства криволинейного интеграла: 

Подчеркнем, что, в отличие от криволинейного интеграла по длине дуги, криволинейный интеграл в векторном поле меняет знак при изменении направления интегрирования. 

Если   векторное поле, описывающее физическое силовое поле, то криволинейный интеграл выражает работу, которую совершает   сила при переносе материальной точки из пункта А в пункт В вдоль кривой АВ. 

 

Циркуляция векторного поля. Важной характеристикой векторного поля является циркуляция векторного поля, которая равна криволинейному интегралу по замкнутой кривой в области поля, или, как говорят, по замкнутому контуру:   . Циркуляция векторного поля является скалярной величиной и характеризует вихревые свойства поля. Если в некоторой области поля циркуляция равна нулю, то поле называют безвихревым.

 

 

Наверх

43. Формула Стокса.

Формула Стокса. Рассмотрим в пространстве кусок двухсторонней кусочно-гладкой поверхности , край которой образуется кусочно-гладкой кривой . Выберем положительную сторону поверхности (из конца единичного вектора нормали      обход границы представляется против часовой стрелки). Для циркуляции векторного поля     вдоль контура границы имеет место формула Стокса: , где   — компоненты векторного поля,   — направляющие косинусы вектора нормали. 

  

Ротор векторного поля. Рассмотрим в пространстве замкнутый контур  с выбранным направлением обхода, лежащий в ориентированной плоскости на ее положительной стороне (из конца единичного вектора нормали   обход контура представляется против часовой стрелки). Ротором    (или вихрем) векторного поля в точке  называется вектор, проекция которого на направление вектора нормали есть    . Точка лежит  на плоскости внутри контура  , который стягивается в эту точку при вычислении предела. Поскольку ротор поля определяется через циркуляцию, то он тоже является мерой завихренности поля. Найдем компоненты ротора в декартовой системе координат, воспользовавшись формулой Стокса. Для этого выберем сначала координатную плоскость y0z с нормальным вектором   , затем x0z,     , затем x0y,   . Применяя каждый раз теорему о среднем для интеграла, получим:    

Теперь теорема Стокса может быть сформулирована следующим образом: циркуляция векторного поля вдоль контура равна потоку ротора поля через поверхность, натянутую на этот контур. Выражение для ротора поля проще запомнить, если записать его в виде определителя:. Используя свойства частных производных и определителей, получим следующие свойства ротора векторного поля:

 

 

 

Наверх

44. Потенциальное поле.

Потенциальное поле. Если векторное поле  , то оно называется потенциальным, а скалярное поле , соответственно, его потенциалом. Самым известным примером такого соответствия является электрическое поле, напряженность которого  , где — потенциал электрического поля. Минус в формуле связан с историческим выбором направления вектора напряженности от плюса к минусу, когда уже умели тереть шерсть об янтарь, но не знали, как это описывать математически. 

  

Условие потенциальности поля. Пусть задано скалярное поле  , причем данная функция дважды непрерывно дифференцируема. Напомним, что в этом случае смешанные частные производные второго порядка не зависят от порядка дифференцирования. Вычислим  . 

Нетрудно видеть, что при этих условиях получается тождественный ноль. То есть, если поле потенциальное, то его  . 

 

 

Вычисление потенциала векторного поля. Если мы убедились, что поле  является потенциальным, то есть его ротор равен нулю, то представляет интерес вычислить потенциал этого поля. Для этого рассмотрим криволинейный интеграл в данном векторном поле:  , где точки А и В — начальная и конечная точки кривой. Поскольку  , то скалярное произведение векторов     и      является полным дифференциалом функции  : . Поэтому из свойств криволинейного интеграла следует, что . Смысл полученной формулы состоит в том, что работа поля по перемещению материальной точки из А в В не зависит от пути интегрирования, а только от конечной и начальной точек, точнее, от разности потенциалов в этих точках. Понятие разности потенциалов хорошо известно из физики. Для вычисления потенциала поля в произвольной точке В выберем начальную точку А, от которой начнем отсчет (в физике часто это — бесконечно удаленная точка). Тогда . Поскольку интеграл не зависит от пути интегрирования, то выберем его так, как нам удобно: сначала параллельно оси 0х, потом параллельно 0у, наконец, параллельно 0z. Обозначая , получим: 

.

Здесь    — компоненты векторного поля    . Поскольку выбор начальной точки произволен, потенциал поля определяется с точностью до произвольной постоянной, которая определяется физическими соображениями.

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

      Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат   Oty ,   ось абсцисс которой в данном разделе будем обозначать   Ot ,   а не   Ox   (рис. 1).

Рис.1

      Пусть   y = f (t)   – непрерывная на отрезке   [a, b]  функция, принимающая только положительные значения.

      Определение 1. Фигуру, ограниченную графиком функции   y = f (t)   сверху, отрезком   [a, b]   снизу, а справа и слева отрезками прямых   t = a   и   t = b   (рис. 2), называют криволинейной трапецией.

Рис.2

      Определение 2. Число, равное площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2, называют определенным интегралом от функции   f (t)   в пределах от   a   до   b   и обозначают

(1)

      Формула (1) читается так: «Интеграл от   a   до   b   от функции   f (t)   по   dt»

      Определение 3. В формуле (1) функцию   f (t)   называют подынтегральной функцией, переменную   t   называют переменной интегрирования, отрезок   [a, b]  называют отрезком интегрирования, число   b   называют верхним пределом интегрирования, а число   a   – нижним пределом интегрирования.

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

      Если обозначить   (x)   площадь криволинейной трапеции, ограниченной с боков отрезками прямых   t = a   и   t = x   (рис. 3),

Рис.3

то будет справедлива формула

(2)

      Теорема 1. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу интегрирования равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе интегрирования.

      Другими словами, справедлива формула

      Доказательство. Из формулы (2) следует, что

(3)

где через  Δx   обозначено приращение аргумента   x   (рис. 4)

Рис.4

      Из формул (3) и (2) получаем, что

(4)

где через  ΔS  обозначено приращение функции   S (x),   соответствующее приращению аргумента   Δx   (рис. 5)

Рис.5

      Если ввести обозначения

(см. раздел «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»), то можно заметить, что выполнено неравенство

(5)

смысл которого заключается в том, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 5, не может быть меньше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx  и высотой   m,   и не может быть больше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx   и высотой   M.

      Из неравенства (5) следует, что

откуда, переходя к пределу при  Δx → 0,   получаем

      В силу непрерывности функции   y = f (t)   выполнено равенство

      По определению производной функции   S (x)   имеем

(6)

что и завершает доказательство теоремы 1.

      Следствие 1. Функция   S (x)   является первообразной подынтегральной функции   f (x)  .

Теорема Ньютона — Лейбница

      Теорема Ньютона-Лейбница. Если   F (x)   – любая первообразная функции   f (x),   то справедливо равенство

(7)

      Доказательство. Поскольку   S (x)   и   F (x)   – две первообразных функции   f (x),   то существует такое число   c,  что выполнено равенство

      Воспользовавшись равенством (8), из формулы (2) получаем, что

(9)

      Подставив в формулу (9) значение   x =  a,  получаем равенство

(10)

      Заметим, что

(11)

поскольку площадь криволинейной трапеции, «схлопнувшейся» в отрезок, лежащий на прямой   t = a,   равна   0 .

      Из формул (10) и (11) следует, что

c = – F (a) ,

и формула (9) принимает вид

,

что и завершает доказательство теоремы Ньютона-Лейбница.

      Замечание 1. Формулу (7) часто записывают в виде

(12)

и называют формулой Ньютона-Лейбница.

      Замечание 2. Для правой части формулы Ньютона-Лейбница часто используют обозначение

      Замечание 3. Формулу Ньютона-Лейбница (12) можно записывать, как с переменной интегрирования   t ,   так и с любой другой переменной интегрирования, например,   x :

      Замечание 4.Все определения и теоремы остаются справедливыми не только в случае положительных непрерывных функций   f (x),   но и для гораздо более широкого класса функций, имеющих произвольные знаки и интегрируемых по Риману, однако этот материал уже выходит за рамки школьного курса математики.

Примеры решения задач

      Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y = e – x,     y = 0,     x = 0,     x = ln 3.

      Решение. Рассматриваемая фигура является криволинейной трапеции (рис. 6)

Рис.6

      Найдем площадь этой криволинейной трапеции:

      Ответ.

      Задача 2. График функции   y = f (x)   изображен на рисунке 7.

Рис.7

Вычислить интеграл

(13)

      Решение. Интеграл (13) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции   y = f (x),   ограниченной снизу осью абсцисс   Ox   и ограниченной с боков отрезками прямых   x = 2   и   x = 9.   Криволинейная трапеция состоит из квадрата, раскрашенного на рисунке 7 розовым цветом, и трапеции, раскрашенной на рисунке 7 зеленым цветом. Площадь квадрата равна   9,   а площадь трапеции равна   20.   Таким образом, интеграл (13) равен   29.

      Ответ.   29.

      Задача 3. Вычислить определенный интеграл

(14)

      Решение. Поскольку одной из первообразных подынтегральной функции интеграла (14) является функция

то в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница получаем

      Ответ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Урок 23. площадь криволинейной трапеции. интеграл и его свойства — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №23.Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение определенного интеграла

2) Нахождение площади криволинейной трапеции с помощью формулы Ньютона – Лейбница

3) Решение задач, с помощью формулы Ньютона – Лейбница

Формула Ньютона – Лейбница

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

ОрловаЕ. А., СеврюковП. Ф., СидельниковВ. И., СмоляковА.Н.Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].

Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции

формула Ньютона – Лейбница

Если в задаче требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ответ всегда будет положительный. Если требуется, используя чертеж, вычислить интеграл, то его значение может быть любым(зависит от расположения криволинейной трапеции).

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке

Решение

Для вычисления площади криволинейной трапеции воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница.

Ответ:

№2. Вычислить определенный интеграл:

Решение: Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

Сначала находим первообразную функцию  F(x) . Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .

Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).

Рассчитываем разность F(b)  — F(а), это и будет ответ.

№3. Найти площадь криволинейной трапеции (х-1)2, ограниченной линиями х=2 и х=1, осью 0х

Решение:

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

Сначала находим первообразную функцию  F(x). Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b)  .

Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).

Рассчитываем разность F(b)  — F(а), это и будет ответ.

Формула Ньютона-Лейбница — это… Что такое Формула Ньютона-Лейбница?

Формула Ньютона-Лейбница

Основная теорема анализа или формула Ньютона — Лейбница даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной

Формулировка

Рассмотрим интеграл от функции y = f(x) в пределах от постоянного числа a до числа x, которое будем считать переменным. Запишем интеграл в следующем виде:

Данный вид интеграла называется интегралом с переменным верхним пределом. Используя теорему о среднем в определённом интеграле, легко показать что данная функция непрерывная и дифференцируемая. А также производная от данной функции в точке x равна самой интегрируемой функции. От сюда следует, что любая непрерывная функция имеет первообразную в виде квадратуры: . А так как класс первообразных функций функции f отличается на константу, легко показать, что: определенный интеграл от функции f на [a, b] равен разности значений первообразных в точках b и а

Wikimedia Foundation.
2010.

  • Формула1
  • Формула Пика

Смотреть что такое «Формула Ньютона-Лейбница» в других словарях:

  • Формула Ньютона — Лейбница — Основная теорема анализа или формула Ньютона Лейбница даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной Формулировка Рассмотрим интеграл от функции y = f(x) в пределах от постоянного числа a до… …   Википедия

  • НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА — основная формула интегрального исчисления. Выражает связь между определенным интегралом от функции f(x) и какой либо ее первообразной F(x) …   Большой Энциклопедический словарь

  • Ньютона-Лейбница формула — Ньютона Лейбница формула, основная формула интегрального исчисления. Выражает связь между определённым интегралом от функции f(х) и какой либо её первообразной F(х). . * * * НЬЮТОНА ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА НЬЮТОНА ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА, основная формула… …   Энциклопедический словарь

  • НЬЮТОНА — ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА — формула, выражающая значение определенного интеграла от заданной функции f по отрезку в виде разности значений на концах отрезка любой первообразной Fэтой функции Названа именами И. Ньютона (I. Newton) и Г. Лейбница (G. Leibniz), т. к. правило,… …   Математическая энциклопедия

  • Теорема Ньютона — Лейбница — Формула Ньютона  Лейбница или теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной. Если непрерывна на отрезке и   ее любая первообразная на этом отрезке, то и …   Википедия

  • Формула конечных приращений — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лагранжа. Формула конечных приращений или теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и …   Википедия

  • Формула Стокса — Теорема Стокса одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса. Содержание 1 Общая формулировка 2… …   Википедия

  • Формула Лейбница — У этого термина существуют и другие значения, см. Список объектов, названных в честь Лейбница. У этого термина существуют и другие значения, см. Формула Лейбница (значения). Формулой Лейбница в интегральном исчислении называется правило… …   Википедия

  • Формула прямоугольников — Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура)  вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… …   Википедия

  • Формула трапеций — Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура)  вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… …   Википедия

5.16. Вычисление определенных интегралов (приближенное и точное). Форму

Определенный интеграл , согласно его математическому определению (4.2), представляет собой сумму бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых, образованных по схеме рисунка 5.5. Для непрерывной подынтегральной функции F(X) и конечных пределов интегрирования A и B этот интеграл, как было показано выше, заведомо существует (представляет собой некоторое число). Но найти его напрямую, следуя указанной на рис. 5.5 схеме, очевидно, невозможно. По этой схеме его можно найти лишь приближенно.

Для этого промежуток интегрирования [A; B] следует разбить не на бесконечно малые участки Dx, которых будет бесконечно много, а на конечное число (скажем, на 100) частичных промежутков одинаковой (или не одинаковой) конечной длины . Затем на каждом выбрать некоторую точку Х (скажем, середину) и подсчитать сумму

Из уже конечного числа (из 100) слагаемых. Эта сумма будет Приближенным значением определенного интеграла . Если нужно получить более точный результат, то нужно сделать более мелкое разбиение промежутка интегрирования (скажем, разбить его не на 100 частичных промежутков, а на 200, 300, и т. д.). Собственно, таким путем (с некоторыми непринципиальными усовершенствованиями указанной схемы) и вычисляют приближенно определенные интегралы на ЭВМ. ЭВМ умеют, кстати, оценивать точность полученного результата, и при вычислении определенных интегралов за счет своего быстродействия способны достигать любой разумной точности (до нескольких тысяч десятичных знаков после запятой). Но вычисляя таким путем определенные интегралы, абсолютно точного результата, тем не менее, ЭВМ дать не в состоянии.

И тут возникает вопрос: а нельзя ли все-таки вычислять определенные интегралы абсолютно точно? Ответ на это вопрос такой: можно, хотя далеко и не всегда. Для точного подсчета определенных интегралов, если оно возможно, применяется знаменитая формула Нютона-Лейбница.

Суть ее в следующем. Пусть F(X) – непрерывная на [A; B] функция, так что заведомо существует. И пусть вычислен неопределенный интеграл от функции F(x):

(4.19)

Тогда Точное значение можно найти по формуле:

(4.20)

Здесь F(X) – любая первообразная для функции F(X). Формула (4.20) называется Формулой Ньютона-Лейбница.

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница докажем сначала, что функция

(4.21)

То есть определенный интеграл с переменным верхним пределом, имеет на [A; B] производную Ф΄(X), совпадающую с F(X) (Ф΄(X) = F(X)).

Действительно,

(4.22)

Но

(4.23)

В последнем интеграле интегрирование происходит на бесконечно малом промежутке [X; X+Dx] оси T длиной Dx. На нем, при его разбиении на бесконечно малые промежутки Dt, уместится лишь один такой промежуток Dt = Dx
(см. рис. 5.11). Выбирая на нем в качестве произвольно выбираемой точки T точку X и следуя схеме (4.2) вычисления определенного интеграла, получим по этой схеме лишь одно слагаемое:

(4.24)

А значит, согласно (4.22), получаем:

(4.25)

Отметим, что заодно мы доказали следующий принципиальный факт, который мы обещали доказать в конце §2: у любой непрерывной на [A; B] функции F(X) имеется первообразная F(X). Ею, в частности, является функция Ф(х). А значит, для любой непрерывной на [A; B] функции F(X) существует для X Î [A; B] и неопределенный интеграл (4.19). Хотя, как мы уже замечали в §1, он далеко не всегда может быть выражен через элементарные функции (может оказаться неберущимся). Найдя приближенно (машинным путем) функцию Ф(х), мы тем самым найдем приближенно и .

А теперь перейдем непосредственно к доказательству формулы Ньютона-Лейбница (4.20). Пусть F(X) – любая первообразная для функции F(X) на [A; B]. Так как она может отличаться от указанной выше первообразной Ф(х) лишь на константу, то

(4.26)

Полагая в этом равенстве Х = а, получаем:

(4.27)

Значит, равенство (4.26) принимает вид:

(4.28)

А теперь, полагая в (4.28) Х = B, получим:

(4.29)

Но это, по сути, это и есть формула (4.20) Ньютона-Лейбница.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Вычислим сначала

(значит, )

А тогда

Геометрическая иллюстрация полученного результата изображена ниже:

(4.30)

Формула Ньютона-Лейбница (4.20) принадлежит к числу важнейших формул высшей математики. Она позволяет просто, а главное, точно вычислять определенные интегралы. А значит, позволяет находить точные значения многих нужных для практики величин (площадей криволинейных фигур; помещений тел при переменных скоростях их движения; работ переменных сил и многое другое). Но она может быть использована, если только соответствующий неопределенный интеграл – из берущихся. В противном случае неизвестна первообразная F(X) для функции F(X), а значит, нечего подставлять и в формулу (4.20) Ньютона-Лейбница.

Если неопределенный интеграл неберущийся, то соответствующий ему определенный интеграл может быть найден лишь приближенно. Например, с помощью ЭВМ – так, как об этом говорилось выше, перед выводом формулы Ньютона-Лейбница.

Упражнения

1. На основании формулы (4.18) (формулы грубой оценки определенных интегралов) оценить величину следующих интегралов:

А); б).

Ответ: а); б).

2. Сравнив подынтегральные функции интегралов и , выяснить, какой из них больше.

Ответ: > .

3. Доказать, что для всех справедливо неравенство , и с его помощью доказать, что

4. Доказать, что заключен между и .

5. Найти площадь S, заключенную между параболой и осью оХ.

Ответ:

6. Найти работу А, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если для ее растяжения на 1 см необходима сила в 20 н.

Указание. При решении задачи использовать закон Гука: величина удлинения пружины пропорциональна растягивающей ее силе.

Ответ: .

7. Производительность труда Z = F(T) среднестатистического рабочего на некотором предприятии представляет собой функцию

Найти объем Q продукции, производимой рабочим за смену (8 часов).

Ответ:

< Предыдущая   Следующая >

Урок в 11 классе»Формула Ньютона -Лейбница»

1. Орг. момент

Сегодня на уроке мы продолжаем отрабатывать навыки нахождения площади криволинейной трапеции и вычисление определенного интеграла; формируем математическую интуицию, которая поможет ориентироваться в способах нахождения площадей различных фигур. Дать самому себе установку: «понять и быть первым, кто найдет площадь фигуры»

2. Фронтальная (устная) работа

1. Для функции найдите производную и первообразную. Слайд №2

2. На каком рисунке изображена криволинейная трапеция? Слайд №3

3. Что называется криволинейной трапецией?

3. Учитель: Мы рассмотрели правило вычисления площади криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм. Это у вас вызвало затруднения? Как вы думаете, существует ли другой способ вычисления площади криволинейной трапеции? Да.

Слайд № 4. Теорема: Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и пусть F(х) есть какая — либо её первообразная. Тогда справедливо равенство

Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

— В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

Слайд № 5. С точки зрения геометрии определенный интеграл — это ПЛОЩАДЬ. Площадь криволинейной трапеции можно находить по формуле Ньютона-Лейбница

 

 Рассмотрим следующие фигуры.

а) Слайд 6. Фигура ограничена графиком функции у=f(x), отрезком [a,b] и прямыми х=а, х=b.

Как можно определить площадь этой фигуры? (по формуле )

б) Рассмотрим фигуру которая находится «ниже» оси Ох. Как ребята думаете, можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница? Нет, так как, вычисляя интеграл мы получим отрицательное значение, чего не может быть при вычислении площади.

Следовательно, площадь равна: .

в) Слайд №7. Как найти площадь фигуры состоящей из двух частей?

S = S1 + S2

г) Слайд № 8. Подумайте, как найти площадь фигуры ограниченную графиками функций g(x) и f(x). (Рассмотреть разные способы)

4. Закрепление изученного

Слайд№ 9. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 + 2, х = 1, х = -2

Слайд№ 10. 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х — 3, у = х2 -3.

(решение записывается на ИД)

Слайд № 11. 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями g(x) = 3 — х,

f(x) = 0,5х2 + 2х + 3, х = -3, х = 2, у = 0

(решение записывается на ИД)

5. Проверка усвоения знания

Слайд № 12 — 13. 1. Запишите формулы для вычисления площади фигуры.

6. Подведение итогов, домашнее задание

3 Вычисление определённого интеграла, формула Ньютона-Лейбница

11.3. Вычисление определённого интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.

            11.3.1. Интеграл с переменным верхним пределом.

 

Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования:  (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой , а буквой  обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что  — переменная, в результате интеграл будет функцией  своего верхнего предела: . Легко доказать, что если  интегрируема, то  непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:

            Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция  непрерывна в окрестности точки , то в этой точке функция  дифференцируема, и .

            Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.

Док-во. Дадим верхнему пределу  приращение . Тогда

, где  — точка, лежащая между  и  (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства — номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим  . При этом  ( — точка, расположенная между  и ). Так как  непрерывна в точке , то  . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.

            Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция  имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

            11.3.2. Формула Ньютона-Лейбница. Если  непрерывна на отрезке , и — некоторая первообразная функции , то .

            Док-во. Мы установили, что функция  — первообразная непрерывной . Так как  — тоже первообразная, то . Положим в этом равенстве . Так как , то . В равенстве  переобозначим переменные: для переменной интегрирования вернёмся к обозначению , верхний предел  обозначим . Окончательно, .

            Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом:  (здесь  читается как «подстановка от  до «), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .

            Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

            11.3.3. Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если  — непрерывно дифференцируемые функции, то .

            Док-во. Интегрируем равенство  в пределах от  до : . Функция в левом интеграле имеет первообразную , по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство.

            Пример: .

            11.3.4. Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

1.      определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

2.      ,

3.      функция  непрерывна на отрезке .

Тогда .

Док-во. Пусть  — первообразная для функции , т.е. , тогда  — первообразная для функции . , что и требовалось доказать.

            При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла. Пример:

. x \ ln t, dxd tx = txlnt, поэтому дифференцирование числителя по показателю степени похоже на то, что мы ‘ хотел бы сделать.{1} = \ frac {1} {x + 1} .g ′ (x) = ∫01 ∂x∂ lnttx − 1 dt = ∫01 lnttxlnt dt = x + 1tx + 1 ∣∣∣ ∣∣ 01 = х + 11. Отсюда следует, что g (x) = ln⁡∣x + 1∣ + Cg (x) = \ ln | x + 1 | + Cg (x) = ln∣x + 1∣ + C для некоторой постоянной CCC.

Чтобы определить CCC, обратите внимание, что g (0) = 0g (0) = 0g (0) = 0, поэтому 0 = g (0) = ln⁡1 + C = C0 = g (0) = \ ln 1 + C = C0 = g (0) = ln1 + C = C. Следовательно, g (x) = ln⁡∣x + 1∣g (x) = \ ln | x + 1 | g (x) = ln∣x + 1∣ для всех xxx таких, что интеграл существует. В частности, g (3) = ln⁡4 = 2ln⁡2g (3) = \ ln 4 = 2 \ ln 2g (3) = ln4 = 2ln2. □ _ \ квадрат □

В этом примере часть подынтегрального выражения была заменена переменной, а результирующая функция исследовалась с помощью дифференцирования под знаком интеграла.{\ infty} \ cos tu \, du, 0 = g ′ (t) = ∫0∞ costudu, что абсурдно. Проблема в том, что функция f (x, t) = sin⁡tx / xf (x, t) = \ sin tx / xf (x, t) = sintx / x не является непрерывно дифференцируемой (рассмотрим ∂f / ∂t \ partial f / \ partial t∂f / ∂t при x = 0x = 0x = 0), что требовалось в предположениях, изложенных выше.

4π4 \ pi4π

2π2 \ pi2π

π \ piπ

0

Вычислите определенный интеграл: ∫02πecos⁡θcos⁡ (sin⁡θ) dθ.{t \ cos \ theta} \ cos (t \ sin \ theta) \, d \ thetaf (t) = ∫02π etcosθcos (tsinθ) dθ

и используйте дифференцирование под знаком интеграла.

5.3: Основная теорема основ исчисления

В предыдущих двух разделах мы рассмотрели определенный интеграл и его связь с площадью под кривой функции. К сожалению, пока что единственными доступными нам инструментами для вычисления значения определенного интеграла являются формулы геометрической площади и пределы сумм Римана, и оба подхода чрезвычайно громоздки.В этом разделе мы рассмотрим несколько более мощных и полезных методов вычисления определенных интегралов.

Эти новые методы основаны на взаимосвязи между дифференциацией и интеграцией. Эта взаимосвязь была обнаружена и исследована как сэром Исааком Ньютоном, так и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (среди прочих) в конце 1600-х — начале 1700-х годов, и она систематизирована в том, что мы сейчас называем Фундаментальной теоремой исчисления , которая состоит из двух частей. изучите в этом разделе.Само ее название указывает на то, насколько важна эта теорема для всего развития математического анализа.

Вклад Исаака Ньютона в математику и физику изменил наш взгляд на мир. Обнаруженные им отношения, систематизированные как законы Ньютона и закон всемирного тяготения, до сих пор преподаются как основополагающий материал в физике, а его вычисления породили целые области математики. Чтобы узнать больше, прочтите краткую биографию Ньютона с мультимедийными роликами.

Основная теорема исчисления, часть 1: Интегралы и первообразные

Фундаментальная теорема исчисления — чрезвычайно мощная теорема, которая устанавливает связь между дифференцированием и интегрированием и дает нам способ вычислять определенные интегралы без использования сумм Римана или вычисления площадей.x_af (t) dt, \]

, то \ (F ′ (x) = f (x) \) над \ ([a, b] \).

Здесь стоит упомянуть пару тонкостей. Во-первых, комментарий к обозначениям. Обратите внимание, что мы определили функцию \ (F (x) \) как определенный интеграл другой функции, \ (f (t) \), от точки a до точки x. На первый взгляд это сбивает с толку, потому что мы несколько раз говорили, что определенный интеграл — это число, а здесь похоже, что это функция. Ключевым моментом здесь является заметить, что для любого конкретного значения x определенный интеграл является числом.Таким образом, функция \ (F (x) \) возвращает число (значение определенного интеграла) для каждого значения x.

Во-вторых, стоит прокомментировать некоторые ключевые следствия этой теоремы. Не зря ее называют фундаментальной теоремой исчисления. Он не только устанавливает связь между интеграцией и дифференцированием, но также гарантирует, что любая интегрируемая функция имеет первообразную. В частности, он гарантирует, что любая непрерывная функция имеет первообразную.2 − cosx \)

Фундаментальная теорема исчисления, часть 2: оценочная теорема

Фундаментальная теорема исчисления, часть 2, возможно, самая важная теорема в исчислении. После неустанных усилий математиков в течение примерно 500 лет появились новые методы, которые предоставили ученым необходимые инструменты для объяснения многих явлений. Используя вычисления, астрономы наконец смогли определить расстояния в космосе и нанести на карту планетные орбиты. b_af (x) dx = F (b) -F (a).b_a \) для обозначения выражения \ (F (b) −F (a) \). Мы используем эту вертикальную черту и связанные с ней пределы a и b, чтобы указать, что мы должны оценить функцию \ (F (x) \) на верхнем пределе (в данном случае b) и вычесть значение функции \ (F ( x) \) оценивается на нижнем пределе (в данном случае a).

Фундаментальная теорема исчисления , часть 2 (также известная как оценочная теорема ) утверждает, что если мы можем найти первообразную для подынтегрального выражения, то мы можем вычислить определенный интеграл, вычислив первообразную в конечных точках интервала. и вычитание.3} {3} −4 (−2)] \)

\ (\ Displaystyle = (\ гидроразрыва {8} {3} −8) — (- \ гидроразрыва {8} {3} +8) \)

\ (\ displaystyle = \ frac {8} {3} −8+ \ frac {8} {3} −8 = \ frac {16} {3} −16 = — \ frac {32} {3}. \ )

Анализ

Обратите внимание, что мы не включили термин «+ C» при написании первообразной. Причина в том, что согласно Фундаментальной теореме исчисления, часть 2, любое первообразное работает. Итак, для удобства мы выбрали первообразную с \ (C = 0. \). Если бы мы выбрали другую первообразную, постоянный член сократился бы.Это всегда происходит при вычислении определенного интеграла.

Область только что рассчитанной области изображена на рисунке. Обратите внимание, что область между кривой и осью x находится ниже оси x. Площадь всегда положительна, но определенный интеграл все равно может давать отрицательное число (чистая площадь со знаком). Например, если это функция прибыли, отрицательное число указывает на то, что компания работает с убытками в течение данного интервала.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Оценка определенного интеграла может дать отрицательное значение, даже если площадь всегда положительна.{−4} dx. \)

Подсказка

Используйте правило мощности.

Ответ

\ (\ frac {7} {24} \)

Пример \ (\ PageIndex {8} \): Гонка на роликах

Джеймс и Кэти мчатся на роликовых коньках. Они мчатся по длинной прямой трассе, и тот, кто проехал дальше через 5 секунд, получает приз. Если Джеймс может кататься со скоростью \ (f (t) = 5 + 2t \) ft / sec, а Кэти может кататься со скоростью \ (g (t) = 10 + cos (\ frac {π} {2}) t) \) ft / sec, кто выиграет гонку?

Раствор

Нам нужно интегрировать обе функции в интервале \ ([0,5] \) и посмотреть, какое значение больше.5_0 \]

\ [= (50+ \ frac {2} {π}) — (0− \ frac {2} {π} sin0) ≈50.6. \]

Кэти откатилась примерно на 50,6 футов за 5 секунд. Кэти выигрывает, но ненамного!

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Предположим, Джеймс и Кэти проводят матч-реванш, но на этот раз судья останавливает соревнование всего через 3 секунды. Изменит ли это результат?

Подсказка

Измените пределы интеграции по сравнению с приведенными в примере.

Ответ

Кэти по-прежнему выигрывает, но с гораздо большим отрывом: Джеймс проезжает на 24 фута за 3 секунды, а Кэти — на 29.3634 фута за 3 секунды.

Парашютист в свободном падении

Джули — заядлый парашютист класса . У нее за поясом более 300 прыжков, и она овладела искусством корректировать положение своего тела в воздухе, чтобы контролировать скорость падения. Если она выгибает спину и направляет живот к земле, она достигает конечной скорости примерно 120 миль в час (176 футов / сек). Если, вместо этого, она поворачивает свое тело с опущенной головой, она падает быстрее, достигая конечной скорости 150 миль в час (220 футов / сек).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Парашютисты могут регулировать скорость своего прыжка, изменяя положение своего тела во время свободного падения. (кредит: Джереми Т. Лок)

Поскольку Джули будет двигаться (падать) в нисходящем направлении, мы предполагаем, что нисходящее направление положительно, чтобы упростить наши вычисления. Джули выполняет свои прыжки с высоты 12 500 футов. После выхода из самолета она сразу же начинает падать со скоростью \ (v (t) = 32t.\)

Она продолжает ускоряться в соответствии с этой функцией скорости, пока не достигнет предельной скорости. После того, как она достигает предельной скорости, ее скорость остается постоянной, пока она не натянет трос и не замедлится, чтобы приземлиться.

Во время своего первого прыжка за день Джули принимает более медленное положение «животом вниз» (конечная скорость составляет 176 футов / сек). Используя эту информацию, ответьте на следующие вопросы.

  1. Через какое время после выхода из самолета Джули достигает предельной скорости?
  2. Основываясь на вашем ответе на вопрос 1, составьте выражение, включающее один или несколько интегралов, которые представляют расстояние, на которое Джули падает через 30 секунд.
  3. Если Джули натягивает шнур на высоте 3000 футов, сколько времени она проведет в свободном падении?
  4. Джули натягивает рипкорд на высоте 3000 футов. Для полного раскрытия парашюта и замедления ее движения требуется 5 секунд, за это время она падает еще на 400 футов. После того, как ее купол полностью раскрыт, ее скорость снижается до 16 футов / сек. Найдите общее время, которое Джули проводит в воздухе с момента выхода из самолета до момента, когда ее ноги касаются земли. Во время второго прыжка за день Джули решает, что хочет упасть немного быстрее, и ориентируется в положении «голова опущена».Ее конечная скорость в этом положении составляет 220 футов / сек. Ответьте на эти вопросы, основываясь на этой скорости:
  5. Сколько времени нужно Джули, чтобы достичь предельной скорости в этом случае?
  6. Перед тем, как натянуть трос, Джули переориентирует свое тело в положение «живот вниз», чтобы она двигалась не так быстро, когда ее парашют открывается. Если она начнет этот маневр на высоте 4000 футов, сколько времени она проведет в свободном падении, прежде чем начнет переориентацию?

Некоторые прыгуны носят « вингсьюты » (см. Рисунок).Эти костюмы имеют тканевые вставки между руками и ногами и позволяют владельцу скользить в свободном падении, как белка-летяга. (Действительно, костюмы иногда называют «костюмами белки-летяги».) При ношении этих костюмов конечная скорость может быть снижена примерно до 30 миль в час (44 фута / сек), что позволяет владельцу намного дольше находиться в воздухе. Флайеры вингсьютов все еще используют парашюты для приземления; Хотя вертикальные скорости находятся в пределах безопасности, горизонтальные скорости могут превышать 70 миль в час, что слишком быстро для безопасной посадки.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Тканевые вставки на руках и ногах вингсьюта снижают вертикальную скорость падения парашютиста. (кредит: Ричард Шнайдер)

Ответьте на следующий вопрос, основываясь на скорости в вингсьюте.

7. Если Джули надевает вингсьют перед третьим за день прыжком и натягивает шнур на высоте 3000 футов, сколько времени она сможет провести, планируя в воздухе

Ключевые понятия

  • Теорема о среднем значении для интегралов утверждает, что для непрерывной функции на закрытом интервале существует такое значение c, что \ (f (c) \) равно среднему значению функции. b_af (x) dx.b_af (x) dx = F (b) −F (a). \)

    Глоссарий

    основная теорема исчисления
    теорема, центральная для всего развития математического анализа, которая устанавливает связь между дифференцированием и интегрированием
    основная теорема исчисления, часть 1
    использует определенный интеграл для определения первообразной функции
    основная теорема исчисления, часть 2
    (также, оценочная теорема ), мы можем вычислить определенный интеграл, оценив первообразную подынтегральной функции в конечных точках интервала и вычтя
    Теорема о среднем значении для интегралов
    гарантирует, что существует точка c , такая что \ (f (c) \) равно среднему значению функции

    Авторы

    • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

    интегралов | Безграничное исчисление

    Нефтепродукты

    Первообразная — это дифференцируемая функция [латекс] F [/ латекс], производная которой равна [латекс] f [/ латекс] (то есть [латекс] F ‘= f [/ латекс]).

    Цели обучения

    Вычислить первообразную (или неопределенный интеграл) для заданной функции

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Процесс определения первообразных называется антидифференцированием, а его противоположная операция называется дифференцированием, то есть процессом нахождения производной.
    • Первообразные связаны с определенными интегралами через фундаментальную теорему исчисления: определенный интеграл функции на интервале равен разнице между значениями первообразной, вычисленной в конечных точках интервала.
    • Графики первообразных данной функции представляют собой вертикальные перемещения друг друга, причем положение каждого графа зависит от значения константы [латекс] C [/ латекс]. {b} f (x) dx = F (b) — F (a)} [/ latex]

      Из-за этого правила каждую из бесконечного числа первообразных данной функции [latex] f [/ latex] иногда называют «общим интегралом» или «неопределенным интегралом» [latex] f [/ latex] и записывают с использованием интегрального символа без границ:

      [латекс] \ displaystyle {\ int f (x) dx} [/ латекс]

      Если [латекс] F [/ латекс] является первообразной [латекс] f [/ латекс], и функция [латекс] f [/ латекс] определена на некотором интервале, то все остальные первообразные [латекс] G [/ latex] of [latex] f [/ latex] отличается от [latex] F [/ latex] константой: существует число [latex] C [/ latex] такое, что [latex] G (x) = F (x ) + C [/ latex] для всех [latex] x [/ latex].2} [/ latex] в его естественном домене:

      [латекс] (- \ infty; 0) \ bigcup (0; \ infty) [/ latex].

      Площадь и расстояния

      Определенные интегралы используются во многих практических ситуациях, когда требуется вычисление расстояния, площади и объема. {b} f (x) dx [/ latex] неформально определяется как площадь области на плоскости [latex] xy [/ latex], ограниченная график [latex] f [/ latex], ось [latex] x [/ latex] и вертикальные линии [latex] x = a [/ latex] и [latex] x = b [/ latex], таким образом, что область над осью [latex] x [/ latex] прибавляется к сумме, а область под осью [latex] x [/ latex] вычитается из общей суммы.{b} f (x) dx = F (b) — F (a) [/ латекс].

    • Когда практическое приближение не дает достаточно точных результатов для вычислений расстояния, площади и объема, необходимо выполнить интегрирование.
    Ключевые термины
    • первообразная : неопределенный интеграл
    • интеграция : операция поиска области на плоскости [latex] xy [/ latex], связанной заданной функцией
    • определенный интеграл : интеграл функции между верхней и нижней границей

    Интегрирование — важное понятие в математике и — вместе с обратным ему дифференцированием — одна из двух основных операций в исчислении.{b} f (x) dx = F (b) — F (a) [/ латекс]. Определенные интегралы появляются во многих практических ситуациях, требующих вычислений расстояния, площади и объема.

    Площадь

    Для начала рассмотрим кривую [латекс] y = f (x) [/ latex] между [latex] 0 [/ latex] и [latex] x = 1 [/ latex] с [latex] f (x) = \ sqrt {x}. [/ latex]

    Мы спрашиваем: «Какова площадь под функцией [latex] f [/ latex] в интервале от [latex] 0 [/ latex] до [latex] 1 [/ latex]? »И назовем эту (пока неизвестную) область интегралом [латекса] f [/ латекса].{1} \ sqrt {x} dx} [/ латекс]

    В первом приближении посмотрите на единичный квадрат, заданный сторонами [латекс] x = 0 [/ латекс] до [латекс] x = 1 [/ латекс], [латекс] y = f (0) = 0 [/ латекс] и [латекс] y = f (1) = 1 [/ latex]. Его площадь ровно [латекс] 1 [/ латекс]. Как бы то ни было, истинное значение интеграла должно быть несколько меньше. Уменьшение ширины прямоугольников аппроксимации должно дать лучший результат, поэтому мы пересечем интервал за пять шагов, используя точки аппроксимации [latex] 0 [/ latex], [latex] \ frac {1} {5} [/ latex ], [latex] \ frac {2} {5} [/ latex] и так далее, вплоть до [latex] 1 [/ latex].Установите коробку для каждого шага, используя правую конечную высоту каждой части кривой, таким образом получив [латекс] \ sqrt {\ frac {1} {5}} [/ latex], [latex] \ sqrt {\ frac {2} { 5}} [/ latex] и так далее, вплоть до [latex] \ sqrt {1} = 1 [/ latex]. Суммируя площади этих прямоугольников, мы получаем лучшее приближение для искомого интеграла, а именно:

    [латекс] \ displaystyle {\ sqrt {\ frac {1} {5}} \ left (\ frac {1} {5} — 0 \ right) + \ sqrt {\ frac {2} {5}} \ left (\ frac {2} {5} — \ frac {1} {5} \ right) + \ cdots + \ sqrt {\ frac {5} {5}} \ left (\ frac {5} {5} — \ гидроразрыв {4} {5} \ right) \ приблизительно 0.7497} [/ латекс]

    Обратите внимание, что мы берем конечную сумму многих значений функции [latex] f [/ latex], умноженную на разности двух последующих точек аппроксимации. Легко видеть, что приближение все еще слишком велико. Использование большего количества шагов дает более точное приближение, но никогда не будет точным: заменив подынтервалы [latex] 5 [/ latex] на двенадцать, как показано, мы получим приблизительное значение для площади [latex] 0,6203 [/ latex], что очень маленький. Ключевой идеей является переход от добавления конечного числа разностей точек аппроксимации, умноженных на их соответствующие значения функций, к использованию бесконечного числа мелких или бесконечно малых шагов.{1/2} dx = F (1) — F (0) = \ frac {2} {3}} [/ latex]

    Расстояние (определение длины дуги интегрированием)

    Если вам известна скорость [latex] v (t) [/ latex] объекта как функция времени, вы можете просто интегрировать [latex] v (t) [/ latex] во времени, чтобы вычислить расстояние, которое прошел объект. . Так как это эквивалентно оценке площади под кривой [латекс] v (t) [/ латекс], мы не будем обсуждать это подробнее.

    Однако вы также можете использовать интегралы для вычисления длины — например, длину дуги, описываемую функцией [latex] y = f (x) [/ latex].8} \, dt} [/ латекс]

    Определенный интеграл : Определенный интеграл функции может быть представлен как область со знаком области, ограниченной ее графиком.

    Определенный интеграл

    Определенный интеграл — это площадь области на плоскости [latex] xy [/ latex], ограниченная графиком [latex] f [/ latex], осью [latex] x [/ latex] и вертикальные линии [латекс] x = a [/ latex] и [latex] x = b [/ latex].

    Цели обучения

    Вычислить определенный интеграл функции по заданному интервалу

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Интегрирование — важное понятие в математике и — вместе с обратным ему дифференцированием — одна из двух основных операций в исчислении.{b} f (x) dx = F (b) — F (a) [/ латекс].
    • Определенные интегралы появляются во многих практических ситуациях, и их фактическое вычисление важно в точном машиностроении (любой дисциплины), который требует точных и строгих значений.
    Ключевые термины
    • определенный интеграл : интеграл функции между верхней и нижней границей
    • интеграция : операция поиска области на плоскости [latex] xy [/ latex], связанной функцией
    • первообразное : неопределенный интеграл

    Интегрирование — важное понятие в математике и, вместе с обратным ему дифференцированием, одна из двух основных операций в исчислении.{b} f (x) dx [/ latex] неофициально определяется как область области на плоскости [latex] xy [/ latex], ограниченная графом [latex] f [/ latex], [ латекс] x [/ latex] -ось, а вертикальные линии [latex] x = a [/ latex] и [latex] x = b [/ latex], так что область над [latex] x [/ latex] -axis прибавляет к итоговому значению, а область под осью [latex] x [/ latex] вычитается из итогового значения. Такие интегралы называются определенными интегралами.

    Определенный интеграл : Определенный интеграл функции может быть представлен как область со знаком области, ограниченная ее графиком.

    Принципы интеграции были независимо сформулированы Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем в конце 17 века. Благодаря фундаментальной теореме исчисления, которую они независимо разработали, интегрирование связано с дифференцированием: если [latex] f [/ latex] является непрерывной вещественной функцией, определенной на отрезке [latex] [a, b] [/ latex] ], то, как только первообразное [латекс] F [/ латекс] из [латекса] f [/ латекса] станет известно, определенный интеграл от [латекса] f [/ латекса] по этому интервалу будет равен

    [латекс] \ displaystyle {\ int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) — F (a)} [/ latex]

    Определенные интегралы появляются во многих практических ситуациях.Если бассейн прямоугольной формы с плоским дном, то по его длине, ширине и глубине мы можем легко определить объем воды, который он может содержать (чтобы заполнить его), площадь его поверхности (чтобы покрыть его) и длина его края (чтобы закрепить его). Но если он овальной формы с закругленным дном, все эти величины требуют интегралов. Для таких тривиальных примеров может быть достаточно практических приближений, но точная инженерия (любой дисциплины) требует точных и строгих значений для этих элементов.

    Например, рассмотрим кривую [латекс] y = f (x) [/ latex] между 0 и x = 1 с [латексом] f (x) = \ sqrt {x}.{1} \ sqrt {x} dx [/ латекс]

    В первом приближении посмотрите на единичный квадрат, заданный сторонами [латекс] x = 0 [/ латекс] до [латекс] x = 1 [/ латекс], [латекс] y = f (0) = 0 [/ латекс] и [латекс] y = f (1) = 1 [/ latex]. Его площадь ровно [латекс] 1 [/ латекс]. Как бы то ни было, истинное значение интеграла должно быть несколько меньше. Уменьшение ширины прямоугольников аппроксимации должно дать лучший результат, поэтому мы пересечем интервал за пять шагов, используя точки аппроксимации [latex] 0 [/ latex], [latex] \ frac {1} {5} [/ latex ], [latex] \ frac {2} {5} [/ latex] и так далее, вплоть до [latex] 1 [/ latex].Установите коробку для каждого шага, используя правую конечную высоту каждой части кривой, таким образом получив [латекс] \ sqrt {\ frac {1} {5}} [/ latex], [latex] \ sqrt {\ frac {2} { 5}} [/ latex] и так далее, вплоть до [latex] \ sqrt {1} = 1 [/ latex]. Суммируя площади этих прямоугольников, мы получаем лучшее приближение для искомого интеграла, а именно:

    [латекс] \ displaystyle {\ sqrt {\ frac {1} {5}} \ left (\ frac {1} {5} — 0 \ right) + \ sqrt {\ frac {2} {5}} \ left (\ frac {2} {5} — \ frac {1} {5} \ right) + \ cdots + \ sqrt {\ frac {5} {5}} \ left (\ frac {5} {5} — \ гидроразрыв {4} {5} \ right) \ приблизительно 0.7497} [/ латекс]

    Обратите внимание, что мы берем конечную сумму многих значений функции [latex] f [/ latex], умноженную на разности двух последующих точек аппроксимации. Легко видеть, что приближение все еще слишком велико. Использование большего количества шагов дает более точное приближение, но никогда не будет точным: заменив подынтервалы [latex] 5 [/ latex] на двенадцать, как показано, мы получим приблизительное значение для площади [latex] 0,6203 [/ latex], что очень маленький. Ключевой идеей является переход от добавления конечного числа разностей точек аппроксимации, умноженных на их соответствующие значения функций, к использованию бесконечного числа мелких или бесконечно малых шагов.{1/2} dx = F (1) — F (0) = \ frac {2} {3}} [/ latex]

    Основная теорема исчисления

    Основная теорема исчисления — это теорема, которая связывает понятие производной функции с понятием интеграла.

    Цели обучения

    Определите первую и вторую фундаментальные теоремы исчисления

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Первая часть теоремы показывает, что неопределенное интегрирование можно обратить дифференцированием.
    • Вторая часть позволяет вычислить определенный интеграл функции, используя любую из ее бесконечного числа первообразных.
    • Вторая часть теоремы имеет неоценимые практические применения, поскольку она заметно упрощает вычисление определенных интегралов.
    Ключевые термины
    • первообразная : неопределенный интеграл
    • производная : мера того, как функция изменяется при изменении ее входных данных
    • определенный интеграл : интеграл функции между верхней и нижней границей

    Основная теорема исчисления — это теорема, которая связывает понятие производной функции с понятием интеграла.

    Основная теорема исчисления : Из этого рисунка видно, что основная теорема исчисления работает. По определению, производная [latex] A (x) [/ latex] равна [latex] \ frac {A (x + h) −A (x)} {h} [/ latex] как [latex] h [/ latex] стремится к нулю. Заменив числитель [латекс] A (x + h) -A (x) [/ latex] на [latex] hf (x) [/ latex] и разделив на [latex] h [/ latex], [latex] ] f (x) [/ latex] получается. Ограничение [latex] h [/ latex] стремится к нулю завершает доказательство основной теоремы исчисления.

    Теорема состоит из двух частей. Грубо говоря, первая часть посвящена производной первообразной, а вторая часть касается отношения между первообразными и определенными интегралами.

    Первая часть теоремы, иногда называемая первой фундаментальной теоремой исчисления, показывает, что неопределенное интегрирование можно обратить дифференцированием. Эта часть теоремы важна еще и потому, что она гарантирует существование первообразных для непрерывных функций.{b} f (t) dt} [/ латекс]

    Теперь [латекс] F [/ латекс] непрерывен на [латекс] [a, b] [/ латекс], дифференцируемый на открытом интервале [латекс] (a, b) [/ латекс] и [латекс] F ‘(x) = f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] в [latex] (a, b) [/ latex].

    Вторая часть, иногда называемая второй фундаментальной теоремой исчисления, позволяет вычислить определенный интеграл функции, используя любую из ее бесконечного числа первообразных. Эта часть теоремы имеет неоценимые практические приложения, поскольку она заметно упрощает вычисление определенных интегралов.{b} f (x) dx = F (b) — F (a)} [/ латекс]

    Первое опубликованное утверждение и доказательство ограниченной версии фундаментальной теоремы было сделано Джеймсом Грегори (1638–1675). Исаак Барроу (1630–1677) доказал более обобщенную версию теоремы, а ученик Барроу Исаак Ньютон (1643–1727) завершил развитие окружающей математической теории. Готфрид Лейбниц (1646–1716) систематизировал полученные знания в исчисление бесконечно малых величин и ввел обозначения, используемые сегодня. {b} f (x) dx = f (b) — f (a) [/ latex]

Ключевые термины
  • первообразная : неопределенный интеграл
  • определенный интеграл : интеграл функции между верхней и нижней границей
  • интегральный : также иногда называют первообразным; предел сумм, вычисляемых в процессе, в котором область определения функции делится на небольшие подмножества, а возможное номинальное значение функции на каждом подмножестве умножается на меру этого подмножества, после чего все эти продукты суммируются

Неопределенные интегралы и первообразные

Как вы помните из атомов первообразных, [латекс] F [/ латекс] считается первообразным от [латекса] f [/ латекса], если [латекс] F ‘(x) = f (x) [/ latex ].Однако [латекс] F [/ латекс] не единственное первообразное. Мы можем добавить любую константу [latex] C [/ latex] к [latex] F [/ latex] без изменения производной. Имея это в виду, мы определяем неопределенный интеграл следующим образом: [latex] \ int f (x) dx = F (x) + C [/ latex], где [latex] F [/ latex] удовлетворяет [latex] F ‘ (x) = f (x) [/ latex] и [latex] C [/ latex] — любая константа.

[latex] f (x) [/ latex], интегрируемая функция, называется подынтегральным выражением. Обратите внимание, что неопределенный интеграл дает семейство функций.2} {2} \ right) -x + c [/ latex], показывая три из бесконечного множества решений, которые могут быть получены путем изменения произвольной константы [latex] C [/ latex].

Неопределенные интегралы обладают следующими основными свойствами.

Постоянное правило для неопределенных интегралов

[латекс] \ int cf (x) dx = c \ int f (x) dx [/ латекс]

Правило суммы для неопределенных интегралов

[латекс] \ int (f (x) + g (x)) dx = \ int f (x) dx + \ int g (x) dx [/ latex]

Правило разности неопределенных интегралов

[латекс] \ int (f (x) — g (x)) dx = \ int f (x) dx — \ int g (x) dx [/ latex]

Определенные интегралы и теорема чистого изменения

Интегрирование по заданной области дает так называемый «определенный интеграл» (в том смысле, что область определена).{b} f (x) dx = f (b) — f (a)} [/ латекс]

В основном теорема утверждает, что интеграл или [латекс] F ‘[/ латекс] от [латекса] a [/ латекса] до [латекса] b [/ латекса] представляет собой область между [латексом] a [/ латексом] и [latex] b [/ latex], или разница в площади от положения [latex] f (a) [/ latex] до положения [latex] f (b) [/ latex]. Это можно применять для поиска таких значений, как объем, концентрация, плотность, численность населения, стоимость и скорость.

Правило замены

Интегрирование подстановкой — важный инструмент математиков, используемый для нахождения интегралов и первообразных.

Цели обучения

Используйте [latex] u [/ latex] -замещение (правило замещения), чтобы найти первообразную более сложных функций.

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Замена [латекс] x = g (t) [/ latex] дает [latex] \ frac {dx} {dt} = g ‘(t) [/ latex] и, следовательно, формально [latex] dx = g ‘(t) dt [/ latex], который является необходимой заменой для [latex] dx [/ latex].
  • [латекс] u [/ latex] -замещение (также называемое [латексным] w [/ latex] -замещением) используется для упрощения данного интеграла.
  • Замена может использоваться для определения первообразных.
Ключевые термины
  • интеграция : операция поиска области в плоскости [latex] x [/ latex] — [latex] y [/ latex], связанной функцией
  • первообразное : неопределенный интеграл

Интегрирование путем подстановки, также известное как [латекс] u [/ латекс] -замещение, представляет собой метод нахождения интегралов. Использование основной теоремы исчисления часто требует поиска первообразной.По этой и другим причинам интегрирование путем подстановки является важным инструментом для математиков. Это аналог цепного правила дифференциации.

Определенный интеграл : Определенный интеграл функции может быть представлен как область со знаком области, ограниченная ее графиком.

Пусть [latex] I \ substeq \ mathbb {R} [/ latex] будет интервалом, а [latex] g: [a, b] \ rightarrow 1 [/ latex] будет непрерывно дифференцируемой функцией. Предположим, что [latex] f: I \ rightarrow \ mathbb {R} [/ latex] — непрерывная функция.{b} f (g (t)) g ‘(t) dt} [/ латекс]

Используя обозначения Лейбница, замена [latex] x = g (t) [/ latex] дает:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {dx} {dt} = g ‘(t)} [/ латекс]

и, следовательно, формально:

[латекс] dx = g ‘(t) dt [/ латекс]

, который является необходимой заменой [latex] dx [/ latex].

Формула используется для преобразования одного интеграла в другой, который легче вычислить. Таким образом, формулу можно использовать слева направо или справа налево, чтобы упростить данный интеграл.2 + 1 = 5 [/ latex], преобразование обратно в термины [латекс] x [/ latex] было ненужным.

Подстановка может использоваться для определения первообразных, если выбирается связь между [латексом] x [/ латексом] и [латексом] u [/ латексом], определяется соответствующая связь между [латексом] dx [/ латексом] и [латексом] du. [/ latex] путем дифференцирования и выполняет замены. Можно надеяться, что первообразная замещенной функции может быть определена; исходная замена между [латексом] u [/ латексом] и [латексом] x [/ латексом] отменяется.2 + 1 [/ латекс].

Дополнительные трансцендентные функции

Трансцендентная функция — это функция, не являющаяся алгебраической.

Цели обучения

Определить трансцендентную функцию как функцию, которая не может быть выражена как конечная последовательность алгебраической операции

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Трансцендентные функции не могут быть выражены как решение полиномиального уравнения, коэффициенты которого сами являются полиномами с рациональными коэффициентами.
  • Примеры трансцендентных функций включают экспоненциальную функцию, логарифм и тригонометрические функции.
  • Трансцендентные функции могут быть легко обнаруживаемым источником размерных ошибок.
Ключевые термины
  • полином : выражение, состоящее из суммы конечного числа членов, каждый член является произведением постоянного коэффициента и одной или нескольких переменных, возведенных в неотрицательную целую степень
  • тригонометрическая функция : любая функция угла, выраженная как отношение двух сторон прямоугольного треугольника, имеющего этот угол, или различные другие функции, которые вычитают 1 из этого значения или вычитают это значение из 1 (например, синус)
  • экспоненциальная функция : любая функция, в которой независимая переменная представлена ​​в форме экспоненты; они являются обратными функциями логарифмов

Трансцендентная функция — это функция, не являющаяся алгебраической.Такая функция не может быть выражена как решение полиномиального уравнения, коэффициенты которого сами являются полиномами с рациональными коэффициентами. Примеры трансцендентных функций включают экспоненциальную функцию, логарифм и тригонометрические функции.

Тригонометрические функции : Верхняя панель: Тригонометрическая функция sinθ для выбранных углов [латекс] \ theta [/ latex], [latex] \ pi — \ theta [/ latex], [latex] \ pi + \ theta [/ latex] , и [латекс] 2 \ pi — \ theta [/ latex] в четырех квадрантах.Нижняя панель: График функции синуса в зависимости от угла.

Формально аналитическая функция [latex] ƒ (z) [/ latex] вещественных или комплексных переменных [latex] z_1, \ cdots, z_n [/ latex] трансцендентна, если [latex] z_1, \ cdots, z_n [/ latex], [latex] ƒ (z) [/ latex] алгебраически независимы, т.е. если [latex] ƒ [/ latex] трансцендентен над полем [latex] C (z_1, \ cdots, z_n) [/ latex] .

Трансцендентная функция — это функция, которая «превосходит» алгебру в том смысле, что она не может быть выражена в терминах конечной последовательности алгебраических операций сложения, умножения, степени и извлечения корня.x [/ latex] — трансцендентная функция. Аналогично, если мы установим [latex] c [/ latex] равным [latex] e [/ latex] в 5 , то мы обнаружим, что [latex] \ ln (x) [/ latex], натуральный логарифм, это трансцендентная функция.

В анализе размерностей трансцендентные функции примечательны тем, что они имеют смысл только тогда, когда их аргумент безразмерен (возможно, после алгебраической редукции). Из-за этого трансцендентные функции могут быть легко обнаруживаемым источником размерных ошибок. Например, [latex] \ log (5 \ text {meter}) [/ latex] — бессмысленное выражение, в отличие от [latex] \ log \ left (\ frac {5 \ text {meter}} {3 \ text {meter }} \ right) [/ latex] или [latex] \ log (3) \ text {meter} [/ latex].Можно попытаться применить логарифмическую идентичность для получения [latex] \ log (10) + \ log (m) [/ latex], что подчеркивает проблему: применение неалгебраической операции к измерению дает бессмысленные результаты.

Численное интегрирование

Численное интегрирование — это метод приближения значения определенного интеграла. {b} f (x ) dx [/ latex] неофициально определяется как область области на плоскости [latex] xy [/ latex], ограниченная графом [latex] f [/ latex], [latex] x [/ latex] ] ось, а вертикальные линии [латекс] x = a [/ latex] и [latex] x = b [/ latex], так что область над осью [latex] x [/ latex] добавляется к общей , и что область под осью [latex] x [/ latex] вычитается из общей суммы.Эти интегралы называются «определенными интегралами».

Определенный интеграл : Определенный интеграл функции может быть представлен как область со знаком области, ограниченная ее графиком.

Численное интегрирование представляет собой широкое семейство алгоритмов для вычисления числового значения определенного интеграла.

Есть несколько причин для проведения численного интегрирования.

Подынтегральное выражение [латекс] f (x) [/ латекс] может быть известно только в определенных точках, например, полученных путем выборки.2) [/ latex], первообразная которого (функция ошибок, умноженная на константу) не может быть записана в элементарной форме. Может быть возможно найти первообразную символически, но может быть проще вычислить численное приближение, чем вычислить первообразную. Это может иметь место, если первообразная дана как бесконечная серия или произведение, или если для ее оценки требуется специальная функция, которая недоступна.

Методы численного интегрирования обычно можно описать как объединение оценок подынтегрального выражения для получения приближения к интегралу.

Подынтегральная функция вычисляется в конечном наборе точек, называемых точками интегрирования, и взвешенная сумма этих значений используется для аппроксимации интеграла. Точки интегрирования и веса зависят от конкретного используемого метода и требуемой точности аппроксимации. Важной частью анализа любого метода численного интегрирования является изучение поведения ошибки аппроксимации в зависимости от количества вычислений подынтегрального выражения. Метод, который дает небольшую ошибку при небольшом количестве оценок, обычно считается лучшим.Уменьшение количества вычислений подынтегрального выражения уменьшает количество задействованных арифметических операций и, следовательно, уменьшает общую ошибку округления. Кроме того, каждая оценка требует времени, и подынтегральное выражение может быть произвольно сложным. Численное интегрирование типа «грубой силы» может быть выполнено, если подынтегральное выражение имеет достаточно хорошее поведение (то есть кусочно-непрерывное и ограниченное изменение), путем вычисления подынтегрального выражения с очень маленькими приращениями.

Самый простой метод численного решения интегралов — использовать правило средней точки или прямоугольника.af (x) dx \ приблизительно (b − a) f \ left (\ frac {a + b} {2} \ right)} [/ latex]

Затем площадь можно приблизительно определить путем сложения площадей прямоугольников. Обратите внимание: чем меньше прямоугольники, тем точнее приближение.

Правило прямоугольника : Иллюстрация правила численного интегрирования прямоугольника. {n -1} \ left (f \ left (a + k \ frac {ba} {n} \ right) \ right) + {f (b) \ over 2} \ right)} [/ latex]

, где подынтервалы имеют вид [latex] [kh, (k + 1) h] [/ latex], где [latex] h = \ frac {(b − a)} {n} [/ latex] и [latex] ] k = 0, 1, 2, \ cdots, n − 1 [/ latex].

Поскольку компьютеры могут выполнять множество арифметических операций за небольшой промежуток времени, они используют численное интегрирование для аппроксимации значений интегралов, а не решают их так, как это сделал бы человек.

Калькулятор формулы Лейбница

Ньютона. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту. Поскольку подынтегральная функция неограничена, это не обычный интеграл Римана, а скорее несобственный интеграл. Для этого вы хотите установить лимит :. Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу. Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх.

Формула Ньютона-Лейбница Задайте вопрос. Спросил 2 года 7 месяцев назад. Последняя активность 2 года 7 месяцев назад. Просмотренное время. Уточните этот вопрос. Gibbs 6, 3 3 золотых знака 11 11 серебряных знаков 28 28 бронзовых знаков. Я пытаюсь понять, как это решить.Я считаю, что у этой проблемы должно быть решение. В нем только указано «Рассчитать интеграл» в тесте, поэтому я полагаю, что есть решение, или, может быть, это вопрос с подвохом. Активные старые голоса.

Улучшите этот ответ.

Definite Integral Calculator

Robert Israel Robert Israel k 23 23 золотых знака серебряных знаков бронзовых знаков. Greg Greg 1 1 серебряный знак 5 5 бронзовых знаков. Зарегистрируйтесь или войдите в систему. Зарегистрируйтесь с помощью Google. Определенный интеграл данной функции называется пределом интегральных сумм :.Определенный интеграл представляет собой область между осью абсцисс, прямыми линиями и заданной функцией.

Для вычисления определенного интеграла необходимо вычислить соответствующий неопределенный интеграл, а затем использовать формулу интегрирования Ньютона-Лейбница :. Эта формула может применяться только в том случае, если подынтегральное выражение непрерывно на интервале интегрирования. Итак, прежде чем приступить к вычислению определенного интеграла, нужно найти область определения интеграла. Если подынтегральное выражение имеет несколько точек разрыва на интервале интегрирования, последний должен быть разбит на интервалы, где подынтегральное выражение непрерывно.

Затем вы должны вычислить соответствующие неопределенные интегралы на каждом интервале и использовать формулу Ньютона-Лейбница, чтобы взять пределы в точках, где функция имеет разрыв. Онлайн калькуляторы 90 Пошаговые примеры 5 Теория 6 Формулы 8 О программе. Калькулятор определенных интегралов онлайн.

Определенный интеграл заданной функции называется пределом интегральных сумм: Определенный интеграл представляет собой площадь между осью абсцисс, прямыми линиями и заданной функцией. Чтобы вычислить определенный интеграл, нужно вычислить соответствующий неопределенный интеграл, а затем использовать формулу интегрирования Ньютона-Лейбница: Эта формула может применяться только в том случае, если подынтегральное выражение непрерывно на интервале интегрирования.

Переменная интегрирования x y z t u p q n m s. Верхняя граница. Нижняя граница. Примеры Очистить ссылку. Загрузка изображения, подождите Другие полезные ссылки: Онлайн-калькулятор сумм рядов Калькулятор асимптот горизонтальной функции. Определенный интеграл — это разница между значениями первообразной подынтегральной функции. Проще говоря, некий интеграл численно равен площади части графика функции в определенных пределах, то есть площади криволинейной трапеции.

Определенный интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница.

Подписаться на RSS

Этот калькулятор решает определенный интеграл от f x с заданными верхним и нижним пределами. Воспользовавшись онлайн-калькулятором для расчета площади определенных интегралов криволинейной трапеции, вы получите подробное решение своей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный материал. Домашний определенный интеграл.

Интегральный калькулятор долей. Для Google Chrome: нажмите 3 точки в правом верхнем углу, а затем нажмите на звездочку.Как использовать?

Марина Бэй пески самая дешевая комната

Как пользоваться калькулятором определенного интеграла. Вы также можете воспользоваться поиском. Что такое определенный интеграл Определенный интеграл — это разница между значениями первообразной для подынтегрального выражения. Этот онлайн-калькулятор реализует метод Ньютона, также известный как метод Ньютона-Рафсона, с использованием калькулятора производных для получения аналитической формы производной заданной функции, потому что этот метод требует этого.

Отрасли, готовые к подрыву 2019

Немного теории, напоминающей основы метода, можно найти под калькулятором.В численном анализе метод Ньютона, также известный как метод Ньютона-Рафсона, названный в честь Исаака Ньютона и Джозефа Рафсона, представляет собой метод для последовательного поиска более точных приближений к корням или нулям вещественнозначной функции.

Если функция удовлетворяет предположениям, сделанным при выводе формулы, и первоначальное предположение близко, то лучшим приближением является x1. Геометрически x1, 0 является пересечением оси x и касательной к графику f в точках x0, f x0.

Процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто достаточно точное значение.Идея метода заключается в следующем: каждый начинает с первоначального предположения, которое достаточно близко к истинному корню, затем функция аппроксимируется ее касательной, которая может быть вычислена с помощью инструментов исчисления, и вычисляется пересечение с координатой x этой точки. касательная прямая, что легко сделать с помощью элементарной алгебры.

Это пересечение по оси x обычно будет лучшим приближением к корню функции, чем исходное предположение, и метод может быть повторен. Метод Ньютона — чрезвычайно мощный метод — в общем, сходимость квадратичная: по мере того, как метод сходится к корню, разница между корнем и приближением возводится в квадрат, количество точных цифр примерно удваивается на каждом шаге.

Заблуждение о нападении на человека

Однако метод имеет некоторые трудности: сложность вычисления производной функции, невозможность сходиться метода к корню, если предположения, сделанные при доказательстве квадратичной сходимости метода Ньютона, не выполняются. соблюдена медленная сходимость для корней с кратностью больше 1. Метод Ньютона. Начальное значение x0. Желаемая терпимость. Тип допуска. Точность вычисления Цифры после десятичной точки: 4.

Файл очень большой.Во время загрузки и создания может произойти замедление работы браузера. Скачать близко.

Схема классов Netbeans uml

Каждый, кто получит ссылку, сможет просмотреть этот расчет. Поделитесь этой страницей. Вопрос был серьезным интеллектуальным спором, который начал закипать и разгорелся в полную силу, когда Лейбниц первым опубликовал свою работу, но сторонники Ньютона обвинили Лейбница в плагиате неопубликованных идей Ньютона.

Современное мнение сводится к тому, что эти двое мужчин разработали свои идеи независимо.Ньютон утверждал, что начал работать над формой исчисления, которую он назвал «методом флюксий и плавных движений», в возрасте 23 лет, но не опубликовал его, за исключением небольшой аннотации в конце одной из своих публикаций десятилетия спустя. Октябрьская рукопись Ньютона сейчас опубликована среди его математических работ [1].

Готфрид Лейбниц начал работать над своим вариантом исчисления и опубликовал свою первую статью, в которой он использовался, «Nova Methodus pro Maximis et Minimis». Между тем, Ньютон, хотя и объяснил свою геометрическую форму исчисления в Разделе I Книги I Принципов [2], не объяснил свою возможную флюксионную нотацию для исчисления [3] в печати, пока частично и полностью.

В XVII веке, как и в настоящее время, большое значение для ученых имел вопрос научного приоритета. Однако в этот период научные журналы только начали появляться, а общепринятый механизм фиксации приоритета путем публикации информации об открытии еще не сформировался.

Среди методов, используемых учеными, были запечатанные анаграммы конверты, помещенные в безопасное место, переписка с другими учеными или личное сообщение.

Формула Ньютона-Лейбница

Письмо основателю Французской академии наук Марин Мерсенн для французского ученого или секретарю Лондонского королевского общества Генри Ольденбургу по английскому языку практически имело статус опубликованной статьи.

Первооткрыватель, помимо прославления, избавился от необходимости доказывать, что его результат не был получен с помощью плагиата. Также практическое значение могло иметь приоритет, если бы оно было связано с изобретением новых технических устройств.Широко распространенная стратегия нападения на приоритет заключалась в том, чтобы объявить открытие или изобретение не главным достижением, а всего лишь улучшением, используя известные всем техники и, следовательно, не требующие значительного мастерства их автора.

Серия громких споров о научном приоритете XVII века — эпохи, которую американский историк науки Д. Мели назвал «золотым веком грязных споров о приоритетах», — связана с именем Лейбница.

Первый из них произошел в начале своего первого визита в Лондон, когда в присутствии известного математика Джона Пелла он представил свой метод приближения рядов разностями.

Таким образом, целостность Лейбница была доказана, но в данном случае он был отозван позже. 1 февраля на заседании Лондонского королевского общества он продемонстрировал свой механический калькулятор. Куратор экспериментов Общества Роберт Хук внимательно осмотрел устройство и даже снял для этого заднюю крышку. Несколько дней спустя, в отсутствие Лейбница, Хук раскритиковал машину немецкого ученого, заявив, что он может сделать более простую модель. Узнав, что они не сделали свои открытия первыми, французские ученые передали свои данные первооткрывателям.

Подход Ньютона к приоритетной проблеме можно проиллюстрировать на примере открытия закона обратных квадратов применительно к динамике тел, движущихся под действием силы тяжести. Основываясь на анализе законов Кеплера и собственных расчетах, Роберт Гук сделал предположение, что движение в таких условиях должно происходить по орбитам, подобным эллиптическим. Не имея возможности строго доказать это утверждение, он сообщил об этом Ньютону.

Не вступая в переписку с Гуком, Ньютон решил эту задачу, а также обратную к ней, доказав, что закон обратных квадратов следует из эллиптичности орбит.Nordic предоставила услуги, в которых мы нуждались и от которых ожидали.

Мы всегда планировали свои поездки самостоятельно, но в данном случае не могли. Вы вписали тур в наш график, и мы полностью довольны. У нас только что был невероятный 24-дневный самостоятельный тур по красивой Скандинавии. Ирья была для нас дружелюбной к путешествию, с которой можно было вести дела.

Слова не могут передать тепло, которое мы получили, в то время как Nordic Visitor — отличное туристическое агентство. Сначала мы связались с ними, Александрия выслушала то, что мы хотели сделать, и организовала именно то, что мы хотели для нашей поездки.Они отлично справляются с предоставлением информации, не только общей информации о районе, но также вы получаете индивидуальный маршрут и мобильный телефон для использования.

Мы совершили поездку по кольцевой дороге и двухдневную экскурсию в Гренландию. Мы объездили весь мир, и я рекомендую это агентство всем, кто планирует поездку в Северные страны. Мы хотели совершить поездку по Исландии самостоятельно, но ничего не знали о том, где остановиться, что посмотреть и сколько времени может потребоваться, чтобы переехать с места на место.После долгих поисков в Интернете мы выбрали Nordic Visitor и очень обрадовались, что сделали это.

Мы сказали Александре, чем хотели бы заняться, сколько времени у нас есть и какие условия проживания мы бы предпочли. Она предложила маршрут, забронировала отели и зарезервировала машину. Задолго до поездки мы получили по почте все наши гостиничные и транспортные ваучеры, подробный маршрут, карту с предполагаемым маршрутом движения и все наши отели, нанесенные на нее, а также предложения о том, где поесть и что. делать и смотреть по пути.

Александра была работоспособной, отзывчивой, отзывчивой и всегда жизнерадостной. Оказавшись в Исландии, мы получили Исландский дорожный атлас и телефон для использования в экстренных случаях.

Прокат инвалидных колясок рядом со мной

В этой поездке все пошло не так, как надо. Если бы это было так, я знаю, что Nordic Visitor помогли бы нам чем могли.

Мои ожидания высоки, и они оправдались.

Мы только что вернулись из потрясающей девятидневной поездки с посещением Стокгольма, Копенгагена и Осло. И когда наш поход по леднику в Снайфелльсйокудль был завершен, она позвонила нам, чтобы подтвердить этот однодневный тур.Ваш сервис во всех смыслах превзошел наши ожидания. Отель Anna’s выделяется как один из самых приятных отелей за многие годы путешествий. Одно из его больших преимуществ — то, что он слишком мал для размещения туристических автобусов.

Ньютон, Лейбниц и Усэйн Болт — Введение в производные — AP Calculus AB — Khan Academy

У нас была замечательная поездка в Стокгольм, чему способствовала необычайная доброта богов погоды. Мы чувствовали, что было бы лучше начать с экскурсии по городу, чем заканчивать им нашу поездку.Расположение отеля было очень центральным, с прекрасными удобствами. В целом мы оба чувствовали, что о нас хорошо заботятся, и были очень впечатлены качеством обслуживания.

Нам очень понравился этот тур. Казалось, что в какие-то моменты у нас была Исландия, такая тихая и красивая. Пейзаж захватывающий, и исландцы очень гостеприимны. Мы были удивлены изобретательной кухней, одними из лучших блюд в нашей жизни.

Нам очень понравился путеводитель и наш собственный маршрутный буклет, который мы будем хранить на память об этом удивительном празднике.Сотовый телефон был приятным дополнением. Все было хорошо организовано и облегчило наше пребывание здесь. Мы благополучно приехали домой после двухнедельного пребывания в Исландии.

Я был так счастлив иметь возможность поболтать с вами перед отъездом из Исландии. Позвольте мне еще раз поблагодарить вас за все эти приготовления для нас и за ответы на все мои вопросы до и после бронирования. Ваш быстрый ответ на мое электронное письмо на этапе планирования этого отпуска заставил меня довериться вашим услугам и выбрать Nordic Visitor. Эта поездка в Исландию — поистине незабываемый отдых для нас.

Хотя нам пришлось пропустить некоторые места, которые вы предложили из-за плотного графика, поездка нам очень понравилась, и все прошло так гладко. Все люди, которых мы встретили во время нашего двухнедельного пребывания, заставляли меня чувствовать себя как дома в Исландии. Я ценю то, как хорошо правительство Исландии, люди, работающие в сфере туризма, и местные жители приветствуют посетителей.

Восстановить интеграл основной теоремы исчисления

Восстановить интеграл основной теоремы исчисления

Восстановить интеграл основной теоремы исчисления

Дэвид М.Брессуд май 2009 г.

Это потрясающий опыт — задавать вопросы студентам, которые успешно
завершили первый семестр математического анализа и попросили их изложить фундаментальные
Теорема исчисления (FTC) и объяснить, почему является фундаментальным.
Лучшие ученики помнят, что эта теорема утверждает, что интегрирование
и дифференциация — обратные процессы. Некоторые вспомнят ту часть, которая
утверждает, что если f является производной от F , то определенное
интеграл от f над [ a , b ] составляет F ( b )
F ( a ).Но даже те, кто помнит, что такое FTC
говорит, что не могут объяснить его важность. Проблема в том, что для
большинство студентов, их рабочее определение — и часто их единственный
определение — интеграция — это антидифференциация. У меня были студенты
объясните, что эта теорема важна, потому что она определяет интегрирование.

Это, конечно, указывает на основную проблему. Я не знаю современного исчисления
учебник, определяющий определенный интеграл любым способом, кроме как предел
сумм Римана.Оценочная часть FTC, та часть FTC, которая
большинство студентов помнят, является фундаментальным именно потому, что определенные
интеграл определяется как предел сумм Римана. FTC предоставляет альтернативный
и обычно гораздо более простой путь к вычислению интеграла. Но большинство
студенты никогда не усваивают определение предела. Для них формирующий
проблемы интегрального исчисления — это те, которые включают поиск антипроизводных
и вычисление определенных интегралов с помощью антипроизводных.Большинство
студенты могут выжить в математике, даже неплохо в ней, без определения
для интеграла, отличного от антидифференциации. Приложения к областям,
объемы, а накопления темпов изменения могут выполняться не потому, что
студенты понимают, почему определенный интеграл применим к этим задачам,
но потому что они научились применять это. Дело в том, что большинство злоумышленников
неохотно просят студентов решить незнакомую задачу, которая в первую очередь
должен рассматриваться как предел сумм Римана, свидетельствует о том, что немногие верят, что
их ученики действительно понимают определение предела.

Некоторые виноваты в непонимании интеграции как чего-либо другого
чем анти-дифференциация была заложена в основе повсеместного присутствия
исчисления в учебной программе средней школы. Студенты заранее знают, что
болезненные, громоздкие формулы для прямой оценки пределов Римана
суммы будут отметены, как только интеграция будет связана с дифференциацией.
Многие инструкторы, среди которых я когда-то был, считают, что если бы только
мы могли вернуться в те дни, когда студенты приезжали в колледж совершенно несведущими
исчисления, то студенты поверят нам, когда мы определим интеграл
как предел и благоговейно благоговеть перед появлением Федеральной торговой комиссии.

История говорит об обратном. Римановское определение интеграла не
появляются до 1854 года и не публиковались до 1868 года.
исчисления в конце 17-го века до попыток Коши в 1820-х годах
Если провести анализ на строгой основе, интеграция была определена как антидифференциация.
Спустя долгое время после Коши определенный интеграл продолжал определяться точно.
как наши студенты определили бы это сегодня, как разницу значений антипроизводной,
значения, взятые в конечных точках интервала.Так определил Лакруа
это в его Traité élémentaire de Calcul Différential
et de Calcul Intégral
[1] 1802 г.
учебник, который преобладал в преподавании математики на французском и английском языках
в первой половине 19 века. Так В.А. Гранвиль определил
это в стандартном американском тексте, Elements of the Differential and Integral
Исчисление
[2], с момента его первого появления в
1904 г. — последнее издание 1957 г.До 1950-х годов большинство авторов учебников
решил определить определенный интеграл в терминах антипроизводной.

Начиная со своего второго издания 1911 года, Гранвиль действительно сформулировал фундаментальные
Теорема исчисления. Для него это было утверждение, что определенный интеграл
может использоваться для оценки предела суммы Римана, вычисленной в средних точках
интервалов. Это различие подводит нас к сути того, что FTC
действительно говорит.FTC сообщает нам об интеграции, что есть два
способы определения определенного интеграла: в терминах антипроизводных или
как предел суммы Римана. С подходящими ограничениями простейшее существо
что интегрируемая функция непрерывна на интервале, они
эквивалентны. Когда FTC впервые появился в печати в современной форме,
в приложении к статье Поля дю Буа-Реймона 1876 г. [3],
она была описана как основная теорема об интеграле
исчисление (выделено мной), имя, которое поддерживал Хобсон, когда он популяризировал
он был написан на английском языке в 1907 году [4], и Гранвиль также использовал его.Это действительно теорема об интеграции.

Мы оказываем нашим студентам медвежью услугу, если не проясняем это. Это делает
не требует определения определенного интеграла, кроме как предел Римана
сумм (но см. примечание [5]) или изменение формулировки
либо часть FTC. Но это требует, чтобы мы изменили то, как мы вводим
и объясним эту теорему. В оценочной части FTC говорится, что если мы
иметь первообразную для непрерывной функции f , то предел
сумм Римана f на интервале [ a , b ]
можно оценить с точки зрения первообразной f .Первообразная
Часть FTC говорит, что для любой непрерывной функции f, функция
определяется как предел сумм Римана f с переменным верхним
limit x дает нам первообразную. Другими словами, пока
интегрируемая функция является непрерывной, антидифференцирующей и ограничивает
сумм Римана дают те же ответы.

Несомненно, это фундаментальное открытие, которое мы приписываем Ньютону и Лейбницу.Вот где возникает настоящая сила исчисления: эта проблема, которая, естественно,
приводит к пределу сумм Римана, которые можно оценить с помощью первообразных,
но также, что первообразные всегда могут быть получены из пределов Римана
суммы.

Конечно, недостаточно просто сказать это студентам. Они имеют
открыть для себя силу этой эквивалентности. Для этого требуется
давая им череду все более сложных проблем, для решения которых
студенты должны определить, как перевести проблему в оценку
предела сумм Римана.Они приходят к выводу, что оценка полезна.
Часть FTC как быстрый и простой шаг, который позволяет им найти точную
решение (см. примечание [6]). Чтобы понять силу
Антипроизводная часть FTC, им нужно бороться с проблемами
которые, кажется, требуют первообразной, но для которых ответ может быть
определяется с любой требуемой степенью точности за счет использования
эквивалентная сумма Римана (см. примечание [7]).

Нам нужно восстановить понимание того, что FTC действительно занимается интеграцией
Я бы попросил восстановить прилагательное Integral ,
возвращаясь к языку дю Буа-Реймона и Хобсона, признавших это
как Фундаментальная теорема интегрального исчисления (FTIC), теорема о том, что
не говорит нам, что дифференциация и интеграция — обратные процессы
друг к другу, но эта интеграция имеет два очень разных проявления.Признание и возможность воспользоваться этой эквивалентностью — вот что
истинный источник силы исчисления.


[1] Lacroix, S. F. 1802. Traité élémentaire
de Calcul Différential et de Calculus Intégral
. Париж:
Chez Duprat

[2] Granville, W. A. ​​1904. Элементы дифференциала
и интегральное исчисление
. Бостон: Ginn & Company

[3] дю Буа-Реймон, П.1876.
der integrationrechnung. Abhandlungen der Mathematisch-Physikalischen Classe
der Königlich Bayerischen Akademia der Wissenschaften zu München.
12: 161–166.

[4] Хобсон, Э. У. 1907. Теория функций
Действительная переменная и теория рядов Фурье.
Кембриджский университет
Нажмите.

[5] Я не вижу необходимости определять их как предел Римана.
суммы с полностью произвольными тегами (значения, при которых функция
оценивается).Левые суммы Коши или средние суммы Гранвилля идеально подходят
адекватно для целей расчетов за первый год. Риман представил свои суммы
с произвольными тегами, чтобы облегчить изучение полностью разрывных функций
которые, тем не менее, являются интегрируемыми, и эта тема не подходит для большинства
первый год обучения исчислению.

[6] Очень хорошее развитие таких проектов на основе
вычислительные моменты (как механические, так и вероятностные) можно найти у Смита.
и Мура Calculus: Modeling & Application , 2nd edition, at
www.math.duke.edu/education/calculustext/

[7] Хороший пример такой проблемы появился в 2004 г.
Экзамен AP Calculus, запрашивающий положение частицы в момент времени t = 2
если он движется по оси x со скоростью v ( t )
= 1 — arctan (exp ( t )), и он находится в позиции –1 в момент времени
t = 0. Большинство учеников находятся в тупике из-за того, что не могут найти
явная формула для антипроизводной этой функции, не распознающая
что им действительно нужен определенный интеграл от скорости по 0
<= t <= 2, и это может быть определено с любой точностью требуется численной аппроксимацией определенного интеграла 1 - арктан (exp ( т )).


Доступ к файлам PDF CUPM
Учебный план 2004
и учебный план
Основы проекта: Голоса партнерских дисциплин
.

Приобрести бумажную копию CUPM
Учебный план 2004
или Учебный план
Основы проекта: Голоса партнерских дисциплин
.

Найдите ссылки на ресурсы по программному обеспечению для конкретных курсов в
CUPM
Иллюстративные ресурсы
.

Найти другие Запуски
столбцы.


Дэвид Брессуд — профессор математики ДеВитта Уоллеса в колледже Макалестер.
в Сент-Поле, Миннесота, и президент MAA. Вы можете связаться с ним по адресу [email protected]
Эта колонка не отражает официальную позицию MAA.

Что такое исчисление и как с ним разобраться

Проклятие старшеклассников (а иногда и университетов), исчисление на самом деле является благословением для человечества — сложным и довольно трудным для понимания, но все же благословением.

Исчисление — это форма продвинутой математики, которая занимается изменением вещей. По сути, это система изучения того, как одна ценность изменяется по отношению к другой; вы также можете услышать, что это называется «изучением бесконечно малых».

Например, если вы знаете, сколько денег вы получаете и тратите каждый день, расчет может помочь вам понять, сколько денег у вас будет через несколько дней. Или, как это имеет место во многих физических задачах, вы можете рассчитать, сколько времени потребуется автомобилю, чтобы остановиться, если вы знаете его скорость и замедление.Исчисление может быть неприятностью, но это очень серьезная неприятность.

Да, и да — вопреки распространенному мнению, исчисление полезно в реальной жизни либо напрямую, либо путем тренировки вашего разума смотреть на вещи с научной точки зрения.

Исчисление было открыто или изобретено?

Интересный вопрос, который иногда возникает относительно исчисления, — было ли оно открыто или изобретено. Вопрос носит скорее философский характер, поэтому на него сложно ответить так или иначе.

Вообще говоря, математики говорят об открытии доказательства или метода, и, похоже, это также относится к исчислению. Исчисление было открыто (или изобретено) в конце 17 века сэром Исааком Ньютоном в Англии и Готфридом Лейбницем. Эти двое работали по отдельности и немного соперничали между собой, вплоть до споров о том, кто заслуживает уважения к расчетам.

Ньютон, получивший поддержку британских ученых, нуждался в расчетах для изучения движения планет по небу, что было важно как с научной точки зрения (поскольку в то время область астрономии набирала обороты), так и практически потому, что это было важно для навигации кораблей.Лейбница, которого поддерживали ученые из остальной Европы, больше интересовало вычисление площади под кривой, что в то время было сложной задачей для математиков.

Честно говоря, для нас мало важно, кто это открыл. Оба были титанами науки и математики, и оба внесли ценный вклад, который полезен и по сей день.

По правде говоря, Ньютон и Лейбниц не были первыми, кто увлекся исчислением, хотя они были первыми, кто разработал его как строгую систему.Многие идеи в области исчисления появились в Древней Греции и даже раньше. Некоторые упоминания о способах вычисления объема и площади, одной из первых целей интегрального исчисления, появляются в египетском московском папирусе более 3800 лет назад. Математик Древней Греции Евксоду обсуждал метод исчерпания в 4 веке до нашей эры, а Архимед позже основал эти методы, разработав вычисления, которые напоминают исчисление. Независимо, китайский математик Лю Хуэй открыл метод исчерпания (который вычисляет площадь формы, вписывая в нее последовательность многоугольников, площади которых сходятся с площадью исходной формы) семь веков спустя, примерно в 300 году нашей эры.Многие математики из других частей мира внесли свой вклад в исчисление, в том числе основополагающий трактат итальянского математика Бонавентуры Кавальери, но только Лейбниц и Ньютон действительно получили исчисление.

Сущность исчисления

Существует два различных типа исчисления (дифференциальное исчисление и интегральное исчисление). Это две обратные операции (что-то вроде сложения и вычитания, но не совсем), и мы рассмотрим их чуть позже. Но перед этим давайте посмотрим, что на самом деле движет исчислением: бесконечно малые.

Допустим, вы хотите вычислить площадь под кривой, как это сделал Лейбниц. Если кривая представляет собой полукруг или какую-то другую хорошо известную особенность, нам повезло — у нас есть формула для этого. Но что, если это просто случайная кривая? Что ж, давайте начнем с грубости: давайте аппроксимируем область под кривой прямоугольником. Как вы понимаете, это не очень точно. Что, если бы вместо одного мы использовали два-три прямоугольника разной высоты? Что ж, это все еще не очень хорошо, но несколько ближе к истине.

А что, если мы добавим еще несколько прямоугольников? Мы по-прежнему будем отключены, но чем больше прямоугольников мы добавим, тем ближе мы приблизимся к форме под кривой. По мере того как мы будем добавлять все больше и больше прямоугольников, мы будем приближаться к истине. В конечном итоге, если мы добавим бесконечное количество бесконечно малых прямоугольников, мы получим «бесконечно близкие», то есть наше приближение больше не является приближением, это фактическая кривая.

Анимация через Википедию.

Итак, у нас есть совершенно алгебраический способ решения сложных геометрических задач.Но это также относится к физическим величинам — кривая может, например, быть скоростью автомобиля или скоростью, с которой вы тратите деньги, и здесь могут быть полезны расчеты.

Calculus предлагает совершенно новую схему работы с физическими величинами, особенно в отношении того, как они меняются с течением времени. Мы можем изучать путь объектов, как хотел Ньютон, или смотреть на скорость или ускорение. Мы можем даже смотреть на более сложные вещи, такие как законы электромагнетизма или даже общую теорию относительности Эйнштейна — все они используют исчисление.

Такой способ работы с бесконечно малыми числами — один из фундаментальных строительных блоков исчисления. Еще один такой строительный блок — это пределы.

Предел — это значение функции (или последовательности), которое «приближается» к некоторому значению, но не достигает его. Если вы хотите сравнивать или вычислять бесконечно малые вещи, вам нужны ограничения. В приведенном выше примере кривой у вас будет бесконечное количество прямоугольников, но они будут бесконечно малыми. Пределы позволяют работать с бесконечностями и нулями без разбора математики.Возьмем простой пример.

Допустим, у вас есть функция f (x), которая определяется следующим образом:

Это все хорошо, вы можете без проблем вычислить свою функцию почти для всех значений x. Но что происходит, когда x = 1? Итак, ваша функция становится (1-1) / (1-1), что равно 0/0, а, как мы знаем, 0/0 не определено. Но, допустим, вы очень упрямы и хотите действительно приблизиться к 1.

Давайте попробуем тот же подход, что и с кривой, и сделаем грубое приближение.Допустим, x = 0,5. Если мы сделаем расчет, f (x) будет 1,5. Если мы сделаем x = 0,75, получится 1,75. Давайте посмотрим на еще несколько значений:

x f (x)
0,5 1,5
0,75 1,75
0,9 0,9 1,9 149914 1,999
0,9999 1,9999
1.0001 2.0001

Интуитивно вы уже можете видеть, что функция, когда x = 1 имеет тенденцию сходиться вокруг f (x) = 2. Мы хотим сказать, что ответ — 2, но мы не можем сказать, что это ровно 2, поэтому мы используем пределы, чтобы сказать, что когда x почти, но не совсем 1, ответ равен 2.

Технически мы можем использовать предел для вычисления, когда x бесконечно приближается к 1 через предел:

Мы также можем посмотреть на это, построив график функции со значениями x по горизонтали и значениями f (x) (или y) по вертикали.

На графике показана непрерывная линия с одним исключением, выделенным зеленым квадратом: она прерывается, когда x = 1. Таким образом, по сути, наша функция равна почти 2, когда x почти равно 1, но она не работает (не определено), когда x на самом деле 1.

Интегралы и производные

Теперь у нас есть основные инструменты, необходимые для изучения производных и интегралов — основы исчисления.

Дифференциальное исчисление делит вещи на маленькие разные части (производные) и то, как они меняются от одного момента к другому, в то время как интегральное исчисление объединяет (интегрирует) части вместе и сообщает нам, насколько изменилось в целом.

Определенный интеграл функции можно представить как площадь области, ограниченную ее графиком. Изображение взято из Википедии.

Фундаментальная теория исчисления связывает их вместе. Если у вас есть непрерывная функция f , есть производная от этой функции и антипроизводная, обычно называемая неопределенным интегралом (называемая F), и эти две операции являются противоположными. Вы можете использовать одно для отмены другого, так же как вы можете использовать умножение для отмены деления и наоборот.Если наша функция привязана к интервалу [a, b], то f — это производная от F, а F — это интеграл от f по этому конкретному интервалу. Фактически:

Это кажется немного сложным, но хорошая новость в том, что мы уже сделали интеграл! Помните наш пример сверху с кривой и прямоугольниками? Что ж, в исчислении интеграл можно рассматривать как пространство под графиком уравнения — другими словами, площадь под кривой. В некотором смысле интеграл — это сумма; в случае площади под кривой это сумма всех маленьких прямоугольников, которые мы использовали для ее аппроксимации.

Теперь посмотрим, что означает интеграл по интервалу. В нашем предыдущем примере кривой наш интервал был «от начала кривой до конца кривой». Но это не обязательно от начала до конца — мы можем просто выбрать начальную и конечную точки и вычислить наш интеграл (площадь под кривой) для этой конкретной части кривой. Давайте посмотрим, что это означает в графической форме:

Анимация через Википедию.

Так что это значит для деривативов?

Ну, производные измеряют скорость изменения одного значения по отношению к другому — чаще всего одного значения во времени.Самый простой пример производных — это положение, скорость и ускорение.

Допустим, вы находитесь в каком-то положении и хотите рассчитать свое будущее положение. Для этого все, что вам нужно знать, это ваша скорость, поэтому скорость определяется как скорость изменения положения. Проще говоря, скорость — это изменение положения в единицу времени, будь то мили в час или метр в секунду. И наоборот, определенный интеграл скорости даст нам пройденное расстояние.

Итак, что такое ускорение?

Ну, как скорость измеряет изменение положения во времени, так и ускорение измеряет изменение скорости. Так же, как скорость — это производная от положения, ускорение — это производная от скорости или вторая производная от положения (забавные мелочи, третья производная называется рывком или толчком).

Вот простая анимация скорости изменения в зависимости от кривой, которая поможет вам представить, как эти два соотносятся:

Анимация через Википедию.

Как вычислять производные и интегралы

Теперь, когда мы, надеюсь, начали понимать, что на самом деле означают производные и интегралы, давайте посмотрим, как их можно вычислить. Это очень сложная область сама по себе, и мы рассмотрим только самые основы, чтобы вы начали.

Расчет производных

Производный финансовый инструмент обычно определяется следующим образом:

Производные часто обозначаются с помощью f (x) и апострофа после f.В некоторых случаях используется обозначение f (x) или y´. Обозначения dx / dy или d / dx также широко используются, особенно в физике (или dx / dt, если это скорость изменения во времени).

Уже можно сделать несколько выводов. Например, производная любого постоянного значения всегда будет равна 0. Поскольку производная — это скорость изменения, а константа не изменяется, скорость изменения всегда будет равна 0. Принцип прост, но вы действительно можете это доказать. Если f (x) = c:

Еще один вывод: когда f (x) = x, производная будет постоянной.Другими словами, x ’= 1; наклон линии всегда будет постоянным. И снова мы можем это доказать. Если f (x) = x:

Из этого вы, возможно, уже имеете представление, что это означает для линейных функций вида ax + b . В этой ситуации b не имеет значения, так как оно будет равно 0, а поскольку производная x равна 1, то (ax + b) ‘= 1. Думайте об этом как о наклоне прямой: наклон постоянного значения всегда равно 0, наклон 2x всегда равен 2, наклон 3x всегда равен 3 и т. д.Геометрия часто помогает визуализировать математические задачи.

Производные от степени x на самом деле довольно просты, я дам вам подсказку, чтобы увидеть, сможете ли вы определить закономерность:

Вы его поймали? Для каждого числа n, производная x в степени n будет:

Существуют способы вычисления более сложных производных (включая тригонометрические функции), но мы не будем углубляться в это здесь — вы найдете несколько полезных формул исчисления в следующем разделе, но это все.

Вычисление интегралов

Интегралы — это обратные производные, поэтому все, что вам нужно сделать для вычисления интеграла, — это обратить производную. Ну, технически говоря, антипроизводная — это неопределенный интеграл:

Определенные интегралы вычисляются через определенный интервал, как следует из названия, поэтому они будут выглядеть так:

В любом случае первым шагом является вычисление неопределенного интеграла. В первом случае это конец истории, тогда как во втором вам нужно сделать дополнительный шаг: мы вычисляем неопределенный интеграл как для a , так и для b , а затем вычитаем их.Если рассматривать F как неопределенный интеграл, то:

Нет простого способа вычисления интегралов — если вы не запомните интегральные формулы или не имеете к ним доступа. Существуют правила интегрирования, о которых мы поговорим ниже, но лучше всего рассматривать интегралы как противоположность производным. Если x ’= 1, то ∫1 = x (другое обозначение будет F (1) = x). Но обратите внимание на константы! Поскольку этот пример является неопределенным, а производные исключают константы, невозможно узнать, имела ли производная константа с самого начала — так технически говоря, 1 = x + c , где c — константа.

Если бы мы преобразовали это в определенный интеграл, то он был бы целым от a до b . Приведем еще один случайный пример и скажем, что a = 7 и b = 10. Мы вычисляем F (x), когда x = a, и F (x), когда x = b, а затем вычитаем их. Поскольку наша F (x) на самом деле равна x, мы получаем b — a, или 10 — 7.

Если это звучит немного сложно, ну, в общем, так оно и есть. В исчислении, как и в жизни, нет ярлыков, и вещи могут быть как простыми, так и очень, очень сложными.

Формулы исчисления

Производные функции

В этом обозначении маленькая метка ‘означает «производную от», а f и g — функции.Число e — это постоянная, известная как число Эйлера.

9146 9146 9146 9146 9146 9146 9146

914 63 f / g

Общие функции Функция Производная
Константа c 0
Строка x 1
x 2 2x
Квадратный корень √x (½) x
Экспоненциальный e x

a x ln (a) a x
Логарифмы ln (x) 1 / x
log a

1 / x ln (a))
Тригонометрия (x в радианах) sin (x) cos (x)
cos (x) −sin (x)
tan (x) sec 2 (x)
Обратная тригонометрия sin -1 (x) 1 / √ (1 − x 2 )
cos -1 (x) −1 / √ (1 − x 2 )
tan -1 (x) 1 / (1 + x 2 )
Правила Функция Производная
Умножение на константу cf cf ‘
Правило суммы f + g f ‘+ g’
Правило разницы f — g f ‘- g’
Правило продукта 914 g64

fg ‘+ f’ g
Правило частного (f ‘g — g’ f) / g 2
Взаимное правило 1 / f −f ‘/ f 2
Правило цепочки
(как «Состав функций»)
f º g (f ‘º g) × g’
Правило цепочки (с использованием ‘) f (g (x)) f ‘(g (x)) g’ (x)
Правило цепочки (с использованием d dx ) dy dx = dy du du dx

Интегральные формулы

Общие функции Функция Интегральная
Константа ∫a dx ax + C
Переменная ∫x d1462 914 914 916 214 914 914 914 914 916 914 914 914 914 914 914 916 214

Квадрат ∫x 2 dx x 3 /3 + C
Обратный ∫ (1 / x) dx ln | x | + C
Экспоненциальная ∫e x dx e x + C
∫a x dx a

ln (9 a16)

∫ln (x) dx x ln (x) — x + C
Тригонометрия (x в радианах) ∫cos (x) dx sin (x) + C
∫sin (x) dx -cos (x) + C
∫sec 2 (x) dx tan (x) + C
Правила Функция Интеграл
Умножение на константу ∫cf (x) dx c∫f (x) dx
Правило мощности (n 14–1) 914×64 n dx x n + 1 n + 1 + C
Правило суммы ∫ (f + g) dx ∫f dx + ∫g dx
Правило разницы ∫ (f — g) dx ∫f dx — ∫g dx

Так что же для меня исчисление?

Что ж, рад, что вы спросили.Давайте посмотрим на точку зрения.

Исчисление — это форма продвинутой математики. Он вам не понадобится, когда вы пойдете в кино или выпьете с друзьями (хотя он всегда может способствовать интересным беседам). Если вы работаете в какой-либо области науки, техники, финансов или социологии, велика вероятность, что в какой-то момент вы столкнетесь с математическим расчетом. Но даже если вы этого не сделаете, вычисления могут быть полезны так же, как и все математическое образование: они помогают вам понимать вещи.

Расчет необходим для понимания таких вещей, как изменения и эволюция, для изучения таких вещей, как процентные ставки и ссуды, или даже для понимания некоторых статей, которые мы пишем здесь, в ZME Science.

Вот наглядный пример: пандемия COVID-19. Мы говорим о существующих пациентах, новых пациентах, скорости изменений, выживаемости, и, честно говоря, даже некоторые высокопоставленные политики продемонстрировали полное непонимание этих вещей. Если вы не занимаетесь наукой, вы не будете использовать вычисления, записывая что-то на бумаге, но вы примените понимание к вещам в своей повседневной жизни, и это поможет вам расти как личность.

Важный неправильный интеграл | mathXplain

А теперь сделаем очень забавную вещь.

Интегрируем до бесконечности.

Рассчитаем, например, эту площадь:

Мы интегрируемся в, сначала интегрировав в,

, а затем мы говорим: «Уважаемый, пожалуйста, перейдите к».

Посмотрим, каким будет этот предел.

Могут пригодиться для расчетов:

Но так их легче запомнить.

А вот еще один:

Ну, может случиться так, что оба предела бесконечны:

В этом случае мы разделяем интеграцию, скажем, на ноль.

На самом деле, эта область составляет 1/3 + 1/3, поэтому 2/3, но определенная интеграция работает таким образом, что области под осью x будут иметь отрицательный знак.

Вот почему мы получили ноль.

Эти уходящие в бесконечность интегралы называются несобственными интегралами.

Те, что мы видели до сих пор, тянулись в бесконечность в направлении оси x, но есть другие, которые делают то же самое по оси y.

Вот он:

Но процесс решения такой же.

Если мы проинтегрируем эту функцию по прямой с положительным числом:

, то получаем неправильный интеграл от 0 до 1,

, а также от 1 до бесконечности.

Давайте сначала посмотрим, что произойдет, если мы проинтегрируем от 0 до 1.

Ну а дело отдельно обсудим.

Теперь посмотрим, что это за предел.

Сначала подставляем 1,

, а потом посмотрим, что будет, если.

Это означает, что если показатель степени является положительным числом,

, то здесь мы получим ноль.

Если показатель отрицательный …

, то предел бесконечен.

Если 1:

Теперь посмотрим, что происходит от 1 до бесконечности.

Если, то показатель степени положительный,

, и в этом случае интеграл расходится.

А если окажется 1:

Обобщая все это: если, то от 0 до 1 интеграл расходится, а от 1 до бесконечности сходится.

Если, то от 0 до 1 интеграл сходится, а от 1 до бесконечности расходится.

А если ну то расходится везде.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *