Формула нахождения дискриминанта: Дискриминант. Формула дискриминанта.

Содержание

Простой вывод дискриминанта | Математика не для всех

Решение квадратных уравнений – самая любимая часть школьной математики. Почему самая любимая? Да потому что максимально стандартизирована. Смело могу утверждать, что 99 процентов людей помнит, что дискриминант применяется при решении квадратных уравнений, процентов 50 помнит его формулу…. А сколько людей знает, как эта формула выводится? Я думаю, немного. Исправим это недоразумение прямо сейчас.

Пусть дано квадратное уравнение вида

Проведем некоторые преобразования:

Естественно, что поделили на а не равное 0. Произведем нехитрые преобразования, чтобы выделить полный квадрат в левой части уравнения:

Слева в нашем уравнении полный квадрат, справа же сведем две дроби в одну. Отметим, что слева полный квадрат, всегда больший или равный нулю. Числитель дроби справа – это дискриминант, от знака которого зависят решения квадратного уравнения.

Небольшая ремарка: строго говоря, фраза «дискриминант квадратного уравнения» не совсем корректна. Математики вводят вполне конкретное понятие «дискриминанта многочлена» ( в нашем случае — это дискриминант квадратного трехчлена)

Рассмотрим три случая. В первом говорят, что квадратное уравнение не имеет корней, но многие знают, что необходимо уточнять «не имеет вещественных корней», так как в этом случае корни будут комплексными числами.

Во втором случае уравнение имеет единственный корень, но правильнее будет сказать два совпадающих корня.

В третьем случае уравнение имеет два различных вещественных корня

Теперь Вы знаете, откуда «вылезает» дискриминант квадратного уравнения. Кстати, помните теорему Виета? С ней квадратные уравнения решать временами проще и быстрее.

Кстати, есть конкретные формулы определения дискриминанта кубического уравнения и уравнения четвертой степени.

Достаточно сложно для запоминания, не так ли?

************************************************************************

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

**************************************************************************

О чем я еще пишу:

Теорема неслучайности: неравенство Чебышева

Про факториал

Как запомнить синус и косинус основных углов?

Правда интересные числа, «мамой клянусь»

Экзотические тригонометрические формулы, которые не дают в школе

Формула для нахождения дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения – это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

  1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
  2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
  3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

так как она относится к формуле:

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 – 4ac = (-4) 2 – 4 · 3 · 2 = 16 – 24 = -8, D 2 – 6x + 9 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 – 4ac = (-6) 2 – 4 · 1 · 9 = 36 – 36 = 0, D = 0

Уравнение имеет всего один корень:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 – 4ac = (-4) 2 – 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36, D > 0

Мы уже разобрали, как решать квадратные уравнения. Теперь давайте более подробно рассмотрим, что называют дискриминантом квадратного уравнения.

Вернемся к нашей формуле для нахожденя корней квадратного уравнения.

x1;2 =

−b ± √ b 2 − 4ac
2a

Выражение « b 2 − 4ac », которое находится под корнем, принято называть дискриминантом и обозначать буквой « D ».

По-другому, через дискриминант формулу нахождения корней квадратного уравнения можно записать так:

x1;2 =

, где « D = b 2 − 4ac »

По одной из версий термин «Дискриминант» произошел от латинского discriminantis, что означает «отличающий» или «различающий».

В зависимости от знака « D » (дискриминанта) квадратное уравнение может иметь два, один или ни одного корня. Рассмотрим все три случая.

I случай

D > 0
(дискриминант больше нуля)

D –> , где « D = b 2 − 4ac »
–> –> D = b 2 − 4ac
D = 5 2 − 4 · 2 · (−7)
D = 25 + 56
D = 81
D > 0

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x2 = −5 − 9 4 x1 = 4 4 x2 = −14 4 x1 = 1 x2 = −3 2 4 x1 = 1 x2 = −3 1 2

Ответ: x1 = 1; x2 = −3

Вывод: когда « D > 0 » в квадратном уравнении два корня .

II случай

D = 0
(дискриминант равен нулю)

16x 2 − 8x + 1 = 0

D = b 2 − 4ac
D = (−8) 2 − 4 · 16 · 1
D = 64 − 64
D = 0

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x =

x =

Ответ: x =

Вывод: когда « D = 0 » в квадратном уравнении один корень .

III случай

D
(дискриминант меньше нуля)

D = b 2 − 4ac
D = (−6) 2 − 4 · 9 · 2
D = 36 − 72
D = −36
D

x1;2 =

x1;2 =

Ответ: нет действительных корней

Вывод: когда « D » в квадратном уравнении нет корней .

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. Теорема Виета.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

,

a,b,c – постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминанта: .

О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

  • D>0 – уравнение имеет 2 различных вещественных корня
  • D=0 – уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
  • D 2 .

Нахождение дискриминанта, формула, сравнение с нулём

Квадратные уравнения часто появляются во время решения различных задач физики и математики. В данной статье мы рассмотрим, как решать эти равенства универсальным способом «через дискриминант». Примеры использования полученных знаний также даются в статье.

О каких уравнениях пойдет речь?

На рисунке ниже изображена формула, в которой x — неизвестная переменная, а латинские символы a, b, c представляют собой некоторые известные числа.

Каждый из этих символов называется коэффициентом. Как можно заметить, число «a» стоит перед переменной x, возведенной в квадрат. Это максимальная степень представленного выражения, поэтому оно называется квадратным уравнением. Часто используют другое его название: уравнение второго порядка. Само значение a — это квадратный коэффициент (стоящий при переменной в квадрате), b — это линейный коэффициент (он находится рядом с переменной, возведенной в первую степень), наконец, число c — свободный член.

Отметим, что вид уравнения, который изображен на рисунке выше, является общим классическим квадратным выражением. Помимо него существуют другие уравнения второго порядка, в которых коэффициенты b, c могут быть нулевыми.

Когда ставят задачу решить рассматриваемое равенство, то это означает, что такие значения переменной x нужно найти, которые бы ему удовлетворяли. Здесь первым делом нужно запомнить следующую вещь: поскольку максимальная степень икса — это 2, то данный тип выражений не может иметь больше, чем 2 решения. Это означает, что если при решении уравнения были найдены 2 значения x, которые ему удовлетворяют, то можно быть уверенным, что не существует никакого 3-го числа, подставляя которое вместо x, равенство также бы являлось истиной. Решения уравнения в математике называют его корнями.

Способы решения уравнений второго порядка

Решения уравнений этого типа требует знания некоторой теории о них. В школьном курсе алгебры рассматривают 4 различных метода решения. Перечислим их:

  • с помощью факторизации;
  • используя формулу для полного квадрата;
  • применяя график соответствующей квадратичной функции;
  • используя уравнение дискриминанта.

Плюс первого метода заключается в его простоте, однако, он не для всех уравнений может применяться. Второй способ является универсальным, однако несколько громоздким. Третий метод отличается своей наглядностью, но он не всегда удобен и применим. И, наконец, использование уравнения дискриминанта — это универсальный и достаточно простой способ нахождения корней абсолютно любого уравнения второго порядка. Поэтому в статье рассмотрим только его.

Формула для получения корней уравнения

Обратимся к общему виду квадратного уравнения. Запишем его: a*x²+ b*x + c =0. Перед тем как пользоваться способом его решения «через дискриминант», следует приводить равенство всегда к записанному виду. То есть оно должно состоять из трех слагаемых (или меньше, если b или c равен 0).

Например, если имеется выражение: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², то сначала следует перенести все его члены в одну сторону равенства и сложить слагаемые, содержащие переменную x в одинаковых степенях.

В данном случае эта операция приведет к следующему выражению: -6*x²-4*x+8=0, которое эквивалентно уравнению 6*x²+4*x-8=0 (здесь левую и правую части равенства мы умножили на -1).

В примере выше a = 6, b=4, c=-8. Заметим, что все члены рассматриваемого равенства всегда суммируются между собой, поэтому если появляется знак «-«, то это означает, что отрицательным является соответствующий коэффициент, как число c в данном случае.

Разобрав этот момент, перейдем теперь к самой формуле, которая дает возможность получения корней квадратного уравнения. Она имеет вид, который представлен на фото ниже.

Как видно из этого выражения, оно позволяет получать два корня (следует обратить внимание на знак «±»). Для этого в него достаточно подставить коэффициенты b, c, и a.

Понятие о дискриминанте

В предыдущем пункте была приведена формула, которая позволяет быстро решить любое уравнение второго порядка. В ней подкоренное выражение называют дискриминантом, то есть D = b²-4*a*c.

Почему эту часть формулы выделяют, и она даже имеет собственное название? Дело в том, что дискриминант связывает в единое выражение все три коэффициента уравнения. Последний факт означает, что он полностью несет информацию о корнях, которую можно выразить следующим списком:

  1. D>0: равенство имеет 2 различных решения, причем оба они представляют собой действительные числа.
  2. D=0: у уравнения всего один корень, и он является действительным числом.

Задача на определение дискриминанта

Приведем простой пример, как найти дискриминант. Пусть дано такое равенство: 2*x² — 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Приведем его к стандартному виду, получаем: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, откуда приходим к равенству: -2*x²+2*x-11 = 0. Здесь a=-2, b=2, c=-11.

Теперь можно воспользоваться названной формулой для дискриминанта: D = 2² — 4*(-2)*(-11) = -84. Полученное число является ответом на поставленную задачу. Поскольку в примере дискриминант меньше нуля, то можно сказать, что данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Его решением будут только числа комплексного типа.

Пример неравенства через дискриминант

Решим задачи несколько иного типа: дано равенство -3*x²-6*x+c = 0. Необходимо найти такие значения c, для которых D>0.

В данном случае известно лишь 2 из 3 коэффициентов, поэтому рассчитать точное значение дискриминанта не получится, однако известно, что он является положительным. Последний факт используем при составлении неравенства: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Решение полученного неравенства приводит к результату: c>-3.

Проверим полученное число. Для этого вычислим D для 2 случаев: c=-2 и c=-4. Число -2 удовлетворяет полученному результату (-2>-3), соответствующий дискриминант будет иметь значение: D = 12>0. В свою очередь, число -4 не удовлетворяет неравенству (-4Таким образом, любые числа c, которые больше -3, будут удовлетворять условию.

Пример решения уравнения

Приведем задачу, которая заключается не только в нахождении дискриминанта, но и в решении уравнения. Необходимо найти корни для равенства -2*x²+7-9*x = 0.

В этом примере дискриминант равен следующему значению: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тогда корни уравнения определятся так: x = (9±√137)/(-4). Это точные значения корней, если вычислить приближенно корень, тогда получатся числа: x = -5,176 и x = 0,676.

Геометрическая задача

Решим задачу, которая потребует не только умения вычислять дискриминант, но и применения навыков абстрактного мышления и знания, как составлять квадратные уравнения.

У Боба было пуховое одеяло размером 5 x 4 метра. Мальчик захотел пришить к нему по всему периметру сплошную полосу из красивой ткани. Какой толщины будет эта полоса, если известно, что у Боба имеется 10 м² ткани.

Пусть полоса будет иметь толщину x м, тогда площадь ткани по длинной стороне одеяла составит (5+2*x)*x, а поскольку длинных сторон 2, то имеем: 2*x*(5+2*x). По короткой стороне площадь пришитой ткани составит 4*x, так как этих сторон 2, то получаем значение 8*x. Отметим, что к длинной стороне было добавлено значение 2*x, поскольку длина одеяла увеличилась на это число. Общая пришитая к одеялу площадь ткани равна 10 м². Поэтому получаем равенство: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Для этого примера дискриминант равен: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Его корень равен 22. Воспользовавшись формулой, находим искомые корни: x = (-18±22)/(2*4) = (-5; 0,5). Очевидно, что из двух корней подходит по условию задачи только число 0,5.

Таким образом, полоса из ткани, которую пришьет Боб к своему одеялу, будет иметь ширину 50 см.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Виды квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение
ключевым словом является «квадратное».
Оно означает, что в уравнении обязательно
должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член).
И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Говоря математическим языком, квадратное уравнение — это уравнение вида:

Здесь a, b и с
– какие-то числа. b и c
– совсем любые, а а
– любое, кроме нуля. Например:

Здесь а
=1; b
= 3; c
= -4

Здесь а
=2; b
= -0,5; c
= 2,2

Здесь а
=-3; b
= 6; c
= -18

Ну, вы поняли…

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор
членов. Икс в квадрате с коэффициентом а,
икс в первой степени с коэффициентом b
и свободный член с.

Такие квадратные уравнения называются полными.

А если b
= 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени.
От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-х 2 +4х=0

И т.п. А если уж оба коэффицента, b
и c
равны нулю, то всё ещё проще:

2х 2 =0,

-0,3х 2 =0

Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями.
Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Кстати, почему а
не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а
нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе…

Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно.) Главное — правильно определить все коэффициенты, а
, b
и c
.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня называется дискриминант
. Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с
.
Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с
в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками!

Например, в уравнении:

а
=1; b
= 3; c
= -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Это ответ.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с
. Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте
!

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a
= -6;
b
= -5;
c
= -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится
. Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно?
Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения
.

Решение неполных квадратных уравнений.

Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с
.

Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4;
а c
? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0

! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c,
и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с
, а b
!

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать:
х 1 = 0
, х 2 = 4
.

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1
— то, что меньше, а х 2
— то, что больше.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня.
х 1 = -3
, х 2 = 3
.

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

Дискриминант. Формула дискриминанта.

Волшебное слово дискриминант

! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых
квадратных уравнений:

Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D
. Формула дискриминанта:

D = b 2 — 4ac

И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта?
Ведь -b,
или 2a
в этой формуле специально никак не называют… Буквы и буквы.

Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

1. Дискриминант положительный.
Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю.
Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых
. Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

3. Дискриминант отрицательный.
Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта
не обойтись. Особенно — в уравнениях с параметрами. Такие уравнения — высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

Итак, как решать квадратные уравнения
через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с
. Умеете внимательно
подставлять их в формулу корней и внимательно
считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

Приём первый

. Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с.
Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно.
У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй.

Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее
уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1
, проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком

. Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b
с противоположным

знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b
, который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1.
Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

Приём третий

. Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке «Как решать уравнения? Тождественные преобразования». При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак, подытожим тему.

Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно
.

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

Теперь можно и порешать.)

Решить уравнения:

8х 2 — 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 — 4x + 4 = 0

(х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Ответы (в беспорядке):

х 1 = 0

х 2 = 5

х 1,2 =
2

х 1 = 2

х 2 = -0,5

х — любое число

х 1 = -3

х 2 = 3

решений нет

х 1 = 0,25

х 2 = 0,5

Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения — не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные — нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные
ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax
2 + bx
+ c
= 0, где коэффициенты a
, b
и c
— произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант
.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax
2 + bx
+ c
= 0. Тогда дискриминант — это просто число D
= b
2 − 4ac
.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D
  2. Если D
    = 0, есть ровно один корень;
  3. Если D
    > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. x
    2 − 8x
    + 12 = 0;
  2. 5x
    2 + 3x
    + 7 = 0;
  3. x
    2 − 6x
    + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a
= 1, b
= −8, c
= 12;
D
= (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a
= 5; b
= 3; c
= 7;
D
= 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a
= 1; b
= −6; c
= 9;
D
= (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D
> 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D
= 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

  1. x
    2 − 2x
    − 3 = 0;
  2. 15 − 2x
    − x
    2 = 0;
  3. x
    2 + 12x
    + 36 = 0.

Первое уравнение:
x
2 − 2x
− 3 = 0 ⇒ a
= 1; b
= −2; c
= −3;
D
= (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D
> 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x
− x
2 = 0 ⇒ a
= −1; b
= −2; c
= 15;
D
= (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D
> 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x
2 + 12x
+ 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  1. x
    2 + 9x
    = 0;
  2. x
    2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax
2 + bx
+ c
= 0 называется неполным квадратным уравнением, если b
= 0 или c
= 0, т.е. коэффициент при переменной x
или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b
= c
= 0. В этом случае уравнение принимает вид ax
2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x
= 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b
= 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax
2 + c
= 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c
/a
) ≥ 0. Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax
    2 + c
    = 0 выполнено неравенство (−c
    /a
    ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
  2. Если же (−c
    /a
    )

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c
/a
) ≥ 0. Достаточно выразить величину x
2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax
2 + bx
= 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x
    2 − 7x
    = 0;
  2. 5x
    2 + 30 = 0;
  3. 4x
    2 − 9 = 0.

x
2 − 7x
= 0 ⇒ x
· (x
− 7) = 0 ⇒ x
1 = 0; x
2 = −(−7)/1 = 7.

5x
2 + 30 = 0 ⇒ 5x
2 = −30 ⇒ x
2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x
2 − 9 = 0 ⇒ 4x
2 = 9 ⇒ x
2 = 9/4 ⇒ x
1 = 3/2 = 1,5; x
2 = −1,5.

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0
, где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b 2 – 4ас.

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х 1 = (-b — √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х 2
– 4х + 4= 0.

D = 4 2 – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х 2

+ х + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет
.

Решить уравнение 2х 2

+ 5х – 7 = 0
.

D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

х 1 = (-5 — √81)/(2·2)= (-5 — 9)/4= – 3,5

х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1
.

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах 2


+ bx + c,
иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2



, затем с меньшим
bx
, а затем свободный член с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2



равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0
. Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а
, стоящий при х 2



.

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х 2



+ 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 — 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 — 3√3)/3 = (3 (-1 — √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3
. Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
уравнения рисунок 3.

D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 — 2√3)/2 = (2 (-1 — √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Формула дискриминанта — правила и примеры вычисления корней квадратных уравнений

Существует несколько способов решений квадратного уравнения. Один из них — применение формулы дискриминанта. Помня общее выражение и алгоритм, вычислить корни степенного равенства второй степени не составит труда. Естественно, нужно хорошо знать арифметику, выполнение действий с дробями и сам принцип. При этом дискриминант — это не просто удобный параметр, используя который, можно найти решение. Это ещё и характеристика, имеющая объяснимый геометрический смысл.

Общие сведения

Решение квадратных уравнений — одно из ключевых моментов в математике. Ещё древние вавилоняне и греки пытались найти закономерности при решении таких равенств. Но первым, кто описал методы нахождения дополнением квадрата, был индийский философ Будхаяма. Именно он предложил записывать уравнения в виде: ax 2 = c и ax 2 + bx = c. В дальнейшем способы усовершенствовались. Так, Евклид предложил метод геометрического вычисления ответа.

Но наиболее значимым стало открытие Буля. Изучая формулы различных уравнений, он пришёл к выводу, что выражения почти всегда можно упростить, заменив переменные другим набором, содержащим новые неизвестные. При этом, найдя их, определить первоначальные уже не составляет труда.

Такой способ был применён и к квадратному уравнению. Благодаря ему стало возможным упростить квадратичную форму с двумя переменными, используя дискриминант. Это понятие тесно связано с многочленом, имеющим следующий вид: d (m) = a 0 *mn + a 1 *mn-1 + a 2 *mn-2 + … + a n-1 *m + a n, где m — искомое неизвестное, a n, a n-1, a n-2, … a 1 и a 0 — числовые постоянные.

Термин «дискриминант» был придуман не математиками, но успешно стал ими использоваться при вычислении квадратичных функций. Произошёл он от латинского слова discriminans, что в дословном переводе означает «разделяющий». Важной величиной стало значение, придуманное Булем и имеющее вид b2 — 4ac. Учёный открыл, что после того как переменные линейно изменятся, дискриминант будет равняться первоначальному, умноженному на член, находимому из функции поведения неизвестных.

При решении равенств, содержащих формулу дискриминанта и его корней, используют формулу для быстрого определения количества возможных решений и их числового нахождения. Математически определение записывают следующим образом: p (x) = m + mx + ⋯ + mx, m ≠ 0, где: D (p) = m∏(m − m). То есть дискриминантом многочлена p (x) является сумма произведений корней на неизвестный коэффициент в основном поле их существования.

Смысл дискриминанта

Дискриминант — одно из эффективных решений квадратных выражений. С его помощью легко можно выявить, сколько корней имеет уравнение или установить, что их нет. Применять его можно как к полным квадратным равенствам, так и неполным. Но всё же во втором случае использовать дискриминант не нужно.

Эта тема изучается в седьмом и восьмом классе средней школы. Лучше понять смысл параметра поможет простой пример. Пусть имеется уравнение вида m2 + 2m — 8 = 0. Не имея понятие о дискриминанте, решение уравнения сводится к приведению его к формуле квадрата суммы m2 + 2m +1 — 1- 8 = 0. Добавление и вычитание единицы возможно, так как в итоге получается сложение с нулём.

Первые три члена представляют собой квадрат суммы, который можно свернуть по формуле сокращённого умножения до вида a2 +2ab + b2 = (a+b)2. Отсюда, применительно к рассматриваемому примеру, получится: (m + 1)2 — 1 — 8 = 0. После преобразований с переносом неизвестного в одну сторону (а известных — в другую) и раскрытием скобки получится равенство: (m + 1)2 = 9. То есть возможными решениями будут m = 2 для (m + 1) = 3 и m = -4 для (m + 1) = -3.

В общем виде все эти преобразования можно выполнить в следующей последовательности:

  • Уравнение am2 + bm + c = 0 нужно переписать в приведённом виде, то есть разделить каждый член на первый коэффициент: m2 + bm / a + c / a = 0.
  • Согласно формуле сокращённого умножения нужно добиться того, чтобы при неизвестном во втором члене стояло удвоенное произведение. Поэтому числитель и знаменатель нужно помножить на двойку: m2 + 2bm / 2a + c / a = 0.
  • Полученное выражение стоит переписать в более наглядном виде m 2 + 2 m * (b /2 a) + c / a = 0. Это равенство являлось бы приведённым к формуле сокращённого умножения, если бы в последнем члене был квадрат.
  • Ко второму члену следует прибавить и вычесть (b/2a)2. В итоге получится m2 + 2m * (b/2a) + (b/2a)2 — (b/2a)2 + c/a = 0.
  • Первые три слагаемые — это классическая формула квадрата суммы. Применив её, получится: (m + b/2a)2 = (b/2a)2 — c/a.
  • Затем нужно раскрыть скобки и привести к общему знаменателю. Получится конструкция вида (m + b/2a)2 = b 2 -4 ac /4 a 2.
  • Умножив на 4a2 обе части. Выражение примет вид (2 am + b)2 = b 2 — 4 ac.
  • Многочлен b2 — 4ac было решено принять за дискриминант. Это выражение по сути и определяет возможность существования решений и количество корней. Выполнив его расчёт, фактически и находится ответ уравнения.

    Взаимосвязь параметра

    Объяснение дискриминанта имеет и графическое обоснование. Физически задача заключается в комплексном подходе установления взаимосвязи. Фактически это фиксирование нулей параболы уравнения, то есть точек, в которой она пересекает ось абсциссы. Знак при переменной в квадрате будет определять положение веток параболы. Они будут идти вверх при a > 0, и вниз, если a < 0.

    Исходя из этого, дискриминант равняется отношению суммы или разности числового коэффициента, стоящего возле неизвестного в первой степени с корнем квадратным из b 2 — 4 ac к удвоенному произведению первого коэффициента в уравнениях x1 = (- b + √ b 2 — 4 ac) / 2a; x2 = (- b — √ b 2 — 4 ac) / 2a. Подкоренное выражение называют формулой сокращённого дискриминанта.

    Дискриминант при нахождении корней уравнения может принимать три значения:

  • Отрицательное. В случае, когда он меньше нуля, точный квадрат должен равняться числу с минусом, чего не может быть из-за свойств квадратной степени. Поэтому при таком положении вещей решений или действительных корней у уравнения нет. График уравнения не пересекает ось абсциссы.
  • Равное нулю. Это состояние характеризуется уравнением вида: (2 am + b)2 = 0. Так как квадрат числа может быть равен нулю, только если это число нулевое, то рассматриваемое уравнение можно переписать как m = — b / 2a. Это и есть упрощённая формула при дискриминанте, равному 0. На графике существует лишь одна точка пересечения с осью абсциссы.
  • Положительное. Это наиболее распространённый случай и самый тяжёлый для проведения расчётов. При нём из обеих частей уравнения теоремы (2 am + b) 2 = b 2 — 4 ac надо извлечь квадратный корень. В итоге получится 2am + b =± √D. Тут следует отметить следующее: минус возникает из-за того, что возводимое в квадрат число может быть как положительное, так и отрицательное. Например, 92 = 81 и -92 = 81. Из этого выражения можно выразить неизвестное. Оно будет равняться половинному значению m = (-b ± √D) / 2a. Парабола пересекает ось абсцисс в двух точках.
  • Последнее выражение является формулой корней квадратного уравнения. Именно с её помощью могут решаться равенства, в степени которых стоит двойка. Через дискриминант можно вычислять корни и уравнений больших порядков. Для этого используются приёмы понижения степени до квадратного. Но эти операции учащиеся начинают изучать на уроках в выпускном классе, когда проходят решение уравнений n-го порядка.

    Типовые примеры

    Даже зная правило поиска корней через дискриминант, научиться быстро вычислять корни уравнения не получится, если не практиковаться. Поэтому решение практических задач обязательно входит школьную в программу обучения:

  • Дано равенство 6x2 — 13x +2 = 0. Нужно определить количество его корней, если они существуют, их числовые значения. В первую очередь нужно нарисовать таблицу, в которую выписаны все заданные коэффициенты. Так: a = 6; b = -13; c = 2. Эти значения нужно подставить в формулу дискриминанта и найти его: D = b2 — 4ac = (-13)2 — 4 * 6 *2 = 149 — 68 = 121. То есть D больше нуля. Значит, согласно правилу, уравнение будет иметь два корня. Теперь их нужно рассчитать: x1 = (13 + √126) / 2 * 6 = 2; x2 = (13 — √126) / 2 * 6 = 1/6. Задание решено.
  • Определить возможность решения уравнения 4m2 — 2m — 3 = 2. Для приведения к удобному виду двойку нужно перенести влево. В итоге получится 4m2 — 2m — 5 =0. Дискриминант равняется: D = 4 — 4 * 4 * (-5) = 4 + 80 = 84. Так как он больше нуля, то корней будет два. Тут сложность заключается в том, что нет целого числа, которое равнялось бы корню из √84. Однако, √84 = √4 * √21 = 2 √21. Используя формулы, получаем что m = (2 ± 2√21) / 2 * 4. Двойку можно вынести в числителе за скобки, получив тем самым удобную запись: m = (2 * (1 ±√21) / 2 * 4 = (1 ± √21) / 4. Это выражение и есть искомое решение.

  • Решить уравнение: x /3 — x2 / 4 + 1 /6 = 3x / 2 — 4x2 / 3. Для упрощения равенства нужно правую и левую сторону умножить на двенадцать: 12x / 3 — 12 * x2 / 4 + 12 /6 = (3 * 12x) / 2 — (4 * 12x2) / 3. Получится 4 x — 3 x 2 + 2 = 18 x — 16 x 2. Члены нужно привести к стандарту: 4 x — 3 x 2 + 2 — 18 x + 16 x 2 = 13 x 2 — 14 x + 2 = 0. Считаем дискриминант: D = (-14)2 — 4 * 13 * 2 = 92. Он больше нуля, поэтому есть смысл искать корни: X = (14 ± √ 92) / 2 * 13 = (14 ± 2 √ 23) / 2 * 13 = 2 (7±√23) / 2 *13 = (7± √23) /13.

  • Таким образом, любое выражение нужно стремиться переписать так, чтобы оно приняло классический вид. Это может быть умножение или деление на какое-либо число, поиск общего знаменателя. А уже после нужно искать дискриминант, по виду которого можно определить, есть ли смысл в дальнейшем нахождении корней уравнения.

    Вычисления на онлайн-калькуляторе

    Поиск решений уравнения через дискриминант — довольно простая тема. Необходимо запомнить всего две формулы и свойства, зависящие от значения дискриминанта. Но на практике попадаются примеры содержащие интегралы, логарифмы, экспоненциальные функции. При этом всё это может быть записано в виде сложных дробей.

    Решая задания самостоятельно, даже имея большой опыт и знания, есть вероятность допущения ошибки. Поэтому при вычислении сложных примеров стоит использовать онлайн-калькуляторы.

    Из сервисов, предлагающих такие услуги, можно отметить:

    • Math.semestr;
    • Kontrolnaya-rabota;
    • Onlinemschool;
    • Wpcalc;
    • Webmath.

    Эти российские сайты. Их интерфейс интуитивно понятен. Для выполнения вычислений не нужно указывать персональные данные или платить за услуги. От пользователя лишь требуется записать в предложенную форму квадратное уравнение или даже матрицу, состоящую из них. Программа автоматически выполнит нужный расчёт и предоставит пошаговое решение. Кроме того, на сайтах решателей уравнений содержится в кратком виде теоретический материал и типовые примеры с подробным решением.

    Даже ничего не понимающий в дискриминантах человек, воспользовавшись онлайн-калькулятором несколько раз, сможет восполнить пробелы в знаниях, самостоятельно научиться решать примеры, узнает, как правильно должен писаться дискриминант. Использование онлайн-сайтов для математических решений позволяет сэкономить время и получить точный результат.

    Предыдущая

    МатематикаТранспортир — как правильно пользоваться инструментом для построения и измерения углов?

    Следующая

    МатематикаКак решать пропорции — правила, методы и примеры вычислений

    Формулы корней квадратного уравнения / Открытый урок

    Цели урока:

    Образовательная:

    — знакомство с формулой корней квадратного уравнения, дискриминанта и формирование первичных умений применения ее при решении квадратных уравнений;

    — определять количество корней квадратного уравнения в зависимости от знака дискриминанта.

    Развивающая:

    — развитие математической речи, критического и объективного мышления;

    Воспитательная:

    формирование познавательного интереса, умения планировать свою работу, формирование объективной самооценки и взаимооценки.

    Тип урока: урок изучения нового материала.

    Вид урока: урок с применением ИКТ.

    Оборудование:

    • компьютер;
    • мультимедийный проектор;
    • презентация,
    • раздаточный материал
    • «Алгоритм решения квадратного уравнения»

    Структура урока

    1. Организационный момент (1мин)
    2. Проверка домашнего задания (3мин)
    3.  Устная работа (6 мин)
    4. Изучение нового материала (15мин)
    5. Первичное закрепление материала (3мин)
    6. Странички истории (1мин)
    7. Физкультминутка (1мин)
    8. Работа по учебнику (7 мин)
    9. Самостоятельная работа (5мин)
    10. Итог урока (2мин)
    11. Домашнее задание (1мин)

    Ход урока

     

    1. Организационный момент.

    Ребята! Сегодня тема урока: «Формула корней квадратного уравнения». (Записывается тема урока, слайд ) Эпиграфом нашего урока служат слова двух великих математиков:

    Эпиграф к уроку:

    Уравнения, как растения, могут иметь корни, а могут и не иметь

    А для начала проверим домашнее задание

    2. Проверка домашнего задания

    Работа 1 ученика показывается  с помощью документ-камеры, проверяется всем классом. Остальные  проверяют свои решения по своим тетрадям, ошибки исправляют.  

    3. Актуализация

    Устный опрос.

    Вопрос 1. Какие уравнения называются квадратными?

    (Уравнения вида ax²+bx + c = 0 , где a,b, c – некоторые числа называется квадратным.)

    Вопрос 2 . Что значит решить уравнение?

    (Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.)

    Вопрос 3. Какие из них называются полными, а какие неполными квадратными уравнениями?

    (Если коэффициенты b, c отличны от нуля, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Если хотя бы один из коэффициентов  b, c равен нулю, то уравнение называется неполным.) 

    Вопрос 4. Перечислите виды неполных квадратных уравнений и расскажите о способах их решения и числе возможных корней уравнений.

     





    (Виды неполных квадратных уравнений

     

    ax² = 0

    ax²+bx = 0

    ax²+ c  = 0

     

    Способы решения

     

    Уравнение всегда имеет один корень, х = 0.

    Уравнение решается разложением на множители, вынесением общего множителя за скобки. Всегда имеет два корня, один из которых равен нулю.

    Уравнение решается разложением на множители по формуле разность квадратов, если c < 0 и имеет два противоположных корня. Если c > 0, то уравнение не имеет корней.)

     

    Вопрос 5. Практический. Установите соответствие между уравнением и ответом, не решая уравнения.








    Уравнение

     

    Ответ

    1. х² — 4 = 0

     

    А. нет корней

    2. х² + 5х = 0

     

    Б. 0

    3. х² + 25 = 0

     

    В. ± 2

    4.2х² — 6х = 0

     

    Г. – 5; 0

    5. 5х² = 0

     

    Д. ± 3

    6. 9 – х² = 0

     

    Е. 0; 3

    Вопрос 6. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

    1. Назовите вид данного уравнения.   

    2. Назовите его коэффициенты.          (12, 72, 108)

    4. Изучение нового материала 

    Мы повторили пройденный материал о неполных квадратных уравнениях, перейдем к полным.

    Вопрос 7.

    Какие способы решения полных квадратных уравнений вы знаете на данный момент? (Графический способ и способ выделения полного квадрата.) 

    Какие недостатки этих способов были нами отмечены ранее? (Графический способ не всегда дает точный результат, а способ выделения полного квадрата достаточно сложный и трудоемкий) 

    А теперь скажите, могли ли математики спать спокойно, если бы для таких нужных и важных уравнений не было бы более простого и универсального способа решения? 

    Таким образом, цель нашего урока???????

    (рассмотреть универсальную формулу для решения квадратных уравнений и научиться ее применять)

    Итак, приступим.

    Квадратное уравнение имеет видax²+bx + c = 0. 

    Объясняется на примерах. 

    ПРИМЕРЫ 

    Решим три уравнения. 


    Пример 1.           

    Пример 2.          

    Пример 3.         

    Для решения квадратных уравнений используется такое понятие как дискриминант, которое обозначается буквой Д и вычисляется по формуле

    Db2— 4ас

    Давайте вычислим для каждого уравнений Д.

     

    Пример 1.  Д=49

    Пример 2.  Д=0

    Пример 3. Д<0

     

    ЗНАЧИТ (на доске писать)

     


     

    Для каждого варианта есть свои формулы для нахождения корня уравнения

     



    Д>0

    Д=0

    Д<0

     

     

    Х=

     

     Нет решения

    Давайте найдем для каждого уравнения корни.

    Пример 1.


     

    Д=49

    Х1=0,5

    Х2=-3

    Ответ пишем в порядке возрастания.   -3; 0,5

    Пример 2.


     

    Пример 3.


      

    Пишем в тетрадях  (на слайде) 

    Алгоритм решения квадратных уравнений.


    5. Первичное закрепление материала  

    1.Решите уравнения.   Задания ОГЭ

    Решение у доски (1ученик) —15х+14=0

    • 1 вариант   2- 5х +2=0
    • 2 вариант -8х — 84=0

    Обмениваются тетрадями и взаимопроверка.

    6. Странички истории (слайд)

    1. Франсуа Виет (1540-1603)

    Знаменитый французский ученый. Он впервые установил зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

    3. Кристиан Вольф

    Впервые ввёл термин «квадратное уравнение» немецкий философ Кристиан Вольф знаменитый немецкий философ.

    4. Сильвестр Джеймс Джозеф английский математик, Сильвестр Джеймс Джозеф, который ввёл термин «дискриминант».

    7. Физкультминутка для глаз.

    8. Работа по учебнику.

    А теперь мы перейдем к работе по учебнику

    №25.1 Найти дискриминант квадратного уравнения

    №25.3 Определите число корней квадратного уравнения

    №25.5 (аб)  Решите полное квадратное уравнение

    (Учебник Мордкович А.Г.)


     

    9. Самостоятельная работа  (на листочках, выполняем с копировкой). Проверяем с помощью Документ-камеры.

    Решаем самостоятельно.



    1 вариант

    2 вариант

    7-5х-2=0

    9-12х+4=0

    Ответы: 1 вариант : -2/7 и 1

    2 вариант : 2/3

    10.  Итоги урока

    Давайте подведем итоги нашего урока.

    Что же мы сегодня на уроке узнали? (Мы узнали новую формулу для корней квадратного уравнения)

    Чему научились? (Мы научились вычислять дискриминант квадратного уравнения и решать его с помощью дискриминанта)

    Таким образом, цель нашего урока достигнута. Мы узнали универсальную формулу решения квадратных уравнений, в ее универсальности мы еще не раз убедимся.

    Каков алгоритм решения квадратного уравнения?


     

    11.Домашнее задание объясняется.

    № 25.2 Найти дискриминант квадратного уравнения

    № 25.4 Определите число корней квадратного уравнения

    № 25.5(в,г) Решите полное квадратное уравнение

    Бинарный урок математики и информатики. 8-й класс.Использование информационных технологий на уроке математики. Тема » Овладение расчетами с помощью Excel при решении квадратных уравнений по формуле»

    Цели урока:

    • по математике: повторение формул
      нахождения дискриминанта и корней квадратного
      уравнения;
    • по информатике: решение расчетной задачи с
      использованием  математических и логических
      функций для решения квадратного уравнения в
      среде электронных таблиц Excel;
    • общеучебные: развитие логического и
      алгоритмического мышления, памяти, умения
      внимательно и правильно выполнять
       инструкцию.

    Тип урока: урок совершенствования
    знаний, умений и навыков.

    Оборудование: компьютеры, раздаточный
    материал (технология решения задачи), карточки
    для самостоятельной работы,
    мультимедиапроектор.

    ХОД УРОКА

    «Сегодня без знаний компьютера
    невозможно обучение,  профессиональный рост и,
    в конечном счете, благополучие»

    I. Постановка задачи

    (На экране демонстрируется слайд 1. Приложение 1)

    Учитель: На уроках математики мы
    решаем квадратные уравнения по формуле, и это
    занимает много времени для вычислений.

    Еще Готфрид Лейбниц в XVII в. заметил «Недостойно
    одаренному человеку тратить, подобно рабу, часы
    на вычисления, которые, безусловно, можно было бы
    доверить любому лицу, если при этом применить
    машину»
    Видя, как много вычислений
    приходится делать его другу астроному Христиану
    Гюйгенсу, Лейбниц решил изобрести механическое
    устройство для расчетов, создание которого он
    закончил в 1694 г.

    Обсудим проблему, а можно ли использовать
    компьютер для быстрого решения квадратного
    уравнения и как это сделать? (Ученики
    высказывают свои варианты: с помощью
    калькулятора вычислить дискриминант и корни; в
    электронных таблицах вычислять дискриминант и
    корни удобнее).


    Итак, наша задача сводится к следующему: по
    известным коэффициентам квадратного уравнения
    вычислить дискриминант, сделать вывод о наличии
    корней и, если корни есть, найти их. Мы еще не
    знакомы с языками программирования и не можем
    составить программу для решения квадратных
    уравнений. Оказывается можно программировать
    без языков программирования. Помогут нам
    электронные таблицы.

    Запишите тему урока «Овладение расчетами с
    помощью Excel при решении квадратных уравнений по
    формуле».

    II. Актуализация знаний учащихся

    Фронтальный опрос

    а) по информатике (Слайд 2)

    1) Для чего предназначены электронные таблицы?
    (ЭТ – это инструмент для табличных расчетов)

    2) Из чего состоит имя ячейки? (Из имени столбца и
    номера строки. Например, А1, В7, F12.)

    3) Что может быть содержимым ячейки? (Текст,
    числовое  значение или формула.2 – 4*а*с. По управляющей кнопке
    возвращаемся на слайд 3)

    3) Напишите формулу корней квадратного уравнения.
    (Гиперссылка на слайд 5)

    Учитель: Как же записать формулу
    корней в электронной таблице. Мы знаем,  как
    записываются арифметические операции. А как же
    записать квадратный корень? Для этого используем
    математическую функцию КОРЕНЬ.

    По щелчку на слайде 5 появляются
    последовательно две формулы для корней:

    = (–b+корень(D))/(2*a)

    = (–b–корень(D))/(2*a)

    в) Задание для учащихся (слайд 6)

    Решите уравнения: х2 – 3х + 2 = 0;
     2х2 – 2х + 3 = 0;  4х2
    – 4х + 1 = 0.

    (Три ученика решают у доски, остальные в
    тетрадях. Ответы остаются на доске.)

    III. Постановка задачи

    Учитель: Вы решали квадратное
    уравнение по формуле корней. Какой алгоритм
    решения?

    Ученики:

    1. Выписываем коэффициенты.

    2. Вычисляем дискриминант.

    3. Если дискриминант меньше нуля, то корней нет,
    иначе находим корни по формуле корней.
    (Демонстрируется блок-схема слайд 7)

    IV. Математическая модель

    Пусть а, b, с – коэффициенты квадратного
    уравнения (а =/= 0),

    D – дискриминант, тогда D = b24ас,
    x1, x2корни уравнения,

    V. Объяснение темы

    Учитель: Откройте ЭТ Excel. Переименуйте
    лист на квадратное уравнение. Чтобы представить
    формулы для решения квадратного уравнения в
    электронных таблицах потребуются логическая
    функция  ЕСЛИ и математическая функция КОРЕНЬ.

    Эти функции можно вызвать, используя мастер
    функций (на стандартной панели кнопка fx) и
    категории математические и логические. А можно
    набирать с клавиатуры самим. Пока мы будем
    набирать с клавиатуры.

    У вас на столах есть карточки с технологией
    решения задачи (Приложение 2),
    если вы точно все выполните, то, сохранив файл, вы
    всегда быстро решите любое квадратное уравнение,
    изменив значения коэффициентов квадратного
    уравнения. Электронная таблица мгновенно найдет
    корни.

    VI. Работа на компьютере

    Учитель использует мультимедиапроектор и
    одновременно с учениками выполняет работу в
    электронных таблицах Excel (Приложение
    3
    ) и все учащиеся могут видеть на экране
    результат.

    Учитель: Следуя технологии решения
    задачи для уравнения х2 – 3х + 2 = 0;
    вы получаете таблицу:

    Для проверки правильности ввода формул, то есть
    для отображения в ячейках не чисел, а формул,
    учитель предлагает ученикам ввести команду [Cервис–параметры…–формулы].
    Получаем таблицу:

    Вернитесь к первоначальному состоянию[Cервис–параметры…
    выключите флажок формулы]

    VII. Самостоятельная работа

    а) Сделайте отладку задачи на двух других
    уравнениях:

    2х22х + 3 = 0 и 4х2
    – 4х + 1 = 0.

    Для этого введите значения новых
    коэффициентов. Сделайте вывод.

     (Программа составлена верно, так как все
    ветви работают правильно).

    б) Работа по карточкам:

    Приведите квадратные уравнения к стандартному
    виду и решите уравнения с помощью составленной
    программы. (Приложение 4)

    VIII. Итог урока

    Учитель: Что нового для себя узнали на
    уроке? Что понравилось?

    IX. Домашнее задание

    Составьте формулы для решения линейного
    уравнения ах = b в электронных таблицах. 2 + j * w + k равный 0, где «i» и «j» — первый и второй коэффициент соответственно, «k» — константа, которую иногда именуют «свободным членом», а «w» — переменная. Его корнями окажутся все значения переменной, при которых оно превращается в тождество. Такое равенство допустимо переписать, как произведение i, (w — w1) и (w — w2) равное 0. В этом случае очевидно, что если коэффициент «i» не обращается в ноль, то функция в левой части станет нулевой только в случае, если x принимает значение w1 или w2. Эти значения являются результатом приравнивания многочлена к нулю.

    Для нахождения значения переменной, при котором квадратный многочлен обращается в ноль, используется вспомогательная конструкция, построенная на его коэффициентах и названная дискриминантом. Эта конструкция рассчитывается согласно формуле D равняется j * j — 4 * i * k. Зачем она используется?

    1. Она говорит, имеются ли действительные результаты.
    2. Она помогает их высчитать.

    Как это значение показывает наличие вещественных корней:

    • Если оно положительное, то можно найти два корня в области действительных чисел. (1/2).
    • Нахождение результата в соответствии с формулой (-j +/- d) / (2 * i).
    • Подстановка полученного результата в исходное равенство для проверки.
    • Некоторые частные случаи

      В зависимости от коэффициентов решение может несколько упрощаться. Очевидно, что если коэффициент перед переменной во второй степени равен нулю, то получается линейное равенство. Когда коэффициент перед переменной в первой степени нулевой, то возможны два варианта:

      1. многочлен раскладывается в разность квадратов при отрицательном свободном члене;
      2. при положительной константе действительных решений найти нельзя.

      Если свободный член нулевой, то корни будут {0; -j}

      Но есть и другие частные случаи, упрощающие нахождение решения.

      Приведенное уравнение второй степени

      Приведенным именуют
      такой квадратный трёхчлен, где коэффициент перед старшим членом — единица. Для данной ситуации применима теорема Виета, гласящая, что сумма корней равняется коэффициенту при переменной в первой степени, помноженному на -1, а произведение соответствует константе «k». 2 + 18 * i * j * k * m.

      Допустим, дискриминант превосходит ноль
      . Это значит, что имеется три корня в области действительных чисел. При нулевом есть кратные решения. Если D

      Видео

      Наше видео подробно расскажет о вычислении дискриминанта.

      Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

      Более простым способом. Для этого вынесите z за скобки. Вы получите : z(аz + b) = 0. Множители можно расписать: z=0 и аz + b = 0, так как оба могут давать в результате ноль. В записи аz + b = 0 перенесем второй вправо с другим знаком. Отсюда получаем z1 = 0 и z2 = -b/а. Это и есть корни исходного .

      Если же имеется неполное уравнение вида аz² + с = 0, в данном случае находятся простым переносом свободного члена в правую часть уравнения. Также поменяйте при этом его знак. Получится запись аz² = -с. Выразите z² = -с/а. Возьмите корень и запишите два решения — положительное и отрицательное значение корня квадратного.

      Обратите внимание

      При наличии в уравнении дробных коэффициентов помножьте все уравнение на соответствующий множитель так, чтобы избавиться от дробей.2 — 4*a*c. Значение D может быть больше, меньше или равно нулю. Если D больше или меньше нуля, то корня будет два, если D=0, то остается всего один корень, более точно можно сказать, что D в этом случае имеет два равнозначных корня. Подставьте известные коэффициенты a, b, c в формулу и вычислите значение.

      После того как вы нашли дискриминант, для нахождения х воспользуйтесь формулами: x(1) = (- b+sqrt{D})/2*a; x(2) = (- b-sqrt{D})/2*a, где sqrt — это функция, означающая извлечение квадратного корня из данного числа. Посчитав эти выражения, вы найдете два корня вашего уравнения, после чего уравнение считается решенным.

      Если D меньше нуля, то он все равно имеет корни. В школе данный раздел практически не изучается. Студенты вузов должны знать о том, что появляется отрицательное число под корнем. От него избавляются выделяя мнимую часть, то есть -1 под корнем всегда равно мнимому элементу «i», который умножается на корень с таким же положительным числом. К примеру, если D=sqrt{-20}, после преобразования получается D=sqrt{20}*i. После этого преобразования, решение уравнения сводится к такому же нахождению корней, как было описано выше.

      Теорема Виета заключается в подборе значений x(1) и x(2). Используется два тождественных уравнения: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Причем очень важным моментом является знак перед коэффициентом b, помните, что этот знак противоположен тому, который стоит в уравнении. С первого взгляда кажется, что посчитать x(1) и x(2) очень просто, но при решении вы столкнетесь с тем, что числа придется именно подбирать.

      Элементы решения квадратных уравнений

      По правилам математики некоторые можно разложить на множители: (a+x(1))*(b-x(2))=0, если вам посредством формул математики удалось преобразовать подобным образом данное квадратное уравнение, то смело записывайте ответ. x(1) и x(2) будут равны рядом стоящим коэффициентам в скобках, но с противоположным знаком.

      Также не стоит забывать про неполные квадратные уравнения. У вас может отсутствовать какое-то из слагаемых, если это так, то все его коэффициенты просто равны нулю.2 или x ничего не стоит, то коэффициенты а и b равны 1.

      В современном обществе умение производить действия с уравнениями, содержащими переменную, возведённую в квадрат, может пригодиться во многих областях деятельности и широко применяется на практике в научных и технических разработках. Свидетельством тому может служить конструирование морских и речных судов, самолётов и ракет. При помощи подобных расчётов определяют траектории перемещения самых разных тел, в том числе и космических объектов. Примеры с решением квадратных уравнений находят применение не только в экономическом прогнозировании, при проектировании и строительстве зданий, но и в самых обычных житейских обстоятельствах. Они могут понадобиться в туристических походах, на спортивных состязаниях, в магазинах при совершении покупок и в других весьма распространённых ситуациях.

      Разобьём выражение на составляющие множители

      Степень уравнения определяется максимальным значением степени у переменной, которую содержит данное выражение. В случае, если она равна 2, то подобное уравнение как раз и называется квадратным.

      Если изъясняться языком формул, то указанные выражения, как бы они ни выглядели, всегда можно привести к виду, когда левая часть выражения состоит из трёх слагаемых. Среди них: ax 2 (то есть переменная, возведённая в квадрат со своим коэффициентом), bx (неизвестное без квадрата со своим коэффициентом) и c (свободная составляющая, то есть обычное число). Всё это в правой части приравнивается 0. В случае, когда у подобного многочлена отсутствует одно из его составляющих слагаемых, за исключением ax 2 , оно называется неполным квадратным уравнением. Примеры с решением таких задач, значение переменных в которых найти несложно, следует рассмотреть в первую очередь.

      Если выражение на вид выглядит таким образом, что слагаемых у выражения в правой части два, точнее ax 2 и bx, легче всего отыскать х вынесением переменной за скобки. Теперь наше уравнение будет выглядеть так: x(ax+b). Далее становится очевидно, что или х=0, или задача сводится к нахождению переменной из следующего выражения: ax+b=0. Указанное продиктовано одним из свойств умножения. Правило гласит, что произведение двух множителей даёт в результате 0, только если один из них равен нулю.

      Пример

      x=0 или 8х — 3 = 0

      В результате получаем два корня уравнения: 0 и 0,375.

      Уравнения такого рода могут описывать перемещение тел под действием силы тяжести, начавших движение из определённой точки, принятой за начало координат. Здесь математическая запись принимает следующую форму: y = v 0 t + gt 2 /2. Подставив необходимые значения, приравняв правую часть 0 и найдя возможные неизвестные, можно узнать время, проходящее с момента подъёма тела до момента его падения, а также многие другие величины. Но об этом мы поговорим позднее.

      Разложение выражения на множители

      Описанное выше правило даёт возможность решать указанные задачи и в более сложных случаях. Рассмотрим примеры с решением квадратных уравнений такого типа.

      X 2 — 33x + 200 = 0

      Этот квадратный трёхчлен является полным. Для начала преобразуем выражение и разложим его на множители. Их получается два: (x-8) и (x-25) = 0. В результате имеем два корня 8 и 25.

      Примеры с решением квадратных уравнений в 9 классе позволяют данным методом находить переменную в выражениях не только второго, но даже третьего и четвёртого порядков.

      Например: 2x 3 + 2x 2 — 18x — 18 = 0. При разложении правой части на множители с переменной, их получается три, то есть (x+1),(x-3) и (x+3).

      В результате становится очевидно, что данное уравнение имеет три корня: -3; -1; 3.

      Извлечение квадратного корня

      Другим случаем неполного уравнения второго порядка является выражение, на языке букв представленное таким образом, что правая часть строится из составляющих ax 2 и c. Здесь для получения значения переменной свободный член переносится в правую сторону, а после этого из обеих частей равенства извлекается квадратный корень. Следует обратить внимание, что и в данном случае корней уравнения обычно бывает два. Исключением могут служить лишь только равенства, вообще не содержащие слагаемое с, где переменная равна нулю, а также варианты выражений, когда правая часть оказывается отрицательной. В последнем случае решений вообще не существует, так как указанные выше действия невозможно производить с корнями. Примеры решений квадратных уравнений такого типа необходимо рассмотреть.

      В данном случае корнями уравнения окажутся числа -4 и 4.

      Вычисление пощади земельного участка

      Потребность в подобного рода вычислениях появилась в глубокой древности, ведь развитие математики во многом в те далёкие времена было обусловлено необходимостью определять с наибольшей точностью площади и периметры земельных участков.

      Примеры с решением квадратных уравнений, составленных на основе задач такого рода, следует рассмотреть и нам.

      Итак, допустим имеется прямоугольный участок земли, длина которого на 16 метров больше, чем ширина. Следует найти длину, ширину и периметр участка, если известно, что его площадь равна 612 м 2 .

      Приступая к делу, сначала составим необходимое уравнение. Обозначим за х ширину участка, тогда его длина окажется (х+16). Из написанного следует, что площадь определяется выражением х(х+16), что, согласно условию нашей задачи, составляет 612. Это значит, что х(х+16) = 612.

      Решение полных квадратных уравнений, а данное выражение является именно таковым, не может производиться прежним способом. Почему? Хотя левая часть его по-прежнему содержит два множителя, произведение их совсем не равно 0, поэтому здесь применяются другие методы.

      Дискриминант

      Прежде всего произведём необходимые преобразования, тогда внешний вид данного выражения будет выглядеть таким образом: x 2 + 16x — 612 = 0. Это значит, мы получили выражение в форме, соответствующей указанному ранее стандарту, где a=1, b=16, c=-612.

      Это может стать примером решения квадратных уравнений через дискриминант. Здесь необходимые расчёты производятся по схеме: D = b 2 — 4ac. Данная вспомогательная величина не просто даёт возможность найти искомые величины в уравнении второго порядка, она определяет количество возможных вариантов. В случае, если D>0, их два; при D=0 существует один корень. В случае, если D

      О корнях и их формуле

      В нашем случае дискриминант равен: 256 — 4(-612) = 2704. Это говорит о том, что ответ у нашей задачи существует. Если знать, к , решение квадратных уравнений нужно продолжать с применением ниже приведённой формулы. Она позволяет вычислить корни.

      Это значит, что в представленном случае: x 1 =18, x 2 =-34. Второй вариант в данной дилемме не может являться решением, потому что размеры земельного участка не могут измеряться в отрицательных величинах, значит х (то есть ширина участка) равна 18 м. Отсюда вычисляем длину: 18+16=34, и периметр 2(34+18)=104(м 2).

      Примеры и задачи

      Продолжаем изучение квадратных уравнений. Примеры и подробное решение нескольких из них будут приведены далее.

      1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

      Перенесём всё в левую часть равенства, сделаем преобразование, то есть получим вид уравнения, который принято именовать стандартным, и приравняем его нулю.

      15x 2 + 20x + 5 — 12x 2 — 27x — 1 = 0

      Сложив подобные, определим дискриминант: D = 49 — 48 = 1. Значит у нашего уравнения будет два корня. Вычислим их согласно приведённой выше формуле, а это значит, что первый из них буде равен 4/3, а второй 1.

      2) Теперь раскроем загадки другого рода.

      Выясним, есть ли вообще здесь корни x 2 — 4x + 5 = 1? Для получения исчерпывающего ответа приведём многочлен к соответствующему привычному виду и вычислим дискриминант. В указанном примере решение квадратного уравнения производить не обязательно, ведь суть задачи заключается совсем не в этом. В данном случае D = 16 — 20 = -4, а значит, корней действительно нет.

      Теорема Виета

      Квадратные уравнения удобно решать через указанные выше формулы и дискриминант, когда из значения последнего извлекается квадратный корень. Но это бывает не всегда. Однако способов для получения значений переменных в данном случае существует множество. Пример: решения квадратных уравнений по теореме Виета. Она названа в честь который жил в XVI веке во Франции и сделал блестящую карьеру благодаря своему математическому таланту и связям при дворе. Портрет его можно увидеть в статье.

      Закономерность, которую заметил прославленный француз, заключалась в следующем. Он доказал, что корни уравнения в сумме численно равны -p=b/a, а их произведение соответствует q=c/a.

      Теперь рассмотрим конкретные задачи.

      3x 2 + 21x — 54 = 0

      Для простоты преобразуем выражение:

      x 2 + 7x — 18 = 0

      Воспользуемся теоремой Виета, это даст нам следующее: сумма корней равна -7, а их произведение -18. Отсюда получим, что корнями уравнения являются числа -9 и 2. Сделав проверку, убедимся, что эти значения переменных действительно подходят в выражение.

      График и уравнение параболы

      Понятия квадратичная функция и квадратные уравнения тесно связаны. Примеры подобного уже были приведены ранее. Теперь рассмотрим некоторые математические загадки немного подробнее. Любое уравнение описываемого типа можно представить наглядно. Подобная зависимость, нарисованная в виде графика, называется параболой. Различные её виды представлены на рисунке ниже.

      Любая парабола имеет вершину, то есть точку, из которой выходят её ветви. В случае если a>0, они уходят высоко в бесконечность, а когда a

      Наглядные изображения функций помогают решать любые уравнения, в том числе и квадратные. Этот метод называется графическим. А значением переменной х является координата абсцисс в точках, где происходит пересечение линии графика с 0x. Координаты вершины можно узнать по только что приведённой формуле x 0 = -b/2a. И, подставив полученное значение в изначальное уравнение функции, можно узнать y 0 , то есть вторую координату вершины параболы, принадлежащую оси ординат.

      Пересечение ветвей параболы с осью абсцисс

      Примеров с решением квадратных уравнений очень много, но существуют и общие закономерности. Рассмотрим их. Понятно, что пересечение графика с осью 0x при a>0 возможно только если у 0 принимает отрицательные значения. А для a0. В противном случае D

      По графику параболы можно определить и корни. Верно также обратное. То есть если получить наглядное изображение квадратичной функции нелегко, можно приравнять правую часть выражения к 0 и решить полученное уравнение. А зная точки пересечения с осью 0x, легче построить график.

      Из истории

      С помощью уравнений, содержащих переменную, возведённую в квадрат, в старину не только делали математические расчёты и определяли площади геометрических фигур. Подобные вычисления древним были нужны для грандиозных открытий в области физики и астрономии, а также для составления астрологических прогнозов.

      Как предполагают современные деятели науки, одними из первых решением квадратных уравнений занялись жители Вавилона. Произошло это за четыре столетия до наступления нашей эры. Разумеется, их вычисления в корне отличались от ныне принятых и оказывались гораздо примитивней. К примеру, месопотамские математики понятия не имели о существовании отрицательных чисел. Незнакомы им были также другие тонкости из тех, которые знает любой школьник современности.

      Возможно, ещё раньше учёных Вавилона решением квадратных уравнений занялся мудрец из Индии Баудхаяма. Произошло это примерно за восемь столетий до наступления эры Христа. Правда, уравнения второго порядка, способы решения которых он привёл, были самыми наипростейшими. Кроме него, подобными вопросами интересовались в старину и китайские математики. В Европе квадратные уравнения начали решать лишь в начале XIII столетия, но зато позднее их использовали в своих работах такие великие учёные, как Ньютон, Декарт и многие другие.

      Среди всего курса школьной программы алгебры одной из самых объемных тем является тема о квадратных уравнениях. При этом под квадратным уравнением понимается уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0 (читается: а умножить на икс в квадрате плюс бэ икс плюс цэ равно нулю, где а неравно нулю). При этом основное место занимают формулы нахождения дискриминанта квадратного уравнения указанного вида, под которым понимается выражение, позволяющее определить наличие или отсутствие корней у квадратного уравнения, а также их количество (при наличии).

      Формула (уравнение) дискриминанта квадратного уравнения

      Общепринятая формула дискриминанта квадратного уравнения выглядит следующим образом: D = b 2 – 4ac. Вычисляя дискриминант по указанной формуле, можно не только определить наличие и количество корней у квадратного уравнения, но и выбрать способ нахождения этих корней, которых существует несколько в зависимости от типа квадратного уравнения.

      Что значит если дискриминант равен нулю \ Формула корней квадратного уравнения если дискриминант равен нулю

      Дискриминант, как следует из формулы, обозначается латинской буквой D. В случае, когда дискриминант равен нулю, следует сделать вывод, что квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, имеет только один корень, который вычисляется по упрощенной формуле. Данная формула применяется только при нулевом дискриминанте и выглядит следующим образом: x = –b/2a, где х – корень квадратного уравнения, b и а – соответствующие переменные квадратного уравнения. Для нахождения корня квадратного уравнения необходимо отрицательное значение переменной b разделить на удвоенное значение переменной а. Полученной выражение будет решением квадратного уравнения.

      Решение квадратного уравнения через дискриминант

      Если при вычислении дискриминанта по вышеприведенной формуле получается положительное значение (D больше нуля), то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по следующим формулам: x 1 = (–b + vD)/2a, x 2 = (–b – vD)/2a. Чаще всего, дискриминант отдельно не высчитывается, а в значение D, из которого извлекается корень, просто подставляется подкоренное выражение в виде формулы дискриминанта. Если переменная b имеет четное значение, то для вычисления корней квадратного уравнения вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, можно также использовать следующие формулы: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, где k = b/2.

      В некоторых случаях для практического решения квадратных уравнений можно использовать Теорему Виета, которая гласит, что для суммы корней квадратного уравнения вида x 2 + px + q = 0 будет справедливо значение x 1 + x 2 = –p, а для произведения корней указанного уравнения – выражение x 1 x x 2 = q.

      Может ли дискриминант быть меньше нуля

      При вычислении значения дискриминанта можно столкнуться с ситуацией, которая не попадает ни под один из описанных случаев – когда дискриминант имеет отрицательное значение (то есть меньше нуля). В этом случае принято считать, что квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, действительных корней не имеет, следовательно, его решение будет ограничиваться вычислением дискриминанта, а приводимые выше формулы корней квадратного уравнения в данном случае применяться не будут. При этом в ответе к квадратному уравнению записывается, что «уравнение действительных корней не имеет».

      Поясняющее видео:

      Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

      10 способов решения квадратных уравнений

      Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

      учитель математики

      с.Копьево, 2007

      1. История развития квадратных уравнений

      1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

      1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

      1.3 Квадратные уравнения в Индии

      1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

      1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв

      1.6 О теореме Виета

      2. Способы решения квадратных уравнений

      Заключение

      Литература

      1.

      История развития квадратных уравнений

      1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

      Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

      Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

      X

      2

      +

      X

      = ¾;

      X

      2



      X

      = 14,5

      Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

      Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

      1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

      В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

      При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

      Вот, к примеру, одна из его задач.

      Задача 11.

      «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»

      Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х

      , другое же меньше, т.е. 10 — х

      . Разность между ними

      .

      Отсюда уравнение:

      (10 + х)(10 — х) = 96

      100 — х 2
      = 96

      х 2
      — 4 = 0 (1)

      Отсюда х = 2

      . Одно из искомых чисел равно 12

      , другое 8

      . Решение х = -2

      для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

      Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

      у(20 — у) = 96,

      у 2
      — 20у + 96 = 0. (2)

      Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

      1.3

      Квадратные уравнения в Индии

      Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

      ах 2
      +

      b

      х = с, а > 0. (1)

      В уравнении (1) коэфиценты, кроме а

      , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

      В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

      Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

      Задача 13.

      «Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

      Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

      Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

      На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

      Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

      Соответствующее задаче 13 уравнение:

      (
      x

      /8) 2
      + 12 =

      x

      Бхаскара пишет под видом:

      х 2
      — 64х = -768

      и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2

      , получая затем:

      х 2
      — 64х + 32 2
      = -768 + 1024,

      (х — 32) 2
      = 256,

      х — 32 = ± 16,

      х 1
      = 16, х 2
      = 48.

      1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

      В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

      1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2
      + с =

      b

      х.

      2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2
      = с.

      3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

      4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2
      + с =

      b

      х.

      5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2
      +

      bx

      = с.

      6) «Корни и числа равны квадратам», т.е.

      bx

      + с = ах 2
      .

      Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

      ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

      Задача 14.

      «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2
      + 21 = 10х).

      Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

      Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

      1.5 Квадратные уравнения в Европе

      XIII



      XVII

      вв

      Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.

      Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

      х 2
      +

      bx

      = с,

      при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b

      , с

      было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

      Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

      1.6 О теореме Виета

      Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B

      +

      D

      , умноженное на A



      A

      2

      , равно BD

      , то A

      равно В

      и равноD

      ».

      Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А

      , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х
      ), гласные же В,

      D

      — коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

      (а +

      b

      )х — х 2
      =

      ab

      ,

      х 2
      — (а +

      b

      )х + а

      b

      = 0,

      х 1
      = а, х 2
      =

      b

      .

      Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

      2. Способы решения квадратных уравнений

      Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

      {2} -4ac <0 [/ latex], тогда число под радикалом будет отрицательным. Поскольку вы не можете найти квадратный корень из отрицательного числа, используя действительные числа, реальных решений не существует. Однако вы можете использовать и мнимые числа. Тогда у вас будет два сложных решения: одно путем сложения мнимого квадратного корня, а другое - путем его вычитания.

    В таблице ниже суммирована взаимосвязь между значением дискриминанта и решениями квадратного уравнения. {2} -4ac [/ latex].{2} -4 \ left (1 \ right) \ left (10 \ right) = 16-40 = -24 \ end {array} [/ latex]

    Результат — отрицательное число. Дискриминант отрицательный, поэтому квадратное уравнение имеет два комплексных решения.

    В последнем примере мы проведем корреляцию между количеством и типом решений квадратного уравнения и графиком соответствующей функции.

    Пример

    Используйте следующие графики квадратичных функций, чтобы определить, сколько и какого типа решения будет у соответствующего квадратного уравнения [latex] f (x) = 0 [/ latex].{2}} — 4ac [/ латекс]. Он определяет количество и тип решений квадратного уравнения. Если дискриминант положительный, существуют [latex] 2 [/ latex] вещественные решения. Если это [latex] 0 [/ latex], существует [latex] 1 [/ latex] реальное повторяющееся решение. Если дискриминант отрицательный, существуют [latex] 2 [/ latex] комплексные решения (но нет реальных решений).

    Дискриминант также может рассказать нам о поведении графика квадратичной функции.

    Дискриминант по квадратичной формуле — изучение алгебры может быть легким!

    В этом разделе есть следующие видео :

    • Видеоурок
    • Пример набора практических задач (видео решения)
    • Пример набора B практических задач (видео решения)
    • Пример набора практических задач Си (решения для видео)

    Очень интересная часть квадратной формулы — дискриминант.В частности, дискриминант — это часть формулы «b в квадрате — 4ac» (расположенная под символом квадратного корня). Эта часть квадратной формулы может рассказать нам некоторую полезную информацию о решениях уравнения. Помните, что квадратное уравнение всегда будет иметь два решения — концепция достаточно простая для понимания. Однако немного интереснее становится понимание типа решений. Квадратные уравнения могут иметь действительные решения (положительные и отрицательные числа) или мнимые решения (комплексные числа).Принеси свой калькулятор, чтобы я смог показать тебе разницу между действительными и мнимыми числами. Используйте свой калькулятор, чтобы найти квадратный корень из 16, без проблем, ваш калькулятор вернул 4, потому что 4 x 4 = 16. Теперь давайте попробуем найти квадратный корень из -16 (отрицательное 16), ваш калькулятор начал дымить? Нет, но, вероятно, на экране появилось сообщение об ошибке. Почему? потому что ваш калькулятор не знает действительного числа, ответ на запрос «квадратный корень из -16». Давайте подумаем о действительных числах, -4 x -4 = 16, поэтому, если квадратный корень из -16 не равен -4 или 4, то каково решение? Квадратный корень из -16 оказывается особым типом числа, называемым мнимым числом.Как я уже сказал, квадратное уравнение может иметь решения в виде действительных или мнимых чисел. Если значение дискриминанта положительное, квадратное уравнение имеет два действительных числовых корня, если значение отрицательное, уравнение имеет два мнимых корня, а если значение равно нулю, оно имеет один двойной корень (например, x = 2 и x = 2). По мере того, как ваше изучение алгебры становится все более продвинутым, вы оцените небольшую роль, которую дискриминант играет в формуле корней квадратного уравнения.

    Упражнения по математике

    ]]>

    • Матрицы
    • Алгебра
    • Геометрия
    • Функции
    • Тригонометрия
    • Координатная геометрия
    • Комбинаторика
    Сумма и ресторан Продукт на эскаларе Продукт Inversa
    Мономы Полиномы Особые продукты Уравнения Квадратные уравнения
    Радикальные выражения Системы уравнений Последовательности и серии Внутренний продукт Экспоненциальные уравнения
    Матрицы Детерминанты Инверсия матрицы Логарифмические уравнения Системы трех переменных уравнений
    2-х мерные фигуры Площади Теорема Пифагора Расстояния
    Графики Определение уклона Положительный или отрицательный наклон Определить наклон прямой Ecuación de una recta Уравнение прямой (с графика)
    Квадратичная функция Posición relativa de dos rectas Асимптоты Пределы Distancias
    Непрерывность и разрывы
    Теорема Пифагора Синус Косинус Касательная Косеканс Секант

    Котангенс

    Тригонометрические идентификаторы
    Тригонометрические функции острого угла Тригонометрические функции связанных углов Решение прямоугольных треугольников Закон косинусов Закон синусов
    Ecuación de una recta Posición relativa de dos rectas Distancias Углы в пространстве Внутренний продукт
    Факториал Варианты без повторения Вариации с повторением Перестановки с повторением Перестановки без повторов
    Упражнения Круговые перестановки Биномиальный коэффициент Комбинации с повторением Комбинации без повторов
    Среднее арифметическое

    Использование дискриминантного видео | Shmoop

    Дискриминант является частью формулы корней квадратного уравнения, но это не значит, что он не важен сам по себе; фактически, однажды он даже принимал гостей The Tonight Show .Дискриминант определяет количество решений в квадратной формуле. Если дискриминант положительный, есть два решения. Если дискриминант равен нулю, будет одно реальное решение. Если он отрицательный, реальных решений не будет.

    Язык Английский язык
    Квадратные уравнения Квадратные уравнения

    Расшифровка

    00:28

    Если b2 — 4ac положительно и больше нуля, будут два различных действительных решения.

    00:38

    Если b2 — 4ac равно нулю, будет одно отличное реальное решение.

    00:45

    Но, если b2 — 4ac отрицательно и меньше нуля, реальных решений нет.

    00:56

    Нет. Даже не пытайся придумать. Этого не случится.

    01:00

    Давайте рассмотрим квадратичную формулу для пары примеров.

    01:08

    Наш первый пример — квадрат x плюс три x плюс пять равняется нулю.

    01:14

    Подставив этих плохих парней в дискриминант, b в квадрате минус 4ac, мы получим три в квадрате

    01:20

    минус четыре раза-один-пять.

    01:23

    Это упрощается до девяти минус двадцать, что является минус одиннадцать.

    01:28

    Это меньше нуля… реальных решений нет.

    01:33

    Что означает «нет реальных решений»? Если мы посмотрим на график, парабола

    01:37

    не касается оси x ни при каком значении x.

    01:50

    Для нашего второго примера у нас есть уравнение …

    01:53

    x-квадрат минус шесть x минус десять равняется нулю.

    01:57

    Если вставить это в дискриминант, это выглядит так …

    02:00

    шесть в квадрате минус четыре раза отрицательные, десять раз один.

    02:05

    Это тридцать шесть плюс сорок, то есть семьдесят шесть.

    02:09

    Семьдесят шесть больше нуля.Итак, есть два различных реальных решения этой проблемы.

    02:16

    Посмотрев на график, мы можем увидеть, что есть два реальных решения, потому что парабола

    02:21

    касается оси x при двух различных значениях x. Итак, Magic Discriminant Ball может быть

    02:28

    не в состоянии помочь вам с некоторыми из самых серьезных вопросов жизни …

    02:32

    … но использование дискриминанта может помочь вам в следующем тест по математике.

    Дискриминант — объяснение, формула и взаимосвязь между корнями и дискриминантом

    Квадратичный означает переменную, которая умножается сама на себя. По сути, операция включает возведение в квадрат. Общее квадратное уравнение —

    ax2 + bx + c = 0

    С помощью этой формулы можно найти корни квадратного уравнения. {2} — 4ac}} {2a} \]

    Внутри этой квадратной формулы дискриминантная функция находится под квадратичная формула.Он представлен как b²-4ac, а дискриминант может быть нулевым, положительным или отрицательным. Он указывает, не будет ли решения, одного решения или двух решений.

    Формула дискриминантной алгебры имеет следующие характеристики —

    • Когда дискриминант равен нулю, это показывает, что существуют повторяющиеся вещественные числа решения квадратичной;

    • Для отрицательного дискриминанта ни одно из решений не является действительным числом;

    • Для положительного дискриминанта есть два различных вещественных решения квадратного уравнения.

    Следующее квадратное уравнение покажет ряд решений, которые помогут студентам найти дискриминант.

    Например, данное квадратное уравнение —

    6×2 + 10x — 1 = 0

    Из приведенного выше уравнения видно, что:

    a = 6,

    b = 10,

    c = — 1

    Применение чисел в дискриминанте —

    b2 — 4ac

    = 102-4 (6) (-1)

    = 100 + 24

    = 124

    При этом дискриминант составляет положительное число , есть два решения квадратного уравнения.

    Связь между корнями и дискриминантом

    Связь между дискриминантом и корнями можно понять из следующих случаев —

    Здесь

    a, b, c = действительные числа

    a ≠ 0

    дискриминант = положительный

    Тогда , корни квадратного уравнения действительны и не равны.

    Здесь

    a, b, c = действительные числа

    a ≠ 0

    дискриминант = ноль

    Тогда корни квадратного уравнения действительны и равны.

    Здесь

    a, b, c = действительные числа

    a ≠ 0

    дискриминант = отрицательный

    Тогда корни квадратного уравнения не являются действительными и неравными. В этом случае корни составляют мнимые

    Здесь

    a, b, c = действительные числа

    a ≠ 0

    дискриминант = положительный и полный квадрат

    Тогда корни квадратного уравнения не равны, реальный и рациональный.

    Что следует помнить при использовании квадратичной формулы

    • Абсолютно необходимо, чтобы уравнение было выполнено правильно, иначе решение не может быть достигнуто

    • Убедитесь, что 2a и квадратный корень из всего (b2 — 4ac) помещается в знаменатель

    • Следите за отрицательными значениями b2.Поскольку он не может быть отрицательным, обязательно измените его на положительный. Квадрат положительного или отрицательного всегда будет положительным.

    • Сохраните +/-. Не упустите два решения

    • При использовании калькулятора число должно быть округлено до определенного числа десятичных знаков

    Для более детального понимания дискриминанта вы можете воспользоваться онлайн-классами или PDF-материалами Веданту. .

    Рекомендации по решению квадратных уравнений и приложений

    В этом разделе алгебраические схемы обычно состоят из квадратного уравнения, решения которого не могут быть целыми числами.

    Пример 10: Высота треугольника на 2 дюйма меньше удвоенной длины его основания. Если общая площадь треугольника составляет 11 квадратных дюймов, найдите длину основания и высоту. Округлите ответы до сотых.

    Используйте формулу A = 12bh и тот факт, что площадь составляет 11 квадратных дюймов, чтобы составить алгебраическое уравнение.

    Чтобы переписать это квадратное уравнение в стандартной форме, сначала распределите 12x.

    Используйте коэффициенты a = 1, b = −1 и c = −11, чтобы определить тип решения.

    Поскольку дискриминант положительный, ожидайте двух реальных решений.

    В этой задаче не обращайте внимания на отрицательное решение и рассматривайте только положительное решение.

    Обратно подставить, чтобы найти высоту.

    Ответ: Размер основания 1 + 352≈3,85 дюйма, высота -1 + 35≈5,71 дюйма.

    Пример 11: Сумма квадратов двух последовательных положительных целых чисел равна 481. Найдите целые числа.

    Перепишем квадратное уравнение в стандартной форме.

    Когда коэффициенты большие, иногда бывает проще использовать формулу корней квадратного уравнения вместо того, чтобы пытаться разложить ее на множители. В этом случае a = 1, b = 1 и c = −240. Подставим формулу корней квадратного уравнения, а затем упростим.

    Поскольку задача требует положительных целых чисел, игнорируйте отрицательное решение и выберите n = 15.

    Ответ: Положительные целые числа равны 15 и 16.

    Тематические упражнения

    Часть A: Использование дискриминанта

    Вычислите дискриминант и используйте его для определения количества и типа решений.Не решайте.

    1. x2 + 2x + 3 = 0

    2. x2−2x − 3 = 0

    3. 3×2−1x − 2 = 0

    4. 3×2−1x + 2 = 0

    5. 9y2 + 2 = 0

    6. 9y2−2 = 0

    7. 5×2 + x = 0

    8. 5×2 − x = 0

    9. 12×2−2x + 52 = 0

    10. 12×2 − x − 12 = 0

    11. −x2−2x + 4 = 0

    12. −x2−4x + 2 = 0

    13.4t2−20t + 25 = 0

    14. 9t2−6t + 1 = 0

    Часть B: Решение

    Выберите подходящий метод для решения следующей проблемы.

    15. x2−2x − 3 = 0

    16. x2 + 2x + 3 = 0

    17. 3×2 − x − 2 = 0

    18. 3×2 − x + 2 = 0

    19. 9y2 + 2 = 0

    20. 9y2−2 = 0

    21. 5×2 + x = 0

    22. 5×2 − x = 0

    23.12×2−2x + 52 = 0

    24. 12×2 − x − 12 = 0

    25. −x2−2x + 4 = 0

    26. −x2−4x + 2 = 0

    27. 4т2−20т + 25 = 0

    28. 9т2−6т + 1 = 0

    29. y2−4y − 1 = 0

    30. y2−6y − 3 = 0

    31. 25×2 + 1 = 0

    32. 36×2 + 4 = 0

    33. 5t2−4 = 0

    34. 2t2−9 = 0

    35. 12×2−94x + 1 = 0

    36.3×2 + 12x − 16 = 0

    37. 36y2 = 2y

    38. 50y2 = −10y

    39. х (х − 6) = — 29

    40. х (х − 4) = — 16

    41. 4y (y + 1) = 5

    42. 2y (y + 2) = 3

    43. −3×2 = 2x + 1

    44. 3×2 + 4x = −2

    45. 6 (x + 1) 2 = 11x + 7

    46. 2 (x + 2) 2 = 7x + 11

    47. 9t2 = 4 (3t − 1)

    48,5т (5т − 6) = — 9

    49.(х + 1) (х + 7) = 3

    50. (x − 5) (x + 7) = 14

    Часть C: Приложения

    Составьте алгебраическое уравнение и используйте его для решения следующих задач.

    Количество проблем

    51. Положительное действительное число на 2 меньше другого. Когда в 4 раза большее прибавляется к квадрату меньшего, получается 49. Найдите числа.

    52. Положительное действительное число на 1 больше, чем другое.Когда в два раза меньшее вычитается из квадрата большего, получается 4. Найдите числа.

    53. Положительное действительное число на 6 меньше другого. Если сумма квадратов двух чисел равна 38, найдите числа.

    54. Положительное действительное число — это 1 больше, чем удвоенное другое. Если вычесть в 4 раза меньшее число из квадрата большего, то получится 21. Найдите числа.

    Проблемы геометрии

    Округлите ответы до сотых.

    55. Площадь прямоугольника 60 квадратных дюймов. Если длина в 3 раза больше ширины, найдите размеры прямоугольника.

    56. Площадь прямоугольника 6 квадратных футов. Если длина на 2 фута больше ширины, найдите размеры прямоугольника.

    57. Площадь прямоугольника 27 квадратных метров. Если длина на 6 метров меньше ширины в 3 раза, то найдите размеры прямоугольника.

    58.Площадь треугольника 48 квадратных дюймов. Если основание в 2 раза больше высоты, найдите длину основания.

    59. Площадь треугольника составляет 14 квадратных футов. Если высота основания на 4 фута больше, чем в 2 раза, найдите длину основания и высоту.

    60. Площадь треугольника 8 квадратных метров. Если основание на 4 метра меньше высоты, найдите длину основания и высоту.

    61. Периметр прямоугольника составляет 54 сантиметра, а площадь — 180 квадратных сантиметров.Найдите размеры прямоугольника.

    62. Периметр прямоугольника составляет 50 дюймов, а площадь — 126 квадратных дюймов. Найдите размеры прямоугольника.

    63. Джордж поддерживает успешный сад размером 6 на 8 метров. В следующем сезоне он планирует удвоить посевную площадь, увеличив ширину и высоту на равную величину. Насколько он должен увеличить длину и ширину?

    64. Единая кирпичная граница должна быть построена вокруг сада размером 6 на 8 футов.Если общая площадь сада, включая бордюр, должна составлять 100 квадратных футов, найдите ширину кирпичного бордюра.

    Теорема Пифагора

    65. Если стороны квадрата равны 106 единицам, то найдите длину диагонали.

    66. Если диагональ квадрата составляет 310 единиц, найдите длину каждой стороны.

    67. Диагональ прямоугольника составляет 63 дюйма. Если ширина на 4 дюйма меньше длины, найдите размеры прямоугольника.

    68. Диагональ прямоугольника составляет 23 дюйма. Если ширина на 2 дюйма меньше длины, то найдите размеры прямоугольника.

    69. Верх 20-футовой лестницы, прислоненной к зданию, достигает 18 футов в высоту. Как далеко от стены находится основание лестницы? Округлите до ближайшей сотой.

    70. Для безопасного использования лестницы основание должно располагаться на расстоянии примерно 1/4 длины лестницы от стены.Если необходимо безопасно использовать 20-футовую лестницу, то насколько высоко от здания поднимется верхняя часть лестницы? Округлите до ближайшей сотой.

    71. Диагональ телевизионного монитора составляет 32 дюйма. Если у монитора соотношение сторон 3: 2, определите его длину и ширину. Округлите до ближайшей сотой.

    72. Диагональ телевизионного монитора составляет 52 дюйма. Если у монитора соотношение сторон 16: 9, определите его длину и ширину.Округлите до ближайшей сотой.

    Проблемы бизнеса

    73. Прибыль в долларах от эксплуатации конвейерной линии, производящей индивидуальную униформу каждый день, определяется функцией P (t) = — 40t2 + 960t − 4000, где t представляет количество часов, в течение которых линия находится в эксплуатации.

    а. Подсчитайте прибыль от работы сборочной линии по 10 часов в сутки.

    г. Подсчитайте количество часов, которое должна проработать сборочная линия, чтобы достичь безубыточности.Округлите до ближайшей десятой доли часа.

    74. Прибыль в долларах, полученная от производства и продажи нестандартных ламп размером x , определяется функцией P (x) = — 10×2 + 800x − 12 000.

    а. Подсчитайте прибыль от производства и продажи 35 ламп.

    г. Подсчитайте количество ламп, которые необходимо продать, чтобы получить прибыль в 3000 долларов.

    75. Если 1200 долларов инвестируются в счет с годовой процентной ставкой r , то сумма A , которая остается на счете в конце 2-х лет, определяется по формуле A = 1200 (1 + r) 2 .Если по истечении 2 лет сумма на счете составит 1335,63 доллара, то какова была процентная ставка?

    76. Производственная компания определила, что ежедневный доход R в тысячах долларов зависит от количества, n , палитр продукта, проданного в соответствии с формулой R = 12n − 0,6n2. Определите количество поддонов, которые необходимо продать, чтобы поддерживать доход на уровне 60 000 долларов в день.

    Проблемы со снарядами

    77.Высота снаряда, выпущенного вверх со скоростью 32 фута в секунду с высоты 128 футов, определяется функцией h (t) = — 16t2 + 32t + 128.

    а. Какова высота снаряда на 1/2 секунды?

    г. В какое время после запуска снаряд достигнет высоты 128 футов?

    78. Высота снаряда, выпущенного вверх со скоростью 16 футов в секунду с высоты 192 футов, определяется функцией h (t) = — 16t2 + 16t + 192.

    а.Какая высота снаряда на 3/2 секунды?

    г. В какое время снаряд достигнет 128 футов?

    79. Высота объекта, падающего с вершины 144-футового здания, равна h (t) = — 16t2 + 144. Сколько времени потребуется, чтобы достичь точки на полпути к земле?

    80. Высота снаряда, выпущенного прямо в воздух со скоростью 80 футов в секунду от земли, определяется как h (t) = — 16t2 + 80t. В какое время снаряд достигнет 95 футов?

    Часть D: Обсуждение

    81.Обсудите стратегию постоянного использования квадратной формулы для решения квадратных уравнений.

    82. Перечислите все методы, которым мы научились решать квадратные уравнения. Обсудите плюсы и минусы каждого из них.

    ответы

    1: −8, настоящего решения нет

    3:25, два реальных решения

    5: −72, реального решения нет

    7: 1, два реальных решения

    9: −1, настоящего решения нет

    11:20, два реальных решения

    13: 0, одно реальное решение

    15: -1, 3

    17: −2/3, 1

    19: Реального решения нет

    21: -1/5, 0

    23: Реального решения нет

    25: -1 ± 5

    27: 5/2

    29: 2 ± 5

    31: Реального решения нет

    33: ± 255

    35: 1/2, 4

    37: 0, 1/18

    39: Реального решения нет

    41: -1 ± 62

    43: Реального решения нет

    45: -1/2, 1/3

    47: 2/3

    49: −4 ± 23

    51: 35 и 35-2

    53: 3 + 10 и −3 + 10

    55: Длина: 13.42 дюйма; ширина: 4,47 дюйма

    57: Длина: 6,48 метра; ширина: 4,16 метра

    59: высота: 2,87 фута; база: 9,74 фута

    61: Длина: 15 см; ширина: 12 см

    63: 2,85 метра

    65: 203 шт.

    67: Длина: 2 + 52 дюйма; ширина: -2 + 52 дюйма

    69: 219≈8,72 футов

    71: длина: 26,63 дюйма; ширина: 17,75 дюйма

    73: а.1600 долларов США; б. 5,4 часа и 18,6 часа

    75: 5,5%

    77: а. 140 футов; б. 0 секунд и 2 секунды

    79: 2,12 секунды

    Дискриминантное уравнение малых ионов (LOME) для скрининга рака яичников | BioData Mining

    Исследуемая популяция

    Всего было собрано 1184 образца сыворотки (таблица 1, дополнительный файл 1) у здоровых женщин контрольной группы (контроль) и женщин-пациентов с раком яичников (OVC), колоректальным раком (CRC), раком желудка (GC), доброкачественная опухоль матки (BUT), доброкачественная опухоль яичников (BOT), предраковое поражение шейки матки (PCL), рак груди (BRC), доброкачественная опухоль груди (BBT), рак шейки матки (UCC) или рак эндометрия (EMC). ).Сыворотку собирали перед операцией или химиотерапией, чтобы предотвратить любое воздействие анестетиков или противораковых агентов на ионы с низкой массой (LMI) в сыворотке. Кейсы UCC и EMC не были включены в учебный процесс, потому что количество кейсов было относительно небольшим. В таблице 2 показаны места сбора образцов и количество образцов, собранных на каждом участке. Информированное согласие было получено от всех здоровых людей и пациентов, и наблюдательный совет каждого участвующего учреждения одобрил протокол исследования.Часть источников исследования была предоставлена ​​Корейским банком гинекологических онкологических заболеваний в рамках программы развития биологических и медицинских технологий MSIP, Корея.

    Таблица 1 Информация о количестве, стадии заболевания и возрасте исследуемой популяции Таблица 2 Учреждения, из которых были собраны образцы

    Создание LOME для скрининга OVC

    Процедуры построения LOME для скрининга OVC были аналогичны тем описано в нашем предыдущем отчете [6]. Здесь они кратко повторяются с акцентом на основные изменения.

    Подготовка и анализ образцов MALDI-TOF

    Анализ MALDI-TOF (Autoflex Speed, Buker Daltonik GmbH, Бремен, Германия) выполняли, как описано ранее [6]. Образцы сыворотки (25 мкл) экстрагировали 100 мкл смеси метанол / хлороформ (2: 1, об. / Об.) В течение 10 мин при комнатной температуре после интенсивного встряхивания. Смесь центрифугировали при 6000 × g в течение 10 мин при 4 ° C. Супернатант полностью сушили в концентраторе в течение 1 ч и растворяли в 30 мкл 50% ацетонитрила / 0.1% трифторуксусная кислота (TFA) на вихревой мешалке в течение 30 мин. Экстракт метанол / хлороформ смешивали (1:12, об. / Об.) С раствором α-циано-4-гидроксикоричной кислоты в 50% ацетонитриле / 0,1% TFA, и 1 мкл смеси наносили на мишень MALDI для анализа. . При фиксированной фокусной массе и интенсивности лазера каждый образец был проанализирован шесть раз с использованием разного времени извлечения и сбора данных.

    Двухэтапная схема обучения

    Образцы сыворотки были приблизительно разделены на наборы A 1 , A 2 и B (таблица 3).Образцы каждой клинической стадии были почти поровну разделены на эти три набора. Наборы A (A 1 ∪A 2 ) и B являются наборами для обучения и проверки, соответственно. Весовые коэффициенты для отдельных LMI были рассчитаны только на основе набора A 1 . Затем обучающий набор был расширен для уменьшения переобучения за счет включения набора A 2 , который не зависел от набора A 1 . Дискриминантные LMI были определены на основе набора A.

    Весовые коэффициенты для отдельных LMI

    MALDI-TOF измерения были выполнены шесть раз на каждом образце.Дискриминантный анализ на основе анализа главных компонентов (PCA-DA) был выполнен для отделения группы OVC от группы без OVC в наборе A 1 с использованием программного обеспечения MarkerView (AB SCIEX, Foster City, CA). Шесть измерений набора A 1 были проанализированы индивидуально, и одно измерение с наивысшей производительностью разделения было назначено в качестве эталонного масс-спектра. PCA-DA на эталонном масс-спектре давал вектор весовых коэффициентов, называемый вектором нагрузки.

    Предварительная обработка данных

    Импорт масс-спектров в программное обеспечение MarkerView дает таблицу пиков, которая состоит из одного столбца отношения массы к заряду ( m / z ) и одного столбца интенсивности на образец.Чтобы получить дискриминантную оценку (DS) образца путем присвоения весовых коэффициентов, полученных из эталонного масс-спектра, масс-спектр образца должен быть согласован с эталонным масс-спектром, т. Е. Столбец m / z первое должно быть идентично второму. Этапы предварительной обработки были следующими: 1) масс-спектры всех образцов (пять измерений на образец) были согласованы с эталонным масс-спектром путем импорта каждого масс-спектра вместе с эталонным масс-спектром в программное обеспечение MarkerView (настройки импорта: допуск по массе, 300 ppm; минимально необходимый отклик, 10.0; и максимальное количество пиков 10000). Но полученная таблица пиков не была полностью выровнена: то есть столбец m / z эталонного масс-спектра плюс масс-спектр не был идентичен только эталонному масс-спектру. 2) Выровненные масс-спектры были повторно согласованы с эталонным масс-спектром с допуском по массе 300 ppm. 3) Перестроенные масс-спектры были нормализованы с использованием схемы «Нормализация с использованием сумм общей площади» (подробности см. В Справочном руководстве к программному обеспечению MarkerView).4) Нормализованные масс-спектры были масштабированы по Парето. 5) Масштабированные по Парето масс-спектры умножали на весовые коэффициенты. 6) Пять взвешенных масс-спектров, полученных для каждого образца, усредняли.

    Предварительные кандидаты LMI

    PCA-DA DS был рассчитан как взвешенная сумма масштабированных по Парето интенсивностей всех LMI (≤ 10000 LMI). Однако большинство LMI внесли незначительный вклад в DS. Алгоритм поиска 1 выявил предварительных кандидатов LMI P по следующим двум критериям: 1) LMI со взвешенными значениями интенсивности, величина которых> 0.1 для каждого столбца интенсивности в взвешенном эталонном масс-спектре. 2) LMI, выбранные одновременно в более чем половине столбцов интенсивности в эталонном масс-спектре.

    Дискриминантные LMI

    Дискриминантные LMI искали на основе усредненных масс-спектров набора A и предварительных кандидатов LMI P . Алгоритм поиска 2 (рис. 1) состоял из следующих шагов. 1) Было определено, был ли один LMI с чувствительностью и специфичностью 100% для набора A.2) Суммы чувствительности и специфичности для P
    C 2 и P
    C 3 комбинаций. 3) Комбинация двух или трех LMI с максимальной суммой чувствительности и специфичности была отложена, и этап 2) повторяли с оставшимися LMI до тех пор, пока один или не остался один LMI. 4) Комбинация двух или трех LMI считалась одним LMI, и шаги 2) — 3) повторялись.5) Шаг 4) был повторен. Комбинация, собранная на предыдущей итерации, рассматривалась как единый LMI на следующей итерации. 6) Комбинация S LMI с максимальной суммой чувствительности и специфичности была назначена в качестве набора семян. 7) Модель R
    С 1 , R
    C 2 и R
    C 3 комбинаций были добавлены к начальному набору, где R = P S .8) Увеличенный набор семян с максимальной суммой чувствительности и специфичности был назначен как новый набор семян, если расширенный набор семян был лучше, чем предыдущий набор семян с точки зрения суммы чувствительности и специфичности, и этап 7) повторяли с остальные LMI. 9) Последний обновленный начальный набор был назначен как отличительные LMI. LOME с дискриминационными LMI можно выразить следующим образом:

    Рис. 1

    $$ \ mathrm {D} \ mathrm {S} = {\ displaystyle {\ sum} _ {\ mathrm {disciminative} \ \ mathrm {LMIs }} \ Big (\ mathrm {Pareto} — \ mathrm {scaled} \ kern0.5em \ mathrm {интенсивность}} \ times \ mathrm {Weighting} \ kern0.5em \ mathrm {factor} \ Big) $$

    Когда количество комбинаций с максимальной суммой чувствительности и специфичности было> 1, была выбрана одна с использованием следующих двух критериев: Приоритет 1) Когда количество LMI в комбинациях, показывающих одинаковую сумму чувствительности и специфичности, было различным, была выбрана комбинация с наименьшим количеством LMI. Этот выбор привел к лучшей производительности в этом исследовании. Приоритет 2) Когда количество LMI в комбинациях было равным, выбиралась комбинация с наибольшим дискриминантным отношением Фишера.

    Проверка LOME для скрининга OVC

    Набор B был зарезервирован для процесса проверки. Наборы A и B были взаимоисключающими. Средние DS для набора B были рассчитаны на основе усредненных масс-спектров набора B и дискриминантных LMI, полученных из набора A. Среднее значение DS для образца было суммой усредненных интенсивностей дискриминантных LMI. Решение было принято на основании знака среднего DS, то есть плюс / минус DS показал положительный / отрицательный результат на экране, соответственно.

    Идентификация LMI

    Экстракт метанол / хлороформ был высушен, а затем восстановлен в 0.1% муравьиной кислоты (FA) и подвергнутые жидкостной хроматографии — масс-спектрометрии (ЖХ-МС) с использованием системы Eksigent ultraLC 110-XL, соединенной с системой AB Sciex Triple TOF 5600+, оснащенной на передней панели источником ионов DuoSpray . Для разделения с помощью ультраЖХ образец загружали в патрон охранника Atlantis T3 (3 мкм, 2,1 × 10 мм; Waters), а затем разделение выполняли в колонке Atlantis T3 (3 мкм, 2,1 × 100 мм; Waters) в двухступенчатый линейный градиент (растворитель A, 0,1% FA в воде; растворитель B, 100% ацетонитрил; с 1% растворителя B в течение 2 минут, от 1 до 30% B в течение 6 минут, от 30 до 90% B в течение 8 минут, 90% B в течение 4 минут, от 90 до 1% B в течение 1 минуты и 9 минут в 1% B).Система МС была настроена на выполнение одного полного сканирования (диапазон m / z от 50 до 1200) с последующей тандемной масс-спектрометрией (МС / МС) 10 наиболее распространенных родительских ионов (допуск по массе 50 мДа; энергия столкновения 35%). . Спектры МС и МС / МС были отправлены в вычислительные инструменты Formula Finder (Sciex), которые предлагают вероятные элементные составы в пределах указанного допуска массы данного отношения массы к заряду с использованием программного обеспечения PeakView (Sciex).

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.